Osnove elektrotehnike I parcijalni popravni ispit 28.01 ... · Osnove elektrotehnike I parcijalni popravni ispit 28.01.2013. VARIJANTA A. 6. 11. Na razdvojnoj površi dva homogena,

Osnove elektrotehnike I parcijalni popravni ispit 28.01.2013. VARIJANTA A

1

Prezime i ime: Broj indeksa:

Profesorov prvi postulat: “Što se ne može pročitati, ne može se ni ocijeniti.“

1. Dva tačkasta naelektrisanja su postavljena u vazduhu u tjemenima jednakostraničnog trougla kao na slici. Poznato je Q1 = 5⋅10−4 [C], Q2 = -3⋅10−4 [C], a=10 [cm], ε0=8,85·10-12

A

[F/m]. Naći vektor električnog polja u tački B.

7 7144 10 144 3 10 VE i jm = ⋅ + ⋅ ⋅

B 7 7144 3 10 144 10 VE i jm = ⋅ ⋅ + ⋅

A

2Q

1Q a

B a

2a

2a

C 7 7144 10 144 3 10 VE i jm = − ⋅ + ⋅ ⋅

D 7 7144 3 10 144 10 VE i jm = ⋅ ⋅ − ⋅

E Niti jedan od prethodno ponuđenih odgovora nije tačan. Tačan odgovor je:

(2 boda) Na slici je prikazan smjer električnih polja koje proizvode naelektrisanja Q1 i Q2

1 201 022 2

1 2B

Q QE k r k rr r

= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

.

,

1 011 3, cos sin

2 3 3 2 2ar r i j i jπ π

= = + = ⋅ + ⋅

,

2 021 3, cos sin

2 3 3 2 2ar r i j i jπ π

= = − − = − ⋅ − ⋅

( ) ( )1 21 2 1 22 2 2

1 3 1 3 2 32 2 2 2

4 4

BQ Q kE k i j k i j Q Q i Q Q ja a a

= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ + − ⋅

( ) ( ) [ ][ ] ( ) [ ]

9

4 7 71 22 4

2 9 102 3 8 10 3 144 10 144 3 10

100 10B

V mk CE Q Q i j C i j i j V

a m−

−

⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅ + = ⋅ ⋅ ⋅ + = ⋅ + ⋅⋅

2. Na slici je prikazan pravougaonik sa stranicama a = 5 [cm] i b = 15 [cm]. U suprotnim vrhovima pravougaonika smještena su dva tačkasta naboja Q1 = -3 [nC] i Q2

A

= +2 [nC]. Ako je referentna tačka nultog potencijala u beskonačnosti, odrediti električni potencijal u vrhu pravougaonika koji je označen sa A.

10 [V] B 100 [V]

C 1000 [V] D -1000 [V]

E Niti jedan od prethodno ponuđenih odgovora nije tačan. Tačan odgovor je: 180 [V]

(1 bod)

[ ][ ]

[ ][ ]

[ ]9 9

9 91 22 2

3 10 2 109 10 9 10 180

15 10 5 10AC CQ Q V m V mV k k V

b a C Cm m

− −

− −

− ⋅ ⋅⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

A

2Q

1Q a

B a

01r

02r

1E

2E


2

3. U prostoru su raspoređeni tačkasti naboji Q1 = 1 [nC], Q2 = 7 [nC], Q3 = -5 [nC], Q4 = 1 [nC], Q5 = -2 [nC], Q6

A

= 4 [nC]. Odrediti fluks elektrostatskog polja kroz zatvorenu površ S. Naboji se nalaze u vazduhu.

113 [V·m] B 791 [V·m]

C -565 [V·m] D 678 [V·m]

E Niti jedan od prethodno ponuđenih odgovora nije tačan. Tačan odgovor je: 0

(1 bod) Kako je površ S zatvorena, to možemo primjeniti Gauss-ov zakon u osnovnom obliku:

( ) [ ] [ ] [ ]3 4 6

0 0 0

5 1 40OBUHVACENOu S

S S

Q nC nC nCQ Q QE dSε ε ε

− + ++ +Φ = ⋅ = = = =∫

4. Četiri naboja smješteni su u vrhovima kvadrata stranice a = 1 [cm] kao na slici. Odrediti rad prilikom premještanja naboja Q1

A

u tačku T.

A = 5,826 [J] B A = 6,582 [J]

C A = 2,382 [J] D A = 4,182 [J]


(2 boda) Ovaj problem treba tretirati kao slučaj kada se probni naboj Q1 našao u polju koje generišu preostala tri naboju u sistemu, tj. potrebno je proračunati potencijale tačke u kojoj se nalazi probni naboj i tačke T u slučaju kada sistem čine preostala tri naboja (tj. u proračunu tretirati isti sistem naboja, samo bez naboja Q1). Ukupan rad je apsolutna vrijednost od promjene energije, što je u stvari apsolutna vrijednost energije u početnom i krajnjem stanju. Ako sa WQ1 i VQ1 označimo energiju i potencijal u tački gdje se nalazi Q1, te sa WT i VT

( ) [ ]

[ ]

( )[ ] [ ]

1 1 1

532 41

532 4

1 1

18 1 2 102

54 2 10

2 2 2

3,6 2 2 1 6,582

Q T Q T

Q

T

Q T

A W W W Q V V

QQ QV k k k Va a a

QQ QV k k k Va a a

A W Q V V J J

= ∆ = − = ⋅ −

= ⋅ + ⋅ + ⋅ = − ⋅ + ⋅⋅

= ⋅ + ⋅ + ⋅ = − ⋅ ⋅

= ∆ = ⋅ − = ⋅ − ≈

energiju i potencijal u tački T, tada možemo pisati:


3

5. Dva tačkasta naelektrisanja (+Q) i (-Q) se nalaze u vazduhu na međusobnoj udaljenosti od 2a. Oba naboja su za a udaljena od beskonačne ravne provodne površi (slika 1). Na osnovu metode ogledanja, smjer ukupne Kulonove sila na naboj (+Q) ima smjer (slika 2):

A Smjer

„A“ B

Smjer „B“

Slika 1 Slika 2

C Smjer

„C“ D

Smjer „D“

E

Niti jedan od prethodno ponuđenih odgovora nije tačan. Na slici 2 ucrtati tačan smjer.

(2 boda)

Beskonačna ravna provodna površ djeluje kao ogledalo pa se sistem može predstaviti kao sistem od četiri naelektrisanja postavljena u tjemenima kvadrata dužine 2a (Q gore lijevo, -Q gore desno, -Q dolje lijevo, Q dolje desno). Ukupna sila na naelektrisanje Q je sada :

( )( )

( )( ) ( )

1 2 3 01 02 032 2 22 2 2 2Q

Q Q Q Q Q QF F F F k r k r k ra a a

⋅ − ⋅ − ⋅= + + = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

,

( )2 2 2

2 2 22 2

2 24 4 8QQ Q QF k j k i k i ja a a

−= − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ − +

2 2

2 22 21 1

4 44 4QQ QF k i k ja a

= ⋅ − − ⋅ − ⋅

, smjer D.

6. Spoj električnih kondenzatora, prikazan na slici, priključen je na napon idealnog naponskog izvora U. U ovim uvjetima potencijal tačke 1 u odnosu na masu iznosi 5 [kV], a napon između tačaka 1 i 2 je U12 = 3 [kV]. Kondenzator označen na shemi sa C1 ima električni kapacitet C1

A

= 12 [nF]. Odrediti napon idealnog naponskog izvora U.

U = 10 [kV] B U = 9 [kV]

C U = 8 [kV] D U = 7 [kV]

E Niti jedan od prethodno ponuđenih odgovora nije tačan. Tačan odgovor je: 13 [kV]

(2 boda)

[ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

[ ]

2,0 1,0 1,2 2 2,0 1

21 1,0 1 2

1,2

1,0

2 24

8 40 64

13

U U U kV Q U C CQC nF Q U C C Q Q Q C

UQU U kVC

µ

µ µ

= − = => = ⋅ =

= = => = ⋅ = => = + =

= + =

Q− 2a

Q+2a

Q−

Q+

2a 2a

01r

02r

03r

2F

1F

3F

2 2a


4

Napomena: U2,0 je napon na kondenzatoru C1. Q je ukupan naboj u kolu. Kondezator C (koji je vezan serijski sa naponskim izvorom) posjeduje naboj Q, isto kao što taj naboj posjeduje i ekvivalentni kondenzator mješovite veze između tačke 1 i mase. Naboj na kondenzatoru C (koji je direktno vezan između tačke 1 i mase) ima naboj Q1, dok kondenzatori C i C1 (koji su serijski vezani) posjeduju iste naboje Q2. 7. Za shemu prikazanu na slici, za napone i energije na kondenzatorima C1 i C2 važi U1/U2 = 2 i W1/W2 = 8. Ako je kapacitet C2= 20 [µF], koliko iznose C1 i C3 i odnos energija W1/W3

A

?

C1=60µF, C3=40µF, W1/W3=8/3.

B C1=40µF, C3=60µF, W1/W3=8/3.

C C1=60µF, C3=40µF, W1/W3=3/8.

D C1=40µF, C3=60µF, W1/W3=3/8.


(2 boda)

( ) [ ]

( ) [ ]

[ ][ ]

21 1 2

21 1 1 1 11 22

2 2 2 2 22 2

11 2,3 2 3 1 1 2 2 3 3 1 2

22

1 1 21 1 1 1

23 3 2 33 2

28 2 4 2 40

2

60

40 82 4 460 3

2

ukupno

C UW C U C C C C FW C U C CC U

UQ Q Q Q Q U C U C C C C C FU

C UFW C U C

W C U C FC U

µ

µ

µµ

⋅

= = = ⋅ = ⋅ = ⋅ => = ⋅ = ⋅

= = = + => ⋅ = ⋅ + => = ⋅ − =

⋅

= = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅

8. Vektor dielektričnog pomjeraja D

u homogenoj, linearnoj i izotropnoj sredini je dat relacijom:

A D E P= ε + α

B D E= α ⋅χ ⋅

C ( )0D E= α + ε ⋅

D ( )D E P= ε +

(1 bod)


5

9. Pločasti kondenzator je ispunjen sa 4 dielektrika, relativnih dielektričnih permeabilnosti εR,1 = 1, εR,2 = 2, εR,3 = 3, εR,4 = 6 i priključen je na izvor stalnog istosmjernog napona U = 100 [V]. Dimenzije sa slike su a = 4 [cm] i b = 1 [cm]. Odrediti jačinu vektora dielektričnog pomjeraja D4 u dielektriku sa relativnom dielektričnom permeabilnošću εR,4

A

.

10,211 [nC/m2 B ] 20,423 [nC/m2]

C 30,635 [nC/m2 D ] 40,846 [nC/m2]

E

Niti jedan od prethodno ponuđenih odgovora nije tačan. Tačan odgovor je:

(2 boda) Iz graničnih uslova vrijedi:

1 2 3 4 1 3 2 4, , ,E E E E D D D D= = = =

Napon na kondenzatoru je: 1 3 2 4U E a E b E a E b= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅

Kako je:

44 ,4 0 4 4

,4 0

2 42 ,2 0 2 2

,2 0 ,2 0

RR

RR R

DD E E

D DD E E

ε εε ε

ε εε ε ε ε

= ⋅ ⋅ => =⋅

= ⋅ ⋅ => = =⋅ ⋅

, vrijedi da je:

04 42 4 4 2

,2 0 ,4 0

,2 ,4

40,846R R

R R

UD D nCU E a E b a b D a b mε

ε ε ε εε ε

⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ => = = ⋅ ⋅ +

10. Pločasti kondenzator je ispunjen sa tečnim dielektrikom, relativne dielektrične permeabilnosti εR = 2 i priključen je na izvor stalnog istosmjernog napona U = 200 [V]. Udaljenost između elektroda kondenzatora je d = 4 [mm]. Mjerenjem je ustanovljeno da se desna elektroda nalazi na potencijalu V2

A

= -50 [V]. Potrebno je odrediti udaljenost X tačke nultog potencijala od lijeve elektrode kondenzatora.

1 [mm] B 2 [mm]

C 3 [mm] D 4 [mm]

E


(2 boda)

Ako sa V1 [ ]1 2 1 2 150V V U V V U V− = => = + = označimo potencijal lijeve elektrode, tada vrijedi da je: . Za polje u

kondenzatoru vrijedi: [ ] [ ][ ] [ ]1 0 1 0 150 0

4 3200

VV V V VUE x d mm mmd x U V

−− −= = => = ⋅ = ⋅ =


6

11. Na razdvojnoj površi dva homogena, linearna i izotropna dielektrika, dielektričnih konstanti ε1 i ε2, linije električnog polja u prvom dielektriku zaklapaju ugao α1 = 600 u odnosu na normalu povučenu na ravan dielektrika. Poznati su sljedeći podaci: ε1,r = 1, ε2,r = 2 i D1 = 100 [C/m2

A

]. Jačina vektora elektrostatskog polja u drugoj sredini iznosi:

132 0,1761 10 VE

m = ⋅

C 132 2,1761 10 VE

m = ⋅

B 132 1,7623 10 VE

m = ⋅

D 132 1,0176 10 VE

m = ⋅


(2 boda)

Granični uslovi na površini dielektrika su 1 2 1 2,t t n nE E D D= = . Ako je ugao u

odnosu na normalu u drugom dielektriku α2, a u prvom α1

1 1 2 2

0 1, 1 1 0 2, 2 2

sin sin ,cos cosr r

E EE E

α αε ε α ε ε α

⋅ = ⋅⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅

, tada iz graničnih uslova

slijedi . Iz navedenih jednačina slijedi

1 2

0 1, 0 2,r r

tg tgα αε ε ε ε

=⋅ ⋅

, 2,

2 11,

2 3r

rtg tg

εα α

ε= = , 2 73,89α = ° . Sada je jačina

elektrostatskog polja u drugoj sredini

2 131 12

120 2, 2

3100cos 2 1,763 10

cos 8,85 10 2 cos 73,89r

CD VmE

F mm

αε ε α −

⋅ ⋅ = = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ °

12. Provodnik u elektrostatskom polju u uslovima elektrostatske ravnoteže u svim tačkama svoje površi mora imati:

A nultu vrijednost tangencijalne komponente električnog polja.

B istu površinsku gustinu slobodnih električnih naboja.

C istu vrijednost električnog kapaciteta.

D ravnomjerno raspoređene vezane električne naboje.

(1 bod)

1α

1D

2α

1E

2D

2E

1ε2ε

1tE

1nD

2nD

2tE


7

Zadatak Broj poena Osvojeni broj poena

1 2 A

2 1 E

3 1 E

4 2 A

5 2 D

6 2 E

7 2 B

8 1 D

9 2 D

10 2 C

11 2 B

12 1 A

UKUPNO 20

Osnove elektrotehnike I parcijalni popravni ispit 28.01.2013. VARIJANTA B

1



1. Dva tačkasta naelektrisanja su postavljena u vazduhu u tjemenima jednakostraničnog trougla kao na slici. Poznato je Q1 = -5⋅10−4 [C], Q2 = 3⋅10−4 [C], a=10 [cm], ε0=8,85·10-12

A

[F/m]. Naći vektor električnog polja u tački B.

7 7144 3 10 144 10 VE i jm = − ⋅ ⋅ − ⋅

B 7 7144 10 144 3 10 VE i jm = − ⋅ − ⋅ ⋅

A

2Q

1Q a

B a

2a

2a

C 7 7144 10 144 3 10 VE i jm = − ⋅ + ⋅ ⋅

D 7 7144 3 10 144 10 VE i jm = − ⋅ ⋅ + ⋅


(2 boda) Na slici je prikazan smjer električnih polja koje proizvode naelektrisanja Q1 i Q2

1 201 022 2

1 2B

Q QE k r k rr r

= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

.

,

1 011 3, cos sin

2 3 3 2 2ar r i j i jπ π

= = + = ⋅ + ⋅

,

2 021 3, cos sin

2 3 3 2 2ar r i j i jπ π

= = − − = − ⋅ − ⋅

( ) ( )1 21 2 1 22 2 2

1 3 1 3 2 32 2 2 2

4 4

BQ Q kE k i j k i j Q Q i Q Q ja a a

= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ + − ⋅

( ) ( ) [ ]( ) [ ] ( ) [ ]

9

4 7 71 22 4

2 9 102 3 8 10 3 144 10 144 3 10

100 10B

V mk CE Q Q i j C i j i j V

a m−

−

⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅ + = ⋅ − ⋅ ⋅ + = − ⋅ − ⋅⋅

2. Na slici je prikazan pravougaonik sa stranicama a = 5 [cm] i b = 15 [cm]. U suprotnim vrhovima pravougaonika smještena su dva tačkasta naboja Q1 = -5 [C] i Q2

A

= +2 [C]. Ako je referentna tačka nultog potencijala u beskonačnosti, odrediti električni potencijal u vrhu pravougaonika koji je označen sa B.

10 [V] B 100 [V]

C 1000 [V] D -1000 [V]

E Niti jedan od prethodno ponuđenih odgovora nije tačan. Tačan odgovor je: -7,8·1011 [V]

(1 bod)

[ ][ ]

[ ][ ]

[ ]9 9 111 22 2

5 29 10 9 10 7.8 10

5 10 15 10AC CQ Q V m V mV k k V

a b C Cm m− −

−⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ ⋅

A

2Q

1Q a

B a

01r

02r

1E

2E


2

3. U prostoru su raspoređeni tačkasti naboji Q1 = -1 [nC], Q2 = 4 [nC], Q3 = 1 [nC], Q4 = 5 [nC], Q5 = 2 [nC], Q6

A

= -3 [nC]. Odrediti fluks elektrostatskog polja kroz zatvorenu površ S. Naboji se nalaze u vazduhu.

113 [V·m] B 904 [V·m]

C -339 [V·m] D 565 [V·m]

E

Niti jedan od prethodno ponuđenih odgovora nije tačan. Tačan odgovor je: 0

(1 bod) Kako je površ S zatvorena, to možemo primjeniti Gauss-ov zakon u osnovnom obliku:

( ) [ ] [ ] [ ]1 2 6

0 0 0

1 4 30OBUHVACENOu S

S S

Q nC nC nCQ Q QE dSε ε ε

− + −+ +Φ = ⋅ = = = =∫

4. Četiri naboja smješteni su u vrhovima kvadrata stranice a = 1 [cm] kao na slici. Odrediti rad prilikom premještanja naboja Q3

A

u tačku T.

A = 2,108 [J] B A = 6,582 [J]

C A = 3,810 [J] D A = 8,132 [J]


(2 boda) Ovaj problem treba tretirati kao slučaj kada se probni naboj Q3 našao u polju koje generišu preostala tri naboju u sistemu, tj. potrebno je proračunati potencijale tačke u kojoj se nalazi probni naboj i tačke T u slučaju kada sistem čine preostala tri naboja (tj. u proračunu tretirati isti sistem naboja, samo bez naboja Q3). Ukupan rad je apsolutna vrijednost od promjene energije, što je u stvari apsolutna vrijednost energije u početnom i krajnjem stanju. Ako sa WQ3 i VQ3 označimo energiju i potencijal u tački gdje se nalazi Q3, te sa WT i VT

( ) [ ]

( )[ ] [ ]

3 3 3

51 2 43

1 2 4

3 3

9 2 2 102

0

2 2 2

3,6 2 2 2,108

Q T Q T

Q

T

Q T

A W W W Q V V

Q Q QV k k k Va aa

Q Q QV k k ka a a

A W Q V V J J

= ∆ = − = ⋅ −

= ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ − + ⋅⋅

= ⋅ + ⋅ + ⋅ =

= ∆ = ⋅ − = ⋅ − ≈

energiju i potencijal u tački T, tada možemo pisati:


3

5. Dva tačkasta naelektrisanja (+Q) i (-Q) se nalaze u vazduhu na međusobnoj udaljenosti od 2a. Oba naboja su za a udaljena od beskonačne ravne provodne površi (slika 1). Na osnovu metode ogledanja, smjer ukupne Kulonove sila na naboj (+Q) ima smjer (slika 2):

A Smjer

„A“ B

Smjer „B“

Slika 1 Slika 2

C Smjer

„C“ D

Smjer „D“

E

Niti jedan od prethodno ponuđenih odgovora nije tačan. Na slici 2 ucrtati tačan smjer.

(2 boda) Beskonačna ravna provodna površ djeluje kao ogledalo pa se sistem može predstaviti kao sistem od četiri naelektrisanja postavljena u tjemenima kvadrata dužine 2a (Q gore lijevo, -Q gore desno, -Q dolje lijevo, Q dolje desno). Ukupna sila na naelektrisanje Q je sada :

( )( )

( )( ) ( )

1 2 3 01 02 032 2 22 2 2 2Q

Q Q Q Q Q QF F F F k r k r k ra a a

⋅ − ⋅ − ⋅= + + = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

,

( )2 2 2

2 2 22 2

2 24 4 8QQ Q QF k j k i k i ja a a

−= − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ − +

2 2

2 22 21 1

4 44 4QQ QF k i k ja a

= ⋅ − − ⋅ − ⋅

, smjer D.

6. Spoj električnih kondenzatora, prikazan na slici, priključen je na napon idealnog naponskog izvora U. U ovim uvjetima potencijal tačke 1 u odnosu na masu iznosi 7 [kV], a napon između tačaka 1 i 2 je U12 = 5 [kV]. Kondenzator označen na shemi sa C1 ima električni kapacitet C1

A

= 12 [nF]. Odrediti napon idealnog naponskog izvora U.

U = 10 [kV] B U = 9 [kV]

C U = 8 [kV] D U = 7 [kV]

E Niti jedan od prethodno ponuđenih odgovora nije tačan. Tačan odgovor je: 19 [kV]

(2 boda) Vidjeti rješenje varijante A.

[ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

[ ]

2,0 1,0 1,2 2 2,0 1

21 1,0 1 2

1,2

1,0

2 24

4,8 33,6 57,6

19

U U U kV Q U C CQC nF Q U C C Q Q Q C

UQU U kVC

µ

µ µ

= − = => = ⋅ =

= = => = ⋅ = => = + =

= + =

Q− 2a

Q+2a

Q−

Q+

2a 2a

01r

02r

03r

2F

1F

3F

2 2a


4

Napomena: U2,0 je napon na kondenzatoru C1. Q je ukupan naboj u kolu. Kondezator C (koji je vezan serijski sa naponskim izvorom) posjeduje naboj Q, isto kao što taj naboj posjeduje i ekvivalentni kondenzator mješovite veze između tačke 1 i mase. Naboj na kondenzatoru C (koji je direktno vezan između tačke 1 i mase) ima naboj Q1, dok kondenzatori C i C1 (koji su serijski vezani) posjeduju iste naboje Q2. 7. Za shemu prikazanu na slici, za napone i energije na kondenzatorima C1 i C2 važi U1/U2 = 2 i W1/W2 = 8. Ako je kapacitet C2= 20 [µF], koliko iznose C1 i C3 i odnos energija W1/W3

A

?

C1=40µF, C3=60µF, W1/W3=8/3.

B C1=60µF, C3=40µF, W1/W3=8/3.

C C1=40µF, C3=60µF, W1/W3=3/8.

D C1=60µF, C3=40µF, W1/W3=3/8.


(2 boda)

( ) [ ]

( ) [ ]

[ ][ ]

21 1 2

21 1 1 1 11 22

2 2 2 2 22 2

11 2,3 2 3 1 1 2 2 3 3 1 2

22

1 1 21 1 1 1

23 3 2 33 2

28 2 4 2 40

2

60

40 82 4 460 3

2

ukupno

C UW C U C C C C FW C U C CC U

UQ Q Q Q Q U C U C C C C C FU

C UFW C U C

W C U C FC U

µ

µ

µµ

⋅

= = = ⋅ = ⋅ = ⋅ => = ⋅ = ⋅

= = = + => ⋅ = ⋅ + => = ⋅ − =

⋅

= = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅

8. Vektor dielektričnog pomjeraja D

u homogenoj, linearnoj i izotropnoj sredini je dat relacijom:

A D E P= ε + α

B ( )0D E= α + ε ⋅

C D E= α ⋅χ ⋅

D ( )D E P= ε +

(1 bod)


5

9. Pločasti kondenzator je ispunjen sa 4 dielektrika, relativnih dielektričnih permeabilnosti εR,1 = 1, εR,2 = 2, εR,3 = 3, εR,4 = 6 i priključen je na izvor stalnog istosmjernog napona U = 100 [V]. Dimenzije sa slike su a = 4 [cm] i b = 1 [cm]. Odrediti jačinu vektora dielektričnog pomjeraja D3 u dielektriku sa relativnom dielektričnom permeabilnošću εR,3

A

.

10,211 [nC/m2 B ] 20,423 [nC/m2]

C 30,635 [nC/m2 D ] 40,846 [nC/m2]

E


(2 boda) Iz graničnih uslova vrijedi:

1 2 3 4 1 3 2 4, , ,E E E E D D D D= = = =

Napon na kondenzatoru je: 1 3 2 4U E a E b E a E b= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅

Kako je:

33 ,3 0 3 3

,3 0

311 ,1 0 1 1

,1 0 ,1 0

RR

RR R

DD E E

DDD E E

ε εε ε

ε εε ε ε ε

= ⋅ ⋅ => =⋅

= ⋅ ⋅ => = =⋅ ⋅

, vrijedi da je:

3 3 01 3 3 2

,1 0 ,3 0

,1 ,3

20,423R R

R R

D D U nCU E a E b a b D a b mε

ε ε ε εε ε

⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ => = = ⋅ ⋅ +

10. Pločasti kondenzator je ispunjen sa tečnim dielektrikom, relativne dielektrične permeabilnosti εR = 2 i priključen je na izvor stalnog istosmjernog napona U = 200 [V]. Udaljenost između elektroda kondenzatora je d = 4 [mm]. Mjerenjem je ustanovljeno da se lijeva elektroda nalazi na potencijalu V1

A

= 150 [V]. Potrebno je odrediti udaljenost X tačke nultog potencijala od desne elektrode kondenzatora.

1 [mm] B 2 [mm]

C 3 [mm] D 4 [mm]

E


(2 boda)

Ako sa V2 [ ]1 2 2 1 50V V U V V U V− = => = − = − označimo potencijal desne elektrode, tada vrijedi da je: . Za polje u

kondenzatoru vrijedi: [ ] [ ]( )[ ] [ ]0 2 0 2 0 50

4 1200

VV V V VUE x d mm mmd x U V

− −− −= = => = ⋅ = ⋅ =


6

11. Na razdvojnoj površi dva homogena, linearna i izotropna dielektrika, dielektričnih konstanti ε1 i ε2, linije električnog polja u drugom dielektriku zaklapaju ugao α2 = 600 u odnosu na normalu povučenu na ravan dielektrika. Poznati su sljedeći podaci: ε1,r = 1, ε2,r = 2 i D2 = 100 [C/m2

A

]. Jačina vektora elektrostatskog polja u prvoj sredini iznosi:

131 0,8941 10 VE

m = ⋅

C 131 2,4961 10 VE

m = ⋅

B 131 2,7623 10 VE

m = ⋅

D 131 1,4908 10 VE

m = ⋅


(2 boda)

Granični uslovi na površini dielektrika su 1 2 1 2,t t n nE E D D= = . Ako je ugao u

odnosu na normalu u drugom dielektriku α2, a u prvom α1

1 1 2 2

0 1, 1 1 0 2, 2 2

sin sin ,cos cosr r

E EE E

α αε ε α ε ε α

⋅ = ⋅⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅

, tada iz graničnih uslova

slijedi . Iz navedenih jednačina slijedi

1 2

0 1, 0 2,r r

tg tgα αε ε ε ε

=⋅ ⋅

, 1,

1 22,

32

r

rtg tg

εα α

ε= = , 1 40,89α = ° . Sada je jačina

elektrostatskog polja u prvoj sredini

2 132 21

120 1, 1

3100cos 2 1,292 10

cos 8,85 10 1 cos 40,89r

CD VmE

F mm

αε ε α −

⋅ ⋅ = = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ °

12. Provodnik u elektrostatskom polju u uslovima elektrostatske ravnoteže u svim tačkama svoje površi mora imati:

A istu površinsku gustinu slobodnih električnih naboja.

B nultu vrijednost tangencijalne komponente električnog polja.

C ravnomjerno raspoređene vezane električne naboje.

D istu vrijednost električnog kapaciteta.

(1 bod)

1α

1D

2α

1E

2D

2E

1ε2ε

1tE

1nD

2nD

2tE


7


1 2 B

2 1 E

3 1 E

4 2 A

5 2 D

6 2 E

7 2 A

8 1 B

9 2 B

10 2 A

11 2 E

12 1 B

UKUPNO 20

Osnove elektrotehnike II parcijalni popravni ispit 28.01.2013. VARIJANTA A

1



1. Direktno, primjenom Kirchhoff-ovih zakona, potrebno je odrediti struje I3 i I4. Poznate su vrijednosti elemenata u kolu: R1 = 1 [kΩ], R2 = 1 [kΩ], R3 = 1 [kΩ], R4 = 1 [kΩ], E1 = 4 [V], E2 = 4 [V], IS3

A

= 1 [mA]. Dozvoljeno je ekvivalentirati strujni generator u naponski.

I3 = 2 [mA], I4 B = -1 [mA] I3 = 2 [mA], I4 = 1 [mA]

C I3 = -2 [mA], I4 D = 1 [mA] I3 = -1 [mA], I4 = 2 [mA]

E


(2 boda)

Jednačine po prvom KZ su 1 2 3

3 4 3s

I I II I I+ =

+ =, a po drugom KZ

1 2 1 1 2 2

1 1 1 3 3 4 4

E E I R I RE I R I R I R

− = ⋅ − ⋅= ⋅ + ⋅ − ⋅

.

Uvrštavajući vrijednosti, iz treće jednačine slijedi da je 1 2I I= , a iz prve 31 2 2

II I= = . Iz druge i četvrtke jednačine

slijedi ( )31 3 3 3 3 41

2 sI R I R I I R= ⋅ + ⋅ − − ⋅ , 3 4

31

3 4

4 5 22.5

2

sI R VI mAR kR R

+ ⋅= = =

Ω+ +, 4 3 3 1sI I I mA= − = − .

2. U električnom kolu sa slike poznato je: R2 = 2 [kΩ], R4 = 4 [kΩ], R5 = 5 [kΩ], R6 = 6 [kΩ], R7 = 7 [kΩ], R8 = 8 [kΩ], E5 = 12 [V], IS = 2 [mA], I3 = 1 [mA], I6 = 6 [mA]. Izračunati vrijednost nepoznatih elemenata u kolu R3 i E6 primjenom metode struja kontura. Fundamentalno stablo je sastavljeno od grana (2), (4), (5) kroz koje teku struje I2, I4 i I5

A

, respektivno, u naznačenom smjeru. Smjerove kontura uzeti u smjeru grana spojnica.

R3 = 127 [kΩ] E6

B = -129 [V]

R3 = 56 [kΩ] E6

Is

1

3

R3

R5

R7

E5

2

4

I5I4

I1

I6

R8

I3

R6R4

R2

I2

E6

= 131 [V]

C R3 = 43 [kΩ] E6

D = 65 [V]

R3 = 51 [kΩ] E6 = 131 [V]

E


(2 boda)

( ) ( )( ) ( )

1

5 1 2 2 2 3 4 5 8 3 5 8

5 6 2 5 8 3 5 6 7 8

1:2:

3:

K S

K K K

K K

Kontura I IKontura E I R I R R R R R I R R

Kontura E E I R R I R R R R

=

− = − ⋅ + ⋅ + + + + − ⋅ +

+ = − ⋅ + + ⋅ + + +

Kako je grana 3 nezavisna grana konture 2, to vrijedi da je I2K = I3. Analogno vrijedi da je I3K = I6.


2

Iz jednačine za konturu 2 slijedi:

( ) ( )

( ) ( ) [ ]

5 1 2 3 5 83 2 4 5 8

2

5 2 6 5 83 2 4 5 8

351

K K

K

S

E I R I R RR R R R R

IE I R I R R

R R R R R kI

− + ⋅ + ⋅ += − + + +

− + ⋅ + ⋅ += − + + + = Ω

Iz jednačine za konturu 3 slijedi: ( ) ( )

( ) ( ) [ ]6 5 2 5 8 3 5 6 7 8

6 5 3 5 8 6 5 6 7 8 131K KE E I R R I R R R R

E E I R R I R R R R V

= − − ⋅ + + ⋅ + + +

= − − ⋅ + + ⋅ + + + =

3. Odrediti ekvivalentni otpor Rab u kolu sa slike. Poznato je R1 = 1 [Ω], R2 = 1 [Ω], R3 = 3 [Ω], R4 = 2 [Ω], R5 = 6 [Ω], R6 = 6 [Ω], R7 = 2 [Ω], R8

A

= 3 [Ω].

Rab B = 2 [Ω] Rab= 3 [Ω]

C Rab D = 4 [Ω] Rab= 1 [Ω]

E


(2 boda) Otpornici R3, R4, R5 su vezani paralelno, a zatim serijski sa R1

[ ] [ ]345 1345 1 345345 3 4 5

1 1 1 1 , 1 , 2R R R RR R R R

= + + = Ω = + = Ω

.

. Otpornici R6, R7, R8 su vezani paralelno, a

zatim serijski sa R2 [ ] [ ]678 2678 2 678678 6 7 8

1 1 1 1 , 1 , 2R R R RR R R R

= + + = Ω = + = Ω . Ekvivalntni otpor između

tačaka a i b se dobije iz paralelne veze otpornika R1345 i R2678 [ ]2678 1345

1 1 1 , 1abab

RR R R

= + = Ω .


3

4. U kolu sa slike je poznato R1 = 1 [Ω], R2 = 6 [Ω], R3 = 3 [Ω], R4 = 3 [Ω], R5 = 3 [Ω], R6 = 6 [Ω], R7 = 3 [Ω], R8 = 8 [Ω], R9 = 9 [Ω], R10 = 10 [Ω]. Ako se na otporu R3 troši snaga PR3

A

= 12 [W], odrediti snagu naponskog generatora U.

P = 72 [W] B P = 81 [W]

C P = 243 [W] D P = 162 [W]

E


(2 boda) Serijska veza otpornika R8, R9 je kratkospojena, kao i otpornik R10 pa oni nemaju uticaja na ostatak kola. Otpornici R3, R4,

R5 [ ]345345 3 4 5

1 1 1 1 , 1RR R R R

= + + = Ω su vezani paralelno i njihov ekvivalentni otpor je . Otpornici R3, R4, R5

[ ]6767 6 7

1 1 1 , 2RR R R

= + = Ω

su

vezani paralelno i njihov ekvivalentni otpor je . Otpornici R345, R67

[ ]34567 345 67 3R R R= + = Ω

su vezani paralelno i

njihov ekvivalentni otpor je . Otpornici R34567, R2

[ ]234567234567 34567 27

1 1 1 , 2RR R R

= + = Ω

su vezani paralelno i njihov

ekvivalentni otpor je . Ukupni ekvivalentni otpor je

[ ]1 234567 3ekR R R= + = Ω .

Struja kroz otpornik R3 [ ]33

32RP

I AR

= = je . Struja kroz otpornik R34567 [ ]34567 6I A= je (zbir struja I3, I4, I5 koje

su iste). Struja kroz otpornik R2 [ ]345672 34567

23RI I A

R= ⋅ = je . Ukupna struja [ ]1 2 34567 9I I I A= + = , pa je

snaga generatora [ ]21 243ekP I R W= ⋅ = .

5. U električnom kolu sa slike poznato je odrediti pokazivanje idealnih mjernih instrumenata.

A UV = -5 [V] IA

B = 0,25 [A]

UV = -5 [V] IA = 1,75 [A]

C UV = 5 [V] IA

D = 1,75 [A]

UV = 5 [V] IA = 0,25 [A]


(2 boda)


4

Kroz voltmetar neće protjecati struja jer je idealan (beskonačna unutrašnja otpornost), pa će voltmetar mjeriti napon na otporniku od 10 Ω, a to je prema slici 5V (Nema pada napona na ampermetru, jer mu je unutrašnja otpornost 0). Struja kroz otpornik od 20 Ω je usmjerena odozgo prema dole kroz otpornik i iznosi 0,25 A, a kroz otpornik od 10 Ω je usmjerena takođe odozgo prema dole kroz otpornik i iznosi 0,5 A. Postavljajući prvi Kirchhoffov zakon dobije se da je struja kroz ampermetar usmjerena odozgo prema dole i iznosi 0,25 A. 6. Granični uslovi na granici dvije homogene provodne sredine glase:

A J1n=J2n, E1t=E B 2t J1t=J2t, E1n=E C 2n E1n=E2n, D1t=D D 2t D1n=D2n, E1t=E2t


(1 bod) 7. Dva beskonačno duga provodnika se nalaze u tačkama sa koordinatama A(a, 0) i C(0, a) kao što je prikazano na slici. Kroz te provodnike teku struje označenih smjerova i iznosa. Odrediti intenzitet i smjer vektora magnetne indukcije (u

obliku 0B B r= ⋅

) u tački B(0, -a). Poznato je I1 = 2 [A], I2

A

= 2 [A], a =1 [m].

7

0

4 2 101 12 2

B T

r i j

−= ⋅

= −

B 7

0

4 2 10B Tr i

−= ⋅

=

B

A

x

aa

1I

2I

Cy

a

C

7

0

2 13 106 4

2 13 2 13

B T

r i j

−= ⋅

= −

D 7

0

4 2 10B Tr j

−= ⋅

=

E


(2 boda) Linije magnetne indukcije u tački B imaju smjer tangente na kružnicu čiji se centar poklapa sa položajem provodnika. Sada su vektori magnetne indukcije koju proizvode beskonačni provodnici sa strujama I1 i I2

[ ]70 1 0 1 0 11 01

12 10

2 2 2 4I I I

B r i i i Td a a

µ µ µπ π π

−= = = = ⋅⋅

dati izrazima:

(1)

( ) ( ) [ ]7 70 2 0 2 0 2 0 2 0 22 02

2sin cos sin 45 cos 45 2 10 2 10

2 4 42 2 2 2I I I I I

B r i j i j i j i j Td a aa a

µ µ µ µ µα α

π π ππ π− −= = − = °− ° = − = ⋅ − ⋅

⋅ ⋅

(2)

Uvrštavajući vrijednosti I1=I2 [ ]7 70 0 4 10 2 102 4

I IB i j i j T

a aµ µπ π

− −= − = ⋅ − ⋅

= I, dobije se . Intenzitet magnetne indukcije je

2 2 70 52 5 10

4x yI

B B B Ta

µπ

−= + = = ⋅ , jedinični vektor smjera je 02 15 5

Br i jB

= = −

. Jedinični vektor je pod uglom

1 26,562

y

x

Barctg arctg

Bϕ = − = − = − ° u odnosu na pozitivan smjer x-ose.


5

8. Elektron ulazi brzinom v = 4·105 [m/s] u homogeno magnetno polje indukcije B = 1 [mT], a pravac brzine i linije magnetne indukcije zaklapaju ugao α = 60o. Ako je naelektrisanje elektrona e = 1,6·10-19

A

[C], odrediti intenzitet sile na njega.

F = 0 B F = 3,2·10-17 C [N] F = 5,54·10-17 D [N] F = 4,84·10-17 [N]


(1 bod)

( ) ( ) [ ] [ ]17 17sin 3,2 3 10 5,54 10F e v B e v B N Nα − −= ⋅ × = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ≈ ⋅

9. U magnetnom kolu sa slike magnetno-pobudna sila je N·I = 100 [Az]. Materijal od kojega je izrađeno jezgro ima relativnu magnetnu permeabilnost µR = 500. U kolu postoji zračni raspor dužine d = 1 [mm]. Ako su sve dimenzije na slici date u milimetrima, odrediti jačinu magnetnog polja H0,3

A

u zračnom rasporu. Rasipanje u rasporu zanemariti.

H0,3 B = 957,321 [A/m] H0,3 = 1757,123 [A/m]

C H0,3 D = 3357,732 [A/m] H0,3 = 5404,237 [A/m]

E

Niti jedan od prethodno ponuđenih odgovora nije tačan. Tačan odgovor je: H0,3 = 9520,1827 [A/m]

(2 boda) Prvi način:

1 2 3

1 ,1 3 ,3

2 ,2 3 ,3

(1)(2)

0 (3)M M

M M

N I R RR R

Φ = Φ +Φ

⋅ = Φ ⋅ +Φ ⋅

= Φ ⋅ −Φ ⋅

Iz (3) slijedi: ,3

2 3,2

M

M

RR

Φ = Φ ⋅ , zatim uvrstimo u (1): ,3

1 3,2

1M

M

RR

Φ = Φ ⋅ +

, a ovaj rezultat vratimo u (2):

,3 ,3 ,13 ,1 3 ,3 3 ,1 ,3

,2 ,21M M M

M M M MM M

R R RN I R R R R

R R ⋅

⋅ = Φ ⋅ + ⋅ +Φ ⋅ = Φ ⋅ + +

Pa je: 3,3 ,1

,1 ,3,2

M MM M

M

N IR R

R RR

⋅Φ =

⋅+ +


6

Magnetni otpori su:

[ ][ ]

[ ][ ]

[ ][ ]

11,1 2 71 0

12,2 2 72 0

3,3 2 73 0 3 0

140278521,1504

800 4 10 / 500

40 39788,7357

1600 4 10 / 500

139

800 4 10 / 500

MR

MR

MR

mmlR H

S mm T m A

mmlR H

S mm T m A

mml dRS S mm T m A

µ µ π

µ µ π

µ µ µ π

−−

−−

−

= = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= + = +⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

[ ][ ]

12 7

11271250,1079

800 4 10 /

mmH

mm T m Aπ−

− = ⋅ ⋅ ⋅

Sada vrijedi da je:

[ ]

0,3 30,3

0 3 0 ,3 ,13 0 ,1 ,3

,2

9520,1827 A/m

M MM M

M

B N IHS R R

S R RR

µ µµ

Φ ⋅= = = =

⋅ ⋅⋅ ⋅ + +

=

Drugi način:

Iz ( ) 0,33 0,3 0 3/ : R

R

HB B Hµ µ

µ= ⋅ => =

Iz ( ) 0,31 2 3 1 0 1 2 3 2/ : 2 2 (1)R

R

HS H H H Hµ µ

µΦ = Φ +Φ ⋅ ⋅ => = ⋅ + = ⋅ +

Iz ( )0,3 3

3 0,33 3 0,3

2 2 3 3 0,3 2 0,32 2 2

0 (2)R R

H ll H d dH l H dH l H l H d H H

l l lµ µ

⋅ + ⋅ +⋅ + ⋅

= ⋅ − ⋅ + ⋅ => = = = ⋅

Vraćajući (2) u (1) imamo:

3 3

0,3 0,31 2 0,3 0,3

2 2

12 2 2 (3)R R

R R R

l ld dH HH H H H

l lµ µ

µ µ µ

+ + = ⋅ + = ⋅ ⋅ + = ⋅ ⋅ +

Iz

( )

[ ]

3

0,31 1 3 3 0,3 0,3 1 3 0,3

2

3

310,3 1 0,3

32

311

2

12

2 9520,183 /

2

R

R R

R

R R

R

R R

l d HN I H l H l H d H l l H d

l

l dll N IH l d H A mll d

lll dl

µµ µ

µµ µ

µµ µ

+ ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =

+ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ + + + => = = + ⋅ ⋅ + + +

10. Posmatramo dva geometrijski slična magnetna kola, izrađena od različitih metala relativnih magnetnih permeabilnosti µR,1 i µR,2, respektivno. Oba kola se pobuđuju jednakim magnetno-pobudnim silama N·I, te imaju jednake srednje linije u metalu dužine d i imaju jednake poprečne presjeke S. Oba kola imaju zračne raspore dužina δ1 i δ2, respektivno, gdje je δ1 < δ2, dok je rasipanje magnetnog fluksa u oba raspora zanemarivo. Ukoliko oba kola akumuliraju


7

jednake količine magnetne energije, potrebno je utvrditi koja je od ponuđenih relacija tačna za relativne magnetne permeabilnosti ovih kola. Napomena: ukupne srednje linije ovih magnetnih kola su međusobno različite!

A µR,1 > µ B R,2 µR,1 < µR,2

C µR,1 = µR,2

D Niti jedan od ponuđenih odgovora nije tačan!

(2 boda)

( )

2 2 2 21 2

,1 ,2 1 2 ,1 ,2,1 ,2

1 20

0 ,1 0 0 ,2 0

1 2 2 1 ,1 ,2,1 ,2 ,1 ,2 ,1 ,2

2 2

/

1 1 1 10

M M M MM M

R R

R RR R R R R R

L I L I N NW W L L R RR R

d d SS S S S

d d d

δ δ µµ µ µ µ µ µ

δ δ δ δ µ µµ µ µ µ µ µ

⋅ ⋅= => = => = => = => =

+ = + ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

+ = + => − = ⋅ − > => > => <

11. Ravna i kruta pravougaona metalna kontura, stranica a i b, kreće se konstantnom brzinom v u stalnom homogenom magnetnom polju indukcije B. Odrediti smjer inducirane struje u konturi.

A Struja je usmjerena u smjeru kazaljke na satu.

B Struja je usmjerena u smjeru suprotnom od kazaljke na satu.

C Struja je jednaka nuli. D Nije moguće odrediti traženo.

E


(2 boda)


8

U stranicama AB i CD se ne inducira EMS jer su one paralelne sa vektorom brzine v. U stranici BC se inducira EMS čiji je (+)

u tački C, a po iznosu je jednaka ( ) ( ) ( )( )1E BC v B b j v i B k b v B = ⋅ × = ⋅ ⋅ ⋅ × ⋅ − = ⋅ ⋅

.

U stranici DA se inducira EMS čiji je (+) u tački D, a po iznosu je jednaka

( ) ( ) ( )( )2E AD v B b j v i B k b v B = ⋅ × = ⋅ ⋅ ⋅ × ⋅ − = ⋅ ⋅

.

Rezultat ovih razmatranja je dat na sljedećoj slici

Kako je suma EMS-ova u ovoj konturi jednaka 0, to je onda i struja u konturi jednaka 0.


1 2 A

2 2 D

3 2 D

4 2 C

5 2 D

6 1 A

7 2 E

8 1 C

9 2 E

10 2 B

11 2 C

UKUPNO 20

Osnove elektrotehnike II parcijalni popravni ispit 28.01.2013. VARIJANTA B

1



1. Direktno, primjenom Kirchhoff-ovih zakona, potrebno je odrediti struje I3 i I4. Poznate su vrijednosti elemenata u kolu: R1 = 1 [kΩ], R2 = 1 [kΩ], R3 = 1 [kΩ], R4 = 1 [kΩ], E1 = 6 [V], E2 = 6 [V], IS3

A

= 1 [mA]. Dozvoljeno je ekvivalentirati strujni generator u naponski.

I3 = 2 [mA], I4 B = -2 [mA] I3 = 3 [mA], I4 = -3 [mA]

C I3 = 2 [mA], I4 D = 3 [mA] I3 = 3 [mA], I4 = -2 [mA]

E


(2 boda)

Jednačine po prvom KZ su 1 2 4

3 4 3s

I I II I I+ = −+ =

, a po drugom KZ 1 2 1 1 2 2

1 1 1 3 3 4 4

E E I R I RE I R I R I R

− = ⋅ − ⋅= ⋅ + ⋅ − ⋅

.

Uvrštavajući vrijednosti, iz treće jednačine slijedi da je 1 2I I= , a iz prve 41 2 2

II I= = − . Iz druge i četvrtke jednačine

slijedi ( )41 3 4 3 4 41

2 sI R I I R I R= − ⋅ + − ⋅ − ⋅ , 3 3

41

3 4

6 5 22.5

2

sI R VI mAR kR R

− ⋅= − = − = −

Ω+ +,

3 3 4 3sI I I mA= − = .

2. U električnom kolu sa slike poznato je: R2 = 2 [kΩ], R3 = 3 [kΩ], R5 = 5 [kΩ], R6 = 6 [kΩ], R7 = 7 [kΩ], R8 = 8 [kΩ], E6 = 65 [V], IS = 20 [mA], I4 = 1 [mA], I5 = 5 [mA]. Izračunati vrijednost nepoznatih elemenata u kolu R4 i E5 primjenom metode struja kontura. Fundamentalno stablo je sastavljeno od grana (2), (3), (6) kroz koje teku struje I2, I3 i I6

A

, respektivno, u naznačenom smjeru. Smjerove kontura uzeti u smjeru grana spojnica.

R4 = 26 [kΩ] E5

B = 76 [V]

R4 = 51 [kΩ] E5

Is

1

3

R3

R5

R7

E5

2

4

I5I4

I1

I6

R8

I3

R6R4

R2

I2

E6

= -76 [V]

C R4 = 22 [kΩ] E5

D = 78 [V]

R4 = 51 [kΩ] E5 = 131 [V]

E


(2 boda)

( ) ( )( ) ( )

1

6 1 2 2 2 3 4 6 7 3 6 7

5 6 2 6 7 3 5 6 7 8

1:2:

3:

K S

K K K

K K

Kontura I IKontura E I R I R R R R R I R R

Kontura E E I R R I R R R R

=

= − ⋅ + ⋅ + + + + + ⋅ +

+ = ⋅ + + ⋅ + + +


2

Kako je grana 4 nezavisna grana konture 2, to vrijedi da je I2K = I4. Analogno vrijedi da je I3K = I5

( ) ( )

( ) ( ) [ ]

6 1 2 3 6 74 2 3 6 7

2

6 2 5 6 74 2 3 6 7

422

K K

K

S

E I R I R RR R R R R

IE I R I R R

R R R R R kI

+ ⋅ − ⋅ += − + + +

+ ⋅ − ⋅ += − + + + = Ω

.

Iz jednačine za konturu 2 slijedi:

Iz jednačine za konturu 3 slijedi: ( ) ( )

( ) ( ) [ ]5 6 2 6 7 3 5 6 7 8

5 6 4 6 7 5 5 6 7 8 78K KE E I R R I R R R R

E E I R R I R R R R V

= − + ⋅ + + ⋅ + + +

= − + ⋅ + + ⋅ + + + =

3. Odrediti ekvivalentni otpor Rab u kolu sa slike. Poznato je R1 = 1 [Ω], R2 = 1 [Ω], R3 = 6 [Ω], R4 = 2 [Ω], R5 = 3 [Ω], R6 = 3 [Ω], R7 = 2 [Ω], R8

A

=6 [Ω].

Rab B = 4 [Ω] Rab= 1 [Ω]

C Rab D = 2 [Ω] Rab= 3 [Ω]

E


(2 boda) Otpornici R3, R4, R5 su vezani paralelno, a zatim serijski sa R1

[ ] [ ]345 1345 1 345345 3 4 5

1 1 1 1 , 1 , 2R R R RR R R R

= + + = Ω = + = Ω

.

. Otpornici R6, R7, R8 su vezani paralelno, a

zatim serijski sa R2 [ ] [ ]678 2678 2 678678 6 7 8

1 1 1 1 , 1 , 2R R R RR R R R

= + + = Ω = + = Ω . Ekvivalntni otpor između

tačaka a i b se dobije iz paralelne veze otpornika R1345 i R2678 [ ]2678 1345

1 1 1 , 1abab

RR R R

= + = Ω .

4. U kolu sa slike je poznato R1 = 1 [Ω], R2 = 4 [Ω], R3 = 6 [Ω], R4 = 6 [Ω], R5 = 6 [Ω], R6 = 6 [Ω], R7 = 3 [Ω], R8 = 8 [Ω], R9 = 9 [Ω], R10 = 10 [Ω]. Ako se na otporu R5 troši snaga PR5

A

= 6 [W], odrediti snagu naponskog generatora U.

P = 180 [W] B P = 90 [W]

C P = 100 [W] D P = 60 [W]

E



3

(2 boda) Serijska veza otpornika R8, R9 je kratkospojena, kao i otpornik R10 pa oni nemaju uticaja na ostatak kola. Otpornici R3, R4,

R5 [ ]345345 3 4 5

1 1 1 1 , 2RR R R R

= + + = Ω su vezani paralelno i njihov ekvivalentni otpor je . Otpornici R3, R4, R5

[ ]6767 6 7

1 1 1 , 2RR R R

= + = Ω

su

vezani paralelno i njihov ekvivalentni otpor je . Otpornici R345, R67

[ ]34567 345 67 4R R R= + = Ω

su vezani paralelno i

njihov ekvivalentni otpor je . Otpornici R34567, R2

[ ]234567234567 34567 27

1 1 1 , 2RR R R

= + = Ω

su vezani paralelno i njihov

ekvivalentni otpor je . Ukupni ekvivalentni otpor je

[ ]1 234567 3ekR R R= + = Ω .

Struja kroz otpornik R3 [ ]33

31RP

I AR

= = je . Struja kroz otpornik R34567 [ ]34567 3I A= je (zbir struja I3, I4, I5 koje su

iste). Struja kroz otpornik R2 [ ]345672 34567

23RI I A

R= ⋅ = je . Ukupna struja [ ]1 2 34567 6I I I A= + = , pa je snaga

generatora [ ]21 108ekP I R W= ⋅ = .

5. U električnom kolu sa slike poznato je odrediti pokazivanje idealnih mjernih instrumenata.

A UV = 5 [V] IA

B = 0 [A]

UV = -5 [V] IA = 0 [A]

C UV = -5 [V] IA

D = 1 [A]

UV = 5 [V] IA = 1 [A]

E


(2 boda) Kroz voltmetar neće protjecati struja jer je idealan (beskonačna unutrašnja otpornost), pa će voltmetar mjeriti napon na otporniku od 10 Ω, a to je prema slici -5V. Nema pada napona na ampermetru, jer mu je unutrašnja otpornost 0. Struja kroz ampermetar otpornik od 5 Ω usmjerena odozgo prema dole kroz otpornik i iznosi 1 A. 6. Granični uslovi na granici dvije homogene, linearne i izotropne magnetne sredine glase:

A J1n=J2n, B1t=B B 2t J1t=J2t, H1n=H C 2n B1n=B2n, H2t=H D 1t B1n=B2n, E1t=E2t


(1 bod)


4

7. Dva beskonačno duga provodnika se nalaze u tačkama sa koordinatama A(a, 0) i C(0, a) kao što je prikazano na slici. Kroz te provodnike teku struje označenih smjerova i iznosa. Odrediti intenzitet i smjer vektora magnetne indukcije (u

obliku 0B B r= ⋅

) u tački B(0, -a). Poznato je I1 = 2 [A], I2

A

=2 [A], a =1 [m].

7

0

2 101 12 2

B T

r i j

−= ⋅

= − +

B 7

0

2 10B Tr i

−= ⋅

=

B

A

x

a

a

1I

x2I

Cy

a

C

7

0

2 101 12 2

B T

r i j

−= ⋅

= −

D 7

0

2 10B Tr j

−= ⋅

=

E


(2 boda) Linije magnetne indukcije u tački B imaju smjer tangente na kružnicu čiji se centar poklapa sa položajem provodnika. Sada su vektori magnetne indukcije koju proizvode beskonačni provodnici sa strujama I1 i I2

[ ]70 1 0 1 0 11 01

12 10

2 2 2 4I I I

B r i i i Td a a

µ µ µπ π π

−= = = = ⋅⋅

dati izrazima:

(1)

( ) ( ) [ ]7 70 2 0 2 0 2 0 2 0 22 02

2sin cos sin 45 cos 45 2 10 2 10

2 4 42 2 2 2I I I I I

B r i j i j i j i j Td a aa a

µ µ µ µ µα α

π π ππ π− −= = − = − °+ ° = − + = − ⋅ + ⋅

⋅ ⋅

(2)

Uvrštavajući vrijednosti I1=I2 [ ]70 2 104

IB j j T

aµπ

−= = ⋅

= I, dobije se . Intenzitet magnetne indukcije je

2 2 70 2 104x y

IB B B T

aµπ

−= + = = ⋅ , jedinični vektor smjera je 0r j=

. Jedinični vektor je pod uglom 90y

x

Barctg

Bϕ = = °

u odnosu na pozitivan smjer x-ose. 8. Elektron ulazi brzinom v = 4·105 [m/s] u homogeno magnetno polje indukcije B = 1 [mT], a pravac brzine i linije magnetne indukcije zaklapaju ugao α = 60o. Ako je naelektrisanje elektrona e = 1,6·10-19

A

[C], odrediti intenzitet sile na njega.

F = 0 B F = 3,2·10-17 C [N] F = 5,54·10-17 D [N] F = 4,84·10-17 [N]


(1 bod)

( ) ( ) [ ] [ ]17 17sin 3,2 3 10 5,54 10F e v B e v B N Nα − −= ⋅ × = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ≈ ⋅


5

9. U magnetnom kolu sa slike magnetno-pobudna sila je N·I = 100 [Az]. Materijal od kojega je izrađeno jezgro ima relativnu magnetnu permeabilnost µR = 500. U kolu postoji zračni raspor dužine d = 1 [mm]. Ako su sve dimenzije na slici date u milimetrima, odrediti jačinu magnetnog polja H0,1

A

u zračnom rasporu. Rasipanje u rasporu zanemariti.

H0,1 B = 1957,32 [A/m] H0,1 = 11757,12 [A/m]

C H0,1 D = 43233,89 [A/m] H0,1 = 55404,237 [A/m]

E

Niti jedan od prethodno ponuđenih odgovora nije tačan. Tačan odgovor je: H0,1 =76161,462 [A/m]

(2 boda) Prvi način:

1 2 3

1 ,1 2 ,2

2 ,2 3 ,3

(1)(2)

0 (3)M M

M M

N I R RR R

Φ = Φ +Φ

⋅ = Φ ⋅ +Φ ⋅

= Φ ⋅ −Φ ⋅

Iz (3) slijedi: ,2

3 2,3

M

M

RR

Φ = Φ ⋅ , zatim uvrstimo u (1): ,2 1

1 2 2,3 ,2

,3

11

M

M M

M

RR R

R

ΦΦ = Φ ⋅ + => Φ = +

, a ovaj rezultat

vratimo u (2):

,211 ,1 ,2 1 ,1

,2 ,2

,3 ,31 1

MM M M

M M

M M

RN I R R R

R RR R

Φ ⋅ = Φ ⋅ + ⋅ = Φ ⋅ + + +

Pa je: 1,2

,1,2

,31

MM

M

M

N IR

RRR

⋅Φ =

+

+

Magnetni otpori su:

[ ][ ]

[ ][ ]

[ ][ ]

[ ]

11,1 2 7 2 71 0 1 0

12,2 2 72 0

3,3

3 0

139 11271250,1079

800 4 10 / 500 800 4 10 /

40 39788,7357

1600 4 10 / 500

140

MR

MR

MR

mm mml dR HS S mm T m A mm T m A

mmlR HS mm T m A

mmlR

S

µ µ µ π π

µ µ π

µ µ

−− −

−−

= + = + = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= =⋅ ⋅ [ ]

12 7

278521,1504800 4 10 / 500

Hmm T m Aπ

−−

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅


6

Sada vrijedi da je: [ ]0,1 10,1

0 1 0

,21 0 ,1

,2

,3

76161,462 A/m

1

MM

M

M

B N IHS

RS R

RR

µ µ

µ

Φ ⋅= = = =

⋅ ⋅ ⋅ + +

Drugi način:

Iz ( ) 0,11 0,1 0 1/ : R

R

HB B Hµ µ

µ= ⋅ => =

Iz 0,11 2 32 (1)

R

HH H H

µ= = ⋅ +

Iz 2 22 2 3 3 3

30 (2)H lH l H l H

l⋅

= ⋅ − ⋅ => =

Vraćajući (2) u (1) imamo: 0,1 0,12 2 2

2 2 23 3 2

3

2 2 (3)2R

R

H HH l lH H Hl l l

lµ

µ

⋅= ⋅ + = ⋅ + => = ⋅ +

Iz [ ]

0,1 0,11 1 0,1 2 2 1 0,1 2

2

3

0,11 2

2

3

2

76161,462 /

2

RR

RR

H HN I H l H d H l l H d l

ll

N IH A ml ldll

µµ

µµ

⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ +

⋅=> = =

+ + ⋅ +

10. Posmatramo dva geometrijski slična magnetna kola, izrađena od različitih metala relativnih magnetnih permeabilnosti µR,1 i µR,2, respektivno. Oba kola se pobuđuju jednakim magnetno-pobudnim silama N·I, te imaju jednake srednje linije u metalu dužine d i imaju jednake poprečne presjeke S. Oba kola imaju zračne raspore dužina δ1 i δ2, respektivno, gdje je δ1 < δ2

A

, dok je rasipanje magnetnog fluksa u oba raspora zanemarivo. Ukoliko oba kola akumuliraju jednake količine magnetne energije, potrebno je utvrditi koja je od ponuđenih relacija tačna za relativne magnetne permeabilnosti ovih kola. Napomena: ukupne srednje linije ovih magnetnih kola su međusobno različite!

µR,1 > µ B R,2 µR,1 < µR,2

C µR,1 = µR,2

D Niti jedan od ponuđenih odgovora nije tačan!

(2 boda)


7

( )

2 2 2 21 2

,1 ,2 1 2 ,1 ,2,1 ,2

1 20

0 ,1 0 0 ,2 0

1 2 2 1 ,1 ,2,1 ,2 ,1 ,2 ,1 ,2

2 2

/

1 1 1 10

M M M MM M

R R

R RR R R R R R

L I L I N NW W L L R RR R

d d SS S S S

d d d

δ δ µµ µ µ µ µ µ

δ δ δ δ µ µµ µ µ µ µ µ

⋅ ⋅= => = => = => = => =

+ = + ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

+ = + => − = ⋅ − > => > => <

11. Ravna i kruta pravougaona metalna kontura, stranica a i b, kreće se konstantnom brzinom v u stalnom homogenom magnetnom polju indukcije B. Odrediti smjer inducirane struje u konturi.

A Struja je usmjerena u smjeru kazaljke na satu.

B Struja je usmjerena u smjeru suprotnom od kazaljke na satu.

C Struja je jednaka nuli. D Nije moguće odrediti traženo.


(2 boda)

U stranicama BC i AD se ne inducira EMS jer su one paralelne sa vektorom brzine v. U stranici AB se inducira EMS čiji je (+)

u tački B, a po iznosu je jednaka ( ) ( )( ) ( )( )1E AB v B a i v j B k a v B = ⋅ × = ⋅ ⋅ ⋅ − × ⋅ − = ⋅ ⋅

.

U stranici CD se inducira EMS čiji je (+) u tački C, a po iznosu je jednaka

( ) ( )( ) ( )( )2E DC v B a i v j B k a v B = ⋅ × = ⋅ ⋅ ⋅ − × ⋅ − = ⋅ ⋅

.

Rezultat ovih razmatranja je dat na sljedećoj slici

Kako je suma EMS-ova u ovoj konturi jednaka 0, to je onda i struja u konturi jednaka 0.


8


1 2 D

2 2 C

3 2 B

4 2 E

5 2 C

6 1 C

7 2 D

8 1 C

9 2 E

10 2 B

11 2 C

UKUPNO 20

Osnove elektrotehnike I parcijalni popravni ispit 28.01 ... · Osnove elektrotehnike I parcijalni popravni ispit 28.01.2013. VARIJANTA A. 6. 11. Na razdvojnoj površi dva homogena,

Documents