OSOVINE I VRATILA - riteh.uniri.hr‘er služe za prijenos snage - zupčanike, remenice, lančanike itd. ... Kod većih zahtjeva se koriste elici za poboljšanje: C35E / Ck 35 / č

OSOVINE I VRATILA

Pomoćni nastavni materijali uz kolegij "Konstrukcijski elementi I"

Ak. godina 2010./11.

Nositelji kolegija: Prof. dr. sc. Božidar Križan Prof. dr. sc. Saša Zelenika

- 1 -

OSOVINE I VRATILA Funkcija, opterećenja, naprezanja Osovine su strojni elementi koji na sebi nose strojne dijelove kao što su npr. užnice i kotači. Osovine mogu mirovati dok se dijelovi okreću na njima ili se mogu okretati zajedno s na njima pričvršćenim dijelovima.

Užnice na mirujućoj osovini Kotači na rotirajućoj osovini

Osovine su opterećene poprečnim silama FQ koje izazivaju savijanje, a ponekad i aksijalnom silom Fa koja uzrokuje vlak ili tlak. Smicanje izazvano poprečnim silama se zanemaruje.

Osovine ne prenose okretni moment i snagu pa nisu opterećene torzijski.

- 2 -

Poprečne sile Moment savijanja Aksijalna sila u zavoju

Vratila su strojni elementi koji se okreću i prenose okretni moment i snaguću i prenose okretni moment i snagu. Po obliku su slična osovinama i na sebi najčešće nose razne strojne elemente koji također služe za prijenos snage - zupčanike, remenice, lančanike itd.

Dvostupanjski reduktor s parom koničnih i parom cilindričnih zupčanika te tri vratila:

- 3 -

Vratila su najčešće opterećena i savijanjem, a ponekad i aksijalnom silom koja uzrokuje vlak ili tlak. Smicanje izazvano poprečnim silama se zanemaruje.

Vratilo u lančaničkom prijenosniku:

Vratila mlinskih kola mlina u Martinovom selu na Rječini

- 4 -

Pregled naprezanja u osovinama i vratilima:

Opterećenje Naprezanje Ms – uvijek σs = Ms / W

Osovine Fa – ponekad σv, tl = ±Fa / A

σ = σs ± σv, tl

Ms – najčešće σs = Ms / W Fa – ponekad σv, tl = ±Fa / A

σ = σs ± σv, tlVratila T – uvijek τt = T / Wp

2t0

2e )(3 τασσ ⋅⋅+=

Posmično naprezanje se zanemaruje. Vlačno i tlačno naprezanje uzrokovano aksijalnom silom je također najčešće zanemarivo u usporedbi sa savijanjem.

Rukavci su oni dijelovi osovina i vratila kojima se oslanjaju na klizne ili valjne ležaje ili na nepokretne dijelove. Rukavci koji se nalaze na kraju osovine/vratila se nazivaju čelnim, a ostali unutarnjim.

Osovine i vratila imaju obično dva rukavca, tj. ležaja, a dugačka i jače opterećena vratila više njih, npr. koljenasto vratilo motora.

Osovine i vratila su rijetko jednakog promjera po čitavoj duljini. Najčešće su stupnjevani, tj. pojedini dijelovi imaju različite promjere. Vratila mogu biti i profilirana, tj. ožlijebljena ili ozubljena.

- 5 -

Radi smanjenja težine, osovine i vratila mogu biti šuplji, s uzdužnim provrtom, što poskupljuje izradu. Pri tome je korist od smanjenja težine veća nego šteta od smanjenja čvrstoće i krutosti. Npr. vratilo s promjerom provrta 0,5·d je lakše 25 %, a momenti otpora W i Wp se smanjuju samo oko 5 %.

Primjer: šuplje vratilo s dva zupčanika

Materijal Materijali osovina i vratila ISO / DIN / HRN:

- Najčešće: S275JR / St 44-2 / Č0451, E295 / St 50-2 / Č0545, za veća opterećenja E335 / St 60-2 / Č0645.

- Kod većih zahtjeva se koriste čelici za poboljšanje: C35E / Ck 35 / Č1431, C45E / Ck45 / Č1531, 34Cr4 / 34Cr4 / Č4130, 41Cr4 / 41Cr4 / Č4131, 42CrMo4 / 42CrMo4 / Č4732 i sl.

- Za vratila vozila se koriste čelici za cementiranje: C15 / C15 / Č1220, 16MnCr5 / 16MnCr5 / Č4320, 20MnCr5 / 20MnCr5 / Č4321, 18CrNi8 /18CrNi8 / Č5421 i sl.

- Koljenasta vratila motora s unutarnjim izgaranjem se mogu izrađivati i iz nodularnog lijeva (NL 600) koji ima kuglasti grafit.

Čelici za cementaciju su potrebni jer je na pojedinim mjestima (npr. na rukavcu u ležaju) potrebno da vratilo ima tvrdu površinu, dok jezgra vratila ostaje mekana i žilava. Pri tome se koncentracija naprezanja na površini mora maksimalno smanjiti jer su čelici visoke čvrstoće vrlo osjetljivi na zareze.

Radi uštede se vratila mogu izrađivati i zavarivanjem iz dva dijela od različitih materijala, npr. od jeftinog Č0545 i skupog Č5421 za zupčanike.

- 6 -

Izrada

Osovine i vratila promjera do 80 mm mogu se dobiti provlačenjem (izvlačenjem) čeličnih šipki na hladno, pri čemu se postižu tolerancije h8...h11, tako da naknadno tokarenje više nije potrebno.

Promjeri do 150 mm izrađuju se od čeličnih šipki okruglog presjeka izvlačenjem na toplo, valjanjem na toplo ili tokarenjem.

Deblje i složenije osovine i vratila izrađuju se kovanjem, prešanjem ili lijevanjem.

Rukavci, prijelazi s manjeg na veći promjer i bočni oslonci se prema postavljenim zahtjevima fino tokare, bruse, poliraju ili tlače.

Preporuča se da promjeri osovina/vratila u (mm) budu standardni ili zaokruženi brojevi. Završeci vratila promjera do 28 mm izrađuju se s tolerancijom j6, od 28 do 50 s k6, a veći s m6. Često su završeci izrađeni kao ožljebljeni. Promjeri rukavaca su određeni promjerom ležaja. Oblik ostalog dijela osovine/vratila je osim čvrstoćom i krutošću određen drugim konstrukcijskim zahtjevima, načinom montaže, izmjerama brtvi, uskočnika itd.

Osovine i vratila za brzine vrtnje iznad 1500 min–1 moraju biti kruta, kruto uležištena i izbalansirana.

Oblikovanje Promjenljivo naprezanje pri savijanju izaziva na svim mjestima gdje postoji koncentracija naprezanja (utori, promjene presjeka, provrti) stalnu opasnost od loma usljed zamora materijala. Stoga oblikovati treba tako da skretanje silnica - zamišljenih linija po kojima se prenosi sila - bude što blaže. To će se postići ako na osovini/vratilu ne bude naglih promjena oblika.

Opasnost od zamornog loma će se smanjiti ako površinska obrada na mjestima skretanja sila bude što finija (faktor b1 u formuli za σdop din).

- 7 -

Povećana naprezanja σk i τk na mjestu koncentracije naprezanja i tok sile kod povoljnog i nepovoljnog oblikovanja:

Ukoliko na promjenama promjera ne smije biti zaobljenje radi bočnog oslanjanja pojedinih elemenata (valjnog ležaja, zupčanika itd.), izrađuju se žljebovi za izlaz alata koji također smanjuju koncentraciju naprezanja.

d d

- 8 -

Sile i momenti Osovine i vratila su nosači na dva ili rjeđe na više oslonaca.

- Na osovine djeluju momenti savijanja Ms, a ponekad i aksijalne sile Fa.

- Na vratila djeluju okretni momenti (momenti torzije) T, najčešće i momenti savijanja Ms, a ponekad i aksijalne sile Fa.

Opterećenja tijekom rada nisu konstantna, nego se mijenjaju, ovisno o radnom i pogonskom stroju.

Srednje vrijednosti opterećenja tijekom rada se nazivaju nazivnima:

MsN = nazivni moment savijanja

TN = nazivni okretni moment (nazivni moment torzije)

Najveći moment savijanja Ms max i najveći okretni moment Tmax se obično javljaju pri pokretanju ili zaustavljanju stroja i veći su najčešće za 2...3 puta od nazivnog momenta savijanja MsN, odnosno nazivnog okretnog momenta TN.

MsN

Ms

max

Ms

eq =

KA·M

sN

t

Ms

TN

T max

T eq =

KA·T

N

t

T Variranje opterećenja tijekom pogona

Najveće opterećenje pri pokretanju (ili zaustavljanju)

Najveća opterećenja Ms max i Tmax izazivaju maksimalna naprezanja koja ne smiju uzrokovati trajne plastične deformacije.

Veličinama Ms max i Tmax vrši se kontrola plastičnih deformacija osovina i vratila.

Radni stroj, a ponekad i pogonski stroj (npr. motor s unutarnjim izgaranjem), proizvode u trajnom pogonu udare pa opterećenja variraju. To se uzima u obzir faktorom primjene KA (u tablici) kojim se množe nazivni momenti MsN i TN.

- 9 -

Tako se dobivaju ekvivalentni – jednakovrijedni – momenti:

- ekvivalentni moment savijanja: Ms eq = KA·MsN

- ekvivalentni okretni moment: Teq = KA·TN

Oni će u proračunu rezultirati istom sigurnošću protiv oštećenja kao i realni promjenjivi momenti.

Veličinama Ms eq i Teq vrši se kontrola zamora materijala osovina i vratila pri dinamičkim opterećenjima, kad može nastupiti zamorni lom.

Ekvivalentni moment savijanja Ms eq se ne smije zamijeniti s ekvivalentnim

momentom ( )202se 75,0 TMM ⋅⋅+= α .

Faktor primjene KA (pogonski faktor, faktor udara)

- 10 -

Ukoliko sve sile i momenti savijanja ne djeluju u jednoj ravnini, radi jednostavnosti proračuna se rastavljaju u komponente u dvije međusobno okomite ravnine i zatim izračunava njihova rezultanta.

Primjer: vratilo s pogonskim cilindričnim zupčanikom s kosim zubima. Sila koja s gonjenog djeluje na pogonski zupčanik rastavlja se u tangencijalnu (obodnu) Ft, radijalnu Fr i aksijalnu komponentu Fa. Ležajevi A i B predstavljaju oslonce u kojima spomenute komponente izazivaju odgovarajuće reakcije.

gonjeni zupčanik

pogonski zupčanik

Reakcije u ležajevima se izračunavaju tako da se postavljaju jednadžbe ravnoteže sila ΣF = 0 i ravnoteže momenata ΣM = 0.

Obodna sila Ft izaziva radijalne reakcije

lbFF ⋅

= tAx

laFF ⋅

= tBx

Radijalna sila Fr izaziva radijalne reakcije

lbFF ⋅

= rAy1

laFF ⋅

= rBy1

Aksijalna sila Fa izaziva moment prevrtanja 2adF ⋅ i radijalne reakcije u

ležajevima

l

dFFF 2a

By2Ay2

⋅==

- 11 -

Sile FAy2 i FBy2 su suprotno usmjerene.

Rezultirajuće radijalne reakcije u ležajima:

( )22AyAy12

AxAr FFFF −+=

( )2By2By12BxBr FFFF ++=

Aksijalnu silu na zupčaniku Fa može preuzimati samo jedan ležaj. Aksijalna e biti npr. u ležaju A:

Nakon određivanja reakcija u ležajevima mogu se proračunati momenti savijanja.

je izazivaju momente savijanja

Najveći moment savijanja je neposredno uz točku C s desne strane i iznosi

reakcija ć

FAa = Fa

Prirubnica spojke

Sila Ft izaziva najveći moment savijanja Mx.

Sila Fr izaziva najveći moment savijanja My3.

Sila Fa izaziva reakcije FAy2 i FBy2 ko

–My1 = FAy2·a My2 = FBy2·b

( )23y2y2xs MMMM ++=

- 12 -

Torzijski m ) često se izračunava iz snage P (W) i brzine vrtnje n (s–1), odnosno kutne brzine ω (s–1):

oment T (Nm

ωPT = , ω = 2·π·n

Ekvivalentni moment (koji obuhvaća djelovanje i savijanja i torzije) po hipotezi najvećeg deformacijskog rada neposredno uz točku C s desne strane iznosi

( )20se 75,0MM ⋅⋅+= α2 T

Ovaj moment treba razlikovati od ekvivalentnog momenta savijanja Ms eq=KA·MsN.

Ekvivalentno naprezanje

WMσ e

e =

Ekvivalentno naprezanje se može izračunati i iz pojedinačno izračunatih normalnih rzije.

IMENZIONIRANJE PREMA KRITERIJU ČVRSTOĆE

i

u se utvrditi

d vratila treba čunati s momentom torzije T = Teq. Dakle, u nastavku se neće pisati indeks „eq“,

li se u proračunu trebaju koristiti te realne ekvivalentne vrijednosti.

naprezanja uslijed savijanja i tangencijalnih naprezanja uslijed to

D

Približn proračun Ovim se proračunom približno određuje minimalni potrebni promjer osovine ili vratila dpr. Budući da oblik osovine ili vratila još nije poznat i ne mogutjecajni faktori (koncentracija naprezanja, površinska obrada itd.), računa se s velikim faktorima sigurnosti S, tj. s malim dopuštenim naprezanjima.

Kod osovina treba računati s momentom savijanja Ms = Ms eq , a koraa

- 13 -

Osovine

Mjerodavna veličina za proračun osovina je najveći lokalni moment savijanja žina osovine zanemaruje.

Naprezanje pri savijanju

Ms (=Ms eq), pri čemu se te

sdops σW

σ ≤= (N/mm ) sM 2

Aksijalni moment otpora za puni okrugli presjek

sdop

s3pr

32π

σMd

W ≥⋅

= (mm3)

Slijedi

3sdopπ σ⋅

Ako osovina ne rotira (kotači vagoneta i dizalica, užnice), uzima se da je

spr

32 Md ⋅≥ (mm)

dinamičko opterećenje ishodišno. Dopušteno naprezanje je

Ssdop

Ako osovina rotira (kotači vagona

Rσ 0ds= S = 3...5

), uzima se da je dinamičko opterećenje izmjenično. Dopušteno naprezanje je

SRσ 1ds

sdop−= S = 4...6

Vratila

Mjerodavna veličina za proračun vratila je moment torzije T (=Teq), koji je

izmjere konstrukcije u kojoj će se vratilo nalaziti

praktički uvijek ishodišnog dinamičkog karaktera.

1. slučaj: nisu poznate

Naprezanje pri torziji

tdopt

t τWTτ ≤= (N/mm2)

- 14 -

Torzijski moment otpora za puni okrugli presjek

tdop

3

p 16π

τTd

WW prt ≥

⋅== (mm3)

Slijedi

3tdop

pr π16τ

Td⋅⋅

≥ (mm)

Dopušteno naprezanje se računa u odnosu na ishodišnu trajnu dinamičku čvrstoću:

SRτ dt0

tdop =

Ako se radi o vratilima koja su opterećena isključivo torzijom - npr. kardansko vratilo, uzima se faktor sigurnosti S = 4...6.

Ako se radi o vratilima koja će biti opterećena i savijanjem - npr. vratila na kojima su remenice, zupčanici i sl., mora se usvojiti veći faktor sigurnosti S = 10...15, budući da se u ovoj fazi proračuna veličina momenata savijanja još ne zna pa se ne može uzeti u obzir u proračunu.

2. slučaj: poznate su bitne izmjere konstrukcije koje omogućavaju određivanje momenta savijanja Ms

Ako su poznate izmjere konstrukcije na temelju kojih se može odrediti moment savijanja Ms (=Ms eq), treba izračunati ekvivalentni moment

( )202se 75,0 TMM ⋅⋅+= α

i dalje računati kao za rotirajuću osovinu, ali s Me:

3sdop

epr π

32σ

Md⋅⋅

≥ , S

Rσ 1dssdop

−= , S = 4...6

- 15 -

Kontrolni proračun

Nakon što je približnim proračunom određen minimalni potrebni promjer osovine ili vratila dpr, određuje se stvarni promjer d. Ako su osovina ili vratilo oslabljeni utorima i slično, to treba uzeti u obzir pa je

d ≥ dpr

Utor za pero Ožljebljeno vratilo Utor za uskočnik d

d

pr

t

d

d pr

t

dpr

Zatim se utvrđuje način uležištenja i konstruira oblik osovine ili vratila prema postavljenim zahtjevima. Kontrolni proračun se vrši za presjeke za koje se procjenjuje da su kritični. Kritični su presjeci oni gdje se javljaju najveći momenti savijanja ili najveći ekvivalentni momenti, odnosno gdje se nalaze koncentratori naprezanja - promjene promjera, utori i sl.

1, 3 i 4 - kritični presjeci na mjestu promjene promjera (koncentracija naprezanja) 2 - kritični presjek na mjestu najvećeg momenta savijanja

- 16 -

Naprezanje pri vlaku/tlaku A

Fσ atlv, ±= (N/mm2)

Naprezanje pri savijanju WMσ s

s =

Naprezanje pri torziji p

t WTτ = (za neokrugle presjeke

tt W

Tτ = )

Vrše se sljedeće kontrole (temeljene na normi DIN 743):

1. Kontrola plastičnih deformacija; plastična deformacija se praktički javlja kod naprezanja većih od granice tečenja (razvlačenja) Re, odnosno Rp0,2. Osovine i vratila se ne izrađuju od krhkih materijala.

2. Kontrola zamora materijala pri dinamičkim opterećenjima kad može nastupiti zamorni lom.

- 17 -

Aksijalni momenti otpora W, polarni momenti otpora Wp i torzijski momenti otpora Wt poprečnog presjeka

Wt

Wt

Wt

Wt

Wp, Wt W

π·d 3 16

π·d 3 32

z = broj žlijebova Wt

Wt

- 18 -

Kontrola plastičnih deformacija (temeljeno na normi DIN 743)

Kontrola plastičnih deformacija se načelno obavlja tako da se računa koliko je puta granica tečenja Re (ili Rp0,2) veća od najvećeg naprezanja.

Ova se kontrola mora vršiti za najveća naprezanja koja se mogu javiti kao posljedica najvećih opterećenja (Ms max, Tmax i Fa max). Takva su naprezanja rijetka i uglavnom se pojavljuju pri pokretanju ili zaustavljanju radnog stroja.

Ako je kritični presjek osovine opterećen samo savijanjem (σs), onda je faktor sigurnosti protiv plastične deformacije

==maxs

esP σ

RS Granica tečenja pri savijanju Najveće naprezanje uslijed savijanja

Ako je kritični presjek vratila opterećen samo torzijom (τt), onda je faktor sigurnosti protiv plastične deformacije

==maxt

etP τ

RS Granica tečenja pri torziji Najveće naprezanje uslijed torzije

Ako je kritični presjek vratila opterećen i savijanjem (σs) i torzijom (τt), onda je faktor sigurnosti protiv plastične deformacije

2

et

maxt2

es

maxs

P1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

Rτ

Rσ

S

Osovine i vratila su rijetko znatnije opterećeni vlačno ili tlačno i najčešće se ta naprezanja (σv,tl max) mogu zanemariti. U slučaju da to zanemarenje nije moguće, faktor sigurnosti protiv plastične deformacije bio bi

2

et

maxt2

e

max tlv,

es

maxs

P1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

Rτ

Rσ

Rσ

S (Re = granica tečenja pri vlaku)

s time da bi kod osovina otpao član s τt max, a kod vratila koja nisu opterećena savijanjem član sa σs max.

- 19 -

Faktor sigurnosti mora biti SP ≥ SPmin = 1,2. Kod nedovoljno pouzdanih svojstava materijala, mogućnosti veće štete i opasnosti za ljude pri havariji, minimalni faktor sigurnosti SPmin mora biti i veći od 1,2.

Visina stvarne granice tečenja Re (odnosno Rp0,2) u odnosu na nazivnu granicu tečenja ReN, koja je određena za ispitnu epruvetu promjera 16 mm, ovisi o izmjerama osovine/vratila i uzima se u obzir tehnološkim faktorom Kt:

Za vlak/tlak Re = Kt · ReN (N/mm2) Za savijanje Res = Kt · ResN Za torziju Ret = Kt · RetN

Tehnološki faktor Kt uzima u obzir da se s porastom veličine smanjuju granica tečenja, dinamička čvrstoća i tvrdoća koja se može postići toplinskom obradom. Faktor Kt se očitava sa slika 1 i 2 ili proračunava po sljedećim izrazima:

Ugljični konstrukcijski čelici:

a) Ako se faktor Kt koristi za proračun stvarne vlačne čvrstoće Rm izvedene osovine ili vratila (Rm=Kt·RmN), koristi se linija 1 na slici 1, tj.:

- za D ≤ 100 mm : Kt = 1 - za 100 < D ≤ 300 mm: Kt = 1 – 0,23·lg (D/100) - za D > 300 mm: Kt = 0,89

b) Ako se faktor Kt koristi za proračun stvarne granice tečenja Re izvedene osovine ili vratila (Re=Kt·ReN), koristi se linija 2 na slici 1, tj.:

- za D ≤ 32 mm : Kt = 1 - za 32 < D ≤ 300 mm: Kt = 1 – 0,26·lg (D/32) - za D > 300 mm: Kt = 0,75

Čelici za nitriranje:

- za D ≤ 100 mm : Kt = 1 - za 100 < D ≤ 300 mm: Kt = 1 – 0,23·lg (D/100) - za D > 300 mm: Kt = 0,89

Čelici za poboljšanje:

- za D ≤ 16 mm : Kt = 1 - za 16 < D ≤ 300 mm: Kt = 1 – 0,26·lg (D/16) - za D > 300 mm: Kt = 0,67

- 20 -

Čelici za cementaciju:

- za D ≤ 11 mm : Kt = 1 - za 11 < D ≤ 300 mm: Kt = 1 – 0,41·lg (D/11) - za D > 300 mm: Kt = 0,41

T

ehno

lošk

i fak

tor K

t

T

ehno

lošk

i fak

tor K

t

- 21 -

Nazivna granica tečenja ReN (odnosno Rp0,2N) epruvete promjera 16 mm dana je u tablici s mehaničkim karakteristikama materijala za osovine/vratila:

- 22 -

Kontrola zamora materijala (temeljeno na normi DIN 743)

Određivanje amplitude trajne dinamičke čvrstoće RdA (u knjizi B. Križan: "Osnove proračuna i oblikovanja konstrukcijskih elemenata" oznaka je Ra)

σ

Re

RdA

Rd–1N Rd–1K

σm

45°

Izvedeni konstrukcijski element Epruveta

Crtkana linija u Smithovom dijagramu se odnosi na epruvetu (indeks N), a puna na izvedeni element određenog oblika, izmjera i obrade (indeks K). Za srednje naprezanje σm = 0 (κ = –1) je amplituda dinamičke čvrstoće RdA = Rd–1K. Budući da se dijagram prema vrhu sužava, RdA će biti to manji što je srednje naprezanje σm veće. Smanjenje RdA se uzima u obzir s faktorom ψ koji je određen na temelju približne konstrukcije Smithovog dijagrama pomoću Rd–1 i Rm. Dakle, faktor ψ (psi) definira granice Smithovog dijagrama, tj. njegovo sužavanje prema vrhu. Isto vrijedi, naravno, i za tangencijalna naprezanja τ.

- 23 -

Za savijanje (normalno naprezanje) je 1Kdsm

1Kds2 −

−−⋅

=RR

Rψσ

Za torziju (tangencijalno naprezanje) je 1Kdtm

1Kdt2 −

−−⋅

=RR

Rψτ

Rds–1K = trajna izmjenična dinamička čvrstoća već oblikovanog elementa pri savijanju (N/mm2) Rdt–1K = trajna izmjenična dinamička čvrstoća već oblikovanog elementa pri torziji

Rm = Kt · RmN = stvarna vlačna čvrstoća izvedene osovine ili vratila Kt = tehnološki faktor za proračun stvarne vlačne čvrstoće (iz dijagrama ili formule) RmN = vlačna čvrstoća epruvete promjera 16 mm (iz tablice)

Na temelju Smithovih dijagrama danih u knjizi Roloff/Matek: "Maschinenelemente" (2000.), mogu se usvojiti približne i veće vrijednosti faktora ψσ i ψτ, čime se proračun pojednostavnjuje i nalazi se na strani sigurnosti: za savijanje ψσ ≈ 0,35 i za torziju ψτ ≈ 0,19.

S kojom amplitudom dinamičke čvrstoće RdA treba računati, ovisi o tome da li će pri porastu opterećenja ostati nepromijenjeno srednje naprezanje σm (τm) ili faktor asimetrije naprezanja

max

minσσκ = , odnosno

max

minττ

=κ

σ (τ)

σa (τa)

σmax (τmax)

σa (τa)σm (τm) σmin

(τmin)

t

- 24 -

Jednostavno opterećenje

Ovakav je slučaj kad na osovinu djeluje (samo) moment savijanja Ms ili na vratilo djeluje samo moment torzije T.

Variranje naprezanja tijekom pogona treba uzeti u obzir faktorom primjene KA i zapravo računati odmah s opterećenjima Ms eq , odnosno Teq.

a) Srednje naprezanje je konstantno: σsm = konst., odnosno τtm = konst.

Ovakav slučaj se npr. javlja kod mirujuće osovine užnice.

Smithov dijagram:

Amplituda dinamičke čvrstoće za izvedeni element pri savijanju, odnosno torziji, bit će

RdsA = Rds–1K – ψσ·σsm (N/mm2) RdtA = Rdt–1K – ψτ·τtm

- 25 -

b) Faktor asimetrije naprezanja κ = konst.

Ovakav slučaj se npr. javlja kod vratila reduktora. Smithov dijagram:

τta, Rdt

Rdt–1N Rdt–1K

R dtA

N

Ret

τ ta τtm

R dtA

N

R dtA

R dtA

τ ta

Amplituda dinamičke čvrstoće je za takvo vratilo pri torziji

ta

tm1Kdt

dtA1

ττψ

RRτ ⋅+

= − (N/mm2)

a za savijanje osovine s κ = konst. bi bilo

sa

sm1Kds

dsA1

σσψ

RRσ ⋅+

= −

- 26 -

Složeno opterećenje

Vratila su najčešće podvrgnuta složenom opterećenju, tj. i momentu savijanja Ms i momentu torzije T.

Variranje naprezanja tijekom pogona treba uzeti u obzir faktorom primjene KA i zapravo računati odmah s vrijednostima Ms eq i Teq.

Potrebno je izračunati srednja ekvivalentna naprezanja kojima se uzima u obzir ukupni utjecaj normalnih i tangencijalnih naprezanja koja istodobno djeluju:

2tm

2smem 3 τσσ ⋅+=

i

3em

emστ =

S ovim srednjim ekvivalentnim naprezanjima se zatim proračunavaju amplitude dinamičke čvrstoće RdsA i RdtA:

a) Srednje naprezanje je konstantno: σsm = konst., odnosno τtm = konst.

RdsA = Rds–1K – ψσ·σem (N/mm2) RdtA = Rdt–1K – ψτ·τem

b) Faktor asimetrije naprezanja κ = konst.

sa

em1Kds

dsA1

σσψ

RRσ ⋅+

= − (N/mm2)

ta

em1Kdt

dtA1

ττψ

RRτ ⋅+

= −

- 27 -

Određivanje faktora sigurnosti SD

Kod kontrole zamora materijala se načelno računa koliko puta je amplituda dinamičke čvrstoće RdA iz Smithovog dijagrama veća od amplitude naprezanja σsa , odnosno τta.

Amplitudanaprezanja

Amplituda dinamičke čvrstoće

Variranje naprezanja tijekom pogona treba uzeti u obzir faktorom primjene KA i naprezanja proračunavati s vrijednostima Ms eq , odnosno Teq.

τta, Rdt

Rdt–1N Rdt–1K

R dtA

NRet

τ ta τtm

R dtA

N

R dtA

R dtA

τ ta

Amplitudanaprezanja

Amplituda dinamičke čvrstoće

- 28 -

Ako je kritični presjek osovine dinamički opterećen samo savijanjem s amplitudom naprezanja σsa, onda je faktor sigurnosti protiv zamora materijala

sa

dsAD σ

RS =

Ako je kritični presjek vratila dinamički opterećen samo torzijom s amplitudom naprezanja τta, onda je sigurnost protiv zamora materijala

ta

dtAD τ

RS =

Ako je kritični presjek vratila opterećen i savijanjem i torzijom s amplitudama naprezanja σsa i τta, onda je sigurnost protiv zamora materijala

2

dtA

ta2

dsA

sa

D1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

Rτ

Rσ

S

Mora biti SD ≥ SDmin = 1,2. Kod nedovoljno pouzdanih svojstava materijala, mogućnosti veće štete i opasnosti za ljude pri havariji, minimalni faktor sigurnosti SDmin treba biti veći od 1,2.

Osovine i vratila mogu biti opterećeni i vlačno/tlačno, ali se to najčešće može zanemariti pa ni u ovom proračunu nije uzeto u obzir.

Određivanje trajne izmjenične dinamičke čvrstoće već oblikovanog elementa Rds–1K i Rdt–1K

Dosada je bilo objašnjeno kako se može izračunati amplituda dinamičke čvrstoće za savijanje RdsA i torziju RdtA iz trajne izmjenične dinamičke čvrstoće već oblikovanog elementa pri savijanju Rds–1K i pri torziji Rdt–1K .

Te trajne izmjenične čvrstoće već oblikovanog elementa se izračunavaju pomoću sljedećih izraza:

- 29 -

Za savijanje σK

RKR 1Ndst

1Kds−

−⋅

= (N/mm2)

Za torziju τK

RKR 1Ndtt1Kdt

−−

⋅=

Kt = tehnološki faktor za proračun stvarne vlačne čvrstoće (dijagram)

Rds-1N i Rdt-1N = trajne izmjenične dinamičke čvrstoće za epruvetu promjera 16 mm - iz tablice

Kσ i Kτ = konstrukcijski faktori za normalno i tangencijalno naprezanje

Određivanje konstrukcijskih faktora Kσ i Kτ

Ovi faktori uzimaju u obzir koncentraciju naprezanja (βk), veličinu komada (Kg), hrapavost površine (K0) i utjecaj ojačanja površinskog sloja, npr. sačmarenjem (KV).

Za savijanje V0g

ks 111KKK

βKσ

σ ⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=

Za torziju V0g

kt 111KKK

βKτ

τ ⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=

Efektivni faktori koncentracije naprezanja za savijanje βks i torziju βkt za najčešće oblike koncentratora naprezanja mogu se naći u sljedećim dijagramima, a u ovisnosti o vlačnoj čvrstoći materijala izvedene osovine ili vratila

Rm = Kt · RmN

gdje su: Kt = tehnološki faktor za proračun vlačne čvrstoće (dijagram) i RmN = vlačna čvrstoća epruvete (tablica).

- 30 -

- 31 -

- 32 -

Kg je geometrijski faktor veličine :

Za savijanje i torziju:

- za d ≤ 7,5 mm: Kg= 1

- za 7,5 < d < 150 mm:

20lg

)5,7/lg(2,01gdK ⋅−=

- za d ≥ 150 mm: Kg= 0,8

Na mjestima promjene promjera osovine/vratila, u proračun treba uzeti manji promjer.

Faktor Kg odgovara faktoru b2 u formuli za dopušteno naprezanje pri dinamičkom opterećenju.

K0 je faktor utjecaja hrapavosti površine. Kod savijanja (normalno naprezanje) se računa s K0σ (dijagram, prva formula u dijagramu) . Kod torzije (tangencijalno naprezanje) se najprije odredi K0σ , a zatim po drugoj formuli K0τ .

- 33 -

Faktor K0 odgovara faktoru b1 u formuli za dopušteno naprezanje pri dinamičkom opterećenju.

Faktor ojačanja površinskog sloja KV:

Karbonitriranje (cijaniranje)

- 34 -

KONTROLNI PRORAČUN OSOVINA I VRATILA

Dijagram toka za pomoć pri proračunu SP:

ReN, ResN, RetN (iz tablice)

Kt za određivanje Re (iz dijagrama ili formula)

Re, Res, Ret

Ms max, Tmax, Fa max

σs max, τt max, σv, tl

SP ≥ 1,2

Dijagram toka za pomoć pri proračunu SD:

Kt za određivanje Rm (iz dijagrama ili formule)

RmN (iz tablice)

Rm

Rds–1N, Rdt–1N (iz tablice)

Kσ, Kτ (iz formula, dijagrama i tablica)

Ms eq, Teq

Rds–1K, Rdt–1K

ψσ, ψτ

SD ≥ 1,2

σsm, τtm σsa, τta

Jednostavno opterećenje: samo Ms ili samo T

Složeno opterećenje: Ms i T

σem, τem

Sam

o za

κ =

kon

st.

RdsA, RdtA

- 35 -

DIMENZIONIRANJE PREMA KRITERIJU KRUTOSTI

Dimenzije dobivene na temelju kriterija čvrstoće često su premale da bi osovina ili vratilo pri savijanju i torziji bili dovoljno kruti za postizanje dobre funkcionalnosti. Takav je npr. slučaj kod alatnih strojeva (progib), kod vratila zupčaničkih prijenosnika (progib), dugih transmisijskih vratila (kut uvijanja) itd.

Progibi kod savijanja ovise o modulu elastičnosti E, a kut uvijanja kod torzije o modulu smicanja G. Stoga se te deformacije ne mogu smanjiti čvršćim čelicima koji imaju iste module E i G, nego samo većim momentima tromosti I i Ip

poprečnog presjeka nosača ili promjenom konstrukcije.

Progib osovina i vratila

Ako je promjer osovine ili vratila konstantne vrijednosti, progib f se može izračunati pomoću formula za progib greda iz nauke o čvrstoći. Ako je promjer promjenljiv, proračun progiba je složeniji i treba koristiti odgovarajuće formule iz literature o konstrukcijskim elementima.

Dopuštene vrijednosti progiba: - kod grubih pogona (transmisijska vratila, poljoprivredni strojevi): fmax ≤ 0,5 mm / m duljine - u općem strojarstvu: fmax ≤ 0,3 mm / m duljine - kod alatnih strojeva, zupčanika: fmax ≤ 0,2 mm / m duljine - kod elektromotora se preporuča da progib bude manji od 1/10 zračnosti između statora i rotora.

Kut nagiba u osloncu treba približno biti:

1. α ≤ 0,001 rad kod dugačkih kliznih ležajeva 2. α ≤ 0,002 rad kod kratkih kliznih ležajeva i valjnih ležajeva

- 36 -

Približno se može uzeti da razmak između ležajeva prema uvjetu najvećeg progiba treba biti

dl ⋅≤ 316 l (mm), d (mm)

a prema uvjetu najvećeg kuta nagiba u osloncu α ≤ 0,001 rad

3 2108 dl ⋅≤ l (mm), d (mm)

Preveliki progibi vratila zupčanika dovode do nepravilnog zahvata zubi zupčanika pa se oni oštećuju, a moguć je i lom zuba. U kliznim se pak ležajevima mogu oštetiti blazinice zbog velikih rubnih pritisaka, osim ako je ležaj samopodešavajući.

Brodska propelerska vratila, koljenasta vratila motora, vratila generatora i sl. proračunavaju se i prema propisima klasifikacijskih društava - Hrvatski registar brodova, Lloyd's Register, Bureau Veritas, Det Norske Veritas itd.)

Kut uvijanja vratila

pIGlT

⋅⋅

=ϕ (rad)

Za puni okrugli presjek je 32

4

pdI ⋅π

= i

432

dGlT

⋅π⋅

⋅⋅=ϕ tj.

- 37 -

4

dop

32

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ϕ⋅π⋅

⋅≥

lG

Td

Dozvoljen je kut uvijanja 0,25°...0,5° po metru duljine vratila. Kod kardanskih

vratila automobila se dopušta i do 2°/m.

Uz uvjet rad/m1036,4m/25,0 3

dop

−⋅==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ϕ o

l i G = 0,81·1011 N/m2

dobiva se potreban promjer vratila

4013,0 Td ⋅≥ d (mm), T (Nm)

Kod većih kuteva uvijanja vratilo počinje djelovati kao opruga, prilikom deformacije akumulira rad i može doći do vibracija. Mala krutost vratila daje i malu kritičnu brzinu vrtnje pri kojoj dolazi do rezonancije.

Kut uvijanja je važan kod dugačkih vratila, npr. transmisijskih vratila te vratila za pogon kotača dizalice i pogon mačke dizalice.

Pri pokretanju će se pogonski moment sa zupčanika preko kratkog dijela vratila duljine l1 brzo prenijeti do lijevog kotača i on će početi rotirati. U tom trenutku će desni kotač još uvijek stajati, budući da će se znatno više uvijati desni dio vratila znatno veće duljine l2. Javit će se tendencija zakošavanja vratila.

- 38 -

KRITIČNA BRZINA VRTNJE

Fleksijska kritična brzina vrtnje

Osovine i vratila, zajedno s masama koje su na njima smještene, predstavljaju fleksijske (savojne) opruge. Djelovanjem neke vanjske sile počet će te mase vibrirati frekvencijom vlastitih titraja.

Budući da se stvarne izmjere, u granicama dopuštenih odstupanja, razlikuju od nazivnih, stvarni položaj težišta T neće se poklapati potpuno s teoretskim. Stoga se prilikom rotacije osovina i vratila mogu javiti periodični impulsi centrifugalne sile. Frekvencija ovih impulsa će biti jednaka brzini vrtnje. Ako se brzina vrtnje poklopi s frekvencijom vlastitih titraja sustava, nastat će rezonancija. Amplitude titraja y će se izrazito povećati pri čemu može doći i do loma.

e = odstupanje težišta od osi (mm) y = progib izazvan centrifugalnom silom (mm) f = progib u mirovanju u horizontalnom položaju uslijed vlastite težine G osovine/vratila i masa na njima (mm)

Progibi koji su nastali djelovanjem radijalnih sila na vratilo kod zupčanika, remenica i sl., ne uzimaju se u obzir budući da sile djeluju uvijek u istoj ravnini i ne rezultiraju dodatnim centrifugalnim silama.

Koeficijent krutosti

fG

yFC == c (N/mm)

- 39 -

Centrifugalna sila Fc = mrω2 = m·(y + e)· ω2 = Cy

Slijedi 2

2

ω−

ω=

mCmey /: mω2

12 −ω

=

mC

ey

U slučaju da kutna brzina dosegne kritičnu vrijednost mCω = , tj.

mC

=ω2 ,

nazivnik bi bio jednak nuli i progib y beskonačno velik. Došlo bi do rezonancije i teoretski bi nastupio lom osovine/vratila. Ipak, zbog raznih prigušenja u materijalu, zglobovima i sl., progib ne dostiže veoma velike vrijednosti.

Kritična kutna brzina

fffg

gGfG

mC 999807

k =====ω ωk (s–1), f (mm), g (mm/s2)

Kritična brzina vrtnje

fn 95030

kk≈ω⋅

π= nk (min–1), f (mm)

- 40 -

Kritična brzina vrtnje ipak ovisi i o načinu uležištenja, što se uzima u obzir faktorom načina uležištenja K:

fKn 950

k ⋅=

Vratilo (ili osovina) se okreće Osovina je nepokretna Vratilo (ili osovina) s konzolno K = 1 K = 1,3 uležištenim dijelom K = 0,9

Veličina kritične brzine ne ovisi o tome da li su osovina ili vratilo horizontalni, kosi ili vertikalni.

Dugačke i tanke osovine i vratila imaju nižu, a kratke i debele osovine i vratila višu kritičnu brzinu vrtnje. Često se zbog složenosti konstrukcije nk ne može računski točno odrediti pa se određuje eksperimentalno.

Radna brzina vrtnje n osovina i vratila u strojevima ne smije biti blizu kritične brzine vrtnje nk. Strojevi trebaju raditi u podrezonantnom području n < 0,8·nk, ili nadrezonantnom području n > 1,2·nk. Najčešće sistem radi u podrezonantnom području pa je poželjno da nk bude što viši. To se postiže:

- malim razmakom ležaja kako bi progib f bio manji,

- balansiranjem sistema kako bi se smanjilo djelovanje centrifugalne sile i

- minimiziranjem težine kako bi progib f bio manji.

Ako sistem radi u nadrezonantnom području, pri puštanju stroja u rad i pri zaustavljanju područje kritične brzine treba brzo prijeći.

- 41 -

Torzijska kritična brzina vrtnje

Vratilo s masama na njemu je i torzijska opruga. Ako je torzijski moment promjenljiv, mijenja se i kut uvijanja i može doći do torzijskih vibracija i rezonancije kod torzijske kritične brzine vrtnje nkt. Ovakva se opasnost javlja kod klipnih motora, tj. kod motornih vozila, a naročito kod sporohodnih brodskih dizelskih motora. Radi sprečavanja torzijskih vibracija se najčešće ugrađuju elastične spojke ili posebni prigušivači torzijskih vibracija.

- 42 -

PRIMJER 1: VRATILO OPTEREĆENO TORZIJSKIM MOMENTOM

Zadatak:

Vratilo izrađeno iz čelika E295 (Č0545) opterećeno je nazivnim torzijskim momentom TN = 80 Nm. Savijanja nema. Dinamičko opterećenje je ishodišnog karaktera (κ = 0). Faktor κ pri porastu opterećenja ostaje konstantan. Pri pokretanju se očekuju snažni udari do Tmax = 2,5·TN, dok se u radu očekuju jaki udari - KA ≈ 2. Vratilo je izrađeno tokarenjem s prosječnom visinom neravnina Rz ≈ 12,5 μm. Površinski sloj nije dodatno ojačan. Kritični presjek 1-1 je na mjestu utora za pero.

Treba izvesti:

a) Kontrolu plastičnih deformacija

b) Kontrolu zamora materijala

- 43 -

PRIMJER 2: VRATILO OPTEREĆENO TORZIJOM I SAVIJANJEM

Rukavac vratila izrađenog od čelika za poboljšanje C45E (Č1531), opterećen je statičkim (konstantnim) nazivnim torzijskim momentom TN = 2300 Nm i izmjeničnim nazivnim momentom savijanja MsN = 1600 Nm. Pri promjenama opterećenja srednje naprezanje pri savijanju ostaje konstantno: σsm = 0 = konst. Faktor primjene KA = 1,5. Kako nisu zadana opterećenja pri pokretanju, može se računati da su od nazivnih vrijednosti također veća za veličinu KA, tj. 1,5 puta. Prijelazni dio rukavca (presjek 1-1) izveden je s hrapavošću Rz ≈ 6,3 μm. Površinski sloj nije dodatno ojačan.

Treba izvesti:

a) Kontrolu plastičnih deformacija

b) Kontrolu zamora materijala

- 44 -

PRIMJER 3: VRATILO OPTEREĆENO TORZIJOM I SAVIJANJEM

Pogonsko vratilo zupčastog reduktora prenosi nazivnu snagu PN = 20 kW pri brzini vrtnje n = 1460 min–1. Vratilo je izrađeno od ugljičnog konstrukcijskog čelika E295 (Č0545). Pri pokretanju i zaustavljanju se javljaju kratkotrajna vršna opterećenja koja su 2,5 puta veća od nazivnih. U trajnom pogonu uz κ = konst. vratilo je opterećeno promjenljivim opterećenjem uz faktor primjene KA = 1,5. Vratilo je izrađeno tokarenjem s prosječnom visinom neravnina Rz ≈ 12,5 μm. Površinski sloj nije dodatno ojačan. Kritični presjek 1-1 je na mjestu utora za pero, kritični presjek 2-2 pokraj oslonca A. Polumjer zaobljenja u presjeku 2-2 je R = 1,5 mm. Reakcija u ležaju A je FA = 3500 N.

Kritični presjek 1-1 je opterećen samo torzijski jer je spoj s pogonskim strojem izveden pomoću elastične spojke. Torzijski moment je ishodišnog dinamičkog karaktera (κt = 0). Kritični presjek 2-2 je opterećen savijanjem i torzijom. Moment savijanja je izmjeničnog dinamičkog karaktera (κs = –1).

Za oba kritična presjeka treba izvesti:

a) Kontrolu plastičnih deformacija

b) Kontrolu zamora materijala

- 45 -