Parte01_12

INGENIERA DE PROCESOS INVESTIGACIN OPERATIVA

2014

OPTIMIZA 10

INVESTIGACIN OPERATIVA INGENIERA DE

PROCESOS

Ing. Alejandro Roberti

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Optimiza10 Investigacin Operativa Ingeniera de Procesos

Ing. Alejandro Roberti Departamento de Tecnologa

Universidad Nacional de Lujn 2013 REVISION 2014

Colaboracin de Ings. Gustavo Chijani y Vernica Esain

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Los que mandan generalmente mueven las manos y dicen He considerado todas las alternativas. Pero eso es casi siempre basura. Lo ms probable es que no pudiesen estudiar todas las combinaciones. George B. Dantzig, en una entrevista publicada en The College Mathematical Journal, marzo de 1986.

Considere el problema de asignar 70 hombres a 70 empleos. Una actividad consiste en asignar el i-simo hombre al j-simo empleo. Las restricciones son dos: en primer lugar hay 70 hombres, cada uno de los cuales debe asignarse a un puesto, y en segundo lugar, cada uno de los 70 puestos existentes debe estar ocupado. El nivel de una actividad puede ser 1, lo cual indica que est siendo usada, o 0, lo cual significa que no. En consecuencia hay 2 x 70 = 140 restricciones y 70 x 70 = 4900 actividades con 4900 variables correspondientes de decisin uno-cero. Por desgracia tambin hay factorial de 70 permutaciones o formas de hacer las asignaciones. El problema consiste en comparar este factorial de 70 formas y elegir la que sea ptima o mejor segn algn criterio previamente establecido. En el ejemplo anterior, factorial de 70 es un nmero muy grande. A fin de tener una idea de que tan grande es, supngase que se hubiese tenido una computadora IBM del tipo main-frame en el instante en que ocurri el Big-Bang hace quince millones de aos. Habra podido, entre ese entonces y ahora, examinar todas las soluciones posibles? No! No obstante, supngase que se hubiese tenido una computadora an ms poderosa, una que pudiese examinar mil millones de asignaciones por segundo. La respuesta seguira siendo negativa. An si la tierra se llenase con computadoras cuyas rapideces fueran de nanosegundos, todas ellas trabajando en paralelo, la respuesta aun sera no. Sin embargo, si existiesen diez tierras, todas ellas con computadoras del tipo mencionado, todas programadas en paralelo desde el instante del Big-Bang hasta que el sol fuese una esfera fra, entonces quiz la respuesta podra ser s. Lo notable es que el mtodo Simplex, con la ayuda de una computadora moderna, puede resolver este problema en una fraccin de segundo. Cuando el problema de la planeacin (SIC) fue formulado inicialmente para la Fuerza Area, no exista la nocin exacta de una funcin objetivo, la idea de una meta claramente definida. Por supuesto, tenamos slo un falso respeto hacia el concepto de objetivo. En el discurso de los militares escuch a menudo decir, nuestro objetivo es ganar la guerra. En el mundo de los negocios se escuchara quizs nuestro objetivo es obtener ganancias. Sin embargo era imposible hallar alguna relacin directa entre la meta establecida y las acciones emprendidas para tal fin. Si se estudiaba con cuidado el paso siguiente, se poda ver que algn lder haba promulgado un montn de reglas bsicas que, en su concepto, llevaran a la meta. Esto distaba mucho de lo que sera honestamente estudiar todas las combinaciones alternativas de las acciones a seguir para elegir la mejor combinacin. Los que mandan generalmente mueven las manos y dicen He considerado todas las alternativas. Pero eso es casi siempre basura. Lo ms probable es que no pudiesen estudiar todas las combinaciones. Antes de 1947 era inconcebible pensar en la existencia de una herramienta como la programacin lineal que permitiese examinar millones de combinaciones. No haba algoritmo ni herramienta computacional que pudiera hacer eso.

No descubr el modelo de la programacin lineal en un instante, sino que tuvo un proceso de evolucin. Se dedic casi un ao completo a la tarea de decidir si mi modelo podra ser utilizado en la formulacin de problemas prcticos de distribucin de tiempos. Como Ud. sabe, la planeacin y la distribucin de tiempos se llevaron a una escala inmensa durante la guerra. El funcionamiento de la Fuerza Area fue equivalente al funcionamiento de la economa de toda una nacin. En el proceso intervinieron cientos de miles de personas. La logstica tuvo una magnitud difcil de entender para alguien que no haya estado all. Mi colega Marshall Wood y yo revisamos miles de situaciones tomadas de nuestra experiencia durante la guerra. Las reglas bsicas empleadas en la planeacin se expresaban en un formato completamente distinto del que se emplea en la actualidad para formular un programa lineal. Lo que hicimos fue revisar estas reglas una por una y demostrar que casi todas ellas podan reformularse aceptablemente en un formato de programacin lineal. Pero no todas. En algunos casos era necesario tomar en cuenta el carcter discreto de las variables y las no convexidades. Cuando formul por primera vez mi modelo de programacin lineal, lo hice sin una funcin objetivo. Estuve luchando por algn tiempo con la adicin de reglas bsicas para elegir de entre las soluciones factibles la que en algn sentido fuese ptima. Pero pronto abandon esta idea y la sustitu por la de una funcin objetivo a ser maximizada. El modelo que formul no estaba hecho especficamente para fines militares. Poda aplicarse a toda clase de problemas de planeacin; todo lo que tena que hacerse era cambiar los nombres de las columnas y los renglones, y entonces era aplicable a un problema de planeacin econmica lo mismo que a un problema de planeacin industrial. George Dantzig, circa 1987.

Equipo docente que colabor en la redaccin de este trabajo: Ing. Gustavo Chijani. Ing. Vernica Esain.

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primera parte CONTENIDOS:

PRIMERA PARTE Tomo 1 (este tomo) INTRODUCCIN: INVESTIGACIN OPERATIVA CAPITULO 1 SISTEMAS, MODELOS Y PROBLEMAS CAPTULO 2 PROGRAMACIN LINEAL. MODELO CAPTULO 3 PROGRAMACIN LINEAL. SIMPLEX DANTZIG CAPTULO 4 PROGRAMACIN LINEAL. RESOLUCIN EN COMPUTADORA CAPTULO 5 PROGRAMACIN LINEAL ENTERA. TRANSPORTE CAPTULO 6 PROGRAMACIN LINEAL BINARIA CAPTULO 7 PROGRAMACIN LINEAL EN REDES. MODELOS DE TRASBORDO Y FLUJO CAPTULO 8 REDES CON SECUENCIAS ESTABLECIDAS. VIAJANTE DE COMERCIO CAPTULO 9 TOMA DE DECISIONES CAPTULO 10 INVESTIGACIN DE MERCADO Y TOMA DE DECISIONES MULTINIVEL CAPTULO 11 TEORA DE JUEGOS CAPTULO 12 TEORA DE JUEGOS. JUEGOS NO COOPERATIVOS CAPTULO 13 MODELOS DE INVENTARIO CAPTULO 14 TCNICAS DE ADMINISTRACIN DE PROYECTOS CAPTULO 15 UTILIZACIN DE SOFTWARE EN ADMINISTRACIN DE PROYECTOS CAPTULO 16 MODELOS DE COLAS CAPTULO 17 SIMULACIN CAPTULO 18 ESTUDIOS DE CASOS DE SIMULACIN ANEXOS INDICE SEGUNDA PARTE Tomo 2 CAPTULO 19 DISEO DE EXPERIMENTOS CAPTULO 20 TEORA GENERAL DE SISTEMAS CAPTULO 21 GENERACIN DE NMEROS ALEATORIOS CAPTULO 22 MTODO DE MONTECARLO CAPTULO 23 SIMULADORES CAPTULO 24 PREDICCIN. MODELOS CAPTULO 25 PREDICCIN. ANLISIS DE MARKOV CAPTULO 26 PROGRAMACIN MULTIOBJETIVO Y POR METAS TERCERA PARTE Tomo 3 CAPTULO 27 FUNDAMENTOS DE INFORMTICA. CAPTULO 28 CPU CAPTULO 29 SISTEMAS OPERATIVOS CAPTULO 30 PLC. PROGRAMACIN Y SIMULACIN CAPTULO 31 SOFTWARE PARA INGENIERA.

OPTIMIZA EDICION 10.1

LUJN - AGOSTO DE 2013. REVISIN 10.1 FEBRERO 2014

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INTRODUCCIN: INVESTIGACIN OPERATIVA

Si bien desde hace varios siglos han existido estudios y avances sobre temas tales como la toma de decisiones, optimizacin de mtodos y procesos y gerenciamiento de proyectos complejos, se puede afirmar que el conjunto de tcnicas que hoy llamamos Investigacin Operativa se origina poco antes de la Segunda Guerra Mundial, en los Laboratorios Bell y en la Cadena de Radiodifusin (Broadcasting) Columbia (CBS). Alexander Graham Bell (1847-1922), inventor de origen ingls, debe su fama al desarrollo comercial del telfono y a sus estudios para limitar los efectos de la sordera. Desarroll, como es sabido, el concepto de telefona a partir de investigaciones sobre el telgrafo, creando en 1877 la Compaa Bell, posteriormente fund dos revistas: National Geographic Society y Science, participando tambin en

inventos tales como el tren de aterrizaje triciclo de los aviones, el alern y el aliscafo. Es, para este trabajo, de inters el desarrollo que a la Investigacin Operativa brind un grupo de investigacin de la empresa Bell que en la dcada de los 1930 abord el estudio sistemtico de redes complejas. La Investigacin Operativa cobra forma en la dimensin actual cuando la Fuerza Area Real Britnica (RAF) crea un equipo de Investigacin de Operaciones ante la eminencia de ataques masivos alemanes en esa Nacin. En conjunto, el almirantazgo se propone aumentar la eficiencia en el hundimiento de los submarinos que amenazaban con cortar la lnea de suministros vitales para el pas. El concepto abordado era que para poder sincronizar y optimizar adecuadamente la defensa area y naval del territorio se enfocara el problema como un sistema en el que se requiere la opinin de varios especialistas de diversas disciplinas y no solo de militares. En ese equipo participan observadores del Ejrcito de Estados Unidos, que posteriormente siguieron desarrollando mtodos que se emplearon en operaciones varias, como misiones de bombardeo, el desembarco en Normanda, el ataque atmico a Japn y los bombardeos a la llamada zenda de Ho Chi Min en la guerra de Viet-Nam (aunque en este caso la malaria y la disentera fueron ms eficaces). Posteriormente a la guerra mundial, en el mbito civil, tanto Bell Laboratories como CBS avanzan en diseo de telefona por relevadores y optimizacin de redes de radio televisin, respectivamente. Ms adelante se comentar que tanto la Armada de Estados Unidos emple por ese entonces, tcnicas novedosas en proyectos militares como la adopcin de nuevas tecnologas en la firma de productos qumicos Dupont. George Datzing1, acadmico del Instituto Tecnolgico de Massachussets present a fines de los aos 40 el algoritmo Simplex y la Fuerza Area de Estados Unidos publica en los aos 60 la

1 George Dantzig (1914-2005), matemtico estadounidense hijo de padre ruso y madre polaca. Es partcipe de una ancdota que se

ha convertido en leyenda urbana y por tanto deformada que se puede resumir como sigue: Tras obtener la licenciatura en matemticas por la Universidad de Maryland, Dantzig obtuvo un puesto de asistente en Berkeley, y comenz a realizar sus estudios de doctorado con Jerzy Neyman. Cierto da lleg tarde a clase, y vio como el Prof. Neyman haba escrito dos problemas en la pizarra. Se trataba de dos ejemplos famosos de problemas estadsticos no resueltos an, pero Dantzig crey que eran tarea de clase. Intent resolverlos en casa, y aunque segn sus propias palabras parecan ms difciles de lo habitual, finalmente complet la resolucin y se las entreg a Neyman unos das ms tarde, disculpndose por el retraso. Seis semanas ms tarde, Neyman fue a buscarlo muy

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utilizacin de ese mtodo para optimizar las misiones de bombardeo masivo sobre la senda de Ho-Chi-Minh en la guerra de Vietnam, nica ruta de aprovisionamiento del Vietcong. Posteriormente, las Escuelas Superiores de Guerra adoptan la investigacin de Operaciones en sus cursos regulares y el anlisis de sistemas de armas. En esta publicacin se recopilan tcnicas diversas, que constituyen lo que se denomina Investigacin Operativa que fueron empleadas por los economistas y administradores y luego por todas las ramas de la ingeniera. Se aplica a diversas situaciones, por ejemplo:

a) Procesos de asignacin de recursos. Caracterizados por el limitante de recursos disponibles, (materias primas, inversin, horas-mquina, horas-hombre), y la asignacin de estos recursos limitados de manera ms eficiente con el costo mnimo, mnimo tiempo, mnimo de desperdicios, trabajo ms eficiente,... b) Proceso de sustitucin o reemplazo, que puede realizarse de manera preventiva o correctiva, ya sea por vejez, desgaste, o por muerte sbita. c) Procesos de Inventarios. Tienen como poltica resolver problemas de almacenes, relacionado con: cunto ha de ordenarse en cada ocasin?, y cundo debe ordenarse dicha cantidad?, en base a minimizar el costo total. Se obtiene el modelo de eficacia que permita el equilibrio entre los costos y los de deterioro de inventarios. Se determinan los costos de mantenimiento de inventario, costo de ordenar, costo unitario de faltantes, costo unitario de llevar inventario, costo de oportunidad. d) Procesos de lneas de espera, o Teora de Colas. Su caracterstica es el nmero de clientes que llega a solicitar cierto servicio, en funciones de distribuciones probabilsticas tanto en tiempos de llegada del cliente, como la del servicio de la lnea de espera del centro del servicio. Ya que ambas distribuciones son distintas, la cola se generar en funcin al tiempo promedio de llegada con el tiempo promedio de servicio. e) Proceso competitivo. Se utiliza la Teora de Juegos, caracterizndose por la existencia de al menos dos competidores con varias estrategias a seleccionar. El fin es determinar la seleccin siguiente en base a probabilidades, teniendo en cuenta la primera seleccin de los competidores. Tomando en cuenta si el juego, o competencia, es equilibrada; adems de conocer el valor esperado del juego, cul sera la decisin que optimiza el juego o competencia?

Aplicaciones de la Teora de Juegos: - Determinar las necesidades de mano de obra, previendo renuncias, accidentes, retiros,

defunciones. - Poder conocer el monto de las cuentas por pagar o de difcil cobro. - Conocer de manera confiable la lealtad de los clientes de la empresa frente a la aparicin de

otra marca u otro producto. - Medir la efectividad de las campaas publicitarias en comparacin con las anteriores llevadas a

cabo.

f) Proceso combinado. Hace uso de ms de uno de los procesos de la Investigacin Operativa, ya que el problema necesita de ms de una herramienta para llegar a la solucin integral del mismo. Puede presentarse el caso de algn problema de Control de la Produccin, har uso de la Teora de Inventarios, con Lneas de espera. Lo usual debiera ser resolver uno a uno, siguiendo secuencias lgicas, y combinar solo donde haya interrelaciones para obtener una solucin ptima. g) Simulacin. Es el uso de la computadora para la resolucin de problemas aplicando uno o ms procesos de IO, para dar una serie de alternativas , la computadora muestra los resultados

excitado. Haba verificado sus soluciones, y comenzado a escribir el artculo cientfico en el que publicaran inmediatamente una de ellas. La solucin al otro problema fue publicada 11 aos ms tarde por otro matemtico, Abraham Wald, que al saber de la solucin de Dantzig, lo incluy como co-autor del artculo. (Fuente: Wordpress.com, La Singularidad Desnuda)

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(generados por nmeros aleatorios), que podran haberse obtenido si se hubieran usado ciertas lneas de criterios de decisin. Se utiliza para:

- Integracin de los esfuerzos de mercadeo, combinacin de productos, distribucin, sincronizacin de esfuerzos, simular mercados

- Analizar los lugares ptimos donde deban situarse los almacenes que permita minimizar los costos de distribucin.

- Evaluacin de las alternativas de inversin ms rentables de la empresa. - Simular reglas de decisin de operaciones de fabricacin, que lleven a la programacin y el

control efectivo de la produccin.

- Seleccin del plan ptimo de opciones de distribucin del presupuesto. Por ejemplo: una empresa con mltiples lneas de produccin y posibilidad de obtener diversos productos finales que busca maximizar sus ganancias o minimizar sus costos. Inversin de capital en distintas posibilidades o fondos, de manera tal que el riesgo y la ganancia conjunta sea aceptable, programas de inversin en mantenimiento preventivo que buscan bajar los costos operativos, operaciones complejas como la construccin de una represa, formulacin de productos optimizando las disponibilidades de materias primas, etc. La naturaleza brinda la informacin necesaria para resolver estos problemas. Si dicha informacin se conoce con certeza, entonces el problema a resolver es determinstico, caso contrario si la informacin no se conoce o no se conoce con certeza es estocstico. En el desarrollo del curso se formulan propuestas para resolver ambos tipos de problemas.

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CAPTULO 1 SISTEMAS, MODELOS Y PROBLEMAS

Contenido

1.1 Sistema 1.2 Modelos 1.2.1 Pasos para formular un

modelo 1.2.2 Definicin del problema 1.3 Desarrollo de un modelo 1.3.1 Variables de decisin 1.3.2 Restricciones 1.3.3 Resolucin del modelo 1.3.4 Comprobacin de validez 1.4 Usos de los modelos 1.5 Tcnicas para construir

modelos 1.6 Problemas de redes 1.7 Problemas con variables

binarias

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1.1 SISTEMA

n sistema (del latn systema, proveniente del griego ) es un conjunto de funciones, virtualmente referenciadas sobre ejes, bien sean estos reales o abstractos. Tambin suele definirse como un conjunto de elementos (u objetos) dinmicamente relacionados formando una actividad para alcanzar un objetivo operando sobre datos, energa y/o materia para proveer informacin. Un objeto es aquello que puede ser observado, estudiado y aprendido, en contraposicin a la representacin abstracta de ese objeto que se crea en la mente a travs del proceso de generalizacin Los objetos presentan:

Identidad o propiedad que permite a un objeto diferenciarse de otros Comportamiento relacionado con su funcionalidad y determina lo que puede

realizar o lo que puede responder ante estmulos enviados por otros objetos Estado o conjunto de los valores de sus atributos en un instante de tiempo

dado.

Cada objeto relacionado se denomina Componente.

Se denomina lmites a la definicin del conjunto de componentes e interrelaciones. Por ejemplo, puede definirse el sistema brazo-reloj pues hay relaciones entre los dos objetos. Sin embargo puede haber relaciones con ms objetos (los ojos del usuario que quiere consultar la hora, la tetera de porcelana si al consultar la hora se corre el riesgo de golpearla, el planeta tierra por el efecto que sobre su rbita puede causar el impacto de la tetera en el piso) Es evidente que el lmite puede colocarse en cualquier punto, y se lo hace en funcin de analizar solamente aquellas relaciones (o interrelaciones) que interesan o que son significativas (Nota importante: casi siempre es despreciable el efecto de consultar la hora sobre la estabilidad de la rbita terrestre)

Obviamente, al colocarle al sistema lmites arbitrarios aparecen las relaciones nter y extra sistmicas, que son aquellas que se manifiestan entre los objetos pertenecientes al sistema y entre ste y el entorno, respectivamente.

Desde esta ptica, pueden describirse tipos de sistemas: los Sistemas abiertos son aquellos con intercambios activos (materia, energa, informacin) con el entorno: si llega un estmulo del entorno se produce la seal de salida correspondiente (respuesta) Los Sistemas cerrados son aquellos en que las seales de estmulo y de respuesta entre el sistema y el entorno no existen o han sido suprimidas del anlisis. Pueden compartir energa con el medio, pero no materia. Los sistemas aislados son aquellos que no pueden compartir ni materia, ni energa con el medio. Son elementos constitutivos de los sistemas, o sea aquello que siempre debe encontrarse, los siguientes:

Propsito u objetivo. Los elementos (u objetos) y las relaciones, definen una distribucin que trata siempre de alcanzar un objetivo.

Globalismo o totalidad: un cambio en un objeto puede producir cambios en los otros. El efecto final es un ajuste a todo el sistema. Es una relacin Causa/efecto que deriva en dos fenmenos:

Entropa: tendencia de los sistemas a desgastarse, a desintegrarse, relajar los estndares y aumentar la aleatoriedad. La entropa aumenta con el tiempo. Si aumenta la informacin, disminuye la entropa, porque es la base de la configuracin y del orden.

Homeostasia: equilibrio dinmico entre las partes del sistema. Los sistemas tienen una tendencia a adaptarse con el fin de alcanzar un equilibrio interno frente a los cambios externos del entorno.

U

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La teora general de sistemas2 establece 3 premisas

Los sistemas existen dentro de sistemas: cada sistema existe dentro de otro ms grande llamado suprasistema.

Los sistemas son abiertos: cada sistema que se examine, recibe y descarga algo en los otros sistemas, generalmente en los contiguos. Los sistemas abiertos se caracterizan por un proceso de cambio infinito con su entorno, que son los otros sistemas. Cuando el intercambio cesa, el sistema se desintegra, esto es, pierde sus fuentes de energa.

Las funciones de un sistema dependen de su estructura: para los sistemas biolgicos y mecnicos esta afirmacin es intuitiva. Los tejidos musculares por ejemplo, se contraen porque estn constituidos por una estructura celular que permite contracciones.

En contraposicin a la TGS se puede mencionar a la visin mecanicista, impulsada, fundamentalmente por Descartes (1596 1650), cuya ontologa (llamada Ontologa Cartesiana) propone que el mundo y lo que en l existe se comporta como una mquina en cuanto a las relaciones rgidas causa-efecto, y en que lo real es fsico. Esta visin de enormes xitos a partir de las investigaciones de, entre otros, Newton propone sistemas cerrados y estticos con mtodos cuantitativos y explicaciones matemticas. Los parmetros que caracterizan cada uno de los sistemas, son

Entrada o insumo o impulso (input). Salida o producto o resultado (output) Procesamiento o procesador o transformador (throughput) (generalmente es una caja

negra) Retroaccin o retroalimentacin o retroinformacin (feedback) Ambiente: (puede ser un recurso para el sistema, tambin puede ser una amenaza).

1.2 MODELOS

Mediante la utilizacin de modelos es posible representar un sistema, resaltando los elementos componentes y las relaciones entre ellos, pero limitando la representacin solo a aquellos componentes o relaciones que interesan al observador o que ste considera relevantes. Hay que tener en cuenta que un modelo es un sistema en s mismo, y que generalmente se caracteriza por poseer menos interrelaciones y elementos que el sistema que representa. Existen varios tipos de modelos:

el plano, o lay out, de una planta es un Modelo icnico3.

Los modelos analgicos son aquellos que explican las relaciones mediante la aplicacin de lo conocido o con fenmenos comparables: el modelo de la resistencia elctrica de Ohm se utiliza para los fenmenos de transporte de energa trmica, los economistas hablan de flujo de dinero, en analoga con un modelo hidrulico: taponamiento, drenaje de capitales, suba de nivel de tasas, etc.

Los modelos matemticos, son capaces de presentar mediante nmeros abstractos todo lo ocurrido durante el mes en los ingresos y egresos de la siempre en cero cuenta de caja de ahorro (por otra parte la terminologa caja de ahorro es un modelo analgico en s misma).

Los modelos simblicos representan ciertas relaciones sistmicas mediante smbolos, como el que utilizan los qumicos, que a un fenmeno tan complejo como la reaccin de ionizacin de la sal gema en agua lo representan con

ClNa + H2O Cl- + Na+ + HO- + H+,

2 Enunciada por Ludwin von Bertalaffy (entre 1945 y 1968) con el objeto de unir el metabolismo, crecimiento, morfognesis y fisiologa en una sola teora dinmica aplicada a sistemas estticos abiertos. 3 La palabra cono proviene del griego y significa imagen o representacin.(, eikon, "imagen") Las religiones, en general, son proclives a utilizar conos para representar ideas muy abstractas. Los sistemas operativos los utilizan

para representar comandos.

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Este mismo texto es una coleccin de smbolos (letras) cada una de las cuales representa un sonido y que es diferente segn la cultura. Un fonema chino, por ejemplo, puede parecer un dibujo para un occidental y viceversa

Los modelos deterministas son aquellos en los cuales los componentes estn relacionados entre s por funciones conocidas y perfectamente predecibles.

Los modelos estacionarios son los que describen sistemas y sus comportamientos independientemente de los fenmenos que ocurren en el inicio o en el fin de las relaciones (por ejemplo, el modelo de universo heliocntrico describe a la tierra girando alrededor del sol, sin tener en cuenta el resto del universo ni lo que ocurri cuando ste comenz, su evolucin cmo lleg el sol a ese estado y su futuro)

Por ltimo se mencionan los modelos dinmicos, que son aquellos cuyo propio comportamiento se modifica a medida que es utilizado como representacin, ya que recibe y emite informacin desde y al sistema que representa a fin de adaptarse a la realidad. Generalmente se van resolviendo secuencialmente.

El uso de modelos simblicos y matemticos es el ms difundido, pues se construyen con elementos baratos y simples de adaptar. En cualquier caso, el modelo ser una simplificacin, por lo tanto contendr solamente algunas variables y jams todas (si las tuviera sera la realidad y no un modelo). Decidir que variables se usan y cuales se descartan implica el uso de hiptesis4 y de un modelo de control5.

1.2.1 PASOS PARA FORMULAR UN MODELO:

i) Estudiar el problema, identificar las variables de control y las no controlables. Identificar los parmetros. Evitar los prejuicios.

ii) Tratar de expresar el problema matemticamente. (Smbolos) iii) Definir el campo de aplicacin y tratar de aislarlo de las interacciones. iv) Verificar si el problema tiene una solucin y si el modelo puede usarse en otros

problemas. v) Probar la solucin: verificar el grado de descripcin de la realidad. vi) Ajustar el modelo y volver a empezar.

1.2.2 DEFINICIN DEL PROBLEMA Consiste en la identificacin y la capacidad de describir con precisin el problema enfrentado. Implica conocer el objetivo global, las limitaciones fundamentales y las limitaciones que es conveniente introducir. Muchas veces no se tiene conocimiento de estos elementos, lo cual requiere de un profundo anlisis y generalmente negociaciones con los miembros del equipo de trabajo. La definicin del objetivo puede ser un punto de conflicto. En un mismo caso, se da la posibilidad de encontrar ms de un objetivo deseable y que stos, por aadidura, sean antagnicos. Es difcil elegir uno sobre otro: el objetivo de minimizar los costos de produccin suele ser antagnico con el objetivo de maximizar la calidad del producto terminado. Cul es el objetivo global? Si hay una decisin poltica o empresarial sobre los costos de produccin, entonces habr que establecer una restriccin de nivel de calidad. Y en todo caso cules sern las unidades de medida?

4 Una hiptesis puede caracterizarse como una solucin provisional (tentativa) para un problema dado. El nivel de verdad que se le asigne a tal hiptesis depender de la medida en que los datos empricos recogidos apoyen lo afirmado en la hiptesis. Esto es lo que se conoce como contraste o proceso de validacin de la hiptesis. Este

proceso puede realizarse de uno de dos modos: mediante confirmacin o mediante verificacin. 5 Segn Fayol, 1961, "el control consiste en asegurarse de que todo lo que ocurra est de acuerdo con las reglas establecidas y las instrucciones dadas". El Modelo de Control parte del estudio del entorno y el anlisis de la estructura. Tal anlisis permite establecer las amenazas y oportunidades que ofrece el entorno y tambin las

debilidades y fortalezas. Luego, se est en condiciones de realizar un diagnstico, de proponer soluciones, de

analizar y mejorar los sistemas funcionales, planteando la situacin actual, el objetivo deseado y como llegar a l.

(Dianelys Nogueira Rivera Universidad de Matanzas, Cuba.)

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Como una gua aceptable, el proceso de definicin del problema consiste en:

1) Establecer el objetivo 2) Conocer o adaptar la poltica empresarial 3) Buscar los consensos necesarios

4) Reconocer las limitaciones o recursos limitados para lograr el objetivo

1.3 DESARROLLO DE UN MODELO MATEMTICO Y RECOLECCIN DE DATOS.

Se presenta un caso muy simplificado con la intencin de introducir en forma sencilla a la metodologa para formular un modelo, tal como fue planteada precedentemente

El Departamento de beneficios de una empresa desea determinar del total de dinero disponible, que fraccin debe invertirse cuando dispone de dos alternativas: invertir en una empresa, mediante la compra de acciones (A), o en el Estado mediante la compra de bonos (B). Se dispone de la siguiente informacin: a. La tasa anual de crecimiento promedio para las acciones es del 10% b. La tasa anual de crecimiento para los bonos es del 6% c. Ninguna de las dos alternativas puede tener ms del 75% de la inversin total, por razones de seguridad. d. La cantidad invertida en acciones no debe exceder del doble que lo que se invierte en bonos, por razones de control fiscal.

Se pide calcular

Cuntas posibilidades de inversin hay? Cul sera el modelo que permite tomar decisiones? Cul sera la mejor combinacin de inversiones?

1.3.1 VARIABLES DE DECISIN Y FUNCIN OBJETIVO Para llevar este problema a una forma de modelo matemtico se debe comenzar por definir que es aquello sobre lo cual se puede decidir. En la terminologa de la Investigacin Operativa se emplea el trmino:

IDENTIFICAR LAS VARIABLES DE DECISIN: En este caso, las variables de decisin sern dos y a cada una de ellas se les asigna, un smbolo arbitrario y cuando corresponde las unidades correspondientes:

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A = fraccin del capital a invertir en acciones, B = fraccin del capital a invertir en bonos6

El enunciado del problema obliga a encontrar valores para A y para B que constituyan una retribucin mxima anual y que, simultneamente, cumplan con todos los requisitos del problema. En la terminologa de la IO: esos valores sern hallados para cumplir el objetivo: maximizar la retribucin anual esperada satisfaciendo las restricciones impuestas. Cmo puede plantearse el problema en forma de modelo? Se espera que cada peso invertido en acciones tenga un rendimiento de 10 centavos y de 6 centavos en bonos. Si A es la fraccin del capital a invertir en acciones, entonces la retribucin anual de ese capital ser 0,10A. Por ello la expresin matemtica que demuestra el objetivo de este modelo deber tener en cuenta la contribucin de cada una de las posibilidades: 0,10 A y 0,06 B. Con estos elementos se podr expresar el objetivo global, que, en la terminologa que estamos presentando, ser la FUNCIN OBJETIVO. Esta funcin se puede expresar as

Maximizar 0,10A + 0,06B

Como se puede ver, la funcin consta de dos partes: a) la intencin (maximizar) que se denomina criterio b) la funcin operativa que se denomina funcin objetivo que tiene coeficientes asociados a variables de decisin, lo cual muestra la manera o poltica empleada para lograr el objetivo y satisfacer el criterio.

1.3.2 RESTRICCIONES Pero esto solo no alcanza para definir el problema como un modelo matemtico: existen las limitaciones o restricciones, las cuales deben ser escritas utilizando las mismas variables de decisin en forma coherente y exhaustiva: Primera restriccin: Ninguna inversin puede superar el 75%, la cual se lleva al modelo as:

A 0,75

B 0,75 ambas desigualdades representan los lmites superiores de inversin en acciones y bonos, respectivamente. b) La inversin en acciones no debe superar el doble de la inversin en bonos, lo que se representa as:

A 2B o tambin as

A 2B 0 c) No pueden haber inversiones negativas, lo que representa el lmite inferior de inversin en cada alternativa (cero es no invertir)

A 0

B 0

6 La necesidad de identificar a estas variables como de decisin o de control permite suponer desde ahora que puede haber variables no controlables u otro tipo de variables, como se ver ms adelante

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d) La fraccin de dinero a invertir debe ser coherente. Olvidarse de esta restriccin podra ser un error muy fcil de cometer, pero al resolver el modelo podra dar como resultado por ejemplo invertir el 75% del capital en A y el 75% en B, lo cual es incoherente:

A + B = 1

El modelo, ahora completo, se escribe uniendo todas estas partes:

0

0

1

000,2

75,0

75,0

:a sujeto

06,010,0

B

A

BA

BA

B

A

MaximoBAZ

En este caso existen: una funcin objetivo y restricciones escritas en funcin de variables de decisin (cunto se habr de invertir en cada una) y de otras informaciones conocidas (datos): cunto rinden cada uno de los fondos y cunto como mximo y como mnimo se permite invertir en cada uno de ellos: estas son variables y/o parmetros sin control. En la prctica es difcil encontrar un problema como ste. Generalmente hay que estimar los datos. Y el modelo va a ser tan bueno como la estimacin de los datos, nunca mejor.

1.3.3 RESOLUCIN DEL MODELO MATEMTICO. En este caso, resolver el modelo es hallar los valores para S y para B que hagan mxima la expresin de la funcin objetivo y que, en forma simultnea, cumplan con todas y con cada una de las restricciones. Para resolver estos modelos, es decir encontrar valores satisfactorios para las variables de decisin, hay dos tipos de tcnicas:

a) Optimizacin: se encuentran los mejores valores para las variables, que hagan mximo el objetivo y satisfagan simultneamente todas las limitaciones-

b) Heursticas: Producen valores aceptables para la funcin objetivo y satisfacen las restricciones.

Una solucin posible para este problema, (se ver ms adelante como se encuentra) es:

A = 0,6667 B = 0,3333

Significado: por cada unidad monetaria invertida habr una ganancia de 0,6667 x 0,10 + 0,3333 x 0,06 = 0,08667

1.3.4 COMPROBACIN DE LA VALIDEZ DE LA SOLUCIN HALLADA. Puede ocurrir que el modelo haya sido imperfectamente planteado, que no hayan sido previstas todas las restricciones, o que se omitiera o simplificara algn parmetro importante, que los datos estuvieran mal estimados o mal cargados. En todos los casos es conveniente comprobar si la solucin hallada es vlida. Para ello existen varios mtodos, aunque a veces basta con un anlisis preliminar simple. Si el modelo no funciona hay que revisarlo, incluir nuevas restricciones, eliminar restricciones o replantear con ms exactitud las limitaciones reales. A veces es necesario usar la experiencia para adaptar las soluciones dadas por el modelo. Otras veces, aun estando todo bien y con resultados vlidos, las soluciones son impracticables. Es difcil, por ejemplo, incluir en un modelo datos que tienen que ver con conductas. Otra fuente de disturbios son los datos que cambian con el transcurso del tiempo: las acciones pueden caer en el futuro, no dejando de ser vlido el dato de su evolucin anterior.

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1.4 USOS DE LOS MODELOS

Los modelos ayudan a tomar dos tipos de decisiones:

a) Estratgicas: son decisiones de nica vez, afectan intervalos de tiempo largos. Son del tipo:

Se debe abrir una nueva lnea de produccin? Debera hacer inventarios en perodo regular o solo cuando caigan los niveles? Este tipo de decisiones implican impactos grandes, por lo cual se justifica invertir esfuerzo y tiempo en sus modelos y resoluciones. b) Operacionales: afectan procesos en curso y perodos ms cortos de tiempo.

Son del tipo: Cmo reprogramar el trabajo de la semana cada semana? Sobre los tres productos de la fbrica, en estas condiciones de mercado y con estos recursos de materias primas, cual es la produccin a realizar este mes? Estos modelos se usan repetidamente, por lo cual tambin se justifica invertir en ellos. Las ventajas de los modelos, en general, son: 1. Lograr objetivos con recursos escasos 2. Evaluar el impacto y costo de un cambio sin necesidad de gastar en producirlo previamente. 3. Se puede evaluar la fortaleza de los resultados propuestos mediante el anlisis de sensibilidad: qu sucedera si...?. Por ejemplo qu pasara si el fondo de acciones diera el 8% en vez del 10%?

1.5 TCNICAS PARA CONSTRUIR MODELOS MATEMTICOS

Se exponen los pasos a seguir y algunas tcnicas a emplear para formular modelos determinsticos. No se pretende exhibir un mtodo nico. Simplemente es una propuesta metodolgica bsica. Se propone un caso simple el que es utilizando en temas posteriores para que el lector lo conozca adecuadamente y pueda interpretar los resultados a medida que avanza en el curso:

Planeamiento de la produccin en Alcoholes Argentinos (AA). AA produce dos alcoholes, Guaran (Catlogo AA01) y Pampa (Catlogo AA02), en una planta chica recin adquirida, que funciona en San Nicols. El sector de produccin opera 40 horas semanales empleando a cinco trabajadores de tiempo completo y a dos que trabajan quince horas semanales. Una vez terminado el producto, ste pasa al sector de rectificado, que tiene equipos operados por seis empleados de tiempo completo y uno de 10 horas semanales. AA no tiene problemas de materias primas para ambos productos. Puede vender todo lo que quiera de Guaran pero tiene una demanda limitada a 120.000 litros semanales de Pampa. Que cantidad de cada producto debe producir AA para maximizar las ganancias si se sabe que Guaran deja una ganancia neta de 3 $ por mil litros y que Pampa de 5 $/1.000 litros?

Se propone formular el problema en forma de modelo matemtico siguiendo cuatro etapas. Con este desarrollo se busca obtener una metodologa apta para aplicar a cualquier modelo:

1.5.1 PRIMERA ETAPA: IDENTIFICACIN DE LAS VARIABLES DE DECISIN

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Tanto el personal de produccin como el de rectificacin deben saber al principio de la semana cual es el plan de produccin, por tanto hay que informarles lo que deben hacer Que informacin hay que darles? A esos sectores hay que brindarles la especificacin del nmero kilolitros/semana a producir de GUARAN y de PAMPA. Esas son las variables de decisin. En primer lugar se le dar un nombre simblico a las variables de decisin, que sea fcil de identificar, por ejemplo, P por Produccin. As sera:

P1: produccin de kilolitros semanales de GUARAN P2 produccin de kilolitros semanales de PAMPA.

Estas variables deben ser definidas con precisin, sin dejar ambigedades: P1 ser la produccin semanal de GUARAN expresada en mil litros/semana [kl/sem] y no en otra unidad. Para identificar las variables de decisin se deben poder identificar:

a) los elementos que afectan los costos, las ganancias o lo que represente el objetivo global del problema.

b) los elementos que se pueden elegir y/o controlar con libertad. c) las decisiones a tomar d) la informacin que deber disponer quien quiere llevar adelante la solucin propuesta

cuando se resuelva el modelo.

1.5.2 SEGUNDA ETAPA: IDENTIFICACIN DE DATOS DEL PROBLEMA Para determinar las cantidades reales de los productos a producir a efectos de maximizar las ganancias se necesita saber:

Nmero de horas-hombre de trabajo disponibles en el sector de elaboracin, o capacidad de produccin semanal en ese sector.

Nmero de horas-hombre disponibles en el sector de rectificacin, o capacidad de produccin semanal en ese sector.

Ganancias por la venta de cada uno de los productos. Como se trata de un problema determinstico, es necesario obtener estos datos o acceder a ellos en el momento de formular el problema. Se supone que cuando se recolectan se obtienen los siguientes datos:

Produccin: 5 hombres x 40 hs/hombre semana =

200 hs/hombre semana

2 hombres x 15 hs/hombre semana =

30 hs/hombre semana

Total 230 hs/hombre semana en Produccin.

Rectificado: 6 hombres x 40 hs/hombre semana =

240 hs/hombre semana

1 hombre x 10 hs/hombre semana =

10 hs/hombre semana

Total 250 hs/hombre semana en Rectificado.

El margen de ganancia es de 3 $/klitro GUARAN y de 5 $/klitro de PAMPA. Como se puede ver, la diferencia entre las variables y los datos, es que el operador no puede controlar los valores de los datos. No se podra cambiar la capacidad de trabajo de un hombre o de una mquina, pero s se podra afectar a ms o menos hombres o mquinas. Debera prestarse atencin a este detalle, se volver sobre l. Tambin ocurre que, cuando se avanza en el planteo del problema, puede ser necesario ampliar datos, obtener valores ms completos u otros que no parecieran ser necesarios al principio e, incluso, descartar informacin que no es pertinente.

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1.5.3 TERCERA ETAPA: FORMULACIN DE LA FUNCIN OBJETIVO. Es el planteo del problema en forma matemtica. As como para determinar las variables de decisin se preguntaba qu hay que informar al jefe de produccin?, para formular la funcin objetivo deber plantearse la pregunta qu se espera obtener con este modelo? Es la informacin que se dar al escaln jerrquico superior y se relaciona con el objetivo global. Debe notarse que se han planteado dos reportes: el primero dirigido al nivel operativo: cunto se fabricar; el otro al nivel superior: cunto se va a ganar. Para formular el objetivo generalmente se puede usar el siguiente mtodo: 1) Establecer el objetivo en forma verbal, que en este caso es: Maximizar la ganancia semanal del total de la produccin de GUARAN y de PAMPA, determinando las cantidades a producir de cada uno de los alcoholes.

2) Si es posible, descomponer el objetivo en operaciones aritmticas bsicas (suma, resta o producto) de cantidades individuales: Maximizar = (Ganancia por producir una unidad de GUARAN)x(cantidad de unidades a producir de GUARAN) + (Ganancia por producir una unidad de PAMPA)x(cantidad de unidades a producir de PAMPA)

3) Expresar las cantidades individuales usando las variables y los datos del problema. Para poder efectuar esta tercera etapa es til elegir algunos valores especficos y as poder saber como usar la funcin objetivo. Esta tcnica puede ser denominada trabajo con un ejemplo especfico (o especificacin del modelo). Se elige un valor cualquiera razonable para comenzar: En el caso, puede suponerse una produccin semanal de 10 mil litros de GUARAN y de 20 mil de PAMPA:

Ganancia de GUARAN x Produccin semanal de GUARAN = 3 $/kl x 10 kl/sem = 30 $/sem Ganancia de PAMPA x Produccin semanal de PAMPA = 5 $/kl x 20 kl/sem =100 $/sem Ganancia total 130 $/sem

Este anlisis no resuelve el problema, pero sirve para mostrar como plantearlo. Ahora es sencillo transformarlo:

Ganancia de GUARAN x Produccin semanal de GUARAN 3P1 Ganancia de PAMPA x Produccin semanal de PAMPA 5P2 Ganancia total = 3P1 + 5P2 Por tanto, la funcin objetivo ser

Maximizar 3P1 + 5P2

1.5.4 CUARTA ETAPA: IDENTIFICACIN DE LAS RESTRICCIONES. Es evidente que los problemas de este tipo no tienen solucin si no se plantean las restricciones o lmites. Estas restricciones surgen, en general, de:

Limitaciones fsicas. (horas de trabajo, capacidad de produccin, cantidad de materia prima, etc.)

Limitaciones de ventas (por ejemplo compromisos con un cliente, polticas de ventas, etc.)

Limitaciones externas (por ejemplo la imposibilidad de colocar en el mercado por encima de cierta cantidad)

Relaciones entre variables (por ejemplo la imposibilidad que la suma de variables sea superior a un nmero fijo, lo que vale en porcentajes, tantos por uno o partes de una unidad productiva)

Restricciones lgicas (por ejemplo no puede producirse 1000 litros de alcohol o no pueden fabricarse 6,35 pianos)

Para el caso de la produccin de alcoholes:

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1. Limitacin fsica: lmite de horas/hombre semanales disponibles para produccin y rectificado En forma verbal: las horas totales semanales en elaboracin no pueden superar las 230.

2. Descomposicin: las horas usadas para GUARAN + las horas usadas para PAMPA no pueden superar las 230

3. Matemtica: Al llegar a este punto se evidencia que faltan datos. Falta conocer cunto tiempo se emplea en la elaboracin de cada producto. Lo que debe notarse es que, a diferencia de los problemas que se solucionan en clase (donde el enunciado incluye los datos) en los casos de la vida real, primero debe abordarse el mtodo de solucin para recin despus determinar cules son los datos que se necesitan.

Supngase que se obtienen los siguientes datos, buscando en la planta:

Horas/hombre por 1000 litros

GUARAN AA01

PAMPA AA02

Produccin 2 1

Rectificacin 1 2

4. Con estos datos se podr escribir la restriccin en forma genrica, para cualquier valor de las variables establecidas al principio:

horas hombre necesarias para producir una unidad de GUARAN x unidades producidas

de GUARAN

+ horas hombres necesarias para producir una unidad de PAMPA x unidades de PAMPA

producidas =

horas hombres usadas en el sector.

5. Limitacin fsica 1: lmite de horas/hombre disponibles en el sector Elaboracin

2 P1 + 1P2 230 (dimensionalmente [hh/kl] x [kl/sem] = [hh/sem]) Se lee: gastando a razn de 2 Hh/kl elaborado de AA01 multiplicando por la cantidad de kl/sem de AA01 que se va a elaborar ms 1 Hh/kl de AA02 por la cantidad de kl/sem de AA02 a elaborar no se deben superar las 230 Hh/sem disponibles en el sector

6. Limitacin fsica 2: lmite de horas/hombre disponibles para rectificacin

1 P1 + 2P2 250

7. Limitacin externa: restriccin de lmite de produccin. No pueden venderse ms de 120 mil litros/semana de PAMPA: P2 120

8. Limitaciones lgicas: restriccin de no negatividad

P1 0

P2 0

1.5.5 FORMULACIN MATEMTICA DEL PROBLEMA:

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dnegativida no 0

dnegativida no 0

demanda 1201

orectificad 25021

produccin 23012

mximas ganancias 53

2

1

2

21

21

21

P

P

P

PP

PP

MaxPPZ

Para verificar la validez del modelo hallado se pueden hacer las siguientes pruebas de coherencia:

1) es posible decidir no fabricar nada? P1 = 0, P2 = 0. Si. Verifica todos los componentes del modelo, aunque Z = 0 (difcil que sea un mximo) todas las condiciones se satisfacen simultneamente.

2) es posible fabricar P2 = 120 kl/sem y no fabricar P1? S. Sera emplear el criterio de fabricar todo lo que se puede del alcohol AA02 que d la mxima ganancia: P1 = 0; P2 = 120. Z = 600, 120 < 230; 240 < 250 y 120 = 120. Todo queda satisfecho

3) es posible fabricar P1 = 200 y P2 = 300. No es posible, si bien da un Z alto (2100), no se satisfacen las inecuaciones.

Por tanto el modelo parece lgico y funcional

1.6 PROBLEMAS DE REDES

Con el objetivo de mostrar otros casos en los cuales se construyen modelos similares, se plantean en este apartado y en el que sigue ejemplos de problemas que abordan relaciones entre grupos de nodos. El primer caso, se refiere a nodos agrupados bajo la denominacin convencional de plantas que se relacionan mediante vnculos con nodos agrupados bajo la denominacin centros de distribucin. Este tipo de problemas se conoce con el nombre de Problemas de Transporte, debido a que de esta manera es ms fcil comprenderlos. Sin embargo, la aplicacin de estos modelos no se restringe solo al transporte, sino que alcanza a varias otras situaciones, como se ve en otros captulos. Resulta necesario conocer ciertos datos del problema: 1. demandas de cada centro destino (cliente, mercado, etc.) 2. capacidad de elaboracin de cada centro de produccin (planta, fbrica) 3. costo de transporte de cada fbrica a cada destino. CASO: Una empresa automotriz tiene plantas en Buenos Aires, San Pablo y Mxico DF en las cuales produce un vehculo que se comercializa, adems de localmente, en Chile, Per, Colombia y Venezuela. La Planta Buenos Aires produce, para exportacin, 2000 unidades/mes y las otras dos 1500 unidades/mes cada una. Chile requiere 1000, Per requiere 500, Colombia requiere 1500 y Venezuela 2500 unidades/mes. La tabla muestra los costos de embarque de cada unidad desde la planta a cada centro

DISTRIBUIDORES

PLANTAS CHILE PERU COLOMBIA VENEZUELA

BUENOS AIRES 5 7 10 9

SAN PABLO 7 7 8 10

MEXICO DF 10 8 5 7

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Este tipo de problemas permiten que se los formule, antes de expresarlos matemticamente, utilizando un diagrama de redes. Cada elemento de salida o llegada (planta o centro de distribucin es un nodo, y se representa con un crculo. Cada lnea indica la posibilidad de llevar un vehculo entre esos dos nodos. Junto a cada nodo se coloca la oferta o demanda, segn sea emisor o receptor y en cada lnea (llamada arco) se indica el costo de transporte.

1.6.1 IDENTIFICACIN DE LAS VARIABLES DE DECISIN Nuevamente, hay que identificar: a) los elementos que afectas los costos, las ganancias o lo que represente el objetivo global del problema. b) los elementos que puede elegir y/o controlar con libertad. c) las decisiones que hay que tomar d) la informacin que deber disponer quien quiere llevar adelante la solucin propuesta cuando se solucione el problema.

Al identificar estos elementos, se notar que hay doce variables de decisin: el nmero de autos a embarcar desde cada centro a cada distribuidor. Estas variables se pueden identificar de cualquier manera: x1, x2, ... o bien x11, x12, x13, x14, x21,.... o bien ms explcitamente xBA-CH , xBA-PE.

Estas variables se pueden expresar En forma verbal: Minimizar los costos de transporte desde todas las plantas a todos los distribuidores. Descomposicin: Minimizar costo de transporte desde Buenos Aires hasta Chile, hasta Per, hasta Colombia y hasta Venezuela, ms el costo de transporte desde San Pablo hasta Chile, hasta Per, hasta Colombia y hasta Venezuela, ms el costo de transporte desde Mxico hasta Chile, hasta Per, hasta Colombia y hasta Venezuela. Entendiendo costo de transporte como el costo de transportar una unidad entre un origen y un destino multiplicado por el nmero de unidades transportadas entre esos extremos. Si se hace el ejemplo especfico y se pasa a una expresin matemtica, queda: Minimizar (5xBA/CH + 7xBA/PE + 10xBA/CO + 9xBA/VE) + (7xSP/CH + 7xSP/PE + 8xSP/CO + 10xSP/VE) + (10xME/CH + 8xME/PE + 5xME/CO + 7xME/VE)

1.6.2 IDENTIFICACIN DE RESTRICCIONES.

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Se analiza averiguando que elementos son los que impiden elegir cualquier valor. Por ejemplo, para minimizar costos de transporte, lo ideal es no transportar. Se puede elegir el cero? Las restricciones surgen de considerar: a) el embarque de cada planta no debe exceder lo que la planta produce b) el recibo de cada centro debe ser lo que necesita para satisfacer la demanda. Pero hay que averiguar si no se puede enviar ms que lo que demanda. Parece que este no es el caso, pero no puede haber ambigedades. c) el envo debe ser de nmeros positivos enteros, (no es posible enviar 0,345 vehculos). Todas estas restricciones debern ser convertidas a expresiones matemticas, para hacerlo es necesario tener en cuenta que en cada nodo de salida no se puede superar la capacidad de produccin de la planta: desde Buenos Aires., por ejemplo, el nmero total de unidades despachadas ser igual a la suma de las unidades despachadas a Chile, ms las enviadas a Per, ms las que fueron a Colombia ms las que fueron a Venezuela. Pero hay una restriccin: esa suma no puede ser superior a 2000, aunque, por la manera en que se plantea el problema tampoco podra ser inferior ya que no se encuentra en el planteo la frase el sobrante se destina a

xME/CH + xME/PE + xME/CO + xME/VE 2000, en el caso de que se admitan sobrantes

xME/CH + xME/PE + xME/CO + xME/VE = 2000, en el caso que haya que embarcar todo lo producido Lo mismo para cada una de las otras dos terminales. Luego hay que observar las restricciones de demanda: cada distribuidor recibir lo que necesita (lo que solicit en firme): Las unidades recibidas en Chile sern la suma de las despachadas desde Buenos Aires ms las de San Pablo ms las de Mxico, y debe ser igual a su demanda (1000)

XBA/CH + xJSP/CH + xME/CH = 1000 y as para los otros tres distribuidores. Finalmente hay que considerar las restricciones de no negatividad y de enteros. El resultado final ser: Minimizar (10xME/CH + 8xME/PE + 5xME/CO + 7xME/VE) (7xSP/CH + 7xSP/PE + 8xSP/CO + 10xSP/VE) + (5xBA/CH + 7xBA/PE + 10xBA/CO + 9xBA/VE) +

Sujeto a: xME/CH + xME/PE + xME/CO + xME/VE = 2000 Capacidad Buenos Aires. xSP/CH + xSP/PE + xSP/CO + xSP/VE =1500 Capacidad San Pablo xBA/CH + xBA/PE + xBA/CO + xBA/VE = 1500 Capacidad Mxico xME/CH + xSP/CH + xBA/CH = 1000 Demanda Chile xME/PE + xSP/PE + xBA/PE = 500 Demanda Per xME/CO + xSP/CO + xBA/CO = 1500 Demanda Colombia xME/VE + xSP/VE + xBA/VE = 1200 Demanda Venezuela

xij 0 y entero para todo i j

1.7 PROBLEMAS CON VARIABLES BINARIAS.

Otro tipo de problemas de redes son aquellos derivados de tomas de decisin con alternativas excluyentes. En ingeniera muchas veces aparecen problemas de toma de decisin que implican estrategias definidas por acciones binarias tales como se hace o no: Compra de una planta, realizar un proyecto, renovar un equipo. Generalmente estas decisiones se codifican con 0-1, que representan una variable entera restringida a esos valores.

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La compaa de inversores EXC recibe cuatro propuestas de inversin las cuales fueron analizadas y por ello se sabe que tienen un rendimiento alto con un riesgo comparable entre ellas y aceptable. Tambin hay una buena estimacin del retorno esperado en un horizonte de 4 aos. Los proyectos requieren de un programa de inversiones pautado en esos cuatro aos. La compaa EXC dispone de fondos a invertir y de un cronograma de desembolsos para cubrir esos cuatro aos de los proyectos. Por otro lado, la inversin en telecomunicaciones y en electrnica comprende algunos aspectos tecnolgicos que se superponen, por lo tanto se ha decidido invertir en uno u otro rubro pero no en ambos simultneamente. Los fondos que no se usen un ao no estn disponibles en el ao siguiente, se destinan a otros fines. Todos los datos mencionados se sintetizan en la siguiente tabla:

PROYECTO AO 1 AO 2 AO 3 AO 4 RETORNO

FARMACUTICO 60 10 10 10 250

TELECOMUNICACIONES. 35 35 35 35 375

ELECTRNICA 10 50 50 10 275

SUPERMERCADOS 15 10 10 40 140

FONDOS DISPONIBLES 90 80 80 50

IDENTIFICACIN DE LAS VARIABLES DE DECISIN

La pregunta es que se puede controlar libremente en este problema?, y la respuesta es: puede aceptarse o rechazarse la posibilidad de invertir en cada una de las propuestas:

F inversin en farmacia, F= 1, se invierte, F = 0 no se invierte

T inversin en telecomunicaciones, T = 1, se invierte, T = 0, no se invierte y as E y S las otras variables. Estas variables de decisin son diferentes a las anteriores en tanto que el valor que pueden asumir ahora est restringido fuertemente a dos nmeros enteros positivos, mientras que antes eran positivos (miles de litros de alcohol) o positivos enteros (autos a transportar).

IDENTIFICACIN DE LA FUNCIN OBJETIVO Como el rendimiento total ser la suma de los rendimientos en cada una de las cuatro compaas, debe formularse la siguiente pregunta: Cunto rendir lo invertido en -por ejemplo- farmacia? El rendimiento ser el retorno esperado por unidad monetaria multiplicado por la decisin de invertir:

Rendimiento en farmacia = 250 F

(si la decisin, F, vale 1 el retorno es 250, caso contrario es cero) Entonces el rendimiento total ser

Rendimiento total = 250 F + 375 T + 275 E + 140 C

IDENTIFICACIN DE LAS RESTRICCIONES

Se pueden identificar los siguientes grupos de restricciones:

1) disponibilidad financiera anual. 2) Imposibilidad de invertir simultneamente en electrnica y comunicaciones.

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3) Restricciones lgicas. 1) La disponibilidad monetaria anual. La limitacin de fondos por ao impide seleccionar los cuatro proyectos a la vez. Como la cifra es variable, se necesita una restriccin de este tipo por ao:

Los fondos totales a invertir en cada proyecto seleccionado en el primer ao debern ser, como mximo, de 90

Y, por otro lado, cada proyecto aporta acumulativamente al total:

Los fondos totales a invertir en el primer ao = invertido en farmacia + invertido en electrnica + invertido en telecomunicaciones + invertido en supermercado.

Si esto se expresa con smbolos matemticos para el primer ao, se tiene que la suma de lo que necesita cada proyecto por la variable de decisin (cuyo valor ser 0 o 1) dar la inversin total:

60F + 35T + 10E + 15S 90 (ao 1) con los datos de la tabla se completan los dems aos:

10F + 35T + 50E + 10S 80 (ao 2)

10F + 35T + 50E + 10S 80 (ao 3)

10F + 35T + 10E + 40S 50 (ao 4)

2) Imposibilidad de invertir simultneamente en electrnica y en telecomunicaciones: Se puede plantear como T E = 0

o como T + E 1 3) Restricciones lgicas F, T, E y S son 0 o 1 y enteros.

PLANTEO DEL MODELO COMPLETO: Maximizar: Rendimiento total 250 F + 375 T + 275 E + 140 C Sujeto a:

(Ao 1) 60F + 35T + 10E + 15S 90

(Ao 2) 10F + 35T + 50E + 10S 80

(Ao 3) 10F + 35T + 50E + 10S 80

(Ao 4) 10F + 35T + 10E + 40S 50

(No inversin simultnea) T + E 1 (Lgicas) F, T, E y S son 0 o 1 y enteros.

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CAPTULO 2 PROGRAMACIN LINEAL. MODELO GRFICO

Contenido

2.1 Como hallar una solucin. Aproximacin heurstica 2.2 Grfica de restricciones 2.3 Casos especiales 2.4 Anlisis de sensibilidad 2.5 Programacin entera: una aproximacin a la solucin grfica

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n este captulo se desarrolla el mtodo de resolucin de los modelos planteados. El conjunto de mtodos bsicos se denominan genricamente como modelos de Programacin Lineal. Para desarrollar un mtodo de manera fcil de comprender se retomar el caso ejemplo de Alcoholera Argentina presentado en el planteo general de modelos. Recordaremos, por lo tanto, las caractersticas del caso: Planeamiento de la produccin en Alcoholera Argentina.

AA produce dos alcoholes, GUARAN y PAMPA, en su planta San Nicols. La planta tiene dos secciones: produccin y

rectificado.

En produccin se obtiene el producto base operando 40 horas semanales y empleando cinco trabajadores de tiempo completo y a dos que trabajan quince horas semanales. Se dispone as de un mximo de 230 horas de trabajo semanales.

Una vez terminado el producto base, ste pasa al sector de rectificado, que tiene equipos operados por seis empleados

de tiempo completo y uno de 10 horas semanales, lo que resulta en una disponibilidad de hasta 250 horas semanales de trabajo.

Las horas requeridas en los dos sectores para producir un kilolitro de cada alcohol son:

GUARAN PAMPA

Produccin (hh/kl) 2 1

Rectificado (hh/kl) 1 2

Ganancias ($/kl) 3 5

En el cuadro anterior tambin se muestran los mrgenes de ganancias para cada producto. AA no tiene problemas de materias primas para ambos productos. Puede vender todo lo que quiera de GUARAN pero

tiene una demanda limitada a 120000 litros semanales de PAMPA.

Qu cantidad semanal de cada producto debe producir AA para maximizar las ganancias?.

Siendo x1 el nmero de miles de litros de GUARAN a producir y x2 el de PAMPA, el problema se plantea: Maximizar: Z = 3x1 + 5x2

Sujeto a: 2x1 + x2 230 restriccin 1, de produccin

x1 + 2x2 250 restriccin 2, de purificacin

x2 120 restriccin 3, de demanda

x1 0 restriccin 4, de no negatividad

x2 0 restriccin 5, de no negatividad

2.1 CMO HALLAR UNA SOLUCIN? UNA APROXIMACIN HEURSTICA.

Para poder encontrar un valor ptimo de produccin de ambos alcoholes, se deben encontrar valores de x1 y x2 que indiquen el plan de produccin y la consecuente ganancia mxima. Cmo lograrlo? Intuitivamente podra hacerse el siguiente anlisis: si el alcohol PAMPA es el que da mximas ganancias, se debera fabricar todo lo posible dejando de lado el otro alcohol. Observando las restricciones e ignorando el otro alcohol (equivale a x1 = 0) vemos que x2 puede, en la primera restriccin, valer como mximo 230, o 250 en la segunda, pero ninguno de estos valores se permiten por la tercera restriccin. Por tanto, lo mximo a producir de x2 ser 120 (kl de PAMPA). En ese caso, el plan de produccin ser x1 = 0; x2 = 120; con una ganancia Z = 600. Lo siguiente que podr plantearse es: fijado el mximo de x2 Qu recursos sobrantes podremos usar para fabricar lo ms posible de x1? Para encontrar, nuevamente se deberan analizar cada una de las restricciones:

21 + 120 230 1 + 2 120 250

120 = 120 Con la primera, el mximo de x1 sera 55, lo que es incompatible con la segunda restriccin, ya que si se reemplazan los valores se obtiene a la izquierda un nmero mayor a 250.

E

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Con la segunda, el mximo valor de x1 es de 10, lo que resulta un valor compatible en la primera y por lo tanto es lo mximo que se puede elaborar de x1. En ese caso, el plan de produccin ser x1 = 10; x2 = 120; con una ganancia Z = 630. Se aprecia que se encontr un plan de produccin que cumple con todas las restricciones y da una ganancia que parece ser la mayor. Sin embargo, debera buscarse un mtodo ms sistemtico para encontrar la solucin. Aprovechando que este es un problema de solamente dos variables de decisin, se buscar graficar el modelo.

2.2 GRFICA DE RESTRICCIONES

Se considera una restriccin por vez. Para graficar cada restriccin se comienza ignorando el signo de la desigualdad y tratando la funcin como si fuera una igualdad. Luego se incluye la desigualdad. Las ltimas dos restricciones coinciden con los ejes de coordenadas y, si se tiene en cuenta el sentido de la desigualdad, determinan como espacio factible solamente al primer cuadrante. Si se grafican todas las restricciones como igualdades se obtiene:

Grfica de Restricciones

El siguiente paso es determinar, para cada restriccin, cules son los valores factibles: aquellos valores permitidos por la inecuacin.

Para la primera restriccin son aquellos que cumplen con 2x1 + x2 230, lo cual significa que la recta graficada (2x1 + x2 = 230), es uno de los valores factibles, pero tambin los son todos los puntos ubicados a la izquierda de dicha recta, que se muestran en la siguiente figura como un rea sombreada:

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rea permitida por la restriccin 1

Una vez que fueron consideradas todas las restricciones queda determinada un rea factible que es la interseccin de las reas determinadas por cada restriccin:

rea de soluciones factibles

Ese polgono encierra un rea que contempla exactamente todas las restricciones: el eje x2 a la derecha es la ltima restriccin, el eje x1 hacia arriba es la anteltima y as sucesivamente. Significa que cualquier solucin al problema debe ubicarse forzosamente dentro del rea sombreada o en sus lmites, ya que este conjunto determina lo que es admitido por las restricciones.

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Trazado de la Funcin Objetivo

En el grfico de la figura se ha agregado la funcin objetivo, dibujada arbitrariamente en un valor de

x2 = 30 y x1 = 20. Resulta evidente que pueden graficarse para cada valor de x1 y de x2 una curva 3x1 + 5x2, a

pendiente constante e igual a -3/5 y la ordenada al origen variable e igual a 1

5. La que se

muestra est igualada a Z = 210, pero hay un manojo de esas curvas que caen dentro del espacio de soluciones factibles:

Funcin Objetivo: Igualdad de pendientes para mltiples soluciones

Obviamente ser la solucin ptima aquella que pase por alguno de los puntos extremos del rea sombreada, entendiendo como extremo a aquel punto que se encuentre lo ms alejado posible del origen. De qu depende que un vrtice sea el ms alejado?. Obviamente de la pendiente de la funcin objetivo. Los puntos extremos o ms alejados del origen ms el mismo origen son los vrtices de ese polgono y se designan con las letras A, B, C, D y E en la figura siguiente:

30

Determinacin de vrtices del rea factible

Para determinar cul es el vrtice ms alejado hay que conocer cul es la pendiente de la funcin objetivo. Por ejemplo, si el alcohol GUARAN, que en este caso brinda una ganancia de 3 $/kl pasara a no dar ganancias, la pendiente pasara a ser nula, y por tanto la recta sera horizontal: implicara fabricar solamente PAMPA (punto B) o, sin que cambie nada, el punto C. Al contrario, si la ganancia en vez de 3 fuera enorme, desproporcionada en relacin a los 5 $/kl de PAMPA, la pendiente tendera a infinito, recta vertical, y el punto se ubicara en E (no fabricar nada de PAMPA y todo de GUARAN) Observando la figura se ve que si la pendiente de Z fuera nula, la recta sera horizontal y el eje ms lejano sera el B. En ese caso la ganancia del alcohol 1 sera cero, entonces Por qu fabricarlo? Por otro lado, si la ganancia del alcohol 2 pasara de 5 a un valor nulo, la curva Z tendra pendiente infinita, sera vertical y entonces el punto ms alejando sera el vrtice E (Obvio: si no se gana nada por producir el alcohol 2, entonces hay que hacer todo alcohol 1) Esto es lgico: si el origen significa no hacer nada, entonces, para maximizar las ganancias hay que hacer lo ms posible ya que eso permite lograr el objetivo. Cada uno de los vrtices es una solucin posible (en el sentido que est permitida) y son parte de un polgono. Para analizar el caso actual con la pendiente (-3/5) no hace falta graficar la funcin. Basta con estudiar el valor de la funcin en cada uno de los vrtices. Los valores de estos vrtices para las coordenadas x1 y x2, y el valor de la funcin objetivo son: Como el problema es maximizante se seleccionar aquel vrtice que corresponde al mayor valor de la funcin objetivo. El vrtice D presenta una respuesta mxima de la funcin objetivo de 660, indica, por tanto, que lo ptimo es programar una produccin de 70 y 90 mil litros de GUARAN y PAMPA respectivamente.

Vrtice x1 x2 Funcin Objetivo (Z)

A B C D E

0 0 10 70 115

0 120 120 90 0

0 600 630 660 345

31

La solucin analtica de este problema se encuentra resolviendo el sistema de ecuaciones que corresponde a las dos restricciones involucradas en cada vrtice, con lo que se obtienen las coordenadas del mismo. Particularmente en el caso del D:

2502

2302

21

21

xx

xx

Finalmente, la expresin del resultado del modelo es:

Produccin semanal de GUARAN: 70000 litros Produccin semanal de PAMPA: 90000 litros Ganancia semanal: Z = 3 x 70 + 5 x 90 = $ 660

2.3 CASOS ESPECIALES

Pueden presentarse los siguientes casos: Programa lineal con una solucin no factible: es un programa con una solucin incapaz de satisfacer simultneamente todas las restricciones. Ejemplo: si se agregara una nueva

restriccin al problema anterior, sea x1 220 (Se solicita producir no menos de 220000 litros de GUARAN) y luego se grafica el rea factible de soluciones, se ver que no hay espacio de soluciones posibles. Modelos sin lmites. Ocurre cuando por defecto de restricciones el rea de soluciones factibles es ilimitada. Para ver un ejemplo, cambiar una restriccin al problema original: la restriccin

x2 120 pasa a ser x2 120. Este cambio provoca un rea abierta e ilimitada. Sin embargo debe observarse que un rea de este tipo no siempre significa que el problema no tenga solucin. Un rea abierta a la derecha en un problema de minimizacin puede tener solucin ptima satisfactoria para todas las restricciones. Modelos con restricciones redundantes. Se trata de una restriccin que -est o no presente- no afecta el rea de factibilidad. Por ejemplo, la restriccin

x1 + x2 300 insertada en el problema original, no altera el rea de soluciones. (Nota: revisar el modelo de variables binarias presentado en el apartado anterior. Se pueden individualizar restricciones

redundantes?)

Nueva restriccin que anula las anteriores

Soluciones ptimas conjuntas: se encuentran dos vrtices consecutivos como soluciones ptimas. Significa que el segmento que une esos vrtices tiene la misma pendiente del funcional, por lo tanto cualquier punto de ese segmento (inclusive los vrtices) es una solucin alternativa del problema y que se encuentran en una restriccin paralela a la funcin objetivo

2.4 ANLISIS DE SENSIBILIDAD GRFICO

Sera de muy poca utilidad si el modelo resuelto se limitara a brindar como nica informacin el plan de produccin semanal de los dos tipos de alcoholes. Resulta casi inevitable que, una

32

vez resuelto, surjan algunas preguntas relacionadas con la propuesta de produccin, por ejemplo

Qu sucede con la solucin hallada si se decide bajar el precio de GUARAN en $ 0,25 por cada 1000 litros? Implica cambiar el coeficiente del funcional de 3 por mil litros a 2,75 por mil litros cmo afecta esto al plan de produccin? Qu sucede en la solucin ptima y en la funcin objetivo si se modifica un valor del lado derecho de las restricciones? Por ejemplo, que los dos empleados de tiempo parcial que trabajan en produccin 15 horas pasan a trabajar 10, lo que disminuye la disponibilidad de horas de 230 a 220.

2.4.1 ANLISIS DE SENSIBILIDAD DE LOS COEFICIENTES DEL FUNCIONAL El anlisis de sensibilidad brinda informacin sobre la robustez de la solucin hallada: explica qu ocurre con el ptimo y con la funcin objetivo cuando se modifican, de a uno por vez, los coeficientes. Por qu puede ser necesario modificar un coeficiente del funcional? Por ejemplo puede darse el caso de disponer de estimaciones con un cierto porcentaje de error: qu ocurre cuando se sita en los extremos de ese porcentaje? Por ejemplo una ganancia de 10 $ con 5% de error se calcula sobre la base de 10 $, pero qu pasa si el valor real es de 9,5 $ o de 10,5?

rea factible y recta que pasa por el punto C que corresponde a Z=660

En el problema de los alcoholes, la fbrica produce 70 kilolitros de GUARAN y 90 kl de PAMPA, pero se analiza lo que ocurre con este plan ante la posibilidad de reducir el precio de venta de GUARAN en $0,25 por cada kilolitro para hacer frente a la competencia que va poner en el mercado un producto similar. La solucin ptima, anteriormente hallada, es:

Vrtice x1 x2 Funcional

A 0 0 0

B 0 120 600

C 10 120 630

D 70 90 660 Es el vrtice que corresponde al mximo

E 115 0 345

La disminucin de $ 0,25 en el precio de venta de 1000 litros de GUARAN provoca la disminucin

del margen de ganancia de $3 a 2,75, por lo tanto qu pasa con la solucin ptima 70 kl y 90

kl cuando el coeficiente de x1 pasa de 3 a 2,75?

33

Una forma de averiguarlo es hacer todo de nuevo con el nuevo coeficiente, pero hay otra alternativa para saberlo: En primer lugar se examina como cambia la funcin objetivo cuando se cambian los valores del coeficiente de x1:

Cambio de coeficientes de las variables de decisin x1

Es evidente que lo que cambia es la pendiente de la funcin. Si estas funciones se trasladan al grfico completo se observa que hay pendientes que se escapan de las restricciones: si el coefiente c1 aumenta mucho su valor, la funcin objetivo tiende a ser vertical, por lo tanto el vrtice extremo podra pasar a ser el E luego que la pendiente del funcional (-c1/c2) supere a la pendiente de la restriccin 2 de rectificado. Por otro lado, valores bajos de c1 hacen que la funcin objetivo tienda a ser horizontal, por lo tanto el vrtice extremo podra pasar a ser el C luego que la pendiente del funcional (-c1/c2) supere a la pendiente de la restriccin 1 de produccin. Para encontrar los valores extremos de esas pendientes se reescribe la funcin objetivo pero reemplazando el coeficiente que se analiza por su smbolo, c1

C1 x1 + 5x2

as, la pendiente de Z es (c1 /5), y dado que la pendiente de la primera restriccin es (2/1), el lmite se encontrar cuando ambas sean iguales, por tanto

(c1 /5) = (2/1) c1 = 10

lo que quiere decir que mientras el coeficiente de x1 que, inicialmente es 3, no supere el valor de 10, la solucin actual sigue siendo la ptima, aunque el valor del funcional es diferente. Por ejemplo, cambiando el coeficiente de x1 de 3 a 4 la propuesta de elaborar 70000 litros de GUARAN y 90000 de PAMPA sigue siendo ptima, pero el valor del funcional (Z) pasa de

3x1 + 5x2 = 660 a

4x1 + 5x2 = 730. Por otra parte, cuando disminuye el valor del coeficiente, se observa que la pendiente de Z se acerca a la de la restriccin 2. El clculo a realizar ser entonces

( c1 /5) = (1/2) c1 = 2,5

significa que mientras no se disminuya el coeficiente de x1 a menos de 2,5 la solucin ser ptima y el valor del funcional cambiar. En sntesis: Para mantener la solucin ptima hallada (x1 =70; x2 =90), el coeficiente de x1 podr variar desde 2,50 hasta 10.

2,50 (1 = 3) 10

34

La respuesta al interrogante planteado, entonces, es que la disminucin de ganancias a 2,75 para GUARAN se puede hacer sin alterar el plan de produccin, aunque disminuirn las ganancias totales.

Hasta donde pueden cambiarse los coeficientes de x1 cuando Z=Zopt?

2.4.2 ANLISIS DE SENSIBILIDAD PARA LOS VALORES DEL LADO DERECHO Una vez encontrada la solucin y presentado el informe que indica elaborar 70 y 90 kl respectivamente de cada alcohol, se tratar de buscar la manera de responder preguntas como las que siguen:

Qu pasara con las ganancias si cada uno de los empleados de tiempo parcial de produccin trabajara 10 horas en lugar de 15? Debido a que el recurso mano de obra se utiliza por completo aumenta la ganancia si uno de los empleados de tiempo parcial pasa a trabajar tiempo completo y se prescinde del otro? Qu pasara si se contrata otro empleado de tiempo completo en rectificado?

El planteo de estas preguntas implica la posibilidad de modificar la estructura del problema. As, la primera restriccin que fijaba el lmite de recurso disponible en horas hombre en 230 cambia a un valor de 220. Se podra expresar as: qu ocurre cuando el sector de produccin dispone de un mximo de 220hh/sem? La segunda, entonces, sera: Que ocurre con la funcin objetivo cuando el sector de produccin pasa a tener una disponibilidad de 240 hh/sem? La tercera: Que ocurre con el funcional cuando en el sector de rectificado se disponen de 290 en lugar de 250 hh/sem? Si se analiza grficamente la incidencia de cambio en una restriccin se advierte que los valores del lado derecho (los bi ) son proporcionales a la ordenada al origen de cada una de las rectas que se usaron para limitar el espacio de soluciones factibles. La primera restriccin,

originalmente fijada como 230, se puede graficar para valores distintos de la ordenada al origen como 100, 200, 300 siguiendo el criterio de reemplazar la desigualdad por una igualdad:

35

Como vara grficamente la restriccin 1 si se cambian las disponibilidades semanales de horas hombre.

Para determinar hasta qu punto puede moverse la restriccin, se convierte el lmite derecho en una variable:

2x1 + x2 = b1 tal como se hizo para graficar. Esta recta puede incrementarse movindola hacia la derecha hasta que pase por el punto H, cuyas coordenadas son x1 = 250 y x2 = 0. Por qu el punto H? porque ms a la derecha no tiene sentido: la interseccin entre ambas restricciones que dan el punto ptimo (produccin y rectificado) cae fuera del espacio de soluciones factibles. En ese punto el valor de b1 se calcula reemplazando x1 y x2 por sus valores como coordenadas del punto H y con ello se obtiene la respuesta a la pregunta Qu disponibilidad de horas hombre semanales tendra que haber dispuesto para operar la planta en el punto H?

2 x 250 + 0 = 500

Punto de mximo desplazamiento de la restriccin 1

Esto se hace porque la solucin primitiva es la interseccin de las dos restricciones y este punto es el ltimo posible para encontrar una interseccin dentro del primer cuadrante (espacio permitido por las restricciones). Entonces la restriccin 1 puede desplazarse paralelamente a s misma pendiente constante hasta x1 = 250 como mximo para que el punto de operacin

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

250

300

0 20 40 60 80 100 120

x1

x2

b=100

b=200

b=300

36

original siga siendo el determinado por la raz de las ecuaciones que representan a las dos restricciones (1 y 2), que es la respuesta original. Para calcular el lmite inferior del desplazamiento, o sea, hasta donde puede moverse sin que la solucin sea la interseccin de otro par de restricciones, por ejemplo, las restricciones 1 y 3, se procede igual:

2x1 + x2 = b1 Las coordenadas del lmite inferior sern x1 = 10 y x2 = 120:

2 x 10 + 120 = 140 que es el lmite de desplazamiento inferior de la restriccin 1.

Punto inferior de mximo desplazamiento de la restriccin 1.

Todo el conjunto muestra los extremos de variabilidad de la restriccin 1, si no cambian los otros datos del problema. El ptimo sigue siendo la interseccin de las restricciones 1 y 2. Pero los valores que asumen las variables cambian.

Valor del lado derecho de la restriccin 1 (b1)

Valor de las variables en el ptimo

Valor del funcional en el ptimo

X1 X2 Z

140 200 230 300 500

10 50 70

116,7 250

120 100 90

66,7 0

630 650 660

683,6 750

Como este cambio en el funcional sigue un incremento lineal, se puede calcular la pendiente del cambio, por ejemplo:

Pendiente = (Ganancia cuando la restriccin vale 500 ganancia cuando la restriccin vale

140)/(500140)= 0,333

=500 140500 140

=1 1

1 1

37

Lo que se interpreta que por cada hora adicional de mano de obra disponible por encima del valor de 230 y hasta 500 el margen de ganancias se incrementar en 0,33 $: este valor es el precio sombra del recurso. De idntica manera podra calcularse el precio sombra asociado con la restriccin 2:

Sensibilidad de la restriccin 1

Valor del lado derecho de la restriccin 2 (b2)

Valor de las variables en el ptimo

Valor del funcional en el ptimo

x1 x2 Z

115 200 250 275 295

115 86,7 70

61,7 55

0 56,7 90

106,7 120

345 543,33

660 718,33

765

Pendiente = 2,33 Entonces, por cada hora adicional del recurso mano de obra en rectificado, por encima del valor de 250 y hasta 295 horas, el margen de ganancias se incrementa en $ 2,3333. Por otra parte, por cada hora de recorte en esa mano de obra, desde 250 hasta 115, se pierde $2,3333 Calcular el margen de ganancias de AA si cada uno de los empleados de tiempo parcial de produccin trabaja 10

horas en lugar de 15.

Rta.: El valor de la restriccin 1 pasa de 230 a 220. Este cambio cae dentro del intervalo 140500:

Nueva ganancia = vieja ganancia precio sombra x incremento hs mano de obra=

Nueva ganancia = 660 0,33 x 10 = 656,667

Calcular el margen de ganancias de AA si uno de los empleados tiempo parcial de produccin pasa a tiempo

completo y se prescinde del otro Rta.: El valor de la restriccin 1 se incrementa a 240, aun dentro del intervalo.

Nueva ganancia = vieja ganancia + precio sombra x incremento hs mano de obra

Nueva ganancia = 660 + 0,33 x 10 = 663,33

Calcular el margen de ganancia si se contrata un obrero ms de tiempo completo en rectificado.

Rta.: El valor de la restriccin 2 pasa de 250 a 290 en un intervalo permisible de 115-295: Nueva ganancia = vieja ganancia + precio sombra x incremento hs. mano de obra

Nueva ganancia = 660 + 2,33 x 40 = 753,2

38

2.4.3 ANLISIS PARAMTRICO DE LOS VALORES DEL LADO DERECHO El anlisis anterior brinda respuestas ante posibles cambios siempre que los coeficientes se mantengan dentro del intervalo de sensibilidad. Ahora se tratar de evaluar lo que ocurre fuera de ese intervalo. Por ejemplo, puede plantearse la posibilidad de reducir el personal de elaboracin a dos obreros de tiempo completo y uno de 30 horas semanales. Es plantear el problema en los siguientes trminos: Averiguar lo que sucede con el margen de ganancias ptimo, si el valor del lado derecho de la restriccin 1 pasa de 230 a 110 (dos empleados de 40hs ms uno de 30hs). Debe observarse que el valor nuevo est fuera del intervalo de sensibilidad 140-500 calculado para la restriccin 1. El anlisis paramtrico permite evaluar cualquier cambio en una restriccin particular.

Restricciones originales

Si se examinan nuevamente las restricciones originales, se ve que mientras la restriccin 1 no disminuya debajo de 140, la solucin ser la interseccin de las restricciones 1 y 2, pero cuando cae debajo de 140 la solucin pasa a ser la interseccin de las restricciones 1 y 3, por lo que el precio sombra cambia en el punto 140

Restriccin 1 desplazada por debajo de 140

As, el nuevo precio sombra para el intervalo 120-140 ser 1,5 y la ganancia nueva ser:

Ganancia nueva = ganancia en 140 hs precio sombra x nmero de horas debajo de 140. Si la restriccin se reduce por debajo de 120, pero arriba de cero, la solucin ser la interseccin de las restricciones 1 y 4

39

Restriccin 1 desplazada por debajo de 120

Diagrama transaccional para la restriccin 1

A partir de ese punto la ganancia ser la ganancia con las 120 hs precio sombra por nmero de horas debajo de 120. Con toda esta informacin es simple construir un diagrama que indique como vara cada restriccin: este diagrama denominado transaccional se muestra en las figuras para la restriccin 1 y para la 2. Obsrvese que disponer de ms de 500 horas en elaboracin no reporta ms ganancias.

Diagrama transaccional para la restriccin 2

40

2.5 PROGRAMACIN ENTERA: UNA APROXIMACIN A LA SOLUCIN GRFICA

Cuando se trabaja con modelos que tienen algunas restricciones que obligan a que las variables decisin (todas o algunas) solamente puedan asumir valores enteros, se dice que son problemas de programacin entera, lo cual lleva a que a veces el caso no puede ser resuelto por programacin lineal, aunque todas las funciones sean lineales. Es posible interpretar que un problema de este tipo puede ser resuelto redondeando el resultado final a los valores ms prximos, pero esto no siempre significa que se encontr la solucin correcta. Para comprender mejor estas afirmaciones se presenta el siguiente caso: Un distribuidor de productos de computacin tiene en stock 6 plaquetas de memoria de 2G y de 28 hs para armar modelos de PC para venta directa para el inicio de clases. Tiene experiencia anterior y sabe que los modelos ms vendidos son el de 4G y el de 8G, adems que tiene stock de los ms baratos. Armar un modelo de 8G le lleva 2 plaquetas y 7 horas del tiempo disponible, mientras que el de 2G lleva una sola plaqueta pero compensa el costo agregando una unidad extra de DVD, por lo que le insume 8hs del tiempo disponible. Con el modelo 8G gana $120 y con el 4G gana $80. Cuantas PC debe fabricar si desea maximizar sus ganancias?

El modelo lineal de este caso es, llamando G1 al modelo de 4G y G2 al otro:

enteroGG

GG

GG

GGZ

,0,

2878

62

a sujeto

max12080

21

21

21

21

El requisito de entero es evidente, ya que es difcil suponer que se puedan vender unidades sin terminar. La solucin grfica del caso se obtiene como en el caso anterior, haciendo igualdades con las desigualdades y graficando el rea de soluciones factibles. La nica diferencia es que en este caso se sealan los puntos de interseccin de nmeros enteros, con letras minsculas para diferenciarlos de los vrtices que estn con maysculas.

41

Se resuelve como fue resuelto el problema de los alcoholes analizando cada vrtice y calculando Z en cada uno de ellos.

vrtice

G1 G2 Z Obs

A 0 0 0 Solucin trivial

B 0 3 360 Subptimo

C 1,555 2,222 391 ptimo relajado D 4 0 320 Subptimo

Se emplea la expresin relajado en el sentido que se obvia la restriccin de nmeros enteros. La primera intencin podra ser redondear 1,5 a 2 y 2,22 tambin a 2. Si se observa el grfico, el punto de coordenadas (2;2) es el marcado como n y no est dentro del espacio de soluciones factibles, por lo cual habra que optar por m o j. Para seguir un mtodo se construye una tabla con los valores de cada uno de los planes de produccin, donde no se incluyen los puntos h, l, i, e, f y g, para dar ms claridad al concepto.

vrtice

G1 G2 Z Obs

A 0 0 0 Solucin trivial

B 0 3 360 Optimo

C 1,555 2,222 391 ptimo relajado D 4 0 320 Subptimo

m 1 2 320 Subptimo

j 2 1 280 Subptimo

k 3 1 360 ptimo

Como se ve, los puntos de operacin ptimos son fabricar 3 unidades de G2 o 3 de G1 ms una de G2 y ambos estn sobre alguna de las rectas de las restricciones. En realidad, para construir un algoritmo capaz de resolver este problema se debera prever que se examinaran todas las soluciones del espacio de soluciones factibles que sean combinaciones de valores enteros paras las variables de decisin, ya que es fcil deducir que a priori es imposible saber si el ptimo est cerca del optimo hallado como vrtice no entero digamos, el punto m en el caso analizado o mucho ms lejos, en otro vrtice, en e caso analizado. Se advierte que es necesario establecer un mtodo de examen: primero saber cuales son todas las soluciones enteras posibles y luego identificar aquella o aquellas que dan un valor en el funcional mejor (el mximo o el mnimo valor) Un mtodo sera enumerar todos los valores posibles de G1 y, para cada uno de ellos, enumerar los 3 valores posibles de G2, lo que hace un total de 20 combinaciones. Representndolo grficamente:

42

En la fila inferior se muestran los posibles pares (x;y), de los cuales deben descartarse algunos que no estn en el rea de soluciones factibles (nodos sombreados) Si ahora se considera que se examina un problema con 10 variables, cada una de las cuales est restringida entre 0 y 9 con valores enteros, entonces habr que examinar 10.000.0000.000 nodos para hallar la solucin. Si en lugar de hacer ese procedimiento, que es poco prctico, se examinan cada uno de los nodos que se dibujaron se ve la siguiente singularidad: (para mejor comprender, se numera cada nodo) Si se toma un nodo cualquiera, supngase el nodo 4, all la variable G1 asumi el valor de 3, por lo cual se podra plantear un problema de programacin lineal, comn, sin la restriccin de nmeros enteros aplicado a ese nodo.

0,

28738

623

a sujeto

max120380

21

2

2

2

GG

G

G

GZ

43

Por lo tanto se propone reemplazar cada nodo con un problema de programacin lineal a variable no negativa continua y reemplazando cada variable por el valor que asume en cada nodo. Para hallar un mtodo de solucin se comienza con analizar el resultado del nodo cero, sin la restriccin entera:

0,

2878

62

a sujeto

max12080

21

21

21

21

GG

GG

GG

GGZ

En WinQSB7 se obtiene que G1 es 1,5556 y G2 = 2,2222 para un valor Z = 391,1111. Supngase ahora que se establece para G1 un valor fijo superior al ptimo, por ejemplo G1 = 3 y se intenta resolver el problema:

0,

28738

623

a sujeto

max120380

21

2

2

2

GG

G

G

GZ

Se obtiene que G2 vale 2 para G1 = 3, lo cual est por encima de los valores hallados como mximo irrestricto en enteros (1,556; 2,222), por lo tanto ese problema no es factible. Por tanto el nodo 4 no es factible y todos los nodos por debajo de l sern no factibles (incluyendo el 18). Lo