Jorge Freitas ESAS 2006 Paralelismo e Perpendicularidade de Rectas ( ) ( ) ( ) 0 0 1 2 3 , , , , , , , o r xyz x y z vv v λ λ → = + ∈ℜ ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2 3 , , , , , , , s xyz x y z kuu u k → = + ∈ℜ ( ) 1 2 3 , , vvv v ( ) 1 2 3 , , uuu u r s 1. Rectas Paralelas Se as rectas são paralelas os vectores directores são colineares v ku = ou seja: 3 1 2 1 2 3 v v v u u u = = Jorge Freitas ESAS 2006 Exemplo 1 ( ) ( ) ( ) , , 1, 0, 2 3, 2, 1, r xyz λ λ → =− + − ∈ℜ ( ) ( ) ( ) , , 1, 0, 0 6, 4,2 , s xyz k k → = + − − ∈ℜ • São paralelas porque os vectores ( ) ( ) 3, 2, 1 e 6, 4, 2 v u − − − são colineares 3 2 1 2 6 4 2 u v − =− ⇔ = = − − Jorge Freitas ESAS 2006 Exemplo 2 ( ) ( ) ( ) , , 1, 0, 2 3, 2, 1, r xyz λ λ → =− + − ∈ℜ 3 2 3 6 4 2 x y z s − + − → = = − − • São paralelas porque os vectores ( ) ( ) 3, 2, 1 e 6, 4, 2 v u − − − são colineares 3 2 1 2 6 4 2 u v − =− ⇔ = = − − Jorge Freitas ESAS 2006 Paralelismo e Perpendicularidade de Rectas ( ) ( ) ( ) 0 0 1 2 3 , , , , , , , o r xyz x y z vv v λ λ → = + ∈ℜ ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2 3 , , , , , , , s xyz x y z kuu u k → = + ∈ℜ ( ) 1 2 3 , , vvv v ( ) 1 2 3 , , uuu u r s 2. Rectas Perpendiculares Se as rectas são perpendiculares os vectores directores são perpendiculares 0 vu ⋅ = ou seja: 1 1 2 2 3 3 0 vu vu vu + + = 1
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Paralelismo e Perpendicularidade de Rectas - esas.pt · Perpendicularidade de Rectas e Planos Se a recta é perpendicular ao plano, é paralela ao vector perpendicular ao plano vu
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Jorge FreitasESAS 2006
Paralelismo e Perpendicularidade de Rectas
( ) ( ) ( )0 0 1 2 3, , , , , , ,or x y z x y z v v vλ λ→ = + ∈ℜ
( ) ( ) ( )1 1 1 1 2 3, , , , , , ,s x y z x y z k u u u k→ = + ∈ℜ
( )1 2 3, ,v v v v
( )1 2 3, ,u u u ur s
1. Rectas Paralelas
Se as rectas são paralelasos vectores directores são
colinearesv ku=ou seja:
31 2
1 2 3
vv vu u u
= =
Jorge FreitasESAS 2006
Exemplo 1
( ) ( ) ( ), , 1,0, 2 3, 2, 1 ,r x y z λ λ→ = − + − ∈ℜ
( ) ( ) ( ), , 1,0,0 6, 4, 2 ,s x y z k k→ = + − − ∈ℜ
• São paralelas porque os vectores
( ) ( )3, 2, 1 e 6, 4, 2v u− − −
são colineares3 2 126 4 2
u v −= − ⇔ = =
− −
Jorge FreitasESAS 2006
Exemplo 2
( ) ( ) ( ), , 1,0, 2 3, 2, 1 ,r x y z λ λ→ = − + − ∈ℜ3 2 3
6 4 2x y zs − + −
→ = =− −
• São paralelas porque os vectores
( ) ( )3, 2, 1 e 6, 4, 2v u− − −
são colineares3 2 126 4 2
u v −= − ⇔ = =
− −
Jorge FreitasESAS 2006
Paralelismo e Perpendicularidade de Rectas
( ) ( ) ( )0 0 1 2 3, , , , , , ,or x y z x y z v v vλ λ→ = + ∈ℜ
( ) ( ) ( )1 1 1 1 2 3, , , , , , ,s x y z x y z k u u u k→ = + ∈ℜ
( )1 2 3, ,v v v v ( )1 2 3, ,u u u u
rs
2. Rectas Perpendiculares
Se as rectas são perpendicularesos vectores directores são
perpendiculares
0v u⋅ =ou seja:
1 1 2 2 3 3 0v u v u v u+ + =1
Jorge FreitasESAS 2006
Exemplo 1
( ) ( ) ( ), , 1,0, 2 3, 2, 1 ,r x y z λ λ→ = − + − ∈ℜ
( ) ( ) ( ), , 1,0,0 1,0,3 ,s x y z k k→ = + ∈ℜ
• São perpendiculares porque os vectores
( ) ( )3, 2, 1 e 1,0,3v u−
são perpendiculares
( )0 3 1 2 0 1 3 0u v⋅ = ⇔ × + × + − × =
Jorge FreitasESAS 2006
Exemplo 2
( ) ( ) ( ), , 1,0, 2 3, 2, 1 ,r x y z λ λ→ = − + − ∈ℜ3 3
2 63
x zs
y
− −⎧ =⎪→ ⎨⎪ = −⎩
• São perpendiculares porque os vectores ( ) ( )3, 2, 1 e 2,0,6v u−
0ax by cz dα + + + =→0a x b y c z dβ ′ ′ ′ ′+ + + =→0a x b y c z dγ ′′ ′′ ′′ ′′+ + + =→
),,( cbav
( , , )u a b c′ ′ ′
( , , )w a b c′′ ′′ ′′
4
Jorge FreitasESAS 2006
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=′′+′′+′′+′′=′+′+′+′
=+++
00
0
dzcybxadzcybxa
dczbyax
A intersecção de três planos obtém-seresolvendo o sistema:A intersecA intersecçção de três planos obtão de três planos obtéémm--seseresolvendo o sistema:resolvendo o sistema:
Jorge FreitasESAS 2006
αβ
γA
Sistema possSistema possíível vel e determinado.e determinado.
A soluA soluçção ão éé(x(x00,y,y00,z,z00))
(coordenadas (coordenadas do ponto do ponto A)A)
),,( cbav),,( cbau ′′′
),,( cbaw ′′′′′′
weuv,não são colineares
Jorge FreitasESAS 2006
β
γA
Os 3 planos intersectamOs 3 planos intersectam--sesenum ponto. O sistemanum ponto. O sistemaéé posspossíível e determinado.vel e determinado.
A soluA soluçção ão éé(x(x00,y,y00,z,z00))
(coordenadas (coordenadas do ponto do ponto AA)) α
),,( cbav),,( cbau ′′′
),,( cbaw ′′′′′′
weuv,não são colineares Jorge Freitas
ESAS 2006
2 6 03 4
3 2 1
x y zx y z
x y z
+ − + =⎧⎪ + + =⎨⎪ − − =⎩
Exemplo
• Os três planos intersectam-se num ponto.
Resolver o sistema:
• O sistema tem solução
12
3
xyz
=⎧⎪ = −⎨⎪ =⎩
• na calculadora• método da substituição• método da redução
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Jorge FreitasESAS 2006
α
γ
β
rOs três planosOs três planosintersectamintersectam--se segundose segundouma recta.uma recta.O sistema O sistema éé posspossíível evel eindeterminado.indeterminado.
As soluAs soluçções sãoões sãotodos os pontos da rectatodos os pontos da recta rr
),,( cbav),,( cbau ′′′
),,( cbaw ′′′′′′
weuv,não são colineares
Jorge FreitasESAS 2006
2 3 62 3
2 3
x y zx y z
x y z
+ − = −⎧⎪ − − =⎨⎪ + − = −⎩
Exemplo
• Os três planos intersectam-se numa recta. • O sistema é indeterminado
0 3 033 1 1 1
z x x y zx y zz y=⎧ − + −
⇔ = + = ⇔ = =⎨ = +⎩
Jorge FreitasESAS 2006
α
β
γ
r
Dois dos planos sãoDois dos planos sãocoincidentes.coincidentes.O sistemaO sistemaéé posspossíível evel eindeterminado.indeterminado.
As soluAs soluççõesõessão as coordenadassão as coordenadasde cada um dos de cada um dos pontos da rectapontos da recta rr
),,( cbav
),,( cbau ′′′
),,( cbaw ′′′′′′
wu//
Jorge FreitasESAS 2006
2 3 62 4 6 12
2 3
x y zx y z
x y z
+ − = −⎧⎪ + − = −⎨⎪ + − = −⎩
Exemplo
• Os três planos intersectam-se numa recta. • O sistema é indeterminado
0 3 033 1 1 1
z x x y zx y zz y=⎧ − + −
⇔ = + = ⇔ = =⎨ = +⎩
• Dois dos planos são coincidentes
6
Jorge FreitasESAS 2006
α
β
γ
Os 3 planos sãoOs 3 planos sãocoincidentescoincidentes
O sistema O sistema ééindeterminadoindeterminado
),,( cbav
),,( cbau ′′′
),,( cbaw ′′′′′′
wuv ////
Qualquer ponto destesQualquer ponto destesplanos planos éé solusoluççãoãodo sistema.do sistema.
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2 3 62 4 6 12
2 3 6
x y zx y zx y z
+ − = −⎧⎪ + − = −⎨⎪− − + =⎩
Exemplo
• Qualquer ponto de um dos planos pertence tambémaos outros planos
• O sistema é indeterminado
• Os três planos são coincidentes
Jorge FreitasESAS 2006
α
β
γ
Os 3 planos sãoOs 3 planos sãoestritamenteestritamenteparalelosparalelos
O sistema O sistema ééimpossimpossíívelvel
Os planosOs planosnão se intersectamnão se intersectam
),,( cbav
),,( cbau ′′′
),,( cbaw ′′′′′′
wuv ////
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2 3 62 3 02 3 5
x y zx y zx y z
+ − = −⎧⎪ + − =⎨⎪ + − =⎩
Exemplo
• O sistema é impossível
• Os três planos estritamente paralelos • Os três planos nunca se interceptam
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Jorge FreitasESAS 2006
α
β
γDois dos planos sãoDois dos planos sãoestritamenteestritamenteparalelosparalelos
O sistema O sistema ééimpossimpossíívelvel
Os 3 planosOs 3 planosnão senão seintersectamintersectam
),,( cbav
),,( cbau ′′′),,( cbaw ′′′′′′
uv//
Jorge FreitasESAS 2006
2 3 62 3 0
2 3 2
x y zx y zx y z
+ − = −⎧⎪− − + =⎨⎪ + − =⎩
Exemplo
• O terceiro plano intersecta-os segundo rectasparalelas entre si
• O sistema é impossível
• Dois dos planos são estritamente paralelos
8 14 / 32 2 / 3
x y zx y z− = = −⎧
⎨ − = = −⎩
Jorge FreitasESAS 2006
α
βγ
Os 3 planosOs 3 planosintersectamintersectam--sese2 a 2 segundo 2 a 2 segundo rectas rectas estritamenteestritamenteparalelasparalelas
O sistema O sistema ééimpossimpossíívelvel
),,( cbav),,( cbau ′′′
),,( cbaw ′′′′′′
weuv,não são colineares
Jorge FreitasESAS 2006
62 13 2
x y zx yx z
+ + =⎧⎪ − = −⎨⎪ + =⎩
Exemplo
• Os planos interceptam-se dois a dois segundorectas paralelas