i OTIMIZAÇÃO DE PORTFOLIO USANDO CVaR COMO MEDIDA DE RISCO Gabriel Amy Barrozo Vitor Procópio Lima Projeto de Gradução apresentado ao Curso de Engenharia de Produção da Escola Poltécnica, Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necessários à obtenção do título de Engenheiro. Orientador: Roberto Ivo da Rocha Lima Filho, Ph.D. Rio de Janeiro Novembro de 2019
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Transcript
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OTIMIZAÇÃO DE PORTFOLIO USANDO CVaR COMO MEDIDA DE
RISCO
Gabriel Amy Barrozo
Vitor Procópio Lima
Projeto de Gradução apresentado ao Curso de
Engenharia de Produção da Escola
Poltécnica, Universidade Federal do Rio de
Janeiro, como parte dos requisitos
necessários à obtenção do título de
Engenheiro.
Orientador: Roberto Ivo da Rocha Lima
Filho, Ph.D.
Rio de Janeiro
Novembro de 2019
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Barrozo, Gabriel Amy
Lima, Vitor Procópio
Otimização de portfólio usando CVaR como medida de
risco / Gabriel Amy Barrozo e Vitor Procópio Lima – Rio
de Janeiro: UFRJ/ Escola Politécnica, 2019.
XII, 64 p.: il.: 29,7 cm
Orientador: Roberto Ivo da Rocha Lima Filho, D. Sc.
Projeto de Graduação – UFRJ/ POLI/ Curso de
Engenharia de Produção, 2019.
Referências Bibliográficas: p. 53-57
1. Otimização de portfólio 2. Conditional Value at Risk 3.
Fronteira eficiente 4. Mercados eficientes.
I. Filho, Roberto Ivo da Rocha Lima II. Universidade
Federal do Rio de Janeiro, UFRJ, Curso de Engenharia de
Produção III. Otimização de portfólio usando CVaR como
medida de risco.
iv
AGRADECIMENTOS
Vitor Procópio Lima:
Primeiramente, gostaria de agradecer aos meus pais Jairo e Sônia. Eles sempre
foram inspiração para mim, e me ensinaram a construir o meu caminho a cada
passo. Seja por exemplo ou pelas conversas, eles me ensinaram a acreditar em mim,
sonhar grande e a me empenhar. Sem eles, muito do que conquistei e sou não seria
possível.
À minha namorada, que esteve comigo durante os últimos anos dessa etapa da
minha vida, obrigado pela companhia, companheirismo, e por acreditar em mim em
todos esses momentos. Aos meus amigos do Vale do Aço, obrigado pelas memórias
e torcida que também contribuíram para a minha formação. Gostaria de agradecer
ao Gabriel, também autor desse trabalho, pela parceria e amizade ao longo do ciclo
profissional da Engenharia de Produção, que culminaram nesse trabalho em
conjunto ao final desse ciclo. Em especial, gostaria de agradecer ao aprendizado
dos últimos dois anos e meio com as pessoas do Bahia Asset, principalmente com
o Vinícius. Obrigado também, aos meus amigos da Engenharia Naval, que me
acompanharam durante o ciclo básico e estiveram comigo na adaptação ao Rio de
Janeiro.
Ao nosso orientador, Roberto Ivo, muito obrigado pelas primeiras conversas
quando mudei de curso, até hoje na orientação deste trabalho. Ele me encorajou a
sair da zona de conforto e alcançar, muitas vezes, algo inesperado.
Gostaria de dedicar também a todos os professores, do ensino fundamental à
graduação que contribuíram para a minha formação.
v
AGRADECIMENTOS
Gabriel Amy Barrozo:
Aproveito este espaço para agradecer a todos que foram importantes nesses 5 anos
de Universidade:
Minha família por sempre ter apoiado e incentivado os meus estudos e por terem
me proporcionado toda a estrutura necessária para entrar, permanecer e agora sair
da UFRJ. Em especial aos meus pais, Júnior e Natalie, meus irmãos, Vinícius e
Alex, e minha avó Jacira.
A minha namorada Amanda pela amizade, amor e incentivo desde que começamos
a namorar no ensino médio. Agradeço também por estarmos completando mais uma
etapa das nossas vidas juntos.
Aos meus amigos do colégio por serem tudo que podemos desejar em um amigo.
Aos grandes amigos que fiz no CT: Sobral, Isabela, Micael e Vitor – minha dupla
nesse trabalho de conclusão de curso. Para os três primeiros, que estão juntos
comigo desde a primeira semana de aula na MetalMat, vou guardar com muito
carinho a evolução que tivemos em conjunto nesses últimos 5 anos, aos incontáveis
almoços no italiano, árabe, CT 2 e Cetem, dos cafezinhos no CAEng e Batista, e
dos inúmeros momentos de aperto e alívio acadêmico e pessoais que passamos
juntos. Ao Vitor, que veio de outra engenharia na mesma época que eu, agradeço
pelos diversos dias, noites e madrugadas de trabalho, risadas e aprendizados. Aos
quatro, muito obrigado por terem me feito um amigo, aluno, filho e namorado
melhor.
Por fim, gostaria de agradecer a todos da SPX, empresa em que estagiei durate os
dois últimos anos na UFRJ e que acaba de me contratar. Não poderia ter escolhido
lugar melhor pra estar no início da minha carreira. O trabalho foi árduo, longo e
cansativo, mas muito recompensador. Espero que esse seja apenas o início do
caminho.
vi
Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/UFRJ como
parte dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Engenheiro de
Produção.
OTIMIZAÇÃO DE PORTFOLIO USANDO CVAR COMO MEDIDA DE
RISCO
Gabriel Amy Barrozo
Vitor Procópio Lima
Novembro/2019
Orientador: Roberto Ivo da Rocha Lima
Curso: Engenharia de Produção
Desde os trabalhos de Markowitz em 1954, os estudos na área de gestão de
portfolios se mostraram uma das principais vertentes em finanças e investimento.
Em especial, a escolha de uma medida de risco adequada é crucial para maximizar
os ganhos esperados e reduzir o risco de perdas significativas da carteira. Este
estudo propõe a utilização do CVaR como medida de risco adequada para um
portfólio e avalia a sua performance através da comparação de um portfólio estático,
um portfólio com rebalanceamento diário e um benchmark, usando ações presentes
no índice Ibovespa. Foi desenvolvido um modelo computacional em R para a
definição dos portfólios ótimos, dados os objetivos e restrições, assim como para
reportar a performance de cada alternativa.
Palavras-chave: Otimização de portfólio, Conditional Value at Risk, Fronteira
eficiente, Mercados eficientes.
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Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as a partial fulfillment
of the requirements for the degree of Industrial Engineer
PORTFOLIO OPTIMIZATION USING CVAR AS RISK MEASURE
Gabriel Amy Barrozo
Vitor Procópio Lima
November/2019
Advisor: Roberto Ivo da Rocha Lima
Course: Industrial Engineering
Since Markowitz works in 1954, portfolio management studies surged as one of the
main fields of study in finance and investments. In particular, choosing a proper
risk measure is crucial to maximize the expected returns and reduce the risk of
significant losses in the portfolio. This study proposes the use of CVaR as a proper
risk measure and analyses its performance with the comparison of a static portfolio,
a daily rebalanced portfolio and a benchmark, using stocks in the Ibovespa index.
For this, a computational model was developed in R to define the optimal portfolios,
given the objectives and restrictions of the problem, and also to report the
performance for each alternative.
Keywords: Portfolio optimization, Conditional Value at Risk, Efficient Frontier,
Figura 2-3: Exemplo das diferentes curvas de retorno e risco para
diferentes correlações entre dois ativos
Como é possível notar, ao optar por ativos menos positivamente
correlacionados, ou mais negativamente correlacionados, é possível obter relação
risco-retorno melhor. Isso ilustra a ideia de diversificação e a crítica promovida por
Markowitz (1952) sobre a ideia de retorno descontado.
Na década seguinte à divulgação dos estudos de Markowitz iniciaram-se uma
série de estudos na intenção de mensurar o retorno esperado adequado para um
determinado ativo de risco. Esses estudos se mostrariam complementares à Teoria
de Portfólios no sentido de que a melhor relação risco-retorno possível para se
montar portfólio de ativos de risco pode não ser adequada ao perfil do investidor –
ele poderia optar por investir a totalidade de seus recursos no ativo livre de risco,
por exemplo. Essa série de estudos resultou no modelo chamado de Capital Asset
Pricing Model, ou CAPM.
2.2. MODELO CAPM
O modelo CAPM (Capital Asset Pricing Model) foi introduzido ao longo da
década de 60 por Treynor (1961, 1962), Sharpe (1964), Lintner (1965) e Mossin
(1966) em trabalhos independentes como uma maneira de se precificar um ativo ou
portfólio de acordo com a sua relação de risco e retorno. Para avaliar ativos
indivualmente o modelo se usa da SML (Security Market Line) e sua relação com
o retorno esperado e o risco sistemático do ativo (no modelo, o risco sistemático é
chamado de beta) para avaliar como o mercado deveria precifica-lo em relação a
ativos da mesma classe de risco.
Segundo o modelo, quando a taxa de retorno esperada de qualquer ativo é
deflacionada pelo seu coeficiente beta (risco sistemático) chegamos a uma relação
de prêmio de risco do ativo e essa relação é igual ao prêmio de risco do mercado.
Portanto:
𝐸(𝑅𝑖) − 𝑅𝑓
𝛽𝑖= 𝐸(𝑅𝑚) − 𝑅𝑓
Equação 2- 2: Equação básica do CAPM
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Reajustando os fatores, chegamos a formulação mais conhecida do CAPM:
𝐸(𝑅𝑖) = 𝑅𝑓 + 𝛽𝑖(𝐸(𝑅𝑚) − 𝑅𝑓)
Equação 2- 3: Equação básica do CAPM rearranjada
Onde:
• 𝐸(𝑅𝑖) é o retorno esperado do ativo i;
• 𝑅𝑓 é a taxa de juros livre de risco – geralmente utiliza-se o retorno de títulos
de longo prazo do governo americano;
• 𝐸(𝑅𝑚) é o retorno esperado pelo mercado da classe de ativos de i;
• 𝐸(𝑅𝑚) − 𝑅𝑓 é conhecido como o prêmio de risco de mercado;
• 𝐸(𝑅𝑖) − 𝑅𝑓 é conhecido como o prêmio de risco do ativo;
• 𝛽𝑖 é chamdo de beta e é a sensibilidade do retorno esperado do ativo em
relação ao retorno esperado do mercado ou:
𝛽𝑖 =𝐶𝑜𝑣(𝑅𝑖, 𝑅𝑚)
𝑉𝑎𝑟(𝑅𝑚)
Equação 2- 4: Beta
2.2.1. HIPÓTESES DO CAPM
Nos estudos que mais tarde desenvolveram a teoria do CAPM, são tomadas
algumas suposições sobre o perfil dos investidores. De acordo com elas, todos os
investidores:
i. Buscam maximizar a utilidade econômica;
ii. São racionais e avessos ao risco;
iii. São largamente diversificados;
iv. Não influenciam os preços de mercado;
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v. Podem emprestar e tomar emprestadas quantidades ilimitadas de dinheiro
pela taxa livre de risco;
vi. Não possuem custos de transação ou de impostos;
vii. Investem em ativos perfeitamente divisíveis e líquidos (não existem
quantidades mínimas);
viii. Possuem expectativas homogêneas;
ix. Assumem que todas as informações estão disponíveis para todos os
investidores ao mesmo tempo.
De fato, algumas dessas premissas são irreais e deveriam impossibilitar a
aplicação do CAPM no mercado. Entretanto, a verdade é que por ser um modelo
simples, é muito comum ver investidores o utilizando, principalmente para calcular
taxas de retorno esperadas de ativos de risco.
2.2.2. SML (SECURITY MARKET LINE)
A SML é uma representação visual do CAPM e mostra a relação entre o retorno
esperado de um ativo e seu risco medido pelo coeficiente beta. Com a SML pode-
se avaliar o retorno esperado para um dado beta ou o risco associado a um
determinado retorno esperado. No gráfico da SML, o eixo x é representado pelo
beta e o eixo y são os retornos esperados. A SML cruza o eixo y na taxa livre de
risco (𝑅𝑓). A repesentação gráfica é como abaixo:
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Figura 2-4: Security Market Line
E suas implicações:
i. Um ativo com beta 0 terá um retorno esperado igual a taxa livre de risco. O
mesmo é válido para um portfólio com beta 0;
ii. A inclinação da SML é determinada pelo prêmio de risco de mercado.
Quanto maior o prêmio de risco, maior a inclinação da reta;
iii. A SML muda ao longo tempo, de acordo com mudanças na taxa livre de
risco e nas expectativas de mercado;
iv. Se o beta de um ativo mudar, a sua posição na reta também irá mudar.
A SML pode ser utilizada para avaliar quão bem avaliado estão determinados
ativos. Se um ativo se encontra acima da SML ele é considerado como
sobreavaliado (barato) pelo mercado, e se estiver abaixo da SML é considerado
como superavaliado (caro).
2.2.3. RISCO E DIVERSIFICAÇÃO
De acordo com o CAPM, todo portfólio é composto por dois tipos de risco:
sistemático e não-sistemático. O risco sistemático é um risco comum a todos os
ativos, também chamado de risco de mercado. Já o risco não-sistemático está
5,0%
10,0%
15,0%
20,0%
25,0%
30,0%
0,0% 5,0% 10,0% 15,0% 20,0% 25,0%
Retorno vs. Risco - Exemplo
Portfólios Ativo 1 Ativo 2 Fronteira Eficiente SML
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associado a características e fatores específicos de cada ativo. De acordo com essa
teoria, o risco não-sistemático pode ser diversificado para níveis menores ao se
inserir um número suficientemente grande de ativos no portfólio. Entretanto, isso
não é possível para o risco sistemático.
Uma consequência da teoria é que somente o risco sistemático é recompensado
e, portanto, nenhum investidor racional deveria aceitar o risco diversificável.
Consequentemente, o retorno esperado de um ativo deve estar analisado junto do
portfólio, avaliando a sua contribuição para o risco total do mesmo. Nesse sentido,
o beta do portfólio é o fator que define o risco recompensável de um investidor.
Uma relação para o risco e retorno de ativos, ou recompensa por variabilidade,
foi definida por Sharpe (1966) para medir a performance de um investimento
quando comparado um investimento livre de risco. Essa relação ficou conhecida
como índice de Sharpe (Sa) e é definida como:
𝑆𝑎 =𝐸(𝑅𝑖) − 𝐸(𝑅𝑓)
𝜎𝑖=
𝐸(𝑅𝑖) − 𝐸(𝑅𝑓)
√𝑉𝑎𝑟(𝑅𝑖 − 𝑅𝑓)
Equação 2- 5:Índice de Sharpe
Onde:
• 𝜎𝑖 é o desvio padrão dos retornos excessivos do ativo i (retornos do ativo i
– retornos do ativo livre de risco).
O valor do índice de Sharpe de um ativo representa o retorno adicional que um
investidor deve requerer por cada unidade de risco acrescida ao portfólio. Ou, em
outras palavras, o índice de Sharpe é uma medida dos retornos excessivos (acima
da taxa livre de risco no período) do portfólio em relação ao seu desvio padrão.
Nesse sentido, um portfólio com um maior índice de Sharpe é considerado superior
aos com índice menor. A ideia do índice é semelhante a de Markowitz, levando
risco (usando variância como medida) e retorno em consideração. A principal
diferença entre as duas ideias é que Sharpe leva esses dois fatores em consideração
num mesmo indicador, facilitando a utilização para comparação entre ativos.
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2.2.4. CML (CAPITAL MARKET LINE) E O PORTFÓLIO ÓTIMO
A CML é semelhante a SML mas é composta de todas as combinações
possíveis de ativos de risco e livres de risco. Sua representação gráfica é equivalente
à da SML. Todos os pontos acima da CML possuem uma relação de risco-retorno
superior aos portfólios na fronteira eficiente proposta pela teoria de Markowitz.
Todos os portfólios presentes na CML possuem o mesmo índice de Sharpe que o
portfólio composto por todos os ativos de mesma classe de risco do mercado (no
caso de um portfólio de ações possui o mesmo Sharpe que o índice de referência –
Ibovespa, por exemplo).
Ao representarmos a fronteira de portfólios eficientes e a CML para um
determinado conjunto de ativos no mesmo gráfico podemos encontrar um portfólio
ótimo a se investir, o portfólio com maior relação risco-retorno. Esse portfólio é
representado pelo ponto em que a CML tangencia a fronteira eficiente e é chamado
de portfólio de tangência (tangency portfolio). Como consequência das teorias
apresentadas, esse portfólio é o que apresenta maior índice de Sharpe e, portanto,
possui a maior relação de risco-retorno possível ao mesmo tempo que é um portfólio
da fronteira eficiente.
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Figura 2-5: Portfólio de tangência1
Fonte: Hassine & Roncalli (2013)
As hipóteses do modelo CAPM resultam na ideia de que no longo prazo um
investidor deve esperar ter lucro econômico nulo. Para Robert Shiller e Eugene
Fama esses pressupostos não eram respeitados nos mercados financeiros e os
investidores erram sistematicamente devido a vieses psicológicos, invalidando a
tese do modelo. Para formalizar uma explicação desse fenômeno, na década de 70,
nasce a hipótese dos mercados eficientes a partir do trabalho de Fama (1970), seus
principais pressupostos e conclusões são explicados a seguir.
2.3. A HIPÓTESE DOS MERCADOS EFICIENTES
Prever os preços do mercado é do interesse de praticamente todos os
investidores e diversos estudos foram realizados nessa área até então sem chegar
1 No gráfico, risk-free asset é o ativo livre de risco; Tangency portfolio é o portfólio tangente; Capital Market Line é a CML; Suboptimal Market Line é uma linha que exemplifica um portfólio ou ativo abaixo da linha ótima de alocação.
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numa conclusão de seu comportamento. Os estudos sobre a dificuldade de se prever
os preços de ativos financeiros começaram com Bachelier (1900) e foram
consideravelmente aprimorados por Samuelson (1965), ambos defendendo a
aleatoriedade do seu comportamento. Fama (1970) e Malkiel (1973) desenvolveram
os estudos mais importantes sobre essa teoria e são a base para as teorias modernas
de precificação de ativos baseadas em risco.
A hipótese dos mercados eficientes defende que os preços dos ativos refletem
toda a informação disponível naquele momento e como consequência disso é
impossível “vencer” o mercado consistentemente – indo contra toda a indústria de
fundos ativos.
Fama (1970) defende que nem todos os mercados possuem a mesma eficiência.
Segundo ele, pode-se dividir esse grau de eficiência em três níveis:
i. Forma fraca: sugere que o preço atual das ações reflete todas as
informações do passado e nenhuma forma de análise técnica pode ser
usada efetivamente para tomar decisões de investimento, mas que
analises fundamentalistas podem ser utilizadas para identificar ações
sobre ou supervalorizadas;
ii. Forma semi-forte: sugere que todas as informações públicas são usadas
para calcular o preço das ações e, portanto, análises técnica e
fundamentalista são ineficientes. Nessa forma só é possível obter
retornos acima dos de mercado se o investidor possuir informações não
disponíveis para o público geral;
iii. Forma forte: sugere que todas as informações, públicas ou não-públicas,
estão incorporadas no preço atual da ação e, portanto, nenhum investidor
pode obter vantagens no mercado.
Essas definições foram pouco utilizadas na literatura acadêmica a partir da
década de 1980 e inclusive Fama se arrependeu de usar esses termos.
2.3.1. PASSEIO ALEATÓRIO (RANDOM WALK) E ARBITRAGEM
A ideia de que os preços de mercado seguem um passeio aleatório (ou seja, as
variações dos preços seguem um processo aleatório) foi registrada pela primeira
vez em “Calcul des Chances et Philosophie de la Bourse” (Regnault, 1863) e desde
então é motivo de controvérsia entre investidores. Em 1965 foi proposta uma teoria
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que defende que as variações nos preços das ações têm a mesma distribuição e são
independentes umas das outras (Fama, 1965). Ou seja, movimentos e tendências
passadas não podem ser utilizados para prever movimentos futuros. Dizer que os
retornos de ativos seguem uma distribuição aleatória significa que não é possível
prever seus retornos e, portanto, qualquer processo que pretenda prever preços de
ativos irá se mostrar inútil no longo prazo. Em outras palavras, essa teoria defende
que é impossível vencer o mercado sem assumir riscos maiores do que de um
investidor racional.
Muitos investidores e acadêmicos dedicam seu tempo procurando
possibilidades de arbitragem nos mercados (investimentos de curto prazo para se
alcançar um retorno sem risco equivalente) e ativos com retornos esperados acima
dos retornos esperados do mercado, indo contra a teoria do passeio aleatório.
Alguns foram bem-sucedidos no longo prazo, mas uma maioria esmagadora de
fundos ativos (hedge funds) destruíram a riqueza de seus investidores ao longo dos
anos – o que fortalece a teoria dos mercados eficientes (Malkiel, 1996).
2.3.2. PROBLEMA DAS HIPÓTESES CONJUNTAS (JOINT
HYPOTHESIS PROBLEM)
Na prática é possível observar investidores que consistentemente venceram o
mercado, indo contra a hipótese dos mercados eficientes. Em parte, isso é explicado
pelo fato que para medir a eficiência de qualquer mercado é necessário que se tenha
um modelo de precificação de ativos e, consequentemente, um retorno esperado.
Portanto, observações de retornos anormais no mercado podem refletir uma
ineficiência de mercado, um modelo de precificação inadequado (ou ineficiente) ou
ambos. O problema das hipóteses conjuntas implica que a eficiência de mercado
por si só não é testável. A principal consequência dessa conclusão é que não é
possível provar diretamente que os mercados são eficientes, levando investidores a
crer que podem vencer o mercado e relaxando a hipótese dos mercados eficientes.
2.3.3. IMPERFEIÇÕES DE MERCADO
Ao longo dos anos investidores observaram diversas imperfeições no mercado,
algumas inclusive causadoras de crises – como a bolha da internet e a crise
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imobiliária de 2008. Existem diversas teorias para explicar esses acontecimentos e
como eles vão contra a teoria dos mercados eficientes. Um dos principais
argumentos é o fator humano nas decisões de investimento, onde se defende que
nem todos os investidores são totalmente racionais. Diversos investidores, inclusive
Warren Buffet discordam da teoria de forma empírica e teórica utilizando
argumentos baseadas no comportamento do investidor médio.
Estudiosos de economia comportamental (behavioral economics) atribuem
imperfeições nos mercados de capitais a combinações de vieses cognitivos,
hiperconfiança, hiperreação, vieses representativos, vieses de informação e
diversos outros erros humanos na leitura e análise de informações.
Outro fator que impacta fortemente na teoria dos mercados eficientes é o
pressuposto da inexistência de custos de transação, de informação e de impostos.
Na prática, os custos de transação são relevantemente maiores para os investidores
pequenos e o acesso a informação operacional de empresas é reduzido – enquanto
analistas de fundos ativos possuem acesso a conversas com executivos, à fabricas
de empresas e relatórios de bancos de investimento, os pequenos investidores
geralmente não têm.
Um outro fator relevante para acontecimento de imperfeições no mercado é a
liquidez de determinadas empresas. É comum observamos empresas listadas que
possuem pouca ou nenhuma cobertura de grandes bancos de investimentos e
gestoras de ativos pela indisponibilidade de ações a venda no mercado e que após
uma oferta pública (onde se aumenta a liquidez da ação) os preços disparam.
Investidores pequenos sofrem menos com restrições de liquidez e, portanto, podem
lucrar com ineficiências desse tipo.
Samuelson (1998) argumenta que o mercado de ações é “micro-eficiente” mas
não é “macro-eficiente”, afirmando que a teoria de mercados eficientes é mais
adequada a ações individualmente do que no mercado de ações como um todo. Jung
e Shiller (2005) realizaram diversas análises com regressões e diagramas de pontos
que supotavam fortemente os ditos de Samuelson.
20
2.4. MODELOS QUANTITATIVOS
Nesta parte do trabalho menciona-se os principais fundos de investimentos
quantitativos existentes em mercados internacionais e brasileiro. Além disso, é feita
uma revisão de estudos recentes voltados à otimização de uma carteira de
investimentos, também em mercados internacionais e brasileiro.
Antes disso, para caracterizar um fundo quantitativo é aquele fundo de
investimento que seleciona os ativos que compõem sua carteira a partir de análises
quantitativas que em geral seguem o seguinte fluxograma de processos:
1) Absorção e tratamento de dados relacionados aos ativos possíveis de serem
investidos;
2) Os dados inseridos são analisados a partir dos modelos existentes de
expectativa de retorno;
3) A construção da carteira de investimentos desejada é feita a partir dos
retornos esperados calculados previamente, aliada às limitações impostas pelos:
(a) Modelos de expectativa de risco para a carteira;
(b) Modelos de custos de transação.
4) Execução das ordens de compra e venda para se obter a carteira de
investimentos desejada;
5) Portfólio desejado é a própria carteira de investimentos;
6) Análise do portfólio e geração de relatórios.
21
Figura 2-6: Fluxograma de processo de elaboração de análises quantitativas
2.4.1. MODELOS E FUNDOS QUANTITATIVOS NO EXTERIOR
H. Soleimani et al. (2009) apresentou um modelo de seleção de portfólio
baseado em Markowitz, abordando as restrições de mínimo lotes de transação,
cardinalidade e capitalização de setor. Seu trabalho foi baseado, em parte, em
trabalhos anteriores de seleção de portfólio de Markowitz, entretanto, sua
contribuição foi na utilização da definição de Chang et al. (2000) e Oh et al. (2006)
de capitalização de mercado para propor o uso de capitalização de setor em um
modelo de Markowitz. Assim, seu trabalho adiciona restrições em que setores com
maior valor de mercado devem ter maior relevância do que setores de menor valor
de mercado. Desse modo, ele representa de forma mais racional a propensão do
investidor de reduzir o risco investindo em setores de maior valor de mercado. Além
disso, ele utiliza o método de solução heurístico na otimização a partir do algoritmo
genético.
H.R. Golmakani, M. Fazel (2011) que também apresentam as restrições
mencionadas no trabalho de H. Soleimani et al. (2009), contribuíram adicionando
Absorção e tratamento de dados
Modelagem de previsão de retornos
Construção da carteira de investimentos ideal
Execução (compra ou venda de ativos)
Carteira de investimentos possui o portfólio desejado
Análise do portfólio e geração de relatórios
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a restrição com limites a classes de ativos. Desse modo, o investidor pode restringir
sua exposição a determinadas classes de ativos na composição de sua carteira de
investimentos.
Kisiala (2015) em sua tese de mestrado aborda as características do CVaR e em
um de seus tópicos analisa a otimização do CVaR para portfólios de investimento,
comparando com o método de análise pela variância. Os conceitos abordados em
seu trabalho são apresentados aqui em tópicos seguintes, onde se menciona a
escolha do CVaR como medida de risco.
Garcia-Feijóo et al. (2018) aborda em seu trabalho a comparação de ativos de
baixo risco com de alto risco. De acordo com os autores a performance de
investimento em ativos de baixo risco depende do tempo. Além disso concluíram
que estratégias de baixo risco demonstram exposição a fatores de momentum,
tamanho e valor, e são influenciados pelo ambiente econômico como um todo.
Além dos trabalhos comentados acima, é importante mencionar os principais
fundos de investimento quantitativos existentes. Seus modelos não são abertos ao
público, mas servem de comparação a fundos com estratégia semelhantes.
A D.E Shaw & Co. é um grupo que gere mais de 50 bilhões de dólares, com a
principal estratégia sendo baseada em modelos e técnicas computacionais
desenvolvidas pela empresa, ao longo dos 30 anos de existência. A empresa possui
400 desenvolvedores e engenheiros voltados para as tecnológicas de investimento.
Além disso, possui grupos de pesquisa e desenvolvimento voltados para o mercado
financeiro, liderados por Pedro Domingos, professor de Engenharia e Ciência da
Computação da Uinversidade de Washington, possui diversos artigos, sendo “On
the optimality of the simple Bayesian classifier under zero-one loss” o mais citado.
AQR Capital é uma empresa fundada em 1998 em Nova Iorque, com 185
bilhões de dólares sobre gestão. AQR vem de Applied Quanitative Research, que
significa “Pesquisa Quantitativa Aplicada”. Um dos 3 principais pilares de sua
filosofia constitui na construção de um portfólio com gestão de risco com
ferramentas quantitativas. Alguns dos papers recentes de seus principais gestores
são, “Betting against correlation: Testing theories of the low-risk effect, Cliff
Asness et Al. (2019), “Post-FOMC Announcement Drift in U.S. Bond Markets” de
Jordan Brooks et Al. (2019).
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A tabela abaixo contém resumos de algumas literaturas sobre o assunto desse
artigo:
Ano Autores Título Comentário
1952 Markowitz,
H.
PORTFOLIO
SELECTION
Inicia a teoria moderna de portfólio de
investimentos
1964 Sharpe, W. F.
CAPITAL ASSET
PRICES: A THEORY OF
MARKET
EQUILIBRIUM UNDER
CONDITIONS OF RISK
Introduz a teoria do CAPM (Capital Asset
Pricing Model) e o índice Sharp, por
consequência
1966 Mossin, J.
EQUILIBRIUM IN A
CAPITAL ASSET
MARKET
Discute as propriedades de um mercado com
ativos de risco, baseado em modelo de
equilíbrio geral.
1970 Fama, E
EFFICIENT CAPITAL
MARKETS: A REVIEW
OF THEORY AND
EMPIRICAL WORK
Apresenta as premissas sobre mercado eficiente,
em cima da teoria de portfólio de Markowitz e
do CAPM de Sharp.
1998 Artzner et al COHERENT
MEASURES OF RISK
Introduz o conceito de medida de risco coerente
e os axiomas associados
1999 Chang et al
HEURISTICS FOR
CARDINALITY
CONSTRAINED
PORTFOLIO
OPTIMISATION
Apresenta solução por heurísticas, para
otimização de um portfólio com restrição de
cardinalidade
2002 Foellmer, H.
and Schied, A
CONVEX MEASURES
OF RISK AND
TRADING
CONSTRAINTS
Em cima do conceito de medida de risco
coerente, relaxa-se alguns axiomas para
apresentar o conceito de convexidade do risco
2002
Rockafellar,
R. T. and
Uryasev, S.
CONDITIONAL VALUE-
AT-RISK FOR
GENERAL LOSS
DISTRIBUTIONS
Apresenta as propriedades do CVaR como
medida de risco
2004 Burns, P. J
PERFORMANCE
MEASUREMENT VIA
RANDOM PORTFOLIOS
Apresenta o método aleatório de solução da
otimização de portfólios. Esse método,
posteriormente, é incorporado na biblioteca
"PortfolioAnalytics" do R.
2009 Soleimani et
al.
MARKOWITZ-BASED
PORTFOLIO
SELECTION WITH
MINIMUM
TRANSACTION LOTS,
CARDINALITY
CONSTRAINTS AND
REGARDING SECTOR
CAPITALIZATION
USING GENETIC
ALGORITHM
Com o método de algoritmo genético, apresenta
a solução de otimização de um portfólio com
restrição de lote mínimo de transação,
cardinalidade e capitalização de setor.
2010 Buffett, W
HERE’S WHAT
WARREN BUFFETT
THINKS ABOUT THE
EFFICIENT MARKET
HYPOTHESIS
Crítica de Buffet a respeito da hipótese de
eficiência de mercado.
24
2011
Golmakani,
H. R. and
Fazel, M
CONSTRAINED
PORTFOLIO
SELECTION USING
PARTICLE SWARM
OPTIMIZATION
Com o método de otimização por enxame de
partículas, apresenta a solução de otimização de
um portfólio com restrição de lote mínimo de
transação, cardinalidade, capitalização de setor
e limitação a classes de ativos.
2015 Kisiala, J
CONDITIONAL VALUE-
AT-RISK: THEORY
AND APPLICATIONS
Apresenta propriedades do CVaR já estudadas e
suas aplicações
Tabela 2-3: Relação de trabalhos acadêmicos estrangeiros em modelos
quantitativos
2.4.2. MODELOS E FUNDOS QUANTITATIVOS NO MERCADO
BRASILEIRO
Santos, A., Tessari, C. (2012) apresentam em seu artigo técnicas quantitativas
de otimização de carteiras aplicadas ao mercado de ações brasileiro. Nesse artigo é
trabalhada a aplicação e desempenho fora da amostra de estratégias quantitativas
de otimização por média-variância e mínima-variância com relação ao desempenho
da carteira, comparando com o Ibovespa e avaliando a estabilidade dos resultados.
Assim como no presente artigo, Santos, A., Tessari, C. (2012) abordam a
otimização de uma carteira de investimento com restrição a venda a descoberto e
com a existência de rebalanceamentos periódicos. A medida de risco utilizada por
eles foi a partir de uma matriz de covariância amostral, matriz RiskMetrics, e três
estimadores propostos por Ledoit & Wolf (2003,2004 a,b)
Outro trabalho semelhante para o caso brasileiro foi o de Souza et al. (2017).
Nele, os autores aplicam o modelo baseado na teoria de Markowitz (1952) para os
ativos que compõem o índice Bovespa durante o período de janeiro a abril de 2016.
Desse modo, eles maximizaram com base em na métrica retorno-variância, e não
retorno-CVaR como o presente artigo.
Como exemplos de fundos quantitativos brasileiros, é possível citar a Kadima
Asset Management, com cerca de 550 milhões de reais sobre gestão, a Murano e
Giant Steps com cerca de 275 milhões de reais sobre gestão cada.
Kubudi (2019), sócio da Kadima, em sua dissertação de mestrado apresenta o
problema de seleção online de portfólios, e desenvolve um método para realizar o
aprendizado de quando selecionar uma das duas seguintes estratégias de
25
investimento: Follow-the-winner (FTW) e Follow-the-loser (FTL), durante a
aplicação de métodos de seleção de portfólio.
A tabela abaixo contém resumos de algumas literaturas sobre o assunto desse
artigo, no Brasil:
Ano Autores Título Comentário
2005
Ribeiro, C.
e Ferreira,
L.
Uma contribuição ao
problema de
composição de
carteiras de mínimo
Valor em Risco
Propõe um modelo baseado em
aproximação estocástica para
composição de carteiras de ativos
financeiros de mínimo risco,
substituindo o VaR.
2012
Santos, A.
e Tessari,
C.
TÉCNICAS
QUANTITATIVAS
DE OTIMIZAÇÃO
DE CARTEIRAS
APLICADAS AO
MERCADO DE
AÇÕES
BRASILEIRO
Apresenta técnicas quantitativas de
otimização de carteiras aplicadas ao
mercado acionário brasileiro
2017 Souza et
al.
OTIMIZAÇÃO DE
CARTEIRA DE
INVESTIMENTOS:
UM ESTUDO COM
ATIVOS DO
IBOVESPA
Aplicação da teoria de Markowitz
(1952) para ativos que compõem o
índice Bovespa
2019 Kubudi, C.
ALGORITMOS
PARA O
PROBLEMA DE
SELEÇÃO ONLINE
DE PORTFOLIOS
Desenvolve um método que aprende
quando selecionar uma entre as duas
estratégias de investimento seguintes:
Follow-the-winner e Follow-the-loser.
Tabela 2-4: Relação de trabalhos acadêmicos nacionais em modelos
quantitativos
26
3. METODOLOGIA
3.1. MEDIDAS DE RISCO
O ambiente de investimentos é caracterizado pela grande incerteza. Dessa
forma, uma gestão de risco mais acurada pode levar a uma melhor proteção do
capital investido e retornos maiores. Portanto, nesta parte explica-se a escolha do
CVaR como a métrica de risco, conceituando as métricas de risco analisadas e o
critério de escolha.
Antes do trabalho de Markowitz (1952) o risco era apenas um fator de desconto
dos retornos esperados. Com Markowitz, passou-se a interpretar o retorno de uma
carteira como uma variável aleatória medida pela sua variância. Entretanto, essa
abordagem não representa da melhor forma as propriedades desejadas. Há
inadequação para situações de perdas extremas, e a covariância assume que a
distribuição de probabilidade dos retornos é elíptica. Motivada com esse problema,
a Riskmetrics apresentou a medida Valor em Risco (Value at Risk ou VaR) em
1994. Após isso, outras medidas de risco surgiram, como Valor em Risco
Condicional (CVaR) e outras com conceitos semelhantes ao VaR. Esse tópico do
trabalho aborda as métricas e os axiomas utilizados para se escolher a medida de
risco utilizada na otimização.
3.1.1. VARIÂNCIA
A variância, ou o quadrado do desvio-padrão, é obtida da seguinte forma:
𝜎𝑥2 = ∑(𝑥 − 𝜇𝑥)2 ∙ 𝑝(𝑥), se x é uma variável aleatória discreta;
Equação 3- 1: Variância de uma variável aleatória discreta
𝜎𝑥2 = ∫ (𝑥 − 𝜇𝑥)2∞
−∞∙ 𝑓(𝑥), se x é uma variável aleatória contínua;
Equação 3- 2: Variância de uma variável aleatória contínua
27
Onde:
• 𝜇𝑥 é a média de X;
• 𝑝(𝑥) é a probabilidade de x;
• 𝑓(𝑥) é a probabilidade de x.
3.1.2. VaR (VALUE AT RISK/VALOR EM RISCO)
O VaR pode ser definido como a pior perda esperada ao longo de determinado
intervalo de tempo, sob condições normais de mercado e dentro de determinado
nível de confiança. Desse modo, o VaR é, portanto, uma métrica de percentil da
distribuição de probabilidade das perdas. Como é um quantil, a seguinte definição
se aplica ao VaR:
Dado um 𝛼 𝜖 ]0,1[ o número q é um quantil 𝛼 da variável aleatória X sobre
distribuição de probabilidade P se pelo menos uma das três propriedades
equivalentes abaixo são satisfeitas:
● 𝑃[𝑋 ≤ 𝑞] ≥ 𝛼 ≥ 𝑃[𝑋 < 𝑞];
● 𝑃[𝑋 ≤ 𝑞] ≥ 𝛼 𝑒 𝑃[𝑋 ≥ 𝑞] ≥ 1 − 𝛼;
● 𝐹𝑥(𝑞) ≥ 𝛼 𝑒 𝐹𝑥(𝑞−) ≤ 𝛼 com 𝐹𝑥(𝑞−) = 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑞,𝑥 < 𝑞𝐹(𝑥), onde
𝐹(𝑥)é função da distribuição acumulada de X.
Conceitualmente VaR é definido como:
VaR: dado um 𝛼 𝜖 ]0,1[ e uma referência r, o Valor em Risco em 𝛼 (𝑉𝑎𝑅𝛼)
para o patrimônio líquido X com distribuição P, é o negativo do quantil 𝑞𝛼+ de X/r:
𝑉𝑎𝑅𝛼 (𝑋) = −𝑞𝛼(𝑅);
𝑉𝑎𝑅𝛼 (𝑋) = −𝑖𝑛𝑓{ 𝑥 | 𝑃[𝑋 ≤ 𝑥 ⋅ 𝑟] > 𝛼};
Equação 3- 3: Value at Risk
𝑉𝑎𝑅𝛼 (𝑋) pode ser interpretado também como a maior perda possível com
proabilidade 𝛼.
Um exemplo gráfico do VaR é demonstrado pela área azul abaixo, onde o
𝑉𝑎𝑅𝛼 seria o valor da variável aleatória que dá a borda da área em cinza.
28
Figura 3-1: VaR e a distribuição de probabilidade de retornos
Fonte: Holton (2018)
Apesar de haver grande uso dessa métrica, por representar bem distribuições de
retornos assimétricas, o VaR não contribui com informação sobre o tamanho da
cauda da distribuição. Em Artzner et al. (1998) é possível ver que o VaR não é uma
medida de risco coerente, enquanto Föllmer & Schied (2002) demonstra que o
axioma de convexidade não é atendido também com o VaR. Esses axiomas são
melhor explicados abaixo.
3.1.3. AXIOMAS DE MEDIDAS DE RISCO COERENTES
Artzner et al. (1998) em seu texto “Coherent Measures of Risk” aborda, com
base em quatro axiomas, as características que uma medida de risco deve ter para
ser considerada coerente. De acordo com Artzner et al. (1998), uma medida de risco
só é coerente se satisfazer os seguintes axiomas:
I. Monotonicidade: maiores perdas significam maior risco.
Definição: uma medida de risco 𝜌é monótona, se para todo X, Y:
𝑋 ≤ 𝑌 ⇒ 𝜌(𝑋) ≤ 𝜌(𝑌);
Equação 3- 4: Condição de monotonicidade de uma medida de risco
29
II. Invariância por translação: ao aumentar (ou reduzir) a perda aumenta
(reduz) o risco em valor igual.
Definição: uma medida de risco 𝜌é invariante por translação, se para todo
X, c:
𝜌(𝑋 + 𝑐) = 𝜌(𝑋) + 𝑐;
Equação 3- 5: Condição de invariância de uma medida de risco
III. Subaditividade: diversificação reduz risco
Definição: uma medida de risco 𝜌é subaditiva, se para todo X, Y:
𝜌(𝑋 + 𝑌) ≤ 𝜌(𝑋) + 𝜌(𝑌);
Equação 3- 6: Condição de subaditivdade de uma medida de risco
IV. Homogeneidade positiva: ao dobrar o tamanho do portfólio, o risco dobra
Definição: uma medida de risco 𝜌é homogênea positiva, se para todo X,
𝜆 ≥ 0:
𝜌(𝜆𝑋) = 𝜆𝜌(𝑋);
Equação 3- 7: Condição de homogeneidade de uma medida de risco
Como uma extensão dos conceitos de coerência mencionados por Artzner et al.
(1998), Föllmer & Schied (2002) e Frittelli & Gianin (2002) introduziram a noção
de medida de risco convexa. A ideia levantado é que há situações em que o risco de
uma posição pode aumentar não linearmente com o tamanho do portfólio. Exemplo
de uma dessas situações pode ser um maior risco devido a liquidez de mercado
quando se multiplica a posição por um fator de aumento. Desse modo, os axiomas
de Homogeneidade Positiva e Subaditividade são relaxados pelo axioma da
Convexidade:
• Convexidade: o risco de uma carteira diversificada é menor ou igual à
média ponderada dos riscos individuais.
30
Definição: uma medida de risco 𝜌 é convexa, se para todo X e Y,
𝜆𝜖]0,1[:
𝜌((1 − 𝜆)𝑋 + 𝜆𝑌) ≤ (1 − 𝜆)𝜌(𝑋) + 𝜆𝜌(𝑌).
Equação 3- 8: Condição de convexidade de uma medida de risco
3.1.4. CVaR (CONDITIONAL VALUE AT RISK/VALOR EM RISCO
CONDICIONAL)
O Valor em Risco Condicional (Conditional Value at Risk – CvaR), também
chamado de perda esperada (Expected Shortfall), é uma medida de risco que
quantifica o tamanho da cauda de risco que um portfólio tem. A relação entre CVaR
e VaR é que o primeiro quantifica a perda esperada para eventos além da perda do
VaR. Desse modo, o CVaR diferencia do VaR em relação à sensibilidade quanto
ao tamanho da cauda. Isso pode ser visualizado abaixo, onde CVaR é o valor
esperado para os casos do percentil (1-δ):
Figura 3-2: CVaR e a distribuição de probabilidade de retornos