Top Banner
35

Parameterized counting problems

Jan 22, 2023

Download

Documents

Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Page 1: Parameterized counting problems

������������ �� �� � ��������

��������� ������������ �� �� ����������� ������ ��� ���������

����� �������������������� ������ ��� �������

������ ��������������� ������

��������

������������ ��� ����� ���� �� ���� ���� ���� � ����� �� ����������� �� �����

������� ���� ��� �� ������ �� ����� ���� ���� �������� �� �� ������� ������ ���� ���

������������ ����� �� ���� �� �� �� ��� ������� ���� ������� ���� ���� ��� ��� �� ����

���� � �� �� ������� � ����� ��������� �� ���� ��� ��� ������ ������������ �������

���� ����

� ����������

�� ������� ���� �������� ��� ��� ����������� �� � ��� �� ������� �� �� ����� ��� ����������� ���� �� ������������� ��������� �� � ������� ��� �� ���� �� ������ ������� ������ � ��������� ��� �� �� �� � ���� ���� �� ��������� ����� �� ������������� ���� �� �� �� �� ����� ���� � � ���� �� � � �� �� �� � ��������� ������ ��� �� �� �� �� �� ���� ��� ��������� ����� ��� �� �� �� � ����� �� �� ������ ������� �� ������� ��� � ����� �� �� ���� ��� � ���� ��������� �� ��� �!��"� #� �� �������� ��� �� �� $ �� ��� � �� ��� �� ��� �� ��������� ���� ������� ��� �� �!%��"�&�� ����� � ���� �������� ���� � � �����

&�� �� �� �� �� �� ���� �� '���� ��� ����� ()*+� &�� ��� ���� ��� �� ���� ����������� ��� ���,$���� ����� ������ - ./0&/1 2#./0 ��� '#3�45&�46 7/&� 8����� ������ ��$ � ����� � ����� � � !���" ��� � �� ���� ����� � ���� � ��� ���� �� ��� �������� &� �� ���� � ����� ��� �� � � � � � � � ���� � � ������� � ����������� �� � ������ ���� 5 ������ ����� � � � �� ����� � � � � ��� ���� ��� ��� �� � � � � � �� � � �� 5 ������ ��� � � � �� ����� � � � � ��� ���� ��� ������� � � ��� �� � � � � ��� ���� � ��

&�� �� ��� ���� �������� ���� ������ �� �� ,������ �� ������� � ��������� �� �� ��������� �� �� ��� ������ �� ��� ������������ ��9��� ��� �

&�� ���� ���� ./0&/1 2#./0 � ������ �� ��� �!%��� : ��" ��� � � �� ���� � ��� � (;+� 5��� ���� ����� �� ��������� �� ������ � � $���� ��������� ���./0&/1 2#./0 ��� �� ��� �!) %<=� : ��" (<+� �� ������ � �� � � $���� ��������� ���'#3�45&�46 7/& � ���� � � �� ���� ���� ��������� �� ������ ��� �, �� � ���� ���������� �!����"�&� �� ������� �� ��������� �� �� �������$ �� ����������� �������� ������ ())+� &������� �� ������������� ���������� � �� ������ ������ �� �� ������ ���������� � ������� ���,������� �������� �� � ��� ����� ����� �� ��� >���? ��������� �������� �� �� ������ � ��� �� �� ������ �� ��������

)

Page 2: Parameterized counting problems

3�� �������� � ��� ��� � ����������� ��� �� � �� � � �� � � � @� � @�� �� � � ����������� ������� ��� ��� �� � � ��� � ��� �� � � �� �� ���� ��� � � �� ���������5 ���������� ������� � � ��� �� � ���,������� �������� !�A&" �� ���� ��� �� ���� � ������� �� �� ��������� !�� � �,����� ��������� �� ��������� " ��� ������� ����� �� ���� ��� �� � ������ �� �!�"���� ��� � � �� ��������� �������� ��� � � � ��� ������������ �� ���� ��� ��� �� ������� ��

B ����� �� ������� � ���� � � �� ���� ����� ��� �� ����� � ��� �� ���� � ����� ���������� �������� �� � ���� �������� ��� � ��� �� �� �� �� �������� �� ��� ��� ���� �� �� ����� ��� �� ��� � ���������� ������� �� � � �� � �� @� �� �

��������� ��������� ���� �� ������ �� ���,������� ������������ �� ���������� ������ �� ���������� ������ ���������

5������ ���,������� ����������� � ����� �� ��� � ������� �������� &� ���� ���� �� ���������� ��������� ��� �

��� �� ()+ �� (%+ � � � � �� (�+ � � � �� (� + � �� (� + � ��

&�� ���� � �������� ���� �� � ,��������� &� ��������� ��� � ()+ � �� �����,����� ������ �� �� � &� �,7&/A 4'&3 C5D&�46 A0#8D/3 � ������ ��� � ()+� �� �� �� � ���� �� ,������� �� �� �!�",7&/A 4'&3 C5D&�46 A0#8D/3 ������ � ���� ����� ����� ���� �� �� ,������ ������ � ��$�� �� � ������ �� ���������� ���� ()+,������� �� �� �,7&/A 4'&3 C5D&�46 A0#8D/3 ������ � ���� ����� ��,��� ���� �� � ()+,������ ������ � ��$�� �� � ���,������� ��������� '#3�45&�467/& � �� ���� � (%+,������� �� � ��� ����� ���� ��� �� �� ���������� �� �� �������� ��� ���� � �������� $���� � ���� ��� � � ����� �� � �� �� �

A��������� ��������� ����� �� �� ���,������ ������ �� �� � )* ��� � �� � �������������� ������������ ���� �� ����� ������� ��� � ������� ��������� ��� ��������� E����� ����� F ���� ��� �� ���� �� ����������� �9�� �� ������������� ����������� ���� ���������� ������ ������ �� ����� � G ��� �� ���� �� �� ��������� ��'���� ��� ����� ())+ ��� ��� ����� �

#� ���� ��� ���� ��������� � ��� ���� ������� ���� ��� ��� ������ ��� �� � ���� ���� ��������� ��� �������� ������ � &� ���� �� �� �� �� ������ � �� �������� ������� �������$ �� ����� �� ���� � � �� ���������� ������ ���������

2������� ��������� � � ��� ��������� ������ �� ��������� ���� ���� ����������� � �� � �� � ��� ����� &� ��� � � � ���� ���� ��� ��� ������ ��� ���� ��� ���� ���������������������� �� � ������� ������� ���� �������� ������ �� ��� ���� ���� ! ��� �����(%;+"� 2������� ������ ��� ��� �� ��� ������������� ��������� ��������� ��������� A&57F �� �� ��$�

G ����$ ���� ���������� ��������� �� � ��� �� �� ����� �� ��������� �� ���� ������� �

5����� ��� 0���� (%%*+ ��� ���� ���� �� ������ �� �������� ��� �� � ���� ���� �� �

����� � � !���" � ������ �� ��� �!%���� :%��� �"� &� �������� � � �� (%+ ����� ����� ,

��� � � ����� ��� ���� ������� ���������� ������������ �� ���� ���������� �������������� ���� ������� �� ���, ����� ��� ��� ������ �

2������ 3�$�� $� ��� 0���� (H+ ��� ��� ���� �������� ��� ��������� ������ ������� ��� �� ���� �� �������� � ������ �� ������� ���� ���� ������ &�� ��� ������ ������ �� ���,������� �������� ��� �� ������� � �� ������� �� �� ������5���� �$ ()+ ��� 4��� ()<+ ��� ���� ���� ��� ����� � � !���" �� ������� �� �� � � ��&��� ���������� ��� � ������� �� ���������� ��� ��� ������� �� ��� �!�� �" � ��� ������ ���� �� ����� ������ � I� ,������ 3�$�� $� ()J+ �� ���� ���� �� �� ����� ���� ��� �� ������ &��� ���������� �� ������� ����� � � !���� �" �� ������� �� �� � ��

%

Page 3: Parameterized counting problems

6��� ��� ����$ ��� ��������� �� ������ �� ������� ��,������ ��� ��� �� ������� ������ ���� ���� �������� ������ ������ �� �� � ���� ����� ��� � ���� �� ���,������������ ��� �� ��� ������� ()% );+�

&�� �� � ���� ���� ������� ��� ������ ���� �� ������ ��������� �� � ������ �� ���� ���� �� �������� ������ � 5�� �� �� ���� ��� �� �� ��� �� ������� � 5 ���� ������ ���� �� �� �� �� ������ � �� �������� � ����� �������$ ��� ���������� ����������������� ������� �� �������$ ��������� �� '���� ��� ����� ��� ��� ��� ������ �

5 ��� � ����������� �� �� �������� ��� ������������ ��� �� ������ �� � ������������������ �������� � �� � ���$ �� � �� �� ����� ��� � G ��� I� ()+ �� ���������������� �� .������F ��� I� � #�� ��� ������ �� � I7C#0& &B0�46 352C�4/ 522/A,&542/ ��� �� ����� � � ���,������� ��� &����� ������ � ��� � ����� � �� �������� � �� ���� ����� � ��� �� ������ � �� ����� �� �, �� �������� ����������� �� � �� ��G ��� ���� I7C#0& &B0�46 352C�4/ 522/A&542/ � ������ ��� I� ()+� G �� ������� I� ()+,������� �� I� ()+,����� ��� ���� ���� ���������� �������������� � ������� � �� �� � ������������� ����� ����$� ���� �� �������$ �������� '���� ��� ����� ��� ��� ��� ������ ������������� �� I� (�+ !� � �" ������������������ ��� �

G ����$ ���� ���������� ��������� � ��������� ���� ���,���������������� ��� �,���� 8����� (K+ !��� ���������� 2 ��� ��� &��� �� (J+" ���� ���� � ������ ���� ��������������� ������ � � ���������� ��� ��� ������� 3����� �� �� ������������ ����,�� �� �� ���� A&57 ��� �� ���������� ��� ��� ������ � ���,������� ���������&�� �� ������������ ������ �� �� ���� A&57 �� �� � ������ ���������� ��� ��������� � � ()+,���� !��� �� � ,�������� ������ "� 0������� ��� 5�$������� (%)+ ��� ���� ���� ������ ����� � �� ��� �� � ������� ����� ��� �� � ,�������� ������ �&�� ���������� ����� � ��� �� �� ��� ���� � � ������� ���� � ��� ��� ������ ����������� �� ��� ���� ��������� ����

G ��������� ���� �� �������$ �� ��� �� ���� ��� ������ ����������� �� ������������������ ��� ����� �� �� ����� ��� ���� �� !����������" ������ �� �������� /������� �� ����� �� ������ ��� �� I� ()+,���� ��� �� ����� ��� ���� ��� � ��$�� ������������ ��� ����� ��� ������ �� ��� ���� ������� �� ������� ��� ������ �� ����� ���� �� ����� ��� ������ � I� �������

G ������ ����$ ���� �� �� �� � ��� �� ��� �� ���������� ������� �� 6������ ����$� &�� ��� ���� ���� �� ������ �� �������� ���� ���� �� � ����� � I� ()+,���� ()=+�

� � ���� ������� ���� ��� ��� ��

&� ���������� ��� �� ������ ������� �� ��� ���� ��������� ����� I� �� ����� � ��.������ (%%+ �� �� ��� )HJ*F � C� �������� � �� ������ �� � ���� ��������-

��������� � ������ � �������� ��� � - @� !L�"� ��� ��� � � @�� �� ����� �� ���������� �� �!�" �� �������� ��� �� �� �������� � ������ ������ �� � @� ��� ��

�� � � � � @� � �!�" �� �

�� ����� ������ �� � ��� ��� �� ���� � ���� ���� ���������

��������� � I� �� �� ����� I� � ��� ����� �� ������ �������� � ���� �����

!"� ����� � � ����������� �� ���� �� �������� ��� ��� � ��� �� ������� � � �!�"#

;

Page 4: Parameterized counting problems

!"� ����� ����� � �������� � � � ���� ���� ��� ��� � � �!�"� ��� � ����� ! �� �������� � ��������� �� �"�

I� � �� ��� �� ���� �������� ��������� � ������ ���� ��� ��� ������ �� �� ��� �� �

&� �������� ������ � ������ ���� � ���������� ������������� ������ � �� ������ ������� �� ������� �� �� ������ ��� ��� ���� �� ����� &��� � ���� �� ���� ��������� ������ ���� �� ��� ��� ������ ���� � �� ����� ���� �� �� � ��!�"� ��� ��� ����� ��

&�� ��� � �� ���� �������� ��� I� ��� I� � ����� � � ��� �� �������� �� ������ � - @� � � ��� �� ���� (%;+ ()H+�

G ��� �� �� ����� � ��� �������� ������ ��� � �� ����� ���� �� ���� ����������� ��� ��� ����� � �������� �� ������ �� ������ �������� ��� ������������������

��������� � �� ����� ��� ������� ���

� - @� !L�"

- M� !N�"

�� ������ �������� � ��� ����� �� $%%&� ' ����������� ������� ������ �������� ���� �� ������� �� � ��� �� ����������� ��������� ��������

� - @� M�

� - � �

���� ������!�"� � �!�!�!�""�"

���� ���� � �������� ����� �� ��� ���� � ������� �� �

���������� �� �� ��� � ��� ����� �� ����� �� ���� �� !�" ��� �� ��� � ��� ����� ������� �� ���� �� �!�"�

&�� � � ������������ �������� $��� �� �������� ���� �� �� �� ����� �� ������� ��� ������ ������� G ���� ��� � �������� ����������

��������� � ���������� � ��� ������� ' ������ �������� �� � � ��������� � � ���� ������ ��������

5��� ���� �� ������ �� � �������� �������� � ��� ��� �� ��� �� I� �������� ������ �

#� ����� � ��� � �� ���������-

������� � ��������� �� ������ �� ������ ��� ����� �� ������� ����� � � � ������� ���� � I� ���������

' ��� �� ���� ���� � ����� �������� ��� � ����� �� ���������� ��� �������� �� ������� ��� � � ���� � �������� �� ����� �� ��� ����� � ������ �� � 8����� �������� '���� �� �� ����� �� ��� ����� ��� � ����� �� ()O+ �� ()H+�

� �� ��� � � ������������ ������ ���

�� ���� ����� � �������$ �� ����� �� ��� ��� ���������� �������� ������ � �� � ���� ����� � � �� �� �� �������� � G �����-

K

Page 5: Parameterized counting problems

��������� � ���������� �� ���� ����� ' ����������� ��� �� � � � � ������ � � @� �@�� �� � � � ����������� ��� �� � ��� ��� �� � �� ���� �� ��� ����� �� � �� ��� �� ������� � �� ��� ��������� �� � ����� ��������� �� ������� ���� � � �� ��� ��� ��� �� ����� ������������ ��� �� � �� �� � ������ �� @� �� �

5 �� �� ��� ���� �� � � �� ������ �� � ���� �������� �� �������� �� � ������������ ���������� �������� ������ ��� ���� ���� ������� ��� ��� ������ �

��������� ! ���������� �� "������ � �������� ��� � - @� �� !L�"� ��� ��� ��� �� �@��� � �� ������� �� �!��� ��" ��� �������� ��� ��� ��� �� �������� � ����������� ��� �� ��� � @� �� ��� ��

�� � � ��� �� � @� �� � �!��� ��" �� ��

�� � ��� ��� �� ������ �������� ���� ���� ���������

��������� # ���������� �� �� ����� $��%����� ��� � - @� � � !L�" �� � ������������ ������ �������� �� ����������� ����������� ������ ������ ��� �� ��������� ��� ������� �� - @� �� � ����� �� ���� ��� ��� ������� ��!��� ��"��

G ��� �� ���� >� �? ���������� �������� ������ ��� � ��� ���� �� � ��� �� ����� ���� � ����� ���� >��A&? �� ��� �� �������� �� �� ���� � - @� � � � ����!��� ��" � ��������� �� ��� �!�"���� ��� � � �� ��������� �������� ��� � � � ��� ���� ���������� �� ��

&� ��� ��� >����? ���������� �������� ������ � �� �� ��� �������� -

��������� & ���������� �� ���������������� ' ����������� ������������ ��� � ������������ ��� �� � � �� � ����������� ��� �� � �� � �� �� ���� ���� �������� ��� ����������� �� � ��� ��� ��� � ��� ���� ��� ���� �����

(� ��� �� � � � ��� ���� � ���� ��� � ���

%� �� � �!�" � � ������� ���� �� �� ���

)� ��� ��������� � ���������� � �� �!�"��� ����� � � ���� � � � �������� ������������ ���� � ��� �� ��� � � �� �������� ��������

��������� ' ���������� �� �� ����� ��� ������� ���

� - @� �� !L�"

- M� �� !N�"

�� !������ �������� ���" ����������� ������ �������� ' ����������� ������ ����������� � �� ������� �� � ����������� ������������

- @� �� M� ��

��� � �������� - � �

����� � �� �!�"�� !����� � � ���� � � � �������� ���������� �� ���� � ��� �� ��� � ��� �������� �������" ���� ����

��!��� ��"� � �!�! !��� ��""�"

���� ���� � �������� ����� �� ��� ���� � ������� �� �

=

Page 6: Parameterized counting problems

5 �� �� ��� ���� �� �� �� ��� � ��� ����� �� ����� �� ���� �� !���� ���" ��� ����� � ��� ����� �� ����� �� ���� �� �!��� ��"�

��������� �( ���������� � $��������� �� �� ����� ��� ������� ' ����������� ������� �������� � � � ��������� � � � ��� ������ ��������

#�� �� � ���� � �� ����� � I� ()+ �� ���������� ������ �� I� � �� �� ��� ������ ��� �� ���������� �������� ��� I� ()+� �� �� ��������� ����� � ���� ���� ����������� ���������� ���������� �������� ������ � I� ()+,������-

I7C#0& &B0�46 352C�4/ 522/A&542/

������ 5 ���������� ��� &����� ������ � ��� � ����� ��*�������� 5 �� ���� ����� ��+������ !��� !�� �" �� ����� �� � �, �� �������� �����������

�� ������ � �� ����� ��

&� ����� �� � ���� � �� ������� � ���������� �������� ������ �� 2��$F ��������� ����� �� � ()+,������� �� �4'/A/4'/4& 7/& ��� ���� ������� ����� ������ �� �� �������� � �� �� � � � ���� � ������� ����� � ���,������� ��� &����������� �� �� �������� ���� �� ����� � �� �� ������ G ��� �� ��� ���� ��� I� ()+,������ ������ ������ �� ����� �� ������� � � ���� � �������� �� ����� �� > ����?�������� ���� �� � ���,������� ��� &����� ������ �� �� ������

��� � ������ �� � !"#�

G �� � ���� �� �������� �������� ��� � ()+ �� ��� �� ())+� G ���� �� �� ������������������ �

5 ;24� ������� ��� � ��� ���� � � ������� ��� � ���� �� �� ����� !�� �������� ������"��� ��� ������� �� ���� ������ ���� �� ������� ��� ����������� � ���� ��" �� ���� #$F !�� �� ;" ���� � ���� ������ ���� 3�� ������� �� � �������� �� ��� ��� �� ���� �� �"%�&'&#� �&$�&�� &�� � � ������� ��� � ���� �� ���� ��� ���� ��� ���� � ���� ������ ������ �� � �������� �� �� ������ �� ��� � ��� ��� � ������� �� "%(�) � �� ������� ������� ��� �� ��� ���� ���� �� ����� ������� �� �� ������ ��� ��� �� �%�� � �� >���� ��������?�������� � ��� �� ��� �� � ������� � ������ -

��������� �� ����� ��� * �� � ������ ������ �� �%�� �� * � ������ �� �� ��� �������� �� ��� � ���� �� ��� ���� ��� ��� ���� �������� �� ��� ������ ���� !' ��� � ��������� � � �,� ���� ������� ��� ������������ ������ -��� �� ��� ������� ������� ������ �������� ��� ����� �������� �"�

D� � � �*�� � *�� � � � ������ �� ��� ��� ������� � 5 ������ ���� � � � �� �� �������,��� �������

�� � ��*�� �� - *� �� � ����� � ��� ����� � �������

)�������* G ���� ���� �� ������ �� ���������� ������� � ������ ���� �� ������ ����� � ���� ) ��� ��� ������� �

��������� �� � ()+�� �� ����� � ��� �� � � �� �� � ��� ����� � ()+ . ����� � � ����������������������� ��� � �� ������ ��� ��� )�

4�� ��� ��� �� ��������� �������� ���������� �������� ������-

IG/�6C&/' G/�& � '/A&C ) 2�02B�& 75&�7��58�D�&P !G27!�� )""

O

Page 7: Parameterized counting problems

������ 5 ��� � ���� ) ��� ��� ������� *�*�������� 5 �� ���� ����� ��+������ &� ����� �� ����� � ��� ����� � ������ ��� *�

D� ������ - @� � � !L�" � �� ������� ���������� ���� �������� � ������ ������� �������� ������-

������!�*� ��" � � ����� � ��� ����� � ������ ��� * �

��������� �� I� ()+�� �� ����� � ����������� ������ ������� �� �� �� � I� ()+ .����� � � ����������� ������ �������� ��� � ��� ����������� ������ ������� ��� �� ���������

� � ���������� ��� ��� ���� �� ��� �� ���

�� ��� ����� � ���� �� ��������� �����-

������� �� /01+2 32�-4 5'61�-7 '667* '-67 � ������� ��� I� ()+�

&� ����� ��$ � �� � �� �� ���������� ���� ��������� � ����� �� ())+ ���� ����,����� ��� ������ �� � �� ���� ��� �� �� ��� � ��� ���� � � ��� ������� �����,����� �������� ��������� &� �� � ��������� ��������� ���� � ��$ � �� ����$��� �� ������ �� �� �� ����� �� D��� )� 3� � �� �� ���� ��������� � ����� �� ())+ �� �� ������� ������� � � � �� �� ���� ���� ��� � �� �� �

G �� � ������ �� ������� �� �� ����� ��� �� �� ���� ����� ��� ��� �� �� $� �� ��������

G ���� ���� �� ���������� ���������� � ��� ����� ��� ) ������� �G ���� ��� �������� �� ������� ������ ���� % ��� � ������������ ���� ���� ��� � ����

�� � ���� ������ ��� ��� ����� ���� ������� ���� �� ��� ������ ����� ������ �� ���� ���� '� /��� ��� ������� � � ������������ ��� ��� �� � ������ ��� ��� �� ��� ������������ ���� ������ ���� ���� �� �� � ' ������ � G ���� �� ���� � ������� ������ ��� ���� � �����������

D� � !'" ���� �� ������ �� ',��������� ������� � 4�� ���� �� ',��������� ������� � ���� ) ���� % ��� ��� ������� ���� �� �� ��� �� ��� ) ������ ����� ������ �� '�

G ��� ���� ��� � � ��� ������� ���������� �������� �������� ���� ������ �� ������� ���������� ���� �������� ��� �!)� )" �� ����� �� ������� ���������� ���,

� �������� ��� �!'" ��� ' � %:)� &�� ��� ���������� �������� ������ � � I� ()+��� �� ���� � ����� �� �� ��������� ������ !��� ' � ��� �� ������ ��� ���� ���"-

IG/�6C&/' ',4#035D�Q/' 2�02B�& 75&�7��58�D�&P

������ 5� ',��������� ��� ��� ������� *�*�������� 5 �� ���� ����� ��+������ &� ����� �� ����� � ��� ����� � ������ ��� *�

+���� �� ������ ������� �� ������ ����� ' � %:)� �� � ��������� ����������� ������ ���������

����� � �����*

J

Page 8: Parameterized counting problems

D� * � �!)� )" ��� �� � � � �� ���� ������ G � ���� � ���������� ���� ������������� �� ����� �*� �� ������ � ������� * � � �!'" ��� �� ����� �� ��� ���� ��� ��� ������ ����� ������ �� * ��� �� � � ����� ����� �� ����� ������ �� * �� &� ���� �������������� �� ���� ��� ��� ������ ���� ���� �� ())+ ���� �� ������� ��������� �� �� �� � �� �� ���� �� � �� ��� ������

&� �� � ��� �� �������� �� �� ���������� � �� ������� * � �� ���� K ���� ���� ���� �� � 8����� ��� ��� � �� �� ��������� ����� !G � ������� �������� �� ���� ������� ���� �� �������� �� ���� ������� ��"

� �

�����

��� ��

��

���-!)" + � ������ �� � �������� �� )!%" ��� ��� & +� � ������ �� � �������� �� )!;" ��� ��� &� , �� � ����-

�� �

�������

��������

�(&� ,� �� -+

��

�� �

�������

��������

�(&� ,� �� -+�

��� �� �(&� ,� �� -+ �� ������ !��� ����� 8����� ������� �� ���� ������� " ��� ��� ��� &� ,� �+� � � ������ �� � �������� �� )� &� ������ �� ������� ���� ������� �� �� ��� ��� �� ��� ) ���� �� ���� ��� ���� ������� �� �� �� � !�� ���������� �� +� �� ��� �������� � �������� �� )�"

4�� ���� ��� ����� � ����� ������ �� * ���� �� � � ������ �� * � ��� ����� � ������ ��� �� * ���� �� � � � ��� �� * �� &�� �� ���� ��� * � �� ������ �� ���� ��� ��� �������� ������� *�

�� �� ������ �� � ����� ���������� ���������� ��D� * ���� �� ��������� ���� K ������� ����� ���� �� ������ �� ���� �������

�� �� 8����� ��� ��� � � ����� �����G ������ �� ��� ��� �� �� �������,��, �� ���� ���� �� �� �� �� �� ������ ��

% : ) ���� �� � ����� ��� ����� ����� � ������ �� �����

�� � � : !� : )"!) : %"%��

: + :

�����

+�

���� ������� �� ��� ��� ����� ����� � ������ �� ����� � ��� *�&� ��� � �� ����� ���� ������� �� �� � ���� � � � ����� �� ��� ����� ����� � ������

��� �� ���� ���� � � ����� � ��� ����� ����� � ������ ��� � ��� � ?�����? ���� � ��� � �� &�� � � �� 9�� �� � ��� �� � ���$ ���� � ��� � ��

G ����� �� � ���� �� ���� ����� �� ����� � ������ ���� ��� �� �� �� �� � �F �������� ���� �� � F ��� ����� ��

'���� �� �� ��� �������� �� �� ��� �� ���� ������ �� � ����� � ��� ����� � ��������� � �� � ����� ����� �� ��� ����� � ������ ��� �� ��� � ����� �� 7����� K�)�

D��� ) ����� � �� ��� ��� �� ��������� �����-

<

Page 9: Parameterized counting problems

������� ��

I� ()+ �

�����

I� ()� '+

����� I� ()� '+ � ��� ����� �� ����������� ������ ������� ����� ��������� ������ �������������� �� ������ ��� �������� ����������� ������ ������� ��� �!'"� ��� ���� �� '��������������� �������

G ��� ���� �� ��� ���� I� ()+ ������ �� I� ()� %+�

G ���� �� �� ��� �������� -

5 ������� * � ���� ������� �� �� �� ��� ��� ��� ��� ��� � /���������� * ���� ���� �� � ������ ��� ��� ������ ���� �� ���� ������ �

G ��� � ������� * �� � ���������� �� ��� �� ����� ������� �� ����� ��� ��������� �� �� ���� ������ � &�� �� �� ����������� ������� ��� ������ ��� ���� �� �������� �� �� � ��� ��� !��� �� �� ������� �� �� ������� ��� �� �# ���� ��� ��� "� &�� �������� �� ������ �� ����������� ������� ���� �� ��� �� ���������� �������� ������ I54&�3#4#&#4/ � ()� '+�

������� �� I� ()� '+ � I54&�3#4#&#4/ � ()� '+ ��� ��� ' � %�

B ��� &���� K � ��� ���� �� ���������-

������� �� I� ()+ � I� ()� %+

������� !� �� ������� ��� ������� ��� I� ()+�!" /�-87*7-87- 07 !" /6��937

A���� �� �� ����� ��� � ����� �� 7����� K�% K�; ��� K�K�

G �� ��� �� � �� ����� �� ����� � &���� % ����� � � ��� ���

������� �� I7C#0& &B0�46 352C�4/ 522/A&542/ � ������ ��� I� ()+�

����� � �����*&� ��� ����� ��� I� ()+ � ������ � ��� ������� ���������� �������� ��������

���� I2D�RB/� 5���� ��� ������ ())+ ���� � ����� ���������� I� ()+,����� ���� ��������� �� &���� O !��"�

&� ��� ���� ��� �� I� ()+ � � ���� � ��� ������� ���������� �������� ������������ I7C#0& &B0�46 352C�4/ 522/A&542/ �� IG/�6C&/' G/�& ) '/A&C )2�02B�& 75&�7��58�D�&P !IG27!)� )""� '���� ��� � ����� �� 7����� K�=�

G ��� ��� ��� �� ��������� �������� ��� I� ()+�

��������� �� I� ()+, � ���� ������� ���������� �������� ��� !�������!�" �� ��� ������� ������ ������� ���������� �� ����� � �� ���� � � @�� ���

I� ()+ � �� - @� � � � � !������� ��� ��� -* ����� ��

H

Page 10: Parameterized counting problems

��� � ��� �� ����� �

+����� ������ ���� �� ����� ��� ' � %:) ��� � ��� ������� ���������� �����������������

�����*D� * � �!)� )" ��� �� � � � �� ���� ������ G � ���� � ���������� ���� ���������

���� �� ����� �*� �� ������ � ������� * � � �!'" ��� �� ����� �� ��� ���� ��� ��� ������ ����� ������ �� * ��� �� � � ����� ����� �� ����� ������ �� * �� &� ���� ��������������� ���� ���� �� ())+ ���� ��������� �� -��$ � �� � �� ��� ������

-��$ �� &� �������� �� �� ������� �

&� �� � �� � �� ���� ���� * ���� �� �������� ��� ) ���� ����� * � �� ���� �� �� �)� �� � �� ������� ��� ����� ��� �� ������ �� ��� �� ������� ��� � ���� � ���������� � 8����� �������� &� ���� ��������� ��� � �������� �� �� ���������� �� ������� �� ��������� ���� � ��� � ���� ��� � �� ������ �� �� ��� �������� ���� �� ��� ��� ������� ��� ��� �������� �������� ��� �� ���� &� ������� �� * � ���� * ��� ����� ����!�*����" ��� ������ � ������ ����,�� �� �� �� �� �� �������� &�� � ������� ���� ������ ��� ��������� ���� ��������� ��� �� ������� ���� ) � � ��� ��� ���� ���������� � ��� �*��

4�� ���� ��� ����� � ����� ������ �� * ���� �� � � ������ �� * � ��� ����� � ������ ��� �� * ���� �� � � � ��� �� * �� &�� �� ���� ��� * �� ������ �� ���� ���* ��-��$ �� 3����� �� ��� ��� �� �� ��� �� �� ��������

D� * ���� �� ������� � ���� ���� �� ������ ��� &��� ���� * ���� �� ��������������� * � �� ��������� �� ��� ��� �� �� ��� � ��� '3�����F ��� � &�� ��� ����� �� �� �� �� ������� �� �� �� � � ��� ���� ������� &� �� �� ������� * � ��� ��� � � !�� �� ���"�� �� ����� ��� ���� ��� ��� �� �� �� �� ��� ������� ��� ���� �� ����� � �� ����������� � ��� ��� ��� �� ��� � ��� *�

4�� ���� � �� �� �� ��� �� ) ��� ����� � ����� ������ �� * ���� �� � � �������� * � ��� ����� � ����� � ��� �� * ���� �� � � � ��� �� * �� &�� �� ���� ��� *�� ������ �� ���� ��� * ��

-��$ �� 5 ���������� ���� K ��������������

&� ���� �� ��� �� � �� ������ � �� ������� * � �� ���� K ���� ���� ���� �� �8����� ��� ��� � �� �� ��������� ����� !G � ������� �������� �� ���� ������� � ��� �� �������� �� ���� ������� ��"

� �

�����

��� ��

��

���-!)" + � ������ �� � �������� �� )!%" ��� ��� & +� � ������ �� � �������� �� )!;" ��� ��� &� , �� � ����-

�� �

�������

��������

�(&� ,� �� -+

��

�� �

�������

��������

�(&� ,� �� -+�

)*

Page 11: Parameterized counting problems

��� �� �(&� ,� �� -+ �� ������ !��� ����� 8����� ������� �� ���� ������� " ���

!K" ��� ��� &� ,� � +� � � ������ �� � �������� �� )�

&� ������ �� ������� ���� ������� �� �� ��� ��� �� ��� ) ���� �� ���� ��� ���� ������� �� �� �� � !�� ���������� �� +� �� ��� ������ �� � �������� �� )�"

D� * ���� �� �� ������� ����� ���� 7�� % ���� ��� ��� ��� �� ��� *� D� � ����� ���� ��� �� *� 5� ����� �� � � ������� �� � ��������� ���� ���� ������ �� ) ��� � �������� �� ���� ��� ��� � � � �������� �� �� �� � % ������ � &�� ��������� ��� � ������ ����� ���� �� � �� ���� � �������,��, �� ��� ��� !�� � � � ���� � ���" �� � ��,��,������� ��� ��� !�� � � � ���� � ���"� �� �� �� � �� �� ������� �� �� �������� ��� �������� �� � ���� �� ����� ��� �� ���� ������� �� �� �� �� ���� �� �� �� �� �� �������� ���� �� ���� ������� �� �

&� ������ �� * � � �������� �� �� ������ �� �� �� � % ���� ��� ��� �� �� �� ������� ����� ���� ��� ���� ��� �� * �� ���� ������ �� )� &�� �������� ��� � ��� �

� � �������,��, �� ��� ��� �� �� �� �� � %��

� 5� �� �� � �� �� ���� ����������� �� ��

�� ���� ��� ��������� �� �� � %��

��� � ��� ����� �� � ��� ������ ���� ���� ��

����� - + � %��

+� � % ��� +� � � %�4�� ���� ��� ����� � ����� ������ �� * ���� �� � � ������ �� * � ��� ����� � �����

� ��� �� * ���� �� � � � ��� �� * �� &�� �� ���� ��� * �� ������ �� ���� ���* ��

-��$ �� /�������� ���������� ���������� ��

D� * ���� �� ��������� ���� K ������� ����� ���� 7�� ; ��� ���� ������� �� ��8����� ��� ��� � � ����� �����

�� ��� �� � ������ �� ��� ��� �� �� �������,��, �� ���� ���� �� �� �� �� �� ������ �� % : ) ���� �� � ����� ��� ����� ����� � ������ �� �����

�� � � : !� : )"!) : %"%��

: + :

�����

+�

���� ������� �� ��� ��� ����� ����� � ������ �� ����� � ��� *�

&� ��� � �� ����� ���� ������� �� �� � ���� � � � ����� �� ��� ����� ����� � ��������� �� ���� ���� � � ����� � ��� ����� ����� � ������ ��� � ��� � ?�����? ���� � ��� � �� &�� � � �� 9�� �� � ��� �� � ���$ ���� � ��� � ��

��� �������� � �� ���� �� �� ��� , � )� �+�� �� �� ,��,������� ��� �� �� ���

, � +�� : )� �+� �� ������� ,��, �� � D� � � ���� � ��� ���� �� ������� �� ��

&� � � �� ������� �� �� � � � � � �� � �� � � � �� ���

� � ���� � ��� �� ������� �� �

�� � � �(&� ,+ - ) � & � �� * � , � !) : %"%��

��� � � (&� ,+ - ) � & � +� ) � , � +��� � � �(&� ,� �+ - ) � & � +� ) � , � +�

�� * � � � +� ��� � � (&� ,� �+ - ) � & � +� +�

� : ) � , � +�� * � � � +� �

G �� � � ���� ��� � ����� �� ���� � ����� � ����� � ������ ��� � ���� ��� � ����� � ����� ����� �� ����� � ������ ��� � �

7���� � � � ����� � ����� � ������ ��� � ���� ��� � � � ����� � � � ������ -

))

Page 12: Parameterized counting problems

)� ��� ��� & ��� ���� �!��" � ) ��� ��� ��� , * � , � !) : %"%��

� � �!�(&� ,+" � )�

%� ��� ��� & ) � & � + ���� �� ���������������� �� � ���� ,� ��� ���� ��� � ������ �� ) !��� � �� ��� ��� � ��� � �" ��� � � �!(&� ,�+" � )�

!�" �� �� !%" ��� � � � ��,��,������� ��� ���� �� ���������������� �� � ���� �� ��� ����

������������

�(&� ,�� ��� -+

������ �� ) ��� � � �!�(&� ,�� ��+" � )�

C� � �� ���� ��� �� �� � ����� ��� �� �� �� ��� � ���� ��$ �� ����

!�" �� �� !%" ��� � � � �������,��, �� ��� ��� ��� �������,��, �� ��� � ���� ,� . ,����� �� ���������������� �� � ���� �� ��� ����

������������

��(&� ,�� ��� -+

������ �� ) ��� � � �!(&� ,�� ��+" � )�

C� ��� ��� ������� ��� � ���� ���� ��� � � �� ���� ��� �� �� � ����� ������� ��$ ��� � ��� �

;� ��� & � )� �+ ��� , � )� �+�� ��� ���� , �� ,� � � �!�(&� ,� *+" � )�

��� & � )� �+ ��� , � +�� : )� �+� ��� ���� , � ,� � � �!(&� ,� *+" � )�

K� ��� ��� ���� ������� �� � � � �!" � *�

4�� ���� � � � � ����� � ������ �� �� ������� �� � ������ �����

�� � � : !� : )"!) : %"%��

: + :

�����

+�

��� ���� ��� � ������ �� � � ��� � ���� ������� �� ��� � ��� ��

G ��� ����� �� � ���� �� ���� ����� �� ����� � ������ ���� ��� �� �� �� �� � �F �������� ���� �� � F ��� ����� ��

&� ��� ��� �� � � ������� �� ����� ��� - �� � �� � � � � � ����

G �� � ���� �� � ����� ���� ��� �� � ������� ���� � �� ����$ �� ������� �(&� ,+ - * � , �

!) : %"%��

���� ��� G ���� �� � �� ���� �� �� � � �� ) ��� ��� �� �� � ������ �(&� ,+ ���� � � �� ) ��� ���� �� �� � � �� * ��� ��� �� �� � ������ �(&� ,+ �� � �� *� &� ������������ ����� ��� �������� � ��� �� $�

�� �

�����

!��� : �(&� *+"!��(&� *+ : ��"

�� �

�����

������ �

!��(&� ,+ : �(&� , : ) !��� $"+" $ � ) : !) : %"%��

)%

Page 13: Parameterized counting problems

��� ��� & ) � & � + , ) � , � +� �� � � (&� ,+ � ) ��� ��� ��� �� �� ���� ���� �� � ��� ��� G �� �� � �� ���� �� ��������� �� (&� ,+F � �� ) ��� �� �� ��� ������� ��� ��� �������� ��� ��� ��� ��

� �

�����

��� ��

(&� ,+

��� ��� & ) � & � + � �� � � �� ���� � � ������ �� ������� (&� ,�+ �� ) ��� ���� ,�� �� ���������������� �� � ���� ��� ���� ��� � ������ �� )�

/������ �� ,� ��� ��� &-

�� �

�����

����� ��

��� �� ��

!�(&� ,+ : �(&� ,�+"

�� �� � � ��,��,������� ��� (&� ,+ � ) ��� � �� ��� � �� ������ �(&� ,� *+� &�� �� �� �� �� �� ���� �� �(&� ,� �+� � �� * � ��� �� � ��� � ��� �� �� � � ��� �� �� � -

� �

�����

��

�� ��

!�(&� ,+ : ��(&� ,� *+"

&� ��$ �� �������� ��� ������� � �� � �� � � �� ���� �� �� � � ��,��,������� ���(&� ,+ � * ��� � �� � �� ������ �(&� ,� *+-

� � �

�����

��

�� ��

!(&� ,+ : �(&� ,� *+"

�� �� � � �������,��, �� ��� (&� ,+ � ) ��� �� � ��� �� �� � -

�� ������

��� ���

���

�������

!�(&� ,+ :

��������

�(&� ,� �� -"

&� ��$ �� �������� ��� ������� ��� ��� & ��� , ��� �� � � �������,��, �� � �� �� ����� �� (&� ,� �+ ��� �� �� � � (&� ,+ � ) ��� ��� ��� �� � ,

� � , ���� �� �������,��, �� � � �� ������ (&� ,� *+ ��� ��� �� � ,

� . , ���� �� �������,��, �� � �� ��� � �� ������-

��� �

�����

��

�� ��

��� ����

���

!�(&� ,+ : (&� ,�� *+"

��� �

�����

��� ���

���

��� ��

!�(&� ,+ : (&� ,�� *+"

�� (&� ,+ � ) ��� ��� ���� ����� (&� ,�+ ���� ,� . , �� � ��� �&,� ��� ��� �� �� � � �� ���� �� ��,��,������� � � �� ������� ���� ��� �� �� ����� ��� ��� ������ �� ) �� ��

);

Page 14: Parameterized counting problems

�� �� �������,��, �� � � �� ���� �� ������ ������� (&� ,�� *+ �� ) ������ ������� ��(&� ,�� �+ ���� � �� * �� � � �� )-

��� �

�����

��

�� ��

��� ���

��������

!�(&� ,+ :

�� ���

���

��(&� ,�� �� -+"

��� �

�����

��� ���

���

��

�� ���

!�(&� ,+ :

�� ���

���

��(&� ,�� �� -+"

��� �

�����

��� ���

���

��� ����

���

!�(&� ,+ : �(&� ,�� *+"

��� ��� ��� ���� � � ��,��,������� � �� � � ������ �� ������� �(&� ,� �+ �� )� �� � ��(&� ,� ��+ � ) ��� �� �� * ��� � �� �� � �� ���� �� � �� ���������������� �� � ���� ��� ����

�����������

�(&� ,� �� -+

������ �� )�

��� �

�����

��

�� ��

��������

����������

!��(&� ,� �+ : ��(&� ,� ��+"

��� �

�����

��

�� ��

�������

��������

!��(&� ,� �+ : �(&� ,� �� -+"

��� �

�����

��

�� ��

�������

��������

!��(&� ,� �+ :

���������

��(&� ,� ��� -+"

��� ��� ��� ���� � � �������,��, �� � �� � � ������ �� ������� (&� ,� �+ �� )� �� � �(&� ,� ��+ � ) ��� �� �� * ��� � �� �� � �� ���� �� � �� ���������������� �� � ���� ��� ����

�����������

��(&� ,� �� -+

������ �� )�

��� ������

��� ���

���

��������

����������

!�(&� ,� �+ : �(&� ,� ��+"

��� �

�����

��� ���

���

�������

��������

!�(&� ,� �+ : ��(&� ,� �� -+"

��� �

�����

��� ���

���

�������

��������

!�(&� ,� �+ :

���������

�(&� ,� ��� -+"

)K

Page 15: Parameterized counting problems

D� * � �� ��� ) ���� K ������� ���� ������� �� �� D� * � � �� ',��������� ����������� ' � % : ) ���� ������� �� ���

G ��� ���� ���� �� ���� ��������� � ����� �� �*� �� �* �� ��� � �� ���� � ��� �,������ ���������� �������� ���������

�� � � � ���� ��� �*� �� !���� � � � � ����� � ����� � ������ ��� � ���� ��� � �" ���� � � � ���� ��� �* �� ��� !���� � � � � � ����� �� ����� � ������ ��� � ���� ��� � ��"�&�� � ����� ���� �� � �������� �� �� ��� � ��

�� �������� � ���� ���� � � � �� ���� ��� ��� �� � ���� � � ���� ��� �* �� ����

7���� � � � �� ��� ��� �� � ��� ���� � � � ���� ��� �*� ��-

)� &� ���� �� �� ��� �� � �� ���� ��� ��� & ��� ���� �!��" � ) ��� ��� ��� ,

* � , � !) : %"%��

� �� � ��� � �!�(&� ,+" � )�

%� &� ���� �� � �� ���� ��� ��� & ) � & � + � �� � ���� ������ �� ���� ,� ��� ���� ��� � ������ �� ) ��� � � �!(&� ,�+" � ) ��� � �� � � � �!(&� ,�+" � * ��� ���,� �� ,�� &� ���� ��� ��� ��� ��� � �� ���� ,� � �� ���������������� �� � �� ��������

!�" �� �� !%" ��� � � � ��,��,������� ��� �� ���� � ��� ���� � ��� � �� ����� �� � ���� �� ���������������� �� � ���� �� �� * ��� ����

������������

�(&� ,�� ��� -+

������ �� ) ��� � � �!�(&� ,�� ��+" � ) ��� � �� � � � �!�(&� ,�� ��+" � * ��� ���

�� �� ���

2��� � � ��� ��� � �� ���� ��� , � )� �+�� ��� ���� , �� ,� � �� � �

� �!�(&� ,� *+" � ) ��� � �!�(&� ,� �+" � * ��� ��� � �� *�

2��� ��� ��� ��� � �� ���� ��� , � +�� : )� �+� � �� � � � �!(&� ,� *+" � )

��� � �!(&� ,� �+" � * ��� ��� � �� *�

!�" �� �� !%" ��� � � � �������,��, �� ��� ���� ��� ��� ���� � ��� � �� ������� ��� �������,��, �� ��� � ���� ,� . ,� � �� � ���� �� ���������������� �� ����� �� �� * ��� ����

������������

��(&� ,�� ��� -+

������ �� ) ��� � � �!(&� ,�� ��+" � ) ��� ���� ��� ��� �� �� �� � �� � �� �!(&� ,�� ��+" � *�

2��� ��� ��� ��� � �� ���� ��� ��� , � +�� : )� �+� ��� ���� , � ,� � �� �

� � �!(&� ,� *+" � ) ��� � �!(&� ,� �+" � * ��� ��� � �� *�

2��� � � ��� ��� � �� ���� ��� , � )� �+�� � �� � � � �!�(&� ,� *+" � ) ���

� �!�(&� ,� �+" � * ��� ��� � �� *�

4�� ���� /� � ���� ��� �* �� ���� G ���� ���� �� � �������� / �� /� �� � � � ���� ����*� ���

����� �� / � �� �� � � ������� �� � �� )�

)=

Page 16: Parameterized counting problems

�� ��� �� ��� � ��� �� ���� �� �� ��� �� ����� ������ ���� �� �� � !� : )" : !� :

%"!) : %"%��

" ������� �� � ) �� ���� ��� /� �� ��� �� �� � ������������� � ��� � ��� �������

����� �� / � �� �� � � ������� �� � �� )�&� ���� �� ��� � �� ���� /� � �� �� � + ������� �� �� �� )� &� ���� �� ���

� �� ���� /� � �� �� ���

���+�� ������� �� � �� )� &� ���� �� ��� � �� ���� /� �

�� �� ���

���+� �+�� ������� �� �� �� )�

�� 2���� % �� ��� ��� ��� /� �� ��� ����� �� ��� �� � � ��� ���� � ����� , �������� �� ������� �(&� ,+ �� �� �� �� ���� ) � ������������� �� ��� �������� �� �� ��� ���

&� ���� �� � ��� �� ������� ���� ��� ���� /� �� ����� �� �� ��������� �, ������ ����-!)" /������ � ������� �� � �� � �� )�

!%" ��� ��� �� �� � �� !)" �� ���� ������� !) : %"%��

: ) ������� �� �� �� � �� )�!;" ��� ��� & � )� �+ ��� � ������ �� ,� ��� ����� (&� ,�+ � �� � � �� )�!K" ��� ��� & � )� �+ ��� , � )� �+�

� ��� � ������ �� �� ��� ����� �(&� ,� ��+ � � � ��� )�!=" ��� ��� & � )� �+ ��� , � +�

� : )� �+� ��� � ������ �� �� ��� ����� (&� ,� ��+ � �� � � �� )�

&� ���� ���� / ��� � � �� �� �� ���� ���� / ��� � ��� ��� � ��� & � )� �+��� ��� � � � ��,��,������� ��� �� ���� �� � � �� ���� �� /�!(&� ,+" � ) ��� �� �� *�

&�� ���� �� �� �� ���� �� ��� ���� �� ������ �� �� ���� ����� ��� �� ��� � �������� �� � ��� ���� ��� ��� � �� ������ �� )�

�� ��� � � � �������,��, �� ��� �� ���� �� �� � �� ���� �� /�!(&� ,+" � ) ��� ��� �

������ �� )�

��� � ��� �� ���� �� �

�������� I� ()� '+ � I54&�3#4#&#4/ � ()� '+ ��� ��� ' � %�

�����*2����� I� ()� '+ � I54&�3#4#&#4/ � ()� '+�

&� ��� ���� I� ()� '+ � I54&�3#4#&#4/ � ()� '+ � ���� ������� � ���������� �������������� I',0/'S8DB/ 4#48D#2T/0 ���� ����� �� I54&�3#4#&#4/ � ()� '+ ������ ��� ���� ��� ������ � ���� ��� I� ()� '+�

I0/'S8DB/ 4#48D#2T/0

������ 5 ����� � � !���"��� � � ���������� ���� ��� ����� ��� � � ���� � ������

*�������� 5 �� ���� ����� ��+������ &� ����� �� � �� �� ����� � � � ���� �� ����������� �

��� ���� ��� ��� ���� �� �� �� � �� ������������ �� ��� ����� �� � ��

I',0/'S8DB/ 4#48D#2T/0 � �� � �������� �� 0/'S8DB/ 4#48D#2T/0 �� ����� ��� ������� ��� '�

&� ���� I',0/'S8DB/ 4#48D#2T/0 ����� �� I54&�3#4#&#4/ � ()� '+-

)O

Page 17: Parameterized counting problems

2�� ��� � ����� � � !���� � ������ �" �� ������� ��� '� &� ������ �� ��������� �� ����� � ����� � �� � �� �����

� (+ � � - � ���� � ����� ��� � �� � ��

G ��� � � �� �������

� � �� - ) � & � �������� � ��� - ) � & � �������

���� ������� �� �� ����� �� ��

4�� ��� ��� �� �������,��, �� ������ ��� ��� ��� �

��������

����� �������

���

&�� ��� ��� ���� ���� ������� �� � ������� ����� �� ������ ��������� ��� I54&�,3#4#&#4/ � ()� '+ ���� � � ��� ) ���� % ��� ��� ������� ���� �� �� ��� �� ���) ������ ����� ������ �� ' ��� ���� ��� �� ����� ������� ����� !��� ������ �� ����������"�

/��� ����� � ����� � ������ ���� ��� � ��� ��� ��� ���� ���� �� � ����� ��� �������$��� � ��� �� &�� � ��� � ��� ������� ��������� �������� �������� ����I',0/'S8DB/ 4#48D#2T/0 �� I54&�3#4#&#4/ � ()� '+�

G ��� ���� ���� I',0/'S8DB/ 4#48D#2T/0 � ������ ��� I� ()� '+�

7���� ���� � �� ���� �� ',��������� ������� * ��� * � � �������� �� � � ��������� ��� �� ��� ������ ������ ���� ���� ���� �� �� ������ �� '� 7���� � ��� � � �� + ���� ��� � �� ��� �� � �� � ������� �� � ����� G ��� ��� �� ������ �� ����!� ��" � � ��� ���� � ����� � � !���� � ������ �" ��� ���� ��� ��� �������$��� � �� ��%� ��� � ��� � � ����� ����� � ����� � ������ ��� ����� 1�

&� ��� �������� � � � ��$� ������� ���� ())+ � � � �� �� ���� ���� �� ��������� ��� ������� �

G �� � ��� �� ������ �� �� ��� ��������� &�� �� %� E��F �������� ������� ��� ���� &� �� ����������� ������ � ����$ ���� ���� � �� � �� !�� � �� � "� /�������$ �� ����� ���� �� ��� ��� �� ���� � ���� �� � ����� ����� &� ��� � ���� ������$ ����� ��� �� � �� ���� ����� !���� ������� �� � ������ ���� ���" ��� ���� �� ������$ ����� ���� ���� �� �� E���F ����� �� ��� �� ���� ������ G ����$ �� �� �� ����$ � �!*"� � �!� � )" ���� � �� ����$ ���� ��� �� �!&" �!& : )" ����$ �� �� � �������������� �!�"�

G ���� � �� ���� ��� ��� ���� �� � ����$ ��� ���� � � ��� ���� ������� �� �� ������� ����� � !�� �� �� � � ��� � "� &�� ���� � �� ���� �� �� � �� �� �������� ��� ����$ ��� � ��� � ��� ��� � �� � ���� %� ��� � �� ���� � ���� %�!��-��� �� ���� ���� ��� ����$�

G ����$ �� �� �� ����$ � ������� �� � ������ � 4�� �� & � ��� � ���� � �� ����$ ����� � �� ���� ������ & �� �� ��� �� ��� ���� &� � �� ��� � ������ � ��� ��� %���� �� & ��� ��� ���� ��� �� �� &,�� ������ �� �� ��� �� ����$� &�� ��� ���� �� & � ��� � ��� �� ��� ����� �� � ��� �� ����� � �� �������� � �� � ���� ���� ��&,�� �������

&� ���� ���� �� �� �������� � ��� � �� ����� ��� � ���� �� �� ��� �� ����$� &���� �� � ���� & ��� ��� � ��� ����� �� �� ��� �� ����$ ������ & �� , ��� �� ��� ��� �������� ����� � & : , : )� 5���� � ��� ����� ��� �� � ��� ���� ��� % ��� ����� ������$ ��� ���� ������ !&� �� �� �� ����� �" 5� � � $� �� � ����� ��� �� ����$ ��

)J

Page 18: Parameterized counting problems

� ������ ���� ) � �� � � �� � � ���� �� �� �!&" �� �� � �� ���� ��� ������ �� �������� ��� G � �� ���� ��� ��� , �� �!&" ��� ��� ,� � , �� �!�" ���� !� 0 &" ��� � � ������� �� �� �� ���� �� ���� , ��� ,�� &�� � �� ���� �� , � ��� � �� ����$ �!&" ��� ������� ���� ��� ,� � , �� ��� �� ���� �� ����$�

&� �� � ���� �� �� ��� �������� � �� ���� ��� � ���� ���� �� ���� � G �� ��� � ������ � ��� ��� ��� � �������$��� � ��� ���� ���� �� ��$��� � ���� ��� � ��$ � ������� ��� ��� �� �� �� �� ' ������ ����� � &�� � �� ���� ��� ���F� !-- � ��� �� !&�� � �� ����� �� �� �� ����� �" G ��� ���� �� �� ������ ����� �

��� �� ��� �� ��� ���� ����

��� ���� ��� ���� �� ���� �

�� ��� ���� �������� ����������

��� �� ��� ����� ���� ����� ������ � ���� ����

��� �� ��� �� ��� ���� ����

������� ����� ��� ��� ����

��

� ������� ������ ����

��� ������ ����

�� ��� ���� ��� ��������������

�� ������� ������ ����

��

��� �� ��� ��

����� )- 6���� ��� 0/'S8DB/ 4#48D#2T/0�

&� �� ���� � ���� �� � � �� ����� �� �� ��������� � �� ����� -�� � �!($�� $�+ - * � $� � � � )� * � $� � �� )���� � �1($�� $�� $+ - * � $� � � � )� * � $� � �� )� ) � $ � �� � : )�

&� ��� ���� � ����� �� � � �� ����� �� �� ��������� � �� ����� -

)<

Page 19: Parameterized counting problems

� � ��($�� $�� $��+ - * � $� � � � )� * � $� . $�� � �� )���� � �"($�� $�� $

��� $� $

�+ - * � $� � � � )� * � $�� $

�� � �� )� * � $�

$� � �� ) ��� ���� $� �� $�� �� $ �� $���� � �%($�� $�� $��� $+ - * � $� � � � )� * � $�� $

�� � �� )� $� �� $��� ) � $ � �� � : )��

�� � �� ($�� $��� $�� $+ - * � $��

$�� � � � )� * � $� � �� )� ) � $ � �� � : )� $�� �� $� : $���� � ��(,� ,�+ - ) � , � +� ) � ,� � + � �� � �)($�� $

��� ,� ,

�+ - * � $� . $�� � � � ) ��� , � ,��

�� �� � �������� �� �� �� ����� + �� ������ �� � ���������� �� � ��� � ��� ��� � � �������� �� ' ����� ���� � � ����� ����� 4�� ���� ��� ' � � ��� ��� ���� ���������� � ��� � ������ �� ��� �������� �� ��� ���������� ���� ��������� �

��� �������� � �� ������ � �� ��������� � �� ����� �

�!$�" � �!($�� $�+ - * � $� � �� )��2!$�" � �1($�� $�� $+ - * � $� � �� )� ) � $ � �� � : )��2!$�� $�" � �1($�� $�� $+ - ) � $ � �� � : )�

&� �� � � �� � � �� ����� �� �� ��������� � �� �� � �� �� � �������� � ������������������ ��� ��� �� ��� ����� ��� �� ���� � ��� � ���

�� � �!($�� �+�($�� $�� $��+ - � � $� �� � � $����

�� � �1($�� ��� �+"($�� $�� $��� $� $

�+ - ���� !�� � $� ��� � � $"

�� !�� � $�� ��� � � $�"��� � �!($�� $�+%($�� $�� �� �

�+���� � �1($�� �� ��+%($�� $�� �� ��+��� � �1($�� $�� $+� ($�� $

��� $�� $+��

�� � �!($� : ) ��� �� $��+� ($�� $��� $�� $+��

�� � �!($�� ,+)($�� $��� ,� ,

�+���� � �!($��� ,

�+)($�� $��� ,� ,

�+�

G �� ���� � �� ���� !($�� $�+ ���������� ��� �������� ���� �� ������ ������� ��� ��� ����,�� �� ���� !���� ������� �� �� �� ������� ���� !($�� $�+ ��� ����� �� � %�,���� �������$��� � � � �� �"� 8��� �� �� ����� �� ��� �� �� � �� ��� �� ��� ��� � �������$������� � �� � ��� �� ���� ��� �� ����$ �!($ � $�� + - , � *� � ��)� & . &� . &� � ��)

G �� ���� � �� ���� 1($�� $�� $+ ���������� ��� �������� ���� �� ������ ������� ������ � ������� !���� ����� ����� ��� �" ��� ������ �� ������

7���� � � � ���� �� � ������ ' ������ � &�� �� �!���" �� ����� ��� �� ���� ��� ������ ������ - � � � ���� ���� ��� ������ �� �� �� ������� ���� - � �� ��� ������ ������� �� �� �� ���� - � � �� ���� ������ �� �� �� �� ���� - � � ������ ������ - � ��� ���� ������ �� �� �� ������� ���� �� ��� ������ �� ����� ��� ��� ���� � �� � , � )� �+�� 3!,� )"� 3!,� %"� � 3!,�+ " � �� ��������� �� �� �� ����� �� ������� ��� ��� � � ����� ������ � G ��� �� ���������� � �� �� ��� �� ���� �������� �� �-

�� � �!($�� $�+�(,� ,�+ - !($�� $�+ � 3!,� ,�"���� � �1($�� $�� $+�(,� ,�+ - 1($�� $�� $+ � 3!,� ,�"�

7���� � �� � ��� ����� ����� � ������ � �� ����� � ���� ������� ��� � ��� � � ������ ,

���� �� ���� ����� 7���� & . &� . . &���� D� "� � &��������� � &� !��� �" ���$ � *� � � � )� �� � �������������� �� ����� ���� �� � �� %� �����

� � �!($� &�+ - * � $ � � � )� � �1($� &�� "�+ - * � $ � � � )�

� � �������$��� � �� ��

)H

Page 20: Parameterized counting problems

2���� �� ���� � � � %�,���� �������$��� � �� �� �� � �������������� �� ���$ ���� ������ � ������ ��� � �� ����� � � � ����� �� ����� ��� ������� ���� ��� ����� � ������� ������ �� ��� �� ������� ����� �� � ��� �� ����� ��� ���� ������� �� ������

G �� �� ���� ���� �� ���� ��������� ��� � ���� � � ��� ������� ���������� �����,��� ��������-

4�� ���� �� �� �� �� � �� !��" ����� ������ ���� �� �� ����� ����� �� �!$�" !2!$�""�� ��� ����� �� ��� ��� ����� ���� ��� %�,���� �������$��� � �� � ������� �������� ���� ���� ��� �� �� � �!*"� 2!*"� �!)"� 2!)"� ��!� � )"� 2!� � )"�

&� �� �� � ��� �� ����� !����� �� ��������� �� ��� ����� �� ��� ���" ���� ��� ��� ������ �� �� �� ������� ���� �� ������ �� ���� � ���� ��� � �������$��� � �����!$�" ��� � ���� �� �� &� ��� �� 2!$�" �� � � ���� � ��� ��� ����� !��� � �����"�� ������� �� ������� � ��� !�� ����� ��� ���� ���� �� �� �� ��� �� �� " ����� ��>���? ������� ���� �� � �����

&� �� �� � ��� �� � �� ��� � ���� ���� �� ������ �� �!$�" ��� �� ������ ���!$� : ) ��� �"� &� �� �� �� ��� �� � �� ���� � ��� � ��� ������ ��� � �������$����� ��� ���� �� �� �� ��� ����� ���� ��� � � � �� ��� ������ ��� � ���� ���� ��� ������� ������ �� �� ���� ������ �� ������ !&�� � � ��� ���� ��� ��� ��� �� ��� � ����� ������ �"

&�� ��� � � �������$��� � �� �� ����� �� � �� �� %� ���� ���� �� � � � ���������� � ����� � ������ ��� ����� � ��� �� � ������� � �� ��� �� � � ���� ���� �� ��� ����� �� �� � ��� � ���� �� �!*"� � �!� � )" � � /��� � � � ����� � ����� � ������ ��� ����� � ���� ���� �� � � ����� �������$��� � �� �� ����� �� � �� �� %� ����� � ����� �� � ��� � ���� �� �!*"� � �!�� )" � ���� ���� �� �� ������� � �� ����� � � ��� �� � ����� �� � ��� � ���� �� 2!*"� � 2!�� )" � ���� ���� �� �� ������� ���� �� �

��� � ��� �� ���� �� �

�������� I� ()+ � I� ()� %+

�����*2����� I� ()+ � I� ()� %+ 8� ����� ; ��� K �� �� �� ���� ���� ��� ��� ' � %

I54&�3#4#&#4/ � ()� '+ � I� ()� %+�D� * � �� ����������� ',��������� ������� ��� ����� � �� � �� ������ �� �����

�� ����� � ����� ����� ������� G ��� ��� �� ������ � ������� * � ���� ������� �� ����� ��� �� ��� ������ ������ ���� ���� ���� �� ��� ���� ����� � ����� ����� ������� �����

�� � �%� :

�����

��

&

��� ��� ����� ����� �� ����� � ������ �� *� 4�� ���� * � � ��� �� ����� �������������� �� &���� K ��� � ����������

&� ��� �������� � � � ����� ��$� ������� ���� ())+ � � � �� �� ��� ���� ������ ��������� � ����� �� ())+ � ��� ������� �

D� �(,+ ��� , � )� � � �� ����� ������� �� *� &� ��� � �� ���� �� ������� ��� ����� ��� �� ��� � �� �� �� � ' ��� �� �� � % �� �� ������� �(,+� D� ��� � �� ��� ��������� �� ��� ��� �� � �� �� ����� ������� �(,+ �� *�

%*

Page 21: Parameterized counting problems

&� ����� �� ��� �� ��� � �� * !��� ����� ��� * � �����������" �� ���� �� ������ �� �� ��� &� �� ����� ���� ������� �� �� ��� �� ���� ��� �� �� ������� ��� ������� �� ����� �� �� ��� � ��� �� ���� ����� &�� �� �� ��� �������� �� * ��� �� ��� � � ������ �� �� ������� �� �� ���� ������� �� >��������? ����� ��������&� ��� ���� ���� �� �� � 4#& �� �� ���� ��� �� ������� ��� ������� �� ����� �� ����� � ��� �� ���� ���� ��� �� �� � �� �� �� ������� ����� ���� �� ������ �� � �� �����

G �������� �� ����� ������� �� �� ��������� $��� -

!)" #� �� ����� ������� (&+ ��� ��� � �� ��� & � )� � ( �� � � � � �����!%" ��� ��� �(,+ � �������� %� ���� �(,� *+� �(,� )+� �(,� %+� � �(,� %� � )+�

�� �������� �� �������� ��� �� ��� �� * �� �� ������� �� �� �� � ��� �� �� ����������������� �� ��� �� ����� % ���� ������ �� �������� ������ � ��� �� ����� �� ������� �&� �� ��� �������� ��� � � ��� ��� � �� ��� ������ ������ ���� ���� ���� ����� ��� ��� ��� � ����������� ���� � %,��������� ��������

G ����� �� ��������� ����������� ��������� �� �� ������� -

!)" &� � � %� ����������� ��� , � )� � � ��� $ � *� � %� � )

�(,� $+ � �(,� $ : ) !��� %�"+

!%" ��� ��� ���������� �� � ��� �� �����������

(&�+ � (&+

!;" ��� ��� ���� ��� �(,+ � �� �� �����������

(&+ � �(,� *+

�� ��� � � ���� ��� ���� ��������� ��� ����� �� �� �� �� ������� �� � ����������� ��������� �� �� G ��� ��� ���� �� ���� ��������� ��� � ���� � � ��� ������� ���������� �������� ���������

�� * ����� � ����� � ����� ����� � ��� � ����� � � ��� * � �� ����� �� ���� ����������� �(&� ,+ ����� �� �� ����� ������� ����������� ������ ���� ���������� ����� ����� �� >��������? ������� (&+� &�� ���� � ����� �� ����� �� ���� � ������ �� * ��

4�� ���� �� � � � � ����� �� ����� ����� ���� � ������ �� * � ��� � � �� � ��� �� �� �� �� �� �(&� *+F � �� ) ������ �� ����������� �� !)" ���� ����� ���� � � �� ��� �����0 ���

7���� ���� � � � . � �� �� �(&� *+F �� ) ��� � �� �� ��� ��� ���� %� �� �� (&+F � �� ) ��� �� ����������� �� !;" ���� ����� ��� ���� 0 � �� �� �(&� *+F �� � � �� ) �� ��� � �������������� G ���F� ���� ��� ���� %� �� ����� �� � �� � ������� ���� ������� � ���� �

&�� ������ � � �� ���� �� ����� �� * �� � ��� ���� ) �� � ��8��� �� �� ����������� � ����� �� !%" ��� !;" ���� ��

��

���

���

�(&+F ���� � ��

�� � �� ) �� � � ��� ���� � ��� ��������� ���� �� � � �� ���� �&�� ��� ��� ����� � ����� ����� ������ �� * ��� � ������ �� ����� �� �����

����� ������ �� * ����� �� ���� �������� ���� * � ����� � ����� �� ����� ��� 5 ������� ���� ������

� � �� ���� �� ����� �� * �� � ��� ���� ) �� �� ������ ����� ����� ��� ����

���

���

�(&+F � �� ) �� � ��� ���� �� �� ������ ����� ����� ��������� ���� �� ���� �� �� � �� ���� � 8� �� ��� �������� �� * � ��� ����� ��� � � ����� ����� � ����� ����������� �� * ���� ������� �� �� ����� �� ����� ����� ������ �� * ��

%)

Page 22: Parameterized counting problems

��� � ��� �� ���� �� �

�������� &� ��������� �� ������ ��� I� ()+-!�" I�4'/A/4'/4& 7/&!��" I2D�RB/

�����*G �� � ���� ���� ���� I�4'/A/4'/4& 7/& ����� �� I� ()+�7���� � �� ���� � ����� � � !���"� 2�� ��� �� ��������� �������,��, �� ������

��� ���-

����

�!� : �"

&�� ��� ��� � � �������� �� � %,��������� ������� * ��� ��� ����� � ����� � ���������� ��� � * ���� ���� �� � ����� ����� � �������� � ��� ��

&� ��� ���� I�4'/A/4'/4& 7/& � ���� ��� I� ()+ �� ����� K ��� = �� � ������� ���� ���� I�4'/A/4'/4& 7/& � ���� ��� I54&�3#4#&#4/ � ()� %+�

7���� � �� ���� � ������ ��� ��� � �� ��� ������ ������ ���� !�������,��, �� "���� ���� �� ��� ��� ��� ������ ����� � ��� ���� � ����� �� ���� �� ���� ��� ���������� �� � ��� ������ �� �� ���� ��� ���� �� ����� ���� ������� �� ������� �� ����� � /��� �������� � �� �� � �� � ���� ���� �� � ����� ����� � ����� � ������ ��� ����� � �

7���� � � ����� � ����� � ������ ��� ����� � �� � � � �� � �� � ����� �� ��

���� ������� �� ������� � �� ��� �� � �4� ���� �� � ��� ��� ���� �� �� ������� � �� ��� �� � � &�� ��� ��� �� �� ��

�� �� �� ������� ������ � ������� �� �� � ����� �� � � ��� � � � ���� �� �������� � �� �� �

7���� � � � �� �������� � �� �� � �� �� ��� ��� ��� �� �� �� �� �� � �� ���� ������� �� � ��� � ������� �� � �� &�� � �� ���� ������� ����� � ����� � �������� ������� �� � �� � ��� �� ��� ���� �� � �

!��" &�� ������ ��������� �� ��� ������ �� �������� �� � ���� ������ &� ���������� �� �������� � �� �� � ���� ������� �� ��� ����� �� �� � �� �� ���� ������

��� � ��� �� ���� �� �

�������� I7C#0& &B0�46 352C�4/ 522/A&542/ � ������ ��� I� ()+�

�����*&� ��� ����� ��� I� ()+ � ���� ���� I2D�RB/ I� ()+,����� ���� ��� ������ ��

&���� O !��"�

7���� � �� � �� ������ �� ����� �� �,����� �� � ���� ����� � � !���"�G �� � ���� �� ����� �� � ���� � ���� G ��� ��� ����� � ���������� ��� &�����

������ �� ���� �� � ����� �������� �� � �!�" ��� ����������� ��� ��� ��9����,����� �������� �� �� �� � � ���� � ���� ��� �������� ����������� ��� � � �� ������ �

�� �� �� � ��� �� ���������� ������� ���� � ����� ��� ����� ����� �� � �� ���� � � ��� ���� � !&�� �� ����� ����� � ���� ��� ���� �� � � ��� ��� �� � ������"

&� ���� ��� ��� � � �� ��� ���� � ��� � �� ��$ � ��� �� �� � ��� ���� ��� �� ���� �� � ����� ��� � �� �� � ������ ����� &�� ��� � �������� �� �� ��������

%%

Page 23: Parameterized counting problems

�!�� ��" ��� �� ��� 7���� �� ��$ ���

� ��� �� �� � ��� ���� ��� ��� �����

�� ���$��� ��� � ���� �� �� ����� !&� ," ���� �� ����� ��� ��� �� �� ����� �� �� �� ����� �� �� ���� �� �� /��� ��� �� ��� � �������� �� �� �������� �!�� �" ��� ���� ������� �� �� &,� ����

/��� � �� � ����� ���� ���� � ����� �� � ���� ���� �� � ����� �������� ������������� �� � &�� � ��� � ��� ������� ���������� �������� �������� ���� I2D�RB/ ��I7C#0& &B0�46 352C�4/ 522/A&542/�

&� ��� ���� ��� �� I� ()+ � � ���� � ��� ������� ���������� �������� ������������ I7C#0& &B0�46 352C�4/ 522/A&542/ �� IG/�6C&/' G/�& ) '/A&C )2�02B�& 75&�7��58�D�&P !IG27!)� )""� 0���� ���� � ���������� ���� I� ()+ �� � ����� �� �������� ������ ��� ���� �������� ����� � ����� �� ������ �� ����������������� ���� �������� ��� �� ������ � !)� )" �� ��� ) ������� �� ���� ������ �� )��� �� )�

6��� � &����� ������ � � !@� 4� �� � � " ��� �� ���� ����� � � ����� � ������� * ��������� � ����� ����� �� ����� ����� ���� ������� �� ��� �������� �, �� ����������� ���� �

* �� ���� ������ �� �� ) !�������� �� � ��� �� &����� ������ �" ��� �� ����� ���� ���� !������" ��� ��� ���� ��� ���� ��� �����

G ������ �� ������� * � ���� �� �� ����� �� � ��� � �� � � �� ) �� � ����� ��

����� ����� ��� �� �� ������ ����- !)" �� &� ���� ����� �� � ��� & � )� � � !%" �� ����� ����� �� ��� & !;" �� ��� �� � �� ��� & ��� !K" �� ����� �� ���� , �� ��� & ���) � &� , � �� &�� � ��� ��$ �� � �� : ;��

�� ���� �� ���� ������ �� ����� �� � � ���� �� ) ����� � ���� �� ����� ������� !������ ����� �� �� �� ���� ����� " � ��� �� �� ������� ��� ��� ��� ���� �� ����� ������� ��� ��� ��� ���� �� ������� � ��� � �� �� ���� � ���� >��� ����? ������� ��� ����� !�����"��� ����� � ���� � �� � �� � ����� !��� ���� � ���� �� ���" �� ��������� >�� �� � ��������� �� ��� ��� ���� � � ���? U ��� ��� � �������� ���� ��� ��� �� �� �� ���� �� >��� ����? ��������� �� ��� ���� �� ����� ������� �� ��� ���� �� ������ ����� ��

����� ����� ��� ���� ������ �� ������� � ��� �� ��� �� �� �� ���� �D� � ���� �� ����� ����� �� ����� ������� �� ��� ��� ��������� �� ���� � �� �� ����

� � �!���: �� : ��4�: ���@�"�&� ������� �� �� ������� ���� ������ ���$ �� �� ��� � ���� �� �� ���� ����� �

&� ��� � ���� ���$ ��� �������� ������ ����� �� ����� ��� �� �� ���������, �� ����������� �� � ���� � �� �� ����� �� 2��$F ������ &� ��� � ���� ���$ ��� � �������� � ���� ��� ������ ���� � ������ ����� 1 �� �� ����� ������� � �������� � ���� ���� �� ����� ���� �� �� ������� �� � ��� ���������� ���������� ���� ��-�� ��� ��� �� ����� �� ��� & : ) ��� �� ��� �� ����� ��� ����� ����� ��� ���������� ����� �� ��� & ��� �� ���� �� ��� � ��� ���� � &�� �!� " ���� >���$���? ������� �� ������ ���� �� ����� �� ��$ �� ��� � ���� ���$ � �� ����� � ���� ��� �!��">���$���? ������� ��� ��� � ���� ���$ ��������� 1 ���� � 5�� �� �� ���� >��� ����? ���>���$���? ������� �� ���� �� ���� ���� ������ ��� ��� �� *�

&� ���� �� ����� ������� ��� * ����� � �� � ���� ������ ��� �, �� ����������� ��� ���� � ����� ����� �� ����� � ������ ��� �� ������� � &� ���� >��� ����? ��� >���$���������� ? � �� ���� ��� ��� ���� ����� �� ����� � ������ ���� ���� ���� �� �, �� ������������������� ��� � ���� ��� �� *� &�� ��� �, �� �������� ����������� ��� � ���� ���� �� � ����� ����� �� ����� � ������ ��� ����� *�

%;

Page 24: Parameterized counting problems

� ���� ���� �� ���

�� ��� ����� � ��� �� ��������� �� �� ���� ���������� �������� ������ �������� I� ()+� &� �� � �� �� � IA/0�/2& 2#'/ ����� � ��� �� � I� ()+,�������

&� ��� ��� �� ��� �� ��� ������ �� ���� �� � � ()+,���� �� ())+ ��� �� �� ��� ��������� �� ������ ����� � �� ��������� ������� ���� � ()+ ��� � (%+� B���� ������ ����� �� ����� ���� �� ������ ������ �� � ()+ �������� �� ��� � ��� � ���� �� ������� � (%+� �� (=+ 2 ��� �� ���� ���� A/0�/2& 2#'/ � �� ���� � ()+,�������

5 ��� ���� �� ��� ������� ������� I� ()+,������� ��� IA/0�/2& 2#'/ � ����������� ����� �� ���� ��� �� � ()+ ��� A/0�/2& 2#'/�

G ��� IA/0�/2& 2#'/ � ������ -

������ 5 ����� � � !���"�*�������� 5 �� ���� ����� ��+������ &� ����� �� �� ����� �,���� ����� ��� �� ��

5 ������� ���� � � � � � � � ��� ������� ��� � � ��� � ������ ��� ���� �� � (+ � � ��

������� #� /*72:76 6+87 � I� ()+������

�����* &� ��� ���� IA/0�/2& 2#'/ � I� ()+,���� � ���� ���� ����I�4'/A/4'/4& 7/&�

D� � � !���" � � ������ G ��� ��� �� ������ � ����� 5 � !� �� ��" ���� �� � ���������� ��� �� �� �� �

���

�: %� : ) ���� ������� �� ��� �������� � �� �� � �� ��

&� ��� �������� ���� � � � �� � �� � ��� �������� ���� �� ())+ ���� �� ����������� ��� �� ��� ������

G ���� ������ 5 �� ��� ��� � �� �� �� � ��� � ������ � ����� 5 �� � !� ��� ���" ������� 5 �� �� � ����� ��� �� �� ��� �

���

�: � : ) �� ��� ���� �� � �� �� �������� � ��

�� �� G ��� ������ 5 �� �� ������ � ����� 5 � !� �� ��" ���� �� � ��;�� ����� ��� �� �� �� �

���

�: %� : ) ���� ������� �� ��� �������� � �� �� � �� ��

&� ���� � � �� �� 5 �� � �� ����� �� �� ��������� � �� ����� -

�� � �!('+ - * � ' � %���� � �1(&+ - ) � & � ���� � ��(&+ - ) � & � ����� � �"(&� + - ) � & � �� � � ��� � �%(&� ,� + - ) � & . , � �� � � ���� � �� (&� ,� � + - ) � & . , � �� � �� � �

&� �� � ��� �� 5 �� � �� ����� �� �� ��������� � �� �� -

�� � � !!(*+� !(&+" - & � )� %���� � � !!(*+� 1(&+" - ) � & � ���� � � !1(&+� �(&+" - ) � & � ����� � � !�(&+� "(&� +" - ) � & � �� � � ��� � � !"(&� +� "(&� +" - ) � & � �� � � � ���� � � !"(&� +� %(&� ,� +" - ) � & . , � �� � � ���� � � !"(,� +� %(&� ,� �+" - ) � & . , � �� � � � (+���� � � !%(&� ,� �+� � (&� ,� � +" - ) � & . , � �� � �� � � 6� � (+���� � � !� (&� ,� �� �+� � (&� ,� � +" - ) � & . , � �� � �� � � �� �

%K

Page 25: Parameterized counting problems

������ ���� ��������� � ���!�������������

���� ��

������ ���� ���� � ������� �����

�) �%

�K

�������� ��� ��� ���� �� "

�*

�O

��� ���� ��� ����

�� ������ ��� ��� ������ ���� ����

���� �� ��� ���� �� "

���� ��� ���� �� �� !����

���� ����

��� ���� ��� �����=

�� ����� � ��� ����

�� ���� �����

��� �� �� "

�� ������ ��� ��� �� ���� ���� ����

���� #�

������ ���� ��������� � �������������

� �� � �� ��

��� � �� ��

)

�)

�%

�;��

� ��� ��

����� %- #����� �� �� ����� 5 �� ��� ������ ���� � � !���"�

%=

Page 26: Parameterized counting problems

7���� * � � ����� ��� �� �� ��� �� 5 ��� * �� � ������� !(*+ ��� ������ * �� � ����������� !()+ ��� !(%+ ��� �� ��� �� * ����� ������� ��� �������� �� !(*+�

7��� !(*+ � �� * ��� �� �� ����� �� �� �� � ��� � �� *� &� ���� � �� �� � � ���� ���� ������ �� ���� �� ��� �� �� ����� ����� �� �� ��� �� �� �� � � �� *� 4������ ��� �� �� ����� ������� �� � ����� ����� �� � � G ��� ����$ �� �� ����� � � � �� � ������ �������� �������� � D� 7 � �� � �� ����� �� � ���� ������� �� ������ �� * �� �� ����� � G ���� ���� 7 � �� �������� � �� �� � �� ��

2��� ��� &� , ��� ���� ) � & . , � �� 7���� ���� "(&� + � * ��� "(,� + � * ���� � �� !� " � �� �� 5 �� �� �� � � �� �� ���� ��� �� "(&� + ��� "(,� + � �� ���� �� %(&� ,� +����� ���������� ���� * � ����� ���� &�� �� ��� !� " 6� � � 7 � �� �������� ��� ��

4�� ���� ���� 8 � ��� �� � �� � � �� � �������� � �� �� D� *� � ����������� � �� ����� -

*� � � !(*+ � � � "(&� �+ - ) � & � � � � � � (&� ,� �� + - ) � & . , � � �

*� � � ����� ��� �� �� ��� �� 5 �� � ��� ����� ��� ������� ���� �� �������� �� 5 ���C���� *� � ��� �� ���� ����� ��� �� �� ��� �� 5 �� ���� ��� 8 � ��� ����� ��� ��& ��� , ) � &� , � � � ����� ��� ��� � "(,� �+ ��� "(&� + ��� ��� � (&� ,� � �+� �� ���� ��� �� ���� �� ���� ��������� � ��� ������� � �� �� ������ 5 ���

D� � - � �*� %� � �� )� � �� ������� �� �� ����� �� � � G ��� �� ��������� ����� ��� �� �� 5 �� �� ������ 5 -

�� � ��(&� � �+ - ) � & � �� � �� * � � � �� ����� � �)(&� + - ) � & � �� � � ���� � �9(&+ - ) � & � ��

�� � ��(&� ,� + - ) � & . , � �� � � ����� � ��(&� ,+ - ) � & . , � ��

�� � � !"(&� +� �(&� � �+" - ) � & � �� �� � * � � � �� ������ � � !�(&� � �+� �(&� � ��+" - ) � & � �� � �� � �� ������� � � !�(&� � �+� )(&� +" - ) � & � � � )� ���: � : ) � �� )�

���: � : ) �� ��� � � � !�(�� � �+� )(�� +" - ���: � : ) ��� � �� ��� ���� � � !)(&� +� "(& : )� +" - ) � & � � � )� � � � � � !)(�� +� "()� +" - � � ����� � � !1(&+� 9(&+" - ) � & � ����� � � !9(&+� �(&� � �+" - ) � & � �� � �� * � � � �� ������ � � !1(&+� )(&� +" - ) � & � �� � � �

��� � � !"(,� +� �(&� ,� +" - ) � & . , � �� � � ����� � � !� (&� ,� � +� �(&� ,� �+" - ) � & . , � �� �� ����� � � !� (&� ,� � +� �(&� ,+" - ) � & . , � �� � � � ����� � � !1(&+� �(&� ,+" - ) � & . , � ��

4�� ���� ���� 8 � ��� �� � �� � � �� � �������� � �� � �������� . ���� . � � � . ����� D� �� � �� E���F ���� � ��� ����&��� � �� � ������ � ���� � ) ��� ) � & � � � ) �� � ���� � ���� � ) ��� ��

D� *� � �� ��������� � �� ����� -

*� � � !(*+ �� � "(&� �+ - ) � & � � �� � �(&� �� ��+ - ) � & � � �� � � (&� ,� �� + - ) � & . , � � �

G ���� ���� *� � �� ����� ����� ��� �� �� �� ����

�: %� : ) �� 5 ���� ������� �� 8 �

%O

Page 27: Parameterized counting problems

*� � � ����� ��� �� 5 �� � �������������� ��� ����� �� ����� ��� ������� ���� ���������� �� 5 � G ���� ��� ���� *� � �� ���� ����� ��� �� 5 ���� ��� 8 �

7���� * � � ����� ��� �� 5 � 5 ��� 5 �� � �� � ���� !(*+ �� � �� * ��� � �� ����� ������ �� ���� ���� ��� �� �� ����� ����� �� �� ��� � �

G ���� ���� �� :(&+ �� &�� ����� ����� �� �� ��� � ��� � ���� ���� ��� �� &�� �������������� ��������� 8��� :(&+ ��� :(&: )+ �� �� &�� �� �������� �������� ��� �� &������� ���������� ���������

G ���� �� �(&+ �� &�� ��� ������ �������� ����� �� �� &,����� ����� �� ����� �� �� ���� �(&+ ��� � � �� � ����� ��� �� �� � � � : ) ����� � ���� ���� ������ �G ���� �� 5 (&+ �� &�� ���� �������� �������� ����� �� �� &,����� ����� �� ���4�� ���� � �� � ���� ������ �� ���� ���� ��� �(&+ ) � & � � �� ���� �� ���� ������� �� ��� 5� � ��� ���� � ���F� ���� ��� ���� �� 5 (&+ ) � & � � ��� �� ����� �� ������� �� �� ����� �� ���

&

�& $ �$ � ���$ �� �& $ �$ ��

���$ ������

�) �%

�%�%

�*

���

���� �

���� �&�

���� ��

���� �&�

�H

�;

����

�& ������ �� � � ��� ���� �� ���

������ ���� ���� � ������� �����

���� ���� � �����

����� ;- #����� �� ��� ������ ��� ���� �������� �������� �� 5 �

%J

Page 28: Parameterized counting problems

����� ���� * � � ����� ��� �� 5 ���������� "()� �+� "(%� �+� � "(�� �+ ��� �� �� � � �� ��

���� ���� . ���� . � � � . ����� &��� � ��� � ���� �� ���� �� ����� �� ����� ��� �� � �� ��� � �����

����� �� ����� �*

7���� � ���� "()� �+ �� :()+ ��� � �� � ���� �� ���� �� �� ��� ������ �� �()+ ��� ��� ���� ������ �� �()+ �� ����� �� "()� �+� �� � ���� �()� �� �+ ��� �� �� � ��� �� ���� �� :(%+ � ���� "(%� + ��� ����: �: ) � �� � �� ���� �� ���� )()� + ��5 ()+� &�� ���� . �� ��

4�� �� � ���� � �� � ���� �()� �� �+ � ���� ����: �: ) � �� ) ������ ��� �� 5 ()+���� � ����� �� �()� �� �+� 7��� ���� �� ���� �� 5 ()+ ��� � ����� �� �� ���� ��� ��� :(%+ ���� ��� �()� �� �+ ���� ����: � : ) 0 �� ) ����� ��� ������ � ����� ��� �� 5 �

�� � �������������� �� ��� ��� ������� ���� �� ��� ��� ����� ���� &� & : ) ���) � & � � � )� ��� & � � � �� � ���� �(�� �� ��+ ���� ����: �� : ) ��� � � ����� &�� * � ���� . ���� . � � � . ���� � �� )�

����� ���� * � � ����� ��� �� 5 ���������� "()� �+� "(%� �+� � "(�� �+ ��� �� �� � � �� ��

���� * ������� � �(&� �� ��+ - ) � & � � � ��� �� � ������ � ���� � ) ��� ) � & � � � )�� � ���� � ���� � ) ��� ��

����� �� ����� �*

7���� � ��� ��� � "(&� �+ �� :(&+ "(& : )� ���+ �� :(& : )+ ��� ��� & ) � & � � � )� &��� �� � ���� �(&� �� ��+ ���� ����: ��:) � ������ �� �� �������� �� 5 � &��� � � �� ����� �� � ������ � ���� � )�

7���� � ��� ��� � "(�� �+ �� :(�+ "()� �+ �� :()+� &�� � �� � ���� �(�� �� ��+���� ���� : �� : ) ��� � � ���� �� �� �������� �� 5 � &��� � � �� � ���� �� ����� � ���� � ) ��� ��

����� ���� * � � ����� ��� �� 5 ���������� "()� �+� "(%� �+� � "(�� �+ ��� �� �� � � �� ��

���� * ������� � � (&� ,� �� + - ) � & . , � � ��

����� �� ����� �*

G ���� �� � (&� ,+ �� � �� ����� � � (&� ,� � + - ) � & . , � �� � � � �� 4�� ���� ��� � ���� ������ �� ���� ���� ��� � (&� ,+ ) � & . , � � �� ���� �� ���� �� ����� ������

7���� � ��� ��� � "(&� �+ �� :(&+ "(,� + �� :(,+ ��� ��� &� , ) � & . , � �� &��%(&� ,� �+ � ������ ����� ��� �(&� ,� + � ������ ������ &�� ��� ����� ��� �� 5 ������� ������� � (&� ,� �� + ���� � (&� ,+�

&����� �� ��� ����� ����� � ���� *� � �� ���� ����� ��� �� 5 ���� ��� 8 � &�� 5 ������� � ����� ����� ��� �� �� �� �

���

�: %�: ) ���� ������� �� ��� �������� �

�� �� � �� �� &�� ������ �� ����� �� &���� J�

%<

Page 29: Parameterized counting problems

)

���� ��

������ ���� ���� � ������� �����

�) �%

�K

�*

���� ����

���� #�

�)

�%

�;��

� ��� ��

� ��� ��

���� �%� ������ ��� �� �%�

���� �;� ������ ���� �� �;�

���� �%� ������ ���� �� �� ����� � � � ��%�

� ��� �� �;� �%� ������ � ��� ��� ��� ���� ������ �� ��� � ��� �� �� ������� �� ���� �;� �� ���� �%�

���� �� ������ �� � &��� � � ��� ���� �� � ��� ��

� &

����� K- #����� �� ��������� �� � (&� ,+ �� 5 �

%H

Page 30: Parameterized counting problems

G ��� �� ���� �� ��������� ������ ��� �� � � ���� �� � I� ()+,����-

I7�Q/' 7B87/& 7B3

������ 5 � � � ���� ��� � ��� �� ����� ��� � �� ���� ����� ;�

*�������� 5 �� ���� ����� ��+������ &� ����� �� �� ����� �,���� �� � �� � ���� �� �� ;�

G ��� ���� IA/0�/2& 2#'/ �� I7�Q/' 7B87/& 7B3 ��� � ��� ������� ������������������ ���������

I/152& 2C/5A &#B0

������ 5 ������ ����� � � !������" ��� � �� ���� ����� ;�*�������� 5 �� ���� ����� ��+������ &� ����� �� �� ����� �,�� ���� ������� � ����� �� �

��� �� ����� �� �� ������ ;�

G ��� ���� I7�Q/' 7B87/& 7B3 �� I/152& 2C/5A &#B0 ��� � ��� ������� �����,����� �������� ���������

&� ��������� ��������� �� I/152& 2C/5A &#B0 ��� � ���� �� � I� ()+,���� �� ����� ��� ������ �� ����������� ���� �� ������� �� ���� � ��� � � � ��� �� � &�����,������������

I7C#0& 2C/5A &#B0

������ 5 ������ ����� � � !������" ��� � �� ���� ����� ;�*�������� 5 �� ���� ����� ��+������ &� ����� �� �� ����� �,�� ���� ������� � ����� �� �

��� �� ����� �� �� �� ��� ;�

C� � � �� �� ����� �������� V ���� ����� �� ����� �� ���� ��� ��� �� ���� ��I/152& 2C/5A &#B0 ��� � ����� � ��� ����� �� �� ���� �� V� �� ���� �� ���,��� �� ����� �� ���� ��� I7C#0& 2C/5A &#B0 �� ����� !��;� �" � �� �� $����� ����� �� ���� ��� I/152& 2C/5A &#B0 �� ����� !�� )� �"� !�� %� �"� � !��; �)� �"� !��;� �"�

G ��� ���� �� �� I� ()+,���� ��� �� ���� ��� IA/0�/2& 2#'/�

������� &� /*72:76 6+87 � I� ()+�

�����* &� ��� ���� IA/0�/2& 2#'/ � �� I� ()+ � ��� ���� ��� � � ��� ������� ���������� �������� �������� ���� IA/0�/2& 2#'/ ��IG/�6C&/' G/�& ) '/A&C ) 2�02B�& 75&�7��58�D�&P�

7���� � �� ���� � ����� � � !���"� G ����� � ������� * ���� �� ��� ) ��� ���� % ��� ���� ��� ��� ����� � ������ �� ����� %� �� �� ����� ������� �� * ���� ���� ��������� � ����� ��� �� �� � �� ��

&� ��� �������� �� * ���� � �� ���� ��� ����� %� ��� ����� � ������ �� �� ������������ ���� ���� ���� �� � ����� �� � ����� �� � ��� � �� � ������ ���� ��� � ������� � ������ ��� �� ������������ �� ���� ���� ���� �������� �� �� ��� � ����� �

&� ��� �������� �� * ���� �� 9�� ����� �� ������ �� �� &����� ������ � ����� �� (=+����� �� ����� !� � !���"� �" �� �� ���������-

� �� � ����� �� �

;*

Page 31: Parameterized counting problems

� ���$ ���� �� �� ��� ��9���

� ���$ ���� �� ��� �� �� ����

� ���$ ���� �� ��� ��� � ������ ��������

� ���$ ���� �� �� �� ������������ �� � ������ ��

&� ������ �� ����� �� � �� ���� ��� ��� �������� ����������� �� ��� � ����� ���� � ����� ��� �� �� G ���� �� �� ��� �� ������ �������� �� �� ��� �������� �� *�� � �� ���� �� ����� �� ��� � �� � ������ ���� � ���� �� �������� � ��� ������� �

D� � � �� ��� �������� ���� �� ���� � �� � � � � �)� %� � ��� * �� !%� � �" ������������ ������� �� %� ����$ ��� �� �� ��

� �(&� + - ) � & � �� ) � � � �� '(&� �+ - ) � & � �� ) � � � � �

&� �(&� +F ��� �� ���� ����� � &� '(&� �+F ��� �� ������� �� �� ������������ �� �G ���� �� � �� ���� ��� ����� %� ��� ����� � ������ �� �� ����� ������� �� * ��� � � �� � ��9��� �(& +F ��� � �� � ������ ���� ��� ����� �� ����� �� � ����� ��� �� ���� � �, ���� �� '(&� �+F ��� � ��� ���� �� ���� ����� � ���� �� �� � ���� �� �� ���� � '(� �+�

G ���� �� ����� ������� �� * � ��� *� '������ ���� �� �� ��� ) � �������� ���� � �� ���� �� ��� � ����� ��-

� � � ��(&� + : ��(&� + - ) � & � �� ) � . � � �; � � �'(&� �+ : �'(&� ��+ - ) � & � �� ) � � . �� � � �

5�� ����� %� ����� � ������ �� �� ����� ������� �� * ���� ���� ��� �� � ��� ; �� ����� ���� ������ �� � ��$ ��� ������ �� ������� ���� ��� �� �� %� ����� ����$ �

�) � � ��(&� + : ��(,� + - ) � & . , � �� ) � . � � �

5�� ����� � ������ �� �� ����� ������� �� * ���� ���� ��� �� �) �� ��� �� ���� ��������� ���� ���� ������� ���� ��� �� �� � ���� ������ ����$ �� � ������ ����� &��� � �()� �+� �(%� �+� � �(�� �+ ���� � . �� � � � . ��

� � � ��(&� + :��(,� + - ) � & . , � �� � � �� � � (+ �� � (+ � �� ��� � �������������� � � (+ �9 � �� � �� ���� �� �

5�� ����� � ������ �� �� ����� ������� �� * ���� ���� ��� �� � �� ��� �� ���� ������ ������� ���� ������� ���� ��� �� �� � ���� ������ ����$ ���� �� �� ����� ��� ���,�� �����

� � � ��(&� + : ��(,� + - ) � & . , � �� � � �� � � � � ���� � � (�+ � � � (�+ ��

5�� ����� � ������ �� �� ����� ������� �� * ���� ���� ��� �� � �� ��� �� ���� ������ ������� ���� ������� ���� ��� �� �� � ���� ������ ����$ ���� �� ��� ��� ��� �������������� �� ��

�) � � ��()� + : '()� �+ - � �� �� (+� � � � ��� � � �� �� �� �� ��� � ������������ �� �� ��

�% � � �'(&� �+ : ��(& : )� + : '(& : )� ��+ - ) � & � � � )� � �� � : �� (+� � �� � ��� �� � �� �� �� �� �� �� �� ��� � ������������ �� �� � ��� �� ���� �� �� ������� ��� � �� �������� ������������, �� ������ ����$�

;)

Page 32: Parameterized counting problems

5�� ����� � ������ �� �� ����� ������� �� * ���� ���� ��� �� �) ��� �% �� ��� �� �,��� ������ ��� ���� ���� ������� ���� ��� �� �� � ������������, �� ������ ����$ ��� � ��� ���� �� ���� ����� ���� �� ���� ������� ���� ������ ����$ �

&� ������ ��� �� * �� ��� % � � ���� '�� ��� ���� ����� ���� ��� �� �� �� ��� ����� ) ��� �� ����� ������� '(�� �+�

*��� � � � ; ��) �� �� � �) � �% � '(�� �+

� �� ���� '�� ������ ��� �� *�

7���� 8 � �� . �� � . �� � � �,���� ����� ��� �� �� �� � ����� ���� �� ��� ����,���� �� * ���� * � ��()� �+� �(%� �+� � �(�� �+� '()� �� (�+�+� '(%� �� (�+�:�� (�+�+� � '(�� �� (�+�:� � � �� (�+�+ � � � ����� %� ��� ����� � ������ ��� *�

7���� *� � � �()� �+� �(%� �+� � �(�� �+� '()� ��+� '(%� ��+� � '(�� ��+ � � � ����� %� ��� ,����� � ������ ��� *� 5���� �� � ����� ���� �� ��� �������� �� * ���� �� . �� � . � ��� � � � ����� ��� �� ��

�� ����� �� ��� ���� ���� � �� �� �� ���� �� �� �� ����� ������ � ��� ��� �����* �� ��� �!�!�" � ��" ��� �� ��� � �������� �� � ��� ��

� G ��� ��� ����� � ��� ; �� ��� �!� � ��"� ��� ��� �� �� %� ����� ����$ �� * � ���� ��� ����� �!��" ���� �� ��� �

� G ��� ��� ����� �) �� ��� �!�� � ��"� ��� ��� ���� !&� ," �� �� � ���� ������ ����$ �� * ���� & . , ��� ��� ���� �� � � �� �� ��� ����� � ��� ��� ��� ���� ��� ���� . �

� G ��� ��� ����� � �� ��� �!�� � ��"� ��� ��� ���� !&� ," �� �� � ���� ������ ����$ �� * ���� & . , ��� ��� ���� �� ����� !� " �� � � �� �� ��� ��� ����� � ��������� �� ��� �� � ��� ����� � ����

� G ��� ��� ����� � �� ��� �!�� � �"� ��� ��� ���� !&� ," �� �� � ���� ������ ����$ �� * ���� & . , ��� ��� ���� �� ����� !� " �� � � �� �� ��� ��� ����� ������� � �� �� �� �� � � � �������� �� ��� �� � �� ��� � � � ����� � �� ����� ����� � ����

� G ��� ��� ����� �) �� ��� �!��"� ��� ��� ���� �� � � �� �� ��� ��� ����� ������� � �� � � � �������� �� �� ������ � � �� (+� ��� ��� ����� �� ���� �����������

� G ��� ��� ����� �% �� ��� �!� � ��" ���� �� (+� ��� ��� �� �- ��� ��� �� � � )���� ������ ����$ �� * ��� ���� �� � ��� ��� � ) � � � �� �� (+� � �� ����� ����� � ��� ���� ������� �� � ��� �� � � : �� (+��

&�� �� ���� ��������� ��� � ����� �� �A& ��� � ������ ��� � � ��� � ��� ���,���� ���������� �������� �������� ���� IA/0�/2& 2#'/ �� IG/�6C&/' G/�& )'/A&C ) 2�02B�& 75&�7��58�D�&P�

� ����������� ��� �� ��� �����

�� ��� ����� � �� �� � ������������� ����� ����$� ���� �� �������$ ������ ��'���� ��� ����� ��� ��� ��� ������ ������������� �� I� (�+ !� � �" ������������������ ��� � G ���� �� ������

;%

Page 33: Parameterized counting problems

G �� � ����� �� �������� �� �� I� (�+ !� � �" ���������� �������� ��� �

2�� ��� �� ��������� ���������� �������� ������-

IG/�6C&/' G/�& � '/A&C ) 2�02B�& 75&�7��58�D�&P !IG27!�� )""

������ 5 ��� � ���� ) ��� ��� ������� *�*�������� 5 �� ���� ����� ��+������ &� ����� �� ����� � ��� ����� � ������ ��� *�

D� ������ - @� � � !L�" � �� ������� ���������� ���� �������� � ������ ������� �������� ������-

������!�*� ��" � � ����� � ��� ����� � ������ ��� * �

��������� �� I� (�+�� �� ����� � ����������� ������ ������� �� �� �� � I� (�+ .����� � � ����������� ������ �������� ��� � ��� ����������� ������ ������� ��� �� ���������

5 ����� ������� ������� � � ���������� �� � � �� �� ���� ������� ,��, �� ,��,������� � � � �������� ���� �,���������� � G ��� ��� ��� �,��������� ������� � ����� ����� �� ��� �������� ����� �� ��� � ������ ������� �

2�� ��� �� ��������� ���������� ���������� �������� ������-

IG/�6C&/' �,4#035D�Q/' 75&�7��58�D�&P

������ 5 �,��������� ����� ������� ������� � �*�������� 5 �� ���� ����� ��+������ &� ����� �� ����� � ��� ����� � ������ ��� � �

G ��� ����� �� ��������� ����� ����� � �� �������� ������ �� �� 4#035D�Q5&�#4&C/#0/3 ���� �� ())+�

������� ' )������ ����� �������, �� ����� .�������� :�� ��� � � )� /�7�41 78��-+25'��<78 0' �0:�'=��� > � ������� ��� I� (�+�

� ��� �����

#�� ���� �� ��� ������ �� �� �������� � ������ �������$ �� ����� �� ���� � � �� ��,�������� �������� ���������� G ��� ���� ���� �� ��� ��� � ���������� �������������� �� � >� �? �� �������� ��� �� ��� >��A&? �� �A&,��� ��������� �������� � G��� ��� � ���� �� ����� ���� � ������� ������� �� ������ !��$��" �������������� ��>����? ���������� �������� ������ �� ����������� �� ������ �� � ���������� �����,��� �������� ��� �� ��� I� ()+ �� ���������� ������ �� .������F ��� I� � G ��� ���� ���� ��� �������� �� I� ()+ � � � ��� �� �� ������ ���� �� ���������� ������I7C#0& &B0�46 352C�4/ 522/A&542/ � ������ ��� I� ()+� G ��� ������� ����������� �� �� ���� ������� ���������� �������� ������ ������ �� I� ()+� �������� ��� ����������� �� I� (�+ !� � �" ���������� �������� ��� �� ������ ���� ������������ ������ IG/�6C&/' �,4#035D�Q/' 75&�7��58�D�&P � I� (�+,��������� ��� � � )�

;;

Page 34: Parameterized counting problems

��������

()+ 5� 5���� �$- '� �� ���� ��� ��� ���� ��������� �� ����� �� ������� ��������� '� ,��� 3���� )H* �� ;H,=K )HH<�

(%+ .� 5����� ��� .� 0����- '�������� 6����� ���� ��� ����� �� ������� �������� ���������� �������� /222 0���� &0*%,*;) %**%�

(;+ 0� 8��� ���������� 0� '���� 3� ����� .� 0����- ������� �� ���� ������

(K+ 2� 8�����- 0��?��� �,���������� �� �������?� ����?���?�� 0������ � ��� � '/5�F����������� W� #� �� )HH=�

(=+ 3� 2 ���- *������ 6��� � � ()+��������� ����������� A��� ��� D��� !<)"; �� )O;,)O<%**%�

(O+ 3� 2 ���- �� ��� ��� �� ��� *���������� ������������� 3��� ������

(J+ 3� 2 ��� ��� D� &��� ��- +� ��� 7����� �� *������� � '��������� 0����������������� A��� ��� D��� OK !K" �� )O=,)J) )HHJ�

(<+ X� 2�� ��5� T�� ��� G� X��- @����� 6����� :������ +���������� ��� :������ ������������ X������ �� 5�������� K) �� %<*,;* %**)�

(H+ 8� 2������ X�5� 3�$�� $� ��� B� 0���� - +� ��� :��� *������� 6������� �� 4����7�������� *������ 8������� � 5����� 0����� +���� �� �� '� ��� 5����� ����,����� .��� )*< 4�� ),% ��� %;,=% %**)�

()*+ 0� 6� '���� ��� 3� 0� ����� - :������������ ���������� ��� ������������ 2���� � 4�������� .�� <J �� )O),)<J )HH%�

())+ 0� 6� '���� ��� 3� 0� ����� - *���������� 6�������� 7������,.���� )HHH�

()%+ 3��$� ����$ ��� 3����� 6���- 8���� :����+���� *�������� �� ������� ����8���������� 4������ A������� �� �� %O�� ������������ 2��������� �� 5������� D��,���� ��� A���������� D���� 4�� �� 2������ 7���� )OKK �� ;;),;K* 7������,.���� )HHH�

();+ 3��$� ����$- 7��� ��������� ��� 5�����6���A� � A��'� &� � X�� %**) D��������� ������������� �� 2������ 7���� &� B���� ��� �� /�������� %**)�

()K+ 3� 6��� ��� '� X��� ��- 6������� ��� ������������� ' 4��� �� ��� ����� �� -*������������� G�C� ����� ��� 2������ )HJH�

()=+ 3� 6���- �� ���� ��������������

()O+ '� T���- �� 8�� � ��� '������ �� '� ������ 7������,.���� )HH)�

()J+ X�5� 3�$�� $�- 6������ ���� *�������� ��� B��.�� =���A��� ��� 4����� �� =������ ��� ����� A������� �� �� )%�� 5����� 523,7�53 7���� ��� �� '� ��� 5�������� G� ������� '2 ��� K<J,KH= %**)�

()<+ 7�'� 4���- 7������� ��� ���� *������� ��� ����� �� ������� ���������� 2������A������ 2������ J �� ;*J,;%) )HH<�

()H+ 2� C� A�����������- 6���������� 6�������� 5��� �� G �� )HHK�

;K

Page 35: Parameterized counting problems

(%*+ .� 0����- �� ������� �� '�� ���� 7����� �� A��������� 2�������� '�� ���� 6�,���� X��� %H,5��� � ; %**)�

(%)+ 5� 0������� ��� 3� 5�$�������- 2�������� � -�� '���������� 3����� �$*& � ���������A���� �� �� K%�� �/// �#27 �� %)*,%)H %**)�

(%%+ D� .������- �� �������� �� ������ ��� ��������� &����� 2������ 7��� .�� < ��)<H,%*) )HJH�

(%;+ '� G� � ��� 5� 6��- �� 6������� �� 6����� *������� 5 ��� �� 2�������� ����� 0� '���� ��� '�C�� ������ � 6����� 7�� �� D���� ��� �� 5���������� �� ))=,)=K%**)�

;=