Parte I - Equação Fundamental Transiente (30!08!2013)

Elementos de Contorno:

Equação Fundamental

TransienteRafael Marques Campos

METODOLOGIA

Motivação

Formulação

Implementação no Programa

Resultados

Conclusão

Motivação

Programa 3D desenvolvido – Resultados em Regime Permanente

Motivação

Programa 3D desenvolvido – Resultados em Regime Transiente

Formulação

Solução Fundamental Transiente:

𝑇∗ =1

4𝜋𝜏𝛼exp −

𝑟2

4𝛼𝜏𝐻𝑒(𝜏)

𝑞∗ =−𝜕𝑟𝜕𝑛

8𝜋𝜏2𝛼2exp −

𝑟2

4𝛼𝜏𝐻𝑒(𝜏)

onde

𝜏 = 𝑡𝐹 − 𝑡

Formulação

Equação Integral:

𝑐𝑇 = 𝛼 𝑡0

𝑡𝑓

𝑆

𝑇∗𝑞𝑑𝑆 𝑑𝑡 − 𝛼 𝑡0

𝑡𝑓

𝑆

𝑞∗𝑇𝑑𝑆 𝑑𝑡

Cuja forma matricial é:

𝐻 1 𝑇 𝑁𝑇 = 𝐺 1 𝑞 𝑁𝑇 + ℎ 𝑁𝑇

onde o termo de contribuição do passado é:

ℎ 𝑁𝑇 =

𝑘=2

𝑁𝑇

𝐺 𝑘 𝑞 𝑁𝑇−𝑘+1 − 𝐻 𝑘 𝑇 𝑁𝑇−𝑘+1

Formulação

Equação Integral com adição de fontes concentradas de calor:

𝑇 = 𝛼 𝑡0

𝑡𝑓

𝑆

𝑇∗𝑞𝑑𝑆 𝑑𝑡 − 𝛼 𝑡0

𝑡𝑓

𝑆

𝑞∗𝑇𝑑𝑆 𝑑𝑡 + 𝑡0

𝑡𝑓

Ω

𝑇∗𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑆 𝑑𝑡

Cuja forma matricial é:

𝐻 1 𝑇 𝑁𝑇 = 𝐺 1 𝑞 𝑁𝑇 + ℎ 𝑁𝑇 + 𝐹𝑄 𝑁𝑇

onde o termo de contribuição do passado é:

ℎ 𝑁𝑇 =

𝑘=2

𝑁𝑇

𝐺 𝑘 𝑞 𝑁𝑇−𝑘+1 − 𝐻 𝑘 𝑇 𝑁𝑇−𝑘+1 + 𝐹𝑄 𝑘−1


Programa baseado no programa desenvolvido por Teresinha Costa Effren;

Limitações:

Condição inicial de temperatura iguais a zero;

Condições de contorno de temperatura e fluxo apenas;

Ausência de fontes concentradas de calor;

Fluxograma simplificado do programa

Input de dados

FormataçãoCalcula as

matrizes G e H

Resolve as equações

Temperatura nos pontos

internos

Plota os resultados


Principais adições ao programa:

Possibilidade de usar condições iniciais não nulas;

Uso de fontes pontuais de calor;

𝐻 1 𝑇 𝑁𝑇 = 𝐺 1 𝑞 𝑁𝑇 + ℎ 𝑁𝑇 + 𝐹𝑄 𝑁𝑇

Solver capaz de resolver Convecção e Radiação;

Função fsolve (Método de Newton)

Resultados

Teste condição de temperatura inicial

Resultados

Teste condição de temperatura inicial

Programa Permanente Programa Transiente

Resultados

Teste condição de contorno de convecção

Resultados

Teste condição de contorno de convecção


Resultados

Teste da fonte pontual de calor

Resultados



Resultados

Teste da condição de contorno de radiação

Resultados



Resultados

Discretização no tempo:

250 intervalos de tempo nos 600 primeiros segundos

100 passos de tempo entre 600 e 4000 segundos

Pior refino

de malha

Melhor

refino

de malha

Resultados

Discretização no tempo:

Passo crescendo linearmente a cada intervalo de tempo.

𝑃𝑎𝑠𝑠𝑜 = 1 + 𝑖𝑛𝑐𝑟𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 ∗ (𝐼𝑡 − 1)

Conclusão

O programa está funcionando bem, necessitando de alguns ajustes:

Julgar se os erros presentes na radiação são significativos ou não;

Organizar as funções;

Otimizar o programa;

Tentar comparar uma simulação com medições experimentais;

Adicionar condições de contorno de maior complexidade;

Comparar novamente uma simulação com o mesmo experimento.

Obrigado

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