PAKET 39
UJIAN NASIONAL
TAHUN PELAJARAN 2010/2011
UTAMA
SMA/MA
PROGRAM STUDI IPS/KEAGAMAAN
MATEMATIKA
Tim Pembahas :
Jakim Wiyoto, S.Si.
Rohmitawati, S.Si.
Reviewer :
Sigit Tri Guntoro, M.Si.
Marfuah, M.T.
1. Suatu barisan aritmetika diketahui suku ke-5 adalah 22 dan suku ke-12 adalah 57.
Suku ke-15 barisan ini adalah … .
A. 62
B. 68
C. 72
D. 74
E. 76
Alternatif Penyelesaian:
Suku ke-n ( nU ) barisan aritmetika dinyatakan sebagai bnaUn 1 dengan a
adalah suku pertama barisan dan b adalah beda atau selisih dua suku yang berurutan.
Suku ke-5 suatu barisan aritmetika adalah 22,
).......(..........224
22155
iba
baU
Suku ke-12 barisan tersebut sama dengan 57,
).......(..........5711
5711212
iiba
baU
Dari persamaan (i) dan (ii), diperoleh sutu sistem persamaan linier sebagai berikut.
224
5711
ba
ba
Sistem persamaan linier di atas salah satunya dapat diselesaikan dengan cara
substitusi.
Perhatikan persamaan (ii),
).........(..........422
224
iiiba
ba
Substitusikan persamaan (iii) ke persamaan (i)
5
22577
5711422
b
b
bb
Untuk mencari nilai a , masukkan nilai 5b ke persamaan (ii) atau persamaan (i).
2
2220
225.4
a
a
a
Penyelesaian untuk sistem persamaan di atas adalah 5,2, ba , atau 2a dan
5b .
Jadi suku ke-15 barisan aritmetika ini adalah
72
5.142
11515
baU
Jawab: C
2. Suku ketiga dan suku keenam barisan geometri berturut-turut adalah 18 dan 486. Suku
kedelapan barisan tersebut adalah … .
A. 4.374
B. 3.768
C. 2.916
D. 1.458
E. 1.384
Alternatif Penyelesaian:
Suku ke-n ( nU ) barisan geometri dinyatakan sebagai 1 n
n arU , dengan a adalah
suku pertama dan r adalah rasio dua suku yang berurutan.
Suku ketiga suatu barisan geometri adalah 18 dan suku keenam suatu barisan geometri
adalah 486.
)....(....................18
18
2
13
3
iar
arU
dan
)....(....................486
486
5
16
6
iiar
arU
Dari persamaan (i) dan (ii), diperoleh sutu sistem persamaan sebagai berikut.
18
486
2
5
ar
ar
Sistem persamaan linier di atas salah satunya dapat diselesaikan dengan cara
substitusi.
Perhatikan persamaan (i),
)..(....................18
18
2
2
iiir
a
ar
Substistusikan persamaan (iii) ke persamaan (ii), persamaan (ii) dapat ditulis menjadi
48618 5
2 r
r
Nilai r yang memenuhi 48618 5
2 r
radalah
3
27
18
486
48618
3
25
5
2
r
r
rr
rr
Untuk mencari nilai a , masukkan nilai 3r ke persamaan (ii) atau persamaan (i).
2
189
183
18
2
2
a
a
a
ar
Untuk 3r , diperoleh nilai 2a
Jadi suku kedelapan dari barisan ini adalah
4374
3.2 7
18
8
arU
Jawab: A
3. Suku kedua deret geometri dengan rasio positif adalah 10 dan suku keenam adalah
160. Jumlah 10 suku pertama deret tersebut adalah … .
A. 5.215
B. 5.210
C. 5.205
D. 5.120
E. 5.115
Alternatif Penyelesaian:
Suku kedua deret geometri dengan rasio positif adalah 10
)......(....................10
1012
2
iar
arU
Suku keenamnya adalah 160
)....(....................160
160
5
16
6
iiar
arU
Dari (i) diperoleh r
a10
.
ra
10 disubstitusikan ke (ii)
2
16
16010
160
4
5
5
r
r
rr
ar
Untuk r = 2 , nilai a = 5
5
102
10
a
a
ar
Jadi nilai nilai r dan a yang memenuhi adalah r = 2 dan a = 5
Jumlah 10 suku pertama deret tersebut
5115
1
110245
12
125
1
1
10
r
raS
n
n
Jawab: E
4. Seorang ayah akan membagikan 78 ekor sapi kepada keenam anaknya yang
banyaknya setiap bagian mengikuti barisan aritmetika. Anak termuda mendapat
bagian paling sedikit, yaitu 3 ekor dan anak tertua mendapat bagian terbanyak. Anak
ketiga mendapat bagian sebanyak … .
A. 11 ekor
B. 15 ekor
C. 16 ekor
D. 18 ekor
E. 19 ekor
Alternatif Penyelesaian:
Pembagian 78 ekor sapi kepada 6 orang anak mengikuti barisan aritmetika. nS ,
jumlah n suku pertama suatu barisan aritmetika adalah
bnan
Sn 122
Jumlah 6 suku pertama dari barisan pembagian sapi tersebut
4
63
785
56378
163.22
66
b
b
b
bS
Banyaknya sapi bagian anak ke-3 merupakan suku ke-3 dari barisan tersebut
11
4.23
23
baU
Jawab: A
5. Bentuk sederhana dari
1
19
55
32
2
ba
baadalah … .
A. 42ab
B. 22ab
C. ab2
D. 12
ab
E. 42
ab
Alternatif Penyelesaian:
4
)1)(4(
1444
15955
19555
1
195
551
19
55
2
2
.2
..2.2
22
2
2
32
2
ab
ab
ba
bbaa
baba
ba
ba
ba
ba
Jawab: A
6. Nilai dari 54log2log.25log 359… .
A. -3
B. -1
C. 0
D. 2
E. 3
Alternatif Penyelesaian:
3
3log.3
3log
3log2log2log
3.2log2log.5log.2
2
27.2log2log.5log54log2log.25log
3
33
3333
3353
3523359 2
Jawab: E
7. Bentuk sederhana dari 24362735 adalah … .
A. 32422
B. 32234
C. 63422
D. 62234
E. 622146
Alternatif Penyelesaian:
62234
6225690
2.286426203.30
24.2736.2724.3536.3524362735
Jawab: D
8. Akar-akar persamaan kuadarat 093 2 xx adalah 1x dan
2x . Nilai 1
2
2
1
x
x
x
x….
A. 27
53
B. 27
3
C. 27
1
D. 27
3
E. 27
54
Alternatif Penyelesaian:
Bentuk umum persamaan kuadrat yang akar-akarnya 1x dan
2x adalah
02 cbxax , dengan 21 xxa
b dan 21.xx
a
c .
Untuk persamaan kuadarat 093 2 xx
27
53
3
69
1
3
9
3
92
3
1
2
2
2
2
21
21
2
21
21
2
2
2
1
1
2
2
1
a
c
a
c
a
b
xx
xxxx
xx
xx
x
x
x
x
Jawab: A
9. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan 05112 2 xx adalah … .
A.
Rxxxx ,2
1atau5
B.
Rxxx ,2
15
C.
Rxxx ,52
1
D.
Rxxxx ,5atau2
1
E.
Rxxx ,52
1
Alternatif Penyelesaian:
Pembuat nol dari 05112 2 xx adalah 5x atau 2
1x
0125
05112 2
xx
xx
5
05
x
x atau
2
1
012
x
x
Ditinjau untuk nilai 5112 2 xx untuk 2
1x , 5
2
1 x , dan 5x
Untuk mengecek nilai 5112 2 xx untuk 2
1x diambil suatu nilai x di mana
2
1x . Misalkan diambil 0x . Untuk 0x 5112 2 xx =
550.110.2 2 .
Untuk 2
1x bernilai negatif.
Untuk 52
1 x , 5112 2 xx bernilai positif.
Untuk mengecek ambil 1x 5112 2 xx = 451.111.2 2 .
Untuk 5x , 5112 2 xx bernilai negatif.
Untuk mengecek ambil 6x = 5112 2 xx = 1156.116.2 2 .
Jadi 05112 2 xx atau dengan kata lain 5112 2 xx yang bernilai positif
atau nol dipenuhi untuk x di mana 52
1 x ditulis
Rxxx ,52
1.
Jawab: E
10. Akar-akar persamaan kuadrat 07132 2 xx adalah 1x dan
2x . Jika 1x 2x , maka
nilai 21 32 xx … .
A. 5,12
B. 5,7
C. 5,12
D. 20
E. 22
Alternatif Penyelesaian:
Akar-kar persamaan kuadrat 07132 2 xx
0712
07132 2
xx
xx
2
1
012
x
x
atau 7
07
x
x
71x dan 2
12 x
5,12
2
314
2
1.37.232 21
xx
Jawab: C
11. Persamaan simetri grafik fungsi kuadrat 1205 2 xxy adalah … .
A. 4x
B. 2x
C. 2x
D. 3x
E. 4x
Alternatif Penyelesaian:
Fungsi kuadrat 1205 2 xxy berbentuk parabola, simetrinya adalah garis vertikal
sejajar sumbu Y dan melalui puncak parabola.
Puncak parabola dapat ditinjau dari gradient garis singgung fungsinya. Puncak
parabola terjadi di titik di mana gradient garis singgungnya sama dengan nol.
1205 2 xxy
2010 x
2
2010
02010
x
x
x
Jawab: B
12. Koordinat titik potong grafik fungsi kuadrat 23 2 xxy dengan sumbu X dan
sumbu Y adalah … .
A. 0,1 ,
0,
3
2, dan 2,0
B.
0,
3
2, 0,1 , dan 2,0
C.
0,
2
3, 0,1 , dan
3
2,0
D.
0,
2
3, 0,1 , dan 1,0
E.
0,
2
3, 0,1 , dan 3,0
Alternatif Penyelesaian:
Grafik fungsi 23 2 xxy memotong sumbu X di 0y .
0123
023 2
xx
xx
3
2x atau 1x
Jadi grafik fungsi 23 2 xxy memotong sumbu X di
0,
3
2dan 0,1 .
Grafik fungsi 23 2 xxy memotong sumbu Y di 0x .
2
200.3 2
y
y
Jadi grafik fungsi 23 2 xxy memotong sumbu Y di dan 2,0 .
Jawab: B
13. Persamaan grafik fungsi kuadarat yang memotong sumbu X di titik 0,1 dan 0,3
serta melalui titik 16,1 adalah … .
A. 682 2 xxy
B. 2142 xxy
C. 542 xxy
D. 682 2 xxy
E. 1042 2 xxy
Alternatif Penyelesaian:
Persamaan umum fungsi kuadrat adalah cbxaxy 2
Jika suatu fungsi kuadarat memotong sumbu X di titik 0,1 dan 0,3 serta melalui
titik 16,1 maka fungsi tersebut memenuhi persamaaan (i), (ii), dan (iii) di bawah
ini.
)...(..............................0
1.1.0 2
icba
cba
).........(....................390
3.3.0 2
iicba
cba
).........(....................16
)1.()1.(16 2
iiicba
cba
Diperoleh sistem persamaan linier
16
039
0
cba
cba
cba
Sistem persamaan linier tersebut apabila ditulis dalam bentuk matriks adalah sebagai
berikut
16
0
0
111
139
111
c
b
a
Matriks
111
139
111
disebut matriks koefisien, dan matriks
16
0
0
disebut matriks
hasil.
Sistem persamaan linier ini bisa diselesaikan dengan aturan Crammer.
Misalkan sebut matriks koefisien
111
139
111
sebagai matriks A .
Determinan matriks A , A = 16
Matriks 1A adalah matriks A dengan elemen pada kolom ke-1 diganti dengan elemen
matriks hasil. 1A =
1116
130
110
.
Determinan 1A , 1A = 32
Matriks 2A adalah matriks A dengan elemen pada kolom ke-2 diganti dengan
elemen matriks hasil. 2A =
1161
109
101
.
Determinan 2A , 2A = 128
Matriks 3A adalah matriks A dengan elemen pada kolom ke-3 diganti dengan elemen
matriks hasil. 3A =
1611
039
011
.
Determinan 3A , 3A = 96 .
Menurut aturan Crammer,
2
16
32
1
A
Aa
8
16
128
2
A
Ab
6
16
96
3
A
Ac
Jadi fungsi kuadrat tersebut di atas memenuhi persamaan 682 2 xxy .
Jawab: A
14. Diketahui 2
32 xxf
, jika
1f adalah invers dari f , maka xf 1… .
A. x13
2
B. x13
2
C. x12
3
D. 12
3 x
E. 13
2 x
Alternatif Penyelesaian:
Invers fungsi
13
2
223
232
232
2
32
xfx
xfx
xfx
xfx
xxf
Invers dari f
,
13
21 xxf
Jawab: A
15. Seorang peternak ikan hias memiliki 20 kolam untuk memelihara ikan koki dan ikan
koi. Setiap kolam dapat menampung ikan koki saja sebanyak 24 ekor, atau ikan koi
saja sebangak 36 ekor. Jumlah ikan yang direncanakan akan dipelihara tidak lebih dari
600 ekor. Jika banyak kolam berisi ikan koki adalah x , dan banyak kolam berisi ikan
koi adalah y , maka model matematika untuk masalah ini adalah … .
A. 0,0,5023,20 yxyxyx
B. 0,0,5032,20 yxyxyx
C. 0,0,5022,20 yxyxyx
D. 0,0,5032,20 yxyxyx
E. 0,0,5023,20 yxyxyx
Alternatif Penyelesaian:
Karena kolam yang dimiliki hanya 20, maka jumlah kolam yang dipakai untuk
memelihara ikan koki dan ikan koi harus tidak lebih dari 20.
20 yx
Setiap kolam dapat menampung ikan koki saja sebanyak 24 ekor, atau ikan koi saja
sebangak 36 ekor. Jumlah ikan yang direncanakan akan dipelihara tidak lebih dari 600
ekor.
6003624 yx disederhanakan menjadi 5032 yx .
Karena peternak tersebut akan memelihara ikan koki dan ikan koi, tentu saja ikannya
tidak kurang dari nol.
0x dan 0y .
Model matematikanya 0,0,5022,20 yxyxyx
Jawab: C
16. Nilai minimum fungsi obyektif yxyxf 23, dari daerah yang diarsir pada
gambar adalah … .
A. 4
B. 6
C. 7
D. 8
E. 9
Alternatif Penyelesaian:
Nilai minimum fungsi obyektif yxyxf 23, akan ditinjau di tiga titik yaitu di
titik A, B, dan C.
Titik 4,0A , titik B adalah titik potong garis 824 yx dengan garis 933 yx ,
dan titik 0,3C .
Titik B adalah titik potong garis 824 yx dengan garis 933 yx .
yx
yx
yx
3
393
933
yx 3 disubstitusikan ke 824 yx
2
42
82412
8234
824
y
y
yy
yy
yx
2y
1
44
844
82.24
x
x
x
x
Jadi titik potongnya di B 2,1 .
Di titik 4,0A 84.20.34,0 f .
Di titik 2,1B 72.21.32,1 f .
Di titik 0,3C 90.23.30,3 f .
Jadi nilai minimum fungsi obyektif yxyxf 23, adalah 7.
Jawab: C
17. Seorang ibu memproduksi dua jenis keripik pisang, yaitu rasa coklat dan rasa keju.
Setiap kilogram keripik rasa coklat mebutuhkan modal Rp10.000,00, sedangkan
keripik rasa keju membutuhkan modal Rp15.000,00 per kilogram. Modal yang
dimiliki ibu tersebut Rp500.000,00. Tiap hari hanya bisa memproduksi paling banyak
40 kilogram. Keuntungan tiap kilogram keripik pisang rasa coklat adalah Rp2.500,00
dan keripik rasa keju Rp3.000,00 per kilogram. Keuntungan terbesar yang dapat
diperoleh ibu tersebut adalah … .
A. Rp110.000,00
B. Rp100.000,00
C. Rp99.000,00
D. Rp89.000,00
E. Rp85.000,00
Alternatif Penyelesaian:
Misalkan x : keripik pisang rasa coklat
y : keripik pisang rasa keju
Permasalahan di atas adalah masalah mengoptimalkan fungsi
yxyxf 30002500, dengan batasan 5000001500010000 yx , 40 yx ,
0x , dan 0y .
Persamaan 5000001500010000 yx dapat disederhanakan menjadi 10032 yx .
Sket grafik dan titik-titik potongnya sebagai berikut.
(1) Titik potong garis 0x dengan garis 10032 yx di A
3
100,0
(2) Titik potong garis 0y dengan garis 40 yx di B (20,20)
(3) Titik potong garis 40 yx dengan garis 10032 yx di C (40,0)
Ditinjau pada titik A, B, dan C yang memberikan yxyxf 30002500, maksimal.
Di A
3
100,0 , 100000
3
100.30000.2500
3
100,0
f .
Di B (20,20), 11000020.300020.250020,20 f .
Di C (40,0), 1000000.300040.25000,40 f .
Jadi nilai optimum yxyxf 30002500, adalah 110.000 terjadi di titik B (20,20).
Artinya keuntungan terbesar yang dapat diperoleh ibu adalah Rp110.000,00 dengan
memproduksi kripik rasa keju dan rasa coklat masing-masing 20 kg per hari.
Jawab: A
18. Diketahui matriks
14
23A ,
12
34B ,dan
129
104C . Nilai determinan
dari matriks CAB adalah … .
A. -7
B. -5
C. 2
D. 3
E. 12
Alternatif Penyelesaian:
19
112
1213918
1011416
129
104
1318
1116
129
104
)1).(1(3.4)2).(1(4.4
)1).(2(3.3)2).(2(4.3
129
104
12
34
14
23CAB
Determinan matriks CAB = 9.11.12 = 3
Jawab: D
19. Diketahui matriks
1
24
xA ,
y
x
3
1B ,dan
29
710C . Jika CBA 3
maka yx … .
A. -3
B. -2
C. -1
D. 1
E. 3
Alternatif Penyelesaian:
29
710
333
712
29
710
333
1612
29
710
3
1
33
612
29
710
3
1
1
243
3
yx
x
yx
x
y
x
x
y
x
x
CBA
Dari kesamaan matriks di atas, diperoleh
2
1012
x
x dan
1
23
y
y
Jadi 112 yx .
Jawab: D
20. Matriks X yang memenuhi X
51
34=
216
187 adalah … .
A.
96
11
B.
61
91
C.
61
91
D.
61
91
E.
11
96
Alternatif Penyelesaian
Cara I
Misalkan matriks
51
34A dan
216
187B .
Perkalian matriks A matriks 22 dengan matriks X menghasilkan matriks B yang
merupakan matriks 22 , maka matriks X merupakan matriks 22 .
Misalkan
2221
1211
xx
xxX .
216
187
55
3434
216
187
51
34
22122111
22122111
2221
1211
xxxx
xxxx
xx
xx
BAX
Dari kesamaan dua matriks di atas diperoleh suatu sistem persamaan linier
)..(....................215
)....(....................1834
)..(....................65
)......(....................734
2212
2212
2111
2111
ivxx
iiixx
iixx
ixx
Dari (i) dan (ii)
1
1717
242044)65(
7341)734(
21
21
21112111
21112111
x
x
xxxx
xxxx
Nilai 121 x disubstitusikan ke persamaan (ii)
1
65
6)1.(5
11
11
11
x
x
x
Dari (iii) dan (iv)
6
10217
842044)215(
18341)1834(
22
22
22122212
22122212
x
x
xxxx
xxxx
Nilai 622 x disubstitusikan ke persamaan (iv)
9
2130
216.5
12
12
12
x
x
x
Jadi matriks
61
91X
Cara II
Misalkan matriks
51
34A dan
216
187B .
BAX
BAIX
BAAXA
BAX
1
1
11
171.35.4 A
17
4
17
117
3
17
5
41
35
17
1
41
351
1
1
1
A
A
AA
61
91
17
21.418.1
17
6.47.117
21.318.5
17
6.37.5
21.17
418.
17
16.
17
47.
17
1
21.17
318.
17
56.
17
37.
17
5
216
187
17
4
17
117
3
17
5
1BAX
Jawab: C
21. Diketahui matriks
12
35A dan
31
11B . Invers matriks AB adalah
...1
AB .
A.
12
1
22
1
B.
12
1
22
1
C.
2
11
2
12
D.
2
11
2
12
E.
2
12
2
11
Alternatif Penyelesaian:
11
42
3.11.21.11.2
3.31.51.31.5
31
11
12
35AB
Determinan AB = AB = )1).(4()1).(2( = 2
12
1
22
1
21
41
2
1
21
4111
ABAB
Jawab: A
22. Diagaram berikut menyatakan jumlah anggota keluarga dari 50 siswa. Banyak siswa
yang mempunyai jumlah anggota keluarga 5 orang adalah … .
A. 13 siswa
B. 14 siswa
C. 15 siswa
D. 16 siswa
E. 17 siswa
Alternatif Penyelesaian:
Banyak siswa yang mempunyai jumlah anggota keluarga 3 orang adalah 4
Banyak siswa yang mempunyai jumlah anggota keluarga 4 orang adalah 12
Banyak siswa yang mempunyai jumlah anggota keluarga 5 orang adalah p
Banyak siswa yang mempunyai jumlah anggota keluarga 6 orang adalah 11
Banyak siswa yang mempunyai jumlah anggota keluarga 7 orang adalah 9
Banyak seluruh siswa = 50911124 p .
Jadi banyak siswa yang jumlah anggota keluarga 5 orang adalah
14
)911124(50
p
Jawab: B
23. Nilai kebenaran pernyataan majemuk q~qp~ pada tabel berikut adalah … .
p q q~qp~
B
B
S
S
B
S
B
S
…
…
…
…
A. SBSB
B. BBBS
C. BSBB
D. BBBB
E. BBSS
Alternatif Penyelesaian:
P q p~ q~ qp~ q~qp~
B
B
S
S
B
S
B
S
S
S
B
B
S
B
S
B
B
B
B
S
B
B
B
B
Jawab: D
24. Ingkaran dari pernyataan: “18 habis dibagi 2 atau 9” adalah … .
A. 18 tidak habis dibagi 2 dan tidak habis dibagi 9
B. 18 tidak habis dibagi 2 dan 9
C. 18 tidak habis dibagi 2 dan habis dibagi 9
D. 2 dan 9 membagi habis 18
E. 18 tidak habis dibagi 2 atau 9
Alternatif Penyelesaian:
Ingkaran dari pernyataan: “18 habis dibagi 2 atau 9” adalah
“18 tidak habis dibagi 2 dan 9”.
Jawab: B
25. Diketahui premis-premis:
(1) Jika semua warga negara membayar pajak, maka banyak fasilitas umum dapat
dibangun.
(2) Tidak banyak fasilitas umum dapat dibangun.
Kesimpulan yang sah dari kedua premis di atas adalah … .
A. Semua warga negara tidak membayar pajak
B. Ada warga negara tidak membayar pajak
C. Semua warga negara membayar pajak
D. Semua warga negara membayar pajak dan tidak banyak fasilitas umum dapat
dibangun
E. Semua warga negara tidak membayar pajak atau banyak fasilitas umum dapat
dibangun
Alternatif Penyelesaian:
Premis (1) berupa implikasi “Jika semua warga negara membayar pajak, maka banyak
fasilitas umum dapat dibangun.”
Implikasi ini terdiri dari anteseden berupa kalimat: “Semua warga Negara membayar
pajak”, dan konsekunsi berupa kalimat: “Banyak fasilitas umum dapat dibangun.”
Premis (2): “Tidak banyak fasilitas umum dapat dibangun.” merupakan negasi gari
konsekuensi dari implikasi di atas.
Berdasarkan kaidah argumentasi modus tollens maka kesimpulan dari dua premis di
atas adalah pernyataan yang merupakan negasi dari anteseden, yaitu: “Tidak semua
warga negara membayar pajak.” Atau “Ada warga negara tidak membayar pajak.”
Kaidah argumentasi modus tollens
Premis (1) berupa implikasi qp
Premis (2) berupa negasi dari konsekuen q
Maka kesimpulannya adalah negasi dari anteseden p
Keabsahan argumentasi modus tollens ditunjukkan dalam tabel nilai kebenaran berikut
ini.
p q p q qp
B B S S B
B S S B S
S B B S B
S S B B B
Jawab: B
26. Nilai x yang memenuhi sistem persamaan
2635
1011
yx
yx adalah … .
A. 3
2
B. 6
1
C. 7
1
D. 2
1
E. 4
31
Alternatif Penyelesaian
)...(....................2635
)...(....................1011
iiyx
iyx
7
1
568
5653
2635
3033
x
x
xx
yx
yx
Jawab: C
27. Nilai maksimum yxyxf 45, yang memenuhi pertidaksamaan
122,8 yxyx , 0x dan 0y adalah … .
A. 24
B. 32
C. 36
D. 40
E. 60
Alternatif Penyelesaian
Sket grafik dan titik-titik potongnya sebagai berikut.
(1) Titik potong garis 0y dengan garis 8x y di A (8,0).
(4) Titik potong garis 0x dengan garis 2 12x y di B (4,4).
(5) Titik potong garis 8x y dengan garis 2 12x y di C (0,6).
Nilai maksimum yxyxf 45, ditinjau di titik A, B, dan C
Di A (8,0), 8,0 5.8 4.0 40f
Di B (4,4), 4,4 5.4 4.4 36f
Di C (0,6), 0,6 5.0 4.6 24f
Nilai maksimum yxyxf 45, terjadi di A (8,0), dengan nilai maksimum 40.
Jawab: D
28. Nilai ...43
8143lim
2
2
4
xx
xx
x.
A. 4
B. 2
C. 2
1
D. 2
E. 4
Alternatif Penyelesaian:
2
1
23lim
14
423lim
43
8143lim
4
42
2
4
x
x
xx
xx
xx
xx
x
xx
Jawab: B
29. Nilai ...752515lim 2
xxxx
.
A. 2
3
B. 3
2
C. 2
1
D. 2
1
E. 2
3
Alternatif Penyelesaian
2
3
10
15
00250025
015
7525
11025
615
lim
7525
11025
615
lim
7525
11025
615lim
752511025
752511025lim
752511025
752511025lim
752511025
752511025lim
752511025
752511025752511025lim
752511025lim
752515lim752515lim
22
22
22
22
22
22
22
22
22
22
22
22
2222
22
222
xxxx
x
xxxx
x
xxxxx
x
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
xxxxxxxx
xxxx
xxxxxx
x
x
x
x
x
x
x
x
xx
Jawab: E
30. Grafik fungsi 1593 23 xxxxf turun dalam interval … .
A. 3x atau 1x
B. 1x atau 3x
C. 3x atau 1x
D. 31 x
E. 31 x
Alternatif Penyelesaian:
Naik-turunnya grafik suatu fungsi dapat ditinjau dari gradient garis singgungnya.
Apabila gradient garis singgung fungsi di suatu titik bernilai negatif maka grafik
fungsi di titik tersebut turun. Sebaliknya apabila gradient garis singgung fungsi di
suatu titik bernilai positif maka fungsi di titik tersebut naik.
Gradien garis singgung grafik fungsi 1593 23 xxxxf adalah turunan fungsi
tersebut.
1593 23 xxxxf
963 2 xxxf
Pembuat nol dari 963 2 xx
0333
0963 2
xx
xx
3 3 0
1
x
x
atau
3
03
x
x
Ditinjau nilai 963 2 xxxf untuk nilai x di 1x , 1 3x , dan 3x .
Untuk meninjaunya, ambil salah satu titik dalam interval-interval tersebut.
Untuk 2x 22 3.( 2) 6.( 2) 9 15f . 0f bernilai positif. Jadi untuk
1 3x , xf bernilai positif.
Untuk 0x 990.60.30 2 f . 0f bernilai negatif. Jadi untuk
1 3x , xf bernilai negatif.
Untuk 4x 1594.64.34 2 f . 4f bernilai positif. Jadi untuk 3x ,
xf bernilai positif.
Jadi 1593 23 xxxxf turun pada interval 1 3x .
Jawab: D
31. Diketahui ( ) ( ) . Jika adalah turunan pertama , maka ( )
A. ( )
B. ( )
C. ( )
D. ( )
E. ( )
Alternatif Penyelesaian :
Misalkan ( ) maka ( )
Jika ( ) * ( )+ maka ( ) , ( )- ( )
Sehingga
( ) ( ( ))
( ) , ( )- ( )
= ( )
= ( )
Jawaban : D
32. Untuk memproduksi suatu barang diperlukan biaya produksi yang dinyatakan dengan
fungsi ( ) dalam ribuan rupiah. Agar biaya minimum maka
harus diproduksi barang sebanyak….
A. 30
B. 45
C. 60
D. 90
E. 135
Alternatif Penyelesaian :
( )
Biaya produksi ( ) akan mencapai nilai minimum dari nilai x yang diperoleh dari
( ) .
( )
( )
( ) , maka ( ) adalah nilai balik minimum.
Jadi agar biaya minimum maka harus diproduksi barang (x) sebanyak 45.
Jawaban : B
33. Dari angka 1, 2, 3, 4, dan 7 akan dibentuk bilangan yang terdiri dari tiga angka yang
berbeda. Banyak bilangan berbeda yang dapat dibentuk dengan nilai masing-masing
kurang dari 400 adalah….
A. 12
B. 24
C. 36
D. 48
E. 84
Alternatif Penyelesaian :
Bilangan yang akan dibentuk terdiri dari 3 angka yang berbeda. Dalam hal ini berarti ada
tiga tempat yang harus diisi yaitu tempat ratusan, puluhan dan satuan.
Bilangan yang dibentuk terdiri dari 3 angka yang berbeda sehingga pemakaian angka
tidak boleh berulang.
1. Tempat ratusan
Bilangan yang terbentuk masing-masing kurang dari 400. Sehingga hanya dapat diisi
oleh angka 1, 2, dan 3. Sehingga .
2. Tempat puluhan
Hanya dapat diisi oleh 4 angka pilihan, karena satu angka telah dipakai untuk tempat
ratusan. Sehingga .
3. Tempat satuan
Hanya dapat diisi oleh 3 angka pilihan, karena satu angka telah dipakai untuk tempat
puluhan. Sehingga .
Jadi, banyaknya bilangan berbeda yang dapat dibentuk dengan nilai masing-masing
kurang dari 400 adalah :
Jawaban : C
34. Banyak cara memasang 5 bendera dari negara yang berbeda disusun dalam satu baris
adalah….
A. 20
B. 24
C. 69
D. 120
E. 132
Alternatif Penyelesaian :
Masalah ini merupakan permutasi karena melibatkan susunan dari suatu elemen atau
unsur yang disusun secara berbeda.
Sehingga banyak cara memasang 5 bendera dari negara yang berbeda disusun dalam satu
baris adalah:
5P5 = .
Jadi ada 120 cara.
Jawaban : D
35. Pada percobaan lempar undi 3 keping uang logam bersama-sama sebanyak 600 kali,
frekuensi harapan muncul paling sedikit dua gambar adalah….
A. 500
B. 400
C. 300
D. 200
E. 100
Alternatif Penyelesaian :
Frekuensi harapan suatu kejadian pada suatu percobaan yang dilakukan n kali
didefinisikan sebagai perkalian dari peluang kejadian itu dengan n, dirumuskan dengan :
( ) ( )
dengan
P(E) = peluang kejadian yang diharapkan
n(E) = banyaknya anggota kejadian E
n(S) = banyaknya anggota ruang sampel (banyaknya kejadian yang mungkin)
n = banyaknya percobaan yang dilakukan
Dari soal diatas harapan muncul paling sedikit dua gambar dimana 3 keping uang logam
di lempar bersama-sama, sehingga urutan angka dan gambar tidak berpengaruh maka
S = {AAA,AAG,AGG,GGG}
n(S) = 4
E ={AGG,GGG} n(E)=2
P(E) =
=
, n = 600
( ) ( )
Jawaban : C
36. Kotak I berisi 4 bola biru dan 3 bola kuning. Kotak II berisi 2 bola biru dan 5 bola merah.
Dari masing-masing kotak diambil sebuah bola secara acak. Peluang terambilnya kedua
bola berlainan warna adalah….
A.
B.
C.
D.
E.
Alternatif Penyelesaian :
Dari kotak I diambil sebuah bola
- Peluang yang terambil bola biru =
- Peluang yang terambil bola kuning =
Dari kotak II diambil sebuah bola
- Peluang yang terambil bola biru =
- Peluang yang terambil bola merah =
Peluang terambilnya kedua boal berlainan warna, bearti ada 3 kemungkinan sebagai
berikut :
1. Peluang terambil bola dari kotak I berwarna biru dan kotak II berwarna merah
P1 =
2. Peluang terambil bola dari kotak I berwarna kuning dan kotak II berwarna biru
P1 =
3. Peluang terambil bola dari kotak I berwarna kuning dan kotak II berwarna merah
P1 =
Dengan demikian peluang terambilnya kedua bola yang berlainan warna adalah :
P1 + P + P =
=
Jawaban : E
37. Dari 20 kuntum bunga mawar akan diambil 15 kuntum secara acak. Banyak cara
pengambilan ada….
A. 15.504
B. 12.434
C. 93.024
D. 4.896
E. 816
Alternatif Penyelesaian :
Banyak cara pengambilan 15 kuntum bunga dari 20 kuntum bunga :
20C15 =
=
= 15.504
Jawaban : A
38. Modus dari data pada tabel distribusi frekuensi berikut adalah :
Panjang Daun (mm) Frekuensi
10 – 19
20 – 29
30 – 39
40 – 49
50 - 59
6
13
19
15
7
A. 34,50
B. 35,50
C. 35,75
D. 36,25
E. 36,50
Alternatif Penyelesaian :
Menentukan modus dari sekelompok data yang tersusun dalam table distribusi frekuensi
langkahnya sebagai berikut :
1. Menentukan kelas modus,yaitu kelas interval yang frekuensinya paling besar.
Dari tabel terlihat kelas interval ke-3 mempunyai frekuensi paling besar yaitu 19. Jadi
kelas modus adalah kelas interval ke-3.
Sehingga :
2. Menentukan nilai modus
[
]
dengan :
= modus
= tepi bawah kelas modus
= selisih frekuensikelas modus dengan dengan kelas sebelumnya
= selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya
= panjang kelas modus
[
]
= 29,5 + 6
= 35,5
Jawaban : B
39. Rata-rata dari data yang disajikan dengan histogram berikut adalah ….
A. 41,375
B. 42,150
C. 43,125
D. 43,135
E. 44,250
Alternatif Penyelesaian :
Dari histogram dapat dibuat tabel sebagai berikut :
Batas Bawah
Kelas Interval
Batas Atas
Kelas Interval
Nilai Tengah
Kelas Interval
( xi )
Frekuensi
( fi )
29.5 34.5 32 5
34.5 39.5 37 7
39.5 44.5 42 12
44.5 49.5 47 9
49.5 54.5 52 4
54.5 59.5 57 3
Selanjutnya dihitung nilai rata-rata :
∑
∑
= 32 5 37 7 42 12 47 9 52 4 57 3
5 7 12 9 4 3
=
= 43,125
Jawaban : C
40. Simpangan baku data 6, 4, 5, 6, 5, 7, 8, 7 adalah….
A.
√
B.
√
C.
√
D.
√
E. √
Alternatif Penyelesaian :
Diketahui banyak data (n) = 8
∑
=