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Fakultät für
Mathematik
Seminararbeit
zum Thema
Paradoxien des Unendlichen
Autoren: Allram Julian, Gabler Ines, Obererlacher Ka-tharina
Lehrveranstaltung: KO Mathematik macht Freu(n)de
LV-Leiter: Univ.-Prof. Dr. Michael Eichmair
Semester: Sommersemester 2017
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Paradoxien des Unendlichen Universität Wien
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung 3
2 Hilberts Hotel 32.1 Ankunft eines zusätzlichen Gastes . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Ankunft eines unendlich
großen Busses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.3 Ankunft
zweier unendlich großer Busse . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 42.4 Ankunft unendlich vieler unendlich großer Busse . . . . . .
. . . . . . . . . 42.5 Aufbereitung dieser Fragestellung im
Unterricht . . . . . . . . . . . . . . . 6
3 Abzählbarkeit der rationalen Zahlen 63.1 Aufbereitung dieser
Fragestellung im Unterricht . . . . . . . . . . . . . . . 7
4 Cantorsches Diagonalverfahren 84.1 Aufbereitung dieser
Fragestellung im Unterricht . . . . . . . . . . . . . . . 10
5 Gibt es immer mächtiger werdende unendliche Mengen? 115.1
Aufbereitung dieser Fragestellung im Unterricht . . . . . . . . . .
. . . . . 13
6 Die Kontinuumshypothese 15
7 Literaturverzeichnis 17
8 Abbildungsverzeichnis 17
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Paradoxien des Unendlichen Universität Wien
1 Einleitung
”Aus dem Paradies [der Unendlichkeit], das Cantor uns geschaffen
hat, soll uns
niemand mehr vertreiben können.“
David Hilbert (1862-1943)
Unendlichkeit - gibt es sie nun oder doch nicht?Um an das
Vorwissen der Schülerinnen und Schüler anzuknüpfen: Was sagt das
Zitat
”Bis
zur Unendlichkeit und noch viel weiter!“aus dem Kinderfilm”Toy
Story“ aus? Kann es
das denn wirklich geben? Es ist uns ein großes Anliegen, diese
und noch weitere Fragensowohl fachlich korrekt, als auch
lernendengerecht aufzubereiten.
2 Hilberts Hotel
Der deutsche Mathematiker David Hilbert erdachte Anfang des 20.
Jahrhunderts einGedankenexperiment, um verschiedene Paradoxien zu
veranschaulichen, welche aus derUnendlichkeit der natürlichen
Zahlen (N) erwachsen. Dies erreicht er, indem er ein Modelleines
Hotels aufstellt, das unendlich viele Zimmer hat.
2.1 Ankunft eines zusätzlichen Gastes
Angenommen, alle Hotelzimmer sind belegt. Ein neuer Gast kommt
ins Hotel und fragtan der Rezeption nach einem Zimmer. Der
Rezeptionist antwortet, dass das Hotel leidervoll besetzt ist,
jedoch wäre sicherlich noch ein weiteres Zimmer frei.Das letzte
Zimmer kann nicht besetzt werden, da es überhaupt keines gibt. Man
kannaber alle Gäste aus ihrem derzeitigen Zimmer bitten und sie in
das nächste verlegen. DerRezeptionist veranlasst also
folgendes:
neuer Gast −→ Zimmer 1Gast aus Zimmer 1 −→ Zimmer 2Gast aus
Zimmer 2 −→ Zimmer 3Gast aus Zimmer 3 −→ Zimmer 4Gast aus Zimmer n
−→ Zimmer n+1
Im Allgemeinen lässt sich sagen, dass jeder Gast beim
Eintreffen eines neuen Gastesin das jeweilige Zimmer n+1
weiterrückt. Dabei gibt n die Zimmernummern an. (∀n ∈ N)Oder: n 7→
n+1 ist eine Bijektion von N auf seine echte Teilmenge N\{1}. [[1],
Seite 77]
2.2 Ankunft eines unendlich großen Busses
Für einen Gast ist das Prozedere noch vorstellbar. Doch wie
sieht die Vorgehensweiseaus, wenn ein Bus mit unendlich vielen
Reisenden eintrifft und alle im
”Hotel Infinity“
einchecken wollen? Schafft man es, alle Reisenden im bereits
ausgebuchten Hotel unterzu-bringen? Ja! Auch dieses Mal schafft es
der Rezeptionist, alle neuen Gäste unterzubringen.Alle Gäste
müssen aus ihrem Zimmer u in das Zimmer 2n+1 ziehen. Dadurch haben
alle
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Paradoxien des Unendlichen Universität Wien
Gäste mit geraden Zimmernummern nun eine ungerade Zimmernummer
und die Gästemit ungeraden Raumnummern werden wieder ungeraden
Zimmern zugeteilt.
n=0 −→ n=1n=1 −→ n=3n=2 −→ n=5n=3 −→ n=7n=4 −→ n=9n=n −→
n=2n+1
Das heißt alle Hotelzimmer mit geraden Zimmernummern werden
frei. Da es bei derMenge der natürlichen Zahlen genauso viele
gerade Zahlen, wie ungerade, wie überhauptZahlen gibt, passen
erneut unendlich viele Reisende ins Hotel. Die neuen Gäste können
indie Zimmer mit Zimmernummern 2, 4, 6, ... , 2i ziehen. Der
Rezeptionist weist die neuenGäste in das Zimmer mit Zimmernummer
n=2i zu, wobei i die bisherige Sitzplatznummerim unendlichen Bus
angibt.
2.3 Ankunft zweier unendlich großer Busse
Dass eine Busgesellschaft die Dreistigkeit besitzt, noch einen
zusätzlichen unendlich lan-gen Bus zum Hilbert Hotel zu schicken,
ist doch wirklich erstaunlich. Schafft es derRezeptionist erneut,
die Reisenden aus zwei unendlich langen Bussen im
”Hotel Infini-
ty“einzuchecken? Hierbei geht es formal gesehen um eine
abzählbare unendliche Mengean Personen.Natürlich schafft es der
geschickte Rezeptionist auch dieses Mal.Die Methode ist der
vorherigen ähnlich, aber er muss darauf achten, dass er die
Fahrgästedes ersten und zweiten Busses parallel den Zimmern
zuordnet - was zugegeben ein großesOrganisationstalent benötigt.
Die Gäste aus dem zweiten Bus würden sonst womöglichunendlich
lange auf ihr Zimmer warten!Erneut lässt der Rezeptionist die
Zimmer mit geraden Zimmernummern räumen. Die Pas-sagiere werden
abwechselnd auf die freien Zimmer aufgeteilt. Das sieht dann so
aus:
Person Bus 1 Bus 20. Zimmer 2 Zimmer 41. Zimmer 6 Zimmer 82.
Zimmer 10 Zimmer 123. Zimmer 14 Zimmer 16i. Zimmer 4i+2 Zimmer
4i+4
2.4 Ankunft unendlich vieler unendlich großer Busse
Um das Unmögliche noch unmöglicher zu machen, reisen im
nächsten Schritt unendlichviele unendlich lange Busse zum
Hilbertschen Hotel. Keiner der Gäste ist bereit, seinZimmer zu
verlassen. Wie löst man dieses Problem nun, dass alle Beteiligten
so wenigUmstände wie möglich auf sich zu nehmen?Es müssen
jedenfalls wieder die Reisenden aller Busse parallel zugewiesen
werden. Die
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Paradoxien des Unendlichen Universität Wien
Lösung des Problems lässt sich in einem spiralförmigen Schema
darstellen. Die Abbildunghilft, die Zuteilung nachzuvollziehen.
Abbildung 1: Spiralförmiges Schema [[1], Seite 79]
Der erste Gast aus dem ersten Bus kommt in Zimmer eins, der
erste Gast aus dem zweitenBus kommt in Zimmer 2, der erste Gast aus
dem dritten Bus kommt in Zimmer 5, dervierte Gast aus Bus 4 kommt
in Zimmer 13 usw.Die roten Rechtecke markieren die Sitzplätze i
der Busse, die orangefarbenen Rechteckegeben die Zimmernummern an
und der eckigen roten Spirale ist zu folgen, wenn manermitteln
will, welchem Gast welches Zimmer zugeteilt werden soll.Allgemein
ausgedrückt, bekommt der Gast mit dem Sitzplatz i aus dem Bus j
das Zimmerj2−i+1 zugeteilt, insofern i > j. Falls i ≤ j wird das
Zimmer (j−1)2 bezogen. (∀i, j ∈ N)[[1], Seite 79]
Eine andere Möglichkeit wäre, das Problem über die
Eigenschaften von Primzahlen an-zugehen. Dadurch bleiben außerdem
noch unendlich viele Zimmer unbelegt (für etwaigeNotfälle).Es
gibt unendlich viele Primzahlen. Jeder Reisende aus dem Bus 1 mit
Sitzplatznummeri bekommt das Zimmer 2i zugeordnet. Die Gäste aus
Bus 2 mit Platznummer i darf imZimmer 3i unterkommen usw. Der i-te
Fahrgast aus Bus j erhält das Zimmer pij. Dabeibeschreibt pj die
j-te Primzahl. Aufgrund der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung
kannniemals einer Person das gleiche Zimmer zugeteilt werden.Um das
zugegebenermaßen komplizierte Verfahren etwas zu vereinfachen, kann
man vor-erst nur einmal die beiden Primzahlen 2 und 3 zur Hand
nehmen. Es genügt, dem i-tenReisenden aus dem j-ten Bus Zimmer 2i
· 3j zuzuweisen. [[1], Seite 79f.]
Es ist abschließend zu sagen, dass die Menge der natürlichen
Zahlen, wie die Hotelzim-mer und Plätze unendlich und abzählbar
sind. Man bezeichnet sie daher als abzählbarunendlich.
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Paradoxien des Unendlichen Universität Wien
2.5 Aufbereitung dieser Fragestellung im Unterricht
Die Schülerinnen und Schüler können mittels Hilbert Hotel
sehr spielerisch an den Un-endlichkeitsbegriff herangeführt
werden.Als Einstieg in die Unterrichtsstunde könnte eine Art
Cluster dienen, in dem alle bishergehörten Zahlenmengen
zusammengefasst werden. Es sollen sowohl die Teilmengen
auf-gezeichnet werden können, als auch die wichtigsten Beispiele
und Ausnahmen.Im nächsten Schritt werden die Schülerinnen und
Schüler auf das Problem vorbereitet. Eskann eine einleitende
Geschichte erzählt werden. (z.B.:
”Letztes Jahr war ich in Sizilien
im Urlaub. Da wollte ich ganz spontan vor Ort ein Hotelzimmer
beziehen, jedoch wie es inder Hauptsaison so üblich ist, war
natürlich kein Zimmer mehr frei. Dann habe ich einenTipp bekommen,
dass ich doch das Hilbert Hotel im Stadtzentrum aufsuchen solle.“)
DieSchülerinnen und Schüler sollen dadurch einen Reiz zum Thema
bekommen und neugierigwerden.Wenn die Grundbedingungen geklärt
worden sind, wird die Klasse aufgeteilt. Die Tischewerden im
Klassenraum beiseite geschoben und die Stühle in einer Reihe
aufgestellt. DieKlasse wird in zwei Gruppen aufgeteilt. Die
Schülerinnen und Schüler der ersten Gruppewerden aufgefordert,
sich nebeneinander auf die Stühle zu setzen. Nun ist etwas
Vorstel-lungsvermögen gefragt. Die sitzenden Schülerinnen und
Schüler bilden das HilbertscheHotel. Die Stühle dahinter sind
vermeintlich besetzt. Das Hilbertsche Hotel ist also aus-gebucht.
Ein/e Schüler/In kommt nun zur Rezeption (Lehrperson) und fragt
nach einemZimmer. Die Lehrperson entgegnet dass alle Zimmer belegt
seien, jedoch finde sich be-stimmt eine Möglichkeit, dass die
Person noch einen Schlafplatz bekommt.Die Schüler und
Schülerinnen sollen sich nun eine Methode überlegen, wie sie ein
Zimmerfür die zusätzliche Person beschaffen können. Die leeren
Stühle dürfen jedoch nicht vonvorne herein besetzt werden.Wurde
das Problem gelöst, kann man die Aufgabenstellung erschweren,
indem man dierestliche Gruppe im Hotel einchecken lässt. Wieder
darf sich die ganze Klasse beraten.Die unendlich vielen Busse mit
unendlich vielen Fahrgästen würde meiner Meinung nachdie
Abstraktionsfähigkeit der Schülerinnen und Schüler
wahrscheinlich übersteigen.
3 Abzählbarkeit der rationalen Zahlen
Nachdem die Überlegungen zum Hilbert Hotel gezeigt haben, dass
die Menge N abzählbarunendlich ist, stellt sich sofort die Frage,
ob es noch andere
”Arten“ von unendlichen Men-
gen geben kann, die”echt größer“ als N sind. Auf den ersten
Blickt scheint die Menge
Q aller rationalen Zahlen echt größer zu sein als N, da ja
bereits zwischen zwei aufein-anderfolgenden natürlichen Zahlen n
und n+1 unendlich viele Brüche liegen. Obwohl andieser Tatsache
nicht zu rütteln ist, gibt es dennoch eine Methode alle Brüche
(also allerationalen Zahlen) abzuzählen.Wie das möglich ist,
sehen wir uns in diesem Kapitel an.
Um zu zeigen, dass die natürlichen Zahlen N und die rationalen
Zahlen Q”gleich groß“
sind, brauchen wir eine Bijektion zwischen diesen beiden Mengen.
Eine Möglichkeit, einesolche herzustellen, ist die folgende:
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Paradoxien des Unendlichen Universität Wien
Jeder Bruch pq
wird durch das Paar (p,q) der ganzen Zahlen p und q
repräsentiert. Diese
Paare werden nun in einer unendlichen Tabelle mit dem
Mittelpunkt (0,0) angeordnet,wobei das Paar (p,q) in der p-ten
Zeile und der q-ten Spalte steht. Um nun die Mengeder rationalen
Zahlen zu durchlaufen, startet man beim Mittelpunkt (0,0) und legt
einen
”spiralförmigen“ Weg zurück, wie in der Skizze angedeutet:
Abbildung 2: Spiralförmiger Weg [[1], Seite 53]
Die rationale Zahl, die im n-ten Schritt getroffen wird, erhält
dann die natürliche Zahln als Nummerierung. Auf diesem Weg wird
kein Zahlenpaar ausgelassen und auch keineNummer doppelt
vergeben.
Diese Zuordnung ist allerdings noch nicht ganz
zufriedenstellend, da zwei Zahlenpaareein und dieselbe rationale
Zahl darstellen können. So sind zum Beispiel 6
9und 10
15beides
Repräsentanten der rationalen Zahl 23.
Damit also wirklich jeder rationalen Zahl genau eine natürliche
Zahl zugeordnet werdenkann, fehlt noch ein letzter Schritt: Alle
Paare mit negativen Nennern und all jene, diezu kürzbaren Brüchen
gehören, werden aus der Tabelle gestrichen. Wenn wir nun
denSpiralweg erneut durchlaufen, erhalten die gestrichenen Paare
keine Nummern mehr undwir erhalten eine Bijektion zwischen zwischen
N und Q.
3.1 Aufbereitung dieser Fragestellung im Unterricht
Um die Abzählbarkeit der rationalen Zahlen mit Hilfe der
natürlichen Zahlen für dieSchülerinnen und Schüler greifbar zu
machen, sollte bei den Lernenden vor allem einGefühl für den
Begriff
”abzählbar unendlich“ entstehen.
Wie auch hier in dieser Seminararbeit beschrieben, bietet das
Hilbert Hotel ein anschau-liches Beispiel, um diesen Terminus
technicus zu erläutern. Noch allgemeiner kann denSchülerinnen und
Schülern der Prozess des Zählens vor Augen geführt werden, da
dieserProzess unendlich ist und es keine letzte Zahl gibt. Die
Elemente einer abzählbar unend-lichen Menge lassen sich also in
einer Liste anordnen: 1. Element, 2. Element, usw. DieseListe ist
zwar unendlich, jedoch erscheint jedes Element an einer endlichen
Stelle und wirdgezählt.Da wir in weiterer Folge tiefer in die
Thematik vordringen, ist es sicher sinnvoll hier denBegriff der
”Kardinalität“ anzusprechen. Hierbei ist es jedoch besser, die
Kardinalzahl
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Paradoxien des Unendlichen Universität Wien
als Mächtigkeit einer Menge zu beschreiben und informell zu
sagen, dass es dabei um dieAnzahl der Elemente einer Menge geht,
ohne den Begriff in all seinen Details zu definieren.
Definition: Für jede Menge A schreiben wir |A| für die
Kardinalzahl von A. [[2], Seite 6]
Damit klar wird, was bei dem Beweis Die rationalen Zahlen sind
abzählbar wirklich pas-siert, muss der Begriff
”Bijektion“, am besten anhand einer Grafik, erklärt werden:
Definition: Sei f: A → B eine Abbildung.Wir nennen f bijektiv
wenn jedes Element in der Zielmenge B genau einem Element derMenge
A zugeordnet wird.
Abbildung 3: bijektive Abbildung [4]
Nach der allgemeinen Definition der Bijektivität und nach der
Behandlung des Abzählbarkeitsverfahrensfür die rationalen Zahlen,
macht es Sinn, nochmals auf den Begriff der Kardinalzahl zusprechen
zu kommen.
Definition: Mit ℵ0 (Aleph 0) oder auch i0 (Beth 0) bezeichnen
wir die Kardinalzahlvon N, oder die Kardinalität jeder
abzählbaren Menge. (Eine Menge A heißt abzählbar,wenn es eine
Bijektion f: N →A gibt.) [[2], Seite 8]
Wie wir ja gezeigt haben, gibt es eine Bijektion von N nach Q
und somit ist auch dieKardinalität der Menge der rationalen Zahlen
ℵ0 und wir schreiben |Q| = ℵ0. Es gibt alsoℵ0 viele (abzählbar
viele) rationale Zahlen.
4 Cantorsches Diagonalverfahren
Auf der Suche nach echt größeren, unendlichen Mengen, wird sich
dieses Kapitel mit demCantorschen Diagonalverfahren beschäftigen.
Es ist nämlich möglich zu beweisen, dassdie Menge R der reellen
Zahlen echt größer ist als die Menge N der natürlichen
Zahlen.
Wie im vorherigen Kapitel gezeigt, sind N und Q gleich groß und
es gibt eine Bijekti-on zwischen diesen beiden Mengen. Rein
intuitiv sollte es jedoch viel mehr reelle Zahlenals rationale
Zahlen geben. Wir wissen zum Beispiel, dass Wurzeln ganzer Zahlen
im All-gemeinen nicht rational sind. Somit wäre eine erste Idee Q
um die Wurzeln zu ergänzen,um die reellen Zahlen zu erhalten.
Gegeben, dass wir schon wissen, dass R überabzählbarist, kann
diese Idee aber nicht zum Ziel führen, da wir Q ja nur um
abzählbar viele
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Paradoxien des Unendlichen Universität Wien
Wurzeln erweitert haben. Mehr noch: Selbst wenn man zu Q alle
Lösungen rationaler Po-lynome (das heißt beliebigen Grades und
beliebige Koeffizienten aus Q gäbe, erhielte mannur eine
abzählbare Menge, die Menge der algebraischen Zahlen. In der Tat
gibt es, wieanhand des Beispiels der unendlich vielen eintreffenden
Busse ersichtlich, nur abzählbarviele solche Polynome. Da jedes
Polynom höchstens endlich viele Lösungen besitzt folgt,dass auch
alle algebraischen Zahlen abzählbar sind.Werden also von der Menge
der reellen Zahlen R die abzählbar vielen algebraischen,
ein-schließlich der rationalen Zahlen weggenommen, bleiben immer
noch überabzählbar vieleZahlen übrig. Dieses Faktum gilt auch
noch, wenn alle nichtalgebraischen Zahlen (tran-szendente Zahlen
gennannt), wie π und e und deren algebraische Vielfache
weggenommenwerden.Die Menge aller Zahlen, die man in einer Formel
oder einer Prosabeschreibung mit end-lich vielen Zeichen definieren
kann, ist abzählbar. Somit sind alle Zahlen in R, die wirirgendwie
kennen (die wir mit endlichen vielen Gedanken erfassen können),
eine belang-lose Minderheit der reellen Zahlen. In der Tat hat die
große Masse der reellen Zahlen eineunendlich lange Darstellung im
Dezimalsystem:Wir beschränken uns im Folgenden auf die Zahlen
zwischen 0 und 1. Diese sind darstell-bar als 0,... und dann einer
unendlichen Folge von Dezimalziffern. Diese unendliche Folgeliefert
den Ausgangspunkt für das Cantorsche Diagonalverfahren, mit dem
der zu Beginndes Kapitels genannte Satz bewiesen werden kann:
Satz: Die Menge R der reellen Zahlen ist überabzählbar. Das
heißt es gibt keine Bi-jektion zwischen R und N.
Beweis: Wir nehmen an, dass die Menge der reellen Zahlen
zwischen 0 und 1 abzählbarist. Das bedeutet, dass es eine
Bijektion von N auf das Intervall ]0, 1[ gibt, oder dasses eine
Folge u1, u2, u3,.. reeller Zahlen gibt mit der Eigenschaft, dass
jede reelle Zahlzwischen 0 und 1 ein Element der Folge sei.Jede
reelle Zahl ist ein ein unendlicher Dezimalbruch, wobei beachtet
werden muss, dassdie Zahl 0,1999999... dasselbe ist wie die Zahl
0,2000000... Damit die Dezimalbruchdar-stellung einer reellen Zahl
eindeutig ist, legen wir fest, dass nur solche
Dezimalbruch-entwicklungen betrachtet werden, die nicht ab einer
gewissen Stelle nur mehr aus 9-ernbestehen.
Betrachten wir nun die Elemente der Folge u1, u2, u3,...:u1 = 0,
u11u12u13u14u15u2 = 0, u21u22u23u24u25u3 = 0, u31u32u33u34u35u4 =
0, u41u42u43u44u45u5 = 0, u51u52u53u54u55
Und so weiter. Jedes uij ist eine Dezimalziffer. Betrachte nun
die Zahl u = 0, u11u22u33u44u55...
Wir definieren eine Zahl v = 0, v1v2v3v4v5... dadurch, dass sie
von u an jeder Stelle ver-schieden sein soll: vi 6= uii für jede
Nummer i. Die vi können dabei nach belieben festgelegt
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Paradoxien des Unendlichen Universität Wien
werden, solange sie nicht alle ab einer gewissen Stelle gleich 9
sind. Die Zahl v gehört zu]0, 1[, ist also ein Element der Folge
u1, u2, u3,...Es sei n die Nummer von v, sodass v = un ist. Dann
gilt insbesondere, dass vn = unn istund das ist ein Widerspruch zur
Definition von v. Daraus folgt, dass die Menge der reellenZahlen
zwischen ]0, 1[ und erst recht die Menge aller reellen Zahlen nicht
abzählbar ist[[1], Seite 49]. �
Die Menge der reellen Zahlen R ist demnach viel größer als die
Menge der natürlichenZahlen N. R wir deshalb als überabzählbar
unendliche Menge bezeichnet.
Definition: Mit 2ℵ0 (2 hoch Aleph 0) oder i1 (Beth 1) oder auch
mit c (Fraktur c,Kontinuum) bezeichnen wir die Mächtigkeit von
R.
Wir bezeichnen also die Kardinalität der natürlichen Zahlen
mit |N| = ℵ0 (bzw. i0)und die Kardinalität der reellen Zahlen mit
|R| = 2ℵ0 (bzw. i1) und es gilt i0 < i1 [[2],Seite 10].
4.1 Aufbereitung dieser Fragestellung im Unterricht
Die Schülerinnen und Schüler können als Einstieg in dieses
Thema befragt werden, obsie Mengen kennen, die nach ihrer
Einschätzung echt größer als Q sein müssen. Somitkann nahtlos an
das vorherige Kapitel und an den Begriff der Kardinalität
angeschlossenwerden.Da die Befragten hier sicherlich sehr schnell
die reellen Zahlen nennen werden, kann dar-auf eingegangen werden,
dass Wurzeln im Allgemeinen nicht Teil der rationalen Zahlen,wohl
aber Teil der reellen Zahlen sind und als kleine Auflockerung kann
das Video vonDorfuchs gezeigt
werden:https://www.youtube.com/watch?v=tPfnEByx9r0.Im Folgenden ist
es wahrscheinlich sinnvoller, wenn kurz angerissen wird, dass
WurzelnLösungen algebraischer Gleichungen mit ganzzahligen
Koeffizienten sind und es auch hiermöglich ist, diesen eine Nummer
zuzuordnen und sie ähnlich wie bei den rationalen Zah-len mit
Hilfe eines spiralförmigen Weges
”abzuzählen“ , ohne diese Schritte im kleinsten
Detail durchzudenken. Das Hotel Hilbert sollte aber durchaus
nochmals besprochen wer-den, wenn es darum geht, die Lösungen
aller Gleichungen n-ten Grades
”unterzubringen“.
Wichtig ist es, dass die Schülerinnen und Schüler ein Gefühl
für die reellen Zahlen ent-wickeln. Sie sollen in diesem Schritt
also erkennen, dass von den reellen Zahlen immernoch
überabzählbar viele übrig bleiben, wenn Mengen mit abzählbar
vielen Elementenweggenommen werden.Der folgende Gedanke, nämlich,
dass jede abzählbare Liste von reellen Zahlen unvoll-ständig
bleiben muss und die große Masse der reellen Zahlen keine Namen
haben kann,da diese sonst unendlich lang wären, ist definitiv
philosophisch. Somit sollte hier auchPlatz sein, um Ideen und
Gedanken von Schülerinnen und Schülern aufgreifen und be-sprechen
zu können.Die Fragestellung, wie nun aber bewiesen werden kann,
dass die reellen Zahlen überabzählbarsind, ergibt sich meiner
Meinung nach dann ganz von selbst.Um den Beweis zuerst möglichst
anschaulich darzustellen, können sich die Schülerinnen
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Paradoxien des Unendlichen Universität Wien
und Schüler einfach fünf Zahlen mit fünf Nachkommastellen aus
dem Intervall ]0, 1[ aus-denken. Ihre Banknachbarin oder ihr
Banknachbar soll dann eine Zahl v definieren, die,wie im Beweis
erläutert, von der Zahl u = 0, u11u22u33u44 an jeder Stelle
verschieden ist.Da die Schülerinnen und Schüler ziemlich sicher
alle unterschiedliche Zahlen un gewähltund somit auch
unterschiedliche v definiert haben, bekommen sie noch einmal ein
Gefühlfür die Mächtigkeit von R und es fällt der Lehrperson im
Anschluss leichter mit demformellen Beweis anzuknüpfen.Der Beweis
kann anfangs vielleicht etwas schwer fallen, die Lehrkraft könnte
aber auchim Anschluss ein Zitat von P. W. Bridgman vorlesen, der
1946 den Nobelpreis für Physikerhielt und Probleme hatte, den
Beweis zu verstehen:
”Viele Mathematiker bestehen hartnäckig darauf, dass es keinen
Zweifel an der Gültigkeit
dieses Beweises geben könne, während andere ihn nicht
anerkennen. Ich selbst sehe auchnicht das geringste Körnchen von
Überzeugungskraft in dem Beweis ... mein Verstand willnicht das
tun, was offensichtlich von ihm erwartet wird, sollte es sich
wirklich um einenBeweis handeln“ [[3a], Seite 8].
Zum Abschluss dieses Kapitels sollte dann noch auf die
Mächtigkeit von R eingegan-gen werden, wie in der Definition
aufbereitet, da dies auch für die anschließenden Kapitelvon
Bedeutung sein wird.
5 Gibt es immer mächtiger werdende unendliche Men-
gen?
Wir haben also im vorherigen Kapitel auf anschauliche Weise
erkennen können, dass dieMächtigkeit von R viel größer ist, als
jene von N. Dadurch wissen wir, dass es mindestenszwei
”Arten von Unendlichkeit”gibt. Zum einen die abzählbare
Unendlichkeit, wie es bei
der Mächtigkeit von N der Fall ist und die überabzählbare
Unendlichkeit, was, wie imKapitel zuvor gezeigt, zum Beispiel die
Mächtigkeit von R ist. Wir stellen uns daher indiesem Kapitel die
Frage, ob es denn noch weitere Mächtigkeiten von unendlichen
Men-gen, außer jenen von N und R gibt. Außerdem wollen wir klären,
wie viele solcher Mengendenn tatsächlich existieren, wenn es noch
mächtigere unendliche Mengen als R gibt.Um verschiedene
Mächtigkeiten von unendlichen Mengen betrachten zu können,
müssenwir zuerst definieren, wann zwei endliche oder unendliche
Mengen gleichmächtig sind.
Definition: Zwei Mengen A und B sind genau dann gleichmächtig
(A ∼ B), wenn eseine bijektive Abbildung von A nach B gibt. [[2],
Seite 2].
Hier besteht ein wesentlicher Unterschied zwischen endlichen
Mengen und unendlichenMengen, da man bei endlichen Mengen die
Anzahl ihrer Elemente gleich ihrer Mächtigkeitsetzten kann.
Demnach sind zwei endliche Mengen, die gleich viele Elemente
besitzen,gleichmächtig. Im Vergleich dazu kann eine unendliche
Menge zu einer ihrer echten Teil-mengen gleichmächtig sein, so,
wie wir das zu Beginn dieser Arbeit am Hilbertschen Hotelerkennen
konnten.
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Paradoxien des Unendlichen Universität Wien
Wir tun so, als wüssten wir nicht, dass N und R nicht
gleichmächtig sein können undbeginnen unsere Überlegungen mit
dem Satz von Cantor.
Satz von Cantor, schwache Form: Es gibt zwei unendliche Mengen
A, B, für die giltA � B.
Beweis des Satzes von Cantor:Wir verwenden für diesen Beweis
die Mengen N und P(N), wobei P(N) die Potenzmengevon N ist und als
die Menge aller Teilmengen von N definiert ist. Anschließend
betrachtenwir eine beliebige Abbildung f : N → P(N). Wir werden in
diesem Beweis zeigen, dassf nicht bijektiv ist und dadurch die
beiden Mengen nicht gleichmächtig sein können. Ge-nauer werden
wir zeigen, dass f nicht surjektiv ist, um das eben genannte zu
beweisen.
SeiAf = {n ∈ N : n /∈ f(n)}
Dann ist Af ∈ P(N). Wäre f surjektiv, dann gäbe es ein k ∈ N
sodass f(k) = Af . Nunmuss aber entweder k ∈ Af oder k /∈ Af
gelten. In ersterem Fall wäre nach Definition vonAf k /∈ f(k) = Af
, ein Widerspruch. In zweiterem Fall, k /∈ Af ist aber ebenfalls
nachDefinition von Af k ∈ f(k) = Af ein Widerspruch. Daher kann f
unmöglich surjektivsein, woraus folgt, dass f nicht bijektiv sein
kann. Daher gilt N � P(N).
�[[2], Seite 4, 5.]
Betrachtet man diesen Beweis, so könnte man auf den ersten
Blick meinen, wir habenhier einzig bewiesen, dass N und P(N) nicht
gleichmächtig sind. Doch das ist nicht al-les. Wie sich ohne Mühe
erkennen lässt funktioniert selbiger Beweis für jede Menge
A(anstelle von N). Wir haben also gezeigt, dass jede beliebige
Menge A zu ihrer Potenz-menge P(A) nicht gleichmächtig ist. Dieser
Sachverhalt ist für endliche Mengen zwarintuitiv erkennbar, gilt
jedoch auch für unendliche Mengen und hat hier besonders
großeBedeutung, weshalb dieser Satz auch die starke Version des
Satz von Cantor genannt wird.
Satz von Cantor, starke Form: Für jede Menge A gilt A � P(A).
[[2], Seite 6.]Mit dieser Erkenntnis sind wir der Beantwortung
unserer Frage, ob es denn eine Reiheimmer mächtiger werdender
unendlicher Mengen gibt, die sich beliebig fortsetzen lässt,einen
riesigen Schritt näher gekommen. Wir wissen bereits aus dem Beweis
der starkenForm des Satzes von Cantor, dass sich jede Menge A nicht
surjektiv auf ihre Potenzmengeabbilden lässt. Das bedeutet, dass
P(A) mächtiger sein muss.Alternativ lässt sich wie folgt
vorgehen.
Definition: A . B ist definiert durch: Es existiert eine
injektive Abbildung f : A→ B.Das ist äquivalent zu: A ist
gleichmächtig mit einer Teilmenge von B. [[2], Seite 7]
Betrachten wir nun aber unsere Potenzmenge von A, so enthält
diese aufgrund ihrer De-finition natürlich auch alle Mengen a mit
a ∈ A. Die Abbildung g : a → {a} ist daherwohldefiniert und
offensichtlich injektiv. Da die leere Menge so nicht getroffen wird
ist A
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Paradoxien des Unendlichen Universität Wien
also zu einer echten Teilmenge von P(A) gleichmächtig. Daraus
folgt, dass P(A) mächtigerist als A. [[2], Seite 7]
Wir wissen, dass N eine unendliche Menge ist und wir wissen
aufgrund der zuvor genann-ten Inhalte jetzt auch, dass P(N) ebenso
eine unendliche Menge ist, die jedoch mächtigerist, als die Menge
N. Spinnen wir diesen Gedanken weiter fort, so ist aber auch P(N)
we-niger mächtig, als P(P(N)) und P(P(N)) ist wiederum weniger
mächtig, als P(P(P(N)))usw.Damit erhalten wir also eine Folge von
unendlichen Mengen, sodass
N ≺ P(N) ≺ P(P(N)) ≺ P(P(P(N))) ≺ ...
gilt. [[2], Seite 11]
5.1 Aufbereitung dieser Fragestellung im Unterricht
Ich persönlich halte es jedoch für problematisch, diese Frage
mit dem oben gebotenenBeweis des Satzes von Cantor in der Schule zu
beantworten, da sich die Schülerinnenund Schüler diese abstrakte
Form der Darstellung einer Funktion, die nicht bijektiv seinkann,
möglicherweise nicht so leicht vorstellen können. Daher bemühe
ich mich in die-ser Unterrichtsplanung einen anderen, meiner
Meinung nach, etwas einfacheren Zugangzu dieser Fragestellung zu
wählen. Ich halte die erste Definition, die erklärt, dass
zweiMengen A und B genau dann als gleichmächtig bezeichnet werden,
wenn es eine bijektiveAbbildung von A nach B gibt, auch für die
Schule als brauchbar, wenn man dazu erklärt,dass die Aufgabe
dieser Abbildung jene ist, jedem Element von A genau ein Elementvon
B zuzuordnen und hier eine 1-1-Beziehung hergestellt ist. Diese
Definition ist selbstfür Schülerinnen und Schüler geeignet,
insbesondere für solche, die am Fach Mathematikinteressiert sind
und sich in einem Wahlpflichtfachgegenstand Mathematik anmelden,
wodiese Inhalte Platz finden könnten.
Auch die Aussage der schwachen Form des Satzes von Cantor, dass
es zwei unendlicheMengen gibt, die jedoch nicht gleichmächtig
sind, müsste für die Schülerinnen und Schülermehr oder weniger
leicht zu verdauen sein, insbesondere nach den erlernten Inhalten
ausdem Kapitel zuvor, wo wir bereits festgestellt haben, dass N und
R nicht gleichmächtigsind. Es soll dennoch beim Beweis des Satzes
erkennbar sein, dass P(A) mächtiger ist, alsA selbst, wenngleich
ich in der Schule den Beweis zum leichteren Verstehen etwas
andersaufbauen will, als weiter oben beschrieben.
Satz von Cantor, schwache Form: Es gibt zwei unendliche Mengen
A, B, für diegilt A � B.
Beweis des Satzes von Cantor:Wir verwenden auch für diesen
Beweis die Mengen N und P(N), wobei P(N) die Potenz-menge von N ist
und als die Menge aller Teilmengen von N definiert ist.
Anschließendbetrachten wir eine Abbildung f : N → P(N). Wir werden
in diesem Beweis zeigen,dass f nicht bijektiv ist und dadurch die
beiden Mengen nicht gleichmächtig sein können.
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Paradoxien des Unendlichen Universität Wien
Genauer werden wir zeigen, dass f nicht surjektiv sein kann, um
das eben genannte zubeweisen. An dieser Stelle muss den
Schülerinnen und Schülern im Unterricht erklärtwerden, dass die
Surjektivität Voraussetzung für die Bijektivität einer Abbildung
ist undwas Surjektivität denn überhaupt bedeutet, wobei ich in
diesem Unterrichtsbeispiel dafürkeine formale Definition bieten
werde, sondern hier intuitiv vorgehen werde. Die Surjek-tivität
der Abbildung bedeutet, dass jedem Element aus der Zielmenge (in
unserem FallP(N)), mindestens ein Element aus der Definitionsmenge
(in unserem Fall N) zugeordnetwerden kann und eine Abbildung nicht
surjektiv ist, wenn dies nicht erfüllt werden kann.Bis hier her
unterscheidet sich diese Erklärung nicht vom Beweis zum Satz von
Cantorweiter oben in diesem Kapitel.Bei der weiteren Erklärung
dieses Beweises können wir ähnlich vorgehen, wie beim Beweisim
Kapitel zuvor, wo gezeigt wurde, dass R nicht gleichmächtig ist,
wie N. Zur besserenIllustration ist es hier sinnvoll, sich die
Abbildung f genauer vorzugeben.Wähle zum Beispiel für f(0) alle
natürlichen Zahlen, für f(1) alle geraden Zahlen, fürf(2) alle
Potenzen von 2 usw.:
f(0) = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}f(1) = {0, 2, 4, 6, 8,
...}f(2) = { 1, 2, 4, 8, ...}f(3) = { 1, 3, 5, 7, ...}...Diese
Teilmengen muss man, wie illustriert, so anordnen, dass jeweils
gleichwertige Ele-mente der einzelnen Teilmengen untereinander
geschrieben stehen und man sich an denanderen Stellen Löcher in
diesen Teilmengen denkt. Anschließend betrachten wir die Dia-gonale
dieser Teilmengen von N die entsteht, wenn man von der ersten Zeile
das ersteElement oder Loch, von der zweiten Zeile das zweite
Element oder Loch usw. hervorhebtund konstruieren uns eine
Teilmenge A von N, die bestimmt mit keinem f(k) für k ∈
Nübereinstimmt. Dazu wählen wir aus jeder der Teilmengen von N
jenes Element auf derDiagonale aus und fügen es in eine neue Menge
M hinzu.
f(0) = {000, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}f(1) = {0, ---, 2, 4, 6,
8, ...}f(2) = { 1,222, 4, 8, ...}f(3) = { 1, 333, 5, 7, ...}...In
diesem Fall erhält man dann für M = {0, 2, 3, ...}. Anschließend
bildet man für dieseMenge M das Komplement, welches wir A
nennen.
Man erhält dann in unserem Fall
A = { 1, , ...}
A 6= f(0) gilt bestimmt, da 0 in A nicht enthalten ist. A ist
aber aus dem selbigen Grundauch bestimmt ungleich f(1) usw. und wir
können uns daher sicher sein, dass A 6= f(k)für k ∈ N gilt. Das
wiederum bedeutet, dass es Elemente aus unserer Zielmenge P(N)gibt,
welchen kein Element aus unserer Definitionsmenge N zugeordnet
werden kann und
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Paradoxien des Unendlichen Universität Wien
daher ist f mit Sicherheit nicht surjektiv. Damit ist die
schwache Form des Satzes vonCantor auf eine anschauliche Weise
gezeigt, die meiner Meinung nach auch in der Schulevorgeführt
werden kann. Außerdem lässt auch an diese Erklärung die
Begründung für diestarke Version des Satzes von Cantor erkennen:
[[2], Seite 6]
Satz von Cantor, starke Form: Für jede Menge A gilt A � P(A).
[[2], Seite 6]
Damit wurde gezeigt, dass die Mächtigkeit einer Menge und die
Mächtigkeit ihrer Po-tenzmenge stets unterschiedlich sind. An
dieser Stelle genügt es den Schülerinnen undSchülern darzulegen,
dass in diesem Fall die Potenzmenge die mächtigere Menge ist
unddass das sowohl für endliche, als auch für unendliche Mengen
gilt.
Daraus folgt, dass man mit Hilfe der Potenzmengen immer
mächtiger werdende unend-liche Mengen konstruieren kann, was die
gestellte Frage auch auf Schulniveau beantwortet.
Wir wissen, dass N eine unendliche Menge ist und wir wissen
aufgrund der zuvor genann-ten Inhalte jetzt auch, dass P(N) ebenso
eine unendliche Menge ist, die jedoch mächtigerist, als die Menge
N. Spinnen wir diesen Gedanken weiter fort, so ist aber auch P(N)
we-niger mächtig, als P(P(N)) und P(P(N)) ist wiederum weniger
mächtig, als P(P(P(N)))usw.
Damit erhalten wir also eine Folge von unendlichen Mengen,
sodass
N ≺ P(N) ≺ P(P(N)) ≺ P(P(P(N))) ≺ ...
gilt.
6 Die Kontinuumshypothese
Da es in diesem Kapitel keine komplexen Beweise oder andere für
Schülerinnen undSchüler unverdauliche Inhalte geben wird, bietet
es sich an, dieses Kapitel der Semi-nararbeit auch in folgender
dargelegter Form im Unterricht darzubieten.
Man bezeichnet die Mächtigkeit von Mengen als die Kardinalität
einer Menge und manbezeichnet |A| als die Kardinalzahl von A. Es
gilt dann also A ∼ B genau dann, wenn|A| = |B|. [[2], Seite
6]Besondere Kardinalitäten unendlicher Mengen bezeichnet man mit
Symbolen.So bezeichnet man die kleinste unendliche Kardinalzahl mit
ℵ0, was der Kardinalität vonN, beziehungsweise jeder abzählbaren
unendlichen Menge, entspricht und die nächstgrößereKardinalzahl
mit ℵ1 und wiederum die nächstgrößere Kardinalzahl mit ℵ2 usw.
Dass je-de Kardinalzahl einen Nachfolger hat, ist beweisbar, würde
an dieser Stelle jedoch denRahmen dieser Seminararbeit sprengen,
weshalb ich diese Aussage hier unbewiesen lassenmuss.
Im Kapitel zuvor haben wird darüber hinaus auch noch eine
andere Folge von immer
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Paradoxien des Unendlichen Universität Wien
mächtiger werdenden unendlichen Mengen kennengelernt, nämlich
die Folge
N ≺ P(N) ≺ P(P(N)) ≺ P(P(P(N))) ≺ ...
Auch den Kardinalitäten dieser Mengen gibt man eigene Symbole
und man definiert
i0 = |N|, i1 = |P(N)|, i2 = |P(P(N))|, ...
Da die Kardinalzahl von N zum einen das Symbol ℵ0 erhielt, sie
zum anderen jedochauch mit dem Symbol i0 bezeichnet wird, muss klar
sein, dass
ℵ0 = |N| = i0
gelten muss.Interessanterweise gilt, was hier unbewiesen bleiben
muss, außerdem |R| = |P(N)| unddaher gilt
|R| = i1
Nach Definition ist ℵ1 die nächst größere Kardinalität nach
ℵ0 und wir wissen in Anbe-tracht des vorherigen Kapitels auch, dass
i1 eine größere Kardinalität als i0 = ℵ0 ist.Daher muss
i1 ≥ ℵ1gelten!
Die Kontinuumshypothese, die in die Geschichtsbücher
eingegangen ist, besagt:
i1 = ℵ1
In anderen Worten behauptet die Kontinuumshypothese, dass es
keine Teilmenge von Rgeben kann, die überabzählbar ist und deren
Mächtigkeit geringer ist, als die Mächtigkeitvon R.
Diese Kontinuumshypothese ist deshalb so sehr bedeutend, da sie
weder beweisbar ist,noch widerlegbar. [[2], Seite 13]
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7 Literaturverzeichnis
[1] Breuer, R.[Red.]: Unendlichkeit (plus eins), Heidelberg:
Spektrum der WissenschaftSpezial 2005.
[2] Goldstern, M.: Mengenlehre: Hierarchie der
Unendlichkeiten.http://info.tuwien.ac.at/goldstern/papers/didaktik.pdf
http://info.tuwien.ac.at/goldstern/papers/didaktik.pdf
[3] Stillwell, J.: Wahrheit, Beweis, Unendlichkeit. Berlin,
Heidelberg: Springer 2014.
8 Abbildungsverzeichnis
• Abbildung 1: Spiralförmiges Schemateilweise übernommen aus:
[1] Breuer, R.[Red.]: Unendlichkeit (plus eins), Heidel-berg:
Spektrum der Wissenschaft Spezial 2005.
• Abbildung 2: Spiralförmiger Wegübernommen aus: [1]
• Abbildung 3: bijektive Abbildungübernommen aus: [4]
https://www.google.at/search?q=Bijektion & source=lnms
&tbm=isch & sa=X &
ved=0ahUKEwjjr5Gp7KHUAhXOa1AKHWjsAagQ AUICy-gC & biw=1202 &
bih=631 # =5VNBW9tPQ2E9JM:
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EinleitungHilberts HotelAnkunft eines zusätzlichen GastesAnkunft
eines unendlich großen BussesAnkunft zweier unendlich großer
BusseAnkunft unendlich vieler unendlich großer BusseAufbereitung
dieser Fragestellung im Unterricht
Abzählbarkeit der rationalen ZahlenAufbereitung dieser
Fragestellung im Unterricht
Cantorsches DiagonalverfahrenAufbereitung dieser Fragestellung
im Unterricht
Gibt es immer mächtiger werdende unendliche Mengen?Aufbereitung
dieser Fragestellung im Unterricht
Die
KontinuumshypotheseLiteraturverzeichnisAbbildungsverzeichnis