Zoran Markovi} 1 , Zoran Bojani} 2 , Predrag Stefanovi} 1 , Dejan Cvetinovi} 1 , Nikola @ivkovi} 1 , Rastko Jovanovi} 1 , Zoran Pavlovi} 1 1 Laboratorija za termotehniku i energetiku, Institut za nuklearne nauke „Vin~a”, Beograd, Srbija 2 Ma{inski fakultet, Univerzitet u Beogradu, Beograd, Srbija Parametarska bifurkaciona analiza aksijalno pritisnutih slobodno oslowenih cilindri~nih quski kori{}ewem metode kona~nih elemenata Originalni nau~ni rad UDC: 539.3/.4:517.96 U radu su predstavqeni rezultati parametarske numeri~ke bi- furkacione analize aksijalno pritisnutih, elasti~nih, slobodno oslowenih cilindara, razli~itih geometrijskih karakteristi- ka. Kori{}ewem metode kona~nih elemenata i programskog paketa Ansys, prora~unate su vrednosti aksijalnog pritiska pri kojima dolazi do gubitka stabilnosti i odre|eni pripadaju}i sopstveni vektori (najni`i modovi) za analizirane modele cilindara. Dobi- jeni rezultati ukazuju na to da nosivost aksijalnog optere}ewa slobodno oslowenog cilindra zna~ajno opada sa porastom odnosa polupre~nika i debqine zida cilindra. S druge strane, krutost cilindra na aksijalno optere}ewe lagano opada sa porastom od- nosa du`ine i polupre~nika cilindra u posmatranoj oblasti geo- metrijskih karakteristika. Kqu~ne re~i: nosivost cilindri~nih quski, kona~ni elementi, bifurkaciona analiza Uvod Poznato je da tankozidne cilindri~ne quske imaju veoma dobru nosivost s obzirom na wihovu ukupnu te`inu. Stoga su ~esto kori{}en konstruktivni element u in`ewerskim konstrukcijama. Me|utim, wihova nosivost se zna~ajno smawuje pri pojavi gubitka stabilnosti [1]. Projektne jedna~ine za odre|ivawe vrednosti kri- ti~nog optere}ewa pri kojem dolazi do gubitka stabilnosti strukture sa tanko- zidnim quskama definisane su samo za jednostavnije in`ewerske konstrukcije [2]. Za slo`enije strukture, koje trpe kompleksna optere}ewa (gravitaciono + uticaj vetra, na primer), postoje}e projektne jedna~ine nisu primewive. Problem se Z. Markovi} i dr.: Parametarska bifurkaciona analiza aksijalno pritisnutih ... TERMOTEHNIKA, 2009, XXXV, 3-4, 263–282 263
20
Embed
Parametarska bifurkaciona analiza aksijalno pritisnutih ...termotehnika.vinca.rs/content/files/parametarska...veoma bitno da se precizno odrede vrednosti optere}ewa pri pojavi bifurkacije
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
1 Laboratorija za termotehniku i energetiku, Institut za nuklearne nauke „Vin~a”, Beograd, Srbija2 Ma{inski fakultet, Univerzitet u Beogradu, Beograd, Srbija
Parametarska bifurkaciona analiza aksijalnopritisnutih slobodno oslowenih cilindri~nih quskikori{}ewem metode kona~nih elemenata
Originalni nau~ni radUDC: 539.3/.4:517.96
U radu su predstavqeni rezultati parametarske numeri~ke bi-furkacione analize aksijalno pritisnutih, elasti~nih, slobodno oslowenih cilindara, razli~itih geometrijskih karakteristi-ka. Kori{}ewem metode kona~nih elemenata i programskog paketaAnsys, prora~unate su vrednosti aksijalnog pritiska pri kojimadolazi do gubitka stabilnosti i odre|eni pripadaju}i sopstvenivektori (najni`i modovi) za analizirane modele cilindara. Dobi-jeni rezultati ukazuju na to da nosivost aksijalnog optere}ewaslobodno oslowenog cilindra zna~ajno opada sa porastom odnosapolupre~nika i debqine zida cilindra. S druge strane, krutostcilindra na aksijalno optere}ewe lagano opada sa porastom od-nosa du`ine i polupre~nika cilindra u posmatranoj oblasti geo-metrijskih karakteristika.
Za modele koji nisu navedeni u tabl. 3 dobijeni su veoma sli~ni rezultati
bilo da su formirani od linearnog ili kvadratnog elementa, kako po prora~unatoj
vrednosti bifurkacionog optere}ewa, tako i po obliku izdvojenih najni`ih modo-
va. Me|utim, po{to kvadratni el e ment sadr`i duplo vi{e ~vorova i znatno
kompleksniju formulaciju od linearnog, to je vreme prora~unavawa za isti geomet-
Z. Markovi} i dr.: Parametarska bifurkaciona analiza aksijalno pritisnutih ...TERMOTEHNIKA, 2009, XXXV, 3-4, 263–282
276
Slika 16 (a)‡(g). Osnosimetri~ni modovi izdvojeni kao najni`i, za modele razli~itihgeometrijskih karakteristika
(v) Model K1600_1 (g) Model K2000_1
(a) Model K800-1 (b) Model K1200_1
rijski model cilindra, formiran od linearnog kona~nog elementa, bilo zna~ajno
kra}e nego vreme procesirawa istog modela formiranog od kvadratnog elementa.
Pri tome, sam prora~un je bio stabilniji, dok su prora~uni modela formiranih od
kvadratnog elementa pokazali sklonost ka pojavi numeri~ke nestabilnosti, pogoto-
vu za modele sa ve}im faktorom gustine mre`e kona~nih elemenata.
Iz svega ovoga sledi da bi numeri~ku simulaciju gubitka stabilnosti slo-
bodno oslowenog cilindra trebalo uraditi za modele sa~iwene od svakog spome-
nutog kona~nog elementa ponaosob, dobijene rezultate analizirati, uporediti ih sa
re{ewima jedn. (6) i (8) i vrednostima iz mape sopstvenih vrednosti posmatranog
cilindra.
Rezultati numeri~ke analize prikazani dijagramima na sl. 4‡7, kao i sl. 14,
ukazuju na to da dolazi do zna~ajnog pada vrednosti kriti~nog optere}ewa sa
porastom R/t. S druge strane, dijagrami na sl. 8‡11, kao i na sl. 13, ukazuju na to da
porast vitkosti L/R nema tako zna~ajan uticaj na promenu vrednosti kriti~nog opte-
re}ewa. Osetniji pad je primetan samo za set cilindara sa R/t = 400.
Z. Markovi} i dr.: Parametarska bifurkaciona analiza aksijalno pritisnutih ...TERMOTEHNIKA, 2009, XXXV, 3-4, 263–282
277
(d) Model K2000-05 (|) Model K1200_2
(e) Model K1600_2 (`) Model K2000_2
Slika 16 (d)‡(`). Osnosimetri~ni modovi izdvojeni kao najni`i, za modele razli~itihgeometrijskih karakteristika
Na osnovu rezultata analize uticaja broja kona~nih elemenata (gustine
mre`e) numeri~kog modela na prora~unatu vrednost kriti~nog optere}ewa [15],
vidimo da pove}awe gustine mre`e dovodi do smawewa apsolutnih vrednosti rela-
tivnih odstupawa numeri~ki dobijenog kriti~nog optere}ewa u odnosu na teorijske
vrednosti date jedn. (6) i (8). Tako|e, pove}awe broja kona~nih elemenata u obimnom
pravcu osetnije uti~e na smawewe ovog relativnog odstupawa nego pove}awe broja
kona~nih elemenata u aksijalnom pravcu.Relativno odstupawe prora~unatih vrednosti kriti~nog optere}ewa prvog
moda od teorijskih vrednosti (6) i (8), za modele cilindara sa R/t = 400 i 800 i L/R = 1 i2, bilo je mawe od 0,4%, dok su se relativne gre{ke u odnosu na teorijska re{ewa zaostale modele kretale u granicama ‡9,0004 do 9,5075% i ‡12,4659 do 8,9936%,respektivno. Vrednosti relativnih gre{aka su varirale od modela do modela i pri-me}eno je da su ve}e apsolutne vrednosti ovih gre{aka karakteristi~ne za ekstrem-no duga~ke (L/R = 4) i ekstremno debele (R/t = 400) cilindre iz posmatranog opsegageometrijskih karakteristika.
U slu~aju kratkih cilindara, o~ito je da je bio potreban ve}i broj elemenata u obimnom pravcu, a za kra}e a debqe cilindre i dodatno modelovawe uvo|ewem vi{eelemenata po debqini zida cilindra. Ovo je pogotovu primetno u slu~aju modelaformiranih sa linearnim kona~nim elementom. Sli~na situacija je i u slu~ajuekstremno duga~kih modela cilindara. Zbog postavqenog uslova da formiranielementi mre`e imaju pribli`no jednake du`ine bo~nih strana, broj elemenata uaksijalnom pravcu bio je definisan brojem elemenata u radijalnom pravcu.
Za dve geometrijske konfiguracije, K1200_2 i K2000_2, relativne gre{keiznosile su i preko 50%. Uzrok tome je neta~no odre|en broj polutalasa formiranih u aksijalnom pravcu, sa kojim se prora~unava vrednost sArb i sTim, pa se tako dobijajui visoke vrednosti relativne gre{ke. Da bi se ova gre{ka smawila, tj. da bi seta~nije odredio broj formiranih polutalasa, neophodno je pove}ati gustinu mre`e u zoni formirawa ve}eg broja polutalasa.
Dijagrami na sl. 15 prikazuju uticaj geometrijskih karakteristika modelacilindra (koeficijenta zakrivqenosti izotropnog cilindra Z) na vrednost kri-ti~nog optere}ewa (koeficijent izvijawa aksijalno pritisnutog cilindra kz).Vidimo da, za svako R/t, koeficijent kz raste sa porastom koeficijenta zakrivqe-nosti.
Iz tabl. 2 vidimo da }e se tawi cilindri (R/t ³ 1200) izvijati u osno-simetri~ne forme sa ve}im brojem polutalasa u aksijalnom pravcu m. Oblici tihosnosimetri~nih formi dati su u tabl. 3 i na sl. 16 (a)‡(`). Kra}i cilindri (L/R) == 0,5 i 1) zauzimaju forme koje ~ine dve grupe polutalasa sa svake strane ravnisimetrije z = L/2, dok se du`i cilindri (L/R = 2) izvijaju u forme koje imaju poluta-lase grupisane oko ravni simetrije z = L/2.
Cilindri ostalih geometrijskih konfiguracija („debqi” cilindri, sa R/t =
= 400 i 800) su te`ili da zauzmu asimetri~an oblik prvog bifurkacionog moda (tabl.
2). U slu~ajevima „kra}ih” cilindara (L/R = 0,5 i 1) iz ovog seta, izdvojene su asimet-
ri~ne forme sa ve}im brojem talasa u obimnom pravcu. Vrednosti kriti~nih
optere}ewa modela cilindara sa L/R = 4 prora~unate su kori{}ewem kona~nog ele-
menta tip (b).
Z. Markovi} i dr.: Parametarska bifurkaciona analiza aksijalno pritisnutih ...TERMOTEHNIKA, 2009, XXXV, 3-4, 263–282
278
Ovo je ura|eno sa ciqem da se skrati vreme prora~una za te modele. Ako
pogledamo odgovaraju}e tablice sopstvenih vrednosti za ove modele vidimo da je to
bilo opravdano, s obzirom da, osim dobijenih modova datih u tabl. 2, ne postoje
modovi za vrednosti lmnm jednakim ili bliskim jedinici.
Za modele cilindara sa R/t = 400, 800 i 1200, svih vitkosti sem L/R = 1,0, kao iza cilindre sa R/t = 1600 i 2000 vitkosti L/R = 4,0 najmawu vrednost kriti~nogoptere}ewa pri pojavi bifurkacije daje re{ewe jedn. (8). Za cilindre vitkosti 1,bez obzira na vrednost faktora debqine, vrednost bifurkacionog optere}ewa jejednaka ili vrlo bliska vrednosti re{ewa linearnog problema datog jedn. (3).
Vrednosti bufurkacionog optere}ewa dobijene numeri~kim putem sA, zacilindre najmawe vitkosti, L/R = 0,5, svih debqina, su najve}e od svih prora~una-vanih vrednosti, {to va`i i za duga~ke i tanke cilindre vitkosti 4,0 i faktoradebqine R/t = 1200, 1600 i 2000. Numeri~ki dobijene vrednosti su bile najni`e odsvih prora~unatih i za tanke cilindre sredwih du`ina, sa R/t = 1600 i 2000 sa L/R == 1,0 i 2,0.
Na kraju, rezultati numeri~ke analize, prikazani u ovom radu, su upore|enisa rezultatima numeri~ke analize [12] sprovedene kori{}ewem programskog paketaAbaqus za seriju cilindara sa 2R/t = 800¸2000 i L/2R = 0.5¸3. Uo~eno je da su upore|enirezultati veoma pribli`ni, a oblici izdvojenih modova veoma sli~ni za sve modelecilindara u oblasti istovetnih geometrijskih karakteristika. U spomenutom radusu za numeri~ku simulaciju kori{}eni modeli kona~nih elemenata koji predstav-qaju 1/2 strukture cilindra, jer softverski paket Abaqus nije bio u stawu da preciz-no odredi kriti~nu vrednost optere}ewa na gubitak stabilnosti i pripadaju}i modza modele kompletne strukture cilindra du`ine L. U ravni simetrije (presek x = L/2) kori{}en je grani~ni uslov simetrije po pomerawima i rotacijama, a na slobodnojivici cilindra (presek x = 0) uslov slobodnog oslawawa (w = 0, dw2/d2x = 0).
Zakqu~ak
Rezultati numeri~ke analize pokazuju da krutost modela cilindra nagubitak stabilnosti pada sa porastom faktora debqine cilindra R/t. Tako|e,rezultati pokazuju da dolazi do pada krutosti sa porastom vitkosti. Me|utim,uo~eno je da uticaj faktora vitkosti L/R na vrednost kriti~nog optere}ewa pripojavi izvijawa nije tako intenzivan kao {to je to uticaj promene faktora debqinei da slabi sa porastom R/t, tj. da je taj uticaj slabiji za tawe cilindre.
Numeri~ki prora~un predvi|a da }e se neki modeli cilindara izvijati uosnosimetri~ne forme sa ve}im brojem polutalasa u aksijalnom pravcu m. Uo~eno jeda kra}i cilindri (L/R £ 1) zauzimaju forme koje ~ine dve grupe polutalasa sa svakestrane ravni simetrije z = L/2, dok se du`i cilindri izvijaju u forme koje imajupolutalase grupisane oko ravni simetrije z = L/2.
U ve}em broju slu~ajeva, linearni kona~ni el e ment, za razliku od kvadrat-nog izoparametarskog, nije bio u stawu da omogu}i izdvajawe ovih osnosimetri~nihmodova. Potvr|ena je potreba numeri~ke simulacije modela cilindra formiranog iod linearnog i od kvadratnog kona~nog elementa, detaqna analiza tako dobijenihrezultata i upore|ivawe sa teorijskim re{ewima.
Z. Markovi} i dr.: Parametarska bifurkaciona analiza aksijalno pritisnutih ...TERMOTEHNIKA, 2009, XXXV, 3-4, 263–282
279
Rezultati rada potvr|uju primewivost metode kona~nih elemenata, soft-verskog paketa Ansys i izabranih kona~nih elemenata quske u re{avawu problemaodre|ivawa bifurkacionog optere}ewa idealnog, aksijalno pritisnutog, slobodnooslowenog cilindra.
Oznake
{a} ‡ jedini~ni vektor u s pravcu, [–]{b} ‡ jedini~ni vektor u sredwoj povr{i elementa normalno na {a}, [–]D ‡ krutost quske na savijawe [= Et3/12(1–v2)], [Nm–1]E ‡ Jungov modul elasti~nosti, [Nm–2]E* ‡ potencijalna energija sistema kona~nih elemenata, [J]k0 ‡ matrica krutosti kona~nog elementa, [–]kg ‡ geometrijska matrica krutosti (matrica inicijalnih napona), [–]L(u, F)‡ op er a tor [= (¶2u/¶x2)(¶2F/¶y2) + (¶2u/¶y2)(¶2F/¶x2) ‡ 2 (¶2u/¶x¶y)(¶2F/¶x¶y)], [–]m ‡ broj formiranih polutalasa u aksijalnom pravcu, [–]n ‡ broj formiranih talasa u obimnom pravcu, [–]q ‡ vektor pomerawa u ~vorovima elementa, [–]R ‡ polupre~nik cilindra, [m]r ‡ koordinata debqine kona~nog elementa, [m]s, t ‡ ose lokalnog pravouglog koordinatnog sistema sredwe povr{i kona~nog elementa, [–]t ‡ debqina zida cilindra, [m]ti ‡ debqina zida cilindra u ~voru i, [m]U ‡ energija deformacije kona~nog elementa, [J]u ‡ radijalno pomerawe ta~aka sredwe povr{i quske (pravac x-ose), [m]ui, vi, wi ‡ pomerawa u ~voru i u pravcu osa globalnog pravougaonog koordinatnog sistema, [m]v ‡ pomerawe ta~aka sredwe povr{i quske u obimnom pravcu (pravac y-ose), [m]w ‡ pomerawe ta~aka sredwe povr{i quske u pravcu ose cilindra (pravac z-ose), [m]x ‡ radijalna osa (koordinata) cilindri~nog koordinatnog sistema, [–]y ‡ obimna osa (koordinata) cilindri~nog koordinatnog sistema, [–]Z ‡ koeficijent zakrivqenosti izotropnog cilindra [= (L2/Rt)(1 ‡ n2)1/2], [–]z ‡ aksijalna osa (koordinata) cilindri~nog koordinatnog sistema, [–]
Gr~ki simboli
b ‡ bezdimenzioni koeficijent (= nL/pRm), [–]e ‡ bezdimenzioni koeficijent (= t2/12R2), [–]qx, i ‡ rotacija u ~voru i oko vektora {a}, [rad]qy, i ‡ rotacija u ~voru i oko vektora {b}, [rad]l ‡ faktor proporcionalnosti, [–]lmmn ‡ sopstvena vrednost (linearno re{ewe)n ‡ Poasonov koeficijent za izotropni materijal, [–]F ‡ funkcija naprezawa, (= j/t), [Nm–2]j ‡ funkcija sila, [Nm–1]J ‡ bezdimenzioni koeficijent, (= pmR/nL)xgr1 ‡ relativno odstupawe numeri~ki dobijene vrednosti u odnosu na re{ewe jedn. (6), [ =
100 (sArb - sA)/sArb], [%]xgr2 ‡ relativno odstupawe numeri~ki dobijene vrednosti u odnosu na re{ewe jedn. (8), [=
[2] Weingarten, V. I., Seide, P., Pe ter son, J. P., Buck ling of Thin-Walled Circural Cyl in ders, NASASP 8007, NASA Space Ve hi cle De sign Cri te ria (Struc tures), 1968
[3] Donell, L. H, Wan, C. C., Ef fect of Im per fec tion on Buck ling of Thin Cyl in ders and Col umnsun der Ax ial Com pres sion, Jour nal of Ap plied Me chan ics, 17 (1950), March, 73-83
[4] Bab cock, C. D., Jr, The Buck ling of Cy lin dri cal Shells with an Ini tial Im per fec tion un der Ax ial Com pres sion Load ing, The sis, Cal i for nia In sti tute of Tech nol ogy, Pas a dena, Cal., USA, 1962
[5] Arbocz, J., Fu ture Di rec tions and Chal lenges in Shell Sta bil ity Anal y sis, Pro ceed ings, 38th
AIAA/ASME/ASCE/AHS/ASC Struc tures, Struc tural Dy nam ics and Ma te rial Con fer ence,Or lando, Fla., USA, 1997, Part 3, 1949-1962
[6] Chryssanthopoulos, M. K., Baker, M. J., Dowling, P. J., Sta tis ti cal Anal y sis of Im per fec tions in Stiff ened Cyl in ders, ASCE Jour nal of Struc tural En gi neer ing, 117 (1991), 7, 1979-1997
[7] Chryssanthopoulos, M. K., Poggi, C., Stohastic Im per fec tion Mod el ling in Shell Buck lingStud ies, Thin-Walled Struc tures, 23 (1995), 1-4, 179-200
[8] Teng, J. G., Buck ling of Thin Shells: Re cent Ad vances and Trends, Ap plied Me chan ics Re -views, ASME 49 (1996), 4, 263-274
[9] Rot ter, J. M., Shell Struc tures: The New Eu ro pean Stan dard and Cur rent Re search Needs,Thin-Walled Struc tures, 31 (1998), 1-3, 3-23
[10] ***, ENV 1993-1-6 Eurocode 3, De sign of Steel Struc tures, Part 1.6, Gen eral Rules – Sup ple -men tary Rules for the Strength and Sta bil ity of Shell Struc tures, Draft Stan dard, CEN,Brussels, 1999
[11] Sekulovi}, M., Metod kona~nih elemenata, Gra|evinska kwiga, Beograd, 1988[12] Seung, E. K., Chang, S. K., Buck ling Strength of the Cy lin dri cal Shell and Tank Sub jected to
Ax i ally Com pres sive Loads, Pro ceed ings, In ter na tional Con fer ence Thin-Walled Struc tures40, Elsevier Pub lish ing Co., 2001, 329-353
[13] ***, ANSYS Us ers Guide, ANSYS Inc, Canonsburg, Pen., USA, 2000[14] Teng, J. G., Song, C. Y. Nu mer i cal Mod els for Non lin ear Anal y sis of Elas tic Shells with
Eigenmode-Af fine Im per fec tions, In ter na tional Jour nal of Sol ids and Struc tures, 38 (2001), 18, 3263-3280
[15] Krivo{i}, I., Markovi}, Z., Analiza stabilnosti slobodno oslowene cilindri~nequske, Tehnika, 55 (2006), 2, 11‡21
[16] Arbocz, J., Ferry, M., Singer, J., Tvergaraad, V., Buck ling and Post-Buck ling Be hav ior ofStruc tures, Springer Verlag Berlin-Hei del berg-New York, ISBN 3-540-18312-4, 1988
[17] Timoshenko, S. P. The ory of Elas tic Sta bil ity, McGraw-Hill Book Com pany Inc., New York,USA, 1961
[18] Markovi}, Z., Stefanovi}, P., Cvetinovi}, D., Fluid-Struc ture In ter ac tion Plasma Coal Gasi fi -ca tion Chan nel Com pu ta tional Anal y sis, Sum ma ries 3 – Hy dro dy namic Pro cesses, Pro ceed -ings on CD-ROM (ISBN 80-86059-45-6), 17th In ter na tional Con gress of Chem i cal and Pro cess En gi neer ing CHISA 2006, Au gust 27-31, Prague, Czech Re pub lic, p1.049, pp. 840-841
[19] Markovi}, Z., Stefanovi}, P., Cvetinovi}, D., Com pu ta tional Anal y sis of Ther mally LoadedAir-Coal Mix ture Chan nel Us ing Fluid-Struc ture In ter ac tion Ap proach, Sum ma ries 3 – Hy -dro dy namic Pro cesses, Pro ceed ings on CD-ROM (ISBN 80-86059-45-6) 17th In ter na tionalCon gress of Chem i cal and Pro cess En gi neer ing CHISA 2006, Au gust 27-31, Prague, CzechRe pub lic, p1.048, pp. 838-839
Z. Markovi} i dr.: Parametarska bifurkaciona analiza aksijalno pritisnutih ...TERMOTEHNIKA, 2009, XXXV, 3-4, 263–282
281
Ab stract
Para met ric Buck ling Anal y sis of Ax i allyCom pressed Sim ply Sup ported Cy lin dri cal Shell Us ing Fi nite El e ments Method
Dejan CVETINOVI]1, Nikola @IVKOVI]1,Rastko JOVANOVI]1, and Zoran PAVLOVI]1
1 Lab o ra tory for Ther mal En gi neer ing and En ergy, Vin~a In sti tute of Nu clear Sci ences, Bel grade, Ser bia2 Fac ulty of Me chan i cal En gi neer ing, Uni ver sity of Bel grade, Bel grade, Ser bia
Thin cy lin dri cal shells are very ef fi cient struc tural el e ments, widely used in theen gi neer ing con struc tion. It is well known that load car ry ing ca pa bil ity of ax i ally com -pressed sim ply sup ported shell sig nif i cantly re duce due to buck ling. Buck ling also in -duces sud den and sig nif i cant changes of shell ge om e try, so re li able de ter mi na tion ofbuck ling load be comes a very im por tant task for the struc tural en gi neers. Nu mer i calanal y sis us ing fi nite el e ments method is used to eval u ate buck ling strength. Ac cord ing tothe re sults of the para met ric study of the per fect shell, the buck ling strength de creasessig nif i cantly as the di am e ter to-thick ness ra tio in creases, while it slightly de creases withthe height-to-di am e ter ra tio in crease.
Key words: buck ling strength, cy lin dri cal shell, fi nite el e ment, elas tic, bi fur ca tion
Odgovorni autor / Cor re spond ing au thor (Z. Markovi})E-mail: [email protected]
Z. Markovi} i dr.: Parametarska bifurkaciona analiza aksijalno pritisnutih ...TERMOTEHNIKA, 2009, XXXV, 3-4, 263–282