ОСНОВЫ КРИПТОГРАФИИ:

Ахметов Б.С., Кузнецов А.А., Краснобаев В.А.,

Алимсеитова Ж.К., Кузнецова Т.Ю.

ОСНОВЫ КРИПТОГРАФИИ: ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ,

ГРУПП, ПОЛЕЙ, КОЛЕЦ

Учебное пособие

Рекомендованно Республиканским учебно-методическим советом

Министерства образования и науки Республики Казахстан

Алматы - 2019

2

УДК 511.17:004(075.8)

ББК 32.973.202 я 73

О75

Рецензенты:

Доктор технических наук, профессор Джурунтаев Д.З.

Доктор PhD, ассоциированный профессор Картбаев Т.С.

Доктор PhD Алибиева Ж.М.

Ахметов Б.С., Кузнецов А.А., Краснобаев В.А., Алимсеитова Ж.К.,

Кузнецова Т.Ю. Основы криптографии: элементы теории чисел, групп,

полей, колец. Учебное пособие. – Алматы. АУЭС, 2019 – 320 с. Ил. 32.

Табл. 32. Библиогр. – 31 назв.

ISBN 978-601-7307-76-9

В учебном пособии излагаются основные понятия и положения теории

чисел, групп, полей, колец, составляющие математическую основу

современных методов и вычислительных алгоритмов помехоустойчивого

кодирования и криптографической защиты информации.

Учебное пособие предназначено для бакалавров, магистрантов и

докторантов по направлению подготовки кадров «Информационные и

коммуникационные технологии».

Печатается по плану издания Министерства образования и науки

Республики Казахстан на 2019 год.

УДК 511.17:004(075.8)

ББК 32.973.202 я 73

ISBN 978-601-7307-76-9

© Ахметов Б.С., Кузнецов А.А.,

© Краснобаев В.А., Алимсеитова Ж.К.,

© Кузнецова Т.Ю.

© АУЭС, 2019

3

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ 6

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ДЕЛИМОСТИ 8

1.1. Теоремы делимости 8

1.2. Наибольший общий делитель и алгоритм Евклида 11

1.3. Линейные диофантовы уравнения с двумя неизвестными 19

1.4. Простые числа и «основная» теорема арифметики 23

2. ЦЕПНЫЕ ДРОБИ 28

2.1. Разложение вещественных чисел в цепные дроби 28

2.2. Вычисление подходящих дробей 31

2.3. Золотое сечение и формулы Бине 35

2.4. Континуанты и анализ алгоритма Евклида 42

3. ВАЖНЕЙШИЕ ФУНКЦИИ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ 46

3.1. Целая и дробная часть вещественного числа 46

3.2. Количество и сумма делителей положительного целого числа.

Совершенные числа

47

3.3. Мультипликативные функции и их свойства 50

3.4. Мультипликативная формула для количества и суммы делителей

положительного целого числа

52

3.5. Необходимые и достаточные условия существования совершенных

четных чисел

53

3.6. Простые числа Мерсенна и Ферма 56

3.7. Функция Мебиуса и ее свойства 59

3.8. Функция Эйлера и ее свойства 60

3.9. -функция Римана и некоторые ее свойства 64

4. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И СВОЙСТВА СРАВНЕНИЙ 70

4.1. Основные понятия теории сравнений 70

4.2. Основные свойства сравнений, подобные свойствам уравнений 71

4.3. Полная система отчислений 75

4.4. Приведенная система вычетов 77

5. СИСТЕМЫ ВЫЧЕТОВ И ИХ СВОЙСТВА 82

5.1. Комплексные корни m-й степени из единицы и их связь с

приведенной системой вычетов

82

5.2. Многочлены деления круга 88

6. ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА И ТЕОРЕМА ФЕРМА. СРАВНЕНИЯ ПЕРВОЙ

СТЕПЕНИ

95

6.1. Теорема Эйлера и теорема Ферма 95

6.2. Сравнение первой степени 100

7. КИТАЙСКАЯ ТЕОРЕМА ОБ ОСТАТКАХ 112

7.1. Сравнение произвольной степени по простому модулю 115

7.2. Сравнение произвольной степени по составному модулю 119

8. СИМВОЛ ЛЕЖАНДРА И ЕГО СВОЙСТВА. ЗАКОН ВЗАИМНОСТИ

ГАУССА. СИМВОЛ ЯКОБИ

129

4

8.1. Сравнение второй степени. Символ Лежандра 129

8.2. Свойства символа Лежандра и закон взаимности Гаусса 132

8.3. Символ Якоби 140

9.ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ ДЛЯ

КРИПТОГРАФИЧЕСКОЙ ЗАЩИТЫ ИНФОРМАЦИИ

148

9.1. Схема распределения секрета с применением китайской теоремы об

остатках

148

9.2. Криптографические преобразования с открытым ключом 153

9.2.1. Алгоритм обмена ключами Диффи-Хеллмана 153

9.2.2. Алгоритм RSA 156

9.2.3. Алгоритм Эль-Гамаля 158

9.3. Алгоритм шифрования с правдоподобным отрицанием 162

10.ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕОРИИ ГРУПП 166

10.1. Определение и основные свойства группы 166

10.2. Подгруппы и смежные классы. Теоремы Келли и Лагранжа в

теории групп, теорема о гомоморфизме групп

176

10.3. Свойства симметрической группы 178

11. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕОРИИ ПОЛЕЙ И

КОЛЕЦ

191

11.1. Определение и основные свойства кольца 191

11.2. Определение и основные свойства поля 195

11.3. Многочлены над полем 197

11.4. Конечные поля, основанные на кольце многочленов 208

12. СТРУКТУРА И ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА КОНЕЧНЫХ ПОЛЕЙ 213

12.1. Линейные рекуррентные регистры с обратными связями 213

12.2. Примитивные элементы конечных полей 220

12.3. Минимальные многочлены и алгебраическая структура конечных

полей

224

13. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ

АЛГЕБРЫ

237

13.1. Векторные пространства и основные свойства 237

13.2. Конечное поле как векторное пространство 243

13.3. Элементы линейной алгебры 247

13.4. Определение и основные свойства групповых кодов. Матричное

описание линейных блоковых кодов

251

14. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В КОНЕЧНЫХ ПОЛЯХ 265

14.1. Преобразование Фурье в полях Галуа 265

14.2. Свойства сдвига, свертки и корней при преобразовании Фурье в

полях Галуа

272

14.3. Ограничения сопряженности 280

15 ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ БЛОКОВЫХ КОДОВ 289

15.1. Циклические коды. Определение и основные свойства 289

15.2. Теорема Боуза-Чоудхури-Хоквингема 298

15.3. Построение векторного пространства с заданными 300

5

дистанционными свойствами через преобразования в спектральной

области

16. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В ГРУППЕ ТОЧЕК

ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ КРИВОЙ

306

16.1. Определение группы точек эллиптической кривой 306

16.2. Формулы сложения и скалярного умножения точек эллиптической

кривой в соответствии с ГОСТ P 34.10-2001 и FIPS-186

307

16.3. Формулы сложения и скалярного умножения точек эллиптической

кривой в соответствии с ДСТУ 4145-2002

317

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 318

6

ВВЕДЕНИЕ

Теория чисел, или высшая арифметика, — раздел математики,

первоначально изучавший свойства целых чисел. В современной теории чисел

рассматриваются и другие типы чисел — например, алгебраические и

трансцендентные, а также функции различного происхождения, которые

связаны с арифметикой целых чисел и их обобщений.

В исследованиях по теории чисел, наряду с арифметикой и алгеброй,

применяются геометрические и аналитические методы, а также методы

теории вероятностей. Методы теории чисел широко применяются в

криптографии, вычислительной математике, информатике.

В элементарной алгебре применение арифметических операций

(например, сложения и умножения) с заменой конкретных чисел символами

обеспечивает возможность получения формул, которые при подстановке

чисел вместо символов дают решение частных числовых задач. В

современной алгебре уровень абстракции возрастает: от обычных операций

над действительными числами переходят к общим операциям – процессам

образования в некотором множестве общего вида из двух или более данных

элементов некоторого нового элемента. При этом ставится цель изучить

общие свойства всевозможных систем, состоящих из множества и некоторого

числа заданных на нем и определенным образом взаимодействующих

операций, например, множества с двумя бинарными операциями,

взаимодействующими подобно сложению и умножению действительных

чисел.

Мы рассмотрим лишь самые основные определения и свойства

алгебраических систем (т.е. множеств с одной или несколькими операциями

на них), сознательно ограничив себя тем минимумом теории, который

необходим для нашей основной цели – изучения конечных полей. Будем

использовать следующие числовые множества: N – множество натуральных, Z

– целых, Q – рациональных, R – действительных и C – комплексных чисел.

Рассматриваемые основные понятия и положения теории чисел, групп,

полей, колец составляют математическую основу современных методов и

вычислительных алгоритмов помехоустойчивого кодирования и

криптографической защиты информации.

Обнаружение ошибок в технике связи – действие, направленное на

контроль целостности данных при передачи по каналам связи, при записи

и/или воспроизведении информации. Для обнаружения ошибок используют

коды обнаружения ошибок, для исправления – коды, исправляющие ошибки,

коды с коррекцией ошибок, помехоустойчивые коды.

Все существующие и используемые коды построены на математической

основе, изложенной в данном учебном пособии.

Криптография является методологической основой современных систем

обеспечения безопасности информации в компьютерных системах и сетях.

Современная криптография является отдельным научным направлением на

7

стыке математики и информатики. Практическое применение криптографии

стало неотъемлемой частью жизни современного общества. Она используется

во многих отраслях, например, в электронном документообороте, электронной

коммерции, телекоммуникациях и т.д.

Учебное пособие предназначено для бакалавров, магистрантов и

докторантов по направлению подготовки кадров «Информационные и

коммуникационные технологии». При составлении учебного пособия были использованы материалы

источников, приведенных в списке литературы. В частности, основными

источниками для разделов по теории чисел были учебные пособия

Виноградова И.М. [1], Сизова С.В. [2], а также источники [3, 4]. При

подготовке разделов по теории групп, полей, колец использовались

материалы из учебника Блейхут Р. [5], Лиддл Р. [6] и другие.

8

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ДЕЛИМОСТИ

1.1. Теоремы делимости

Теория чисел занимается изучением свойств целых чисел. Целыми мы

будем называть не только числа натурального ряда 1, 2, 3, . . . (положительные

целые), но также ноль и отрицательные целые -1, -2, -3, . . . Так что,

расположив целые в возрастающем порядке, получим ряд, в котором разность

между большим и меньшим соседними членами везде будет равна единице.

Сумма a b , разность a b и произведение ab двух целых a и b

являются также целыми. Но частное a

b от деления a на b (если b не равно

нулю) может быть как целым, так и не целым.

Определение 1. В случае, когда частное a

b от деления a на b - целое,

обозначая его буквою q , имеем a bq , т.е. a представляется произведением

b на целое. Мы говорим тогда, что a делиться на b или, что b делит a . При

этом a называется кратным числа b , а b - делителем числа a . То

обстоятельство, что b является делителем числа a записывается так: \b a .

Иногда используют также следующие обозначения:

a b – a кратно b ;

b a –b делитель a .

Примеры.

21 7 3 , 0 9 0 , 85 17( 5) .

Поэтому можем сказать: 21 делится на 7, 0 делится на 9, -85 делится на

17, или: 7 делит 21, 9 делит 0, 17 делит -85.

Отношение1 делимости есть бинарное отношение на множестве Z

целых чисел. Если ограничиться рассмотрением множества N натуральных

чисел бинарное отношение делимости является рефлексивным,

антисимметричным и транзитивным. Поясним эти свойства подробнее.

Бинарное отношение (обозначим его символом * ) на заданном

множестве (обозначим его H ) является рефлексивным, если всякий элемент

данного множества находится в отношении с самим собою, т.е.

: *a H a a .

Отношение делимости на множестве целых чисел рефлексивно, т.к.

1 Отношение – математическая структура, которая формально определяет свойства различных объектов и их

взаимосвязи. Распространёнными примерами отношений в математике являются равенство (=), делимость,

подобие, параллельность и многие другие.

Отношения обычно классифицируются по количеству связываемых объектов (арность) и собственным

свойствам, таким как симметричность, транзитивность, рефлексивность.

9

:a Z a a .

Бинарное отношение * на множестве H является симметричным, если

для каждой пары элементов ( , )a b множества выполнение отношения *a b

влечет за собой выполнение отношения *b a :

, , * *a b H a b b a .

Отношение * на множестве H является антисимметричным, если для

каждой пары элементов ( , )a b множества выполнение отношений *a b и *b a

возможно только для равных a и b :

, , * *a b H a b a b a b .

Отношение делимости антисимметрично, т.к.

, ,a b Z a b b a a b .

Бинарное отношение * на множестве H является транзитивным, если

для любых трех элементов , ,a b c множества выполнение отношений *a b и *b c

влечет выполнение отношения *a c :

, , , * * *a b c H a b b c a c .

Отношение делимости транзитивно, т.к.

, , ,a b c Z a b b c a c .

Имеют место следующие теоремы делимости.

Теорема 1 (Теорема о транзитивности отношения делимости).

Если a кратно m, m кратно b, то a кратно b:

, , ,a b c Z a m m b a b .

Доказательство. Действительно, из 1a ma , 1m bm , следует

1 1a ba m . Таким образом, a представляется произведением b на целое

число 1 1a m и тем самым делится на b , т.е. a кратно b.

Теорема 2. (Теорема о кратности целого в сумме кратных целых чисел).

Если в равенстве вида

1 2 1 2... ...n ka a a c c c

10

относительно всех членов, кроме какого-либо одного, известно, что они

кратны b , то и этот один член кратен b .

Доказательство. Действительно, пусть таким одним членом будет 1a .

Тогда имеем

2 2' ,..., 'n na ba a ba , 1 1 2 2' , ' ,..., 'k kc bc c bc c bc ,

1 1 2 2 1 2 2

1 2 2

... ( ... ) ' ' ... ' ' ... '

( ' ' ... ' ' ... ' ).

k n k n

k n

a c c c a a bc bc bc ba ba

b c c c a a

Таким образом, 1a представляется произведением b на целое число

1 2 2( ' ' ... ' ' ... ' )k nc c c a a и тем самым делится на

1 2 2( ' ' ... ' ' ... ' )k nc c c a a .

Теорема 3. (Теорема о делении с остатком).

Всякое целое a представляется единственным способом с помощью

положительного целого b равенством вида

a bq r ; 0 br .

Доказательство. Действительно, одно представление числа a

равенством такого вида получим, взяв bq равным наибольшему кратному

числа b , не превосходящему a . Допустив же существование представление

числа a ещё одним равенством того же вида: 1 1a bq r ; 10 br ; и

вычитывая почленно это последнее равенство из предыдущего, получим

1 10 ( )b q q r r . (1.1)

Отсюда убедимся (см. теорему 2), что разность 1r r кратна b. С

другой стороны, легко видеть, что та же разность двух неотрицательных

чисел, меньших b , сама будет численно меньше b . Числом, которое кратно b и

численно меньше b , может быть лишь число 0. Поэтому 1 0r r , а отсюда

1r r .

Из равенства (1.1) следует, что 10 ( ) 0b q q , т.е. 1 0q q . Таким

образом, второе представление числа a тождественно первому.

Определение 2. Число q называется неполным частным, а число r –

остатком от деления a на b. Очевидно, что при r=0 понятия «неполное

частное» и «частное» совпадают.

Примеры2. Пусть b = 14. Имеем:

2 [2, п. 1]: Заметим, что остаток – всегда есть число неотрицательное, а вот неполное частное может быть

каким угодно целым числом. Поэтому на вопрос: “Сколько будет минус пять поделить на три с остатком?”,

каждый должен бойко отвечать: “Минус два, в остатке — один!”

11

177 14 12 9 , 0 9 14 ,

64 14 ( 5) 6 , 0 6 14 ,

154 14 11 0 , 0 10 4 .

1.2. Наибольший общий делитель и алгоритм Эвклида

В дальнейшем будем рассматривать лишь положительные делители

чисел.

Определение 3. Всякое целое, делящее одновременное целые , ,...,a b l ,

называется их общим делителем. Наибольший из общих делителей называется

общим наибольшим делителем и обозначается символом ( , ,...,a b l ).

Определение 4. Если ( , ,...,a b l )=1, то , ,...,a b l называются взаимно

простыми. Если каждое из чисел , ,...,a b l взаимно просто с каждым другим

из них, то , ,...,a b l называются попарно простыми. Очевидно, числа

попарно простые всегда и взаимно простые. В случае же двух чисел понятия

«попарно простые» и «взаимно простые» совпадают.

Примеры.

Числа 6, 10, 15, ввиду (6, 10, 15) = 1, взаимно простые. Однако они не

попарно простые, т.к. (6, 10) = 2, (6, 15) = 3, (10, 15) = 5.

Числа 8, 13, 21, ввиду (8, 13) = (8, 21) = (13, 21) = 1, – попарно простые.

Они также и взаимно простые, т.к. (8, 13, 21) = 1.

Возникает естественный вопрос о частоте появления пар взаимно

простых чисел, ответ на который дает теорема Чезаро [2, 7], для

формулировки которой введем несколько дополнительных обозначений.

Пусть { , 1,2,...}nX x n – произвольная строго возрастающая

последовательность натуральных чисел (или, что эквивалентно, произвольное

подмножество натуральных чисел, упорядоченных естественным образом).

Обозначим через ( , )S X k число членов последовательности { , 1,2,...}nX x n ,

не превосходящих k .

Определение 5. Число

( , )

limk

S X k

k

называется (верхней асимптотической) плотностью последовательности X во

множестве натуральных чисел N .

Интерпретацией понятия плотности последовательности во множестве

натуральных чисел является вероятность наугад вытащить из натурального

ряда число, которое принадлежит этой последовательности.

12

Пример. Пусть { 2 , 1,2,...}nX x n n – последовательность

положительных четных чисел. Очевидно, что в этом случае

( , ) 1

lim lim2 2k k

S X k k

k k

и плотность характеризует вероятность наугад вытащить из натурального

ряда четное число.

Пример. Пусть { 2 , 1,2,...}n

nX x n – геометрическая прогрессия,

состоящая из возрастающих положительных степеней числа 2. Очевидно, что

в этом случае ( , )

lim lim 02kk k

S X k k

k

и плотность характеризует вероятность наугад вытащить из натурального

ряда произвольное число, равное положительной степени числа 2. С

возрастанием n числа 2n в натуральном ряду появляются все реже, и

вероятность наугад вытащить из натурального ряда такое число стремится к

нулю.

Аналогично рассмотренному определению плотности

последовательности во множестве натуральных чисел введем определение

плотности множества пар натуральных чисел на координатной плоскости.

Пусть имеется произвольное множество {( , ), 1,2,...}n nX x y n

упорядоченных пар ( , )n nx y натуральных чисел. Обозначим через ( , )S X k

число пар из множества X , каждая компонента которых не превосходит k .

Графически это можно изобразить как число точек ( , )n nx y из множества

{( , ), 1,2,...}n nX x y n на координатной плоскости, попавших в квадрат

{( , ),0 ,0 }n n n nx y x k y k (см. рисунок 1.1).

Определение 6. Число

2

( , )limk

S X k

k

называется (верхней асимптотической) плотностью множества X пар чисел

( , )n nx y в прямом (декартовом) произведении двух множеств натуральных

чисел 2N N N .

Интерпретацией понятия плотности множества X во множестве 2N

является вероятность наугад выбрать на декартовой плоскости такую точку,

которая принадлежит последовательности {( , ), 1,2,...}n nX x y n .

13

x

y

k

k

)1y, 1x(

)2y, 2x(

)3y, 3x(

...

)k,X(Sy, )k,X(Sx(

)iy, ix(

...

Рисунок 1.1 – Геометрическая интерпретация числа ( , )S X k

x

y

k

k

Рисунок 1.2 – Геометрическая интерпретация числа 2

( 1) / 2 1lim

2k

k k

k

Пример. Пусть X – множество пар натуральных чисел, у которых

первая компонента строго больше второй компоненты. Множеству X

соответствуют точки первой четверти координатной плоскости, лежащие под

биссектрисой y x (см. рисунок 1.2). Плотность такого множества равна:

14

2 2

( , ) ( 1) / 2 1lim lim

2k k

S X k k k

k k

.

Это выражение также согласуется с представлением о том, что пар

натуральных чисел, у которых первая компонента строго больше второй

компоненты ровно половина от общего числа всех пар натуральных чисел.

Пусть X – множество всех упорядоченных пар натуральных чисел a и

b таких, что их наибольший общий делитель ( , ) 1a b . Частоту появления

таких пар на множестве всех пар натуральных чисел устанавливает теорема

Чезаро.

Теорема (Чезаро). Вероятность выбрать из множества натуральных

чисел N пару взаимно простых чисел равна

2 2

( , ) 6limk

S X k

k

.

Пусть d N . Через ( )P S обозначим вероятность события S . Тогда:

2

1 1(( , ) ) ( ) ( ) , 1

a b pP a b d P d a P d b P p

d d d d d

.

Просуммируем по всем возможным d получим единицу (полная группа

событий):

21

1 (( , ) )d N d

pP a b d

d

,

а сумма ряда 21

1

d d

известна и равна 2

6

, т.е.

2

16

p

, откуда 2

60,6p

.

Пример. Запишем две последовательности из 10 случайных (придумаем

их сами) натуральных чисел (для упрощения задачи в диапазоне от 1 до 10):

3, 6, 1, 8, 9, 3, 2, 6, 8, 10;

1, 3, 8, 4, 10, 2, 4, 7, 4, 3.

Как видно, если брать числа парами из двух последовательностей 6 из

10 пар содержат взаимно простые числа.

Далее займемся общими делителями двух чисел.

Справедливы следующие свойства делителей.

Свойство 1 (соотношение Безу3). Если ( , )a b d , тогда найдутся такие

целые числа u и v , что

3 Этьен Безу (фр. Etienne Bezout; 31 марта 1730, Немур – 27 сентября 1783, Бас-Лож близ Фонтенбло) –

французский математик, член Французской академии наук (1758). Преподавал математику в Училище

гардемаринов (1763) и Королевском артиллерийском корпусе (1768). Основные работы относятся к алгебре

15

d au bv .

Доказательство. Рассмотрим множество

{ : , }A au bv u v Z .

Очевидно, что A Z (это идеал в Z ). Очевидно, что , , 0a b A .

Пусть ,x y A и 0y . Тогда остаток от деления x на y принадлежит

A .

Действительно:

x yq r , 0 r y ,

1 1 2 2 1 1 1 2( ) ( ) ( )r x yq au bv au bv q a u u q b v v q A .

Пусть d A – наименьшее положительное число из множества A .

Тогда a делится на d . Действительно,

1a dq r , 10 r d , a A , d A ,

следовательно, 1r A , т.е. 1 0r .

Аналогичными рассуждениями получаем, что b делится на d , т.е. d –

общий делитель a и b .

Далее, раз d A , тогда 0 0d au bv . Если теперь 1d – общий делитель a

и b , тогда 1d делитель 0 0au bv , т.е. 1d делитель d . Значит 1d d и d –

наибольший общий делитель.

Пример. (8,15) 1 8 2 15 ( 1) .

Свойство 2. Если a кратно b , то совокупность общих делителей чисел a и b совпадает с совокупностью делителей одного b ; в частности ( , )a b b .

Действительно, всякий общий делитель чисел a и b является делителем

и одного b . Обратно, раз a кратно b , то всякий делитель числа b является

также делителем числа a , т.е. является общим делителем чисел a и b . Таким

образом, совокупность общих делителей чисел a и b совпадает с

совокупностью общих делителей одного b . А так как наибольший делитель

числа b есть само b , то ( , )a b b .

Пример. (8,16) 8 , делители числа 8 совпадают с общими делителями

чисел 8 и 16.

Свойство 3. Если ,a bq c

(исследование систем алгебраических уравнений высших степеней, исключение неизвестных в таких

системах и др.). Автор неоднократно переиздававшегося шеститомного «Курса математики» (1764-1769).

16

то совокупность общих делителей чисел a и b совпадает с совокупностью

общих делителей чисел b и c ; в частности ( , ) ( , )a b b c .

Действительно, написанное равенство показывает, что всякий общий

делитель чисел a и b делит также и c (см. теорему 2) и, следовательно,

является общим делителем чисел b и с . Обратно, то же равенство показывает,

что всякий общий делитель чисел b и с делит a и, следовательно, является

общим делителем чисел a и b . Таким образом, общие делители чисел a и b

те же, что и общие делители чисел b и с ; в частности, должны совпадать и

наибольшие из этих делителей, т.е. ( , ) ( , )a b b c .

Пример. 15 9 1 6 , т.е. (15, 9) (9,6) 3 .

Алгоритм Эвклида. Для нахождения общего наибольшего делителя, а

также для вывода его важнейших свойств применяется алгоритм Эвклида. Он

состоит в нижеследующем. Пусть a и b - положительные целые и a b . В

соответствии с теоремой 3 находим цепочку равенств

1 1a bq r , 10 r b ,

1 2 2b rq r , 2 10 r r ,

1 2 3 3r r q r , 3 20 r r ,

… (1.2)

2 1n n n nr r q r , 10 n nr r ,

1 1n n nr r q ,

которая представляется единственным способом и заканчивается тогда, когда

получается некоторое 1 0nr .

Последнее неизбежно, так как ряд 2 3, , ,...b r r как ряд убывающих целых

чисел не может содержать более чем b положительных.

Рассматривая равенства (1.2), идя сверху вниз, убеждаемся в

справедливости свойств делителей. Действительно, общие делители чисел a

и b одинаковы с общими делителями чисел b и 2r , далее одинаковы с общими

делителями чисел 2r и 3r , чисел 3r и 4r , …, чисел 1nr и nr , наконец, с

делителями одного числа nr , являющегося последним неравным нулю

остатком алгоритма Эвклида. Одновременно с этим имеем:

2 2 3 1( , ) ( , ) ( , ) ... ( , )n n na b b r rr r rr .

Мы приходим к следующим результатам.

1. Совокупность общих делителей чисел a и b совпадает с

совокупностью делителей их общего наибольшего делителя.

2. Этот наибольший делитель равен последнему не равному нулю

остатку алгоритма Эвклида.

17

Пример. Применим алгоритм Эвклида к нахождению (525, 231).

Находим (вспомогательные вычисления «уголком» приведены слева):

525 231 2 63,

231 63 3 42,

63 42 1 21,

42 21 2.

Последний положительный остаток есть 4 21r . Следовательно,

(525, 231) 21 .

Рассмотрим линейное представление наибольшего общего делителя 21.

Для этого будем двигаться снизу-вверх, подставляя соответствующие

равенства: (525,231) 21 63 42 1 63 (231 63 3) 63 4 231 1

(525 231 2) 4 231 1 525 4 231 9

525 4 231 ( 9),

т.е. 4u и 9v .

Используя указанные свойства получаем следующие утверждения.

Утверждение 1. Обозначая буквою m любое положительно целое,

имеем ( , ) ( , )am bm a b m .

Действительно, умножив соотношения (1.2) почленно на m , получим

новые соотношения, где вместо 2 3, , , ,..., na b r r r будут стоять

2 3, , , , ..., nam bm r m r m r m . Поэтому ( , ) nam bm r m и, таким образом, верно

утверждение 1.

Пример. (15, 9) (5,3) 3 .

Утверждение 2. Обозначая буквою любой общий делитель чисел a

и b имеем

( , ),

a b a b

;

в частности, имеем

525

462

231

2

231

189

63

3

63

42

42

1

42

42

21

2

18

, 1( , ) ( , )

a b

a b a b

,

т.е. частные от деления двух чисел на их наибольший делитель суть числа

взаимно простые.

Применяя утверждение 1, находим

( , ) , ,a b a b

a b

.

Отсюда следует утверждение 2.

Пример.

15 9 (15,9), 1

3 3 3

,

15 9, (5,3) 1

(15,9) (15,9)

.

Утверждение 3. Если ( , ) 1a b , то ( , ) ( , )ac b c b .

Действительно, ( , )ac b делит ac и bc , значит, оно делит и ( , )ac bc

равное c . Но ( , )ac b делит и b , поэтому оно делит и ( , )c b . Обратно, ( , )c b

делит ac и b , поэтому оно делит и ( , )ac b . Таким образом, ( , )ac b и ( , )c b

взаимно делят друг друга и, следовательно, равны между собою.

Пример. (4,3) 1 (4,3 2) (4,2) 2 .

Утверждение 4. Если ( , ) 1a b и ac делится на b , то c делится на b .

Действительно, при ac делящемся на b , имеем ( , )ac b b и ( , )b c b . А

этим и называется делимость c на b .

Пример. (4,3) 1, 3 8 24 4 8 4 .

Утверждение 5. Если каждое 1 2, ,..., ma a a взаимно просто с каждым

1 2, ,..., nb b b , то и произведение 1 2, ,..., ma a a взаимно просто с произведением

1 2, ,..., nb b b .

Действительно,

1 2 2 3( , ,..., , ) ( ,..., , ) ( ,..., , ) ... ( , ) 1m k m k m k m ka a a b a a b a a b a b .

И далее, полагая ради краткости 1 2, ,..., ma a a A , точно таким же

путём выводим

1 2 2 3( ... , ) ( ... , ) ( ... , ) ... ( , ) 1n n n nb b b A b b A b b A b A .

19

Пример. В наборе 2, 3, 4, 6 каждое число взаимно просто с числами 5, 7,

11. Следовательно, произведение 2 3 4 6 144 взаимно просто с

произведением 5 7 11 385 .

Задания для самостоятельной работы

1. Справедливый ковбой зашел в бар и попросил у бармена стакан виски

за 3 доллара, пачку Marlboro за доллар и 11 центов, шесть пачек патронов для

своего кольта и дюжину коробков спичек. Услышав итоговую сумму - 28

долларов и 25 центов, ковбой пристрелил бармена. За что? ([2], п.1, с. 12).

2. Найдите d = (317811, 196418) и его представление в виде d = 317811u

+ 196418v.

1.3. Линейные диофантовы уравнения с двумя неизвестными

Обычно произвольное уравнение (но, как правило, все-таки с целыми

коэффициентами) получает титул "диофантово", если хотят подчеркнуть, что

его требуется решить в целых числах, т.е. найти все его решения, являющиеся

целыми. Имя Диофанта - выдающегося Александрийского математика -

появляется здесь не случайно. Диофант интересовался решением уравнений в

целых числах еще в третьем веке нашей эры.

Пусть требуется решить линейное диофантово уравнение:

, ax by c

где , ,a b c Z ; a и b – не нули.

Попробуем порассуждать, глядя на это уравнение.

Пусть ,a b d . Тогда 1a a d ; 1b b d и уравнение выглядит так:

1 1 ,a d x b d y c

т.е.

1 1( )d a x b y c .

Теперь ясно, что у такого уравнения имеется решение (пара целых чисел

x и y) только тогда, когда |d c . Предположим, что |d c , поделим обе части

уравнения на d и всюду далее будем считать, что , 1a b .

Рассмотрим несколько случаев.

Случай 1. Пусть 0c , уравнение имеет вид

0ax by

– «однородное линейное диофантово уравнение». Находим, что

20

. b

x ya

Так как x должен быть целым числом, то y at , где t – произвольное

целое число (параметр). Следовательно, x bt и решениями однородного

диофантова уравнения 0ax by являются все пары вида

{ },bt at ,

где

0; 1; 2;...t .

Множество всех таких пар называется общим решением линейного

однородного диофантова уравнения, любая же конкретная пара из этого

множества называется частным решением.

Случай 2. Пусть теперь 0c . Этот случай закрывается следующей

теоремой.

Теорема. Пусть , 1a b , 0 0,x y – частное решение диофантова

уравнения ax by c . Тогда его общее решение задается формулами:

0

0

,

.

x x bt

y y at

Таким образом, общее решение неоднородного уравнения есть сумма

общего решения соответствующего однородного уравнения и некоторого

(любого) частного решения неоднородного уравнения.

Доказательство. То, что правые части указанных в формулировке

теоремы равенств действительно являются решениями, проверяется их

непосредственной подстановкой в исходное уравнение. Покажем, что любое

решение уравнения ax by c имеет именно такой вид, какой указан в

формулировке теоремы. Пусть *, *x y – какое-нибудь решение уравнения

ax by c . Тогда * *ax by c , но ведь и 0 0ax by c . Следуя

многолетней традиции доказательства подобных теорем, вычтем из первого

равенства второе и получим:

0 0( * ) ( * ) 0a x x b y y

- однородное уравнение.

Далее, используя случай 1, запишем общее решение:

0* ,x x bt

0*y y at ,

21

откуда получаем:

0* ,x x bt

0* .y y at

Остается вопрос получения частного решения 0 0,x y . По условию

задачи , 1a b . Это означает, что найдутся такие ,u v Z , что 1au bv (см.

раздел 1.1), причем эти u и v легко находить с помощью алгоритма Евклида.

Умножим теперь равенство 1au bv на c и получим:

a uc b vc c ,

т.е.

,

.

Пример [2]. У вас в кармане монеты достоинством только в 7 и 12

копеек (вымышленная ситуация из фантастического произведения), а вам

надо уплатить 43 копейки. Как это сделать? Решаем уравнение:

Включаем алгоритм Евклида:

Значит, наибольший общий делитель чисел 7 и 12 равен 1, а его

линейное выражение таково:

т.е. . Частное решение:

Процедуру можно упростить, если записать общее решение

неоднородного диофантова уравнения:

0x uc

0y vc

7 12 43. x y

12 7 1 5,

7 5 1 2,

5 2 2 1,

2 1 2.

1 5 2 2 5 (7 5) 2 (12 7) (7 (12 7) 2)

12 3 7 ( 5),

5, 3u v

0

0

( 5) 43 215,

3 43 129.

x uc

y vc

22

и, легко видеть, что при , получается решение: .

Пример (алгоритм RSA). В 1978 г. Рон Ривест, Ади Шамир и Лен

Адельман разработали алгоритм шифрования Rivest-Shamir-Adleman (RSA) с

открытым ключом.

Генерация общесистемных параметров и ключей RSA

1. Выберите два простых числа и , содержите их в секрете.

2. Вычислите .

3. Вычислите .

4. Выберите такое , чтобы оно было взаимно простым по отношению к

, т.е. .

5. Определите такое , чтобы , .

Результат:

Общесистемные параметры , , , ;

Секретный ключ ;

Открытый ключ .

Шифрование сообщения М (положительное целое число, меньшее числа

):

.

Расшифрование криптограммы С (положительное целое число,

меньшее числа ):

.

На пятом шаге алгоритма генерации общесистемных параметров и

ключей RSA необходимо найти такое (секретный ключ), чтобы

выполнялось тождество , т.е. число должно делиться нацело

на :

,

для некоторого целого числа .

Это означает, что для вычисления достаточно решить линейное

диофантово уравнение от двух переменных и :

.

Реальный пример генерации ключей RSA

1. Выберем два простых числа и .

2. Вычисляем .

215 12 ,

129 7 ,

x t

y t

18t 1, 3x y

p q

n pq

( ) ( 1)( 1)n p q

e

( )n ( ( ), ) 1n e

d 1mod ( )de n ( )d n

p q n ( )n

,d n

,e n

n

eС М mod n

n

dM C mod n

d

1mod ( )de n 1de

( )n

1 ( )ne xd

x

d

x d

( ) 1n x ed

7p 11q

7 11 77n pq

23

3. Вычисляем .

4. Выбираем число , чтобы оно было взаимно простым по отношению

к , т.е. . Выберем , .

5. Необходимо определить такое , чтобы , .

Для этого решим линейное диофантово уравнение от двух переменных

и :

.

Используем алгоритм Евклида:

Следовательно, линейное представление наибольшего общего делителя

чисел -60 и 7 имеет вид:

т.е. .

Частное решение:

Общее решение:

При имеем наименьшее положительное решение , которое и

используется в качестве секретного ключа.

1.4. Простые числа и "основная" теорема арифметики

Определение. Число , называется простым, если р имеет в

точности два положительных делителя: 1 и р. Остальные натуральные числа

(кроме 1) принято называть составными. Число 1 – на особом положении, по

договору, оно ни простое, ни составное.

Отметим некоторые наблюдения, связанные с простыми числами.

Наблюдение 1. Наименьший делитель любого числа , отличный от

1, есть число простое.

( ) ( 1)( 1) (7 1)(11 1) 60n p q

e

( )n ( ( ), ) 1n e 7e (60,7) 1

d 1mod7 (60)d ( )d n

x d

60 7 1x d

60 7 ( 9) 3,

7 3 2 1,

3 1 3.

1 7 3 2

7 ( 60 7 ( 9)) 2

( 60) ( 2) 7 ( 17),

2, 17u v

0

0

2,

17.

x uc

d vc

0

0

2 7 ,

17 60 .

x x bt t

d d at t

1t 43d

, 1р N р

a N

24

Доказательство. Пусть , и с – наименьшее с этим свойством.

Если существует такое, что , то и , следовательно, или

.

Наблюдение 2. Наименьший отличный от 1 делитель составного числа

не превосходит .

Доказательство. , , с – наименьший, следовательно ,

, , значит , т.е. и .

Следующее наблюдение, отдавая дань уважения его автору – Евклиду,

назовем теоремой.

Теорема (Евклид). Простых чисел бесконечно много.

Доказательство. От противного. Пусть – все простые, какие

только есть. Рассмотрим число . Его наименьший отличный от 1

делитель с, будучи простым, не может совпадать ни с одним из , так

как иначе (см. вторую теорему делимости). Следовательно, простых чисел

бесконечно много.

Для составления таблицы простых чисел древний грек Эратосфен

придумал процедуру, которая получила название "решето Эратосфена":

2, 3, 4 , 5, 6 , 7, 8 , 9 , 10 , 11, 12 , 13, 14 , 15 , 16 , 17,...

Решето Эратосфена. Идем по натуральному ряду слева направо.

Подчеркиваем первое неподчеркнутое и невычеркнутое число, а из

дальнейшего ряда вычеркиваем кратные только что подчеркнутому. И так

много раз. Легко понять, что подчеркнутые числа – простые. Если вспомнить

наблюдение 2, то становится понятно, что когда вычеркнуты все кратные

простых, меньших р, то оставшиеся невычеркнутые, меньшие р2

– простые.

Это значит, что составление таблицы всех простых чисел меньших N

закончено сразу, как только вычеркнуты все кратные простых, меньших .

Пример. Составим таблицу всех простых чисел в диапазоне от 2 до 100.

Для этого достаточно вычеркнуть все кратные простых чисел 2, 3, 5, 7:

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,

11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20,

…

91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100.

Для чисел, растущих закономерно, например, для квадратов или

степеней двойки, было бы, конечно, нелепо разыскивать экземпляр,

превосходящий все известные. Для простых же чисел, напротив, прилагаются

громадные усилия, чтобы именно это и сделать. Например, в 1876 году

француз Люка доказал, что число (2127

– 1) – простое, и 75 лет оно оставалось

наибольшим из известных простых чисел:

|с а 1с

1с 1 |с c 1с с 1 |с а 1с с

1 1с

a N a

|с а 1с 1а са

1 |а а 1а c 21 1aа ac a c 2a c c a

1 2, ,..., nр р р

1 2... 1nа р р р

1 2, ,..., nр р р

1|с

a

25

21271 = 170141183460469231731687303715884105727.

В настоящее время составлены таблицы всех простых чисел, не

превосходящих 50 миллионов, далее известны только отдельные их

представители. Читателей всегда привлекает гигантизм, поэтому укажем здесь

два самых больших известных на сегодняшний момент простых числа [2]:

244497

1 и 286243

1. Последнее число записано пока в книгу рекордов Гиннеса, в

нем 25962 десятичных знака. Найдено оно было в рекламных целях –

демонстрация фирмой IBM возможностей очередного суперкомпьютера,

которому для проверки этого числа на простоту с помощью специальных

тестов (пригодных только для чисел вида 2n1) потребовалась неделя работы.

Теорема ("Основная теорема арифметики"). Всякое целое число,

отличное от 1, 0 и 1, единственным образом (с точностью до порядка

сомножителей) разложимо в произведение простых чисел.

Доказательство. Будем доказывать утверждение теоремы только для

натуральных чисел (для отрицательных чисел результат аналогичный).

Пусть , – его наименьший простой делитель. Значит, .

Если, далее, , то пусть – его наименьший простой делитель и ,

т.е. , и так далее, пока не станет равным единице. Это обязательно

произойдет, так как , а натуральные числа с естественным

порядком удовлетворяют условию обрыва убывающих цепей [2]. Имеем,

таким образом, , и возможность разложения доказана.

Покажем единственность. Пусть – другое разложение, т.е.

.

В последнем равенстве правая часть делится на , следовательно, левая

часть делится на . Покажем, что если произведение делится на ,

то один из сомножителей обязан делиться на .

Действительно, если , то все доказано. Пусть q1 не делит p1. Так как

q1 – простое число, то . Значит найдутся такие , что .

Умножим последнее равенство на , получим:

Оба слагаемых справа делятся на , следовательно, делится на

q1. Далее рассуждая по индукции приходим к выводу, что один из

сомножителей обязан делиться на .

Теперь пусть, например, . Значит , так как p1 – простое. Из

равенства

1а 1р 1 1а р а

1 1а 2р 1 2 2а р а

1 2 2а р р а nа

1 2...а а а

1 2... nа р р p

1 2... sa q q q

1 2 1 2... ...n sp p p q q q

1q

1q 1 2... nр р p 1q

kp 1q

1 1|q p

1 1, 1q p ,u v Z 1 1 1up vq

2... np p

2 1 2 1 1( ) ( ) .n n np p p p p u q p p v

1q 2... np p

kp 1q

1 1|q p 1 1q p

26

банальным сокращением моментально получим равенство

.

Снова рассуждая по индукции, видим, что , и каждый сомножитель

левой части равенства обязательно присутствует в правой и

наоборот.

Следствие 1. Всякое рациональное число однозначно представимо в

виде

,

где .

Пример.

.

Следствие 2. Если – целые числа,

тогда наибольший общий делитель a и b равен

,

а наименьшее общее кратное (НОК) чисел a и b равно

,

где

,

.

Пример. Пусть

, .

Тогда

,

.

Для справедливости обсуждаемой теоремы просто необходима

аддитивная структура кольца целых чисел.

1 2 1 2... ...n sp p p q q q

2 2... ...n sp p q q

n s

1 2 1 2... ...n sp p p q q q

1 21 2

kk

p p p

1 2, , , k Z

33 2 1

2

40 2 52 3 5 7

63 3 7

1 2 1 21 2 1 2,n n

n na p p p b p p p

1 21 2( , ) n

na b p p p

1 21 2НОК( , ) n

na b p p p

{ , }i i imin a b

{ , }i i imax a b

3 210296 2 3 11 13a 24550 2 5 7 13b

( , ) 2 13 26a b

3 2 2НОК( , ) 2 3 5 7 11 13 1801800a b

27

Задания для самостоятельной работы

1. Решите диофантовы уравнения:

а) 2x+7y=20;

б) 6x27y=21;

в) 11x+99y=41.

2. Для каждого целого z решите в целых числах уравнение 2x+3y=5z.

3. Решите уравнение 3sin7x+cos20x=4.

4. Сколькими различными способами можно расплатиться за

девяностосемикопеечную жевательную резинку лишь пятаками да

копейками?

5. Найдите секретный ключ в системе RSA, если , , .

6. Найдите секретный ключ в системе RSA, если , , .

7. Простое число - это число, имеющее в точности два различных

положительных делителя (единицу и себя). Найдите все натуральные числа,

имеющие в точности:

а) три различных положительных делителя;

б) четыре различных положительных делителя;

в) k штук различных положительных делителей (k > 4).

11p 13q 7e

17p 19q 5e

28

2. ЦЕПНЫЕ ДРОБИ

2.1. Разложение вещественных чисел в цепные дроби

Пусть , т.е. - любое вещественное число.

Обозначим через наибольшее целое число, не превосходящее .

Тогда имеем:

, , .

Если , тогда обозначим через , т.е. имеем:

, .

Если не является целым числом, тогда повторим операции, получим:

, , , ,

т.е.

, .

Рассуждая аналогичным образом, для всех нецелых

получим:

, , , ;

, , , ;

…

, , , ,

т.е.

. (2.1)

R

1q

1 1q r 1 1r q 10 1r

1 0r 1

1

1

r

1

1

1q

1 1

1

1 2 2q r 2 1 2r q 20 1r 2

2

1

r

1

2

2

1

1q

q

2 1

2 3 1, ,..., s

2 3 3q r 3 2 3r q 30 1r 3

3

11

r

3 4 4q r 4 3 4r q 40 1r 4

4

11

r

1s s sq r 1s s sr q 0 1sr 1

1s

sr

1

2

3

4

1

1

1

1

1

...

1

1s

s

q

q

q

q

q

29

Такое разложение числа называют цепной (непрерывной) дробью.

Если число является иррациональным, т.е. не может быть

представлено в виде отношения целых (рациональной дроби), тогда и всякое

, полученное при разложении в цепную дробь является также

иррациональным числом. В противном случае согласно (2.1) рациональным

оказалось бы и число .

Следовательно, при иррациональном числе разложение в

цепную может быть неограниченно (бесконечно) продолжено.

Пример 1. Разложим в цепную дробь иррациональное число .

, , ;

, , ;

, , ;

…,

откуда имеем:

.

Если число является рациональным, тогда оно может быть

представлено в виде отношения целых, т.е. в виде рациональной

несократимой дроби , , . Тогда процесс разложения в

цепную дробь является конечным и может быть выполнен с помощью

алгоритма Евклида:

, , ;

, , ;

, , ;

…

, , ;

, .

R

R

i

R

2

1 11r r 1 2 1r 1

1 2 1 2 12 1

2 12 1 ( 2 1)( 2 1)

1 1 2 22r r 2 2 1 2 2 1r 2

12 1

2 1

2 2 3 32r r 3 2 1r 3

12 1

2 1

12 1

12

12

12

...

R

a

b ,a b Z 0b

1 1a bq r 11 1

1

1raq q

b b

1

1

b

r

1 2 2b rq r 21 2 2

1 1 2

1rbq q

r r

1

2

2

r

r

1 2 3 3r r q r 312 3 3

2 2 3

1rrq q

r r

2

3

3

r

r

2 1n n n nr r q r 21

1 1

1n nn n n

n n n

r rq q

r r

1nn

n

r

r

1 1n n nr r q 1nn n

n

rq

r

30

Следовательно, имеем конечную цепную дробь вида:

.

Числа называются неполными частными, а дроби:

, , , …

называются подходящими дробями.

Пример 2. Разложим в цепную дробь рациональное число .

Используем алгоритм Евклида:

, , ;

, , ;

, , ;

, , ;

2 1 2 , .

Следовательно, имеем конечную цепную дробь вида:

с неполными частными , , , , и подходящими

дробями:

1

2

3

4

1

1

1

1

1

...

1

1n

n

aq

bq

q

q

qq

1 2, ,...q q

1 1q 2 1

2

1q

q 3 1

2

3

1

1q

qq

105

38

105 38 2 29 1

105 29 12 2

38 38

1

38

29

38 29 1 9 1

2

38 9 11 1

29 29

2

29

9

29 9 3 2 2

3

29 2 13 3

9 9

3

9

2

9 2 4 1 3

4

9 1 14 4

2 2

4

2

1

4

22

1

105 12

1381

13

14

2

1 2q 2 1q 3 3q 4 4q 5 2q

31

, , , , .

2.2. Вычисления подходящих дробей

Заметим, что для всех подходящая дробь получается из

заменой в выражении

числа на число :

.

При этом каждая подходящая дробь путем приведения ее к одному

общему знаменателю может быть представлена в виде рациональной дроби:

.

Если принять для удобства , , тогда каждую подходящую

дробь выразим в виде рациональной дроби следующим образом:

, т.е. , ;

;

1 2 2

12

1

3

12

11

3

4

12

11

13

4

5

12

11

13

14

2

1s s 1s

1 1

2

1

1

1

...

1

s

s

q

q

q

1sq 1

1s

s

qq

1

2

1

1

1

...

1

1

s

s

s

q

q

qq

s

1

2

1

1

1

...

1

1

ss

s

s

s

Pq

Qq

qq

0 1P 0 0Q

1 11

11

q P

Q

1 1P q 1 1Q

1

2 1 02 2 1 22

2 2 1 0 2

1

1

1 1 0

qq P Pq q q P

q q Q Q Q

32

;

…,

т.е. для всех каждая подходящая дробь выражается в виде

. (2.2)

Таким образом, числители и знаменатели подходящих дробей могут

быть вычислены по рекуррентным выражениям:

, . (2.3)

Вычисления по формулам (2.3) удобно выполнять при табличной записи

(см. таблицу 2.1): число равно произведению (стоит перед ячейкой с )

на (стоит над ячейкой с ) плюс (стоит перед ячейкой с ).

Аналогичное правило и для вычисления числа .

Таблица 2.1 – Схема вычисления подходящих дробей

0 1 2 … … … …

1 … …

0 1 … …

Пример 3. Вычислим подходящие дроби для числа из примера 2.

Вычисления числителей и знаменателей организуем в таблицу 2.2.

Таблица 2.2 – Вычисление подходящих дробей для числа

0 1 2 3 4 5 2 1 3 4 2

1 2 3 11 47 105

0 1 1 4 17 38

2 1 0

3 3 2 1 3 0 1 3 2 1 0 1 3 2 1 33

3 2 1 3 0 1 3 2 1 0 1 3 2 1 3

2 1 0

3

1

( )

( )1

q P Pq q q P q P P q q P P P q P P P

q q Q q Q Q q q Q Q Q q Q Q Qq Q Q

q

1s s

1 2 3

1 2 3 2 1 2

1 2 3 2 1 2

1 2 3

1

( )

( )1

s s s

s s s s s s s s s ss

s s s s s s s s s

s s s

s

q P Pq q q P P P q P P P

q q Q Q Q q Q Q Qq Q Q

q

1 2s s s sP q P P 1 2s s s sQ q Q Q

sP 1sP sP

sq sP 2sP 1sP

sQ

s 2s 1s s

sq 1q 2q 2sq 1sq sq

sP 1q 2P 2sP 1sP sP

sQ 2Q 2sQ 1sQ sQ

105

38

sP sQ

105

38

s

sq

sP

sQ

33

Первые две строки и три столбца таблицы 2.2 заполняются исходными

данными. Рассмотрим четвертый столбец, т.е. когда . Для вычисления

необходимо число (стоящее перед ячейкой с ) умножить на число

(стоящее над ячейкой с ) и прибавить число (стоящее перед

ячейкой с ). Получим значение , которое записываем в

ячейку таблицы 2.2. Для вычисления действуем аналогично: число

(стоящее перед ячейкой с ) умножаем на число (стоящее над ячейками

с и ) и прибавляем число (стоящее перед ячейкой с ). Получаем

значение . Повторяя выполнение рекуррентного правила

(2.3) заполняем всю таблицу.

В последнем столбце таблицы 2.2 числитель и знаменатель подходящей

дроби определяют само рациональное число .

Рассмотрим собственные значения каждой вычисленной подходящей дроби:

, , , ,

т.е. дроби с четными номерами больше числа , а с нечетными –

меньше. Кроме того, каждая следующая подходящая дробь лежит на числовой

прямой (см. рисунок 2.1) ближе к числу , чем предыдущая.

Рисунок 2.1 – Значения подходящих дробей числа на числовой прямой

Указанное свойство доказывается следующим образом. Пусть -

рациональная несократимая дробь с и . Заменим в равенстве (2.2)

число на число , получим

.

2s 2P

1 2P 2P

2 1q 2P 0 1P

1P 2 2 1 0 2 1 1 3P q P P

2Q 1 1Q

2Q 2 1q

2P 2Q 0 0Q 1Q

2 2 1 0 1 1 0 1Q q Q Q

55

5

P

Q

1052,76315...

38

11

1

22

1

P

Q 2

2

2

33

1

P

Q 3

3

3

112,75

4

P

Q 4

4

4

472,764...

17

P

Q

105

38

105

38

2 3

N1 2 2 3 3

11

4 4

47

11

105

38

105

38

a

b

0b 1s

sq1

1s

s

q

1 1

1 1

s s s

s s s

P P

Q Q

34

Тогда

,

т.е. имеем:

.

По определению (2.1) число . Кроме того, по определению

подходящих дробей всегда выполняется неравенство , откуда следует,

что разность по знаку противоположна и численно меньше разности

, т.е. число лежит между подходящими дробями и (ближе

к ).

Пример 4. Вычислим подходящие дроби для числа из примера 1.

Вычисления числителей и знаменателей организуем в таблицу 2.3.

Таблица 2.3 – Вычисление подходящих дробей для числа

0 1 2 3 4 5 6 7 8 … 1 2 2 2 2 2 2 2 …

1 1 3 7 17 41 99 239 577 …

0 1 2 5 12 29 70 169 408 …

Ограничимся вычислением первых восьми подходящих дробей:

, , , , ,

, , .

Очевидно, что . Причем и , т.е. с

увеличением точность аппроксимации числа подходящими дробями

возрастает. Уменьшается и сам диапазон .

Для наглядной демонстрации этого свойства рассмотрим разность

при . Обозначив

для получим

1 1 1 1 0s s s s s sQ Q P P

11 1

1

0s ss s s

s s

P PQ Q

Q Q

1 1s

1s sQ Q

s

s

P

Q

1

1

s

s

P

Q

a

b

s 1s

s

2

sP sQ

2

s

sq

sP

sQ

1 1 2

31,5

2 3

71, 4

5 4

171,417

12 5

411,4138

29

6

991,414286

70 7

2391,414201

169 8

5771,414216

408

7 82 4

72 10 5

82 10

s s

2 1 2s k s k

1s s 1s

1 1s s s s sh PQ Q P

1s

35

,

а при с помощью равенств (2.3) найдем .

Тогда для справедливо равенство:

.

Пример 5. Для из примера 3 имеем:

, ,

, ,

т.е. с увеличением точность аппроксимации быстро возрастает.

Задания для самостоятельной работы

1. Разложите в цепную дробь числа:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

2. Найдите все подходящие дроби для 1) и 2) и восемь подходящих

дробей для 3) и 4). Для найденных значений найдите .

2.3. Золотое сечение и формулы Бине

Формулы Бине4 связывают числа Фибоначии и числа Люка с так

называемой золотой пропорцией (сечением).

Золотым сечением5 называется деление непрерывной величины на две

части в таком отношении, при котором меньшая часть относится к большей,

как большая к меньшей (см. рисунок 2.2).

4 Жак Филлип Мари Бине (1786 - 1856) – французский математик, механик и астроном. С его именем связана

формула для чисел Фибоначчи, хотя ее столетием ранее получил Абрахам де Муавр.

5 Золотое сечение (золотая пропорция, деление в крайнем и среднем отношении, гармоническое деление) –

соотношение двух величин a и b, b > a, когда справедливо b/a = (a+b)/b. Число, равное отношению b/a,

обычно обозначается прописной греческой буквой φ в честь древнегреческого скульптора и архитектора

Фидия (воплотившего золотое сечение во многих своих работах), реже – греческой буквой .

1 1 0 1 0 1 1 1 1 1h PQ Q P q

1s 1 ( 1)s

s sh h

1s

1 1 11

1 1 1

( 1)s

s s s s s ss s

s s s s s s

P P PQ Q P

Q Q Q Q Q Q

105

38

2

2 1

( 1)1

1 1

3

3 2

( 1) 1

4 1 4

4

4 3

( 1) 1

17 4 68

5

5 4

( 1) 1

38 17 646

s

5391/ 3976

10946 / 6765

3

е

1s s

36

Рисунок 2.2 – Деление отрезка в золотой пропорции

Обозначим меньшую часть условной единицей, а большую часть

неизвестной переменной: , , т.е. будем искать золотую пропорцию,

как отношение большей части к единице. Другими словами, мы хотим

выяснить, во сколько раз нужно умножить меньшую часть, чтобы получить

большую часть пропорции. Получим соотношение:

,

откуда следует равенство .

Решая квадратное уравнение

(2.4)

получим корни

.

Положительное решение уравнения

дает соотношение золотого сечения как отношение большей части пропорции

к единице:

.

Фидий – один из лучших представителей классического стиля, считается основоположником европейского

искусства. Возглавляемая им аттическая школа скульптуры (2-й пол. 5 в. до н. э.) занимали ведущее место в

искусстве высокой классики.

,b a

a b ca c

c

a b

1b a x

1

1

x

x x

2 1x x

2 1 0x x

1 5

2x

1 51,618...

2x

1 5:1

2

37

Таким образом, большая часть пропорции должна быть примерно в 1,6

раз больше, чем меньшая часть золотого сечения. Точное соотношение

задается т.н. золотым числом , которое, как будет показано ниже,

является иррациональным.

Обозначим теперь единицей большую часть пропорции, а меньшую

часть обозначим неизвестной переменной: , . Получим

соотношение:

,

откуда имеем квадратное уравнение с положительным решением

.

Таким образом, золотое сечение как отношение меньшей части

пропорции к единице имеет вид:

.

Полученные отношения должны быть обратными друг к другу, т.е.

.

Действительно, найдем число , обратное к золотому числу :

,

это и есть полученное выше отношение меньшей части пропорции к единице.

Разложим число в цепную дробь. Получим:

, , ;

1 5

2

1a b x

1

1 1

x

x

2 1 0x x

1 50,61...

2x

1 5:1

2

1

1 5 1 5:1 :1

2 2

1

1

1 1 5 2 2(1 5) 2(1 5) 1 5

2 4 21 5 (1 5)(1 5)

1 5

2

11 r 1

1 5 1 51

2 2r

1

2 2(1 5) 1 5

21 5 ( 1 5)(1 5)

38

, , ;

…,

т.е. имеем бесконечную цепную дробь:

, (2.5)

откуда следует, что число , также как и число

являются иррациональными числами.

С использованием неполных частных в (2.5) найдем подходящие дроби

числа . Результаты вычислений c сведем в таблицу 2.4.

Таблица 2.4 – Вычисление подходящих дробей для числа

0 1 2 3 4 5 6 7 8 …

1 1 1 1 1 1 1 1 …

1 1 2 3 5 8 13 21 34 …

0 1 1 2 3 5 8 13 21 …

Очевидно, что и числители , и знаменатели всех подходящих

дробей принадлежат одной и той же числовой последовательности, т.е.:

.

Эти числа являются числами Фибоначчи.

Числа Фибоначчи6 – элементы числовой последовательности

, , …, , …

в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих:

6 Леонардо Фибоначчи или Леонардо Пизанский (1170 - 1250) формулировал последовательность таких чисел

как решение следующей задачи: сколько пар кроликов может произойти от одной пары в течении года, если

каждая пара каждый месяц порождает новую пару, которая со второго месяца становится производителем,

кролики не дохнут.

1 21 r 2

1 5

2r

2

1 5

2

1 5 11

121

11

11

...

1 5

2

1 1 5

2

ss

s

P

Q

1 5

2

s

sq

sP

sQ

sP sQ

s

1

s ss

s s

P F

Q F

0F 1F nF

39

, , , . (2.6)

Используя формулу (2.6) получим несколько чисел последовательности:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, …

Числа Фибоначчи можно рассматривать и для отрицательных индексов.

Для этого запишем формулу (2.6) для индекса :

и выразим число в виде

.

Последовательность Фибоначчи для запишем во вторую строку

таблицы 2.5. Очевидно, что .

Таблица 2.5 – Числа Фибоначчи и числа Люка для

… -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 …

… 13 -8 5 -3 2 -1 1 0 1 1 2 3 5 8 13 …

… -29 18 -11 7 -4 3 -1 2 1 3 4 7 11 18 29 …

Числа Люка7 – элементы числовой последовательности , , …, ,

…, в которой, как и для чисел Фибоначчи, каждое последующее число равно

сумме двух предыдущих, однако с другими начальными значениями:

, , , . (2.7)

Используя (2.7) выразим для отрицательных индексов:

. Полученные числа Люка записаны в третьей строке

таблицы 2.5. Очевидно, что .

Формулы Бине устанавливают аналитическую связь между золотым

числом и числами Фиббоначи или Люка .

Рассмотрим нулевую, первую и минус первую степени золотого числа:

0 1 ; ; .

7 Франсуа Эдуард Анатоль Люка (1842 - 1891) – французский математик, профессор. Первым обратил

внимание и описал свойства чисел, впоследствии названными его именем – чисел Люка

1 2n n nF F F 1n 0 0F 1 1F

2n

2 1n n nF F F

nF

2 1n n nF F F

n Z1( 1)n

n nF F

nF nL n Z

n

nF

nL

0L 1L nL

1 2n n nL L L 1n 0 2L 1 1L

nL

2 1n n nL L L

( 1)n

n nL L

nF nL

1 1 5

2

1 1 5

2

40

Число является корнем уравнения (2.4), т.е.

.

Последовательно умножая обе части полученного равенства на , ,

…, найдем третью, четвертую и т.д. степень золотого числа:

;

;

;

…

, (2.8)

т.е. -я степень золотого числа представима в виде линейной комбинации

соответствующих -ых чисел Люка и Фибоначчи.

Формула (2.8) справедлива для любого , т.к. числа Люка и

Фибоначчи для вычисляются по рассмотренным выше рекуррентным

соотношениям.

Рассмотрим сумму и разность -ой степени золотого числа:

,

.

Числа и , как и числа и , равны друг другу по абсолютной

величине. Однако, в зависимости от четности числа они могут как

совпадать, так и быть противоположны по знаку.

Предположим, что число , т.е. четно. Тогда

, ,

откуда получим:

2 1 01

2

2 1 0 1 5 3 51

2 2

3 2 1 3 5 1 5 4 2 5

2 2 2

4 3 2 4 2 5 3 5 7 3 5

2 2 2

1 2 1 1 2 25 5 5

2 2 2

n n n n n n n n nL F L F L F

n

n

n Z

0n

n

5 5

2 2

n n n n n nL F L F

5 5

2 2

n n n n n nL F L F

nL nL nF nF

n

2n k

2 2k kF F 2 2k kL L

41

,

.

Для нечетных чисел справедливы равенства

, ,

откуда получим:

,

.

Обобщая полученные выражения имеем:

(2.9)

(2.10)

Выражения (2.9) и (2.10) устанавливают аналитические соотношения

между целыми числами Люка и Фибоначчи и степенью иррационального

золотого числа, являющегося, очевидно, также иррациональным числом. Эти

выражения получили известность как формулы Бине.

Пример 1. Выразим и через иррациональные числа –

степени золотого числа. Имеем:

;

.

2 2 2 2 2 22

5 5

2 2

k k k k k kk

L F L FL

2 2 2 2 2 22

5 55

2 2

k k k k k kk

L F L FF

2 1n k

2 1 2 1k kF F 2 1 2 1k kL L

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 12 1

5 55

2 2

k k k k k kk

L F L FF

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 12 1

5 5

2 2

k k k k k kk

L F L FL

, 2 ;

, 2 1;

n n

n n n

n kL

n k

, 2 ;5

, 2 1.5

n n

n n n

n k

F

n k

10 123L 10 55F

10 10

10 10

10

1 5 1 5 123 55 5 123 55 5123

2 2 2 2L

10 10

10 10

10

1 5 1 5

2 2 123 55 5 123 55 555

5 5 2 5 2 5F

42

Таким образом, целые числа 55 и 123 выражаются линейной

комбинацией иррациональных чисел – степенями золотого числа.

2.4. Континуанты и анализ алгоритма Евклида

Алгоритм Евклида позволяет за конечное число шагов найти

наибольший общий делитель чисел , . Возникает вопрос: как

много шагов понадобится алгоритму Евклида для поиска ? Для ответа на

этот вопрос введем несколько определений.

Пусть все неполные частные, полученные при выполнении

алгоритма Евклида, т.е.

. (2.11)

Тогда определитель (детерминант)

(2.12)

называется континуантой -ого порядка.

Разложим континуанту (2.12) по последнему столбцу, получим:

, (2.13)

т.е. континуанта -ого порядка равна произведению последнего неполного

частного на континуанту -ого порядка плюс континуанта -ого

порядка.

,a b Z 0a b

( , )a b

1 2, ,..., nq q q

1

2

3

4

1

1

1

1

...

1

n

aq

bq

q

q

q

1

2

3

1 2

1

1 0 0 ... 0 0

1 1 0 ... 0 0

0 1 1 ... 0 0

... ... ... ... ... ... ... ( , ,..., )

0 0 0 0 ... 1 0

0 0 0 0 ... 1

0 0 0 0 ... 1

n

n

n

q

q

q

q q q

q

q

n

1 2 1 2 1 1 2 2( , ,..., ) ( , ,..., ) ( , ,..., )n n n nq q q q q q q q q q

n

1n 2n

43

Повторяя разложения по последнему столбцу для всех континуант в

разложении (2.13) получим следующее правило: континуанта

равна сумме всех возможных произведений неполных частных ,

одно из которых содержит все элементы , а остальные получаются

из него выбрасыванием одной или нескольких пар сомножителей с соседними

номерами. Если выброшены все сомножители, тогда считаем, что слагаемое

равно 1.

Пример 2. Используя правило вычисления континуант имеем:

.

Этот результат можем получить и последовательным разложением по

последнему столбцу:

Из формулы (2.13) следует интересное наблюдение: число слагаемых в

континуанте равно сумме числа слагаемых в континуантах

и . Кроме того, т.к. , число

слагаемых в континуантах порядка 1 и 2 равно числам Фибоначчи и , т.е.

число слагаемых в континуанте также определяется числом

Фибоначчи .

Отсюда следует еще одно наблюдение: значение континуанты

при равно числу слагаемых, т.е. . Однако

по смыслу цепной дроби (2.11) последнее неполное частное , и

наименьшее значение континуанты при ,

равно

Приведенные наблюдения позволяют доказать следующую теорему.

1 2( , ,..., )nq q q

1 2, ,..., nq q q

1 2, ,..., nq q q

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 1 2 5 1 4 5 3 4 5 1 3 5( , , , , )q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q

1 2 3 4 5 5 1 2 3 4 1 2 3

5 4 1 2 3 1 2 3 1 2 1

5 4 3 1 2 1 2 1 3 2 1 1

5 4 3 2 1 1 2 1 3 2 1 1

5 4 3 2 1 5 4 3

( , , , , ) ( , , , ) ( , , )

( ( , , ) ( , )) ( , ) ( )

( ( ( , ) ( )) ( ) 1) ( ( ) 1)

( ( ( ( ) 1) ) 1) ( 1)

q q q q q q q q q q q q q

q q q q q q q q q q q

q q q q q q q q q q q q

q q q q q q q q q q q q

q q q q q q q q q

5 4 1 5 2 1 5 3 2 1 3 1

1 2 3 4 5 1 2 3 1 2 5 1 4 5 3 4 5 1 3 5.

q q q q q q q q q q q

q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q

1 2( , ,..., )nq q q

1 2 1( , ,..., )nq q q 1 2 2( , ,..., )nq q q 1( ) 1q 1 2 1 2( , ) 1q q q q

1F 2F

1 2( , ,..., )nq q q

1nF

1 2( , ,..., )nq q q 1 2 ... 1nq q q 1nF

2nq

1 2( , ,..., )nq q q 1 2 1... 1nq q q

2nq

1 2 1 2 1 1 2 2

1 1 1 2

( , ,..., ) ( , ,..., ) ( , ,..., )

2 ( ) .

n n n n

n n n n n n n n

q q q q q q q q q q

F F F F F F F F

44

Теорема Ламе8. Пусть , причем алгоритму Евклида для

нахождения необходимо выполнить точно шагов, причем -

наименьшее с таким свойством. Тогда , .

Доказательство. Разложим число в цепную дробь (2.11).

Приводя правую часть (2.11) к общему знаменателю получим:

.

Однако и взаимно просты (как и все числители

взаимно просты знаменателям подходящих дробей). Следовательно, если

, тогда

Наименьшие значения и при определяются наименьшими

значениями континуант и , которые при

, равны, соответственно и .

Как следствие доказанной теоремы следует заметить, что если

натуральные числа и не превосходят , тогда число шагов алгоритма

Евклида не превысит

, (2.14)

где - верхнее целое числа .

Действительно, максимальное число шагов алгоритма Евклида

достигается при и , где - наибольшее целое, такое, что

. В соответствии с формулами Бине значение является

ближайшим целым к числу , т.е.

,

8 Габриель Ламе (1795 - 1870) – французский математик, механик, физик и инженер, член-корреспондент

Петербургской АН (1829); член Парижской академии наук (1843), профессор Политехнической школы (1832-

1863) и Парижского университета (1848-1863). В 1820-1832 работал в России (в Институте корпуса

инженеров путей сообщения в Петербурге).

0a b

( , )a b n a

2na F 1nb F

a

b

1 2

2 3

( , ,..., )

( , ,..., )

n

n

a q q q

b q q q

1 2( , ,..., )nq q q 2 3( , ,..., )nq q q

( , )a b d

1 2

2 3

( , ,..., ) ,

( , ,..., ) .

n

n

a q q q d

b q q q d

a b ( , ) 1a b

1 2( , ,..., )nq q q 2 3( , ,..., )nq q q

1 2 1... 1nq q q 2nq 2nF 1nF

a b N

log 5 3n N

x x

2na F 1nb F n

2nF N 2nF

2

5

n

2

5

n

N

45

откуда

,

т.е. справедливо неравенство (2.14).

Пример 3. Если числа и не превосходят , тогда число шагов

алгоритма Евклида не превысит .

Задания для самостоятельной работы

1) Запишите в виде суммы произведений неполных частных континуату

седьмого порядка.

2) Каково наибольшее число шагов, необходимых алгоритму Евклида

для обработки двух чисел, меньших миллиарда?

3) Используя разложение в цепную дробь найдите с точностью до

десятого знака после запятой рациональную аппроксимацию числа

2 log 5 4,785 lg 1,672n N N

a b 61064,785 lg10 1,672 3 31 3 28

12

2

46

3. ВАЖНЕЙШИЕ ФУНКЦИИ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ

3.1. Целая и дробная часть вещественного числа

Целая часть от вещественного числа обозначается символом

и представляет собой наибольшее целое число, не превосходящее .

Пример: ; ; .

Дробная часть от вещественного числа обозначается символом

и представляет собой разность между и целой частью от .

Пример: ; ; .

Показатель, с которым данное простое число входит в произведение

, равен

. (3.1)

Действительно, число сомножителей произведения , кратных ,

равно . Среди них число сомножителей кратных равно . Среди

этих сомножителей ровно кратно и т.д. Сумма (3.1) дает общее

число вхождений простого в произведение , т.к. каждый сомножитель,

кратный но не кратный сосчитан в (3.1) точно раз, как кратный ,

, , …, .

Пример. Показатель, с которым число 3 входит в произведение 367!,

равен:

Пример. Число 10! в каноническом виде представимо через

произведение . Действительно, показатели с которыми входят

числа 2, 3, 5, 7 в произведение 10! равны:

,

,

x R x

x

7 7 2,3 2 4,75 5

x R

x x x x x

7 0 2,3 0,3 4,75 0,25

p

!n

log

2 31

...p n

ii

n n n n

p p p p

!n p

n

p

2p2

n

p

3

n

p

3p

p !nmp 1mp m p

2p 3p mp

3 367log

1

122 40 1367 367 367

3 4 1 180.3 3 9 27 81 243

367 367 367i

i

8 4 22 3 5 7

5 2 110 10 10

82 4 8

3 1 43 9

10 10

47

,

,

т.е.

.

3.2. Количество и сумма делителей положительного целого числа.

Совершенные числа

В соответствии с основной теоремой арифметики каждое целое число,

отличное от -1, 0 и 1, единственным образом (с точностью до порядка

сомножителей) разложимо в произведение простых чисел, т.е. каждое такое

положительное число представимо в каноническом виде (разложении):

,

где – различные простые числа, а - кратности

появления соответствующих простых чисел в каноническом

разложении числа .

Если имеется также число , отличное от чисел -1, 0 и 1, с

каноническим разложением

,

тогда наибольший общий делитель чисел и равен

,

где .

Возникает естественный вопрос, а сколько всего существует различных

делителей числа , чему равна сумма этих делителей?

Все делители числа имеют вид

,

где .

Рассмотрим таблицу

102

5

101

7

8 4 210! 2 3 5 7

1 2

1 2 ... n

na p p p

1 2, ,..., np p p 1 2, ,..., n

1 2, ,..., np p p

a

b

1 2

1 2 ... n

nb p p p

a b

1 2

1 2( , ) ... n

na b p p p

min( , )i i i

1 2

1 2 ... n

na p p p

1 2

1 2 ... n

na p p p

1 2

1 2 ... n

nd p p p

0,1,...,i i

48

каждая строка которой составлена из всех степеней соответствующего

фактора (сомножителя) в каноническом разложении числа .

Очевидно, что все делители числа

получим, выбирая по одному члену из каждой строки таблицы и перемножая

их между собою, при этом каждый делитель получим по одному разу. Таким

образом, количество различных делителей числа равно количеству

получаемых таким образом различных сомножителей. В первой строке

таблицы чисел и можно взять любое из них, во второй строке

чисел и можно взять любое из них, и т.д., т.е. всего различных комбинаций и

различных произведений равно

.

Следовательно, количество делителей числа задается

числовой функцией от этого числа, которую обозначим ,

.

Например, , делителями числа 12

являются 6 чисел: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Определим далее сумму делителей числа . Для этого

просуммируем числа в каждой строке таблицы и полученные суммы

перемножим:

.

Очевидно, что раскрыв скобки получим сумму всех возможных чисел

, ,

т.е. сумму всех делителей числа .

1

2

2

1 1 1

2

2 2 2

2

1, , ,... ,

1, , ,... ,

...

1, , ,... ,n

n n n

p p p

p p p

p p p

1 2

1 2 ... n

na p p p

1 2

1 2 ... n

nd p p p 1 2

1 2 ... n

na p p p

a

1 1 2 1

1 2( 1)( 1)...( 1)n

1 2

1 2 ... n

na p p p

( )a

1 2( ) ( 1)( 1)...( 1)na

2(12) (2 3) (2 1)(1 1) 6

1 2

1 2 ... n

na p p p

1 22 2 2

1 1 1 2 2 2(1 ... )(1 ... )...(1 ... )n

n n np p p p p p p p p

1 2

1 2 ... n

nd p p p 0,1,...,i i

1 2

1 2 ... n

na p p p

49

Сумма элементов -ой строки таблицы является

суммой первых членов геометрической прогрессии9:

.

Следовательно, сумма делителей числа задается

числовой функцией от этого числа, которую обозначим ,

.

Например, , сумма делителей

числа 12 равна: 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28.

Натуральное число называют совершенным, если

,

т.е. сумма собственных делителей совершенного числа (без делителя )

равна самому числу .

Если , тогда число называют недостаточным.

Если , тогда число называют избыточным.

Например, число 6 является совершенным, т.к.

,

число 8 является недостаточным, т.к.

,

9 Геометрической прогрессией называют последовательность чисел (членов прогрессии), в

которой каждое последующее число, начиная с , получается из предыдущего умножением его на

определенное число (знаменатель прогрессии), т.е. . Очевидно, что .

Сумма первых членов равна: .

i21 ... i

i i ip p p

1i

12 1 ( 1)

1 ...1

i

i ii i i

i

pp p p

p

1 2

1 2 ... n

na p p p

( )a

1

1

1( )

1

in

i

i i

pa

p

2 1 1 12 2 1 3 1

(12) (2 3) 7 4 282 1 3 1

a

( ) 2a a

d a

a( ) 2a a a

( ) 2a a a

1 1 1 12 1 3 1(6) (2 3) 3 4 12 2 6

2 1 3 1

3 13 2 1

(8) (2 ) 15 2 82 1

1 20, ,..., ,...nb b b

2b

0q 11: i ii b b q

1

1

n

nb b q

n1 1

1

1 1

(1 )

1

nn ni

i

i i

b qb b q

q

50

число 12 является избыточным, т.к.

.

3.3. Мультипликативные функции и их свойства

Функция называется мультипликативной, если она удовлетворяет

следующим двум условиям.

1. Эта функция определена для всех целых положительных и не равна

нулю по меньшей мере при одном таком .

2. Для любых положительных взаимно простых и имеем:

.

Пример. Функция , где любое вещественное или

комплексное число является мультипликативной функцией, т.к.:

1) , ;

2) .

Свойства мультипликативных функций

Свойство 1. Для любой мультипликативной функции справедливо

равенство: . Действительно, пусть . Тогда:

.

Свойство 2. Для любой мультипликативной функции и попарно

простых чисел справедливо равенство:

В частности, выполняется равенство:

(3.2)

Свойство 3. Если определить и назначить произвольно

значения для , отвечающие положительным степеням простых чисел,

2 1 1 12 2 1 3 1

(12) (2 3) 7 4 28 2 122 1 3 1

( )a

a

a

1a 2a

1 2 1 2( ) ( ) ( )a a a a

( ) sa a s

: ( ) sa Z a a (1) 1 0

1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )s s sa a a a a a a a

(1) 1 ( ) 0a

( ) ( 1) ( ) (1) (1) 1a a a

1 2 3, , ,..., ka a a a

1 2 3 1 2 3

1 2 3 1 2 3

( ... ) ( ) ( ... )

( ) ( ) ( ... ) ... ( ) ( ) ( )... ( ).

k k

k k

a a a a a a a a

a a a a a a a a

1 2 1 2

1 2 1 2( ... ) ( ) ( )... ( )k k

k kp p p p p p

(1) 1

( )p

51

тогда для любого будет определена некоторая

мультипликативная функция, заданная в общем случае выражением (3.2).

Пример. Пусть , а для всех простых и определим

. Тогда для произвольного выполняется равенство:

.

В частности, для определенной таким образом мультипликативной

функции справедливы равенства: , , , ,

, .

Свойство 4. Произведение нескольких мультипликативных функций

является мультипликативной функцией. Действительно, для произведения

имеем:

1) , , …, , т.е. ;

2) Для любых имеем:

3)

Свойство 5. Пусть каноническое представление числа

и мультипликативная функция. Обозначим символом сумму по

всем делителям числа . Тогда справедливо равенство:

(Если , тогда правая часть считается раной 1.)

Для доказательства тождества раскроем скобки в правой части.

Получим сумму всех слагаемых вида

,

где , , …, .

А эта сумма и стоит в левой части тождества.

Свойство 6. Для любой мультипликативной функции функция

1 2

1 2 ... k

ka p p p

(1) 1 p 0

( ) 2p 1 2

1 2 ... k

ka p p p

1 2 1 2

1 2 1 2( ) ( ... ) ( ) ( )... ( ) 2k k k

k ka p p p p p p

(1) 1 (2) 2 (3) 2 (4) 2

(5) 2 (6) 4

1 2( ) ( )... ( )ka a a

1(1) 1 2 (1) 1 (1) 1k 1 2(1) (1)... (1) 1 (1)k

1 2( , ) 1a a

1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2 1 2

1 1 2 1 1 1 2 2 2 2 1 2

( , ) ( , )... ( , ) ( ) ( ) ( ) ( )... ( ) ( )

( ) ( )... ( ) ( ) ( )... ( ) ( ) ( ).

k k k

k k

a a a a a a a a a a a a

a a a a a a a a

1 2

1 2 ... k

ka p p p a

( )ad a

d a

1 22 2

1 1 1 2 2 2

2

1 0

( ) 1 ( ) ( ) ... ( ) 1 ( ) ( ) ... ( ) ...

1 ( ) ( ) ... ( ) ( ).i

k

d a

kj

k k k i

i j

d p p p p p p

p p p p

1a

3 31 2 1 2

1 2 3 1 2 3( ) ( ) ( )... ( ) ( ... )k k

k kp p p p p p p p

1 10 2 20 0 k k

( )a

52

(3.3)

также мультипликативная.

Действительно:

1) .

2) Пусть и , , т.е. для

все и различны. Тогда:

3)

.

3.4. Мультипликативная формула для количества и суммы

делителей положительного целого числа

Мультипликативная формула для количества делителей заданного

числа. Пусть мультипликативная функция имеет вид , т.е. –

тождественная единица. Тогда, для функция (3.3) примет вид:

т.е. - число делителей заданного числа .

Пример. .

Для и мультипликативная функция имеет вид:

.

Числовая функция является мультипликативной, следовательно,

для всех взаимно простых и выполняется условие:

.

Например, и , следовательно:

( ) ( )d a

a d

1

(1) (1) 1d

1 2( , ) 1a a 31 2

1 1 2 3 ... n

na p p p p 31 2

2 1 2 3 ... k

ka q q q q

, 0i j ipjq

1 2

1 2 1 2

1 0 1 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )in k

j j

i i

d a a i j i j

a a d p q a a

( ) 1a ( )a

1 2

1 2 ... k

ka p p p

2

1

1 2

1 1

( ) ( ) 1 ( ) ( ) ... ( )

1 1 1 ... 1 1 (1 )(1 )...(1 ) 1,

i

i

k

i i i

d a i

k k

i k

d ai iраз

a d p p p

( )a 31 2

1 2 3, , ,..., k

ka p p p p

4 2(720) (2 3 5) (1 4)(1 2)(1 1) 30

a p 0 ( )a

( ) 1p

( )a

1a 2a

1 2 1 2( ) ( ) ( )a a a a

(72) (8 9) (8,9) 1

53

.

Мультипликативная формула для суммы делителей заданного

числа. Пусть мультипликативная функция имеет вид , т.е. –

тождество. Тогда, для функция (3.3) примет вид:

Пример. .

Для и мультипликативная функция имеет вид:

.

Числовая функция является мультипликативной, следовательно,

для всех взаимно простых и выполняется условие:

.

Например, и , следовательно:

.

Используя свойство мультипликативности числовой функции ,

рассмотрим необходимые и достаточные условия существования четных

совершенных чисел.

3.5. Необходимые и достаточные условия существования четных

совершенных чисел

Достаточное условие существования четных совершенных чисел

сформулировано Евклидом в виде следующей теоремы.

Теорема Евклида о четных совершенных числах. Если имеет вид

3 2(72) (8 9) (8) (9) (2 ) (3 ) (3 1) (2 1) 4 3 12

( )a a ( )a

1 2

1 2 ... k

ka p p p

2

1

12

1 1

( ) ( ) 1 ( ) ( ) ... ( )

11 ... ( ).

1

i

i

i

k

i i i

d a i

k k

ii i i

i i i

a d p p p

pp p p a

p

5 3 24 2 2 1 3 1 5 1

(720) (2 3 5) 24182 1 3 1 5 1

a p 0 ( )a

1 1( )

1

pp

p

( )a

1a 2a

1 2 1 2( ) ( ) ( )a a a a

(72) (8 9) (8,9) 14 3

3 2 2 1 3 1(72) (8 9) (8) (9) (2 ) (3 ) 15 13 195

2 1 3 1

( )a

a

12 (2 1) 2a p

54

и при этом - простое число, тогда число совершенно.

Доказательство. Если имеет такой вид, тогда

Среди показателей степени числа 2, таких, что -

простое число, есть, например, следующие числа (https://oeis.org/A000043):

1 = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281,

3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243,

110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221,

3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457,

32582657, …

Соответствующие простые и совершенные числа будут равны:

3,

7,

31,

127,

8 191,

131 071,

524 287,

2 147 483 647.

6,

28,

496,

8128,

33 550 336,

8 589 869 056,

137 438 691 328,

2 305 843 008 139 952 128.

Необходимое условие для существования четных совершенных чисел

сформулировано Эйлером только через 2000 лет в виде следующей теоремы.

12 1p a

a

1 21 1

1 1 1 1

2 1 1 ( 1)( 1)( ) (2 1) (2 1) ( 1)

2 1 1 1

2 2 1 2 2 2 2 2 .

p p pa p

p p

p p p p p p p a

1 12 1p

12 1p

12 (2 1) 2a p

55

Теорема Эйлера о четных совершенных числах. Четные числа ,

имеющие вид (из теоремы Евклида)

,

являются единственными четными совершенными числами.

Доказательство. Пусть задано произвольное четное число, которое

запишем в виде

,

однозначно разложенное на степень числа 2 с показателем и нечетное

число . Тогда, в соответствии со свойством мультипликативности, сумма

делителей числа равна

.

Если число совершенно, тогда , т.е. справедливо

равенство

,

или, что эквивалентно,

.

Справа в последнем равенстве стоит несократимая дробь. Поэтому левая

дробь получается из правой умножением числителя и знаменателя на

некоторое натуральное число , т.е. одновременно выполняются равенства:

,

.

Так как , тогда в сумму делителей входят в

качестве слагаемых два различных делителя: и . Но их сумма

уже дает значение , равное сумме делителей . Следовательно,

число не имеет никаких других натуральных делителей, кроме и

. Но это возможно только для простых чисел , которые по

a

12 (2 1) 2a p

2a u

1

u

a

112 1

( ) (2 ) ( ) ( ) (2 1) ( )2 1

a u u u

a 1( ) 2 2a a u

1 12 (2 1) ( )u u

1

1

2 1

( ) 2

u

u

t

1(2 1)u t 1( ) 2u t

1(2 1)u t ( )d u

u d

d t 1(2 1)t t 12 t 1( ) 2u t

u t1(2 1)t u p

56

определению делятся только на два различных натуральных числа, а именно,

на 1 и на . Следовательно, - есть простое число, и одновременно

1t , ,

а число имеет только евклидовский вид

.

3.6. Простые числа Мерсенна и Ферма

Рассмотренные выше необходимые и достаточные условия

существования четных совершенных чисел (теоремы Евклида и Эйлера) дают

неявную характеристику совокупности всех таких чисел. Однако для

построения всего набора четных совершенных чисел необходимо ответить на

вопрос: для каких натуральных показателей число будет

простым?

Положим . Тогда ограничение на степень двойки для простоты

числа постулируется следующей теоремой.

Теорема (условие простоты числа ). Число может быть

простым только тогда, когда число - простое.

Доказательство.

Если число составное, тогда имеется нетривиальное разложение

, где . Следовательно, число может быть разложено на

сомножители:

,

причем эти сомножители также не тривиальны, т.к. , что

противоречит простоте числа .

Результат теоремы не гарантирует обратного, т.е. того, что при простом

числе число будет простым. Утверждается только то, что каждое

простое число возможно только при простом числе .

Таким образом, евклидовская форма четных совершенных чисел

приводится к виду:

,

где и - простые числа.

p u p

12 1 p

a

12 (2 1) 2a p

1 12 1

1 q

2 1q

2 1q 2 1q

q

q

1 2q 11 q 2 1q

1 1 1 2( 1)2 1 (2 1)(1 2 ... 2 )q

11 2 1 2 1q

2 1q

q 2 1q

2 1q q

12qa p

q 2 1qp

57

Остается вопрос: для каких простых число будет простым?

Простые числа вида называются простыми числами

Мерсенна10

. Для первых четырех простых чисел 2, 3, 5, 7 получаются первые

четыре простых числа Мерсенна 3, 7, 31, 127, которые приводят к

рассмотренным выше первым четырем совершенным числам 6, 28, 496, 8128.

Однако не верно то, что каждое простое число приводит к простому числу

. Например, для имеем - составное.

Для опять имеем простое число Мерсенна , и тем

самым пятое совершенное число .

Всего на январь 2016 года известно 49 простых чисел Мерсенна. При

этом порядковые номера достоверно установлены только у первых 44 чисел.

На декабрь 2018 года известно уже 51 простое число Мерсенна. При

этом порядковые номера достоверно установлены только у первых 47 чисел. В

частности, неизвестно, существуют ли другие простые числа Мерсенна,

меньшие известного рекордного.

Самым большим известным на январь 2016 года простым числом

является число Мерсенна , найденное Кертисом Купером

(англ. Curtis Cooper) в рамках проекта распределённых вычислений GIMPS11

.

Десятичная запись числа содержит 22 338 618 цифр.

Самым большим известным простым числом (на январь 2019 года)

является число Мерсенна , найденное 7 декабря 2018 года

Патриком Лярошем в рамках проекта добровольных вычислений GIMPS.

Десятичная запись числа содержит 24 862 048 цифр.

Простые числа Мерсенна применяются для построения генераторов

псевдослучайных чисел с большими периодами (один из важнейших

криптопримитивов в современной криптографии).

Двойные числа Мерсенна определяются как . На январь

2019 года известны только 4 простых числа такого вида (при 2,3,5,7).

Неизвестно, конечно или бесконечно множество простых чисел

Мерсенна и плотность их распределения во множестве натуральных чисел

также неизвестна. Неизвестно, существуют ли простые двойные числа

Мерсенна при . Эти вопросы являются открытыми в современной

теории чисел. Кроме того, в то время как вопрос о четных совершенных

числах принципиально решен теоремами Евклида и Эйлера и остается лишь

10

Марен Мерсенн (устаревшая транслитерация Марин Мерсенн; фр. Мерсенн; 8 сентября 1588 - 1 сентября

1648) - французский математик, физик, философ и богослов, теоретик музыки. На протяжении первой

половины XVII века был по существу координатором научной жизни Европы, ведя активную переписку

практически со всеми видными учёными того времени. Эта переписка имеет огромную научную и

историческую ценность. Имеет личные научные заслуги в области математики, акустики и теории музыки. 11

GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) – широкомасштабный проект добровольных вычислений по

поиску простых чисел Мерсенна.

q 2 1qp

2 1qp

q

2 1qp 11q 112 1 2047 23 89p

13q 132 1 8191p

2 33550336a p

74207281

74207281 2 1p

74207281p

82589933

82589933 2 1p

82589933p

2 12 1q

qpp

q

7q

58

вопрос о простых числах Мерсенна, до сих пор не известно ни одного

нечетного совершенного числа, хотя и не доказано, что их не существует.

Неизвестно также конечное ли число нечетных совершенных чисел, если они

существуют. На сегодняшний день доказано, что нечётное совершенное

число, если оно существует, превышает 101500

. При этом число простых

делителей такого числа с учётом кратности не меньше 101. Поиском нечётных

совершенных чисел занимается проект распределённых вычислений

OddPerfect.org.

Простые числа Ферма

Простые числа Ферма вводятся очень похожим на числа Мерсенна

способом.

Рассмотрим число . Условие его простоты задается следующей

теоремой.

Теорема (условие простоты числа ). Число может быть

простым только тогда, когда , т.е. показатель степени есть степень числа

два.

Доказательство.

Если - разложение числа с нечетным множителем , тогда

будет разложением числа на два натуральных множителя и притом

нетривиальным, т.к. , что противоречит простоте числа

Результат теоремы сводит вопрос о существовании простых чисел

к следующему: для каких целочисленных показателей число

будет простым?

Простые числа вида называются простыми числами Ферма12

.

Для чисел 0, 1, 2, 3, 4 получаются первые четыре простых числа Ферма

3, 5, 17, 257, 65537. Однако для число делится на 641.

Относительно простых чисел Ферма неизвестно конечно или

бесконечно их множество, равно как и плотность распределения простых

чисел Ферма во множестве натуральных чисел также неизвестна. На январь

2019 года известно лишь пять приведенных таких числа, существование

других простых чисел Ферма является открытой проблемой.

12

Пьер де Ферма (фр. Pierre de Fermat, 17 августа 1601 — 12 января 1665) - французский математик, один из

создателей аналитической геометрии, математического анализа, теории вероятностей и теории чисел. По

профессии юрист, с 1631 года - советник парламента в Тулузе. Блестящий полиглот. Наиболее известен

формулировкой Великой теоремы Ферма. Ферма (как и Лейбниц) ошибочно полагал, что для всех

число является простым.

2 1ap

2 1a 2 1a

2qa

a um a 1u

2 ( 1)2 1 (2 1)(1 2 2 ... 2 )a m m m u m

2 1a

1 2 1 2 1m a 2 1a

2 1a

0q 22 1q

p

22 1q

p

5q 52 322 1 2 1p

0q

22 1q

p

59

Перечислим еще раз вопросы, до сих пор остающиеся нерешенными:

- существуют ли нечетные совершенные числа?

- существует ли бесконечно много простых чисел Мерсенна и

соответствующих четных совершенных чисел ?

- существует ли бесконечно много простых чисел Ферма ?

Для теории чисел характерно, что в ней существует ряд проблем,

которые формулируются простейшими способами (и могут быть понятны

школьнику), однако их решение чрезвычайно сложно для очень

подготовленных математиков-профессионалов. В частности, из вопроса о

существовании простых чисел Ферма возникла малая теорема Ферма (будет

рассмотрена в последующих разделах). А знаменитая великая теорема Ферма

(для любого натурального числа уравнение не имеет

решений в целых ненулевых числах ) привела к возникновению

арифметической теории алгебраических чисел и прочих разделов

современной теории чисел.

Задания для самостоятельной работы

Найдите число делителей и сумму делителей чисел:

а) 5600;

б) 116424;

в) 510510.

3.7. Функция Мебиуса и ее свойства

Функция Мебиуса числа - это мультипликативная функция,

определенная равенствами: , , если . На остальных

натуральных числах функция дополняется до мультипликативности.

Из этого определения следует:

1. Если в каноническом разложении числа по меньшей

мере один из показателей превосходит 1 (если делится на

квадрат, отличный от 1), тогда ;

2. Если каноническое разложение числа имеет вид

(если свободно от квадратов), тогда ;

3. .

Пример: таблица 3.1.

2 1qp 12qa p

22 1q

p

2n n n na b c , ,a b c

( )a a

( ) 1p ( ) 0p 1

( )a

1 2

1 2 ... k

ka p p p

1 2, ,..., k a

( ) 0a

a 1 2, ,..., ka p p p

a ( ) ( 1)ka 0(1) ( 1) 1

60

Таблица 3.1. – Значения функции Мебиуса для нескольких первых чисел

из натурального ряда

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 -1 -1 0 -1 1 -1 0 0 1 -1 0 -1 1 1 0

Пусть – произвольная мультипликативная функция и

- каноническое разложение числа . Тогда:

(если правую часть считаем равной 1).

Если мультипликативная функция - тождественная единица,

тогда:

Если мультипликативная функция имеет вид , тогда:

3.8. Функция Эйлера и ее свойства

Функция Эйлера определена для всех положительных целых чисел

и представляет собой количество чисел из натурального ряда меньших и

взаимно простых с . При этом полагают .

Пример: таблица 3.2.

( )a

a( )a

( )a1 2

1 2 ... k

ka p p p a

2 2

1

1 2

1

( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )

1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) ... 1 ( )

i i

k

i i i i i i

d a i

k

i k

i

d d p p p p p p

p p p p

1a

( ) 1a

2

1

0, 1,( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ... ( )

1, 1.i

k

i i i

d a d a i

ad d d p p p

a

1( )a

a

212

1

1( ) ( ) ( )

11 , 1,1 1 1

1 ( ) ( ) ... ( )

1, 1.

i

i

d a d a

k

k

ii i i i

i i i i

d d dd

ap p p p

p p pa

( )a

a a

a (1) 1

61

Таблица 3.2. – Значения функции Эйлера для нескольких первых чисел

из натурального ряда

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 1 2 2 4 2 6 4 6 4 10 4 12 6 8 8

Пусть - каноническое разложение числа . Тогда:

,

,

в частности, , .

Действительно, пусть пробегает числа . Положим

- наибольший общий делитель. Тогда есть число значений

, равных 1.

Рассмотрим функцию

Тогда:

.

Суммирование производится по всем делителям числа .

Но это означает, что делит и число , и число . Следовательно, в

суммировании участвуют только такие , которые кратны . Среди чисел

таких значений ровно , т.е.:

.

Если рассмотреть число в каноническом виде и внести

его внутрь скобок, получим:

( )a

a( )a

1 2

1 2, ,..., k

ka p p p a

1 2

1 1 1( ) 1 1 ... 1

k

a ap p p

1 1 2 2 11 1

1 1 2 2( ) ( )( )...( )k k

k ka p p p p p p

1( ) ( )p p p ( ) 1p p

x 0,1,2,..., 1a

( ) ( , )x a x a ( )a

( )x a

0, 1,( ) ( )

1, 1.x

x

x

d x

d

0 0

( ) ( ) ( )x

x

x a x a d

a d

d ( ) ( , )x a x a

d x a

x d0,1,2,..., 1a /a d

0 1 2

1 1 1( ) ( ) ( ) 1 1 ... 1

x xx a d d k

aa d d a

d p p p

a 1 2

1 2 ... k

ka p p p

62

С формулой

связано так называемое правило включений и исключений, которое

раскрывает «физический смысл» функции Эйлера.

Правило включений и исключений. Пусть задано множество А и

выделено k его подмножеств. Количество элементов множества А, которые не

входят ни в одно из выделенный подмножеств, подсчитывается так: следует

из общего числа элементов А вычесть количества элементов всех k

подмножеств, прибавить количества элементов всех их попарных

пересечений, вычесть количества элементов всех тройных пересечений,

прибавить количества элементов всех пересечений по четыре и т.д. вплоть до

пересечения всех k подмножеств.

Иллюстрация правила включений и исключений для чисел вида

приведена на рисунке 3.1.

Рисунок 3.1 – Иллюстрация правила включений и исключений для

На рисунке 3.1 прямоугольник изображает множество всех целых чисел

от 0 до a; овал N1 - множество чисел, кратных p1; кружок N2 - числа, кратные

p2; пересечение N1,2 - множество чисел, делящихся одновременно на p1 и p2 ,

1 2

1 2

1 2

1 1 2 2

1 2

1 2

1 21 2

1 2

11 1

1 1 2 2

1 1 1( ) ... 1 1 ... 1

...

( )( )...( ).

k

k

k

k k

k

k

kk

k

k k

a p p pp p p

p p pp p p

p p p

p p p p p p

1 2

1 1 1( ) 1 1 ... 1

k

a ap p p

1 2

1 2a p p

N1 N2N1,2

1 2

1 2a p p

63

т.е. на p1p2; числа вне овала и кружочка взаимно просты с a. Для подсчета

числа чисел, взаимно простых с a, нужно из a вычесть количество чисел в N1 и

количество чисел в N 2 (их, соответственно, a / p 1 и a / p 2 штук), при этом

общая часть N 1,2 (там a /( p 1 p 2 ) штук чисел) вычтется дважды, значит ее надо

один раз прибавить (это и есть правило "включение - исключение"). В

результате получим:

.

Свойства функции Эйлера

При число всегда четное. Действительно, если k взаимно

просто с a и k < a , то число a - k тоже меньше a, взаимно просто с a и не равно

k . (Если бы a и a - k имели общий делитель, то их разность a - ( a - k ) = k тоже

делилась бы на этот делитель, что противоречит взаимной простоте a и k.)

Значит числа, взаимно простые с a разбиваются на пары k и a - k ,

следовательно, их четное число.

Функция Эйлера мультипликативна. Действительно,

,

где , и – мультипликативные функции.

Выполняется соотношение:

Примеры.

,

,

,

1 2 1 2 1 2

1 1( ) 1 1

a a aa a a

p p p p p p

2a ( )a

1 2

( )( ) ( )

d a d a

a da d a

d d

1 a 2

( )

xd

d

d

1 2,

1 2

2

1

12

1 2

1 1

( ) 1 ( ) ( ) ... ( )

1 ( 1) ( ) ... ( ) ... .

i

i i i k

k

i i i

d a i

k k

i i i i i i k

i i

d p p p

p p p p p p p p p a

(5) 5 1 4

(30) (2 3 5) (2 1)(3 1)(5 1) 8

2 1 1 1(60) (2 3 5) 60 1 1 1 16

2 3 5

30

( ) (1) (2) (3) (5) (6) (10) (15) (30)

1 1 2 4 2 4 8 8 30.

d

d

64

3.9. -функция Римана и некоторые ее свойства

Как функция вещественной переменной, дзета-функция была введена в

1737 году Эйлером, который и указал её разложение в произведение. Затем

эта функция рассматривалась Дирихле и, особенно успешно, Чебышёвым при

изучении закона распределения простых чисел. Однако наиболее глубокие

свойства дзета-функции были обнаружены позднее, после работы Римана

(1859), где дзета-функция рассматривалась как функция комплексной

переменной.

Дзета-функция Римана – функция комплексной переменной

, при определяемая с помощью ряда Дирихле13

:

,

где .

В области этот ряд сходится, является аналитической функцией

и допускает аналитическое продолжение на всю комплексную плоскость без

единицы.

Качественный график дзета-функции приведен на рисунке 3.2. Для

вещественных s > 1 качественный график дзета-функции приведен на рисунке

3.3.

В исходной области также верно представление в виде бесконечного

произведения (тождество Эйлера)

,

где произведение берётся по всем простым числам .

13 Рядом Дирихле называется ряд вида , где s и an – комплексные числа, n = 1, 2, 3, … .

Абсциссой сходимости ряда Дирихле называется такое число , что при он сходится;

абсциссой абсолютной сходимости называется такое число , что при ряд сходится

абсолютно (сходится ряд из модулей ).

Для любого ряда Дирихле справедливо соотношение (если и конечны).

( )s

Re( ) Im( )s s s Re( ) 1s

1 1 1( ) ...

1 2 3s s ss

s C

Re( ) 1s

1( )

1 sp

sp

1

n

sn

a

n

c Re( ) cs

a Re( ) as

1

n

sn

a

n

0 1a c c a

65

Рисунок 3.2 – Качественный график дзета-функции Римана на действительной

оси. Слева от нуля значения функции увеличены в 100 раз для наглядности

Рисунок 3.3 – Качественный график дзета-функции для вещественных s > 1

Идея доказательства использует лишь простую алгебру, доступную

прилежному школьнику. Изначально именно этим способом Эйлер вывел свое

тождество.

Доказательство использует свойство (аналогии) решета Эратосфена.

Рассмотрим функцию

66

и умножим ее слева и справа на , получим:

.

Теперь вычтем из , получим:

,

т.е. в результате мы удалим все элементы с делителем 2.

Повторим процедуру: умножим на , получим

,

вычтем из , получим:

,

где удалены все элементы с делителями 2 и/или 3.

Как можно увидеть, правая сторона просеивается через решето.

Бесконечно повторяя, получаем:

.

Поделим обе стороны на всё, кроме , получим выражение:

,

1 1 1( ) ...

1 2 3s s ss

1

2s

1 1 1 1( ) ...

2 2 4 6s s s ss

1( )

2ss ( )s

1 1 1 11 ( ) 1 ...

2 3 5 7s s s ss

1

3s

1 1 1 1 11 ( ) ...

3 2 3 9 15s s s s ss

1 11 ( )

3 2s ss

11 ( )

2ss

1 1 1 1 11 1 ( ) 1 ...

3 2 5 7 11s s s s ss

1 1 1 1 1... 1 1 1 1 1 ( ) 1

11 7 5 3 2s s s s ss

( )s

1( ) 1

1 1 1 1 11 1 1 1 1 ...

2 3 5 7 11s s s s s

s

67

которое запишем короче, как бесконечное произведение по всем простым p:

.

Чтобы сделать доказательство строгим, необходимо потребовать только

лишь, чтобы, когда , просеиваемая правая часть приближалась к 1,

что немедленно следует из сходимости ряда Дирихле для . Это равенство

представляет собой одно из основных свойств дзета-функции.

Существуют явные формулы для значений дзета-функции в чётных

целых точках:

,

где – число Бернулли.

В частности,

, , , .

Про значения дзета-функции в нечётных целых точках известно мало:

предполагается, что они являются иррациональными и даже

трансцендентными, но пока доказана только лишь иррациональность числа

ζ(3). Также доказано, что среди значений ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) есть хотя бы

одно иррациональное.

При справедливы следующие тождества:

,

где – функция Мебиуса;

,

где – функция Луивилля;

,

1( )

1 sp

sp

Re( ) 1s

( )s

21

2

(2 )2 (2 ) ( 1)

(2 )!

mm

mm Bm

2mB

2

(2)6

4

(4)90

6

(6)945

8

(8)9450

Re( ) 1s

1

1 ( )

( ) sn

n

s n

( )n

1

(2 ) ( )

( ) sn

s n

s n

( )n

2

1

( )( )

sn

ns

n

68

где – число делителей числа ;

;

,

где – число простых делителей числа ;

;

.

Дзета-функция имеет в точке простой полюс с вычетом,

равным 1.

При , функция удовлетворяет уравнению:

, (3.4)

где – гамма-функция Эйлера (расширяет понятие факториала на поле

нецелых действительных и комплексных чисел):

, ,

.

Уравнение (3.4) называется функциональным уравнением Римана14

.

Для функции

,

14

Георг Фридрих Бернхард Риман (нем. Georg Friedrich Bernhard Riemann; 17 сентября 1826 года, Брезеленц,

Ганновер – июля 1866 года, Селаска, Италия, близ Лаго-Маджоре) – немецкий математик, механик и физик.

За свою короткую жизнь (всего 10 лет трудов) он преобразовал сразу несколько разделов математики.

( )n n

1

( )( )

(2 ) sn

ns

s n

2 ( )

1

( ) 2

(2 )

n

sn

s

s n

( )n n

3 2

1

( ) ( )

(2 ) sn

s n

s n

4 2

1

( ) ( ( ))

(2 ) sn

s n

s n

( )s 1s

0s 1s ( )s

1( ) 2 sin (1 ) (1 )2

s s ss s s

( )z

1

11

1( )

1

z

n

nz

zz

n

\{0, 1, 2,...}z C

( ) ( 1) ( 1)z z z

/21( ) ( 1) ( )

2 2

s ss s s s

69

введённой Риманом для исследования и называемой кси-функцией

Римана, это уравнение принимает вид:

.

Как следует из функционального уравнения Римана, в полуплоскости

, функция имеет лишь простые нули в отрицательных чётных

точках: . Эти нули называются «тривиальными»

нулями дзета-функции. Далее, при вещественных .

Следовательно, все «нетривиальные» нули дзета-функции являются

комплексными числами. Кроме того, они обладают свойством симметрии

относительно вещественной оси и относительно вертикали и лежат

в полосе , которая называется критической полосой. Согласно

гипотезе Римана, они все находятся на критической прямой .

Гипотеза Римана о распределении нулей дзета-функции

сформулирована в 1859 году. В то время, как не найдено какой-либо

закономерности, описывающей распределение простых чисел среди

натуральных, Риман обнаружил, что количество простых чисел, не

превосходящих , – функция распределения простых чисел, обозначаемая

, – выражается через распределение «нетривиальных нулей» дзета-

функции. Многие утверждения о распределении простых чисел, в том числе о

вычислительной сложности некоторых целочисленных алгоритмов, доказаны

в предположении верности гипотезы Римана. Гипотеза Римана входит в

список семи «проблем тысячелетия», за решение каждой из которых

Математический институт Клэя (Clay Mathematics Institute, Кембридж,

Массачусетс) выплатит награду в один миллион долларов США.

Задания для самостоятельной работы

Составьте таблицу значений функции Мёбиуса μ(n) и функции Эйлера

φ(n) для всех значений n от 1 до 100.

( )s

( ) (1 )s s

Re( ) 0s ( )s

0 ( 2) ( 4) ( 6) ...

( ) 0s (0,1)s

1Re( )

2s

0 Re( ) 1s

1Re( )

2s

x( )x

70

4. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И СВОЙСТВА СРАВНЕНИЙ

4.1. Основные понятия теории сравнений

Теория сравнений изучает свойства целых чисел в связи с остатками от

деления их на заданное положительное целое число , которое называют

модулем.

Каждому целому числу отвечает определенный остаток от деления его

на модуль . Если двум целым и отвечает один и тот же остаток , тогда

числа и называют равноостаточными или сравнимыми по модулю .

Сравнимость чисел и по модулю записывается в виде выражения:

, (4.1)

что эквивалентно:

возможности представить число в виде , где - целое;

делимости на .

Действительно, из сравнимости (4.1) следует:

, , ,

Откуда

, , .

Обратно, из равенства , представляя в виде

, ,

Получим

, ,

т.е. имеем сравнение (4.1).

Бинарное отношение сравнимости является отношением

эквивалентности на множестве целых чисел. Это отношение разбивает все

множество целых чисел на классы (подмножества) сравнимых между собой по

модулю чисел. На рисунке 4.1 наглядно продемонстрирован процесс

разбиения множества целых чисел на восемь классов эквивалентности

(классов вычетов). Это разбиение основано на применении отношения

сравнимости целых чисел по модулю .

m

m a b ra b m

a b m

moda b m

a a b mt t

a b m

1a mq r 2b mq r 0 r m

1 2( )a b m q q a b mt 1 2t q q

a b mt b

2b mq r 0 r m

1a mq r 1 2q q t

m

8m

71

Рисунок 4.1 – Классы эквивалентности целых чисел по модулю

4.2. Основные свойства сравнений, подобные свойствам равенств

Свойство 1. Два числа, сравнимые с третьим, сравнимы между собою.

Это следует из самого определения классов эквивалентности, заданных

отношением сравнимости целых чисел по модулю (рисунок 4.1).

Пример. .

Свойство 2. Сравнения по одинаковому модулю можно почленно

складывать.

Действительно, пусть

, , …, . (4.2)

Тогда

, , …, , (4.3)

откуда

,

что эквивалентно

.

Очевидно, что слагаемое, стоящее в какой-либо части сравнения, можно

переносить в другую часть, изменив знак на обратный:

.

8m

m

3 11 19mod8 3 19mod8

1 1 moda b m 2 2 moda b m modk ka b m

1 1 1a b mt 2 2 2a b mt k k ka b mt

1 2 1 2 1 2... ... ( ... )k k ka a a b b b m t t t

1 2 1 2... ... modk ka a a b b b m

mod

mod

1mod

a b m

b b m

a b m

72

Кроме того, к каждой части сравнения можно прибавить любое число,

кратное модулю:

.

Пример.

, , .

Свойство 3. Сравнения по одинаковому модулю можно почленно

перемножать.

Действительно, рассмотрим сравнения (4.2) и вытекающие из них

равенства (4.3). Перемножая почленно равенства (4.3) получим:

,

где - целое, что эквивалентно

.

Если при этом и , тогда имеем:

,

т.е. обе части сравнения можно возвести в одну и ту же степень.

Пример.

.

Пример.

При любом натуральном число делится на 7.

Действительно,

, , .

Возведем первое сравнение в степень , второе – в степень ,

третье – в степень и сложим. Получим:

,

т.е. число делится на 7.

mod

0mod

mod

a b m

mk m

a mk b m

5 3mod8

7 15mod8

2 18mod8

3 19mod8

4 12mod8

1 7mod8

11 13mod8

2 8 0mod8

5 13mod8

1 2 1 2... ...k ka a a b b b mN

N

1 2 1 2... ... modk ka a a b b b m

1 2 ... ka a a a 1 2 ... kb b b b

modk ka b m

1 7mod8

2 10mod8

2 70mod8

n 2 137 16 23n n n

37mod7 2 16mod7 2 23mod7 2

2n 1n

n2 1 2 1 237 16 23 (2 2 2 )mod7 2 (2 2 1)mod7 2 7mod7n n n n n n n n

2 137 16 23n n n

73

Кроме того, каждую часть сравнения можно умножить на одно и то же

целое число:

.

Свойства 2 и 3 обобщаются следующей теоремой.

Пример.

.

Теорема 1 (сложение и умножение сравнений).

Если в выражении многочлена с целыми коэффициентами

значения и заменим сравнимыми по модулю числами

и , соответственно, тогда новое выражение будет

сравнимо с прежним по модулю :

.

В частности, если

, , …, , ,

тогда получим:

.

Свойство 4. Обе части сравнения и модуль можно умножить на одно и

то же целое число.

Действительно, из следует

,

и, следовательно, .

Пример.

mod

mod

mod

a b m

k k m

ak bk m

3 11mod8

2 2mod8

6 22mod8

1 2

1 2, ,..., 1 2 ,..., k

k kS A x x x

1 2, ,..., kA 1 2 ,..., kx x x m

1 2, ,..., kB 1 2 ,..., ky y y

m

1 2 1 2

1 2 1 2, ,..., 1 2 , ,..., 1 2,..., ,..., modk k

k kk kB y y y A x x x m

1 1 moda b m 2 2 moda b m modk ka b m 1 modx x m

1 1

1 1 1 1 1 1 1... ... modn n n n

n n n nx a x a x a x b x b x b m

moda b m

a b mt ak bk mkt

modak bk mk

74

.

Свойство 5. Обе чести сравнения и модуль можно разделить на любой

их общий делитель.

Действительно, пусть

, , , .

Имеем:

, ,

и, следовательно,

Пример.

.

Свойство 6. Если сравнение имеет место по нескольким модулям,

то оно имеет место и по модулю, равному наименьшему общему кратному

этих модулей.

В самом деле, из

, , …,

следует, что разность делится на все модули . Поэтому она

должна делится и на наименьшее общее кратное этих модулей, т.е.

.

Пример.

.

Свойство 7. Если сравнение имеет место по модулю , то оно имеет

место и по модулю , равному любому делителю числа .

Действительно, из равенства следует, что разность

должна делится на . Поэтому она должна делится и на любой делитель

числа , т.е. .

Пример.

Свойство 8. Если одна часть сравнения и модуль делятся на какое либо

число, то и другая часть сравнения должна делится на то же число.

3 11mod8 6 22mod16

moda b m 1a a d 1b b d 1m m d

a b mt 1 1 1a d b d m dt 1 1 1a b m t

1 1 1moda b m

4 12mod8 2 6mod4 1 3mod2

a b

1moda b m 2moda b m mod ka b m

a b 1 2, ,..., km m m

m

moda b m

4 19mod54 19mod15

4 19mod3

m

d m

moda b m a b

m d

m moda b d

4 12mod 4,4 12mod8

4 12mod 2.

75

Действительно, из равенства следует . Если числа

и кратны , тогда и должно быть кратным .

Пример.

.

Свойство 9. Если , тогда .

Это равенство непосредственно следует из (см. алгоритм

Евклида).

Пример.

.

4.3. Полная система вычетов

Отношение сравнимости по произвольному модулю m есть отношение

эквивалентности на множестве целых чисел. Это отношение эквивалентности

индуцирует разбиение множества целых чисел на классы эквивалентных

между собой элементов, т.е. в один класс объединяются числа, дающие при

делении на m одинаковые остатки. Таким образом, всем числам класса

отвечает один и тот же остаток , и мы получим все числа класса, если в

форме заставим пробегать все целые числа. Следовательно,

число классов эквивалентности ("индекс эквивалентности") в точности равно

m.

Определение. Любое число из класса эквивалентности будем называть

вычетом по модулю m. Вычет, получаемый при , равный самому

остатку , называется наименьшим неотрицательным вычетом. Вычет ,

самый малый по абсолютной величине, называется абсолютно наименьшим

вычетом.

Если число m – нечетно, тогда в качестве абсолютно наименьших

вычетов следует брать числа

.

Если число m – четно, тогда в качестве абсолютно наименьших вычетов

следует брать числа

,

.

moda b m a b mt

a m d b d

33 108mod15, 33 3 11,15 3 5 108 3 36

moda b m ( , ) ( , )a m b m

a b mt

33 108mod15 (33,15) 3 (108,15)

r aa mq r q

0q

r

1 1,..., 1,0,1,...,

2 2

m m

1,..., 1,0,1,...,2 2

m m

,..., 1,0,1,..., 12 2

m m

76

Определение. Совокупность вычетов, взятых по одному из каждого

класса эквивалентности, называется полной системой вычетов по модулю m

(в полной системе вычетов, таким образом, всего m различных чисел).

Пример. Пусть m = 5. Тогда:

0, 1, 2, 3, 4 - наименьшие неотрицательные вычеты;

-2, -1, 0, 1, 2 - абсолютно наименьшие вычеты.

Для m = 6 имеем:

0, 1, 2, 3, 4, 5 - наименьшие неотрицательные вычеты;

-2, -1, 0, 1, 2, 3 или -3, -2, -1, 0, 1, 2 - абсолютно наименьшие вычеты.

Все приведенные совокупности чисел образуют полные системы

вычетов по модулю 5 или 6, соответственно.

Лемма 1.

1) Любые m попарно не сравнимых по модулю m чисел образуют

полную систему вычетов по модулю m.

2) Если а и m взаимно просты, а x пробегает полную систему вычетов по

модулю m, тогда значения линейной формы аx + b, где b - любое целое число,

также пробегают полную систему вычетов по модулю m.

Доказательство. Утверждение 1) – очевидно. Докажем утверждение 2).

Чисел аx + b ровно m штук. Покажем, что они между собой не сравнимы

по модулю m.

Предположим, что для некоторых различных x1 и x2 из полной системы

вычетов справедливо сравнение

ax1 + b ax2 + b (mod m).

Тогда, в соответствии с рассмотренными выше свойствам сравнений,

получаем:

ax1 ax2 (mod m),

x1 x2 (mod m)

– противоречие с тем, что x1 и x2 различны и взяты из полной системы

вычетов.

Пример. Пусть а = 2, m = 5, (2, 5) = 1, а x пробегает полную систему

вычетов по модулю m, например, все наименьшие неотрицательные вычеты.

Тогда значения линейной формы аx + b, где b - любое целое число, также

пробегают полную систему вычетов по модулю m. В таблице 4.1 приведены

все значения линейной формы для различных b, пробегающих все

наименьшие неотрицательные вычеты по модулю m = 5.

77

Таблица 4.1 – Все значения линейной формы 2x + b по модулю m = 5

X 2x 2x + b

b = 0 b = 1 b = 2 b = 3 b = 4

0 0 0 1 2 3 4

1 2 2 3 4 0 1

2 4 4 0 1 2 3

3 1 1 2 3 4 0

4 3 3 4 0 1 2

4.4. Приведенная система вычетов

Поскольку все числа из данного класса эквивалентности получаются из

одного числа данного класса прибавлением числа, кратного m, тогда все числа

из данного класса имеют с модулем m один и тот же наибольший общий

делитель. По некоторым соображениям, повышенный интерес представляют

те вычеты, которые имеют с модулем m наибольший общий делитель, равный

единице, т.е. вычеты, которые взаимно просты с модулем

Определение. Приведенной системой вычетов по модулю m

называется совокупность всех вычетов из полной системы, взаимно простых с

модулем m.

Приведенную систему вычетов обычно выбирают из наименьших

неотрицательных вычетов 0, 1, …, m - 1. Так как среди этих чисел число

взаимно простых с т есть (т), тогда число чисел приведенной системы,

равно как и число классов, содержащих числа, взаимно простые с модулем,

равно (т).

Пример. Пусть m = 42. Полная система вычетов содержит 42 числа,

например, это могут быть числа 0, 1, …, 41 (наименьшие неотрицательные

вычеты) или, например, числа -21, …, -1, 0, 1, …, 20 (абсолютно наименьшие

вычеты).

Приведенная система вычетов состоит из

чисел, выбранных, например, из наименьших неотрицательных вычетов:

1, 5, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 37, 41,

или, из абсолютно наименьших вычетов:

-19, -17, -13, -11, -5, -1, 1, 5, 11, 13, 17, 19.

Лемма 2.

(42) (2 3 7) (2 1)(3 1)(7 1) 12

78

1) Любые (т) чисел, попарно не сравнимые по модулю m и взаимно

простые с модулем, образуют приведенную систему вычетов по модулю m.

2) Если (a, m) = 1 и x пробегает приведенную систему вычетов по

модулю m, тогда аx так же пробегает приведенную систему вычетов по

модулю m.

Доказательство.

Утверждение 1) – очевидно. Докажем утверждение 2).

Числа аx попарно несравнимы (это доказывается так же, как в лемме 1),

их ровно (т). Все они также взаимно просты с модулем, ибо

(a,m)=1, (x,m)=1 (ax,m)=1.

Значит, числа аx образуют приведенную систему вычетов.

Лемма 3.

Пусть m1, m2, ..., mk – попарно взаимно просты и

m1 m2 ...mk =M1 m1 =M2 m2 =...=Mk mk ,

где

Mj =m1 ...mj-1 mj+1 ...mk.

1) Если x1, x2, ..., xk пробегают полные системы вычетов по модулям m1,

m2, ..., mk соответственно, тогда значения линейной формы

M1 x1 +M2 x2 + ...+Mk xk

пробегают полную систему вычетов по модулю m=m1 m2 ...mk .

2) Если 1, 2, ..., k пробегают приведенные системы вычетов по

модулям m1, m2, ..., mk соответственно, то значения линейной формы

M1 1 +M2 2 + ...+Mk k

пробегают приведенную систему вычетов по модулю m=m 1 m 2 ...m k .

Доказательство. 1) Форма M1 x1 +M2 x2 + ...+Mk xk принимает, очевидно, m1 m2 ...mk = m

значений. Покажем, что эти значения попарно несравнимы.

Предположим, что выполняется сравнение

M1 x1 +M2 x2 + ...+Mk xk M1 x1

+M2 x2

+ ...+Mk xk

(mod m),

т.е. различные x1, x2, ..., xk и x1, x2

, ..., xk

дают сравнимые по модулю m

числа.

79

Всякое Mj, отличное от Ms, кратно ms (в произведении Mj =m1 ...mj-1 mj+1

...mk всегда присутствует ms для всех s ≠ j). Убирая слева и справа в последнем

сравнении слагаемые, кратные ms, получим:

Ms xs Ms xs

(mod ms ) xs xs

(mod ms )

– противоречие с тем, что xs пробегает полную систему вычетов по модулю ms.

2) Форма

M1 1 +M2 2 + ...+Mk k

принимает, очевидно,

(m1) (m2) ... (mk) = (m1 m2 ... mk)= (m)

различных значений (функция Эйлера является мультипликативной), которые

между собой по модулю m=m1 m2 ... mk попарно несравнимы. Последнее

доказывается рассуждениями, аналогичными рассуждениям, проведенным

при доказательстве утверждения 1) этой леммы.

Так как

(M1 1 +M2 2 + ...+Mk k ,ms )=(Ms s ,ms )=1

для каждого 1 s k , то

(M1 1 +M2 2 + ...+Mk k,ms)=1,

следовательно множество значений формы M1 1 +M2 2 + ...+Mk k образует

приведенную систему вычетов по модулю m.

Лемма 4. Пусть

x1, x2, ..., xk, x

пробегают полные, а

1, 2, ..., k,

– пробегают приведенные системы вычетов по модулям m1, m2, ..., mk и m=m1

m2 ...mk соответственно, где (mi, mj)=1 при i j . Тогда дроби

{x1 /m1 +x2 /m 2 +...+x k /m k }

совпадают с дробями {x/m} , а дроби

{1 /m1 + 2 /m2 +...+ k /mk }

80

совпадают с дробями {/m}.

Доказательство. Доказательство обоих утверждений леммы 4 легко

получается применением предыдущей леммы 3 после того, как привести

каждую сумму

{x1 /m1 +x2 /m 2 +...+x k /m k }

и

{1 /m1 + 2 /m2 +...+ k /mk }

к общему знаменателю:

{x 1 /m 1 +x 2 /m 2 +...+x k /m k }={(M 1 x 1 +M 2 x 2 +...+M k x k )/m} ;

{ 1 /m 1 + 2 /m 2 +...+ k /m k }={(M 1 1 +M 2 2 +...+M k k )/m} ,

где M j =m 1 ...m j-1 m j+1 ...m k .

Если теперь принять во внимание, что дробные части чисел,

получающихся при делении на модуль m любых двух чисел, сравнимых по

модулю m, одинаковы (они равны r/m , где r – наименьший неотрицательный

вычет из данного класса), то утверждения настоящей леммы становятся

очевидными.

Задания для самостоятельной работы

1. Докажите, что 3105

+ 4105

делится на 181.

2. Докажите, что число 52n−1

·2n+1

+ 3n+1

·22n−1

при любом натуральном n

делится на 19.

3. Найдите остаток от деления числа (96746 + 28)

15 на 39.

4. При делении натурального числа n на 3 и на 37 получаются,

соответственно, остатки 1 и 33. Найдите остаток от деления n на 111.

Решения:

1. Докажите, что 3105

+ 4105

делится на 181.

35 62 mod 181

45 119 mod 181

Следовательно,

3105

62 mod 181

4105

119 mod 181

и

3105

+ 4105

62+119 mod 181 = 0 – делится на 181.

2. Докажите, что число 52n−1

·2n+1

+ 3n+1

·22n−1

при любом натуральном n

делится на 19.

3·2=6 52 mod19

81

52n−1

·2n+1

+ 3n+1

·22n−1

= 2n+1

(52n−1

+ 3n+1

·2n−2

) = 2n+1

(52n−1

+ 33 ·3

n-2 ·2

n−2) =

= 2n+1

(52n−1

+ 33 ·5

2n−4) =2

n+1·5

2n−4(5

3 + 3

3) = 2

n+1·5

2n−4·152 = 2

n+1·5

2n−4·8·19

3. Найдите остаток от деления числа (96746 + 28)

15 на 39.

96746 + 28 = 14 mod 39

142 = 1 mod 39

1414

= 1 mod 39

(96746 + 28)

15 = 14 mod 39

4. При делении натурального числа n на 3 и на 37 получаются,

соответственно, остатки 1 и 33. Найдите остаток от деления n на 111.

Используя китайскую теорему об остатках находим n = 70.

82

5. СИСТЕМЫ ВЫЧЕТОВ И ИХ СВОЙСТВА

5.1. Комплексные корни m-ой степени из единицы и их связь с

приведенной системой вычетов

Рассмотрим комплексные корни m-ой степени из единицы и изучим их

связь с системами вычетов и мультипликативной функцией Мебиуса (m).

Корнями m-й степени из единицы называют комплексные корни

уравнения , , т.е. такие комплексные числа, m-я степень

которых равна 1. Представим комплексную единицу в тригонометрическом

виде:

.

Тогда по формуле Муавра15

, получим:

, ,

где – комплексные корни m-ой степени из единицы.

Используя формулу Эйлера

корни из единицы могут быть представлены в показательной форме:

, .

Значения корней для приведены в таблице 5.1.

Таблица 5.1 – Комплексные корни m-ой степени из единицы

m ,

1

2 ,

3 , ,

4 , , ,

15

Абрахам де Муавр (фр. и англ. Abraham de Moivre; 26 мая 1667, Витри-ле-Франсуа — 27 ноября 1754,

Лондон) – английский математик французского происхождения. Член Лондонского королевского общества

(1697), Парижской (1754) и Берлинской (1735) академий наук. Формула Муавра для комплексных чисел

утверждает, что для любого .

1 0mx 1m

1 cos0 sin0i

2 2cos sink

k ki

m m

0,1,..., 1k m

k

cos sinixe x i x

2 ki

mk e

0,1,..., 1k m

k 1,2,...,6m

k 0,1,..., 1k m

0 1

0 1 1 1

0 1 1

1 3

2

i

2

1 3

2

i

0 1 1 i 2 1 3 i

(cos sin )z r i (cos sin ) (cos sin )m m m mz r i r m i m m Z

83

5

, , ,

,

6 , , , , ,

Таким образом, корней из единицы всегда ровно m и все они различны,

т.е. индексы у комплексных корней из единицы образуют полную систему

вычетов по модулю m.

Корнями m-ой степени из единицы являются комплексные числа

. При этом модуль каждого корня равен 1:

.

На комплексной плоскости корни из единицы образуют вершины

правильного многоугольника, вписанного в единичную окружность. Одной из

вершин всегда является комплексная единица.

В качестве примера на рисунке 5.1 корни пятой степени из единицы

представлены в вершинах правильного пятиугольника, вписанного в

единичную окружность на комплексной плоскости.

Рисунок 5.1 – Комплексные корни 5-ой степени из единицы

(вершины пятиугольника)

Корень m -ой степени из единицы называется первообразным, если

его индекс k взаимно прост с m, т.е. .

В этом случае, последовательные степени

0 1 1

5 1 5 5

4 8i

2

5 1 5 5

4 8i

3

5 1 5 5

4 8i

4

5 1 5 5

4 8i

0 1 1

1 3

2

i

2

1 3

2

i

3 1

4

1 3

2

i

5

1 3

2

i

Re( ) Im( )k k k

2 2Re ( ) Im ( ) 1k k k

k

( , ) 1k m

84

k1, k

2, ...,k

m-1

корня k образуют всю совокупность корней m-ой степени из единицы или,

другими словами, k является порождающим элементом циклической

группы всех корней m-ой степени из единицы.

Это означает, что первообразный корень в виде соответствующих

степеней позволяет выразить все остальные корни.

Пример. Для случая m = 5 (рисунок 5.1) все корни (кроме ) являются

первообразными.

Пример. Для случая m = 6 (таблица 5.1) только корни

и

являются первообразными. Выразим все остальные корни через степени,

например, корня 16

:

,

,

,

.

Очевидно, что число различных первообразных корней m -ой степени из

единицы равно (m), т.е. индексы у первообразных корней образуют

приведенную систему вычетов по модулю m.

16

Правило сложения комплексных чисел: ;

правило умножения комплексных чисел: .

0

1

1 3

2

i

5

1 3

2

i

1

1 3

2

i

0

0 1 1

2

1 1 1 2

1 3 1 3 1 3 3 3 1 3

2 2 2 2 4 4 4 4 2 2i i i i

3 2

1 1 1 2 1 3

1 3 1 3 1 3 3 31

2 2 2 2 4 4 4 4i i i

4 2 2

1 1 1 2 2

4

1 3 1 3 1 3 3 3

2 2 2 2 4 4 4 4

1 3,

2 2

i i i

i

5 3 2

1 1 1 3 2 5

1 3 1 31

2 2 2 2i i

1 1 2 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )x iy x iy x x i y y

1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1( )( ) ( ) ( )x iy x iy x x y y i x y x y

85

Если – корень из единицы, то сопряжённое к нему

число – также корень из единицы. На комплексной

плоскости сопряженные (комплексно-сопряженные) числа получаются

зеркальным отражением друг друга относительно вещественной оси. Модуль

сопряжённого числа такой же, как у исходного, а их аргументы отличаются

знаком. Другими словами, комплексно-сопряженные корни зеркально

расположены относительно вещественной оси.

Сумма 0 + 1 +...+ m-1 всех корней m-ой степени из единицы равна нулю

для любого целого m > 1. Действительно, пусть

0 + 1 +...+ m-1 = a .

Умножим эту сумму на ненулевое число 1. Такое умножение

геометрически в комплексной плоскости означает поворот правильного m -

угольника, в вершинах которого расположены корни 0, 1,..., m-1, на

ненулевой угол 2/m. При этом корень 0 перейдет в корень 1, корень 1

перейдет в корень 2 , и т.д., а корень m-1 перейдет в корень 0 , т.е. сумма 0 +

1 +...+ m-1 не изменится.

Имеем 1 a =a, откуда a = 0.

Теорема 1. Пусть m > 0 - целое число, a Z, x пробегает полную

систему вычетов по модулю m. Тогда, если а кратно m, то

,

в противном случае, при а не кратном m ,

.

Доказательство.

При а кратном m имеем: a=md и

.

При а не делящемся на m, разделим числитель и знаменатель дроби a/m

на d – наибольший общий делитель а и m, получим несократимую дробь a1/m1.

Тогда, по лемме 1, a1 x будет пробегать полную систему вычетов по модулю

m.

Имеем:

Re( ) Im( )k k k

Re( ) Im( )k k k

2ax

im

x

e m

2

0ax

im

x

e

2

cos2 sin2 1ax

im

x x x

e dx i dx m

86

ибо сумма всех корней степени m1 из единицы равна нулю.

Теорема 2.

Пусть m > 0 – целое число, пробегает приведенную систему вычетов

по модулю m. Тогда (сумма первообразных корней степени m):

,

где – функция Мебиуса.

Доказательство.

Пусть

– каноническое разложение числа m;

, , …, ;

i пробегает приведенную систему вычетов по модулю mi .

Имеем:

Рассмотрим произвольную сумму (для некоторого s) в произведении в

левой части последнего равенства. При s = 1 только корень 0 = 1 не является

первообразным, поэтому сумма всех первообразных корней есть сумма всех

корней минус единица:

.

Таким образом, если m свободно от квадратов (т.е. не делится на

квадрат простого числа), тогда

1

1

22

1 1

2 2cos sin 0

a xax iimm

x x x

k ke e d i

m m

2

( )ime m

( )m

1 2

1 2 ... k

km p p p

1

1 1m p 2

2 2m p k

k km p

1 21 2

1 21 2

1 2 1 2

1 1 2 2

1 2

2 ...22 2

, ,...,

...2 2

, ,...,

...

.

kk

kk

k k

k k

k

iii im m mmm m

M M Mi i

m m

e e e e

e e

2 2

1 0 1 1s s

s s

s s

xi im m

x

e e

87

.

Если же какой-нибудь показатель s больше единицы (т.е. m делится на

квадрат простого числа), тогда сумма всех первообразных корней степени ms

есть сумма всех корней степени ms минус сумма всех не первообразных

корней, т.е. всех корней некоторой степени, меньшей ms . Именно, если

ms =p s m s * ,

тогда:

и, очевидно,

Пример.

Сумма всех корней 6-й степени из единицы (см. таблицу 5.1) равна

нулю:

, , , , , ,

.

Если x пробегает полную систему вычетов по модулю m при а не

кратном m=6 соответствующие величины примут значения всех шести

корней и их сумма также будет равна 0. Если а будет кратно m=6, например, а

= 12, тогда величины шесть раз будут равны корню , сумма

которых равна 6.

Наконец, сумма первообразных корней степени 6 равна

.

Действительно, сумма первообразных корней определяется значением

функции Мебиуса:

1 2

1 2

1 2

22 22

... ( 1)( 1)...( 1) ( 1) ( )k

k

k

ii iimm m km

k

e e e e m

*

*1 22 2

0

0 0 0s s

s

s s s

s s

jx m ii im m m

x j

e e e

1 2

1 2

1 2

22 22

... (0)(0)...(0) 0k

k

k

ii iimm mm

k

e e e e

0 1 1

1 3

2

i

2

1 3

2

i

3 1

4

1 3

2

i

5

1 3

2

i

0 1 2 3 4 5 0

26

axi

e

26

axi

e

0 1

1 5

1 3 1 31

2 2

i i

88

.

5.2. Многочлены деления круга

Известны формулы сокращенного умножения

Раскрыв скобки, легко проверить и общую формулу

, (5.1)

которая изучается в школе как формула геометрической прогрессии:

,

где - первый (начальный) член прогрессии, а каждый последующий член

получается из предыдущего умножением его на определенное число

(знаменатель прогрессии), т.е. и при имеем равенство

(5.1).

Рассмотрим последовательно каждое разложение для

обозначая получаемые при этом неприводимые (неразложимые на

сомножители) многочлены.

Получим следующие разложения:

– для :

,

откуда

;

– для :

,

откуда

22(6) (2 3) ( 1) 1

ime

2

3 2

4 2 2 2

5 4 3 2

-1 ( -1)( 1),

-1 ( 1)( 1),

-1 ( -1)( 1) ( 1)( 1)( 1),

-1 ( 1)( 1).

x x x

x x x x

x x x x x x

x x x x x x

1 21 ( 1)( 1)n n nx x x x x

1 11

1

( 1)

1

nni

i

b xb x

x

1b

1i ib b q

0x 1

1

n

nb b q 1 1b

1nx 2,3,...n

( )iФ x

2n 2

1 2( )( ) (1 1 1 1, ( ) 1)x x x Ф x x Ф x x

2

1 2( ) (1 )x Ф x Ф x

3n 3 2 2

3( )( ) ( )1 1 1 1x x x x Ф x x x

89

;

– для :

,

откуда

;

– для :

откуда

;

– для :

,

откуда

;

– для :

откуда

;

– для :

,

откуда

;

– для :

,

откуда

и т.д.

3

1 3( ) (1 )x Ф x Ф x

4n 4 2 2

4( )(1 1 1)( ( )1) 1x x x x Ф x x

4

1 2 4( ) ( ) ( )1x Ф x Ф x Ф x

5n 5 4 3 2 4 3 2

51 1 1( )( ) ( 1,)x x x x x x Ф x x x x x

5

1 5( ) (1 )x Ф x Ф x

6n 6 3 3 2 2 2

6( )( ) ( )( )( )( ) (1 1 1 1 )1 1 1 1x x x x x x x x x Ф x x x

6

1 2 3 6( ) (1 ) ( ) ( )x Ф x Ф x Ф x Ф x

7n 7 6 5 4 3 2 6 5 4 3 2

71 1 1( )( ) ( ) 1,x x x x x x x x Ф x x x x x x x

7

1 7( ) (1 )x Ф x Ф x

8n

8 4 4 2 4 4

8( )( ) ( )( )( )( ) (1 1 1 1 1 1 1 1)x x x x x x x Ф x x

8

1 2 4 8( ) (1 ) ( ) ( )x Ф x Ф x Ф x Ф x

9n

9 3 6 3 2 6 3 6 3

9( )( )1 1 1 1( )( )( ) ( )1 1 1x x x x x x x x x Ф x x x

9

1 3 9( ) ( ) ( )1x Ф x Ф x Ф x

90

Таким образом, разложение многочлена на неприводимые

множители имеет вид:

(5.2)

где произведение берется по всем делителям числа .

Если , тогда количество делителей числа задается

формулой (см. раздел 3.1):

,

т.е. число сомножителей в правой части выражения (5.2) равно .

Формулу (5.2) можно использовать и для непосредственного

нахождения многочленов . Пусть, например, – степень простого

числа. Для этого примера рассмотрим число , которое равно

наибольшему делителю числа , не равному при этом самому числу .

Количество делителей чисел и равно и , т.е.

формула (5.2) примет вид

,

откуда

.

Пример. Найдем . Число есть степень простого числа,

, следовательно,

.

Поделим «уголком»:

0

получим результат:

1nx

1 ( ),n

d

d n

x Ф x

d n1 2

1 2 ... k

kn p p p n

1 2( ) ( 1)( 1)...( 1)kn

( )n

( )nФ x 1

1n p

1 1

1m p

n n

n m 1( ) 1n 1( )m

1 ( 1) ( )n m

nx x Ф x

1( )

1

n

n m

xФ x

x

81( )Ф x 481 3n 33 27m

81

81 27

1( )

1

xФ x

x

81 1x 27 1x 81 54x x 54 27 1x x

54 1x 54 27x x

27 1x 27 1x

91

.

Зная правило вычисления , где – степень простого числа,

можно найти и все , где – составное число.

Пример. Для - произведения двух простых, имеем:

,

,

Рассмотрим корни уравнений и в комплексной области.

Первые два уравнения имеют по

одному (вещественному) корню , , соответственно. Очевидно, что

это два корня уравнения , т.к. .

Рассмотрим уравнение . Над полем вещественных

чисел это уравнение не имеет решений, т.к.

.

Однако приняв дополнительное правило (определение

комплексной единицы) получим:

,

т.е. имеем два комплексных корня уравнения :

, .

Так как корнями уравнения являются:

54 27

81( ) 1Ф x x x

( )nФ x 1

1n p

( )kФ x 1 2

1 2 ... k

kk p p p

k pq

1

1

1 11 ( ) ( ) ( )

( ) 1

p pp

p p

x xx Ф x Ф x Ф x

Ф x x

1

1

1 11 ( ) ( ) ( )

( ) 1

q qq

q q

x xx Ф x Ф x Ф x

Ф x x

1

1

1 ( ) ( ) ( ) ( )

1 ( 1)( 1)( ) .

( ) ( ) ( ) ( 1)( 1)

pq

p p pq

pq pq

pq p q

p p

x Ф x Ф x Ф x Ф x

x x xФ x

Ф x Ф x Ф x x x

( ) 0iФ x 1ix

1 21 0, ( ) ( ) 1 0Ф x x Ф x x

1x 1x 2 1 0x 2

1 2( ) (1 )x Ф x Ф x 2

3( 0) 1Ф x x x

21 1 4 1 1 3

2 2x

2 1i

1 3 1 3

2 2

ix

3( ) 0Ф x

1

1 3

2

ix

2

1 3

2

ix

3

1 3( ) (1 )x Ф x Ф x 3 1 0x

92

, , .

Корнями уравнения являются комплексные числа

1x i , .

которые, совместно с корнями , уравнений ,

составляют совокупность корней 4-ой степени из единицы:

0 1 , , , .

Комплексными корнями уравнения

являются числа:

, ,

, ,

которые вместе с решением уравнения , образуют

совокупность комплексных корней 5-й степени из единицы.

Таким образом, в совокупность комплексных корней n-ой степени из

единицы входят корни всех , т.е. таких , где - делитель числа n.

По этой причине многочлены называют многочленами деления круга.

Заметим, что корни n-й степени из единицы, т.е. решения уравнения

, заодно являются и корнями mn-й степени, т.е. корнями уравнения

. Например, всякий корень 3-й степени из единицы является и

корнем 6-й степени из единицы, и корнем 9-й степени, и корнем 12-й степени

и т.д.

Пример. Для имеем

,

следовательно, корнями уравнения являются:

один корень уравнения ;

один корень уравнения ;

0 0 1x 1 1

1 3

2

ix

2 2

1 3

2

ix

2

4 1( ) 0Ф x x

2x i

1x 1x 1 1( 0)Ф x x

2 1( 0)Ф x x

1 i 2 1 3 i

4 3 2

5 1) 0(Ф x x x x x

1

5 1 5 5

4 8i

2

5 1 5 5

4 8i

3

5 1 5 5

4 8i

4

5 1 5 5

4 8i

1x 1 1( 0)Ф x x

( )d n

Ф x ( )iФ x i

( )iФ x

1 0nx

1 0nmx

6n

6

1 2 3 6( ) (1 ) ( ) ( )x Ф x Ф x Ф x Ф x

6 1 0x

1x 1 1( 0)Ф x x

1x 2 1( 0)Ф x x

93

два комплексных корня уравнения :

, ;

два комплексных корня уравнения :

, ,

т.е. (см. таблицу 5.1) имеем:

0 1 , , , , , .

Так как , тогда все корни уравнения

являются также и корнями уравнения .

По определению, корень называется первообразным степени n, если он

не удовлетворяет никакому уравнению при натуральном , т.е.

он не является корнем степени k для любого .

Пример:

1 – единственный первообразный корень степени 1,

1 – первообразный корень степени 2,

– первообразные корни степени 3.

Очевидно, что корни многочлена – это числа вида

,

где k – взаимно простое с n число, 1 k n, т.е. корни многочленов

деления круга являются первообразными корнями n-й степени из 1.

Количество первообразных корней (положительных целых чисел

меньших n и взаимнопростых с n) определяется функцией Эйлера , т.е.

степень многочленов деления круга также определяется функцией

Эйлера .

3( ) 0Ф x

1 3

2

ix

1 3

2

ix

2

6( ) 01Ф x x x

1 3

2

ix

1 3

2

ix

1

1 3

2

i

2

1 3

2

i

3 1

4

1 3

2

i

5

1 3

2

i

3

1 2 3( ) ( ) ( )1x Ф x Ф x Ф x 3 1 0x 6 1 0x

1 0kx k n

k n

1 3

2 2

i

( )nФ x

2 2cos sin

k ki

n n

( )nФ x

( )n

( )nФ x

( )n

94

Задания для самостоятельной работы

1. Выпишите все наименьшие неотрицательные вычеты и все абсолютно

наименьшие вычеты:

а) по модулю 6,

б) по модулю 8.

Выпишите приведенные системы вычетов по этим модулям. Нарисуйте

отдельно на комплексной плоскости корни шестой и корни восьмой степени

из единицы, на обоих рисунках покажите первообразные корни и найдите в

каждом случае их сумму.

2. Найдите сумму всех первообразных корней: а) 15-й; б) 24-й; в) 30-й

степени из единицы.

3. Найдите многочлены деления круга , .

4. Найдите многочлены деления круга , .

5. Найдите многочлены деления круга , .

( )iФ x 10,...,15i

25( )Ф x 49( )Ф x

21( )Ф x 22( )Ф x

95

6. ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА И ТЕОРЕМА ФЕРМА.

СРАВНЕНИЯ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ

6.1. Теорема Эйлера и теорема Ферма

Теорема Эйлера и теорема Ферма играют важнейшую роль в построении

криптографических методов с несимметричными ключами.

Теорема (Эйлер).

Пусть m>1, (a,m)=1 , (m) – функция Эйлера. Тогда:

a(m) 1(mod m).

Доказательство.

Пусть х пробегает приведенную систему вычетов по mod m :

x=r 1 ,r 2 ,...,r c

где c= (m) их число, r 1 ,r 2 ,..., r c - наименьшие неотрицательные вычеты по

mod m. Следовательно, наименьшие неотрицательные вычеты,

соответствующие числам ax суть соответственно:

1 , 2 ,..., c

– тоже пробегают приведенную систему вычетов, но в другом порядке (см.

Лемму 2 из раздела 4.4). Значит:

a r 1 j(mod m)

a r 2 j(mod m)

...

a r c jc(mod m)

Перемножим эти с сравнений. Получим:

a c r 1 r 2 ...r c j 1 j 2 ... j c (mod m)

Так как

r 1 r 2 ...r c = 1 2 ... c 0

и взаимно просто с модулем m , то, поделив последнее сравнение на r 1 r 2 ...rc,

получим

a ( m ) 1(mod m),

что и завершает доказательство.

96

Пример. Пусть m = 6, a = 5, (a,m)=1 , (m) = (23) = 2. Следовательно,

a(m)

= 52 1(mod 6) .

Теорема Ферма является непосредственным следствием теоремы

Эйлера.

Теорема (Ферма).

Пусть р – простое число, р не делит a . Тогда:

a p-1 1(mod p) .

Доказательство 1.

Положим в условии теоремы Эйлера m=p, тогда (m)=p-1 (см. главу 3).

Получаем a p-1 1(mod p).

Необходимо отметить важность условия взаимной простоты модуля и

числа a в формулировках теорем Эйлера и Ферма.

Простой пример: сравнение

62 1(mod 3)

очевидно не выполняется.

Однако можно легко подправить формулировку теоремы Ферма, чтобы

снять ограничение взаимной простоты.

Следствие 1. Без всяких ограничений на a Z,

ap a(mod p) .

Доказательство. Умножим обе части сравнения a p-1 1(mod p) на a.

Ясно, что получится сравнение, справедливое и при a, кратном р.

Пример. Сравнение

63 6(mod 3)

выполняется.

Конечно, доказательство 1 теоремы Ферма получилось столь коротким

благодаря проведенной предварительной подготовке (доказана теорема

Эйлера и изучены свойства функции (m)). Рассмотрим еще один вариант

доказательства теоремы Ферма.

Доказательство 2. Так как р - простое число, то все биномиальные

коэффициенты:

(кроме и ) делятся на р, ибо числитель выписанного выражения

содержит р, а знаменатель не содержит этого множителя.

Воспользовавшись формулой для бинома Ньютона, получим:

! ( 1)( 2)...( 1)

!( )! 1 2 ...

k

p

p p p p p kC

k p k k

0

pC p

pC

97

,

где и – какие угодно целые числа, всегда делится на р.

Последовательным применением этого наблюдения получаем, что

всегда делится на р;

всегда делится на р; и вообще,

всегда делится на р.

Положим теперь в последнем выражении

.

Получится, что

делится на р, а это и есть теорема Ферма в более общей формулировке.

Следствие 2.

(a+b) p a

p +b

p (mod p).

Приведем несколько примеров, причем эффективность применения

теорем Ферма и Эйлера отчасти основывается на том, что сравнения,

даваемые этими теоремами, удобно возводить в степень, так как справа в них

стоит единица, которая при возведении в степень равна единице.

Пример. Девятая степень однозначного числа оканчивается на 7.

Найдите это число.

Решение. Дано уравнение

a 9 7(mod 10).

Кроме того, очевидно, что (7, 10) = 1 и (a, 10) = 1.

1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2( ) ...p p p p p p p p

p p p pA A A A C A A C A A C A A C A A

1A 2A

1 2 3 1 2 3

1 2 3 1 2 3 1 2 1 2

( )

( ) ( ) ( )

p p p p

p p p p p p

A A A A A A

A A A A A A A A A A

1 2 3 4 1 2 3 4( ) p p p p pA A A A A A A A

1 2 3 1 2 3( ... ) ...p p p p p

a aA A A A A A A A

1 2 3 ... 1aA A A A

1 2 3 1 2 3( ... ) ...p p p p p p

a aA A A A A A A A a a

98

По теореме Эйлера, a(10)

1(mod 10). Следовательно, a4 1(mod 10) и,

после возведения в квадрат, a8 1(mod 10). Поделим почленно a

9 7(mod 10)

на a8 1(mod 10) и получим a 7(mod 10). Это означает, что a = 7.

Пример. Доказать, что 1 18

+2 18

+3 18

+4 18

+5 18

+6 18 -1(mod 7).

Доказательство. Числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 взаимно просты с 7. По теореме

Ферма имеем:

Возведем эти сравнения в куб и сложим:

1 18

+2 18

+3 18

+4 18

+5 18

+6 18 6(mod 7) -1(mod 7)

Пример. Найти остаток от деления 7 402

на 101.

Решение. Число 101 – простое, (7, 101)=1, следовательно, по теореме

Ферма:

7 100

1(mod 101).

Возведем это сравнение в четвертую степень:

7 400

1(mod 101),

домножим его на очевидное сравнение

7 2 49(mod 101),

получим:

7 402

49(mod 101).

Следовательно, остаток от деления 7 402

на 101 равен 49.

Пример. Найти две последние цифры числа 243402

.

Решение. Две последние цифры этого числа суть остаток от деления его

на 100. Имеем:

243=200+43;

200+43 43(mod 100)

и, возведя последнее очевидное сравнение в 402-ую степень, раскроем его

левую часть по биному Ньютона (мысленно, конечно). В этом гигантском

выражении все слагаемые, кроме последнего, содержат степень числа 200, т.е.

6

6

6

1 1mod7;

2 1mod7;

...

6 1mod7.

99

делятся на 100, поэтому их можно выкинуть из сравнения, после чего

понятно, почему

243402

43402

(mod 100).

Далее, 43 и 100 взаимно просты, значит, по теореме Эйлера,

43 (100)

1(mod 100).

Считаем:

(100) = (22 5

2)=(10–5)(10–2)=40.

Имеем сравнение:

43 40 1(mod 100),

которое возведем в десятую степень и умножим почленно на очевидное

сравнение, проверенное на калькуляторе:

43 2 49(mod 100).

Получим:

,

следовательно, две последние цифры числа 243402

суть 4 и 9.

Пример. Доказать, что (73 12

-1) делится на 105.

Решение. Имеем:

105=3 5 7,

(73,3)=(73,5)=(73,7)=1.

По теореме Ферма:

732 1(mod 3),

734 1(mod 5),

736 1(mod 7).

Перемножая, получаем:

73 12 1(mod 3),(mod 5),(mod 7),

откуда, по свойствам сравнений, немедленно следует:

7312

-1 0(mod 105),

400

2

402

43 1mod100

43 49mod100

43 49mod100

100

ибо 105 - наименьшее общее кратное чисел 3, 5 и 7. Именно это и

требовалось.

6.2. Сравнение первой степени

Рассмотрим сравнение с одним неизвестным вида:

f(x) 0(mod m),

где

– многочлен с целыми коэффициентами.

Если m не делит a0, тогда говорят, что n – степень сравнения. Ясно, что

если какое-нибудь число х подходит в сравнение, то в это же сравнение

подойдет и любое другое число, сравнимое с х по mod m.

Следовательно: решить сравнение – значит найти все те х, которые

удовлетворяют данному сравнению, при этом весь класс чисел по mod m

считается за одно решение. Таким образом, число решений сравнения есть число вычетов из полной

системы, которые этому сравнению удовлетворяют.

Пример. Дано сравнение: x 5 +x+1 0(mod 7)

Из чисел: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, этому сравнению удовлетворяют два:

x1 =2, x2 =4.

Это означает, что у данного сравнения два решения:

x 2(mod 7) и x 4(mod 7).

Сравнения называются равносильными, если они имеют одинаковые

решения – полная аналогия с понятием равносильности уравнений. Однако, в

отличие от алгебраических уравнений, которые могут быть неразрешимы в

радикалах, сравнение любой степени всегда решается, хотя бы, например,

перебором всех вычетов по mod m. Правда, перебор и подстановка всех

вычетов - зачастую весьма долгий процесс (особенно, при больших m и n), но

и здесь математики придумали хитроумные наборы инструкций, исполняя

которые можно всегда найти все решения данного сравнения любой степени,

минуя нудный процесс перебора.

Сравнения первой степени

Рассмотрим сравнения первой степени вида

ax b(mod m). (6.1)

1

0 1

n n

nf x a x a x a

101

Рассмотрим два случая.

Случай 1. Пусть а и m взаимно просты.

Тогда сравнение (6.1) можно решить несколькими способами.

Способ 1 (решение сравнения (1) через числитель предпоследней подходящей дроби)

Несократимая дробь m/a может быть разложена в цепную дробь:

.

Эта цепная дробь, разумеется, конечна, так как m/a - рациональное

число. Рассмотрим две ее последние подходящие дроби:

, .

Откуда имеем:

,

т.е.

и

.

Из последнего равенства имеем

,

т.е.

,

1

2

3

4

1

1

1

1

1

...

1n

n

mq

aq

q

q

qq

11

1

nn

n

P

Q

nn

n

P m

Q a

1 1 11

1 1 1

( 1)n

n n n n n nn n

n n n n n n

P P P Q P Q

Q Q Q Q Q Q

1 1 1 1 ( 1)n

n n n n n nPQ P Q mQ P a

1 1 1( ) ( )mod ( 1) modn

n n nmQ P a P a m m

1

1( ) ( 1) modn

nP a m

1

1( ( 1) ) 1modn

na P m

102

и единственное решение сравнения

ax b(mod m)

есть:

.

Пример. Решить сравнение 111x 75(mod 322).

Решение. (111, 322) = 1. Используем алгоритм Евклида:

322 = 111 · 2+100

111 = 100 · 1+11

100 = 11 · 9+1

11 = 1 · 11

Следовательно, n=4, а соответствующая цепная дробь имеет вид:

.

Посчитаем числители подходящих дробей, составив для этого

стандартную таблицу 6.1:

Таблица 6.1 – Числители подходящих дробей рациональной дроби

qn 0 2 1 9 11 Pn 1 2 3 29 322

Числитель предпоследней подходящей дроби равен 29, следовательно,

x (-1) 3 29 75 -2175 79(mod 322)

Способ 2 (решение сравнения (1) через разложение наибольшего общего делителя в

линейную комбинацию)

Дано сравнение ax b(mod m), где a и m взаимно просты.

1

1( ( 1) ) modn

na P b b m

1

1( 1) modn

nx P b m

322 12

11111

19

11

m

a

322

111

103

Используя алгоритм Евклида, найдем разложение наибольшего общего

делителя (a, m) = 1 в виде линейной комбинации чисел a и m:

au+vm=1 = (a, m).

Умножим это равенство на b:

aub+vmb=b,

откуда следует:

aub b(mod m).

Следовательно, решением сравнения

ax b(mod m)

является

x ub(mod m).

Пример. Решить сравнение 111x 75(mod 322) вторым способом.

Используя результат работы алгоритма Эвклида (см. предыдущий

пример) имеем:

1 = 100 – 11 · 9 =

= 100 – (111 – 100) · 9 = 100 · 10 – 111 · 9 =

= (322 – 111 · 2) · 10 – 111 · 9 = 322 · 10 – 111 · 29,

т.е.

u = – 29, v = 10

и решением сравнения 111x 75(mod 322) явлляется

x ub(mod m) = – 29 · 75 = – 2175 79(mod 322).

Способ 3 (решение сравнения (1) с использованием теоремы Эйлера)

С использованием теоремы Эйлера можем получить еще один способ

решения сравнения.

Теорема 2.

Пусть m>1, (a,m)=1.

Тогда сравнение

ax b(mod m)

имеет решение:

104

x ba (m)-1

(mod m).

Доказательство. По теореме Эйлера, имеем:

a (m) 1(mod m),

следовательно,

a ba (m)-1 b(mod m) .

Пример. Решить сравнение 7x 3(mod 10).

Вычисляем:

(10)=4; x 3 7 4-1

(mod 10) 1029(mod 10) 9(mod 10).

Видно, что этот способ решения сравнений хорош (в смысле минимума

интеллектуальных затрат на его осуществление), но может потребовать

возведения числа а в довольно большую степень, что довольно трудоемко.

Однако на практике даже для очень больших чисел этот метод можно

использовать, применяя алгоритм быстрого возведения в степень.

Алгоритм быстрого возведения в степень

При непосредственном возведении в степень через цепочку операций

умножений вычислительная сложность реализации растет пропорционально

показателю степени, т.е. для возведения числа в степень в общем случае

требуется выполнить умножений:

.

Асимптотическая оценка вычислительной сложности такой реализации

операции возведения в степень есть .

В основе алгоритма быстрого возведения в степень лежит

использование так называемой схемы Горнера17

, которая позволяет быстро

вычислить значение некоторого многочлена в заданной точке.

Пусть задан многочлен

и необходимо найти его значение в заданной точке, т.е. при фиксированном

значении . Тогда при непосредственной подстановке значения

получим 17

Уильям Джордж Горнер (англ. William George Horner, 1786 – 22 сентября 1837) – британский математик, в

честь которого названа схема Горнера. Также он считается изобретателем зоотропа (от др.-греч. ζωή —

жизнь, τροπή – вращение) – устройства для демонстрации движущихся рисунков, конструкция которого

основана на персистенции, то есть инерции человеческого зрения.

x n

1n

умноженийn

n xxxxx1

...

)(nO

2

0 1 2( ) ... n

ng x a a x a x a x

0x x 0x x

105

,

т.е. необходимо выполнить операций сложения и операции

возведения в степень.

Перепишем теперь многочлен в другом виде:

.

Теперь, при подстановке значения для вычисления значения

необходимо выполнить операций сложения и операций

умножений. Очевидно, что сложность вычислений при такой схеме (Горнера)

значительно снижена.

Используя схему Горнера для реализации быстрого возведения в

степень, представим число в следующем виде:

,

где - двоичное представление числа , т.е. и

.

Отсюда следует, что для возведения числа в степень требуется

реализовать не более операций возведения в квадрат и не более операций

умножений, где - число элементов в двоичной записи числа , т.е.

.

Таким образом, асимптотически вычислительную сложность быстрого

вычисления можно оценить как .

Реализация алгоритма быстрого возведения числа в степень

сводится к следующей итеративной процедуре.

Вход. Число и двоичный вектор как двоичное

представление показателя степени .

Выход. Число .

1. Установить , , .

2. Если вычислить .

3. Вычислить .

4. Принять .

5. Если перейти к шагу 2.

6. Если в качестве результата принять число .

2

0 0 1 0 2 0 0( ) ... n

ng x a a x a x a x

( 1)n ( 2)n

( )g x

2

0 1 2 1 2 1 0( ) ... (...(( ) ) ... )n

n n n ng x a a x a x a x a x a x a x a x a

0x x

0( )g x ( 1)n ( 1)n

nx

1 2 1 0 1 01((...(( 2 ) 2 ) 2 ...) 2 ) 2 2 2 2 2((...((( ) ) ...) )k k k k km m m m m m m mmnx x x x x x

01 m,...,m,m kk n 10,mi

011

1 222 mm...mmn kk

kk

x n

k k

1k n

2log 1k n

nx )(log 2 nO

x n

x 01,...,, mmm kk

nnxa

1a xak ki

1im iaaa

2)( ii aa

1 ii

0i

0inxa

106

Пример. Возвести 3 в степень 25 с помощью алгоритма быстрого

возведения в степень.

Для решения стандартным способом необходимо выполнить 25

умножений. Однако применив схему Горнера получим алгоритм быстрого

возведения в степень, который потребует не более

операций возведения в квадрат и умножений.

Действительно, число 25 в двоичном виде имеет следующее

представление:

,

т.е.

«11001».

Следовательно,

,

что требует только две операции умножения и четыре операции возведения в

квадрат.

Приведенный алгоритм позволяет существенно упростить процедуру

решения сравнения (6.1) с использованием теоремы Эйлера, т.к. после

каждого умножения и/или возведения в квадрат можно приводить результат

по модулю m, что позволит избавится от обработки очень больших чисел.

Пример. Решить сравнение 3x 10(mod 37) с использованием теоремы

Эйлера и алгоритма быстрого возведения в степень.

Вычисляем:

(37)=36; 36 – 1 = 35 = «100011»

,

.

Пример. Решить сравнение 111x 75(mod 322) третьим способом.

Решение.

,

,

2log 25 1 4k

4 3 025 1 2 1 2 1 2

25 1 2 1 2 0 2 0 2 1 2 2 2 23 ((((3 ) 3 ) 3 ) 3 ) 3 (((3 3) ) ) 3 847288609443

35 1 2 0 2 0 2 0 2 1 2 1 2 2 2 2 23 ((((3 ) 3 ) 3 ) 3 ) 3 ) 3 (((3 ) ) ) 3) 3 35 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

3 mod37 ((((3 ) ) ) 3) 3mod37 (((9 ) ) 3) 3mod37 ((7 ) 3) 3mod37

(33 3) 3mod37 25 3mod37 33 3mod37 25,

3510 3 mod37 10 25mod37 28x

(322) (2 7 23) (2) (7) (23) 1 6 22 132

132 1 131 "10000011" 131 1 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 1 2 1

2 2 2 2 2 2 2

111 (((((((111 ) 111 ) 111 ) 111 ) 111 ) 111 ) 111 ) 111

((((((111 ) ) ) ) ) 111) 111,

107

.

Способ 4 (решение сравнения (1) с использованием биномиальных коэффициентов)

Решение сравнения (1) с использованием биномиальных коэффициентов

основывается на выводе следующей теоремы.

Теорема 3. Пусть р – простое число, 0 < a < p . Тогда сравнение

ax b(mod p)

имеет решение:

,

где - биномиальный коэффициент

,

где – биномиальный коэффициент.

Доказательство.

131

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2

2 2

2

111 mod322

((((((111 ) ) ) ) ) 111) 111mod322

(((((85 ) ) ) ) 111) 111mod322

((((141 ) ) ) 111) 111mod322

(((239 ) ) 111) 111mod322

((127 ) 111) 111mod322

(29 111) 111

(197 111)

2

111mod322

293 111mod322

197 111mod322 293,

13175 111 mod322 75 293mod322 79x

1 1( 1) moda a

px b C pp

a

pC

! ( 1)( 2)...( 1)

!( )! 1 2 ...

a

p

p p p p p aC

a p a a

a

pC

1 1

1

1 1 ( 1)( 2)...( 1)( 1) ( 1)

1 2 ...

( 1)( 2)...( 1)( 1) .

1 2 ...

a a a

p

a

p p p p ax b C b

p p a

p p p ab

a

108

Числитель последнего сомножителя состоит (после раскрытия скобок)

из суммы различных произведений, в котором только одно (последнее)

произведение не кратно . Следовательно,

,

что после подстановки в сравнение

ax b(mod p)

дает искомое тождество.

Пример. Решить сравнение 7x 2(mod 11).

Вычисляем:

,

.

Рассмотренные четыре способа позволяют решить сравнение (6.1) при

условии, что числа а и m взаимно просты.

Рассмотрим теперь случай, когда взаимная простота а и m не

выполняется.

Случай 2. Пусть (a,m)=d .

В этом случае, для разрешимости сравнения ax b(mod m) необходимо,

чтобы d делило b, иначе сравнение вообще выполняться не может.

Действительно, ax b(modm) бывает тогда, и только тогда, когда ax-b делится

на m нацело, т.е.

ax-b=t · m , t Z ,

откуда

b=ax - t m,

а правая часть последнего равенства кратна d .

Пусть

b=db1, a=da1, m=dm1.

Тогда обе части сравнения

xa1 d b1 d(mod m1 d)

1( 1) 1 2 ... 1a a p

11 11 ( 1) 1 2 ... 1

( 1) ( 1) mod1 2 ...

aa a a

p

a bx b C b m

p a a

7

11

11!330

7!(11 7)!C

1 61 1( 1) mod 2 ( 1) 330 60 5mod11

11

a a

px b C pp

109

и его модуль поделим на d :

xa1 b1 (mod m1 ),

где уже а 1 и m 1 взаимно просты.

Согласно случаю 1, такое сравнение имеет единственное решение x0:

x x0 (mod m1 ) (6.2)

По исходному модулю m, числа (6.2) образуют столько решений

исходного сравнения, сколько чисел вида (6.2) содержится в полной системе

вычетов:

0, 1, 2, ..., m-2, m-1.

Очевидно, что из чисел

x=x 0 +t m

в полную систему наименьших неотрицательных вычетов попадают только

x0, x0 +m1, x0 +2m1, ..., x0 +(d - 1)m1 ,

т.е. всего d чисел. Значит у исходного сравнения имеется d решений.

Подведем итог рассмотренных случаев в виде следующей теоремы.

Теорема 1. Пусть (a,m)=d . Если b не делится на d, сравнение

ax b(mod m)

не имеет решений.

Если b кратно d, сравнение имеет d решений.

Пример. Решить сравнение 111x 75(mod 321) .

Решение. (111,321)=3, поэтому поделим сравнение и его модуль на 3:

37x 25(mod 107)

и уже

(37,107)=1.

Используем алгоритм Евклида:

107=37 2+33

37=33 1+4

33=4 8+1

4=1 4

110

Имеем n=4 и цепная дробь такова:

Таблица для нахождения числителей подходящих дробей имеет

следующий вид.

Таблица 6.2 – Числители подходящих дробей рациональной дроби

q n 0 2 1 8 4

P n 1 2 3 26 107

Следовательно,

x (-1) 3 26 25 -650(mod 107) -8(mod 107) 99(mod 107) .

Три решения исходного сравнения:

x 99(mod 321),

x 206(mod 321),

x 313(mod 321),

и других решений нет.

Задания для самостоятельной работы

1. Решите сравнения (4-мя способами):

a) 5x 3(mod 12);

b) 256x 179(mod 337);

c) 1215x 560(mod 2755);

d) 1296x 1105(mod 2413);

e) 115x 85(mod 335).

1. Докажите, что:

а) 13 176

-1 делится на 89 ;

б) 52 60

-1 делится на 385.

3. Докажите, что 3 100

-3 60

-3 40

+1 делится на 77.

4. Докажите, что:

а) 1 19

+2 19

+4 19

+5 19

+7 19

+8 19 0(mod 9);

б) 1 14

+3 14

+7 14

+9 14 0(mod 10).

107 12

1371

18

4

m

a

107

37

111

5. Найдите две последние цифры десятичной записи числа:

а) 19 321

;

б) 131 161

.

6. Найдите остаток от деления:

а) числа 3 200

+7 200

на 101 ;

б) числа 7 65

+11 65

на 80.

7. Докажите, что существует такая степень числа 2, все последние 1000

цифр которой в десятичной записи будут единицами и двойками.

8. Пусть a, a+d, a+2d, ... - произвольная бесконечная арифметическая

прогрессия, первый член и разность которой являются натуральными

числами. Докажите, что эта прогрессия содержит бесконечно много членов,

каноническое разложение которых состоит из одних и тех же простых чисел

(взятых, разумеется, в разных степенях).

9. Выведите теорему Эйлера из теоремы Ферма.

10. Решите сравнения (4-мя способами):

а) 5x 3(mod 12);

б) 256x 179(mod 337);

в) 1215x 560(mod 2755);

г) 1296x 1105(mod 2413);

д) 115x 85(mod 335).

2. Решите систему сравнений

3. Найдите все целые числа, которые при делении на 7 дают в остатке 3,

при делении на 11 дают в остатке 5, а при делении на 13 дают в остатке 4.

4. Решите систему сравнений

5. Пусть (m 1 ,m 2 )=d

Докажите, что система сравнений

имеет решения тогда и только тогда, когда b 1 b 2 (mod d) . В случае,

когда система разрешима, найдите ее решения .

6. Решите систему сравнений

7. Пусть (a,m)=1 , 1<a<m . Докажите, что разыскание решения

сравнения ax b(mod m) может быть сведено к разысканию решений

сравнений вида b+mt 0(mod p) , где р – простой делитель числа а .

112

7. КИТАЙСКАЯ ТЕОРЕМА ОБ ОСТАТКАХ

Несколько взаимосвязанных утверждений известны в математике под

названием китайской теоремы об остатках18

.

В настоящее время эта теорема играет ключевую роль в обосновании

различных методов современной теории защиты информации.

Лемма 1 (Китайская теорема об остатках). Пусть дана простейшая

система сравнений первой степени:

(7.1)

где m 1 ,m 2 ,...,m k попарно взаимно просты.

Пусть, далее,

m 1 m 2 ...m k =M s m s ; M s M s 1(mod m s ).

Очевидно, что такое число M s

всегда можно подобрать хотя бы с

помощью алгоритма Евклида, т.к. (m s ,M s )=1.

Пусть также

x 0 =M 1 M 1

b 1 +M 2 M 2

b 2 +...+M k M k

b k .

Тогда система (7.1) равносильна одному сравнению

x x 0 (mod m 1 m 2 ...m k ),

т.е. набор решений (7.1) совпадает с набором решений сравнения

x x0 (mod m 1 m 2 ...m k ).

Доказательство.

Имеем: m s делит M j , при s j. Следовательно,

x 0 M s M s

b s (mod m s ) ,

18 Эта теорема в её арифметической формулировке была описана в трактате китайского

математика Сунь Цзы «Сунь Цзы Суань Цзин», предположительно датируемом третьим

веком н. э. и затем была обобщена Цинь Цзюшао в его книге «Математические

рассуждения в 9 главах» датируемой 1247 годом, где было приведено точное решение.

1 1

2 2

mod ;

mod ;

...

mod .k k

x b m

x b m

x b m

113

откуда

x 0 b s (mod m s ) .

Это означает, что система (7.1) равносильна системе

которая, очевидно, в свою очередь, равносильна одному сравнению

x x 0 (mod m 1 m 2 ...m k ).

Пример. Решите систему сравнений:

пользуясь леммой 1.

Решение:

b1 =1; b2 =3 ; b3 =2 ;

m 1 m 2 m 3 = 140,

M 1 =35, M 2 =28, M 3 =20 .

Далее:

35 M 1 1(mod 4),

28 M 2 1(mod 5),

20 M 3 1(mod 7).

Решая сравнения (например, простым перебором), получаем

M 1

=3, M 2

=2, M 3

=6.

Следовательно

x 0 =35 3 1+28 2 3+20 6 2=513.

После этого, по лемме 1:

x 513(mod 140) 93(mod 140).

0 1

0 2

0

mod ;

mod ;

...

mod ,k

x x m

x x m

x x m

1mod 4;

3mod5;

2mod7,

x

x

x

114

В следующей лемме, для краткости формулировки, сохранены

обозначения леммы 1.

Лемма 2. Если b1, b2, ..., bk пробегают полные системы вычетов по

модулям m1, m2, ..., mk соответственно, то x0 пробегает полную систему

вычетов по модулю m1m2 ...mk.

Доказательство. Действительно, x0 =A1b1 +A2b2 +...+Akbk пробегает m1m2

...mk различных значений. Покажем, что все они попарно не сравнимы по

модулю m1m2 ...mk.

Ну пусть оказалось, что

A 1 b 1 +A 2 b 2 +...+A k b k A 1 b' 1 +A 2 b' 2 +...+A k b' k (mod m 1 m 2 ...m k ).

Значит,

A 1 b 1 +A 2 b 2 +...+A k b k A 1 b' 1 +A 2 b' 2 +...+A k b' k (mod m s )

для каждого s , откуда

M s M s

b s M s M s

b' s

Вспомним теперь, что

M s M s 1(mod m s ),

значит

M s M s 1+m s t,

откуда

(MsMs, ms)=1.

Разделив теперь обе части сравнения

M s M s

b s M s M s

b' s

на число M s M s

, взаимно простое с модулем, получим, что

b s b's mod ms ,

т.е. b s =b' s для каждого s.

Итак, x 0 пробегает m 1 m 2 ...m k различных значений, попарно не

сравнимых по модулю m 1 m 2 ...m k , т.е. полную систему вычетов.

115

7.1. Сравнения любой степени по простому модулю

Рассмотрим сравнения вида

,

где р - простое число, а

– многочлен с целыми коэффициентами.

Лемма 1. Произвольное сравнение , где р - простое

число, равносильно некоторому сравнению степени не выше .

Доказательство.

Разделим на многочлен с остатком:

,

где, как известно, степень остатка не превосходит . Но ведь, по

теореме Ферма, . Это означает, что

,

а исходное сравнение

равносильно сравнению

.

Пример. Рассмотрим сравнения вида

.

В соответствии с леммой 3 это сравнение равносильно некоторому

другому сравнению, степени не выше .

Имеем:

0(   )f x mod p

1

0 1

n n

nf x a x a x a

0(   )f x mod p

1p

f x px x

pf x x x Q x R x

R x 1p

0(   )px x mod p

 f x R x mod p

0(   )f x mod p

0(   )R x mod p

5 22 1 0(  3)x x mod

1 3 1 2p

116

т.е.

и сравнение

равносильно сравнению

.

Проверка: подставляя все вычеты по модулю 3 найдем единственное

решение сравнения . Это значение также является

единственным решением сравнения .

Доказанная лемма полезна тем, что с ее помощью можно свести

решение сравнения высокой степени к решению сравнения меньшей степени.

Лемма 2. Если сравнение степени n по

простому модулю р имеет более n различных решений, то все коэффициенты

кратны р.

Доказательство. Пусть сравнение

,

имеет решение и – наименьшие неотрицательные вычеты

этих решений. Тогда, очевидно, многочлен

представим в виде:

5 2 3

5 32

3 2

3

2

2 1

2 2 2 2

2 1

2 2

2 1

x x x x

x x x

x x

x x

x x

5 2 22 1 2 1(  3)x x x x mod

5 22 1 0(  3)x x mod

2 2 1 0(  3)x x mod

2x 5 22 1 0(  3)x x mod

2 2 1 0(  3)x x mod

1

0 1 0(   )n n

na x a x a mod p

0 1, , , na a a

1

0 1 0(   )n n

na x a x a mod p

1n 1 2 1, , , ,n nx x x x

1

0 1

n n

nf x a x a x a

1 2 2 1

1 2 2 1

1 2 2

1 2

1

·...·

·...·

·..

( )( ) ( )( )( )

( )(

.· ...

...

) ( )( )

( )( ) ( )

( )( )

( )

.

n n n

n n

n

f x a x x x x x x x x x x

b x x x x x x x x

c x x x x x x

k x x x x

l x x

m

117

Действительно, коэффициент b нужно взять равным коэффициенту при

x n-1

в разности

,

коэффициент с – это коэффициент перед xn-2

в разности

и т.д.

Теперь положим последовательно

.

Имеем:

1) , следовательно, р делит m;

2) , следовательно, р делит l,

ибо р не может делить , так как ;

3) , следовательно, р делит k и т.д.

Получается, что все коэффициенты a, b, c,...,k, l кратны р . Это означает,

что все коэффициенты тоже кратны р, ведь они являются суммами

чисел, кратных р. (Убедитесь в этом самостоятельно, раскрыв скобки в

написанном выше разложении многочлена f(x) на суммы произведений

линейных множителей.)

Пример: у сравнения степени n = 2 по простому

модулю р = 3 все коэффициенты в правой части кратны р = 3. Сравнение

имеет 3 различных решения (0, 1 и 2).

Следует обратить внимание на важность условия простоты модуля

сравнения в формулировке леммы 2. Если модуль - число составное, то

сравнение n -ой степени может иметь и более n решений, при этом,

коэффициенты многочлена не обязаны быть кратными р.

Пример: сравнение второй степени x2 1(mod 16) имеет аж целых

четыре различных решения:

x 1(mod 16), x 7(mod 16), x 9(mod 16), x 15(mod 16).

Подведем итог.

Всякое нетривиальное сравнение по mod p равносильно сравнению

степени не выше p - 1 и имеет не более p - 1 решений. Наступил момент, когда наших знаний стало достаточно, чтобы легко

понять доказательство еще одной замечательной теоремы теории чисел –

теоремы Вильсона. Александр Вильсон (1714–1786) – шотландский астроном

и математик-любитель, трудился профессором астрономии в Глазго. Теоремы

1 2 nf x a x x x x x x

1 2 1 2 1( ) n nf x a x x x x x x b x x x x x x

1 2 1, , , ,n nx x x x x

1 0  f x m mod p

2 2 1 2 1 0  f x m l x x l x x mod p

2 1x x 2 1, x p x p

3 3 1 3 2 0  f x k x x x x mod p

0 1, , , na a a

26 3 9 0(  3)x x mod

118

Ферма, Эйлера и Вильсона всегда идут сладкой троечкой во всех учебниках и

теоретико-числовых курсах.

Теорема (Вильсон). Сравнение

выполняется тогда и только тогда, когда р - простое число.

Доказательство. Пусть р - простое число. Если , то, очевидно,

.

Если , тогда рассмотрим сравнение:

.

Ясно, что это сравнение степени не выше (если раскрыть скобки в

первом слагаемом в получим слагаемое , которое сократится с из

второго слагаемого). Это сравнение имеет решение: 1, 2, 3, ... , , т.к.

при подстановке любого из этих чисел, слагаемое в квадратных скобках

обращается в ноль, а сравнимо с нулем по теореме Ферма (х и р

взаимно просты, т.к. х < р ). Это означает, по лемме 2, что все коэффициенты

выписанного сравнения кратны р, в частности, на р делится его свободный

член, равный .

Обратно. Если р – не простое, то найдется делитель d числа р, 1 < d < p.

Тогда делится на d, поэтому не может делится на d и,

значит, не может делиться также и на р . Следовательно, сравнение

не выполняется.

Пример. Число

1 2 3 ... 10 + 1 = 3628800 +1 = 3628801

делится на 11 (признак делимости на 11 - если сумма цифр в десятичной

записи числа на четных позициях совпадает с суммой цифр на нечетных

позициях, то число кратно 11).

Пример-задача. Доказать, что если простое число р представимо в виде

4n+1, то существует такое число х , что х 2 +1 делится на р .

1 ! 1 0(   )p mod p

2р

1! 1 0(  2)mod

2р

11 2 1 1 0(   )px x x p x mod p

2р 1px 1px

1р 1р

1 1px

1 2 3 ... ( 1) 1р

1 !p 1 ! 1p

1 ! 1 0(   )p mod p

119

Решение. Пусть – простое число. По теореме Вильсона,

делится на р . Заменим в выражении все множители

большие через разности числа р и чисел меньших

.

Получим:

Так как это число делится на р, то и сумма делится на

р, т.е.

.

Рассмотренный пример-задача тесно связан с проблематикой,

касающейся представления натуральных чисел в виде сумм степеней (с

показателями степени n > 1) других натуральных чисел. Из приведенного

примера-задачи можно вывести, что натуральное число N в том и только в том

случае представимо в виде суммы двух квадратов, когда в разложении N на

простые множители все простые множители вида 4n+3 входят в четных

степенях. Что касается представления чисел в виде сумм степеней, то здесь

известна общая замечательная теорема:

Для любого натурального k существует такое натуральное N

(разумеется, зависящее от k), что каждое натуральное число представимо в

виде суммы не более чем N слагаемых, являющихся k-ми степенями целых

чисел.

7.2. Сравнения любой степени по составному модулю

Переход от решения сравнений по простому модулю к более сложной

задаче – решению сравнений по составному модулю осуществляется с

помощью следующей теоремы.

Теорема 1. Если числа m1, m2, … mk попарно взаимно просты, то

сравнение

равносильно системе сравнений:

4 1р n

4 1!n 1 2 3 ... 4 1n

1 / 2 2p n

1 / 2 2p n

2

2

1

( )

1 ! 1 1 2 3 2 2 2 1 1  

= 1 2 3 2 1 2 2 1 2 1 1 

= 1 2 3 2 1

]

( ) .

[n

p n p n p n p

n A p n n

A p n

21 2 3 1)2( n

2 ! 1 / 2 !x n p

1 20mod kf x m m m

120

При этом, если Т1, Т2, ..., Тк – числа решений отдельных сравнений этой

системы по соответствующим модулям, то число решений Т исходного

сравнения равно Т1 Т2 ...Тк .

Доказательство. Первое утверждение теоремы (о равносильности

системы и сравнения) очевидно, т.к. если a b (mod m), то a b (mod d), где d

делит m. Если же a b (mod m1) и a b (mod m2), то a b (mod HOK (m1, m2)),

где НОК (m1, m2) – наименьшее общее кратное m1 и m2 .

Обратимся ко второму утверждению теоремы (о числе решений

сравнения).

Каждое сравнение f (x) 0(mod ms) выполняется тогда и только тогда,

когда выполняется одно из Ts сравнений вида x bs (mod ms), где b s пробегает

вычеты решений сравнения f (x) 0(mod ms). Всего различных комбинаций

таких простейших сравнений

Т1 Т2 ...Тк штук. Все эти комбинации приводят к различным классам вычетов

по mod( m 1 m 2 … m k ).

Итак, решение сравнения сводится к решению

сравнений вида f (x) 0(mod pa

). Оказывается, что решение этого последнего

сравнения, в свою очередь, сводится к решению некоторого сравнения

g (x) 0(mod p)

c другим многочленом в левой части, но уже с простым модулем.

Процесс сведения.

Очевидно, выполнение сравнения влечет, что х

подходит в сравнение .

Пусть – какое-нибудь решение сравнения .

Это означает, что

,

1

2

( ) 0mod ;

( ) 0mod ;

...

( ) 0mod .k

f x m

f x m

f x m

1 1

2 2

mod ;

mod ;

...

mod ,k k

x b m

x b m

x b m

1 2

1 20mod ... k

kp p pf x

0mod pf x

0modf x p

1 modx px 0modf x p

1 1x x pt

121

где .

Вставим это х в сравнение . Получим сравнение

,

которое тоже, очевидно, выполняется.

Разложим далее левую часть полученного сравнения по формуле

Тейлора по степеням (х – х1):

.

Но, ведь, , следовательно,

.

Заметим, что число всегда целое, т.к. – многочлен с

целыми коэффициентами.

Теперь в сравнении

можно слева отбросить члены, кратные :

.

Разделим последнее сравнение и его модуль на р:

.

Заметим, опять, что – целое число, т.к. . Далее

ограничимся случаем, когда значение производной не делится на р. В

этом случае имеется всего одно решение сравнения первой степени

1t Z

20modf x p

1 1

20modf x pt p

21 11 1 1

'( ) ''( )( ) ( ) ( ) ( ) ...

1! 2!

f x f xf x f x x x x x

1 1x x pt

211 1 1 1

11

'( ) ''( )( ) ( ) ( ) ...

1! 2!

f x f xf f xx pt pt pt

( )

1( )

!

kf x

k1 1( )xf pt

1 1

20modf x pt p

2p

1

211

'( )( )

10mo

!d

f xf x ppt

1 11

( ) '( )

!0mod

1t

f x f xp

p

1( )f x

p1 m( ) 0 odf px

1'( )f x

122

относительно :

t 1 t1

mod p.

Это означает, что

t 1 = t1

+ pt2,

где , и

.

Снова вставим в сравнение , разложим его

левую часть по формуле Тейлора по степеням (х - х2) и отбросим члены,

кратные p3:

.

Делим это сравнение и его модуль на р2:

Опять – целое число, ведь число t1

такое, что

.

Кроме того, , значит

,

т.е. , как и , не делится на р.

Имеем единственное решение сравнения первой степени

1 11

( ) '( )

!0mod

1t

f x f xp

p

1t

2t Z

2

2 2

1 1 1 1 2 2 2

x

x pt x pt p tx x p t

2

2 2x x p t 30modf x p

2

32

2 222

2

'( )( ) ( )

1!0mod

f xf f x px p t p t

2 2

2 2

( ) '( )

!0mod

1t

f x f xp

p

2

2

( )f x

p

1 1

20modf px pt

2 1 modx x p

2 1'( ) ' )m d( of x f x p

2'( )f x 1'( )f x

123

относительно t2:

t 2 t2

mod p.

Это означает, что

t 2 = t2

+ pt3,

где , и

и процесс продолжается дальше и дальше, аналогично предыдущим шагам, до

достижения степени pa, в которой стоит простое число р в модуле исходного

сравнения

.

Итак: всякое решение сравнения , при

условии не делит , дает одно решение сравнения

вида

,

т.е.

.

Пример. Решить сравнение .

Решение. Примем , . Cравнение

имеет всего одно решение .

Тогда:

,

т.е. не делится на .

Далее:

,

2 2

2 2

( ) '( )

!0mod

1t

f x f xp

p

3t Z

3

2 3 3

2 2 3 3 3

x

x p t p t x p tx

0mod pf x

2 1 modx x p 0modf x p

p 1'( )f x 0mod pf x

x x p t

modx x p

4 7 4 0mod27x x

3p 3 27p

4 7 4 0mod3x x

1mod3x

3

1 1'( ) 4 7 2mod3xf x x

3p

11 1 3x t

124

.

Ищем t1:

3 + 3t12 0 mod 9,

после деления на р = 3:

1+2t1 0 mod 3,

t 1 1 mod 3

- единственное решение. Далее:

t1 = 1+3t2,

x =1+3t1 = 4 + 9t2,

,

18 + 920t2 0 mod 27,

и, после деления на p2 = 9, находим t2:

2 + 20t2 0 mod 3,

t2 2 mod 3,

t2 =2+3t3,

откуда

x = 4 +9(2+3t3) = 22 + 27t3.

Значит, единственным решением исходного сравнения является

x 22 mod 27.

Следующая теорема относится к специфическому виду сравнений.

Теорема 2. Пусть A, m, n - натуральные числа; (A, m) = 1,

x x0 mod m

– одно из решений сравнения

x n A (mod m ).

Тогда все решения этого сравнения получаются умножением x0 на

вычеты решений сравнения

y n 1 mod m.

1

23(1) '(1) m d30 otf f

3

2(4) 9 '( 0m d4) 3of t f

125

Доказательство. Перемножим сравнения:

откуда видно, что – решения сравнения x n A mod m.

Если теперь , то . Действительно,

предположим, что . Очевидно, что (x0, m) = 1, т.к. иначе было

бы:

x0 = dx0, m = dm

,

x0 = d n (x0

)

n A mod dm

,

следовательно, d делит А и делит m, что противоречит взаимной простоте А и

m. Значит (x0, m) = 1 и сравнение можно поделить на x0 , т.е.

– а это противоречит исходному предположению. Таким

образом, для разных y1 и y2, получаются разные решения.

Осталось убедиться, что каждое решение сравнения

xn A mod m

получается именно таким способом. Имеем:

x n A mod m

x 0 n A mod m,

следовательно,

x n x0

n mod m.

Возьмем число y такое, что

x yx0 mod m.

Тогда

y n x 0

n x 0

n mod m,

т.е.

y n 1mod m.

0

0

mod

1mod

( ) mod

n

n

n

x A m

y m

x y A m

0x y

1y 2 mody m 0 1x y 0 2 modx y m

0 1 0 2 modx y x y m

0 1 0 2 modx y x y m

1 2 mody y m

126

Задания для самостоятельной работы

1. Решите системы сравнений:

2. Решите систему сравнений

3. Пусть (m 1 ,m 2 )=d

Докажите, что система сравнений

имеет решения тогда и только тогда, когда b 1 b 2 (mod d) . В случае, когда

система разрешима, найдите ее решения .

4. Решите систему сравнений

5. Пусть (a,m)=1 , 1<a<m . Докажите, что разыскание решения

сравнения ax b(mod m) может быть сведено к разысканию решений

сравнений вида b+mt 0(mod p) , где р – простой делитель числа а .

3mod 4;

1mod5;

2mod7,

x

x

x

6mod14;

4mod5;

7mod9,

x

x

x

3mod17;

1mod15;

6mod11;

5mod14;

x

x

x

x

3 5mod7;

2 3mod5;

3 3mod9.

x

x

x

127

6. Какому сравнению степени ниже 7 равносильно сравнение: 2x 17

+ 6x 16

+ x 14

+ 5x 12

+ 3x 11

+ 2x 10

+ x 9 + 5x

8 + 2x

7 + 3x

5 + 4x

4 + 6x

3 + 4x

2 + x + 4

0(mod 7).

7. Используя процесс перебора всех вычетов из полной системы, решите

сравнение 3x 14

+ 4x 13

+ 3x 12

+ 2x 11

+ x 9 + 2x

8 + 4x

7 + x

6 + 3x

4 + x

3 + 4x

2 + 2x

0(mod 5) предварительно понизив его степень.

8. Пусть (a 0 , m)=1. Укажите сравнение n -ой степени со старшим

коэффициентом 1, равносильное сравнению a 0 x n +a 1 x

n-1 +...+a n 0(mod m)

9. Докажите, что сравнение f(x) 0(mod p), где р – простое, x n

+a 1 x n-1

+...+a n-1 x+a n , n p имеет n решений тогда и только тогда, когда все

коэффициенты остатка от деления x p -x на f(x) кратны р .

10. Перед вами крупная задачка, разделенная на несколько мелких

частей. Решите их по порядку:

а)

- характеристическая функция множества простых чисел. Докажите, что

где, как обычно, [x] - целая часть числа х .

б) Сообразите, что где (m) – число простых чисел, не

превосходящих m ("функция распределения" простых чисел).

в) Убедитесь, что

где:

("сигнум", т.е. знак х ).

г) Пусть p n - n -ое в порядке возрастания простое число, т.е. p 1 =2, p 2

=3, p 3 =5, ... Докажите, что p n n 2 +1 для всех n .

д) Докажите, что (Внимание! Перед вами формула, выражающая

простое число p n через его номер! ) **

:

11. Сколько решений имеет сравнение x

5 + x +1 0(mod105) ?

12. Решите сравнения:

а) 7 x 4 +19 x +25 0(mod27);

128

б) 9 x 2 +29 x +62 0(mod64);

в) 6 x 3 +27 x

2 +17 x +20 0(mod30);

г) 31 x 4 +57 x

3 +96 x +191 0(mod225);

д) x 3 +2 x +2 0(mod125);

е) x 4 +4 x

3 +2 x

2 +2 x +12 0(mod625).

129

8. СИМВОЛ ЛЕЖАНДРА И ЕГО СВОЙСТВА.

ЗАКОН ВЗАИМНОСТИ ГАУССА. СИМВОЛ ЯКОБИ

8.1. Сравнения второй степени. Символ Лежандра

Из сравнений степени в дальнейшем будем рассматривать только

простейшие, а именно – двучленные сравнения:

(8.1)

Если сравнение (8.1) имеет решения, тогда называется вычетом

степени по модулю

В противном случае называется невычетом степени по модулю

В частности, при вычеты или невычеты называются квадратичными,

при - кубическими, при - биквидратичными и т.д.

Подробно рассмотрим случай и, в первую очередь, рассмотрим

двучленные сравнения второй степени по простому нечетному модулю

(8.2)

Если - квадратичный вычет по модулю тогда сравнение (8.2) имеет

два решения.

Действительно, если - квадратичный вычет, тогда сравнение (8.2)

имеет, по крайней мере, одно решение Но тогда, ввиду

то же сравнение имеет и второе решение Это

второе решение отлично от первого, так как из мы имели бы

что невозможно, ввиду

Указанными двумя решениями и исчерпываются все решения сравнения

(8.2), так как последнее, будучи сравнением второй степени, более двух

решений иметь не может.

Пример. Число 2 является квадратом по модулю 7, т.к.

4 2 16 2(mod7).

Следовательно, 2 - квадратичный вычет.

Отметим, что сравнение x 2 2(mod7) имеет еще и другое решение:

2 3

2 9 2(mod7).

1n

(mod ); ( , ) 1.nx a m a m

a

n .ma n .m

2n 3n 4n

2n   :p

2 (mod );( , ) 1.x a p a p

a ,p

a

1(mod ).x x p2 2

1 1( ) ,x x 1(mod ).x x p

1 1(mod )x x p

12 0(mod ),x p 1(2, ) ( , ) 1.p x p

130

Напротив, число 3 является квадратичным невычетом по модулю 7, т.к.

сравнение x2 3(mod7) решений не имеет, в чем нетрудно убедиться

последовательным перебором полной системы вычетов: x = 0,1,2,3,4,5,6.

Приведенная система вычетов по модулю состоит из

квадратичных вычетов, сравнимых с числами

(8.3)

и квадратичных невычетов.

Действительно, среди вычетов приведенной системы по модулю

квадратичными вычетами являются те и только те, которые сравнимы с

квадратами чисел (приведенная система вычетов)

(8.4)

т.е. с числами (8.3).

При этом числа (8.3) по модулю не сравнимы, так как из

следовало бы, что сравнению

среди чисел (8.4) удовлетворяют четыре:

Пример. Рассмотрим приведенную систему вычетов по модулю :

1, 2, 3, 4, 5, 6.

Возведем все эти числа в квадрат и приведем по модулю , получим:

12 = 1, 2

2 = 4, 3

2 = 2, 4

2 = 2, 5

2 = 4, 6

2 = 1.

Следовательно, числа 1, 2, 4 являются квадратичными вычетами по

модулю , а числа 3 = -4, 5 = -2, 6 = -1 являются квадратичными

невычетами.

Введем в рассмотрение символ Лежандра

p1

2

p

2

2 2 11 ,2 , , ,

2

p

1

2

p

p

1 1, , 2, 1,1,2, , ,

2 2

p p

p

2 2 1(mod ),0 k l ,

2

pk l p

2 2(mod ),x l p

; ; ; .x l k k l

7p

7p

7p

131

(читается: символ по ).

Число называется числителем, а число - знаменателем символа

Лежандра.

Символ Лежандра определяется для всех не делящихся на Он

задается равенством

если - квадратичный вычет по модулю и равенством

,

если - квадратичный невычет по модулю

Вычислить символ (и таким путем определить, является

квадратичным вычетом или же квадратичным невычетом по модулю )

позволяет следующая теорема (критерий Эйлера).

Теорема (критерий Эйлера).

При не делящемся на имеем

Доказательство.

Действительно, по теореме Ферма

Один и только один из сомножителей левой части последнего сравнения

делится на (оба сомножителя не могут одновременно делится на в

противном случае их разность 2 должна была делиться на Поэтому имеет

место одно и только одно из сравнений

a

p

a p

a p

,a .p

1a

p

a p

1a

p

a .p

a

p

a

p

a p

1

2 (mod ).p

aa p

p

1

1 1

2 2

1(mod ),

( 1)( 1) 0(mod ).

p

p p

a p

a a p

p ,p

).p

132

(8.5)

(8.6)

Но всякий квадратичных вычет удовлетворяет при некоторых

сравнению и, следовательно, также получаемому из него

почленным возведением в степень сравнению (8.5). При этом

квадратичными вычетами и исчерпываются все решения сравнения (8.5), так

как, будучи сравнением степени , он не может иметь более чем

решений. Поэтому квадратичные невычеты удовлетворяют сравнению (8.6).

Пример. Имеем

Поэтому и - квадратичный вычет по модулю , т.е.

сравнение имеет два решения и .

Пример. Имеем

Поэтому и - квадратичный невычет по модулю

(сравнение не имеет решений).

Далее мы выведем важнейшие свойства символа Лежандра .

8.2. Свойства символа Лежандра и закон взаимности Гаусса

Свойство 1. Если то .

Это свойство следует из того, что числа одного и того же класса будут

одновременно квадратичными вычетами или невычетами.

Пример. Рассмотрим числа тогда

, ,

1

2 1(mod ),p

a p

1

2 1(mod ).p

a p

a x2(mod )a x p

1

2

p

1

2

p 1

2

p

145 1(mod29).

51

29

5 29

2 5(mod29)x 11x 11(mod29) 18x

143 1(mod29).

31

29

3 29

2 3(mod29)x

a

p

1(mod ),a a p 1a a

p p

9 2(mod7),

399 mod7 1

7

322 mod7 1

7

133

т.е. числа 9 и 2 (лежат в одном классе эквивалентности) являются

квадратичными вычетами по модулю 7. Действительно, .

Свойство 2.

Действительно, и, следовательно, - квадратичный вычет.

Свойство 3. .

Это свойство следует из критерия Эйлера при :

Так как - четное, если вида и нечетное, если вида

то отсюда следует, что -1 является квадратичным вычетом по модулю

если вида и является квадратичным невычетом по модулю

если вида

Пример. Для число -1 = 4 является квадратичным вычетом

по модулю 7. Для число -1 = 6 является квадратичным невычетом

по модулю 7.

Свойство 4.

Действительно, имеем

откуда и вытекает утверждение.

Отсюда следствие:

т. е. в числителе символа можно отбросить любой квадратичный множитель.

Пример. По модулю имеем:

,

23 9 2mod7

11.

p

21 1 1

1

21

( 1)p

p

1a

1

21

( 1) (mod ).p

pp

1

2

p p 4 1,m p

4 3,m

,p p 4 1,m ,p

p 4 3.m

5 4 1p

7 4 3p

.ab l a b l

p p p p

1 1 1 1

2 2 2 2( ) (mod ),p p p p

ab l a b lab l a b l p

p p p p

2

,ab a

p p

7p

6 2 3 2 3(1)( 1) 1

7 7 7 7

134

.

Чтобы вывести дальнейшие свойства символа Лежандра докажем сперва

вспомогательную формулу.

Полагая рассмотрим сравнения

(8.7)

где - абсолютно наименьший вычет - его модуль, так что

Числа

образуют приведенную систему вычетов по модулю .

Перемножая теперь сравнения (8.7) и сокращая на

получим

откуда по критерию Эйлера имеем

(8.8)

Далее находим

что будет четным или нечетным, в зависимости от того, будет ли наименьший

неотрицательный вычет числа меньше или больше т.е. будет ли

или

212 2 3 3( 1) 1

7 7 7

1

1,

2

pp

1 1

1 1

2 2

1

1 (mod ),

2 (mod ),

(mod ),p p

a r p

a r p

a p r p

x xr ,ax xr 1.x

1 11, 1, 2, 2, , , ,a a a a a p a p

p

11 1 21 2 ,pp r r r

1

1

21 2 (mod ),

p

pa p

11 2 .p

a

p

22 2 2 2 ,

ax ax ax ax ax

p p p p p

ax1

,2

p 1 1

1 1.

135

Отсюда, очевидно,

и потому из (8) находим

Предполагая нечетным, преобразуем последнее равенство.

Имеем ( -четное):

,

Откуда

. (8.9)

Формула (8.9) и есть та, которую мы имели в виду доказать. Она

позволит нам вывести еще два важнейших свойства символа Лежандра.

Свойство 5.

Следует из формулы (8.9) при Но можно представить в виде где - одно из чисел

При этом

что будет четным при и при и будет нечетным при и

Поэтому число 2 будет (следствие к свойству 5):

квадратичным вычетом по модулю если вида или вида

;

и квадратичным невычетом по модулю если вида или

вида .

Пример. По модулю 7 число 2 является квадратичным вычетом, т.к.

2

1 ( 1) ,

ax

p

1

1

2

( 1) .

p

x

ax

pa

p

aa p

1 1 1

1 1 1

( ) ( )42 2 2 2 2 ( 1) ( 1)

p p p

x x x

a p x a px

p p

a p a pa a p

p p p p

21

1

1

82( 1)

p

x

ax p

pa

p p

2 1

82

( 1) .p

p

1.a p ,p ms s s

1,3,5,7.2 2

2(8 ) 1 18 2 ,

8 8

m s sm ms

1s 7s 3s 5.s

,p p 8 1m

8 7m

,p p 8 3m

8 5m

136

.

Пример. По модулю 11 число 2 является квадратичным невычетом, т.к.

.

Проверяем

.

Пример. По модулю 13 число 2 является квадратичным невычетом, т.к.

.

Проверяем

.

Пример. По модулю 17 число 2 является квадратичным вычетом, т.к.

.

Проверяем

.

Свойство 6 (закон взаимности Гаусса).

Если и -простые нечетные, тогда

.

Так как

будет нечетным лишь в случае когда и будут вида и четным, если

хоть одно из этих чисел будет вида тогда указанное свойство можно

формулировать следующим образом.

Если оба числа и вида тогда

27 1

682

( 1) ( 1) 17

11 8 1 3

211 1

1582

( 1) ( 1) 111

13 8 1 5

213 1

2182

( 1) ( 1) 113

17 8 2 1

217 1

3682

( 1) ( 1) 117

p q

1 1

2 2( 1)p q

q p

p q

1 1

2 2

p q

p q 4 3,m

4 1,m

p q 4 3,m

137

.

Если же хоть одно из них вида тогда

.

Доказательство.

Для доказательства заметим, что ввиду формула (8.9) принимает вид

(8.10)

Полагая теперь рассмотрим пар чисел, получаемых,

когда в выражениях числа и независимо друг от друга пробегают

системы значений

Никогда не может быть потому что из этого равенства следовало

бы, что кратно что ввиду (так как )

невозможно. Поэтому мы можем положить где -число пар с

и где -число пар с Очевидно, есть так же число пар с

(этому не противоречит неравенство так как из

следует ).

Поэтому

Аналогичным путем убедимся, что

Но тогда равенство (8.10) дает нам

q p

p q

4 1,m

q p

p q

h

1

1

( 1) .p

x

a ax

p p

1

1,

2

qq

1 1p q

,qx py x y

1 11,2, , ; 1,2, , .x p y q

,qx py

py ,q ( , ) ( , ) 1p q y q 0 y q

1 1 1 2 ,p q S S 1S

qx py 2S .py qx 1S

px y

q 1,x p

2

p py

q

12

p py p

q

1

1

1

.q

y

pS y

q

1

2

1

.q

x

pS x

q

138

поэтому

откуда и следует отмеченное свойство.

Пример. Для чисел и имеем:

.

Для чисел и имеем:

.

Приведенный закон взаимности Гаусса и другие свойства символа

Лежандра удобно использовать при больших простых в качестве числителей и

знаменателей.

Пример. Найдем .

Имеем

103 = 25 ·4 + 3,

348 = 84 ·4 + 3,

используя критерий взаимности, получим

.

Далее

38 = 2 · 19,

и, в соответствии со свойством 4, имеем

.

Со свойством 5, имеем

1 2( 1) , ( 1) ,S Sp q

q p

1 2 1 1( 1) ( 1) ,S S p qp q

q p

5 4 1p 7 4 3q

5 71

7 5

11 4 2 3p 7 4 3q

11 71 ( 1)

7 11

103

347

103 347 38

347 103 103

103 38 2 19

347 103 103 103

139

,

или, используя следствие к свойству 5, имеем:

,

т.е., в соответствии со свойством 4, получим

.

Далее,

19 = 4·4 + 3, 103 = 25 ·4 + 3,

используя критерий взаимности, получим

.

Так как

8 = 22·2,

из следствия к свойству 4 получим

,

откуда

,

или, используя следствие к свойству 5, имеем:

т.е. 103 – квадратичный невычет по модулю 347.

2103 1

82

( 1) 1103

2103 8 12 7 1

103

38 2 19 19

103 103 103 103

19 103 8

103 19 19

8 2

19 19

219 1

82

( 1) 119

219 8 2 3 1

19

140

8.3. Символ Якоби

Полезным обобщением символа Лежандра является символ Якоби19

.

Пусть Р – нечетное, большее единицы, и – разложение на

простые сомножители (среди них могут быть и равные).

Пусть, далее, . Тогда символ Якоби определяется

равенством

.

Символ Якоби равен знаку перестановки приведённой системы

вычетов по модулю P, которая задаётся как умножение элементов этой

группы на a (где a обязательно взаимно просто с P).

В отличие от символа Лежандра, символ Якоби нельзя напрямую

использовать для проверки разрешимости квадратичного сравнения. То есть,

если задано сравнение, то равенство единице символа Якоби вовсе не

означает, что данное сравнение разрешимо.

В общем случае неверно, что для символа Якоби выполняется то же

условие, что и для символа Лежандра (критерий Эйлера):

Например, для и , , имеем:

,

однако

.

Эта особенность используется в тестах простоты.

Числа a, взаимно простые с P, для которых не выполнен критерий

Эйлера, называются эйлеровыми свидетелями непростоты числа P

(поскольку для простого P этот критерий выполняется). Если P – составное

число, то такое число a, для которого выполняется критерий Эйлера,

19

Карл Густав Якоб Якоби (нем. Carl Gustav Jacob Jacobi; 10 декабря 1804, Потсдам — 18 февраля 1851,

Берлин) – немецкий математик и механик. Внес огромный вклад в комплексный анализ, линейную алгебру,

динамику и другие разделы математики и механики.

1 2... nP p p p

( , ) 1a P a

P

1 2

...n

a a a a

P p p p

1

2 (mod ).p

aa P

P

7a 15 3 5P (7,15) 1

27 7 7 1 21 (2 mod5) 1 ( 1) 1

15 3 5 3 5

15 1

727

7 7 mod15 13mod1515

141

называют лжецом для теста Эйлера. Доказано, что для любого составного P

есть не более P/2 лжецов, различных по модулю P. Данное свойство

используется в вероятностном тесте Соловея-Штрассена на простоту. В этом

алгоритме выбираются случайные числа a и для них проверяется критерий

Эйлера. Если находится свидетель непростоты, тогда доказано, что число P –

составное. В противном случае говорят, что P – простое с некоторой

вероятностью.

Известные свойства символа Лежандра дают возможность установить

аналогичные свойства и для символа Якоби.

Свойство 1. Если то .

Действительно, если числа сравнимы по модулю они

сравнимы также и по всем модулям :

.

Пример. Рассмотрим числа . Тогда

.

Действительно,

.

Проверяем:

,

.

Свойство 2.

Действительно,

1(mod ),a a P 1a a

P P

1 2... nP p p p

1 2, ,..., np p p

1 1 1 1

1 2 1 2

... ...n n

a a a a a a a a

P p p p p p p P

47 12(mod35), (47,35) 1

47 12

35 35

47 47 47 2 5 12 12 12

35 5 7 5 7 5 7 35

2 347 47 47 2 5(2 mod5)(5 mod7) ( 1)( 1) 1

35 5 7 5 7

22 312 2 3 3 3

(3 mod5)(3 mod7) ( 1)( 1) 135 35 5 7

11.

P

142

Свойство 3. .

Действительно,

.

Однако

где - некоторое четное целое (получаемое в результате раскрытия скобок).

Следовательно,

.

Пример.

.

Проверяем:

.

Свойство 4.

Действительно, имеем

1 2

1 1 1 1... 1.

nP p p p

1

21

( 1)P

P

1 2 11 1...

2 2 2

1 2

1 1 1 1... ( 1)

npp p

nP p p p

1 2

1 2

1 2

1 1 11 2 1 2 ... 1 2 1

1 ... 1 2 2 2

2 2 2

1 1 1... 2 ,

2 2 2

n

n

n

p p p

P p p p

p p pN

2N

1 2 1 21 11 1 1 1 1... ...

22 2 2 2 2 2 21

( 1) ( 1) ( 1) ( 1)n np pP p p p p

N

P

15 1

21

( 1) 115

3 1 5 1

22 21 1 1

( 1) ( 1) ( 1)( 1) 115 3 5

.ab l a b l

P P P P

143

Отсюда следствие:

т.е. в числителе символа Якоби можно отбросить любой квадратичный

множитель.

Пример. По модулю имеем:

.

Проверяем:

.

Свойство 5.

Действительно,

.

Однако

1 2

1 1 1 2 2 2

1 2 1 2

...

... ... ...

... ... ...

n

n

n n n

ab l ab l ab l ab l

P p p p

a b l a b l l

p p p p p p p

a a a b b b l

p p p p p p p

... .a b l

P P P

2

,ab a

P P

15 3 5P

14 2 7 2 7 2 2 7 7( 1)( 1)(1)( 1) 1

15 15 15 15 3 5 3 5

14 14 14 2 4( 1)(1) 1

15 3 5 3 5

2 1

82

( 1) .P

P

22 21 2 11 1

...8 8 8

1 2

2 2 2 2... ( 1)

npp p

nP p p p

2 2 2

1 2

2 2 2 2

1 2

2 2 2

1 2

1 1 11 8 1 8 ... 1 8 1

8 8 81 ... 1

8 8 8

1 1 1... 2 ,

8 8 8

n

n

n

p p p

P p p p

p p pN

144

где - некоторое четное целое (получаемое в результате раскрытия скобок).

Следовательно,

.

Пример.

.

Проверяем:

.

Свойство 6 (аналог закона взаимности Гаусса).

Если и - положительные нечетные взаимно

простые числа, тогда

.

Действительно,

Однако (см. свойство 3)

2N

2 22 2 2 2 21 2 1 21 11 1 1 1 1

... ...28 8 8 8 8 8 8

2( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

n np pP p p p p

N

P

215 1

2882

( 1) ( 1) 115

2 23 1 5 1

8 82 2 3

( 1) ( 1) ( 1)( 1) 115 3 5

1 2... nP p p p 1 2... mQ q q q

1 1