Osnove elektrotehnike instrukcije - · PDF fileOsnove elektrotehnike instrukcije ... 1 Q 2 n Dva tačkastanaboja, istog predznaka, djeluju jedan na drugoga odbojnom električnomsilom

Osnove elektrotehnike

instrukcije

Uvod iz elektrostatike:

Kulonov zakon,

Elektrostatičko polje,

Električni potencijal i električni rad,

Kondenzatori,

Granični uslovi

Metod ogledanja

Q1

Q2

n Dva tačkasta naboja, istog predznaka, djeluju jedan na

drugoga odbojnom električnom silom i to:

• Naboj Q1 djeluje na naboj Q2 odbojnom silom F12.

• Naboj Q2 djeluje na naboj Q1 odbojnom silom F21.

n Dva tačkasta naboja različitog predznaka, djeluju jedan

na drugoga privlačnom električnom silom i to:

• Naboj Q1 djeluje na naboj Q2 privlačnom silom F12.

• Naboj Q2 djeluje na naboj Q1 privlačnom silom F21.

Q1

Q2 F12F21

F12F21

2

21QQ

4

1

rF

n Po intenzitetu sile F12 i F21 su jednake po iznosu:

• - dielektrična konstanta medija. = 0· r ;

• 0 je dielektrična permeabilnost (vrijednost 8.854×10-12 [As/Vm])

i predstavlja dielektričnost vakuuma, dok r predstavlja relativnu

dielektričnu permabilnost (za vakuum r =1).

• r - udaljenost između naboja Q1 i Q2

• ro12 – jedinicni vektor u kojem je sila usmjerena

122

21QQ

4

1or

rF

Jedan (lagani) zadatak

Dva točkasta naboja istog predznaka nalaze se u zraku na

udaljenosti r jedan od drugoga. Odrediti iznos, smjer i

orijentaciju djelovanja sile između naboja.

Q1 = 85 [C]

Q2 = 16.6 [nC]

r = 6.5 [cm]

Q1

Q2

r

Rješenje zadatka

n Naboji su istog predznaka tako da su sile odbojne:

2

21

0

2112

QQ

4

1

rFFF

r

n Po iznosu sile su jednake i iznose:

22

96

12

105.6

106.161058

110854.84

1

F

N 3F

Q1

Q2

r

F21 F12

n Ako na točkasti naboj djeluje više naboja tada se gleda

vektorski zbir svih sila pojedinih naboja. Taj vektor ce biti

usmjeren i po j-tu i po i-u.

n

i

irezFF

1

+Q2

-Q3

+Q0

+Q1

F10 F

20

Frez

F30

n Kada u zadataku imamo zadana tri punktualna

naelektrisanja. Da bi elektricni naboj bio u stanju

mirovanja sila koja djeluje na njeg mora biti jednaka 0.

Predznak naboja Q2 > 0.

+Q1

+Q2 +Q

3F21

F31

F32

F12

F13

F23

n Da bi se zadovoljio uvijet mirovanja, ako je Q2 pozitivan,

Q1 i Q3 moraju biti negativni. Ako je Q2 negativan, Q1 i

Q3 moraju biti pozitivni. Isto tako i za ako u zadatku npr.

Imamo Q1 pozitivno dato, Q2 mora biti negativan Q3

mora biti pozitivan. Isto tako vrijedi za sve moguce

kombinacije.

+Q1 - Q

2+Q

3

F21

F31 F

32F

12F

13

F23

n Uvjeti mirovanja:

Pa slijedi:

31213121 0 FFFF

32123212 0 FFFF

23132313 0 FFFF

2

123

2

1322

13

13

2

12

12QQ

QQQQrr

rk

rk

2

123

2

2312

23

23

2

12

21QQ

QQQQrr

rk

rk

2

132

2

2312

23

23

2

13

31QQ

QQQQrr

rk

rk

231213rrr

n Formula za vezu između pola i sile:

Q EFel

n Kod pozitivnog naboja vektor sile i vektor elektrostatickog

polja su u istom smjeru, a kod negativnog naboja vektor

sile i elektrostaticko polja su u suprotnom smjeru:

- Q1

+Q2

A

x1 x

2

B

FA1 F

B2EAEB

Raspodjela naeleketrisanja:

Tačkasto (punktualni) naelektrisanje

Linijski naeleketrisanje

Površinsko naeleketrisanje

Zapreminsko naelelektrisanje

Linijsko naelektrisanje:

dl – elementarna dužina

q‘ - linijska gustina naelektrisanja

dQ – Ukupni povrsinski naboj akumuliran na dužini l

Samo u slučaju kada je q‘ = const. vrijedi:

l

dlqQdlqdQ ''

l

QqlqQ ''

Površinsko naelektrisanje:

dl – elementarna dužina

- linijska gustina naelektrisanja

dQ – Ukupni povrsinski naboj akumuliran na dužini l

Samo u slučaju kada je = const. vrijedi:

s

dsQdsdQ

S

QSQ

Zapremisko naelektrisanje:

dl – elementarna dužina

- linijska gustina naelektrisanja

dQ – Ukupni povrsinski naboj akumuliran na dužini l

Samo u slučaju kada je = const. vrijedi:

v

dvQdvdQ

V

QVQ

Površina i zapremina lopte:

Površina i zapremina cilindra:

22

3

44 rVrP

HrVHrrP 2

)(2

Električno polje

Električno polje tačkastog naboja.

Električno polje beskonacnog ravnog vodiča.

Elektrocno polje ravnog vodiča

Električno polje lopte

Električno polje cilindra

Tačkasto naeletrisanje

Primjerna Gaussovog zakona za izracunavanje polja tackastog naboja

1

4

Q

2

r0r

E

r1

+Q

r2

E2

E1

E3

n Za prikazano polje točkastog naboja vrijedi:

32 EE

21 EE

• r - udaljenost od naboja Q do

promatrane točke.

Q42

0 rEdSD

r

S

Intenzitet elektricnog polje za tackasti naboj

iznosi:

n Električno polje ovisi o udaljenosti od vodiča, i formula za njeg glasi:

1

2

'

r0r

qE

r1

+l

r2

E2

E1

E3

n Za prikazano polje ravnog vodiča:

32 EE

21

EE

• r - udaljenost od vodiča do

promatrane točke.

Beskonačni provodnik

n Električno polje ovisi o udaljenosti od vodiča, i formula za njeg glasi:

L

2

'

22r0 RL

qE

r1

+l

r2

E2

E1

E3

n Za prikazano polje ravnog vodiča:

32 EE

21

EE

• R - udaljenost od vodiča do promatrane tačke.

• L – dužina vodiča

• q‘ – Podužno naelektrisanje (linijsko)

Konačni provodnik

Stranica:I-19

n Unutar kugle nema polja, a izvan se mijenja po zakonu:

1

4

Q

2

r0r

E

R

+Q

r1

E2

E1

E3

n Za prikazano polje kugle vrijedi:

32 EE

21

EE

• r - udaljenost od središta kugle

Pozitivno nabijena lopta

Stranica:I-20

n Unutar cilindra nema polja, a izvan se mijenja po

zakonu:

1

2r0

rE

n Za prikazano polje cilindra :

32 EE

21 EE

• r - udaljenost od središta cilindra

• p‘ – zapreminska gustina naelektrisanja

R

+l

r1

E2

E1

E3

Pozitivno nabijen cilindar

Lopta naelektisanja površinski:

Četiri slučaja naelektrisana lopte:

Tačkasto naelektrisanje unutar nenabijene lopte

Nabijena lopta bez tačkastog naelektrisanja

Tačkasti naboj unutar nabijene lopte (+Q)

Tačkasti naboj unutar nabijene lopte (-Q)

Stra

nica

:I-

21

Stranica:I-

22

Prvi slučaj: Tačkasti naboj Q u središtu nenabijene lopte.

n U tački A (unutar šuplje lopte) el.

polje stvara tačkasti naboj.

n Pod utjecajem el. polja koje stvara

točkasti naboj dolazi do influencije

naboja na lopti. (-Q unutra, Q

vani)

2

Ar0

A4

Q

rE

R1

+Q

R2

A

B

n El. polje u točki A i B iznosi:

2

Br0

B4

QQQ

rE

- -- -

-

----

-

----

-

- -- -

-

++

+

+

+++

+

+

++

+

+

+ ++

+

+

Stranica:I-

23

Drugi slučaj: nabijena lopta bez tačkastog naboja u središtu

n Unutar lopte nema naboja

tako da nema ni polja u tački

A:

0A

E

n El. polje u tački B stvara nabijena lopta:

2

Br0

B4

Q

rE

R1

+Q

R2

A

B

Stranica:I-

24

Treći slučaj: tačkasti naboj Q u središtu nabijene lopte (+Q)

n Unutar kugle el. polje stvara

točkasti naboj Q:

R1

+Q

R2

A

B

+Q

4

Q

2

Ar0

Ar

E

n Pod uticajem influencije el. polje u tački B iznosi:

2

Br0

B4

QQQQ

rE

- -- -

-

----

-

----

-

- -- -

-

++

+

+

+++

+

+

++

+

+

+ ++

+

+

Stranica:I-

25

Četvrti slučaj: točkasti naboj Q u središtu nabijene kugle (-Q)

n Unutar lopte el. polje stvara

tačkasti naboj Q:

R1

-Q

R2

A

B

+Q

4

Q

2

Ar0

Ar

E

n El. polje u točki B onda iznosi:

0 4

QQQQ

2

Br0

B

rE

- -- -

-

----

-

----

-

- -- -

-

++

+

+

+++

+

+

++

+

+

+ ++

+

+

Stra

nica

:I-

26

Nabijena ploča sa površinskim nabojem

n U okolini pozitivno nabijene ravnine polje izgleda kao na

slici:

n Po iznosu polje je:

2

r0

E

EE

x-x 0

Stra

nica

:I-

27

n Po iznosu polje između dvije

ravnine je, dok izvan polja

nema :

r0

E

E

x-x 0

d

Dvije suprotno nabijena pločae sa

površinskim nabojem .

I. Jedan (lagan) zadatak

= + 2 [nAs/m2]

Q = - 4 [nAs]

a = 1 [m]

Stra

nica

:I-

28

Ispred ravnine nabijene nabojem plošne gustoće nalazi se na

udaljenosti, a negativan točkasti naboj Q. Odredite izraz za vektor

jakosti električnog polja E (koordinatne osi zadane prema slici) koje

ravnina i točkasti naboj stvaraju u točki T, a također odredite i iznos

polja E. Zadano:

y

x

a

a

T

- Q

II. Jedan (lagan) zadatak

1 = + 2 [nAs/m]

2 = - 4 [nAs/m]

Q = - 4 [pAs]

d = 1 [m]

d1 = 0.25 [m]

Dva duga ravna vodiča, polumjera r0 zanemarivo malog u odnosu na

njihov međusobni razmak, nabijena su linijskim nabojima l1 i l2,

predznaka prikazanih na slici. Ako se u točku A postavi negativan

točkasti naboj Q, odredite silu koja djeluje na taj naboj. Zadano:

y

x+l1

-l2

A

d

d1

Rješenje zadatka

Stra

nica

:I-

30

y

x+l1

-l2

A

d

d1

r1

r2

2

2

1

2

21d

drr

21AEEE

E1

E2

2

1r0

1

1r

E

2

2r0

2

2r

E

n Za ovaj slucaj cemo imati i po i-u i po j-tu komponentu:

0;sin ; 2cos

1

1

1

r

d

r

d

n Kuteve i određujemo iz slike:

jEiEE

sin cos 111

y

x+l1

-l2

A

d

d1

r1

r2

n Ukupno el. polje u točki A, EA:

jEiEjEiEE

sin cos sin cos 2211A

jEiEE

sin cos 222

0;sin ; 2cos

2

1

2

r

d

r

d

n Kada je negativan naboj, tada sila ima suprotan smijer od

el. polja:

AAQ EF

n Vektor sile je:

y

x+l1

-l2

A

d

d1

r1

r2

-QEA

FA

Električni potencijal i rad sila:

Stra

nica

:I-

33

n Potencijal naelektrisanog naboja

n Potencijal naelektrisanog provodnika

n Potencijal naelektrisane lopte

n Rad sila

n Elektrostatska energija

El. potencijal i rad sila:

Kada imamo tri naelektrisanja q1,q2,q3 i kada želimo da

izračunamo koliko je potencijal tače npr. A, tada

moramo da uzmemo u obzir djelovanje svih

naelektrisanja na tu tačku i ukupni potencijal ce biti zbir

svih pojedinacnih (djelovanja) potencijala.

Rad sila:

321VVVV

)(BA

VVQA .. KrajPo čWWWA

Elektrostatska energija

Zapreminska energija u vazduhu:

Zapreminska energija za neki drugi

epsilon

Zapreminska energija ako je u linearnoj

sredini:

Stra

nica

:I-

35

ooooEDEW

2

EDW

2

EW

Stranica:II- 36

n Polje potencijala u okolini tačkastog naboja može se

odrediti na sljedeći način:

ref

r

ldEV

refrr

V11

4

Q

n Imamo dvije formule za el. potencijal:

a) za definiranu referentnu tačku u beskonačnost

b) za definiranu referentnu tačku u nekoj b tački

rV

1

4

Q

n Napon između dviju točaka u polju točkastog naboja:

BAABVVU

BA

AB

11

4

Q

rrU

Potencijal naelektrisanog naboja

Stranica:II- 37

r

rln

qV

ref

2

'

n Napon između dvije tačaka u polju provodnika:

BAABVVU

A

B

BA

AB2

'

2

'

2

'

r

rln

q

r

rln

q

r

rln

qU

refref

Potencijal naelektrisanog

provodnika

ref

r

ldEV

Potencijal naelektrisane lopte

Imamo tri slučaja:

Kada je lopta naelektrisana, a metalna

kugla nije naelektrisana

Kada su lopta i metalna kugla pozitivno

naelektrisane.

Kada je lopta pozitivno naelektrisana, a

kugla negativno naelektrisana

Stra

nica

:I-

38

Prvi slučaj: V(r)

Referentna točka nalazi se u beskonačnosti:

3

32R4

Q)R()R()(

VVrV

Za R1< r <R2 :

rrrrV

ref

4

Q

4

Q

4

Q)(

R1

R2

R3 -Q Za r>R3 :

Za R2< r <R3 potencijal je konstantan jer u

metalu nema polja:

0ref

V

32

22RR4

Q

R4

Q

4

Q)R()(

rVUrV

r

Za r<R1 potencijal je konstantan:

)R()R()(2R1R21

VUVrV

Drugi slučaj: V(r)

R1

R2

R3 +Q

+Q

Referentna točka nalazi se u

beskonačnosti:

)R()R()(32

VVrV

Za R1< r <R2 :

rrrr

ref

4

Q2

4

Q2

4

Q2)(

Za r>R3 :

Za R2< r <R3 potencijal je konstantan jer u metalu nema polja:

0ref

V

32

22RR4

Q2

R4

Q

4

Q)R()(

rVUrV

r

Za r<R1 potencijal je konstantan:

)R()R()(2R1R21

VUVrV

Treći slučaj: V(r)

R1

R2

R3 +Q

-Q

Referentna točka nalazi se u

beskonačnosti:

0)R()R()(32

VVrV

Za R1< r <R2 :

0)( rV

Budući da izvan sustava nema polja, za

r>R3 :

Za R2< r <R3 potencijal je konstantan jer u

metalu nema polja:

0ref

V

2

22RR4

Q

4

Q)R()(

rVUrV

r

Za r<R1 potencijal je konstantan:

)R()R()(2R1R21

VUVrV

Kondenzatori

n Granični uslovi

n Metod ogledanja

n Pločasti kondenzator.

n Cilindrični kondenzator.

n Kuglasti kondenzator.

n Serijska veza kondenzatora

n Paralelna veza kondenzatora

Stranica:III- 43

Formule za kondenzatore:

CU

Q

Q Q

d

E, D

r

S

EEDr

0

SD

Q

d

SC

r

0

dEU

dSDEU

CW

22

Q

2

Q2

D – dialektrični pomjeraj, U- napon na pločama kondenzatora, E-

elektrostaticko polje kondeznatora, d- udaljenost ploča kondenzatora,

s- površina ploče kondenzatora, Q- naelektrisanje na pločama

kondenzatora, C- kapacitet kondenzatora, W- energija kondenzatora,

P-vektor polarizacije. Do- dialektricni pomjeraj u vakumu

P=alfa*E se smije koristi samo za homogene, linearne i izotropne

sredine!!!

pEDpDD

0

EP

o

1r

Stranica:III- 44

1. zadatakDvije metalne ploče sa zrakom kao izolatorom bile su spojene na izvor

napona U, a zatim odspojene od njega. Nakon toga je razmak ploča

povećan na dvostruki iznos, a zrak je zamijenjen tinjcem (r = 6).

Odredite što se događa s električnim poljem, naponom između ploča,

kapacitetom kondenzatora, nabojem na pločama i energijom u

kondenzatoru.

Q Q

d

E, D

r

S

Stranica:III- 45

n Na ploče kondenzatora je bio spojen napon U i ploče su

se nabile nabojem Q.

Rješenje zadatka

n Nakon toga je kondenzator odspojen, povećan je razmak

među pločama i ubačen je dielektrik.

n Budući da je kondenzator odspojen od izvora napajanja

nakon ubacivanja izolatora vrijedi:

Q Q

d

E, D

0

S

Q Q

2d

E1, D

1

r

S

konst. Q

Stranica:III- 46

n Vektor dielektričnog pomaka D:

n Energija W:

11

Q ;

Q DD

SD

SD

n El. polje E:

6

11 ;

0

0

1

1

0

1

1

0

r

r

rD

D

E

EDE

DE

n Napon U:

3

1

2 2 ; 11

11

dE

dE

U

UdEUdEU

n Kapacitet C:

32

2

2

;

0

01

010

r

r

r

d

S

d

S

C

C

d

SC

d

SC

3

1

2

Q

2

Q

2

Q;

2

Q1

1

11

1

U

U

U

U

W

WUW

UW

Dvije grupe zadataka:

Prva grupa zadataka kada se rjesavaju bez primjene graničnih uslova(može se primjeniti). To je grupa kod koje metal razdvaja dva dialektrika. U njoj ekvivalentiramo kondenzator.Dijeli se na:

o Serijsku i paralelnu

Druga grupa zadataka kada se rjesavaju sa primjenom graničnih uslova (Nikad se ne smije ekvivalentirati kondenzator!!!). To je grupa kod kojih ništa ne razdvaja da dialektrika. Dijeli se na:

o Serijsku i paralelnu

Stra

nica

:I-

47

a) Kondenzator s dva dielektrika (serija):

Prva grupa (serija):

21EE

Q Q

d1

E1, D

1

r1

S

d2

E2, D

2

r2

21DD

SE

SE

rr

20

2

10

1

Q ;

Q

2

202

1

101 ;

d

SC

d

SC

rr

21

21

21

111

CC

CCC

CCC

222111 ; dEUdEU

21 UUU

21 WWW

n Pločasti kondenzator s dva dielektrika (paralela):

Prva grupa (paralela):

21DD EEE

21

ES

DES

Drr

20

2

2

210

1

1

1

Q ;

Q

d

SC

d

SC

rr

2

202

1

101 ;

21CCC

dEdEUUU 2121 21

WWW

Q Q

d

E1, D

1

r1

E2, D

2

r2

Q1, S

1

Q2, S

2

21QQQ

a) Kondenzator s dva dielektrika (serija):

Druga grupa (serija):

21EE

Q Q

d1

E1, D

1

r1

S

d2

E2, D

2

r2

21DD

SE

SE

rr

20

2

10

1

Q ;

Q

2

202

1

101 ;

d

SC

d

SC

rr

!!NIKADA!

21

21

CC

CCC

222111 ; dEUdEU

21 UUU

21 WWW

n Pločasti kondenzator s dva dielektrika (paralela):

Druga grupa (paralela):

21DD EEE

21

ES

DES

Drr

20

2

2

210

1

1

1

Q ;

Q

d

SC

d

SC

rr

2

202

1

101 ;

!!NIKADAA!21

CCC

dEdEUUU 2121

21 WWW

Q Q

d

E1, D

1

r1

E2, D

2

r2

Q1, S

1

Q2, S

2

21QQQ

Proboj dialektrika:

Kada imamo zadatak sa zadanim kriticnim (probojnim)

naponima, tada ćemo morati posmatrati dva uslova:

1. Ako pretpostavimo da će el. polje u prvom dielektriku imati svoju

maksimalnu vrijednost (vrijednost E2 dobijeno uporedimo sa

E2prob, ako je E2 > E2prob ,onda zadovoljava uslov nece doci do

proboja i tu vrijednost uzimamo kao max vrijednost).

2. Ako pretpostavimo da će el. polje u drugom dielektriku imati svoju

maksimalnu vrijednost (vrijednost E1 dobijeno uporedimo sa

E1prob, ako je E1 > E1prob ,onda zadovoljava uslov neće doći do

probojai tu vrijednost uzimamo kao max vrijednost).

11pEE

22pEE

Jedan(lagani) zadatakPločasti kondenzator sadrži dva sloja dielektrika prema slici. Odredite

maksimalnu vrijednost napona U pri kojem neće doći do proboja, ako je

zadano:

E1p = 10 [kV/m]

E2p = 20 [kV/m]

d1 = 7 [mm]

d2 = 3 [mm]

r1 = 5

r2 = 2

Q Q

d1

r1

d2

r2

n Probojno polje označava maksimalno el. polje kod kojeg u

određenom dielektriku neće doći do proboja.

Rješenje zadatka

n Ako pretpostavimo da će el. polje u prvom dielektriku

imati svoju maksimalnu vrijednost vrijedi:

Za serijski spojene kondenzatore

vrijedi:

21EE

21DD

kV/m 10p11

EE

2pp1

2

1

2220p110kV/m 25 EEEEE

r

r

rr

n Ovaj slučaj ne zadovoljava, jer iako ne dolazi do proboja u

prvom dielektriku u drugom dolazi.

Q Q

d1

r1

d2

r2

n Uz pretpostavku da je u drugom dielektriku maksimalno

polje vrijedi: kV/m 20

p22 EE

1pp2

1

2

1p220110kV/m 8 EEEEE

r

r

rr

n Znači el. polja u prvom i drugom dielektriku iznose:

kV/m 81

E

kV/m 20p22

EE

n Maksimalni napon onda iznosi:

221121max

dEdEUUU

10310201071083333

max

U

V 116max

U

Stranica:III- 56

Kuglasti kondenzator

2

20

22

10

14

Q)( ;

4

Q)(

rrE

rrE

rr

)()(2221

RDRD

23

32

202

12

21

1014 ;4

RR

RRC

RR

RRC

rr

21

21

21

111

CC

CCC

CCC

3220

32

2110

21

11

4

Q

11

4

Q

RRU

RRU

r

RR

r

RR

21 WWW

R1

+Q

R2

-Q

R3

r1

r2

Stranica:III- 57

Cilindrični kondenzator

rrE

rrE

rr

20

2

10

12

)( ;2

)(

l

l

)()(2221

RDRD

2

3

20

2

1

2

10

1

2 ;

2

R

Rln

lC

R

Rln

lC

rr

21

21

21

111

CC

CCC

CCC

2

3

20

32

1

2

10

21

2

2

R

RlnU

R

RlnU

r

RR

r

RR

21 WWW

R1

+l

R2

-l

R3

r1

r2

Podjela po nabojima kondenzatora:

Imamo dvije vrste kondenzatora po

nabojima:

a) Kondenzatori koji nisu nabijeni

b) Prethodno nabijeni kondenzatori

Stra

nica

:I-

58

Stranica: IV-59

Vezivanje kondenzatoran Priključivanjem skupine kondenzatora na istosmjerni izvor

(ili izvore) električne energije uspostavljaju se naponske i

nabojske prilike na pojedinim kondenzatorima u skladu s

dva osnovna zakona i to: (U kolu nijedan kondenzator nije

prethodno nabijen!!!)

čvor svaki za Q Q počkon

i

i

i

i algalg

konturusvaku za C

QE

i i

i

j

j algalg

Vezivanje kondenzatora:

C2

E (1)

C1

n Serijska veza kondenzatora:21 UUE

0QQ (1)čvor za 21

2112

111

CCC

U1

U2

Q1

Q2

+

-+

-

n Paralelna veza kondenzatora:

2112UUU

2112 QQQ

2112CCC

C2E C

1U2

1

Q2+

-

+

-

U1

Q1

+

-

Stranica: IV-61

Jedan(lagan)zadatak

C1 = 4 [F]

C2 = 6 [F]

C3 = 2 [F]

U = 1200 [V]

Na kondenzatorsku mrežu na slici priključen je izvor napajanja koji daje

istosmjerni napon od 1200 [V]. Potrebno je odrediti ekvivalentni

(ukupni) kapacitet mreže, napone koji vladaju na pojedinim elementima

(kondenzatorima) kao i pripadne naboje. Zadano je:

C2

U

C1

C3

Stranica: IV-62

Ukupni (ekvivalentni) kapacitet mreže:

Rješenje

F 8 108102106666

3223

CCC

F 2.671067.2108

1

104

111 6

1

66

1

231

CCC

n Naponi na kondenzatorima:

UC QQQ 231

V 800104

1067.21200

6

6

1

1

C

CUU

V 400108

1067.21200

6

6

23

23

C

CUU

V 4002332

UUU

Stranica: IV-63

n Naboji na kondenzatorima:

C 108.0400102Q

C 104.2400106Q

C 102.3800104Q

36

333

36

222

36

111

UC

UC

UC

n Napomena!

n Pokazati metod ogledanja

n Pokazati dvostrano naelektrisane površine

n Pokazati ekvivalentne šeme kondenzatora

n Pokazati izvođenje formula za granicne uslove

n + primjere za svaki dio oblasti

Stranica: IV-64

n Vrijede dva osnovna zakona kao i za nenabijene

kondenzatore:

Prethodno nabijeni kondenzatori!!

C2

E (1)

C1

+

-

Q10

n Serijski spoj, pri čemu je prije toga kondenzator C1

nabijen na Q10, vrijedi:

21 UUE

1021 QQQ (1)čvor za U1

U2

Q1

Q2

+

-

+

-

čvor svaki za Q Q počkon

i

i

i

i algalg

konturusvaku za C

QE

i i

i

j

j algalg

C2

E

C1

+

-

Q10

Q30

C3

- +

Uvodni pojmovin Serijsko-paralelnog spoja tri kondenzatora, gdje su oba

kondenzatora prethodno nabijena prema slici vrijedi:

2332UUU

3010321QQQQQ

U3U2 Q3Q2

+

-

+

-

+ -

Q1 U1

1

11

Q

CU

2

2

2

Q

CU

3

3

3

Q

CU

231UUE

II. Lagani zadatak

C1 = 4 [F]

C2 = 6 [F]

C3 = 2 [F]

Q10 = 1 [mC]

U = 1200 [V]

Na kondenzatorsku mrežu priključuje se izvor napajanja koji daje

istosmjerni napon od 1200 [V]. Potrebno je odrediti napone koji vladaju

na pojedinim elementima (kondenzatorima) kao i pripadne naboje, ako

je kondenzator C1 prethodno nabijen nabojem Q10 prikazanog

polariteta. Zadano je:

C2

U

C1

C3

+

-Q10

Nakon zatvaranja sklopke u mreži se kondenzatori nakon nekog vremena nabijunabojima prikazanim na slici:

Rješenje

n Za mrežu vrijedi:

C2

U

C1

C3

+

-Q10+

-Q

1

+

-

Q2 +

-

Q3

(1)

10321 QQQQ (1)čvor za

3

3

2

232

QQ

CCUU

3

3

1

1

2

2

1

1231

QQQQ

CCCCUUU

Rješenjem sustava tri jednadžbe s tri nepoznanice iuvrštenjem poznatih vrijednosti konačni naboji nakondenzatorima iznose:

n Naponi na kondenzatorima:

mC 86.2Q 1

V480QQ

3

3

2

232

CCUU

mC 90.2Q 2

mC 96.0Q 3

V720Q

1

11

CU

Prije par godina bio slican

na ispituSredišta dviju usamljenih metalnih kugli A i B polumjera RA i RB

razmaknuta su d metara, s tim da je d >> RA. Na kugle su dovedeni

naboji QA0 i QB0, a nakon toga one se međusobno povezuju vrlo

tankom metalnom niti. Odredite, za taj slučaj, iznose polja EA i EB tik uz

površinu kugli ako je = 0.

RA = 9 [cm]

RA = 1 [cm]

QA0 = -2.4 [nC]

QB0 = +3.2 [nC] RA

RB

QA0

QB0

d

n Nakon zatvaranja sklopke potencijali lopti se

izjednačavaju (dolazi do preraspodjele naboja):

Rješenje zadatka

n Kugle čine sustav prikazan na slici, za koji vrijedi:

RA

RB

QA

QB

d

BA

Uz referentnu točku u

beskonačnosti:

B0

B

A0

A

4

Q

4

Q

RR

+

-

+

-

QA0 Q

A

CA

beskonačnost

+

-

+

-

QB0 Q

B

CB

beskonačnost

BAB0A0 QQQQ

n Rješenjem sistema jednadžbi:

n Budući da je d >> RA el. polja nakon zatvaranja sklopke

iznose:

A

BAB QQ

R

R

9

11

102.3104.2

1

QQQ

99

A

B

B0A0

A

R

R

As 720Q A p

As 80Q B p

V/m 800

10910854.84

10720

4

Q

22-12-

-12

2

A0

AA

RE

kV/m 2.7

10110854.84

1080

4

Q

22-12-

-12

2

B0

BB

RE

Ponašanje kondenzatora, zavojnice u

kolu stalne jednosmjerne struje Elektrostatika: Kad daju u zadatku Q=0 na

nekom kondenzatoru tada se kondenzator zamjeni provodnikom (odnosno kratko se spoji). Na kondenzatoru uvijek postoji razlika potencijala, u tom slucaju jednaka je 0.

Stalne jednosmjerne struje: Inace kondenzator u stalnim jednosmjernim strujama predstavlja beskonacan otpor. A zavojnica u stalnim jednosmjernim strujama predstavlja obični provodnik, tj. otpor je jednak 0.

Stra

nica

:I-

72

Završili smo sa gradivom za

prvu parcijalu, pauza 10

minuta i prelazimo na

gradivo za II parcijalu.

Stra

nica

:I-

73

Stalne istosmjerne strujeOblasti: Vezivanje i ekvivalentiranje otpora

Idealni i realni naponski/strujni izvor (režimi rada generatora),

Idealni i realni ampermetar/voltmetar,

Ohmov zakon

Prvi kirhofov zakon,

Drugi kirhofov zakon,

Ponašanje voltmetra i ampermetra u kolu istosmjerne struje,

Pretvaranje realni naponskih izvora u realne struje izvore i

obrnuto,

Potencijalni dijagram,

Julovi gubici (snaga u kolu istosmjerne struje)

Metod konturnih struja

Metod superpozicije

Stra

nica

:I-

74

Najvažnija stvar!

Stra

nica

:I-

75

t

U , I

U

I

Ekvivalentiranje otpora

Imamo 4 vrste vezivanja otpora:

a) serijska veza otpora

b) paralelna veza otpora

c) mješovita veza otpora

d) paralelna veza otpora i provodnika

Stra

nica

:I-

76

Ekvivalentan otpor serijskog spoja otpora:

n

i

iSRR

1

n Ekvivalentan otpor paralelnog spoja otpora:

1 1

1R RP ii

n

Serijska i paralelna veza

otpora

R1

R2

RS

R1

R2

RP

21RRR

S

1 1 1

1 2R R R

P

Opći slučaj

Opći slučaj

Stranica: VIII-78

n Zadana mreža može se prikazati na sljedeći način:

Mješovita veza otpora

R R

R

R R

ab

RRRRRR ab

RRR

RRR

RR

RR

RRR

22ab

RR 2ab

R R

R

R R

ab

Ohmov zakon:

Stra

nica

:I-

79

RIU

I

UR

R

UI

Osnovni pojmovi:

Čvor prestavlja mjesto gdje se spaja 3 ili

više grana.

Grana predstavlja svaku zatvorenu liniju.

Kontura predstavlja najmanje 2 zatvorene

grane.

nk=ng-(nč-1)

Stra

nica

:I-

80

I i II Kirhoffov zakon:

R1

E+ -

R2

+ - + -U

R1U

R2

Ii

i

n

1

0

0

1

n

i

iU

I1

I2

I3

I1 - I2 - I3 = 0

n I Kirchhoffov zakon:

n II Kirchhoffov zakon:

21RIRIE

Postupak rjesavanja zadataka sa I i II

Kirhofovim zakonima:

Prvo odredimo broj čvorova u kolu, zatim broj grana u kolu i po prethodno napisanoj formuli broj potencijalni kontura.

Nakon toga ako nisu dati smjerovu struja, odrediti i pretpostaviti smjerove struja.U vecini slucajeva „gdje je glavni izvor tu postavite struju smjera presjecanja minus pola izvora preko plus pola izvora. A sve nakon toga se granaju u istim smjerovima.

Postavljanje konture u II kirhofovom zakonu cemo pokazati na jednom od sljedecih slajdova.

Stra

nica

:I-

82

Stranica: VIII-83

Primjer rješavanja zadatka pomoću

prvog i drugog kirhofovog zakona

R1 = 10 []

R2 = 4 []

R3 = 8 []

E = 12 [V]

Za zadani strujni krug potrebno je odrediti sve struje koje teku u krugu

te ukupan otpor kojim je opterećen izvor napajanja. Zadano je:

R1

R2

R3

E

+

-

Stranica: VIII-84

R1

R2

R3

E

+

-

n Zadani strujni krug sastoji se od:

• tri grane

• dva čvora

n U svakoj od navedenih grana teče struja:

• I (prva grana)

• I1 (druga grana)

• I2 (treća grana)

I I1

I2

• tri petlje

Stranica: VIII-85

R1

R2

R3

E

+

-

n Postupak rješavanja zadatka sastoji se od nekoliko

koraka:

II1

I2

• Određuju se struje koje teku u strujnom krugu, pretpostavljaju se i

ucrtavaju njihovi smjerovi te se na temelju njih definiraju padovi napona

na pojedinim otporima.

+

-

+

-

+

-

UR1

UR2

UR3

I I I 1 2

0

• Raspisuje se (nč-1) jednadžbi IKirchhoffovog zakona.

• Raspisuje se (nP-1) jednadžbi IIKirchhoffovog zakona.

E U

U U U

R

R R R

1

1 2 3

0

0

• Rješava se dobiveni sustav jednadžbi.

0

0

0

322211

11

21

RIRIRI

RIE

III

Stranica: VIII-86

Realni naponski izvor:

Realni naponski / strujni izvori

n Realni strujni izvor:

iRIEU

E

Ri

U

• Napon na stezaljkama realnog

naponskog izvora ovisi o

priključenom otporu trošila (otpor

određuje struju I):

RR

RII

i

i

i

Ii R

i

I

• Struju koju daje realni strujni izvor

u mrežu ovisi o otporu trošila.

• Struja koju daje realni naponski

izvor ovisi o spojenom trošilu R.

• Napon na stezaljkama izvora ovisi

o trošilu.

RR

EI

i

RR

RRIRIU

i

i

i

Naponski izvor:

Stra

nica

:I-

87

1E

RIE 1

E

RIE

Idealni naponski/strujni izvor:

Stra

nica

:I-

88

1E

• Kod idealnog naponskog izvora unutrašnji otpor jednak je 0 tj.

Koliko god priključili otpornika na njeg on ce uvijek davati isti

napon. U praksi ne postoji ni priblizan idealni naponski elektricni

izvor.

• Kod idealnog strujnog izvora

unutrašnji otpor jednak je

beskonacan tj. Koliko god priključili

otpornika na njeg on ce uvijek

davati istu struju. U praksi ne

postoji ni priblizan idealni strujni

elektricni izvor.

Pad napona (plava linija) na

njemu je obrnutog smjera od

proticanja struja uvijek!

Stranica: VIII-89

Jedan (lagani) zadatakAko su čvorovi a i b prema slici na potencijalima Va = 10[V] i Vb = 30[V],

odredite struju koju mjeri ampermetar zanemarivog otpora.

Aba

5 15V

Stranica: VIII-90

Ab

a5[]

15[V]

I

Na slici je zadana grana, dio mreže kroz koju protječestruja I. Uz pretpostavljeni smjer struje pad napona naotporu od 5 ima prikazani polaritet:

Rješenje zadatka

Ab

a5[]

15[V]

I+-Za ovako definiran

smjer struje vrijedi:

515 ba

IVV

A 15

151030

5

15ab

VV

I

Za suprotno definiran

smjer struje vrijedi:

+ -

515 ba

IVV

smjer struje poklapa se s

pretpostavljenim smjerom struje

A 15

153010

5

15ba

VV

Ismjer struje ne poklapa se s

pretpostavljenim smjerom struje

Stranica: VIII-91

5. zadatakU dijelu neke mreže prikazane na slici idealni instrumenti mjere struju

IAmpermetra=1[A] i napon UVoltmetra= 10[V] označenog smjera odnosno

polariteta. Odredite napon Uca.

10

5 V

a

5

5 Vb

V

A

+

c

5

IC

Stranica: VIII-92

Uz pretpostavljene smjerove struja i označenu točku kvrijedi sljedeće:

Rješenje zadatka

1 0

5 V

a

5

5 Vb

V

A

+

c

5

IC

IA

I B

k

55Bbk

IVV

A 15

510B

I

5510 B I

5510 Bbk I

A 12)1(CBA III

n Za napon Uca vrijedi:

accaVVU

V 15ca U

5251015510aCAac

VIIVV

Stranica: VIII-93

Idealni instrumentiAmpermetar mjeri struju u grani u

kojoj se nalazi, a pad napona na

stezaljkama ampermetra je jednak

nuli (RA<<).

Voltmetar mjeri napon između dviju

stezaljki na koje je spojen, a struja

u grani u kojoj se nalazi voltmetar

jednaka je nuli (RV>>).

Watmetar mjeri umnožak UW·IW,

odnosno umožak struje koja prolazi

njegovim strujnim stezaljkama i

napona na koji su spojene njegove

naponske stezaljke.

A

R1

0A

1A

U

II R

V

R1

R2

2V

1V 0

R

R

UU

II

W

R1

R2

R3

R4

I1

I2

2W

21W

RUU

III

Ponašanje ampermetra i voltmetra u

kolima istosmjerne struje Ampermetar se u kolima istosmjerne

struje ponasa kao kratak spoj, tj. Struja

kroz njeg jednaka je struji grane, a njegov

otpor jednak je 0.

Voltmetar se u kolima istosmjerne struje

ponasa kao preki kola odnosno, struja

kroz voltmetar je uvijek 0, jer je otpor

voltmetra vrlo visok (beskonacnost).

Stra

nica

:I-

94

Stranica: IX-95

Metod konturnih strujaOdredite struje koje teku u svim granama mreže na slici i napon na

stezaljkama strujnog izvora. Zadano:

E1R

1

I

R2

R3

E2

E3

R4

R5

R6

R1 = 1 []

R2 = 1 []

R3 = 2 []

R4 = 4 []

R5 = 3 []

R6 = 1 []

E1 = 2 [V]

E2 = 1 [V]

E3 = 3 [V]

I = 1 [A]

Stranica: IX-96

n U osnovnim crtama taj se postupak sastoji od sljedećih

koraka:

1. Određujemo konture u petlji

2. Određujemo u svakoj petlji struje

3. Raspisuju se jednadžbe II Kirchhoffovog zakona za definirane

petlje čime se dobiva odgovarajući sistem jednacina

4. Rješavanjem tog sustava jednadžbi dolazi se do vrijednosti

konturnih struja.

5. Raspisuju se i rješavaju jednadžbe koje povezuju konturne struje i

struje koje teku u pojedinim granama zadanog strujnog kruga.

1. korak

2. korak

Stranica: IX-97

E1R

1

I

R2

R3

E2

E3

R4

R5

R6

n Definiranje neovisnih petlji (kontura) i smjerova konturnih

struja, te odgovarajućih padova napona (koraci #1 i #2):

-

+

+ -UA2

UA1

n Budući da se u prvoj konturi (u neovisnoj grani) nalazi

strujni izvor vrijedi:

n Jednadžba II Kirchhoffovog zakona za 2. konturu :

+ -UB4 +

-

UB5

IA IB+

-

UA3 UB3

-

+ UB6- +

II A

02314B5B6B3B3A EEERIRIRIRIR-I

Stranica: IX-98

n Rješenjem ovog sustava jednadžbi dobivaju se vrijednosti

konturnih struja (korak #4):

2313A4B5B6B3B EEERIRIRIRIRI

A 1A II

4563

2313A

BRRRR

EEERII

A 2.04312

13221B

I

n Kada se u dobivene izraze uvrste brojevi:

A 2.0

A 1

B

A

I

I

n U posljednjem je koraku potrebno konturne struje

povezati sa stvarnim strujama koje teku u krugu (korak

#5).

Stranica: IX-99

E1R

1

I

R2

R3

E2

E3

R4

R5

R6

n Smjerovi struja koje teku u pojedinim granama mogu se

definirati prema slici:

n Iz slike je vidljiva veza između konturnih struja i struja

grana:

I1 I3

I2

IBIA

A 1A1 II A 2.0B3 II A 8.02.01BA2 III

Stranica: IX-100

E1R

1

I

R2

R3

E2

E3

R4

R5

R6

a

b

-

+

+ -

IA

IB

+

-

-

+

n Napon na stezaljkama strujnog izvora, Uab:

1A2A13B3Aab RIRIERIRIU

V 6.5ab U

1111222.021ab U

Snage u kolu istosmjerne struje:

Tri najvažnije formule za snage u kolu:

U kojem rezimu rade strujni i naponski

izvori zavisi od vrijednosti, ako je

negativna snaga izvora tada on radi u

potrošačkom režimu, ako je pozitivna tada

on radi u generatorskom režimu rada.

Stra

nica

:I-

101

R

UP

2

RIP 2

IUP

Pretvaranje realnih strujnih izvora u

realne naponske izvore

Realni strujni izvor se pretvara u realni

naponski tako što se prvo prepisuje otpor

i njegova vrijednost, a nakon toga u

smjeru koji nam govori realni strujni izvor

postavljaju se + i minus pol.

Stra

nica

:I-

102

RIE

unutR

Pretvaranje realnih naponskih izvora

u realne struje

Pretvaranje se vrši na istom principu,

mjesto naponskog izvora stavljamo strujni

koji je usmjeren isto kao poloče (minus i

plus) izvora, a u paralelu šaljemo

unutrašnji otpor. Stra

nica

:I-

103

Završili smo sa gradivom za

prvi dio II parcijale, pauza 10

minuta i prelazimo na

magnetizam.

Stra

nica

:I-

104

Stranica: V-105

Magnetsko polje opisuje se pomoću sljedećih osnovnihveličina:

• Jakost magnetskog polja: A/m H

• Magnetska indukcija: T B

n Veza jakosti magnetskog polja i indukcije:

0

HBr

gdje je:

Vs/Am 1047

0

n Kada se naboj kreće u magnetskom polju tada na njega

djeluje magnetska sila:

BvF

Q

• Q - naboj

• v - brzina gibanja naboja

Stranica: V-106

Smjer magnetske sile na naboj definiran je vektorskim produktombrzine i magnetske indukcije:

n Po iznosu sila ovisi o kutu između vektora v i B:

sinBvF Q

• ukoliko se naboj krece paralelno silnicama magnetskog

polja, magnetske sila na naboj je jednaka nuli (sin = 0)

• ukoliko se naboj giba okomito na silnice magnetskog polja

tada je sila po iznosu jednaka: F = Q·v·B

-Q

v

B

F

+Q

v

B

F

Stranica: V-107

Sila na vodič protjecan strujom u magnetskom polju

N sinlIBF

N BlIF

• silnice (B) - dlan

• struja (I, l) - prsti

• sila (F) - palac

• l je duzina vodiča u magnetskom polju!!!

• kut je kut koji zatvaraju vektori polja (indukcije) i duzine (smjer struje)

n Smjer sile određuje se pravilom lijeve ruke:

n Iznos sile:

• ukoliko je vodič okomit na silnice magnetskog polja tada je

magnetska sila po iznosu jednaka: F = B·I·l

• ukoliko je vodič paralelan silnicama magnetskog polja

magnetska sila na vodič jednaka je nuli (sin = 0)

Stranica: V-108

Magnetni tok

a = 1 [cm]

I = 10 [A]

Odredite magnetski tok koji se zatvara kroz zatvorenu petlju prikazanu

na slici. Zadano:

2a

2a a

I

Stranica: V-109

Magnetni flulks Magnetski tok je skalarna veličina kojom se opisuje

magnetsko polje i definiran je kao:

n Primjer, tok kroz zatvorenu petlju:

SB

BdSSdB

SS

x1

a

dx

x2

I

2

1

a)()(

x

xS

dxxBSdxB

2

1

0

2

1

02

aa

2

x

x

x

xx

dxIdx

x

I

2

10 2

a x

xxln

I

1

20

2

a

x

xln

I

Stranica: V-110

Smjer magnetskog toka određuje se pravilom desnog vijka:

Rješenje zadatka

2a

2a a

I

Palac se stavlja u smjer struje

kroz vodič i tada prsti određuju

smjer magnetskog toka.

n Iznos toka:

3 a

a

a3

2

a2

2

a200

1

2

0ln

Iln

I

x

xln

I

Vs 443 1010

104

2

7nln

Stranica: VI-111

Inducirani napon Inducirani napon u vodiču koji se giba u magnetskom

polju (napon pomicanja):

e B l v sin V

e v B l

V

• silnice (B) - dlan

• gibanje (v) - prsti

• polaritet/smjer napona (e) - palac

• l je duljina vodiča u magnetskom polju!!!

• kut je kut koji zatvaraju vektori polja (indukcije) i brzine

(samo komponenta brzine okomita na polje stvara napon)

n Smjer induciranog napona određuje se pravilom lijeve

ruke:

n Iznos napona:

Stranica: VI-112

Polaritet napona - pravilo lijeve ruke:

Vodič okomit na silnice

Stranica: VI-113

Polaritet napona - pravilo lijeve ruke:

Vodič pod kutem od 45°

Stranica: VI-114

Uvodni pojmovi Elektromagnetska indukcija je pojava da se u zatvorenom

zavoju stvara ili inducira napon ako se mijenja magnetskitok što ga obuhvaća zavoj.

n Smjer induciranog napona definiran je Lenzovim

zakonom:

n Primjer:

smjer induciranog napona je uvijek takav da se od tog

napona stvorena struja svojim magnetskim učinkom protivi

vremenskoj promjeni magnetskog toka zbog kojega je

došlo do induciranja napona.

dt

de

dt

de

N ;

i(t) a

b

• ako i(t) raste tada i tok (t), prikazanog

smjera, raste

• tu struju je stvorio inducirani napon

prikazanog polariteta; uab(t) < 0

• inducirani tok, ind(t) suprotnog je smjera

• taj tok je stvorila inducirana struja, iind(t) čiji

je smjer određen pravilom desnog vijkaind

t

t

iind

t

-

+