OPTIMIZACION SIN RESTRINCIONES EN FUNCION DE VARIAS VARIABLES AUTOR: MARIA HERNANDEZ CI: 18,852,446 Profesor: Luis Aponte
OPTIMIZACION SIN
RESTRINCIONES EN
FUNCION DE VARIAS
VARIABLES
AUTOR: MARIA HERNANDEZ
CI: 18,852,446
Profesor: Luis Aponte
Es la selección del mejor elemento (con respecto a algún
criterio) de un conjunto de elementos disponibles.
En el caso más simple, un problema de optimización consiste
en maximizar o minimizar una función real eligiendo
sistemáticamente valores de entrada (tomados de un conjunto
permitido) y computando el valor de la función.
En optimización sin restricciones se minimiza una función
objetivo que depende de variables reales sin restricciones
sobre los valores de esas variables. La formulación
matemática es: (OSR) min x∈IRn f(x) donde f es una
función suficientemente regular.
EJEMPLO:
Se intenta encontrar una curva que ajuste algunos datos
experimentales, por ejemplo medidas y1,...,ym de una señal
tomadas en los tiempos t1,...,tm. Desde los datos y el
conocimiento de la aplicación, se deduce que la señal tiene
un comportamiento exponencial y oscilatorio, y se elige
modelarlo por la función:
Φ(t, x) = x1 + x2e−(x3−t)2/x4 + x5 cos(x6t)
Los números reales xi, i = 1,..., 6 son los
parámetros del modelo. Se desea seleccionarlos
de manera que los valores del modelo Φ(tj , x)
ajusten los datos observados yj tanto como sea
posible. Para establecer el objetivo como un
problema de optimización, se agrupan los
parámetros xi en un vector de incógnitas
(x1,...,x6)t y se definen los residuos
OPTIMIZACION SIN
RESTRINCIONES
Formulación del problema de optimización
• Cualquier problema de optimización, por complejo que sea,
puede expresarse en los siguientes términos
Encontrar un vector x tal que se minimice una función objetivo f(x)
Sujeto a restricciones de la forma:
donde x es un vector de variables independientes
• La función objetivo puede tener un solo mínimo, en cuyo caso
se denomina unimodal, o varios mínimos locales o globales,
en cuyo caso se denomina multimodal
m1,...,k
0gk
x
• De acuerdo a la forma de f(x) y las restricciones:
– Programación Lineal: f(x) y las restricciones son lineales
– Programación No-lineal: f(x) es no-lineal y las restricciones pueden ser no-lineales
• De acuerdo a la presencia o no de restricciones:
– Optimización no restringida: El problema de optimización no tiene restricciones
– Optimización restringida: El problema de optimización tiene restricciones
• Según su dimensionalidad:
– Optimización unidimensional: función objetivo de una variable
– Optimización multidimensional: función objetivo de varias variables
• Según el número de funciones objetivo:
– Optimización con un objetivo: Una sola función objetivo
– Optimización con múltiples objetivos: varias funciones objetivo
CLASIFICACION DE PROBLEMAS
DE OPTIMIZACION
METODOS DE OPTIMIZACION
Los métodos de optimización es una rama de las matemáticas que
consistente en el uso de modelos matemáticos, estadísticos y
algoritmos con objeto de realizar un proceso de toma de
decisiones. Frecuentemente trata del estudio de complejos
sistemas reales, con la finalidad de mejorar (u optimizar) su
funcionamiento. La investigación de operaciones permite el
análisis de la toma de decisiones teniendo en cuenta la escasez de
recursos, para determinar cómo se puede optimizar un objetivo
definido, como la maximización de los beneficios o la minimización
de costos.
METODO DE NEWTON
El método de Newton o también llamado método de
Newton-Raphson es uno de los métodos mas útiles y
mejor conocido para aproximar el cero de una función.
Suponga que c es un cero de f , es decir, f(c)=0 y que x0 es
una aproximación de c. El polinomio de Taylor de grado
uno para f alrededor de x0 y su correspondiente residuo
es:
z esta entre x0 y x.
Si en la ecuación (1) se reemplaza x por c y usando el
hecho que f(c) = 0, se obtiene:
El método de la secante, es otro método para
aproximar el cero de una función en el que en cada
iteración se evalúa la función y no la derivada. A
continuación se presenta este método.
Utiliza la misma fórmula del Método de Newton:
METODO DE LA SECANTE
pero en lugar de utilizar la derivada f ´(xn), este valor se
aproxima por
Al reemplazar esta aproximación de f ´(xn) en la
fórmula de Newton resulta:
METODO DE LAGRANGE
El método de los multiplicadores de Lagrange, llamados así en honor a Joseph Louis
Lagrange, es un procedimiento para encontrar los máximos y mínimos de funciones
de múltiples variables sujetas a restricciones. Este método reduce el problema
restringido con n variables a uno sin restricciones de n + k variables, donde k es igual
al número de restricciones, y cuyas ecuaciones pueden ser resueltas más fácilmente.
Estas nuevas variables escalares desconocidas, una para cada restricción, son
llamadas multiplicadores de Lagrange. El método dice que los puntos donde la
función tiene un extremo condicionado con k restricciones, están entre los puntos
estacionarios de una nueva función sin restricciones construida como
una combinación lineal de la función y las funciones implicadas en las restricciones,
cuyos coeficientes son los multiplicadores.
La demostración usa derivadas parciales y la regla de la cadena para funciones de
varias variables. Se trata de extraer una función implícita de las restricciones, y
encontrar las condiciones para que las derivadas parciales con respecto a
las variables independientes de la función sean iguales a cero.
CARACTERISTICAS DEL METODO
DE LAGRANGE
El método de eliminación de variables no resulta
operativo cuando el problema tiene muchas
restricciones o las restricciones son complejas, por
lo que resulta muy útil este método.
Los multiplicadores de LaGrange son un método
alternativo que además proporciona mas
información sobre el problema.
El teorema de Lagrange establece una condición
necesaria de optimidad.
CAMPO DE APLICACION
Existen en todos las ramas de la ciencia, en la física, en
la matemática, en la química, entre otros, situaciones en
las que conociendo un conjunto de datos experimentales
en un cierto intervalo de la variable independiente. Esto
es, conociendo una cierta cantidad de datos tabulados,
se hace preciso encontrar una función que verifique
todos estos datos y permita. Por consiguiente predecir la
existencia de otros valores con la aproximación
adecuada. El método de la interpretación de Lagrange
es de gran importancia en el análisis numérico.
Optimización de funciones de varias variables1 Extremos relativos
Los extremos relativos de funciones reales de varias variables se
definen de manera análoga al caso de una variable. Consideremos
un abierto U de R n , una función real f : U → R y un punto a ∈ U. La
función f tiene un máximo relativo o máximo local en a, si existe un
entorno V de a tal que f(x) ≤ f(a) para todo x ∈ V .
La función f tiene un mínimo relativo o mínimo local en a, si existe un
entorno V de a tal que f(x) ≥ f(a) para todo x ∈ V . Si en estas
definiciones se sustituyen las desigualdades no estrictas por
desigualdades estrictas, se obtienen las definiciones de máximo y
mínimo relativos estrictos.
Si f tiene un máximo o mínimo relativo en a, se dice que f tiene un
extremo relativo o extremo local en a. Si f es una función real
diferenciable en a y ∇f(a) = 0, se dice que a es un punto crıtico o
estacionario de f. Para las funciones diferenciables, ser un punto
crıtico es una condición necesaria para que exista un extremo en a:
Si f es una función real diferenciable en un
punto a y f tiene un extremo relativo en a,
entonces ∇f(a) = 0.
OPTIMIZACION DE VARIAS VARIABLES
Si f tiene un punto crıtico en a pero no tiene un extremo relativo en a, se
dice que a es un punto de silla de f.
Para funciones suficientemente regulares, es posible determinar la
naturaleza de un punto crıtico con la ayuda de las segundas derivadas.
Supongamos que f admite todas las segundas derivadas parciales en
a.
La matriz hessiana de f en a es la matriz cuadrada de orden n
Hf(a) = (Dijf(a)).
Notemos que, si f es de clase C 2 en un entorno de a, entonces Hf(a) es
una matriz simetrica porque, segun el teorema de Schwarz, Dijf(a) =
Djif(a). Para k = 1, . . . , n, sea 4k(f, a) el determinante de la matriz
obtenida de Hf(a) suprimiendo sus ´ultimas n − k filas y columnas, es
decir,
41(f, a) = D11f(a), 42(f, a) = D11f(a) D12f(a) D21f(a) D22f(a) , . . . ,
4n(f, a) = det Hf(a).
Si a es un punto crıtico, los signos de estos determinantes
proporcionan informacion sobre si a es maximo, mınimo o punto de
silla.
EJERCICIOS PROPUESTOS
2.- Calcula dos números que cumplan que al
sumarlos resulte 10 y la resta de uno de ellos menos
el inverso del otro sea mínima.
Condición: x + y = 10, de donde y = 10-x Condición: x
+ y = 10, de donde y = 10-x
La función:
F(x,y)= 𝑥 − 1
𝑦
F(x)= 𝑥 −1
10−𝑦 = −𝑥2 + 10𝑥 − 1
10 − 𝑥
f`(x) = 𝑥2 − 20𝑥 + 99
(10 + 𝑥)2
F`(x)= 0 » x =9 , x = 11
f“(x) = −2
(10−𝑥)3
f“(9) < 0 »máximo
f“(11) > 0 » mínimo
SOLUCION: X= 11 Y = -1
3.- Para la fabricación de un determinado producto, se
necesita invertir dinero en contratar empleados y
comprar máquinas. El dueño de la fábrica ha estimado que
si compra x máquinas y contrata “y” empleados, el
número de unidades de producto que podía fabricar
vendría dado por la función: f (x, y) = 90x ⋅ 𝑌2 Cada
máquina le supone una inversión de 2500 € y cada
contrato de un nuevo empleado otro de 1500 € Si el
empresario sólo dispone de un presupuesto de 22500€
para este fin, determine el número de obreros que debe
contratar y el número de máquinas que debe comprar
para maximizar la producción.
x= maquinas
y= empleados
Condición: 2500x + 1500y = 22500 »y = 45−5𝑥
3
Función f(x,y) = 90 𝑥𝑦2
f(x) = 90x .( 45 −5 𝑥
3 )2
f(x) = 250𝑥3 − 4500𝑥2 + 20500x
f`(x)= 750𝑥2 − 9000𝑥 + 205000
f`(x)= 0 » 𝑥1 = 3 𝑥2=9
f“ (x)= 1500x – 9000
f“ (3)< 0 » máximo
f“ (9) >0 » mínimo
SOLUCION: X=3 MAQUINAS Y= 10 EMPLEADOS
4.- Una empresa ha decidido mejorar su seguridad
instalando 9 alarmas. Un especialista en el tema señala que
dada la estructura de la empresa sólo puede optar por dos
tipos de alarmas, de tipo A o de tipo B; además, afirma que la
seguridad de la empresa se puede expresar como la décima
parte del producto entre el número de alarmas de tipo A
instaladas y el cuadrado del número de alarmas instaladas de
tipo B. ¿Cuántas alarmas de cada tipo se deben instalar en la
empresa para maximizar su seguridad?
Alarmas tipo A =x
Alarmas tipo B =y
Condición: x+y = 9, luego y=9-x
Función: 𝑥𝑦2 = f(x,y)
10
f (x,y) 𝑥𝑦2
10= x
9−𝑥 2
10
f(x,y) 81𝑥−36𝑥2+𝑥2
10
f(x,y)81−36𝑥+3𝑥2
10 = f`(x)= 0
Los valores que anulan la primera derivada son x=9 y x=3
f“ (x) = −36+6𝑥
10 f“(9) =
−36+54
10>0
f“(3) = −36+18
10<0
Luego x=9 es mínimo y x=3 es máximo
Solución: será necesario instalar de tipo A=x=3
alarmas y de tipo B=y=6 alarmas