Oscillations libres Oscillations libres d’un d’un circuit RLC circuit RLC
Oscillations libres d’un circuit RLC
Jan 20, 2016
Oscillations libres d’un circuit RLC. Montage à revoir. On abaisse l’interrupteur. Une décharge oscillante du condensateur se produit dans la bobine parfaite de résistance nulle. Equation différentielle régissant la décharge. D’après la loi d’additivité des tensions :. u C + u L = 0. - PowerPoint PPT Presentation
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Oscillations Oscillations libres d’un libres d’un circuit RLCcircuit RLC
Montage à revoir
On abaisse l’interrupteur.
Une décharge oscillante du condensateur se produit dans la bobine parfaite de résistance nulle.
uC + uL = 0
Equation différentielle régissant la décharge
D’après la loi d’additivité des tensions :
Expression de la tension uL en fonction de la tension uC :
uC + uL = 0
Equation différentielle régissant la décharge
D’après la loi d’additivité des tensions :
Expression de la tension uL en fonction de la tension uC :
dtdu
Cidtdq
ietuCq CC
uC + uL = 0
Equation différentielle régissant la décharge
D’après la loi d’additivité des tensions :
Expression de la tension uL en fonction de la tension uC :
dtdu
Cidtdq
ietuCq CC
2C
2
LLtd
udCLu
dtdi
Lu
uC + uL = 0
Equation différentielle régissant la décharge
D’après la loi d’additivité des tensions :
Expression de la tension uL en fonction de la tension uC :
L’équation différentielle peut s’écrire :
dtdu
Cidtdq
ietuCq CC
2C
2
LLtd
udCLu
dtdi
Lu
uC + uL = 0
Equation différentielle régissant la décharge
D’après la loi d’additivité des tensions :
Expression de la tension uL en fonction de la tension uC :
L’équation différentielle peut s’écrire :
dtdu
Cidtdq
ietuCq CC
2C
2
LLtd
udCLu
dtdi
Lu
0td
udCLu
2C
2
C
uC + uL = 0
Equation différentielle régissant la décharge
D’après la loi d’additivité des tensions :
Expression de la tension uL en fonction de la tension uC :
L’équation différentielle peut s’écrire :
ou bien
0td
udCLu
2C
2
C 0uCL1
td
udC2
C2
2C
2
LLtd
udCLu
dtdi
Lu
dtdu
Cidtdq
ietuCq CC
Solution de l’équation différentielle
Elle est de la forme :
Solution de l’équation différentielle
UCmax est la tension maximale aux bornes du condensateur (V)
0 est la pulsation propre (rad/s)
0 t + est phase à un instant t quelconque (rad)
est la phase à l’origine des dates (rad)
Que représente UC max ?
Que représente 0 ?
Que représente 0 t + ?
Que représente ?
uC = UCmax cos (0 t + )
Graphe : uC = UCmax cos (0 t + ) avec = 0
Vérification de la solution de l’équation et expression de 0 :
uC UCmax cos (0 t + )
Vérification de la solution de l’équation et expression de 0 :
)t(sinUωdtdu
0maxC0C
uC UCmax cos (0 t + )
Vérification de la solution de l’équation et expression de 0 :
)t(sinUωdtdu
0maxC0C
C2
00maxC2
02C
2
u)t(cosUωdt
ud
uC UCmax cos (0 t + )
Vérification de la solution de l’équation et expression de 0 :
D’où finalement :
)t(sinUωdtdu
0maxC0C
C2
00maxC2
02C
2
u)t(cosUωdt
ud
0udt
udC
202
C2
uC UCmax cos (0 t + )
Vérification de la solution de l’équation et expression de 0 :
L’équation différentielle est vérifiée si l’on pose :
D’où finalement :
)t(sinUωdtdu
0maxC0C
C2
00maxC2
02C
2
u)t(cosUωdt
ud
0udt
udC
202
C2
CL
10
uC UCmax cos (0 t + )
0 t + 0 T0 + = 0 t + + 2
La fonction cosinus est périodique de période 2.
Les équations (1) et (2) permettent d’écrire :
La solution uC = UCmax cos (0 t +) est périodique de période T. cos (0 t + ) = cos [0 (t +T0) + ) (1)
cos (0 t + ) = cos [0 t + + 2) (2)
cos [0 (t +T0) + ) = cos [0 t + + 2)
0 (t +T0) + = 0 t + + 2
0 T0 = 2
La période s’écrit :
CL22
T0
0
0 t + 0 T0 + = 0 t + + 2
La fonction cosinus est périodique de période 2.
Les équations (1) et (2) permettent d’écrire :
La solution uC = UCmax cos (0 t +) est périodique de période T. cos (0 t + ) = cos [0 (t +T0) + ) (1)
cos (0 t + ) = cos [0 t + + 2) (2)
0 (t +T0) + = 0 t + + 2
cos [0 (t +T0) + ) = cos [0 t + + 2)
0 T0 = 2
Expression de l’intensité du courant :
Expression de l’intensité du courant :
uC UCmax cos (0 t + ) CL
10
Expression de l’intensité du courant :
uC UCmax cos (0 t + ) CL
10
)t(sinUCdtdu
Ci 00CmaxC
Expression de l’intensité du courant :
uC UCmax cos (0 t + )
)t(sinUCdtdu
Ci 00CmaxC
CL
10
)2
t(cosLC
1UCi 0Cmax
Expression de l’intensité du courant :
)t(sinUCdtdu
Ci 00CmaxC
uC UCmax cos (0 t + ) CL
10
)2
t(cosLC
1UCi 0Cmax
)2
t(cosLC
Ui 0Cmax
La tension uC et l’intensité i du courant sont déphasées de /2.
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