P5_Plasticnost

8/18/2019 P5_Plasticnost

1/119

Metalne konstrukcije II – 5. predavanje

prof. dr. sc. Darko Dujmović

Sveučilište u Zagrebu/Građevinski fakultet/ Zavod za konstrukcije/ Katedra za metalne konstrukcijehttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2

Metalne konstrukcije II

Prof. dr. sc. Darko Dujmović

Građevinski fakultet

Sveučilište u Zagrebu

http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2


2/119



Sveučilište u Zagrebu/Građevinski fakultet/ Zavod za konstrukcije/ Katedra za metalne konstrukcijehttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2

5. TEORIJA PLASTIČNOSTI

KOD ČELIČNIH KONSTRUKCIJA Literatura:

Dujmović, D.; Androić, B.; Džeba, I.: Modeliranje konstrukcija prema EC3,IA Projektiranje, Zagreb, 2003.

Androić, B.; Dujmović, D.; Džeba, I.: Čelične konstrukcije 1,IA Projektiranje, Zagreb, 2009.



3/119

Prof.dr.sc. Darko Dujmović

Građevinski fakultet Zagreb

Zavod za konstrukcijeKatedra za metalne konstrukcije

http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2

3


Plastičnost


Svrha/područje današnjeg predavanja:

• uobičajeno (praksa), primjena teorije elastičnosti,

• teorija plastičnosti kao nadgradnja teorije elastičnosti

• (primjena npr. proračun podrožnica),

• edukacija teorije plastičnosti prema dva tipa:

• teorijski pristup (tenzori),

• aplikativan – inženjerski,



4/119





4


Plastičnost


Svrha/područje današnjeg predavanja:

Teorija plastičnosti

• nova filozofija EC3• ne radi distinkciju teorije elastičnosti i teorije plastičnosti,

• teorija plastičnosti sastavni dio norme, ali dana su ograničenjakada se ne smije uporabiti (npr. umor),

• sadržaj predavanja:• osnovne postavke teorije plastičnosti,

• metode analize i metode dimenzioniranja prema EC3,

• cilj i svrha:• praktična primjena teorije plastičnosti,



5/119





5


Plastičnostprof. dr. sc. Darko Dujmović

Osnove plastične analize

OSNOVNI POJMOVI

L

P

postupno se povećava opterećenje P,

razmatra se ponašanje nosača i opisuje odnosom (faktor opterećenja) i progiba u L/2



6/119





6




d

u

P

P

progib

c

y

plastičnost se proširujepo presjeku

tečenje rubnih vlakanacau polovici raspona

1

očvršćavanje

kolaps

nefaktorirano opterećenje

• Krivulja faktor opterećenja - progib jednostavno oslonjenognosača



7/119





7




f y f y f y

f y f y

f y

od y do c iza cdo y

(a) (c) (d)(b)

Raspodjela napona po presjeku nosača



8/119





8




L

P

2

Mehanizam

Mehanizam ko lapsa



9/119





9




DEFINIRANJE OSNOVNIH POJMOVA

Faktor opterećenja kod kolapsa (otkazivanja) može sedefinirati kao najmanji množitelj računskog opterećenja koje ćeuzrokovati da cijela konstrukcija, ili neki njezin dio, postane

mehanizam.

Faktor opterećenja: ≥ 1,0.

L

·Pd

2



10/119





10



Osnove plastične analizeDEFINIRANJE OSNOVNIH POJMOVA

Pod pojmom mehanizam podrazumijeva se da je razvijen takav

sustav nedeformabilnih elemenata vezanih sa zglobovima, ili

kod nosača ili kod okvirnih konstrukcija, da je gibanje sustavaostvareno rotacijama u zglobovima.

L

2



11/119





11




DEFINIRANJE OSNOVNIH POJMOVA

P lastični zglob ( plastic hinge), poprečni presjek postajepotpuno plastičan, sa sposobnošću rotiranja pri konstantnommomentu savijanja.

Mpl

My

M

12

3 4



12/119





12




Mehanizam kolapsa (otkazivanja):

– ponašanje nosača opisano odnosom - progib,

– ponašanje nosača prikazano procjenom

opterećenja kolapsa (collapse load).

Oba načina u literaturi. Prednost se daje opisivanju odnosom - progib.



13/119





13




OPTEREĆENJE KOLAPSA (OTKAZIVANJA)

L

P (postupno se povećava)

(i) Dijagram momenata

savijanja

MyMpl

2

M- odnos

MMpl

My

Mehanizam



14/119





14




yel y f W M M

y M M

a) Elastično područje

b) Rubno vlakance doseglo f y

f y

f y


http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2


15/119





15




pl y M M M

c) Djelomično plastično područje

f y

f y


http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2


16/119





16




y pl y pl pl f W f W M

d) Moment pune plastičnosti

e) Plastično krajnje opterećenje(nosiva sila)

LM4P4LPM pluupl

f y

f y


http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2


17/119





17




Pretpostavlja se da je nosač, dosegnuo najveću predvidivuotpornost kod konačnog opterećenja nazvanog krajnje

plastično opterećenje (općenitije konstrukcija umjesto nosač).

Pored ovoga naziva često se ovaj pojam naziva:

nosiva si la prema njemačkom nazivu Traglast

ili

krajnje opterećenje prema engleskom nazivu Ult imate

Load .



18/119





18



Osnove plastične analizePrimjeri ilustriraju temeljne principe teorije plastičnosti:

U proračunu prema teoriji plastičnosti pretpostavlja seotkazivanje konstrukcije (kolaps) formiranjem mehanizma kolapsa (collapse mechanism).



19/119





19




Mehanizmi kolapsa uzrokovani su formiranjem jednog ili višep lastičnih zglobova ( plastic hinges).



20/119





20




Kod plastičnog zgloba poprečni presjek postaje potpunoplastičan, sa sposobnošću rotiranja (rotaci jsk i kapacitet ) prikonstantnom momentu savijanja.

Mpl

My

M

Izražen rotacijskikapacitet



21/119





21




Moment savijanja kod plastičnog zgloba naziva se puna plastična otpornost na sav i jan je (fully plastic moment of resistance) ili kraće pun i plastični moment (full plastic moment ).

y pl y pl pl

f W f W M

f y

f y

http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2


22/119





22




RAZMATRANJE OSNOVNIH POJMOVAVEZANIH UZ SVOJSTVA ČELIKA



23/119





23



Rotacijski kapacitet (klasa presjeka 1)

pl M

M

pl

rot

pl

Lokalno

izbočavanje

Moment

Mpl

Dovoljan

1

1

f y

Plastični moment

bruto presjeka

( )



24/119





24




Lokalno

izbočavanje

Moment

Mpl

Ograničen

1

pl M

M

pl

1

f y

Plastični moment

bruto presjeka

R ij ki k i (kl j k 3)



25/119





25



Nikakav


Lokalno

izbočavanje

Moment

Mpl

1

f y

Elastični moment

bruto presjeka

Mel

pl M

M

pl

1

R t ij ki k it t (kl j k 4)



26/119





26




pl M M

pl

Lokalno

izbočavanje

Moment

Mpl

Nikakav

1

1

f y

Elastični moment

efektivnog presjeka

Mel

Pl tič i t



27/119





27



Plastični moment

h

b

f y f yf y f y

f y f yf y f y

1 32 4

Mpl

My

M

1

b

h

jedinična

dužina

23

4

Raspodjela napona po presjeku

M- odnos savijanog nosača

Razvijanje plastičnog zglobaStanja:

1 – elastična otpornost,4 – plastični moment,

2 – 4 plastifikacija presjeka,Ovako formiran

plastični zglob dopuštapreraspodjelu momenata

I d l tič i t M l i M d



28/119





28



Izvod za plastični moment Mpl i M - odnos

y E y

1

f y

1 2 3 4

yy

1 32 4

y

y

y

f yy

y

yE

stst

Razvijanje deformacije

i napona po presjeku

Pored i , dana

relativna rotacija :f y f y f y




29/119





29




Izračunavanje otpornosti na savijanjef y

f yb

M

plastično područje

h'=2h/3

hp=h/6

hp=h/6

y

C1

C2

T1

T2

h2

h2

h1

h1

f y

f y

(a) (b) (c) (d) (e)

poprečni raspodjela raspodjela inkrementalne plastična

y0

y0

h

presjek unutarnje sile raspodjela

M i za h/6 plastificiranog presjeka:11

i M

Vrijedi:

y y y f hbhbhb

f h

f h

b M

9

4

66

5

66

'

6

5

6

222

1

M M M y 1 , M je teško izračunati u inkrementalnom obliku

Stoga:


http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2


30/119





30




Sređivanjem dobijemo:

yel y f W f hb

M

18

23

618

23 2

1

y M M M 1

y y f hb f hb M

6618

23 22

y f hb

M

618

5 2

Uočljivo je dakle povećanje momenta 28% 5

18100

.


http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2


31/119





31



Izvod za plastični moment Mpl i M -

odnos

Promjena rotacije :

h E

f

h E

f f

h E

f y y y y

3

2

2

1

3

1

2

'

3

2

2

'

E h

f y

E h

f

h E

f y y y

2

2

y1

E h

f

E h

f

E h

f y y y

321

y 5,1

1

Povećanje rotacije je za 50%.


http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2


32/119





32




odnos

Slično, vrijedi za povećanje plastificiranog dijela presjeka na h/3 sa M 2 i 2 .

Dobije se povećanje momenta 44%

4

9100

.

2 3 yRotacija:

Konačno, za potpuno plastificiran presjek:

hb

h

f M y pl

2

1

2

y pl f hb

M

4

2

ypl M5,1M

Omjer plastičnog momenta Mpl i elastičnog momenta My:

el

pl

y

y

y

pl

W

W

hb f

hb f

M

M

6

42

2

je faktor oblika

(obuhvaćen je oblikpoprečnog presjeka)


http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2


33/119





33




odnos

Iz izraza za rotaciju i moment izvodi se ovisnost M

f y

f yb

M

plastično područje

h'=2h/3

hp=h/6

hp=h/6

y

C1

C2

T1

T2

h2

h2

h1

h1

f y

f y

(a) (b) (c) (d) (e)

poprečni raspodjela raspodjela inkrementalne plastična

y0

y0

h

presjek unutarnje sile raspodjela

Djelomično plastificiran presjek:

6

22

22

12

2

2

0

000

yb f f y

h y y

hb M y y

Uvrštenjem y0=f y/(e·), i nakon sređivanja dobije se M - odnos.

I od a plastični moment Mpl i M odnos



34/119





34




odnos

Rezultirajuća bezdimenzijska M krivulja za pravokutni presjek

/y

M/My

1

2

3 4

0 1 2 4 6 8 10

1,5

1,0

2

3

11

2

3

y

y

M

M

y y M M

y

Brojevima od 1 do 4 stanja (elastično do plastično)

Stanje 4: plastično tečenje čitavog presjeka pl y pl W f M , 1,5 Mel

Plastični zglob



35/119





35



Plastični zglob

Mpl

My

M

pl

Plastični zglob (M=Mpl)

Pravi zglob (M=0)

jedinična

dužina

Pretpostavka:

presjek koncentriran u pojasnice

Poslije f y, a pri konstantnom

opt. tlačni pojas se skraćuje,vlačni pojas se produžuje.

Stoga moment otpornostipresjeka ostaje konstantan, a

deformacija se povećava

Idealizirani M - odnos

Plastični zglob:presjek rotira kao zglob, a pri tom uvijek je prisutan moment

otpornosti presjeka jednak plastičnom moment.

Idealizirana krivulja

Plastični zglob



36/119





36



Plastični zglob

Za idealiziranu M - krivulju plastični zglobovi u diskretnim točkama,

realno plastični se zglob proteže po dužini elementa.

Egzaktna teorija

plastičnosti

Pojednostavnjena

teorija plastičnosti

Stvaranje plastičnog područjaispod koncentrirane sile

Idealiziranje do plastičnog zgloba

Sposobnost rotacije

Kut zaokreta

Zona plastificiranja

Nul-linija

Plastični zglob

x 0

Plastični zglob

http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2


37/119





37



Plastični zglob

a) Zglob u teoriji elastičnosti b) Zglob u teoriji plastičnosti(zadan statičkim sustavom) (formiran modelom mehanizma)

M=0

M=0

M= Mpl

M= Mpl

Utjecaj N i V na plastični Moment



38/119





38



Utjecaj N i V na plastični Moment

f y f yf y f y

f yf y f y b

1 32 4

htlak

vlak

b) Interakcija M i N

/y

M/Mpl

1

2 3 4

0 3 6

1,0

0,5

b

h

M

NN

M

a) M - odnosi

N/Ny=0

N/Ny=0,3

M/Mpl=1

91,0,

pl

red pl

M

M

Za nisku razinu N,

utjecaj na Mpl zanemariv.

Za VSd < 0,5VRd, utjecaj

na Mpl zanemariv.Kriteriji prema EC3.

Duktilnost



39/119



Zavod za konstrukcije

Katedra za metalne konstrukcije




Duktilnost

Dukt i lnost (engl. ductility , njem. Dehnbarkeit ) je sposobnost čelika da

se znatno deformira, bilo u tlaku bilo u vlaku, prije otkazivanja.

f y

E

1

Idealizirani oblik svojstva čelika u početnom dijelu krivulje. odnosi su praktično identični i za vlak i za tlak.

Očvršćavanje



40/119








Očvršćavanje

Očvršćavanje (engl. strain hardening , njem. Verfestigung ) ilustrirano je

slikom, idealiziranim M odnosom dobivenim koristeći iste pretpostavkekao i na primjeru ilustracije plastičnog zgloba.

Mpl

M

pl st

E

Est

1

1

st

st st pl E M M

Za vrijedi:

(Est je modul očvršćavanja)

Očvršćavanje



41/119








Očvršćavanje

arc tan Est2

arc tan Est1

0,003 0,007

0,005

arc tan Est3

tangenta povučenaod oka

pojava početkaočvršćavanja

modificirani početakočvršćavanja

a c

b

vrijednost stdobivena mjerenjem

Mogućnosti određivanja Est

Obično se koristi postupak b.

Očvršćavanje



42/119








Očvršćavanje

Preraspodjela momenata uslijed pojave očvršćavanja

MC

M - bez očvršćavanja

M - sa očvršćavanjem

Pu

P

Mpl

M

1,0

0,5

1,00,5

P

MCMS MS

MS

Očvršćavanje



43/119








Očvršćavanje

Utjecaj očvršćavanja na sposobnost rotacije

M - (elastično-plastično - očvršćavanje)

PuP

plL

1,0

0,5

1,00,5

P

M - (elastično-plastično)

L L/2 L/2 L

L

M P pl

u

8

E

M pl pl

Statički neodređeni sustavi



44/119









L

Razmatra se nosač obostrano upet

Postupno se povećava opterećenje i promatra ponašanje nosača,odnosom - progib.

PROŠIRENJE NA STATIČKI NEODREĐENE SUSTAVE




45/119









Širenje plastifikacije kod upetog nosača

(a) Plastični zglobovina krajevima

L

L

(b) Mehanizam

kolapsa s triplastična zgloba




46/119









Krivulja - progib za prethodni nosač

c

kolaps

progib u

polovici raspona

y

zadnji zglob formiran u sredini

formiranje prvih zglobova

na ležajevima

nefaktorirano opterećenje

približno linearno

1




47/119








Statički neodređeni sustaviPlastična analiza podrazumijeva:

plastičnu raspodjelu napona po poprečnom presjeku, (formiranje plastičnog zgloba)

- također dovoljnu redistribuciju momenata savijanja da bi se razvili plastični zglobovi

zahtijevani da se prouzroči plastični mehanizam.

- formiranjem dovoljnog broja plastičnih zglobova događa se kolaps i to tako da sepočetno statički preodređena konstrukcija preobraća progresivno u manjepreodređenu konstrukciju i konačno u mehanizam.

Sposobnost konstrukcije da redistribuira napon po poprečnom presjeku i izmeđupoprečnih presjeka zahtijeva da se ne dogodi niti jedan drugi način otkazivanja prijemehanizma plastičnog kolapsa.

Ovako se dosiže krajnje opterećenje uz ispunjenje uvjeta:




48/119









UVJETI:

• Čelik treba posjedovati odgovarajuću duktilnost da se može razvitiplastična otpornost presjeka.

• Jednom formiran, plastični zglob treba biti sposoban rotirati uz konstantnu

vrijednost plastičnog momenta Mpl .

• Plastični zglob treba imati dovoljan rotacijski kapacitet da se omogućiformiranje mehanizma kolapsa i odgovarajuća redistribucija momenta.

• Konstrukcija je izložena pretežno statičkom opterećenju tako da jespriječeno otkazivanje uslijed niskocikličnog umora (shake down).




49/119









Ilustracija uvjeta slikom:

M

Mpl1 2 3

M

Mpl

1

2 3

(a) Presjek na ležajevima (b) Presjek u polovini raspona

- plastični zglob na ležajevima, elastično ponašanje u polovici raspona

- izražena rotacijska sposobnost na ležajevima, plastični zglob u polovici raspona

- izražena rotacijska sposobnost i na ležajevima i u polovici raspona

1

2

3




50/119









Teoretska razmatranja koja slijede:

• predviđanja mehanizama kolapsa,

• određivanja dijagrama momenata savijanja kod kolapsa,

• određivanja faktora opterećenja kod kolapsa,

Primjeri nekoliko tipičnih mehanizama kolapsa okvirnih konstrukcija.




51/119









Mehanizmi kolapsa okvira:

L

h




52/119










L

h




53/119













54/119









Dodatno, konstrukcija je dovoljno robusna da se ostvari

mehanizam kolapsa bez nepovoljnog utjecaja instabiliteta.

Mogući oblici instabiliteta su:

• lokalni instabilitet (obuhvaćen klasifikacijom presjeka),

• bočni instabilitet (osigurati bočna pridržanja),

• instabilitet okvira u ravnini (za relativno male uzdužne

• tlačne sile može se zanemariti, a ako ne onda rezultirareduciranjem opterećenja kolapsa).

Metode analize



55/119








METODE ANALIZE

Metode analize

Metode analize



56/119




Katedra za metalne konstrukcijehttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2

56



Temeljni problemi plastičnog proračuna su:

• predviđanje korektnog mehanizma kolapsa,• određivanje faktora opterećenja kod kolapsa,• određivanje dijagrama momenta savijanja kod kolapsa.

Pri tom moraju biti zadovoljeni uvjeti:

(1) Uvjet mehanizma: krajnje opterećenje je dosegnutokada se formira mehanizam.

(2) Uvjet ravnoteže: suma sila i suma momenata jednaka je nuli.

(3) Uvjet plastičnog momenta: moment bilo gdje u konstrukciji ne

smije biti veći od momenta M pl .

METODE ANALIZE

Metode analize

Metode analize



57/119





57



Metode analize

Plastična analiza Elastična analiza

Mehanizam Kontinuitet

Ravnoteža

Plastičnimoment TečenjeMpl

Mpl

M


58/119





58



Metode analize, Temeljni principi

I E W W

Virtualni pomaci

Princip virtualnih pomaka, upotrebljiv u izražavanju uvjeta ravnoteže,može se definirati na sljedeći način:

Ako se sustav sila u ravnoteži podvrgne (izloži) virtualnom pomaku,

rad koji učine vanjske sile (WE) jednak je radu koji načine unutarnje sile(WI).

Princip virtualnih pomaka (virtualni rad) objašnjen je na jednostavnooslonjenom nosaču.




59/119





59



, j p p

L/2

P

v

(a)

L/2

v - progib uslijed P

- dodatni progib

Mpl

2

(b)

Dosizanjem Mpl, ostvaren

određeni progib.

Dodatnim progibom ,

kompatibilan s rubnim uvjetima,

rotira plastični zglob bezpovećanja Mpl.

Oblik progibne linije ne mijenjase.




60/119





60



, j p p

P W E pl I M W 2

pl M P 2

U skladu sa slikom, vrijedi:

- vanjski rad - unutarnji rad

Uvjet ravnoteže WE = WI daje:

Uvrštenjem za = ·(L/2), dobije se:

pl M L

P 22

Krajnje opterećenje za sustav jednostavnog nosača je:

L

M P

pl

u

4

Mpl

2

P


http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2


61/119





61


Plastičnost


, j p p

Napomena vezana uz unutarnji rad:

Mpl Mpl +

Definicija unutarnjeg rada

Unutarnji rad uvijek je pozitivan




62/119





62


Plastičnost


, j p p

OBOSTRANO UPETI NOSAČ – izvođenje izraza za virtualnirad vanjskih sila (q)

L

q

Mpl

2

MplMpl

Zadani statički sustav

Postupnim povećanjem q,dobije se mehanizam.

Važno: elementi između zglobova idealno ravni, a opterećenje qkoncentrira se u težištu elementa.




63/119





63


Plastičnost


, j p p

OBOSTRANO UPETI NOSAČ – izvođenje izraza za virtualnirad vanjskih sila (q)

q koncentrirano u težištuelementa

Mehanizam otkazivanja

Mpl

L/4

2

MplMpl

qL/2 qL/2

L/4 L/4 L/4

=(L/4)

Vanjski rad izvodi se za ovakav sustav




64/119





64


Plastičnost


, j p p

44242

L Lq

L Lq

L LqW

E

pl pl pl pl I M M M M W 42

Vanjski rad:

Unutarnji rad:

L/4

2

MplMpl

qL/2 qL/2

L/4 L/4 L/4

=(L/4)

Uvjet ravnoteže WE = WI, daje:

2

2 164

4 L

M q M

Lq

pl

u pl

Teoremi teorije plastičnosti

http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2


65/119





65


Plastičnost


j pU jednom koraku obično nije moguće zadovoljiti sva tri potrebna uvjeta:

mehanizam, ravnoteža i plastični moment.

Premda će uvjet ravnoteže biti uvijek zadovoljen, rješenje postignuto na temeljupretpostavljenog mehanizma dat će krajnje opterećenje analizirane konstrukcije koje je ili korektno ili p revel iko . (KINEMATSKI TEOREM)

S druge pak strane, rješenje postignuto crtanjem dijagrama statičkog momenta kojineće poremetiti uvjet plastičnog mom enta bit će ili korektno ili premalo . (STATIČKITEOREM)

Dakle, u ovisnosti o načinu na koji se rješava problem, dobit će se gornja ili donja

granica unutar koje će se nalaziti korektno rješenje. (TEOREM JEDNOZNAČNOSTI)

Kada su oba teorema zadovoljena za neki razmatrani problem, onda je to

rješenje u stvari korektno rješenje.




66/119





66


Plastičnost


j p

• Kinematski teorem

‘U analizi konstrukcije proizvoljno odabran mehanizam kolapsa dajeprocjenu krajnjeg opterećenja (opterećenje kolapsa) koje je veće od ili

jednako korektnom opterećenju.’

Drugim riječima, budući da se ne zna korektan mehanizam kolapsa,pokušava se dobiti rješenje pomoću pretpostavljenog mehanizma.Dobiveno rješenje predstavlja samo gornju granicu faktora opterećenjakod kolapsa c i potencijalno je nes igurno .

Metode temeljene na pretpostavljenim mehanizmima kolapsa generalnozadovoljavaju samo ravnotežu i uvjete mehanizma .




67/119





67


Plastičnost


j p

• Statički teorem

‘Proizvoljni uvjet ravnoteže koji također zadovoljava uvjet plastičnogmomenta daje procjenu krajnjeg opterećenja koje je manje od ili jednako korektnom opterećenju.’

Drugim riječima, zadovoljenje uvjeta ravnoteže i plastičnog momenatabez da se nađe mehanizam je u biti s igurna procedura.




68/119





68


Plastičnost


j p

Teorem jednoznačnosti

‘Vrijednost krajnjeg opterećenja koja zadovoljava uvjete ravnoteže,mehanizma i plastičnog momenta je jednoznačna.’

Dakle, moguće je dobiti za bilo koje drugo opterećenje dijagram

momenta savijanja koji također zadovoljava ova tri uvjeta.

Statička metoda



69/119





69


Plastičnost


STATIČKA METODA – zasniva se na teoremu donje graniceTraži se ravnotežni dijagram momenata savijanja u kojem je M Mpl takav da seformira mehanizam.

Postupak se razvija prema sljedećem:

(1) Odabrati statički preodređene veličine.

(2) Nacrtati momentni dijagram za statički određenu konstrukciju.

(3) Nacrtati momentni dijagram za konstrukciju opterećenu preodređenim veličinama.

(4) Nacrtati kombinirani momentni dijagram, iz koraka 2. i 3., na takav načinda se formira mehanizam.

(5) Izračunati krajnje opterećenje, ili faktor opterećenja kolapsa,rješavajući jednadžbu ravnoteže.

(6) Provjeriti da je M Mpl .

Primjeri za statičku metodu



70/119





70


Plastičnost


j

8

2 Lq

Potrebno je naći krajnje opterećenje nosačakojeg je puni moment plastičnosti Mpl .

Statički određen nosač

Kao statički preodređene veličine odabrani sumomenti na krajevima. Moment M 1 je nepoznat.

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

(g)

1

L

q2 3

M

1

M1

M1

qL2

8

Mp

Mpl

AB

moguće zaključne linije

Momentni dijagram od q na statički određenonnosaču

Momentni dijagram od M 1 na statički određenonnosaču.

Kombiniranje M-dijagrama da se formira

mehanizam.Zaključna linija A daje momente na 1 i 3 jednakemomentu na mjestu 2.

Korektan mehanizam




71/119





71


Plastičnost


j

Zaključna linija izvučena u A tvori korektan mehanizam, slika g),

s M =M pl u tri presjeka s maksimalnim momentom.

Uvjet ravnoteže, slika f) presjek 2 , je:

pl pl u M M Lq

8

2

pl u M LQ

28

Slijedi da je krajnje opterećenje:

QM

Lu

pl 16

Mp

Mpl

AB

moguće zaključne linije

8

2

Lq

2




72/119





72


Plastičnost


a) Konstrukcija

b) Statički određen sustav

c) Opterećenje od statički

preodređene veličineM3

P P

LL

L

PP

L

L/2 L/2 L/2 L/2

1

2

3

4

5

Za kontinuirani nosač, momenta plastičnosti Mpl, treba naći krajnje opterećenje



73/119



74/119





74


Plastičnost


a c

f) Kombinirani M – dijagrami

(formira se mehanizam s maksimalnim

momentima M pl u presjecima 2 , 3 i 4)

g) Mehanizam

M dijagram uslijed M3

Mpl

a c

bMpl Mpl

(1)

M dijagram uslijed P

(2)Mp

l

Mpl

Mpl

b

2

2=41

23

4

5




75/119





75


Plastičnost


Kombinirani momentni dijagram f), nacrtan je na način da se formira potrebanmehanizam g), s maksimalnim momentima M pl u presjecima 2 , 3 i 4.

Jednadžba ravnoteže dobiva se zbrajanjemmomenata u presjeku 2 :

24

pl

pl u

M M

L P

PM

Lu

pl 6

Budući su zadovoljeni potrebni uvjeti – mehanizam, ravnoteža, plastični moment,dobiveno krajnje opterećenje korektno je određeno.

M dijagram uslijed M3

Mpl

a c

bMpl MplM dijagram uslijed P

2

2=41

23

4

5

Metoda mehanizma



76/119





76


Plastičnost


METODA MEHANIZMA – zasniva se na teoremu gornje granice

Povećanjem statičke neodređenosti nekog sustava povećava se brojmogućih mehanizama otkazivanja.

Postaje teže konstruirati korektan ravnotežni momentni dijagram.

Primjenjuje se metoda mehanizma.

Dobivaju se različite ‘gornje granice’ za korektno opterećenje za različitemoguće mehanizme.

Korektan mehanizam bit će onaj koji kao rezultat daje najmanje moguće

opterećenje i kod kojeg moment neće prekoračiti plastični moment u bilokojem presjeku konstrukcije.

Metoda mehanizma



77/119





77


Plastičnost


METODA MEHANIZMA – zasniva se na teoremu gornje granice

Traži se takav mehanizam za koji neće biti prekršen uvjet plastičnogmomenta.

Postupak se provodi na sljedeći način:

(1) Odrediti mjesto mogućih plastičnih zglobova (mjesta gdje djeluje

koncentrirana sila, mjesta spojeva, u točki gdje je poprečna sila jednakanuli kod nosača jednoliko opterećenih).

(2) Odabrati moguće ‘neovisne’ ili 'složene' mehanizme.

(3) Riješiti jednadžbu ravnoteže (metoda virtualnog rada) za najmanjeopterećenje.

(4) Provjeriti da je u svakom presjeku zadovoljeno M M pl .

Primjeri za metodu mehanizma



78/119





78


Plastičnost


a c

L

PP

L

L/2 L/2 L/2 L/2

12

3

45

Za kontinuirani nosač, treba naći krajnje opterećenje

(c)b

(b)

(a)

2

4

1 2

3

4 5

Mpl

Mpl

Mpl

2

2

Prvo je određivanje mjesta mogućih zglobova.U presjecima 2, 3 i 4 mogu se formirati zglobovi.

Postoji simetrija – samo jedan mehanizam.Princip virtualnog rada – jednadžbe ravnoteže

2

LP

2

LPWE

2M2M2MW plplpl

2M3

2

LP2 pl

L

M6P pl

u

Ukupni rad vanjskih sila je:

Budući da WE=W, dobije se:

Dakle, krajnje opterećenje P u je:

Provjera momenata nije potrebna jer je mogućsamo jedan mehanizam.

Ukupni rad unutarnjih sila je:

Mp

l

Mpl

Mpl


http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2


79/119





79


Plastičnost


L

P

P

2

H1

H5

V1 V5

1

2 3 4

5

(a)

Za portalni okvir sa slike, kojem su stupovi i prečka nepromjenjivog poprečnogpresjeka i plastičnog momenta M pl , potrebno je izračunati krajnje opterećenje.

Moguća mjesta plastičnihzglobova su presjeci 2 , 3 i 4.

Postoji nekoliko mogućihmehanizama otkazivanja.

Postavlja se pitanje: koji je od

ovih mehanizama korektan?

To je onaj mehanizam koji daje

najmanje krajnje opterećenje

budući da bi bilo koje većeopterećenje značilo da nijeispunjen uvjet plastičnogmomenta.

h=L/2




80/119





80


Plastičnost


2

P

Mpl

Mpl

Mpl

(b) Mehanizam 1 (mehanizam nosača)

pl pl pl M M M P 2

4

2 pl M

L P

L

M P

pl 8

1

Iz uvjeta W E = W dobije se sljedeća jednadžba za mehanizam nosača:




81/119





81


Plastičnost


(c) Mehanizam 2 (mehanizam panela)

Iz uvjeta W E = W dobije se sljedeća jednadžba za mehanizam panela:P

2

MplMpl pl pl M M

P

2

22

pl M h P

222 pl M

L P

L

M P pl 82

L

h=L/2




82/119





82


Plastičnost


(d) Mehanizam 3 (kombinirani mehanizam)

Iz uvjeta W E = W dobije se

sljedeća jednadžba za

mehanizam panela:

L

pl pl pl M M M P

P 22

21

4

22 pl M h

P L P

4

222 pl M L P L

P

L

M P

pl

3

16

3

P

1

2

P

2

2

Mpl

Mplh=L/2




83/119





83


Plastičnost


Najmanja vrijednost je P3, korektno krajnje opterećenje je:L

M

3

16P

pl

u

MplMpl

3

Potrebno je još provjeriti uvjet plastičnog momenta, tj. da je M M pl za sve presjeke:

Moment u presjeku 2 izračunat je prema sljedećem:

L

M

L

M

h

M H

pl pl pl

2

25

L

M

L

M

H P H P

H

pl pl

u

22

1

3

16

2

1

2 551

L

M H

pl

3

2

1

23

2

2112

L

L

M L H h H M pl

32

pl M M

Budući da niti u jednom presjeku momenti nisu većiod M pl , dobivena rješenja problema su korektna.

Mpl

1

2 3

4

5

Mehanizmi



84/119





84


Plastičnost


Različiti modovi otkazivanja vezano na tipove mehanizama. Postoje sljedećitipovi mehanizama koristeći za ilustraciju konstrukciju danu na slici:

Neovisni mehanizmi:

1. Mehanizmi nosača

Mehanizmi



85/119





85


Plastičnost



Neovisni mehanizmi:

2. Mehanizam panela

Mehanizmi



86/119





86


Plastičnost



Neovisni mehanizmi:

3. Mehanizam

Mehanizmi



87/119





87


Plastičnost



Neovisni mehanizmi:

4. Mehanizam čvora

Mehanizmi



88/119





88


Plastičnost



Kombinirani mehanizmi:

5. Djelomični mehanizam

Mehanizmi



89/119





89


Plastičnost



Kombinirani mehanizmi:

6. Potpuni mehanizam

Mehanizmi



90/119





90


Plastičnost


Kod okvirnih sustava treba ispitati i pronaći odgovarajućekinematske mehanizme otkazivanja.

Pri tom važno je odrediti broj ‘neovisnih’ mehanizama.

To se može izračunati prema izrazu:

n pk

gdje je:

k - broj neovisnih mehanizama,

p - broj mogućih plastičnih zglobova,

n - broj statičke neodređenosti sustava.

Mehanizmi



91/119





91


Plastičnost


Plastični zglobovi obično se mogu formirati na mjestima:

1. ispod djelovanja koncentriranih sila,

2. na mjestima ukliještenja,

3. u čvorovima okvira,

4. u području Mmax,Ed kod jednolikog opterećenja,

5. kod promjene poprečnog presjeka ili oslabljenja.

Primjeri određivanja unutarnjih sila prema teoriji

plastičnosti



92/119





92


Plastičnost


plastičnosti

0,438L

L

V1

M1

M1

R0L

0,5L

R1 R2

0,125L

0,125L 0,146L

ME

V2

q

qLitd R R

qL R

qL R

)(

062,1

438,0

32

1

0

qLitd V V

qLV

500,0)(

562,0

32

1

2

1

2

0625,0

0957,0

qL M

qL M E

Kontinuirani nosač s ojačanjem presjeka u dijelu krajnjih polja

Utjecaj redoslijeda opterećenja



93/119





93


Plastičnost


UTJECAJ REDOSLIJEDA OPTEREĆENJA NA KRAJNJE

PLASTIČNO OPTEREĆENJE Pu

Osnovna pretpostavka:

- sva opterećenja koja djeluju na sustav rastu proporcionalno

do dosizanja Pu.

Postoji izuzetak:

- za neki određeni redoslijed opterećenja pojavljuju se sve jačerastuće deformacije i govori se o nestabilnosti deformacija.




94/119





94


Plastičnost


HP

Ukupno

opterećenje

CIKLUS OPTEREĆENJA




95/119





95


Plastičnost


PRasterećenje

Ciklus opterećenja koji se ponavlja(promatra se vertikalno opterećenje)




96/119





96


Plastičnost


H Rasterećenje

Ciklus opterećenja koji se ponavlja(promatra se horizontalno opterećenje)




97/119





97


Plastičnost


CIKLUS OPTEREĆENJA

Sile H i P ne rastu proporcionalno.

Nakon prvog opterećenja sa P nastupa rasterećenje s nekimzaostalim vlastitim naponom.

Kod opterećenja i rasterećenja silom H , vlastiti naponi ‘ne pašu’u to drugo opterećenje tako da se pojavljuju nove trajnedeformacije.

Do pojava ovakvih trajnih deformacija ne bi došlo da su H i P istovremeno proporcionalno rasle.




98/119





98


Plastičnost


CIKLUS OPTEREĆENJA

Ukoliko se ciklus opterećenja H i P češće pojavljuje dolazi dosve većih rastućih trajnih deformacija i iscrpljivanja plastičnihsvojstava.

Znači, statički je sustav otkazao a da nije uspio doseći krajnjeplastično opterećenje P u.




99/119






99


Plastičnost


CIKLUS OPTEREĆENJA

R ješenje tražimo u tzv. opterećenju "uigravanja" P s(eng. shakedown, njem. Einspiellast )

Opterećenja kod kojeg, unatoč bezbroj ciklusa opterećenja,deformacije sustava su stabilne i ostaju u određenim granicama.

TEOREM UIGRAVANJA

Ako se može pronaći bilo koje stanje vlastitih napona kod kojega se

dalje u svim ciklusima opterećenja P s preuzima elastično, to sesustav onda uigrao na potpuno elastično ponašanje i za ovoopterećenje (P s) ne može više doći do otkazivanja nosivosti.




100/119






100


Plastičnost


PS U OVISNOSTI DEFORMACIJA I

CIKLUSA OPTEREĆENJAbroj ponovljenih

ciklusa opterećenja

P>Ps

deformacije

P


101/119






101


Plastičnost


Sila P s ima za sada teoretsko značenje iz sljedećih razloga:

a) u praksi su važne deformacije uslijed uporabnogopterećenja a ne od P u,

b) porastom odnosa g / p, opterećenje P s prelazi u P u,

c) vjerojatnost izrazito nepovoljnih ciklusa

opterećenja je mala.


PP



102/119






102


Plastičnost


A B C D E

L/2 L/2 L/2 L/2

PP

Mr

L L

P

P P

a) - Momentni dijagram prema teoriji

elastičnosti- Sila P djeluje u točki B

b) - Momentni dijagram prema teoriji

elastičnosti- Sile P djeluju u točkama B i D

c) - Zaostali momenti uslijed neelas-

tičnih deformacija nakon opte-rećenja faze (b)

6

64PL

1264

PL

13

64PL

10

64PL

10

64PL

Ilustracija uigravanja

opterećenja




103/119






103


Plastičnost


Ilustracija uigravanja opterećenja

V ažno : za svaki presjek mora biti zadovoljen uvjet

pl ir i M M M max,,

U gornjem izrazu je:

Mi,r - moment kao posljedica vlastitih napona

(rezidualni ili zaostali),

Mi,max - maksimalni moment u tom presjeku (i )

prema teoriji elastičnosti.




104/119


Građevinski fakult

P5_Plasticnost

Documents