ORIGENS DAS CÔNICAS As Cônicas foram estudadas por Menecmo, Euclides e Arquimedes. A elipse, a parábola, a hipérbole e a circunferência eram obtidas como seções de cones circulares retos com planos perpendiculares a um dos elementos do cone, conforme variação do ângulo no vértice (agudo, reto ou obtuso). Menecmo descobriu a elipse pesquisando sobre a parábola e a hipérbole, pois ofereciam as propriedades necessárias para a solução da duplicação do cubo. Também era de seu conhecimento as equações das curvas conforme a sua secção: quando formada por secção de um cone circular retângulo era (uma constante), quando secção de cone acutângulo e quando secção de cone obtusângulo. O tratado sobre as cônicas estava entre algumas das mais importantes obras de Euclides, porém se perdeu pelo fato do trabalho escrito por Apolônio ser mais extenso. A obra de nível mais avançado foi precisamente àquela feita por Apolônio de Perga, que substituiu qualquer estudo anterior. O tratado sobre as Cônicas certamente foi uma obra-prima de Apolônio e teve grande influência no desenvolvimento da matemática. Devido fundamentalmente a este estudo sobre as cônicas ele era conhecido como o "Geômetra Magno". AS SECÇÕES CÔNICAS Considerando-se uma superfície cônica gerada por uma reta chamada geratriz, que gira em torno de uma reta chamada de eixo e mantendo-se fixa em um ponto chamado vértice e tendo como diretriz uma circunferência, obtém-se
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ORIGENS DAS CÔNICAS
As Cônicas foram estudadas por Menecmo, Euclides e Arquimedes. A
elipse, a parábola, a hipérbole e a circunferência eram obtidas como seções de
cones circulares retos com planos perpendiculares a um dos elementos do
cone, conforme variação do ângulo no vértice (agudo, reto ou obtuso).
Menecmo descobriu a elipse pesquisando sobre a parábola e a hipérbole, pois
ofereciam as propriedades necessárias para a solução da duplicação do cubo.
Também era de seu conhecimento as equações das curvas conforme a sua
secção: quando formada por secção de um cone circular retângulo era (uma
constante), quando secção de cone acutângulo e quando secção de cone
obtusângulo. O tratado sobre as cônicas estava entre algumas das mais
importantes obras de Euclides, porém se perdeu pelo fato do trabalho escrito
por Apolônio ser mais extenso. A obra de nível mais avançado foi
precisamente àquela feita por Apolônio de Perga, que substituiu qualquer
estudo anterior. O tratado sobre as Cônicas certamente foi uma obra-prima de
Apolônio e teve grande influência no desenvolvimento da matemática. Devido
fundamentalmente a este estudo sobre as cônicas ele era conhecido como o
"Geômetra Magno".
AS SECÇÕES CÔNICAS
Considerando-se uma superfície cônica gerada por uma reta chamada
geratriz, que gira em torno de uma reta chamada de eixo e mantendo-se fixa
em um ponto chamado vértice e tendo como diretriz uma circunferência,
obtém-se um cone duplo. A reta geratriz forma com o eixo um certo ângulo α.
Considerando este cone duplo, secionado por um plano secante, dependendo
do ângulo que este plano secante formar com o eixo, teremos uma das quatro
curvas cônicas: a circunferência, a elipse, a parábola ou a hipérbole.
ASPECTOS HISTÓRICOS E A IMPORTÂNCIA DAS CÔNICAS
Tratados sobre as seções cônicas são conhecidos antes da época de
Euclides (± 325-265 a.C.). E, associado à história dessas curvas, temos
Apolônio que nasceu na cidade de Perga, região da Panfília (atualmente
Turquia) por volta de 262 a.C. e viveu, aproximadamente, até 190 a.C.
Apolônio foi contemporâneo e rival de Arquimedes que viveu,
aproximadamente, entre 287 a.C. e 212 a.C. e, juntamente com Euclides,
formam a tríade considerada como sendo a dos maiores matemáticos gregos
da antiguidade. Apolônio estudou com os discípulos de Euclides em Alexandria
e foi astrônomo notável, talvez ele, e não Euclides, mereceu dos antigos o
adjetivo de "o grande Geômetra ". A maior parte das obras de Apolônio
desapareceu. O que sabemos dessas obras perdidas devemos a Pappus de
Alexandria (século IV a.C.). Sua obra prima é Seções Cônicas composta por 8
volumes (aproximadamente 400 proposições!). Da obra original sobreviveram 7
volumes, sendo 4 escritos em grego e 3 traduzidos para o árabe por Thabit Ibn
Qurra (826 a 901) no séc. IX.. Os três primeiros volumes são baseados em
trabalhos de Euclides e o oitavo volume foi, infelizmente, perdido. Em 1.710,
Edmund Halley traduziu os sete volumes sobreviventes de Secções Cônicas
para o latim e todas as demais traduções para as línguas modernas foram
feitas a partir da tradução de Halley.
Os precursores de Apolônio no estudo das cônicas foram Manaecmo,
Aristeu e o próprio Euclides. Nesse período, elas eram obtidas seccionando um
cone circular reto de uma folha com um plano perpendicular a uma geratriz do
cone, obtendo três tipos distintos de curvas, conforme a seção meridiana do
cone fosse um ângulo agudo, um ângulo reto ou um ângulo obtuso.
Apolônio foi o matemático que mais estudou e desenvolveu as seções
cônicas na antiguidade. Suas contribuições foram: ter conseguido gerar todas
as cônicas de um único cone de duas folhas, simplesmente variando a
inclinação do plano de interseção; ter introduzido os nomes elipse e hipérbole e
ter estudado as retas tangentes e normais a uma cônica.
A importância do estudo de Apolônio sobre as cônicas dificilmente pode
ser questionada. Temos a inegável influência dele sobre os estudos de
Ptolomeu. Este foi astrônomo e geógrafo e fez observações em Alexandria de
127-151 d.C.. Suas obras mais famosas são o Almagesto (astronomia) e
a Geografia (8 volumes). Ptolomeu introduziu o sistema de latitude e longitude
tal como é usado hoje em cartografia e usou métodos de projeção e
transformações estereográficas. Este estudo faz uso de um Teorema de
Apolônio que diz que todo cone oblíquo tem duas famílias de seções circulares.
As Cônicas de Apolônio também tiveram forte influência nos estudos de Kepler.
O interesse de Kepler pelas cônicas surgiu devido às suas aplicações à óptica
e à construção de espelhos parabólicos. Em 1.609, Kepler edita a Astronomia
Nova, onde apresenta a principal lei da astronomia: "os planetas descrevem
órbitas em torno do Sol, com o Sol ocupando um dos focos". A propósito, a
palavra foco é devida a Kepler e provém da forma latinizada foccus cujo
significado é fogo, lareira. Outra aplicação prática das cônicas aparece na obra
de Galileu (1.632), onde "desprezando a resistência do ar, a trajetória de um
projétil é uma parábola". Galileu se reporta à componente horizontal e à
componente vertical de uma parábola. Foi a Matemática pura de Apolônio que
permitiu, cerca de 1.800 anos mais tarde, os "Principia " de Sir Isaac Newton. A
lei da gravitação de Newton matematizou as descobertas empíricas de Kepler
e, a partir do século dezessete, possibilitou o estudo analítico das cônicas e
das suas aplicações aos movimentos no espaço, este, por sua vez, deu aos
cientistas de hoje condições para que a viagem de ida e volta à Lua fosse
possível.
Também não podemos deixar de falar em aplicações práticas usuais
recentes como nos receptores parabólicos, telescópios, navegação LORAN,
etc.
Coube a Pierre de Fermat (1.601-1.665) a descoberta das equações
cartesianas da reta e da circunferência, e as equações mais simples da elipse,
da parábola e da hipérbole. Ele aplicou uma transformação equivalente à atual
rotação de eixos para reduzir uma equação do 2° grau à sua forma mais
simples.
AS CÔNICAS NA ARQUITETURA
Em arquitetura como no caso das pontes, pórticos, cúpulas, torres e arcos,
usam-se as cônicas devido às suas propriedades físicas e até mesmo
estéticas. Um Exemplo é o cabo de suspensão de uma ponte, quando o peso
total é uniforme distribuído segundo o eixo horizontal da ponte, toma a forma
de uma parábola, como se pode ver na Figura 1 .
Um outro exemplo é a planta do Coliseu em Roma, como se pode ver na
Figura 2
A hipérbole, ao rodar em torno de um dos eixos de simetria, gera uma
superfície que tem o nome de hiperbolóide de revolução. Nestas superfícies as
secções ao eixo de rotação são circunferências e as secções paralelas ao eixo
são hipérboles. Em 1669, Christopher Wren1 mostrou que o hiperbolóide de
uma folha pode ser gerado pelo movimento de uma reta que se apóia em duas
circunferências, esta superfície pode ser considerada formada por uma
infinidade de retas e é conhecida como superfície regrada. O hiperbolóide de
uma folha é usado na construção de centrais de energia, nomeadamente em
centrais atômicas, que são regradas e podem ser reforçadas com barras de
aço retilíneas, que se cruzam por forma a obter estruturas extremamente
fortes.
Na representação Arquitetônica nada melhor do que Oscar Niemeyer,
arquiteto famoso, principalmente, pelas curvas impostas a edificações de
arquitetura singular em Brasília e pelas formas revolucionárias de seu estilo
arquitetônico. Oscar Niemeyer tem um gênio de artista e vê a arquitetura de
forma única:
"De um traço nasce a arquitetura. E quando ele é bonito e cria surpresa,
ela pode atingir, sendo bem conduzida, o nível superior de uma obra de arte."
Oscar Niemeyer nasceu no Rio de Janeiro, em 1907. Em 1934,
diplomou-se como engenheiro e arquiteto no Rio de Janeiro. Iniciou sua vida
profissional no escritório do arquiteto Lúcio Costa, que projetou o Plano-Piloto
de Brasília. Oscar Niemeyer projetou várias obras no Brasil e em vários outros
países, entre elas o conjunto da Pampulha, em Belo Horizonte, o conjunto
Ibirapuera, em São Paulo, os principais prédios de Brasília, o Museu de Arte
Contemporânea e muitas outras obras importantes. Em muitas das suas obras
é bem visível o traçado da tangência e concordância de arcos de circunferência
e curvas cônicas. As Figuras 4 a11 apresentam algumas obras que evidenciam
exemplos desses traçados e entre as figuras apresentam-se algumas citações
de Oscar Niemeyer.
Figura 3- Conjunto da Pampulha. Igreja de São Francisco - Belo
Horizonte, 1940.
Figura 4 - Conjunto Copan. São Paulo, 1951.
Figura 5 - Catedral de Brasília. Brasília,1958
Figura 6 - Editora Mondadori. Segrate, Milão, 1968.
EXENTRICIDADE, DIRETRIZ E FOCO DE UMA CÔNICA
A menos do círculo (caso particular de uma elipse) uma cônica
suave C tem pelo menos uma diretriz e um foco. Para construir uma diretriz,
consideramos uma superfície esférica S inscrita no cone K e tangente ao
plano que determina a cônica (ver Lema 3.3). S intersecta K ao longo de um
círculo . Todo círculo está contido num plano, assim, seja o plano que
contém .
A reta
É uma diretriz da cônica C, e o ponto é seu foco associado.
Quando C é um círculo temos que é paralelo a e, assim, a diretriz não
existe. A excentricidade e de uma cônica C é dada pelo quociente