Paper Robotica

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA SALESIANA

CINEMATICA INVERSA DE MANIPULADORES

NELSON CASTRO, FLAVIO BARBOSA, HENRY SANTILLAN, FRANCISCO QUINTEROS, ALEX SANCHEZ, EDUARDO SALAZAR

MATRIZ JACOBIANA

CINEMATICA INVERSA

El objetivo

Consiste en encontrar los valores que deben adoptar las coordenadas articulares del robot q=(q1, q2,..., qn)exp. T para que su extremo se posicione y oriente según una determinada localización espacial.

Consideraciones:

- Resuelve la configuración que debe adoptar el robot para una posición y orientación del extremo conocidas.

- El procedimiento de obtención de las ecuaciones es fuertemente dependiente de la configuración del robot

- Problema difícil de resolver.

- Se deben resolver un conjunto de ecuaciones algebraicas no lineales simultáneas.

Problemas fundamentales:

- Ecuaciones no lineales (sen, cos en matrices de rotación).

- Existen múltiples soluciones.

- Es posible que no exista una solución.

- Singularidades.

TIPOS DE SOLUCIONES

Métodos geométricos:

Se suele utilizar para las primeras variables articulares, uso de relaciones geométricas y trigonométricas.

Por matrices de transformación homogénea:

Despejar las n variables qi en función de los componentes de los vectores n, o, a y p.

Desacoplamiento cinemático:

En robots de 6DOF, separación de orientación y posicionamiento.

RESOLUCION POR METODOS GEOMETRICOS

Este procedimiento es adecuado para robots de pocos grados de libertad o para el caso de que se consideren solo los primeros grados de libertad, dedicados a posicionar el extremo.

- El procedimiento se basa en encontrar un número suficiente de relaciones geométricas en las que intervendrán las coordenadas del extremo del robot, sus coordenadas articulares y las dimensiones físicas de sus elementos.

Es necesario el uso de funciones trigonométricas

RESOLUCION POR METODOS GEOMETRICOS

Como se ve este robot posee una estructura planar, quedando este plano definido por el ángulo de la primera variable articular q1.El valor de q1 se obtiene inmediatamente como:

q1 = arctg ( Py / Px )

La orientación del último enlace es la suma de las variables articulares

Considerando ahora únicamente los dos elementos 2 y 3 que están situados en un plano y utilizando el teorema del

coseno, se tendrá:

r² = ( Px )² + ( Py )²

r² + ( Px )² = ( I2 )² + ( I3 )² + 2( I2 )( I3 )cosq3

cosq3 = ( Px )² + ( Py )² + ( Pz )² - ( I2 )² - ( I3 )² / 2( I2 )( I3 )

Esta expresión permite obtener q1 en función del vector de posición del extremo P. No obstante, por motivos de ventajas computacionales, es más conveniente utilizar la expresión de la arco tangente en lugar del arco seno.Puesto que:

sen q3 = ± ( 1 - cos²q3 )½

Se tendrá que:

q3 = arctg ( ± ( 1 - cos²q3 )½ / cosq3 )

cosq3 = ( Px )² + ( Py )² + ( Pz )² - ( I2 )² - ( I3 )² / 2( I2 )( I3 )

Como se ve, existen dos posibles soluciones para q3 según se tome el signo positivo o negativo de la raíz. Estas corresponden a las configuraciones de codo arriba y codo abajo del robot

El calculo de q2 se hace a partir de la diferencia entre ß y a:

q2 = ß - a

Siendo:

ß = arctg ( Pz / r ) = arctg ( Pz / ± ( ( px )² + ( Py )² )½ )

a = arctg ( I3 senq3 / I2 + I3 cosq3 )

Luego finalmente:

q2 = arctg ( Pz / ± ( ( px )² + ( Py )² )½ ) - arctg ( I3 senq3 / I2 + I3 cosq3)

De nuevo los dos posibles valores según la elección del signo dan lugar a dos valores diferentes de q2 correspondientes a las configuraciones codo arriba y abajo.

MATRIZ DE TRANSFORMACIÓN HOMOGÉNEA

En principio es posible tratar de obtener el modelo cinemático inverso de un robot a partir del conocimiento de su modelo directo.

Es decir, suponiendo conocidas las relaciones que expresan el valor de la posición y orientación del extremo del robot en función de sus coordenadas articulares, obtener por manipulación de aquellas las relaciones inversas.

Sin embargo, en la práctica esta tarea no es trivial siendo en muchas ocasiones tan compleja que obliga a desecharla. Además, puesto que el problema cinematico directo, resuelto

a través de Tij contiene en el caso de un robot de 6 grados de libertad 12 ecuaciones, y se busca solo 6 relaciones (una por cada grado de libertad), existirá, necesariamente ciertas dependencias entre las 12 expresiones de partida con lo cual la elección de las ecuaciones debe hacerse con sumo cuidado.

Se va a aplicar este procedimiento al robot de 3 grados de libertad de configuración esférica (2 giros y un desplazamiento) mostrado en la figura. El robot queda siempre contenido en un plano determinado por el ángulo q1.

El primer paso a dar para resolver el problema cinemático inverso es obtener Tij correspondiente a este robot. Es decir, obtener la matriz T que relaciona el sistema de referencia (S0) asociado a la base con el sistema de referencia (S3) asociado a su extremo.

A continuación se muestra la asignación de sistemas de referencia según los criterios de DH con el robot situado en su posición de partida (q1 = q2 = 0), y los valores de los parámetros de DH.

A partir de estos es inmediato obtener las matrices A y la matriz T.Obtenida la expresión de T en función de las coordenadas articulares (q1, q2,

q3), y supuesta una localización de destino para el extremo del robot definida por los vectores n, o, a y p se podría intentar manipular directamente las 12 ecuaciones resultantes de T a fin de despejar q1, q2, y q3 en función de n, o, a y p.

Parámetros DH del robot polar de 3 GDL.

Articulación q d a a

1 q1 I1 0 90°

2 q2 0 0 -90°

3 0 q3 0 0

Sin embargo, este procedimiento directo es complicado, apareciendo ecuaciones trascendentes.

En lugar de ello, suele ser más adecuado aplicar el siguiente procedimiento: Puesto que T = 0A1(1A2)(2A3), se tendrá que:

(1/0A1)T = 1A2(2A3)

(1/1A2)(1/0A1)T = 2A3

[xi,yi,zi] = Matriz de orientación del sistema de coordenadas i-ésimo establecido en el elemento i con respecto al sistema de coordenadas de la base. Es la matriz particionada superior izquierda 3x3 de 0Ti.

pi = Vector de posición que apunta desde el origen del sistema de coordenadas de la base hasta el origen del sistema de coordenadas i-ésimo. Es la matriz particionada superior derecha 3x1 de 0Ti.

Desacoplamiento Cinemático

Los procedimientos vistos permiten obtener los valores de las 3 primeras variables articulares del robot, aquellas que posicionan su extremo en las coordenadas (Px, Py, Pz) determinadas,

aunque pueden ser igualmente utilizadas para la obtención de las 6 a costa de una mayor complejidad.

En general no basta con posicionar el extremo del robot en un punto del espacio, sino que es preciso conseguir que la herramienta se oriente de una manera determinada.

Si bien la variación de estos tres últimos grados de libertad origina un cambio en la posición final del extremo real del robot, su verdadero objetivo es poder orientar la herramienta del robot libremente en el espacio.

El método de desacoplo cinemático saca partido de este hecho, separando ambos problemas: Posición y orientación.

A partir de los datos de orientación y de los ya calculados (q1, q2, q3) se obtiene los valores del resto de las variables articulares.

Para esta clase de manipuladores la cinemática inversa se puede resumir por el siguiente algoritmo:

Paso 1: Encontrar q1, q2, q3 de tal manera que la muñeca de centro oc tiene coordenadas dadas por

Paso 2: Usando las variables determinadas en el paso 1, evaluar 0R3.

Paso 3: Buscar un conjunto de ángulos de Euler correspondientes a la matriz de rotación.

MATRIZ JACOBIANA

Mediante el empleo de la matriz Jacobiana podemos conocer las velocidades del extremo del robot mediante las velocidades de cada articulación.

MATRIZ JACOBIANA DIRECTA

La matriz Jacobiana directa permite conocer las velocidades del extremo del robot a partir de los valores de las velocidades de cada articulación.

Relaciones diferenciales.

El método más directo para obtener la relación entre las velocidades articulares y del extremo del robot consiste en diferenciar las ecuaciones correspondientes al modelo cinematico directo.Así, supóngase las ecuaciones que resuelven el problema cinematico directo de un robot de n grados de libertad

Si se derivan con respecto al tiempo ambos miembros del conjunto de ecuaciones anteriores, se tendrá:

Derivadas de cada elemento:

La matriz J se denomina matriz Jacobiana.

Puesto que el valor numérico de cada uno de los elementos (Jpq) de la Jacobiana dependerá de los valores instantáneos de las coordenadas articulares qi, el valor de la Jacobiana será diferente en cada uno de los puntos del espacio articular.

MATRIZ JACOBIANA INVERSA

Esta alternativa de planeamiento sencillo, es en la practica de difícil realización. Suponiendo que la matriz J sea cuadrada, la inversión simbólica de una matriz 6x6, cuyos elementos son funciones trigonométricas, es de gran complejidad, siendo este procedimiento inviable.

Como segunda alternativa puede plantearse la evaluación numérica de la matriz J para una configuración (q1) concreta del robot, e invirtiendo numéricamente esta matriz encontrar la relación inversa valida para esta configuración. En este caso hay que considerar, en primer lugar, que el valor numérico de la Jacobiana va cambiando a medida que el robot se mueve y, por lo tanto, la Jacobiana inversa ha de ser recalculada constantemente. Además, pueden existir n-uplas (q1,... , qn) para las cuales la matriz jacobiana J no sea invertible por ser su determinante, denominado Jacobiana, nulo. Estas configuraciones del robot en las que la Jacobiana se anula se denominan configuraciones singulares y serán tratadas en el siguiente tema.

Una tercera dificultad que puede surgir con este y otros procedimientos de computo de la matriz Jacobiana

inversa, se deriva de la circunstancia de que la matriz J no sea cuadrada. Esto ocurre cuando el numero de grados de libertad del robot no coincide con la dimensión del espacio de la tarea (normalmente seis).

En el caso de que el numero de grados de libertad sea inferior, la matriz Jacobiana tendrá mas filas que columnas. Esto quiere decir que el movimiento del robot esta sometido a ciertas restricciones (por ejemplo, no se puede alcanzar cualquier orientación).

Típicamente esto ocurre en los casos en los que esta restricción no tiene importancia, como en robots dedicados a tareas como soldadura por arco o desbardado, en las que la orientación de la herramienta en cuanto a su giro en torno al vector A es indiferente, por lo que puede ser eliminado este grado de libertad del espacio de la tarea, quedando una nueva matriz Jacobiana cuadrada.

En los casos en el que el robot sea redundante (mas de 6 grados de libertad o más columnas que filas en la matriz Jacobiana) existirán grados de libertad articulares innecesarios, es decir, que no será preciso mover para alcanzar las nuevas posiciones y velocidades del extremo requeridas. Por ello, la correspondiente velocidad articular podrá ser tomada como cero, o si fuera útil, como un valor constante.

En general, en el caso de que la Jacobiana no sea cuadrada podrá ser usado algún tipo de matriz pseudo inversa, como por ejemplo (1 / J (J)expT).

La tercera alternativa para obtener la matriz Jacobiana inversa es repetir el procedimiento seguido por la obtención de la Jacobiana directa, pero ahora partiendo del modelo cinematico inverso. Esto es conocida la relación:

q1 = F1(x, y, z, a, ß, g)

qn = Fn(x, y, z, a, ß, g)

La matriz Jacobiana inversa se obtendrá por diferenciación con respecto del tiempo de ambos miembros de la igualdad.

Derivadas de cada elemento:

(q1,....,qn) = (1 / J) (x, y, z, a, ß, g)

Como en el caso de la primera alternativa, este método puede ser algebraicamente complicado.

Dada la importancia que para el control del movimiento del robot tiene la Jacobiana, se han desarrollado otros procedimientos numéricos para el calculo rápido de la Jacobiana.

CONFIGURACIONES SINGULARES

Denominamos configuraciones singulares de un robot, a todas aquellas en las que el determinante de su matriz Jacobiana se anula. En virtud de esto, en las configuraciones singulares no puede existir Jacobiana inversa.

- Aquellas en las que | J | = 0 (Jacobiano nulo).

- Incremento infinitesimal de coordenadas cartesianas implica incremento infinito coordenadas articulares.

- Implica perdida de algún grado de libertad.

- Tipos:

- Singularidades en los límites del espacio de trabajo del robot.

- Singularidades en el interior del espacio de trabajo del robot.

- Requieren su estudio y eliminación.

Singularidades en los límites del espacio de trabajo del robot.

Se presentan cuando el extremo del robot esta en algún punto del limite de trabajo interior o exterior. En esta situación resulta obvio que el robot no podrá desplazarse en las direcciones que lo alejan de este espacio de trabajo.

Singularidades en el interior del espacio de trabajo del robot

Ocurren dentro de la zona de trabajo y se producen generalmente por el alineamiento de dos o más ejes de las articulaciones del robot.

Para evitar la aparición de configuraciones singulares debe considerarse su existencia desde la propia fase de diseño mecánico, imponiendo restricciones al movimiento del robot o utilizando robots redundantes. Finalmente, el sistema de control debe detectar y tratar estas configuraciones evitando pasar precisamente por ellas.

Un posible procedimiento para resolver la presencia de una singularidad interior al espacio de trabajo:

- Identificar la articulación correspondiente al grado de libertad perdido (causante de que el determinante se anule).

- Eliminar la fila de la Jacobiana correspondiente al grado de libertad perdido y la columna correspondiente a al articulación causante.

- Con la nueva Jacobiana reducida (rango n-1) obtener las velocidades de todas las articulaciones, a excepción de la eliminada, necesarias para conseguir las velocidades cartesianas deseadas. La velocidad de la articulación eliminada se mantendrá a cero