1 Oscilador de Chua Docente: Luis Enrique Avenda ˜ no Monitor: Jorge Ivan Padilla Alumnos: Julian Alexis Quintero Cod. 810060 Juan David Giraldo Cod. 813027† Mayra Lizeth Villota Pab ´ on Cod. 810080 Dise ˜ no electr ´ onico. Universidad Nacional de Colombia Sede Manizales 20 de Mayo del a ˜ no 2015 Resumen—Se analiza un sistema no lineal como es el osc ila dor de Chu a; se lle va a cab o una des cripci ´ on del circuito que lo constituye y qu ´ e secci ´ on es la que se encarga de generar la oscilaci ´ on. Pala bras Clav es. Osci lado r , sist ema no linea l, Chua, ca ´ otico. I. I NTRODUCCI ´ ON El estudio de los fen ´ omenos no lineales en nuestro medio ha tomado un aspecto te ´ orico en su mayor´ ıa, y poco a poco ha crecido el inte r ´ es por servir se de sus he rr amie nt as y apl ica rla s en una va rie dad de ´ are as. Una forma de lle gar a estos sis temas va ria ble s es por medio de la ele ctr ´ onica, con la cual se han elaborad o circuitos de comp orta mien tos “inusuales”. Un oscilador ca´ otico tiene tres caracter´ ısticas fundamentales: 1. Sens ibil idad a sus condiciones iniciales 2. Comp orta mien to no pe ri´ odico 3. Irr epe tib ili dad (esto es, la impos ibi li dad pr ´ act ica de obtener la misma trayectoria restableciendo el sistema). Existen varios circuitos electr ´ onicos que al contener un ele- mento no line al prese ntan compo rtamient os irre gula res, uno de ellos es el circuito oscilador de Chua. II. OBJETIVOS Se estudiar ´ a el oscilador de Chua, el cual tiene mucha importancia en el estudio de los procesos din ´ amicos que conducen a un comportamiento ca´ otico. Obtener por medio del circuito estudiado, las oscilacio- nes ca ´ oticas en el tiempo y la respuesta en el espacio de la fase. I I I . MARCO T E ´ ORICO El os ci la dor de Chua , constituye un sistema di n ´ amico no lin eal ca ´ oti co, el cua l se ha vuelt o un par adi gma de la teor ´ ıa del caos, debido a la variedad de comportamientos que eventualmente pueden conducir a procesos de bifurcaci ´ on. La repr esen taci ´ on ma te m´ at ic a de l os ci la dor de Ch ua est ´ a comprendida por: ˙ x = α(y − x − f (x)) ˙ y = x − y + z (1) ˙ z = −β (y + γz ) donde f (x) = bx + 0,5(a − b)(|x + 1|), y α, β , γ , a y b , son par´ ametros. En la figur a [1 ], se pu ed e obse rv ar la es t ru ct ura qu e co mp re nd e el ci rc ui to d el os c il ad or de Chua el cual se cara ct er iza por dos aspect os: es aut´ ono mo, es dec ir , no es t ´ a al ime nt a do po r fu ente s de c or r ie nt e al te rn a y est ´ a compue sto por dos parte s: una par te que prese nta un comp orta mien to t´ ıpi co de un osc ila dor amo rt igu ado (do s condensad ore s, una res ist enc ia y una bob ina), par a evita r tener que construir una bobina la cual ocupa gran espacio se implementa una red RC que la sustituya como el circuito de Antoniou. La otra parte que constituye el ´ unico elemento no lineal denominado diodo de Chua (´ este se realiza utilizando un con vertidor de impedancia ne gat iva). Est e ele men to causante de la no linealidad act´ ua como la fuente de energ´ ıa de todo el circuito, se ocupa de retroalimentarlo y lo mantiene oscilando. Figura 1. Dia grama esqu´ ematico del oscilador de Chua.
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
7/24/2019 Oscilador de Chua
http://slidepdf.com/reader/full/oscilador-de-chua 1/4
1
Oscilador de ChuaDocente: Luis Enrique Avendano
Monitor: Jorge Ivan Padilla
Alumnos: Julian Alexis Quintero Cod. 810060
Juan David Giraldo Cod. 813027†
Mayra Lizeth Villota Pabon Cod. 810080Diseno electronico.
Universidad Nacional de Colombia Sede Manizales
20 de Mayo del ano 2015
Resumen—Se analiza un sistema no lineal como es el
oscilador de Chua; se lleva a cabo una descripcion del
circuito que lo constituye y que seccion es la que se encarga
de generar la oscilacion.
Palabras Claves. Oscilador, sistema no lineal, Chua,
caotico.
I. INTRODUCCION
El estudio de los fenomenos no lineales en nuestro medio
ha tomado un aspecto teorico en su mayorıa, y poco a poco
ha crecido el interes por servirse de sus herramientas y
aplicarlas en una variedad de areas. Una forma de llegar
a estos sistemas variables es por medio de la electronica,
con la cual se han elaborado circuitos de comportamientos
“inusuales”.
Un oscilador caotico tiene tres caracterısticas fundamentales:
1. Sensibilidad a sus condiciones iniciales
2. Comportamiento no periodico
3. Irrepetibilidad (esto es, la imposibilidad practica de
obtener la misma trayectoria restableciendo el sistema).
Existen varios circuitos electronicos que al contener un ele-
mento no lineal presentan comportamientos irregulares, uno
de ellos es el circuito oscilador de Chua.
II. OBJETIVOS
Se estudiara el oscilador de Chua, el cual tiene mucha
importancia en el estudio de los procesos dinamicos que
conducen a un comportamiento caotico.
Obtener por medio del circuito estudiado, las oscilacio-
nes caoticas en el tiempo y la respuesta en el espacio de
la fase.
III. MARCO T EORICO
El oscilador de Chua, constituye un sistema dinamico
no lineal caotico, el cual se ha vuelto un paradigma de la
teorıa del caos, debido a la variedad de comportamientos que
eventualmente pueden conducir a procesos de bifurcacion.
La representacion matematica del oscilador de Chua
esta comprendida por:
x = α(y − x − f (x))
y = x − y + z (1)
z = −β (y + γz)
donde f (x) = bx + 0,5(a − b)(|x + 1|), y α, β , γ , a y b, son
parametros.
En la figura [1], se puede observar la estructura que
comprende el circuito del oscilador de Chua el cual
se caracteriza por dos aspectos: es autonomo, es decir,
no esta alimentado por fuentes de corriente alterna y
esta compuesto por dos partes: una parte que presenta un
comportamiento tıpico de un oscilador amortiguado(dos
condensadores, una resistencia y una bobina), para evitar
tener que construir una bobina la cual ocupa gran espacio se
implementa una red RC que la sustituya como el circuito de
Antoniou. La otra parte que constituye el unico elemento no
lineal denominado diodo de Chua (este se realiza utilizando
un convertidor de impedancia negativa). Este elemento
causante de la no linealidad actua como la fuente de energıa
de todo el circuito, se ocupa de retroalimentarlo y lo mantiene
oscilando.
Figura 1. Diagrama esquematico del oscilador de Chua.
7/24/2019 Oscilador de Chua
http://slidepdf.com/reader/full/oscilador-de-chua 2/4
2
IV. SIMULACIONES
Podemos observar en la figura [1] un circuito esquematico,
donde se llevo a cabo una simulacion en multisim mostrada
en la figura [3]. Por medio de este se obtienen las senales
de salida que genera el oscilador de Chua. En la figura [4]
se puede apreciar la respuesta temporal del sistema, la cual
esta comprendida por oscilaciones sostenidas en intervalos de
tiempo, pues conmutan a valores positivos y negativos delplano.
Figura 2. Circuito del oscilador de Chua.
Figura 3. Oscilaciones caoticas en el tiempo.
Causa de la oscilaci´ on ca´ otica:
La parte del circuito formada por los capacitores,
el inductor, y resistores forman parte de un oscilador
amortiguado y el dispositivo no lineal, que en este caso es
el diodo de Chua, hace autonomo al circuito, por lo que
mantiene retroalimentado y oscilando al circuito. Lo quecausa la oscilacion caotica es la parte del circuito que compete
al diodo de Chua, ademas que existen valores crıticos, como
en el caso de la variacion de los valores de los condensadores
que permiten que el circuito se torne caotico. La no linealidad
del circuito oscilador se origina en el comportamiento del
amplificador operaciones, pues la ley de Ohm se verifica en
el por tramos.
La respuesta en el espacio de fase de la figura [4],
permite observar las conmutaciones a valores positivos y
negativos.
Figura 4. Respuesta en el espacio de fase.
IV-A. Simulaciones de matlab
Segun la realizacion practica del oscilador de Chua tomada
del libro, los valores que se van a tener en cuenta para
el programa en matlab, y en concordancia con los de lasimulacion en Multisim son:
α = 10
β = 10
γ = 0,45
a = −1,22
b = −0,7634
f (x) = bx + 0,5(a − b)(|x + 1| − |x − 1|)
El programa elaborado en Matlab esta comprendido por el
codigo que se encuentra en la seccion de anexo. La simula-
ciones obtenidas se pueden observar a continuacion.
Figura 5. Representacion de la senal en el espacio.
7/24/2019 Oscilador de Chua
http://slidepdf.com/reader/full/oscilador-de-chua 3/4
3
Figura 6. Representacion de la senal en el espacio.
Figura 7. Representacion de la senal en el espacio.
Figura 8. Representacion de la senal en el osciloscopio
V. PREGUNTAS
V-A. ¿Que es un sistema lineal?
Se denomina ecuacion lineal o sistema lineal a aquella que
tiene la forma de un polinomio de primer grado, es decir, las
incognitas no estan elevadas a potencias, ni multiplicadas entre
sı, ni en el denominador, y estan definidas sobre un cuerpo oun anillo conmutativo.
V-B. ¿Que es un sistema ca´ otico?
Cuando el sistema no es inestable y si bien dos soluciones
se mantienen a una distancia ”finitacercana a un atractor del
que el sistema dinamico, las soluciones se mueven en torno
al atractor de manera irregular y pasado el tiempo ambas
soluciones no son cercanas, si bien suelen ser cualitativamente
similares. De esa manera, el sistema permanece confinado
en una zona de su espacio de estados, pero sin tender a un
atractor fijo.
Una de las mayores caracterısticas tanto de los sistemasinestables como los caoticos es que tiene una gran dependencia
de las condiciones iniciales (esto diferencia a ambos tipos de
los sistemas estables). De un sistema del que se conocen sus
ecuaciones de evolucion temporal caracterısticas, y con unas
condiciones iniciales fijas, se puede conocer exactamente
su evolucion en el tiempo. Pero en el caso de los sistemas
caoticos, una mınima diferencia en esas condiciones hace
que el sistema evolucione de manera totalmente distinta.
Ejemplos de tales sistemas incluyen el Sistema Solar, las
placas tectonicas, los fluidos en regimen turbulento y los
crecimientos de poblacion.
V-C. ¿Que significa un comportamiento ca´ otico en unsistema?
El comportamiento caotico surge de la no linealidad de las
ecuaciones de evolucion de tales sistemas. Curiosamente, el
origen del caos no requiere de un gran numero de variables
o grados de libertad. Los sistemas caoticos no carecen, sin
embargo, de estructura. Por el contrario, su comportamiento
exhibe una estructura mucho mas rica e interesante que los
sistemas deterministas o integrables.
V-D. ¿Que es un proceso de bifurcaci´ on?
es la accion de separar algo en varias partes, que en el
ambito de las matematicas estudia los cambios en la estructuracualitativa o topologica de una familia determinada.
V-E. Por efectos pr acticos, ¿que se debe hacer si no
se tiene un circuito de antoniu para implementar un
oscilador de chua?
Se puede tambien implementar dicho oscilador utilizando
redes osciladoras lineales para sustituir la red reactiva induc-
tiva, se tienen pa esto dos casos, la implementacion en puente
de Wien donde reemplazara el inductor y su resistencia interna
y en puente doble T donde es un oscilador sinusoidal de tercer
orden contriudo con tres resistores y tres capacitores.
7/24/2019 Oscilador de Chua
http://slidepdf.com/reader/full/oscilador-de-chua 4/4
4
VI. CONCLUSIONES
La implementacion sencilla del oscilador de Chua lo
hace un circuito muy interesante para el estudio del caos.
La utilidad del circuito convertidor general de
impedancia el cual sustituye el diodo de chua es una
pieza clave en el desarrollo del circuito.
La versatilidad de la respuesta de los amplificadores en
el caso de una funcion no lineal esta manifiesta en la
facil construccion del diodo de Chua.
La teorıa de sistemas no lineales es pieza clave para la
instrumentacion f ısica, debido a la caracterısticas de los
metodos y dispositivos utilizados en esta.
REFERENCIAS
[1] Luis Enrique Avenda ˜ noDise˜ no Electr onico
[2] http://http://www.vitutor.com/algebra/sistemas/
Related Documents
