FRACTURA Y MECANICA DE FRACTURA
FRACTURA Y MECANICA DE FRACTURAPANDEO DE COLUMNAS
IntroduccinLos diferentes elementos que conforman una estructura
pueden fallar por diferentes motivos, dependiendo de los materiales
utilizados, tipos de cargas, ligaduras y apoyos.Muchos de estos
tipos de fallos se podran evitar, dimensionando dichos elemento de
tal forma, que las tensiones y deformaciones mximas que se
produzcan permanezcan dentro de los lmites admisibles y as se
efectuaran los dimensionamientos a resistencia y rigidez.Pero
existen otros tipos de fallos, como es el fallo por inestabilidad o
pandeo, que puede tener lugar en el caso de elementos estructurales
esbeltos sometidos a comprensin. En estos casos, el elemento puede
aparecer una flexin lateral que puede llegar a ser grande y hacer
fallar al elemento.
La aparicin de dicha flexin lateral, su rpido crecimiento y la
prdida total de estabilidad del elemento y el consiguiente colapso
de la estructura, constituyen el estudio del pandeo.En el presente
trabajo se analizar el comportamiento de las columnas y se
indicaran algunos de los mtodos que se emplean para disearlas. El
trabajo comienza con un estudio general del pandeo, seguido de una
determinacin de la carga axial necesaria para pandear una columna
que se denomina ideal. Despus se aborda un anlisis ms realista, que
toma en cuenta cualquier flexin de la columna. Adems, se presenta
el pandeo inelstico de una columna como un tema especial. Al final
del captulo se analizaran algunos de los mtodos usados para disear
columnas cargadas de manera concntrica y excntrica, las cuales estn
fabricadas con materiales comunes de ingeniera.
Pandeo de columnasCARGA CRTICACada vez que se disea un elemento,
es necesario que cumpla con requisitos especficos de resistencia,
deflexin y estabilidad. En los captulos anteriores se han analizado
algunos de los mtodos que se usan para determinar la resistencia y
de la deflexin de un elemento, en los que siempre se supone que el
elemento se encuentra en equilibrio estable. Sin embargo algunos
elementos pueden estar sometidos a cargas de compresin y dichos
elementos son largos y delgados, la carga puede ser lo
suficientemente grande para hacer que el elemento experimente
deflexin lateral o se ladee. En especfico, los elementos largos y
delgados que se someten a una fuerza de compresin axial se
denominan columnas, y la deflexin lateral que se produce se llama
pandeo. Con mucha frecuencia, el pandeo de una columna puede llevar
a una falla repentina y dramtica de una estructura o mecanismo y,
como resultado, debe prestarse atencin especial al diseo de las
columnas para que puedan soportar con seguridad las cargas
previstas sin pandearse.
Fig.1:a) Carga axialb) Deflexin lateral
La carga axial mxima que puede soportar una columna cuando est
al borde del pandeo se llama carga critica, , figura 1a .Cualquier
carga adicional har que la columna se pandee y, por lo tanto, sufra
una deflexin lateral como se muestra en la figura 1b.Con el fin de
comprender mejor la naturaleza de esta inestabilidad, considere un
mecanismo de dos barras consistentes en barras rgidas sin peso que
se conectan mediante un pasador, como se muestra en la figura
2.Cuando las barras estn en posicin vertical, el resorte, con una
rigidez K, se encuentra sin estirar y se aplica una pequea fuerza
vertical P en la parte superior de una de las barras. Esta posicin
de equilibrio puede alterarse al desplazar el pasador en A una
pequea distancia figura 2b. Como se demuestra en el diagrama de
cuerpo libre del pasador cuando las barras se desplazan fig. 2c, el
resorte producir una fuerza de restauracin F = K, mientras que la
carga aplicada P desarrolla dos componentes horizontales, =, que
tiende a empujar al pasador (y a las barras) ms lejos del
equilibrio. Como es pequeo, (L/2) y tan . As la fuerza de
restauracin del resorte se convierte en y la fuerza perturbadora es
2P = 2P. Si la fuerza de restauracin es mayor que la fuerza
perturbadora, es decir, KL/2 2P entonces como se cancela, se puede
despejar P, donde resulta: Equilibrio estableEsta es una condicin
de equilibrio estable puesto que la fuerza desarrollada por el
resorte es adecuada para restaurar las barras hasta su posicin
vertical. Sin embargo, si , o bien Equilibrio inestableEntonces el
mecanismo se encuentra en equilibrio inestable. En otras palabras,
si se aplica esta carga P y ocurre un ligero desplazamiento en A,
el mecanismo tiende a moverse fuera del equilibrio y no se
restaurara a su posicin original.
Fig.2:
El valor intermedio de P, que requiere KL/2=2P, es la carga
critica aqu. Equilibrio neutroEsta carga representa un caso del
mecanismo en equilibrio neutro. Como es independiente del (pequeo)
desplazamiento de las barras, cualquier alteracin ligera del
mecanismo no causara que se aleje del equilibrio, ni se restaurara
a su posicin original. En cambio, las barras se mantendrn en la
posicin con deflexin.Columnas IDEALES
Columna con extremos articulados sometida a compresin, al
incrementar gradualmente la carga axial P, se alcanza una condicin
de equilibrio neutro en que la columna puede tener una forma
flexionada; el valor correspondiente a la carga, es la carga
critica Pcr. Con esta carga la columna puede sufrir pequeas
deflexiones laterales sin cambios en la fuerza axial; una pequea
carga lateral producir una forma flexionada que no desaparece
cuando se elimina la carga lateral. La carga critica puede mantener
la columna en equilibrio ya sea en posicin recta o en una posicin
un tanto flexionada. A valores mayores de la carga, la columna es
inestable y puede fallar por pandeo; es decir por flexin excesiva.
Para el caso ideal, la columna estar en equilibrio en posicin
recta, cuando la carga axial P sea mayor que la carga critica; sin
embargo, la mnima perturbacin ocasionara que la columna se flexione
en sentido lateral. Una vez esto pasa, las deflexiones aumentan de
inmediato y la columna falla por pandeo. En resumen: Si P < Pcr
la columna esta en equilibrio estable en posicin recta.Si P = Pcr
la columna estar en equilibrio neutro en posicin recta o
ligeramente flexionada. Si P > Pcr la columna estar en
equilibrio inestable en posicin recta y se pandeara ante la ms
pequea perturbacin.
Cargas axiales especficas o cargas crticas de pandeo
correspondientes a todos los modos de deformacin porpandeo:Pcr
=
La menor carga crtica est asociada a n = 1, y corresponde al
primer modo de deformacin por pandeo:Pcr =
A continuacin se presenta un grfico quedescribe la geometra de
las deformaciones causadas por el pandeo de acuerdo con los
tresprimeros modos de deformacin. Fig. 3
Debe anotarse que, en elpresente caso, la carga crtica depandeo
para el segundo modo de deformacin es 4 veces mayor que la carga
crtica de pandeo para el primer modo de deformacin, y la carga
crticade pandeo para el tercer modo de deformacin es 9 veces mayor
que la carga crtica de pandeo para el primer modo de deformacin. Es
evidente que el primermodo de deformacin controlar el pandeo delas
columnas. El segundo modo de deformacin tiene utilidadpor su
semejanza a lasdeformaciones producidas por estados de carga
flexionantes frecuentes, que afectan a las columnas, loque podra
provocar una amortiguamiento temporal del primer modo dedeformacin
en elementos estructurales reales (no ideales).Los restantes modos
de deformacin tienen una utilidadestrictamente acadmica, por loque
no son trascendentales para la prctica ingenieril. Para otros tipos
decondiciones de borde (bordes empotrados, bordes libres, bordes
elsticamente sustentados, etc.), la ecuacin bsica de Euler para
elprimer modo de deformacin se vemodificada por un factor de forma
de la elstica de deformacin que afecta a la longitud depandeo:Pcr =
Donde k toma los siguientes valores para condiciones de bordebien
definidas: Barras apoyadas - apoyadas k = 1.00
Barras empotradas en un extremo y libres en el otro k =2.00
Barras empotradas en los dos extremos k= 0.50 Barras empotradas
en un extremo y apoyadas en el otro k = 0.70
Tericamente, una columna perfecta sometida a una compresin axial
creciente, nodebera presentar ninguna seal de deformacin
transversal hasta que la cargaaxial iguale a lacarga crtica de
pandeo correspondiente al primer modo, momento en elcual la
estructura pierde estabilidad yse pueden producir deformaciones
transversales de cualquier magnitud y en cualquier direccin, sin
queel elemento sea capaz de recuperar su geometra original.Este
comportamiento terico puede ser descrito mediante el siguiente
grfico.
Fig.4
En una columna real esimposible evitar la presencia simultnea de
cargas axiales ymomentos flectores, por muy pequeos que sean estos
ltimos. Existen excentricidades y momentos flectores inducidos por
las imperfecciones de los materiales constitutivos de los elementos
estructurales; producidos adems por las imperfecciones geomtricas
de las columnas durante el proceso constructivo; generados tambin
por la incertidumbre acerca de la posicin real de accin de las
solicitaciones exteriores; y,desde luego, provocados por el tipo de
solicitaciones que actan sobre la estructura, por lo que,Desde el
inicio delproceso de carga, las columnas reales adquieren
deformaciones transversales pequeas que sevuelven cada vez
msimportantes conforme la carga axial se aproxima a la carga crtica
de pandeo.Una curva tipo quepuede describir esquemticamente la
deformacin transversal de unacolumna real, en la que existen
deformaciones transversales inclusive sin la presencia de cargas
axiales, es lasiguiente:
Fig.5
COLUMNAS QUE TIENEN VARIOS TIPOS DE APOYOSLa carga de Euler se
obtuvo para una columna que est conectada mediante un pasador o que
puede girar libremente en sus extremos. Sin embargo, es comn que
las columnas estn soportadas de alguna otra manera. Por ejemplo,
considere el caso de una columna fija en su base y libre en la
parte superior figura 6a. A medida que la columna se pandea la
carga se desplaza y en x el desplazamiento es y a partir del
diagrama del cuerpo libre mostrado en la 6b, el momento interno en
la seccin arbitraria es . En consecuencia la ecuacin diferencial de
la curva de deflexin es:
Fig. 6
Esta ecuacin es no homognea debido al trmino distinto de cero en
el lado derecho. La solucin consta de una solucin complementaria y
una solucin particular, a saber,
Las constantes se determina a partir de la condiciones de
frontera. En x=0, , de modo que , por otra parte,
En x=0, dv/dx=0, de modo que . Por lo tanto la curva de deflexin
es
Como la deflexin en la parte superior de la columna es , es
decir, en x=L, , se requiere
En la solucin trivial indica que no ocurre pandeo, sin importar
la carga P. en vez de esto, o bien La menor carga critica se
produce cuando n=1, de modo que
En comparacin con la ecuacin 13-5, se ve que una columna apoyada
fijamente en su base y libre en su parte superior soportara solo un
cuarto de la carga crtica que puede aplicarse a una columna
soportada por pasadores en ambos extremos.Las columnas con otros
tipos de soportes se analizan de manera similar. LONGITUD EFECTIVA
Como se mencion antes la frmula de Euler, se desarroll para el caso
de una columna que tiene extremos articulados o que giran
libremente. En otras palabras, L en la ecuacin representa la
distancia sin soporte entre los puntos de momento cero. Esta
formula puede usarse para determinar la carga critica en las
columnas que tienen otros tipos de soporte siempre que L represente
la distancia entre los puntos de momento cero. Esta distancia se
denomina longitud efectiva de la columna Le. Como es obvio, para
una columna con extremos articulados Le= L, figura 7a. Para la
columna con un extremo fijo y otro libre se encontr que la curva de
deflexin, es un medio de la curva para la columna conectada
mediante pasadores y tiene una longitud de 2L, figura 7b. Por lo
tanto, la longitud efectiva entre los puntos de momento cero es
Le=2L. La columna con extremos fijos, figura 7d, tiene puntos de
inflexin a puntos de momento cero a L/4 de cada soporte. Entonces,
la longitud efectiva est representada por un medio de su longitud
Le=0.5L. Por ltimo la columna con un extremo articulado y otro
fijo, figura 7c, tiene un punto de inflexin aproximadamente 0.7L de
su extremo articulado, por lo que Le=0.7L.
Fig. 7: Longitud efectiva de algunas columna
K=1K=2K=0.7K=0.5
En vez de especificar la longitud efectiva de la columna, muchos
cdigos de diseo proporcionan frmulas que emplean un coeficiente sin
unidades K llamado factor de longitud efectiva. Este factor se
define a partir de Le=KL
En la figura 7 se proporcionan valores especficos de K. por lo
tanto, con base en esta generalizacin puede escribirse la frmula de
Euler como
O bien Aqu es la relacin de esbeltez efectiva de l columna. Por
ejemplo, si la columna esta fija en su base y libre en su extremo,
se tiene K=2.Ejemplo: La columna de aluminio se encuentra fija en
su parte inferior y arriostrada en su parte superior por medio de
cables que tienen el propsito de evitar el movimiento en esa parte
a lo largo del eje x. si se supone que esta fija en su base,
determine la mayor carga P permisible que puede aplicarse. Use un
factor de seguridad para el pandeo de F.S. = 3.0. Tome EAl = 70
GPa, y = 215 MPa, A = 7.5x10-3 m2, Ix = 61.3x10-6 m4, Ix =
23.2x10-6 m4. Fig.8a
Solucin: En las figuras 8b y 8c, se muestra el pandeo con
respecto a los ejes x e y. si se usa la figura 8a, para el pandeo
del eje x-x, K = 2 por lo que (KL)X= 2(5m)= 10m. Adems, para el eje
y-y K= 0.7, por lo que (KL) y=0. 7(5m)= 3.5m.Al aplicar la ecuacin
13,11, se obtienen las cargas criticas para cada caso
Fig.8b
Por comparacin a medida que P se incrementa la columna se pandea
en torno al eje x-x, por lo tanto, la carga permisible es
Dado que Es posible aplicar la ecuacin de Euler.
Fig.8c
LA FORMULA DE LA SECANTELa frmula de la Euler se obtuvo al
suponer que la carga P se aplicaba siempre a travs del centroide
del rea transversal de la columna y que la columna es perfectamente
recta. En realidad esto es muy poco realista, ya que las columnas
fabricadas nunca son perfectamente rectas, ni la aplicacin de la
carga se pandean subitamente, sino que empiezan a doblarse en forma
ligera inmediatamente despus de la aplicacin de la carga. En
consecuencia, el criterio real para la aplicacin de cargas debera
estar limitado a una deflexin de la columna especificada o a no
admitir que el esfuerzo mximo en la columna exceda el esfuerzo
permisible.Para estudiar este efecto, se aplicara la carga P a la
columna en una distancia excntrica corta e desde su centroide, esta
carga sobre la columna es estticamente equivalente a la carga axial
P y al momento flexionante M=Pe que se indica en la figura 9b. Como
se muestra en ambos casos, como los extremos A y B estn soportados
de modo que pueden girar con libertad (soporte de pasador). Al
igual que antes, solo se consideraran pendientes y deflexiones
pequeas y con un comportamiento elstico lineal del material. Adems,
el plano x-v es un plano de simetra para el rea de la seccin
transversal.A partir del diagrama de cuerpo libre de la seccin
arbitraria, figura 9c, en el momento interno en la columna es Por
lo tanto, la ecuacin diferencial de la curva de deflexin es:
Fig.9bFig.9c
Fig.9a
O bien:Esta ecuacin es similar a la ecuacin 13-7 y tiene una
solucin general que consiste en las soluciones complementarias y
particulares, a saber,Para evaluar las constantes se deben aplicar
las condiciones de frontera.En x=0, v=0, por lo que C2=e. Y en x=L,
v=0, lo que resuta enComo 1-cos (P/El/L)=2 sen2 ((P/El/L/2) y sen
(P/El/L)= 2 sen(P/El/L/2)cos(P/El/L/2) se tiene Por lo tanto la
curva de deflexin, puede describirse como
DEFLEXION MAXIMADebido a la simetra de la carga, tanto la
deflexin mxima como el esfuerzo mximo se producen en el punto medio
de la columna. Por lo tanto cuando x=L/2, v=vmax por lo que: Tenga
en cuenta que si e se aproxima a cero, entonces vmax tambin tiende
a cero. Sin embargo, si los trminos entre parntesis tienden al
infinito cuando e se aproxima a cero, entonces vmax tendr un valor
distinto e cero. Matemticamente, esto representara el
comportamiento de una columna cargada axialmente al momento de
fallar cuando est sometida a carga critica Pcr por lo tanto para
encontrar Pcr se requiere
Que es el mimo resultado que se encontr en la frmula de EulerSi
la carga P contra la deflexin vmax para diferentes valores de
excentricidad e, resulta la familia de curvas en color gris que se
muestra en la figura 10.
Fig.10
Aqu la carga critica se convierte en una asntota a las curvas, y
por supuesto representa el caso no realista de una columna ideal
(e=0). Como se dijo anteriormente, e nunca es cero debido a las
imperfecciones en la rectitud inicial de la columna y la aplicacin
de la carga; sin embargo, cuando e tiende a 0 las curvas tienden a
acercarse al caso ideal. Adems, estas curvas son apropiadas solo
para deflexiones pequeas, ya que la curvatura se aproxim mediante
d2v/dx2. Si se hubiera realizado mediante un anlisis ms exacto,
todas estas curvas tenderan a girar hacia arriba, intersecando y
despus elevndose por encima de la lnea P=Pcr. Por supuesto, esto
indica que se requiere una mayor carga P para crear grandes
deflexiones de la columna. Sin embargo, aqu no se ha considerado
este anlisis puesto que el diseo de ingeniera suele restringir la
deflexin de las columnas a valores pequeos.Tambin debe sealarse que
las curvas de color gris en la figura 10 solo son aplicables cuando
el material se comporta de forma elstico lineal. Este es el caso
cuando la columna es larga y esbelta. Sin embargo, si se considera
una columna gruesa de longitud corta o intermedia, el incremento de
la carga aplicada puede causar que el material ceda y que la
columna comience a comportarse de una manera inelstica. Esto ocurre
en el punto A de la curva en color negro en la figura 10. Cuando la
carga incrementa an ms, la curva nunca alcanza la carga critica
sino que llega a un valor mximo en B. Despus, se produce una
disminucin sbita de la capacidad de carga mientras la columna sigue
cediendo y doblndose en mayor medida.Por ltimo, las curvas en gris
de la figura 10 tambin ilustran que se produce una relacin no
lineal entre la carga P y la deflexin v. En consecuencia, el
principio e superposicin no puede usarse para determinar la
deflexin total de una columna causada por la aplicacin de cargas
sucesivas a la columna. En cambio, primero deben sumarse las cargas
para poder determinar la deflexin correspondiente con base en su
resultante. La razn fsica por la que las cargas y deflexiones
sucesivas no pueden superimponerse es que el momento interno de la
columna depende tanto de la carga P como de la deflexin v, es
decir, M=-p(e+v). La frmula de la secante El esfuerzo mximo en la
columna puede determinarse al observar que es causado tanto por la
carga axial como por el momento, figura 13-15. El momento mximo se
produce en el punto medio de la columna, y mediante las ecuaciones
se determina que tiene una magnitud de:Como se muestra en la figura
11 el esfuerzo mximo en la columna es de compresin, y tiene un
valor deFig.11
Como el radio de giro se define como r2=I/A, la ecuacin anterior
puede escribirse en una forma llamada la frmula de la
secante:Aqu:max=esfuerzo elstico mximo en la columna, que ocurre en
el lado interior cncavo en el punto medio de la columna. Este
esfuerzo es de compresinP= carga vertical aplicada a la columna
P