Otázky k štátnej skúške z predmetu didaktika matematikyPrvočísla a zložené čísla, zvyškové triedy celých čísel. ... 1 Kritéria deliteľnosti prirodzených čísel

-

-

-

-

-

-

-

1.

-

-

A

-

-

B

-

2.

a

-

-

-

b

-

3.

4.

i)

ii)

iii)

Adresa: http://lms.upjs.sk

Otázky k štátnej skúške z predmetu didaktika matematiky

Prípravy študenta na štátnice

tvorba 14-tich rôznych príprav na vyučovaciu jednotku k tematickým okruhom uvedeným nižšie

vyučovacia jednotka musí byť zameraná na sprístupňovanie nového učiva (zavedenie nového

pojmu, odvodenie novej vlastnosti pojmu, odvodenie vzorca, novej metódy riešenia a podobne).

Zdieľanie príprav

Študent má preukázať, že má prehľad o kľúčových matematických myšlienkach, ktoré sú nadstavbou stredoškolskej matematiky a rozumie im.

Kurz: Matematika a didaktika matematiky

Kľúč: Statnice2019

Názov súboru: Statnice2019_Priezvisko_CisloOkruhu.pdf

Termín: 30. apríl 2019

Priebeh štátnice

Výber okruhu

Študent si z okruhov, ktoré sú k dispozícii, náhodne vyberie jeden, ktorým bude jednoznačne zvolená:

Komisia určí, ktorú časť prípravy študent bude prezentovať.

Študent aj komisia majú k dispozícii vytlačenú resp. elektronickú prípravu študenta, ktorú vopred nahral do Moodlu.

matematický nadhľad

príprava na vyučovaciu jednotku

Príprava na odpoveď (cca 30 minút)

Komisia špecifikuje, ktorú podotázku má študent zodpovedať.

didaktický nadhľad

Študent má preukázať, že vníma dôležité princípy, ktoré je nutné brať do úvahy pri vyučovaní daného okruhu.

Výber otázky C Konkrétna téma zo školskej matematiky

Študent si náhodne vyberie otázku k okruhu zo školskej matematiky, ktorá má dve časti:

zverejnená otázka

Študent má preukázať, že mu je jasné, aké postavenie má daná otázka v školskej matematike, aké typy úloh má žiak zvládnuť (a že ich vie riešiť), aké sú ciele pri vyučovaní tejto témy, ako sa

buduje predstava pojmu a podobne.

Komisia môže a nemusí zúžiť vybranú otázku (napr. pri operáciach s desatinnými číslami požiada

študenta, aby sa venoval iba deleniu).

Komisia sa môže pýtať na veci súvisiace s danou otázkou (napr. pri otázke goniometrické funkcie

požiada študenta o definíciu funkcie).

nezverejnená otázka

Študent má preukázať, že dokáže riešiť resp. formulovať typové úlohy zo školskej matematiky, posúdiť správnosť žiackeho riešenia.

Odpoveď študenta pred štátnicovou komisiou má tri časti:

odpoveď na otázky A, B, C (cca 10 minút)

prezentácia časti prípravy (cca 15 minút)

diskusia k príprave (cca 10 minút)

Štátnicové otázky

Didaktika matematiky

Číselné množiny

Matematický nadhľad

Číselné obory ako algebraické štruktúry a vzťahy medzi nimi.

Mohutnosť množín číselných oborov.

Hustota množín číselných oborov.

Didaktický nadhľadZásady pri rozširovaní číselných množín.

Konkrétna téma v školskej matematike

1 Racionálne čísla - desatinné čísla

a Operácie s desatinnými číslami - vhodný model a algoritmus.

b Sformulujte slovnú úlohu, ktorej matematický model je číselný výraz 9,83 ÷ 0,3.

2 Racionálne čísla - zlomky

a Operácie so zlomkami - vhodné modely.

b Žiakovi bola zadaná úloha na sčítanie zlomkov 2/7 a 4/5, ktorú nevie vyriešiť. Vymyslite 4 úlohy, o ktorých si myslíte, že by mu mohli pomôcť. Výber úloh odôvodnite.

3 Celé čísla

a Operácie s celými číslami - vhodné modely.

b Sformulujte slovnú úlohu, ktorej matematický model je číselný výraz 3 - 5 + (-2).

4 Iracionálne čísla

a Propedeutika pojmu iracionálne číslo vo vyučovaní matematiky na ZŠ.

b Dokážte, že sin 45o je iracionálne číslo.

I.

A

B

C

Zverejnené otázky MXmu 2



Množiny a výroky


Princíp porovnávania mohutnosti nekonečných množín.

Definície, axiómy, matematické vety a ich dôkazy.

Dôkazy matematických viet, typy matematických dôkazov.Veta o matematickej indukcii - formulácia vety, myšlienka dôkazu,dôkaz vybraného tvrdenia matematickou indukciou

Didaktický nadhľadVyučovanie matematických dôkazov (ontogenéza argumentácie, ako učiť dôkazy).


1 Množiny

a Operácie s množinami - možnosti vizualizácie.

b Nezverejnená otázka.

2 Výroky

a Kvantifikované výroky. Zložené výroky - reprezentácia pomocou tabuľky pravdivostných hodnôt a pomocou Vennových diagramov.


3 Dôkaz v učive základnej školy

a Rôzne prístupy k dôkazu Pytagorovej vety na základnej škole.


4 Dôkaz v učive strednej školy

a Rôzne prístupy k dôkazu vybraného tvrdenia o deliteľnosti na strednej škole.


C

II.

A

B




Teória čísel


Rôzne číselné sústavy, rozvinutý zápis čísla v rôznych číselných sústavách.Základná veta aritmetiky - formulácia tvrdenia, myšlienka dôkazu,

počet deliteľov celého čísla.

Prvočísla a zložené čísla, zvyškové triedy celých čísel.Euklidov algoritmus.

Didaktický nadhľadVyučovanie kritérií deliteľnosti (logická analýza učiva).


1 Kritéria deliteľnosti prirodzených čísel

a Využitie kritérií deliteľnosti prirodzených čísel pri riešení slovných úloh.


2 Prvočísla a zložené čísla

a Algoritmus na zisťovanie, či je číslo prvočíslo alebo zložené číslo na ZŠ a SŠ,Eratostenovo sito.


3 Najväčší spoločný deliteľ, najmenší spoločný násobok prirodzených čísel

a Využitie NSD a nsn pri riešení slovných úloh.


III.

A

B

C




Mocniny, mnohočleny, lomené výrazy


Základná veta algebry.

Rozklad na ireducibilné činitele, korene polynómov nad R a C - porovnanie.Mocniny s reálnym exponentom, n-tá odmocnina v obore reálnych a komplexných čísel.

Didaktický nadhľadPremenná (písmeno) v školskej matematike.


1 Mnohočleny - operácie

a Operácie s mnohočlenmi - úlohy na upevňovanie učiva.


2 Mnohočleny - rozklad

a Metódy riešenia úloh zameraných na rozklad mnohočlenov na súčin, na úpravu racionálnych lomených výrazov. Geometrická

interpretácia vzorcov (a+b)2, (a-b)2, a2-b2.


3 Mocniny

a Operácie s mocninami - úlohy na upevňovanie učiva.


IV.

A

B

C




Rovnice a nerovnice


Lineárne kongruencie s jednou neznámou.

Vlastnosti absolútnej hodnoty, dôkaz trojuholníkovej nerovnosti.

Gaussova eliminačná metóda.

Didaktický nadhľadSlovné úlohy vedúce k riešeniu rovníc - fázy riešenia slovnej úlohy.Geometrické, algebraické, aritmetické riešenie slovnej úlohy.


1 Lineárne rovnice a nerovnice, ekvivalentné úpravy

a Ekvivalentné úpravy lineárnych rovníc, počet riešení lineárnej rovnice.


2 Rovnice a nerovnice s absolútnou hodnotou

a Metódy riešenia rovníc a nerovníc s absolútnou hodnotou.


3 Kvadratické rovnice a nerovnice

a Metódy riešenia kvadratických rovníc a nerovníc.


4 Iracionálne rovnice a nerovnice, dôsledkové úpravy

a Metódy riešenia iracionálnych rovníc a nerovníc.


5 Exponenciálne a logaritmické rovnice a nerovnice

a Metódy riešenia exponenciálnych a logaritmických rovníc a nerovníc.


6 Sústavy lineárnych rovníc

a Metódy riešenia sústav lineárnych rovníc.


C

V.

A

B




Planimetria


Mocnosť bodu ku kružnici, odvodenie vzťahu.

Skladanie zhodných zobrazení, grupa zhodností v rovine.

Skladanie podobných zobrazení, grupa podobností v rovine.Aplikácia určitého integrálu - obsah kruhu a dĺžka kružnice.

Didaktický nadhľadEtapy riešenia konštrukčných úloh.


1 Mnohouholníky

a Súčet vnútorných uhlov v konvexnom mnohouholníku. Základné prvky niektorých mnohouholníkov (výška a ťažnica trojuholníka, uhlopriečka).


2 Kružnica a kruh

a Odvodenie vzorcov pre obsah a obvod kruhu na ZŠ.


3 Vety o zhodnosti a podobnosti trojuholníkov

a Vety o zhodnosti a podobnosti trojuholníkov - využitie pri riešení úloh zo školskej

matematiky.


4 Euklidove vety

a Využitie Euklidových viet pri riešení úloh. Dôkaz Euklidových viet.


5 Množiny bodov danej vlastnosti

a Využitie množín danej vlastnosti pri riešení konštrukčných úloh.


6 Zhodné zobrazenia

a Využitie zhodných zobrazení pri riešení konštrukčných úloh.


7 Podobné zobrazenia v rovine

a Využitie podobných zobrazení pri riešení konštrukčných úloh.


VI.

A

B

C




Stereometria


Vzájomná poloha podpriestorov afinného priestoru (analytická metóda).

Odchýlka podpriestorov afinného priestoru (analytická metóda).

Vzdialenosť bodu od nadroviny (analytická metóda).Aplikácie určitého integrálu - objem rotačného telesa.

Didaktický nadhľadVan Hieleho model rozvoja geometrického myslenia - vysvetlenie na konkrétnom pojme zo stereometrie.


1 Polohové vlastnosti útvarov v priestore

a Veta o rovnobežnosti dvoch rovín - prípravné úlohy.


2 Rez telesa rovinou

a Vzájomná poloha troch rovín - využitie pri zostrojovaní rezov.


3 Metrické vlastnosti útvarov v priestore - vzdialenosť

aVzdialenosť dvoch priamok v priestore (synteticky) - úlohy na upevňovanie učiva.


4 Objemy a povrchy telies

a Objemy a povrchy vybraných telies - úlohy na aplikáciu učiva.


VII.

A

B

C




Analytická geometria


Parametrické vyjadrenie podpriestoru afinného priestoru.

Všeobecná rovnica nadroviny.

Vektorové priestory, báza vektorového priestoru.Definícia kužeľosečky cez pomer vzdialeností. Kužeľosečka ako prienik kužeľovej plochy s rovinou.

Didaktický nadhľad

Súradnicová a vektorová metóda pri riešení úloh.Predstavy pojmu vektor.


1 Stredová rovnica kužeľosečiek

a Stredová rovnica kružnice a elipsy - vstupné vedomosti a prípravné úlohy.


2 Parametrické vyjadrenie lineárnych útvarov v rovine a priestore

a Parametrické vyjadrenie priamky, polpriamky a úsečky - vstupné vedomosti a prípravné úlohy.


3 Všeobecná rovnica priamky a roviny

a Všeobecná rovnica priamky a roviny - vstupné vedomosti a prípravné úlohy.


C

VIII.

A

B




Elementárne funkcie, základné vlastnosti


Limita funkcie, vzťah limity funkcie k spojitosti, typy nespojitosti funkcie.

Vety o stredných hodnotách.

Derivácia funkcie, neurčitý integrál, určitý integrál - definície.Vyšetrovanie priebehu funkcie s využitím diferenciálneho počtu.

Didaktický nadhľadRozvíjanie funkčného myslenia.


1 Lineárna, lineárna lomená, kvadratická, mocninová funkcia

a Definície. Monotónnosť, párnosť a nepárnosť funkcie - prípravné úlohy.


2 Exponenciálna a logaritmická funkcia

a Definície. Inverzná funkcia k danej funkcii - prípravné úlohy.


3 Goniometrické funkcie

a Definície. Periodičnosť funkcie - prípravné úlohy.


IX.

A

B

C




Goniometria


Myšlienka aproximácie funkcií sínus a kosínus pomocou Taylorovho rozvoja.Sínusová a kosínusová veta – analytický dôkaz.

Didaktický nadhľadPostup pri zavedení goniometrických funkcií.


1 Goniometria pravouhlého trojuholníka

a Funkcie sínus a kosínus uhla v pravouhlom trojuholníku - vstupné vedomosti a prípravné úlohy.


2 Sínusova a kosínusova veta

a Riešenie trojuholníka pomocou sínusovej a kosínusovej vety - úlohy na upevňovanie učiva.


3 Goniometrické rovnice

a Metódy riešenia goniometrických rovníc.


X.

A

B

C




Postupnosti a rady

Matematický nadhľadKonvergencia, monotónnosť a ohraničenosť postupnosti.

Didaktický nadhľadPropedeutika pojmu limita


1 Aritmetická postupnosť

a Aritmetická postupnosť - úlohy na osvojenie pojmu.


2 Geometrická postupnosť

a Geometrická postupnosť - úlohy na aplikáciu učiva.


3 Nekonečný geometrický rad

a Nekonečný geometrický rad - vstupné vedomosti a prípravné úlohy.


C

XI.

A

B




Kombinatorika


Dirichletov princíp, princíp inklúzie a exklúzie (uviesť konkrétne úlohy a ich riešenie).Základné pojmy teórie grafov (graf, stromový graf, bipartitný graf, cesta v grafe,

eulerovský graf, eulerovský ťah).

Didaktický nadhľadRozvíjanie kombinatorického myslenia.


1 Kombinácie, variácie, permutácie

a Štyri typovo rôzne úlohy z kombinatoriky a ich riešenia pomocou výpisu možností.


2 Binomická veta

a Súvis binomickej vety s Pascalovým trojuholníkom a vlastnosťami kombinačných čísel.


XII.

A

B

C




Pravdepodobnosť


Distribučná funkcia.

Podmienená pravdepodobnosť, Bayesova formula.

Normálne rozdelenie pravdepodobnosti.

Didaktický nadhľadMiskoncepcie v pravdepodobnosti.


1 Klasická definícia pravdepodobnosti, vlastnosti pravdepodobnosti

a Vstupné vedomosti, prípravné úlohy - klasická definícia pravdepodobnosti, vlastnosti

pravdepodobnosti.


2 Nezávislé javy, súčin pravdepodobností

a Využitie stromového grafu vo vyučovaní pravdepodobnosti - konkrétna úloha.


XIII.

A

B

C




Štatistika


Charakteristiky polohy náhodnej veličiny (priemer, medián, modus, minimum, maximum, horný aj dolný kvartil, rozpätie, kvartilové rozpätie, smerodajná odchýlka,

rozptyl).

Charakteristiky variability náhodnej veličiny.

Didaktický nadhľadOtázky vhodné na štatistický prieskum (zamerať sa na rôzne štatistické súbory, jednotky, znaky).


1 Charakteristiky polohy

a Modus, medián, aritmetický priemer - úlohy na upevňovanie učiva.


2 Charakteristiky variability

a Rozptyl, odchýlka - prípravné úlohy.


C

XIV.

A

B


Otázky k štátnej skúške z predmetu didaktika matematikyPrvočísla a zložené čísla, zvyškové triedy celých čísel. ... 1 Kritéria deliteľnosti prirodzených čísel

Documents