Prof. Prof. Prof. Prof. I. I. I. I. Savoia Savoia Savoia Savoia PARABOLA PARABOLA PARABOLA PARABOLA Bologna, Bologna, Bologna, Bologna, maggio maggio maggio maggio 2012 2012 2012 2012 P. 1 PARABOLA COME LUOGO GEOMETRICO La parabola è il luogo dei punti del piano, e solo essi, equidistanti da un punto F detto fuoco e da una retta detta direttrice. Per comodità di rappresentazione scegliamo l'origine O equidistante dal fuoco F(0; k) posto lungo l'asse Y e dalla retta direttrice di equazione y=-k , parallela all'asse X. La distanza fra un qualsiasi punto P(x; y) e la retta direttrice vale ( ) k k k k y y y y k k k k y y y y PH PH PH PH + = − − = mentre la distanza fra lo stesso punto P ed il fuoco F si calcola con la formula della distanza fra due punti: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 0 k k k k ky ky ky ky y y y y x x x x k k k k y y y y x x x x PF PF PF PF + − + = − + − = . In base alla definizione si ha la relazione PH PH PH PH PF PF PF PF = o, equivalentemente, 2 2 PH PH PH PH PF PF PF PF = . Pertanto sostituendo le espressioni abbiamo: 2 2 2 2 2 k k k k y y y y k k k k y y y y x x x x k k k k y y y y + ⋅ − + = + ; sviluppiamo ora il quadrato al secondo membro : 2 2 2 2 2 2 2 k k k k y y y y k k k k y y y y x x x x k k k k y y y y k k k k y y y y + ⋅ − + = + ⋅ + quindi semplifichiamo e isoliamo la lettera y al primo membro: 2 2 4 2 2 x x x x y y y y k k k k x x x x y y y y k k k k y y y y k k k k = ⋅ ⇒ = ⋅ + ⋅ e infine : 2 4 1 x x x x k k k k y y y y ⋅ = .Se poniamo k k k k a a a a 4 1 = l'equazione della parabola diventa: 2 x x x x a a a a y y y y ⋅ = . La figura illustra il grafico della parabola per 0 > a a a a (fuoco sopra l'origine). x y F H y=-k y=-k y=-k y=-k 0 P(x; y) P(x; y) P(x; y) P(x; y)
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PARABOLA COME LUOGO GEOMETRICO - MATHMIX · Prof. I. Savoia PARABOLA Bologna, maggio 2012 P. 1 PARABOLA COME LUOGO GEOMETRICO La parabola è il luogo dei punti del piano, e solo essi,
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PARABOLA COME LUOGO GEOMETRICO
La parabola è il luogo dei punti del piano, e solo essi, equidistanti da un punto Fdetto fuoco e da una retta detta direttrice.
Per comodità di rappresentazione scegliamo l'origine O equidistante dal fuocoF(0; k) posto lungo l'asse Y e dalla retta direttrice di equazione y=-k , parallelaall'asse X. La distanza fra un qualsiasi punto P(x; y) e la retta direttrice vale
(((( )))) kkkkyyyykkkkyyyyPHPHPHPH ++++====−−−−−−−−==== mentre la distanza fra lo stesso punto P ed il fuoco F si
calcola con la formula della distanza fra due punti:
(((( )))) (((( )))) 22222222222222222222 22220000 kkkkkykykykyyyyyxxxxkkkkyyyyxxxxPFPFPFPF ++++−−−−++++====−−−−++++−−−−==== . In base alla definizione si ha la
relazione PHPHPHPHPFPFPFPF ==== o, equivalentemente,22222222 PHPHPHPHPFPFPFPF ==== . Pertanto sostituendo le
espressioni abbiamo: 2222222222222222 2222 kkkkyyyykkkkyyyyxxxxkkkkyyyy +⋅−+=+ ; sviluppiamo ora il quadrato
al secondo membro : 22222222222222222222 22222222 kkkkyyyykkkkyyyyxxxxkkkkyyyykkkkyyyy +⋅−+=+⋅+ quindi
semplifichiamo e isoliamo la lettera y al primo membro:22222222 444422222222 xxxxyyyykkkkxxxxyyyykkkkyyyykkkk =⋅⇒=⋅+⋅ e infine : 2222
44441111 xxxxkkkk
yyyy ⋅= .Se poniamokkkk
aaaa44441111
=
l'equazione della parabola diventa: 2222xxxxaaaayyyy ⋅⋅⋅⋅==== .
La figura illustra il grafico della parabola per 0000>>>>aaaa (fuoco sopra l'origine).
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PARABOLA COME FUNZIONE:
L'equazione 2222xxxxaaaayyyy ⋅⋅⋅⋅==== , con {{{{ }}}}0000\\\\RRRRaaaa∈∈∈∈ , corrisponde alla funzione parabola
descritta da una curva simmetrica rispetto all'asse verticale, al variare dei valoridella variabile xxxx con ∈∈∈∈xxxx R. La curva, che passa sempre per l'origine degli assi,per 0000>>>>aaaa si trova sopra l'asse X e rivolge la sua concavità verso l'alto mentreper 0000<<<<aaaa si colloca sotto l'asse X e rivolge la sua concavità verso il basso. Iltermine aaaa è detto "apertura della parabola".
Data una equazione, ad esempio 222255550000 xxxx....yyyy ⋅⋅⋅⋅==== , possiamo tabularne alcuni valori al
variare della xxxx da valori positivi a negativi, per tracciarne il grafico:x -3 -2 -1 0 +1 +2 +3
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Il significato del parametro apertura aaaa dell'equazione 2222xxxxaaaayyyy ⋅⋅⋅⋅==== è il seguente:
tanto più piccolo è il suo valore assoluto e tanto più la parabola è aperta;viceversa, tanto più è grande tale valore e tanto più stretta è la parabola. La figuraseguente mostra, al variare del parametro aaaa come varia la forma della curva.
xxxx
yyyy
a=0.5a=0.5a=0.5a=0.5
a=0.05a=0.05a=0.05a=0.05
a=1a=1a=1a=1 a=2a=2a=2a=2 a=4a=4a=4a=4
a=-1.5a=-1.5a=-1.5a=-1.5
a=-0.75a=-0.75a=-0.75a=-0.75
a=-0.1a=-0.1a=-0.1a=-0.1
a=-5a=-5a=-5a=-5
0000
Notiamo che, data una equazione 2222xxxxaaaayyyy ⋅⋅⋅⋅==== , tanto più grande è il valore
assoluto del parametro aaaa e tanto più vicino all'origine è il fuoco della parabola:
infatti la relazionekkkk
aaaa44441111
==== equivale aaaaa
kkkk44441111
==== . Se, ad esempio a=0.025 è k=10
per cui il fuoco è in F(0; 10) ; invece se a=2.5 allora k=0.1 e il fuoco è in F(0; 0.1).
Tracciatura dei grafici: per disegnare i grafici delle parabole è opportuno, dopoaverne calcolato dei valori in una tabella, predisporre delle scale opportune diunità di misura lungo i due assi cartesiani. Non occorre, in generale, che ilsistema debba essere monometrico ma può, al contrario, essere formato da duediverse unità, una per ciascun asse. In questo modo possiamo garantire al graficodi rappresentare correttamente tutti i numeri, dal minimo al massimo presentinella tabella, come coordinate dei suoi punti.
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PARABOLA TRASLATA ED EQUAZIONE GENERALE
Supponiamo di effettuare una traslazione della parabola di equazione 2222xxxxaaaayyyy ⋅⋅⋅⋅====
che sposti l'origine in un punto (((( ))))00000000 yyyy;;;;xxxxVVVV detto vertice.
Dobbiamo ora determinare l'equazione della parabola traslata e, per questoscopo, consideriamo due nuovi assi cartesiani X' e Y' paralleli ai vecchi assi X e Y,e passanti per il vertice. Dette x' e y' le coordinate di un qualsiasi punto dellaparabola P(x'; y'') misurate rispetto al nuovo sistema di riferimento X'VY', deve
valere sempre la stessa equazione (((( ))))2222''''xxxxaaaa''''yyyy ⋅⋅⋅⋅==== poichè la forma e le
caratteristiche delle figure non cambiano a seguito della traslazione. La leggedella trasformazione che lega le coordinate dei due sistemi di riferimento è:
Come si nota dal grafico sopra riportato la parabola traslata mantiene:-la stessa forma e la stessa apertura;-la stessa concavità , verso l'alto se a>0 oppure verso il basso se a<0.
Viceversa, data una parabola di eq.ne 55552222222255550000 2222 ....xxxxxxxx....yyyy −−−−⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅==== determiniamo VVVV:
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INTERSEZIONI CON GLI ASSI
I punti nei quali il grafico attraversa gli assi sono detti intersezioni. I valori dellecoordinate delle intersezioni si ricavano ponendo a zero, in un sistema, levariabili corrispondenti all'altro asse.
IntersezioniIntersezioniIntersezioniIntersezioni asseasseasseasse XXXX. Data una parabola di equazione generale ccccxxxxbbbbxxxxaaaayyyy ++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅==== 2222 ,
si ricavano annullando la variabile y ed il loro numero dipende dal segno del
discriminante del trinomio di secondo grado associato, ccccaaaabbbb ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−====∆∆∆∆ 44442222 :
(((( ))))
(((( ))))(((( ))))0
0
vertice del ascissa
neintersezio nessuna
;;;;xxxxBBBBxxxx;;;;xxxxAAAAxxxx
aaaabbbbxxxx
VVVVaaaa
bbbbxxxxccccxxxxbbbbxxxxaaaa
yyyy
ccccxxxxbbbbxxxxaaaayyyy
yyyy
,,,,22222222
1111111122221111
000022222222
22220000
22220000
0000
0000
00000000
⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒
====⋅⋅⋅⋅
∆∆∆∆±±±±−−−−====⇒⇒⇒⇒>>>>∆∆∆∆
−−−−====⇒⇒⇒⇒====∆∆∆∆
⇒⇒⇒⇒<<<<∆∆∆∆
⇒⇒⇒⇒⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧
====++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅
====⇒⇒⇒⇒
⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧
++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====
====
ProprietProprietProprietProprietàààà deldeldeldel verticeverticeverticevertice nel caso di due soluzioni con 0000>>>>∆∆∆∆ .L'ascissa del vertice, è sempre data dalla media aritmetica delle ascisse delle due
intersezioni con l'asse X:2222
22221111 xxxxxxxxxxxxVVVV++++
====
DimostrazioneDimostrazioneDimostrazioneDimostrazione: ricordando la relazioneaaaa
bbbbxxxxVVVV 2222−−−−==== , basta sostituire nella
semisomma scritta sopra le soluzioni della equazione di secondo grado:
Ne esiste sempre una sola: (((( ))))cccc;;;;CCCCccccyyyy
xxxxccccxxxxbbbbxxxxaaaayyyy
xxxx 0000
000000002222 ⇒⇒⇒⇒
⎩⎩⎩⎩⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧
========
⇒⇒⇒⇒⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧
++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====
====.
DisegnoDisegnoDisegnoDisegno deideideidei graficigraficigraficigrafici di parabole di equazione generale ccccxxxxbbbbxxxxaaaayyyy ++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅==== 2222 .
Oltre al vertice e alle intersezioni con gli assi cartesiani è buona norma calcolarele coordinate di qualche altro punto prendendo, come valori dati alla xxxx , deinumeri sia minori che maggiori dell'ascissa del vertice. In questo modo siamosicuri che il grafico abbia una efficacia rappresentativa. I valori attribuiti, inoltre,dovrebbero rispettare criteri di ragionevolezza ottenendo, possibilmente, deinumeri interi o semi interi, o frazioni, tali da poterli rappresentare facilmente.L'ampiezza delle scale lungo gli assi deve poi contenere ogni valore calcolato.
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ESEMPI.ESEMPI.ESEMPI.ESEMPI.I grafici che seguono mostra delle coppie di parabole, sia con 0000>>>>aaaa (concavità
verso l'alto) che con 0000<<<<aaaa (concavità verso il basso) nei tre casi possibili con0000<<<<∆∆∆∆ , 0000====∆∆∆∆ e 0000>>>>∆∆∆∆ . Per ognuno dei grafici vengono calcolati i valori relativi al
vertice e alle intersezioni con gli assi. Ulteriori punti, collocati a sinsitra e a destradei vertici, sono visualizzati lungo le curve.
Le intersezioni con l'asse X possono esistere oppure no a seconda dei segni deidue coefficienti per cui, in base al segno del loro prodotto, abbiamo:
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎠⎠⎠
⎞⎞⎞⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎝⎝⎝
⎛⎛⎛⎛−−−−++++⇒⇒⇒⇒−−−−++++====
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎠⎠⎠
⎞⎞⎞⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎝⎝⎝
⎛⎛⎛⎛−−−−−−−−⇒⇒⇒⇒−−−−−−−−====
====⇒⇒⇒⇒−−−−====⇒⇒⇒⇒====++++⋅⋅⋅⋅⇒⇒⇒⇒<<<<
⇒⇒⇒⇒<<<<
⇒⇒⇒⇒>>>>⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒>>>>
⇒⇒⇒⇒⋅⋅⋅⋅
0000
0000
00000000
0000
00000000
2222
1111
22222222
X assel' sotto parabola
X assel' sopra parabola X assel' con neintersezio nessuna
;;;;aaaaccccBBBB
aaaaccccxxxx
;;;;aaaaccccAAAA
aaaaccccxxxx
xxxxaaaaccccxxxxccccxxxxaaaa
aaaa
aaaa
ccccaaaa
ESEMPI.Si riportano di seguito degli esempi, relativi al caso trattato che, oltre a riportarenei grafici il vertice e le intersezioni con gli assi, visualizzano anche altri puntidisposti attorno al vertice.
ESEMPIO 1
a) ⇒⇒⇒⇒>>>>====⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅⇒⇒⇒⇒++++⋅⋅⋅⋅==== 000075757575000033332525252500003333252525250000 2222 ........ccccaaaaxxxx....yyyy 0 intersezioni asse X.
Vertice ed intersezione asse Y in V(0;V(0;V(0;V(0; 3)3)3)3) .
b) ⇒⇒⇒⇒<<<<−−−−====⋅⋅⋅⋅−−−−====⋅⋅⋅⋅⇒⇒⇒⇒++++⋅⋅⋅⋅−−−−==== 00001111222255550000222255550000 2222 ....ccccaaaaxxxx....yyyy 2 intersezione asse X.
(((( ))))(((( ))))00002222
000022222222
555500002222
;;;;BBBB;;;;AAAA
....aaaaccccxxxx
++++−−−−
⇒⇒⇒⇒±±±±====−−−−
−−−−±±±±====−−−−±±±±==== ; Vertice e int. asse Y in V(0;V(0;V(0;V(0; 2)2)2)2) .
Si riportano di seguito degli esempi di parabole passanti per l'origine che, oltre ariportare nei grafici il vertice e le intersezioni con gli assi, ne visualizzano anchealtri punti disposti attorno al vertice.
ESEMPIO 1: xxxxxxxxyyyy ⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅==== 555544445555 2222 .
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PARABOLA AD ASSE ORIZZONTALE.
Data una parabola di equazione generale ccccxxxxbbbbxxxxaaaayyyy ++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅==== 2222 , se si scambiano le
lettere si ottiene una equazione (non una funzione) che rappresenta la curvasimmetrica rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante (eq. y=x) ed il
suo asse di simmetria è orrizzontale: ccccyyyybbbbyyyyaaaaxxxx ++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅==== 2222 .
Essendo state scambiate le posizioni delle lettere vengono scambiate anche le
coordinate delle intersezioni del vertice: ⎟⎟⎟⎟⎠⎠⎠⎠⎞⎞⎞⎞
⎜⎜⎜⎜⎝⎝⎝⎝⎛⎛⎛⎛ −−−−
∆∆∆∆−−−−
aaaabbbb;;;;
aaaa''''VVVV
22224444
xxxx
yyyy
x = a yx = a yx = a yx = a y2222 + b y + c + b y + c + b y + c + b y + c
y = a xy = a xy = a xy = a x2222 + b y + c + b y + c + b y + c + b y + c
V'V'V'V'
y = xy = xy = xy = xVVVV
AAAA BBBB
A'A'A'A'
B'B'B'B'
OOOO
L'equazione ccccyyyybbbbyyyyaaaaxxxx ++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅==== 2222 non rappresenta però una funzione in quanto
per qualche valore attribuito alla variabile indipendente, kkkkxxxx ==== ,esistono due
distinti valori della variabile dipendente 22221111 ,,,,yyyyyyyy ==== , come mostra la figura .
xxxx
yyyy
x = a yx = a yx = a yx = a y2222 + b y + c + b y + c + b y + c + b y + c
x = kx = kx = kx = k
y=yy=yy=yy=y1111
y=yy=yy=yy=y2222
OOOO
asse di simmetria asse di simmetria asse di simmetria asse di simmetria
Nel caso specifico di retta orizzontale (m=0 ed equazione qqqqyyyy ==== ) la retta
tangente al grafico della parabola ha necessariamente, come punto di contatto, ilvertice . In questo caso, se invece la retta è secante, il vertice si deve trovare sopradi essa nel caso di concavità rivolta verso l'alto oppure, se la concavità è verso ilbasso, il vertice si trova più in basso della retta.
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PARABOLA E RETTA VERTICALE
Qualsiasi parabola di equazione generale ccccxxxxbbbbxxxxaaaayyyy ++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅==== 2222 interseca sempre
una retta verticale, di equazione kkkkxxxx ==== , in un solo punto (((( ))))00000000 yyyy;;;;xxxxPPPP che si
ottiene in modo immediato risolvendo il sistema formato dalle loro equazioni:
⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧
====
++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====⇒⇒⇒⇒
⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧
====++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====
kkkkxxxxcccckkkkbbbbkkkkaaaayyyy
kkkkxxxxccccxxxxbbbbxxxxaaaayyyy
0000
22220000
2222
EsempioEsempioEsempioEsempio: le rette verticali di equazioni rispettivamente 4444−−−−====xxxx e 5555====xxxx ,rapparesentate nella figura seguenete, incontrano la parabola di equazione
444444441111 2222 −−−−−−−−==== xxxxxxxxyyyy nei due punti, rispettivamente A(-4;A(-4;A(-4;A(-4; +4)+4)+4)+4) e B(+5;B(+5;B(+5;B(+5; -2.75)-2.75)-2.75)-2.75):
Supponendo noti i coefficienti b b b b ,,,,aaaa e cccc , Il segno del 1111∆∆∆∆ dipende solo dal
valore del coefficiente angolare mmmm al suo variare in ∞∞∞∞<<<<<<<<∞∞∞∞−−−− mmmm : una retta delfascio è tangente, per un dato valore del suo coefficiente mmmm , se si verifica la
condizione per la quale si ottiene una sola soluzione, ovvero 00001111 ====∆∆∆∆ .
Esistono tre possibilità (vedi figura seguente):
- Il punto P è interno alla parabola, con 00001111 <<<<∆∆∆∆ : non esistono rette tangenti.
- Il punto P' appartiene alla parabola, con 00001111 ====∆∆∆∆ : 1 retta tangente nel punto P.'
- Il punto P'' è esterno alla parabola, con 00001111 >>>>∆∆∆∆ : 2 rette tangenti in A e in B.
Risolviamo il sistema precedente sostituendovi, uno per volta, i valori calcolatiper determinare i punti di contatto fra le rette tangenti e la parabola:
Determiniamo i punti di tangenza risolvendo il sistema precedente una voltasostituite le equazioni delle due rette tangenti al posto dell'eq. del fascio:
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TANGENTE IN UN PUNTO DELLA PARABOLA
Dato un punto (((( ))))00000000 yyyy;;;;xxxxPPPP appartenente alla parabola di equazione
ccccxxxxbbbbxxxxaaaayyyy ++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅==== 2222 , vogliamo determinare l'equazione della retta tangente in
tale punto. A tale scopo scriviamo e sviluppiamo di seguito il sistema algebricoformato dal fascio di rette di centro PPPP e dall'equazione della parabola:
L'equazione di secondo grado associata al sistema è, raggruppandone i termini e
visulizzandone le due soluzioni coincidenti nello stesso valore 0000xxxx , la seguente:
(((( ))))00002222
00001111
1111
00000000
1111
2222 0000xxxxxxxxxxxxxxxx
ccccxxxxmmmmyyyyccccxxxx
bbbbmmmmbbbbxxxxaaaa
====
====⇒⇒⇒⇒====⋅⋅⋅⋅−−−−−−−−++++⋅⋅⋅⋅−−−−++++⋅⋅⋅⋅
44 344 21321
Per la nota proprietà delle soluzioni dell'equazione di secondo grado, si ha anche:
0000
0000222200002222
000000000000
222211111111
00000000222211111111 22222222
xxxxccccyyyyxxxxaaaammmmxxxx
aaaayyyyxxxxmmmmccccxxxxxxxx
aaaacccc
bbbbxxxxaaaammmmxxxxaaaa
mmmmbbbbxxxxxxxxaaaabbbb
−−−−++++⋅⋅⋅⋅====⇒⇒⇒⇒====
−−−−⋅⋅⋅⋅++++⇒⇒⇒⇒⋅⋅⋅⋅====
++++⋅⋅⋅⋅====⇒⇒⇒⇒====−−−−
−−−−⇒⇒⇒⇒++++====−−−−
Entrambe le equazioni determinano il valore di mmmm in funzione del punto P.P.P.P.In base all' equazione ottenuta dalla proprietà della somma delle radici ricaviamol'equazione della retta tangente alla parabola nel suo punto P:P:P:P:
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La formula di sdoppiamento può ricordarsi facilmente se si pensa di sostituire
nell'equazione della parabola, ccccxxxxbbbbxxxxaaaayyyy ++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅==== 2222 , i termini in questo modo:
xxxxxxxx ⋅⋅⋅⋅0000 al posto di 2222xxxx ,2222
0000xxxxxxxx ++++ al posto di xxxx e2222
0000yyyyyyyy ++++ al posto di yyyy .
Nel caso di parabolaparabolaparabolaparabola adadadad asseasseasseasse orizzontaleorizzontaleorizzontaleorizzontale , di equazione ccccyyyybbbbyyyyaaaaxxxx ++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅==== 2222 ,
calcoli analoghi ai precedenti portano alle formule della retta tangente in un suo
punto (((( ))))00000000 yyyy;;;;xxxxPPPP :bbbbyyyyaaaa
mmmm++++⋅⋅⋅⋅
====00002222
1111 ed equazione (((( ))))00000000
0000 22221111 xxxxxxxx
bbbbyyyyaaaayyyyyyyy −−−−⋅⋅⋅⋅
++++⋅⋅⋅⋅====−−−− ;
La formula di sdoppiamento diventa in tal caso: ccccyyyyyyyybbbbyyyyyyyyaaaaxxxxxxxx++++
++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====
++++22222222
00000000
0000 .
EsempioEsempioEsempioEsempio 1111.
Determinare la retta tangente alla parabola di eq. 8888333322221111 2222 −−−−−−−−==== xxxxxxxxyyyy in P(2;-12)
Determiniamo la retta tangente in due modi:
- Calcolando il coefficiente e poi sostituendolo nell'equazione del fascio per PPPP:
y>0:y>0:y>0:y>0:x<xx<xx<xx<x1 1 1 1 U x>xx>xx>xx>x2222
0 >>>>∆∆∆∆>>>> ,,,,aaaa 0000
y<0:y<0:y<0:y<0: x x x x1111<x<x<x<x<x<x<x<x2222
3333
0 <<<<∆∆∆∆>>>> ,,,,aaaa 0000
y<0: y<0: y<0: y<0:∞∞∞∞<<<<<<<<∞∞∞∞−−−− xxxx
4444
00000000 ====∆∆∆∆>>>> ,,,,aaaa
y<0:y<0:y<0:y<0: ∞∞∞∞<<<<<<<<∞∞∞∞−−−− xxxx
y(xy(xy(xy(x1,21,21,21,2)=0)=0)=0)=0
0 ====∆∆∆∆>>>> ,,,,aaaa 0000
5555
xxxx1111 xxxx2222y<0:y<0:y<0:y<0:x<xx<xx<xx<x1 1 1 1 U x>xx>xx>xx>x2222
0 >>>>∆∆∆∆<<<< ,,,,aaaa 0000
y>0:y>0:y>0:y>0: x x x x1111<x<x<x<x<x<x<x<x2222
6666
IlIlIlIl metodometodometodometodo graficograficograficografico delladelladelladella parabolaparabolaparabolaparabola :è basato sull'esame dei grafici (i 6 casi illustrati sopra) delle parabole associate aitrinomi di secondo grado per cui si risolvono le relative disequazioni del tipo
00002222<<<<≥≥≥≥
++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅ ccccxxxxbbbbxxxxaaaa : prima si determina il segno del discriminante ∆∆∆∆ e, dopo
avere calcolato le eventuali soluzioniaaaa
bbbbxxxx ,,,, 222222221111∆∆∆∆±±±±−−−−
==== e tracciato l'andamento
delle rispettive parabole, si determinano gli intervalli delle soluzioni.