Ottimizzazione in correnti turbolente con il metodo delle … · ma del DrivAer body, un' autovettura creata e liberamente distribuita dalla TUM (Technische Universität München).

Politecnico di Milano

SCUOLA DI INGEGNERIA INDUSTRIALE E DELL’INFORMAZIONE

Corso di Laurea Magistrale in Ingegneria Aeronautica

Ottimizzazione in correnti turbolentecon il metodo delle equazioni aggiunte:

sviluppo di una metodologia su piattaforma HPC

Candidato:

Leonardo PalmaMatricola 816435

Relatore:

Prof. Maurizio Quadrio

Correlatore:

Ing. Roberto Pieri

Anno Accademico 2014-2015

Sommario

Questo lavoro discute il tema dell'ottimizzazione di forma attraverso l'u-tilizzo delle equazioni aggiunte, sviluppando una metodologia basata sull'uti-lizzo di software open-source. Nella prima parte della tesi vengono analizzatele equazioni aggiunte e la loro derivazione matematica all'interno di un pro-blema di ottimizzazione vincolata, particolarizzandole per il caso di correntiturbolenti incomprimibili nell'ipotesi di frozen turbulence. Successivamen-te sono trattati nel dettaglio tutti i componenti del loop di ottimizzazione,ponendo particolare attenzione sia alla piattaforma CFD utilizzata sia alprogramma di ottimizzazione vera e propria. Dopo la validazione dei singoliblocchi che costituiscono il work-ow, vengono presentati i risultati ottenutiper l'ottimizzazione di un prolo NACA0012, con dierenti funzioni obiettivoe vincoli. Inne viene mostrata la sensitività rispetto alla resistenza di for-ma del DrivAer body, un' autovettura creata e liberamente distribuita dallaTUM (Technische Universität München). Questa geometria è stata defor-mata seguendo la mappa di sensitività calcolata e utilizzando i risultati intermini di coecienti aerodinamici per la validazione della procedura svilup-pata.

Parole chiave: Open-source, Equazioni aggiunte, Ottimizzazione di

forma, Drivaer body

i

Abstract

The present work deals with the problem of shape optimization in aerody-namics using adjoint equations, and describes the development of a numericalmethod based on open-source software. In the rst part of the thesis, theadjoint RANS equations are considered and their mathematical derivation isdescribed for a constrained optimization problem, with emphasis on incom-pressible turbulent ows. The frozen turbulence assumption is used. Everytool involved in the optimization loop is then considered in detail, focusingon both the CFD platform and the optimization program. After the valida-tion of each single unit composing the workow, the results obtained for theoptimization of a NACA 0012 airfoil, with dierent objective functions andconstraints, are presented as a rst simplied test. In a next step, the Drivaerbody, a car model created and freely distributed by TUM (Technische Uni-versität München), is considered. The sensitivity of the model to pressuredrag is computed, and the geometry is then deformed on the basis of thesensitivity map. The pressure distribution show a noticeable improvement,with drag coecient reduced by 1.25 points (4.26 %).

Key words: Open-source, Adjoint equations, Shape optimization,Drivaer body

iii

Indice

1 Introduzione 1

1.1 Stato dell'arte e scopo del lavoro . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 La formulazione matematica del problema di ottimizzazione 5

2.1 Le equazioni di Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.1.1 Equazione della massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.1.2 Equazione della quantità di moto . . . . . . . . . . . . 72.1.3 Tensore degli sforzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.1.4 Equazione dell'energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.1.5 Fluidi incomprimibili viscosi . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2 Il problema della turbolenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2.1 Equazioni mediate di Reynolds . . . . . . . . . . . . . 12

2.3 Modelli di turbolenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3.1 Modelli eddy viscosity . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3.2 Modelli RSTM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.4 Il problema di ottimizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.4.1 Le equazioni aggiunte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.4.2 Sensitività . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.5 Il problema di ottimizzazione per correnti esterne . . . . . . . 242.5.1 Problema diretto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.5.2 Funzione costo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.5.3 Equazioni aggiunte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.5.4 Condizioni al contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.5.5 Sensitività . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3 Analisi del work-ow 29

3.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2 OpenFOAM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.3 Mesh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.3.1 Tipologia della mesh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.3.2 Le mesh in OpenFOAM . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

v

3.3.3 I parametri di una mesh . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.3.4 Le mesh realizzate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.4 Solutore diretto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.4.1 Schemi di discretizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . 433.4.2 Solver discreti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.5 Solutore aggiunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.5.1 Schemi di discretizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . 463.5.2 Solver discreti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.6 Smoothing della supercie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.6.1 Funzioni di Hicks-Henne . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.7 Dakota . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.7.1 Aspetti implementativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.7.2 Gestione dei vincoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4 Analisi del NACA0012 e validazione dei risultati 57

4.1 Validazione della mesh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.1.1 Parametri della mesh utilizzata . . . . . . . . . . . . . 594.1.2 Il checkMesh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.2 Validazione dei coecienti aerodinamici . . . . . . . . . . . . . 644.2.1 Validazione del modello Spalart-Allmaras . . . . . . . . 654.2.2 Validazione del modello k − ω . . . . . . . . . . . . . . 704.2.3 Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.3 Validazione della sensitività . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.3.1 Sensitività rispetto al cD . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.3.2 Sensitività rispetto al cL . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5 Risultati dell'ottimizzazione 83

5.1 Minimizzazione libera del cD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835.1.1 α = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845.1.2 α = 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.2 Massimizzazione libera del cL . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875.2.1 α = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885.2.2 α = 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

5.3 Minimizzazione del cD con vincolo sul cL . . . . . . . . . . . . 905.3.1 α = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5.4 Massimizzazione del cL con vincolo sul cD . . . . . . . . . . . 915.4.1 α = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5.5 Minimizzazione del cD con vincolo sul volume . . . . . . . . . 945.5.1 α = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.6 Massimizzazione del cL con vincolo sul volume . . . . . . . . . 975.6.1 α = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

vi

5.6.2 α = 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

6 Analisi e ottimizzazione del DrivAer body 101

6.1 Caratteristiche della mesh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1016.2 Validazione della simulazione diretta . . . . . . . . . . . . . . 103

6.2.1 Setup numerico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1046.2.2 Risultati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

6.3 Sensitività . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1076.4 Morphing superciale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

6.4.1 Smoothing della sensitività . . . . . . . . . . . . . . . . 1106.4.2 Deformazione geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

6.5 Analisi dei risultati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

7 Conclusioni e sviluppi futuri 117

7.1 Ottimizzazione dei proli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1177.2 Ottimizzazione del DrivAer body . . . . . . . . . . . . . . . . 118

A Programmi e script del workow 121

A.1 Solutore aggiunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121A.2 SimplecFoam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122A.3 Simulator script . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

vii

Capitolo 1

Introduzione

Uno dei principali obiettivi del progetto aerodinamico, sin dalla nascita del-l'aeronautica, è stato quello di modicare ecacemente la forma per massi-mizzare le prestazioni desiderate. Il problema dell'ottimizzazione della geo-metria si è poi diuso in altri settori dell'industria e ancora oggi rappresentauna tematica tutt'altro che esaurita. Spesso il miglioramento della geome-tria al ne di incrementare le caratteristiche prestazionali o ridurre i consumiviene eseguita con processi di trial and error, basandosi sul bagaglio di co-noscenze che l'azienda ha accumulato nel corso della sua attività. Se da unlato questo modo di procedere garantisce modiche piccole e costruttivamen-te realizzabili, che non portano a stravolgimenti progettuali, dall'altro peccasicuramente di ecacia garantendo guadagni minimi rispetto alla complessi-tà delle analisi eseguite.Per sopperire a questo, è necessario ricorrere a metodi di ottimizzazione chepossano identicare la geometria ottima rispetto a una certa funzione obiet-tivo in maniera totalmente automatizzata e matematicamente consistente.Al giorno d'oggi i metodi di ottimizzazione utilizzati in ambito industrialepossono essere organizzati in due categorie:

metodi basati su algoritmi genetici;

metodi basati sul calcolo del gradiente.

Gli algoritmi genetici si sono diusi a partire dagli anni settanta e rappre-sentano una classe di metodi molto robusti con un elevato costo computazio-nale. Essi si basano sulla denizione di un insieme, noto come popolazione,di possibili soluzioni del problema di partenza, sul quale vengono applicateoperazioni che simulano il processo Darwiniano di selezione naturale. I varielementi della popolazione vengono ad ogni iterazione ricombinati, selezionatie mutati simulando i processi di accoppiamento, mutazione e morte tipici di

1

Capitolo 1

una certa popolazione naturale. In questo modo viene selezionato in manieraiterativa l'individuo più forte della popolazione che rappresenta l'ottimo delproblema considerato.Questi metodi, sebbene capaci di individuare la soluzione ottima anche in unospazio delle soluzioni molto grande, sono estremamente onerosi in quanto ri-chiedono la valutazione in termini di funzione obiettivo di ciascun elementodella popolazione ad ogni iterazione. Il numero di elementi della popolazionedipende dal numero di variabili di progetto e pertanto questi metodi possonodiventare proibitivi in problemi ricchi di variabili di design.I metodi a gradiente invece sono metodi in cui si utilizzano le informazioniricavate dal calcolo del gradiente rispetto alle variabili di design per l'indi-viduazione della soluzione ottima nello spazio di stato considerato. Questimetodi possono essere molto ecienti ed avere una convergenza anche qua-dratica (es. metodo di Newton-Raphson), sebbene siano meno robusti e piùinclini a determinare ottimi locali anziché globali rispetto ai metodi di tipogenetico. Il costo computazionale dei metodi a gradiente risiede tutto nellatecnica utilizzata per calcolare il gradiente della funzione obiettivo; il metodopiù semplice ed immediato è quello delle dierenze nite che però presentaun onere computazionale direttamente proporzionale al numero di variabilidi progetto utilizzate. Denendo ad esempio con nβ il numero della variabilidi design ed assumendo unitario il costo della simulazione diretta, il costocomputazionale per il calcolo del gradiente con dierenze nite al primo or-dine è pari ad nβ + 1 e nel caso di dierenze nite al secondo ordine è pari a2nβ. E' pertanto evidente l'importanza di cercare di denire un metodo e-ciente per il calcolo del gradiente, specie in problemi con un numero elevatodi variabili di design. In questo senso si inserisce il metodo aggiunto che puòessere visto come un particolare caso del secondo gruppo di metodi in cui ilcalcolo del gradiente è indipendente dal numero delle variabili di progetto.Il metodo aggiunto, sebbene conservi le debolezze generali dei metodi a gra-diente, diventa particolarmente vantaggioso rispetto agli algoritmi geneticiin termini di ecienza computazionale.

1.1 Stato dell'arte e scopo del lavoro

Nell'ambito di problemi di ottimizzazione di forma aerodinamica, sono pre-senti diversi software per le analisi CFD, tuttavia l'unico software open-sourceche dispone di una routine completa per l'ottimizzazione con la tecnica del-l'aggiunto è SU2 ([1]). Questo software, giunto alla quarta release, è statosviluppato principalmente per problemi aeronautici e dispone di un solutoreaggiunto comprimibile accoppiato con ottimizzatore e algoritmi di morphing

2

1.1. Stato dell'arte e scopo del lavoro

geometrico. Nella distribuzione uciale di OpenFOAM [2] invece è disponi-bile soltanto un solutore aggiunto per l'ottimizzazione topologica, sviluppatoper ussi interni e che non consente di valutare eettivamente la sensitività(ovvero il gradiente), ma permette di mappare la porosità sulla geometria,assumendola come unica variabile di progetto. In realtà esistono numerosisolutori aggiunti per correnti esterne implementati su OpenFOAM, che tut-tavia non sono distribuiti liberamente, essendo stati sviluppati nell'ambitodi aziende, specie del settore automotive.In questo contesto si inserisce il progetto, di cui il presente lavoro di tesifa parte, che prendendo spunto da SU2 mira alla creazione anche su Open-FOAM di una routine che permetta di implementare l'ottimizzazione di formabasata sulla tecnica dell'aggiunto in correnti turbolente incomprimibili. Nelpresente lavoro e in concomitanza in [3], sono state poste le basi di questoambizioso progetto, provvedendo all'implementazione di un work-ow total-mente open-source e basato su un solutore aggiunto con ipotesi di frozenviscosity per l'ottimizzazione di forma di proli aeronautici. In particolarein [3], il usso di lavoro sviluppato è stato validato su proli aeronautici inregime laminare, confrontando i gradienti con le dierenze nite, mentre inquesta tesi sono state realizzate numerose ottimizzazioni di proli in regimeturbolento. Il solutore sviluppato inoltre è stato poi validato anche su geo-metrie più complesse e vicine a problemi di natura industriale, senza tuttaviasviluppare in questo caso le metodologie per la deformazione, ma servendosidi un software proprietario, Beta-CAE Ansa [4], per il quale è stato possibileottenere una licenza completa per tre mesi. In particolare si è scelta comegeometria per la validazione il DrivAer body [5], un'autovettura open-source,sviluppata dalla TUM (Technische Universität München) sul modello dellecompact executive car (Audi A4 e BMW serie 3).Il progetto è stato realizzato da un punto di vista pratico a Segrate, presso lasede del Cineca, dove l'intero work-ow è stato sviluppato e testato su piat-taforme di calcolo HPC. Questo è stato possibile grazie alla partecipazionedei bandi mensilmente erogati dal Cineca e l'assegnazione di 50000 ore-coresul super-computer Galileo [6].Il presente lavoro è stato strutturato in modo da analizzare in maniera esau-stiva tutti i dettagli del progetto sviluppato. Nel capitolo 2 verrà denito ilproblema matematico dell'ottimizzazione vincolata attraverso l'introduzionedelle equazioni aggiunte con l'ipotesi frozen viscosity, successivamente par-ticolarizzate per correnti esterne incomprimibili in regime turbolento. Nelcapitolo 3 verranno trattati sia da un punto di vista implementativo cheteorico tutti gli elementi che compongono il work-ow sviluppato per l'otti-mizzazione dei proli e utilizzato in parte per il DrivAer body. Nel capitolo4 invece si procederà alla validazione di mesh, modelli di turbolenza e di-

3

Capitolo 1

stribuzione della sensitività sui proli, sfruttando l'abbondante presenza inletteratura di dati sperimentali. Nel capitolo 5 verranno analizzati i risulta-ti delle ottimizzazioni sui proli, mentre nel capitolo 6 verranno analizzatimesh, coecienti, sensitività e risultati dell'ottimizzazione dell'autovettura.Il capitolo 7 è inne dedicato alle considerazioni nali sul lavoro svolto e allepossibilità per eventuali sviluppi futuri.

4

Capitolo 2

La formulazione matematica del

problema di ottimizzazione

Verranno qui introdotte le equazioni di Navier-Stokes che descrivono in ma-niera completa il comportamento di un uido. Successivamente esse verrannoparticolarizzate per il caso incomprimibile turbolento, nella forma mediataalla Reynolds. Inne sarà denito il problema di ottimizzazione e per essoverranno ricavate le equazioni aggiunte.

2.1 Le equazioni di Navier-Stokes

Il comportamento di un uido in movimento può essere descritto in manieracompleta dalle equazioni di Navier-Stokes, che si basano sull'applicazione dileggi di conservazione riferite ad un certo volume di uido. Assumendo dipoter descrivere il uido come un mezzo continuo (a rigore valido solo se ilnumero di Knudsen Kn ≤ 10−2), vengono considerate le leggi di:

conservazione della massa

conservazione della quantità di moto

conservazione dell'energia

Il procedimento matematico seguito per ricavare le presenti equazioni si rifàalla trattazione di [7] per le equazioni di massa e quantità di moto e allatrattazione di [8] per l'equazione dell'energia.

2.1.1 Equazione della massa

La legge di conservazione della massa aerma che un uido non può esserecreato o distrutto, ovvero che dato un certo volume, la massa delle particelle

5

Capitolo 2

uide che compone il suddetto volume rimane costante. Considerando quindiun punto di vista euleriano (volume di controllo sso e uido in movimento),la conservazione della massa aerma che la variazione di uido all'internodel volume di controllo V delimitato dalla supercie chiusa S sarà ugualeal usso netto attraverso il bordo del volume stesso. La massa di uido in

Figura 2.1: Volume di controllo

un elemento di volume dV , nella posizione r = (x, y, z) al tempo t è pari aρ(r, t)dV , per cui

m =

∫V

ρ(r, t)dV

perciò la variazione della massa sarà pari a

dm

dt=

∫V

∂ρ(r, t)

∂tdV

Il volume netto di uido uscente da dV attraverso il suo contorno dS nellaposizione r è dato da u(r, t) · n(r)dS, dove n(r) è la normale uscente unitariain r su dS. Per cui la massa uscente dal volume di controllo sarà∮

S

ρ(r, t)u(r, t) · n(r)dS

L'equazione di continuità può essere espressa matematicamente come un'u-guaglianza tra la variazione della massa contenuta nel volume di controllo ela massa netta entrante nel volume attraverso il suo contorno, ovvero:∫

V

∂ρ

∂tdV = −

∮S

ρu · ndS (2.1)

Questa equazione rappresenta l'equazione della massa nella sua forma inte-grale; è possibile ricondurci alla più nota forma dierenziale, in cui le equa-zioni sono indipendenti dal volume considerato. La forma dierenziale si

6

2.1. Le equazioni di Navier-Stokes

ricava semplicemente riconducendo tutti gli integrali ad integrali di volume;in questo caso, utilizzando il teorema della divergenza sul membro a destradell'equazione si ottiene 1:∫

V

[∂ρ∂t

+∇ · (ρu)]

= 0

Anché l'equazione sia vericata è necessario che l'argomento dell'integralesia nullo, ovvero:

∂ρ

∂t+∇ · (ρu) = 0 (2.2)

2.1.2 Equazione della quantità di moto

L'equazione della quantità di moto discende direttamente dalla seconda leggedi Newton e può essere ricavata in maniera analoga alla precedente. A die-renza però della legge di continuità, la variazione della quantità di moto inun certo volume di uido sarà pari sia al usso netto, sia al contributo delleforze di volume e di supercie che agiscono sul volume stesso. La variazionedella quantità di moto sarà pari a:

dQV

dt=

d

dt

∫V

ρ(r, t)u(r, t) =

∫V

∂

∂t(ρu)

Il usso netto invece sarà pari a∮Sρu(u · n), mentre le forze agenti sul uido

saranno rispettivamente:

forze di supercie non viscose: −∮SP n

forze di supercie viscose:∮Sτn =

∮Sσ · n

forze di volume:∫Vρg

dove P è la pressione, τn il vettore delle forze viscose, σ il tensore degli sforzie g delle generiche forze di volume. In questo modo è possibile ricavarel'equazione integrale della quantità di moto:∫

V

∂

∂t(ρu) = −

∮S

ρu(u · n)−∮S

P n +

∫V

ρg +

∮S

σ · n (2.3)

1Si può notare come per una maggiore chiarezza nella notazione, siano stati omessi glielementi di integrazione innitesimi, avendo indicato specicatamente il dominio di inte-grazione come pedice dell'integrale. Si manterrà questa notazione per tutte le successiveequazioni.

7

Capitolo 2

riscrivibile nella forma∫V

[∂(ρu)

∂t+∇·(ρu⊗ u) +∇P − ρg −∇ · σ

]= 0

avendo rielaborato il termine a destra della precedente equazione per poteravere solo integrali di volume. Come già fatto per l'equazione della massa,possiamo ricavare l'equazione della quantità di moto in forma dierenzialeconsiderando l'argomento dell'integrale dell'espressione precedente:

∂(ρu)

∂t+∇·(ρu⊗ u) +∇P − ρg −∇ · σ = 0 (2.4)

2.1.3 Tensore degli sforzi

E' stato introdotto all'interno delle equazioni il tensore σ che rappresenta iltensore degli sforzi viscosi, che permette di calcolare il vettore dello sforzoviscoso, nota la normale della supercie considerata.In un uido, lo sforzo è legato non tanto alla deformazione in sé (come neisolidi), quanto alla rapidità di deformazione. Per esprimere allora il legameesistente tra sforzi e rapidità di deformazione possiamo introdurre il tensoregradiente di deformazione G = ∂ui

∂xj. In generale un tensore T può essere

scomposto nella somma di un tensore simmetrico e uno antisimmetrico, doveTS = 1

2(T + TT ) e TA = 1

2(T − TT ). Applicando questa scomposizione al

tensore gradiente di deformazione otteniamo TS = D, tensore di rapidità dideformazione e TA = R, tensore di rotazione rigida; si può immediatamentenotare che tr(D) = ∇ · u.Il tipo di legame esistente tra sforzi e tensore rapidità di deformazione è unacaratteristica intrinseca del uido; se si considera un legame lineare si ottienela descrizione di un'ampia classe di uidi, detti uidi newtoniani. Se oltrea considerare il legame lineare, ipotizziamo che il uido sia isotropo, ovveroche le sue proprietà siano indipendenti dalla direzione spaziale considerata,il legame costitutivo per i uidi newtoniani può essere descritto attraversol'utilizzo di sole due costanti:

σ(u) = 2µD(u) + λ(∇ · u)I

dove µ = µ(T, P ) prende il nome di viscosità dinamica e λ = λ(T, P ) visco-sità di dilatazione. In generale si denisce la viscosità di volume µv = µ+ 2

3λ

e si ritiene valida l'ipotesi di Stokes, per la quale µv = 0, riuscendo in questomodo a riscrivere la viscosità di dilatazione in funzione della viscosità dina-mica, eliminando λ dall'equazione costitutiva dei uidi newtoniani.Possiamo inne valutare le forze viscose per unità di volume considerandosemplicemente F visc = ∇ · σ.

8

2.1. Le equazioni di Navier-Stokes

2.1.4 Equazione dell'energia

L'energia totale di un uido per unità di volume, anche detta densità dienergia totale Et è denita come

Et = ρet = ρe+1

2ρ|u|2

dove et è l'energia specica totale ed e è l'energia specica interna. In manieradel tutto simile a quanto fatto prima possiamo scrivere che la variazione dienergia in un certo volume di controllo V sarà pari alla potenza delle forzeagenti su di esso (comprese quelle di natura viscosa) e al usso netto di calorescambiato. Pertanto i vari contributi saranno:

potenza forze di pressione: −∮SPu · n

potenza forze di volume:∫Vρg · u

potenza forze di attrito:∮Su · (σ · n)

usso di calore entrante: −∮Sq · n

In questo modo possiamo scrivere l'equazione dell'energia nella sua formaintegrale:

d

dt

∫V

Et = −∮S

q · n−∮S

P u · n +

∫V

ρ g · u +

∮S

u · σ · n (2.5)

Anche in questo caso possiamo ricondurci ad una forma che contenga so-lo integrali di volume sfruttando nuovamente il teorema della divergenza etenendo conto che per la legge di Fourier q = −k∇T . Si arriva alla forma∫

V

[∂(ρe)

∂t+∇·(ρeu) + P∇ · u−∇·(k∇T)− σ:D

]= 0

dalla quale possiamo ricavare la forma dierenziale per l'equazione dell'ener-gia:

∂(ρe)

∂t+∇·(ρeu) + P∇ · u−∇·(k∇T)− σ:D = 0 (2.6)

Queste equazioni valgono per un uido newtoniano isotropo e sono statericavate senza alcuna ulteriore ipotesi semplicativa.E' da notare comunque che l'equazione dell'energia contiene oltre alle variabiliρ, P ed u, anche le due variabili termodinamiche incognite T ed e. Perchiudere il bilancio equazioni incognite, sono necessarie due equazioni di statoche leghino tra loro le variabili termodinamiche.

9

Capitolo 2

2.1.5 Fluidi incomprimibili viscosi

Le due equazioni scalari di massa ed energia e l'equazione vettoriale di quan-tità di moto costituiscono le equazioni di Navier-Stokes, un sistema di equa-zioni paraboliche alle derivate parziali che permette di descrivere la dinamicadi un uido newtoniano, tenendo conto delle forze viscose e dei fenomeni dicomprimibilità. In realtà è possibile utilizzare una semplicazione di questeequazioni assumendo che la corrente considerata sia incomprimibile. Nellarealtà non esistono correnti o uidi incomprimibili, ma in determinate si-tuazioni si possono trascurare gli eetti della comprimibilità. Se per i uidiquesto è vero in un range abbastanza ampio di condizioni ingegneristicamen-te rilevanti, per i gas si possono trascurare gli eetti della comprimibilità delmezzo solo per basse velocità. Denendo con a la velocità del suono e con ilnumero di MachM = |u∞|

a, ovvero il rapporto tra velocità a monte e velocità

del suono, l'ipotesi di corrente incomprimibile può essere considerata accetta-bile solo per M < 0.3. Se è possibile considerare la corrente incomprimibile,le equazioni di Navier-Stokes si semplicano notevolmente. L'equazione del-l'energia perde di signicato, così come tutte le variabili termodinamicheincluse (temperatura, energia interna) e può essere completamente trascura-ta. Se la densità del uido è costante all'istante iniziale, l'equazione dellamassa viene sostituita dal vincolo di incomprimibilità ∇ · u = 0 che imponeche il campo di velocità sia in ogni istante un campo solenoidale. Se anchela viscosità del uido è costante, la forza viscosa si riduce a ρ fvisc = µ ∇2u,potendo denire la viscosità cinematica ν = µ

ρ. Le equazioni dierenziali si

riducono allora a ∇ · u = 0∂u∂t

+ (u · ∇)u + ∇Pρ− ν∇2u = 0

(2.7)

avendo ipotizzato nulle le forze di volume precedentemente indicate come g.Possiamo osservare come il termine non lineare e il termine legato agli sforziviscosi vengano presentati in una forma diversa rispetto all'equazione 2.4. Latrasformazione avviene sfruttando semplici identità vettoriali e applicando ilvincolo di incomprimibilità e il legame costitutivo per gli sforzi viscosi:

∇ · (u⊗ u) = (u · ∇)u + u(∇ · u) (2.8)

∇ · σ = 2ν∇ · D = ν∇2u + ν∇(∇ · u)

E' da notare come per questo sistema di equazioni, la pressione non rappre-senti più una variabile termodinamica, ovvero con un signicato sico, masia semplicemente un moltiplicatore di Lagrange che permette l'applicazionedel vincolo di incomprimibilità. Si può quindi ridenire la pressione con il

10

2.2. Il problema della turbolenza

rapporto tra pressione e densità, ovvero con una variabile termodinamica-mente senza signicato, accettabile esclusivamente nel caso delle equazioniincomprimibili.2

2.2 Il problema della turbolenza

Tutti i ussi di interesse ingegneristico sono ussi turbolenti, ovvero carat-terizzati da numeri di Reynolds abbastanza elevati. Le correnti turbolentepresentano alcune caratteristiche distintive:

caoticità: essendo descrivibili in termini statistici e non deterministici;

rotazionalità: essendo caratterizzate dalla presenza di vortici a diver-se scale;

dissipatività;

diusività: avendo capacità molto elevate di mescolamento di massaed energia.

Lo studio delle correnti turbolente ha origine con le osservazioni del ma-tematico e meteorologo inglese Richardson sullo sgretolamento dei vorticiatmosferici in vortici sempre più piccoli no alla loro completa dissipazione.Queste aermazioni, di natura puramente qualitativa, hanno portato a studiapprofonditi sulla turbolenza, come quelli condotti da Kolmogorov negli anniquaranta, che confermano le osservazioni fenomenologiche di Richardson.Kolmorogov condusse le sue ricerche studiando le correnti caratterizzate daturbolenza omogenea isotropa, in cui le grandezze statistiche sono invarianti atraslazioni, rotazioni e riessioni. Questo tipo di correnti rappresentano unacondizione ideale, parzialmente approssimabile dalla turbolenza di correnti avalle di una griglia; tali approssimazioni tuttavia hanno permesso una studioquantitativo delle considerazioni puramente qualitative addotte da Richard-son. Nelle correnti turbolente è possibile considerare diverse scale spaziali,interessate da fenomeni dierenti: alle scali più grandi una parte di energialegata al campo di moto medio viene convertita in energia turbolenta, trasfe-rita successivamente alle piccole scale dove viene dissipata dall'eetto dellaviscosità. In particolare secondo la teoria di Kolmogorov, le scale più piccole,note come range dissipativo, sono dominate dai fenomeni di dissipazione lega-ti alla viscosità e le statistiche hanno una forma universale che è unicamentedeterminata dal tensore di dissipazione ε e dalla viscosità. All'aumentare del

2Da qui in avanti P = Pρ

11

Capitolo 2

numero di Reynolds inoltre, aumenta la separazione delle scale ed è possibileindividuare un range intermedio noto come range inerziale, le cui statistichehanno anche in questo caso una forma universale che è unicamente determi-nata dalla ε. Non essendoci dissipazione di natura viscosa, a questo rangevi è un equilibrio energetico tra la produzione di energia cinetica turbolenta,che avviene alle grandi scale, e la dissipazione turbolenta. Le denizioni diquesti due range spaziali costituiscono le due ipotesi sulle quali si fonda tut-ta la teoria elaborata da Kolmogorov. Attraverso queste ipotesi è possibilericavare diverse grandezze e relazioni che descrivono la turbolenza omogeneaisotropa, come ad esempio il rapporto tra la lunghezza caratteristica dellescale dissipative η, note come scale di Kolmogorov, e la lunghezza caratteri-stica delle scale più grandi L:

η

L∝ Re−

34

Come già evidenziato precedentemente, i ussi turbolenti sono sistemi cao-tici in cui l'unica possibile descrizione delle variabili turbolente è in formastatistica e non deterministica. In tale contesto, può essere suciente, speciein ambito industriale, conoscere soltanto le caratteristiche medie della cor-rente, trascurando le uttuazioni intorno al valore medio, legate ovviamenteal fenomeno della cascata energetica.

2.2.1 Equazioni mediate di Reynolds

Le equazioni di Navier-Stokes sono equazioni non lineari alle derivate parzialiper le quali dicilmente esiste una soluzione in forma chiusa su geometriediverse da casi triviali. Per questo motivo è necessario ricorrere in tutti icasi di interesse ingegneristico alla risoluzione numerica delle equazioni. Larisoluzione numerica delle 2.7, che prende il nome di DNS, Direct NumericalSimulation, comporta un onere computazionale ancora troppo grande per latecnologia attuale e i numeri di Reynolds di interesse pratico e viene eettua-ta solo in casi di ricerca di base su geometrie non eccessivamente complesse.Per poter ottenere risultati sensati in tempi non eccessivamente lunghi sugeometrie di interesse pratico, si eettua un' ulteriore semplicazione delle2.7, ottenendo le RANS, Reynolds Averaged Navier Stokes. Attraverso l'ap-plicazione dell'operatore di media temporale a ciascun termine dell'equazionesi ottengono delle equazioni che contengono solamente quantità medie dellegrandezze uidodinamiche, caratteristiche delle scale spaziali più grandi. E'evidente come con le RANS si trascurino completamente le oscillazioni supiccola scala, risolvendo esclusivamente il moto medio della corrente.Da un punto di vista matematico è necessario ricordare che la media è un

12

2.2. Il problema della turbolenza

operatore lineare idempotente, ovvero la media di una quantità media è laquantità media di partenza. Analizziamo nel dettaglio l'eetto di media suciascun termine delle equazioni 2.7:

〈∇ · u〉 = 〈∇〉 · 〈u〉 = ∇ · 〈u〉 = 0

〈∂u∂t〉 = ∂〈u〉

∂t

〈∇P 〉 = ∇〈P 〉

〈ν∇2u〉 = ν∇2〈u〉

〈(u · ∇)u〉 = 〈(u · ∇)u〉

Si può notare come di fatto il termine non lineare non subisca cambiamenti equesta può essere considerata la chiave di volta per capire le motivazioni chehanno portato a formulare i modelli di turbolenza. Scomponiamo ora velocitàe pressione nella somma di un campo medio e un campo uttuante, ovverou = u+u′. Applicando le proprietà di idempotenza e linearità dell'operatoredi media e ricordando che la media di un campo uttuante vale zero, possiamoriscrivere ciascun termine:

∇ · 〈u〉 = ∇ · 〈u + u′〉 = ∇ · (〈u〉+ 〈u′〉) = ∇ · 〈u〉 = ∇ · u

∂〈(u+u′)〉

∂t= ∂u

∂t

∇〈(P + P ′)〉 = ∇P

〈ν∇2(u + u′)〉 = ν∇2u

Il termine non lineare va analizzato separatamente:

〈(u · ∇)u〉 = 〈[(u + u′) · ∇](u + u′)〉 =

〈(u · ∇)u〉+ 〈(u′ · ∇)u〉+ 〈(u · ∇)u′〉+ 〈(u′ · ∇)u′〉 =

(u · ∇)u + 〈(u′ · ∇)u′〉

Con questa scomposizione otteniamo le equazioni mediate di Reynolds:∇ · u = 0∂u∂t

+ (u · ∇u) +∇P − ν∇2u + 〈(u′ · ∇)u′〉 = 0(2.9)

dove l'ultimo termine a destra dell'equazione costituisce il tensore degli sforzidi Reynolds.Per poter risolvere anche numericamente le RANS è necessario conoscere

13

Capitolo 2

le componenti del tensore degli sforzi di Reynolds. Poiché essi non sononoti a priori è necessario modellarli con ipotesi semplicative che conduconoalla nascita dei modelli di turbolenza, modelli matematici che permettono diridenire gli sforzi di Reynolds usando quantità note a priori o calcolabili apartire dalle incognite delle equazioni considerate.

2.3 Modelli di turbolenza

I modelli di turbolenza possono essere suddivisi principalmente in due ca-tegorie: i modelli basati sull'ipotesi di Boussinesq e sulla denizione dellaviscosità turbolenta (eddy viscosity) e i modelli che descrivono direttamen-te le componenti del tensore degli sforzi di Reynolds denendo equazionidierenziali aggiuntive.

2.3.1 Modelli eddy viscosity

Nei modelli eddy viscosity, il problema di determinare gli sforzi di Reynoldsviene trasferito nel determinare il valore di νT , attraverso l'ipotesi di Bous-sinesq che può essere esplicitata denendo il tensore di anisotropia ST ericordando un'equivalenza:

〈(u′ · ∇)u′〉 = ∇ · 〈u′ ⊗ u′〉

ST = 〈u′ ⊗ u′〉 − 2

3kI

dove k = 12〈|u′|2〉, è l'energia cinetica turbolenta, ovvero l'energia cinetica

associata alla parte uttuante del campo di moto. L'ipotesi di Boussinesqvarrà:

ST = −2 νt〈D〉 (2.10)

dove νt è la viscosità turbolenta. In questo modo viene creato un paralleli-smo diretto tra la diusione molecolare e il trasporto turbolento, assumendoche i fenomeni di dissipazione turbolenta possano essere descritti in manieraanaloga (almeno in condizioni di equilibrio energetico) al fenomeno di dis-sipazione a livello molecolare. E' possibile rielaborare le equazioni 2.9 peresplicitare l'ipotesi di Boussinesq; è possibile riscrivere:

∇ · 〈u′ ⊗ u′〉 = ∇ ·(〈u′ ⊗ u′〉 − 2

3kI +

2

3kI)

=

∇ ·(ST +

2

3kI)

= ∇ · ST +∇(2

3k)

=

∇ · (−2νt〈D〉) +∇(2

3k)

= −∇ · νt∇u +∇(2

3k)

14

2.3. Modelli di turbolenza

Sostituendo l'espressione trovata nelle equazioni 2.9 ed includendo il terminedi energia cinetica turbolenta nella pressione, otteniamo:

∇ · u = 0∂u∂t

+ (u · ∇u) +∇P −∇ · (νe)∇u = 0(2.11)

avendo riscritto il laplaciano per includere una viscosità ecace νe = ν + νtnon più costante. I modelli di turbolenza alla Boussinesq si possono ulte-riormente suddividere in base a come viene calcolata la viscosità turbolenta,potendo avere un calcolo immediato, utilizzando grandezze note a priori, omodelli a uno o due equazioni alle derivate parziali. Questi ultimi modellisono i più diusi ancora oggi in ambito ingegneristico e si basano sulla riso-luzione di equazioni aggiuntive per il calcolo della viscosità turbolenta. Trai più noti ricordiamo il modello ad un'equazione di Spalart-Allmaras [10] equelli a due equazioni k − ε e k − ω [11].E' da notare come l'ipotesi di Boussinesq richieda che il tensore di aniso-tropia sia allineato con il tensore rapidità di deformazione. Sebbene questaassunzione possa ritenersi soddisfatta in molti ambiti, cade quando vengonoconsiderate correnti tridimensionali, con forti gradienti e variazioni del ten-sore 〈D〉 o con separazioni dello strato limite. Nonostante ciò, questi modellivengono utilizzati in ambito in industriale anche nelle condizioni in cui ca-de la validità dell'ipotesi di Boussinesq (pensiamo alla corrente intorno aduna monoposto di Formula 1), con risultati non sempre corretti. Le limi-tazioni oerte dai modelli eddy viscosity hanno portato alla nascita di unnuovo gruppo di modelli, basati sulla modellazione diretta delle componentidel tensore degli sforzi di Reynolds, sebbene il loro uso sia ancora limitatoad ambiti accademici e di ricerca, a causa del maggior onere computazionalee della loro intrinseca complessità, oltre alla mancanza di una validazionesolida come nel caso dei modelli classici.Vista l'importanza rivestita nel seguito del presente lavoro di tesi, verrannoanalizzati nel dettaglio il modello di Spalart-Allmaras e il modello k − ωSST

Modello Spalart-Allmaras

Il modello di Spalart-Allmaras è stato introdotto nel 1994, basandosi sul pre-cedente modelli di Baldwin-Barth. E' un modello completo, ad un'equazione,fortemente inuenzato da coecienti e funzioni semi-empiriche, calibrate peravere un elevato livello di adabilità su correnti di interesse aeronautico nonseparate, anche in campo transonico. L'equazione del modello è una equa-zione di trasporto per la variabile ttizia ν, dalla quale si ricava successiva-mente il valore della viscosità turbolenta, necessaria per modellare gli sforzi

15

Capitolo 2

di Reynolds. L'equazione, nella notazione tensoriale, viene qui presentata:

∂ν

∂t+ uj

∂ν

∂xj= cb1(ft2)Sν −

[cw1fw −

cb1k2ft2

]( νd

)2

(2.12)

+1

σ

[ ∂

∂xj

((ν + ν)

∂ν

∂xj

)+ cb2

∂ν

∂xi

] ∂ν∂xi

con

νt = νfv1

Nell'equazione 2.12 i termini a destra dell'uguale rappresentano rispettiva-mente la produzione di viscosità turbolenta (termine sorgente), diusione edissipazione, smorzamento e distruzione della viscosità turbolenta vicino laparete. Esistono diverse varianti del modello; la versione qui analizzata èla Spalart-Allmaras-fv3, la stessa implementata all'interno di OpenFOAM,nata per evitare che il termine di sorgente assuma un valore negativo. I varitermini sono qui esplicitati:

S = fv3S +ν

k2d2fv2

fv1 =χ3

χ3 + c3v1

, fv2 =(

1 +χ

cv2

)−3

(2.13)

fv3 =(1 + χfv1)(1− fv2)

χ, χ =

νtν

dove S =√

2Ri,jRi,j, e Ri,j = 12

(∂ui∂xj− ∂uj

∂xi

), come dalla denizione di tensore

di tensore di rotazione rigida. Inne le variabili pari a

cb1 = 0.1355, cb2 = 0.622,

cv1 = 7.1, cv2 = 5, σ =2

3, k = 0.41

cw1 =cb1k2

+1 + cb2σ

, cw2 = 0.3, cw3 = 2

Le condizioni al contorno prescritte per questo metodo si dividono tra lecondizioni da applicare a parete e quelle del campo di moto lontano da paretisolide, come illustrato in [12]:

νwall = 0, 3ν∞ ≤ νfarfield ≤ 5ν∞

νt,wall = 0, 0.210438ν∞ ≤ νt,farfield ≤ 1.294234ν∞ (2.14)

16

2.3. Modelli di turbolenza

Modello k− ωSST

Il modello k−ωSST è un modello a due equazioni abbastanza recente, nato percombinare le buone caratteristiche del modello k− ε nelle regioni free-streame in termini di ridotta sensitività alle condizioni di inlet e le buone prestazio-ni del modello k − ω che invece si comporta molto bene a parete e presentameno dicoltà nell'implementazione numerica, specie nella calibrazioni dellecostanti semi-empiriche. Il nome del modello discende dalle variabili tur-bolente utilizzate come incognite dell'equazione dierenziale; k chiaramentesarà l'energia cinetica turbolenta come denita nella 2.3.1, ε = 2ν〈D′ · D′〉 èla dissipazione turbolenta e ω = ε

kpuò essere vista come la frequenza tur-

bolenta. La viscosità turbolenta è in questo modello una funzione sia di kche di ω, che vengono ricavate risolvendo due equazioni alle derivate parziali,ovvero:

∂ω

∂t+ uj

∂ω

∂xj= αS2 − βω2 +

[(ν + σωνt)

∂ω

∂xj

]+ 2(1− F1)σω2

1

ω

∂k

∂xi

∂ω

∂xi∂k

∂t+ uj

∂k

∂xj= Pk − β∗kω +

∂

∂xj

[(ν + σkνt)

∂k

∂xj

](2.15)

νt =a1k

max(a1ω, SF2)

Si può notare come le due equazioni siano accoppiate e ciò chiaramente portaad un aumento del costo computazionale del modello. Sono inoltre presentidelle variabili semi-empiriche, la cui corretta calibrazione garantisce la cor-rettezza dei risultati; sono presenti valori doppi per alcune delle costanti delmodello: questo implica che si possano utilizzare alternativamente tutte lecostanti con pedice uguale. Le costanti saranno:

α1 =5

9, α2 = 0.44

β1 =3

40, β2 = 0.0828, β∗ =

9

100σk1 = 0.85, σk2 = 1

σω1 = 0.5, σω2 = 0.856

17

Capitolo 2

mentre per le funzioni semi-empiriche avremo:

F1 = tanh

min

[max

( √kβ∗ωy

,500ν

y2ω

),

4σω2k

CDkωy2

]F2 = tanh

[[max

( 2√k

β∗ωy

500ν

y2ω

)]2]

Pk = min(τij∂ui∂xj

, 10β∗kω)

CDkω = max(

2ρσω21

ω

∂k

∂xi

∂ω

∂xi, 10−10

)τij = 2

(νt〈D〉 −

1

3kI)

Denendo L come la lunghezza del dominio di calcolo, possiamo esprimerele condizioni al contorno nella seguente forma, come illustrato in [13]:

∂kwall∂n

= 0,10−5U2

∞ReL

≤ kfarfield ≤10−1U2

∞ReL

ωwall = 106ν

β1(∆d1),U∞ReL

≤ ωfarfield ≤ 10U∞ReL

Con β1 = 0.075 e ∆d1 pari all'altezza della cella di parete, ovvero della cellapiù piccola.

2.3.2 Modelli RSTM

I modelli RSTM (Reynolds Stress Tensor Models) sono modelli che non uti-lizzano l'approssimazione di Boussinesq e la denizione della viscosità turbo-lenta, ma deniscono un set di equazioni dierenziali che descrivono ciascunacomponente del tensore degli sforzi di Reynolds. Più precisamente le equa-zioni da risolvere sono sette, di cui sei per descrivere ogni componente deltensore 〈(u′ · ∇)u′〉, più un'ulteriore equazione per ε che compare nelle altreequazioni. Questi modelli sono abbastanza recenti, essendo stati introdottida Launder nel 1975, e non hanno una grande diusione in ambito indu-striale, sia a causa della loro maggiore complessità e costo computazionale,sia perché sono stati validati poco rispetto ai metodi basati sulla viscositàturbolenta. E' chiaro che potenzialmente questi modelli hanno un range diapplicabilità più ampio, essendo by-passata l'ipotesi di allineamento tra iltensore degli sforzi di Reynolds e il tensore 〈D〉 che, come visto, rappresentauna delle maggiori limitazioni all'uso dei modelli di turbolenza alla Boussine-sq. Dal punto di vista matematico, la condizione di partenza di questi metodi

18

2.4. Il problema di ottimizzazione

è data dall'equazione del trasporto del tensore degli sforzi di Reynolds, quiindicato con rij:

uk∂rij∂xk

= − ∂

∂xkTkij + Pij + Rij − εij (2.16)

dove il termine Pij è il tensore di produzione, noto in forma chiusa, εij èil tensore di dissipazione, che al pari del tensore Rij, legato agli eetti diredistribuzione, necessita una modellazione completa e Tkij è il tensore triplolegato agli eetti di trasporto che richiede una modellazione parziale, essendoalcuni suoi contributi già noti in forma chiusa.

2.4 Il problema di ottimizzazione

Per ricavare le equazioni aggiunte riscriviamo prima di tutto le 2.9 nellaloro forma stazionaria3 e rielaborando il termine legato agli sforzi viscosi,utilizzando le relazioni 2.8:

∇ · u = 0

(u · ∇)u = −∇p+∇ · (2νeD)(2.17)

dove ricordiamo che la viscosità eettiva νe = ν + νt, tiene conto anche delmodello di turbolenza utilizzato.La trattazione matematica che conduce alla denizione delle equazioni ag-giunte qui sviluppate si rifà alla trattazione di [14], a cui si rimanda perulteriori approfondimenti.E' necessario mettere in evidenza come nel presente lavoro le equazioni ag-giunte vengano ricavate come equazioni dierenziali alle derivate parziali,partendo da un set di equazioni e funzioni obiettivo denite in forma analiti-ca; questo tipo di approccio prende il nome di problema aggiunto continuo.Esiste anche la possibilità di ricavare le equazioni aggiunte partendo dal-le equazioni dirette e dalla funzione obiettivo in forma discreta; in questocaso si parla di problema aggiunto discreto. Le due formulazioni portanoalla denizione di sensitività dierenti, che tuttavia tendono a sovrapporsiall'inttirsi della griglia. Come intuibile la formulazione continua permetteuna comprensione maggiore dei termini di ciascuna equazione e delle con-dizioni al contorno, orendo inoltre versatilità nella scelta degli schemi didiscretizzazione da utilizzare. Questa formulazione tuttavia fornisce soltantoun'approssimazione della sensitività per la funzione obiettivo discreta. La

3Per una chiarezza espositiva, le variabili dell'equazione, pur essendo variabili mediatealla Reynolds, non sono state sopra-segnate.

19

Capitolo 2

formulazione discreta invece permette di ovviare a questo inconveniente, inquanto il gradiente calcolato è esatto per la funzione obiettivo discreta, tutta-via presenta intrinseche dicoltà, sia nella denizione che nella comprensionedi equazioni e condizioni al contorno.Il problema di ottimizzazione può essere denito in termini di minimizzazio-ne di una certa funzione obiettivo (pensiamo alla resistenza aerodinamica)imponendo che vengano rispettati dei vincoli di natura sica e progettuale.Nell'ambito della denizione del presente problema, i vincoli imposti sarannolegati al soddisfacimento delle equazioni 2.17.Si denisce la funzione obiettivo J = J(β,u, p), dove β è la variabile di de-sign, corrispondente alla deformazione in direzione normale, mentre (u, p)sono le variabili dirette, ovvero velocità e pressione; il problema diventa

minimizzare : J(β,u, p)

soggetto a : R(β,u, p) = 0

E' chiaro che R = (R1, R2, R3, R4)T denota proprio le equazioni 2.17, espri-mibili nella forma:

(R1, R2, R3)T = (u · ∇)u +∇p−∇ · (2νeD)

R4 =−∇ · u

Per l'applicazione del vincolo alla funzione obiettivo denisco la lagrangiana:

L = J +

∫Ω

(v, q)R

indicando con Ω il dominio considerato. Il termine (v, q) rappresenta il vet-tore de moltiplicatori di Lagrange. E' necessario a questo punto valutare lavariazione della lagrangiana:

δL = δβL + δuL + δpL

Tra tutte le possibili soluzioni, imponiamo che i moltiplicatori di Lagrangesiano scelti in modo tale da annullare identicamente δuL + δpL; dall'imposi-zione di questa condizione si ricavano le equazioni aggiunte.

2.4.1 Le equazioni aggiunte

Per arrivare alla formulazione delle equazioni aggiunte è necessario svilupparela condizione di annullamento imposta:

δuL + δpL = δuJ + δpJ +

∫Ω

(v, q)δuR +

∫Ω

(v, q)δpR = 0 (2.18)

20

2.4. Il problema di ottimizzazione

Analizziamo la variazione dei diversi termini dell'equazione 2.17:

δu(R1, R2, R3)T = (δu · ∇)u + (u · ∇)δu−∇(2νeD(δu))

δuR4 =−∇ · δuδp(R1, R2, R3)T = ∇δp

δpR4 = 0

Abbiamo imposto nulla la variazione della viscosità δνe; questa condizione èvera, a rigore, in un usso laminare, mentre per i ussi turbolenti è un'appros-simazione comune nota come frozen turbulence. Questa approssimazione èmolto frequente, in quanto riduce il costo computazionale della simulazioneaggiunta; la consistenza di tale ipotesi può essere facilmente compresa andan-do ad analizzare [15] in cui viene sviluppato un solutore aggiunto turbolentobasato sul modello di Spalart-Allmaras. In particolare in questo lavoro siconfronta la sensitività ricavata con l'ipotesi di frozen turbulence con quel-la ricavata da un aggiunto turbolento e con quella direttamente calcolatautilizzando le dierenze nite. Sebbene la sensitività turbolenta appros-simi meglio quella ricavata con dierenze nite, la sensitività con l'ipotesidi frozen turbulence mostra un andamento qualitativo molto vicino a quellodi riferimento, pur non essendo rispettati i valori puntuali lungo la geome-tria considerata. Pertanto questa approssimazione si traduce solamente inun'ottimizzazione più lenta rispetto a quella del caso completo, condizioneperò compensata dal minor costo computazionale del solutore aggiunto, chechiaramente non dovrà risolvere equazioni associate alla viscosità.Esplicitando le variazione dei vari termini all'interno delle equazioni 2.18 siottiene:

δuJ + δpJ +

∫Ω

v ·((δu · ∇)u + (u · ∇)δu−∇(2νeD(δu)

)−∫

Ω

q∇ · δu +

∫Ω

u · ∇δp = 0

In generale è sempre possibile suddividere la funzione obiettivo in una partelegata solo al contorno e una legata solo al volume, ovvero

J =

∫Γ

JΓ +

∫Ω

JΩ

Utilizzando la regola di integrazione per parti e il teorema della divergenzaè possibile ottenere la forma nale delle equazioni aggiunte, avendo spostato

21

Capitolo 2

le variazioni delle variabili al di fuori degli operatori dierenziali:∫Γ

(v · n +

∂JΓ

∂p

)δp+

∫Ω

(−∇ · v +

∂JΩ

∂p

)δp

+

∫Γ

(n(v · u) + v(u · n) + 2νen · D(v)− qn +

∂JΓ

∂u

)· δu

−∫

Γ

2νen · D(δu) · v

+

∫Ω

(−∇v · u− (u · ∇)v −∇ ·

(2νeD(v)

)+∇q +

∂JΩ

∂u

)· δu (2.19)

Come al solito le equazioni vengono ricavate a partire dall'argomento degliintegrali di volume, mentre gli integrali di supercie permettono di ricavarele condizioni al contorno. Le equazioni aggiunte valgono pertanto:

−2D(v)u = ∇ ·(2νeD(v)

)−∇q − ∂JΩ

∂u

∇ · v = ∂JΩ

∂p

(2.20)

dove abbiamo utilizzato l'equivalenza −∇v · u − (u · ∇)v = −2D(v)u. Lecondizioni al contorno varranno rispettivamente:∫

Γ

(n(v · u) + v(u · n) + 2νen · D(v)− qn +

∂JΓ

∂u

)· δu

−∫

Γ

2νen · D(δu) · v =0∫Γ

(v · n +

∂JΓ

∂p

)δp =0

E' immediato constatare come le equazioni aggiunte presentino una formasimile alle equazioni di Navier-Stokes, dalle quali derivano, sebbene dieri-scano per alcuni aspetti fondamentali. Innanzitutto le equazioni aggiuntesono equazioni lineari, in quanto esse vengono risolte sempre dopo aver giàottenuto la soluzione per il usso diretto. Nelle equazioni aggiunte inoltreil termine convettivo agisce upstream ovvero il trasporto dell'informazioneavviene in direzione opposta; matematicamente ci si accorge di questo per-ché il termine di trasporto ha il segno opposto rispetto alle equazioni dirette.Inne nelle equazioni aggiunte, compare solamente il termine di volume dellafunzione obiettivo, mentre il termine legato al contorno è presente solo nellecondizioni al contorno. Questo aspetto può essere molto importante, speciedal punto di vista numerico: se si utilizza un funzione obiettivo in cui JΩ = 0(possibile in ambito aeronautico), le equazioni diventano indipendenti dallafunzione costo ed è quindi possibile sviluppare un solutore indipendente daltipo di problema che si va ad analizzare.

22

2.4. Il problema di ottimizzazione

2.4.2 Sensitività

Le equazioni aggiunte vengono ricavate imponendo l'annullamento del termi-ne δuL + δpL. La risoluzione delle suddette equazioni permette di trovare ivalori della velocità e della pressione aggiunta che rendono identicamente nul-la la relazione precedente. Pertanto è possibile scrivere δL = δβL, denendoil termine a destra dell'equazione sensitività. E' possibile rielaborare l'espres-sione della sensitività, sfruttando le relazioni già ottenute precedentemente.In particolare:

δβL = δβJ + δβ

∫Ω

(v, q) · R

in cui il primo termine a destra dell'uguale rappresenta la dipendenza espli-cita della funzione costo dalle variabili di design.I residui R delle equazioni di Navier-Stokes sono, per denizione, identica-mente nulli; è possibile scrivere pertanto:

δR = δβR + δuR + δpR = 0

In questo modo possiamo riscrivere δβR in funzione di δuR e δpR, per cui:

δβL = δβJ −∫

Ω

(v, q) · δuR−∫

Ω

(v, q) · δpR

Questi ultimi termini sono gli stessi presenti nell'equazione 2.18 e successi-vamente rielaborati nell'equazione 2.19. Escludendo quindi i termini legatialla derivata della funzione costo, otteniamo:

δβL = δβJ −∫

Γ

(v · n

)δp−

∫Ω

∇ · vδp

−∫

Γ

(n(v · u) + v(u · n) + 2νen · D(v)− qn

)· δu

+

∫Γ

2νen · D(δu) · v

−∫

Ω

(−∇v · u− (u · ∇)v −∇ ·

(2νeD(v)

)+∇q

)· δu

Se la funzione obiettivo non dipende dal volume interno, ovvero se JΩ = 0,gli integrali di volume si possono eliminare, in quanto v e q soddisfano leequazioni aggiunte; si ottiene la seguente espressione per la sensitività:

δβL = δβJ −∫

Γ

(n(v · u) + v(u · n) + 2νen · D(v)− qn

)· δu

−∫

Γ

(v · n

)δp +

∫Γ

2νen · D(δu) · v (2.21)

23

Capitolo 2

Questa formulazione della sensitività si rivela inutile dal punto di vista nu-merico, visto che δu e δp non sono noti a priori; è perciò necessaria un'ap-prossimazione. Poiché β è riferito a sole deformazioni in direzioni normali,è possibile seguire la strada proposta da Soto e Löhner [16], esprimendo levariazioni delle variabili dirette attraverso un'espansione in serie di Taylorarrestata al secondo ordine:

δu = (n · ∇)u + O(β2) e δp = (n · ∇)p+ O(β2)

Sostituendo queste espressioni nell'equazione 2.21, si ottiene la forma deni-tiva della sensitività.

2.5 Il problema di ottimizzazione per correnti

esterne

E' necessario particolarizzare, da un punto di vista matematico, il problemadell'ottimizzazione, andando a denire nel dettaglio le equazioni dirette edaggiunte con le rispettive condizioni al contorno e la sensitività per correntiaerodinamiche esterne, caratterizzate solitamente da condizioni al contornoqualitativamente simili.

2.5.1 Problema diretto

Le equazioni utilizzate sono le RANS nella loro forma stazionaria, ottenuteeliminando il termine di derivata temporale dalle 2.9:

∇ · u = 0

(u · ∇)u +∇P −∇ · νe∇u + 〈(u′ · ∇)u′〉 = 0(2.22)

Chiaramente a queste equazioni si aggiungono le equazioni del modello diturbolenza utilizzato. Analizziamo nel dettaglio le condizioni al contorno.

Inlet

La velocità è ssata e pari al valore della velocità della corrente asintotica,mentre, in maniera duale, la pressione sarà determinata con una condizionezero gradient, ovvero ∂p

∂n= 0

Wall

Sulle patch di tipo wall la velocità sarà ssata e pari a 0, mentre per lapressione verrà utilizzato nuovamente la condizione zero gradient.

24

2.5. Il problema di ottimizzazione per correnti esterne

Figura 2.2: Dominio del problema

Outlet

All'outlet le condizioni su velocità e pressione si invertono, con pressione ssa-ta e pari ad un valore arbitrario (la pressione per le equazioni incomprimibilinon ha valore sico) e zero gradient per la velocità.

2.5.2 Funzione costo

La funzione costo verrà denita come la componente di resistenza legataalla pressione; essa è stata sviluppata innanzitutto per l'ottimizzazione deiproli, tuttavia è applicabile senza modiche all'ottimizzazione di qualsia-si geometria. Consideriamo per semplicità il caso del prolo: deniamoinnanzitutto il dominio, indicando con ΓS il contorno del dominio uido,coincidente con il prolo come indicato in gura 2.2. La funzione obiettivocoinciderà con la resistenza di forma, ovvero la resistenza legata al contributodella sola pressione, proiettata lungo la direzione della velocità asintotica eadimensionalizzata:

J =1

12|U∞|3

∫ΓS

p n ·U∞ =

∫ΓS

JΓ

2.5.3 Equazioni aggiunte

Le equazioni aggiunte vengono ricavate dalle equazioni di Navier-Stokes in-comprimibili, le stesse che verranno utilizzate per l'analisi del prolo aero-nautico. La sostanziale dierenza rispetto alle equazioni 2.20 sta nell'assenzadel termine di funzione costo legata al volume:

−∇v · u− (u · ∇)v = ∇ ·(2νeD(v)

)−∇q

∇ · v = 0(2.23)

25

Capitolo 2

2.5.4 Condizioni al contorno

Le condizioni al contorno possono essere particolarizzate per inlet, outlet ewall, ovvero condizioni a parete sul prolo. E' necessario però rielaborareleggermente le condizioni al contorno, riscrivendo il termine legato alla vi-scosità; è possibile dimostrare che per i campi solenoidali v e δu con almenouno dei due nullo sul contorno ΓS, vale la seguente relazione:∫

Γ

2νen(D(v) · δu− D(δu) · u

)=

∫Γ

((νe · ∇)v · δu− (n · ∇)δu · v

)−∫

Γ

∇νe ·(

(v · n)δu− (δu · n)v)

(2.24)

dove il secondo integrale può essere annullato sia per ussi laminari, dove νeè la sola viscosità molecolare e dunque il suo gradiente è nullo, sia per ussiturbolenti nell'ipotesi di frozen turbulence, qui adottata. Da quest'ultimaequazione si ricavano le condizioni a contorno nella loro forma nale:∫

Γ

(n(v · u) + v(u · n) + νe(n · ∇)v − qn +

∂JΓ

∂u

)· δu

−∫

Γ

νe(n · ∇)δu · v =0 (2.25)∫Γ

(v · n +

∂JΓ

∂p

)δp =0 (2.26)

Inlet

All'inlet è solitamente assegnata la velocità, per cui δu = 0 e il primo in-tegrale dell'equazione 2.25 è identicamente nullo. La riscrittura del secondotermine passa innanzitutto dalla scomposizione della divergenza di δu nellasua componente normale e tangenziale:

∇ · δu = (n · ∇)δun +∇|| · δut = 0

ma sul contorno δut = 0, perciò (n · ∇)δun = 0 e pertanto (n · ∇)δu =(n · ∇)δut. Per questo motivo il secondo termine si riduce esclusivamente a∫

Γ

νe(n · ∇)δut · vt

ovvero vt = 0. L'equazione 2.26 non subisce ulteriori modiche, ma si riducesemplicemente a

v · n = 0

26

2.5. Il problema di ottimizzazione per correnti esterne

perché la funzione obiettivo è nulla al contorno di inlet. Si può notare comedalle condizioni al contorno non venga ricavato alcun vincolo sulla pressioneaggiunta, che di conseguenza assumerà all'inlet una condizione simile a quelladella pressione diretta.

Wall

Anche sul contorno solido la 2.25 assume la stessa forma del contorno di inlet,ovvero vt = 0. Al contrario la 2.26 tiene conto della derivata della funzioneobiettivo rispetto alla pressione diretta:

v · n = − 112|U∞|3

n ·U∞

Anche in questo caso non ho nessuna condizione sulla pressione aggiunta eanche in questo caso utilizzerò la stessa condizione della pressione diretta.

Outlet

All'outlet solitamente la condizione imposta è di tipo zero gradient, ovvero∂u∂n

= 0. Per questo motivo il secondo integrale della 2.25 è identicamentenullo. La condizione al contorno viene ricavata imponendo l'argomento delprimo integrale uguale a zero:

n(v · u) + v(u · n) + νe(n · ∇)v − qn +∂JΓ

∂u= 0

Considerando solo la direzione normale e annullando il termine legato al-la funzione obiettivo (nulla all'outlet), ottengo la condizione sulla pressioneaggiunta:

q = v · u + vnun + νe(n · ∇)vn (2.27)

Considerando invece la sola direzione tangenziale ottengo una condizionesulla vt:

0 = unvt + νe(n · ∇)vt

Inne la condizione 2.26 assume la stessa forma dell'inlet, ovvero v · n = 0

2.5.5 Sensitività

La sensitività viene riscritta considerando che

δβJ = ∇p · U∞12|U∞|3

= ∇p · d12|U∞|2

27

Capitolo 2

e riscrivendo i termini dipendenti dal tensore velocità di deformazione, uti-lizzando l'identità:

2n · D(v) = (n · ∇)v +∇(v · n)

La sua forma nale sarà:∫ΓS

(∇p ·U∞12|U∞|2

−νe(n ·∇)v · (n ·∇)u−νe(n ·∇)(n ·∇)u · d12|U∞|2

+q(n ·∇)u)

28

Capitolo 3

Analisi del work-ow

Nel presente capitolo verrà discussa l'implementazione numerica del work-ow di ottimizzazione. Questo work-ow è stato sviluppato primariamenteper l'ottimizzazione di proli, sebbene alcune parti vengano utilizzate in ma-niera analoga per l'ottimizzazione dell'autovettura. Innanzitutto si andrà adanalizzare in termini generali il usso di lavoro, ponendo successivamenteattenzione su ciascuna componente del loop. In particolare verrà analizzatala mesh, i solutori utilizzati all'interno di OpenFOAM, l'ottimizzatore e gliscript di interfaccia tra i vari mattoni del ciclo di ottimizzazione.

3.1 Introduzione

L'ottimizzazione di forma del prolo analizzata nel presente lavoro, avvieneattraverso un loop di modica della geometria, utilizzando un work-ow to-talmente costituito da programmi open-source. Il usso di lavoro può esserepensato come composto da diversi blocchi che lavorano in maniera indipen-dente tra loro, messi però in comunicazione con script di interfaccia in Py-thon. Il punto di partenza per l'ottimizzazione è la generazione di una mesh,sia essa per il prolo, sia essa per l'autovettura. La simulazione diretta per-mette il calcolo dei campi di pressione e velocità, permettendo di valutarei coecienti aerodinamici che vengono solitamente adoperati come funzioneobiettivo o vincolo. Successivamente con ulteriori due simulazioni si valutala sensitività, che dipende dai campi diretti e da quelli aggiunti, rispetto allafunzione obiettivo ed eventualmente rispetto al vincolo.Non è da confondere il signicato di vincolo, che qui assume una denizioneleggermente diversa dalla denizione di vincolo introdotta nel capitolo prece-dente e riferita alle equazioni 2.17. Nella denizione delle equazioni aggiunteinfatti, è stata denita una certa funzione obiettivo J ed un insieme di vinco-

29

Capitolo 3

MESHING

AGGIUNTO

VINCOLO

SMOOTHING

SENSITIVITA’

IMPOSIZIONE

VINCOLI

DEFORMAZIONE

GEOMETRICA

DIRETTO

AGGIUNTO

OBIETTIVO

Figura 3.1: Struttura del work-ow

li, costituiti dalle equazioni mediate di Reynolds stazionarie. Questi vincolirappresentano le condizioni che la soluzione aggiunta, ovvero velocità e pres-sione aggiunte, deve soddisfare. Poiché la sensitività viene calcolata come unacombinazione dei campi diretti e aggiunti, valutati sul prolo, allora anchela sensitività rispetterà le condizioni imposte. I vincoli trattati nel presentecapitolo sono invece condizioni che la soluzione di ottimo, ovvero il proloindividuato, deve rispettare. Si nota allora come nel primo caso il vincolosi applichi sulla soluzione aggiunta che permette di calcolare la sensitività,ovvero il gradiente, del problema di ottimizzazione, mentre nel secondo casoil vincolo si applichi direttamente sulla soluzione calcolata utilizzando quelgradiente.Tutti i passaggi nora presentati, sia la mesh, sia le simulazioni, vengonoeseguite utilizzando OpenFOAM. Lo smoothing della sensitività sul pro-lo avviene attraverso degli script di Python che permettono di sfruttare lefunzioni built-in presenti nelle librerie per il calcolo numerico, specialmentenumpy (Numerical Python). L'applicazione dei vincoli avviene utilizzandol'ottimizzatore Dakota che pilota in questo modo il processo di ottimizzazio-ne; dalla lettura di sensitività, funzione obiettivo e vincolo, l'ottimizzatorecrea gli spostamenti per i punti del prolo. Inne un altro script Python prov-

30

3.2. OpenFOAM

vede alla deformazione geometrica del prolo che può essere a questo puntori-meshato, riavviando il loop. Il loop viene eseguito no a convergenza o noal raggiungimento di un certo wall-time ssato all'inizio. Esso viene lanciatoattraverso un script PBS per la gestione delle code in piattaforme HPC. Lacomunicazione tra blocchi avviene principalmente attraverso script di Pythonche ad esempio scrivono il dizionario utilizzato per la mesh, scrivono i coe-cienti aerodinamici e le sensitività in le di testo leggibili dall'ottimizzatoreo deformano la supercie utilizzando gli output dell'ottimizzatore.

3.2 OpenFOAM

OpenFOAM (Open Field Operation And Manipulation) è una piattaformatotalmente open-source, scritta in C++, per il calcolo CFD e per la gene-razione di mesh. OpenFOAM è nato nel 1989, ma è stato rilasciato comesoftware aperto solamente nel 2004. Ad oggi, presenta un grande numero disolutori e di utility, per la trattazione di un grandissimo numero di problemi,non soltanto di carattere uidodinamico (comprimibile ed incomprimibile),ma anche in ambito di chimica, elettromagnetismo o economia.Un generico caso di OpenFOAM si presenta tipicamente organizzato in 3cartelle fondamentali:

0: contiene le condizioni al contorno e le condizioni iniziali;

constant: contiene le informazioni relative alla mesh e al tipo dimodello sico utilizzato, compresi eventuali modelli di turbolenza;

system: contiene le informazioni sul solutore, sugli schemi di calcolo esul post-processing delle informazioni.

Le istruzioni di OpenFOAM vengono gestite attraverso l'utilizzo di dizio-nari che, utilizzando parole chiave, permettono di determinare in manieraprecisa tutti i parametri che controllano la simulazione. In questo modosi possono utilizzare istruzioni di alto livello che non richiedono conoscen-ze approfondite di programmazione; dall'altro lato però, l'utilizzo di C++,con un'implementazione fortemente orientata alla programmazione a ogget-ti, consente di modicare pezzi di codice, senza inciare la qualità globale diprogrammazione.Accanto a queste tre cartelle, OpenFOAM genera in maniera automaticacartelle per gli istanti di tempo contenenti la soluzione e cartelle di post-processing che contengono, ad esempio, i coecienti aerodinamici calcolati.I solutori presenti in OpenFOAM per l'ambito uidodinamico sono numero-si, tuttavia è possibile notare come tutti siano implementati sulla base del

31

Capitolo 3

Figura 3.2: Struttura di un caso in OpenFOAM

metodo ai volumi niti.I metodi ai volumi niti sono particolarmente utili nell'ambito della uidodi-namica, specie comprimibile, e si basano sulla discretizzazione delle equazioniin forma conservativa, quindi integrale, in ogni volume della griglia di calcolo.I valori ottenuti sono riferiti al centro di ciascun volume di controllo, dettianche nodi di griglia, interpolando successivamente la soluzione per ottenereil valore su tutta la supercie del volume di controllo; caratteristica tipicadei metodi a volumi niti è la valutazione dei ussi all'interfaccia di ciascunvolume per il calcolo della soluzione nei punti nodali della griglia.OpenFOAM non possiede un'interfaccia graca, pertanto non permette difatto la visualizzazione graca dei risultati ottenuti dalla simulazione. Aquesto inconveniente è possibile sopperire in maniera molto semplice utiliz-zando Paraview, un programma open-source, più recente di OpenFOAM,che consente di importare i dati della simulazione e visualizzare oltre chepost-processare i risultati ottenuti.

3.3 Mesh

La discretizzazione del dominio di calcolo rappresenta il primo passaggio perla risoluzione numerica delle equazioni della uidodinamica e per la succes-siva ottimizzazione di forma. La discretizzazione del dominio attraverso lamesh è un'operazione concettualmente semplice, che tuttavia va analizzatain maniera rigorosa, vista la grandissima inuenza che essa ha su tutti gli

32

3.3. Mesh

step successivi del problema. E' ben noto infatti, che la maggior parte deiproblemi di convergenza o di stima delle quantità uidodinamiche di interes-se siano legati non tanto alla scelta dei solutori o delle condizioni al contorno,quanto ad una cattiva discretizzazione del dominio di calcolo. Anche nel ca-so apparentemente banale di corrente bidimensionale attorno ad un corpo diforma aerodinamica, esistono diverse possibilità di realizzazione della mesh,ognuna con i propri vantaggi e svantaggi.

3.3.1 Tipologia della mesh

La prima distinzione possibile per le mesh è tra griglie di calcolo strutturatee griglie non strutturate.Le griglie strutturate (3.3) sono le più semplici da generare e si basano sulladiscretizzazione esaedrica o cubica dello spazio, denendo un dominio con-nesso in maniera regolare. Nelle griglie strutturate, ogni nodo interno è cir-

Figura 3.3: Mesh strutturata

condato dallo stesso numero di celle; dal punto di vista matematico, le meshstrutturate non necessitano di matrice di connettività, essendo i nodi di cia-scuna cella disposti in maniera ordinata. E' chiaro che le mesh strutturatepresentano evidenti vantaggi dal punto di vista dell'ecienza computaziona-le e dell'implementazione, non dovendo utilizzare la matrice di connettivitàad ogni iterazione ed avendo una struttura regolare per le equazioni discre-tizzate. D'altro canto è dicile sia utilizzare mesh strutturate su geometriecomplicate sia inttire localmente la mesh, con la conseguenza di utilizzaregriglie tte, dense di elementi, anche laddove basterebbe una griglia moltopiù lasca.Le mesh non strutturate (3.4) si basano sulla discretizzazione tetraedrica oanche esaedrica dello spazio e deniscono un dominio connesso in maniera ir-regolare, necessitando quindi della matrice di connettività. Ovviamente que-sto tipo di mesh ha una maggiore versatilità e una maggiore generalizzazionein termini di algoritmi di implementazione, tuttavia ne viene condizionatoil costo computazionale. Bisogna ricordare che la regolarità delle equazioni

33

Capitolo 3

Figura 3.4: Mesh non strutturata

algebriche viene compromessa e spesso per ottimizzare la risoluzione delleequazioni, è necessario riordinare i punti per poter ridurre il band-width.

Figura 3.5: Dierenza tra mesh

3.3.2 Le mesh in OpenFOAM

OpenFOAM è in grado di gestire entrambi i tipi di mesh, fornendo la pos-sibilità di importare griglie generate con programmi esterni e al contempofornendo una suite built-in per la generazione di mesh. E' da notare comedal punto di vista dei solutori, qualunque tipo di mesh venga vista da Open-FOAM come una mesh non strutturata, generando comunque una matricedi connettività. Questa caratteristica da un lato garantisce l'applicabilitàgenerale dei solutori implementati, perdendo però i vantaggi computaziona-li di avere griglie ordinate. L'applicazione di OpenFOAM che permette lacreazione di mesh a partire da una geometria di partenza inserita in formato

34

3.3. Mesh

stl è snappyHexMesh. Essa si basa sull'utilizzo di un ulteriore applicazionebuilt-in di OpenFOAM, blockMesh che consente di creare una griglia di back-ground, totalmente composta da esaedri. A partire da questa mesh di base,snappy lavora in tre diverse fasi:

1 castellated Mesh phase: ranamento della mesh attraverso unosplitting delle celle, seguendo il contorno della geometria assegnata, erimozione delle celle al di fuori del dominio uido;

2 snap Mesh phase: morphing delle celle per seguire con precisione ibordi delle geometria

3 layers addition phase: eventuale ranamento in corrispondenza dibordi solidi attraverso l'introduzione di layer

E' da notare come per geometrie semplici sia possibile generare mesh soddi-sfacenti utilizzando esclusivamente il blockMesh. BlockMesh necessita istru-zioni legate esclusivamente alla topologia del problema, dovendo denire isingoli vertici che permettono di descrivere il dominio, oltre che implemen-tare matematicamente le superci da includere. Nonostante ciò, blockMeshimpiega molto meno tempo di snappy, con un utilizzo di risorse di calcolopraticamente nullo.

3.3.3 I parametri di una mesh

La scelta della mesh non è legata esclusivamente a valutazioni sulla comples-sità della geometria trattata; esistono infatti numerosi parametri da tenerein considerazione per poter garantire una soluzione numerica il più possibi-le vicina alla realtà sica. Il primo parametro da valutare è sicuramente ilvalore della y+ a parete; come noto:

y+ =yuτν

con uτ =

√τwρ

La y+, nota come distanza adimensionale di parete, è un parametro che per-mettere di distinguere le diverse regioni dello strato limite, caratterizzate dadierenti leggi per la velocità uτ . Essa è stata introdotta nello studio dellaturbolenza di parete ed ha assunto un'importanza notevole anche in ambitonumerico. Se si analizza infatti l'andamento della uτ in dipendenza della y+

in gura 3.6, si nota come sia possibile suddividere lo strato limite in un

35

Capitolo 3

sotto-strato viscoso, per y+ < 5, una regione di raccordo nota come buerlayer e la regione logaritmica per y+ > 30. Questa regione prende il nomedalla legge di tipo logaritmico che lega la uτ con la y+; questa legge, intro-dotta da Von Karman nello studio della turbolenza di parete, è una leggeuniversale ed estendibile grazie ai parametri adimensionali utilizzati a qual-siasi tipo di strato limite.In ambito numerico la y+ compare nella denizione di alcuni modelli di tur-

Figura 3.6: Andamento della uτ al variare della y+

bolenza e al contempo diviene un parametro di selezione per la tipologia digriglia da utilizzare. Nella generazione di mesh si possono seguire principal-mente 2 strade: generare una mesh molto tta, con y+ ' 1, discretizzandolo strato limite no al substrato viscoso e potendo risolvere con accuratezzaanche per le piccole scale a parete, oppure generare una griglia che abbia aparete una y+ maggiore e utilizzare le wall function, introdotte da Launder eSpalding nel 1972, per correggere l'andamento della uτ a parete, limitandosia risolvere no allo zona logaritmica dello strato limite. Le wall functionpermettono di risolvere lo strato limite no alla regione logaritmica, rispar-miando in termini computazionali.Chiaramente la y+ può essere controllata inttendo globalmente o localmen-te la griglia. Bisogna tuttavia evidenziare come quest'ultimo approccio non

36

3.3. Mesh

sia corretto a rigore per le equazioni aggiunte, che sono state ricavate sen-za introdurre le wall-function. Da questo punto di vista però, è abbastanzaconsueto utilizzare equazioni aggiunte senza aver introdotto le wall functionnella loro formulazione anche laddove esse siano necessarie nella simulazio-ne diretta, ottenendo in generale risultati sicamente accettabili. Esistononumerosi altri parametri, più o meno controllabili, tra i quali ci limitiamo acitare la non ortogonalità e la skewness delle celle.La non ortogonalità delle celle viene valutata come l'angolo compreso tra lanormale della faccia e la retta congiungente i centri delle due celle adiacenti aquella considerata. Essa può inciare pesantemente sul calcolo dei gradienti,specialmente nel termine diusivo [17] e deve essere sempre mantenuta al disotto dei 90, sebbene già al di sopra dei 65 siano necessari dei correttori cheaumentano i tempi della simulazione. La skewness viene valutata come la

Figura 3.7: Non ortogonalità

distanza adimensionale tra il centro della faccia e il segmento congiungentei centri di due celle adiacenti a quella considerata. Non genera problemi diinstabilità come la non ortogonalità, ma può introdurre una sostanziale dif-fusione numerica, inuenzando particolarmente i ussi convettivi. Esistonoparticolari schemi che permettono di ridurre il problema, pur non riuscendoa eliminarne del tutto gli eetti.

3.3.4 Le mesh realizzate

Nel presente lavoro si è utilizzato una griglia strutturata, generata con block-Mesh, per il prolo e una griglia non strutturata generata con snappyHex-Mesh per l'autovettura. In particolare l'approccio con blockMesh ha con-sentito di ridurre notevolmente i tempi di calcolo pur generando una nuovamesh ad ogni iterazione. La scelta dei parametri della mesh nel caso del

37

Capitolo 3

Figura 3.8: Skewness

prolo è stato frutto di un attenta analisi e confronto con dati sperimentaliabbondantemente presenti in letteratura, utilizzando in particolare quelli diLadson ([18]); l'analisi è riportata nel capitolo 4.

3.4 Solutore diretto

Il solutore utilizzato per il presente lavoro è un solutore stazionario per uidiincomprimibili turbolenti o eventualmente anche laminari, il SIMPLE (Semi-Implicit Method for Pressure-Linked Equations).Questo metodo è stato introdotto nei primi anni settanta dal professor BrianSpalding e dal suo studente Suhas Patankar; esso è stato ampiamente uti-lizzato perché permette di risolvere in maniera disaccoppiata le equazioni diquantità di moto e massa, permettendo un risparmio computazionale rispet-to ai solutori accoppiati. In generale dalla discretizzazione delle equazioni diNavier-Stokes incomprimibili, nascono due o tre, a seconda della geometria,equazioni scalari legate alla conservazione della quantità di moto e un'equa-zione di continuità. Dalle equazioni in forma dierenziale è necessario passarealla forma integrale conservativa per poter utilizzare metodi a volumi ni-ti; per le equazioni incomprimibili stazionarie, si avrà come equazione dellaquantità di moto:

∇ · (u⊗ u)−∇ · (νe∇u) = −∇p

che nella forma integrale sarà∫Γ

u(u · n) +

∫Γ

νe∇u · n = −∫

Ω

∇p (3.1)

38

3.4. Solutore diretto

Gli integrali di supercie vengono generalmente approssimati come la sommadegli integrali calcolati su ciascuna faccia della celle, che a loro volta possonoessere invece approssimati in modo dierente, a seconda dell'ordine del me-todo scelto. In generale il metodo più semplice consiste nel valutare il valoredella funzione al centro della faccia considerata.∫

Γ

fdΓ ≈∑k

∫Γk

f dΓk ≈∑k

fk ∆Sk

In maniera del tutto analoga per gli integrali di volume si considera esclusiva-mente il valore della funzione nel centro della cella moltiplicata per il valoredel volume della cella stessa. ∫

Ωp

q dΩ = qp ∆Ω

In generale per questo tipo di problemi vengono utilizzate le staggered grid[19], ovvero griglie sfalsate, in cui si utilizzano volumi di controllo diversiper il calcolo delle quantità uidodinamiche incognite. In gura 3.9, appareevidente la caratteristica di una griglia sfalsata; viene salvata la pressione alcentro della griglia, mentre per le velocità si utilizzano dei volumi sfalsati chepermettono di salvare i valori delle velocità in uscita ed ingresso dalla cella.Questo tipo di procedimento non altera la conservatività delle equazioni epermette di semplicare l'approssimazione delle equazioni. Ad esempio l'e-quazione di continuità richiede il calcolo dei ussi all'interfaccia sulle variecelle e con questo approccio non è necessario interpolare ad ogni nuova itera-zione. Dalla discretizzazione dell'equazione 3.1 si ottiene l'equazione discretache rappresenta il punto di partenza per l'algoritmo SIMPLE, come mostratoin [19]; si otterrà

apup =∑nb

anbunb −∇p

oppure in forma più sintetica come

apup = H(u)−∇p (3.2)

Il primo termine rappresenta il valore del vettore velocità nel centro dellacella con un coeciente moltiplicativo, il secondo termine si ricava dalla di-scretizzazione degli integrali di supercie e rappresenta il contributo dei valoridella velocità sul bordo della cella (nb per neighborhood). Il terzo termine èil gradiente di pressione, che agisce come forzante in questa equazione; è statoscritto ancora in forma analitica in quanto la sua discretizzazione dipende dalmetodo e quindi dall'accuratezza scelta. Questa equazione è rappresentatain maniera molto intuitiva in OpenFOAM:

39

Capitolo 3

Figura 3.9: Staggered grid

s o l v e(

fvm : : div ( phi , U)+ turbulence−>divDevReff (U)==− f v c : : grad (p)

) ;

avendo utilizzato φ, che per un solutore incomprimibile coincide con la veloci-tà. Questo estratto di codice sorgente rivela la semplicità di OpenFOAM nelrappresentare equazioni alle derivate parziali, grazie alla creazioni di classi edi operatori che permettono una scrittura semplice dei vari termini; in parti-colare si può notare come l'equazione venga risolta semplicemente inserendoil comando solve e come sia la divergenza che il gradiente vengano richiamaticon le rispettive funzioni div e grad. Il comando fvm discretizza in formaimplicita il termine di divergenza, generando una matrice per la successivarisoluzione del sistema. Il comando fvc, non genera una matrice come nelcaso precedente, ma un campo, vettoriale o scalare, e viene utilizzato per itermini espliciti dell'equazione.Nell'algoritmo SIMPLE la pressione viene supposta nota e pari al valore al-l'istante precedente o ad una guess iniziale alla prima iterazione. Nota lapressione, è possibile risolvere questo sistema di equazioni non lineare, rica-vando la velocità nella cella up. La velocità trovata non soddisfa l'equazionedi continuità, in quanto è stata ricavata utilizzando una pressione errata. Sipuò tuttavia pensare di andare a ricavare una correzione per velocità e pres-sione, in modo da avere il soddisfacimento del vincolo di incomprimibilità.

40

3.4. Solutore diretto

In particolare si avrà u = u∗+u′ e analogamente per la pressione p = p∗+p′,dove u′ e p′ rappresentano rispettivamente la correzione sulla velocità e sullapressione. Anche per le correzioni è possibile scrivere l'equazione 3.2; da que-sta equazione, ipotizzando H(u′) = 0, si ottiene una dipendenza diretta trala correzione sulla velocità e la correzione sulla pressione. La p′ può esserericavata imponendo il soddisfacimento dell'equazione di continuità, ovveroricavando un'equazione di Poisson per la pressione. Se infatti sostituisco al-l'equazione ∇·u = 0 il valore up, si ottiene una pressione nella sola incognitap′. Questo procedimento è matematicamente equivalente alla riscrittura del-l'equazione di continuità come somma dei ussi sui contorni della cella e allasostituzione dei ussi con la loro espressione in funzione di u e p; anche inquesto caso si ottiene un'unica incognita, corrispondente con la pressionecorretta. Iterando il processo si ottiene il raggiungimento, a convergenza, diun campo di velocità solenoidale, ovvero con u′ = 0.E' da notare come l'ipotesi H(u′) = 0 sia un'ipotesi molto forte, che può por-tare all'insorgenza di problemi di convergenza. Pertanto è necessario sotto-rilassare la pressione p′; anche u∗ viene sotto-rilassata, in quanto calcolatacon una pressione sbagliata. I fattori di sotto-rilassamento, ovviamente mi-nori di uno, inuiscono sull'aggiornamento delle variabili ad ogni iterazionedel SIMPLE; se ad esempio consideriamo la prima componente della velocità:

unew = uold + α(unew − uold)con 0 < α ≤ 1

Ovviamente un fattore di sotto-rilassamento unitario permetterebbe una con-vergenza più veloce, ma chiaramente questo inuirebbe sulla stabilità dellasimulazione. In generale conviene impostare i sotto rilassamenti su valoricompresi tra 0.3 e 0.7, cercando sempre di ottenere la convergenza della so-luzione nel minor numero di iterazioni possibili.E' possibile accelerare la convergenza utilizzando una versione miglioratadel SIMPLE, ovvero il solutore SIMPLEC (SIMPLE Consistent). Questosolutore presenta lo stesso costo computazionale del SIMPLE, permettendotuttavia di eliminare il sotto-rilassamento della pressione, che solitamente èil più piccolo dei due, ottenendo una convergenza anche 2-3 volte più velocerispetto al caso standard. Nel SIMPLE il sotto-rilassamento sulla pressioneè causato dall'ipotesi di H(u′) = 0; l'eliminazione dei contributi delle faccedella cella rende in questo modo p′ l'unica incognita dell'equazione di Pois-son. Il SIMPLEC modica questa ipotesi, conservando i termini di contorno,che però vengono approssimati con la velocità al centro della cella, ovvero∑

nb

anbunb ≈ up

∑nb

anb

41

Capitolo 3

In questo modo si ottiene un'unica incognita nell'equazione di continuità eal contempo si velocizza la convergenza della soluzione, attraverso un'ipote-si consistente. In gura 3.10 è stato riportato lo schema SIMPLE così comepresente in OpenFOAM. Dei due possibili solutori illustrati precedentemente,

Figura 3.10: Algoritmo SIMPLE

solamente il SIMPLE è presente nella distribuzione uciale di OpenFOAM1.Per accelerare la convergenza e risparmiare risorse computazionali, special-mente nei loop di ottimizzazione, è stato sviluppato il solutore SIMPLEC,poi utilizzato nel presente lavoro. La modica è molto semplice, in quanto ènecessario modicare solamente l'equazione della pressione, includendo l'ap-prossimazione per i termini di contorno della cella. L'equazione della pressio-ne viene descritta nel le pEqn.C ; in questo le sono state incluse tre nuoverighe che permettono di cambiare il valore del coeciente moltiplicativo dellevelocità corrette nel centro della cella.

rAtU = 1 . 0 / ( 1 . 0 /rAU − UEqn ( ) . H1 ( ) ) ;phiHbyA +=

fvc : : i n t e r p o l a t e ( rAtU ( ) − rAU)* f v c : : snGrad (p)*mesh . magSf ( ) ;HbyA −= (rAU − rAtU ( ) )* f v c : : grad (p ) ;

Nella prima riga si calcolano i coecienti che vengono successivamente uti-lizzati per il calcolo dei ussi e della matrice H(u). Va osservato inne comeil SIMPLEC non migliori la qualità della soluzione, ma solamente la velocitàdi convergenza. La nuova equazione della pressione è stata riportata in formacompleta in appendice.

1La versione di OpenFOAM utilizzata sulle piattaforme di calcolo del Cineca è la 2.3.0.

42

3.4. Solutore diretto

Dalla scelta del solutore da utilizzare, sia esso SIMPLE o SIMPLEC, discen-dono automaticamente scelte dettagliate sugli schemi da utilizzare e suglialgoritmi di risoluzione da applicare alle varie equazioni.

3.4.1 Schemi di discretizzazione

OpenFOAM permette di specicare nel dettaglio quale schema di discre-tizzazione utilizzare per ciascun termine dell'equazione, modicando con leopportune parole chiave il dizionario fvSchemes nella cartella system. In par-ticolare è possibile specicare gli schemi di discretizzazione da utilizzare peri termini temporali (assenti per solutori stazionari come il SIMPLE), i ter-mini di divergenza, gradiente, laplaciano, componente normale rispetto allafaccia della cella del gradiente e schemi di interpolazione delle incognite perottenere i valori sulla faccia. Il termine su cui si può lavorare maggiormentenella scelta degli schemi è il termine di divergenza, che include ovviamente,anche il termine non lineare e il termine di sforzi di Reynolds modellati allaBoussinesq. Gli schemi utilizzabili possono essere schemi del primo ordine,molto stabili ma spesso eccessivamente diusivi come upwind, schemi di ordi-ne intermedio tra primo e secondo, schemi del secondo ordine con eventualecorrezione per la skewness e schemi di ordine superiore, utilizzati molto ra-ramente.Sia per il NACA 0012 che per il DrivAer sono stati utilizzati lo schema up-wind sulle variabili turbolente, sia essa ν per Spalart-Allmaras, sia k e ω per ilmodello k−ωSST , lo schema linearUpwind sulla velocità, uno schema a metàtra l'upwind (primo ordine) e il linear (secondo ordine), quest'ultimo utiliz-zato invece per la pressione. Sebbene possa sembrare inconsueto utilizzareuno schema di ordine elevato per la pressione piuttosto che per la velocità,si deve osservare come questa scelta sia abbastanza diusa in OpenFOAM.

3.4.2 Solver discreti

OpenFOAM consente inne di specicare che tipo di solver utilizzare perla risoluzione delle equazioni algebriche (o meglio dei sistemi) che si creanodopo aver discretizzato il problema analitico. Come già evidenziato, il solu-tore SIMPLE provvede prima alla risoluzione di un sistema di equazioni conla velocità come incognita e successivamente risolve l'equazione per ricavarela correzione della pressione. I solutori possono essere specicati utilizzan-do parole chiave nel dizionario fvSolution, contenuto anch'esso nella cartellasystem. Per ciascuna incognita può essere specicato il solutore, i precodin-zionatori delle matrici e gli smoother utilizzati.Nel presente lavoro per la velocità e le variabili turbolente è stato utilizzato

43

Capitolo 3

PBiCG (Preconditioned Bi-Conjugate Gradient), un solutore a gradiente co-niugato, con precondizionatore DILU (Diagonal Incomplete LU) per il proloe lo smoothSolver con GaussSeidel come smoother per l'autovettura, men-tre per la pressione è stato utilizzato un solutore per matrici simmetriche,il GAMG (Generalized geometric-Algebraic Multi-Grid) con uno smootherGauss-Seidel. Il GAMG è un algoritmo molto complesso che genera inizial-mente una soluzione su una mesh con poche celle (il cui numero è specicatodall'utente), mappa questa soluzione su una griglia più ne e la utilizza co-me guess iniziale per la soluzione vera e propria. Nel dizionario fvSolution,andranno specicati eventualmente il numero di correttori non ortogonali e ifattori di sotto-rilassamento. Avendo utilizzato il solutore SIMPLEC, è statoutilizzato sotto-rilassamento unitario per la pressione e pari a 0.7 per la ve-locità; per un solutore SIMPLE invece il tipico valore di sotto-rilassamentoper la pressione è di 0.3, con un grosso rallentamento nella convergenza dellasoluzione.

3.5 Solutore aggiunto

Il problema di ottimizzazione richiede la soluzione delle equazioni aggiunteper poter ricavare la sensitività della geometria rispetto alla funzione obiet-tivo e poter deformare quindi in maniera intelligente . La risoluzione delleequazioni aggiunte deve avvenire dopo la risoluzione delle equazioni dirette,in quanto è necessario conoscere la soluzione diretta della corrente conside-rata. Dal punto di vista numerico si andrà quindi a risolvere le equazioniaggiunte a valle delle equazioni dirette, utilizzando un solutore SIMPLE-based non direttamente presente in OpenFOAM, ma ottenuto modicandoun solutore aggiunto normalmente incluso nella distribuzione uciale. Ilsolutore aggiunto in questione non è utilizzabile per i nostri scopi, essendobasato su una formulazione diversa delle equazioni aggiunte ed applicabileper l'ottimizzazione topologica e non di forma; per una trattazione più ap-profondita si rimanda a [14].Il solutore aggiunto presente in OpenFOAM è un solutore basato sul SIM-PLE, applicabile quindi per ussi incomprimibili turbolenti con l'ipotesi difrozen viscosity. Da un punto di vista prettamente risolutivo si avrà quin-di lo stesso procedimento già esplicitato nella sezione 3.4, con la risoluzionedisaccoppiata delle equazioni di massa e quantità di moto.

Nel presente lavoro sono state realizzate due versioni del solutore aggiun-to, uno basato sul SIMPLE e l'altro basato sul SIMPLEC. Nel caso delleequazioni aggiunte tuttavia il vantaggio del SIMPLEC è molto meno eviden-te, in quanto la convergenza è normalmente più veloce rispetto al caso diretto;

44

3.5. Solutore aggiunto

inoltre in questo caso il sotto-rilassamento più piccolo e quindi determinanteè quello della velocità, non modicabile nel nuovo solutore. La dierenza trai due approcci è comunque limitata alla sola equazione della pressione ag-giunta, in maniera completamente analoga al caso diretto, dovendo sostituiresolamente le variabili dirette con quelle aggiunte.

Dal punto di vista numerico, il solutore già presente in OpenFOAM èstato modicato, eliminando il contributo legato alla porosità e modicandoi contributi della funzione costo che nel caso di partenza è la caduta di pres-sione e delle condizioni al contorno ovviamente diverse, vista la geometriacompletamente dierente. Il nuovo solutore per l'aggiunto, da qui in avantiindicato come adjointOptFoam presenta una struttura simile al solutore dipartenza, nonché alla stra-grande maggioranza dei solutori di OpenFOAM:Il le principale del solutore è chiaramente il .C che richiama al suo inter-

Figura 3.11: Struttura del solutore aggiunto

no i le header, riconoscibili dal formato .H, che contengono ad esempio leequazioni per velocità e pressione aggiunta (UaEqn.H e paEqn.H) o le istru-zioni per la creazioni delle variabili aggiunte (createPhia.H). Le condizioni alcontorno sono implementate all'interno delle rispettive cartelle contenenti ille principale, l' header e un le in formato .dep. Questo le viene creatoquando un .C viene compilato e contiene informazioni riguardo la compilazio-ne; la compilazione in OpenFOAM avviene attraverso la utility wmake. Adogni iterazione, dopo aver trovato la soluzione delle equazioni aggiunte, vienecalcolata la sensitività nell'omonimo le Sensitivity.H. Anche per il solutoreaggiunto è necessario specicare gli schemi e i solver discreti, esattamentecome nel caso diretto.Il solutore è stato costruito in modo da contenere un particolare dizionarionella cartella constant che permette di specicare la direzione della forza da

45

Capitolo 3

ottimizzare e il verso di ottimizzazione. Queste informazioni vengono let-te all'interno del le Sensitivity.H, orientando il verso della sensitività sullabase del problema in considerazione. La direzione della forza infatti apparedirettamente nella denizione di sensitività, ed è legata alla presenza nel-la formula della velocità asintotica U∞ = U∞d. Nel riquadro sottostantesono state rappresentate le variabili di input per il dizionario nel caso diminimizzazione del coeciente di resistenza:

U_inf [ 0 1 −1 0 0 0 0 ] 90 ;

d ( 1 . 0 0 .0 0 . 0 ) ;

opt imiza t i on minimize ;

3.5.1 Schemi di discretizzazione

Per gli schemi di discretizzazione è stato utilizzato uno schema upwind sullavelocità aggiunta e uno schema linear del secondo ordine sulla pressioneaggiunta. Sebbene possa sembrare inconsueto utilizzare uno schema di ordineelevato per la pressione piuttosto che per la velocità, si deve osservare comequesta scelta sia abbastanza diusa in OpenFOAM.

3.5.2 Solver discreti

I solver utilizzati per la risoluzione delle equazioni della velocità e della pres-sione sono gli stessi utilizzati per la simulazione diretta del DrivAer; anchein questo caso è stato necessario utilizzare dei sotto-rilassamenti minori diuno, similmente a quanto avvenuto nella soluzione del problema diretto.

3.6 Smoothing della supercie

Il solutore aggiunto calcolerà la sensitività su ogni punto della griglia in cor-rispondenza di una patch di tipo wall; si può allora pensare di applicare aciascun punto della patch, del quale è noto il valore di sensitività, una de-formazione in accordo ai vincoli imposti e alla direzione di ottimizzazione.Sfortunatamente questa procedura non è accurata, in quanto a causa degliinevitabili errori numerici legati alla soluzione diretta e alla sensitività calco-lata, punti adiacenti possono essere deformati in maniera leggermente diversa,generando, come ad esempio avvenuto sul prolo, una forma priva di regola-rità geometrica e con spigoli vivi. Questa forma inoltre provoca oscillazioni

46

3.6. Smoothing della supercie

Figura 3.12: Deformazione senza smoothing

spurie nella sensitività, che risentono della soluzione diretta e che accentuanoulteriormente il contorno poco regolare del prolo alle deformazioni succes-sive. In gura 3.13 è rappresentata la sensitività relativa al prolo di gura3.12; si nota come l'eetto di forma spigolosa sarà accentuato dalla defor-mazione successiva. Questa condizione, individuata sul prolo, ma comune

Figura 3.13: Sensitività non ltrata

a qualunque geometria si decida di ottimizzare, può essere risolta attraversolo smoothing della forma, considerando dierenti approcci. Una possibilesoluzione è il ltro passa-basso di Savitzky-Golay [21], in cui si eettua una

47

Capitolo 3

media locale con una nestra mobile (moving window averaging), pesandoin maniera diversa i vari punti, attraverso un tting polinomiale di ordinearbitrario. Sebbene in questo modo la forma recuperi la sua regolarità su-perciale, il ltro agisce pesantemente sull'eetto di deformazione e pertantola nuova geometria ottenuta può non rispecchiare la deformazione impostadalla sensitività calcolata. La strada seguita nel presente lavoro per lo smoo-thing del prolo consiste invece nell'utilizzo delle funzioni di Hicks-Henne,delle particolari funzioni che permettono di raccordare ad un'ordinata nullain corrispondenza del bordo d'attacco e del bordo d'uscita del prolo. Questotipo di approccio non è nuovo nell'ambito della deformazione geometrica diproli aeronautici, essendo di fatto implementato nel software open-sourceSU2 ([1]).Sul DrivAer body, che presenta una maggiore complessità rispetto al prolo2D, è stato realizzato invece lo smoothing della sensitività con il softwareproprietario Ansa.

3.6.1 Funzioni di Hicks-Henne

Le funzioni di Hicks-Henne sono funzioni, dette bump functions, che permet-tono lo smoothing della forma del prolo, attraverso la ridenizione dellacoordinata y:

ynew = yold +N∑n=1

δnfn(x)

dove N è il numero di variabili utilizzate, ovvero di punti di controllo coni quali si andrà a mappare la supercie, e δn rappresenta la ampiezza dellefunzioni di Hicks-Henne. Se deniamo con xn il punto in corrispondenzadel picco della funzione, le funzioni di Hicks-Henne possono essere denitematematicamente come:

fn(x) = sin3(πxen), en =log(0.5)

log(xn), x ∈ [0, 1]

Per l'applicazione delle funzioni di Hicks-Henne è quindi necessario parame-trizzare la supercie attraverso un certo numero di punti controllo, eettuan-do un'interpolazione bidimensionale attraverso le radial basis function (rbf).Le rbf permettono un'estensione del concetto di interpolazione di dati in spa-zi n-dimensionali. Normalmente infatti una funzione s(x) può essere vistacome combinazione lineare di funzioni base ψj, pesate attraverso i coecientiλj, ovvero

s(x) =n∑j=1

λjψ(x)j (3.3)

48

3.6. Smoothing della supercie

Figura 3.14: Funzioni di Hicks-Henne

Volendo interpolare una serie di dati fj in una serie di stazioni xj, è possibileutilizzare la rappresentazione 3.3, imponendo che s(xj) = fj e ricavandopertanto un sistema lineare dal quale si ricavano i coecienti λj. Questotuttavia è possibile solamente nel caso monodimensionale: se i valori dainterpolare non sono scalari, ma vettori, si può dimostrare dal teorema diHaar che per qualunque insieme di dato, il sistema risultante sarà sempresingolare ([22]). Le rbf sono state proposte da Hardy e permettono di by-passare il problema, denendo funzioni di base che dipendono dal puntodi interpolazione considerato; esse possono essere espresse nella loro formagenerale come:

s(x) =n∑j=1

λjφ(||x− xj||) (3.4)

dove φ(||x − xj||) = φ(r) è una generica funzione radiale che come si vededipende dalla distanza rispetto al punto di interpolazione. Nel presente la-voro è stata utilizzata un rbf multiquadratica, con φ(r) =

√1 + (εr)2, dove

ε prende il nome di parametro di forma; esistono tuttavia altre possibilità discelta della funzione di base, potendo per esempio utilizzare la multiquadra-tica inversa o la gaussiana.L'operazione di interpolazione può sembrare ridondante, ma in realtà permet-te di selezionare arbitrariamente punti di controllo sul prolo ( distribuen-done maggiormente in zone sensibili) e garantire un andamento più regolaredella sensitività, specie vicino ai punti di ristagno dove sono presenti fortigradienti. Lo script che permette lo smoothing della supercie, così cometutti gli altri script presenti nel loop di ottimizzazione, è stato realizzato inPython, un linguaggio di alto livello, orientato agli oggetti, completamente

49

Capitolo 3

open-source. Python è stato rilasciato per la prima volta nel 1991, derivandoil suo nome del gruppo comico Monty Python. Python è dotato di numeroselibrerie per il calcolo numerico, grazie alle quali per esempio è stato possibileinterpolare la sensitività attraverso le radial basis function.

3.7 Dakota

Dakota (Design Analysis Kit for Optimization and Terascale Applications)[23] è un software open-source che consente di interfacciare programmi diversie di eettuare ottimizzazioni e analisi di sensitività. Nel loop di ottimizzazio-ne Dakota svolge un ruolo importantissimo agendo da ottimizzatore in gradodi pilotare il loop alla minimizzazione della funzione obiettivo nel rispettodei vincoli imposti. In assenza di Dakota infatti sarebbe possibile inserire deivincoli, ma questo implicherebbe ogni volta la modica e la ri-compilazionedel solutore intero. Con l'utilizzo di Dakota invece, la scelta di vincoli diuguaglianza o disuguaglianza viene gestita ad un livello superiore, lasciandoimmutato il solutore.Dakota è provvisto di algoritmi per la ottimizzazione gradient-based; questafunzionalità non viene sfruttata nel loop di ottimizzazione, fornendo diretta-mente i gradienti della geometria rispetto alla funzione obiettivo e al vincolo,corrispondenti ovviamente alla sensitività. E' chiaro infatti che in un pro-blema vincolato con N vincoli, sia necessario risolve N problemi aggiunti; nelcaso presentato esiste un unico vincolo ed è pertanto necessario risolvere dueaggiunti in successione. Da questa considerazione si evince che un'ottimizza-zione basata sull'aggiunto è vantaggiosa dal punto di vista computazionalesolo se i vincoli non sono numerosi.Dakota è stato utilizzato solamente nel work-ow creato per l'ottimizzazionedel prolo; nel caso del DrivAer body invece non è stato utilizzato un otti-mizzatore, ma gli spostamenti sono stati direttamente ricavati a partire dallamappa di sensitività, utilizzando il software Beta-CAE Ansa.

3.7.1 Aspetti implementativi

Dal punto di vista implementativo Dakota legge un le di input che permettedi denire tutti i parametri dell'ottimizzazione. Questo le è organizzato insei blocchi:

strategy: contiene informazioni generali sull'ottimizzazione e permet-te di indicare il le in cui verranno salvati i risultati;

50

3.7. Dakota

method: contiene informazioni sul metodo di ottimizzazione utilizzatoe consente di specicare parametri quali tolleranze per la convergenzao per il rispetto dei vincoli e massimo numero di iterazioni;

model: specica quanti e quali modelli verranno utilizzati, in questocaso chiaramente solo uno;

variables: consente di denire quante e quali variabili di design utiliz-zare (i punti che verranno poi deformati) e i limiti superiori e inferioridi queste variabili;

interface: in questa sezione verrà specicato con quali altri softwareDakota dovrà interfacciarsi e attraverso quale script avverrà lo scambiodi informazioni. Lo script designato infatti dovrà leggere gli output diOpenFOAM (la sensitività) e darli in pasto a Dakota che genererà degliinput (ovvero la deformazione dei punti) che devono essere rielaborati eintrodotti in OpenFOAM attraverso la ri-meshatura o la deformazionedella mesh esistente;

responses: vengono specicati i valori dei vincoli, la direzione dell'ot-timizzazione (ricerca del minimo o del massimo) e i le di input pergradienti.

Lo script di interfaccia, è un script bash che contiene i comandi per le opera-zioni necessarie ad ogni loop; questo script viene eseguito no al soddisfaci-mento delle tolleranze su vincolo e funzione obiettivo. E' possibile esplicitarnein maniera sintetica il contenuto:

1 simulazione diretta e calcolo di cL e cD, mediando sulle ultime duecentoiterazioni;

2 simulazione aggiunta rispetto alla funzione obiettivo e scrittura dellasensitività in un le di testo;

3 simulazione aggiunta rispetto al vincolo e scrittura della sensitività inun le di testo;

4 attraverso diversi script Python, si genera il le di input per Dakotacontenente i valori della sensitività nei punti di controllo e i valori dicL e cD;

5 Dakota scrive le deformazione dei punti di controllo in un le di testo,letto da uno script Python che calcola la nuova geometria e scrive ildizionario del blockMesh;

51

Capitolo 3

6 viene generata una nuova mesh, riavviando il loop di ottimizzazione.

Per completezza è stato riportato anche il usso di lavoro utilizzato per ilDrivAer body. Nel caso dell'autovettura non è stato utilizzato Dakota mail work-ow presenta molti punti in comuni con quello dei proli riportatoprecedentemente:

1 simulazione diretta e calcolo di cL e cD, mediando sulle ultime duecentoiterazioni;

2 simulazione aggiunta rispetto alla funzione obiettivo;

3 in Ansa viene importato il le stl e la sensitività calcolata e si ricava inoutput il CAD deformato;

4 viene generata una nuova mesh, riavviando il loop di ottimizzazioneche tuttavia si concluderà con la valutazione del nuovo coeciente diresistenza.

3.7.2 Gestione dei vincoli

Si è già messo in luce come Dakota permetta la gestione dei vincoli al di sopradel solutore, senza la necessità di ricompilare ad ogni loro variazione. Questoavviene attraverso algoritmi di ottimizzazione selezionabili nel le di input diDakota. L'algoritmo utilizzato nel loop di ottimizzazione è il conmin_mfd,un programma reso pubblico dalla NASA attraverso un report del 1973 ([24]),originariamente scritto in Fortran e successivamente tradotto in C++ per lasuite Dakota. Questo algoritmo fa parte della classe dei methods of feasi-ble directions, basandosi in particolare sul metodo di Zoutendijk ([25]) chepermette la risoluzione in presenza di vincoli di disuguaglianza anche non li-neari. In generale i metodi di feasible direction si basano sulla denizione diuna direzione di discesa accettabile (feasible per l'appunto), che mi avvicinial punto di minimo nel rispetto dei vincoli imposti.Prima di procedere con l'analisi del metodo è necessario introdurre la de-nizione delle condizioni di Karush-Kuhn-Tucker. In generale in matema-tica, le condizioni di Karush-Kuhn-Tucker (KKT) sono delle condizioni ne-cessarie per la soluzione anché sia una soluzione ottima in un problemadi ottimizzazione non lineare. Deniamo quindi un generico problema diottimizzazione:

minx∈χ

f(x)

sub to

g(x) = 0

h(x) ≤ 0

52

3.7. Dakota

è necessario che la soluzione x soddis le seguenti condizioni:∇f(x) + (∇g(x))Tλ+ (∇h(x))Tφ = 0

g(x) = 0

h(x) = 0

φ ≥ 0.

(3.5)

In tal caso x viene denito un punto KKT.Per la descrizione del metodo consideriamo, senza perdita di generalità, unproblema di ottimizzazione con vincoli lineari:

minx∈χ

f(x)

sub to

Ax < b

Ex = b

Ad ogni nuova iterazione l'incognita verrà aggiornata con:

xk+1 = xk + dktk

dove dk è una direzione feasible; in generale una certa direzione d ∈ S ⊆ <nviene detta feasible se

∃ tmax > 0 | x + dt ∈ S ∀t ∈ [0, tmax]

Nel caso di vincoli lineari questa condizione viene vericata abbastanza fa-cilmente, scomponendo A in (A1, A2) e b in (b1,b2) tali che A1x = b1 eA2x < b2; in tal caso d è una direzione feasible se

A1d ≤ 0

Ed = 0

Anché questa direzione sia anche di discesa, ovvero sia una direzione checi avvicina al punto di minimo, è suciente vericare che:

∇f(x)Td < 0 (3.6)

Come si nota quindi una direzione ammissibile non è necessariamente unadirezione di discesa, come si evince dall'immagine 3.15:

53

Capitolo 3

Figura 3.15: Direzioni ammissibili

Il cuore del metodo di Zoutendijk, anzi di tutti i methods of feasibledirection, è la denizione ad ogni iterazione di una direzione feasible di di-scesa. Essa viene trovata, risolvendo semplicemente un sotto-problema diminimizzazione:

min ∇f(x)Td

sub to

A1d < 0

Ed = 0

∇f(x)Td ≥ −1

dove l'ultima condizione rappresenta una condizione arbitraria di normaliz-zazione della soluzione.Ovviamente questa ricerca va fatta ad ogni iterazione; se la soluzione dk è taleda garantire la condizione 3.6, allora dk sarà una direzione di discesa feasible epuò essere utilizzata per aggiornare la variabile, altrimenti se ∇f(x)Tdk = 0,l'algoritmo si ferma, avendo trovato un punto KKT. Denendo ad ogni ite-razione la direzione e stabilendo opportuni criteri di convergenza, è possibilerisolvere il problema di ottimizzazione. Per completezza è necessario denireil valore ad ogni iterazione di tk. Riscriviamo il problema alla (k + 1)-esimaiterazione:

min f(xk + dktk)

Axk + dktk < b

Exk + dktk = b

tk ≥ 0

54

3.7. Dakota

Si può notare come il penultimo vincolo sia identicamente soddisfatto, cosìcome il secondo, sebbene sia necessario qualche passaggio matematico in più.Pertanto il problema può essere ridotto a

min f(xk + dktk)

0 ≤ tk ≤ tmax

dove

tmax =

∞ se A2d

k ≤ 0

min(b2−A2xk

A2dk ) altrimenti

55

Capitolo 4

Analisi del NACA0012 e

validazione dei risultati

Nel presente capitolo verrà analizzato l'eetto della mesh del NACA0012sulla soluzione, con l'obiettivo di selezionare la mesh migliore da impiegarenel successivo work-ow di ottimizzazione. La selezione della mesh avverràminimizzando lo scostamento dei coecienti aerodinamici calcolati rispettoa quelli forniti in letteratura da prove sperimentali. Sulla mesh selezionatainne verrà calcolata la sensitività rispetto a dierenti funzioni obiettivo alne di validare in maniera qualitativa i risultati ottenuti. E' da osservarecome tutti i risultati e le analisi qui presentate si riferiscano esclusivamenteal NACA0012; per il DrivAer body invece non è stata realizzata nessuna va-lidazione della mesh a causa dell'assenza di sucienti risorse computazionaliper la sua realizzazione.

4.1 Validazione della mesh

La mesh utilizzata per il NACA 0012 è una mesh strutturata a C, generatacon la utility di OpenFOAM blockMesh e rappresentata in gura 4.1. Block-Mesh legge l'omonimo dizionario, che nel loop viene generato ad ogni itera-zione da uno script Python che permette di impostare i parametri topologicie di griglia. Questo script permette di denire anzitutto le dimensioni deldominio in termini di lunghezza e altezza del blocco rettangolare principalee in termini di profondità. La mesh considerata è una mesh bidimensionale,pertanto la dimensione trasversale non necessita di essere particolarmenteestesa, essendo di fatto ignorata da OpenFOAM nell'applicazione delle con-dizioni al contorno. Il semi-arco che denisce la mesh a C viene generatoconsiderando come raggio la semi-altezza del blocco rettangolare. I parame-

57

Capitolo 4

Figura 4.1: Mesh a C del NACA0012

tri geometrici non inuenzano molto la soluzione, è tuttavia opportuno avereun dominio abbastanza sviluppato a monte e soprattutto a valle, in mododa caratterizzare correttamente la scia sviluppata, specie ad alti angoli diincidenza. I parametri topologici sono invece fondamentali per ottenere unasoluzione corretta; questi parametri sono qui riassunti:

numero di celle nella direzione verticale

numero di celle sul prolo

numero di celle in direzione orizzontale

grading delle celle in direzione orizzontale e verticale

grading delle celle nel semi-arco

La scelta di questi parametri deve rappresentare un buon compromesso trapeso computazionale e descrizione del dominio. Poiché in ogni cella ho unasoluzione costante per i campi considerati, all'aumentare del numero di celleaumenta la precisione della soluzione, ma è necessario non utilizzare un nu-mero spropositato di celle per non rallentare eccessivamente la simulazione,specie se è necessario avere tre simulazioni per ogni iterazioni del loop. A talescopo si deve sfruttare la possibilità di grading delle celle, ovvero di generarecelle le cui dimensioni sono multipli delle dimensioni della cella precedente.In questo modo si avranno celle molto piccole in prossimità del prolo, per-mettendo una discretizzazione più accurata dello strato limite e quindi unavalutazione più precisa del cD, che rappresenta la vera misura di validazio-ne della mesh. Bisogna inne osservare come non esista un parametro per

58

4.1. Validazione della mesh

denire il numero di celle presenti nell'arco. Questa assenza è legata allanecessita di semplicare la generazione della mesh, pertanto nell'arco si avràlo stesso numero di celle presenti sul naso del prolo, potendone però deni-re il valore del grading. Per poter avere questa soluzione, il blocco centraletermina esattamente nel punto di massimo spessore per proli simmetrici odi massima curvatura per proli non simmetrici.

4.1.1 Parametri della mesh utilizzata

Nel presente lavoro si è cercato un criterio quanto più possibile oggettivoper la scelta dei parametri della mesh, pertanto, data anche la disponibilitàdi risorse computazionali, si è proceduto a validare la mesh confrontando irisultati di diverse griglie di calcolo. Avendo ssato il numero di celle sulprolo pari a 600, è stato variato il numero di celle e il grading in direzio-ne trasversale. In questo modo sono state ottenute dierenti griglie con y+

a parete decrescente e si è potuto analizzare la discrepanza del cD, assun-to come parametro di validazione, dai dati sperimentali di [18]. La sceltadel coeciente di resistenza ha una duplice ragione: da un lato la necessitàdi avere una misura quantitativa della qualità della simulazione, dall'altrol'impossibilità di utilizzare il cL che, dipendendo in maniera predominantedalla pressione, viene stimato sempre molto bene a prescindere dal modellodi turbolenza usato o dalla y+ a parete. In generale infatti è molto dicilestimare in maniera accurata il coeciente di resistenza su un prolo, sia per-ché le misure sperimentali sono molto precise, vista la natura del problema,sia perché l'utilizzo di modelli di turbolenza di tipo eddy-viscosity diventauna forzatura all'aumentare dell'angolo di incidenza.L'analisi è stata fatta per un angolo di incidenza α = 2, nelle condizioni incui il modello di turbolenza lavora in maniera corretta. Questo permette divalutare esclusivamente l'errore legato alla griglia, senza l'inuenza del mo-dello di turbolenza e delle relative condizioni al contorno. Nella tabella 4.1sono riportate le mesh utilizzate e le rispettive y+ a parete:

Ncells Grading y+

300 150 107300 600 33500 750 16500 1200 10750 6000 3

Tabella 4.1: Parametri per le mesh

59

Capitolo 4

Si può notare come la variazione della y+ sia stata ottenuta combinandola variazione delle celle e del grading; in generale in base al valore di y+

ottenuto è stato utilizzata una dierente modellazione a parete:

y+ < 30: nutLowReWallFunction su νt, omegaWallFunction su ω

y+ ≥ 30: nutUWallFunction su νt, omegaWallFunction su ω

In contrasto con quanto suggerisce il nome, nutLowReWallFunction non èutilizzabile esclusivamente per i modelli di turbolenza di tipo Low-Reynolds.Essa infatti è una falsa wall-function, nel senso che non viene imposta unalegge di parete, ma semplicemente viene imposto il valore di νt indicato dallecondizioni al contorno, permettendo di calcolare la y+ a parete; in Open-FOAM infatti è possibile calcolare il valore della y+ solamente utilizzandodelle wall-function. In realtà anche le wall-function vere e proprie eseguonoun loop di controllo basato sul calcolo della y+ prima dell'applicazione dellalegge di parete; consideriamo ad esempio nutUWallFunction.

f o rA l l ( yPlus , f a c e i )

i f ( yPlus [ f a c e i ] > yPlusLam_)

nutw [ f a c e i ] =nuw [ f a c e i ] * ( yPlus [ f a c e i ]* kappa_/ log (E_*yPlus [ f a c e i ] ) − 1 . 0 ) ;

dove yPlusLam è il valore di y+ minima per la quale verrà applicata la leggedi parete ed è pari a circa 11.L'analisi è stata condotta per entrambi i modelli di turbolenza e per entrambii casi è stata scelta la mesh migliore; su questa mesh verrà successivamentevalidata la curva di portanza e di resistenza.

Spalart-Allmaras

In gura 4.3 è stato rappresentato in scala semi-logaritmica l'andamentodell'errore sul cD al variare della y+ usando il modello di turbolenza ad un'e-quazione Spalart-Allmaras. Si riporta anche l'andamento dell'errore del cLrispetto ai dati sperimentali; sebbene sia stato considerato come indice dibontà della mesh l'errore del coeciente di resistenza, è opportuno vericareche l'errore sulla stima del coeciente di portanza sia comunque limitato.Per minimizzare l'errore è stata scelta la griglia cinque, con y+ = 10, chepermette di avere uno scostamento del coeciente di resistenza del 3.2% ri-spetto ai dati sperimentali. Si può comunque osservare come la mesh ottimaper il cD presenti un errore sul cL maggiore rispetto a griglie con y+ maggiore.

60

4.1. Validazione della mesh

100 101 102 103

y+

2

4

6

8

10

12

14

ε cD%

Figura 4.2: Errore sul cD al variare della y+ per Spalart-Allmaras

Questo tuttavia non inuenza la scelta della griglia da utilizzare, visto chel'errore è contenuto e pari al 1.98%Nella trattazione delle equazioni aggiunte non è stato inserito il contributolegato alle wall function; a rigore infatti bisognerebbe utilizzare una meshche garantisca una y+ circa unitaria e tale da evitarne l'utilizzo. Nella pra-tica tuttavia, si è soliti utilizzare wall function nella simulazione diretta edignorarne il contributo nella simulazione aggiunta, commettendo ovviamenteun errore che tuttavia si dimostra essere trascurabile dai risultati ottenuti.Una volta selezionata la griglia con la y+ a parete che garantisce la miglioreapprossimazione, è stata condotta un'ulteriore analisi per entrambi i modelli,relativa al numero di celle globali. In particolare mantenendo lo stesso valoredi y+ ottima, sono state create altre 2 griglie che presentano un maggior eun minor numero di celle rispetto a quella di riferimento, generate modi-cando i parametri che permettono di determinare il numero di elementi deldominio in direzione orizzontale e lungo la supercie del prolo. I risultatirelativi all'errore commesso sono riportati in tabella 4.2. Con questa varia-

Name Downstream Airfoil

Coarse 200 400Standard 200 600Fine 400 800

Tabella 4.2: Parametri per il ranamento delle mesh

zione dei parametri si ottiene una variazione del numero totale di celle e del

61

Capitolo 4

100 101 102 103

y+

6

4

2

0

2

ε cL%

Figura 4.3: Errore sul cL al variare della y+ per Spalart-Allmaras

valore dell'errore sui coecienti, esplicitati nella tabella 4.4 per il modelloSpalart-Allmaras. Il valore del cD viene inuenzato solo leggermente e quindi

Name Total cells εcD% εcL%

Coarse 6 · 105 3.29 2.05Standard 8 · 105 3.24 1.98Fine 1.2 · 106 3.23 1.74

Tabella 4.3: Stima degli errori sulle tre mesh per Spalart-Allmaras

l'aumento del numero di celle, che provoca chiaramente un incremento deitempi di calcolo, non è in tal senso giusticato. D'altro canto si può notarecome la stima del cL migliori all'inttire della griglia. Visto comunque l'er-rore contenuto nel caso standard, si è deciso di proseguire con questa grigliaper la successive analisi.

k-omega

Chiaramente è stata fatta la medesima analisi anche per il modello k−ωSST ,considerando sia l'errore sul cD che sul cL. A dierenza del caso precedente,la griglia migliore in termini di errore commesso sul cD è quella più lasca, cony+ a parete pari a 107, che presenta un errore sul coeciente di resistenzapari al −1.39% e sul coeciente di portanza pari all' 1.38%. Nonostante lamesh abbia meno celle rispetto a quella selezionata utilizzando il modello di

62

4.1. Validazione della mesh

100 101 102 103

y+

5

0

5

10

15

20

ε cD %

Figura 4.4: Errore sul cD al variare della y+ a parete per k − ωSST

100 101 102 103

y+

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

ε cL %

Figura 4.5: Errore sul cL al variare della y+ a parete per k − ωSST

Spalart-Allmaras, l'errore presente è più piccolo; è tuttavia necessario, peruna valutazione completa, vericare il comportamento dei modelli ad angolidiversi da quello considerato.Come già realizzato precedentemente, sono state create altre due mesh, cam-biando i parametri che non inuenzano il valore di y+, creando una grigliapiù tta e una più lasca del caso precedente. In questo caso, il comportamen-to è abbastanza inaspettato, perché al variare del numero di celle si ha unpeggioramento della stima del cD; questa tendenza inconsueta si mantiene

63

Capitolo 4

Name Total cells εcD% εcL%

Coarse 3.6 · 105 −2.63 0.93Standard 4.8 · 105 −1.39 1.38Fine 7.2 · 105 −3.18 1.26

Tabella 4.4: Stima dei coecienti sulle tre mesh per k − ωSST

anche nel caso della stima del cL, avendo un miglioramento in entrambi i casi.Per le stesse motivazioni già espresse nel caso del modello Spalart-Allmaras,anche in questo caso si è deciso di eettuare le successive analisi utilizzandola griglia Standard. Una volta scelta la mesh è necessario vericare che essanon presenti problemi che potrebbero portare a risultati non ammissibili.

4.1.2 Il checkMesh

OpenFOAM ha parametri molto stringenti sulla qualità della mesh, cosa chespesso rende dicile l'importazione di mesh create con programmi esterniall'interno di questo solutore. La mesh deve essere controllata per evitare lapresenza di celle con elevata non ortogonalità, sebbene esista la possibilità diutilizzare correttori all' interno dei solutori, o con elevata skewness. Questoavviene in maniera automatica con il comando checkMesh, che permette distabilire il tipo di errore, sebbene la correzione non sia automatizzata marichieda di fatto il re-meshing.

4.2 Validazione dei coecienti aerodinamici

Dopo il primo step di validazione della mesh, è necessario denire la giustacombinazione di solutori che permettano di avere l'errore più piccolo possibilenella stima di cL e cD e che garantiscano la migliore e più veloce convergenzapossibile. La convergenza è stata osservata in termini di andamento deiresidui e soprattutto di variazione dei coecienti nel tempo. L'utilizzo deiresidui può essere in alcuni casi fuorviante: è bene osservare che in generaleessi sono un buon metodo per capire l'errore nel caso di divergenza dellasoluzione, mentre i risultati nel caso di residui a convergenza vanno sempreanalizzati in maniera accurata. Non è raro infatti arrivare a convergenza suiresidui, sebbene la soluzione ottenuta sia una soluzione non sica. Questacondizione si verica specialmente nell'utilizzo di solutori di basso ordine sullavelocità (specialmente upwind) che a causa dell'elevata diusione numericapossono stabilizzare anche soluzioni sicamente inaccettabili.

64

4.2. Validazione dei coecienti aerodinamici

4.2.1 Validazione del modello Spalart-Allmaras

Il modello di Spalart-Allmaras è molto utilizzato per problemi bidimensionali,specie per corpi aerodinamici ad angoli di incidenza moderati e con correntinon separate. Le condizioni al contorno sulla νt e sulla ν sono stati denitein modo da rispettare i vincoli esplicitati nell'equazione 2.14, considerando:

νwall = 0, νfarfield = 4ν∞

νt,wall = 0, νt,farfield = 0.75ν∞

In termini implementativi, le condizioni al contorno su ν sono uguali a quelleimposte sulla velocità (eccetto chiaramente per il valore imposto), mentreper la νt viene utilizzata l'opzione di OpenFOAM calculated. Questa key-word specica che una determinata quantità deve essere calcolata a partiredalle altre variabili utilizzate. Questo chiaramente ricalca il funzionamentodel modello di turbolenza, che come visto utilizza la variabile ttizia ν perrisolvere le equazioni, ricavando la viscosità turbolenta in funzione di questavariabile.I coecienti sono stati ricavati automaticamente utilizzando la libreria lib-forces.so di OpenFOAM, che permette di specicare la direzione della forzaoltre che lunghezza ed area di riferimento. Analizzando il codice sorgente siscopre che essi vengono in eetti calcolati adimensionalizzando la forza suciascuna cella e sommandone inne i contributi su tutta la supercie:

s c a l a r pDyn = 0.5* rhoRef_*magUInf_*magUInf_ ;

Fie ld<vector> totForce ( force_ [ 0 ] + force_ [ 1 ] + force_ [ 2 ] ) ;

// l i f t , drag and momentc o e f f s [ 0 ] = ( totForce & l i f tD i r_ )/( Aref_*pDyn ) ;c o e f f s [ 1 ] = ( totForce & dragDir_ )/( Aref_*pDyn ) ;

s c a l a r Cl = sum( c o e f f s [ 0 ] ) ;s c a l a r Cd = sum( c o e f f s [ 1 ] ) ;

dove ricordiamo che & rappresenta un prodotto scalare.Per la costruzione della curva di portanza e della polare, sono state rea-lizzate 5 simulazioni, con 0 ≤ α ≤ 10. Ognuna di esse è stata fermatadopo diecimila iterazioni e s è vericato l'eettivo decadimento dei residuioltre che l'assenza di oscillazioni non imputabili ad errori numerici nei coef-cienti. Il valore assunto come riferimento per quell'angolo di incidenza è ilvalore del coeciente mediato sulle ultime 200 iterazioni, limitando l'eettodelle oscillazioni legate agli errori numerici. Come si vede la curva di por-

65

Capitolo 4

0 2 4 6 8 10 12α

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

c L

Numerical dataExperimental data

Figura 4.6: Curva di portanza Spalart-Allmaras

tanza numerica è praticamente sovrapponibile a quella ottenuta con i datisperimentali, a conferma della facilità nella stima del cL. Nella tabella 4.5sono inoltre riportati gli errori sulla stima del coeciente di portanza peri cinque angoli considerati. Il coeciente di portanza dipende in maniera

α FOAM cL Exp cL Err %

0 −4.3 · 10−4 0 −−2 0.2166 0.2125 1.934 0.4321 0.4316 0.356 0.6475 0.6546 0.658 0.8575 0.8552 0.2610 1.0661 1.0580 0.76

Tabella 4.5: Errori sulla stima del cL - SA

predominante dalla pressione, che mostra il tipico andamento quando visua-lizzata come campo scalare nel dominio (gura 4.7). A prova di ciò, si puòandare ad analizzare la distribuzione dei coecienti di pressione sul prolo,disponibili sperimentalmente a 0 e 10. L'area compresa nelle curve rappre-senta appunto il coeciente di portanza, per cui garantire un buon tting tra

66

4.2. Validazione dei coecienti aerodinamici

la curva sperimentale e quella numerica, garantisce il raggiungimento dellostesso valore di cL.

(a) p con α = 0

(b) p con α = 10

Figura 4.7: Campo di pressione a diversi angoli di incidenza - SA

Chiaramente ad incidenza nulla avremo un comportamento simmetricotra dorso e ventre, data la simmetria geometrica del NACA 0012. Questasimmetria si evince anche dal campo di moto e dalla direzione della scia cheovviamente giacerà lungo la direzione orizzontale se α = 0. Analogamen-te è stata ricavata la polare e gli scostamenti del cD dai valori sperimentalisono stati riportati in tabella 4.8. All'aumentare dell'angolo di incidenzaaumenta lo scostamento dai dati sperimentali. Questa situazione è lega-ta al contributo di diversi fattori, sia numerici che sperimentali. Anzituttobisogna considerare che i modelli di turbolenza rappresentano un'approssi-

67

Capitolo 4

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0x/c

0.5

0.0

0.5

1.0

c PNumerical dataExperimental data

Figura 4.8: Coecienti di pressione lungo il prolo a α = 0 - SA

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0x/c

6

5

4

3

2

1

0

1

2

c P

Numerical dataExperimental data

Figura 4.9: Coecienti di pressione lungo il prolo a α = 10 - SA

mazione del comportamento reale e che l'errore introdotto da questi modelli

68

4.2. Validazione dei coecienti aerodinamici

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10cD

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

c L

Numerical dataExperimental data

α FOAM cD Exp cD Err %

0 0.00811 0.00809 0.202 0.00842 0.00816 3.254 0.00929 0.00823 12.956 0.01076 0.00885 21.618 0.01291 0.01012 27.5710 0.01556 0.01186 31.2

Tabella 4.6: Errori sulla stima del cD - SA

incrementa all'aumentare dell'angolo di incidenza, ovvero quando ci si scostadalle condizioni di usso perfettamente attaccato. Oltre a questo è da tenerein considerazione il caso particolare qui considerato: dovendo indirizzare ilsetup della mesh non alla validazione dei coecienti ma all'implementazionedi un loop di ottimizzazione, è stata generata una mesh in cui le celle in dire-zione della scia sono particolarmente allungate. Questa condizione, causatadalla volontà di non incrementare troppo il numero di celle, genera un errorequalora il usso non sia allineato con le celle, in quanto i valori delle variabiliuidodinamiche e in particolare della viscosità turbolenta vengono interpo-late su celle più grandi, sovrastimando l'eetto di dissipazione. Inoltre vaconsiderato che la NASA, da cui sono stati presi i dati sperimentali, sugge-risce un dominio downstream lungo almeno cinquecento corde, onde evitare

69

Capitolo 4

sovrastime del cD all'aumentare dell'angolo di incidenza. A tal propositosi ricorda come la dierenza di risultati in OpenFOAM utilizzando la meshNASA e una mesh generata con blockMesh sia già stato messo in evidenza in[26], dove anche utilizzando una mesh più tta della presente (2.74 · 106 cellee y+ = 1 a parete) sono stati ottenuti risultati molto distanti dai dati speri-mentali e con errori maggiori rispetto a quelli individuati in questo lavoro ditesi. In particolare in questo articolo viene utilizzato il medesimo solutore diOpenFOAM (SIMPLE) e lo stesso setup in termini di condizioni al contornoe modello di turbolenza. In [26] inoltre vengono messi a confronto i risultatiottenuti a parità di solutore e condizioni al contorno sulla mesh generata conblockMesh e con la mesh direttamente creata dalla NASA per la validazionedei codici di calcolo; nel primo caso lo scostamento dai dati sperimentali perα = 10 è pari al 42% , mentre nel secondo caso esso si riduce al 6%.Oltre a queste considerazioni di carattere numerico, è necessario considerareanche problematiche di natura sperimentale. Il NACA0012 utilizzato per leprove in galleria è stato portato ad una transizione forzata, utilizzando del-le strisce poste al 5% della corda. E' chiaro che una parte del prolo saràallora in condizioni laminari, non previste dalla CFD che chiaramente ponecondizioni al contorno turbolente su tutto il dominio. Oltretutto le striscepresenti inuenzano il campo di moto intorno al prolo, avendo risultati mol-to diversi al variare dello spessore delle strisce di transizione. Inne bisognaricordare l'intrinseca dicoltà nel realizzare prove bidimensionali e di fattoi dati sperimentali vengono forniti con il seguente avvertimento: There areexperimental data available for validation, but it should be recognized thattwo-dimensional experiments are extremely dicult to achieve, particularlyat higher angles of attack approaching stall. Therefore, the experimental dataprovided here should be used with that in mind. In sintesi quindi diventa mol-to dicile stimare il coeciente di resistenza per angoli di incidenza elevaticon un basso errore, utilizzando in termini di mesh sempre lo stesso setup.Una possibile soluzione per ridurre lo scostamento dai dati sperimentali eal contempo non appesantire troppo la mesh, sarebbe quella di orientare ilranamento della griglia nella direzione di sviluppo della scia; è chiaro cheuna simile procedura manca di generalità, dovendo creare per ogni angolodi incidenza una specica mesh. In tal senso, pur consci della cattiva stimadella resistenza del prolo, si è preferito procedere con una mesh generale,utilizzabile per tutti i possibili setup di studio.

4.2.2 Validazione del modello k − ωL'analisi condotta per il modello di Spalart-Allmaras, è stata condotta an-che sul modello a due equazioni k − ωSST , in maniera del tutto analoga a

70

4.2. Validazione dei coecienti aerodinamici

quanto già fatto precedentemente. Innanzitutto è stata valuta la stima delcoeciente di portanza, che anche per questo modello non presenta partico-lari problematicità, sebbene l'errore su angoli elevati sia maggiore rispetto alprecedente modello. Per convalidare i risultati relativi alla curva del cL, sonostati inseriti i risultati relativi alla distribuzione dei coecienti di pressionesulla supercie del prolo.

0 2 4 6 8 10 12α

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

c L

Numerical dataExperimental data

Figura 4.10: Curva di portanza - k − ωSST

α FOAM cL Exp cL Err %

0 −3.6 · 10−4 0 −−2 0.2154 0.2125 1.384 0.4289 0.4316 −0.626 0.6400 0.6449 −0.768 0.8410 0.8552 −1.6610 1.0182 1.0580 −3.75

Tabella 4.7: Errori sulla stima del cL - k − ωSST

La discrepanza del coeciente di portanza ad angoli elevati, può essereevidenziata attraverso una valutazione dei coecienti di pressione sul prolo.

71

Capitolo 4

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0x/c

0.5

0.0

0.5

1.0

c PNumerical dataExperimental data

Figura 4.11: Coecienti di pressione lungo il prolo a α = 0 - k − ωSST

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0x/c

6

5

4

3

2

1

0

1

2

c P

Numerical dataExperimental data

Figura 4.12: Coecienti di pressione lungo il prolo a α = 10 - k − ωSST

Si può notare come ad incidenza nulla si abbia, come atteso, una so-

72

4.2. Validazione dei coecienti aerodinamici

vrapposizione tra dati numerici e dati sperimentali, mentre ad α = 10, lasotto-stima del cL sia legata principalmente ad una sottostima dell'espan-sione sul dorso del prolo, che porta ad una diminuzione dell'area racchiusadalle due curve e quindi ad una diminuzione del coeciente di portanza cal-colato. E' possibile osservare anche una leggera oscillazione dei cP a valle delpunto in cui troviamo il picco di espansione sul dorso, in maniera più chiarain gura 4.13 dove è stato rappresentato solamente il coeciente di pressionericavato attraverso la simulazione. Questa condizione chiaramente inuisce

Figura 4.13: Coecienti di pressione lungo il prolo a α = 10 - k − ωSST -dettaglio

negativamente sul risultato e può essere attribuita a due condizioni:

simulazione non a convergenza;

approssimazione non corretta;

Dall'analisi dei residui (gura 4.14) si nota che nonostante le oscillazioni del-la pressione, essi siano comunque molto piccoli, con derivata quasi costantesulla velocità che ci induce a considerare a convergenza la simulazione. Lacausa allora risiede nella generazione di fenomeni instazionari non sici, lega-ti sia ad errori dei solutori, sia alla discretizzazione utilizzata. In particolareanalizzando il campo di velocità nella regione interessata, si scopre la gene-razione di uno shear-layer, con uno strato di uido veloce esternamente che

73

Capitolo 4

Figura 4.14: Residui ad α = 10 - k − ωSST

scorre sopra uno strato a velocità nulla o debolmente negativa sotto, gene-rando una piccola bolla di ricircolazione. Questo fenomeno è chiaramentecausato da un errore di discretizzazione e non ha una valenza sica, consi-derando anche i risultati relativi al modello Spalart-Allamaras. I coecientiaerodinamici, sebbene ltrati attraverso un'operazione di media, risentirannodi questa condizione che provoca una diminuzione della portanza e chiara-mente un aumento della resistenza aerodinamica.L'analisi della polare dimostra come la stima del coeciente di resistenza siafortemente condizionato dalla presenza di questa zona di ricircolazione. Inparticolare si nota come complessivamente, il modello k − ωSST sia migliorenella stima del cD su una mesh più lasca, sino alla condizione α = 6. Apartire da questo punto, la curva polare numerica, si scosta notevolmente daquella sperimentale, arrivando ad un errore inaccettabile per α = 10.

4.2.3 Conclusioni

Dall'analisi dei due modelli per la validazione dei coecienti aerodinamici,appare chiara la scelta del modello che verrà implementato all'interno delloop di ottimizzazione. Paradossalmente il modello a due equazioni k−ωSSTconduce a risultati peggiori del modello ad un'equazione Spalart-Allamaras,nonostante da numerosi lavori di letteratura si evinca che il modello k−ωSST

74

4.2. Validazione dei coecienti aerodinamici

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10cD

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

c L

Numerical dataExperimental data

α FOAM cD Exp cD Err %

0 0.00758 0.00809 −6.182 0.00805 0.00816 −1.314 0.00891 0.00823 8.146 0.01075 0.00885 21.18 0.01387 0.01012 37.0510 0.01928 0.01186 62.56

Tabella 4.8: Errori sulla stima del cD - k − ωSST

sia il modello migliore per stimare il comportamento di correnti debolmenteseparate paragonabili a quelle sul prolo ad elevate incidenze. Bisogna peròosservare come i risultati peggiori di k−ωSST nel presente lavoro, siano impu-tabili sia all'utilizzo di una mesh meno ranata, sia al particolare problemaconsiderato. La scelta della mesh non è stata casuale, ma dettata dalla neces-sita di minimizzare lo scostamento del cD numerico ad un angolo di incidenzaα = 2, assunta come condizione di riferimento. Questa procedura ha por-tato a selezionare una griglia lasca che si è rivelata penalizzante nella stimadel coeciente di resistenza ad elevate incidenze, provocando errori inaccet-tabili sia sulla polare che sulla curva di portanza. D'altro canto il modelloSpalart-Allmaras è un modello costruito e in un certo senso ottimizzatoper correnti di interesse aeronautico in condizioni lontane dalla separazione

75

Capitolo 4

completa del usso. E' chiaro che di fronte ad un range di applicabilità piùristretto, il modello ora risultati migliori rispetto a modelli di turbolenzacostruiti per essere applicati in un ampio range di condizioni.In quest'ottica non stupiscono né i risultati ottenuti, né la scelta di imple-mentare Spalart-Allmaras nel loop per l'ottimizzazione di forma del NACA0012.

4.3 Validazione della sensitività

L'ultima validazione ancora necessaria per poter dimostrare l'eettiva cor-rettezza degli strumenti utilizzati per l'ottimizzazione di forma del prolo èla validazione del solutore aggiunto. A dierenza però dei coecienti aero-dinamici, è dicile trovare sia una quantità indicativa e comparabile per levariabili aggiunte, sia dati di letteratura che permettano di validare i risultatiottenuti. In eetti la maggior parte delle ottimizzazioni di forma attraversole equazioni aggiunte sono eettuate su ussi interni, che implementano unsolutore diverso, ricavato con ipotesi ben dierenti.Non potendo confrontare i valori dei campi aggiunti e non potendo ricavaredei coecienti analoghi alle quantità dirette, si è scelto di utilizzare comevariabile di analisi per la validazione la sensitività superciale. Questa è unagrandezza ricavata dai campi diretti e aggiunti, quindi direttamente connes-sa con la qualità della soluzione del problema aggiunto, che però permetteun'interpretazione sica tangibile. In particolare si andrà ad analizzare l'an-damento della sensitività prima rispetto al cD e successivamente rispetto alcL, rappresentando il suo andamento lungo le coordinate adimensionalizza-te del prolo. Questa analisi risulta semplicata dall'assenza di vincoli epermette chiaramente di capire se la sensitività ottenuta fa muovere l'otti-mizzazione nella direzione di eettiva minimizzazione della funzione costoconsiderata. Per migliorare la rappresentazione, la sensitività sul dorso èstata rappresentata tra 0 ≤ x/c ≤ 1 e sul ventre tra −1 ≤ x/c ≤ 0.

4.3.1 Sensitività rispetto al cD

E' stata innanzitutto rappresentata la sensitività ad un angolo di incidenzanullo in gura 4.15; la sensitività rappresentata è adimensionalizzata rispettoal suo valore massimo. Ricordiamo che valori positivi di sensitività si tradu-cono in una deformazione verso l'interno del prolo, per la minimizzazionedella funzione obiettivo. Questa convenzione deriva direttamente dalla for-mulazione del problema di ottimizzazione: il problema è stato denito comela minimizzazione di un funzionale, soggetto a determinati vincoli. Questi

76

4.3. Validazione della sensitività

1.0 0.5 0.0 0.5 1.0x/c

0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

wal

lSen

s

Figura 4.15: Sensitività ad α = 0

vincoli sono ovviamente rappresentati dalle equazioni RANS incomprimibili,in cui si è assunta la normale positiva uscente dal dominio uido, ovveroentrante nel prolo. E' importante osservare come questa condizione vengaassunta nello sviluppo analitico delle equazioni, ma possa essere vericata aseguito dell'implementazione anche in OpenFOAM, in particolare attraver-so Paraview. Avendo quindi assunto positive le normali uscenti dal uido,quindi entranti nel prolo, se ho valori positivi di sensitività, dovrò avere unadeformazione positiva nella direzione delle normali, ovvero una deformazioneverso l'interno del prolo. Questa convenzione peraltro è la stessa adottatain [28], in cui è stato sviluppato un solutore aggiunto per correnti esterne.Analizzando la sensitività ad un angolo di incidenza nullo, si nota immedia-tamente la simmetria tra dorso e ventre e soprattutto è evidente il segnosempre positivo della sensitività. L'andamento della sensitività è quindi cor-retto, perché impone una deformazione verso l'interno del prolo per ottene-re una diminuzione del coeciente di resistenza. Questa condizione è ovviain quanto riducendo lo spessore e avvicinandoci idealmente ad una laminapiana, il cD diminuisce. Si nota inne come il massimo sia localizzato incorrispondenza del punto di ristagno e soprattutto come, in corrispondenzadelle regioni in cui si raggiunge il picco di depressione, si abbia un incrementodella sensitività. Il punto di ristagno è sicuramente un punto critico in questosenso, in quanto la sensitività presenta il valore massimo, accompagnato da

77

Capitolo 4

forti variazioni. E' chiaro allora che in assenza di rimedi come le funzionidi Hicks-Henne, la deformazione risentirà di questo andamento spigoloso,portando alla generazione di una supercie non liscia, come quella già pre-sentata in gura 3.12, che chiaramente falsa i risultati dell'ottimizzazione.Si va a considerare inne la sensitività per α = 10, rappresentata in gura4.16. E' immediatamente visibile il maggior eetto di scalatura della sensiti-

1.0 0.5 0.0 0.5 1.0x/c

0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

wal

lSen

s

Figura 4.16: Sensitività ad α = 10

vità, che pertanto presenterà un valore massimo che si discosta maggiormentedalla media dei valori, rispetto al caso ad incidenza nulla. Il picco di sensiti-vità viene comunque raggiunto in prossimità del punto di ristagno, anche inquesto caso con forti e repentine variazioni. L'andamento lungo la superciepuò essere analizzato nel dettaglio limitando i valori sull'asse delle ordinate,in gura 4.17. Si ha un andamento leggermente asimmetrico che tuttaviatenderà sia sul dorso che sul ventre a generare deformazioni verso l'interno equindi a ridurre lo spessore del prolo, come nel caso precedente.Una volta validati i risultati per le due condizioni estreme, è stata analiz-zata la variazione della sensitività lungo la supercie al variare dell'angolodi incidenza. Per una chiarezza espositiva è stato inserito solo un angolointermedio, limitando i valori sull'asse delle ordinate in modo da evidenziarele variazioni sulla supercie del prolo.All'aumentare di α, la sensitività assume un andamento asimmetrico che

mette in luce il trend rilevato dall'analisi dei due angoli limite. Il picco di

78

4.3. Validazione della sensitività

Figura 4.17: Sensitività ad α = 10 - Dettaglio

1.0 0.5 0.0 0.5 1.0x/c

0.02

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

wal

lSen

s

0 deg4 deg10 deg

Figura 4.18: Variazione della sensitività al variare di α

sensitività rimane localizzato in prossimità del punto di ristagno, sebbene

79

Capitolo 4

questo valore diventi sempre più lontano in valore assoluto dalla media dellasensitività su tutta la supercie, esasperando l'eetto di scalatura.

4.3.2 Sensitività rispetto al cL

E' stata analizzata inne la sensitività rispetto al coeciente di portanza. Ilcaso considerato presenta dierenze sia in termini quantitativi e qualitativi,sia perché in questo caso verrà analizzata la sensitività della supercie inun'ottica di massimizzazione del coeciente considerato. Pertanto la distri-buzione della sensitività indicherà, con la stessa convenzione di segno rispettoalle deformazioni in direzioni normale, come modicare la supercie per au-mentare il coeciente di portanza. In gura 4.19 è riportato l'andamentodella sensitività ad incidenza nulla. L'andamento mostra come per incre-

Figura 4.19: Sensitività rispetto al cL ad α = 0

mentare il coeciente di portanza sia necessario deformare verso l'internosul ventre (sensitività positiva) ed esternamente sul dorso. Questa deforma-zione porta ad un aumento dell'inarcamento della linea media del prolo chequindi genererà un incremento del cL. Oltre a questo si può notare comeil punto di massima sensitività si sia spostato dal bordo d'attacco al bordod'uscita. Anche questo è una conferma della correttezza della valutazione,in quanto è noto che per cambiare la portanza è necessario agire nella parteterminale del prolo, come normalmente avviene con l'utilizzo di ap che

80

4.3. Validazione della sensitività

modicano l'inarcamento della linea media.Non è stato analizzato in questo caso, la condizione per angoli diversi perchénon è immediato capire il motivo della deformazione come nel caso prece-dente. Si può però assumere corretto il solutore aggiunto, considerando irisultati relativi sia alla minimizzazione del cD quanto alla massimizzazionedel cL.

81

Capitolo 5

Risultati dell'ottimizzazione

Grazie alla essibilità oerta dal work-ow nella gestione di vincoli e fun-zioni obiettivo, sono state condotte diverse ottimizzazione sul NACA0012.Innanzitutto verranno considerate delle ottimizzazioni libere, per la minimiz-zazione del coeciente di resistenza e per la massimizzazione del coecientedi portanza. Successivamente sarà considerata l'ottimizzazione di forma delprolo in termini di minimizzazione della resistenza a parità di portanza edi massimizzazione della portanza a parità di resistenza. Inne saranno rea-lizzate ottimizzazioni di forma del prolo atte ad incrementare le prestazionidi portanza o di resistenza a parità di volume.

5.1 Minimizzazione libera del cD

Per appurare la validità e la consistenza dell'intero work-ow sono state con-dotte delle ottimizzazioni libere, che pur non avendo un interesse pratico,permettono di capire immediatamente se il loop implementato funziona cor-rettamente o meno. La prima ottimizzazione libera considerata è quella sulcD: è ovvio che non avendo vincoli, la forma del prolo verrà pilotata in mo-do da raggiungere al limite la condizione di lamina piana che come sappiamorappresenta una condizione di ottimo in termini di resistenza. Ovviamen-te questa condizione non può essere raggiunta da un punto di vista praticoperché chiaramente implicherebbe un volume nullo e la presenza di spigoli;pertanto si osserverà semplicemente una riduzione dello spessore del pro-lo. Verranno considerati due angoli di incidenza dierenti, ovvero α = 2

ed α = 6 che rappresentano due condizioni diverse di funzionamento delprolo.

83

Capitolo 5

5.1.1 α = 2

Avendo realizzato un'ottimizzazione senza vincolo il costo computazionalesarà minore, in quanto sarà necessario, per ogni iterazione, eettuare unasola simulazione aggiunta. A parità di tempo limite imposto nella simula-zione, si avranno più iterazioni rispetto ad un'ottimizzazione vincolata. Inquesto caso il wall-time è stato ssato a 6 ore su 64 processori. I risultatiper questa ottimizzazione sono stati riportati in gura 5.1. Il coeciente di

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Iterations

7

6

5

4

3

2

1

0

∆c D

%

Figura 5.1: Minimizzazione libera del cD a 2 - variazione ∆cD

resistenza diminuisce in maniera monotona rispetto al suo dato iniziale conuna riduzione complessiva pari a circa il 6%. Osservando la variazione diforma del prolo in gura 5.14 si nota, come atteso, che la riduzione di re-sistenza è legata esclusivamente alla riduzione di spessore del prolo. Inneè possibile andare ad analizzare la sensitività, rappresentata in gura 5.3.La sensitività del prolo ottimizzato rappresenta un indicatore del margi-ne speso per l'ottimizzazione e di quanto ancora sia possibile ottimizzare ilprolo. Man mano che si procede con le iterazioni infatti, la sensitività siappiattisce e questo chiaramente riduce l'entità delle deformazioni applicatealla supercie, che sono direttamente proporzionali all'andamento adimen-sionalizzato della sensitività. Pertanto andando avanti con le iterazioni, ilmargine di miglioramento diventa sempre più piccolo, no al raggiungimentodella condizione di ottimo in cui, a rigore, la sensitività si annulla ovunque.Da un punto di vista pratico questa condizione è irraggiungibile, in quanto

84

5.1. Minimizzazione libera del cD

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

x/c

0.3

0.2

0.1

0.0

0.1

0.2

0.3

y/c

NACA0012final

Figura 5.2: Minimizzazione libera del cD a 2 - confronto della forma delprolo

il prolo non arriverà mai alla condizione di lamina piana che implica unannullamento dello spessore del corpo.

5.1.2 α = 6

Lo stesso tipo di minimizzazione è stato realizzato ad un angolo di incidenzamaggiore, pari a 6. Anche in questo caso i risultati in termini di defor-mazione del prolo sono totalmente confrontabili con i risultati ottenuti nelcaso precedente: la diminuzione di resistenza sarà legata alla riduzione dellospessore del prolo, ragurato in gura 5.4, che tenderà alla soluzione otti-ma di lamina piana. Si può notare come in questo caso però, non si ha unaforma totalmente simmetrica, a causa dell'asimmetria che si viene a crearenella sensitività all'aumentare dell'angolo di incidenza. Anche in questo casoè stato imposto un wall-time di 6 ore, realizzando complessivamente 7 ite-razioni come mostrato in gura 5.5. E' evidente tuttavia come il guadagnoottenuto sul coeciente di resistenza sia inferiore rispetto al caso precedentee pari a circa l' 1.5%; questa condizione è legata agli spostamenti generati inuscita dall'ottimizzatore che saranno nel caso in esame più piccoli in modulorispetto al caso precedente. In generale si può ridurre leggermente questacondizione, utilizzando un fattore di amplicazione per gli spostamenti, che

85

Capitolo 5

1.0 0.5 0.0 0.5 1.0x/c - Positivo sul dorso

1.0

0.5

0.0

0.5

1.0

wallS

ens

NACA0012final

Figura 5.3: Minimizzazione libera del cD a 2 - confronto delle sensitività

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

x/c

0.3

0.2

0.1

0.0

0.1

0.2

0.3

y/c

NACA0012final

Figura 5.4: Minimizzazione libera del cD a 6 - confronto della forma delprolo

86

5.2. Massimizzazione libera del cL

tuttavia non possono essere troppo ampi per evidenti ragioni di consisten-za della mesh oltre che della formulazione adottata. Anche in questo caso

0 1 2 3 4 5 6 7

Iterations

1.6

1.4

1.2

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

0.2

∆c D

%

Figura 5.5: Minimizzazione libera del cD a 6 - variazione ∆cD

dall'analisi della sensitività si può notare il margine di miglioramento ancorapresente per il prolo ottenuto. In ogni punto del prolo in particolare lasensitività sul prolo deformato sarà al di sotto di quella del prolo originale.

5.2 Massimizzazione libera del cL

Analogamente a quanto fatto per il coeciente di resistenza, è stata rea-lizzata un'ottimizzazione libera del coeciente di portanza. Questo tipo diottimizzazione consente di vericare l'adabilità del processo i ottimizzazio-ne nella direzione di ricerca di un massimo, anziché di un minimo come nelcaso precedente. Sono stati considerati due dierenti angoli di incidenza,pari a 2 e 6, ottenendo risultati simili. Il wall-time imposto è identico inentrambi i casi e pari a 6 ore su 64 processori. Anche nel caso di massimiz-zazione del coeciente di portanza è ben nota la soluzione ottima: il proloverrà deformato in modo da aumentare l'inarcamento della linea media eincrementare, a parità di angolo, la portanza generata. In particolari perquesti casi si può notare la grande utilità delle funzioni di Hicks-Henne, che

87

Capitolo 5

1.0 0.5 0.0 0.5 1.0x/c - Positivo sul dorso

0.020

0.015

0.010

0.005

0.000

0.005

0.010

0.015

0.020

wallS

ens

NACA0012final

Figura 5.6: Minimizzazione libera del cD a 6 - confronto delle sensitività

permettono di raccordare i proli deformati e quello di partenza in manieraliscia sia al bordo d'attacco che al bordo d'uscita.

5.2.1 α = 2

L'ottimizzazione permette, nel caso considerato, quasi di raddoppiare il va-lore iniziale di cL in sole 7 iterazioni, con un incremento del 97% come os-servabile in gura 5.8; in gura 5.7 invece è rappresentato il nuovo proloottenuto. Ad ogni iterazione si ha un incremento di circa il 12% rispettoall'iterazione precedente; chiaramente il prolo ottenuto non è quello ottimoe non rappresenta pertanto la soluzione di convergenza. E' chiaro però cheai ni della validazione del processo di massimizzazione non vincolata questorisultato può essere considerato valido.

5.2.2 α = 6

A questo angolo di incidenza, l'ottimizzazione procede in maniera monoto-na come nel caso precedente, con un incremento nale di portanza pari all'11%, come evidenziabile in gura 5.10. Come si può notare, a parità di ite-razioni, l'incremento percentuale è minore rispetto al caso precedentementeconsiderato, in maniera del tutto analoga a quanto già ravvisato per la mini-

88

5.2. Massimizzazione libera del cL

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

x/c

0.3

0.2

0.1

0.0

0.1

0.2

0.3

y/c

NACA0012final

Figura 5.7: Massimizzazione libera del cL a 2 - confronto della forma delprolo

0 1 2 3 4 5 6 7

Iterations

0

20

40

60

80

100

∆c L

%

Figura 5.8: Massimizzazione libera del cL a 2 - variazione ∆cL

89

Capitolo 5

mizzazione libera del cD. In gura 5.9 è mostrata la variazione di forma delprolo; è evidente l'aumento dell'inarcamento della linea media, attraversouna deformazione asimmetrica tra dorso e ventre.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

x/c

0.3

0.2

0.1

0.0

0.1

0.2

0.3

y/c

NACA0012final

Figura 5.9: Massimizzazione libera del cL a 6 - confronto della forma delprolo

5.3 Minimizzazione del cD con vincolo sul cL

Le ottimizzazioni vincolate son state realizzate imponendo un vincolo di di-suguaglianza in modo tale che cnewL ≥ coldL . Questa denizione di funzioneobiettivo e vincolo in realtà può essere letta come un problema di ottimiz-zazione dell'ecienza aerodinamica, puntando principalmente alla riduzionedella resistenza. Dal punto di vista pratico, porre un vincolo sul coecientedi portanza ha senso in problemi tipicamente aeronautici in cui si vuole ot-timizzare la resistenza, dovendo comunque garantire una portanza adeguatarispetto al payload considerato. Le ottimizzazioni sono state svolte a diversiangoli di incidenza, mostrando come i risultati di problemi simili con setupidentici possano essere anche molto diversi tra loro.

90

5.4. Massimizzazione del cL con vincolo sul cD

0 1 2 3 4 5

Iterations

0

2

4

6

8

10

12

∆c L

%

Figura 5.10: Massimizzazione libera del cL a 6 - variazione ∆cL

5.3.1 α = 2

In questo caso è stato utilizzato un wall-time maggiore rispetto alle ottimiz-zazioni libere e pari a 12 ore su su 64 processori, dovendo, ad ogni iterazione,eettuare una simulazione diretta e due aggiunte, rispettivamente per il cal-colo della sensitività rispetto alla funzione obiettivo e rispetto al vincolo. Altermine dell'ottimizzazione, il guadagno ottenuto sul coeciente di resistenzaè pari al 6.57%, con un trend di ulteriore miglioramento. Il risultato ricavatoè confrontabile con il risultato dell'ottimizzazione non vincolata e legato an-che in questo caso ad una diminuzione di spessore asimmetrica che permettedi mantenere entro i vincoli imposti il coeciente di portanza. In gura 5.11è mostrato l'andamento del coeciente di resistenza alle diverse iterazioni.Si nota come da un'iterazione all'altra, la variazione del cD sia praticamenteidentica. Questa condizione è legata alla deformazione massima applicabilealla supercie, ssata all'inizio dell'ottimizzazione. Il confronto tra la formadel NACA 0012 e del prolo ottimizzato sono rappresentati in gura 5.12.

5.4 Massimizzazione del cL con vincolo sul cD

Il caso duale rispetto al problema precedente è quello della massimizzazionedel coeciente di portanza imponendo che il cnewD ≤ coldD . Questo tipo di

91

Capitolo 5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9Iterations [-]

7

6

5

4

3

2

1

0

∆c D

0.06

0.04

0.02

0.00

0.02

0.04

0.06

∆c L

Figura 5.11: Minimizzazione del cD a 2 con vincolo sul cL - variazione deicoecienti

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

x/c

0.3

0.2

0.1

0.0

0.1

0.2

0.3

y/c

NACA0012final

Figura 5.12: Minimizzazione del cD a 2 con vincolo sul cL - confronto dellaforma del prolo

92

5.4. Massimizzazione del cL con vincolo sul cD

problema può essere visto al pari del caso precedente come un problema in cuisi richiede l'incremento di ecienza aerodinamica puntando sull'incrementodel termine al numeratore, senza tuttavia incrementare la resistenza.

5.4.1 α = 2

Andando ad analizzare l'andamento dei coecienti aerodinamici in gura5.13 si nota come in poche iterazioni si raggiunga un incremento del coef-ciente di portanza importante; questo è stato possibile portando al limitel'ampiezza imposta delle deformazioni, in modo da risparmiare anche in ter-mini di risorse computazionali. Al contempo si può notare come il coecientedi resistenza diminuisca, seppur leggermente, andando avanti con le iterazio-ni. La spiegazione è facilmente deducibile andando a guardare come il proloviene deformato in gura 5.14: grazie ad una deformazione asimmetrica tradorso e ventre, si ottiene anche una diminuzione complessiva della resistenzaaerodinamica.

0 1 2 3 4 5Iterations [-]

0.25

0.20

0.15

0.10

0.05

0.00

∆c D

0

5

10

15

20

∆c L

Figura 5.13: Massimizzazione del cL a 2 con vincolo del cD - variazione deicoecienti

93

Capitolo 5

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

x/c

0.3

0.2

0.1

0.0

0.1

0.2

0.3y/c

NACA0012final

Figura 5.14: Massimizzazione del cL a 2 con vincolo del cD - confronto dellaforma del prolo

5.5 Minimizzazione del cD con vincolo sul vo-

lume

Un ottimizzazione vincolata, sicuramente con maggiore aerenza a casi direale interesse pratico, è quella della resistenza imponendo un vincolo sulvolume del prolo o equivalentemente nel caso bidimensionale sull'area rac-chiusa dal prolo. Questo vincolo è legato chiaramente a considerazioni dicarattere strutturale: se pensiamo infatti alla progettazione delle compo-nenti aerodinamiche di un velivolo, è naturale immaginare un problema diminimizzazione della resistenza (che inuisce in primis sui consumi), senzaperò intaccare il volume dell'ala, interessato dal progetto strutturale e dallaconservazione del carburante in volo. Questo tipo di ottimizzazione è si-curamente più ecace su geometrie tridimensionali complesse, mentre percorpi bidimensionali aerodinamici la situazione paradossalmente si compli-ca, dovendo trattare corpi che non presentano elevate resistenze, con pochepossibilità di variazione della forma. Nel presente lavoro il problema di otti-mizzazione di forma con vincolo di volume presenta ulteriori complicazioni:per ottenere una mesh regolare è stato imposto, implicitamente per ogni pro-blema, il mantenimento di corda unitaria. Questo vincolo implicito rende,nel caso considerato, il problema di ottimizzazione sovra-vincolato. In tal

94

5.5. Minimizzazione del cD con vincolo sul volume

senso questo tipo di ottimizzazione va visto esclusivamente come una vali-dazione della consistenza del work-ow ottenuto, ottenendo una riduzione diresistenza solamente no al raggiungimento del valore minimo consentito divolume. E' stato considerato solamente un angolo di incidenza, non avendodierenze tra i risultati ottenuti per angoli dierenti.

5.5.1 α = 2

Il vincolo può essere imposto equivalentemente sull'area calcolata dall'inte-grazione dei punti del prolo o come volume della patch che viene triangolata.I valori saranno ovviamente diversi e legati alla lunghezza in direzione trasver-sale della patch. In questo caso è stato utilizzato una semplice triangolazionedei punti con la formula dei trapezi, ottenendo come area racchiusa dal pro-lo un valore pari a 0.0817 m2. Si è imposta una variazione massima dell'areapari al ±3%; pur non avendo ssato, a rigore, l'area, si garantisce il buonesito dell'ottimizzazione che altrimenti rischierebbe di rimanere intrappolatanel valore iniziale. In gura 5.15 è riportato la variazione del coeciente diresistenza alle diverse iterazioni. Il guadagno maggiore viene ottenuto nelleprime iterazioni, in cui si ottiene allo stesso tempo un diminuzione dell'areafrontale, no al raggiungimento del valore limite che porta ad una satura-zione dei margini di miglioramento del cD. Come già espresso in precedenzanon sono possibili variazioni della resistenza se non attraverso la variazionedell'area racchiusa dal prolo.Analogamente ai casi precedenti è possibile andare ad analizzare la varia-

zione della forma del prolo che subirà piccoli variazioni legate al marginedi variabilità di area imposto. In gura 5.16 si nota la quasi totale sovrap-ponibilità dei contorni iniziali e nali. Come già detto questo caso permettedi vericare la consistenza dell'ottimizzatore, vericando il comportamentodello stesso in presenza di un problema sovra vincolato. In tal senso l'otti-mizzazione aerodinamica di proli non potrà che orientarsi, nelle condizioniclassiche di funzionamento, in una riduzione della supercie bagnata. Nellapresente trattazione tuttavia, per questioni di regolarità geometrica in fasedi realizzazione della mesh, è stato imposto corda unitaria per tutti i proli.Inne è da notare che a causa della presenza delle funzioni di Hicks-Henne,si ha un abbattimento delle deformazioni al bordo d'attacco e al bordo d'u-scita del prolo. In questo modo si riduce la possibilità di deformazione dellezone che potrebbero essere maggiormente interessate da una variazione diforma consistente. Pertanto la denizione di questo problema di ottimiz-zazione non è orientata al raggiungimento di risultati come nei precedenticasi, ma è orientata esclusivamente alla dimostrazione della consistenza deirisultati in un caso triviale in cui è noto a priori l'andamento. Imponendo

95

Capitolo 5

0 1 2 3 4 5 6

Iterations

0.20

0.15

0.10

0.05

0.00

∆c D

%

Figura 5.15: Minimizzazione del cD a 2 con vincolo sullo spessore - variazione∆cD

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

x/c

0.08

0.06

0.04

0.02

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

y/c

NACA0012final

Figura 5.16: Minimizzazione del cD a 2 con vincolo sullo spessore - confrontodella forma del prolo

96

5.6. Massimizzazione del cL con vincolo sul volume

una variazione minima accettabile per l'area frontale, si andrà a vericareche eettivamente la riduzione di resistenza si arresta una volta raggiunto ilvalore di minimo spessore possibile. E' chiaro allora che in questa condizione,i guadagni percentuali sulla resistenza, se presenti, saranno molto contenuti.

5.6 Massimizzazione del cL con vincolo sul vo-

lume

La massimizzazione del coeciente di portanza a parità di volume assumesicuramente un interesse maggiore, grazie alla possibilità di cambiare formain maniera più netta rispetto al caso precedente pur mantenendo i vincoli giàimposti per la minimizzazione del coeciente di resistenza. Infatti pur aven-do ssato la corda e i punti estremi del prolo, l'ottimizzatore può pilotareil prolo all'aumento dell'inarcamento della linea media, senza tuttavia in-taccare l'area frontale. Per questo tipo di ottimizzazione vengono presentatii risultati ai due dierenti angoli di incidenza. Come già precedentementeimposto con la minimizzazione della resistenza, si è data la possibilità di mo-dicare l'area frontale del prolo del ±3%, in modo da garantire il movimentodell'ottimizzatore nello spazio delle soluzioni.

5.6.1 α = 2

Come previsto dalla teoria, andando avanti con le iterazioni il prolo si muo-verà nella direzione di aumento dell'inarcamento della linea media, incre-mentando in questo modo la portanza a parità di area frontale, condizioneben visibile in gura 5.17, dove sono messi a confronto i proli prima e do-po l'ottimizzazione. Accanto alla variazione di forma è possibile andare adanalizzare l'andamento del coeciente di portanza che per questa congu-razione aumenta notevolmente; in particolare in gura 5.18 si può notarel'incremento monotono del cL alle varie iterazione, no al raggiungimentodel 34% nale.

5.6.2 α = 6

I risultati ottenuti ad un angolo di incidenza pari a 6 sono simili in termini dideformazione del prolo sebbene percentualmente si ottenga un incrementominore del coeciente di portanza rispetto al caso precedente. E' chiaroinfatti che l'aumento dell'inarcamento a parità di corda e area frontale èl'unico modo possibile per incrementare la portanza prodotta, pertanto anchein questa condizione l'ottimizzatore piloterà in questa direzione la variazione

97

Capitolo 5

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

x/c

0.3

0.2

0.1

0.0

0.1

0.2

0.3y/c

NACA0012final

Figura 5.17: Massimizzazione del cL a 2 con vincolo sullo spessore - confrontodella forma del prolo

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0

Iterations

0

5

10

15

20

25

30

35

∆c L

%

Figura 5.18: Massimizzazione del cL a 2 con vincolo sullo spessore -variazione ∆cL

di forma. In gura 5.19 viene riportato il confronto tra il prolo all'ultima

98

5.6. Massimizzazione del cL con vincolo sul volume

iterazione e il NACA 0012, mentre in gura 5.20 è riportato l'andamento delcoeciente di portanza che aumenta in maniera monotona alle varie iterazioni

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

x/c

0.3

0.2

0.1

0.0

0.1

0.2

0.3

y/c

NACA0012final

Figura 5.19: Massimizzazione del cL a 6 con vincolo sullo spessore - confrontodella forma del prolo

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0

Iterations

0

2

4

6

8

10

12

14

∆c L

%

Figura 5.20: Massimizzazione del cL a 6 con vincolo sullo spessore -variazione ∆cL

99

Capitolo 6

Analisi e ottimizzazione del

DrivAer body

Nel presente ed ultimo capitolo si è cercato di applicare una parte dellametodologia sviluppata per l'ottimizzazione dei proli a geometrie più com-plesse, che rappresentino il passo di transizione per l'applicazione del metododell'ottimizzazione con le equazioni aggiunte a problemi di interesse ingegne-ristico. In particolare si andrà ad analizzare i risultati ottenuti sul DrivAerbody [5], mettendo a confronto i dati in termini di forze e coecienti ricava-ti dalle simulazioni numeriche con quelli riconducibili a prove sperimentali.Successivamente verrà analizzata la sensitività rispetto alla minimizzazionedella resistenza aerodinamica del veicolo, calcolata con il solutore sviluppatonel presente lavoro di tesi; la sensitività sarà utilizzata per la deformazio-ne geometrica attraverso l'utilizzo del software commerciale Beta-CAE Ansa[4]. Verranno inne mostrati i risultati ottenuti dallo studio del modello delDrivAer deformato.

6.1 Caratteristiche della mesh

La mesh per il DrivAer body è stata realizzata sfruttando la essibilità e lageneralità di snappyHexMesh, che permette di realizzare una mesh intornoad un certo le CAD, fornito in formato stl. Il le CAD per questa geometriaè liberamente scaricabile dal sito della TUM e consente di assemblare i varicomponenti del veicolo in modo da decidere il grado di dettaglio oltre che latipologia di autovettura da studiare; ad esempio è possibile decidere la parteposteriore della carrozzeria, in modo da avere una berlina, una station-wagono una coupè sportiva. Per il presente lavoro è stata utilizzata una carrozzeriacon fastback posteriore, tipico delle sportive, e un grado di dettaglio inter-

101

Capitolo 6

medio, utilizzando specchietti, cerchi e fondo liscio. La scelta di un fondoliscio, che sicuramente rappresenta l'approssimazione maggiore rispetto aduna geometria reale, è legato al calcolo della sensitività rispetto alla resi-stenza aerodinamica. Si è constatato come la sensitività del fondo-vetturadettagliato fosse predominante rispetto al resto della geometria e questo ren-deva impossibile individuare le zone dell'autovettura più importanti ai nidella riduzione della resistenza. In altre parole si è scelto di prediligere leinformazioni ricavabili dalla sensitività sulla carrozzeria, piuttosto che quelledel fondo-vettura, che oltretutto rappresenta una zona dicilmente modi-cabile in termini geometrici rispetto al resto dell'autoveicolo. In gura 6.1sono rappresentate le dierenti possibilità per il fondo-vettura.Il dizionario di snappy permette di denire un grandissimo numero di pa-

(a) fondo vettura dettagliato

(b) fondo vettura liscio

Figura 6.1: Dierente congurazione del fondo vettura

rametri, tra i quali ci limitiamo a citare ed analizzare i più importanti per lamesh considerata. Come già visto nel capitolo 3, snappy agisce in 3 passaggidiversi: dopo aver creato una mesh di background, si ha un ranamentolocalizzato attraverso lo splitting delle celle esistenti. Per consentire unamigliore discretizzazione della corrente, è stato ssato un blocco di rana-mento a valle dell'auto, in modo da ranare la regione del dominio in cuisi sviluppa la scia del veicolo. Come possibile intuire da gura 6.2, il bloccoha origine a monte dell'autovettura e si sviluppa completamente a valle; si

102

6.2. Validazione della simulazione diretta

nota come la regione del blocco di ranamento ha celle più piccole rispettoalle restanti parti del dominio lontane dal corpo. Dall'immagine è inoltre

Figura 6.2: Sezione della mesh realizzata sul DrivAer body

possibile notare anzitutto la denizione di 5 livelli di ranamento a partiredalla mesh di background (la più esterna tra tutte) e la presenza di 5 stratidi layer intorno al corpo solido e sul lato inferiore del dominio, che hanno ilcompito di ranare le zone a parete, per una migliore stima della correntenello strato limite. La creazione dei layer nel dizionario di snappy è denitadalla scelta del loro numero e del fattore di espansione tra layer successivi, inquesto caso pari ad 1.2. In generale questo numero non dovrebbe mai esseresuperiore a 1.5, in modo da discretizzare completamente lo strato limite enon soltanto le zone più vicine al corpo. La mesh realizzata è costituita da7.59 · 106 celle, di cui circa il 91% sono esaedri, l' 8.3% poliedri e la restanteparte è composta da tetraedri e prismi. Il controllo della mesh inne nonrivela particolari problematicità, essendo riusciti a contenere sia la skewnessche la non-ortogonalità entro i limiti massimi, pari rispettivamente a 4 e 70.

6.2 Validazione della simulazione diretta

Per il DrivAer body non è stato possibile validare la mesh utilizzata come nelcaso del NACA0012 per evidenti ragioni di costo computazionale, tuttaviaanche in questo caso esistono dei risultati sperimentali che si possono utiliz-zare per vericare la consistenza dei risultati numerici ottenuti. Nel presentelavoro si è fatto riferimento a [27], in cui vengono presentati sia risultatisperimentali che numerici.

103

Capitolo 6

6.2.1 Setup numerico

La simulazione è stata settata in modo da avere lo stesso numero di Reynoldsdelle prove sperimentale descritte in [27]; queste prove sono state condottepresso la galleria del vento del dipartimento di aerodinamica della TUM, uti-lizzando un modello in scala 1 : 2.5. Il numero di Reynolds di riferimentodella prova è pari a 4.87 ·106, in corrispondenza di una velocità a monte dellacorrente di 40 m/s, che è stata ridotta a 16 m/s nel setup numerico.Per la stima del coeciente di resistenza del DrivAer body è stato utilizzatolo stesso solver incomprimibile SIMPLE del NACA 0012 e il modello di tur-bolenza k − ωSST ; la y+ media sull'autoveicolo è pari a circa 45, pertanto èstato necessario utilizzare delle wall function per k, ω e νt. In tabella 6.1 sonoespresse sinteticamente tutte le wall function utilizzate. Per la stima del coef-

Grandezza WallFunction

νt nutkWallFunctionk kqrWallFunctionω omegaWallFunction

Tabella 6.1: Wall function utilizzate

ciente di resistenza , è stata imposta la rotazione delle ruote del DrivAer e ilmovimento della parete inferiore. In questo modo è stato possibile simularein maniera più adabile il comportamento su strada del veicolo e riprodurrefedelmente la modalità delle prove realizzate in galleria. Una seconda simu-lazione invece è stata condotta imponendo le ruote ferme e ipotizzando cheil veicolo sia immerso in una corrente indisturbata a monte e a valle. Questotipo di simulazione non ha chiaramente il ne di validare i risultati ottenutiin termini di forze, ma permette di generare una soluzione diretta compa-tibile con le condizioni al contorno aggiunte attualmente implementate. Irisultati in termini di cD per entrambe le congurazioni sono riportate intabella 6.2; ovviamente lo scostamento in termini percentuali sarà maggiorenel caso di ruote bloccate, avendo rappresentato una condizione dierenterispetto a quella prevista in galleria del vento. I valori dei coecienti sono

cD exp cD rotating err % cD xed err %

0.243 0.2595 6.82 % 0.294 21.07 %

Tabella 6.2: Stima del cD

stati ovviamente mediati, dovendo tener conto di un'oscillazione legata alla

104

6.2. Validazione della simulazione diretta

sica del problema; l'autoveicolo è a tutti gli eetti un corpo tozzo che generauna scia che presenta fenomeni di oscillazione. Nella fattispecie sono statimediati sia i campi di pressione e velocità, utilizzando la media temporaleimplementata nella funzione built-in eldAverage di OpenFOAM, sia i valoridei coecienti calcolati, tenendo conto degli ultimi 200 valori. In particolarela funzione eldAverage consente di mediare qualunque campo scalare o vet-toriale tra due istanti di tempo deniti, considerando i valori della soluzionead ogni nuova iterazione. Questa procedura consente di ridurre le oscillazionidel campo di moto, ricavando in tal senso il valore medio di velocità e pres-sione, sicuramente più signicativi in una simulazione RANS stazionaria. Intermini di schemi numerici, si è utilizzata una congurazione molto similea quella utilizzata con i proli, utilizzando lo schema linearUpwind (blen-ded primo-secondo ordine) per la velocità, lo schema linear per la pressionee upwind per le variabili turbolente; inne i solutori lineari utilizzati sonoesattamente gli stessi del caso bidimensionale.

6.2.2 Risultati

A partire dalle due simulazioni, si è cercato di rappresentare in maniera sin-tetica i risultati ottenuti, sia in termini di coecienti aerodinamici, sia intermini di campi di pressione e velocità. In gura 6.3 è stato rappresentatoil campo di pressione sul DrivAer body con le ruote in movimento e il campodi velocità sullo sfondo. Si può notare la presenza di una vasta zona di ri-circolazione a valle del veicolo ed è ben individuabile l'evoluzione in terminidi spessore dello strato limite su tutta la geometria considerata. Di partico-lare importanza è la presenza di zone di repentina variazione della velocità,specie nella parte anteriore e nel collegamento tra parabrezza e cofano ante-riore, in cui si nota la presenza di una piccola zona di velocità nulla. Questepiccole variazioni possono inuenzare pesantemente la sensitività calcolatache chiaramente tenderà a denire un campo di deformazioni che propendaad uniformare il campo di velocità sul veicolo. Il campo di pressione nonpresenta andamenti particolari; esso sarà simmetrico rispetto all'asse longi-tudinale del veicolo, mostrando una certa uniformità sulla parte laterale dellacarrozzeria. E' visibile una zona di ristagno nella parte anteriore (in rosso)e sugli specchietti, mentre si nota la presenza di piccole zone di depressionesulle ruote anteriori.In gura 6.4 invece è rappresentato il campo di velocità e di pressione delDrivAer body con ruote e pavimento bloccati, seguendo la stessa convenzionedell'immagine precedente. Dall'analisi dei risultati si nota come le variazionidi velocità siano meno accentuate e come lo strato limite presenti variazionimeno marcate nella parte inferiore dell'autovettura, non avendo infatti una

105

Capitolo 6

Figura 6.3: Visualizzazione del campo di pressione e velocità con ruote inmovimento

velocità di scivolamento del pavimento. Anche in questa condizione sonotuttavia visibili le variazioni di velocità nella parte anteriore del veicolo eall'intersezione tra cofano e parabrezza. Inne è da osservare come il campodi pressione non mostri dierenze signicative tra i due casi in esame.Partendo da questi ultimi risultati è stata calcolata la sensitività della geo-

Figura 6.4: Visualizzazione del campo di pressione e velocità con ruotebloccate

metria rispetto al coeciente di resistenza. Anche in questo caso l'unica

106

6.3. Sensitività

resistenza considerata è quella di pressione che tuttavia rappresenta la partepredominante della resistenza agente sul DrivAer body.

6.3 Sensitività

Al contrario della simulazione diretta, la simulazione aggiunta con frozen vi-scosity per una geometria tridimensionale si è rivelata essere molto instabilee dicile da far convergere anche utilizzando schemi di basso ordine. Questaproblematica, assente nel caso di ottimizzazione dei proli, ha reso molto dif-coltoso il calcolo della sensitività. Pertanto, oltre ad utilizzare degli schemidi primo ordine anche per velocità e pressione, è stato necessario utilizzaredegli schemi di tipo faceLimited per l'approssimazione dei gradienti. Questatipologia di schemi introduce una dissipazione numerica molto accentuatache permette di stabilizzare la simulazione, al costo tuttavia di perdere intermini di accuratezza della soluzione. Questo tipo di limitatore eettua unclip, ovvero un taglio delle componenti del gradiente, nella direzione congiun-gente le facce adiacenti delle varie celle tra un'iterazione e quella successiva.La sensitività ricavata è mostrata in gura 6.5.Rispetto alla simulazione diretta, non esistono valori di riferimento per la

sensitività calcolata; pertanto l'analisi sulla correttezza del risultato ottenu-to si deve limitare a considerazioni di tipo empirico. In particolare si puòosservare come la distribuzione sia simmetrica rispetto all'asse longitudinale,sebbene ci sia la presenza di oscillazioni più marcate rispetto ai campi dipressione e velocità dirette; nonostante infatti sia stata realizzata anche inquesto caso un'operazione di media temporale, la sensitività non viene uni-formata e resa più omogenea sulla geometria. Di fatti la soluzione aggiuntarisentirà non solo della qualità della mesh, ma anche della qualità della solu-zione diretta calcolata, giusticando la dicoltà intrinseca nel far convergereil calcolo aggiunto.Non è stato possibile trovare alcun riferimento bibliograco per la sensiti-vità sul DrivAer body; l'unica sensitività che può essere parzialmente con-siderata è quella calcolata per una Volkswagen XL1 in [28], dove tuttaviaviene utilizzato un solutore aggiunto senza l'ipotesi di frozen-viscosity, macon un'implementazione del modello di Spalart-Allmaras per le equazioniaggiunte. Questa sensitività, rappresentata in gura 6.6, presenta analogiecon la sensitività ricavata nel caso del DrivAer body specialmente nella zonadelle ruote anteriori e nella giunzione laterale tra parabrezza e carrozzeria.Queste zone sono infatti caratterizzate da un'accelerazione locale della cor-rente, come si vede in gura 6.4, pertanto la sensitività positiva suggerisceuna deformazione inwards che tende ad uniformare l'andamento della pres-

107

Capitolo 6

Figura 6.5: Sensitività sul DrivAer body

sione e quindi della velocità in questa zona del DrivAer body. Va evidenziatocome l'assenza di casi confrontabili in maniera quantitativa e precisa dimostril'originalità dei risultati ottenuti, nonostante le semplicazioni utilizzate intermini di equazioni e condizioni al contorno.

6.4 Morphing superciale

Una volta calcolata la mappa di sensitività sul DrivAer body, si è cercato unmetodo che potesse validare e confermare l'ecacia del risultato anche perquesto tipo di geometria. Non è stato possibile, come nel caso del prolo,

108

6.4. Morphing superciale

Othmer Journal of Mathematics in Industry 2014, 4:6 Page 12 of 23

http://www.mathematicsinindustry.com/content/4/1/6

Figure 9 The primal simulation for the Volkswagen XL1. The symmetry plane is coloured according to

the velocity magnitude, while the car surface shows the pressure distribution.

Figure 10 Drag sensitivity maps for the XL1. Isometric front and back view, bottom view (bottom left) and

top view (top right).

First of all, the ‘usual suspects’ of external car aerodynamics (the roof, the high-curvature

regions of the bonnet, the areas around the wheels and the rear sillboard) are confirmed.

For other sensitive areas like the spanwise blue stripe at the transition between the front-

end and the bonnet (region in Figure ), it can be seen in the primal solution already

that the flow detaches and requires the curvature to be reduced locally - an adjoint is not

needed to get this piece of information. The added-value of the adjoint, however, becomes

obvious for regions , and : the rear end of the car where the adjoint ‘suggests’ a spoiler,

the blue area of the front wing which should be further exposed, and the wheel spoiler

area in front of the front tyres. This information cannot be deduced by looking only at

the primal. The effect of changing the car shape here is non-local and happens further

downstream of the sensitive regions themselves. It can therefore only be identified by the

adjoint.

For the validation study, the four regions already mentioned and shown in Figure

were parameterised with free-form deformation boxes (Figure ), and the car shape was

Figura 6.6: Sensitività della Volkswagen XL1

creare programmi in Python che permettessero di gestire la deformazionecon smoothing della supercie per evidenti ragioni di complessità. Nel casotridimensionale non è più possibile utilizzare le funzioni di Hicks-Henne, masi deve procedere con un approccio basato sulla FFD (Free Form Deforma-tion); inoltre la distribuzione dei punti non è immediata come nel caso delprolo. Per tali ragioni si è deciso di utilizzare un software proprietario chegarantisse l'interfacciamento con il solutore sviluppato su OpenFOAM e ladeformazione della geometria considerata. La scelta è ricaduta su Beta-CAEAnsa, un software molto utilizzato in ambito automobilistico, specie nel set-tore sportivo, per il quale è stato possibile ottenere una licenza gratuita pertre mesi. Questo software consente di realizzare lo smoothing della sensiti-vità e la deformazione del le stl, potendo esportare la nuova geometria siacome mesh leggibile da OpenFOAM, sia come nuovo le CAD da rimeshare.Sono state provate entrambe le soluzioni, tuttavia la presenza di parametriestremamente stringenti per le griglie presenti su OpenFOAM (evidenziatedal checkMesh), porta ad una divergenza dei solutori sulla mesh creata daAnsa, generata con algoritmi di mesh morphing basati sul le di sensitività ininput. Per tale motivo si è deciso di deformare il le stl, restituito in outputda Ansa e incluso nel dizionario di snappyHexMesh per la generazione dellanuova mesh. Il dizionario utilizzato per la mesh della geometria modicataè lo stesso utilizzato per l'automobile originale e permette la creazione diuna griglia con una buona qualità, con 5 diversi livelli di ranamento e lapresenza di layer a contatto con la supercie.

109

Capitolo 6

Figura 6.7: Sensitività originale (sinistra) e dopo lo smoothing (destra)

6.4.1 Smoothing della sensitività

Prima di realizzare la deformazione vera e propria è necessario accertarsi chela supercie generata conservi le caratteristiche di regolarità della supercieoriginale. Come già visto nel capitolo 4 esistono diversi modi di garantireche la supercie deformata resti smooth; date le maggiori dicoltà legatealla presenza di una geometria tridimensionale, per il DrivAer body è statoeettuato lo smoothing della sensitività direttamente in Ansa, fornendo iningresso il numero di iterazioni da eettuare e il numero massimo di livelli dautilizzare per lo smoothing delle aree con gradienti elevati. I risultati sonovisibili in gura 6.7; si nota come l'eetto dello smoothing sia abbastanzaconsistente, preservando tuttavia la distribuzione simmetrica della sensitivi-tà.

6.4.2 Deformazione geometrica

Per realizzare la deformazione in Ansa, è necessario specicare il valore del-lo spostamento massimo consentito. Chiaramente questo spostamento verràapplicato in corrispondenza delle aree in cui la sensitività raggiunge il mas-simo in valore assoluto. Per il DrivAer body sono stati ssati 4 valori dideformazione, pari a 0.5 cm, 0.7 cm, 1 cm e 2 cm; l'entità di queste de-formazione è stata rappresentata in gura 6.8 nella quale è stato isolato lospecchietto retrovisore sinistro delle varie autovetture. Come si può notaredalla rappresentazione della sensitività in gura 6.5, lo specchietto sarà una

110

6.5. Analisi dei risultati

delle aree maggiormente interessate dalla deformazione in quanto la sensitivi-tà qui raggiunge valori particolarmente alti. Partendo dalla prima immaginein alto a sinistra e procedendo in senso orario troviamo la rappresentazionein corrispondenza di una deformazione di 0.5, 0.7, 2 e 1 cm. All'aumentare

Figura 6.8: STL generati da Ansa con dierenti deformazioni massime

di questo valore, aumenta ovviamente l'eetto di deformazione sull'intera su-percie; è altrettanto vero che deformazioni troppo ampie possono generarestl con bassa qualità superciale che inuiscono negativamente sulla qualitàdella mesh e quindi sulla stabilità del solutore. Per il presente caso è statoconstatato che utilizzando una deformazione massima pari a 2 cm sia possibi-le ottenere una mesh di buona qualità ed al contempo amplicare l'eetto dicambiamento del coeciente di resistenza. La nuova geometria ottenuta conquesta deformazione è stata rappresentata sovrapposta a quella originale ingura 6.9, dove il DrivAer body di partenza è in colore bianco mentre quellodeformato è colorato in blu. Si può notare come l'autovettura sia stata sca-vata in maniera concorde alla mappa di sensitività, che presentava valoriparticolarmente elevati in corrispondenza della parte laterale del muso, nelcollegamento tra parabrezza e carrozzeria e negli specchietti retrovisori.

6.5 Analisi dei risultati

A partire dal nuovo le stl, è stata generata una mesh simile a quella giàutilizzata per il DrivAer body originale, utilizzando lo stesso dizionario di

111

Capitolo 6

Figura 6.9: Confronto tra DrivAer originale (bianco) e deformato (blu)

snappy. Questa mesh è stata utilizzata per la nuova simulazione e il calcolodei nuovi coecienti aerodinamici. I parametri in termini di solutori, schemi,condizioni al contorno e numero di iterazioni sono gli stessi della geometriaoriginale, in modo da poter valutare in maniera consistente i risultati ottenu-ti. E' da osservare come siano state considerate le condizioni al contorno conruote e parete inferiore bloccate; sebbene questo tipo di condizioni al con-torno provochi un errore maggiore nella stima del coeciente di resistenza,esse sono consistenti con la sensitività trovata. Non è scontato infatti che lasensitività di quest'ultimo caso valga anche per l'automobile con le ruote inmovimento, a causa delle dierenze presenti al livello di pressione e velocitàdirette, dalle quali dipende la sensitività della geometria.Dall'analisi della nuova geometria è emersa una riduzione del coeciente diresistenza pari al 4.26%, pari a 1.25 punti1, un valore decisamente elevato sesi pensa che questa variazione è dovuta ad una singola deformazione. In eet-ti se fosse possibile automatizzare la procedura di smoothing, deformazionee generazione del nuovo stl, si potrebbe pensare di migliorare ulteriormentela forma del DrivAer body, utilizzando al contempo delle deformazioni piùpiccole che possano garantire il mantenimento di regolarità superciale. E'da osservare come in questo contesto, mancando di un ottimizzatore vero eproprio, non sia stato utilizzato alcun vincolo di forma. L'utilizzo di vin-

1In ambito automobilistico le variazioni dei coecienti non vengono espresse in formapercentuale, ma utilizzando la dierenza dei valori assoluti dei coecienti espressi comecentesimi, ovvero (coldD − cnewD ) · 100.

112

6.5. Analisi dei risultati

coli che preservino in qualche modo alcune parti della vettura, può essereun fattore fortemente stringente per una possibile e futura applicazione in-dustriale di questo strumento, dovendo soddisfare non soltanto le esigenzelegate ad una riduzione di resistenza aerodinamica dell'autoveicolo, ma an-che di mantenimento di un certo design. Inne è importante evidenziarecome nel presente lavoro, proprio in virtù dell'assenza di vincoli, è stata con-siderata come supercie deformabile tutto il DrivAer body, sebbene in Ansasia possibile creare box geometrici e limitare il morphing ad aree esclusivedell'autovettura, come specchietti o alettone, al pari di quanto già fatto adesempio in [28].La riduzione di resistenza è ben visibile andando ad analizzare l'andamentodella pressione sulla geometria originale e su quella deformata. La resistenzavalutata in termini di funzione obiettivo all'interno della sensitività è esclu-sivamente quella di forma, dominante in corpi tozzi come il DrivAer body;pertanto la distribuzione di pressione sull'autoveicolo permette di valutarecon buona approssimazione le aree che contribuiscono maggiormente alla ge-nerazione di resistenza. Nelle gure 6.10, 6.11, 6.12, 6.13 è rappresentatala pressione su entrambe le geometrie in diverse viste, con a sinistra la geo-metria di partenza e a destra la nuova geometria; tutte le gure presentanola stessa scalatura graca, sebbene i valori numerici siano stati omessi perchiarezza espositiva.

Figura 6.10: Vista frontale del campo di pressione

Dall'analisi delle diverse viste si nota immediatamente come la nuova geo-metria presenti un pattern di pressione più uniforme e con gradienti menointensi rispetto alla geometria di partenza. Questa condizione in particolarenon è limitata alle aree maggiormente interessate dalla deformazione (ovverole aree con valori di sensitività maggiori), ma sia una caratteristica generale

113

Capitolo 6

Figura 6.11: Vista dall'alto del campo di pressione

Figura 6.12: Vista da dietro del campo di pressione

114

6.5. Analisi dei risultati

Figura 6.13: Vista assonometrica del campo di pressione

dell'autovettura. Andando ad analizzare nel dettaglio le diverse zone, si puònotare, dall'immagine 6.10, la netta riduzione di sovra-pressione (in rosso)dal parabrezza e dal muso, evidenziabile anche dall'immagine 6.14 nella qualesono rappresentate le isolinee di pressione per un valore convenzionalmentepari ad 80. Un'altra zona fortemente interessata da un miglioramento della

Figura 6.14: Isolinee di pressione su entrambe le geometrie

distribuzione di pressione è quella in corrispondenza dell'alettone, nella qualesi ha una forte omogeneizzazione del pattern di pressione su valori più bas-si rispetto a quelli della geometria originale. Ovviamente i cambiamenti dipressione in questa zona del veicolo possono determinare variazioni impor-tanti della deportanza generata, che tuttavia è stata trascurata nella presentetrattazione.

115

Capitolo 7

Conclusioni e sviluppi futuri

Lo sviluppo di una suite CFD totalmente open-source per l'ottimizzazione diforma con la tecnica dell'aggiunto, è stato portato avanti in questo lavoro dadue diversi punti di vista. Da un lato si è cercato di implementare e validareun work-ow generale per l'ottimizzazione di proli aeronautici, dall'altrosi è cercato di estendere la metodologia anche a geometrie tridimensionali,avvicinandosi a casi di interesse industriale.Entrambe queste strade hanno presentato nel loro sviluppo punti di forza ecriticità che permettono di denire la strada da intraprendere per portareavanti la ricerca.

7.1 Ottimizzazione dei proli

Il work-ow sviluppato per l'ottimizzazione dei proli si è rivelato essereuno strumento ecace e molto versatile, che consente la scelta di funzioniobiettivo e vincoli senza la necessità di modicare il solutore aggiunto im-plementato. Il loop sviluppato è stato testato su casi diversi e molto spessocon soluzioni banali, che tuttavia hanno permesso la validazione dei risultatiottenuti. Dal punto di vista dell'ottimizzazione dei proli quindi, è oggi di-sponibile una routine migliorabile, ma che ore la possibilità di lavorare inmaniera generale su qualunque tipo di prolo.Il lavoro che resta da fare su questo work-ow consiste sicuramente nel passag-gio ad un ottimizzatore più eciente e robusto di Dakota, che possa garantireuna maggiore versatilità nella gestione dei vincoli e una maggiore velocità diottimizzazione. Una possibile soluzione può essere quella di modicare unodegli ottimizzatori implementati in Python, in modo da avere un control-lo più profondo dell'intero processo di ottimizzazione. L'ultimo aspetto dasviluppare sarebbe il passaggio ad algoritmi di mesh-morphing che amplino

117

Capitolo 7

l'applicabilità del work-ow, oggi limitata ai soli proli. Se si riuscisse adeformare la mesh esistente, anziché ricrearla ad ogni iterazione, si potreb-be passare dall'utilizzo di blockMesh all'utilizzo di snappyHexMesh, potendoassumere in ingresso un corpo bidimensionale di forma qualsiasi. In que-sto modo si completerebbe del tutto lo sviluppo del work-ow per geometriebidimensionali.

7.2 Ottimizzazione del DrivAer body

L'applicazione della metodologia a geometrie tridimensionali complesse hamostrato sicuramente maggiori criticità, evidenziando i limiti del work-owsviluppato, ma allo stesso tempo mostrandone la non scontata applicabi-lità a casi diversi da quello del semplice prolo bidimensionale. Nel casodel DrivAer body non è stato possibile realizzare, per dicoltà tecniche, unametodologia per la deformazione superciale, intrinsecamente più dicile delcaso dei proli. Per geometrie di questo tipo infatti, non è possibile utilizza-re le funzioni di Hicks-Henne, ma si deve passare ad algoritmi di tipo FFD(Free Form Deformation). L'assenza di algoritmi di deformazione inoltre haimpedito l'utilizzo di Dakota o di qualsiasi altro ottimizzatore, che in gene-rale necessita di un deformatore per poter applicare gli spostamenti generaticome output del processo di ottimizzazione.Per sopperire alla mancanza di script per il morphing della supercie, è sta-to utilizzato un software proprietario in sessione graca, che ha permesso direalizzare in maniera non automatizzata lo smoothing della sensitività e unasingola deformazione della geometria considerata.Accanto a questi limiti legati a dicoltà tecniche non risolvibili nei tempi adisposizione, si deve notare anzitutto l'ecacia dimostrata da questo stru-mento, che ha permesso una riduzione importante di resistenza su una geo-metria complicata. La sensitività calcolata si è quindi dimostrata corretta,nonostante le approssimazioni fatte nello sviluppo del work-ow e l'assenzadi risultati analoghi e comparabili in letteratura dimostra l'originalità dellavoro e dei risultati proposti.Accanto alla necessaria estensione del work-ow sviluppato per i proli al ca-so bidimensionale, gli ulteriori passi da compiere per completare il progettoavviato con questo lavoro riguardano il miglioramento del solutore aggiunto.Su geometrie tridimensionali è stato molto dicile far convergere il soluto-re e pertanto, per incrementare la robustezza dell'algoritmo, bisognerebbeimplementare anzitutto nuove condizioni al contorno aggiunte, compatibilicon le condizioni di ruote e parete inferiore in movimento, introdurre una

118

7.2. Ottimizzazione del DrivAer body

formulazione di wall function aggiunte[29] e modicare le equazioni anchépossa cadere l'ipotesi di frozen viscosity [15].

119

Appendice A

Programmi e script del workow

A.1 Solutore aggiunto

Come visto, il solutore aggiunto in OpenFOAM è composto da diversi le.In questa sezione ci limiteremo a presentare il .C principale.

/*−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−*\========= |\\ / F ie l d | OpenFOAM: The Open Source CFD Toolbox\\ / O peration |\\ / A nd | Copyright (C) 2011 OpenFOAM Foundation\\/ M anipulation |

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−License

This f i l e i s part of OpenFOAM.

OpenFOAM is free software : you can red i s t r i bu t e i t and/or modify i tunder the terms of the GNU General Public License as publ ished bythe Free Software Foundation , e i ther version 3 of the License , or( at your option ) any la t e r version .

OpenFOAM is d i s t r i bu ted in the hope that i t w i l l be useful , but WITHOUTANY WARRANTY; without even the implied warranty of MERCHANTABILITY orFITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE. See the GNU General Public Licensefor more de ta i l s .

You should have received a copy of the GNU General Public Licensealong with OpenFOAM. I f not , see <http ://www. gnu . org/ l i censes />.

ApplicationadjointOptFoam

DescriptionSteady−s ta te incompressible frozen v i s cos i t y adjoint so lver .

\*−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−*/

#include "fvCFD .H"#include " singlePhaseTransportModel .H"#include "RASModel .H"#include " s impleContro l .H"

template<class Type>void z e r oCe l l s(

GeometricField<Type , fvPatchFie ld , volMesh>& vf ,const l a b e l L i s t& c e l l s

)

f o rA l l ( c e l l s , i )

v f [ c e l l s [ i ] ] = pTraits<Type>: : zero ;

121

Capitolo A

// * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * //

int main ( int argc , char *argv [ ] )

#inc lude " setRootCase .H"

#inc lude " createTime .H"#inc lude " createMesh .H"#inc lude " c r e a t eD i r e c tF i e l d s .H"#inc lude " c r ea t eAd jo i n tF i e l d s .H"#inc lude " c r ea t eOpt im i za t i onF i e ld s .H"#inc lude " in i tAd jo in tCont inu i tyEr r s .H"#inc lude " optimizat ionCheck .H"

s impleContro l s imple (mesh ) ;

// * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * //

Info<< "\ nStar t ing time loop \n" << endl ;

while ( s imple . loop ( ) )

Info<< "Time = " << runTime . timeName ( ) << nl << endl ;

// Adjoint Pressure−ve loc i t y SIMPLE corrector#inc lude "UaEqn .H"#inc lude "paEqn .H"

// Sens i t i v i t y ca lcu la t ion#inc lude " S e n s i t i v i t y .H"

runTime . wr i t e ( ) ;

//write adjoint surface s en s i t i v i t yIn f o << "\nWriting su r f a c e s e n s i t i v i t y \n" << endl ;

Info<< "ExecutionTime = " << runTime . elapsedCpuTime ( ) << " s "<< " ClockTime = " << runTime . elapsedClockTime ( ) << " s "<< nl << endl ;

Info<< "End\n" << endl ;

return ( 0 ) ;

// ************************************************************************* //

A.2 SimplecFoam

Come già evidenziato precedentemente, il solutore SIMPLEC dierisce sola-mente nell'equazione utilizzata per calcolare le velocità corrette in funzionedelle pressioni corrette, in modo da ridurre l'equazione di continuità ad un'e-quazione con l'unica incognita p′. Questa modica viene realizzata diretta-mente nel le pEqn, creando una variabile temporanea anewp = ap +

∑nb anb,

ovvero ridenendo i coecienti moltiplicativi della velocità nel centro dellacella.

vo l S c a l a rF i e l d rAU(1 . 0/UEqn ( ) .A( ) ) ;vo lVecto rF i e ld HbyA( "HbyA" , U) ;HbyA = rAU*UEqn ( ) .H( ) ;

s u r f a c e S c a l a rF i e l d phiHbyA( "phiHbyA" , fvc : : i n t e r p o l a t e (HbyA) & mesh . Sf ( ) ) ;fvOptions . makeRelative (phiHbyA ) ;adjustPhi (phiHbyA , U, p ) ;

122

A.3. Simulator script

tmp<vo lSca l a rF i e ld > rAtU(rAU) ;

// simplec modifications//==============================================================rAtU = 1 . 0/ ( 1 . 0 /rAU − UEqn ( ) . H1 ( ) ) ;phiHbyA +=

fvc : : i n t e r p o l a t e ( rAtU ( ) − rAU)* f vc : : snGrad (p)*mesh . magSf ( ) ;HbyA −= (rAU − rAtU ( ) )* f vc : : grad (p ) ;//===============================================================UEqn . c l e a r ( ) ;

// Non−orthogonal pressure corrector loopwhile ( s imple . correctNonOrthogonal ( ) )

fvSca larMatr ix pEqn(

fvm : : l a p l a c i a n ( rAtU ( ) , p) == fvc : : div (phiHbyA)) ;

pEqn . s e tRe f e r ence ( pRefCel l , pRefValue ) ;

pEqn . s o l v e ( ) ;

i f ( s imple . f ina lNonOrthogona l I t e r ( ) )

phi = phiHbyA − pEqn . f l ux ( ) ;

#inc lude " cont inu i tyEr r s .H"

// Exp l i c i t l y re lax pressure for momentum correctorp . r e l ax ( ) ;

// Momentum correctorU = HbyA − rAtU* f vc : : grad (p ) ;U. correctBoundaryCondit ions ( ) ;fvOptions . c o r r e c t (U) ;

A.3 Simulator script

Il simulator script è lo scipt di interfaccia tra Dakota e OpenFOAM, nonchélo script che descrive tutta la procedura di ottimizzazione. All'interno sonorichiamati i vari script Python che permettono ad esempio la deformazionedel prolo, oppure lo smoothing della sensitività. Esso è stato descritto nellasezione 3.7.1.#!/ bin/bash# $1 i s params . in FROM Dakota# $2 i s r e su l t s . out returned to Dakota

cp −r . . / casebase /* . >& copy . outrm −r constant /polyMesh/*python cppolyMeshprev . py >& cppolyMesh . out

dprepro $1 input . template input . txt

echo 'Mesh generat ion 'python Meshgen . py >& Meshgen . outblockMesh >& block . outtrans formPoints −r o t a t e ' ( (0 1 0) (0 0 −1) ) ' >& t r an s f . outcheckMesh >& check . out

# −−−−−−−−# ANALYSIS# −−−−−−−−

echo "************************************"echo "Running in d i r e c t o r y : "pwd

echo "************************************"

123

Capitolo A

Np=64l et Nproc=Np−1

decomposePar >& log . decomposerm system/ cont ro lD i c tcp system/ cont ro lD i c t . d i r e c t system/ cont ro lD i c techo ' D i rec t s imulat ion 'rm system/ fvSo lu t i oncp system/ fvSo lu t i on . d i r e c t system/ fvSo lu t i onmpirun −np $Np simplecFoam −p a r a l l e l >& d i r e c t . outrecons t ructPar −l a testTime >& r e c on s t r u c t d i r . out

# −−−−−−−−−−−−−−−# POST−PROCESSING# −−−−−−−−−−−−−−−

#MEAN DRAGawk 'NR>=9809 && NR<=10008 t o t a l += $3 ; count++ END pr in t "Mean_drag " t o t a l / count ' pos tProce s s ing / f o r c e s /0/ f o r c eCo e f f s . dat > drag_coe . txt

#MEAN LIFTawk 'NR>=9809 && NR<=10008 t o t a l += $4 ; count++ END pr in t "Mean_lift " t o t a l / count ' pos tProce s s ing / f o r c e s /0/ f o r c eCo e f f s . dat > l i f t_co e . txt

#GET MEAN VALUES AND COPY IT TO THE RESULTS FILE FOR DAKOTAawk 'NR==1 pr in t $2 ' drag_coe . txt > tmp . txtawk 'NR==1 pr in t $2 ' drag_coe . txt >> . . / Cd_histawk 'NR==1 pr in t $2 ' l i f t_c o e . txt >> tmp . txtawk 'NR==1 pr in t $2 ' l i f t_c o e . txt >> . . / Cl_hist

rm constant / op t im i za t i onPrope r t i e scp constant / op t im i za t i onPrope r t i e s .Cd constant / op t im i za t i onPrope r t i e secho ' Adjoint s imu la t ion for ob j e c t i v e function 'rm system/ cont ro lD i c tcp system/ cont ro lD i c t . ad j o in t system/ cont ro lD i c t

for k in $ ( seq 0 $Nproc )do

cp proce s so r$k /0/Ua proce s so r$k /10000/cp proce s so r$k /0/pa proce s so r$k /10000/done

echo ' Adjoint s imulat ion 'cp system/ fvSo lu t i on . ad j o in t system/ fvSo lu t i onmpirun −np $Np adjointOptFoam −p a r a l l e l >& ad jo in t . outrecons t ructPar −l a testTime >& recon s t ruc tad j 1 . out

mv system/ sampleDict . sens system/ sampleDictsample −l a testTime >& sample . out

# inser isco l e s en s i t i v i t a de l l a funzione ob i e t t i vopython wr i teSens . py >& wri teSens . out

# elimino i dat i de l l ' aggiuntofor k in $ ( seq 0 $Nproc )do

rm −r proces so r$k /20000/done

rm −r 20000

rm constant / op t im i za t i onPrope r t i e scp constant / op t im i za t i onPrope r t i e s . Cl constant / op t im i za t i onPrope r t i e s

echo ' Adjoint s imu la t ion for c on s t r a i n t function 'for k in $ ( seq 0 $Nproc )do

cp proce s so r$k /0/Ua proce s so r$k /10000/cp proce s so r$k /0/pa proce s so r$k /10000/done

rm system/ cont ro lD i c tcp system/ cont ro lD i c t . ad j o in t system/ cont ro lD i c techo ' Adjoint s imulat ion 'mpirun −np $Np adjointOptFoam −p a r a l l e l >& ad jo in t2 . outrecons t ructPar −l a testTime >& recon s t ruc tad j 2 . out

sample −l a testTime >& sample2 . out

124

A.3. Simulator script

mv system/ sampleDict system/ sampleDict . sens

# prendo i punti de l p ro f i l o modificatomv system/ sampleDict . po in t s system/ sampleDictsample −l a testTime >& samplepoints . outmv system/ sampleDict system/ sampleDict . po in t s

# inser isco la s en s i t i v i t a del vincolopython wr i teSens . py >& writeSens2 . out

mv tmp . txt $2

#THESE LINES COMPUTE THE MEAN VALUE OF THE LAST 200 ENTRIES OF forceCoeffs . dat#LIFTawk 'NR>=9809 && NR<=10008 t o t a l += $4 ; count++ END pr in t t o t a l / count ' pos tProce s s ing / f o r c e s /0/ f o r c eCo e f f s . dat > ldm . txt#DRAGawk 'NR>=9809 && NR<=10008 t o t a l += $3 ; count++ END pr in t t o t a l / count ' pos tProce s s ing / f o r c e s /0/ f o r c eCo e f f s . dat >> ldm . txt

touch ldm1 . txtpaste −s ldm . txt > ldm1 . txt

paste −d ' ' input . txt ldm1 . txt > outldm . txt

#IN COEFFS.TXT:t a i l −n 1 outldm . txt >> . . / c o e f f s . txt

#CHECK IS resu l t s . out i s emptyi f [ −s " r e s u l t s . out" ]then

echo "************************************"echo " r e s u l t s . out OK ( not empty ) "pwd

echo " I s the cur rent d i r e c t o r y : "echo "************************************"

else

echo "************************************"echo " r e s u l t s . out i s empty"echo "Creat ing dummy f i l e "echo "Check d i r e c t o r y : "pwd

echo " to track the problem "echo "************************************"

f i

125

Bibliograa

[1] Palacios F., Colonno M. R., Aranake A. C., Campos A., Copeland S. R.,Economon T. D., Lonkar A. K., Lukaczyk T. W., Taylor T. W. R. andAlonso J. J., Stanford University Unstructured (SU2): An open-sourceintegrated computational environment for multi-physics simulation anddesign, No. Paper 2013-0287 in 51st AIAA Aerospace Sciences Meetingand Exhibit, January 2013

[2] http://www.openfoam.org/

[3] M. Murari, M. Quadrio, R.Pieri, Ottimizzazione vincolata adjoint-based: sviluppo di una metodologia open source su piattaforma HPC,Tesi di Laurea Magistrale, Politecnico di Milano, 2015

[4] http://www.beta-cae.com/

[5] https://www.aer.mw.tum.de/en/research-groups/automotive/drivaer/

[6] http://www.cineca.it/it/content/galileo

[7] Quartapelle L. e Auteri F., Fluidodinamica incomprimibile, CasaEditrice Ambrosiana, 2013

[8] Quartapelle L. e Auteri F., Fluidodinamica comprimibile, Casa EditriceAmbrosiana, 2013

[9] Kundu P.K., Cohen I.M., Dowling D.R., Fluid Mechanics - FifthEdition, Academic Press, 2012

[10] Spalart P. R. and Allmaras S. R., A One-Equation Turbulence Modelfor Aerodynamic Flows, Recherche Aerospatiale, No. 1, 1994, pp. 5-21

[11] Menter F.R., Improved Two-Equation k − ω Turbulence Model forAerodynamics Flows, Technical Memorandum - TM 103975, NASA.1992

127

Capitolo A

[12] http://turbmodels.larc.nasa.gov/spalart.html

[13] http://turbmodels.larc.nasa.gov/sst.html

[14] Othmer C., A continuous adjoint formulation for the computation of to-pological and surface sensitivities of ducted ows, International Journalof Numerical Methods in Fluids, pp.861-867, 2008

[15] Zymaris A.S., Papadimitriou D.I., Giannakoglou K.C., Othmer C.,Continuous adjoint approach to the SpalartAllmaras turbulence modelfor incompressible ows , Computers & Fluids 38, 2009, pp. 1528-1538

[16] Soto O. e Löhner R., On the computation of ow sensitivities fromboundary integrals, AIAA Paper 2004-0112 (2004)

[17] Rhoads J., OpenFOAM Workshop 2014: eects of grid quality onsolution accuracy, 2014

[18] Ladson data, http://turbmodels.larc.nasa.gov/naca0012_val.html, NA-SA TM 4074, 1988

[19] Ferziger J.H. e Peric M., Computational Methods for Fluid Dynamics,Springer, 2002

[20] http://cfd.direct

[21] Press W., Teukolsky S., Vetterling W., Flannery B., Numerical Recipesin C: the Art of Scientic Computing, Cambridge University Press, 2002

[22] Wright G.B., Radial Basis Function Interpolation: Numerical andAnalytical Developments, Ph.D Thesis, University of Colorado, 2003

[23] Adams B.M., Bauman L.E., Bohnho W.J., Dalbey K.R., Ebeida M.S.,Eddy J.P., Eldred M.S., Hough P.D., Hu K.T., Jakeman J.D., SwilerL.P., and Vigil D.M., DAKOTA, A Multilevel Parallel Object-OrientedFramework for Design Optimization, Parameter Estimation, Uncertain-ty Quantication, and Sensitivity Analysis, Sandia Technical ReportSAND2010-2183, December 2009

[24] Vanderplaats G. N., CONMIN a FORTRAN program for constrainedfunction minimization, Technical Report TM X-62282, NASA, 1973

[25] http://www.eng.bualo.edu/CONMIN/manual.html

128

Bibliograa

[26] Nakaya Jun and Murasawa Anju, Quasi-2D Flow Analysis aroundNACA0012 Airfoil using OpenFOAM, JAXA-SP-13-011, pp:115-120,2014

[27] Helft A., Indinger T., Adams N., Experimental and Numerical Investi-gation of the DrivAer Model, ASME 2012, July 8-12,2012, Puerto Rico,USA, FEDSM2012-72272

[28] Othmer C., Adjoint methods for car aerodynamics, Journal ofMathematics in Industry, 2014, 4:6

[29] Zymaris A.S., Papadimitriou D.I., Giannakoglou K.C., Othmer C.,Adjoint wall functions: A new concept for use in aerodynamicshape optimization, Journal of Computational Physics 229 (2010),pp.5228-5245

129