Optimierungs- Algorithmen Petra Mutzel Technische Universität Wien Institut für Computergraphik und Algorithmen AK5: Ausgewählte Algorithmen Ak der Algorithmik.

Optimierungs-Algorithmen

Petra Mutzel Technische Universität Wien

Institut für Computergraphik und Algorithmen

AK5: Ausgewählte Algorithmen

Ak der Algorithmik 5

Kombinatorische Optimierungsprobleme

Gegeben sind:

• endliche Menge E (Grundmenge)

• Teilmenge I der Potenzmenge 2E von E (zul. Mengen)

• Kostenfunktion c: EK

Definition Kombinatorisches Optimierungsproblem

Beispiele Kombinatorische Optimierungsprobleme

Handlungsreisendenproblem (TSP)

Minimum der Funktion: f(x)=3x2+2, xR

Minimaler Spannender Baum (MST)

Lineare Optimierungsprobleme

Das Problem, einen Vektor zu finden, der unter allen

Vektoren, die die Bedingungen Ax<=b erfüllen, derjenige

ist, mit größtem (kleinstem) Zielfunktionswert.

Definition Lineares Optimierungsproblem

Beispiel Ölraffinerie

Ziele:

– mindestens 3S, 5M, 4L herstellen (Lieferbedingungen)

– möglichst billig herstellen

2 Crackverfahren für Rohöl mit folgender Ausbeute und Kosten:– Crackprozeß 1: 2S, 2M, 1L, Kosten 3 EUR

– Crackprozeß 2: 1S, 2M, 4L, Kosten 5 EUR

Beispiel Ölraffinerie

Zielfunktion

Restriktionen

subject to

definieren denLösungsraum

Matrixschreibweise: (Tafel)

Geometrische Interpretation LP

Beispiel: Ölraffinerie

Lineare Optimierungsprobleme

• max oder min cTx: Ax≤b

• min cTx: Ax≤b und x≥0

• min cTx: Ax=b und x≥0

Lineare Optimierungsprobleme tauchen in verschiedenen Formulierungen auf und können alle ineinander übergeführt werden:

Beispiele und Tricks!

Lineare Optimierungsprobleme

LP in seiner allgemeinsten Form:

Ganzzahlige Lineare Optimierungsprobleme

Lineare Optimierungsprobleme mit Ganzzahligkeits-forderungen: GLP (ILP, IP)

Lineare Optimierungsprobleme mit teilweise Ganzzahligkeitsforderungen: GGLP (MIP)

Lineare Optimierungsprobleme mit 0/1-Bedingungen: 0/1-Programm, Binäres LP, BLP

Zusammenhang zu Kombinatorischer Optimierung

Jedes kom. OP kann als BLP formuliert werden und umgekehrt:

Ist E eine endliche Menge und FE, dann ist der charakteris-tische Vektor FRE für F definiert als

Wir assoziieren zu jedem Element eE eine Komponente des Vektors F.

Umgekehrt, ist jeder 0/1-Vektor x{0,1}E charakteristischer Vektor einer Teilmenge Fx von E, und zwar gilt:

Fx={eE | xe=1}.

Beispiel: MST

Beispiel: LOP

Lineares Ordnungsproblem (LOP)

Gegeben: ein vollständiger gerichteter Graph G=(V,A) mit Kantengewichten cuv für alle Bögen (u,v) in A.

Gesucht: eine lineare Ordnung der Knoten, so dass die Summe der Gewichte aller Bögen, die dieser Ordnung entsprechen, maximiert wird.

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Anwendungen: Triangulation von Input-Output Matrizen, Rangbestimmung in Turniersportarten

Graphen-Theoretische Formulierung

Gegeben: ein vollständiger gerichteter Graph G=(V,A) mit Bogengewichten cuv für alle Bögen (u,v) in A.

Gesucht: ein spannendes, azyklisches Turnier in G mit größtem Gewicht

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Turnier: TA: entweder (i,j)T oder (j,i)T aber nicht beide

Spannendes Azyklisches TurnierVerbotene Strukturen in T:

u v

u w

v

u w

v

ILP für LOP

3-Kreis Ungleichungen

Triviale Ungleichungen

Gleichungen

Ausschluss der 3-er Kreise genügt

Spannendes Azyklisches TurnierVerbotene Strukturen in T:

u v

u w

v

u w

v

Projektion: xvu=1-xuv

3-Kreis Ungl.

Triviale Ungl.

ILP für LOP

Geometrische Interpretation LOP

Beispiel n=3: x12 x13 x23

Permutation<1,2,3><2,1,3><2,3,1><1,3,2><3,1,2><3,2,1>

charakt. Vektor(1,1,1)(0,1,1)(0,0,1)(1,1,0)(1,0,0)(0,0,0) x12

x13

<3,2,1> <3,1,2>

<2,3,1>

<2,1,3><1,2,3>

<1,3,2>

x23x12+x23-x13=0

x12+x23-x13=11 3

2

1 3

2

Geometrische Interpretation LOP

• n<6: Entfernung der Ganzzahligkeitsbedingungen macht keinen Unterschied

• n>=6: zusätzliche Ungleichungen notwendig

• Beispiel: Moebius-Leiter Ungleichungen:– k Kreise (k ungerade), hier: k=7:– Es ist notwendig, mindestens (k+1)/2 Bögen zu entfernen,

um G azyklisch zu machen.

Polyedrische Kombinatorik: LOPKonvexe Hülle aller charakteristischer Vektoren,

die Permutations, die l Elemente beschreiben.

l n

3

4

5

6

7

8

8

20

40

910

87,472

>488,602,996

For l=60 ist LOP exakt lösbar innerhalb 1 Sekundemittels Schnittebenenverfahren.

Vielen Dank