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MEMORIAS DEL XXIII CONGRESO INTERNACIONAL ANUAL DE LA SOMIM 20 al 22 DE SEPTIEMBRE DE 2017 CUERNAVACA, MORELOS, MÉXICO
Tema A1a Diseño Mecánico: Optimización del diseño de una transmisión mecánica
“Optimización del diseño preliminar de una transmisión mecánica mediante cúmulo de partículas”
S.V. Camacho Gutiérreza*, J.C. Jáuregui Correaa
aUniversidad Autonoma de Querétaro, Cerro de las Campanas S/N, Santiago de Querétaro, Querétaro, 76010, México
Este artículo presenta un método para optimizar el diseño preliminar de una transmisión mecánica con el objetivo de disminuir la sincronización no lineal entre sus componentes y por tanto, aumentar su vida útil. Esta optimización toma en
cuenta los principales parámetros que propician el solapamiento de las frecuencias de excitación y de esta forma se evitan
resonancias. Los resultados muestran que la metodología propuesta mejora la distribución de las frecuencias de excitación,
y de esta manera se evita que se produzcan efectos no deseados como la sincronización no lineal o el efecto de “beating”
entre frecuencias consecutivas.
Palabras Clave: Optimización, transmisión mecánica, cúmulo de partículas
A B S T R A C T
This article presents a method to optimize the preliminary design of a mechanical transmission in order to reduce the non-linear synchronization between its components and, therefore, increase its useful life. This optimization takes into account
the main parameters that lead to the overlapping of the excitation frequencies and in this way prevent resonances. The
results show that the proposed methodology improves the distribution of the excitation frequencies, thus avoiding
undesirable effects such as non-linear synchronization or the beating vibration effect between consecutive frequencies.
MEMORIAS DEL XXIII CONGRESO INTERNACIONAL ANUAL DE LA SOMIM 20 al 22 DE SEPTIEMBRE DE 2017 CUERNAVACA, MORELOS, MÉXICO
reducción r generalmente se establece como parámetro
de entrada. Sin embargo, si esta relación de reducción
se deja fija para calcular el número de dientes del piñón
1N se limita el espacio de soluciones, por tal motivo se
agregó una variación k ,entre 0 y 1. La relación de
reducción también fue designada como variable de diseño.
El último parámetro de diseño es el paso diametral dP
de los engranes, aunque no está involucrado directamente con las frecuencias de excitación, interfiere de manera
muy importante con las restricciones. Los valores de esta
variable fueron tomados de una base de datos de pasos
diametrales estándar. Finalmente, el vector de variables de
diseño es (ec. (10)):
dPrNbbX ,,,, 221 (10)
2.2 Restricciones
Las restricciones de dominio se muestran en la tabla 1.
Los valores mínimos y máximos de las variables 1b y 2b están limitados por el tamaño de la base de datos, del
mismo modo que el paso diametral dP . En cuanto al
número de dientes de la corona 2N , el mínimo se
estableció con base en una relación para asegurar que no
ocurra interferencia entre dientes de engranes rectos para
un ángulo de presión de 20° de acuerdo a [14], el número
máximo se dejó en 200, ya que en la práctica es inusual
tener un número más grande. Finalmente, la relación de
reducción está limitada por un factor k y la relación de
reducción u (parámetro inicial que da el diseñador).
Tabla 1 – Restricciones de dominio.
Variable de diseño Límite inferior Límite superior
1b 1 47
2b 1 47
2N 18r 200
r u-ku u+ku
dP 1 16
Por otra parte, también se incluyeron restricciones de
desigualdad. Para aplicarlas a la función objetivo, se
utilizó el método de penalización, por lo que la ec. (1) se
convierte en:
jnn Pf 1min (11)
Donde es la función de penalidad y jP representa los
coeficientes de penalización, los cuales son aplicados cada
vez que una restricción de desigualdad es violada. La
primera restricción de desigualdad está asociada con la
diferencia entre frecuencias consecutivas, esta debe ser más grande que cierto porcentaje s de (ec. (12)):
snn 1min (12)
El primer coeficiente de penalización es (ec. (13)):
sw
sP
nn
1
1 (13)
Las otras restricciones están asociadas con la vida útil
de los engranes y rodamientos. Siguiendo la norma AGMA 908-B89 [15], se tomaron los factores que
relacionan la vida de los engranes con los ciclos de
esfuerzos NZ y NY tal como se muestra en las ec. (14) y
(15):
N
acH
RTHC ZSC
KKSS (14)
N
at
RTFt YS
KKSS (15)
Donde cS es el número de esfuerzo de contacto, HSes el factor de seguridad por picadura, RK es el factor de confiabilidad, TK es el factor de temperatura, HC es el
factor de relación de durezas, acS es el número de
esfuerzo de contacto permisible, tS es el número de
esfuerzo flexionante, FS es el factor de seguridad y atS
es el número de esfuerzo flexionante admisible. Estos
factores corresponden a datos de entrada del diseño [16].
El lado izquierdo de la ec. (14) se denominará NxZ y el
lado izquierdo de ec. (15) NxY . Las constantes de
penalización para mejorar la vida de los engranes son ecs.
(16) - (18)
Nx
NNx
Z
ZZP
2 (16)
1
113
Nx
NNx
Y
YYP
(17)
2
224
Nx
NNx
Y
YYP
(18)
La última restricción (ec. 19) se calcula para los
rodamientos de entrada y salida, donde es la carga
dinámica base, equivale a 3 para rodamientos de bola y es
la carga dinámica radial equivalente [14].
66 101101 xxP
Ce
r
(19)
La vida esperada de los rodamientos se calcula para un
millón de ciclos, el lado izquierdo de ec. (19) se nombró
diL . Las constantes de penalización asociadas a esta
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De acuerdo a los resultados mostrados en las Tabla 4,
tenemos que el promedio del tiempo de ejecución es de
7.39 s, las diferencias mínimas entre frecuencias de
excitación optimizadas en las 5 corridas que se ejecutaron
fueron iguales, aunque en la corrida 3, el algoritmo tardó
más en converger (176 iteraciones). Esto se debe a que el
algoritmo trabaja con aleatoriedad, de ahí el nombre de la
categoría de algoritmos metaheurísticos, dado que las posiciones iniciales son aleatorias y que las ecuaciones
(22) y (23) son afectadas también por número aleatorios.
De la tabla 5 podemos observar que existe un cambio
significativo entre los modelos de rodamientos, pasos
diametrales y relación de reducción entre la primera
iteración y la última, mostrando así que el algoritmo hace
una exploración diversificada en el espacio de solución.
De acuerdo a las frecuencias mostradas en la Tablas 6
y 7 la diferencia mínima entre frecuencias de excitación
consecutivas fue de 163.92 CPM y 187.2755,
correspondientes a los valores optimizados después de la
primera y última iteración, respectivamente, de tal manera que se obtuvo una mejora del 14% con respecto al diseño
inicial. Asimismo, es importante mencionar que desde la
primera iteración, los diseños no violan alguna restricción
descrita en las secciones anteriores, por lo que se cumple
con las condiciones de diseño y vida útil dadas por el
usuario y las normas AGMA [15, 16]
5 Conclusión
El algoritmo de cúmulo de partículas es un método idóneo
para la resolución de problemas complejos como el
requerido para el diseño de la transmisión mecánica,
puesto que sus variables de diseño están íntimamente
relacionadas en las ecuaciones de vida útil, asimismo, los
parámetros de diseño contemplan tanto números discretos
como continuos, de tal manera que el espacio de
soluciones se vuelve complejo, pero al utilizar este
algoritmo fue posible agregar bases de datos de compontes reales para lograr un diseño práctico.
Asimismo, se logró el objetivo de incluir las
aportaciones de cada componente a la dinámica del
sistema al optimizar la distribución de las frecuencias de
excitación que pueden propiciar el fenómeno de
sincronización no lineal.
Este trabajo representa una metodología que puede ser
aplicada en el proceso de diseño preliminar de una
trasmisión mecánica, puesto que el diseñador debe
confirmar que las frecuencias de excitación están lo
suficientemente separadas una de otra para evitar
resonancias o el efecto beating entre las frecuencias, ambas condiciones disminuirían notablemente la vida útil
de la transmisión si llegaran a presentarse.
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