1 Calcul économique Partie 2 Gestion économique de l’entreprise Daniel FIXARI, CGS, [email protected] Matthieu GLACHANT, CERNA, [email protected] Blanche SEGRESTIN, CGS, [email protected]
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Calcul économique
Partie 2Gestion économique de l’entreprise
Daniel FIXARI, CGS, [email protected] GLACHANT, CERNA, [email protected] SEGRESTIN, CGS, [email protected]
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Gestion économique de l’entreprise
• Managerial economics : une perspective centrée sur l’entreprise– L’entreprise au centre de la production des richesses – Elle collecte des ressources, investit, développe des
produits et des débouchés et les produit de manière la plus efficace possible
• Une visée opérationnelle– Analyse des coûts et de leviers d’efficacité, de
rentabilité– Quels sont les critères et les instruments opérationnels
pour guider l’entreprise collective ?
3
Plan1. La problématique de l’investissement2. La Valeur Actuelle Nette (VAN)
• Le critère de référence en matière de choix d’investissements 3. Rentabilité et efficacité opérationnelle
– Les différents critères selon les situations (TRI, temps de retour, etc.)– Applications
• Quels projet(s) retenir ? • Quand renouveler les équipements ?• Quand faut-il arrêter l’exploitation ? • Faut-il accorder un délai de paiement ? • Quelle politique de stockage ?
4. Investissement et planification stratégique en situation d’incertitude
• Valeur d’option• Gestion de portefeuilles stratégique
4
Plan
1. La problématique de l’investissement
2. La Valeur Actuelle Nette (VAN)
3. Rentabilité et efficacité opérationnelle
4. Investissement et planification stratégique en situation d’incertitude
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Investir
• Exemple : construire une nouvelle usine pour augmenter sa capacité de production de chaussures– Un coût d'investissement immédiat– Un flux futur de coûts et de bénéfices
• lié à l'augmentation du chiffre d'affaires sur le marchéde la chaussure).
– Définition du cash flow• recette des ventes - coûts matières premières – coût
personnel – frais financiers – impôts – dividendes
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La décision d’investissement
• Deux problèmes à résoudreProblème 1 : Prédire/évaluer le cash flow futur. Problème 2 : Comparer le cash flow estimé avec la dépense
d'investissement• Le 1er problème est de loin le plus difficile en pratique
– N'est pas traité dans le cours. Car spécifique à chaque activitééconomique
– On considère que le cash flow est connu sous la forme d'une distribution de probabilités
• Le second problème est le sujet du cours
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Le problème à résoudre
• Le critère "investissement rentable si dépense < cash flow" n'est pas adéquat car– la dépense est immédiate et les bénéfices sont futurs– la dépense est certaine et les bénéfices sont risqués
• Dans chapitres 1-5 du poly, on évacue le second problème en utilisant l'espérance statistique de cash flow (=> transforme le cash flow en équivalent certain)
• Le risque : traitée par le chapitre 6
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Plan
1. La problématique de l’investissement
2. La Valeur Actuelle Nette (VAN)
3. Rentabilité et efficacité opérationnelle
4. Investissement et planification stratégique en situation d’incertitude
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Le critère de la Valeur Actuelle Nette
• Gagner 10 euros aujourd'hui > gagner 10 euros dans un an• Notation
– un investissement d'un montant I dans un projet de durée N années qui génère un cash flow Bn en fin d’année n
• La Valeur Actuelle Nette :
• Si VAN > 0, l'investissement est rentable• a = taux d'actualisation
– reflète le coût d'attendre un an. a des liens très étroits avec le taux d'intérêt sur le marché des emprunts
1 (1 )
N
nn
BnVAN I
a=
⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥+⎣ ⎦∑
10
Les fondements microéconomiques de la VAN
• La VAN est le critère de choix rationnel d’un investisseur
• Cet investisseur a une fortune initiale I (= autofinancement)
• Doit-il la prêter ou investir?
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Scénario du prêt
• Prêter la somme I pendant N années au taux d'intérêt i• Notation
– I = fortune initiale, prêt sur N années– En = échéance en fin d’année n– Cn = capital restant dû en début d’année
• On a :Cn+1 = (1+i)Cn – En
• Et donc en particulierCN+1 =0 = (1+i)CN – EN
• Et aussiCN = (1+i)CN-1 – EN-1
• Ce qui implique0 = (1+i)2CN-1 – (EN + (1+i)EN-1)
12
La formule fondamentale du prêt• On poursuit jusqu'à C1 = I et on obtient
• Ou de manière équivalente :
• C’est la formule du prêt qui définit la relation entre le montant, le taux, les échéances et la durée d’un prêt
• Applications– Calculer le taux d’intérêt d’un prêt à partir des échéances – Calculer le montant maximal d’emprunt en fonction des capacités
de remboursement
0 = I(1 + i )N − En (1 + i)N−n
1
N∑
I =En
(1+ i)n1
N∑
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Fortune finale du prêteur ?
• Supposons qu'il n'y a qu'une échéance finale :EN (càd. E1=….=EN-1=0)
• On a donc une fortune finaleF = EN= I(1+i)N
• S'il y a des échéances intermédiaires, F est toujours égale à I(1+i)N car le prêteur fait "travailler" l'argent qui rentre en la prêtant ànouveau au taux i.
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Le scénario de l’investissement
• On investit la somme I dans un projet de durée N• rapporte un bénéfice Bn chaque fin d’année n• les Bn sont placés au taux i dès l’année (n+1
• La fortune finale F’ de l'investisseur est donc
F’= Σ Bn( 1+i)N-n
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Investissement si
1
1
' (1 ) (1 )
(1 ) /(1 )
(1 ) . ( ) 0
NN N n
n
NN n
n
N
F F I i B i
i I B i
i VAN i
−− = − + + +
⎡ ⎤⎢ ⎥= + − + +⎢ ⎥⎣ ⎦
= + >
∑
∑
VAN = − I +Bn
(1+ i)n1
N∑ > 0Et donc
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Taux d'actualisation et taux d'intérêt
• Dans notre analyse théorique– Le taux d’actualisation = le taux d’intérêt
• Dans la réalité, des concepts voisins :– Le taux d’actualisation capture
• Le taux d’intérêt offert à la firme sur le marché• Le taux auquel elle peut se faire rémunérer son
argent• Spécifique à chaque entreprise
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Inflation et actualisation
• Jusque là, nous avons raisonné en « euros courants » => les Bncroissent au fil du temps. Est-ce un problème ?
• Non car le taux d’actualisation (le taux d’intérêt) intègre l’inflation• Pour l’expliquer, raisonnons en euros constants (en euros
d’aujourd’hui, les Bn corrigés deviennent
avec f, le taux d’inflation• La VAN en euros constants s’écrit alors
• i’ le taux d’intérêt réel (hors inflation)• Raisonner en euros constants est donc inutilement compliqué
'(1 )
nn n
BB
f=
+
1 1
' (1 ) 1avec 1 '
(1 ) (1 ') 1
nN N
n n
B n f Bn iVAN I I i
i i f+ +
= − + = − + + =+ + +∑ ∑
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Effet de l’actualisation
110
3050
20%
10%
5%
0,00
100,00
200,00
300,00
400,00
500,00
600,00
700,00
800,00
900,00
1000,00
années
t aux d'act ual i sat i on
VAN de 10 0 0 € se l on l e s t a ux d' a c t ua l i sa t i on
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Plan
1. La problématique de l’investissement
2. La Valeur Actuelle Nette (VAN)
3. Rentabilité et efficacité opérationnelle
4. Investissement et planification stratégique en situation d’incertitude
20
Un critère similaire : le taux de rentabilité interne (TRI)
• Critère : Investissement si TRI > taux d'intérêt du marché• le TRI = la racine x = j du polynôme :
• Intuition• Les Bn sont équivalents aux échéances d’un prêt de montant I dont
le taux d’intérêt j serait tel que
TRI = taux du prêt à la rentabilité équivalente à celle de l'investissement
1
( ) 0(1 )
N
nBn
VAN x Ix
= − + =+∑
10
(1 )N
nBn
Ij
= − ++∑
22
Le biais du TRI (1)
• La VAN et le TRI ne fournissent pas toujours des résultats convergents
• Le TRI est biaisée au profit du court terme• La VAN est donc préférable• Voir poly pages11-12
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Le biais du TRI (2)
• Soient• 2 investissements dont les TRI j1 et j2 sont supérieures à i le taux
habituel du marché• Sont équivalents à 2 prêts de placement aux taux j1 et j2
• Ces prêts sont d’autant plus intéressants que les échéances sont tardives
• En effet, prolongent la valorisation aux taux j1 ou j2 au lieu de du taux i
• On peut donc avoir j1 > j2 et VAN1< VAN2
• si l’investissement 1 génère bcp plus de cash flow que l’investissement 2 en début de période
• L'échéancier des bénéfices est crucial
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Investissement avec plafonnement des sommes investis
• Dans la pratique, l’accès au capital est contraint• Le niveau d’endettement est limité• Tous les investissements avec VAN positive ne peuvent être
financés• Quels investissements choisir ?
• parmi K investissements indicés par k avec VANk > 0 et un plafond S
• Théoriquement, le programme d’optimisation s’écritMax Σ xk VANk, avec xk = 0,1sous la contrainte Σ xkIk < S
avec xk = 1 si investissement k est réalisé (sinon 0) et VANk est la VAN de l'investissement k
• Compliqué à résoudre (programmation linéaire en nombres entiers)
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Le critère du profit par euro investi
• Choix des investissements• ayant le plus grand VANk/Ik
• jusqu’à saturation de la contrainte
• Un critère approximant la solution rigoureuse mais plus facile à utiliser
• Plus fiable quand avec un grand nombre d’investissements (grand K)
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Le temps de retour (1)• Motivation
• Quand la somme des investissements S est plafonnée, à VAN identique, on préfère un investissement générant du cash flowrapidement
• Permet de réinvestir rapidement les Bn dans de nouveaux investissements.
• Le temps de retour actualisé T est la solution de l’équation:
• On investit si T < x années• Intuitivement
• Le temps nécessaire pour récupérer l’investissement initial
1
0(1 )
T
nBn
Ii
= − ++∑
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Le temps de retour (2)
• Critère très, très, très, très utilisé• Une variante encore plus utilisée
• le temps de retour non actualisé, solution de
• Quel seuil pour déclencher les investissements ?• Dépend du type d’investissement
• 1-3 ans pour un investissement opérationnel• Renouveler une machine
• Beaucoup plus pour un investissement stratégique• Une nouvelle usine, un nouveau produit
1
0T
I Bn= − + ∑
28
RésuméVAN TRI VAN/I T
Projets indépendants > 0 > itaux intérêt
Projets incompatibles max
Avec capital rationné maxsous
contrainte(complexe)
max < x ansun seuil variant selon la nature de l’investis-
sement
29
Cas des bénéfices constants
• Quand il y a rationnement du capital :Profit par euro investi <=> TRI <=> temps de retour• Démonstration
• Voir poly p 15
30
Investissements de durées différentes
• Notations• Soient I1 et I2, de durées différentes N1 et N2 avec
N1<N2
• VAN1 et VAN2 les VAN des deux projets
• Peut-on comparer VAN1 et VAN2 pour choisir le plus rentable ?• Non, pas directement.
31
Un premier raisonnement (faux)
• A la date N1, on place la fortune F1 au taux i • A la date N2, le projet 1 conduit donc à une fortune finale
F1( 1+i)N2-N1 = VAN1(1+i)N1(1+i)N2-N1 = VAN1(1+i)N2
• Par ailleurs, à la date N2, le projet 2 conduit à
F2 = VAN2(1+i)N2,
• On peut donc continuer à utiliser VAN1 et VAN2• FAUX :
• Dans un contexte industriel, on réinvestit à la date N1 (= nouveau cycle d'investissement) => on gagne plus qu'en plaçant sur le marché financier
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Second raisonnement (1)
• On intègre le renouvellement de l'investissement• A la date N1, on réinvestit à nouveau I1 et on compare
des programmes de durée identique
• Cas particulier : N2 = 2N1• On compare alors VAN2 à VAN1 + VAN1/(1+i)N1
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Second raisonnement (2)
• Si N1 et N2 sont quelconques, le plus simple est de comparer des programmes de durée infinie :
1
1
2
11 1
0
22
11(1 ) 1
(1 )
11(1 )
kNk
N
N
VANVAN VAN
ii
VANVAN
i
∞
== =
+ −+
=−
+
∑
34
Quelques formules utiles
12
0
0
1
11 ... 1
1
11
1 1 111(1 ) 1
1
N NN n
n
n
aa a a a si a
a
aa
i ii
+
+∞
+∞
−+ + + + = = <
−
=−
= − =+ −
+
∑
∑
∑
35
Les investissements peuvent être progressifs
• Exemples• Investissements immatériels préalables (R&D)• Échelonnement des projets et des dépenses d'investissement• Location de l'équipement
• La formule de la VAN se généralise facilement
• avec• Rn = recettes• Dn= dépenses totales (investissement+fonctionnement)• et R0 – D0 = I = investissement initial
0 (1 )
Nn n
nR D
VANi
−=
+∑
36
Applications 1 : Les délais de paiement
• Une pratique habituelle : un délai entre l'achat (ou la vente) d'un bien et le paiement des factures• 30, 60, ou 90 jours• Un crédit gratuit du fournisseur
• Quel est le coût de cette pratique ? Comment en optimiser l’utilisation ?
I
37
Coût actualisé des délais de paiement
Au démarrage de l'investissement, l'entreprise subit un délai de paiement des clients de durée t
Par rapport au scénario sans délai de paiement• perte > gain => Bilan
négatif• un bénéfice est amputée
des 2/3 sur 10 ans actualisé à 10%
t
I
perte =R
(1+ i)n1
t∑
gain =R
(1 + i)nN +1N + t∑
temps
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Technique de l’investissement complémentaire
• Pour le calcul de la VAN, on se ramène à un paiement au comptant en introduisant l'investissement complémentaire, payé comptant et revendu à la date N :
• A T=0, on paye Ic et on récupère Ic/(1+i)N à T= N.
1 (1 )t
c n
RI
i=
+∑
39
Illustrations
• Ic est un type particulier de fonds de roulement• Exemples
• Entreprise de main d’œuvre:• Ic > 0 car les salaires ne font pas l’objet de délais de
paiement• Grande distribution, assurance
• Ic < 0 car elles vendent avant de payer leurs fournisseurs
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Application 2 : le coût des stocks
• Existence de délais de fabrication et de vente• Stocks de produits semi-finis et finis
• Risque de rupture de stocks ou d’approvisionnement• Stocks divers de sécurité
• Comment évaluer ces stocks ?• Stock matières premières = évaluation fondée sur prix d'achat• Stock produits finis = coût de production si production > vente
mais prix de vente si cas contraire (ventes perdues pendant constitution du stock)
• Stock produits semi finis = recettes perdues pendant le remplissage du tuyau que constitue le processus de production
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Cas d’un stock de MP constitué en même temps que la production
Notations• Cn = coût achat MP• dn = dépense de fonctionnement• Rn = recette vente produit
12 mois
12
1 1
1
(1 ) (1 )
( )(1 )
Nn n
Nn
Cn Rn dnVAN I
i i
Rn dnI Ic
i
−= − − +
+ +−
= − + ++
∑ ∑
∑12
1 (1 )nCn
Ici
=+∑avec
42
Cas d’un stock de produits finis constitué avant la vente (pendant 1 an)
Notations• dn = dépense de
fonctionnement• Rn = recette vente
produit
12
1 12
1
(1 ) (1 )
( )(1 )
Nn n
Nn
dn Rn dnVAN I
i i
Rn dnI Ic
i
−= − − +
+ +−
= − + ++
∑ ∑
∑
12
1 (1 )nRn
Ici
=+∑
12 mois
avec (recettes non réalisées)
43
Cas d’un stock de produits finis constituépendant la vente (pendant 1 an)
Notations• Rn = recette vente produit• dn = dépense de fonctionnement
associée• d'n = dépense de fonctionnement pour
constitué le stock12 mois
12 ' Nd n Rn dn−1 1
1
(1 ) (1 )
( )(1 )
n n
Nn
VAN Ii iRn dn
I Ici
= − − ++ +
−= − + ++
∑ ∑
∑
avec12
1
'(1 )nd n
Ici
=+∑ (dépenses de fonctionnement)
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Un compte de résultat
Charges Produits
Charges d'exploitation : - Achats (hors investissement) - Salaires + charges sociales - Achat services extérieurs - Baisse de stocks MP
Produit d'exploitation - Production vendue - Augment. stocks de produits finis
=> Δ =P–C = Excédent Brut d'exploitation
Dotation aux amortissements (= I/N*)
=> Δ = Résultat d'ex-ploitation
Charges financières
=>Δ = Résultat avant impôt
Impôt sur les bénéfices Résultat (net)
=>Δ = Résultat net
Décrit les flux qui entrent et sortent de l’entreprise pendant une année
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La notion d’amortissement comptable
• L'investissement est considéré comme un stock, pas un flux• n'apparaît pas directement dans le compte de résultat
• Amortissement annuel de l'investissement I :An = I / N*
avec N* = durée de l'amortissement
• N* est fixé par des normes comptables pour de chaque catégorie d’investissement
• Pour des raisons fiscales et pour faciliter l’analyse comparée des comptes d’entreprise
• Dans le compte de résultat, l'amortissement décrit l'usure de l'investissement (un facteur d'obsolescence)
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Le bilan
• Description des stocks à une date donnée (fin de l'année) = compte de patrimoine
Actif(Emplois)
Passif(Ressources)
Immobilisations :Immobilisations
brutes- amortissements= Immobilisations
nettes
Fonds propres-Capital social-Réserves (= résultat
net - dividendes)Dettes LT
Actif circulant- stocks et en-cours- créances clients- caisse
Dettes CT (emprunts bancaires à moins d'un an)
Dettes fournisseurs
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Amortissement comptable (suite)
• Un investissement au début année 1• Fin année 1
• Immo brutes = Investissement = I=> Immo nettes = I – I/N*
• Fin année 2• Immo brutes = Immo nettes de l'année 1 = I – I/N*=> Immo nettes = I – 2I/N*
….• Fin année N*¨
• Immo nettes = I – (N*I)/N* = 0• L'investissement est « usé » ; il ne "vaut" plus rien dans le bilan
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Le résultat d’une entreprise mono-investissement
Avant impôtRn = Bn – An – CFn = Bn – I/N*
– CFnAvec :
• Rn= résultat avant impôt• Bn = EBE • An = amortissement comptable• I = investissement• N* = durée de l'amortissement
comptable (une convention)• CFn = charges financières
Après impôt• Impôt sur les "bénéfices" au
taux x = xRn• le bénéfice annuel net
d'impôt d'un investissement :Bn* = Bn –xRn
= (1-x)Bn + xAn + x.CFn• Il faut calculer la VAN avec
ce Bn*
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Conséquences de l’impôt sur le résultat sur la valeur de la VAN
• Elles sont triple
1. Bn (EBE)
2. d'un terme xAn= xI/N*. On a mais l'actualisation conduit à préférer un amortissement accéléré
3. d'un terme xCFn => on emprunte à un taux (1-x)i (i = taux d'intérêt marché)
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La décentralisation des choix d’investissements
• Tout ne peut pas être décidé en haut => décentralisation
• Quels investissements décentraliser ? Les types d'investissement :Par montant
• Par nature• amélioration locale de la productivité d'une production donnée• augmentation de la capacité de production d'une production
donnée• création d'une capacité de production pour un nouveau produit• dépense de R&D
• Les derniers types engagent le long terme de l'entreprise• Etre sur quels marchés ? Avec quelle part de marché ?• => moins décentralisable
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Investissements décentralisés
• Critères simples• temps de retour, TRI, VAN• sans prise en compte interdépendances financières ou
fiscales• avec encadrement du siège via des enveloppes max
d'investissement, un tri final, ou des seuils minimaux de rentabilité
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Raisonnement par portefeuille d’activités
• Au niveau du siège, comment arbitrer entre les activités ? • Un exemple d’outil : la matrice stratégique BCG ("Boston Consulting
Group")
• Peu de besoin d'investissement : vaches à lait, poids morts• Gros besoin : Etoile, et éventuellement les dilemmes
Part de marché relative
Croissance marchéFaible Forte
Forte Dilemme ÉtoileFaible Poids mort Vache à lait
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Plan
1. La problématique de l’investissement
2. La Valeur Actuelle Nette (VAN)
3. Rentabilité et efficacité opérationnelle
4. Investissement et planification stratégique en situation d’incertitude
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Les projets risqués
• Evaluer la rentabilité exige d’évaluer des bénéfices futurs et donc incertains
• Exemples• Le lancement d'un nouveau produit :
• Faut-il lancer un produit développé en interne ou vendre le brevet ?
• Le marché accessible est incertain, la concurrence est inconnue. Faut-il lancer des études intermédiaires pour évaluer le marché ? A quel coût ?
• Quel critère utiliser lorsqu’il y a des incertitudes sur les conséquences des décisions?
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Le critère classique de l'espérance statistique
• Exemple• Un projet pour explorer un gisement d’hydrocarbure coûte 100M €
et la probabilité de trouver un gisement exploitable est de 20%.
• En cas de succès, deux possibilités équiprobables : • le gisement est moyen (VAN= 400M€) • ou important (VAN= 750M€)
• Au total, la moyenne du revenu est donc0,8(0-100) + 0,1(400-100) +0,1(750-100)= 1,5M€
• C’est l’espérance statistique du revenu• On y tendrait si on pouvait réitérer la loterie un très grand nombre
de fois
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Inconvénients de cette approche
• Difficile de quantifier de manière fiable les probabilités d’occurrence de certains événements• Lorsqu’on ne dispose pas de probabilités par l’expérience, on
utilise des probabilités subjectives par opposition à des probasobjectives.
• Distinction risque et incertitude :• Risque : La liste des évènements possibles est connu =>
probabilisable• Incertitude : L'ensemble des évènements possibles n'est pas
connu => non probabilisable• Enfin, le problème majeur, ce critère ne donne aucun coût
au risque
57
Mesurer le risque
• Soit 2 projets, avec cash flows Bj équiprobables selon les états de la nature
• Plus la dispersion des résultats possibles est grande, plus le projet est risqué.
• Pour une même espérance, on préfère le projet A, dont la variance est moindre
Var (Bj) = E(B-E(B))²
• Le risque a un coût. C’est la notion d’aversion au risque.
+300k€+200k€+100k€0 k€
+400k€
+250k€
+50k€
-100k€
+150k€+150k€
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D’autres critères sont possibles
• Critères de prudence• qui donnent un coût implicite au risque
• Le Maximin• La maximisation du gain minimal• Exemple : le temps de trajet
=> On choisit la petite route
décision trafic fluide trafic dense
gde route 20mn 60mn
petite route 45mn 50mn
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Le minimax regret
• Minimiser le regret maximal• Matrice des regrets :
=> On prend la grande route• La faiblesse de ces critères est qu’il donne par hypothèse un
coût au risque qui est spécifique à chacun => leurs résultats sont souvent divergents
décision trafic fluide trafic dense
Gde route 0 10
petite route 25 0
60
Réduire le risqueSolution 1: La diversification du portefeuille
Deux projets A et B :
• Illustration = les sociétés d'assurance
Valeur proba P(A) P(B) P(C=½A+½B)
TB 0.1 150 -50 50
B 0.2 100 0 50
Maussade 0.3 50 50 50
Mauvais 0.4 0 100 50
61
Solution 2: La flexibilité• Exemple : Une entreprise envisage de remplacer une machine (A) achetée
l’an dernier par une nouvelle (B)
• La machine A peut être reprise à 7000€ par le vendeur de la machine B.• La vente annuelle de 100 000 distribuée comme suit :
– V1 = 190 000 avec p1= 0,2 – V2 = 100 000 avec p2 = 0,3 – V3 = 64 000 avec p3= 0,5
⇒ les capacités peuvent être insuffisantes !
Machine A Machine B
Prix d'achat 8000 14000Durée de vie 8 ans (-1) 7 ansCoût production 0,38 0,35Prix de vente du produit 0,5 0,5
Vente annuelle espérée (risqué) 100 000 100 000
62
Calcul de la VAN
• Hypothèse : on n’actualise pas• L'investissement initial
Io= 14 000- 7000 = 7000• les 3 scénarios de production :
• Production P1 = 100 000 avec p1= 0,2 (<V1)• Production P2 = 100 000 avec p2 = 0,3• Production P3 = 64 000 avec p3= 0,5
• Une VAN = p1VAN1 + p2VAN2 + p3VAN3 = 4975 > 0(Il faut calculer E[VAN (P)] et pas VAN [E(P)] )
• Suggère d’acheter la machine B et de revendre la machine A
63
Faut-il conserver la machine A pour faire face à l'éventuel pic de production ?
• On doit comparer • le prix de reprise (7000€)• le fait de générer du cash flow avec la vente de 90000 unités
supplémentaires avec une probabilité de 0,2 pendant 7 ans (8551€).
• Donc on garde la machine A• Garder la machine fournit une flexibilité qui est rentable• Garder la machine <=> « Option de changer la capacité de
production ».• La valeur intrinsèque de la flexibilité = la valeur d’option
64
Solution 3 : Collecter de l'information avant de prendre une décision définitive
• Les arbres décisions-hasard permettent d’analyser ces contextes informationnels évolutifs
• Exemple d’un forage pétrolier• Un puits d’exploration peut se révéler de manière équiprobable
être un gisement moyen ou bon :R1 = -150 ou R2 = 500.
• A priori, E(R) = 0,5*(500-150) = 125• Est-il intéressant de forer un petit puits qui coûte 50 pour réduire
l’incertitude ?
65
(suite)
• L’exploration peut avoir 2 résultats : présomption d’un bon gisement ou d’un gisement faible :• E1 = présomption d'un mauvais gisement• E2 = présomption d'un bon gisement.
• Avant l’exploration, les géologues sont capables d’estimer la probabilité conditionnelle de Ei sachant Rj = p(Ei | Rj)
• On suppose que les p(Ei | Rj) sont les suivants
R1 R2
E1 0,95 0,2
E2 0,05 0,8
66
L’arbre décisions-hasard
• Les décisions ( ) doivent prendre en compte les aléas ( ) affectant les résultats
• Problème: Pour calculer les gains espérés, on a besoin de connaître p(Ei) et p(Rj| Ei) alors que l’on ne connaît que p(Rj) et p(Ei| Rj)
E1
E2
Expl.
Non expl.
R1
R2
R1
R2
Expl.
Non expl.
67
(suite)• En fait, on a
p(E1)= p (E1| R1)p(R1) + p (E1| R2)p(R2) = 0,575• Et donc p(E2)= 1- p(E1)= 0,425• De plus, la Loi de Bayes permet d'écrire
p(R1| E1)= p (E1| R1)p(R1) / p(E1) = 0,82• On procède de même pour p(R1| E1), …• On obtient ainsi les p(Rj| Ei) :
E1 E2
R1 0,82 0,06
R2 0,18 0,94
68
(Suite)
• On en déduit que si le résultat du forage est E1, alors on ne développera pas, sinon on développera.
• Le forage d’exploration est rentable puisque :– Sans forage préalable, VAN = 125– Avec forage, VAN = - 50 + (0.575*0)+(0.425*461)= 146
E1
E2
Expl.
Non expl.
R1 = -150 => E(R1) = -123
R2 = 500 => E(R2) = 90
R1 = -150 => E(R1) = - 9
R2 = 500 => E(R2) = 470Expl.
Non expl.
0.18
0.06
0.94
- 33
+ 461
0.82