11/5 PARTICELLE IDENTICHE bozza 07/08 1 PARTICELLE IDENTICHE Particelle che abbiano le stesse caratteristiche fisiche sono identiche . Per caratteristiche fisiche di una particella intendiamo le sue propriet` a fisiche permanenti (quali massa, carica, spin, ... ). Nota In realt` a la distinzione tra propriet` a fisiche permanenti e non permanenti non ` e cos` ı netta come appare a prima vista. Torneremo in seguito su questo punto. Identit` a e indistinguibilit` a In meccanica classica due o pi` u particelle identiche sono comunque distinguibili poich´ e le traiettorie permettono di identificarle per mezzo delle condizioni iniziali. In meccanica quantistica le particelle identiche sono in generale indistinguibili poich´ e il formalismo non permette di introdurre il concetto di traiettoria. Definizione di sistema di N particelle identiche ` E un sistema per il quale ogni grandezza fisica G ha la propriet` a (1) G(ˆ x 1 , ˆ p 1 , ˆ s 1 ,... ˆ x N , ˆ p N , ˆ s N )= G(ˆ x p 1 , ˆ p p 1 , ˆ s p 1 ,... ˆ x p N , ˆ p p N , ˆ s p N ) per ogni permutazione p 1 ,p 2 ,...p N degli indici di particella 1, 2,...N . La condizione (1) deve essere vera in particolare per l’operatore hamiltoniano, ma non solo , deve essere vera per tutte le grandezze fisiche. Ruolo degli operatori fondamentali Gli operatori fondamentali non rappresentano grandezze fisiche ! Anche se non rappresentano grandezze fisiche, gli operatori fondamentali sono indispensabili per la costruzione del formalismo. E infatti li abbiamo gi` a usati nel formulare la stessa condizione (1). Anche se gli operatori ˆ G soddisfano la condizione (1) essi sono operatori in H = H 1 ⊗ H 2 ⊗···⊗ H N . Cominciamo quindi la costruzione del formalismo formando lo spazio H e considerando in questo gli operatori ˆ G.
21
Embed
PARTICELLE IDENTICHE - pv.infn.itrimini/MeccanicaQuantistica/MeccanicaQuantistica... · supponendo che nello spazio sico R3 esista una super cie che le particelle non possono attraversare,
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
11/5 PARTICELLE IDENTICHE bozza 07/08 1
PARTICELLE IDENTICHE
Particelle che abbiano le stesse caratteristiche fisiche sono identiche.
Per caratteristiche fisiche di una particella intendiamo le sue proprieta fisiche permanenti
(quali massa, carica, spin, . . . ).
Nota
In realta la distinzione tra proprieta fisiche permanenti e non permanenti
non e cosı netta come appare a prima vista.
Torneremo in seguito su questo punto.
Identita e indistinguibilita
In meccanica classica due o piu particelle identiche sono comunque distinguibili
poiche le traiettorie permettono di identificarle per mezzo delle condizioni iniziali.
In meccanica quantistica le particelle identiche sono in generale indistinguibili
poiche il formalismo non permette di introdurre il concetto di traiettoria.
Definizione di sistema di N particelle identiche
E un sistema per il quale ogni grandezza fisica G ha la proprieta
e quindi, dall’invarianza di H LR per G(1, 2), segue che
tutti i sottospazi H ab sono invarianti per G(1, 2).
Dalla (17) segue anche che
(18) T−1ab G(1, 2)Tab = G(1, 2),
cioe l’isomorfismo Tab non muta gli operatori G(1, 2).
Se T = TabT−1a′b′ e l’isomorfismo che porta dallo spazio H a′b′ allo spazio H ab
e Gab(1, 2) sono gli operatori che descrivono le grandezze fisiche nello spazio H ab,
la trattazione del sistema nei due spazi da gli stessi risultati fisici
ove si usino nello spazio H a′b′ gli operatori
T−1Gab(1, 2)T.
Poiche, in conseguenza della (18), T non muta gli operatori Gab(1, 2),
la trattazione del problema di una particella in ciascuna regione
nei diversi H ab con gli stessi operatori G(1, 2) di H LR ⊕H RL da sempre gli stessi risultati.
Le scelte (H LR ⊕H RL)+ e (H LR ⊕H RL)−,
corrispondenti secondo il principio generale
a "un bosone in ciascuna regione" e "un fermione in ciascuna regione",
sono equivalenti
alle scelte H LR e H RL,
corrispondenti secondo il principio di simmetrizzazione o antisimmetrizzazione limitata
a "particella 1 in L, particella 2 in R"e "particella 1 in R, particella 2 in L".
Nota
Tutte le altre scelte sono possibili, anche se stravaganti.
Ad esmpio possiamo trattare il sistema "un bosone in ciascuna regione" nello spazio (H LR ⊕H RL)−.
11/5 PARTICELLE IDENTICHE bozza 07/08 15
Generalizzazione
Un’ovvia generalizzazione del risultato ottenuto nel caso semplice teste discusso
conduce ad affermare il principio che,
in presenza di una o piu barriere invalicabili,
la simmetrizzazione o l’antisimmetrizzazione possono essere limitate
alle perticelle della medesima specie confinate nella medesima regione.
11/5 PARTICELLE IDENTICHE bozza 07/08 16
ISOSPIN
Le particelle possono avere, oltre allo spin, altre proprieta interne,
che sono descritte in un ulteriore spazio di Hilbert
che moltiplica tensorialmente lo spazio L2(R3)⊗ `2s+1.
Un esempio di particella cosiffatta e il nucleone,
che si introduce quando l’essere protone e l’essere neutrone
sono considerati stati interni diversi della medesima particella, il nucleone appunto.
Nota
L’utilita dell’introduzione del nucleone discende dal fatto che,
a parte le diverse interazioni elettromagnetiche,
le masse di protone e neutrone sono praticamente uguali
e le rimanenti interazioni (nucleari) sono uguali.
Il discorso che sara fatto per il protone e il neutrone
potrebbe, formalmente, ripetersi anche per due tipi di particelle di spin 12 completamente diversi,
ad esempio il protone e l’elettrone.
Ma sarebbe scarsamente utile.
Un formalismo analogo a quello per il nucleone
puo invece essere introdotto utilmente per altri multipletti di particelle,
ad esempio il tripletto dei pioni, π+, π0, π−.
Sistema di un nucleone
Spazio di Hilbert
Possiamo costruire lo spazio di Hilbert del sistema di un nucleone come somma diretta
dello spazio di Hilbert di un protone H p e dello spazio di Hilbert di un neutrone H n,
(19) H = H p ⊕H n.
! //
! // L 2(R3)⊗ `2L 2(R3)⊗ `2
Costruito H , la sua scomposizione (19) in H p e H n
e analoga alla scomposizione (5) operata nel caso della barriera invalicabile.
Poiche i due termini hanno in questo caso la stessa struttura, possiamo scrivere
H = L 2(R3)⊗ `2 ⊗ `2 = L 2(R3)⊗ `σ2 ⊗ `τ2 ,
dove `τ2 e lo spazio di Hilbert nel quale descriveremo, per mezzo di due stati ortogonali,
la proprieta del nucleone di essere protone o neutrone.
11/5 PARTICELLE IDENTICHE bozza 07/08 17
Grandezze fisiche
Se identifichiamo gli stati di protone e di neutrone rispettivamente con i vettori di stato in `τ2
(20)(
10
)e
(01
),
questi sono gli autovettori della terza matrice di Pauli in `τ2
τ3 =(
1 00 −1
)corrispondenti agli autovalori +1 e −1.
Indichiamo con τ3 l’operatore che agisce come l’identita in L 2(R3)⊗ `σ2ed e rappresentato dalla matrice τ3 nella rappresentazione dei vettori (20) in `τ2 .
L’operatore t-3 = 12 τ3 descrive la grandezza fisica del nucleone, detta isospin,
che distingue tra il protone (valore + 12 ) e il neutrone (valore − 1
2 ).
E conveniente introdurre i proiettori sugli stati di protone e neutrone,
che sono rappresentati in `τ2 dalle matrici
Pp =(
1 00 0
)e Pn =
(0 00 1
)e sono le funzioni di τ3
Pp = Pp(τ3) = 12 (1 + τ3) e Pn = Pn(τ3) = 1
2 (1− τ3).
Gli operatori fondamentali del sistema nucleone sono
gli operatori x, p, s, che agiscono nel modo noto in L 2(R3)⊗ `σ2 e sono l’identita in `τ2 ,
e l’operatore di isospin t-3.
Tutte le grandezze fisiche del nucleone sono costruite con questi operatori.
Posto {x, p, s} ≡ A e {A, t-3} ≡ B, sia la grandezza fisica G descritta
dall’operatore Gp(A) nel caso del protone e dall’operatore Gn(A) nel caso del neutrone.
Allora la grandezza G del nucleone e descritta dall’operatore
(20′) G = Gp(A)Pp( t-3) +Gn(A)Pn( t-3) = G(B).
Ad esempio sono grandezze fisiche del nucleone
l’energia, H = HpPp + HnPn,
dove Hp = 12mp
(p− e0
c A(x))2
+ Vp(x, p, s), Hn = 12mn
p2 + Vn(x, p, s),
l’isospin, t-3,
la carica, Q = e0Pp + 0Pn = e0(
12 + t-3
),
il momento magnetico, µ = s (µpPp + µnPn) = s(
12 (µp+ µn) + (µp− µn) t-3
).
Le ultime due erano, prima dell’introduzione del nuovo formalismo,
proprieta del protone e del neutrone differenti per i due;
ora sono grandezze fisiche del nucleone.
11/5 PARTICELLE IDENTICHE bozza 07/08 18
Sottospazi invarianti
Il fatto che l’unico operatore fondamentale agente in `τ2 sia l’operatore diagonale t-3 fa sı che
(21) H p e H n
siano sottospazi invarianti.
L’esistenza dei sottospazi invarianti H p e H n
e analoga all’esistenza dei sottospazi invarianti (7) nel caso della barriera invalicabile.
Introdurre la particella nucleone ovvero introdurre il formalismo dell’isospin
significa mantenere la descrizione in H
nonostante l’esistenza dei sottospazi invarianti.
Naturalmente si perde l’irriducibilita e agisce una regola di superselezione,
cioe gli stati di protone e gli stati di neutrone non possono trasformarsi gli uni negli altri,
ne sono fisicamente possibili stati sovrapposizione di quelli e di questi.
Notiamo l’analogia tra la scomposizione (5) e l’elenco (7) da un lato
e la scomposizione (19) e l’elenco (21) dall’altro.
Osserviamo che, per introdurre il formalismo dell’isospin,
siamo partiti dai due spazi di Hilbert H p e H n e abbiamo costruito lo spazio H = H p ⊕H n.
Nel caso della barriera invalicabile siamo partiti dallo spazio H
e lo abbiamo scomposto scrivendo H = H L ⊕H R.
A parte l’inversione del percorso, le due situazioni sono formalmente identiche.
11/5 PARTICELLE IDENTICHE bozza 07/08 19
Sistema di due nucleoni
Spazio di Hilbert
Lo spazio di Hilbert del sistema dei due nucleoni e
(22) H = H (1)⊗H (2).
Ciascuno spazio di nucleone singolo H (α), α = 1, 2,
e la somma diretta di due sottospazi ortogonali
(23) H (α) = H p(α)⊕H n(α).
Allora lo spazio di Hilbert H si puo scrivere come la somma diretta di sottospazi ortogonali
H = H p(1)⊗H p(2)︸ ︷︷ ︸ ⊕ H n(1)⊗H n(2)︸ ︷︷ ︸ ⊕ H p(1)⊗H n(2)︸ ︷︷ ︸ ⊕ H n(1)⊗H p(2)︸ ︷︷ ︸ . ! // ! // ! // ! //H pp H nn H pn H np
Si possono poi effettuare (con ovvio significato dei simboli) le ulteriori scomposizioni in sottospazi ortogonali
H pp = H +pp ⊕H −
pp,
H nn = H +nn ⊕H −
nn,
H pn ⊕H np = (H pn ⊕H np)+ ⊕ (H pn ⊕H np)−.
Grandezze fisiche
Indicando con α ≡ Bα ≡ {Aα, t-α3 }, dove Aα ≡ {xα, pα, sα}, gli operatori fondamentali del nucleone α,
gli operatori fondamentali del sistema di due nucleoni sono
{A1, t-13} ≡ B1 ≡ 1, {A2, t-
23} ≡ B2 ≡ 2 .
Tutte le grandezze fisiche del sistema sono costruite con questi operatori.
Posto
Pp(α) = 12
(1 + τα3
), Pn(α) = 1
2
(1− τα3
), con la proprieta Pp(α) + Pn(α) = Iα,
i proiettori sugli stati di due protoni, di due neutroni, di un protone e un neutrone sono rispettivamente
Ppp(1, 2) = Pp(1)Pp(2) = Ppp(2, 1),
Pnn(1, 2) = Pn(1)Pn(2) = Pnn(2, 1),
Ppn(1, 2) = Pp(1)Pn(2) + Pn(1)Pp(2) = Ppn(2, 1),
che proiettano rispettivamente sui sottospazi H pp, H nn e H pn ⊕H np di H .
11/5 PARTICELLE IDENTICHE bozza 07/08 20
Sia la grandezza G descritta
per il sistema di due protoni dall’operatore Gpp(A1, A2),
per il sistema di due neutroni dall’operatore Gnn(A1, A2),