Optika - phy.grf.unizg.hrphy.grf.unizg.hr/media/download_gallery/4 F2_geometrijska_optika... · 1 Fizika 2 Optika Geometrijska optika Zakon loma na sfernoj granici Preslikavanje lomom

1

Fizika 2

Optika

Geometrijska optika

Zakon loma na sfernoj granici

Preslikavanje lomom

Zakon loma na sfernoj granici

• promotrimo dva prozirna

sredstva koja imaju

indekse loma n1 i n2

• Granica između ta dva

sredstva je sferna površina

radijusa R

• paraksijalne zrake izlaze iz

točkastog predmeta u točki

O u mediju indeksa loma

n1

Zakon loma na sfernoj granici

p: udaljenost predmet-sferna granica

l: udaljenost slika-sferna granica

U Gaussovoj aproksimaciji kutevi su

mali (paraksijalne zrake), vrijedi da je

sinα≈α i tgα≈α

00

00

180180

180180

CAL

PAC

l

htg

R

htg

p

htg

nn

nn

)()( 21

21

R

nn

l

n

p

n

Rn

Rn

ln

pn

l

h

R

hn

R

h

p

hn

12211221

21

1111

)()(

sinsin___ 21 nnlomazakonSnellov

4

Uvodimo oznake: linearno povećanje

a udaljenost predmeta do leće

b udaljenost slike do leće

R polumjer zakrivljenosti

R

nn

b

n

a

n 1221 Zakon loma na sfernoj granici

Predmetna žarišna duljina (predmet je

u žarištu, slika u ∞)

Slikovna žarišna duljina (slika je

u žarištu, predmet u ∞)

1

12

2

12

1

b

f

a

f

Rnn

nf

Rnn

nf

ba

b

a

a

b

n

nM

2

1

Leće

• Leće se obično koriste za dobivanje slike

pomoću loma

• Leće se koriste u optičkim instrumentima kao

što su npr.:

– Fotoaparati

– Teleskopi

– Mikroskopi

6

Anatomija leća

Ako staklo ili drugi transparentni materijal poprima odgovarajući oblik, moguće

je da će paralelni snop ulaznih zraka ili konvergirati u točku ili se činiti da

divergira iz točke. Staklo ili drugi transparentni materijal koji ima takav oblik

naziva se leća.

Set prizmi (i jedna planparalelna ploča) djeluje kao konvergentna ili

divergentna leća

7

Leća

Leća je prozirno optičko tijelo omeđeno dvjema poliranim površinama koje

mogu biti ili obje zakrivljene, ili je jedna zakrivljena a druga ravna. Ako su

površine sferne, govorimo o sfernim lećama. Ako je udaljenost između

tjemena sfernih granica malena, govorimo o tankoj leći.

divergentnebikonkavna plankonkavna divergentni menisk

konvergentnebikonveksna plankonveksna konvergentni menisk

Zakon loma na 2 sferna dioptra

• Pretpostavimo da je ispred leće sredstvo indeksa loma n1, da je leća

indeksa loma n2, a iza leće sredstvo indeksa loma n3.

• Budući da je leća sustav od dvije sferne granice, izvod zakona loma

svjetlosti se promatra prvo na granici polumjera zakrivljenosti R1, a zatim

na sfernoj granici polumjera zakrivljenosti R2.

• Svjetlo koje prolazi kroz leću lomi se na dvije površine

• Slika dobivena lomom na jednoj sfernoj plohi služi kao predmet za lom

na drugoj sfernoj plohi

• Znači, ako se leća indeksa loma n2 nalazi u dva optička sredstva

različtih indeksa lomova (n1 i n3) zakon loma poprima oblik (izvod je u

pdf dokumentu: zakon loma na 2 sferna dioptra)

2

23

1

1221

R

nn

R

nn

b

n

a

n

9

Predmetna žarišna duljina fa (predmet je u F):

Slikovna žarišna duljina fb (slika je u F):

Dijeljenjem ova dva izraza dobivamo:

Uvrstivši u zakon loma kroz tanku leću slijedi:

1

1

3

231122

213

231122

211

b

f

a

f

n

n

f

f

nnRnnR

RRnf

nnRnnR

RRnf

ba

a

b

b

a

10

U praksi je dosta često ispunjen uvjet da je n1=n3, tj. da se leća nalazi u

homogenom sredstvu jednog indeksa loma, npr. u vodi. U tom slučaju

zakon loma ima jednostavniji oblik:

Slikovna i predmetna žarišna duljina fb i fa tanke leće u tom slučaju su

jednake. Recipročna vrijednost žarišne duljine ima oblik:

Zakon loma svjetlosti kroz tanku leću (uz navedeni izraz za f):

fbab

f

a

f

RRn

nn

f

RRn

nn

ba

1111

111

1111

211

12

211

12

Preslikavanje na leći (2 sferna dioptra) koja je u zraku

• Leća ima indeks loma n i dvije

sferne površine polumjera R1 i

R2 i nalazi se u zraku

– R1 je radijus zakrivljenosti

prve sferne površine leće (do

predmeta)

– R2 je radijus zakrivljenosti

druge sferne površine

• predmet se nalazi u točki O, na

udaljenosti p1 ispred prve sferne

površine leće

Površina 1 Površina 2

Lociranje slike dobivene lećom, slika na

prvoj sfernoj plohi

• Imamo sliku koja se formira lomom na površini 1

• Budući da je leća je okružena zrakom, n1 = 1 i

• Ako je slika zbog površine 1 virtualna, q1 je negativan, a ako je q1 pozitivno

slika je realna

1 2 2 1

1 1 1

1 1n n n n n n

p q R p q R

Površina 1Površina 2

Lociranje slike dobivene lećom, slika na

drugoj sfernoj plohi

• Za površinu 2, n1 = n i n2 = 1

– Zrake svjetlosti koje dolaze na površinu 2 su u leći i lome se u zrak

• Koristite p2 za udaljenost predmeta za površinu 2 i q2 za udaljenost slike

1 2 2 1

2 2 2

1 1n n n n n n

p q R p q R

Slika dobivena debelom lećom

• Ako se virtualna slika formira na površini 1, → p2 = - q1 + t

– q1 je negativan

– t je debljina leće

• Ako je formirana slika na površini 1 realna, → p2 = - q1 + t

– q1 je pozitivno

• Tada

1 2 1 2

1 1 1 11n

p q R R

Slika dobivena tankom lećom

• Tanka leća je ona čija je debljina mala u

odnosu na polumjer zakrivljenosti

• Za tanke leće, debljina, t, se može zanemariti

• U ovom slučaju, p2 = -q1 za bilo vrstu slike

• Onda indeksi od p1 i q2 mogu biti ispušteni

Jednadžba konjugacije za tanke leće

• Žarišna duljina tanke leće je udaljenost slike koja

odgovara beskonačnoj udaljenosti predmeta (kao i za

sferna ogledala)

• Jednadžba konjugacije leće (lens makers’ equation),

ako se leća nalazi u zraku

1 2

1 1 1 1 11n

p q R R ƒ

( )

Jednadžba konjugacije za tanke leće

• Odnos između žarišne duljine, udaljenosti

predmeta i udaljenosti slike je isti kao i za

sferna zrcala

1 1 1

p q ƒ

Napomene o žarišnoj duljini i žarištu

tanke leće

• Budući da svjetlo može putovati u oba smjera kroz

leću, svaka leća ima dva žarišta

– Jedno žarište je za prolaz svjetlosti u jednom

smjeru kroz leću a drugo je za prolaz u suprotnom

smjeru

• Međutim, postoji samo jedna žarišna udaljenost (ako

se leća nalazi u istom sredstvu)

• Svaka žarišna točka se nalazi istoj udaljenosti od leće

(ako se leća nalazi u istom sredstvu)

Žarišna duljina konvergentne leće

• Paralelne zrake prolaze kroz leću i konvergiraju u žarište

• Paralelne zrake mogu doći s lijeve ili desne strane leće

(f1=f2=f samo ako se leća nalazi u jednom optičkom sredstvu)

Žarišna duljina divergentne leće

• Paralelne zrake se razilaze nakon prolaska kroz divergentnu

leću

• Žarište je točka u kojoj izgleda kao da zrake iz te točke izlaze

(f<0) (f1=f2=f samo ako se leća nalazi u jednom optičkom

sredstvu)

•

21

Konvencije

p je pozitivno ako se predmet se nalazi ispred leće (realni

predmet).

p je negativan ako je predmet iza leće (virtualni predmet).

q je pozitivno ako se slika nalazi iza leće (realna sliku).

q je negativno ako se slika nalazi se ispred leće (virtualna

slika).

R1 i R2 su pozitivni ako je centar zakrivljenosti iza leće.

R1 i R2 su negativni ako je centar zakrivljenosti ispred

leće.

f je pozitivno ako je leća je konvergentna.

f je negativno ako je leća divergentna.

22

Konvencije vezane uz predmet

a

predmet je REALAN

kad zrake divergiraju izlazeći

iz predmeta:

a > 0

Predmet je VIRTUALAN

kad zrake konvergiraju

prema predmetu:

a < 0

obično samo kod kombinacija lećaa

glavne zrake

23

Konvencije vezane uz sliku

b

slika je REALNA

kad zrake konvergiraju :

b > 0

slika je VIRTUALNA kad

zrake divergiraju:

b< 0b

zrake se fokusiraju na sliku

24

Konvencije vezane uz radijus zakrivljenosti

R1

R2

R1

R2

R > 0 kad svjetlost dolazi s desna

R < 0 kad svjetlost dolazi s lijeva

R1 > 0

R2 < 0

R1 < 0

R2 >0

25

Konvencije vezane uz žarišnu udaljenost

f

KONVERGENTNA

zrake konvergiraju:

f > 0

DIVERGENTNA

zrake divergiraju:

f < 0

f

f fzrake dolaze iz

26

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/82/Large_convex_lens.jpg

Konvergentne leće

27

Divergentne leće

http://en.wikipedia.org/wiki/File:Concave_lens.jpg

28

Uobičajene vrste leća

plan - konveksna

f > 0f > 0

bi-konveksna

bi-konkavna

f < 0f < 0

plan - konkavna

• simetrična leća -

poništava neke aberacije

• povećava f sistema

• simetrična leća - poništava

neke aberacije

• Fokusira - pojačava

svjetlo

• tvori realne ili

virtualne slike

• širi svjetlost

• tvori realne (kada?)

ili virtualne slike

29

Leće koje se često koriste

meniskus

f > 0

f > 0 ili f < 0

cilindrična

ball

f > 0

graded index

(GRIN)

• koristi se kada je potrebno

povećanje u samo jednoj

dimenziji (pukotine, itd.)

• kolimira širokokutni izlaz

(diodni laser, optička

vlakna)

• lako poravnanje, visoka

učinkovitost optičkih

veza

• koristi se da promjeni f

sistema

• aplanatična leća: ne

pokazuje sferne aberacije

• lako ispravlja aberacije

• koristi se kod laser diode

coupling

f > 0 ili f < 0

30

jednadžba preslikavanja povezuje položaj predmeta, a, položaj slike, b,

i leću earišnu udaljenosti f relacijom:

Uočimo: matematička krivulja koja opisuje jednadžbu preslikavanja

tanke leće je istostrana hiperbola sa osima žarišnih udaljenosti, slika

koja slijedi. Desna strana jednadžbe je recipročna vrijednost žarišne

udaljenosti,f, koja predstavlja jakost optičkog sistema,J:

fba

111

dptmf

J)(

1

Tanke leće

31

Žarišna udaljenost povezana je geometrijom leće i optičkim

sredstvom relacijom, za leće koje su u zraku:

21

111

1

rrn

f

Žarišna udaljenost za leću koja se nalazi u nekom sredstvu indeksa

loma n´(s obje strane) relacija je:

21

11´1

rrn

nn

f

Za obje vrste leća, leća u zraku i leća uronjena u neko (jedinstveno)

sredstvo, može se pokazati: , što znači da su žarišne

udaljenosti slike, f´, i predmeta, f, jednake.

´ff

32

Linearno povećanje definirano je kao omjer veličine slike, y´, i predmeta, y:

gdje su zadnja dva izraza izvedena iz preslikavanja. Ti izrazi pokazuju da povećanja ovise o optičkom sistemu, f, poziciji predmeta u odnosu na leću, a, o kojoj je ovisna i pozicija slike, b.

Predznaci optičkih veličina: a, b i f definirani su u fizikalnoj konvenciji optičkih veličina procesa preslikavanja; vježbe iz fizike !

af

f

a

b

y

yp

33

34

Prikaz preslikavanja na

konvergentnoj leći za sve

položaje predmeta:

a (-,0,+)

i pripadne položaje slike:

b (f´,+,-,0,f´).

Napomena:

U prikazu je korištena

matematička konvencija o

predznacima optičkih

veličina (lijevo od

ishodišta koordinatnog

sustava veličine su

negativne, desno su

pozitivne) podrazumijeva

oblik jednadžbe

konjugacije:

fba

111

35

Prikaz preslikavanja na

divergentnoj leći za sve položaje

predmeta:

a (-,0,+)

i pripadne položaje slike:

b (-f´,0,+,-,-f´)

Napomena:

U prikazu je korištena

matematička konvencija o

predznacima optičkih veličina

(lijevo od ishodišta koordinatnog

sustava veličine su negativne,

desno su pozitivne)

podrazumijeva oblik jednadžbe

konjugacije:

fba

111

geometrijska optika; preslikavanje na lećama

+ leća ili konvergentna leća

Predmet je u ;

paralelan snop zraka

svjetlosti nailazi na leću.

Slika je u točki koja se zove

žarište slike, F´, za sabirnu

leću to žarište je realno.P=F´F

optička os, o

S

37

)1

(1

111

,

dioptrijametarf

J

a

b

y

y

fba

Za konstrukciju slike koristimo tri karakteristične zrake.

• Zraka 1 putuje od predmeta paralelno s optičkom osi i lomi se tako da

prolazi kroz žarište (fokus) F.

• Zraka 2 putuje od predmeta prolazeći kroz žarište, a nakon loma širi se

paralelno s optičkom osi.

• Zraka 3 prolazi kroz središte i ne mijenja smjer.

http://eskola.hfd.hr/inter_fizika/proba/NOV@/salata/klupa.htm

Image Formation by Convex Lens

Convex Lens, focal length = 5 cm:

1 1 15 9f cm s cm s

s f s

m s s

F

F

ho

hi

RI

Image Formation by Concave Lens

Concave Lens, focal length = -5 cm:

1 1 15 9f cm s cm s

s f s

m s s

FF

hohi

VI

Image Formation by Thin Lenses

Conve

x Lens

Concave

Lens

sm

s

41

F´

Foptička os, o 2F

1

2=2´

1´

P

S

geometrijska optika; preslikavanje na lećama

+ leća Predmet se nalazi u dvostrukoj žarišnoj udaljenosti; a = 2f.

Slika je realna, jednake veličine, obrnuta i nalazi se također

na udaljenosti a=2f, ali s druge strane leće.

Predmet se približava...

Slika se udaljava...

zastor, ekran,

(projekcija)

42

geometrijska optika; preslikavanje na lećama

+ leća

F´

Foptička os, o

2F

1

2=2´

1´

P

S

Predmet je između F i 2F; 2f>a>f.

Slika je realna (lomljene zrake se sijeku), uvećana i

nalazi se izvan 2F´.

Slika se

udaljava...Predmet se

približava...

zastor, ekran,

(projekcija)

43

geometrijska optika; preslikavanje na lećama

+ leća Predmet je u žarištu predmeta, F; a=f.

Slika je u beskonačnosti; b; lomljene zrake se ne

sijeku, ni realno niti imaginarno.

F´

Foptička os, o

2F

1

2=2´

1´

P

44

geometrijska optika; preslikavanje na lećama

+ leća Predmet je između žarišta predmeta i centra leće,0; a<f.

Slika je virtualna, uspravna i uvećana; lomljene zrake se ne sijeku, zato se sijeku njihovi produžeci.

F´

Foptička os, o

2F

1

2=2´

1´

P

S

Slika se promatra kroz optički sustav(leću)

Image Formation Summary Table

Preslikavanje na ravnom dioptru (lom svjetlosti)

Zakon loma na ravnoj granici ( )

46

021 b

n

a

n

R

R

47

Pogreške kod leća

Uvjeti u kojima nastaju pogreške:

• debele leće; zaobljeni sistemi (rkonačno)

• široki snop svjetlosti se koristi kod preslikavanja,

( 0 )

Gore navedeni uvjeti se realno koriste u radu optičkih instrumenata; oni dovode do pogrešaka u preslikavanju, koje moramo upoznati i znati kako se ispravljaju.

48

Vrste pogrešaka:

A) Sferna aberacija; uzrokovana konačnom (najčešće velikom) zaobljenošću leća. Pretpostavka: na optičke sustave nailazi monokromatska svjetlost

B) Kromatska aberacija; uzrokovana ulaskom vidljive svjetlosti i nastajanjem disperzije svjetlosti na optičkim sustavima.

Obje vrste pogrešaka uklanjaju se sustavima leća koje zadovoljavaju uvjete koje se približavaju jednoznačnom

preslikavanju.

49

Sferna aberacija kod leća

Pri izvođenju zakona za lom svjetlosti kroz tanku leće uzimaju se u obzir zrake koje

zadovoljavaju Gaussovu aproksimaciju.

Međutim, treba promotriti slučaj širokog snopa upadnih zraka svjetlosti. Tada zrake

padaju na veliku površinu leće, upadni kutovi su različiti i dobivena slika nije oštra.

Na primjeru bikonveksne leće: zrake svjetlosti koje padaju na leću dalje od optičke

osi lome se jače i formiraju sliku bliže leći. Ta greška se naziva sferna aberacija.

50

Sferna aberacija

Širok paralelan snop zraka svjetlosti nailazi na debelu

leću; sve zrake se nakon loma ne sastaju u žarištu slike

nego stvaraju više žarišta. Pogrešku mjerimo:

-duž optičke osi (longitudinalna sferna aberacija)

-okomito na optičku os (transverzalna sferna aberacija)

51

Kromatska aberacija

Pogreška koja se javlja prolazom vidljive svjetlosti kroz leću u procesu preslikavanja; uzrok pogreške je disperzija svjetlosti.

Slike koje nastaju radi te pogreške su obojene onom bojom čiji lom je dominantan u ravnini u kojoj promatramo sliku.