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MODULE P243:
CALCUL DES STRUCTURES II
Notes de cours
Bton Arm
Abdellatif Khamlichi
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2
Sommaire
Chapitre1:
Formulaire des poutres..................................................................................................... 4
Chapitre 2:
Caractristiques gomtriques des sections.................................................................... 13
Chapitre 3:
Contraintes dans une poutre section htrogne......................................................... 17
Chapitre 4:
Rglements de calcul du bton arm ............................................................................... 35
Chapitre 5:
Bton et Aciers: caractristiques rglementaires ........................................................... 53
Chapitre 6:
Etat limite ultime de rsistance (ELUR) ......................................................................... 60
Chapitre 7:
Section rectangulaire l'ELUR en flexion simple.......................................................... 73
Chapitre 8:
Section en forme de "T" l'ELUR en flexion simple .................................................... 85
Chapitre 9:
Section rectangulaire l'ELUR en flexion compose .................................................... 90
Chapitre 10:
Etat limite ultime de rsistance l'effort tranchant ...................................................... 104
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3
Chapitre 11:
Adhrence entre une armature et le bton...................................................................... 114
Chapitre 12:
Etat limite ultime de poinonnement des dalles ............................................................. 126
Chapitre 13:
Etat limite de service ......................................................................................................... 128
Chapitre 14:
Dispositions rglementaires de ferraillage ...................................................................... 144
Chapitre 15:
Calcul des panneaux de dalles rectangulaires sous chargement modr..................... 149
Chapitre 16:
L'ELS vis vis des dformations ..................................................................................... 153
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4
CHAPITRE 1:
Formulaire des poutres
1. But
Rappeler dans le cas des poutres droites plan moyen et charges dans ce plan (cas de la
flexion plane) les formules permettant de calculer directement en fonction du cas de charge et
des conditions aux limites:
- les actions aux appuis;
- l'effort tranchant;
- le moment de flexion;
En particulier on rappellera aussi les valeurs maximales de ces efforts qui jouent un rle
primordial dans le problme de dimensionnent.
2. Notations et conventions
Les notations et conventions utilises sont extrmement importantes. Certaines font mme
l'objet de normes ISO, AFNOR, etc.
2.1 Notations:
La liste prsente ci-dessous n'est pas exhaustive. Elle cependant suffisamment gnrale pour
couvrir une grand partie des besoins de ce cours de bton arm. Ainsi on notera:
A: appui de gauche;
B: appui de droite;
AB: trave s'appuyant sur les appuis A et B;
xx : ligne moyenne continue passant par les centres gomtriques des sections le long de la poutre;
q: intensit d'une charge uniformment rpartie;
P: intensit d'une charge concentre;
C, D: points d'application des charges P, Q;
a: distance de la charge concentre l'appui considr;
AR , BR : actions des appuis A et B sur la poutre AB;
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5
AV , BV : efforts tranchants aux appuis A et B;
x: abscisse d'une section courante de la poutre ;
xM , M: moment de flexion dans la section d'abscisse x;
0M : moment de flexion maximal en trave;
0x : abscisse o s'exerce le moment maximal 0M dans la trave AB;
xV , V: effort tranchant dans la section d'abscisse x;
xN , N: effort normal dans la section d'abscisse x;
xw , w : flche de la section d'abscisse x;
f: flche maximale en valeur absolue;
fx : abscisse o la flche est maximale en valeur absolue;
L: porte libre de la poutre;
H : moment statique;
I: moment d'inertie;
2.2 Conventions de reprsentation:
Considrons le croquis suivant (figure 1.1) d'une poutre charge sur appuis simples:
Figure 1.1.
Poteau 1 Poteau 2 L
b a
x
qQ P
y
x
-
6
Ce cas de charge sera schmatis de manire "conventionnel" sous la forme de la figure 1.2:
Figure 1.2.
2.2.1 Reprsentation des charges
charge uniformment rpartie
charge concentre
couple concentr
2.2.1 Reprsentation des appuis
simple ou libre
articulation
encastrement
poutre continue plusieurs traves
A BDC
Q P
qb
a
Lx x
A B
A B
A B
A
A
A
C A B
-
7
3. Diagrammes des efforts
3.1 Convention de signe des sollicitations
Les sollicitations sont les lments de rduction des forces extrieures du tronon de gauche,
au centre G de la section normale S.
Le sens positif des lments de rduction { }M,N,V est indiqu sur la figure 1.3 suivante:
Figure 1.3.
Remarques:
l'effort tranchant est compt positivement vers le haut; le moment de flexion est compt positivement dans le sens des aiguilles d'une montre; l'effort normal est compt positivement vers la droite (la compression est positive).
3.2 Consquences de la convention de signe
a)
Si 0M : Si 0M : - la fibre infrieure est tendue; - La fibre infrieure est comprime;
- la fibre suprieure est comprime; - la fibre suprieure est tendue;
- la courbure est positive; - la courbure est ngative;
- la dforme est convexe. - la dforme est concave.
M V
N
y
x
dx dx
A B
-
8
b) forme de la relation effort tranchant/moment de flexion:
dxdMV +=
c) forme de la loi de comportement lastique en flexion:
2
2
dxwdEIM +=
I: moment d'inertie de la section;
E: module d'lasticit (module d'Young).
d) le repre indique le signes de la flche et de l'effort tranchant. Il n'indique pas le signe du
moment de flexion.
3.3 disposition des diagrammes des efforts
a) moment de flexion:
Par convention le diagramme de M est dispos du ct de la fibre tendue de la poutre.
b) effort tranchant:
AA RV = et BB RV = .
Le diagramme de V est dispos vers le haut si V > 0, vers le bas si V < 0.
3.4 Exemple de dtermination des diagrammes
Considrons une poutre sur appuis simples et charge uniformment comme le montre la
figure 1.4. La poutre est lastique de module d'Young E et admet un moment d'inertie
constant I.
-
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Figure 1.4.
La dtermination des diagrammes des efforts internes suit les tapes suivantes:
Etape 1: calcul des ractions
2qLRR BA ==
Etape 2: calcul du moment de flexion
0)xL(x2q)x(MM x == x
Etape 3: calcul de l'effort tranchant
)x2L(2q
dxdMV xx ==
Etape 4: diagrammes des efforts
- moment de flexion
8qLM
2
0 = 2Lx 0 =
A B
q
L
+
L
A B
-
10
- effort tranchant
2qLRV AA == 2
qLRV BB ==
Etape 5: flche
( )222 xLxEI2qEIMdxwd == ( )xLLx2x
EI24q)x(w 334 +=
0)L(w)0(w ==
EI384Lq5)2/L(wf
4
==
4. Formulaire des poutres
4.1 Poutre sur deux appuis simples et poutre encastre chaque extrmit
cf. page 11
4.2 Poutre encastre une extrmit et libre l'autre et poutre en console
cf. page 12
L
_ +
A B
-
11
-
12
-
13
CHAPITRE 2:
Caractristiques gomtriques des sections
1. But
Dterminer les caractristiques gomtriques qui interviennent dans l'tude de l'quilibre
d'une section sous l'effet des sollicitations.
2. Moment statique
il sert trouver le centre de gravit (cdg.) d'une surface donne S par rapport un axe situ dans son plan;
la fibre moyenne d'une section est l'axe GZ passant par le centre de gravit G.
2.1 Dfinition
Le moment statique (unit = 3cm ) d'une surface plane par rapport un axe passant dans son
plan est gal au produit de l'aire de cette surface par la distance de son centre de gravit (ou
centre gomtrique de la surface) l'axe considr, figure 2.1. On a donc
GOy y.SH = GOz z.SH =
Figure 2.1.
Si Oz passe par le cdg., 0HOz = .
O
Gz Gy
Oy
Oz
GY
GZ
S
G
-
14
2.2 Principe de calcul du cdg. pour une section homogne
Considrons la section en forme de "I" reprsente sur la figure 2.2. Cette section peut tre
dcompose selon le tableau ci-dessous
Figure 2.2.
Aire lmentaire d(G,Oz) Produit
1A 1y 111 yAH = 2A 2y 222 yAH = 3A 3y 333 yAH =
On a:
==
===3
1iiiG
3
1iiOz yAySHH
D'o
321
321G AAA
HHHy ++
++=
3A
2A
1A
3y
2y
1y
Y
z O
-
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3. Moment quadratique (ou d'inertie)
3.1 Dfinition
Le moment quadratique d'un lment de surface plane par rapport un axe Oz, situ dans son
plan, est gal au produit de l'aire de cet lment dS par le carr de sa distance l'axe considr
Oz.
Le moment quadratique de la surface plane S par rapport un axe Oz, situ dans son plan, est
= maxmin
y
y
2Oz dSyI (en
4cm )
3.2 Moment d'inertie d'une surface rectangulaire par rapport sa base
3hbdSyI
3h
0
2Oz ==
3.3 Thorme de Huyghens
Si Oz // Gz et si )Oz,G(dyG = :
2GGZOz ySII +=
GzI est appel moment d'inertie propre. Il est minimal pour une direction donne.
dy
y
h
b
Y
Z
O z
G
-
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Cette relation est souvent utilise dans le sens suivant
2GOzGZ ySII =
Elle montre en particulier dans le cas du rectangle que: 12hbI
3
Gz =
4. Rayon de giration
Par dfinition le rayon de giration est:
SIr z'zz'z =
5. Tableau des caractristiques des sections courantes
Forme de la section Aire Centre de gravit Moment quadratique
hbS =
2hwv ==
12hbI
3
GZ =
2bhS =
3h2v =
3hw =
36bhI
3
Gz = ( partir d'un rectangle)
4DS
2=
2Dwv ==
64DI
4
GZ=
Z
w
v
b
Z h
G
w
v
b
Z
h G
w
v D G
-
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CHAPITRE 3:
Contraintes dans une poutre section htrogne 1. But
Etablir les relations entre les efforts internes et les contraintes dans une poutre rectiligne
plan moyen charge dans ce plan lorsque sa section est htrogne.
2. Quelques dfinitions
Fibre moyenne: ligne passant par les centres de gravit gomtriques des sections de la
poutre; c'est une caractristique gomtrique de la poutre;
ligne (O, X) de la figure 3.1
Plan de flexion: plan moyen = plan de symtrie vertical;
c'est une caractristique gomtrique de la poutre
plan (O, X, Y) de la figure 1
Flexion pure: tat uniforme de flexion d'une poutre, appel aussi flexion cylindrique
o N = 0, V = 0, M est constant
Flexion simple: tat de flexion sans effort normal
N = 0, M quelconque, V = dM/dx
Flexion compose: tat de flexion en prsence de l'effort normal
N et M quelconques, V = dM/dx
Fibre neutre: ligne passant par les points o la dformation axiale est nulle;
c'est une caractristique mcanique; ligne fictive dans certains cas de la
flexion compose
Figure 3.1
O M
V
N
Y Y
Z X G0
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3. Hypothses simplificatrices
(H0) Petites dformations et petits dplacements;
(Hypothses des Petites Perturbations = HPP)
(H1) l'tat de contrainte dans la poutre a la forme suivante:
0
;
seules les fibres longitudinales sont sollicites et les contraintes normales suivant les
directions transversales sont donc nulles; Les contraintes sont alors planes dans le plan
de symtrie de la poutre;
(Hypothse de poutre plane plan moyen charge dans ce plan)
(H2) Chaque section droite reste plane au cours de la dformation; sa position actuelle se
dduit donc de sa position initiale par la somme:
- d'une translation de vecteur GG0 de composantes [ ]tYX )0,X(u)0,X(u , - d'une rotation autour de G d'angle et d'axe Gz. (Hypothse de Navier-Bernoulli)
(H3) Chaque section droite reste plane et orthogonale la fibre moyenne au cours de la
dformation. C'est un cas particulier de (H2).
(Hypothse d'Euler-Bernoulli)
Figure 3.2
O
Y
P
P0
uX
uY
x G
G0
X
-
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Soit 0P un point quelconque de la section droite de coordonnes (X,Y) dans le rfrentiel fixe
(O, X, Y). Par application de l'hypothse (H2), son transform au cours de la dformation est
le point P dont les coordonnes s'obtiennent par
+
+
cosYu
sinYuXP
YX
PY
X0
Mais l'hypothse (H0) entrane:
sin , 1cos , xX , yY , xX uu = et yY uu =
D'o
+
+
yu
yuxP
yx
Py
x0
avec xu , yu et ne dpendant que de la seule variable de position x.
Il vient alors en utilisant la dfinition du tenseur des petites dformations
)0,x()u(21
yyu(
x)u(
21)y,x(
y)0,x(yux
)yu()y,x(
yxy
xx
==
+
=
===
et les autres dformations sont toutes nulles.
On en dduit que les dformations sont linaires sur toute section droite de la poutre.
La traduction de l'hypothse (H3) qui est un cas particulier de (H2) avec usage de (H0) permet
d'crire
y2y
y u)u(1
utan
+=
-
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Posons: )x()0,x( 0= et yu)x( = . Les dformations deviennent
0)y,x(;)x(y)x()y,x( 0 == .
)x(0 est la dformation axiale de la fibre moyenne et )x( est la courbure de la dforme de la fibre moyenne. Ces deux quantits dfinissent les dformations gnralises de la poutre
plan moyen charge dans ce plan. Elles suffisent pour dcrire compltement l'tat de
dformation dans une section droite donne de la poutre.
Remarques:
L'hypothse d'Euler-Bernoulli entrane un glissement identiquement nul dans toutes les sections de la poutre. Cette hypothse semble contradictoire avec l'hypothse (H1) qui elle
prvoit une contrainte de cisaillement entre les fibres longitudinales de la poutre. Cette
contradiction n'est bien sr pas prsente lorsqu'on se contente de l'hypothse de Navier-
Bernoulli.
Mais remarquons l'intrt considrable que prsente cette hypothse puisqu'elle permet
d'liminer a priori l'inconnue du problme. Par ailleurs, comme on le verra dans la suite, l'valuation de la contrainte de cisaillement peut se faire par l'expression de l'quilibre d'un
domaine convenablement choisi de la poutre.
Par consquent, il ne faudrait pas mal interprter la consquence de l'hypothse d'Euler-
Bernoulli sur le cisaillement. Il faut entendre que cette hypothse montre que la dformation
de cisaillement est ngligeable sans fournir aucune information sur la contrainte de
cisaillement qui elle est value dans ce cas par des considrations d'quilibre. L'usage de
l'hypothse plus correcte et moins forte qui celle de Navier-Bernoulli ne fait que compliquer
le problme car elle introduit l'inconnue supplmentaire yu .
Dans l'expression de la dformation axiale, les drives des dplacements n'interviennent pas au mme ordre. Le dplacement axial est driv au premier ordre alors que le
dplacement transversal est driv au second ordre. Ceci a des consquences importantes sur
le comportement de la poutre, le phnomne de flambage par exemple est directement li ce
fait.
-
21
4. Reprsentation des dformations dans une section droite de la poutre
4.1 Cas o 0)x(0 = Dans ce cas le seul paramtre mesurant la dformation de la poutre est la courbure yu)x( = . Deux situations se prsentent selon que le signe de la courbure est positif ou bien ngatif.
Dans la suite, on analysera la concavit de la dforme de la poutre et l'tat des fibres
extrmes en fonction du signe de )x( au voisinage de x.
0)x(
)x(y)x( = et 0u y - la fibre suprieure ( 0y ) subit un raccourcissement - la fibre infrieure ( 0y ) subit un allongement - la dforme est convexe - diagramme des dformations allongement raccourcissement
0)x(
)x(y)x( = et 0u y - la fibre suprieure ( 0y ) subit un allongement - la fibre infrieure ( 0y ) subit un raccourcissement - la dforme est concave - diagramme des dformations allongement raccourcissement
Attention: le diagramme des dformations choisi par convention n'est pas le graphe de )x( en fonction de y.
Section avant dformation
Position actuelle de la
G = point neutre G = point
Section avant dformation
Position actuelle de la section
-
22
4.2 Cas o 0)x(0 et 0)x( = Dans ce cas le seul paramtre mesurant la dformation de la poutre est la dformation )x(0 . L'tat de dformation est uniforme sur la section.
0)x(0
)x()x( 0=
- toutes les fibres subissent le mme allongement - diagramme des dformations allongement raccourcissement
0)x(0
)x()x( 0= - toutes les fibres subissent le mme raccourcissement - diagramme des dformations allongement raccourcissement
Section avant dformation
Position actuelle de la sectionSection avant dformation
Position actuelle de la
-
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4.3 Cas o 0)x(0 et 0)x( Les diagrammes de dformation s'obtiennent dans ce cas par superposition des diagrammes prcdents. Il y a huit diagrammes diffrents suivant les signes de )x(0 , )x( et leur valeurs relatives.
Section entirement allonge
0)x(0 et 0)x(
Section partiellement allonge
0)x(0 et 0)x(
Section entirement allonge
0)x(0 et 0)x(
Section partiellement allonge
0)x(0 et 0)x(
Section entirement raccourcie
0)x(0 et 0)x(
Section partiellement raccourcie
0)x(0 et 0)x(
Section entirement raccourcie
0)x(0 et 0)x(
Section partiellement raccourcie
0)x(0 et 0)x(
-
24
Remarques
Remarque 1 Dans les cas 4.1 et 4.2, il suffit de connatre la dformation axiale d'un point de la section
pour dterminer entirement l'tat de dformation de toute la section. Par contre, dans le cas
4.3 les dformations de deux points diffrents de la section sont ncessaires pour caractriser
l'tat de dformation sur toute la section.
Remarque 2 Le point neutre de la section concide avec le centre de gravit de la section dans le cas 4.1
Le point neutre se trouve l'infini dans le cas 4.2
Le point neutre est soit un point matriel de la section, soit un point fictif se trouvant en
dehors de la section dans le cas 4.3. La recherche de la position du point neutre peut alors se
faire si l'on connat au moins la dformation d'un point de la section par simple application du
thorme de Thals.
5. Contraintes dans une section homogne forme d'un matriau lastique linaire
5.1 Contrainte normale
La contrainte de compression est suppose positive par convention. La loi de comportement
s'exprime alors par: )x(E)x( = . D'o:
[ ] )x(Ey)x(E)x(y)x(E)x( 00 +==
Comme E est suppos constant, l'tat des contraintes est aussi linaire sur la section. Soit S
l'aire de la section, en effectuant une intgration de )x( , puis de )x(y sur la section, on obtient
)x(ESdS)x(EydS)x(EdS)x()x(N 0SS
0S
=+== )x(EIdS)x(EydS)x(EydS)x(y)x(M
S
2
S0
S
=+==
-
25
D'o
EI)x(M)x(
ES)x(N)x(0
=
=
Finalement, il vient
yI
)x(MS
)x(N)x( +=
La convention sur la reprsentation du diagramme des dformations permet de choisir une
reprsentation similaire du diagramme des contraintes
Diagramme des dformations Diagramme des contraintes
allongement raccourcissement traction compression
5.2 Contrainte de cisaillement
L'hypothse (H2) implique l'existence d'une contrainte de cisaillement . Le calcul de cette contrainte par la loi de comportement lastique n'est pas possible dans le cadre de l'hypothse
d'Euler-Bernoulli (H3). Celle-ci montre en effet que le gauchissement de la section est nul.
Vu la remarque sur la faon d'interprter ce rsultat, ce qu'on nglige en fait c'est l'effet de
l'effort tranchant sur la dforme mais pas la sollicitation rsultant de l'effort tranchant.
Comment calculer alors dans ce cas? On revient aux quations d'quilibre. Remarquons qu'il suffit de considrer le cas de la flexion
simple (N = 0).
-
26
Soit un lment de la poutre dlimit par les section droites si et 11 si . Sous l'action de
0M , les contraintes normales s'appliquant sur l'lment ssii 11 sont celles reprsentes sur la figure 3.3.
Figure 3.3.
Considrons l'quilibre de l'lment hachur ffii 11 et faisons l'hypothse qu'aucune force ne
s'exerce sur 1ff . L'quilibre axiale de cet lment entrane
0dy)y(b)y,dxx(dy)y(b)y,x( 00 ywyw = +
Or
yI
dM)x(M)y,dxx(yI
)x(M)y,x( +=+=
D'o
0dyI
)y(bydM 0yw = 0dM = M constant
On est donc ncessairement en flexion pure. L'hypothse d'absence de force s'appliquant sur
1ff n'est donc valable qu'en absence d'effort tranchant.
G z
y y
x
f1 f
s1 s
i1 i
dx
M+dM M
w
v
-
27
Supposons maintenant qu'il y a prsence d'une contrainte de cisaillement uniforme sur 1ff .
Dans ce cas l'quilibre de l'lment ffii 11 s'crit:
0)y(bdy)y(b)y,dxx(dy)y(b)y,x( 0yw
yw
00 = +
D'o il vient
)y(bIV)y(H
dxdM
)y(bIdy)y(by
0
0Gz
0
yw0
==
Formule dite du cisaillement o )y(H 0Gz est le moment statique de l'aire hachure par
rapport l'axe Gz .
En appliquant la rciprocit des contraintes qui exprime simplement l'quilibre locale en
rotation, on obtient la distribution de la contrainte de cisaillement sur la section droite. La
contrainte exprime aussi bien le cisaillement qui s'exerce entre les diffrentes couches voisines de la poutre que celle qui s'exerce au mme point entre les sections droites voisines.
Introduisons maintenant la notion de section rduite en remarquant que la contrainte de
cisaillement peut aussi s'crire sous la forme
=)y(H
)y(bIV
0Gz
0
o le dnominateur admet la dimension d'une surface.
Par dfinition cette quantit s'appelle section rduite de cisaillement en 0y et l'on pose
=
)y(HS)y(bI
Mink0Gz
0y0
qui s'appelle facteur de correction de cisaillement de la section.
Ce facteur permet de calculer la contrainte tangente maximale s'exerant sur la section.
Remarque:
La distribution de la contrainte de cisaillement dite aussi contrainte tangente rsulte de trois
choses:
-
28
- hypothse de poutre plane plan moyen charge dans ce plan;
- hypothse sur la dformation de la poutre (H1) ou (H2);
- lasticit linaire.
Il existe des thories plus exactes obtenues par les quations de l'lasticit. Mais elles ne sont
valables que dans certains cas particuliers telle qu'une section carre par exemple. On montre
dans ce dernier cas que la contrainte de cisaillement maximale exacte est 1.13 fois plus grande
que la contrainte de cisaillement maximale calcule dans le cadre de la thorie de la coupure.
6. Contraintes dans une section htrogne o chaque couche est lastique linaire
Dans le cadre du gnie civil, on rencontre souvent des poutres composes de plusieurs
couches: poutre bimtallique, poutre sandwich, poutre renforce par des armatures. Il est donc
trs important de savoir dterminer les contraintes dans ce cas plus gnral que le prcdent et
de savoir comment homogniser la section afin de conduire des calculs rapides qui
transcrivent de certaine manire les formules vues pour une section homogne.
6.1 Section multi-couche en flexion simple
Dformations Contraintes
Figure 3.4.
Considrons un bi-couche constitu de deux phases lastiques linaires et homognes.
Supposons par exemple que 21 EE . Le diagramme des dformations passe par le point neutre qui sera dterminer dans la suite et qui n'a a priori rien voir avec le centre de gravit
gomtrique de la section. La dformation est suppose continue sur la section, ce qui
2
G 1
-
29
implique que la condition d'adhrence doit tre satisfaite au niveau de l'interface entre les
deux couches. Tout glissement relatif est donc cart par cette hypothse. La contrainte
normale prsente une discontinuit l'interface, cette discontinuit est quilibre par une
contrainte tangente localise au niveau de l'interface qui rsulte de l'adhrence.
Le point neutre par dfinition est le point o la dformation axiale est nulle. Il correspond
donc au point o la contrainte axiale est nulle.
Exprimons d'abord l'quilibre axiale de la section en utilisant comme origine des ordonnes le
centre de gravit gomtrique de la section. Il vient alors
0dS)y,x(dS)y,x(21 S
2S
1 = +
Compte tenu du fait que
y)x(E)x(E)y,x(
y)x(E)x(E)y,x(
2G22
1G11
+=+=
,
on obtient
0dSy)x(E)x(SEdSy)x(E)x(SE21 S
2G22S1G11=++
soit
)x(dSyEdSyE
SESE)x( GS2S1
2211
21
++=
d'o
0)y,x( = 0y)x()x(G = 2211
S2S1GN SESE
dSyEdSyE
)x()x(
yy 21 ++=
==
Finalement l'axe neutre est donn par son ordonne
2211
2211N HESE
HEHEy ++=
-
30
Remarque
Si au lieu de choisir le point G comme origine, on avait choisi un autre point de rfrence, la
formule ci-dessus reste valable condition de calculer les moment statiques de 1S et 2S par
rapport au nouvel axe horizontal passant par la nouvelle origine.
Choisissons maintenant comme origine le point neutre et calculons le moment de flexion.
)x()IEIE(dSy)y,x(dSy)y,x(M 2211S2
S
1
21
+=+=
d'o
2211 IEIEM)x( +=
et la contrainte normale est donne par les relations
1212
2
2121
1
I)E/E(IMy)y,x(
I)E/E(IMy)y,x(
+=+=
appeles formules de flexion dans une poutre composite.
En posant 21 EE = , on rcupre bien sr le cas la formule d'une poutre section homogne. Il est facile de gnraliser ces relations lorsque la section est un multi-couche sous flexion
simple. Dans ce cas, on a pour la position de la fibre neutre
==
=Nc
1iii
Nc
1iii
NSE
HEy
et pour la contrainte dans la ime couche
+=
=Nc
ij,1jjiji
i
I)E/E(I
yM)y,x(
-
31
6.2. Notion de section homognise (dite aussi section transforme)
Nous ne nous intressons dans la suite qu'au cas du bi-couche. Posons
1
2
EEn =
appel par dfinition coefficient d'quivalence du matriau 2 para rapport au matriau 1 ou
simplement rapport modulaire. Alors
21
21N SnS
HnHy ++= et
e
2
e
1
IyMn
IyM
=
=
o 21e InII += est par dfinition le moment d'inertie quivalent de la section.
L'homognisation de la section bi-couche en le matriau 1 permet donc d'utiliser, pour le
calcul de la contrainte dans le matriau 1, la mme expression que dans le cas de la section
homogne mais condition d'utiliser la grandeur homognise: moment d'inertie quivalent.
Le calcul de la contrainte dans le matriau 2 se fait par multiplication de l'expression
prcdente par le coefficient d'quivalence n. Tout se passe en fait dans ce dernier cas comme
si l'on avait multipli au droit du matriau 2 la largeur de la section par n.
Une opration d'homognisation peut trs bien tre effectue de manire analogue par
rapport au matriau 2. Dans la pratique, on prfre cependant homogniser toujours par
rapport au matriau de plus faibles performances.
Dans le cas particulier o le matriau 2 est fragile (ne supportant aucune traction), n = 0 et on
vrifie simplement par les formules ci-dessus que 02 = alors que l'expression de 1 n'est pas affecte par l'homognisation du fait que la participation du matriau 2 est ngligeable.
-
32
7. Contraintes principales
Les contraintes principales s'obtiennent par rsolution de l'quation caractristique
0=
D'o
02
4
02
4
22
1
22
1
++=
+=
En tout point de la poutre, il existe donc une contrainte principale de traction 1 et une contrainte principale de compression 2 . Les directions principales s'obtiennent par les angles qu'elles froment avec l'horizontale respectivement 1 et 2 dtermins par
+=
++=
24)tan(
24)tan(
22
2
22
1
expressions qui restent valables mme lorsque 0= car dans ce cas 21 = et 02 = s'obtiennent par passage la limite.
Cas remarquables:
contrainte normale nulle (fibre neutre par exemple)
0= { }{ }4;4;
21
21
====
-
33
contrainte de cisaillement nulle (fibres extrmes par exemple)
0= { }{ }0;2;0
21
21
====
Nous nous proposons maintenant d'analyser l'tat de contrainte en diffrents points de la
poutre e la figure 3.5 suppose ici soumise la flexion simple avec un moment 0M .
Figure 3.5.
Le tableau suivant donne l'tat de contrainte selon les axes du repre et dans le repre des
contraintes principales. On reprsentera une contrainte par une flche laquelle lorsqu'elle est
dirige vers la facette reprsente une compression et lorsqu'elle fuit la facette reprsentera une
traction. Les rsultats sont qualitatifs et ne tiennent pas compte de l'intensit des contraintes.
Point s Point 1f Point N Point 2f Point i
Facettes parallles
aux axes
Facettes principales
i
s
x
f1 N
f2
-
34
Il est possible de dterminer les trajectoires des contraintes dfinies comme tant les lieux des
points d'gales contraintes principales analytiquement, mais le diagramme ci-dessus permet
de les obtenir qualitativement de manire trs rapide.
Figure 3.6.
Compression
Traction
-
35
CHAPITRE 4:
Rglements de calcul du bton arm 1. But
- Prsenter les rgles de calcul (rglements) du bton arm actuellement en usage au Maroc;
- Prsenter les combinaisons d'actions;
-Prsenter quelques rgles professionnelles (Documents Techniques Unifis) et quelques
normes (Normes Franaises) permettant le calcul des actions.
2. Rgles de Calcul
2.1 Un peu d'histoire
C'est en 1848 qu'on a imagin en Allemagne d'associer intimement un rseau de barres d'acier
et du bton de ciment; ainsi un nouveau matriau est n.
En 1897 on a donn l'Ecole Nationale des Ponts et Chausses le premier cours concernant ce
matriau. Le bton arm dispose alors des premires bases de calcul permettant l'utilisation
rationnelle de ce matriau. Signalons titre de comparaison que dans la mme dcennie on a
dcouvert l'lectron en 1894 et la radioactivit en 1898.
En 1906 est apparu le premier rglement officiel franais sur le bton arm.
Avant l'avnement du bton arm on savait parfaitement matriser les constructions en
charpente mtallique ou en maonnerie comme en tmoignent les diffrents monuments
historiques: Tour Eiffel, Pyramides...Mais le bton arm a rvolutionn la technologie de
construction en apportant lgret et robustesse.
2.2 Principe du bton arm
Dans la plupart des structures, certaines parties sont soumises des contraintes de
compression et d'autres des contraintes de traction. Or le bton est un matriau qui rsiste
fort bien en compression mais trs mal en traction, alors que l'acier y rsiste trs bien. D'o
l'ide de placer des barres d'acier dans les zones o se produisent des efforts de traction
-
36
diriges dans le sens de ces efforts; on pourra donc voir apparatre dans ces zones des micro
fissures du bton sous l'effet des contraintes de traction mais les aciers empcheront les
fissures de s'ouvrir et prendront seuls leur compte les efforts de traction. Le bton arm
travaille en tant fissur!
2.3 Fonctionnement du bton arm
a) Flexion
Considrons la poutre porte faux en bton non arm de la figure 4.1 qui soumise
l'action de deux forces concentres 1P et 2P . La poutre subit la rupture totale comme le
montre la figure 4.2.
Figure 4.1.: Poutre porte faux Figure 4.2: Rupture totale de la poutre
en bton non arm
Considrons prsent la mme poutre mais arm par des barres disposes longitudinalement
comme le montre la figure 4.3. Les armatures empchent l'ouverture des fissures et travaillent
en traction pour quilibrer le moment de flexion, figure 4.4.
Figure 4.3: Mme poutre arme Figure 4.4: Les armatures empchent
les fissures de s'ouvrir
Il en rsulte que pour reprendre la flexion, il suffit de disposer des armatures longitudinales.
P2 P1 P2 P1
P2 P1 P2 P1
-
37
b) Effort tranchant
Considrons la poutre de la figure 4.5 arme par des barres longitudinales supposes
suffisantes pour reprendre la traction due la flexion. Le fait que le moment de flexion soit
constant dans la zone entre les deux appuis permet de choisir des barres de section constante.
Figure 4.5: Poutre deux porte Figure 4.6: Des fissures inclines
faux o45 se dveloppent
Lorsque aucune armature n'est prvue pour reprendre la traction due l'effort tranchant qui
apparat dans les deux porte faux, il y a rupture cause des fissures qui se dveloppent selon
des directions orthogonales la contrainte principale de traction. La figure 4.6 montre les
fissures cres et la rupture par dtachement des porte faux. Une faon pour reprendre cette
traction consiste disposer des armatures transversales; on dit que l'on ralise la couture de la
section. Lorsque les deux types d'armatures sont disposs par exemple dans le cas d'une
poutre isostatique afin de supporter un chargement uniforme, on obtient le plan de ferraillage
de principe de la figure 4.7.
Figure 4.7: Schma de principe de ferraillage d'une poutre
Remarque
Les exemples prcdents permettent de voir que les armatures ne sont pas choisies au hasard.
Leur disposition n'est pas quelconque. Les techniques de ferraillage ont atteint actuellement
P P P P
Armatures de montage Armatures transversales
Armatures longitudinales
-
38
l'tat de l'art. Elles rpondent de manire satisfaisante au problme fondamental de calcul des
structures en bton arm qui peut se formuler de la faon suivante:
Comment dimensionner le coffrage ou section du bton et calculer la section d'armatures
pour reprendre les efforts appliqus en assurant la scurit et la durabilit de l'ouvrage?
3. Le calcul aux tats limites Pourquoi?
3.1 Le CCBA 68
Le CCBA68 utilise le calcul aux contraintes admissibles. Une contrainte admissible est la
contrainte de rupture du matriau affecte d'un coefficient de scurit.
Ce mode de calcul o l'on procde par limitation des contraintes dans le bton et dans l'acier
utilise la thorie de l'lasticit. Son usage est apparu au dbut du 20me sicle et il s'est
prolong jusqu'au dbut des annes 80.
Le CCBA 68 limite les contraintes de la faon suivante:
bton 10028 x la rsistance moyenne de rupture 90 jours
acier 10060 x la limite lastique
Les contraintes de comparaison sont calcules en supposant le cas de charge le plus
dfavorable pour l'lment concern. On suppose que les charges sont exactement prvues.
La notion de scurit est lie la rsistance intrinsque des matriaux.
3.2 Les BAEL 80,83 et 91
Ce qui caractrise les BAEL par rapport aux rglements antrieurs de bton arm c'est le fait
que la notion de scurit a volu et on cherche intgrer d'autres facteurs d'inscurit tels
que:
- la valeur la plus probable des charges permanentes;
- la valeur des charges variables avec une probabilit de dpassement;
- l'aspect dfavorable ou favorable des ces charges;
- l'approximation du calcul des sollicitations;
-
39
- les dfauts gomtriques;
- la fissuration plus ou moins prjudiciable...
On applique individuellement un coefficient de scurit 1> chaque type de charge. Le coefficient varie en sens contraire du degr de fiabilit avec laquelle la charge est connue. Il dpend de l'tat limite considr.
Un tat limite est par dfinition celui pour lequel une condition requise d'une construction (ou
d'un des ses lments) est strictement satisfaite et cesserait de l'tre en cas de modification
dfavorable d'une action.
On distingue:
- les tats limites ultimes qui correspondent la valeur maximale de la capacit portante vis
vis de l'quilibre statique, de la rsistance de la structure ou d'un de ses lments et de la
stabilit de forme;
- les tats limites de service qui constituent les frontires au del desquelles les conditions
normales d'exploitation et de durabilit de la construction ou de l'un de ses lments ne sont
pas satisfaites concernant par exemple l'ouverture excessive des fissures, les dformations
excessives des lments porteurs, les vibrations inconfortables pour les usagers, etc...
La notion de scurit est matrise par une approche semi-probabiliste du problme travers les tats limites.
3.3 Les Eurocodes
Les Eurocodes ont t dits par la commission de rglementation de l'union europenne dans
un effort d'harmonisation des diffrents rglements en vigueur dans les tats membres. Le
BAEL version 83 a volu une premire fois en 1991 puis il a t modifi en 1998 pour
devenir conforme aux directives europennes.
La collection complte des Eurocodes structuraux comprend actuellement neuf volumes:
- Eurocode 1: bases du calcul et actions sur les structures;
- Eurocode 2: calcul des structures en bton;
- Eurocode 3: calcul des structures en acier;
- Eurocode 4: calcul des structures mixtes acier-bton;
- Eurocode 5: calcul des structures en bois;
-
40
- Eurocode 6: calcul des structures en maonnerie;
- Eurocode 7: calcul gotechnique;
- Eurocode 8: rsistance des structures aux sismes;
- Eurocode 9: calcul des structures en Aluminium.
L'Eurocode 1 (1991) dfinit les principes gnraux de la conception et du calcul des ouvrages
et impose ces rgles aux autres Eurocodes. Il dfinit:
- les concepts d'tats limites ultime et de service;
- la notion de situation de calcul;
- les principes de dtermination des valeurs de calcul des charges et des proprits des
matriaux;
- le vocabulaire commun tous les Eurocodes.
Les autres Eurocodes sont en principe indpendants les uns des autres, sauf le 8, qui complte
les Eurocodes de 2 9 pour la justification des ouvrages en zone sismique. L'interaction sol-
structure fait aussi intervenir le 7 avec un autre Eurocode.
Parmi les points de dmarcation par rapport aux BAEL, il faut citer:
- l'interaction sol-structure;
- le calcul non linaire (notion de rserve plastique et degr d'imperfection);
- la possibilit d'utiliser la mthode de lments finis.
3.4 Motivations pour le choix du BAEL 91
Au Maroc il y a une circulaire (6019 TPC72) qui date de 1972 et qui dit que tout rglement en
vigueur en France est applicable au Maroc. Cette circulaire donne donc le choix d'utiliser au
Maroc l'un des diffrents rglements adopts en France.
En ce qui nous concerne, les Eurocodes sauf le 3 sont encore en phase exprimental et n'ont
pas un caractre obligatoire mme dans les pays o il devraient rentrer en vigueur. C'et top tt
pour les appliquer au Maroc l'exception toutefois de l'Eurocode 3 car l'ancien rglement de
calcul en construction mtallique (le CM66) a t reconnu insuffisant et dangereux!
Par ailleurs le CCBA 68 ne permet pas d'apprhender la notion de scurit de manire
satisfaisante comme il a tendance aussi privilgier l'conomie de l'acier par rapport au bton.
C'tait vrai avant les chocs ptroliers o le ciment ne cotait pas cher; aujourd'hui les choses
sont diffrentes.
-
41
Dans un souci d'tre moderne et efficace, on a fix dans le cadre de ce cours le choix sur le
dernier rglement en vigueur en France le BAEL 91 modifi 99 car il intgre de manire
complte et fiable la notion de scurit et il n'est pas vraiment trs diffrent dans le fonds des
Eurocodes qui reprsentent le futur proche!
4. Domaine d'application du BAEL 91
Le BAEL 91 s'applique aux ouvrages en bton arm o le bton est constitu de granulats
naturels normaux et dont le dosage en ciment est au moins de 300 400 3m/Kg .
On distingue:
- les constructions courantes: charges d'exploitation modres 2m/kN5etg2q ; cas des btiments o le BAEL seul suffit;
- les constructions industrielles: usines, entrepts,... 2m/kN5oug2q > pour lesquels le BAEL est associ aux rgles gnrales telles que celles concernant les effets dynamique et les
vibrations;
- les constructions spciales: ponts, barrages, rservoirs,... pour lesquels le BAEL est associ
aux rgles gnrales et o un degr de spcialisation avanc est exig.
5. Le calcul des sollicitations
5.1 Textes dfinissant les actions
Les actions ou sollicitations qui s'appliquent sur un ouvrage sont dfinies par des textes qui
font l'objet de normes, de rgles professionnelles ou simplement de recommandations. On
donne ci-dessous les textes qui dfinissent les actions les plus courantes:
- Charges permanentes: Norme NFP06-004.
- Charges d'exploitation: Norme NFP06-001 par dfaut ou CPT (cahier des
prescriptions techniques) du matre d'uvre.
- Sismes: Rglement parasismique marocain (RPS 2000) (dcret
22/02/2002)
- Actions climatiques: CPC marocain; cahier des prescriptions communes pour
le calcul des surcharges dues au vent;
DTU Rgles NV 65 (rvision N84).
-
42
- Temprature: DTU 23-1 ( 510= ). - Retrait: DTU 22-1.
- Action d'un incendie: DTU 80 (rvision 1987).
- Charges diverses: Mthodes d'excution (Etais pour supporter des
planchers) DTU 21;
Charges d'preuve;
Explosion;
Impact d'un avion (Centrale Nuclaire);
Rservoirs sous pression;
- Action du sol et de l'eau: Rgles professionnelles.
- Vibrations: Rgles professionnelles machines tournantes;
Rgles professionnelles surcharges routires.
5.2 Nature des actions: (A3)
a) Actions permanentes (symbole G)
1G : poids propre des lments porteurs (BA + maonnerie);
2G : poids des autres lments de la construction;
3G : force exerce par la pousse des terres;
4G : dformations diffres dans le temps (retrait, fluage).
b) Actions variables (symbole Q)
1Q : charges d'exploitation dite de base (notes BQ pour les planchers btiment et rQ pour
les ponts, Fascicule 61, titre II);
2Q : charges climatiques
- action du vent (W)
- action de la neige (Sn);
3Q : action de la temprature climatique (T uniforme, 510= coefficient de dilatation);
4Q : actions appliques en cours de construction (dpt de matriaux);
-
43
prcQ : action 4Q connue;
praQ : action 4Q alatoire;
prQ : action 4Q exceptionnelle;
: gradient thermique; AF : action accidentelle.
5.3 Evaluation des charges permanentes
cf. extrait NFP06-004
5.4 Evaluation des charges d'exploitation
cf. extrait NFP06-001
6. Principe de calcul des sollicitations pour les lments courants des structures BA ( B1-B9)
- Isoler l'lment de structure BA considr;
- Faire l'inventaire des actions permanentes et variables;
- Calculer les sollicitations dans les sections critiques;
N, V, M MuM = aux ELU et MserM = aux ELS.
On dsigne par
maxG : l'ensemble des actions permanentes dont l'effet est dfavorable pour la justification
d'un lment donn;
minG : l'ensemble des actions permanentes dont l'effet est favorable.
Remarques:
le poids propre d'une poutre continue est pris en compte sur toute sa longueur. Ce poids ne peut pas tre partag entre maxG et minG ;
dans le cas d'un mur de soutnement on partage l'action du remblai en poids du remblai ( minG ) et pousse des terres ( maxG ).
-
44
6.1 Combinaisons fondamentales aux ELU
La combinaison fondamentale fait intervenir les actions permanentes et variables l'exclusion
des actions accidentelles. Sous forme symbolique, elle s'crit:
+++i
ioi1Qminmax Q3.1QGG35.1 1
5.11Q
= dans le cas gnral, 35.11Q
= pour la temprature, les convois militaires et exceptionnels, les btiments agricoles.
Les coefficients relatifs aux charges d'exploitation sont fixs par l'annexe 1 la norme NFP06-001.
=etempraturladeuniformesaitionsvar60.0
archivesetentstationnemdeparcs90.0neigeetvent,parkings,archivesdesexception'llocauxlestous77.0 *
0
* multiplier par 1.1 si l'altitude > 500 m et l'action de base et la neige.
6.1.1 Cas des btiments (D2.2.1)
a) situation d'excution (8 cas en gnral)
C1: ( ) praprcmin
prcmax Q5.1QG
QG35.1 ++
+
C2: ( ) W3.1Q5.1QG
QG35.1pra
prcmin
prcmax +++
+
C3: ( ) W5.1QG
QG35.1
prcmin
prcmax ++
+
C4: ( ) praprcmin
prcmax Q3.1W5.1QG
QG35.1 +++
+
-
45
b) situation d'exploitation (38 cas en gnral)
C1: T8.0
0Q5.1
GG35.1
Bmin
max ++
C2: T8.0
0WQ5.1
GG35.1
Bmin
max +++
C3: T8.0
0SnQ5.1
GG35.1
Bmin
max +++
C4: T8.0
0SnWQ5.1
GG35.1
Bmin
max ++++
C5: T8.0
0W5.1
GG35.1
min
max ++
C6: T8.0
0QW5.1
GG35.1
Bmin
max +++
C7: T8.0
0SnW5.1
GG35.1
min
max +++
C8: T8.0
0QSn5.1
GG35.1
Bmin
max +++
C9: T8.0
0WSn5.1
GG35.1
min
max +++
C10: Bmin
max QWT5.1G
G35.1 +++
-
46
6.1.2 Planchers (B6.1.21-B6.1.23)
a) Charges permanentes + charges d'exploitation
sans porte--faux
traves charges traves dcharges
1er cas BQ5.1G35.1 + 1.35 G 2me cas BQ5.1G + G
poutre prolonge par un porte--faux
1er cas
2me cas
3me cas
4me cas
5me cas
BQ5.1G + G
BQ5.1G35.1 + BQ5.1G35.1 +
G35.1 BQ5.1G35.1 +
BQ5.1G35.1 + G35.1
G BQ5.1G +
-
47
b) Charges permanentes + charges d'exploitation + vent
traves charges traves dcharges
1er cas BQ5.1G35.1 + 1.35 G 2me cas BQ5.1G + G 3me cas WQ5.1G35.1 B ++ 1.35 G + W 4me cas WQ5.1G B ++ G + W 5me cas B0Q3.1W5.1G35.1 ++ 1.35 G +1.5 W 6me cas B0Q3.1W5.1G ++ G +1.5 W
c) Charges permanentes + charges d'exploitation + neige
Remplacer W par Sn dans le tableau prcdent.
6.1.3 Poteaux: charges permanentes + charges d'exploitation + vent (B8.2.12)
1er cas BQ5.1G35.1 + 2me cas* WQ5.1G35.1 B ++ 3me cas* B0Q3.1W5.1G35.1 ++ 4me cas* W5.1G +
* uniquement si le poteau fait partie d'un systme de contreventement.
6.2 Combinaisons accidentelles aux ELU (A3.3.22)
Sous forme symbolique ces combinaisons s'crivent:
++++i
ii2111Aminmax QQFGG
AF : est une action accidentelle qui peut tre un sisme par exemple;
i211 , : correspondent respectivement aux valeurs frquentes et quasi-permanente d'une autre action.
-
48
Dans le cas des btiments courants soumis un sisme, on prend la combinaison:
Sn10.0Q77.0EG +++
G: poids propre et actions permanentes de longue dure;
E: action du sisme y compris le cas chant l'action dynamique latrale des terres.
6.3 Combinaisons d'actions aux ELS
Les sollicitations rsultent de la combinaison:
+++i
ii01minmax QQGG
Dans le cas des btiments (D2.2.2), on distingue:
a) situation d'excution (16 cas en gnral)
C1: W0
QQGQG
praprcmin
prcmax ++++
C2: praprcmin
prcmax
Q3.10
WQGQG +++
+
C3: praprcmin
prcmax
Q3.10
TQGQG +++
+
C4: praprcmin
prcmax
Q3.10
QG)QG(35.1 +++
+
-
49
b) situation d'exploitation (16 cas en gnral)
C1: Bmin
max QGG +
C2: W77.0QGG
Bmin
max ++
C3: WGG
min
max +
C4: B
B
min
max
Q90.0Q77.0
WGG ++
C5: SnGG
min
max +
C6: B
B
min
max
Q90.0Q77.0
SnGG ++
6.4 Combinaisons l'ELUES
On tudie l'quilibre statique avec:
BQ5.1G + G9.0
-
50
6.5 Dgression des charges d'exploitation en fonction du nombre d'tages (n > 5)
Cette dgression est applicable pour le calcul des lment porteurs de la structure: fondations,
murs, poteaux, etc.
Charges identiques
Q...QQ 21 === 00 Q=
QQ01 += Q9.1Q02 += Q7.2Q03 += Q4.3Q04 +=
5nQ2
n3Q0n
++=
Charges diffrentes
iQ
00 Q= 101 QQ +=
)QQ(95.0Q 2102 ++= )QQQ(90.0Q 32103 +++=
)QQQQ(85.0Q 432104 ++++=
5nQn2n3Q
n
1ii0n
++=
=
0Q : valeur de rfrence de la charge d'exploitation pour le toit ou la terrasse
iQ : valeur de la charge d'exploitation pour le plancher de l'tage i, la numrotation tant
effectue du haut vers le bas.
0Q
1Q
2Q
3Q
4Q
nQ
-
51
-
52
-
53
CHAPITRE 5:
Bton et Aciers: caractristiques rglementaires
1. But
Indiquer les caractristiques du bton et des aciers telles qu'elles sont ncessaires pour
l'application des rgles de calcul BAEL 91 (ce n'est pas un cours de matriaux).
2. Le bton
2.1 Rsistance caractristique en compression
2.1.1 Cas o l'on effectue des essais de contrle sur chantier
La rsistance caractristique est dtermine partir d'essais effectus sur des prouvettes
cylindriques de diamtre cm16= et de hauteur cm32h = . Les prouvettes sont conformes la norme NFP18-400. Elles sont confectionnes et essayes suivant le mode opratoire des
normes NFP18-404 et NFP18-406. L'essai est un crasement en compression centre. La plus
grosse dimension des granulats mm40cg (Si 40cg > , alors cg25> ). L'exploitation des essais pour valuer la rsistance caractristique cjf est dfinie dans
l'instruction technique relative au contrle de la qualit des btons (15 janvier 1979). Dans les
cas les plus courants, cette instruction se rsume de la faon suivante:
Soient
n: le nombre de prlvements (la valeur pour un prlvement tant la moyenne de trois
prouvettes);
mincf : la plus faible valeur trouve pour les n prlvements;
cjf : valeur moyenne des n prlvements;
la rgle de conformit est la suivante:
si 3n , alors { } )MPa(3f;7.2finff minccjcj + si 15n , on calcule l'cart type
1n)ff( 2cjcj
= et
{ } )MPa(3f;2.1finff minccjcj +
-
54
Sauf stipulation du contraire l'ge fix pour les essais de contrle est fix j = 28 jours.
2.1.2 Cas o l'on n'effectue pas d'essais de contrle
On admet a priori le valeurs approximatives suivantes:
Qualit du bton Dosage en ciment 28cf (MPa) 28cf (MPa) 28tf (MPa)
Bton faible
rsistance 300 3m/Kg 20 25 16 1.6
Bton courant 350 3m/Kg 25 30 20 1.8
Bton de haute
rsistance 400 3m/Kg 30 35 25 2.1
Bton de rsistance
exceptionnelle 400 3m/Kg + adjuv. 35 40 30 2.4
Remarque:
On estime en fait que l'cart type est situ entre 2 et 5 MPa.
2.1.3 Rsistance un ge jours28j (A.2.1.1.1)
si j < 28 jours,
28ccj fj83.076.4jf += pour MPa40f 28c
28ccj fj95.040.1jf += pour MPa40f 28c > (BAEL modifi 99)
si 28< j < 60 jours, 28ccj fj83.076.4jf +=
si j (j > 60 jours), 28cc f1.1f =
-
55
2.2 Rsistance caractristique en traction (A.2.1.1.2)
Elle est dfinie conventionnellement pour les valeurs de MPa60fcj l'age j jours par:
cjtj f06.06.0f += (MPa)
2.3 Contraintes limites l'tat limite ultime (ELU)
La contrainte limite ultime du bton en compression est:
cjb
bu f85.0f =
avec 5.1b = en gnral et 15.1b = dans le cas de combinaisons accidentelles. est le coefficient d'application de la charge:
1= si la dure est > 24 h; 9.0= si h24dure1 ; 85.0= si h1dure .
La contrainte ultime de cisaillement est, avec des armatures transversales droites:
{ }5;f13.0inf cju = (MPa) cas normaux
{ }4;f10.0inf cju = (MPa) en fissuration prjudiciable et trs prjudiciable
2.4 Contrainte limite l'tat limite de service (ELS)
cjbc f60.0=
-
56
2.5 Diagramme contraintes-dformations
ELS (modle lastique linaire)
ELU (diagramme parabole-rectangle)
2.6 Modules d'lasticit (A.2.1.2)
1.6.1 Sous charges instantanes (< 24 h)
( ) 3/1cjij f11000E = (MPa)
1.6.1 Sous charges diffres (de trs longue dure)
( ) 3/1cjvj f3700E =
2.7 Retrait
Pour les pices de dimensions courantes l'air libre:
44 10.510.4r == rgions trs sches ou dsertiques
410.3r == rgions mditerranennes
2 0/00 3.5 0/00
fbu
bc
bc
bcbE bc
bc bc
-
57
2.8 Coefficient de Poisson (A2.1.3)
0= l'ELU et 20.0= l'ELS.
3. Les aciers (A.2.2)
Les valeurs de limite lastique sont les mmes en traction et en compression.
Deux grands types d'armatures sont disponibles sur le march : les ronds lisses (RL) et les
armatures haute adhrence (HA).
Quand les armatures sont soudes entre elles sous forme de quadrillage elles forment le
panneau de treillis soud, voir documentation Association technique pour le Dveloppement
de lEmploi du Treillis Soud (ADETS).
3.1 diamtres des armatures
Les diamtres normaliss darmatures courantes sont :
(HA): 6 8 10 12 14 16 20 25 32 40 [mm]
(RL): 6 8 10 12
Sections totale d'acier en cm2
Diamtres Masse kg/m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 106 0,222 0,28 0,57 0,85 1,13 1,41 1,70 1,98 2,26 2,54 2,838 0,395 0,50 1,01 1,51 2,01 2,51 3,02 3,52 4,02 4,52 5,03
10 0,617 0,79 1,57 2,36 3,14 3,93 4,71 5,50 6,28 7,07 7,8512 0,888 1,13 2,26 3,39 4,52 5,65 6,79 7,92 9,05 10,18 11,3114 1,210 1,54 3,08 4,62 6,16 7,70 9,24 10,78 12,31 13,85 15,3916 1,580 2,01 4,02 6,03 8,04 10,05 12,06 14,07 16,08 18,10 20,1120 2,466 3,14 6,28 9,42 12,57 15,71 18,85 21,99 25,13 28,27 31,4225 3,850 4,91 9,82 14,73 19,63 24,54 29,45 34,36 39,27 44,18 49,0932 6,313 8,04 16,08 24,13 32,17 40,21 48,25 56,30 64,34 72,38 80,4240 9,864 12,57 25,13 37,70 50,26 62,83 75,40 87,96 100,53 113,09 125,66
3.2 Nuances
Il existe 4 nuances principales qui correspondent des qualits de limite lastique et de
rsistance diffrentes. C'est la limite lastique garantie ef qui sert de base aux calculs
justificatifs selon le BAEL 91.
-
58
Nuance ef (MPa) Contrainte de
rupture R (MPa) Allongement de
rupture %
FeE215 215 330 490 22 RL
FeE235 235 410 490 22
FeE400 400 480 14 HA
FeE500 500 550 12
3.3 Diagramme dformations-contraintes (A.2.2.2)
3.4 Module d'lasticit
MPa200000Es =
3.5 Contraintes limites
3.5.1 ELU
s
esu
ff =
avec 15.1s = (cas courants) et 1s = (combinaisons accidentelles)
-fsu
10 0/00
fe
s
s
fE
e
s
-10 0/00
fsu Courbe caractristique
Courbe de calcul
-
59
3.5.2 ELS
es f= fissuration peu prjudiciable
= tjes f110;f3
2inf (MPa) fissuration prjudiciable
= tjes f90;f2
1inf (MPa) fissuration trs prjudiciable ( 8> )
est le coefficient de fissuration: 1= pour les RL, 6.1= pour les HA ( mm6 ) et 3.1= pour les HA ( mm6
-
60
CHAPITRE 6:
Etat limite ultime de rsistance (ELUR) 1. But Dterminer l'armature longitudinale selon le principe des justifications du BAEL 91
(article A4.3)
2. Hypothses de calcul (BAEL A 4.3.2)
(H1) Le diagramme de dformation est linaire; les dformations normales (allongements
ou raccourcissements) sont donc proportionnels en chaque point d'une section
donne la distance de ce point l'axe neutre.
(H2) La rsistance du bton la traction est suppose nulle.
(H3) Chaque armature subit la mme dformation normale que la gaine de bton qui
l'entoure; il n'y a pas de glissement relatif et l'adhrence est parfaite.
(H4) Le raccourcissement ultime du bton est:
5,3bu = en flexion 2bu = en compression centre
(H5) L'allongement ultime des armatures est limit 10su = .
(H6) Le diagramme des dformations limites d'une section passe par l'un des trois pivots A,
B ou C; les dformations l'ELUR suivent "la rgle des trois pivots" .
-
61
Remarque:
Les hypothses prcdentes sont de nature rglementaire. Il n'y a pas lieu de les justifier par
des considrations thoriques ou mme des corrlations exprimentales.
Si l'on veut maintenant comprendre ces hypothses, il faut savoir qu' l'ELUR. on limite
volontairement la dformation en compression du bton et la dformation des armatures. Ce
qui rend la scurit plus sr. En effet, les courbes de comportement rel prsentent des paliers
de contrainte et il est moins sr de limiter cette dernire. D'autre part, la distinction entre un
tat de flexion et de compression centr provient du fait que dans le premier le diagramme des
dformations est linaire et tous les points de la section ne sont pas soumis la mme
dformation ( il y' a donc une certaine rserve) alors que dans le deuxime cas tous les points
de la section subissent la mme dformation normale (situation plus critique que la
prcdente).
L'hypothse (H3) est trs importante car le principe mme d'une structure en bton arm
suppose l'existence d'un tat parfait d'adhrence entre le bton et les armatures. On verra plus
loin que des dispositions spciales concernant l'ancrage des armatures doivent tre prises pour
assurer la validit de cette hypothse.
2. Rgles des trois pivots (BAEL A 4.3.3)
Dans le calcul l'ELUR, les diverses positions que peut prendre le diagramme des
dformations de la section passent par l'un des pivots A, B ou C; l'intrieur ou la frontire
des domaines reprs (1), (2), (3) sur la figure 9.1.
Les notations utilises sont:
h: hauteur totale de la section
d: hauteur utile de la section en flexion simple
sA : section des aciers tendus
Dans la suite, on dsignera par uY , la distance entre la fibre suprieure et la fibre neutre et on
posera:
dYu
u =
-
62
Figure 6.1: Diagramme des trois pivots
3. Analyse du diagramme des dformations limites d'une section
3.1 Pivot A - domaine (1)
Caractrisation
ooost /10= et ooobc /5.30 l'ELUR est atteint par les armatures
Modes de sollicitations et type d'lments concerns
traction simple (tirant) section entirement tendue en flexion compose (tirant) section partiellement comprime en flexion simple ou compose (poutre ou tirant)
C
Section avant dformation
(3)
(2)
(1)
C'
As
B'
B A'
A
d h 4h / 7
3h / 7
Raccourcissement Compression
Allongement Traction
-
63
On distingue trois sous domaines:
(1a) - le diagramme de dformation concide avec la frontire AA', auquel cas le bton est
entirement tendu sous la traction simple;
(1b) - le diagramme de dformation est situ entre les frontires AA' et OO' pour lequel la
section est dans un tat de flexion compose et le bton est entirement tendu;
(1c) - le diagramme de dformation est situ entre les frontires OO' et AB pour lequel la
section est dans un tat de flexion simple et le bton est partiellement comprim.
Il est utile de dterminer en fonction de *u la limite entre les domaines (1b) et (1c). Le thorme de Thals permet d'crire:
10Yd
5.3Y *u
*u =
soit en divisant les deux membres par d et aprs rarrangement,
2593.0277
5.3105.3*
u =+= d2593.0Y*u =
b1
A )/5.3(B ooo O
O )/10(A oo
o
*uY
d h a1
1
-
64
Il vient alors la caractrisation des trois sous domaines prcdents sous la forme:
=u le domaine actif est le domaine (1a) 0u le domaine actif est le domaine (1b)
2593.00 *uu = le domaine actif est le domaine (1c)
Le pivot A correspond donc 2593.0u .
3.2. Pivot B - domaine (2)
Caractrisation
Ce domaine correspond un diagramme de dformation qui satisfait simultanment
5.3bu = dans la fibre suprieure de la section et 10su dans les aciers tendus.
Modes de sollicitations et type d'lments concerns
L'ELUR est atteint par le bton en flexion est la section est partiellement comprim en flexion
simple ou en flexion compose (cas gnral des poutres)
*uY
2
b2
)/5.3(B ooo O
O )/10(A oo
o
d h
a2 c2
-
65
On distingue l aussi trois sous domaines remarquables:
(2a) - la dformation dans les aciers tendus dpasse la dformation correspondant la limite
d'lasticit. Le bton est partiellement comprim et la section est dans un tat de flexion
simple ou compose;
(2b) - la dformation dans les aciers tendus est un allongement qui reste infrieur la
dformation correspondant la limite d'lasticit. Le bton est partiellement comprim et la
section est dans un tat de flexion simple ou compose;
(2c) - les aciers tendus subissent un raccourcissement. Les aciers ne jouent pas vraiment leur
meilleur rle dans ce cas ou l'axe neutre passe dans l'enrobage (partie inutile d'un point de vue
mcanique de la section).
Comme dans le cas prcdent, on caractrise en termes de u ces trois domaines. La frontire entre le domaine (2a) et (2b) correspond un allongement des armatures tendues
gal l'allongement )E(f sse = qui est fonction de la nuance d'acier utilis et pour lequel =u . se calcule par l'application encore une fois du thorme de Thals, sous la
forme
5.35.3
+=
L'autre frontire correspond la limite d'une section entirement comprime du bton, pour
laquelle la dformation de la fibre infrieure est nulle. Dans ce cas dh
cu == . D'o la caractrisation suivante des trois domaines:
u*u 2593.0 le domaine actif est le domaine (2a) 1u le domaine actif est le domaine (2b) dh1 u le domaine actif est le domaine (2c)
-
66
3.3. Pivot C - domaine (3)
Caractrisation
Dans ce domaine la dformation de compression du bton au point C doit toujours vrifier
2bub == .
Modes de sollicitations et type d'lments concerns
L'ELUR est atteint par compression du bton et la section est entirement comprime.
C'est le cas de la compression simple ou de la flexion compose avec section entirement
comprime (cas gnral des poteaux et des poutres).
La position du point C est localise par l'application du thorme de Thals et on a:
2Yh
25.3Y cc = h7
3Yc =
On distingue pour ce pivot, le cas de la compression simple correspondant la frontire CC'
et le cas de la flexion compose avec une section entirement comprime qui correspond au
domaine (3). La caractrisation en termes de u est immdiate et on obtient:
+ udh le domaine actif est le domaine (3) +=u le domaine actif est la frontire CC'
)/2(C ooo
C
h74
h73
)/5.3(B ooo
O
O
h
3
-
67
4. Diagramme des contraintes
Pour le calcul l'ELUR, on adoptera pour le bton le diagramme contraintes-dformations en
parabole-rectangle. La dformation augmentant linairement vers le haut partir de l'axe
neutre, la contrainte augmente galement mais en suivant la courbe parabole rectangle.
En flexion simple, le diagramme parabole-rectangle est remplace par le diagramme
rectangulaire simplifi.
5. Recommandations du BAEL
e
28t
ff
db23.0;1000
BmaxAs o B est la section de bton.
La section d'armatures tendues As est au moins gale la valeur minimale fixe par la rgle
du millime et la condition de non fragilit
La contrainte s dans les armatures tendues ne doit pas tre infrieure s
ef (sinon les
armatures sont mal utilises) la dformation st des armatures tendues doit vrifier
ooo
sustss
e /10E
f ==
la part du moment de flexion quilibr par les aciers comprims doit tre infrieure 40% du moment total, soit: Mu4.0)dd(Ass
-
68
Le diagramme parabole-rectangle est complet dans ce cas.
Figure 6.2.
bF : rsultante des contraintes de compression dans le bton;
sF : rsultante des contraintes de traction dans les armatures ( >= ssuss sifAF ); Rappelons, car nous en aurons besoin dans la suite, le rsultat utile suivant qui donne la
position du centre de gravit dans le cas d'un secteur dlimit par un arc de parabole et
admettant une tangente verticale comme l'indique la figure 6.3:
Figure 6.3.
La surface de ce secteur est: ba32Sp = .
Le diagramme parabole-rectangle est dcompos en sa partie parabolique et sa partie
rectangulaire comme le montre la figure 6.4
Point neutre
Mu
Diagramme des contraintes rectangulaire simplifi
Diagramme des contraintes parabole rectangle
Diagramme des dformations
xx
bubc f= bubc f= ooobubc /5.3==
*uZ
*uY
uZ
*bF
sF
bF
sF
uY
h
d
st
G a
b
b53 b
52
a85
a83
-
69
Figure 6.4.
La rgle de Thals applique au diagramme des dformations permet de montrer que:
uY5.32a = uu Y5714.0Y7
4a =
L'expression de l'quilibre des forces permet d'crire:
*bb FF = *21 SSS =+
Sachant que:
buubuubu1 fY3810.0fY218fa
32S ==
buubuubuu2 fY4286.0fY73f)aY(S ==
Il vient:
buubuubuubuu21* fY8.0fY81.0fY8096.0fY
2117SSS =+=
D'o
uu*u Y8.0Y21
17Y =
Diagramme rectangulaire simplifi Diagramme parabole rectangle
*uY
buf
a
uY
buf
1S
2S *S
-
70
L'expression de l'quilibre des moments entrane
21
2211u
*u SS
ZSZSZZ ++==
Sachant que
uuu1 Y6429.0dY149da
85YdZ =+=
uuu
2 Y2143.0dY143d
2aY
dZ ==
il vient
uuuu*u Y4.0dY416.0dY238
99dZZ ==
C'est ce dernier rsultat qui fait que le diagramme rectangulaire simplifi marche de manire
cohrente et qui justifie son usage.
Ainsi pour le calcul l'ELUR en flexion simple le diagramme parabole-rectangle peut tre
remplac par le diagramme rectangulaire simplifi.
Mais ce diagramme n'est justifi que lorsque le diagramme des dformations passe par le
pivot B. Autrement dit lorsque 2593.027/7u .
6.2 Diagramme rectangulaire simplifi faisant intervenir le coefficient de remplissage (pivot B)
C'est le cas o le diagramme parabole-rectangle est tronqu par le haut. Soit b la dformation de la fibre la plus comprim du bton bub
-
71
Premier cas: uYa < et ooob /2>
Deuxime cas: uYa et ooob /2
On veut calculer:
- la surface quivalente du rectangle, c'est--dire appel coefficient de remplissage; - le bras de levier par rapport aux armatures tendues, c'est--dire Soit a la distance entre l'axe neutre et le point de la section o la dformation est gale
ooo /2 , alors l'application du thorme de Thals permet d'crire
ub
Y2a =
bub f= bub f=
a
bub
-
72
Premier cas: uYa < et ooob /2>
On montre par dcomposition de la surface en une partie rectangulaire et une partie
parabolique que:
buub
1 fY34S = buuubub1
fYY45Yd
34H
+=
buub
2 fY21S
= buubuu
b2 fY
Y2
Yd21H
+
=
buub21 fY)(SSS =+= ub21
21u Y)(dSS
HHZ =++=
avec
b
bb 3
23)(
= et b
2b
b2b
b 46243
)( +=
Deuxime cas: uYa et ooob /2
On montre dans ce cas par intgration de l'quation de la parabole tronque:
yY
fy
Y4f
)y(u
bbu22u
2bbu +=
que buub fY)(S = et ubu Y)(dZ =
avec
126
)(2bb
b= et
b
bb 424
8)(
=
6.3 Diagramme rectangulaire simplifi faisant intervenir le coefficient de remplissage (pivot C)
cf. Chapitre 9
-
73
CHAPITRE 7:
Section rectangulaire l'ELUR en flexion simple
1. Position du problme
Le problme qui se pose dans la pratique est celui du calcul de la section. Ce problme revt
les trois aspects suivants.
- on connat dj le coffrage et les armatures et on cherche simplement vrifier que la
section passe l'ELUR;
- on connat le coffrage est on cherche calculer les sections des armatures afin de vrifier
l'ELUR;
- on cherche dimensionner de manire conomique le coffrage et les armatures.
Le premier problme est un problme de vrification dont l'issue est soit l'ELUR est vrifie
ou l'ELUR n'es pas vrifie. Le deuxime problme est un petit peu plus compliqu que le
premier car il s'agit de trouver le dimensionnement des armatures. Son issue normale est le
calcul des sections des armatures disposer afin de vrifier l'ELUR.
Le troisime problme est le problme le plus utile en pratique car il s'agit d'un problme de
conception. Mais, en plus du fait qu'il faut savoir exercer ses talents de concepteur, il faut le
rsoudre de manire conomique. L'conomie a ici un double sens: il faut trouver la solution
le plus rapidement possible et cette solution doit tre quasi optimale quand on considre le
cot.
Entre un Homme du Mtier qui sait projeter a priori des solutions dites de pr
dimensionnement qu'il cherchera amliorer par des mthodes simples et efficaces et
l'Homme de Science qui lui dfinira le problme dans le cadre de la thorie de l'optimisation
sous contrainte, il existe une marge que les dbrouillards exploitent leur profit! Cette
troisime voie s'est rvle la plus intressante dans la pratique.
Signalons aussi l'existence de logiciels de calcul automatique qui sont souvent prsents sous
forme de feuille de calcul Excel ou des fentres Visual. Ces logiciels facilitent bien sr la
rsolution du problme de dimensionnement conomique comme on l'entend ici sans toutefois
dissiper toutes les zones d'ombre. L'exploitant, doit donc tre capable d'interprter les rsultats
et savoir les exploiter de manire utile. Pour atteindre cet objectif, il n'y a pas mieux que de
commencer par pratiquer le calcul manuel en s'aidant d'organigrammes prcis!
-
74
2. Dimensionnement l'ELUR sans armatures comprimes
2.1 Rcapitulation des rsultats obtenus l'ELUR
La rgle des trois pivots et les diagrammes de calcul du bton et de l'acier l'ELUR
permettent d'crire:
buubuubb fYbfYb)(F ==
sss AF =
uub YdY)(dZ ==
avec
6/10 u 27/76/1 u u27/7 d/hu d/hu >
ooo
b /2 ooobooo /5.3/2 ooob /5.3= ooob /5.3=
2u
2uu
)1(34015
=
u
u
15116
=
2117=
2117=
u
u
321294
=
u2u
u2u
20320122171
+= 238
99= 23899=
ooo
s /10= ooos /10= ooob /10
-
75
2.2 Equations de base
Equilibre des forces
ssbuusb AfbYFF == (1)
Equilibre des moments
)Yd(fbYZFMu ubuub == (2)
Compatibilit des dformations
bu
us
1 =
ooo
bu
us
u
uboo
os
/5.3et2
)1(7ou
110
et/10
==
==
(3)
Condition de bonne utilisation des armatures
s ( sus f= ) (4)
Les inconnues principales du problme sont: uY , sA ou bien u , sA . Les quations sont (1) et (2).
2.3 Mthode de calcul
Posons: bu
2 fdbMu= , appel moment rduit. bu2 fdb reprsente deux fois le moment
maximal que peut reprendre le bton seul.
L'application de l'quation (2) entrane:
= )1( uu (5)
o u est la seule inconnue du problme.
-
76
On effectuera dans la suite la rsolution par domaine.
Premier cas: pivot B u277
Le diagramme parabole rectangle simplifi peut tre utilis. Dans ce cas 8.0 et 4.0 . L'quation (5) devient:
08.032.0 u2u =+ (6)
D'o
0)25.1(64.0dd
u >=
Donc est une fonction croissante de u .
u277 )4.01(8.01859.0 =
Le tableau suivant donne les valeurs de et en fonction de la nuance de l'acier et de s .
15.1s = 1s =
FeE215 0.789 0.429 0.765 0.422
FeE235 0.774 0.425 0.749 0.418
FeE400 0.668 0.391 0.636 0.379
FeE500 0.617 0.371 0.583 0.358
Le discriminant de l'quation (6) est: 0)21(16.0 >=
D'o les deux racines:
-
77
)211(25.11u =
)211(25.12u += carter car [ ] ;27/72u
Donc la seule racine qui a un sens physique est:
)211(25.1u = (7)
L'quation (1) permet maintenant d'crire:
su
buusus f
fdbAA
==
avec
uu 8.0 =
Deuxime cas: pivot A 277
61
u
Les expressions de et en fonction de u et l'quation (1) permettent d'crire:
2uu 100
575057
1007 += (8)
D'o
0)1(5057
dd
u >=
Donc
27/76/1 u 1859.01042.048/5
La rsolution de l'quation (8) conduit la racine utile
-
78
= 219366.01)21(57501u
D'o
su
buusus f
fdbAA
==
avec
15116 u
u=
Troisime cas: pivot A 610 u
Dans ce cas les expressions de et ainsi que l'quation (1) conduisent
124123
45
u2u
2u
3u
4u
++= (9)
On vrifie aprs un long calcul (mais facile) que
0dd
u
>
Donc
6/10 u 1042.048/50
L'quation (9) se rcrit aussi sous la forme
048)420(6015 u2u
3u
4u =++ (10)
-
79
L'quation (10) qui est de quatrime degr admet une solution unique dans l'intervalle
[ ]6/1;0 . Une fois cette solution u est calcule, l'quation (1) permet de trouver la section d'armature suivante
su
buusus f
fdbAA
== (11)
avec
2u
3u
2u
u )1(34015
=
Quatrime cas: d/hu
Ce cas est identique au premier cas si 486.0594/289 et 2.199/119d/h < . On peut adopter comme solution
=
28959411
99119
u
ou ( )= 21125.1u
Mais la condition d'utilisation conomique des aciers n'est pas vrifie
=u
us 2
)1(7
et mme dans le cas o d/h1 u , on a: 01hd
27
s
!
Le calcul de la section d'armature donne dans ce cas
su
buus f
fdbA
=
-
80
avec
)1(14734
E21f17
u
2u
ss
suuu
==
Ainsi 0As si 1u ( 472.0294/139 ), mais sA quand 1u .
Remarques:
Dans le quatrime cas. On a soit la solution qui n'est pas physiquement acceptable, soit lorsqu'elle est possible elle n'est pas conomique. Il faut donc faire quelque chose pour rduire
. On procde en gnral suivant les cas par effectuer: - une augmentation de d ou ce qui revient au mme h;
- une augmentation de b;
- une augmentation de buf ;
- une introduction d'une section en "T";
- une introduction des aciers comprims.
Lorsque 1042.0 le bton est mal utilis. Il faut rduire la section de bton. Mais ceci n'est pas toujours possible dans le cas des dalles par exemple ou lorsque les conditions
d'isolation thermique et acoustique imposent d'utiliser de fortes paisseurs.
Lorsque les aciers sont mal utiliss. Il faut modifier la section ou introduire des armatures comprimes.
3. Pr dimensionnement de la section de bton
Mu est donn, 28cf et ef sont choisis, on cherche dans le domaine 21 lorsque la largeur b est suppose connue. On supposera aussi que: h9.0d = .
2bu
21 fbdMu
12
475.1h475.1
avec c28
Mubf
=
D'o le tableau de pr dimensionnement suivant
-
81
FeE400 FeE500
pivot B avec aciers comprims [ ] 2360;1829h [ ] 2423;1877h pivot B sans aciers comprims [ ] 3423;2360h [ ] 3423;2423h pivot A 104.0> [ ] 4572;3423h [ ] 4571;3423h
Dans ce tableau les units utilises sont les suivantes: Mu est en MN.m, 28cf en MPa et b en
cm. On trouvera h en cm.
4. Dimensionnement l'ELUR avec des armatures comprimes
Ce cas n'est envisag que lorsque: 472.0 correspondant au pivot en B (le bton est insuffisant).
On pose dans ce cas
dd=
4.1 Equations de base
Equilibre des forces
bF
sF
sF
yY4.0 d
d
-
82
ssb FFF =+ ssssbuu AAbfY8.0 =+ (12) Equilibre des moments
)dd(A)Y4.0d(bfY8.0Mu ssubuu += (13)
Compatibilit des dformations
ooo
b /5.3= u
us 2
)1(7
= u
us 2
)(7
=
Utilisation conomique des aciers
s s
Ce qui se traduit par
+= 27
7u et
+
2727
Recommandation du BAEL
Mu4.0)dd(A ss (3)
4.2 Mthode de calcul
La solution n'est pas unique. Celle qui est couramment utilise et qui conduit une section
totale d'armatures ss AA + trs proche du minimum consiste prendre = u . Dans ce cas si la mme nuance d'acier est utilise pour les armatures tendues et comprimes,
on a:
suss f== si
+
2727
; qui est facile vrifier lorsqu'on effectue un choix de d .
-
83
L'quation (2) permet d'crire
su
bu2
s f)dd(fbd)(
A =
puis l'quation (1) donne
su
buss f
fdb8.0AA
+=
Enfin l'quation (3) impose
35
Remarques:
On a intrt choisir le plus petit possible mais avec un enrobage suffisant, en gnral 11.0= convient
On montre que 0)AA(u
ss >+
si > ; donc si l'on ne tient pas compte des armatures
de ceinturage ncessaire en cas de prsence d'armatures comprimes la solution ci-dessus est
optimale pour = u
La condition
+
2727
correspond :
33.0 pour FeE400 et 23.0 pour FeE500. Donc vrifie en particulier si 11.0= .
-
84
-
85
CHAPITRE 8:
Section en forme de "T" l'ELUR en flexion simple
1. Introduction
Lorsque la rsistance d'une section rectangulaire est insuffisante on peut recourir quand cela
est possible une section en "T", figure 8.1.
Cette forme de section est rencontre souvent dans les planchers (poutre avec table de
compression, ponts,...)
Figure 8.1.
La partie (1) s'appelle la table de compression;
la partie (2) s'appelle la nervure;
la partie (3) s'appelle les ailes de la table de compression.
Cette forme permet de rduire la masse de bton tendu qui est inutile et d'augmenter la masse
de bton comprim.
Les dimensions de la table de compression ne peuvent pas tre quelconques. La largeur
considrer de part et d'autre des nus de la section ne doit pas dpasser la plus petite des
valeurs suivantes, figure 8.2:
a) la moiti de la distance entre les faces voisines de deux nervures conscutives;
b) le 1/10 de la porte de la trave;
0b
b
0h
d h
1
2
0b
b
0h 3 3
-
86
c) les 2/3 de la distance de la section considre l'axe de l'appui de bout le plus poche;
d) le 1/40 de la somme des portes encadrant l'appui intermdiaire le plus proche plus les 2/3
de la distance de la section l'appui.
Figure 8.2.
Deux cas sont distinguer dans l'tude d'une section en "T" selon que la zone comprime de
hauteur uY est situe uniquement dans la table o s'tend la nervure.
2. Moment de comparaison
Par dfinition le moment de comparaison 0M est calcule pour 00
u h25.18.0h
Y == . Donc
)2/hd(bfh)Y4.0d(bfY8.0M 0bu0ubuu0 ==
Premier cas: 0MMu
Appui de bout Appui intermdiaire
3/x2 x
40/)LL( 21 +
40/)LL( 21 +
10/L1
10/L1
10L2
10L2
2L 1L
-
87
La compression n'intresse qu'une partie de la table. On calcule la section comme une section
rectangulaire de hauteur utile d et de largeur b (celle de la table). Les aciers sont donc calculs
comme dans le chapitre 7.
Deuxime cas: 0MMu (vraie section en T) La compression intresse la table et une partie de la nervure. On dcompose la section en T en
deux parties, figure 8.3:
Figure 8.3.
Soit 1F la rsultante des efforts de compression dans les ailes de la table, 1M le moment d
1F et rduit au centre de gravit des aciers tendus.
Soit 2F la rsultante des efforts de compression dans la nervure avec son prolongement, 2M
le moment d 2F et rduit au centre de gravit des aciers tendus.
On a:
)bb(hfF 00bu1 =
)2/hd)(bb(hf)2/hd(FM 000bu011 ==
bu0u2 fbY8.0F =
)Y4.0d(fbY8.0)Y4.0d(FM ubu0uu22 ==
d
sA
uY
0b
b
0h
2
1
-
88
sss AF =
L'quilibre de la section s'crit:
0fbY8.0)bb(hfA bu0u00buss = (1)
0)Y4.0d(fbY8.0)2/hd)(bb(hfMu ubu0u000bu = (2)
On avait obtenu pour une section rectangulaire:
0fbY8.0A bu0uss =
0)Y4.0d(fbY8.0Mu ubu0u =
Posons alors dans (1) et (2):
M)2/hd)(bb(hfMu 000bu =
ss00buss A)bb(hfA =
Formellement, on se ramne au cas d'une section rectangulaire sous le moment de flexion M
o l'on calcule sA . Une fois le calcul est effectu, on a:
s
ss00bus
A)bb(hfA
+= (3)
si > , on a recours des aciers comprims. Attention, ici on a pos:
bu2
0 fdbM= (attention 0b au dnominateur)
3. Section en T avec des armatures comprimes
-
89
L'introduction des armatures comprimes entrane les quations d'quilibre suivantes:
0fbY8.0)bb(hfAA bu0u00bussss = (4)
0)dd(A)Y4.0d(fbY8.0)2/hd)(bb(hfMu ssubu0u000bu = (5)
On avait dans le cas d'une section rectangulaire avec armatures comprimes:
0fbY8.0AA bu0ussss =
0)dd(A)Y4.0d(fbY8.0Mu ssubu0u =
Posons alors dans (4) et (5):
M)2/hd)(bb(hfMu 000bu =
ss00buss A)bb(hfA =
Une fois les sections sA et sA sont calcules conformment l'organigramme du chapitre 7. sA est la section d'aciers comprims disposer et
su
bu00ss f
f)bb(hAA += (6)
il faut bien sr s'assurer comme dans le chapitre 7 que:
Mu4.0)'dd(Af ssu
-
90
CHAPITRE 9:
Section rectangulaire l'ELUR en flexion compose
1. But
Dterminer dans le cas de la flexion compose l'ELUR les armatures longitudinales
disposer dans la section conformment aux principes de justification du BAEL 91.
2. Noyau central d'une section homogne
2.1 Dfinition
Le noyau central d'une section soumise l'action (N, M) est la zone de la section telle que si
l'effort normal quivalent y passe, il existe dans toute la section soit un tat de traction ou bien
un tat de compression.
2.2 Effort normal quivalent (N, M)
L'effort normal quivalent est l'effort appliqu au centre de pression C situ une distance
algbrique N/Me = du centre de gravit de la section G.
2.3 Noyau central
G G e
N
N
M
-
91
La dtermination du noyau ce
