Operator kutne koliˇ cine gibanja Operator kutne koliˇ cine gibanja Quantum mechanics 1 - Lecture 9 Igor Lukaˇ cevi´ c UJJS, Dept. of Physics, Osijek 2. svibnja 2013. Igor Lukaˇ cevi´ c Operator kutne koliˇ cine gibanja
Operator kutne kolicine gibanja
Operator kutne kolicine gibanjaQuantum mechanics 1 - Lecture 9
Igor Lukacevic
UJJS, Dept. of Physics, Osijek
2. svibnja 2013.
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
Operator kutne kolicine gibanja
Contents
1 Osnovna svojstva
2 Svojstvene vrijednosti operatora kutne kolicine gibanjaRotacijski spektar dvoatomne molekule
3 Svojstvene funkcije operatora kutne kolicine gibanjaOperator L u sfernim koordinatamaKutna jednadzba za ϕKutna jednadzba za ϑSferni harmonici
4 Kutna kolicina gibanja vise cesticaDvije cesticeVise cestica
5 Literature
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
Operator kutne kolicine gibanja
Osnovna svojstva
Contents
1 Osnovna svojstva
2 Svojstvene vrijednosti operatora kutne kolicine gibanjaRotacijski spektar dvoatomne molekule
3 Svojstvene funkcije operatora kutne kolicine gibanjaOperator L u sfernim koordinatamaKutna jednadzba za ϕKutna jednadzba za ϑSferni harmonici
4 Kutna kolicina gibanja vise cesticaDvije cesticeVise cestica
5 Literature
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
Operator kutne kolicine gibanja
Osnovna svojstva
Kartezijeve komponente
Klasicna mehanika
Sto nije bas najbolje prikazano naovoj slicici?
Kvantna mehanika
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
Operator kutne kolicine gibanja
Osnovna svojstva
Kartezijeve komponente
L = r × p =
Lx = ypz − ypy
Ly = zpx − xpz
Lz = xpy − ypx
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
Operator kutne kolicine gibanja
Osnovna svojstva
Kartezijeve komponente
L = r × p =
Lx = ypz − ypyQM −i~
(y ∂∂z− z ∂
∂y
)Ly = zpx − xpz
QM −i~
(z ∂∂x− x ∂
∂z
)Lz = xpy − ypx
QM −i~
(x ∂∂y− y ∂
∂x
)
= −i~r ×∇
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
Operator kutne kolicine gibanja
Osnovna svojstva
Relacije komutacije
[r, p] = i~ ⇒
[Ly , Lz ] = i~Lx
[Lz , Lx ] = i~Ly
[Lx , Ly ] = i~Lz
⇔ i~L = L× L =
∣∣∣∣∣ex ey ez
Lx Ly Lz
Lx Ly Lz
∣∣∣∣∣
Pitanje
Mozete li naci motivaciju zasto proucavamo komutacijske relacije izmedukomponenti operatora L?
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
Operator kutne kolicine gibanja
Osnovna svojstva
Relacije komutacije
[r, p] = i~ ⇒
[Ly , Lz ] = i~Lx
[Lz , Lx ] = i~Ly
[Lx , Ly ] = i~Lz
⇔ i~L = L× L =
∣∣∣∣∣ex ey ez
Lx Ly Lz
Lx Ly Lz
∣∣∣∣∣
Pitanje
Mozete li naci motivaciju zasto proucavamo komutacijske relacije izmedukomponenti operatora L?
Ako operatori komutiraju, onda imaju zajednicki skup svojstvenih funkcija.
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
Operator kutne kolicine gibanja
Osnovna svojstva
Relacije komutacije
Primjer 1.
Neka je neko stanje istovremeno svojstvena funkcija od Lx i Ly . Pokazite datom stanju onda pripada svojstvena vrijednost Lx = Ly = Lz = 0.
ϕ
Lxϕ = Lxϕ
Lyϕ = Lyϕ
⇒[Lx , Ly
]= 0
⇒ 0 =[Lx , Ly
]ϕ = i~Lzϕ⇒ Lzϕ = 0 · ϕ ⇒ Lz = 0
⇒ ϕ je “nul-svojstvena funkcija” od Lz
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
Operator kutne kolicine gibanja
Osnovna svojstva
Relacije komutacije
Primjer 1.
Neka je neko stanje istovremeno svojstvena funkcija od Lx i Ly . Pokazite datom stanju onda pripada svojstvena vrijednost Lx = Ly = Lz = 0.
Robertson-Schrodingerova relacija (dokaz u ref. [1]):
[A,B] = iC ⇒ ∆A∆B ≥ 1
2|〈C〉|
[Lx , Lz ] = −i~Ly ⇒ 0?= ∆Lx∆Lz ≥
~2|〈Ly 〉|
⇒ 〈Ly 〉 = Ly = 0
DZ⇒ 〈Lx〉 = Lx = 0
Nijedno stanje ne moze istovremeno biti svojstvena funkcija bilo koje dvijekomponente operatora L. Ako je, onda je to “nul-svojstvena funkcija”.
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
Operator kutne kolicine gibanja
Osnovna svojstva
Relacije komutacije
DZ
Dokazite da su Lx i L2 Hermitski operatori.
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
Operator kutne kolicine gibanja
Osnovna svojstva
Relacije komutacije
promotrimo operator L2
L2 = L2x + L2
y + L2z
[Lz , L2] = [Lz , L
2x + L2
y + L2z ] = [Lz , L
2x ] + [Lz , L
2y ] + [Lz , L
2z ]︸ ︷︷ ︸
=0
= Lx [Lz , Lx ] + [Lz , Lx ]Lx + Ly [Lz , Ly ] + [Lz , Ly ]Ly
= i~[LxLy + LyLx − LyLx − LxLy ]
= 0
slicno za ostale ⇒ [Li , L2] = 0
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
Operator kutne kolicine gibanja
Osnovna svojstva
Relacije komutacije
Bilo koja komponenta operatora L ima zajednicke svojstvene funkcije s L2.
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene vrijednosti operatora kutne kolicine gibanja
Contents
1 Osnovna svojstva
2 Svojstvene vrijednosti operatora kutne kolicine gibanjaRotacijski spektar dvoatomne molekule
3 Svojstvene funkcije operatora kutne kolicine gibanjaOperator L u sfernim koordinatamaKutna jednadzba za ϕKutna jednadzba za ϑSferni harmonici
4 Kutna kolicina gibanja vise cesticaDvije cesticeVise cestica
5 Literature
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene vrijednosti operatora kutne kolicine gibanja
Kutna kolicina gibanja - J = L,S,L + S
Orbitalna - L Spinska - S
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene vrijednosti operatora kutne kolicine gibanja
Analogno kao za L
[Jx , Jy ] = i~Jz[Jy , Jz ] = i~Jx[Jz , Jx ] = i~Jy
J2 = J2x + J2
y + J2z
[Jx , J2] = [Jy , J
2] = [Jz , J2] = 0
∆Jx∆Jy ≥~2
∣∣〈Jz〉∣∣
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene vrijednosti operatora kutne kolicine gibanja
Operatori stvaranja i ponistavanja
Definicija operatora stvaranja i ponistavanja
J+ = Jx + iJy (1)
J− = Jx − iJy = J†+ (2)
Neka svojstva (dokazati za DZ - pomoc u ref. [1,2])
[Jz , J±] = ±~J± (3)
[J2, J±] = 0 (4)
J2 = J∓J± + J2z ± ~Jz (5)
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene vrijednosti operatora kutne kolicine gibanja
Operatori stvaranja i ponistavanja
pretpostavka: ϕm svojstvena funkcija od Jz sa svojstvenomvrijednoscu ~m
Jzϕm = ~mϕm , m =?
promotrimo
JzJ+ϕm(3)= (~J+ + J+Jz)ϕm = (~J+ + J+~m)ϕm
Jz(J+ϕm) = ~(m + 1)(J+ϕm)
⇒ J+ϕm svojstvena funkcija od Jz sa svojstvenom vrijednoscu ~(m + 1)
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene vrijednosti operatora kutne kolicine gibanja
Operatori stvaranja i ponistavanja
J+ϕm = ϕm+1
J+(J+ϕm) = J+ϕm+1 = ϕm+2
J−ϕm = ϕm−1
J−ϕm−1 = ϕm−2
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene vrijednosti operatora kutne kolicine gibanja
Operatori stvaranja i ponistavanja
[J2, Jz ] = 0 ⇒ pretpostavka: ϕm svojstvena funkcija od J2 sasvojstvenom vrijednoscu ~2K 2
J2ϕm = ~2K 2ϕm , K =?
promotrimo
J2(J+ϕm)(4)= J+(J2ϕm) = ~2K 2(J+ϕm)
⇒ J+ϕm = ϕm+a svojstvena funkcija od J2 sa svojstvenom vrijednoscu~2K 2
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene vrijednosti operatora kutne kolicine gibanja
Operatori stvaranja i ponistavanja
Jz
J2
ϕm±n
~m
~2K 2
Pitanje
Koliko ima svojstvenih funkcija ϕm±n?
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene vrijednosti operatora kutne kolicine gibanja
Operatori stvaranja i ponistavanja
Jz
J2
ϕm±n
~m
~2K 2
Pitanje
Koliko ima svojstvenih funkcija ϕm±n?
〈J2〉 = ~2K 2 = 〈J2x 〉+ 〈J2
y 〉+ 〈J2z 〉
~2K 2 = 〈J2x 〉+ 〈J2
y 〉+ ~2m2
J2i
DZ
≥ 0 ⇒ ~2K 2 ≥ ~2m2
|K | ≥ |m| ⇒ ∀K > 0 , −K ≤ m ≤ K
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene vrijednosti operatora kutne kolicine gibanja
Operatori stvaranja i ponistavanja
mmax ⇒ J+ϕmmax = 0
⇒
J2ϕmmax = ~2K 2ϕmmax
(5)= J2
zϕmmax + ~Jzϕmmax
~2K 2 = ~2mmax(mmax + 1)
mmin ⇒ J−ϕmmin = 0
⇒
J2ϕmmin = ~2K 2ϕmmin
(5)= J2
zϕmmin − ~Jzϕmmin
~2K 2 = ~2mmin(mmin − 1)
⇒ mmax(mmax + 1) = mmin(mmin − 1) ⇒ mmax = −mmin
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene vrijednosti operatora kutne kolicine gibanja
Operatori stvaranja i ponistavanja
m su simetricno nizani oko m = 0 za dani K
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene vrijednosti operatora kutne kolicine gibanja
Operatori stvaranja i ponistavanja
j ≡ mmax = −mmin ⇒ ~2K 2 = ~2j(j + 1)
Svojstvene vrijednosti operatora J iL
J2 = ~2j(j + 1) , j = 0, 1, 2, . . .
Jz = ~mj , mj = −j , . . . , +j
L2 = ~2l(l + 1) , l = 0, 1, 2, . . .
Lz = ~ml , ml = −l , . . . , +l
Degeneracija stanja
∀l ⇒ (2l + 1) m − ova
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene vrijednosti operatora kutne kolicine gibanja
Operatori stvaranja i ponistavanja
j ≡ mmax = −mmin ⇒ ~2K 2 = ~2j(j + 1)
Svojstvene vrijednosti operatora J iL
J2 = ~2j(j + 1) , j = 0, 1, 2, . . .
Jz = ~mj , mj = −j , . . . , +j
L2 = ~2l(l + 1) , l = 0, 1, 2, . . .
Lz = ~ml , ml = −l , . . . , +l
Degeneracija stanja
∀l ⇒ (2l + 1) m − ova
Kvantni brojevi
l orbitalni kvantni broj
m magnetski kvantni broj
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene vrijednosti operatora kutne kolicine gibanja
Operatori stvaranja i ponistavanja
Primjer 2.
Kvantni kotac rotira u izoliranom sustavu. Mjerimo kutnu kolicinu gibanja daiznosi L2 = 30~2.
1 Odredite pripadajuci l .
2 Koju vrijednost za Lz bi dalo slijedece mjerenje?
3 Kolika je degeneracija stanja kotaca?
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene vrijednosti operatora kutne kolicine gibanja
Operatori stvaranja i ponistavanja
Primjer 2.
Kvantni kotac rotira u izoliranom sustavu. Mjerimo kutnu kolicinu gibanja daiznosi L2 = 30~2.
1 Odredite pripadajuci l .
2 Koju vrijednost za Lz bi dalo slijedece mjerenje?
3 Kolika je degeneracija stanja kotaca?
1 L2 = ~2l(l + 1) = 30~2 ⇒ l(l + 1) = 30 ⇒ l = 5
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene vrijednosti operatora kutne kolicine gibanja
Operatori stvaranja i ponistavanja
Primjer 2.
Kvantni kotac rotira u izoliranom sustavu. Mjerimo kutnu kolicinu gibanja daiznosi L2 = 30~2.
1 Odredite pripadajuci l .
2 Koju vrijednost za Lz bi dalo slijedece mjerenje?
3 Kolika je degeneracija stanja kotaca?
1 L2 = ~2l(l + 1) = 30~2 ⇒ l(l + 1) = 30 ⇒ l = 5
2 Mjerenje L2 ostavlja kotac u svojstvenom stanju od L2. Lz i L2 imajuzajednicka svojstvena stanja.
l = 5 ⇒ m = −5 , . . . , +5 ⇒ lz = −5~ , . . . , +5~
Npr. neka mjerenje da Lz = 3~. Tada kotac ostaje u stanju ϕ53.
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene vrijednosti operatora kutne kolicine gibanja
Operatori stvaranja i ponistavanja
Primjer 2.
Kvantni kotac rotira u izoliranom sustavu. Mjerimo kutnu kolicinu gibanja daiznosi L2 = 30~2.
1 Odredite pripadajuci l .
2 Koju vrijednost za Lz bi dalo slijedece mjerenje?
3 Kolika je degeneracija stanja kotaca?
3 l = 5 ⇒ (2l + 1) = 11
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene vrijednosti operatora kutne kolicine gibanja
Relacije neodredenosti
Pitanje
U pokusu smo mjerili L2 i npr. Lz , te dobili vrijednosti L2 = 56~2 i Lz = 3~.Zatim mjerimo Lx , te dobijemo vrijednost Lx = 5~. Sto se dogada sa stanjemsustava? Sto se dogada s informacijom o Lz?
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene vrijednosti operatora kutne kolicine gibanja
Relacije neodredenosti
Pitanje
U pokusu smo mjerili L2 i npr. Lz , te dobili vrijednosti L2 = 56~2 i Lz = 3~.Zatim mjerimo Lx , te dobijemo vrijednost Lx = 5~. Sto se dogada sa stanjemsustava? Sto se dogada s informacijom o Lz?
funkcija stanja nije vise zajednicka svojstvena funkcija L2 i Lz , nego od L2 iLx
informacije o rezultatu mjerenja Lz (i Ly ) postaju vise neodredene
∆Ly∆Lz ≥~2|〈Lx〉| =
~Lx
2=
5~2
2
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene vrijednosti operatora kutne kolicine gibanja
Relacije neodredenosti
Pitanje
Da li si mozete predociti stanja rotacije kvantnog kotaca u kojemu ostajuocuvane vrijednosti od L2 i Lz?
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene vrijednosti operatora kutne kolicine gibanja
Relacije neodredenosti
Pitanje
Da li si mozete predociti stanja rotacije kvantnog kotaca u kojemu ostajuocuvane vrijednosti od L2 i Lz?
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene vrijednosti operatora kutne kolicine gibanja
Relacije neodredenosti
Pitanje
Da li si mozete predociti stanja rotacije kvantnog kotaca u kojemu ostajuocuvane vrijednosti od L2 i Lz?
za dane l i m, vektor L jejednoliko razmazan po plastustosca vrsnog kuta
θ = cos−1 m√l(l + 1)
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene vrijednosti operatora kutne kolicine gibanja
Relacije neodredenosti
Primjer 3.
Kako izgledaju L i Lz za l = 2?
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene vrijednosti operatora kutne kolicine gibanja
Relacije neodredenosti
Primjer 3.
Kako izgledaju L i Lz za l = 2?
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene vrijednosti operatora kutne kolicine gibanja
Relacije neodredenosti
Pitanje
Da li L moze biti poravnan s Lz , tj. θ = 0?
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene vrijednosti operatora kutne kolicine gibanja
Relacije neodredenosti
Pitanje
Da li L moze biti poravnan s Lz , tj. θ = 0?
Ne L = ~√
l(l + 1) ⇒ Lmaxz = ~l ⇒ l <
√l(l + 1) ⇒ θ > 0 , ∀l ,m
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene vrijednosti operatora kutne kolicine gibanja
Relacije neodredenosti
Primjer 4.
U mnostvu nezavisnih kvantnih kotaca se mjeri kut φ izmedu L i x-osi. Svikotaci imaju kutnu kolicinu gibanja L = ~
√56. Koliki se najmanji moguci kut φ
moze mjeriti?
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene vrijednosti operatora kutne kolicine gibanja
Relacije neodredenosti
Primjer 4.
U mnostvu nezavisnih kvantnih kotaca se mjeri kut φ izmedu L i x-osi. Svikotaci imaju kutnu kolicinu gibanja L = ~
√56. Koliki se najmanji moguci kut φ
moze mjeriti?
L = ~√
l(l + 1) = ~√
56 ⇒ l(l + 1) = 56 ⇒ l = 7 ⇒ m = −7 , . . . , 7
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene vrijednosti operatora kutne kolicine gibanja
Relacije neodredenosti
Primjer 4.
U mnostvu nezavisnih kvantnih kotaca se mjeri kut φ izmedu L i x-osi. Svikotaci imaju kutnu kolicinu gibanja L = ~
√56. Koliki se najmanji moguci kut φ
moze mjeriti?
L = ~√
l(l + 1) = ~√
56 ⇒ l(l + 1) = 56 ⇒ l = 7 ⇒ m = −7 , . . . , 7
φxmin = φz
max ⇒ m = 1
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene vrijednosti operatora kutne kolicine gibanja
Relacije neodredenosti
Primjer 4.
U mnostvu nezavisnih kvantnih kotaca se mjeri kut φ izmedu L i x-osi. Svikotaci imaju kutnu kolicinu gibanja L = ~
√56. Koliki se najmanji moguci kut φ
moze mjeriti?
L = ~√
l(l + 1) = ~√
56 ⇒ l(l + 1) = 56 ⇒ l = 7 ⇒ m = −7 , . . . , 7
φxmin = φz
max ⇒ m = 1
⇒ φzmax = cos−1 1√
7(7 + 1)
= 82.32
⇒ φxmin = 7.68
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene vrijednosti operatora kutne kolicine gibanja
Rotacijski spektar dvoatomne molekule
I = 2Ma2
EDZ=
L2
2I
⇒ H =L2
2I
S .J. ⇒ Hϕ =
(L2
2I
)ϕ = Eϕ
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene vrijednosti operatora kutne kolicine gibanja
Rotacijski spektar dvoatomne molekule
I = 2Ma2
EDZ=
L2
2I
⇒ H =L2
2I
S .J. ⇒ Hϕ =
(L2
2I
)ϕ = Eϕ
⇒
(L2
2I
)ϕlm = Eϕlm
⇒ El =~2l(l + 1)
2I
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene vrijednosti operatora kutne kolicine gibanja
Rotacijski spektar dvoatomne molekule
I = 2Ma2
EDZ=
L2
2I
⇒ H =L2
2I
S .J. ⇒ Hϕ =
(L2
2I
)ϕ = Eϕ
⇒
(L2
2I
)ϕlm = Eϕlm
⇒ El =~2l(l + 1)
2I
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene vrijednosti operatora kutne kolicine gibanja
Rotacijski spektar dvoatomne molekule
Primjer 5.
Izracunajte frekvenciju fotona (u cm−1) emitiranog pri prijelazu molekule CO izrotacijskog stanja s l = 16 u stanje s l = 15.
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene vrijednosti operatora kutne kolicine gibanja
Rotacijski spektar dvoatomne molekule
Primjer 5.
Izracunajte frekvenciju fotona (u cm−1) emitiranog pri prijelazu molekule CO(a = 1.13 · 10−10 m, mc = 2.0091 · 10−26 kg, mo = 2.678768 · 10−26 kg) izrotacijskog stanja s l = 16 u stanje s l = 15.
I = µa2 =mcmo
mc + moa2 = 1.46588 · 10−46 kgm2
El =~2l(l + 1)
2I;
~2
2I= 3.79 · 10−23 J = 1.91 cm−1
ν15→ 14 = E15 − E14 ≈ 61 cm−1
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene vrijednosti operatora kutne kolicine gibanja
Rotacijski spektar dvoatomne molekule
Primjer 5.
Izracunajte frekvenciju fotona (u cm−1) emitiranog pri prijelazu molekule CO(a = 1.13 · 10−10 m, mc = 2.0091 · 10−26 kg, mo = 2.678768 · 10−26 kg) izrotacijskog stanja s l = 16 u stanje s l = 15.
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene vrijednosti operatora kutne kolicine gibanja
Rotacijski spektar dvoatomne molekule
DZ
Dokazite da je frekvencija fotona emitiranog/apsorbiranog pri prijelazu izmedudva susjedna rotacijska stanja “krutog rotatora” momenta tromosti I dana s
~ω =
(~2
I
)(l + 1) ili
(~2
I
)l
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene funkcije operatora kutne kolicine gibanja
Contents
1 Osnovna svojstva
2 Svojstvene vrijednosti operatora kutne kolicine gibanjaRotacijski spektar dvoatomne molekule
3 Svojstvene funkcije operatora kutne kolicine gibanjaOperator L u sfernim koordinatamaKutna jednadzba za ϕKutna jednadzba za ϑSferni harmonici
4 Kutna kolicina gibanja vise cesticaDvije cesticeVise cestica
5 Literature
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene funkcije operatora kutne kolicine gibanja
Operator L u sfernim koordinatama
Cilj 99K rijesiti
L2ϕlm = ~2l(l + 1)ϕlm
Lzϕlm = ~mϕlm
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene funkcije operatora kutne kolicine gibanja
Operator L u sfernim koordinatama
Sferne koordinate (DZ)
x = r sinϑ cosϕ
y = r sinϑ sinϕ
z = r cosϑ
Lx = i~(
sinϕ∂
∂ϑ+ cotϑ cosϕ
∂
∂ϕ
)Ly = i~
(− cosϕ
∂
∂ϑ+ cotϑ sinϕ
∂
∂ϕ
)Lz = −i~ ∂
∂ϕ
L2 = −~2
[1
sinϑ
∂
∂ϑ
(sinϑ
∂
∂ϑ
)+
1
sin2 ϑ
∂2
∂ϕ2
]
L+ = ~e iϕ(i cotϑ
∂
∂ϕ+
∂
∂ϑ
)L− = ~e−iϕ
(i cotϑ
∂
∂ϕ− ∂
∂ϑ
)
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene funkcije operatora kutne kolicine gibanja
Kutna jednadzba za ϕ
L2 = L2(ϑ , ϕ)
Lz = Lz(ϑ , ϕ)
⇒ ϕlm Y ml (ϑ , ϕ)
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene funkcije operatora kutne kolicine gibanja
Kutna jednadzba za ϕ
Jednadzba za Lz
LzYml = ~mY m
l
⇒ −i~ ∂
∂ϕY m
l = ~mY ml
⇒
∂
∂ϕY m
l = imY ml
Y ml (ϑ , ϕ) = Φm(ϕ)Θm
l (ϑ)
DZ⇒ Φm(ϕ) = Ce imϕ
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene funkcije operatora kutne kolicine gibanja
Kutna jednadzba za ϕ
Pitanje
Kako glasi uvjet normiranja za Φm?
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene funkcije operatora kutne kolicine gibanja
Kutna jednadzba za ϕ
Normiranje Φm ∫ 2π
0
|Φm|2dϕ = 1
|C |2∫ 2π
0
e−imϕe imϕdϕ = 1
⇒ C =1√2π
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene funkcije operatora kutne kolicine gibanja
Kutna jednadzba za ϕ
Rubni uvjet (periodicnost) na Φm
Φ(ϕ) = Φ(ϕ+ 2π)
e imϕ = e im(ϕ+2π)
e im·2π = 1
⇒ m = 0 , ±1 , ±2 , . . .
m imaju vrijednosti cijelih brojeva - diskretne vrijednosti!
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene funkcije operatora kutne kolicine gibanja
Kutna jednadzba za ϕ
Rjesenja kutne jednadzbe za ϕ
Φm(ϕ) =1√2π
e imϕ , m = 0 , ±1 , ±2 , . . .
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene funkcije operatora kutne kolicine gibanja
Kutna jednadzba za ϑ
L2Y ml = ~2l(l + 1)Y m
l
Y ml =
1√2π
e imϕΘml (ϑ)
DZ⇒ 1
sinϑ
d
dϑ
(sinϑ
dΘ
dϑ
)+
[l(l + 1)− m2
sin2 ϑ
]= 0
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene funkcije operatora kutne kolicine gibanja
Kutna jednadzba za ϑ
L2Y ml = ~2l(l + 1)Y m
l
Y ml =
1√2π
e imϕΘml (ϑ)
DZ⇒ 1
sinϑ
d
dϑ
(sinϑ
dΘ
dϑ
)+
[l(l + 1)− m2
sin2 ϑ
]= 0
Supstitucija: µ = cosϑDZ⇒
d
dµ
[(1− µ2)
dΘ
dµ
]+
[l(l + 1)− m2
1− µ2
]Θ = 0
−1 ≤ µ ≤ 1
⇒ trazimo Θ(µ)
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene funkcije operatora kutne kolicine gibanja
Kutna jednadzba za ϑ
stavimo m = 0 i l(l + 1) = λ ⇒
Legendreova jednadzba [4]
d
dµ
[(1− µ2)
dΘl
dµ
]+ λΘl = 0 , Θ0
l = Θl
Pitanje
Mozete li iz usporedbe Legendreove jednadzbe s jednadzbom svojstvenihvrijednosti za L2
−~2
[1
sinϑ
∂
∂ϑ
(sinϑ
∂
∂ϑ
)+
1
sin2 ϑ
∂2
∂ϕ2
]Y m
l = ~2l(l + 1)Y ml
zakljuciti za koji operator je Legendreova jednadzba ustvari jednadzbasvojstvenih vrijednosti i s kojom svojstvenom vrijednoscu?
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene funkcije operatora kutne kolicine gibanja
Kutna jednadzba za ϑ
stavimo m = 0 i l(l + 1) = λ ⇒
Legendreova jednadzba [4]
d
dµ
[(1− µ2)
dΘl
dµ
]+ λΘl = 0 , Θ0
l = Θl
Pitanje
Mozete li iz usporedbe Legendreove jednadzbe s jednadzbom svojstvenihvrijednosti za L2
−~2
[1
sinϑ
∂
∂ϑ
(sinϑ
∂
∂ϑ
)+
1
sin2 ϑ
∂2
∂ϕ2
]Y m
l = ~2l(l + 1)Y ml
zakljuciti za koji operator je Legendreova jednadzba ustvari jednadzbasvojstvenih vrijednosti i s kojom svojstvenom vrijednoscu?
L2
~2
m=0 λ
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene funkcije operatora kutne kolicine gibanja
Kutna jednadzba za ϑ
Pretpostavimo rjesenje u obliku reda po potencijama od µ:
Pridruzene Legendreove funkcije [5]
Pml (µ) = (1− µ2)|m|/2 d|m|
dµ|m|Pl(µ) = P−m
l (µ)
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene funkcije operatora kutne kolicine gibanja
Kutna jednadzba za ϑ
Pretpostavimo rjesenje u obliku reda po potencijama od µ:
Rodriguesova formula za Legendreove polinome Pl [6]
Pl(µ) =1
2l l!
dl
dµl(µ2 − 1)l
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene funkcije operatora kutne kolicine gibanja
Kutna jednadzba za ϑ
d|m|
dµ|m|(Legendreova jednadzba)
Θl=Pl=⇒
d
dµ
[(1− µ2)
dPml
dµ
]+
[l(l + 1)− m2
1− µ2
]Pml = 0
Pitanje
Sto mozete zakljuciti usporedujuci ovu jednadzbu s jednadzbom za Θ?
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene funkcije operatora kutne kolicine gibanja
Kutna jednadzba za ϑ
d|m|
dµ|m|(Legendreova jednadzba)
Θl=Pl=⇒
d
dµ
[(1− µ2)
dPml
dµ
]+
[l(l + 1)− m2
1− µ2
]Pml = 0
Pitanje
Sto mozete zakljuciti usporedujuci ovu jednadzbu s jednadzbom za Θ?
Θml ! Pm
l ⇒ Θml = N · Pm
l
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene funkcije operatora kutne kolicine gibanja
Kutna jednadzba za ϑ
Uvjet normiranja
∫|Y m
l |2dΩ = 1 ⇒ N =
√(2l + 1)
2
(l − |m|)!
(l + |m|)!
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene funkcije operatora kutne kolicine gibanja
Sferni harmonici
Sferni harmonici (kugline funkcije) [7]
Y ml (ϑ, ϕ) = Θm
l (ϑ)Φm(ϕ) = ε
√(2l + 1)
4π
(l − |m|)!
(l + |m|)!e imϕ Pm
l (cosϑ) ,
ε =
(−1)m , m > 01 , m ≤ 0
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene funkcije operatora kutne kolicine gibanja
Sferni harmonici
Pitanje
Sto mozete zakljuciti o |Y ml |, ako uocite da |Y m
l | ovisi samo o ϑ
|Y ml | = |ε|
√(2l + 1)
4π
(l − |m|)!
(l + |m|)!|Pm
l (cosϑ)| ?
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene funkcije operatora kutne kolicine gibanja
Sferni harmonici
Pitanje [8]
Sto mozete zakljuciti o |Y ml |, ako uocite da |Y m
l | ovisi samo o ϑ
|Y ml | = |ε|
√(2l + 1)
4π
(l − |m|)!
(l + |m|)!|Pm
l (cosϑ)| ?
⇒ |Y ml | povrsina rotacije oko z-osi
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene funkcije operatora kutne kolicine gibanja
Sferni harmonici
Razvoj po sfernim harmonicima
ζ(ϑ, ϕ) =∞∑l=0
∑|m|≤l
almYml (ϑ, ϕ) , ∀ζ(ϑ, ϕ)
alm = 〈Y ml |ζ〉 =
∫ 2π
0
dϕ
∫ 1
−1
[Y ml (ϑ, ϕ)]∗ ζ(ϑ, ϕ)d cosϑ
Pitanje
Ako se sistem nalazi u stanju ζ(ϑ, ϕ), kolika je vjerojatnost da ce se za:
1 L2 dobiti vrijednost ~2l(l + 1),
2 Lz dobiti vrijednost ~m?
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene funkcije operatora kutne kolicine gibanja
Sferni harmonici
Razvoj po sfernim harmonicima
ζ(ϑ, ϕ) =∞∑l=0
∑|m|≤l
almYml (ϑ, ϕ) , ∀ζ(ϑ, ϕ)
alm = 〈Y ml |ζ〉 =
∫ 2π
0
dϕ
∫ 1
−1
[Y ml (ϑ, ϕ)]∗ ζ(ϑ, ϕ)d cosϑ
Pitanje
Ako se sistem nalazi u stanju ζ(ϑ, ϕ), kolika je vjerojatnost da ce se za:
1 L2 dobiti vrijednost ~2l(l + 1),
2 Lz dobiti vrijednost ~m?
1 P[~2l(l + 1)
]=∑|m|≤l
|alm|2
2 P [~m] =∞∑
l=|m|
|alm|2
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene funkcije operatora kutne kolicine gibanja
Sferni harmonici
Primjer 6.
Neka se rotator nalazi stanju
ζ(ϑ, ϕ) = A sin2 ϑ cos 2ϕ .
Koje vrijednosti ce se mjeriti za L2 i Lz?
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene funkcije operatora kutne kolicine gibanja
Sferni harmonici
Primjer 6.
Neka se rotator nalazi stanju
ζ(ϑ, ϕ) = A sin2 ϑ cos 2ϕ .
Koje vrijednosti ce se mjeriti za L2 i Lz?
1 razvijemo ζ po Y tako da uocimo
Y 22 ∼ sin2 ϑe2iϕ
Y−22 ∼ sin2 ϑe−2iϕ
⇒ ζ = a22Y2
2 + a2−2Y−2
2
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene funkcije operatora kutne kolicine gibanja
Sferni harmonici
Primjer 6.
Neka se rotator nalazi stanju
ζ(ϑ, ϕ) = A sin2 ϑ cos 2ϕ .
Koje vrijednosti ce se mjeriti za L2 i Lz?
1 razvijemo ζ po Y tako da uocimo
Y 22 ∼ sin2 ϑe2iϕ
Y−22 ∼ sin2 ϑe−2iϕ
⇒ ζ = a22Y2
2 + a2−2Y−2
2
2 a22, a2−2 ⇒ l = 2 , m = ±2
~2l(l + 1) = 6~2 , P(6~2)?= 1
~m = ±2~ , P(2~)?= 1/2
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene funkcije operatora kutne kolicine gibanja
Sferni harmonici
Primjer 7.
Neka se sistem nalazi u svojstvenom stanju od L2 i Lz , koje odgovara l = 1 im = 1. Kolika je vjerojatnost da ce mjerenje Lx dati vrijednost koja odgovaram = 0,±1?
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene funkcije operatora kutne kolicine gibanja
Sferni harmonici
Primjer 7.
Neka se sistem nalazi u svojstvenom stanju od L2 i Lz , koje odgovara l = 1 im = 1. Kolika je vjerojatnost da ce mjerenje Lx dati vrijednost koja odgovaram = 0,±1?
l = m = 1 ⇒ Y 11 ⇒ Y 1
1 =∑
m amX , am P(m)
LxX (ϑ, ϕ) = ~αX (ϑ, ϕ)
Pitanje
Zasto X nisu jednake Y ?
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene funkcije operatora kutne kolicine gibanja
Sferni harmonici
Primjer 7.
Neka se sistem nalazi u svojstvenom stanju od L2 i Lz , koje odgovara l = 1 im = 1. Kolika je vjerojatnost da ce mjerenje Lx dati vrijednost koja odgovaram = 0,±1?
l = m = 1 ⇒ Y 11 ⇒ Y 1
1 =∑
m amX , am P(m)
LxX (ϑ, ϕ) = ~αX (ϑ, ϕ)
Y svojstvene funkcije od L2 ⇒
X =∑
m=−1,0,1
bmYm
1
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene funkcije operatora kutne kolicine gibanja
Sferni harmonici
Primjer 7.
Neka se sistem nalazi u svojstvenom stanju od L2 i Lz , koje odgovara l = 1 im = 1. Kolika je vjerojatnost da ce mjerenje Lx dati vrijednost koja odgovaram = 0,±1?
l = m = 1 ⇒ Y 11 ⇒ Y 1
1 =∑
m amX , am P(m)
LxX (ϑ, ϕ) = ~αX (ϑ, ϕ)
Y svojstvene funkcije od L2 ⇒
X =∑
m=−1,0,1
bmYm
1
Lx = 12(L+ + L−)
L+Y1
1 = 0 , L+Y0
1 =√
2~Y 11 , L+Y
−11 =
√2~Y 0
1
L−Y1
1 = Y 01 , L−Y
01 =√
2~Y−11 , L−Y
−11 = 0
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene funkcije operatora kutne kolicine gibanja
Sferni harmonici
Primjer 7.
Neka se sistem nalazi u svojstvenom stanju od L2 i Lz , koje odgovara l = 1 im = 1. Kolika je vjerojatnost da ce mjerenje Lx dati vrijednost koja odgovaram = 0,±1?
[b1Y
01 + b0(Y 1
1 + Y−11 ) + b−1Y
01
]=√
2α(b1Y1
1 + b0Y0
1 + b−1Y−1
1 )
⇒
−√
2α 1 0
1 −√
2α 0
0 1 −√
2α
b1
b0
b−1
= 0
⇒ α(α2 − 1) = 0 ⇒ α = 0,±1
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene funkcije operatora kutne kolicine gibanja
Sferni harmonici
Primjer 7.
Neka se sistem nalazi u svojstvenom stanju od L2 i Lz , koje odgovara l = 1 im = 1. Kolika je vjerojatnost da ce mjerenje Lx dati vrijednost koja odgovaram = 0,±1?
U.N.⇒X0 = 1√
2(Y 1
1 − Y−11 ) , α = 0
X+ = 12(Y 1
1 +√
2Y 01 + Y−1
1 ) , α = +1
X− = 12(Y 1
1 −√
2Y 01 + Y−1
1 ) , α = −1
Y 11 =
1
2(X+ +
√2X0 + X−) ⇒
P(+~) = 14
P(−~) = 14
P(0) = 12
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene funkcije operatora kutne kolicine gibanja
Sferni harmonici
Primjer 7.
Neka se sistem nalazi u svojstvenom stanju od L2 i Lz , koje odgovara l = 1 im = 1. Kolika je vjerojatnost da ce mjerenje Lx dati vrijednost koja odgovaram = 0,±1?
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
Operator kutne kolicine gibanja
Kutna kolicina gibanja vise cestica
Contents
1 Osnovna svojstva
2 Svojstvene vrijednosti operatora kutne kolicine gibanjaRotacijski spektar dvoatomne molekule
3 Svojstvene funkcije operatora kutne kolicine gibanjaOperator L u sfernim koordinatamaKutna jednadzba za ϕKutna jednadzba za ϑSferni harmonici
4 Kutna kolicina gibanja vise cesticaDvije cesticeVise cestica
5 Literature
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
Operator kutne kolicine gibanja
Kutna kolicina gibanja vise cestica
Dvije cestice
L2 = (L1 + L2)2 = L21 + L2
2 + 2L1L2
Lz = L1z + L2z
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
Operator kutne kolicine gibanja
Kutna kolicina gibanja vise cestica
Dvije cestice
Pitanje
Neka se sistem nalazi u stanju s odredenim vrijednostima od L1z i L2z (npr. m1
i m2), |l1l2m1m2〉. Zatim se mjeri L2. Da li ce nakon mjerenja L2 sistem bitiopet u stanju |l1l2m1m2〉?
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
Operator kutne kolicine gibanja
Kutna kolicina gibanja vise cestica
Dvije cestice
Pitanje
Neka se sistem nalazi u stanju s odredenim vrijednostima od L1z i L2z (npr. m1
i m2), |l1l2m1m2〉. Zatim se mjeri L2. Da li ce nakon mjerenja L2 sistem bitiopet u stanju |l1l2m1m2〉?
Nece, jer npr.[L1z , L
2] DZ
= 2i~(L1yL2x − L1xL2y ) 6= 0.
⇒ trebaju nam skupovi komutirajucih operatora
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
Operator kutne kolicine gibanja
Kutna kolicina gibanja vise cestica
Dvije cestice
(L1z , L2z , L21, L
22)
(L21, L
22, L
2, Lz)
potpuni skupovi operatora
(l1, l2,m1,m2)
(lml1l2) , m = m1 + m2
dobri kvantni brojevi
DZ
Dokazite da operatori iz potpunog skupa svi medusobno komutiraju.
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
Operator kutne kolicine gibanja
Kutna kolicina gibanja vise cestica
Dvije cestice
(l1, l2,m1,m2) (lml1l2)
99K Pogledajte ref. [9].
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
Operator kutne kolicine gibanja
Kutna kolicina gibanja vise cestica
Dvije cestice
Clebsch-Gordanovi koeficijenti Cm1m2 [10]
|l1l2m1m2〉 = |l1m1〉|l2m2〉
|lml1l2〉 =∑m
Cm1m2 |l1l2m1m2〉
Cm1m2 = 〈l1l2m1m2|lml1l2〉|Cm1m2 |
2 = vjerojatnost da uz fiksne L i Lz
mjerenje nade jednu cesticu s L1z = m1~i drugu cesticu s L2z = m2~
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
Operator kutne kolicine gibanja
Kutna kolicina gibanja vise cestica
Dvije cestice
Primjer 8.
Neka se sistem nalazi u stanju |lml1l2〉 = |1,−1, 1, 1〉. Kolika je vjerojatnost dace (m1,m2) imati vrijednost (0,−1) ili (−1, 0)?
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
Operator kutne kolicine gibanja
Kutna kolicina gibanja vise cestica
Dvije cestice
Primjer 8.
Neka se sistem nalazi u stanju |lml1l2〉 = |1,−1, 1, 1〉. Kolika je vjerojatnost dace (m1,m2) imati vrijednost (0,−1) ili (−1, 0)?
m = m1 + m2 = −1DZ⇒ |1,−1, 1, 1〉 = C0,−1|1, 0〉|1,−1〉+ C−1,0|1,−1〉|1, 0〉
L−|1,−1, 1, 1〉 DZ= 0
L− = L1− + L2−
L−|1,−1, 1, 1〉 = (L1− + L2−)(C0,−1|1, 0〉|1,−1〉+ C−1,0|1,−1〉|1, 0〉)DZ= ~
√2(C0,−1 + C−1,0)|1,−1〉|1,−1〉
⇒ C0,−1 = −C−1,0
U.N.⇒ C0,−1 =1√2
⇒ P(0,−1) = P(−1, 0) = |C0,−1|2 =1
2
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
Operator kutne kolicine gibanja
Kutna kolicina gibanja vise cestica
Dvije cestice
Zadatak
Koje su dopustene (najvece i najmanje) vrijednosti (l ,m) za dane (l1, l2)?
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
Operator kutne kolicine gibanja
Kutna kolicina gibanja vise cestica
Dvije cestice
Najvece vrijednosti
Lz = L1z + L2z ⇒ mmax = m1max + m2max = l1 + l2 ⇒ lmax = l1 + l2
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
Operator kutne kolicine gibanja
Kutna kolicina gibanja vise cestica
Dvije cestice
Najmanje vrijednosti
l1, l2 ⇒ (2l1 + 1)(2l2 + 1) nezavisnih svojstvenih stanja
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
Operator kutne kolicine gibanja
Kutna kolicina gibanja vise cestica
Dvije cestice
Najmanje vrijednosti
l1, l2 ⇒ (2l1 + 1)(2l2 + 1) nezavisnih svojstvenih stanja
l1+l2∑l=lmin
(2l + 1) = (2l1 + 1)(2l2 + 1)DZ⇔ lmin = |l1 − l2|
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
Operator kutne kolicine gibanja
Kutna kolicina gibanja vise cestica
Dvije cestice
l = |l1 − l2| , . . . , l1 + l2
Npr. sistem od jednog p i jednog d elektrona:
p elektron (l1 = 1)
d elektron (l2 = 2)
⇒ l = 1, 2, 3 ⇒ L =
~√
2
~√
6
~√
12
Broj stanja =
l1+l2∑l=lmin
(2l + 1) =3∑
l=1
(2l + 1) = 15
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
Operator kutne kolicine gibanja
Kutna kolicina gibanja vise cestica
Vise cestica
N cestica 99K (l1, l2, . . . , lN) ⇒ (2l1 + 1)(2l2 + 1) · · · (2lN + 1) nezavisnih
stanja
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
Operator kutne kolicine gibanja
Kutna kolicina gibanja vise cestica
Vise cestica
N cestica 99K (l1, l2, . . . , lN) ⇒ (2l1 + 1)(2l2 + 1) · · · (2lN + 1) nezavisnih
stanja
1 N = 2
⇒ L2 = (L1 + L2)2 ~2l(l + 1) , l = l1 + l2, . . . , |l1 − l2|
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
Operator kutne kolicine gibanja
Kutna kolicina gibanja vise cestica
Vise cestica
N cestica 99K (l1, l2, . . . , lN) ⇒ (2l1 + 1)(2l2 + 1) · · · (2lN + 1) nezavisnih
stanja
1 N = 2
⇒ L2 = (L1 + L2)2 ~2l(l + 1) , l = l1 + l2, . . . , |l1 − l2|
2 N = 3L2 = (L1 + L2 + L3)2 =
∣∣∣L′ = L1 + L2
∣∣∣ = (L′ + L3)2
L′2 l ′ ⇒ l = l ′ + l3, . . . , |l ′ − l3|
Npr. l1 = l2 = l3 = 1 ⇒ l ′ = l1 + l2, . . . , |l1 − l2| = 0, 1, 2
l ′ = 0 99K l = 1l ′ = 1 99K l = 0, 1, 2l ′ = 2 99K l = 1, 2, 3
⇒ l = 0, 1, 2, 3 , broj stanja = 27
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
Operator kutne kolicine gibanja
Kutna kolicina gibanja vise cestica
Vise cestica
N cestica 99K (l1, l2, . . . , lN) ⇒ (2l1 + 1)(2l2 + 1) · · · (2lN + 1) nezavisnih
stanja
3 N = . . .
l ′ = l1 + l2, . . . , |l1 − l2|l ′′ = l ′ + l3, . . . , |l ′ − l3|l ′′′ = l ′′ + l4, . . . , |l ′′ − l4|
...
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
Operator kutne kolicine gibanja
Literature
Contents
1 Osnovna svojstva
2 Svojstvene vrijednosti operatora kutne kolicine gibanjaRotacijski spektar dvoatomne molekule
3 Svojstvene funkcije operatora kutne kolicine gibanjaOperator L u sfernim koordinatamaKutna jednadzba za ϕKutna jednadzba za ϑSferni harmonici
4 Kutna kolicina gibanja vise cesticaDvije cesticeVise cestica
5 Literature
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
Operator kutne kolicine gibanja
Literature
Literature
1 R. L. Liboff, Introductory Quantum Mechanics, Addison Wesley, SanFrancisco, 2003.
2 D. J. Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics, 2nd ed., PearsonEducation, Inc., Upper Saddle River, NJ, 2005.
3 L. I. Schiff, Quantum Mechanics, McGraw-Hill Book Company, New York,1949.
4 http://www.ams.org/notices/200911/rtx091101440p.pdf
5 Aplet - Pridruzene Legendreove funkcije
6 Aplet - Legendreovi polinomi
7 Aplet - Kompleksni sferni harmonici
8 Aplet - Sferni harmonici
9 Aplet - Zbrajanje L
10 Aplet - C-G koeficijenti
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja