Optimizaci on. Sesi on 2.estalmat/ACT/SESIONES/... · Optimizaci on. Sesi on 2. ESTALMAT Andaluc a Occidental Curso Veteranos: Primero y Segundo. Sesi on 2. Sesi on Conjunta. 12 de

Optimizacion. Sesion 2.

ESTALMAT Andalucıa Occidental

Curso Veteranos: Primero y Segundo.

Sesion 2. Sesion Conjunta.

12 de Noviembre de 2016.

Gamez Mellado, AntonioMartınez Dıaz, Manuel

Noviembre 2016

12/11/2016

ii

Indice general

1. Introduccion a la Optimizacion 1

1.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Esquema de contenidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4. Conceptos fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4.1. Referencias Historicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4.2. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4.3. Prolegomenos y rudimentos de la I.O. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4.4. Genesis de la I.O. en el siglo XX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4.5. El crecimiento de la I.O. desde 1945 hasta la actualidad . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4.6. Especificaciones y concreciones historicas de la I.O.: la programacion matematica . 6

1.4.7. Nuevos desarrollos de la I.O. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.5. Introduccion a la Programacion Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.5.1. Caracterısticas de un problema de Programacion Lineal . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5.2. Planteamiento de un problema de Programacion Lineal . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5.3. Supuestos basicos de la Programacion Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5.4. Resolucion grafica de un problema de Programacion Lineal . . . . . . . . . . . . . 10

1.5.5. Casos especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5.6. Ejemplos de resolucion grafica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.6. Casos practicos con software. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2. Metodologıa de la Investigacion Operativa 19

2.1. Paso 1. Definicion del Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

iii

iv INDICE GENERAL

2.2. Paso 2. Modelado Matematico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2.1. Identificar las variables de decision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2.2. Identificar la funcion objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2.3. Identificar las restricciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2.4. Traducir todos los elementos basicos a un modelo matematico . . . . . . . . . . . . 21

2.3. Paso 3. Resolucion del Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3.1. Elegir la tecnica de resolucion adecuada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3.2. Generar las soluciones del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3.3. Comprobar/validar los resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3.4. Si los resultados son inaceptables, revisar el modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3.5. Realizar un analisis de sensibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.4. Presentacion de los Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.4.1. Preparar informes y/o presentaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.4.2. Vigilar el proceso de implementacion de la solucion propuesta . . . . . . . . . . . . 23

2.5. Guıa General para la Formulacion de Modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3. Metodo Grafico o Metodo Geometrico 25

3.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2. Inecuaciones lineales con dos variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.3. Sistema de inecuaciones lineales con dos incognitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.4. Problemas de optimizacion de una funcion sujeta a restricciones . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.4.1. Resolucion Geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.4.2. Resolucion Algebraica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4. Aplicaciones de la Programacion Lineal 31

4.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.2. Principales aplicaciones de la Programacion Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.3. Conceptos fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.4. Aplicaciones de la Programacion Lineal al Marketing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.4.1. Ejemplo de Medios de Comunicacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.5. Aplicaciones de la Programacion Lineal a Estudios de Mercado . . . . . . . . . . . . . . . 34

INDICE GENERAL v

4.5.1. Ejemplo de Diseno de una Encuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.6. Aplicaciones de la Programacion Lineal a la Produccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.6.1. Ejemplo Combinacion Optima de Bienes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.7. Otras aplicaciones de la Programacion Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.7.1. Planificacion de la produccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.7.2. Asignacion de trabajos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.7.3. Planificacion de horarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.7.4. El Problema de Transporte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.7.5. El Problema de la Dieta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5. Bibliografıa y Referencias Webs 41

5.1. Bibliografıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5.2. Referencias Webs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

vi INDICE GENERAL

Indice de figuras

1.1. Esquema de contenidos del tema Optimizacion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2. Fotografıa de George Bernard Dantzig (1941). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3. Region Factible del ejemplo de las mesas de ordenador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4. Region Factible. Casos especiales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.5. Region Factible. Ejemplo 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.6. Region Factible. Ejemplo 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.7. Planteamiento con Lingo del ejemplo de las mesas de ordenador. . . . . . . . . . . . . . . 15

1.8. Ventana Status del Programa Lingo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.9. Salida del Programa Lingo. Solution Report. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1. Aplicaciones de la Programacion Lineal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.1. Solucion de la Inecuacion Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.2. Solucion del Sistema de Inecuaciones Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.3. Region factible y vector de la funcion objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.4. Region factible y vectores paralelos de la funcion objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.5. Imagen de un Applet: Metodo Geometrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.6. Imagen de otro Applet: Metodo Geometrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.1. Aplicaciones de la Programacion Lineal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.2. Modelizacion del Ejemplo de Marketing. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.3. Resolucion con LINGO del Ejemplo de Marketing. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.4. Modelizacion del Ejemplo de Encuestas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.5. Resolucion con LINGO del Ejemplo de Encuestas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

vii

viii INDICE DE FIGURAS

4.6. Modelizacion del Ejemplo de Combinacion Optima de Bienes. . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.7. Resolucion con LINGO del Ejemplo de Combinacion Optima de Bienes. . . . . . . . . . . 39

Capıtulo 1

Introduccion a la Optimizacion

1.1. Introduccion

Cuando una persona se enfrenta por vez primera con el termino Investigacion Operativa, no sueleconocer las caracterısticas especıficas de esta ciencia ni su objeto de estudio. Ademas, la InvestigacionOperativa puede tener componentes muy diversos dependiendo de su area de aplicacion concreta: Admi-nistracion de Empresas, Ingenierıa u otras.

El objeto de estudio de la Investigacion Operativa es la toma cientıfica de decisiones mediante elempleo de tecnicas cuantitativas. Es importante que tengamos esta definicion clara, ya que de estaforma, nos daremos cuenta de la amplitud de campo de la Investigacion Operativa (IO).

Con demasiada frecuencia se ha hecho bastante hincapie en los modelos de Programacion Linealdentro de la Investigacion Operativa, lo cual ha dificultado la distincion entre ambos terminos. Lo ciertoes que la Programacion Lineal es solo una parte muy importante de la Investigacion Operativa. Otrasareas o secciones habituales en el estudio de la IO son las siguientes (esta relacion no es exhaustiva, sinoque solo pretende dar una idea de la extension de la IO):

Programacion entera.

Problemas de transporte y asignacion.

Analisis de grafos y de redes. PERT y CPM.

Programacion dinamica..

Teorıa de juegos.

Programacion no lineal.

Programacion parametrica.

Teorıa de colas.

Teorıa de inventarios.

Procesos markovianos de decision. Analisis de decision.

Simulacion.

Fiabilidad.

1

2 CAPITULO 1. INTRODUCCION A LA OPTIMIZACION

Existen, de este modo, otras areas –ademas de la PL- en las que la Investigacion Operativa ejercetambien su estudio. Es claro pues que la Investigacion Operativa es una ciencia multidisciplinar queaparece en muchos campos del ambito industrial, empresarial y de la administracion publica. De hecho,con la aparicion de la Programacion Lineal en los anos 40, aparece el sentimiento de dar una cohesiono vision de conjunto a todas las tecnicas anteriormente enunciadas. Esa vision cohesionada, junto con elconcepto de sistema, permite la aparicion de la Investigacion Operativa como ciencia.

Las subdivisiones en las que se establece la IO tienen los siguientes elementos en comun:

1. Son necesarios amplios conocimientos de matematicas, es decir, del manejo de muchas tecnicasmatematicas, aunque con inmediata aplicacion a la realidad.

2. Es necesario que, al final de cada problema definido, haya una decision que tomar.

3. Es preciso definir un modelo que de cauce a la toma de decisiones.

En este sentido, hay que destacar que las tecnicas de Investigacion Operativa tienen un auge inusitadoen los Estados Unidos. Algunos de los motivos de este auge son: a) razones historicas, b) la culturaempresarial americana, y c) la dimension del mercado americano. En Europa, cada vez se aplican masestas tecnicas pero, con frecuencia, con un acento mucho mas teorico. Entre los paıses europeos quemas aplican las tecnicas de la IO se pueden destacar los siguientes: Gran Bretana, Holanda, Francia yAlemania. Con el fenomeno de la globalizacion economica, cada vez son mas las empresas multinacionalesque emplean tecnicas de Investigacion Operativa para la toma cientıfica de decisiones.

1.2. Esquema de contenidos

En este tema, se va a seguir el esquema de contenidos que se puede ver en la figura 1.1.

Figura 1.1: Esquema de contenidos del tema Optimizacion.

1.3. OBJETIVOS 3

1.3. Objetivos

Entender el concepto de Investigacion Operativa.

Conocer las areas de estudio de la Investigacion Operativa.

Comprender el desarrollo historico de la IO como ciencia.

Entender que es la Programacion Lineal y su importancia dentro de la IO.

1.4. Conceptos fundamentales

En esta seccion estudiaremos los conceptos fundamentales de la Investigacion Operativa.

1.4.1. Referencias Historicas

Suele ser difıcil hacer una referencia historica de la Investigacion Operativa. Principalmente, porqueno es sencillo establecer sus orıgenes. Como se ha comentado anteriormente, muchas son las areas quecomponen la IO, y hasta que aparecio un elemento aglutinador en los anos 40 del siglo XX, cada areatuvo su propia referencia historica, haciendo muy difıcil establecer la fecha exacta del nacimiento de laIO. No obstante, procuraremos dar unas pinceladas al respecto.

La necesidad de tomar decisiones es tan antigua como el hombre mismo, por ello, hemos de pregun-tarnos por que la IO nace en un momento historico preciso. Esto fue ası, porque la realidad humana sefue complicando poco a poco y las decisiones que en un principio eran triviales, se convirtieron en deci-siones difıciles. Con la llegada de la Revolucion Industrial, la sociedad se hizo mucho mas compleja y lasdecisiones habıan de tomarse con mas cuidado porque involucraban a mas personas en sus consecuencias.Veamos a continuacion lo que esto supuso historicamente.

1.4.2. Introduccion

Las diferentes ciencias han de ser comprendidas con profundidad antes de poder ser analizadas desdeun punto de vista historico. Quizas no sea facil establecer los orıgenes de la Investigacion Operativa,porque no se tuvo conciencia de la misma hasta mucho mas tarde de que algunas de sus ramas nacierany se desarrollaran. No obstante, es necesario relacionar el inicio de la Investigacion Operativa, por lomenos nominalmente, con el transcurso de la II Guerra Mundial. Por esta razon, hemos de pensar en losorıgenes de la ciencia operacional como en los de una tecnica de naturaleza militar.

Dichos orıgenes han supuesto una impronta decisiva en el tratamiento de las tecnicas operacionales.En este sentido, cuando se pretende trazar una evolucion historica de una ciencia es muy importantedelimitar la frontera de la misma en los terrenos conceptual e historico.

1.4.3. Prolegomenos y rudimentos de la I.O.

Despues de la introduccion llegamos al momento delicado de establecer diferencias entre la Investi-gacion Operativa y la Ciencia de la Gestion (o de la Administracion). Entendemos por Ciencia de laGestion (traduccion del termino ingles Management Science) la aplicacion de los metodos y tecnicas dela ciencia actual a los problemas de toma de decisiones en la administracion. Realmente, esta mismadefinicion podrıa valer tambien para la Investigacion Operativa, aunque esta necesite de un manejo mas


explıcito de tecnicas matematicas. Por tanto, estas dos ciencias pueden darse en el momento presentecomo equivalentes o sinonimas. No obstante, se puede comprender que la gestion y la organizacion hansido necesarias para la humanidad desde sus albores.

La necesidad de planificacion y organizacion aparece ya en el antiguo Egipto hacia el ano 4000 a. C.y se va desarrollando a traves de toda la Antiguedad hasta el advenimiento del Imperio Romano. EnIsrael y China tambien aparecen tımidos escarceos de organizacion y direccion hacia el ano 1000 a. C.Nabucodonosor establece algunas ideas sobre control de la produccion hacia el ano 600 a. C. En Grecia,se desarrollan en el 350 a. C. los primeros metodos de organizacion del trabajo y del tiempo. Alrededordel ano 30 a. C., Julio Cesar establece diversas ideas de planificacion, control y unidad de mando, queluego pone en practica en todo el Imperio Romano.

Todos los estudios y planteamientos organizativos de la Antiguedad tienen su proyeccion, que nosu continuacion, a lo largo de toda la Edad Media, en donde se aprovechan sin posteriores desarrollos.Durante el siglo XV, en la Italia renacentista se vuelven a plantear de nuevo las cuestiones organizativasy aparecen diversos estudios sobre costes y sobre control de existencias. No es facil establecer otros hitosacerca de la organizacion hasta el siglo XVIII, cuando Pierre de Montmort inicia sus primeras ideasdirectivas que luego dan lugar a la teorıa de juegos.

Con los inicios de la I Revolucion Industrial, el sentido y la forma de estudio de la Ciencia de la Gestionadquieren su ser mas pleno. Por otra parte, el desarrollo de las matematicas durante los siglos XVIII y XIXpermite disponer de las herramientas necesarias para la futura construccion de la Investigacion Operativa.De esta forma, en 1767, Gaspard Monge descubre la manera geometrica de resolver un programa lineal.Posteriormente, Adam Smith establece el principio de especializacion en los trabajos, y Robert Owen,ya en el siglo XIX, realiza un estudio sobre tareas en un proceso productivo, y advierte de la necesidadde adiestramiento en las mismas por parte de los operarios.

Una aportacion fundamental la realiza Babbage, en 1832, construyendo lo que se podrıa llamar elprimer computador digital, que vendrıa a ser el antecesor de los modernos ordenadores. A finales del sigloXIX, Joseph Wharton hace de la direccion estrategica e industrial un saber universitario. No obstante,el auge de las revoluciones industriales del XIX permiten establecer un caldo de cultivo adecuado parael estudio de la ciencia operacional. Ası, Frederick W. Taylor y Henry L. Gantt, ante la necesidad deplanificacion de la produccion, establecen el metodo cientıfico de direccion y las graficas de programacionproductiva (de Gantt), respectivamente. A partir de este momento aparece la aportacion nuclear del sigloXX a la Investigacion Operativa, sabiendo que es en esta centuria cuando se produce su nacimiento real.

1.4.4. Genesis de la I.O. en el siglo XX

Diversos hechos habıan ocurrido en los albores de ese siglo, que luego ayudaron a la genesis de laciencia operativa. Entre otros citaremos: a) los rudimentos de la teorıa de colas, con A.K. Erlang, y b) laconstruccion del modelo economico del tamano del lote, con F.W. Harris. Sin embargo, estos hitos queluego constituyeron elementos clave de la Investigacion Operativa, no permitieron establecer la mismacomo un saber independiente. Tiene sentido iniciar nuestra exposicion en el momento en el que se tuvouna conciencia clara de que algo nuevo y diferenciador estaba naciendo en el ambito de la teorıa de laorganizacion a gran escala. Este momento es el preludio de la II Guerra Mundial. Podrıamos decir quees hacia 1935 cuando Inglaterra se da cuenta de que necesita dar una respuesta adecuada al crecientepoderıo militar aleman. Por esta razon, el gobierno ingles urge a un grupo de cientıficos a que realicenexperimentos que conduzcan a un mejor control del espacio aereo. Fruto de esta experimentacion apareceel radar, que constituye el inicio de la lucha por la supremacıa aerea. Este grupo de investigadores tomosu base en Bawdsey, y por esta razon se llamo grupo de Bawdsey.

De forma paralela, otro grupo se estuvo estableciendo durante 1936 para desarrollar el experimentoBiggin Hill, que permitıa la simulacion de aviones enemigos y su deteccion. La conjuncion de estosdos grupos, permitio ofrecer a la RAF (Royal Air Force) una estructura operacional, para sus equipos

1.4. CONCEPTOS FUNDAMENTALES 5

materiales y humanos, que le posibilito librar la batalla de Inglaterra en 1940-41. El grupo de Bawdseyfue dirigido en 1938 por A.P. Rowe, el cual acuno la expresion ’Operations Research’, que posteriormentese extendio dentro del ambito cientıfico al resto de paıses occidentales.

La batalla de Inglaterra se recrudece en el otono de 1940. Por esta razon, se solicita la ayuda deP.M.S. Blackett, un fısico que despues conseguira el Premio Nobel por sus trabajos en rayos cosmicos,con objeto de establecer una seccion de Investigacion Operativa dentro de los comandos de accion de laRAF. Del mismo modo, Blackett fue consultado en diciembre de 1941, sobre la posibilidad de constituiruna seccion similar dentro de la Armada. Dicha seccion fue constituida en enero de 1942.

Cuando los Estados Unidos entran en la guerra, son conscientes de la necesidad de tales gruposoperativos y de la constitucion de secciones operacionales para el exito de los mismos. De esta manera,constituyen en 1942 un grupo operacional de lucha antisubmarina (ASWORG - Anti-Submarine WarfareOperations Research Group) que recoge toda la experiencia inglesa desarrollada por Blackett. De formasimilar, la Fuerza Aerea Americana estructura diversos grupos operacionales para llevar a cabo sus laboreslogısticas. Al final de la guerra, la Armada americana disponıa de un departamento de InvestigacionOperativa compuesto por mas de setenta cientıficos, y la Fuerza Aerea disponıa de mas de dos docenasde secciones operacionales.

No puede decirse que las potencias del Eje hicieran uso de las tecnicas operacionales durante la IIGuerra Mundial, mientras que el numero de cientıficos e investigadores involucrados en InvestigacionOperativa en la contienda por parte de ingleses, americanos y canadienses supero los setecientos. Lasaportaciones que hicieron todos estos investigadores supusieron un giro copernicano en la manera deconcebir la Ciencia de la Gestion en los anos siguientes. De alguna manera, todos estos estudiosos quetrabajaban de manera aislada en los anos treinta se aglutinaron holısticamente con ocasion de la guerra,y produjeron un conjunto de tecnicas y teorıas que ocasionaron el alumbramiento de la InvestigacionOperativa como ciencia.

1.4.5. El crecimiento de la I.O. desde 1945 hasta la actualidad

Es muy difıcil condensar en unas lıneas todo lo que han supuesto las decadas anteriormente menciona-das para la ciencia operacional, habida cuenta de su importancia y de la riqueza de trabajos producidos.Realmente, se ha construido mas ciencia operacional durante estos anos que en todo el resto de la his-toria de la humanidad. Se puede decir que la verdadera historia de la Investigacion Operativa se hadesarrollado durante este perıodo: se han establecido lıneas de investigacion, han aparecido sociedadesprofesionales, se han creado revistas de investigacion, se han publicado libros y se ha incluido la materiadentro del curriculum educativo.

Una vez finalizo la contienda mundial y habida cuenta del exito cosechado por las tecnicas operativas,estas continuaron desarrollandose dentro del ambito militar, puesto que era el ejercito quien poseıala mayor parte de los investigadores y quien estaba interesado en proseguir dicha lınea de trabajo. Amediados de los anos cincuenta se desplazo el centro de gravedad de interes de la Investigacion Operativa,y alcanzo el terreno industrial y el academico. Aparece el interes por la Ciencia de la Gestion (ManagementScience). En la decada de los setenta, ha continuado el desarrollo expansivo de la Investigacion Operativa,llegando al ambito de la administracion publica, tratando los siguientes tipos de problemas: transporteurbano, administracion de justicia, construccion de edificios publicos, educacion, hospitales y serviciossociales. De esta manera, el peso investigador de la IO se desplaza desde el Reino Unido a los EstadosUnidos, en donde se constituyen diversos institutos y organizaciones de estudio, como The Urban Institute(1968) y The New York City Rand Institute (1969).

Tambien, son muchas las empresas que, a partir de los anos cincuenta, se ayudan de tecnicas operativaspara disenar sus polıticas de produccion y de distribucion. Por ejemplo, a partir de una encuesta querealiza Turban en 1972 en Estados Unidos sobre las 500 empresas mas importantes del paıs (de acuerdocon la revista Fortune), se deduce que la mitad de las empresas que contestaron la encuesta poseıan un


departamento especial dedicado a tareas de Investigacion de Operaciones o Ciencia de la Administracion.

No obstante, la IO forma cada dıa mas, una parte de las actividades normales de la empresa modernay, por tanto, ya no se trata de una funcion especializada que deba llevarse a cabo en un departamento se-parado. De acuerdo con este estudio las tecnicas operacionales mas empleadas eran el analisis estadıstico,la simulacion, la programacion lineal, la teorıa de inventarios y la programacion dinamica. Otras tecnicasempleadas, aunque de menor uso, eran la programacion no lineal, las lıneas de espera, la teorıa de juegos,el analisis de decision de Bayes y la programacion entera.

Posteriormente, se realizaron otras encuestas de resultados similares: a) en 1977, Ledbetter y Cox(1977); b) en 1979, Thomas y DaCosta (1979); c) en 1983, Forgionne (1983). En todas ellas se compruebacomo cada vez son mayores en numero las tecnicas operativas empleadas, y como dichas tecnicas aparecencon mas frecuencia en otras areas o departamentos de la empresa. Estudios de otro tipo fueron los deFabozzi y Valente (1976) que encuestaron, en 1976, mil companıas americanas en relacion con el usode la programacion matematica (programacion lineal, no lineal y dinamica). Estos autores descubrieronque era la direccion de Produccion (mezclas de productos, asignacion de recursos, diseno de planta ymaquinaria, ...) el area en donde mas se aplicaba la Investigacion de Operaciones dentro del ambito dela empresa. En numero de aplicaciones le seguıa el area de Inversion y Financiacion.

1.4.6. Especificaciones y concreciones historicas de la I.O.: la programacionmatematica

La Programacion Matematica ha formado parte de la IO desde la constitucion de la misma comociencia hasta la actualidad. Sin embargo, muchos de los problemas tratados por la Programacion Ma-tematica eran conocidos desde mucho antes. Grandes matematicos de los siglos XVIII y XIX, como Euler,Gauss y Lagrange trabajaron en problemas de optimizacion con restricciones y establecieron las prime-ras condiciones de optimalidad. Lo cual quiere decir que los problemas que la Programacion Matematicaplanteaba en los anos cuarenta de nuestro siglo no eran nuevos en su formulacion, pero sı en su enfoque.

Los metodos matematicos clasicos no estaban pensados para una resolucion en dimensiones altas,como iban a requerir las nuevas necesidades industriales. Esta fue la aportacion de la ciencia operacional,maxime cuando se desarrollaron las tecnicas computacionales que permitieron hacer realidad el calculorapido y a gran escala. La IO supuso un giro copernicano en la manera de tratar los programas ma-tematicos. Se implementaron algoritmos que computacionalmente eran mas eficientes que los clasicos y,de esta manera, problemas que tradicionalmente habıan sido complejos, ahora resultaron asequibles. Elcambio de mentalidad era notable y, por tanto, un nuevo modelo cientıfico se estaba abriendo paso. Parael desarrollo de las distintas tecnicas algorıtmicas, era basico el estudio de los sistemas de desigualdadcomo habıan hecho los matematicos Julius Farkas, Jean Baptiste Fourier y T.S. Motzkin.

El analisis de los problemas economicos se debe a John Von Neumann y a Abraham Wald. Noobstante, cuando se trata de presentar una descripcion historica de la Programacion Matematica, hayque tener en cuenta la gran aportacion de George B. Dantzig (ver foto de la figura 1.2) con su metodosimplex para programacion lineal. Este hito ha supuesto la demarcacion de la epoca fundacional de laProgramacion Matematica. Este hecho se ha considerado como el inicio de la IO, puesto que lo ha sidode la programacion lineal, y ha traıdo consigo la resolucion de muchos problemas operacionales.

Realmente, el nuevo estilo marcado por el metodo simplex ha construido el autentico espıritu dela optimizacion matematica. No hay que olvidar la intencion de Samuel Eilon al inventar el termino“satisfizar” (fusion de satisfacer y optimizar) intentando describir la labor del investigador de operacio-nes: encontrar una solucion satisfactoriamente (aceptablemente) optima (o buena). De ahı procede lasentencia: “optimizar es la ciencia de lo esencial; “satisfizar” es el arte de lo factible” (Eilon (1972)).

De hecho, en cuanto se intenta resolver un problema practico surgido de la empresa o de la realidadeconomica se puede palpar la potencia del metodo simplex. A principios de la decada de los sesenta,

1.4. CONCEPTOS FUNDAMENTALES 7

Figura 1.2: Fotografıa de George Bernard Dantzig (1941).

Abraham Charnes y William Cooper (1961) publicaron un libro de gran influencia para los anos poste-riores: Management Models and Industrial Applications of Linear Programming. Esta obra supuso ungran impacto en el desarrollo de la practica y de las aplicaciones industriales de la programacion lineal(principalmente en las companıas petrolıferas y quımicas). Pudo comprobarse la potencia de esta nuevaherramienta, a la hora de resolver los problemas de decision de las grandes empresas.

De igual modo, se aplico la programacion lineal a la teorıa economica como muestran las aportacionesde Robert Dorfman, Paul Samuelson y Robert Solow (1958), o las de David Gale (1960), o bien las deGerard Debreu (1963).

1.4.7. Nuevos desarrollos de la I.O.

La Programacion Lineal fue una de las primeras herramientas cuantitativas con la que conto la IO.Rapidamente se descubrio su eficiencia. Por esta razon, era muy interesante conseguir nuevos metodosde resolucion que hicieran la competencia al algoritmo simplex.

Como una innovacion destacable en los anos ochenta aparece un nuevo y poderoso algoritmo para laresolucion de programas lineales: en 1984, Narendra Karmarkar (1984) de AT& T Laboratories publicoun artıculo presentando esquematicamente un metodo para resolver programas lineales de gran tamano.Este metodo llamado algoritmo de Karmarkar se presenta como un buscador de optimos a partir depuntos interiores, siendo esta la gran novedad en relacion con el metodo simplex.

Dicho artıculo de Karmarkar no describe totalmente el metodo resolutorio y, ademas, afirma que esmucho mas rapido que el simplex para problemas de gran dimension. El intento de descubrimiento de unremedo de dicho metodo puso a toda la comunidad cientıfica en pie de busqueda. Pasaron cuatro anoshasta que se logro un conocimiento general del metodo y su distribucion comercial. Esta extension delalgoritmo de Karmarkar fue debida a AT& T Laboratories, que llamo a esta version ’AT& T KORBXLinear Programming System’. La instalacion completa de esta version tuvo un costo inicial de 8.900.000dolares.

Desde un principio se realizaron multitud de comparaciones entre el metodo simplex y el de Kar-markar, con objeto de determinar cual de los dos era el mas eficiente. Sin embargo, esto no es facil dedeterminar puesto que hay que especificar que es exactamente lo que significa eficiencia. Es necesarioefectuar la comparacion en multitud de situaciones diversas y a partir de ellas establecer la correspon-


diente tesis. Se han realizado estudios que cotejan el metodo de Karmarkar con un paquete informaticoestandar del metodo simplex llamado MINOS.

Para problemas de tamano grande (a partir de varios miles de restricciones) las mejoras en tiempo decalculo del metodo de Karmarkar sobre el simplex son notables (factores entre 10 y 50 son comunes). Noobstante, esta situacion no supone la supremacıa del metodo de Karmarkar en todo tipo de problemas.No hay que olvidar que para problemas de dimension pequena, el metodo simplex es mas intuitivo y facilde aplicar.

Tambien es posible realizar algunos comentarios acerca de la complejidad computacional de cada unode los metodos. El metodo de Karmarkar es un algoritmo de tiempo polinomial, mientras que el simplexno goza de esta propiedad, sino que es de tiempo exponencial. De esta forma, tenemos explicada la razonpor la cual el metodo de Karmarkar obtiene mejores resultados para problemas de gran dimension.

Es llamativo que los problemas que hasta hace unos anos necesitaban de computadoras de tamanomedio, ahora sean resolubles mediante ordenadores personales. En la actualidad, practicamente cualquierusuario de la Investigacion Operativa puede resolver problemas lineales mediante LINGO (u otro paqueteinformatico semejante) en un ordenador portatil.

De esta manera, mediante LINGO se pueden manejar problemas con hasta 50.000 restricciones y200.000 variables. De igual modo, se desarrollo el paquete MINOS (empleando para programacion linealel metodo simplex) en el Systems Optimization Laboratory del Departamento de Investigacion Operativade la Universidad de Stanford, que ha sido usado mas frecuentemente como herramienta optimizadora enprogramacion no lineal. Otros lenguajes de modelizacion se han desarrollado para ordenadores personales.

Ası, ha aparecido GAMS/MINOS que es una combinacion de los dos programas bien conocidoscon objeto de construir un lenguaje de modelizacion algebraica implementado por IBM. De la mismaforma, ha aparecido el paquete XPRESS-LP; y el lenguaje MPL (Mathematical Programming Language)desarrollado por Maximal Software en Islandia. Esta misma casa produjo la utilidad Turbo-Simplex.

En los anos noventa fueron apareciendo otras utilidades informaticas, como son las hojas de calculo ysus complementos asociados, capaces de resolver programas lineales. Entre algunos de estos complementosse pueden citar los siguientes: Solver(Excel), VINO, What’s Best? y XA. Casi todas estas utilidadesfueron construidas por IBM para sus propias computadoras, sin embargo, poco a poco, se van obteniendoversiones para Macintosh.

Aunque estas son las mas recientes aplicaciones informaticas de los ultimos cinco anos, en los proximosanos se mejoraran, a la vez que se extenderan los lenguajes y paquetes informaticos que permitiran resolvercon relativa facilidad problemas de programacion lineal complejos.

1.5. Introduccion a la Programacion Lineal

En cualquier empresa, muchas de las decisiones que se toman tienen por objeto hacer el mejor usoposible (optimizacion) de los recursos de la misma. Por recursos de una empresa entendemos la maquinariaque esta posea, sus trabajadores, capital financiero, instalaciones, las materias primas de que disponga.Tales recursos pueden ser usados para fabricar productos (electrodomesticos, muebles, comida, ropa,etc.) o servicios (horarios de produccion, planes de marketing y publicidad, decisiones financieras, etc.)La Programacion Lineal (PL) es una tecnica matematica disenada para ayudar a los directivos en laplanificacion y toma de decisiones referentes a la asignacion de los recursos.

Como ejemplos de problemas donde la PL desarrolla un papel fundamental, podrıamos citar lossiguientes:

1. A partir de los recursos disponibles, determinar las unidades a producir de cada bien de forma que

1.5. INTRODUCCION A LA PROGRAMACION LINEAL 9

se maximice el beneficio de la empresa.

2. Elegir materias primas en procesos de alimentacion, para obtener mezclas con unas determinadaspropiedades al mınimo coste.

3. Determinar el sistema de distribucion que minimice el coste total de transporte, desde diversosalmacenes a varios puntos de distribucion.

4. Desarrollar un plan de produccion que, satisfaciendo las demandas futuras de los productos de unaempresa, minimice simultaneamente los costes de produccion e inventario.

1.5.1. Caracterısticas de un problema de Programacion Lineal

Las tecnicas de PL han sido ampliamente utilizadas en ambitos tan diferentes como el militar, in-dustrial, financiero, de marketing, e incluso agrıcola. A pesar de tal diversidad de aplicaciones, todos losproblemas de PL tienen cuatro propiedades comunes:

1. Pretenden optimizar (maximizar o minimizar) alguna cantidad (funcion objetivo). Ası, por ejemplo,el principal objetivo de un banquero serıa maximizar beneficios, mientras que el principal objetivode una empresa transportista podrıa ser minimizar los costes de los envıos.

2. Habra que tener en cuenta las restricciones que limitan el grado en el cual es posible modificarlas variables que afectan a nuestra funcion objetivo. Ası, a la hora de decidir cuantas unidadesde cada bien se han de producir, deberemos considerar, entre otras, las limitaciones de personal ymaquinaria de que disponemos.

3. El problema debe presentar distintas alternativas posibles: si una companıa produce cuatro bienesdiferentes, la direccion puede usar PL para determinar las cantidades de recursos que asigna a laproduccion de cada uno de ellos (podrıa optar por hacer una asignacion ponderada, dedicar todoslos recursos a la produccion de un unico bien abandonando la produccion del resto, etc.)

4. En PL, la funcion objetivo debe ser una funcion lineal, y las restricciones deben ser expresablescomo ecuaciones o inecuaciones lineales.

1.5.2. Planteamiento de un problema de Programacion Lineal

Ejemplo: Una empresa fabrica dos modelos de mesas para ordenadores, M1 y M2. Para su produccionse necesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo M1 y de 30 minutos para el modelo M2;y un trabajo de maquina de 20 minutos para M1 y de 10 minutos para M2. Se dispone de 100 horas almes de trabajo manual y de 80 horas al mes de maquina. Sabiendo que el beneficio por unidad es de 1,5y 1 euros para M1 y M2, respectivamente, planificar la produccion para obtener el maximo beneficio.

Nos limitaremos ahora a plantear formalmente el problema (ya lo resolveremos mas adelante):

Llamando: X = no unidades producidas al mes de M1, e Y = no unidades producidas al mes de M2,nuestra funcion objetivo serıa:

Maximizar: Z(X,Y ) = 1,5X + Y

y las restricciones vendran dadas por:

Sujeto a:

20X + 30Y ≤ 100 ∗ 60


20X + 10Y ≤ 80 ∗ 60

X ≥ 0

Y ≥ 0

X,Y enteras.

Las dos ultimas restricciones, si bien no constan de forma explıcita en el enunciado, sı figuran deforma implıcita, pues el numero de mesas a producir no puede ser inferior a 0, ademas ambos numerosdeben ser enteros.

1.5.3. Supuestos basicos de la Programacion Lineal

Desde un punto de vista tecnico, hay cinco supuestos que debe cumplir todo problema de programacionlineal:

1. Los coeficientes, tanto de la funcion objetivo como de las restricciones, son conocidos con exac-titud y ademas no varıan durante el perıodo de tiempo en que se realiza el estudio (supuesto decertidumbre).

2. Tanto en la funcion objetivo como en las restricciones hay proporcionalidad: si para la produccionde un bien empleamos 5 horas de un determinado recurso (mano de obra, maquinaria, etc.), paraproducir diez unidades de dicho bien seran necesarias 50 horas del mismo recurso.

3. Aditividad de actividades: tanto en la funcion objetivo como en las restricciones, la contribucionde cada variable es independiente de los valores del resto de las variables, siendo el total de todaslas actividades igual a la suma de cada actividad individual. Ası, por ejemplo, si producimos dostipos de bienes, uno que nos reporte un beneficio neto de 20 euros/unidad, y otro que nos reporteun beneficio neto de 10 euros/unidad, la produccion de un bien de cada tipo supondra un beneficiototal de 30 euros.

4. Las soluciones del problema seran, en general, numeros reales no necesariamente enteros (supuestode divisibilidad). Para aquellos problemas en los cuales solo tenga sentido obtener soluciones enteras(cuando las soluciones se refieran a objetos indivisibles), se usaran tecnicas de Programacion LinealEntera (PLE).

5. Las variables de nuestro modelo tomaran siempre valores positivos (supuesto de no negatividad),dado que no tiene sentido hablar de cantidades negativas de objetos fısicos.

1.5.4. Resolucion grafica de un problema de Programacion Lineal

El metodo grafico de resolucion tan solo es aplicable a problemas con dos variables (X e Y ). Paraaquellos casos en que el numero de variables del problema sea superior a dos, no sera posible encontrar lasolucion a partir de un grafico bidimensional y, por tanto, tendremos que usar metodos de resolucion mascomplejos. Aun ası, el metodo grafico es de un gran valor pedagogico dado que nos permite vislumbrarde una forma intuitiva las ideas basicas de la PL.

Volviendo al ejemplo de las mesas de ordenadores descrito anteriormente, dado que en el tenemos solodos variables, podremos representar cada una de las restricciones en el plano real. Estas restricciones sonsemiespacios (por ser lineales), la interseccion de los cuales se denomina region factible (area de colorverde en la figura 1.3


Figura 1.3: Region Factible del ejemplo de las mesas de ordenador.

La teorıa matematica establece que, dado un problema de PL que tenga solucion, esta vendra dadapor uno de los vertices (o puntos extremos) del polıgono que configura la region factible. Por tanto, serasuficiente hallar las coordenadas de dichos vertices (intersecciones de rectas) y determinar (sustituyendoen la funcion objetivo) cual de ellos es la solucion optima.

En nuestro ejemplo, tendrıamos solo cuatro puntos candidatos a ser solucion del problema (los cuatrovertices del polıgono), sustituyendo sus coordenadas en la funcion objetivo obtenemos:

Z(0, 0) = 0; Z(0, 200) = 200; Z(210, 60) = 375; y Z(240, 0) = 360

.

Como en este caso buscabamos maximizar Z(X,Y ), concluiremos que el punto optimo es el (210,60),dado que con el obtenemos el valor maximo de la funcion objetivo. Ası pues, la solucion a nuestro dilemasera fabricar 210 mesas de tipo M1 y solo 60 de tipo M2, con ello conseguiremos unos beneficios de 375euros.

1.5.5. Casos especiales

A la hora de resolver un problema de PL, nos podrıamos encontrar con cualquiera de estas cuatrosituaciones especiales que conviene conocer:

No Factibilidad: Podrıa ocurrir que el problema propuesto no tuviese solucion. Este serıa el casoen que las restricciones fuesen incompatibles, i.e., que ningun punto del plano (o, en general, delespacio real n-dimensional) puede cumplir simultaneamente todas las limitaciones a las que estamossometidos, es decir, la region factible es un conjunto vacıo.

No Acotacion: En ocasiones, podemos encontrarnos con problemas que no tengan una solucionfinita; ası por ejemplo, en un problema de maximizacion podrıamos tener alguna variable que


pudiese incrementarse indefinidamente sin violar ninguna de las restricciones, permitiendo a lafuncion objetivo tomar valores tan grandes como se desee. Graficamente, tendrıamos una regionfactible no acotada.

Redundancia: Algunas restricciones pueden “estar de mas” por no aportar nada nuevo a la“forma” de la region factible, ya que hay otras que resultan ser mas restrictivas (esto suele ocurriren problemas extensos, donde resulta difıcil reconocer restricciones redundantes).

Soluciones Multiples: Un problema de PL puede tener mas de una solucion optima (puedenser incluso infinitas soluciones). En el caso grafico de dos variables, si dos vertices consecutivosde la region factible son solucion optima del problema, entonces todos los puntos del segmentocomprendido entre ellos tambien seran optimos.

Las situaciones anteriores pueden observarse en los graficos que se pueden ver en la figura 1.4.

Figura 1.4: Region Factible. Casos especiales.

1.5.6. Ejemplos de resolucion grafica

Ejemplo 2

La tabla adjunta muestra las unidades de nitrogeno (N) y de fosforo (P) que contiene cada kilo delos abonos A y B. Se desea obtener un abono que, como mınimo, contenga 9 unidades de Nitrogeno y 9unidades de Fosforo. El precio de A es de 10 euros/kg. y el de B es de 20 euros/kg. Calcular las cantidadesque deben comprarse de A y de B para satisfacer las necesidades minimizando el coste. Resolver el mismoejercicio suponiendo que el precio de B es de 30 euros/kg.

Nitrogeno Fosforo Abono A 3 1 Abono B 1 3

Llamando X = no kilos de A, e Y = no kilos de B,

Minimizar: Z(X,Y ) = 10X + 20Y

Sujeto a:

3X + Y ≥ 9

X + 3Y ≥ 9

X,Y ≥ 0


En este caso, las cantidades X e Y no tienen que ser valores enteros.

Evaluando Z(X,Y en cada uno de los vertices obtenemos:

Z(0, 9) = 180; Z(9/4, 9/4) = 67, 5; Z(9, 0) = 90.

La representacion grafica de la region factible del problema del ejemplo 1 sera la que se puede ver enla figura 1.5:

Figura 1.5: Region Factible. Ejemplo 1.

Por tanto, la solucion optima es utilizar 9/4 kilos de A y 9/4 kilos de B, lo que supone un costemınimo de 67,5 euros.

Si ahora consideramos la nueva funcion objetivo Z(X,Y ) = 10X + 30Y , al evaluar en los vertices (lasrestricciones no han cambiado), obtenemos:

Z(0, 9) = 270; Z(9/4, 9/4) = 90; Z(9, 0) = 90.

tendremos infinitas soluciones ya que cualquier punto del segmento que une los dos ultimos vertices(9,0) y (9/4,9/4), ambos incluidos, sera un optimo, obteniendose en ellos un coste mınimo de 90 euros.

Ejemplo 2

Unos grandes almacenes desean liquidar 200 camisas y 100 pantalones de la temporada anterior. Paraello lanzan dos ofertas, A y B: la oferta A consiste en un lote de una camisa y un pantalon, que se vendea 30 euros; y la oferta B consiste en un lote de tres camisas y un pantalon, que se vende a 50 euros. No


se desea ofrecer menos de 20 lotes de la oferta A ni menos de 10 de la B. ¿Cuantos lotes ha de vender decada tipo para maximizar la ganancia?

Sean: X = no lotes tipo A, Y = no lotes tipo B.

Maximizar: Z(X,Y ) = 30X + 50Y

Sujeto a:

3X + Y ≤ 200

X + Y ≤ 100

X ≥ 20

Y ≥ 10

En este caso, sı tenemos que las variables X e Y deben ser enteras.

Evaluando la funcion objetivo Z(X,Y ) en los vertices obtenemos:

Z(20, 10) = 1,100; Z(20, 80) = 4,600; Z(50, 50) = 4,000; Z(190/3, 10) = 2,400.

La representacion grafica de la region factible del problema del ejercicio 2 se puede ver en la figura1.6.

Figura 1.6: Region Factible. Ejemplo 2.

Podemos observar en el grafico anterior que, en este caso, es innecesario calcular Z(20, 10), pues estaclaro que su valor sera inferior al de Z(20, 80) y al de Z(190/3, 10).

En definitiva, pues, tendremos que la empresa debe vender 20 lotes de tipo A y 80 de tipo B, con loque tendra una ganancia maxima de 4.600 euros.

1.6. CASOS PRACTICOS CON SOFTWARE. 15

1.6. Casos practicos con software.

Como ya hemos dicho, el metodo grafico o metodo geometrico solo permite resolver problemas conno mas de dos variables. En caso de tener mas de dos variables, necesitaremos utilizar metodos mascomplejos, como son el Algoritmo Simplex o el Algoritmo de Karmarkar.

Estos algoritmos permiten, mediante una serie de pasos reiterativos (tablas), abordar problemas dePL por muy complicados que estos sean. En la practica, sin embargo, resulta necesario utilizar algun pro-grama de ordenador (como el programa LINGO o la macro Solver de Excel) el cual agilice los numerososy repetitivos calculos que exigen ambos algoritmos.

LINGO (Linear, Interactive, and Discrete Optimizer) es un programa sencillo de usar y muy potenteque permite resolver extensos problemas de programacion lineal, entera, e incluso cuadratica. Sus creado-res (LINGO Systems, Inc.) permiten descargar de su pagina web (http://www.lindo.com) una version dedemostracion gratuita que tolera hasta 150 restricciones y 300 variables (la version profesional es capazde trabajar con 50.000 restricciones y 200.000 variables).

Al iniciar LINGO (version 12.0 para Windows), aparecen varias ventanas: la exterior (con la etiquetaLINGO) es la ventana principal, todas las demas ventanas que vayan apareciendo estaran contenidasdentro de ella. La ventana principal contiene tambien todos los menus de comandos y la barra de herra-mientas. Utilizaremos la ventana secundaria <untitled> para formular nuestro problema.

A continuacion, se muestra como planteamos en LINGO el ejemplo anterior de las mesas de ordenador(ver figura 1.7), que se enuncio en la pagina 9.

Figura 1.7: Planteamiento con Lingo del ejemplo de las mesas de ordenador.

Ahora que ya hemos utilizado el programa LINGO, es conveniente hacer notar las siguientes obser-vaciones:

1. Podemos anadir comentarios personales sin mas que anteponer el signo de admiracion !

2. Siempre tendremos que finalizar la formulacion del problema anadiendo el comando END.

http://www.lindo.com


3. Por defecto, LINGO ya considera la no negatividad de las variables.

4. LINGO solo acepta cinco operadores: +, − , <= , >= , = . Ası pues, en la formulacion del problemano podra usarse ningun otro operador (producto, cociente, potencia, etc.) ni tampoco parentesisasociativos.

5. En la parte derecha de una desigualdad solo se permiten valores numericos, mientras que en laparte izquierda solo se permiten expresiones lineales de variables y sus coeficientes.

El siguiente paso es pedirle a LINGO que resuelva el problema. Para ello es suficiente con hacer clicsobre el boton Solve (el que tiene forma de diana), o bien seleccionar esta opcion en la barra de menus.LINGO intentara primero compilar el modelo formulado (para determinar si esta bien planteado o no) y,en el caso de que la formulacion sea incorrecta (ya sea desde un punto de vista matematico o de sintaxis),nos devolvera el siguiente mensaje:

An error ocurred during compilation on line: n

Si tras resolver un problema hacemos alguna modificacion en la formulacion del mismo, es necesariovolver a compilar el modelo (Solve > Compile) antes de volver a usar Solve. Si el modelo ha podidoser compilado, LINGO comenzara la resolucion efectiva del problema, mostrando la ventana Status (verfigura 1.8), donde se da informacion sobre el estado del proceso:

Figura 1.8: Ventana Status del Programa Lingo.

A continuacion se describen algunos de los campos que aparecen en la ventana anterior:

1.6. CASOS PRACTICOS CON SOFTWARE. 17

Status: ofrece el estado de la solucion actual (optima, factible, no factible, o no acotada).

Iterations: numero de iteraciones (tablas del algoritmo) que se han realizado.

Infeasibility: cantidad por la cual las restricciones han sido excedidas o violadas.

Objective: valor actual de la funcion objetivo.

Elapsed time: tiempo transcurrido desde el inicio de la resolucion.

Update Interval: la frecuencia (en segundos) en que esta ventana es renovada.

Aparecera una nueva ventana en la pantalla, la ventana Solution Report, a la que LINGO enviarala salida del programa en forma de texto tal y como se puede ver en la siguiente figura 1.9.

Figura 1.9: Salida del Programa Lingo. Solution Report.

La informacion basica que nos proporciona esta ventana de la figura 1.9 para nuestro ejemplo de lasmesas es que se han necesitado dos iteraciones para llegar a dar con la solucion optima de fabricar 210mesas del tipo M1 y 60 del tipo M2, con lo cual obtendremos un beneficio de 375 euros (el maximo delos posibles bajo las restricciones que tenemos). Debemos tener en cuenta que este problema lo hemosresuelto sin las restricciones de integridad de las variables X e Y , y que si la solucion optima no hubiesesido entera, el problema no estarıa resuelto. Sin embargo, como la solucion optima obtenida es entera,entonces la solucion del problema inicial, considerando las variables X e Y enteras, coincide con la quehemos descrito anteriormente.

Ademas, con este plan de produccion estaremos agotando todos nuestros recursos, tanto el tiempode mano de obra como el tiempo de maquina disponible (dado que la columna SLACK OR SURPLUStoma el valor 0 en ambas restricciones).


Capıtulo 2

Metodologıa de la InvestigacionOperativa

En su forma mas simple, la investigacion operativa puede considerarse como un procedimiento queconsta de cuatro fases o etapas, tal y como se puede ver en la figura 2.1.

Figura 2.1: Aplicaciones de la Programacion Lineal.

Sin embargo los modelos rara vez se ajustan totalmente a este modelo en cascada, sino que los modeloshan de ser revisados, las soluciones han de ser modificadas o los informes han de ser reescritos. Por tanto,algunas partes del proceso se tienen que repetir hasta que se encuentre una solucion adecuada.

2.1. Paso 1. Definicion del Problema

Quizas la parte mas importante de todo el proceso sea la definicion del problema. Una respuestaincorrecta a una pregunta concreta no suele tener consecuencias fatales, pero una respuesta correcta auna pregunta incorrecta puede ser desastrosa. Es importante que el problema este claramente definidoantes de invertir una gran cantidad de trabajo y de energıa en resolverlo.

A la hora de definir el problema nos debemos enfrentar a uno o mas factores de entre los siguientes:datos incompletos, conflictivos o difusos, diferencias de opinion, presupuestos o tiempos limitados, etc.

Para tratar de ser mas eficiente, se podrıa plantear el siguiente plan de trabajo:

19

20 CAPITULO 2. METODOLOGIA DE LA INVESTIGACION OPERATIVA

1. Observar. Se debe hacer un esfuerzo para contemplar el problema desde diferentes puntos de vista,de modo que termine entendiendo el problema tan bien o mejor que las personas directamenteimplicadas.

2. Ser consciente de las realidades polıticas. Casi siempre hay conflictos entre los jefes y lostrabajadores, o ente varios jefes. Esto puede ocasionar que la informacion que se recibe puede serincompleta o distorsionada.

3. Decidir que se quiere realmente. Se debe estar seguro de que la companıa o el servicio tienenclaros sus objetivos antes de desarrollar y resolver un modelo.

4. Identificar las restricciones. Es importante saber que tipo de limitaciones pueden afectar ladecision final, para posteriormente incluirlas en el modelo.

5. Buscar informacion de modo continuo. A lo largo del proceso se debe tener contacto con eldesarrollo del proceso, pues una observacion continua permite que se puedan realizar modificacionesa las observaciones iniciales.

2.2. Paso 2. Modelado Matematico

El modelado matematico es un procedimiento que reconoce y verbaliza un problema para posterior-mente cuantificarlo transformando las expresiones verbales en expresiones matematicas. El modeladomatematico es un arte, que mejora con la practica. El proceso del modelado matematica consta decuatro pasos, que se ilustran en la siguiente tabla:

Modelado MatematicoPaso 1. Identificar las variables de decisionPaso 2. Identficar la funcion objetivoPaso 3. Identificar las restriccionesPaso 4. Traducir los elementos anteriores a un modelo matematico

2.2.1. Identificar las variables de decision

Un paso crucial en la construccion de un modelo matematico es determinar aquellos factores sobrelos que el decisor tiene control, que normalmente se llaman variables de decision del problema. Hayque distinguir entre lo que esta a nuestro alcance cambiar (por ejemplo, la cantidad de artıculos quese deben fabricar y de que tipo o el material a utilizar) de aquello que no podemos modificar (comoel numero de horas de trabajo disponibles o las fechas de entrega), que normalmente denominaremosparametros. Segun el tipo de problema, lo que a veces es una variable de decision en otros casos puedeser un parametro.

En muchos casos, definir las variables de decision es la etapa mas difıcil, pues una vez que estan biendefinidas, el resto del proceso fluye de forma natural. Tambien puede ocurrir que una definicion incorrectade las variables de decision, puede bloquear el resto del problema.

Para identificar las variables de decision, puede ser util hacerse las siguientes preguntas:

¿que es lo que hay que decidir?

¿sobre que elementos tengo control?

¿cual serıa una respuesta valida para este caso?

2.3. PASO 3. RESOLUCION DEL MODELO 21

2.2.2. Identificar la funcion objetivo

El objetivo de la mayorıa de los estudios de IO, y de todos los modelos de optimizacion, es encontrar elmodo de optimizar alguna medida respetando las restricciones existentes. Aunque una companıa quizaseste satisfecha con una mejora sustancial de la situacion actual, normalmente el objetivo es buscar elvalor o valores optimos para cierta funcion.

A la hora de encontrar la funcion objetivo, las preguntas que nos podemos hacer podrıan ser lassiguientes:

¿que es lo que queremos conseguir?

o si yo fuera el jefe, ¿que me interesarıa mas?

2.2.3. Identificar las restricciones

En la busqueda de la solucion o soluciones optimas, normalmente existen ciertas restricciones (li-mitaciones, requisitos) que limitan nuestra decision. Ejemplos de restricciones frecuentes pueden ser lossiguientes: los recursos disponibles (trabajadores, maquinas, material, etc.) son limitados; fechas lımiteimpuestas por los contratos; restricciones impuestas por la naturaleza del problema (por ejemplo: el flujode entrada a un nodo deber ser igual al flujo de salida, el numero de unidades producidas debe serpositivo, el numero de artıculos que se fabrican o se venden debe ser entero, o debe ser multiplo de 10 ode 12, etc.)

2.2.4. Traducir todos los elementos basicos a un modelo matematico

Una vez identificados los elementos basicos hay que expresarlos matematicamente. Dependiendo dela naturaleza de las funciones matematicas, el problema sera de un tipo o de otro; por ejemplo, si todaslas funciones son lineales el problema sera de Programacion Lineal; si existe mas de una funcion objetivo,sera de programacion multicriterio, etc.

2.3. Paso 3. Resolucion del Modelo

Una vez que hemos aceptado el modelo matematico que mejor describe la situacion en estudio, seaplican los algoritmos o las tecnicas matematicas disenadas para su resolucion. Las etapas en la resolucionde un modelo podrıan ser las que se presentan en la tabla siguiente:

Resolucion del ModeloPaso 1. Elegir la tecnica de resolucion adecuadaPaso 2. Generar las soluciones del modeloPaso 3. Comprobar/validar los resultadosPaso 4. Si los resultados son inaceptables, revisar el modelo matematicoPaso 5. Realizar un analisis de sensibilidad

2.3.1. Elegir la tecnica de resolucion adecuada

Afortunadamente muchos de los modelos de la IO pueden resolverse utilizando tecnicas eficientes yaexistentes, que proporcionan una solucion o varias soluciones optimas para el modelo. En otros casos,


el problema es demasiado complejo o el algoritmo de resolucion tiene una complejidad computacionalinaceptable y hay que recurrir a metodos heurısticos de resolucion, utilizando por ejemplo la creatividad,el razonamiento a la inversa, el pensamiento divergente, etc.

2.3.2. Generar las soluciones del modelo

Una vez elegida la tecnica de resolucion, el siguiente paso es resolver el problema. Como normalmentela mayorıa de los modelos conllevan la manipulacion de una gran cantidad de datos, los problemas deberser resueltos con ayuda de ordenador, utilizando alguno de los muchos programas de optimizacion de laInvestigacion Operativa que existen o incluso hojas de calculo, applet de java, etc.

2.3.3. Comprobar/validar los resultados

Como los modelos matematicos no son mas que simplificaciones de la realidad, las soluciones optimasgeneradas para un modelo pueden no ser optimas para el problema de la vida real. En el peor de los casos,puede que ni siquiera sean factibles. De este modo, comprobar la validez de dichas soluciones constituyeun paso crucial, igual que comprobar que efectivamente proporcionan un mejor rendimiento que el plande trabajo que actualmente sigue la empresa.

2.3.4. Si los resultados son inaceptables, revisar el modelo

Como ningun modelo es totalmente exacto ni ninguna tecnica de validacion esta exenta de errores,si los resultados de la validacion son inaceptables puede ser necesario revisar el modelo. Las hipotesisdeber estudiarse de nuevo, la exactitud de los datos debe comprobarse, las aproximaciones a veces hayque modificarlas, las restricciones deben ser revisadas, etc.

2.3.5. Realizar un analisis de sensibilidad

Normalmente, la solucion o soluciones que nos proporciona el ordenador son una respuesta para elmodelo. Pero el decisor suele querer no una solucion, sino varias soluciones entre las que elegir. El analistao especialista en optimizacion debe estar preparado para estudiar los cambios posibles a su alcance. Paraello resulta muy util realizar el analisis de sensibilidad, que estudia los cambios que puede sufrir lasolucion si se alteran los parametros del modelo, o bien en que rango de variacion de los parametros lasolucion sigue siendo valida.

2.4. Presentacion de los Resultados

Este es el paso final dentro del proceso. Este proceso, tiene habitualmente dos pasos, que se presentanen la tabla siguiente :

Presentacion de ResultadosPaso 1. Preparar informes o presentacionesPaso 2. Vigilar el proceso de implementacion de la solucion propuesta

2.5. GUIA GENERAL PARA LA FORMULACION DE MODELOS 23

2.4.1. Preparar informes y/o presentaciones

La comunicacion efectiva de los resultados de un estudio es esencial para el exito del mismo. Lautilidad del analisis sera nula si las personas que toman las decisiones no aprecian totalmente su valor.Los decisores deben comprender totalmente el enfoque del analista, las hipotesis y simplificaciones que sehan hecho, y la logica subyacente en la recomendacion. Las presentaciones orales y los informes escritosson formas tradicionales para la comunicacion.

2.4.2. Vigilar el proceso de implementacion de la solucion propuesta

Una vez que se ha emitido el informe o se ha hecho la presentacion, debe implementarse la solucionpropuesta, que a veces puede suponer cambios que sean conflictivos y encuentren resistencia en losmiembros de la empresa o la institucion. El apoyo del analista puede resultar crıtico.

Una vez implementada la solucion, deber ser supervisada de forma continua. Dada la naturalezadinamica y cambiante de la mayorıa de las empresas y servicios, es casi inevitable que haya que realizarcambios en el modelo. El analista debe estar preparado para saber cuando ha llegado el momento decambiar y cuando debe realizar dichos cambios.

2.5. Guıa General para la Formulacion de Modelos

Formulacion de ModelosIdentificacion de elementos basicos Expresar en palabras lo siguiente:

Datos del Problema: factores que no cambianVariables de Decision: variables que podemos controlarRestricciones: Causas por las que la decision esta limitadaFuncion Objetivo: Medida que se quiere optimizar

Traduccion de los elementosbasicos a expresiones matematicas


Capıtulo 3

Metodo Grafico o MetodoGeometrico

3.1. Introduccion

La Programacion lineal es una tecnica matematica relativamente reciente (siglo XX), que consiste enuna serie de metodos y procedimientos que permiten resolver problemas de optimizacion en el ambito,sobre todo, de las Ciencias Sociales. Nos centraremos en este tema en aquellos problemas simples deprogramacion lineal, los que tienen solamente 2 variables, denominados problemas bidimensionales. Parasistemas de mas variables, el procedimiento no es tan sencillo y se resuelven por el llamado Algoritmodel Simplex (ideado por G.B.Dantzig, matematico estadounidense en 1951). Recientemente (1984) elmatematico indio establecido en Estados Unidos, Narenda Karmarkar, ha encontrado un algoritmo,llamado algoritmo de Karmarkar, que es mas rapido que el algoritmo del simplex en ciertos casos. Losproblemas de este tipo, en el que intervienen gran numero de variables, se resuelven utilizando programasinformaticos de optimizacion como Lingo.

3.2. Inecuaciones lineales con dos variables

Una inecuacion lineal con 2 variables es una expresion de la forma:

ax + by ≤ c

(donde el sımbolo ≤ puede ser tambien ≥ , < o bien >), donde a, b y c son numeros reales y x e y lasvariables o incognitas.

Para resolver estas inecuaciones, se recordara de otros cursos, hay que representar graficamente en elplano la recta dada por la correspondiente ecuacion lineal y marcar una de las dos regiones en que dicharecta divide al plano.

Ejemplo: Si queremos resolver la inecuacion: 2x + 3y ≥ −3, representamos en primer lugar la recta2x + 3y = −3.

La recta anterior divide al plano en dos regiones, una de las cuales es la solucion de la inecuacion.Para saber que parte es, hay dos procedimientos:

1. Se despeja la y de la inecuacion, poniendo cuidado en que si en una inecuacion multiplicamos o

25

26 CAPITULO 3. METODO GRAFICO O METODO GEOMETRICO

dividimos por un numero negativo, la desigualdad cambia de sentido. En este caso tendrıamos que:

y ≥ −3− 2x

3

Observando el dibujo de la figura 3.1 vemos que la recta divide al eje de ordenadas (y) en dospartes. La solucion de la inecuacion sera aquella parte en la que la y sea mayor que la recta, esdecir, la parte superior.

2. Se toma un punto cualquiera que no pertenezca a la recta, por ejemplo el (1, 2). Para que dichopunto sea solucion, se tendra que cumplir la desigualdad, por lo que sustituimos en la inecuacioninicial el (1, 2):

2 · 1 + 3 · 2 = −3

es decir, 8 = −3. Como esta ultima desigualdad es evidentemente cierta, concluimos que el (1,2) essolucion y por tanto el semiplano que contiene al (1, 2) es la solucion, es decir el semiplano superior,como habıamos obtenido antes.

Figura 3.1: Solucion de la Inecuacion Lineal

Cualquiera de los procedimientos anteriores es valido si se realiza con correccion.

3.3. Sistema de inecuaciones lineales con dos incognitas

Un sistema de inecuaciones lineales, por tanto, es un conjunto de inecuaciones del tipo anterior, yresolverlo consistira en resolver graficamente cada inecuacion (como en el caso anterior), representar lasolucion en un mismo grafico y la solucion total sera la parte comun a todas las soluciones.

Ejemplo Resolver el sistema de inecuaciones siguiente: 2x + 3y ≥ −32x− y − 9 ≤ 02x− 5y − 5 ≥ 0

Si representamos las rectas: 2x + 3y = −3 (recta r)2x− y − 9 = 0 (recta s)2x− 5y − 5 = 0 (recta t)

3.4. PROBLEMAS DE OPTIMIZACION DE UNA FUNCION SUJETA A RESTRICCIONES 27

El triangulo rayado de la figura 3.2 es la solucion del sistema. Ademas, para los problemas de pro-gramacion lineal es necesario el calculo de los vertices de la region solucion. Es sencillo su calculo, puesse reduce a resolver sistemas de ecuaciones lineales son dos incognitas, que provienen de igualar lasecuaciones de las rectas correspondientes.

Figura 3.2: Solucion del Sistema de Inecuaciones Lineales

Ahora deberıamos calcular los vertices del triangulo de la figura 3.2.

Por ejemplo, en este caso, si queremos el punto interseccion de las rectas r y t tendremos que resolverel sistema formado por: {

2x + 3y = −32x− y − 9 = 0

→{−2x− 3y = 3

2x− y = 9

Sumando obtenemos que −4y = 12; por lo que y = −3. Y sustituyendo queda 2x + 3(−3) = −3, esdecir 2x− 9 = −3, y entonces x = 3. Luego r y t se cortan en el punto (3,−3).

3.4. Problemas de optimizacion de una funcion sujeta a restric-ciones

En un problema de programacion lineal de dos variables x e y, se trata de optimizar (hacer maximao mınima, segun los casos) una funcion (llamada funcion objetivo) de la forma:

F (x, y) = A · x + B · y

sujeta a una serie de restricciones dadas mediante un sistema de inecuaciones lineales del tipo:

a1x + b1y = d1a2x + b2y = d2. . .amx + bmy = dm

Los puntos del plano que cumplen el sistema de desigualdades forman un recinto convexo acotado(poligonal) o no acotado, llamado region factible del problema.

Todos los puntos de dicha region cumplen el sistema de desigualdades. Se trata de buscar, entre todosesos puntos, aquel o aquellos que hagan el valor de F (x, y) maximo o mınimo, segun sea el problema.


Los puntos de la region factible se denominan soluciones factibles. De todas esas soluciones factibles,aquellas que hacen optima (maxima o mınima) la funcion objetivo se llaman soluciones optimas. Engeneral, un problema de programacion lineal puede tener una, infinitas o ninguna solucion.

Lo que si se verifica es la siguiente propiedad: Si hay una unica solucion optima, esta se encuentraen un vertice de la region factible, y si hay infinitas soluciones optimas, se encontraran en un lado de laregion factible.

Es posible que no haya solucion optima, pues cuando el recinto es no acotado, la funcion objetivopuede crecer o decrecer indefinidamente.

Para resolver el problema, podemos abordarlo de dos formas, pero antes a aplicar cualquiera de ellassiempre hay que dibujar la region factible, resolviendo el sistema de inecuaciones lineales correspondiente,como se ha visto en las secciones anteriores (la region factible puede estar acotada o no), y se calculanlos vertices de dicha region.

3.4.1. Resolucion Geometrica

En este caso se representa el vector director de la recta que viene dada por la ecuacion de la funcionobjetivo, F (x, y) = A · x + B · y , que hay que maximizar o minimizar.

El vector director de la recta A · x + B · y viene dado por v = (−B,A). Ademas, como lo unico quenos importa es la direccion del vector y no su modulo (longitud), podemos dividir a las coordenadas delvector si los numeros son muy grandes, puesto que vectores con coordenadas proporcionales tienen lamisma direccion.

Posteriormente, se trazan rectas paralelas a este vector que pasen por los vertices de la region factible(si es acotada) , o por todo el borde de la region factible (cuando no es acotada) y se observa en quevertice la funcion F se hace maxima (o mınima) sin mas que tener en cuenta cual de las rectas tienemayor (o menor) ordenada en el origen, es decir, que recta corta en un punto mayor o menor al eje y.

Ejemplo Maximizar la funcion F (x, y) = 2000x + 5000y sujeta a las restricciones siguientes: 2x + 3y ≥ −32x− y − 9 ≤ 02x− 5y − 5 ≥ 0

La region factible en este caso es la que se puede ver en la figura 3.2.

Los vertices son los puntos (0,−1), (5, 1)y(3,−3).

Como la funcion es F (x, y) = 2000x + 5000y, el vector director es v = (−5000, 2000), que tiene lamisma direccion que el vector v = (−5, 2) y representandolo queda como se puede ver en la figura 3.3.

Se trata ahora de trazar paralelas al vector que pasen por los vertices anteriores, como se puede veren la figura 3.4.

Se observa graficamente que de las tres paralelas trazadas, la que corta al eje y en un punto mayor esla que pasa por el punto (5, 1), que por tanto sera la solucion optima al problema de maximos planteado.

Para saber cual es este valor maximo sustituimos en la funcion:

F (5, 1) = 2000·5 + 5000·1 = 10000 + 5000 = 15000

Luego la funcion tiene su solucion optima en el vertice (5, 1) donde toma el valor 15000, como sepuede ver en la figura 3.4.

3.4. PROBLEMAS DE OPTIMIZACION DE UNA FUNCION SUJETA A RESTRICCIONES 29

Figura 3.3: Region factible y vector de la funcion objetivo

Figura 3.4: Region factible y vectores paralelos de la funcion objetivo

3.4.2. Resolucion Algebraica

Consiste, simplemente, en sustituir cada uno de los vertices de la region en la funcion objetivo. Lasolucion optima vendra dada por aquel que tome el mayor (o menor) valor, en funcion de que la funcionobjetivo sea maximizar o minimizar.

Si resolvemos el problema anterior usando la forma algebraica, tendremos:

La region factible es la misma que en el caso anterior, pues se trata del mismo problema.

Los vertices eran los puntos (0,−1), (5, 1)y(3,−3).

De esta forma sustituyendo las coordenadas de los vertices en la funcion objetivo tendremos:

F (5, 1) = 2000 · 5 + 5000 · 1 = 10000 + 5000 = 15000F (0,−1) = 2000 · 0 + 5000 · (−1) = 0− 5000 = −5000F (3,−3) = 2000 · 3 + 5000 · (−3) = 6000− 15000 = −9000

Vemos que el valor maximo se alcanza, igual que hemos obtenidos anteriormente, para el vertice (5, 1)y que dicho valor es 15000. La misma solucion que se habıa obtenido anteriormente.


Este tipo de problemas se puede resolver utilizando aplicaciones Java que simulan el metodo graficoo metodo geometrico.

Una imagen de este tipo de recursos informaticos se puede ver en la figura 3.5 y en la figura 3.6.

Figura 3.5: Imagen de un Applet: Metodo Geometrico.

Figura 3.6: Imagen de otro Applet: Metodo Geometrico.

Capıtulo 4

Aplicaciones de la ProgramacionLineal

4.1. Introduccion

Despues de estudiar detalladamente los conceptos basicos de Programacion Lineal ubicados en uncontexto de aplicaciones de la Investigacion Operativa en el mundo empresarial e industrial, se hacepreciso describir como es posible aplicar los conceptos anteriores en diferentes situaciones practicas. Estedesarrollo de situaciones del mundo real constituye el autentico desarrollo de la Programacion Lineal.No se tratan de meras aplicaciones, sino del campo especıfico natural de desarrollo de la ProgramacionLineal. Sin casos practicos como los que aquı se van a desarrollar no se hubiera dado el auge real deesta tecnica. Por otra parte, el conocimiento de aplicacion de los principales conceptos de ProgramacionLineal permite plantear la resolucion de nuevos casos practicos que surgen dıa a dıa en la Empresa, laIndustria y la Ingenierıa.

De esta forma, el objetivo de este capıtulo es mostrar el vasto numero de problemas de la vida realque se pueden abordar mediante las tecnicas de Programacion Lineal. Presentaremos aplicaciones a areastan diversas como direccion de la produccion, investigacion de mercados, marketing, logıstica, finanzas,etc. En todos esos ambitos, la Programacion Lineal se revela como una herramienta insustituible en latoma de decisiones.

4.2. Principales aplicaciones de la Programacion Lineal

En la figura 4.1 se pueden ver algunas de las principales aplicaciones de la Programacion Lineal.

4.3. Conceptos fundamentales

Una vez se tiene un concepto general de lo que es la Programacion Lineal, es importante conocer laforma de actuacion particular de los algoritmos que resuelven programas lineales.

De entre todos los algoritmos destaca por su importancia historica y practica el Algoritmo delSimplex. Dicho metodo fue desarrollado por Dantzig en 1947, alcanzando un exito inusitado en lasdecadas posteriores con el desarrollo de los ordenadores.

31

32 CAPITULO 4. APLICACIONES DE LA PROGRAMACION LINEAL

Figura 4.1: Aplicaciones de la Programacion Lineal.

El conocimiento basico de dicho metodo ayuda a la comprension de las diferentes formas de resolucionde programas lineales.

4.4. Aplicaciones de la Programacion Lineal al Marketing

La Programacion Lineal se utiliza en el campo del marketing y la publicidad como una herramienta quenos permite determinar cual es la combinacion mas efectiva de medios para anunciar nuestros productos.En muchas ocasiones partiremos de un presupuesto para publicidad fijo y nuestro objetivo sera distribuirloentre las distintas opciones que se nos ofrecen (television, radio, periodicos, revistas, etc.) de forma quenuestros productos tengan la mayor difusion posible.

En otros casos, las restricciones no seran presupuestarias sino que vendran dadas por la disponibilidadde cada medio y por las polıticas publicitarias de nuestra propia empresa.

4.4.1. Ejemplo de Medios de Comunicacion

Supongamos, por ejemplo, que trabajamos para una cadena nacional de bingos, el director de lacual nos otorga un presupuesto de 8.000 euros semanales para publicidad. Este dinero debe dedicarse apublicar anuncios en cuatro tipos de medios de difusion: TV, periodicos, y dos emisoras de radio. Nuestroobjetivo final no sera otro que el de conseguir la mayor audiencia posible. En el cuadro que se muestraa continuacion se recoge informacion referente a la audiencia esperada por anuncio, el coste del mismo,y el numero maximo de anuncios que es posible insertar en cada medio por semana:

4.4. APLICACIONES DE LA PROGRAMACION LINEAL AL MARKETING 33

Medio Audiencia por Anuncio Coste por Anuncio(euros) Numero Maximo SemanalTV 5000 800 12

Periodico 8500 925 5Radio 1 2400 290 25Radio 2 2800 380 20

Ademas, los acuerdos contractuales de nuestra empresa requieren la contratacion al menos 5 anunciosde radio por semana, aunque la direccion insiste en no dedicar a este medio mas de 1800 euros a lasemana.

Si usamos LINGO para plantear y resolver este problema, debemos considerar lo siguiente:

Tenemos que considerar que todas las variables del problema son enteras y positivas, ası, tendremosque el planteamiento del problema y la resolucion usando el programa LINGO nos da la siguiente solucion:

Por tanto, la forma mas efectiva de distribuir nuestro capital en base a las condiciones preestablecidas,sera emitiendo 2 anuncios semanales en television, 5 en el periodico, y 6 en la radio 1. Ello hara queunos 66900 potenciales compradores conozcan nuestros productos, como puede verse en la solucion queproporciona LINGO en la figura 4.2 y la figura 4.3.

Figura 4.2: Modelizacion del Ejemplo de Marketing.


Figura 4.3: Resolucion con LINGO del Ejemplo de Marketing.

4.5. Aplicaciones de la Programacion Lineal a Estudios de Mer-cado

La programacion lineal es aplicable tambien a la investigacion de mercados. En el siguiente ejemplo semuestra como los estadısticos pueden hacer uso de la Programacion Lineal a la hora de disenar encuestas:

4.5.1. Ejemplo de Diseno de una Encuesta

Supongamos que pretendemos realizar una encuesta para determinar la opinion de los espanolesacerca del problema de la inmigracion. A fin de que la misma sea significativa desde un punto de vistaestadıstico, exigiremos que esta deba cumplir los siguientes requisitos:

1. Entrevistar al menos un total de 2300 familias espanolas.

2. De las familias entrevistadas, al menos 1000 deben cumplir que su cabeza de familia no supere los30 anos de edad.

3. Al menos 600 de las familias entrevistadas tendran un cabeza de familia con edad comprendidaentre los 31 y los 50 anos.

4. El porcentaje de entrevistados que pertenecen a zonas con elevada tasa de inmigracion no debe serinferior a un 15 % del total.

4.6. APLICACIONES DE LA PROGRAMACION LINEAL A LA PRODUCCION 35

5. Finalmente, no mas de un 20 % de los entrevistados mayores de 50 anos perteneceran a zonas conalta tasa de inmigracion.

Ademas, todas las encuestas deberan realizarse en persona. A continuacion, en la tabla, indicamos elcoste estimado de cada encuesta segun la edad del encuestado y si procede o no de una zona con unaalta tasa de inmigracion:

ZONA EDAD < 31 ANOS EDAD 31-50 EDAD > 50 ANOSTasa de inmigracion elevada 7.50 euros 6.80 euros 5.50 euros

Tasa de inmigracion baja 6.90 euros 7.25 euros 6.10 euros

Obviamente, nuestro objetivo sera cumplir todos los requisitos anteriores minimizando el coste.

Si planteamos y resolvemos el problema anterior usando el programa LINGO obtenemos lo siguiente:

Ası pues, deberıamos realizar la encuesta exclusivamente a:

600 individuos del tipo I4 (de edad entre 31-50 que viven en zonas de mucha inmigracion), 140 deltipo I5 (de edad > 50 que viven en zonas de mucha inmigracion), 1000 del tipo N3 (de edad ≤ 30 y queNO viven en zonas de mucha inmigracion), 560 del tipo N5 (encuestados de edad > 50 que NO viven enzonas de mucha inmigracion).

Ello supondrıa unos costes estimados de 15166 euros, como podemos observar en las dos siguientesfiguras, que nos proporcionan las salidas del programa Lingo. (Ver figura 4.4 y figura 4.5

4.6. Aplicaciones de la Programacion Lineal a la Produccion

A menudo las tecnicas de Programacion Lineal permiten decidir sobre la cantidad mas adecuada queuna empresa debe producir de cada uno de sus productos a fin maximizar los beneficios sin dejar decumplir con unos determinados requisitos (financieros, de demanda, contractuales, de disponibilidad dematerias primas, etc.).

4.6.1. Ejemplo Combinacion Optima de Bienes

Una empresa dedicada a la elaboracion y venta de ropa para hombre produce cuatro tipos de corbatas,una de seda, otra de poliester, y dos de poliester /algodon. La tabla siguiente muestra el coste de cadauno de estos materiales y su disponibilidad:

Material Coste por metro (en euros) Metros disponibles al mesSeda 21 euros 800

Poliester 6 euros 3000Algodon 9 euros 1600

La empresa tiene contratos de larga duracion para suministrar corbatas a cinco cadenas de tiendasde ropa. En dichos contratos se especifica que la empresa debera suministrar unas cantidades mınimasmensuales de cada tipo de corbata y, que en caso de recibir una demanda superior al mınimo, sera lapropia empresa la que decida si puede o no servir la cantidad extra solicitada. A continuacion aparecenlos datos relevantes:


Figura 4.4: Modelizacion del Ejemplo de Encuestas.

Tipo Precio de venta Mınimo Demanda Metros Composicionde corbata (euros) a servir Mensual necesarios

Seda 6.70 6000 7000 0.125 100 % sedaPoliester 3.55 10000 14000 0.08 100 % poliester

Algodon tipo1 4.31 13000 16000 0.10 50 % poliester50 % algodon

Algodon tipo2 4.81 6000 8500 0.10 30 % poliester70 % algodon

El objetivo de la empresa es elegir el plan de produccion que maximice sus beneficios mensuales.

Lo primero que debemos hacer en este problema sera determinar que beneficios nos reporta cada unade las corbatas vendidas y fabricadas. Ası por ejemplo, cada corbata de seda requiere de 0.125 metros deeste material, a un coste de 21 euros cada metro, lo que nos da un coste por corbata de 2.62 euros. Comola vendemos a 6.70 euros, el beneficio que obtenemos sera de 4.08 euros por cada unidad producida yvendida. El mismo razonamiento se aplicara a los restantes tres tipos de corbatas, con lo que obtendremosel planteamiento que se puede ver en la figura 4.6 en la que se puede observar que se ha introducido enel programa Lingo.

La solucion a nuestro problema, que se puede ver como se ha resuelto con el programa Lingo en lafigura 4.7, sera producir cada mes 6400 corbatas de seda, 14000 de poliester, 16000 de algodon tipo1, y8500 de algodon tipo2. Con esta solucion obtendremos unos beneficios de 160052 euros al mes.

4.7. OTRAS APLICACIONES DE LA PROGRAMACION LINEAL 37

Figura 4.5: Resolucion con LINGO del Ejemplo de Encuestas.

4.7. Otras aplicaciones de la Programacion Lineal

4.7.1. Planificacion de la produccion

El establecer un plan de produccion para un perıodo de semanas o meses resulta ser una tarea difıcil eimportante en la mayorıa de las plantas de produccion. El director de operaciones debe considerar muchosfactores: mano de obra, costes de inventario y almacenamiento, limitaciones de espacio, demanda, etc.Por lo general la mayorıa de las plantas producen mas de un bien, con lo que la tarea anterior se complicaaun mas. Como veremos en el siguiente ejemplo, el problema de la planificacion se asemeja bastante alde la combinacion optima de bienes, pudiendo ser el objetivo maximizar beneficios o bien minimizar loscostes de produccion mas almacenamiento.

4.7.2. Asignacion de trabajos

El objetivo aquı sera asignar de la forma mas eficiente posible un trabajo a cada empleado o maquina.Ejemplos de este tipo de asignacion serıan la distribucion de coches patrulla por las calles de una ciudad ola destino de cada jefe de ventas a una determinada zona geografica. El objetivo puede ser bien minimizarlos tiempos o costes de desplazamiento, o bien maximizar la efectividad de las asignaciones.

Aparte de poder utilizar los algoritmos tradicionales (Simplex y Karmarkar), este tipo de problemastambien puede resolverse usando tecnicas especialmente disenadas para sus caracterısticas como el metodohungaro, el cual necesita de menos iteraciones para dar con la solucion.

Una propiedad particular de los problemas de asignacion es que tanto los coeficientes tecnologicoscomo los terminos independientes (right-hand-side) siempre toman el valor 1. Ademas, todas las variables


Figura 4.6: Modelizacion del Ejemplo de Combinacion Optima de Bienes.

seran binarias, tomando el valor 1 si la asignacion propuesta se lleva a cabo y 0 en caso contrario.

4.7.3. Planificacion de horarios

La planificacion de horarios intenta dar una respuesta efectiva a las necesidades de personal duranteun perıodo concreto de tiempo. La aplicacion de la Programacion Lineal a este tipo de problemas resultaespecialmente util cuando los directivos disponen de cierta flexibilidad a la hora de asignar distintas areasa empleados polifuncionales. Un sector tıpico donde se hace uso de la Programacion Lineal para tomardecisiones sobre planificacion de horarios son las entidades bancarias.

4.7.4. El Problema de Transporte

El llamado problema del transporte se refiere al proceso de determinar el numero de bienes o mer-cancıas que se han de transportar desde cada uno de los orıgenes a cada uno de los destinos posibles. Elobjetivo suele ser minimizar costes de transporte, y las restricciones vienen dadas por las capacidadesproductivas de cada origen y las necesidades de cada destino. Este tipo de problema es un caso especıficode PL, por lo que existen metodos y algoritmos especiales que facilitan su resolucion (Regla de la EsquinaNorOeste, Metodo de Vogel, Metodo de Paso Secuencial, y Metodo de distribucion modificada o MODI).

4.7.5. El Problema de la Dieta

Este problema representa una de las primeras aplicaciones de la Programacion Lineal, y comenzo autilizarse en los hospitales para determinar la dieta mas economica con la que alimentar a los pacientes

4.7. OTRAS APLICACIONES DE LA PROGRAMACION LINEAL 39

Figura 4.7: Resolucion con LINGO del Ejemplo de Combinacion Optima de Bienes.

a partir de unas especificaciones nutritivas mınimas. En la actualidad tambien se aplica con exito en elambito agrıcola con la idea de encontrar la combinacion optima de alimentos que, logrando un aportenutritivo mınimo, suponga el menor coste posible.


Capıtulo 5

Bibliografıa y Referencias Webs

5.1. Bibliografıa

(1) Anderson, D.R., Sweeney, D. J. y Williams, T.A. (2001): Quantitative Methods for Business. WestPublishing Company. (Existe version en espanol)

(2) Camm, J. y Evans, J.R. (2000): Management Science and Decision Technology. South WesternCollege Publishing.

(3) Gamez Mellado, A. y Rodrıguez Huertas, R. (2002): “Investigacion Operativa. Teorıa, Ejercicios yPracticas con ordenador.” Servicio de Publicaciones Universidad de Cadiz. Cadiz.

(4) Gamez Mellado, A. y otros. (2010): “Matematicas Aplicadas a las Ciencias Sociales II. Ejerci-cios Resueltos de las pruebas de acceso a las universidades andaluzas.” Servicio de PublicacionesUniversidad de Cadiz. Cadiz.

(5) Hillier, F.S. y Liebermann, G.J. (2001): Introduccion a la Investigacion de Operaciones. Ed. McGraw-Hill.

(6) Hillier, F.S., Hillier, M.S. y Liebermann, G.J. (2000): Introduction to Management Science. AModeling and Case Studies Approach with Spreadsheets. Irwin-McGraw-Hill.

(7) Winston, W. (1994): Investigacion de Operaciones. Aplicaciones y Algoritmos. Grupo EditorialIberoamericano.

(8) Winston, W. y Albright, S. C. (1997): Practical Management Science. Spreadsheet Modeling andApplications. Duxbury Press.

5.2. Referencias Webs

http://www.informs.org/ Pagina de INFORMS la Sociedad Americana de Investigacion Operativa.

http://ifors.org/web/ Pagina de IFORS la Federacion Internacional de Sociedades de IO.

http://or-objects.org/app/artifact/library Pagina de informacion generica de IO.

http://www.orsoc.org.uk/ Pagina de OR Society, la Sociedad Britanica de Investigacion Operativa.

41

http://www.informs.org/

http://ifors.org/web/

http://or-objects.org/app/artifact/library

http://www.orsoc.org.uk/

Optimización. Sesión 2.Ejercicios Personalizados

ESTALMAT Andalucía Occidental


Sesión 2. Sesión Conjunta.


Gámez Mellado, AntonioMartínez Díaz, Manuel

Noviembre 2016

12/11/2016

Curso de Veteranos. ESTALMAT Andalucía Occidental.

Curso 2016/2017 Sesión 2. Optimización.Ejercicios Sesión 2. 12/11/2016

Grupo de Cádiz.Antonio Gámez Mellado, Manuel Martínez Díaz

Amador Conde ; Daniel - Modelo 1

Barea Moreno ; Alejandro - Modelo 2

Bazaga Ropero ; María - Modelo 3

Cepeda Sayago ; Fernando - Modelo 4

Chen ; Zhixiang - Modelo 5

de la Rosa Brioso ; Adolfo - Modelo 6

del Toro Daza ; Sergio - Modelo 7

Estévez López ; Álvaro - Modelo 8

Galán Benítez ; Ismael - Modelo 9

García Rodríguez ; Antonio - Modelo 10

Hernández Pérez ; Javier - Modelo 11

López Martín ; María - Modelo 12

López Rosado ; Guillermo - Modelo 13

Martín Agüera ; Agustín - Modelo 14

Ortiz Arroyo ; Rafael - Modelo 15

Patricio Van der Linden ; Robin José - Modelo 16

Prieto Rodríguez ; Irene - Modelo 17

Romero Fernández ; José Carlos - Modelo 18

Sáenz García ; Belén - Modelo 19

Sánchez Sánchez ; Julia - Modelo 20

Urrios Gómez ; Javier - Modelo 21

Aguilera Cano ; Juan Antonio - Modelo 22

Ballester Torremocha ; Isabel - Modelo 23

Bilbao Monteseirín ; Ángel - Modelo 24

Caballero María ; Ana - Modelo 25

Carballo Castro ; Alba - Modelo 26

Cabezas ; Antonio - Modelo 27

Castilla Castellano ; Laura - Modelo 28

Collado Romero ; Gustavo Roque - Modelo 29

del Palacio Lirola ; Jaime - Modelo 30

González Gómez ; Antonio - Modelo 31

Leal García ; José Antonio - Modelo 32

Martínez Valiente ; Ana Isabel - Modelo 33

Máximo Revuelto ; Javier - Modelo 34

Naranjo Sierra ; Germán - Modelo 35

Ortiz Alcántara ; Ángel - Modelo 36

Palacios Gallego ; Adrián Francisco - Modelo 37

Pérez Troncoso ; José Luis - Modelo 38

Rodríguez Gil ; Tomás - Modelo 39

Rodríguez Gómez ; Miguel - Modelo 40

Téllez Calle ; Daniel - Modelo 41

Reserva 1 ; Reserva 1 - Modelo 42




ESTALMAT Andalucía. Andalucía Occidental.Curso de Veteranos. Sesión 2. Optimización.

Curso 2016/2017 Sesión 2. Sesión conjunta 1o y 2o.Ejercicios de Optimización. 12/11/2016

Nombre y Apellidos. Amador Conde ; Daniel - Modelo 1

1. Para fabricar 2 tipos de cable, A y B, que se venderán a 15 y 10 euros el metro, respectivamente,se emplean 16 Kg de plástico y 4 Kg de cobre para cada Hm (hectómetro) del tipo A y 6 Kg deplástico y 12 Kg de cobre para cada Hm del tipo B. Sabiendo que la longitud de cable fabricadodel tipo B no puede ser mayor que el doble de la del tipo A y que, además, no pueden emplearsemás de 252 Kg de plástico ni más de 168 Kg de cobre, determine la longitud, en Hm, de cada tipode cable que debe fabricarse para que la cantidad de dinero obtenida en su venta sea máxima.

2. Resuelva el programa lineal siguiente:

Max z = 2x1 − 5x2 − x3

s.a. −x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 30x1 + 2x2 + x3 ≤ 102x1 + x2 − 2x3 ≤ 5

x1, x2, x3 ≥ 0

Solución

ESTALMAT Andalucía Occidental. Curso 2016/2017 Sesión 2. Veteranos. Optimización.Nombre y Apellidos. Amador Conde ; Daniel - Modelo 1



Nombre y Apellidos. Barea Moreno ; Alejandro - Modelo 2

1. Cierta sala de espectáculos tiene una capacidad máxima de 1500 personas, entre adultos y niños;el número de niños asistentes no puede superar los 600. El precio de la entrada a una sesión deun adulto es de 80 euros, mientras que la de un niño es de un 40 % menos. El número de adultosno puede superar al doble del número de niños.

Cumpliendo las condiciones anteriores, ¾cuál es la cantidad máxima que se puede recaudar por laventa de entradas? ¾Cuántas de las entradas serán de niños?


Max z = 2x1 − 5x2 − x3

s.a. −x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 30x1 + 2x2 + x3 ≤ 102x1 + x2 − 2x3 ≤ 5

x1, x2, x3 ≥ 0

Solución

ESTALMAT Andalucía Occidental. Curso 2016/2017 Sesión 2. Veteranos. Optimización.Nombre y Apellidos. Barea Moreno ; Alejandro - Modelo 2



Nombre y Apellidos. Bazaga Ropero ; María - Modelo 3

1. Una fábrica produce dos tipos de juguetes, muñecas y coches teledirigidos. La fábrica puedeproducir, como máximo, 200 muñecas y 300 coches.

La empresa dispone de 1800 horas de trabajo para fabricar los juguetes y se sabe que la producciónde cada muñeca necesita 3 horas de trabajo y reporta un bene�cio de 10 euros, mientras que lade cada coche necesita 6 horas de trabajo y reporta un bene�cio de 15 euros.

Calcule el número de muñecas y de coches que han de fabricarse para que el bene�cio global dela producción sea máximo y obtenga dicho bene�cio.


Max z = 2x1 − 5x2 − x3

s.a. −x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 20x1 + 2x2 + x3 ≤ 102x1 + x2 − 2x3 ≤ 5

x1, x2, x3 ≥ 0

Solución

ESTALMAT Andalucía Occidental. Curso 2016/2017 Sesión 2. Veteranos. Optimización.Nombre y Apellidos. Bazaga Ropero ; María - Modelo 3



Nombre y Apellidos. Cepeda Sayago ; Fernando - Modelo 4

1. Una empresa gana 150 euros por cada Tm de escayola producida y 100 euros por cada Tm deyeso. La producción diaria debe ser como mínimo de 30 Tm de escayola y 30 Tm de yeso. Lacantidad de yeso no puede superar en más de 60 Tm a la de escayola. El triple de la cantidad deescayola, más la cantidad de yeso, no puede superar 420 Tm.

Calcule la cantidad diaria que debe producirse de cada material, para obtener la máxima gananciay determine dicha ganancia.


Max z = 2x1 − 5x2 − 3x3

s.a. −x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 30x1 + 2x2 + x3 ≤ 102x1 + x2 − 2x3 ≤ 5

x1, x2, x3 ≥ 0

Solución

ESTALMAT Andalucía Occidental. Curso 2016/2017 Sesión 2. Veteranos. Optimización.Nombre y Apellidos. Cepeda Sayago ; Fernando - Modelo 4



Nombre y Apellidos. Chen ; Zhixiang - Modelo 5

1. Una pastelería elabora dos tipos de trufas, dulces y amargas. Cada trufa dulce lleva 20 g de cacao,20 g de nata y 30 g de azúcar y se vende a 1 euro la unidad. Cada trufa amarga lleva 100 g decacao, 20 g de nata y 15 g de azúcar y se vende a 1.3 euros la unidad.En un día, la pastelería sólodispone de 30 kg de cacao, 8 kg de nata y 10.5 kg de azúcar.

Sabiendo que vende todo lo que elabora, calcule cuántas trufas de cada tipo deben elaborarse esedía, para maximizar los ingresos, y determine dichos ingresos.


Max z = 2x1 − 3x2 − x3

s.a. −x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 30x1 + 2x2 + x3 ≤ 102x1 + x2 − 2x3 ≤ 5

x1, x2, x3 ≥ 0

Solución

ESTALMAT Andalucía Occidental. Curso 2016/2017 Sesión 2. Veteranos. Optimización.Nombre y Apellidos. Chen ; Zhixiang - Modelo 5



Nombre y Apellidos. de la Rosa Brioso ; Adolfo - Modelo 6

1. Un nutricionista informa a un individuo que, en cualquier tratamiento que siga, no debe ingerirdiariamente más de 240 mg de hierro ni más de 200 mg de vitamina B. Para ello están disponiblespíldoras de dos marcas, P y Q. Cada píldora de la marca P contiene 40 mg de hierro y 10 mg devitamina B, y cuesta 6 céntimos de euro; cada píldora de la marca Q contiene 10 mg de hierro y20 mg de vitamina B, y cuesta 8 céntimos de euro.

Entre los distintos tratamientos, ¾cuál sería el de máximo coste diario?


Max z = 4x1 − 5x2 − x3

s.a. −x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 30x1 + 2x2 + x3 ≤ 102x1 + x2 − 2x3 ≤ 5

x1, x2, x3 ≥ 0

Solución

ESTALMAT Andalucía Occidental. Curso 2016/2017 Sesión 2. Veteranos. Optimización.Nombre y Apellidos. de la Rosa Brioso ; Adolfo - Modelo 6



Nombre y Apellidos. del Toro Daza ; Sergio - Modelo 7

1. Se quiere organizar un puente aéreo entre dos ciudades, con plazas su�cientes de pasaje y carga,para transportar 1600 personas y 96 toneladas de equipaje. Los aviones disponibles son de dostipos: 11 del tipo A y 8 del tipo B. La contratación de un avión del tipo A cuesta 40000 eurosy puede transportar 200 personas y 6 toneladas de equipaje; la contratación de uno del tipo Bcuesta 10000 euros y puede transportar 100 personas y 15 toneladas de equipaje.

¾Cuántos aviones de cada tipo deben utilizarse para que el coste sea mínimo?


Max z = 2x1 − 5x2 − x3

s.a. −x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 30x1 + 2x2 + x3 ≤ 102x1 + x2 − 2x3 ≤ 20

x1, x2, x3 ≥ 0

Solución

ESTALMAT Andalucía Occidental. Curso 2016/2017 Sesión 2. Veteranos. Optimización.Nombre y Apellidos. del Toro Daza ; Sergio - Modelo 7



Nombre y Apellidos. Estévez López ; Álvaro - Modelo 8

1. Una fábrica de muebles dispone de 600 kg de madera para fabricar librerías de 1 y de 3 estantes.Se sabe que son necesarios 4 kg de madera para fabricar una librería de 1 estante, siendo su preciode venta 20 euros; para fabricar una librería de 3 estantes se necesitan 8 kg de madera y el preciode venta de ésta es 35 euros.

Calcule el número de librerías de cada tipo que se deben fabricar para obtener el máximo ingreso,sabiendo que, por falta de otros materiales, no se pueden fabricar más de 120 librerías de 1 estante,ni tampoco más de 70 de 3 estantes.


Max z = 2x1 − 2x2 − x3

s.a. −x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 30x1 + 2x2 + x3 ≤ 102x1 + x2 − 2x3 ≤ 5

x1, x2, x3 ≥ 0

Solución

ESTALMAT Andalucía Occidental. Curso 2016/2017 Sesión 2. Veteranos. Optimización.Nombre y Apellidos. Estévez López ; Álvaro - Modelo 8



Nombre y Apellidos. Galán Benítez ; Ismael - Modelo 9

1. Una persona desea adelgazar. En la farmacia le ofrecen dos compuestos A y B para que tome unamezcla de ambos en la comida, con las siguientes condiciones: No debe tomar más de 150 g de lamezcla, ni menos de 50 g. La cantidad de A debe ser mayor o igual que la de B. No debe incluirmás de 100 g del compuesto A. Se sabe que cada 100 g de A contienen 30 mg de vitaminas y cada100 g de B contienen 20 mg de vitaminas.

¾Cuántos gramos debe tomar de cada compuesto para obtener el preparado más rico en vitaminas?


Max z = 2x1 − 5x2 − x3

s.a. −x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 30x1 + 2x2 + x3 ≤ 152x1 + x2 − 2x3 ≤ 5

x1, x2, x3 ≥ 0

Solución

ESTALMAT Andalucía Occidental. Curso 2016/2017 Sesión 2. Veteranos. Optimización.Nombre y Apellidos. Galán Benítez ; Ismael - Modelo 9



Nombre y Apellidos. García Rodríguez ; Antonio - Modelo 10

1. Un ahorrador dispone de 10000 euros para invertir en fondos de dos tipos: A ó B. La inversiónen fondos A no debe ser inferior a 5000 euros y, además, ésta debe doblar, al menos, la inversiónen fondos B. La rentabilidad del pasado año de los fondos A ha sido del 2.7 % y la de los B hasido del 6.3 %.

Suponiendo que la rentabilidad continúe siendo la misma, determine la inversión que obtenga elmáximo bene�cio. Calcule dicho bene�cio.


Max z = x1 − 5x2 − x3

s.a. −x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 30x1 + 2x2 + x3 ≤ 102x1 + x2 − 2x3 ≤ 5

x1, x2, x3 ≥ 0

Solución

ESTALMAT Andalucía Occidental. Curso 2016/2017 Sesión 2. Veteranos. Optimización.Nombre y Apellidos. García Rodríguez ; Antonio - Modelo 10



Nombre y Apellidos. Hernández Pérez ; Javier - Modelo 11

1. Una empresa pastelera dispone semanalmente de 160 kg de azúcar y de 240 kg de almendra parahacer tortas de almendra y tabletas de turrón. Se necesitan 150 g de almendra y 50 g de azúcarpara hacer una torta de almendra y 100 g de almendra y 100 g de azúcar para cada tableta deturrón. El bene�cio neto por la venta de cada torta es 1.75 euros, y por cada tableta de turrónes de 1 euro.

Determine cuántas tortas de almendra y cuántas tabletas de turrón han de elaborarse para obtenerla máxima ganancia. ¾Cuál es el bene�cio máximo semanal?


Max z = 2x1 − 2x2 − x3

s.a. −x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 30x1 + 2x2 + x3 ≤ 102x1 + x2 − 2x3 ≤ 5

x1, x2, x3 ≥ 0

Solución

ESTALMAT Andalucía Occidental. Curso 2016/2017 Sesión 2. Veteranos. Optimización.Nombre y Apellidos. Hernández Pérez ; Javier - Modelo 11



Nombre y Apellidos. López Martín ; María - Modelo 12

1. Una empresa fabrica sofás de dos tipos, A y B, por los que obtiene un bene�cio, por unidad, de1500 y 2000 euros, respectivamente. Al menos se deben fabricar 6 sofás del tipo A y 10 del tipoB, por semana, y además, el número de los del tipo A no debe superar en más de 6 unidades alnúmero de los del B.

¾Cuántas unidades de cada tipo se deben fabricar semanalmente para obtener bene�cio máximo,si no se pueden fabricar más de 30 sofás semanalmente?


Max z = 2x1 − 5x2 − x3

s.a. −x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 30x1 + 2x2 + x3 ≤ 302x1 + x2 − 2x3 ≤ 5

x1, x2, x3 ≥ 0

Solución

ESTALMAT Andalucía Occidental. Curso 2016/2017 Sesión 2. Veteranos. Optimización.Nombre y Apellidos. López Martín ; María - Modelo 12



Nombre y Apellidos. López Rosado ; Guillermo - Modelo 13

1. Una piscifactoría vende gambas y langostinos a 10 y 15 euros el kilo, respectivamente. La pro-ducción máxima mensual es de una tonelada de cada producto y la producción mínima mensuales de 100 kg de cada uno.

Si la producción total es, a lo sumo, de 1700 kg al mes, ¾cuál es la producción que maximiza losingresos mensuales? Calcule estos ingresos máximos.


Max z = 2x1 − 5x2 − x3

s.a. −x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 30x1 + 2x2 + x3 ≤ 102x1 + x2 + 2x3 ≤ 5

x1, x2, x3 ≥ 0

Solución

ESTALMAT Andalucía Occidental. Curso 2016/2017 Sesión 2. Veteranos. Optimización.Nombre y Apellidos. López Rosado ; Guillermo - Modelo 13



Nombre y Apellidos. Martín Agüera ; Agustín - Modelo 14

1. Una fábrica produce dos tipos de relojes: de pulsera, que vende a 90 euros la unidad, y de bolsillo,que vende a 120 euros cada uno. La capacidad máxima diaria de fabricación es de 1000 relojes,pero no puede fabricar más de 800 de pulsera ni más de 600 de bolsillo.

¾Cuántos relojes de cada tipo debe producir para obtener el máximo ingreso? ¾Cuál sería dichoingreso?


Max z = 2x1 − 5x2 − x3

s.a. −x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 30x1 + 2x2 + x3 ≤ 102x1 + x2 − 2x3 ≤ 10

x1, x2, x3 ≥ 0

Solución

ESTALMAT Andalucía Occidental. Curso 2016/2017 Sesión 2. Veteranos. Optimización.Nombre y Apellidos. Martín Agüera ; Agustín - Modelo 14



Nombre y Apellidos. Ortiz Arroyo ; Rafael - Modelo 15

1. El estadio del Mediterráneo, construido para la celebración de los �Juegos Mediterráneos Almería2005�, tiene una capacidad de 20000 espectadores. Para la asistencia a estos juegos se habíanestablecido las siguientes normas: El número de adultos no debe superar al doble del número deniños; el número de adultos menos el número de niños no será superior a 5000.

Si el precio de la entrada de niño fue de 10 euros y la de adulto 15 euros ¾cuál era la composiciónde espectadores que proporcionaba mayores ingresos? ¾A cuánto ascendían esos ingresos?


Max z = 2x1 + 5x2 − x3

s.a. −x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 30x1 + 2x2 + x3 ≤ 102x1 + x2 − 2x3 ≤ 5

x1, x2, x3 ≥ 0

Solución

ESTALMAT Andalucía Occidental. Curso 2016/2017 Sesión 2. Veteranos. Optimización.Nombre y Apellidos. Ortiz Arroyo ; Rafael - Modelo 15



Nombre y Apellidos. Patricio Van der Linden ; Robin José - Modelo 16

1. Una compañía de transportes posee 2 tipos de camiones. El camión tipo A tiene 20 m3 deespacio refrigerado y 40 m3 no refrigerado. El camión tipo B tiene 30 m3 refrigerados y 30m3 no refrigerados. Una fábrica de productos alimenticios debe embarcar 900 m3 de productosrefrigerados y 1200 m3 no refrigerados. ¾Cuántos camiones de cada tipo debe alquilar la fábricapar minimizar costos si el tipo A se alquila a 3 euros/km y el B a 4 euros/km?


Max z = 2x1 − 5x2 + 2x3

s.a. −x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 30x1 + 2x2 + x3 ≤ 102x1 + x2 − 2x3 ≤ 5

x1, x2, x3 ≥ 0

Solución

ESTALMAT Andalucía Occidental. Curso 2016/2017 Sesión 2. Veteranos. Optimización.Nombre y Apellidos. Patricio Van der Linden ; Robin José - Modelo 16



Nombre y Apellidos. Prieto Rodríguez ; Irene - Modelo 17

1. Una carnicería realiza sus hamburguesas a partir de carne magra de cerdo y ternera. La carne deternera contiene un 80% de carne y un 20% de grasa, y cuesta a la tienda 80 euros/kg; la carne decerdo contiene un 68% de carne y un 32% de grasa, y cuesta 6 euros/kg. ¾Qué cantidad de cadatipo de carne debe emplearse por kilo si quiere minimizarse el coste y mantener un contenido degrasa no superior al 25%?


Max z = 2x1 − 5x2 − x3

s.a. −x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 40x1 + 2x2 + x3 ≤ 102x1 + x2 − 2x3 ≤ 5

x1, x2, x3 ≥ 0

Solución

ESTALMAT Andalucía Occidental. Curso 2016/2017 Sesión 2. Veteranos. Optimización.Nombre y Apellidos. Prieto Rodríguez ; Irene - Modelo 17



Nombre y Apellidos. Romero Fernández ; José Carlos - Modelo 18

1. En un río y su a�uente hay 2 presas que regulan el paso del agua. Río abajo existe una grandemanda de agua para regadío. Teniendo en cuenta los costos de operación y mantenimiento, laempresa que gestiona las presas obtiene 10000 euros por unidad de caudal en la presa del río, y30000 euros por unidad de caudal en la presa del a�uente. Los caudales máximos de cada cuencason: 4 en el río, 4 en el a�uente y 5 en el río antes de que se despegue su a�uente. ¾Cómo se debedistribuir el agua para que el bene�cio sea máximo?


Max z = 2x1 − 5x2 − x3

s.a. −x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 50x1 + 2x2 + x3 ≤ 102x1 + x2 − 2x3 ≤ 5

x1, x2, x3 ≥ 0

Solución

ESTALMAT Andalucía Occidental. Curso 2016/2017 Sesión 2. Veteranos. Optimización.Nombre y Apellidos. Romero Fernández ; José Carlos - Modelo 18



Nombre y Apellidos. Sáenz García ; Belén - Modelo 19

1. Una pequeña compañía aérea dispone de 2 tipos de aeronaves. El avión tipo A tiene 20 plazasde primera clase y 140 de clase turista. El avión tipo B tiene 30 plazas primera clase y 130 claseturista. El responsable de una agencia turística desea contratar 150 plazas de primera clase y 600de clase turista. ¾Cuántos aviones de cada tipo debe contratar la agencia turística para minimizarcostos si el tipo A se alquila a 7500 euros y el B a 8000 euros?


Max z = −2x1 − 5x2 − x3

s.a. −x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 30x1 + 2x2 + x3 ≤ 102x1 + x2 − 2x3 ≤ 5

x1, x2, x3 ≥ 0

Solución

ESTALMAT Andalucía Occidental. Curso 2016/2017 Sesión 2. Veteranos. Optimización.Nombre y Apellidos. Sáenz García ; Belén - Modelo 19



Nombre y Apellidos. Sánchez Sánchez ; Julia - Modelo 20

1. En un laboratorio existen dos contadores de bacterias disponibles. El contador A puede sermanejado por un aprendiz que gana dos euros por hora, y es capaz de veri�car 6 muestras enuna hora. El contador B, más rápido pero más complicado, sólo puede manejarlo una personaexperta que gana 5 euros por hora, y veri�ca 10 muestras en una hora. Tenemos 1000 muestraspara veri�car dentro de un periodo de tiempo que no exceda de 80 horas. ¾Cuánto tiempo debeemplearse cada contador para llevar a cabo la tarea con un coste mínimo?


Max z = 2x1 − 5x2 − x3

s.a. −x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 20x1 + 2x2 + x3 ≤ 102x1 + x2 − 2x3 ≤ 0

x1, x2, x3 ≥ 0

Solución

ESTALMAT Andalucía Occidental. Curso 2016/2017 Sesión 2. Veteranos. Optimización.Nombre y Apellidos. Sánchez Sánchez ; Julia - Modelo 20



Nombre y Apellidos. Urrios Gómez ; Javier - Modelo 21

1. En la fabricación de piensos se utilizan tres ingredientes; A, B y C. Se dispone de 90 toneladas deA, 90 de B y 70 de C, y se desea fabricar dos tipos de pienso M y N. Para fabricar una toneladade pienso M se requieren 2 toneladas de A, 1 de B y 1 de C y se vende a 12 euros. Para fabricaruna tonelada de pienso N se necesita 1 tonelada de A, 2 de B y 1 de C y se vende a 10 euros.¾Cuántas toneladas de cada pienso deben venderse para obtener el mayor bene�cio?


Max z = 2x1 − 5x2 − x3

s.a. −x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 20x1 + 2x2 + x3 ≤ 102x1 + x2 − 2x3 ≤ 1

x1, x2, x3 ≥ 0

Solución

ESTALMAT Andalucía Occidental. Curso 2016/2017 Sesión 2. Veteranos. Optimización.Nombre y Apellidos. Urrios Gómez ; Javier - Modelo 21



Nombre y Apellidos. Aguilera Cano ; Juan Antonio - Modelo 22

1. Un estudiante reparte propaganda publicitaria en su tiempo libre. La empresa COMP1 le paga0.05 euros por impreso repartido y la empresa COMP2 cuyos folletos son más grandes, le paga 0.07euros por folleto. El estudiante lleva dos bolsas: una para los impresos de la empresa COMP1, enla que le caben un máximo de 120, y otra para los de la empresa COMP2, en la que le caben unmáximo de 100. Ha calculado que cada día puede repartir como máximo 150 impresos. ¾Cuántosimpresos de cada empresa tendrá de repartir para que su bene�cio diario sea máximo?


Max z = 2x1 − 5x2 − x3

s.a. −x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 20x1 + 2x2 + x3 ≤ 102x1 + x2 − 2x3 ≤ 2

x1, x2, x3 ≥ 0

Solución

ESTALMAT Andalucía Occidental. Curso 2016/2017 Sesión 2. Veteranos. Optimización.Nombre y Apellidos. Aguilera Cano ; Juan Antonio - Modelo 22



Nombre y Apellidos. Ballester Torremocha ; Isabel - Modelo 23

1. Una empresa elabora dos productos, cada uno de ellos en una cantidad que es múltiplo de 1000.La demanda de ambos productos conjuntamente es mayor de 3000 unidades y menor de 6000unidades. Se sabe que la cantidad demandada de un producto es mayor que la mitad y menorque el doble del otro. Para obtener los máximos bene�cios vendiendo toda la producción, ¾cuáldebe ser la producción de cada uno de ellos si uno lo vende a un precio que es el triple que el delotro?


Max z = 2x1 − 5x2 − x3

s.a. −x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 20x1 + 2x2 + x3 ≤ 102x1 + x2 − 2x3 ≤ 3

x1, x2, x3 ≥ 0

Solución

ESTALMAT Andalucía Occidental. Curso 2016/2017 Sesión 2. Veteranos. Optimización.Nombre y Apellidos. Ballester Torremocha ; Isabel - Modelo 23



Nombre y Apellidos. Bilbao Monteseirín ; Ángel - Modelo 24

1. La empresa CRISGLASS es líder mundial en la fabricación de lunas para coches. Cada lunadelantera requiere 2.5m2 de cristal, mientras que las lunas traseras requieren 2m2. La producciónde una luna delantera requiere 0.3 horas de máquina de corte y cada luna trasera requiere 0.2horas. La empresa dispone de 1750m2 de cristal por semana, así como de un total de 260 horassemanales de máquina de corte. Para adaptarse a la demanda habitual, la empresa fabrica siemprecomo mínimo el doble de lunas delanteras que de lunas traseras. Determine cuántas lunas de cadatipo debe fabricar semanalmente la empresa para maximizar la producción total.

(a) Formule el programa lineal que resuelve el problema anterior.

(b) Calcule la producción que maximiza sus ingresos. Calcule dichos ingresos máximos.


Max z = 2x1 − 5x2 − x3

s.a. −x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 20x1 + 2x2 + x3 ≤ 102x1 + x2 − 2x3 ≤ 4

x1, x2, x3 ≥ 0

Solución

ESTALMAT Andalucía Occidental. Curso 2016/2017 Sesión 2. Veteranos. Optimización.Nombre y Apellidos. Bilbao Monteseirín ; Ángel - Modelo 24



Nombre y Apellidos. Caballero María ; Ana - Modelo 25

1. Una fábrica de productos químicos vende dos tipos de compuestos, A y B, a razón de 40 y 20 eurosel kilogramo, respectivamente. Su producción máxima es de una tonelada de cada compuesto. Sumínimo operativo es de 100 kilogramos de cada uno. Si su producción total no puede superar los1700 kilogramos, ¾cuál es la producción que maximiza sus ingresos?




Max z = 2x1 − 5x2 − x3

s.a. −x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 20x1 + 2x2 + x3 ≤ 102x1 + x2 − 2x3 ≤ 5

x1, x2, x3 ≥ 0

Solución

ESTALMAT Andalucía Occidental. Curso 2016/2017 Sesión 2. Veteranos. Optimización.Nombre y Apellidos. Caballero María ; Ana - Modelo 25



Nombre y Apellidos. Carballo Castro ; Alba - Modelo 26

1. Para fabricar 2 tipos de cable de red, A y B, que se venderán a 1.5 y 1 euros el metro, respecti-vamente, se emplean 16 Kg de plástico y 4 Kg de cobre para cada Hm (hectómetro) del tipo A y6 Kg de plástico y 12 Kg de cobre para cada Hm del tipo B. Sabiendo que la longitud de cablefabricado del tipo B no puede ser mayor que el doble de la del tipo A y que, además, no puedenemplearse más de 252 Kg de plástico ni más de 168 Kg de cobre, determine la longitud, en Hm,de cada tipo de cable que debe fabricarse para que la cantidad de dinero obtenida en su venta seamáxima.




Max z = 2x1 − 5x2 − x3

s.a. −x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 30x1 + 2x2 + x3 ≤ 102x1 + x2 − 2x3 ≤ 6

x1, x2, x3 ≥ 0

Solución

ESTALMAT Andalucía Occidental. Curso 2016/2017 Sesión 2. Veteranos. Optimización.Nombre y Apellidos. Carballo Castro ; Alba - Modelo 26



Nombre y Apellidos. Cabezas ; Antonio - Modelo 27

1. Para fabricar 2 tipos de cable de red, A y B, que se venderán a 1 y 3 euros el metro, respectiva-mente, se emplean 16 Kg de plástico y 4 Kg de cobre para cada Hm (hectómetro) del tipo A y6 Kg de plástico y 12 Kg de cobre para cada Hm del tipo B. Sabiendo que la longitud de cablefabricado del tipo B no puede ser mayor que el doble de la del tipo A y que, además, no puedenemplearse más de 252 Kg de plástico ni más de 168 Kg de cobre, determine la longitud, en Hm,de cada tipo de cable que debe fabricarse para que la cantidad de dinero obtenida en su venta seamáxima.




Max z = 2x1 − 5x2 − x3

s.a. −x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 30x1 + 2x2 + x3 ≤ 102x1 + x2 − 2x3 ≤ 7

x1, x2, x3 ≥ 0

Solución

ESTALMAT Andalucía Occidental. Curso 2016/2017 Sesión 2. Veteranos. Optimización.Nombre y Apellidos. Cabezas ; Antonio - Modelo 27



Nombre y Apellidos. Castilla Castellano ; Laura - Modelo 28

1. Cierta sala de espectáculos tiene una capacidad máxima de 1500 personas, entre adultos y niños;el número de niños asistentes no puede superar los 600. El precio de la entrada a una sesión deun adulto es de 20 euros, mientras que la de un niño es de un 40 % menos. El número de adultosno puede superar al doble del número de niños. Cumpliendo las condiciones anteriores, ¾cuál esla cantidad máxima que se puede recaudar por la venta de entradas? ¾Cuántas de las entradasserán de niños?


(b) Calcule los valores que determinan la recaudación óptima y el valor de dicha recaudación.


Max z = 2x1 − 5x2 − x3

s.a. −x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 30x1 + 2x2 + x3 ≤ 102x1 + x2 − 2x3 ≤ 8

x1, x2, x3 ≥ 0

Solución

ESTALMAT Andalucía Occidental. Curso 2016/2017 Sesión 2. Veteranos. Optimización.Nombre y Apellidos. Castilla Castellano ; Laura - Modelo 28



Nombre y Apellidos. Collado Romero ; Gustavo Roque - Modelo 29

1. Cierta sala de espectáculos tiene una capacidad máxima de 1500 personas, entre adultos y niños;el número de niños asistentes no puede superar los 600. El precio de la entrada a una sesión deun adulto es de 20 euros, mientras que la de un niño es de un 60 % menos. El número de adultosno puede superar al doble del número de niños. Cumpliendo las condiciones anteriores, ¾cuál esla cantidad máxima que se puede recaudar por la venta de entradas? ¾Cuántas de las entradasserán de niños?




Max z = 2x1 − 5x2 − x3

s.a. −x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 20x1 + 2x2 + x3 ≤ 102x1 + x2 − 2x3 ≤ 9

x1, x2, x3 ≥ 0

Solución

ESTALMAT Andalucía Occidental. Curso 2016/2017 Sesión 2. Veteranos. Optimización.Nombre y Apellidos. Collado Romero ; Gustavo Roque - Modelo 29



Nombre y Apellidos. del Palacio Lirola ; Jaime - Modelo 30

1. Cierta sala de espectáculos tiene una capacidad máxima de 1500 personas, entre adultos y niños;el número de niños asistentes no puede superar los 400. El precio de la entrada a una sesión deun adulto es de 20 euros, mientras que la de un niño es de un 50 % menos. El número de adultosno puede superar al triple del número de niños. Cumpliendo las condiciones anteriores, ¾cuál esla cantidad máxima que se puede recaudar por la venta de entradas? ¾Cuántas de las entradasserán de niños?




Max z = 2x1 − 5x2 − x3

s.a. −x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 30x1 + 2x2 + x3 ≥ 102x1 + x2 − 2x3 ≥ 5

x1, x2, x3 ≥ 0

Solución

ESTALMAT Andalucía Occidental. Curso 2016/2017 Sesión 2. Veteranos. Optimización.Nombre y Apellidos. del Palacio Lirola ; Jaime - Modelo 30



Nombre y Apellidos. González Gómez ; Antonio - Modelo 31

1. Un nutricionista asesora a un individuo que sufre una de�ciencia de hierro y vitamina B, y leindica que debe ingerir al menos 2400 mg de hierro y 1500 mg de vitamina B durante ciertoperíodo de tiempo. Existen dos píldoras disponibles, la marca P y la marca Q. Cada píldora dela marca P contiene 40 mg de hierro y 10 mg de vitamina B y cuesta 6 céntimos de euro. Cadapíldora de la marca Q contiene 10 mg de hierro y 15 mg de vitamina B, y cuesta 8 céntimos deeuro. ¾Qué combinaciones de píldoras debe comprar el paciente para cubrir sus necesidades dehierro y vitamina B al menor costo? ¾Cuánto se gastará en ese tratamiento?


(b) Calcule los valores que determinan el tratamiento óptimo y el coste de dicho tratamiento.


Max z = 2x1 − 5x2 − x3

s.a. −x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 31x1 + 2x2 + x3 ≤ 102x1 + x2 − 2x3 ≥ 5

x1, x2, x3 ≥ 0

Solución

ESTALMAT Andalucía Occidental. Curso 2016/2017 Sesión 2. Veteranos. Optimización.Nombre y Apellidos. González Gómez ; Antonio - Modelo 31



Nombre y Apellidos. Leal García ; José Antonio - Modelo 32

1. Un pastelero dispone cada día de 150 kg de harina, 22 kg de azúcar y 26 kg de mantequilla parahacer dos tipos de tartas, A y B. Para hacer una hornada de tartas del tipo A se necesitan 3kg de harina, 1 kg de azúcar y 1 kg de mantequilla, mientras que para hacer una hornada detartas del tipo B se necesitan 6 kg de harina, 0.5 kg de azúcar y 1 kg de mantequilla. Sabiendoque el bene�cio que se obtiene al vender una hornada del tipo A es de 20 euros y de 30 euros alvender una hornada del tipo B, determine cuántas hornadas de cada tipo debe hacer y venderpara maximizar sus bene�cios diarios.


(b) Calcule los valores que determinan la producción óptima diaria y el bene?cio de dicha pro-ducción.


Max z = 2x1 − 5x2 − x3

s.a. −x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 32x1 + 2x2 + x3 ≥ 102x1 + x2 − 2x3 ≤ 5

x1, x2, x3 ≥ 0

Solución

ESTALMAT Andalucía Occidental. Curso 2016/2017 Sesión 2. Veteranos. Optimización.Nombre y Apellidos. Leal García ; José Antonio - Modelo 32



Nombre y Apellidos. Martínez Valiente ; Ana Isabel - Modelo 33

1. Un nutricionista informa a un individuo que, en cualquier tratamiento que siga, no debe ingerirdiariamente más de 240 mg de hierro ni más de 200 mg de vitamina B. Para ello están disponiblespíldoras de dos marcas, P y Q. Cada píldora de la marca P contiene 40 mg de hierro y 10 mg devitamina B, y cuesta 6 céntimos de euro; cada píldora de la marca Q contiene 10 mg de hierro y20 mg de vitamina B, y cuesta 8 céntimos de euro. Entre los distintos tratamientos, ¾cuál seríael de máximo coste diario?


(b) Calcule los valores que determinan el tratamiento óptimo y el coste de dicho tratamiento.


Max z = 2x1 − 5x2 − x3

s.a. −x1 + 2x2 + 3x3 ≥ 33x1 + 2x2 + x3 ≤ 102x1 + x2 − 2x3 ≤ 5

x1, x2, x3 ≥ 0

Solución

ESTALMAT Andalucía Occidental. Curso 2016/2017 Sesión 2. Veteranos. Optimización.Nombre y Apellidos. Martínez Valiente ; Ana Isabel - Modelo 33



Nombre y Apellidos. Máximo Revuelto ; Javier - Modelo 34

1. Un pastelero dispone cada día de 150 kg de harina, 22 kg de azúcar y 26 kg de mantequilla parahacer dos tipos de tartas, A y B. Para hacer una hornada de tartas del tipo A se necesitan 3kg de harina, 1 kg de azúcar y 1 kg de mantequilla, mientras que para hacer una hornada detartas del tipo B se necesitan 6 kg de harina, 0.5 kg de azúcar y 1 kg de mantequilla. Sabiendoque el bene�cio que se obtiene al vender una hornada del tipo A es de 20 euros y de 30 euros alvender una hornada del tipo B, determine cuántas hornadas de cada tipo debe hacer y venderpara maximizar sus bene�cios diarios.


(b) Calcule los valores que determinan la producción óptima diaria y el bene?cio de dicha pro-ducción.


Max z = 2x1 + 5x2 − x3

s.a. −x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 34x1 + 2x2 + x3 ≤ 102x1 + x2 − 2x3 ≤ 5

x1, x2, x3 ≥ 0

Solución

ESTALMAT Andalucía Occidental. Curso 2016/2017 Sesión 2. Veteranos. Optimización.Nombre y Apellidos. Máximo Revuelto ; Javier - Modelo 34



Nombre y Apellidos. Naranjo Sierra ; Germán - Modelo 35

1. Ahora que se acercan las navidades, la empresa ECOTEL se dispone a comenzar con la promociónde navidad de sus productos. El director de la empresa ha comentado en una reunión que esteaño el dinero destinado a la publicidad de sus productos será de unos 70.000 euros cada mes.Los medios que puede usar para la publicidad serán: Televisión y tiradas de Folletos impresosdistribuidos por correo postal. En el cuadro siguiente expondremos la información sobre el costede cada anuncio en los diferentes medios y la cantidad de personas que recibirían el mencionadomensaje publicitario:

Medio Coste Anuncio Personas por AnuncioTelevisión 980 7000Folletos 300 3000

Tendremos que tener en cuenta que por exigencias de las empresas de Marketing como mín-imo deben salir 50 anuncios mensuales en Televisión y realizar 20 tiradas mensuales de Folletos.Queremos determinar la estrategia óptima mensual para esta campaña publicitaria en la empresa.


(b) Calcule los valores que determinan esa campaña de publicidad óptima.


Max z = 2x1 + x2 − 2x3

s.a. −x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 35x1 + 2x2 + x3 ≤ 102x1 + x2 − 2x3 ≤ 5

x1, x2, x3 ≥ 0

Solución

ESTALMAT Andalucía Occidental. Curso 2016/2017 Sesión 2. Veteranos. Optimización.Nombre y Apellidos. Naranjo Sierra ; Germán - Modelo 35



Nombre y Apellidos. Ortiz Alcántara ; Ángel - Modelo 36

1. Ahora que se acercan las navidades, la empresa ECOTEL se dispone a comenzar con la promociónde navidad de sus productos. El director de la empresa ha comentado en una reunión que esteaño el dinero destinado a la publicidad de sus productos será de unos 70.000 euros cada mes.Los medios que puede usar para la publicidad serán: Televisión y tiradas de Folletos impresosdistribuidos por correo postal. En el cuadro siguiente expondremos la información sobre el costede cada anuncio en los diferentes medios y la cantidad de personas que recibirían el mencionadomensaje publicitario:


Tendremos que tener en cuenta que por exigencias de las empresas de Marketing como mín-imo deben salir 20 anuncios mensuales en Televisión y realizar 50 tiradas mensuales de Folletos.Queremos determinar la estrategia óptima mensual para esta campaña publicitaria en la empresa.


(b) Calcule los valores que determinan esa campaña de publicidad óptima.


Max z = 2x1 + 5x2 − x3

s.a. −x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 36x1 + 2x2 + x3 ≥ 102x1 + x2 − 2x3 ≤ 5

x1, x2, x3 ≥ 0

Solución

ESTALMAT Andalucía Occidental. Curso 2016/2017 Sesión 2. Veteranos. Optimización.Nombre y Apellidos. Ortiz Alcántara ; Ángel - Modelo 36



Nombre y Apellidos. Palacios Gallego ; Adrián Francisco - Modelo 37

1. Para la �esta de su hermano, Juan desea hacer unos batidos. Sus conocimientos de cocina lepermiten hacerlos de dos tipos, A y C. En todos los batidos intervienen como ingredientes leche,nata y frutas, de los que posee 270, 300 y 700 gramos respectivamente. Un litro de batido Anecesita 9 gramos de leche, 12 de nata y 5 de frutas y un litro del tipo C necesita 6 de leche, 6 denata y 10 de frutas. Juan quiere maximizar la cantidad de litros de batido que tiene que preparar.


(b) Resuelva el problema anterior.


Max z = 2x1 − 5x2 − x3

s.a. −x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 37x1 + 2x2 + x3 ≤ 102x1 + x2 + 2x3 ≥ 5

x1, x2, x3 ≥ 0

Solución

ESTALMAT Andalucía Occidental. Curso 2016/2017 Sesión 2. Veteranos. Optimización.Nombre y Apellidos. Palacios Gallego ; Adrián Francisco - Modelo 37



Nombre y Apellidos. Pérez Troncoso ; José Luis - Modelo 38

1. Para la �esta de su hermano, Juan desea hacer unos batidos. Sus conocimientos de cocina lepermiten hacerlos de dos tipos, A, y B. En todos los batidos intervienen como ingredientes leche,nata y frutas, de los que posee 270, 300 y 700 gramos respectivamente. Un litro de batido Anecesita 9 gramos de leche, 12 de nata y 5 de frutas y un litro de batido B requiere 6 gramos deleche, 10 de nata y 5 de frutas. Juan quiere maximizar la cantidad de litros de batido que tieneque preparar.


(b) Resuelva el problema anterior.


Max z = 2x1 − 5x2 − x3

s.a. −x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 38x1 + 2x2 + x3 ≤ 10−2x1 + x2 − 2x3 ≥ 5

x1, x2, x3 ≥ 0

Solución

ESTALMAT Andalucía Occidental. Curso 2016/2017 Sesión 2. Veteranos. Optimización.Nombre y Apellidos. Pérez Troncoso ; José Luis - Modelo 38



Nombre y Apellidos. Rodríguez Gil ; Tomás - Modelo 39

1. Una persona desea adelgazar. En la farmacia le ofrecen dos compuestos A y B para que tome unamezcla de ambos en la comida, con las siguientes condiciones: No debe tomar más de 180 g de lamezcla, ni menos de 80 g. La cantidad de A debe ser mayor o igual que la de B. No debe incluirmás de 100 g del compuesto A. Se sabe que cada 100 g de A contienen 20 mg de vitaminas y cada100 g de B contienen 30 mg de vitaminas.

¾Cuántos gramos debe tomar de cada compuesto para obtener el preparado más rico en vitaminas?


Max z = 2x1 − 5x2 − x3

s.a. −x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 39x1 − 2x2 + x3 ≥ 102x1 + x2 − 2x3 ≤ 5

x1, x2, x3 ≥ 0

Solución

ESTALMAT Andalucía Occidental. Curso 2016/2017 Sesión 2. Veteranos. Optimización.Nombre y Apellidos. Rodríguez Gil ; Tomás - Modelo 39



Nombre y Apellidos. Rodríguez Gómez ; Miguel - Modelo 40

1. Un ahorrador dispone de 20000 euros para invertir en fondos de dos tipos: A ó B. La inversiónen fondos A no debe ser inferior a 9000 euros y, además, ésta debe doblar, al menos, la inversiónen fondos B. La rentabilidad del pasado año de los fondos A ha sido del 6.7 % y la de los B hasido del 4.3 %.

Suponiendo que la rentabilidad continúe siendo la misma, determine la inversión que obtenga elmáximo bene�cio. Calcule dicho bene�cio.


Max z = 2x1 − 5x2 − x3

s.a. −x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 40x1 + 2x2 + x3 ≥ 102x1 + x2 − 2x3 ≥ 5

x1, x2, x3 ≥ 0

Solución

ESTALMAT Andalucía Occidental. Curso 2016/2017 Sesión 2. Veteranos. Optimización.Nombre y Apellidos. Rodríguez Gómez ; Miguel - Modelo 40



Nombre y Apellidos. Téllez Calle ; Daniel - Modelo 41

1. Una empresa pastelera dispone semanalmente de 260 kg de azúcar y de 340 kg de almendra parahacer tortas de almendra y tabletas de turrón. Se necesitan 150 g de almendra y 50 g de azúcarpara hacer una torta de almendra y 100 g de almendra y 100 g de azúcar para cada tableta deturrón. El bene�cio neto por la venta de cada torta es 1.5 euros, y por cada tableta de turrón esde 1.2 euros.

Determine cuántas tortas de almendra y cuántas tabletas de turrón han de elaborarse para obtenerla máxima ganancia. ¾Cuál es el bene�cio máximo semanal?


Min z = 2x1 + x2 − 2x3

s.a. −x1 + 2x2 + 6x3 ≥ 50x1 + 2x2 + 4x3 ≥ 102x1 + x2 − 2x3 ≥ 5

x1, x2, x3 ≥ 0

Solución

ESTALMAT Andalucía Occidental. Curso 2016/2017 Sesión 2. Veteranos. Optimización.Nombre y Apellidos. Téllez Calle ; Daniel - Modelo 41



Nombre y Apellidos. Reserva 1 ; Reserva 1 - Modelo 42

1. Una empresa fabrica sofás de dos tipos, A y B, por los que obtiene un bene�cio, por unidad, de2500 y 2200 euros, respectivamente. Al menos se deben fabricar 6 sofás del tipo A y 10 del tipoB, por semana, y además, el número de los del tipo A no debe superar en más de 10 unidades alnúmero de los del B.

¾Cuántas unidades de cada tipo se deben fabricar semanalmente para obtener bene�cio máximo,si no se pueden fabricar más de 30 sofás semanalmente?


Max z = 2x1 − 5x2 − x3

s.a. −x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 42x1 + 2x2 + x3 ≤ 10

−2x1 + 5x2 − 2x3 ≥ 5x1, x2, x3 ≥ 0

Solución

ESTALMAT Andalucía Occidental. Curso 2016/2017 Sesión 2. Veteranos. Optimización.Nombre y Apellidos. Reserva 1 ; Reserva 1 - Modelo 42




1. Una piscifactoría vende doradas y lubinas a 5 y 7 euros el kg, respectivamente. La producciónmáxima mensual es de una tonelada de cada producto y la producción mínima mensual es de 100kg de cada uno.

Si la producción total es, a lo sumo, de 1700 kg al mes, ¾cuál es la producción que maximiza losingresos mensuales? Calcule estos ingresos máximos.


Max z = 2x1 − 5x2 − x3

s.a. −x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 43x1 + 2x2 + x3 ≤ 10

−2x1 + 5x2 − 2x3 ≤ 5x1, x2, x3 ≥ 0

Solución





1. Una fábrica produce dos tipos de motores: diesel, que vende a 900 euros la unidad, y gasolina,que vende a 1200 euros cada uno. La capacidad máxima diaria de fabricación es de 100 motores,pero no puede fabricar más de 80 de gasolina ni más de 60 diesel.

¾Cuántos motores de cada tipo debe producir para obtener el máximo ingreso? ¾Cuál sería dichoingreso?


Max z = 2x1 − 5x2 − x3

s.a. −x1 + 2x2 + 3x3 ≥ 44x1 + 2x2 + x3 ≤ 10

−2x1 + 5x2 − 2x3 ≤ 5x1, x2, x3 ≥ 0

Solución





1. Una pequeña compañía aérea dispone de 2 tipos de aeronaves. El avión tipo A tiene 30 plazasde primera clase y 150 de clase turista. El avión tipo B tiene 40 plazas primera clase y 140 declase turista. El responsable de una agencia turística desea contratar 250 plazas de primera clasey 800 de clase turista. ¾Cuántos aviones de cada tipo debe contratar la agencia turística paraminimizar costos si el tipo A se alquila a 7000 euros y el B a 7500 euros?


Max z = 2x1 − 5x2 − x3

s.a. −x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 45x1 + 2x2 + x3 ≥ 10

−2x1 + 5x2 − 2x3 ≤ 5x1, x2, x3 ≥ 0

Solución


Optimización. Sesión 2.Listado de Todos los Ejercicios

ESTALMAT Andalucía Occidental


Sesión 2. Sesión Conjunta.


Gámez Mellado, AntonioMartínez Díaz, Manuel

Noviembre 2016

12/11/2016

Curso de Veteranos. ESTALMAT Andalucía Occidental.

Curso 2016/2017 Sesión 2. Optimización.Ejercicios Sesión 2. Sesión conjunta 1o y 2o. 12/11/2016

Grupo de Cádiz.Antonio Gámez Mellado, Manuel Martínez Díaz

1.− 1. Para fabricar 2 tipos de cable, A y B, que se venderán a 15 y 10 euros el metro, respectiva-mente, se emplean 16 Kg de plástico y 4 Kg de cobre para cada Hm (hectómetro) del tipo Ay 6 Kg de plástico y 12 Kg de cobre para cada Hm del tipo B. Sabiendo que la longitud decable fabricado del tipo B no puede ser mayor que el doble de la del tipo A y que, además,no pueden emplearse más de 252 Kg de plástico ni más de 168 Kg de cobre, determine lalongitud, en Hm, de cada tipo de cable que debe fabricarse para que la cantidad de dineroobtenida en su venta sea máxima.


Max z = 2x1 − 5x2 − x3

s.a. −x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 30x1 + 2x2 + x3 ≤ 102x1 + x2 − 2x3 ≤ 5

x1, x2, x3 ≥ 0

>>>

2.− 1. Cierta sala de espectáculos tiene una capacidad máxima de 1500 personas, entre adultos yniños; el número de niños asistentes no puede superar los 600. El precio de la entrada a unasesión de un adulto es de 80 euros, mientras que la de un niño es de un 40 % menos. Elnúmero de adultos no puede superar al doble del número de niños.

Cumpliendo las condiciones anteriores, ¾cuál es la cantidad máxima que se puede recaudarpor la venta de entradas? ¾Cuántas de las entradas serán de niños?


Max z = 2x1 − 5x2 − x3

s.a. −x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 30x1 + 2x2 + x3 ≤ 102x1 + x2 − 2x3 ≤ 5

x1, x2, x3 ≥ 0

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3.− 1. Una fábrica produce dos tipos de juguetes, muñecas y coches teledirigidos. La fábrica puedeproducir, como máximo, 200 muñecas y 300 coches.

La empresa dispone de 1800 horas de trabajo para fabricar los juguetes y se sabe que laproducción de cada muñeca necesita 3 horas de trabajo y reporta un bene�cio de 10 euros,mientras que la de cada coche necesita 6 horas de trabajo y reporta un bene�cio de 15 euros.

Calcule el número de muñecas y de coches que han de fabricarse para que el bene�cio globalde la producción sea máximo y obtenga dicho bene�cio.


Max z = 2x1 − 5x2 − x3

s.a. −x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 20x1 + 2x2 + x3 ≤ 102x1 + x2 − 2x3 ≤ 5

x1, x2, x3 ≥ 0

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4.− 1. Una empresa gana 150 euros por cada Tm de escayola producida y 100 euros por cada Tmde yeso. La producción diaria debe ser como mínimo de 30 Tm de escayola y 30 Tm de yeso.La cantidad de yeso no puede superar en más de 60 Tm a la de escayola. El triple de lacantidad de escayola, más la cantidad de yeso, no puede superar 420 Tm.

Calcule la cantidad diaria que debe producirse de cada material, para obtener la máximaganancia y determine dicha ganancia.


Max z = 2x1 − 5x2 − 3x3

s.a. −x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 30x1 + 2x2 + x3 ≤ 102x1 + x2 − 2x3 ≤ 5

x1, x2, x3 ≥ 0

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5.− 1. Una pastelería elabora dos tipos de trufas, dulces y amargas. Cada trufa dulce lleva 20 g decacao, 20 g de nata y 30 g de azúcar y se vende a 1 euro la unidad. Cada trufa amarga lleva100 g de cacao, 20 g de nata y 15 g de azúcar y se vende a 1.3 euros la unidad.En un día, lapastelería sólo dispone de 30 kg de cacao, 8 kg de nata y 10.5 kg de azúcar.

Sabiendo que vende todo lo que elabora, calcule cuántas trufas de cada tipo deben elaborarseese día, para maximizar los ingresos, y determine dichos ingresos.


Max z = 2x1 − 3x2 − x3

s.a. −x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 30x1 + 2x2 + x3 ≤ 102x1 + x2 − 2x3 ≤ 5

x1, x2, x3 ≥ 0

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6.− 1. Un nutricionista informa a un individuo que, en cualquier tratamiento que siga, no debeingerir diariamente más de 240 mg de hierro ni más de 200 mg de vitamina B. Para elloestán disponibles píldoras de dos marcas, P y Q. Cada píldora de la marca P contiene 40 mgde hierro y 10 mg de vitamina B, y cuesta 6 céntimos de euro; cada píldora de la marca Qcontiene 10 mg de hierro y 20 mg de vitamina B, y cuesta 8 céntimos de euro.

Entre los distintos tratamientos, ¾cuál sería el de máximo coste diario?


Max z = 4x1 − 5x2 − x3

s.a. −x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 30x1 + 2x2 + x3 ≤ 102x1 + x2 − 2x3 ≤ 5

x1, x2, x3 ≥ 0

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7.− 1. Se quiere organizar un puente aéreo entre dos ciudades, con plazas su�cientes de pasaje ycarga, para transportar 1600 personas y 96 toneladas de equipaje. Los aviones disponiblesson de dos tipos: 11 del tipo A y 8 del tipo B. La contratación de un avión del tipo A cuesta40000 euros y puede transportar 200 personas y 6 toneladas de equipaje; la contratación

de uno del tipo B cuesta 10000 euros y puede transportar 100 personas y 15 toneladas deequipaje.

¾Cuántos aviones de cada tipo deben utilizarse para que el coste sea mínimo?


Max z = 2x1 − 5x2 − x3

s.a. −x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 30x1 + 2x2 + x3 ≤ 102x1 + x2 − 2x3 ≤ 20

x1, x2, x3 ≥ 0

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8.− 1. Una fábrica de muebles dispone de 600 kg de madera para fabricar librerías de 1 y de 3estantes. Se sabe que son necesarios 4 kg de madera para fabricar una librería de 1 estante,siendo su precio de venta 20 euros; para fabricar una librería de 3 estantes se necesitan 8 kgde madera y el precio de venta de ésta es 35 euros.

Calcule el número de librerías de cada tipo que se deben fabricar para obtener el máximoingreso, sabiendo que, por falta de otros materiales, no se pueden fabricar más de 120 libreríasde 1 estante, ni tampoco más de 70 de 3 estantes.


Max z = 2x1 − 2x2 − x3

s.a. −x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 30x1 + 2x2 + x3 ≤ 102x1 + x2 − 2x3 ≤ 5

x1, x2, x3 ≥ 0

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9.− 1. Una persona desea adelgazar. En la farmacia le ofrecen dos compuestos A y B para quetome una mezcla de ambos en la comida, con las siguientes condiciones: No debe tomar másde 150 g de la mezcla, ni menos de 50 g. La cantidad de A debe ser mayor o igual que la deB. No debe incluir más de 100 g del compuesto A. Se sabe que cada 100 g de A contienen30 mg de vitaminas y cada 100 g de B contienen 20 mg de vitaminas.

¾Cuántos gramos debe tomar de cada compuesto para obtener el preparado más rico envitaminas?


Max z = 2x1 − 5x2 − x3

s.a. −x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 30x1 + 2x2 + x3 ≤ 152x1 + x2 − 2x3 ≤ 5

x1, x2, x3 ≥ 0

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10.− 1. Un ahorrador dispone de 10000 euros para invertir en fondos de dos tipos: A ó B. Lainversión en fondos A no debe ser inferior a 5000 euros y, además, ésta debe doblar, almenos, la inversión en fondos B. La rentabilidad del pasado año de los fondos A ha sido del2.7 % y la de los B ha sido del 6.3 %.

Suponiendo que la rentabilidad continúe siendo la misma, determine la inversión que obtengael máximo bene�cio. Calcule dicho bene�cio.


Max z = x1 − 5x2 − x3

s.a. −x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 30x1 + 2x2 + x3 ≤ 102x1 + x2 − 2x3 ≤ 5

x1, x2, x3 ≥ 0

>>>

11.− 1. Una empresa pastelera dispone semanalmente de 160 kg de azúcar y de 240 kg de almendrapara hacer tortas de almendra y tabletas de turrón. Se necesitan 150 g de almendra y 50g de azúcar para hacer una torta de almendra y 100 g de almendra y 100 g de azúcar paracada tableta de turrón. El bene�cio neto por la venta de cada torta es 1.75 euros, y por cadatableta de turrón es de 1 euro.

Determine cuántas tortas de almendra y cuántas tabletas de turrón han de elaborarse paraobtener la máxima ganancia. ¾Cuál es el bene�cio máximo semanal?


Max z = 2x1 − 2x2 − x3

s.a. −x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 30x1 + 2x2 + x3 ≤ 102x1 + x2 − 2x3 ≤ 5

x1, x2, x3 ≥ 0

>>>

12.− 1. Una empresa fabrica sofás de dos tipos, A y B, por los que obtiene un bene�cio, por unidad,de 1500 y 2000 euros, respectivamente. Al menos se deben fabricar 6 sofás del tipo A y 10del tipo B, por semana, y además, el número de los del tipo A no debe superar en más de 6unidades al número de los del B.

¾Cuántas unidades de cada tipo se deben fabricar semanalmente para obtener bene�ciomáximo, si no se pueden fabricar más de 30 sofás semanalmente?


Max z = 2x1 − 5x2 − x3

s.a. −x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 30x1 + 2x2 + x3 ≤ 302x1 + x2 − 2x3 ≤ 5

x1, x2, x3 ≥ 0

>>>

13.− 1. Una piscifactoría vende gambas y langostinos a 10 y 15 euros el kg, respectivamente. Laproducción máxima mensual es de una tonelada de cada producto y la producción mínimamensual es de 100 kg de cada uno.

Si la producción total es, a lo sumo, de 1700 kg al mes, ¾cuál es la producción que maximizalos ingresos mensuales? Calcule estos ingresos máximos.


Max z = 2x1 − 5x2 − x3

s.a. −x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 30x1 + 2x2 + x3 ≤ 102x1 + x2 + 2x3 ≤ 5

x1, x2, x3 ≥ 0

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14.− 1. Una fábrica produce dos tipos de relojes: de pulsera, que vende a 90 euros la unidad, y debolsillo, que vende a 120 euros cada uno. La capacidad máxima diaria de fabricación es de1000 relojes, pero no puede fabricar más de 800 de pulsera ni más de 600 de bolsillo.

¾Cuántos relojes de cada tipo debe producir para obtener el máximo ingreso? ¾Cuál seríadicho ingreso?


Max z = 2x1 − 5x2 − x3

s.a. −x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 30x1 + 2x2 + x3 ≤ 102x1 + x2 − 2x3 ≤ 10

x1, x2, x3 ≥ 0

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15.− 1. El estadio del Mediterráneo, construido para la celebración de los �Juegos MediterráneosAlmería 2005�, tiene una capacidad de 20000 espectadores. Para la asistencia a estos juegosse habían establecido las siguientes normas: El número de adultos no debe superar al dobledel número de niños; el número de adultos menos el número de niños no será superior a 5000.

Si el precio de la entrada de niño fue de 10 euros y la de adulto 15 euros ¾cuál era lacomposición de espectadores que proporcionaba mayores ingresos? ¾A cuánto ascendíanesos ingresos?


Max z = 2x1 + 5x2 − x3

s.a. −x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 30x1 + 2x2 + x3 ≤ 102x1 + x2 − 2x3 ≤ 5

x1, x2, x3 ≥ 0

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16.− 1. Una compañía de transportes posee 2 tipos de camiones. El camión tipo A tiene 20 m3 deespacio refrigerado y 40 m3 no refrigerado. El camión tipo B tiene 30 m3 refrigerados y 30 m3

no refrigerados. Una fábrica de productos alimenticios debe embarcar 900 m3 de productosrefrigerados y 1200 m3 no refrigerados. ¾Cuántos camiones de cada tipo debe alquilar lafábrica par minimizar costos si el tipo A se alquila a 3 euros/km y el B a 4 euros/km?


Max z = 2x1 − 5x2 + 2x3

s.a. −x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 30x1 + 2x2 + x3 ≤ 102x1 + x2 − 2x3 ≤ 5

x1, x2, x3 ≥ 0

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17.− 1. Una carnicería realiza sus hamburguesas a partir de carne magra de cerdo y ternera. La carnede ternera contiene un 80% de carne y un 20% de grasa, y cuesta a la tienda 80 euros/kg;la carne de cerdo contiene un 68% de carne y un 32% de grasa, y cuesta 6 euros/kg. ¾Quécantidad de cada tipo de carne debe emplearse por kilo si quiere minimizarse el coste ymantener un contenido de grasa no superior al 25%?


Max z = 2x1 − 5x2 − x3

s.a. −x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 40x1 + 2x2 + x3 ≤ 102x1 + x2 − 2x3 ≤ 5

x1, x2, x3 ≥ 0

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18.− 1. En un río y su a�uente hay 2 presas que regulan el paso del agua. Río abajo existe una grandemanda de agua para regadío. Teniendo en cuenta los costos de operación y mantenimiento,la empresa que gestiona las presas obtiene 10000 euros por unidad de caudal en la presa delrío, y 30000 euros por unidad de caudal en la presa del a�uente. Los caudales máximosde cada cuenca son: 4 en el río, 4 en el a�uente y 5 en el río antes de que se despegue sua�uente. ¾Cómo se debe distribuir el agua para que el bene�cio sea máximo?


Max z = 2x1 − 5x2 − x3

s.a. −x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 50x1 + 2x2 + x3 ≤ 102x1 + x2 − 2x3 ≤ 5

x1, x2, x3 ≥ 0

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19.− 1. Una pequeña compañía aérea dispone de 2 tipos de aeronaves. El avión tipo A tiene 20plazas de primera clase y 140 de clase turista. El avión tipo B tiene 30 plazas primera clasey 130 clase turista. El responsable de una agencia turística desea contratar 150 plazas deprimera clase y 600 de clase turista. ¾Cuántos aviones de cada tipo debe contratar la agenciaturística para minimizar costos si el tipo A se alquila a 7500 euros y el B a 8000 euros?


Max z = −2x1 − 5x2 − x3

s.a. −x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 30x1 + 2x2 + x3 ≤ 102x1 + x2 − 2x3 ≤ 5

x1, x2, x3 ≥ 0

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20.− 1. En un laboratorio existen dos contadores de bacterias disponibles. El contador A puede sermanejado por un aprendiz que gana dos euros por hora, y es capaz de veri�car 6 muestrasen una hora. El contador B, más rápido pero más complicado, sólo puede manejarlo unapersona experta que gana 5 euros por hora, y veri�ca 10 muestras en una hora. Tenemos 1000muestras para veri�car dentro de un periodo de tiempo que no exceda de 80 horas. ¾Cuántotiempo debe emplearse cada contador para llevar a cabo la tarea con un coste mínimo?


Max z = 2x1 − 5x2 − x3

s.a. −x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 20x1 + 2x2 + x3 ≤ 102x1 + x2 − 2x3 ≤ 0

x1, x2, x3 ≥ 0

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21.− 1. En la fabricación de piensos se utilizan tres ingredientes; A, B y C. Se dispone de 90 toneladasde A, 90 de B y 70 de C, y se desea fabricar dos tipos de pienso M y N. Para fabricar unatonelada de pienso M se requieren 2 toneladas de A, 1 de B y 1 de C y se vende a 12 euros.Para fabricar una tonelada de pienso N se necesita 1 tonelada de A, 2 de B y 1 de C y sevende a 10 euros. ¾Cuántas toneladas de cada pienso deben venderse para obtener el mayorbene�cio?


Max z = 2x1 − 5x2 − x3

s.a. −x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 20x1 + 2x2 + x3 ≤ 102x1 + x2 − 2x3 ≤ 1

x1, x2, x3 ≥ 0

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22.− 1. Un estudiante reparte propaganda publicitaria en su tiempo libre. La empresa COMP1 lepaga 0.05 euros por impreso repartido y la empresa COMP2 cuyos folletos son más grandes,le paga 0.07 euros por folleto. El estudiante lleva dos bolsas: una para los impresos dela empresa COMP1, en la que le caben un máximo de 120, y otra para los de la empresaCOMP2, en la que le caben un máximo de 100. Ha calculado que cada día puede repartircomo máximo 150 impresos. ¾Cuántos impresos de cada empresa tendrá de repartir paraque su bene�cio diario sea máximo?


Max z = 2x1 − 5x2 − x3

s.a. −x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 20x1 + 2x2 + x3 ≤ 102x1 + x2 − 2x3 ≤ 2

x1, x2, x3 ≥ 0

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23.− 1. Una empresa elabora dos productos, cada uno de ellos en una cantidad que es múltiplo de1000. La demanda de ambos productos conjuntamente es mayor de 3000 unidades y menorde 6000 unidades. Se sabe que la cantidad demandada de un producto es mayor que lamitad y menor que el doble del otro. Para obtener los máximos bene�cios vendiendo todala producción, ¾cuál debe ser la producción de cada uno de ellos si uno lo vende a un precioque es el triple que el del otro?


Max z = 2x1 − 5x2 − x3

s.a. −x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 20x1 + 2x2 + x3 ≤ 102x1 + x2 − 2x3 ≤ 3

x1, x2, x3 ≥ 0

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24.− 1. La empresa CRISGLASS es líder mundial en la fabricación de lunas para coches. Cadaluna delantera requiere 2.5m2 de cristal, mientras que las lunas traseras requieren 2m2. Laproducción de una luna delantera requiere 0.3 horas de máquina de corte y cada luna traserarequiere 0.2 horas. La empresa dispone de 1750m2 de cristal por semana, así como de untotal de 260 horas semanales de máquina de corte. Para adaptarse a la demanda habitual,

la empresa fabrica siempre como mínimo el doble de lunas delanteras que de lunas traseras.Determine cuántas lunas de cada tipo debe fabricar semanalmente la empresa para maximizarla producción total.

• Formule el programa lineal que resuelve el problema anterior.

• Calcule la producción que maximiza sus ingresos. Calcule dichos ingresos máximos.


Max z = 2x1 − 5x2 − x3

s.a. −x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 20x1 + 2x2 + x3 ≤ 102x1 + x2 − 2x3 ≤ 4

x1, x2, x3 ≥ 0

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25.− 1. Una fábrica de productos químicos vende dos tipos de compuestos, A y B, a razón de 40 y20 euros el kilogramo, respectivamente. Su producción máxima es de una tonelada de cadacompuesto. Su mínimo operativo es de 100 kilogramos de cada uno. Si su producción totalno puede superar los 1700 kilogramos, ¾cuál es la producción que maximiza sus ingresos?




Max z = 2x1 − 5x2 − x3

s.a. −x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 20x1 + 2x2 + x3 ≤ 102x1 + x2 − 2x3 ≤ 5

x1, x2, x3 ≥ 0

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26.− 1. Para fabricar 2 tipos de cable de red, A y B, que se venderán a 1.5 y 1 euros el metro,respectivamente, se emplean 16 Kg de plástico y 4 Kg de cobre para cada Hm (hectómetro)del tipo A y 6 Kg de plástico y 12 Kg de cobre para cada Hm del tipo B. Sabiendo que lalongitud de cable fabricado del tipo B no puede ser mayor que el doble de la del tipo A yque, además, no pueden emplearse más de 252 Kg de plástico ni más de 168 Kg de cobre,determine la longitud, en Hm, de cada tipo de cable que debe fabricarse para que la cantidadde dinero obtenida en su venta sea máxima.




Max z = 2x1 − 5x2 − x3

s.a. −x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 30x1 + 2x2 + x3 ≤ 102x1 + x2 − 2x3 ≤ 6

x1, x2, x3 ≥ 0

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27.− 1. Para fabricar 2 tipos de cable de red, A y B, que se venderán a 1 y 3 euros el metro,respectivamente, se emplean 16 Kg de plástico y 4 Kg de cobre para cada Hm (hectómetro)

del tipo A y 6 Kg de plástico y 12 Kg de cobre para cada Hm del tipo B. Sabiendo que lalongitud de cable fabricado del tipo B no puede ser mayor que el doble de la del tipo A yque, además, no pueden emplearse más de 252 Kg de plástico ni más de 168 Kg de cobre,determine la longitud, en Hm, de cada tipo de cable que debe fabricarse para que la cantidadde dinero obtenida en su venta sea máxima.




Max z = 2x1 − 5x2 − x3

s.a. −x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 30x1 + 2x2 + x3 ≤ 102x1 + x2 − 2x3 ≤ 7

x1, x2, x3 ≥ 0

>>>

28.− 1. Cierta sala de espectáculos tiene una capacidad máxima de 1500 personas, entre adultos yniños; el número de niños asistentes no puede superar los 600. El precio de la entrada auna sesión de un adulto es de 20 euros, mientras que la de un niño es de un 40 % menos.El número de adultos no puede superar al doble del número de niños. Cumpliendo lascondiciones anteriores, ¾cuál es la cantidad máxima que se puede recaudar por la venta deentradas? ¾Cuántas de las entradas serán de niños?


• Calcule los valores que determinan la recaudación óptima y el valor de dicha recaudación.


Max z = 2x1 − 5x2 − x3

s.a. −x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 30x1 + 2x2 + x3 ≤ 102x1 + x2 − 2x3 ≤ 8

x1, x2, x3 ≥ 0

>>>

29.− 1. Cierta sala de espectáculos tiene una capacidad máxima de 1500 personas, entre adultos yniños; el número de niños asistentes no puede superar los 600. El precio de la entrada auna sesión de un adulto es de 20 euros, mientras que la de un niño es de un 60 % menos.El número de adultos no puede superar al doble del número de niños. Cumpliendo lascondiciones anteriores, ¾cuál es la cantidad máxima que se puede recaudar por la venta deentradas? ¾Cuántas de las entradas serán de niños?




Max z = 2x1 − 5x2 − x3

s.a. −x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 20x1 + 2x2 + x3 ≤ 102x1 + x2 − 2x3 ≤ 9

x1, x2, x3 ≥ 0

>>>

30.− 1. Cierta sala de espectáculos tiene una capacidad máxima de 1500 personas, entre adultos yniños; el número de niños asistentes no puede superar los 400. El precio de la entrada auna sesión de un adulto es de 20 euros, mientras que la de un niño es de un 50 % menos.El número de adultos no puede superar al triple del número de niños. Cumpliendo lascondiciones anteriores, ¾cuál es la cantidad máxima que se puede recaudar por la venta deentradas? ¾Cuántas de las entradas serán de niños?




Max z = 2x1 − 5x2 − x3

s.a. −x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 30x1 + 2x2 + x3 ≥ 102x1 + x2 − 2x3 ≥ 5

x1, x2, x3 ≥ 0

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31.− 1. Un nutricionista asesora a un individuo que sufre una de�ciencia de hierro y vitamina B,y le indica que debe ingerir al menos 2400 mg de hierro y 1500 mg de vitamina B durantecierto período de tiempo. Existen dos píldoras disponibles, la marca P y la marca Q. Cadapíldora de la marca P contiene 40 mg de hierro y 10 mg de vitamina B y cuesta 6 céntimosde euro. Cada píldora de la marca Q contiene 10 mg de hierro y 15 mg de vitamina B, ycuesta 8 céntimos de euro. ¾Qué combinaciones de píldoras debe comprar el paciente paracubrir sus necesidades de hierro y vitamina B al menor costo? ¾Cuánto se gastará en esetratamiento?


• Calcule los valores que determinan el tratamiento óptimo y el coste de dicho tratamiento.


Max z = 2x1 − 5x2 − x3

s.a. −x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 31x1 + 2x2 + x3 ≤ 102x1 + x2 − 2x3 ≥ 5

x1, x2, x3 ≥ 0

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32.− 1. Un pastelero dispone cada día de 150 kg de harina, 22 kg de azúcar y 26 kg de mantequillapara hacer dos tipos de tartas, A y B. Para hacer una hornada de tartas del tipo A senecesitan 3 kg de harina, 1 kg de azúcar y 1 kg de mantequilla, mientras que para haceruna hornada de tartas del tipo B se necesitan 6 kg de harina, 0.5 kg de azúcar y 1 kg demantequilla. Sabiendo que el bene�cio que se obtiene al vender una hornada del tipo A esde 20 euros y de 30 euros al vender una hornada del tipo B, determine cuántas hornadas decada tipo debe hacer y vender para maximizar sus bene�cios diarios.


• Calcule los valores que determinan la producción óptima diaria y el bene?cio de dichaproducción.


Max z = 2x1 − 5x2 − x3

s.a. −x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 32x1 + 2x2 + x3 ≥ 102x1 + x2 − 2x3 ≤ 5

x1, x2, x3 ≥ 0

>>>

33.− 1. Un nutricionista informa a un individuo que, en cualquier tratamiento que siga, no debeingerir diariamente más de 240 mg de hierro ni más de 200 mg de vitamina B. Para elloestán disponibles píldoras de dos marcas, P y Q. Cada píldora de la marca P contiene 40mg de hierro y 10 mg de vitamina B, y cuesta 6 céntimos de euro; cada píldora de la marcaQ contiene 10 mg de hierro y 20 mg de vitamina B, y cuesta 8 céntimos de euro. Entre losdistintos tratamientos, ¾cuál sería el de máximo coste diario?


• Calcule los valores que determinan el tratamiento óptimo y el coste de dicho tratamiento.


Max z = 2x1 − 5x2 − x3

s.a. −x1 + 2x2 + 3x3 ≥ 33x1 + 2x2 + x3 ≤ 102x1 + x2 − 2x3 ≤ 5

x1, x2, x3 ≥ 0

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34.− 1. Un pastelero dispone cada día de 150 kg de harina, 22 kg de azúcar y 26 kg de mantequillapara hacer dos tipos de tartas, A y B. Para hacer una hornada de tartas del tipo A senecesitan 3 kg de harina, 1 kg de azúcar y 1 kg de mantequilla, mientras que para haceruna hornada de tartas del tipo B se necesitan 6 kg de harina, 0.5 kg de azúcar y 1 kg demantequilla. Sabiendo que el bene�cio que se obtiene al vender una hornada del tipo A esde 20 euros y de 30 euros al vender una hornada del tipo B, determine cuántas hornadas decada tipo debe hacer y vender para maximizar sus bene�cios diarios.


• Calcule los valores que determinan la producción óptima diaria y el bene?cio de dichaproducción.


Max z = 2x1 + 5x2 − x3

s.a. −x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 34x1 + 2x2 + x3 ≤ 102x1 + x2 − 2x3 ≤ 5

x1, x2, x3 ≥ 0

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35.− 1. Ahora que se acercan las navidades, la empresa ECOTEL se dispone a comenzar con lapromoción de navidad de sus productos. El director de la empresa ha comentado en unareunión que este año el dinero destinado a la publicidad de sus productos será de unos 70.000euros cada mes. Los medios que puede usar para la publicidad serán: Televisión y tiradasde Folletos impresos distribuidos por correo postal. En el cuadro siguiente expondremos lainformación sobre el coste de cada anuncio en los diferentes medios y la cantidad de personasque recibirían el mencionado mensaje publicitario:


Tendremos que tener en cuenta que por exigencias de las empresas de Marketing comomínimo deben salir 50 anuncios mensuales en Televisión y realizar 20 tiradas mensuales deFolletos. Queremos determinar la estrategia óptima mensual para esta campaña publicitariaen la empresa.


• Calcule los valores que determinan esa campaña de publicidad óptima.


Max z = 2x1 + x2 − 2x3

s.a. −x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 35x1 + 2x2 + x3 ≤ 102x1 + x2 − 2x3 ≤ 5

x1, x2, x3 ≥ 0

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36.− 1. Ahora que se acercan las navidades, la empresa ECOTEL se dispone a comenzar con lapromoción de navidad de sus productos. El director de la empresa ha comentado en unareunión que este año el dinero destinado a la publicidad de sus productos será de unos 70.000euros cada mes. Los medios que puede usar para la publicidad serán: Televisión y tiradasde Folletos impresos distribuidos por correo postal. En el cuadro siguiente expondremos lainformación sobre el coste de cada anuncio en los diferentes medios y la cantidad de personasque recibirían el mencionado mensaje publicitario:


Tendremos que tener en cuenta que por exigencias de las empresas de Marketing comomínimo deben salir 20 anuncios mensuales en Televisión y realizar 50 tiradas mensuales deFolletos. Queremos determinar la estrategia óptima mensual para esta campaña publicitariaen la empresa.


• Calcule los valores que determinan esa campaña de publicidad óptima.


Max z = 2x1 + 5x2 − x3

s.a. −x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 36x1 + 2x2 + x3 ≥ 102x1 + x2 − 2x3 ≤ 5

x1, x2, x3 ≥ 0

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37.− 1. Para la �esta de su hermano, Juan desea hacer unos batidos. Sus conocimientos de cocinale permiten hacerlos de dos tipos, A y C. En todos los batidos intervienen como ingredientesleche, nata y frutas, de los que posee 270, 300 y 700 gramos respectivamente. Un litro debatido A necesita 9 gramos de leche, 12 de nata y 5 de frutas y un litro del tipo C necesita6 de leche, 6 de nata y 10 de frutas. Juan quiere maximizar la cantidad de litros de batidoque tiene que preparar.


• Resuelva el problema anterior.


Max z = 2x1 − 5x2 − x3

s.a. −x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 37x1 + 2x2 + x3 ≤ 102x1 + x2 + 2x3 ≥ 5

x1, x2, x3 ≥ 0

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38.− 1. Para la �esta de su hermano, Juan desea hacer unos batidos. Sus conocimientos de cocina lepermiten hacerlos de dos tipos, A, y B. En todos los batidos intervienen como ingredientesleche, nata y frutas, de los que posee 270, 300 y 700 gramos respectivamente. Un litro debatido A necesita 9 gramos de leche, 12 de nata y 5 de frutas y un litro de batido B requiere6 gramos de leche, 10 de nata y 5 de frutas. Juan quiere maximizar la cantidad de litros debatido que tiene que preparar.


• Resuelva el problema anterior.


Max z = 2x1 − 5x2 − x3

s.a. −x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 38x1 + 2x2 + x3 ≤ 10−2x1 + x2 − 2x3 ≥ 5

x1, x2, x3 ≥ 0

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39.− 1. Una persona desea adelgazar. En la farmacia le ofrecen dos compuestos A y B para quetome una mezcla de ambos en la comida, con las siguientes condiciones: No debe tomar másde 180 g de la mezcla, ni menos de 80 g. La cantidad de A debe ser mayor o igual que la deB. No debe incluir más de 100 g del compuesto A. Se sabe que cada 100 g de A contienen20 mg de vitaminas y cada 100 g de B contienen 30 mg de vitaminas.

¾Cuántos gramos debe tomar de cada compuesto para obtener el preparado más rico envitaminas?


Max z = 2x1 − 5x2 − x3

s.a. −x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 39x1 − 2x2 + x3 ≥ 102x1 + x2 − 2x3 ≤ 5

x1, x2, x3 ≥ 0

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40.− 1. Un ahorrador dispone de 20000 euros para invertir en fondos de dos tipos: A ó B. Lainversión en fondos A no debe ser inferior a 9000 euros y, además, ésta debe doblar, almenos, la inversión en fondos B. La rentabilidad del pasado año de los fondos A ha sido del6.7 % y la de los B ha sido del 4.3 %.

Suponiendo que la rentabilidad continúe siendo la misma, determine la inversión que obtengael máximo bene�cio. Calcule dicho bene�cio.


Max z = 2x1 − 5x2 − x3

s.a. −x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 40x1 + 2x2 + x3 ≥ 102x1 + x2 − 2x3 ≥ 5

x1, x2, x3 ≥ 0

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41.− 1. Una empresa pastelera dispone semanalmente de 260 kg de azúcar y de 340 kg de almendrapara hacer tortas de almendra y tabletas de turrón. Se necesitan 150 g de almendra y 50g de azúcar para hacer una torta de almendra y 100 g de almendra y 100 g de azúcar paracada tableta de turrón. El bene�cio neto por la venta de cada torta es 1.5 euros, y por cadatableta de turrón es de 1.2 euros.

Determine cuántas tortas de almendra y cuántas tabletas de turrón han de elaborarse paraobtener la máxima ganancia. ¾Cuál es el bene�cio máximo semanal?


Min z = 2x1 + x2 − 2x3

s.a. −x1 + 2x2 + 6x3 ≥ 50x1 + 2x2 + 4x3 ≥ 102x1 + x2 − 2x3 ≥ 5

x1, x2, x3 ≥ 0

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42.− 1. Una empresa fabrica sofás de dos tipos, A y B, por los que obtiene un bene�cio, por unidad,de 2500 y 2200 euros, respectivamente. Al menos se deben fabricar 6 sofás del tipo A y 10del tipo B, por semana, y además, el número de los del tipo A no debe superar en más de10 unidades al número de los del B.

¾Cuántas unidades de cada tipo se deben fabricar semanalmente para obtener bene�ciomáximo, si no se pueden fabricar más de 30 sofás semanalmente?


Max z = 2x1 − 5x2 − x3

s.a. −x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 42x1 + 2x2 + x3 ≤ 10

−2x1 + 5x2 − 2x3 ≥ 5x1, x2, x3 ≥ 0

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43.− 1. Una piscifactoría vende doradas y lubinas a 5 y 7 euros el kg, respectivamente. La producciónmáxima mensual es de una tonelada de cada producto y la producción mínima mensual esde 100 kg de cada uno.

Si la producción total es, a lo sumo, de 1700 kg al mes, ¾cuál es la producción que maximizalos ingresos mensuales? Calcule estos ingresos máximos.


Max z = 2x1 − 5x2 − x3

s.a. −x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 43x1 + 2x2 + x3 ≤ 10

−2x1 + 5x2 − 2x3 ≤ 5x1, x2, x3 ≥ 0

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44.− 1. Una fábrica produce dos tipos de motores: diesel, que vende a 900 euros la unidad, ygasolina, que vende a 1200 euros cada uno. La capacidad máxima diaria de fabricación esde 100 motores, pero no puede fabricar más de 80 de gasolina ni más de 60 diesel.

¾Cuántos motores de cada tipo debe producir para obtener el máximo ingreso? ¾Cuál seríadicho ingreso?


Max z = 2x1 − 5x2 − x3

s.a. −x1 + 2x2 + 3x3 ≥ 44x1 + 2x2 + x3 ≤ 10

−2x1 + 5x2 − 2x3 ≤ 5x1, x2, x3 ≥ 0

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45.− 1. Una pequeña compañía aérea dispone de 2 tipos de aeronaves. El avión tipo A tiene 30plazas de primera clase y 150 de clase turista. El avión tipo B tiene 40 plazas primera clasey 140 de clase turista. El responsable de una agencia turística desea contratar 250 plazas deprimera clase y 800 de clase turista. ¾Cuántos aviones de cada tipo debe contratar la agenciaturística para minimizar costos si el tipo A se alquila a 7000 euros y el B a 7500 euros?


Max z = 2x1 − 5x2 − x3

s.a. −x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 45x1 + 2x2 + x3 ≥ 10

−2x1 + 5x2 − 2x3 ≤ 5x1, x2, x3 ≥ 0

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Optimización. Sesión 2

ESTALMAT Andalucía Occidental Curso Veteranos ESTALMAT. Curso 16-17; 12/11/2015

Profesorado Gámez Mellado, Antonio Martínez Díaz, Manuel

Documentos útiles para la sesión: Documento Índice

http://cort.as/npvq Documento 1: Contenidos teóricos de la sesión.

http://cort.as/npw3 Documento 2: Contenidos prácticos de la sesión. Listado de ejercicios.

http://cort.as/npwq Documento 3: Ejercicios personalizados para trabajar durante la sesión.

http://cort.as/npwg Documento 4: Presentación comprimida de la sesión. https://db.tt/UmeWruu5 Documento 5: Descarga de applet Método Gráfico. Método Geométrico. Versión 1. https://db.tt/xlMPutRl Documento 6: Descarga de applet Método Gráfico. Método Geométrico. Versión 2. https://db.tt/b4EGBX5w Documento 7: Descarga de Software Lingo, versión 11 para Windows. https://db.tt/kfqNhrWN Documento 8: Descarga de Software Lingo, versión 12 para Windows. https://db.tt/u9dcchjt Documento 9: Descarga de Software Lingo, versión para Linux. https://db.tt/WxCiIp12

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