Optimiranje procesa B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Optimiranje procesa - rješavanje optimizacijskih problema podrazumijeva pronalaženje optimuma (minimuma ili maksimuma) neke funkcije f - funkcija f se naziva i funkcijom cilja - funkcija cilja ovisna o zavisnim varijablama x 1 ,…, x n - x 1 ,…, x n kontrolne varijable, njihovim izborom “kontroliramo” vrijednost funkcije cilja - teorija optimiranja – razvoj metoda optimalnog izbora x 1 ,…, x n koji maksimiziraju ili minimiziraju funkciju cilja f ili razvoj metoda pronalaženja optimalnih vrijednosti x 1 ,…, x n - u nekim problemima izbor optimalnih vrijednosti x 1 ,…, x n nije potpuno slobodan već je definiran ograničenjima (dodatni uvjeti koji proizlaze iz prirode optimizacijskog problema)
22
Embed
optimiranje procesa - FKIT e-Campus v1 metoda B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Optimiranje procesa Operacija O 2 – određivanje boljeg osnovnog mogućeg rješenja
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Optimiranje procesa
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Optimiranje procesa
- rješavanje optimizacijskih problema podrazumijeva pronalaženje optimuma (minimuma ili maksimuma) neke funkcije f - funkcija f se naziva i funkcijom cilja - funkcija cilja ovisna o zavisnim varijablama x1,…, xn - x1,…, xn kontrolne varijable, njihovim izborom “kontroliramo” vrijednost funkcije cilja - teorija optimiranja – razvoj metoda optimalnog izbora x1,…, xn koji maksimiziraju ili minimiziraju funkciju cilja f ili razvoj metoda pronalaženja optimalnih vrijednosti x1,…, xn - u nekim problemima izbor optimalnih vrijednosti x1,…, xn nije potpuno slobodan već je definiran ograničenjima (dodatni uvjeti koji proizlaze iz prirode optimizacijskog problema)
Optimiranje procesa
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Optimiranje procesa
Podjela metoda optimiranja procesa - optimiranje bez definiranih ograničenja
- jedno-dimenzijski analitičke metode - više-dimenzijske analitičke metode (gradijentne metode)
- optimiranje sa definiranim ograničenjima - linearno optimiranje - jedno-dimenzijski analitičke metode - linearno programiranje / simpleks metoda - nelinearno optimiranje
Optimiranje bez definiranih ograničenja
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Optimiranje procesa
Funkcija f(x1,…,xn) = f(x), pri čemu je x = (x1,…,xn) Funkcija f ima minimum ako u točki x = X0, u području R u kojem je f definirana, vrijedi da je f(x) ≥ f(X0) za sve x u R. Funkcija f ima maksimum ako u točki x = X0, u području R u kojem je f definirana, vrijedi da je f(x) ≤ f(X0) za sve x u R. Minimum i maksimum funkcije f se nazivaju ekstremima funkcije f. Funkcija f ima lokalni minimum ako u točki x = X0 vrijedi da je f(x) ≥ f(X0) za sve x u okružju točke X0, odnosno za sve x koji zadovoljavaju uvjet gdje je X0 = (X1,…,Xn) i r > 0 zadovoljavajuće mali. Identično vrijedi i za lokalni maksimum funkcije f.
( ) ( )1/22 2
0 1 1x-X ... n nx X x X r⎡ ⎤= − + + − <⎣ ⎦
Optimiranje bez definiranih ograničenja
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Optimiranje procesa
Ako je funkcija f derivabilna i ima ekstrem u točki X0, u području R u kojem je funkcija f definirana (ne uzimajući u obzir granice područja definicije), parcijalna derivacija ∂f/∂x1,…,∂f/∂x2 mora biti jednaka nuli u točki X0. Točka X0 u kojoj vrijedi zove se stacionarna točka funkcije f. Uvjet * je nužan za definiranje ekstrema funkcije f u okolišu točke X0, ali nije zadovoljavajući.
0 0grad (X ) (X ) 0*f f=∇ =
Optimiranje bez definiranih ograničenja
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Optimiranje procesa
Jedno-dimenzijske analitičke metode n = 1 y = f(x1) Uz uvažavanje nužnog uvjeta* y’ = f’(x1,0) = 0 lokalni minimum se postiže zadovoljavanjem uvjeta y’’ = f’’(x1,0) > 0 lokalni maksimum se postiže zadovoljavanjem uvjeta y’’ = f’’(x1,0) < 0 1. Primjer Pronaći globalni minimum i maksimum funkcije
3 22 3 7 5y x x x= ⋅ + ⋅ − ⋅ +
Gradijentna metoda
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Optimiranje procesa
- metoda strmog silaska - pronalaženje minimuma funkcije f(x), x = (x1,…xn) višestrukim računanjem minimuma funkcije g(t) pojedinačne varijable t - pretpostavka: funkcija f ima minimum u točki X0 i optimiranje starta u točki x - traži se minimum funkcije f u blizini točke x prateći pravac u smjeru koji predstavlja smjer strmog silaska (smjer maksimalnog smanjivanja) funkcije f u točki x - određuje se vrijednost pojedinačne varijable t u točki z(t) u kojoj funkcija g(t) ima minimum.
(x)f−∇
( ) x (x)z t t f= − ⋅∇
Gradijentna metoda
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Optimiranje procesa
- tako izračunati z(t) se uzima kao iduća aproksimacija za X0. 2. Primjer Treba izračunati minimum funkcije Kao pretpostavke prvog rješenja uzeti su odnosno x1 = 6 i x2 = 3
( ) ( ( ))( ) ' 0g t f z tg t
=
=
2 21 2(x) 3f x x= + ⋅
0
6X
3ij
=
Gradijentna metoda
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Optimiranje procesa
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
x2
x1
x1 x2 t
6 3 0,209677
3,483871 -0,77419 0,309524
1,327189 0,663594 0,209677
0,770626 -0,17125 0,309524
0,293572 0,146786 0,209677
0,170461 -0,03788 0,309524
0,064938 0,032469 0,209677
0,037706 -0,00838 0,309524
0,014364 0,007182 0,209677
Analitičko rješenje x1 = 0, x2 =0.
Simpleks metoda ili linearno programiranje
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Optimiranje procesa
- funkciju f
treba maksimizirati uzimajući u obzir sljedeća ograničenja
- pronalaženje osnovnih mogućih rješenja – sustavni pristup pretraživanju – simpleks metoda
- stupnjeviti prijelaz iz jednog u drugo moguće rješenje pri čemu vrijednost funkcije f uvijek povećava svoju vrijednost
1 1 ... n nf c x c x= ⋅ + + ⋅
11 1 1 1
21 1 2 2
1 1
...
...
...0 ( 1,..., )
n n
n n
m mn n m
i
a x a x ba x a x b
a x a x bx i n
⋅ + + ⋅ =
⋅ + + ⋅ =
⋅ + + ⋅ =
≥ =
Simpleks metoda
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Optimiranje procesa
Osnovni koraci simpleks metode
1. KORAK
Operacija I0 – inicijalizacija vrijednosti osnovnih mogućih rješenja
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Optimiranje procesa
Inicijalna operacija I0
- pronalaženje osnovnih mogućih rješenja (potrebno za početak iteracije)
- raspodjela varijabli x1,…,xn u dvije grupe
- m varijabli – temeljne varijabli
- n – m varijabli – netemeljne varijable ili varijable vektora desne strane
- netemeljne varijable imaju vrijednost nula
Simpleks metoda
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Optimiranje procesa
Operacija O1 – testiranje optimalnosti
- provjeriti da li koeficijenti funkcije f (c1,…,cn) izražene kao funkcija trenutnih netemeljnih varijabli imaju negativnu vrijednost ili su jednaki nuli
- ako je gornji uvjet zadovoljen kriterij optimalnosti je također zadovoljen i osnovno moguće rješenje je optimalno
Simpleks metoda
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Optimiranje procesa
- jedna od temeljnih varijabli postaje netemeljna varijabla i poprima vrijednost nula, a umjesto nje jedna od netemeljnih varijabli postaje temeljna varijabla
- uzmimo netemeljnu varijablu xR koja ima pozitivni koeficijent c u funkciji f
- ostale netemeljne varijable zadržavaju vrijednost nula
- odredimo vrijednost ΔxR varijable xR i pripadajući porast vrijednosti funkcije f, Δf, na taj način da sve stare temeljne varijable ostanu pozitivne ili jednake nuli
- izaberemo minimalnu izračunatu vrijednost varijable ΔxR za idući korak
- ovaj postupak ponovimo za od netemeljnih varijabli
Simpleks metoda
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Optimiranje procesa
Operacija O3 – prijelaz na bolje osnovno rješenje
- zamijeniti netemeljnu varijablu xR koja ima najveći prirast vrijednosti funkcije f, Δf, sa jednom od temeljnih varijabli prethodnog koraka
Simpleks metoda
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Optimiranje procesa
3. Primjer
U proizvodnji dvaju tipova elektroničkih sklopova K i L koriste se dva robota R1 i R2. Za proizvodnju elektroničkog sklopa K potrebo je da robot R1 radi dvije minute, a robot R2 četiri minute. Slično, za proizvodnju elektroničkog sklopa L potrebo je da robot R1 radi osam minuta, a robot R2 četiri minute. Neto dobit za elektronički sklop K je 29 kn a za elektronički sklop L 45 kn. Odredi plan proizvodnje koji maksimizira neto dobit.
Ako se proizvodi x1 elektroničkih sklopova K i x2 elektroničkih sklopova L, onda je neto dobit po satu:
Ograničenja su definirana kako slijedi:
( )1 2 1 2, 29 45f x x x x= ⋅ + ⋅
1 2
1 2
1
2
2 8 60 (rad robota R1)4 4 60 (rad robota R2)
00
x xx x
xx
⋅ + ⋅ ≤
⋅ + ⋅ ≤
≥
≥
Inicijalna operacija I0
- pretpostavimo
x1 = x2 = 0 – netemeljne varijable
x3 i x4 – temeljne varijable
Operacija O1
c1 i c2 > 0 – optimum - maksimum nije postignut
Simpleks metoda
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Optimiranje procesa
1 2 3
1 2 4
2 8 604 4 60
0 ( 1,..., 4)i
x x xx x x
x i
⋅ + ⋅ + =
⋅ + ⋅ + =
≥ =
3 1 2
4 1 2
60 2 8 6060 4 4 60
x x xx x x= − ⋅ − ⋅ =
= − ⋅ − ⋅ =
( )1 2 1 2, 29 45 0f x x x x= ⋅ + ⋅ =
Operacija O2
- pretpostavimo, x1 postaje temeljna veličina
x2 = x3 = x4 = 0
Simpleks metoda
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Optimiranje procesa
1 2 3 1
1 2 4 1
2 8 60 30 8704 4 60 15 435x x x x fx x x x f⋅ + ⋅ + = Δ = Δ =
⋅ + ⋅ + = Δ = Δ =
- pretpostavimo, x2 postaje temeljna veličina
x1 = x3 = x4 = 0
1 2 3 2
1 2 4 2
2 8 60 7,5 337,5
4 4 60 15 675
x x x x f
x x x x f
⋅ + ⋅ + = Δ = Δ =
⋅ + ⋅ + = Δ = Δ =
- prenosimo one jednadžbe za koje je najmanji prirast funkcije f
Operacija O3
Simpleks metoda
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Optimiranje procesa
3 1 2
4 1 2
60 2 8 , 337,5
60 4 4 , 435
x x x f
x x x f
= − ⋅ − ⋅ Δ =
= − ⋅ − ⋅ Δ =
- temeljna varijabla postaje ona koja daje najveći prirast Δf
- nove temeljne varijable x1 i x3, nove netemeljne varijable x2 i x4
1 2 4
3 2 4
1154130 62
x x x
x x x
= − −
= − ⋅ +
Operacija O1
- izražavanje funkcije f preko novih netemeljnih varijabli
c2 > 0, optimum nije postignut
( )1 2 2 4, 435 16 7,25f x x x x= + ⋅ − ⋅
Operacija O2
- pretpostavimo, x2 postaje temeljna veličina
x1 = x3 = x4 = 0
Simpleks metoda
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Optimiranje procesa
1 2 4 2
3 2 4 2
1 15 15 2404
16 30 5 802
x x x x f
x x x x f
+ + = Δ = Δ =
+ ⋅ − ⋅ = Δ = Δ =
- x4 se ne analizira jer je koeficijent c4 < 0
Operacija O3
2 3 4
1 3 4
1 156 121 1106 3
x x x
x x x
= − ⋅ + ⋅
= + ⋅ − ⋅
- nove temeljne varijable x1 i x2, nove netemeljne varijable x3 i x4
Simpleks metoda
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Optimiranje procesa
Operacija O1
- izražavanje funkcije f preko novih netemeljnih varijabli
c1 i c2 > 0, optimum postignut za x1 = 10, x2 = 5, x3 = 0, x4 = 0
( )1 2 3 4, 515 2,667 5,917f x x x x= − ⋅ − ⋅
Rješenje:
x1 = 4,5; x2 = 3,5; x3 = 3,5; x4 = 0; x5 = 0
3. Domaća zadaća
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Optimiranje procesa
1. Zadatak
Odredi maksimum funkcije primjenom simpleks metode:
Ograničenja su definirana kako slijedi: ( )1 2 1 2, 150 300f x x x x= ⋅ + ⋅
1 2 3
1 2 4
2 5
2 168
3,50 ( = 1,...,5)i
x x xx x xx xx i
⋅ + + =
+ + =
+ =
≥
( ) 3 26 36 71 5f x x x xx= − ⋅ + ⋅ +
≤ ≤
2. Zadatak
Odredi lokalni maksimum i minimum funkcije:
( ) 4 51725 150 150f x x x= − ⋅ − ⋅
Linearna i nelinearna regresija
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Optimiranje procesa
Linearna regresija
- određivanje nagiba i odsječka pravca iz serije podataka
- određivanje najboljeg moguće linearne aproksimacije serije podataka za koju zavisna varijabla nije u potpunosti linearno ovisna o nezavisnoj varijabli
- metoda najmanjih kvadrata – najzastupljenija metoda linearne regresije