■ は じ め に リンク機構とは，リンクをピンまたはスライダによって結合 された機構であり，運動形態を変えるのに用いられる。こ れより，4節リンク機構は，4本のリンクがピンのみによって 環状に結合された機構である。どこのリンクを固定するか で3種類の動きが作り出せるが，今回は，最短リンクと結合 されているリンクの1つを固定した「てこ-クランク」機構を用 いた。 上図のように4点O，P，Q，Rを設定すると，最短リンクは リンクOPとなるので，今回はリンクOPに隣接するリンクOR を固定する。点Pを円運動させると，点Qは円弧の往復運 動とすることから，点Pに入力した動きを，点Qが形を変え て出力したと考えられるので，点Pを入力点，点Qを出力 点と名づける。また，点P，Qを結ぶリンク上にいくつか点 をとり，図形を描かせた。私は，それらを「入力点で描いた 図形が，どのような過程を通して出力点の描く図形に変換 されたのか」を示す図形だと考えた。これを，「図形変換の 過程」と呼ぶことにする。一貫したテーマは図形変換の過 程を解析することだが，そのためにはまず，入力・出力点 の関係を関数で表さなければならない。そこで今回の研 究では，4節リンク機構における入力・出力点の関係の数 式化を試みた。 ■ 活 動 内 容 １．解析するための条件を設定する 図2のように，座標上に点O，Rを固定点，入力点を点P， 出力点を点Q，∠POR＝θとおく。リンクの長さa，b，c，d は，グラスホフの定理が成り立つ必要がある。この定理は， 4節リンク機構が3種類の動きを作りだすための条件であり， 3つの不等式で表わされる。 ２．方程式を解く 図3のように，中心P，半径d の円C P と，中心R，半径c の円C R を連立方程式として解き，点Qの座標を関数で求 める。二次方程式を解くと，解の中に±√が存在する。今 回は y ＞ 0の領域での点Qの動きを考えているので，図 4のように，0°≦θ≦180°のときは＋√をとり，図5のよう に，180°≦θ≦360°のときは－√をとる。2つの数式を 1つにまとめるために，「スイッチ係数」を導入した。 ３．数式のグラフ化 関数グラフ作成ソフトGRAPESを用いて，先ほど求めた 数式のグラフ化を行った。その結果，図6のように，点Qのx 成分，y 成分の動きや，点P，Qを1：1に内分する点が描く 図形も描くことができた。 L1：点Qの図形 L2：点Qのx 成分 L3：点Qのy 成分 L4：点P，Qを1：1に内 分する点が描く図形 ■ 作 図 に 用 い た ソ フ ト ウ ェ ア ・「関数グラフソフト GRAPES」 友田勝久 ・「Cinderella」 J.リヒター‐ゲバート，U.H.コルテンカンプ 数 学 ４ 節 リ ン ク 機 構 に お け る 入 力 ・ 出 力 点 の 関 係 の 数 式 化 L3 L1 L4 L2 P Q O R θ 図 1 O O P Q Q R R P θ θ O O P P Q Q R R θ θ 図 2 図 3 図 4 図 5 ■ キ ー ワ ー ド ： （1）リンク機構 （2）変換幾何 （3）図形変換の過程 代表発表者 吉 田 真 也 （ よ し だ し ん や ） 所 属 茨 城 県 立 並 木 中 等 教 育 学 校 ４ 年 次 問合せ先 〒 3 0 5 - 0 0 4 4 茨 城 県 つ く ば 市 並 木 4 - 5 - 1 T E L ： 0 2 9 － 8 5 1 － 1 3 4 6 F A X ： 0 2 9 － 8 5 2 － 5 0 3 0 s h i n y a . p a s c a l @ g m a i l . c o m 図6 P-95 ─ 97 ─
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■ はじめに リンク機構とは，リンクをピンまたはスライダによって結合
された機構であり，運動形態を変えるのに用いられる。これより，4節リンク機構は，4本のリンクがピンのみによって環状に結合された機構である。どこのリンクを固定するかで3種類の動きが作り出せるが，今回は，最短リンクと結合されているリンクの1つを固定した「てこ-クランク」機構を用いた。
上図のように4点O，P，Q，Rを設定すると，最短リンクはリンクOPとなるので，今回はリンクOPに隣接するリンクORを固定する。点Pを円運動させると，点Qは円弧の往復運動とすることから，点Pに入力した動きを，点Qが形を変えて出力したと考えられるので，点Pを入力点，点Qを出力点と名づける。また，点P，Qを結ぶリンク上にいくつか点をとり，図形を描かせた。私は，それらを「入力点で描いた図形が，どのような過程を通して出力点の描く図形に変換されたのか」を示す図形だと考えた。これを，「図形変換の過程」と呼ぶことにする。一貫したテーマは図形変換の過程を解析することだが，そのためにはまず，入力・出力点の関係を関数で表さなければならない。そこで今回の研究では，4節リンク機構における入力・出力点の関係の数式化を試みた。 ■ 活動内容 １．解析するための条件を設定する
図2のように，座標上に点O，Rを固定点，入力点を点P，出力点を点Q，∠POR＝θとおく。リンクの長さa，b，c，dは，グラスホフの定理が成り立つ必要がある。この定理は，4節リンク機構が3種類の動きを作りだすための条件であり，3つの不等式で表わされる。 ２．方程式を解く
図3のように，中心P，半径d の円CPと，中心R，半径c の円CRを連立方程式として解き，点Qの座標を関数で求
める。二次方程式を解くと，解の中に±√が存在する。今回は y ＞ 0の領域での点Qの動きを考えているので，図4のように，0°≦θ≦180°のときは＋√をとり，図5のように，180°≦θ≦360°のときは－√をとる。2つの数式を1つにまとめるために，「スイッチ係数」を導入した。
３．数式のグラフ化
関数グラフ作成ソフトGRAPESを用いて，先ほど求めた数式のグラフ化を行った。その結果，図6のように，点Qのx成分，y 成分の動きや，点P，Qを1：1に内分する点が描く図形も描くことができた。
L1：点Qの図形 L2：点Qのx 成分 L3：点Qのy 成分 L4：点P，Qを1：1に内分する点が描く図形
■ 作図に用いたソフトウェア ・「関数グラフソフト GRAPES」 友田勝久 ・「Cinderella」 J.リヒター‐ゲバート，U.H.コルテンカンプ
数学
４節リンク機構における 入力・出力点の関係の数式化
L3 L1
L4 L2
P
Q
O R θ
図 1 O O
P
RRP
θ
θ
O O
P P
Q Q
RR
θθ
図 2 図3
図 4 図 5
■キーワード： （1）リンク機構 （2）変換幾何 （3）図形変換の過程
代表発表者 吉田 真也 （よしだ しんや） 所 属 茨城県立並木中等教育学校 ４年次
問合せ先 〒305-0044 茨城県つくば市並木 4-5-1 TEL：029－851－1346 FAX：029－852－5030 [email protected]
図 6
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