OPERATOR KUANTUM

MAKALAH FISIKA KUANTUM“Operator Dalam Mekanika Kuantum dan Persamaan

Nilai Eigen”

Oleh Kelompok 4 :

1. Clara Sinta Saragih

2. Rita Deby

3. Sehati Winarsih

4. Wahyu Azhar Ritonga

FISIKA NONDIK 2012

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS NEGERI MEDAN

MEDAN 2014

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Persamaan Schrődinger untuk atom yang hanya

mempunyai satu elektron dapat kita selesaikan secara

pasti, tetapi tidak demikian halnya untuk atom yang

berelektron banyak dan juga molekul, karena dalam kedua

sistem yang terakhir terjadi repulsi antara satu

elektron dengan elektron lain. Untuk itu, kita butuh

metode lain untuk menyelesaikan persamaan Schrodinger

untuk atom berelektron banyak dan molekul..

Pengukuran besaran fisis (observabel) dalam

mekanika klasik dapat dilakukan dengan cara dan hasil

yang pasti dan tanpa mengganggu sistem yang

diukur observabelnya, serta dapat dilakukan pengukuran

besaran observabel secara serentak (pada saat yang

sama). Menurut mekanika kuantum, pengukuran

suatu observabel akan mempengaruhi dan mengubah keadaan

sistem: pengukuran beberapa besaran (misalnya posisi

dan kecepatan atau momentum) tidak dapat dilakukan

secara serentak denga hasil ukur yang pasti / eksak

(ketakpastiannya terbatasi oleh prinsip ketakpastian

Heisenberg). Mekanika kuantum merupakan teori

ii

kebolehjadian yang bersifat abstrak, seperti konsep

panjang gelombang, rapat kebolehjadian, operator, dan

lain-lain. Mekanika kuantum disusun di atas postulat-

postulat. Ada dua pendekatan formulasi mekanika

kuantum, yakni dengan Mekanika Gelombang

yang dikembangkan oleh Schrodinger, dan Mekanika

Matriks yang dikembangkan oleh Heisenberg. Jadi target

bab ini adalah membahas secara lebih mendalam mengenai

teorema mekanika kuantum.

1.2 Tujuan

1. Untuk mengetahui operator-operator dalam Fisika

Kuantum

2. Mempelajari nilai eigen dan fungsi eigen dari

operator Commute

3. Mengetahui teorema-teorema dalam operator

Hermit

4. Mengetahui postulat-postulat dalam mekanika

kuantum

5. Mempelajari fungsi eigen untuk operator posisi

BAB II

PEMBAHASAN

2.1 Pengantar

Operator adalah suatu instruksi matematis yang

bila dikenakan atau dioperasikan pada suatu fungsi maka

iii

akan mengubah fungsi tersebut menjadi fungsi lain.

Untuk operator Oˆ dapat ditulis sebagai

O ( r,t )=❑' ( r,t )

(Tanda aksen ‘ bukan berarti diferensial atau turunan,

tapi hanya untuk membedakan dengan fungsi asalnya).

Sebelum mulai, marilah kita mengenal beberapa

notasi integral yang akan dipergunakan. Definit

integral seluruh ruang atas operator sembarang yang

terletak di antara dua buah fungsi yaitu fm dan fn

biasanya ditulis:

∫fm¿ Afn d = ⟨fm|A|fn⟩ = (fm|A|fn) = ⟨m|A|n⟩

(1-1)

Notasi (1-1) di atas diperkenalkan oleh Dirac, dan

disebut notasi kurung. Bentuk integral di atas juga

sering ditulis:

∫fm¿ Afn d = Am n (1-2)

Notasi untuk integral seluruh ruang atas dua buah

fungsi fm dan fn ditulis:

∫fm¿ fn d = ⟨fm| fn⟩ = (fm| fn) = (1-3)

Karena [∫fm¿ fn ]¿ = ∫fm

¿ fn d, maka:

* = (1-4)

iv

d

dan dalam kasus khusus yaitu fm = fn maka (1-4) dapat

ditulis : * = .

Hal-hal lain yang perlu diingat adalah:

1. ∫fm¿ fn d = 1 jika fm = fn dan fungsinya disebut

ternormalisasi. (1-5)

` ∫fm¿ fn d = 0 jika fm fn dan fungsinya disebut

ortogonal (1-6)

Catatan:

∫fm¿ fn d juga boleh ditulis m n (Kronikle Delta)

yang harganya = 0 jika fm fn dan berharga 1 jika

fm = fn

2. Jika : A = a dengan a bilangan konstan, maka

disebut fungsi eigen sedang a disebut nilai

eigen atau: jika adalah fungsi eigen terhadap

operator A , maka berlaku hubungan: A = a

dengan a adalah nilai eigen. (1-7)

2.2 Operator Hermit

Untuk memahami operator ini, kita harus mengingat

kembali pengertian operator linear dan pengertian nilai

rata-rata. Operator linear adalah operator yang

mewakili besaran fisik, misal operator energi, operator

energi kinetik, operator momentum angular dan lain-

v

lain. Selanjutnya telah kita ketahui pula bahwa jika A

adalah operator linear yang mewakili besaran fisik A,

maka nilai rata-rata A dinyatakan dengan:

= ∫Ψ¿AΨ d (1-8)

dengan adalah fungsi keadaan sistem. Karena nilai

rata-rata selalu merupakan bilangan real, maka:

= *

atau: ∫Ψ¿AΨ d = ∫Ψ (AΨ )¿ d (1-9)

Persamaan (1-9) harus berlaku bagi setiap fungsi

yang mewakili keadaan tertentu suatu sistem atau

persamaan (1-9) harus berlaku bagi setiap fungsi

berkelakuan baik (well behaved function). Operator linear

yang memenuhi persamaan (1-9) itulah yang disebut

operator Hermit.

Beberapa buku teks menulis operator Hermit sebagai

operator yang mengikuti persamaan:

∫f¿Ag d = ∫g(Af)¿ d (1-10)

untuk fungsi f dan g yang berkelakuan baik. Perlu dicatat

secara khusus bahwa pada ruas kiri persamaan (1-10),

operator A bekerja pada fungsi g sedang di ruas kanan,

operator bekerja pada fungsi f. Dalam kasus khusus yaitu

vi

jika f = g maka bentuk (1-10) akan tereduksi menjadi

bentuk (1-9).

2.2.1 Teorema yang berhubungan dengan Operator Hermit

Ada beberapa teorema penting sehubungan dengan

operator Hermit, yaitu:

1.Teorema 1: Nilai eigen untuk operator Hermit pasti

merupakan bilangan real.

2.Teorema 2: Dua buah fungsi 1 dan 2 berhubungan

dengan operator Hermit A dan baik 1 maupun 2

adalah fungsi eigen terhadap operator A dengan

nilai eigen yang berbeda, maka 1 dan 2 adalah

ortogonal. Jika kedua fungsi tersebut mempunyai

nilai eigen yang sama atau degenerate (jadi tidak

ortogonal), maka selalu ada cara agar dijadikan

ortogonal.

2.2.2 Pembuktian Teorema 1

Ada dua hal penting yang termuat dalam pernyataan

teorema 1 yaitu bahwa operator yang dipergunakan adalah

operator Hermit jadi harus mengikuti (1-9) dan ada

pernyataan eigen value, ini berarti bahwa fungsi yang

dibicarakan adalah fungsi eigen, jadi hubungan (1-7)

berlaku. Untuk ini kita misalkan fungsinya adalah ,

dan karena A adalah operator hermit, maka menurut (1-

9): ∫Ψ¿AΨ d = ∫Ψ (AΨ )¿ d

vii

atau:

∫Ψ¿AΨ d = ∫ΨA¿Ψ¿

d (1-11)

Menurut (1-7) : AΨ = a dengan a adalah nilai

eigen untuk

A¿Ψ¿ = a* * dengan a* adalah nilai

eigen untuk *

sehingga (1-11) dapat ditulis: a = a*

Menurut (1-5) nilai = = 1, jadi:

a = a*

Harga a = a* hanya mungkin jika a bilangan real.

2.2.3 Pembuktian Teorema 2:

Karena 1 dan 2 adalah fungsi eigen terhadap

operator misal operator A , maka berlaku:

A 1 = a1 1 dan A 2 = a2 2 (1-12)

Karena A adalah operator Hermit terhadap 1 dan 2

maka menurut (1-10) berlaku:

∫Ψ1¿ AΨ2 d = ∫Ψ2 (AΨ1)¿ d

viii

atau: ∫Ψ1¿ AΨ2 d =

(1-13)

Substitusikan (1-12) ke dalam (1-13), menghasilkan:

a2 =

Menurut teorema I, harga a* = a, jadi:

a2 = (1-14)

Menurut (1-4), = , jadi persamaan (1-

14) boleh ditulis:

a2 =

atau: a2 -

atau: (a2 - )

(1-15)

Jika a1 tidak sama dengan a2 maka dari (1-15)

tersebut (a2-a1) tidak mungkin nol, sehingga:

= 0 (1-16)

Karena = 0, maka 1 dan 2 ortogonal.

Jadi terbukti, jika dua buah fungsi eigen

mempunyai nilai eigen berbeda terhadap operator

ix

tertentu, maka kedua fungsi tersebut ortogonal. Yang

menjadi pertanyaan sekarang adalah, mungkinkah dua buah

fungsi eigen yang independen, mempunyai nilai eigen

yang sama? Jawabnya adalah ya. Ini terjadi pada kasus

degenerasi. Pada kasus ini, beberapa fungsi eigen yang

independen, mempunyai nilai eigen yang sama. Untuk dua

fungsi eigen yang degenerate atau yang nilai eigen-nya

sama, maka kedua fungsi tersebut tidak ortogonal.

Dengan demikian, maka kita hanya boleh mengatakan bahwa

dua fungsi eigen yang berhubungan dengan operator

Hermit adalah ortogonal jika kedua fungsi eigen itu

tidak degenerate.

Apakah Degenerate itu ?

Telah disinggung di atas bahwa jika dua atau lebih

fungsi eigen yang independen mempunyai nilai eigen

sama, maka kasus seperti itu disebut degenerate. Untuk

lebih memahami masalah degenerate ini, marilah kita

ingat kembali fungsi gelombang partikel dalam kotak

yang telah kita pelajari. Fungsi gelombang partikel

dalam kotak 3 dimensi dinyatakan sebagai:

= x y z dengan :

x = ; y = dan y =

jadi:

x

= (1-17)

Jika operator Hermit, misal operator Hamilton

dikenakan pada fungsi gelombang tersebut maka nilai

eigennya adalah energi yang besarnya:

E = Ex + Ey + Ez

dengan :

Ex = ; Ey = dan Ez = (1-18)

sehingga:

E =

Jika kotaknya kubus dengan rusuk L:

E = (1-19)

Jika kotaknya berbentuk kubus, maka menurut (1-19)

harga nilai eigen E1-1-2 = E1-2-1 = E2-1-1 = meskipun

eigen function-nya 1-1-2 1-2-1 2-1-1. Keadaan

seperti itulah contoh kasus degenerate. Untuk kasus

degenerate tersebut, biasanya dikatakan bahwa derajad

degenerasinya = 3, karena ada 3 fungsi gelombang

xi

berbeda yang nilai eigen-nya sama yaitu 1-1-2; 1-2-1 dan

2-1-1. Sudah barang tentu masih tak terhingga banyaknya

kasus degenerate untuk fungsi gelombang partikel dalam

kotak berbentuk kubus misal pasangan 1-1-3; 1-3-1 dan 3-

1-1 dan masih banyak lagi.

Satu hal yang penting dari keadaan degenerate itu

ialah, bahwa jika fungsi-fungsi eigen yang degenerate itu

dikombinasilinearkan, maka akan terbentuk fungsi eigen

yang baru.

Contoh: Jika fungsi adalah kombinasi linear dari 1-1-

2, 1-2-1 dan 2-1-1 yang dinyatakan dalam bentuk:

= c1 1-1-2 + c2 1-2-1 + 2-1-1

(1-20)

Karena 1-1-2, 1-2-1 dan 2-1-1 adalah degenerate, maka

pasti merupakan fungsi eigen yang nilai eigennya sama

dengan nilai eigen fungsi-fungsi penyusunnya.

Yang harus diingat adalah bahwa jika adalah

kombinasi linear dari 1-1-2 dan 1-3-1 sehingga dapat

ditulis: = c1 1-1-2 + c2 1-3-1 (1-

21)

maka bukan fungsi eigen karena nilai eigen 1-1-2 dan

c2 1-3-1 pasti tidak sama.

Relasi (1-20) disebut degenerasi karena fungsi eigen

penyusunnya degenerate sedang (1-21) bukan degenerasi.

xii

Jika kepada kita ditanyakan berapa energi pada (1-

20) maka jawabnya adalah E = .

2.2.4 Ortogonalisasi

Misal kita mempunyai dua buah fungsi eigen yang

degenerate, jadi nilai eigennya sama maka menurut

teorema 2 kedua fungsi tersebut tidak ortogonal.

Pertanyaannya adalah dapatkah kita membuatnya menjadi

ortogonal? Jawabnya adalah, dapat.

Sekarang kita akan menunjukkan bahwa dalam kasus

degenerasi (yang fungsi-fungsinya tidak ortogonal),

dapat kita buat menjadi ortogonal. Kita misalkan kita

mempunyai operator Hermit A dan dua buah fungsi eigen

independen yaitu fungsi f dan fungsi G yang mempunyai

nilai eigen yang sama yaitu s, maka berarti:

A f = s f ; A G = s G

Karena nilai eigen keduanya sama, maka f dan G pasti

tidak ortogonal. Agar diperoleh dua fungsi baru yang

ortogonal, ditempuh langkah sebagai berikut:

Kita buat fungsi eigen baru yaitu g1 dan g2 yang

merupakan kombinasi linear f dan G sehingga membentuk

misalnya:

g1 = f dan g2 = G + c f dengan

c adalah konstanta.

xiii

Kita harus menentukan harga c tertentu agar g1 dan g2

ortogonal. Agar ortogonal harus dipenuhi syarat:

∫g1¿ g2 d = 0

atau:

∫f¿(G + c f ) d = 0

atau :

∫f¿G d + ∫ c f¿ f d = 0 atau:

∫f¿G d + c∫ c f¿ fd = 0

Jadi agar g1 dan g2 ortogonal, maka harga c harus:

c = -

∫f¿G∫f¿f

Sekarang kita telah mempunyai dua fungsi ortogonal

yaitu g1 dan g2 yaitu:

g1 = f dan g2 = G + c f dengan

c = -

∫f¿G∫f¿f

Prosedur yang telah kita tempuh ini disebut Ortogonalisasi

Schmidt.

xiv

dd

dd

2.3 Ekspansi Sembarang Fungsi Menjadi Kombinasi Linear

Fungsi Eigen

Setelah kita membicarakan ortogonalitas fungsi

eigen dari operator Hermit, sekarang akan kita

bicarakan sifat penting lain dari fungsi tersebut;

sifat ini mengijinkan kita untuk mengubah bentuk

sembarang fungsi F(x) menjadi kombinasi linear fungsi-

fungsi eigen. Jika kombinasi linear fungsi eigen itu

adalah a11 + a22 + a33..... + ann, atau agar lebih

singkat kita tulis saja dengan bentuk , maka

ekspansi fungsi yang dimaksud adalah:

F(x) = (1-22)

dengan : an = (1-23)

Bagaimana mendapat (1-23) di atas ? Marilah kita ikuti

langkah-langkah berikut:

Kedua ruas (1-22) kita kalikan dengan m* sehingga

diperoleh:

m* F(x) = (1-24)

Jika kedua ruas (1-24) diintegralkan maka diperoleh:

xv

∫ m* F(x) dx = dx (1-25)

Telah kita ketahui bahwa :

= m n (1-26)

sehingga (1-25) dapat ditulis:

∫ m* F(x) dx = (1-27)

Ruas kanan (1-27) adalah:

= a1. m 1 + a2 m 2 + ....a m m m

+ a m +1 m (m+1) +...

= a1. 0 + a2 0 + ....a m 1

+ a m +1 . 0 +...

= am

Sehingga (1-27) dapat ditulis:

∫ m* F(x) dx = am atau am = ∫ m

*

F(x) dx (1-28)

Jika indek m pada (1-28) diganti n maka persamaan (1-

23) yang dicari diperoleh yaitu:

an =

xvi

Contoh:

Diketahui: F(x) = x untuk 0 < x <

a/2

F(x) = 1- x untuk a/2 < x < a

Ekspansilah F(x) ke dalam fungsi eigen untuk partikel

dalam kotak satu dimensi yang panjang kotaknya = a.

Jawab:

Fungsi gelombang partikel dalam kotak satu dimensi

dengan panjang kotak = a adalah:

n = (1-29)

Jadi bentuk ekspansinya menurut (1-22):

F(x) = = (1-30)

Menurut (1-23) :

an =

=

=

xvii

= +

= (1-31)

Jadi:

a1 = ; a2 = 0 ; a3 = - ; a4 = 0 ;

a5 = ; a6 = 0 dan seterusnya.

Kita masukkan (1-31) ke dalam (1-30), maka:

F(x) =

=

=

=

2.3.1 Pengertian Complete Set

Pada contoh ekspansi fungsi diatas, fungsi F(x) dapat

diekspansi ke dalam bentuk kombinasi linear fungsi

xviii

gelombang partikel dalam kotak n dan dalam hal ini

himpunan fungsi disebut himpunan lengkap atau Complete

Set. Apakah semua n dapat digunakan untuk mengekspansi

fungsi F? Jawabnya ternyata tidak, hanya himpunan

fungsi yang merupakan himpunan lengkap saja yang dapat

digunakan untuk mengekspansi fungsi F. Selanjutnya

mengenai himpunan lengkap, dibuat definisi sebagai

berikut:

Himpunan fungsi dapat disebut sebagai Himpunan

Lengkap jika himpunan fungsi tersebut dapat

digunakan untuk mengekspansi sembarang fungsi F

menjadi kombinasi linear dengan mengikuti

persamaan F(x) = dengan an adalah tetapan

sembarang.

Contoh himpunan fungsi gelombang yang bukan

himpunan lengkap adalah himpunan fungsi gelombang

elektron atom hidrogen yang sudah pernah kita pelajari.

Meskipun kita tahu bahwa fungsi gelombang elektron atom

hidrogen yaitu (n, l, m ) adalah fungsi r,,, namun jika

seandainya kita mempunyai sembarang fungsi F(r,,)

maka fungsi tersebut tidak dapat diekspansi menjadi

kombinasi linear , karena seperti kita ketahui bahwa

hidrogen hanya berhubungan dengan energi diskrit

saja padahal energi elektron bisa saja kontinum, yaitu

xix

ketika elektron dalam proses lepas dari sistem atom

menjelang terjadinya ionisasi. Jadi n atom hidrogen

bukan merupakan himpunan lengkap sehingga tidak mungkin

kita mengekspansi F(r,,) menjadi himpunan linear (n,

l, m). Fungsi gelombang hidrogen baru disebut himpunan

fungsi lengkap jika menyertakan himpunan fungsi

gelombang yang berkorelasi dengan energi kontinum yang

biasanya ditulis (E, l, m). Jika fungsi gelombang hidrogen

sudah dinyatakan secara lengkap seperti itu maka fungsi

F(r,,) dapat diekspansi, yaitu menjadi kombinasi linear

fungsi diskrit dan kombinasi linear fungsi kontinum.

2.3.2 Teorema 3

Jika g1, g2... adalah himpunan lengkap fungsi

eigen dari operator A dan jika fungsi F juga fungsi

eigen dari operator A dengan nilai eigen k (jadi A F =

k F) sedang F diekspansi dalam bentuk F = ∑iaigi , maka gi

yang ai nya tidak nol mempunyai nilai eigen k juga.

Jadi ekspansi terhadap F, hanya melibatkan fungsi-

fungsi eigen yang mempunyai nilai eigen yang sama

dengan nilai eigen F. Selanjutnya sebagai rangkuman

dapat dinyatakan bahwa Fungsi-fungsi eigen dari

operator Hermite, membentuk himpunan lengkap ortonormal

dan nilai eigennya adalah real.

xx

2.4 Eigen Fungsi Dari Operator Commute

Jika fungsi secara simultan adalah fungsi eigen

dari dua buah operator A dan B dengan nilai eigen aj

dan bj, maka pengukuran properti A menghasilkan aj dan

pengukuran B menghasilkan bj. Jadi kedua properti A dan

B mempunyai nilai definit jika merupakan fungsi eigen

baik terhadap A maupun B .

Telah dinyatakan bahwa suatu fungsi adalah eigen

terhadap A dan B jika kedua operator tersebut commute

atau:

A i = ai i dan B i = bi i Jika :(1-

32)

[ A , B ] = 0 (1-

33)

Yang harus kita buktikan adalah: [ A , B ] = 0

Kita tahu: [ A , B ] = A B - B A (1-

34)

Jika dioperasikan pada i :

[ A , B ]i = A B i - B A i

= A ( B i ) - B ( A i )

= A bi i - B ai i

xxi

= bi A i - ai B i

= bi ai i - ai bi i

[ A , B ] = bi ai - ai bi = 0 (terbukti)

(1-35)

Pembuktian di atas adalah pembuktian untuk teorema 4

yang bunyinya:

Teorema 4: Jika Operator linear A dan B mempunyai

himpunan fungsi eigen yang sama maka A dan B

adalah commute.

Perlu diingat A dan B yang dimaksud oleh teorema

4 hanya A dan B yang masing-masing merupakan operator

linear. Jika A dan B bukan operator linear maka

keduanya bisa tidak commute meskipun seandainya

keduanya mempunyai fungsi eigen yang sama. Sebagai

contoh (,) yang kita bahas, adalah fungsi eigen dari

operator Lx dan operator Ly tetapi kedua operator

tersebut non commute.

Teorema 5 : Jika operator Hermite A dan B adalah

commute, maka kita dapat memilih himpunan

lengkap fungsi eigen untuk kedua operator itu.

Pembuktiannya adalah sebagai berikut:

xxii

Anggap saja fungsi gi adalah fungsi eigen dari

operator A dengan nilai eigen ai maka kita dapat

menulis:

A gi = ai gi (1-

36)

Jika operator B dioperasikan pada kedua ruas (1-36) di

atas, maka:

B ( A gi ) = B (ai gi ) (1-

37)

Karena A dan B commute dan karena B linear maka:

A ( B gi) = ai ( B gi) (1-

38)

Persamaan (1-38) di atas menyatakan bahwa fungsi B

gi adalah fungsi eigen terhadap operator A dengan nilai

eigen ai, persis sama dengan fungsi gi yang juga fungsi

eigen terhadap operator A dengan nilai eigen ai.

Marilah kita untuk sementara menganggap bahwa nilai

eigen dari operator A tersebut non degenerate, hingga

untuk sembarang harga nilai eigen ai yang diberikan

berasal dari satu dan hanya satu fungsi eigen yang

linearly independent. Jika ini benar, maka kedua fungsi

eigen gi dan B gi yang mempunyai nilai eigen sama yaitu

ai harus linearly dependent, yaitu, fungsi yang satu

harus merupakan kelipatan sederhana dari yang lain,

xxiii

B gi = ki gi (1-

39)

dengan ki adalah konstan. Persamaan (1-39) itu

menyatakan bahwa fungsi gi merupakan fungsi eigen dari

operator B sebagaimana yang hendak kita buktikan.

Jadi, jika A dan B commute dan fungsi gi adalah

fungsi eigen terhadap A maka gi juga merupakan fungsi

eigen dari B (Jadi Teorema 5 adalah kebalikan dari

Teorema 4)

Teorema 6: Jika gi dan gj adalah fungsi eigen dari

operator Hermite A dengan nilai eigen berbeda

(misal A gi = ai gi dan A gj = ajgj dengan ai ¿

aj), dan jika B adalah operator linear yang

commute terhadap A , maka:

< gj B gi > = 0 atau ∫s−r

gjB gid = 0 (1-

40)

dengan s-r adalah seluruh ruang. Pembuktiannya adalah

sebagai berikut:

Karena A dan B commute, maka fungsi eigen

terhadap A adalah juga fungsi eigen terhadap B , meski

dengan nilai eigen berbeda. Jadi gi juga fungsi eigen

terhadap B , yang jika nilai eigennya dimisalkan ki

maka:

xxiv

B gi = ki gi (1-

41)

dengan demikian (1-40) boleh ditulis:

∫s−r

gj ki gid =

ki ∫s−r

gj gi = ki . 0 = 0 (terbukti)

2.5 Operator Paritas

Ada operator mekanika kuantum yang tidak dikenal

dalam mekanika klasik, contohnya adalah operator

paritas. Marilah kita ingat kembali bahwa dalam

osilator harmonis, kita mengenal adanya fungsi genap

dan ganjil. Akan kita lihat bagaimana sifat ini

dikaitkan dengan operator paritas.

Operator paritas, ∏ ¿ ¿dapat dilihat dari efeknya

apabila ia bekerja pada sembarang fungsi. Operator ini

akan mengubah tanda semua koordinat Cartessius,

sehingga kita boleh mendefinisikan: ∏ ¿ ¿ f ( x, y,

z ) = f (-x, -y, -z)

Contohnya: ∏ ¿ ¿ ( x2 - 2 x. e-2y + 3 z3 ) = { (-x)2 -2 (-

x). e2y + 3 (-z)3 }

= x2 + 2 x e2y - 3z3

Jika seandainya gi adalah fungsi eigen dari

operator paritas dengan nilai eigen ai maka kita dapat

xxv

menulis:∏ ¿ ¿gi = ai gi (1-

42)

Sifat paling penting dari operator ini adalah

kuadratnya:

∏ ¿2¿ f ( x, y, z ) = ∏ ¿ ¿ ∏ ¿ ¿ f ( x, y, z ) = ∏ ¿ ¿ f (-x, -y,

-z) = f ( x, y, z )

Karena f nya fungsi sembarang maka ∏ ¿2¿ adalah operator

satuan (unit Operator), jadi:

∏ ¿2¿ = 1 (1-

43)

Sekarang, bagaimana jika kita gunakan ∏ ¿2¿ untuk (1-

42) ? Hasilnya adalah:

∏ ¿2¿gi = ∏ ¿ ¿ ∏ ¿ ¿ gi = ∏ ¿ ¿ai gi = ai ∏ ¿ ¿gi = ai

2gi (1-

44)

Karena ∏ ¿ ¿adalah unit operator, maka (1-44) menjadi:

gi = ai2gi (1-

45)

atau: ai =

+ 1 (1-46)

xxvi

Karena ai adalah nilai eigen untuk ∏ ¿2¿, maka nilai

eigen untuk ∏ ¿2¿ adalah 1 dan -1. Perlu dicatat bahwa

hal ini berlaku untuk semua operator yang kuadratnya

merupakan operator satuan.

Bagaimana fungsi eigen dari operator Paritas ? Kita

lihat kembali persamaan (1-42)

∏ ¿ ¿gi = ai gi

Karena nilai eigen operator ini + 1, maka persamaan di

atas dapat ditulis:

∏ ¿ ¿gi = + 1 gi (1-

47)

Jika gi adalah g(x, y, z), maka:

∏ ¿ ¿g (x, y, z) = + 1 g(x, y, z ) atau (1-

48)

g (-x, -y, -z) = + 1 g(x, y, z ) (1-

49)

Jika nilai eigennya +1, maka:

g (-x, -y, -z) = g(x, y, z ) (1-

50)

jadi g fungsi genap. Jika nilai eigen = -1, maka:

g (-x, -y, -z) = -g(x, y, z ) (1-

51)

xxvii

jadi g adalah fungsi ganjil.. Dengan demikian dapat

disimpulkan bahwa:

fungsi eigen dari operator

paritas adalah semua fungsi

well behaved yang mungkin baik

genap maupun ganjil.

Bagaimana jika Operator Paritas Commute dengan

operator Hamilton ?

Manakala operator paritas commute dengan operator

Hamilton maka semua fungsi yang eigen terhadap operator

Hamilton pasti eigen juga dengan operator paritas. Kita

ambil saja himpunan fungsi i adalah fungsi eigen

terhadap operator H . Kemudian, jika operator paritas

dan Hamilton commute, kita boleh menulis:

[∏ ¿ ¿, H ] = 0 (1-

52)

dan juga boleh menyatakan bahwa i adalah fungsi eigen

bagi operator paritas tidak peduli fungsi tersebut

ganjil atau genap. Untuk sistem partikel tunggal,

[ H , ∏ ¿ ¿] = [ (-ℏ2

2m∂2

∂x2+ V

), ∏ ¿ ¿ ] = [-ℏ2

2m∂2

∂x2 ,∏ ¿ ¿ ] +

[ V, ∏ ¿ ¿ ]

xxviii

= -ℏ2

2m [∂2

∂x2 ,∏ ¿ ¿ ] + [ V, Π¿

] (1-

53)

Harga [∂2

∂x2 ,∏ ¿ ¿ ] adalah 0, ini dengan mudah dapat

dibuktikan sebagai berikut:

[∂2

∂x2 ,∏ ¿ ¿ ] F(x) = ∂2

∂x2 ∏ ¿ ¿F(x) - ∏ ¿ ¿∂2

∂x2 F(x)

= ∂2

∂x2 F(-x) - ∂

∂ (−x )∂

∂ (−x )

F(-x)

= ∂2

∂x2 F(x) - ∂2

∂x2 F(-x) =0

Dengan demikian (1-53) dapat ditulis:

[ H , ∏ ¿ ¿] = [ V, ∏ ¿ ¿ ] (1-

54)

Sekarang kita evaluasi ruas kanan (1-54):

[ V(x), ∏ ¿ ¿ ] F(x) = V(x) ∏ ¿ ¿F(x) - ∏ ¿ ¿ V(x) F(x)

= V(x) F(-x) - V(-x) F(-

x) (1-55)

xxix

Nilai (1-55) ditentukan oleh fungsi energi potensial.

Jika fungsi energi potensial adalah fungsi genap, maka

V(x) = V(-x), maka (1-55) menjadi:

[ V(x), ∏ ¿ ¿ ] = 0 sehingga (1-54) menjadi:

[ H , ∏ ¿ ¿] = 0 (1-

56)

Ini berarti:

Teorema 7: Jika fungsi V adalah fungsi genap, maka H

dan ∏ ¿ ¿ adalah commute, sehingga kita dapat

memilih sembarang fungsi gelombang stasioner

baik genap maupun ganjil sebagai fungsi eigen

dari kedua operator tersebut.

Fungsi genap atau ganjil yang merupakan fungsi

eigen bagi kedua operator Hamilton dan paritas itu

disebut fungsi definit paritas.

Jika semua energi levelnya adalah nondegenerate

(umumnya memang benar untuk sistem partikel tunggal)

berarti hanya ada satu fungsi gelombang independen yang

berhubungan dengan masing-masing energi level. Jadi

untuk kasus nondegenerate, maka fungsi gelombang

stasioner yang fungsi energi potensialnya fungsi genap

adalah definit paritas. Sebagai contoh fungsi gelombang

osilator harmonis adalah definit paritas karena fungsi

xxx

energi potensialnya ½ kx2 (fungsi energi potensial

genap).

Jika energi level degenerate, berarti tidak cuma

satu fungsi gelombang independen yang memiliki nilai

eigen tersebut. Dengan demikian kita memiliki banyak

sekali pilihan fungsi gelombang sebagai akibat dari

kombinasi linear dari fungsi-fungsi degenerasi itu.

2.6 Pengukuran dan Keadaan Superposisi

Mekanika kuantum dapat dipandang sebagai suatu

cara untuk menghitung probabilitas dari berbagai

kemungkinan hasil pengukuran. Sebagai contoh, jika kita

mempunyai fungsi (x,t) maka probabilitas hasil

pengukuran posisi partikel pada saat t berada antara x

dan x + dx dinyatakan oleh (x,t)2 dx

Sekarang kita akan memperhatikan pengukuran

properti secara umum, misal besaran A. Untuk ini yang

dipertanyakan adalah bagaimana menggunakan untuk

menghitung probabilitas masing-masing hasil pengukuran

A yang mungkin. Kita akan mengupas informasi apa saja

yang dikandung oleh yang merupakan jantungnya

mekanika kuantum. Subyek pembahasan kita adalah sistem

n partikel dan menggunakan q sebagai simbol dari

koordinat 3n. Telah kita postulatkan bahwa hanya nilai

xxxi

eigen ai dari operator  lah yang merupakan kemungkinan

hasil pengukuran besaran A.

Dengan menggunakan gi sebagai fungsi eigen dari Â,

maka kita boleh menulis:

 gi(q) = ai gi(q) (1-

57)

Telah kita postulatkan pada sub bab 1.3 bahwa fungsi

eigen dari sembarang operator Hermite yang mewakili

besaran fisik teramati, membentuk himpunan lengkap.

Karena gi adalah himpunan lengkap kita dapat

mengekspansi fungsi dalam suatu deret yang suku-

sukunya adalah gi jadi:

(q,t) = ∑icigi(q) (1-

58a)

Agar dapat menggambarkan bahwa adalah fungsi waktu,

maka koefisien ci harus merupakan fungsi waktu sehingga

(1-58a) lebih baik ditulis:

(q,t) = ∑ici

(t )gi(q) (1-

58b)

Karena 2 adalah rapat peluang (probability density)

maka:

∫* d = 1 (1-

59)

xxxii

Substitusi (1-58a) ke dalam (1-59) menghasilkan:

∫∑ici(t )

¿ gi¿ ∑

ici(t)

gid =

∫∑ici(t )

¿ gi¿ ∑

jcj(t)

gjd = 1 (1-

60)

Karena pengintegralan hanya terhadap koordinat, maka:

∑j∑icj(t)

¿ ci(t) ∫gj¿ gi(q) d = 1 (1-

61)

Jika i = j, maka:

∑j∑icj(t)

¿ ci(t)= 1 atau:

∑j∑icj(t)

¿ ci(t)= 1 (1-

62)

Kita akan menguji signifikansi (1-62) secara singkat:

Ingat bahwa jika fungsi ternormalisasi, maka nilai

rata besaran A adalah:

< A > = ∫ * Â d

Dengan menggunakan (1-58), maka:

< A > = ∫∑

j∑icj(t)

¿ gj¿

 ci(t)gi(q ) d =

∑j∑icj(t)

¿ ci(t) ∫gj

¿ Agi d

atau:

xxxiii

< A > = ∑j∑icj(t)

¿ ci(t) ∫gj¿ aigi d =

∑j∑icj(t)

¿ ci(t)ai

∫gj¿ gi d

< A > = ∑j∑icj(t)

¿ ci(t)ai (1-

63)

Bagaimana menginterpretasi (1-63) ? Perlu diketahui,

bahwa nilai eigen suatu operator adalah kemungkinan

dari bilangan-bilangan yang diperoleh jika kita

melakukan pengukuran terhadap besaran yang diwakili

oleh operator tersebut. Dalam sembarang pengukuran

terhadap besaran A, kita akan memperoleh salah satu

harga ai. Kemudian marilah kita ingat kembali teori

mengenai rata-rata yang kita pelajari dalam matematika.

Jika kita mempunyai n buah data X dengan rincian X1

sebanyak n1, X2 sebanyak n2 dan seterusnya maka, rata-

rata X adalah :

< X > = n1X1+ n2X2...........niXi.

n = n1n X1 +

n1n X1 .....

nin Xi

= P1 X1 + P2 X2...... Pi Xi Jadi:

< X > = ∑iPi Xi (1-

64)

xxxiv

Sekarang jika dari pengukuran terhadap besaran A

diperoleh nilai-nilai eigen a1, a2... ai maka rata-rata

A adalah:

< A > = ∑iPi ai (1-

65)

dengan Pi adalah probabilitas mendapatkan nilai ai pada

pengukuran besaran A. Jika hanya ada sebuah fungsi

eigen independen untuk setiap nilai eigen

(nondegenerate) maka banyaknya eigen fungsi sama dengan

banyaknya nilai eigen. Selanjutnya dengan membandingkan

(1-65) terhadap (1-63) maka dapat dipastikan bahwa

ci2 = Pi (1-

66)

yaitu probabilitas memperoleh harga ai ketika dilakukan

pengukuran terhadap besaran A.

Teorema 8: Jika ai adalah nilai eigen non degenerate

dari operator  dan gi adalah fungsi eigen

ternormalisasi (Â gi = ai gi) maka, manakala

besaran A diukur dalam sistem mekanika kuantum

yang fungsi statenya pada waktu diadakan

pengukuran adalah , probabilitas mendapatkan

hasil ai adalah ci2, dengan ci adalah

koefisien gi pada ekspansi = i ci gi. Jika

nilai eigen ai degenerate, probabilitas

xxxv

mendapatkan ai pada saat A diukur adalah

jumlah dari ci2 fungsi-fungsi eigen yang nilai

eigennya ai.

Kapankah hasil pengukuran besaran A dapat diprediksi

secara tepat? Kita dapat melakukan itu jika semua

koefisien pada ekspansi =icigi adalah nol kecuali

satu koefisien saja yaitu misalnya ck. Untuk kasus ini

maka (1-66) menjadi ck2 = Pk = 1. Artinya peluang

untuk mendapatkan nilai eigen seharga ak = 1, artinya,

nilai eigennya pasti ak.

Selanjutnya kita dapat memandang ekspansi deret

=icigi sebagai ekspresi bentuk umum fungsi yang

merupakan superposisi dari fungsi eigen gi dari

operator Â. Masing-masing fungsi eigen gi berhubungan

dengan nilai eigen ai milik besaran A.

Selanjutnya bagaimana cara menghitung koefisien ci

sehingga pada akhirnya kita dapat menghitung ci2 ?

Caranya kita kalikan = i ci gi dengan g*j kemudian

integralkan ke seluruh ruang, sehingga diperoleh:

∫ g*j d = g∫ *

j i ci gi d = i ci g∫ *j gi.d =

cii g∫ *j gid

Jika ortonormal:

∫g*j d = ci

atau:

xxxvi

ci = ∫ . g*j d = g*

j > (1-

67)

Kuantitas < g*j > disebut amplitudo probabilitas.

Selanjutnya probabilitas mendapatkan nilai eigen non

degenerate ai pada pengukuran A adalah [lihat (1-66)]:

Pi = ci2 = ∫ . g*j d2 =< g*

j >2 (1-

68)

Jadi jika kita mengetahui state sistem sebagaimana

ditentukan oleh fungsi maka kita dapat menggunakan

(1-68) untuk memprediksi probabilitas dari berbagai

kemungkinan hasil pengukuran besaran A.

Teorema 9: Jika besaran B diukur dalam sistem mekanika

kuantum yang fungsi statenya pada saat

pengukuran adalah , maka probabilitas dari

pengamatan nilai eigen aj dari operator Â

adalah <gj >2, dengan gj adalah fungsi eigen

ternormalisasi yang mempunyai nilai eigen aj.

Integral <gj > = ∫ g*j d akan mempunyai nilai

absolut substansial jika fungsi ternormalisasi gj dan

berada pada daerah yang saling berdekatan dan dengan

demikian harganya di daerah tertentu dalam ruangan

hampir sama. Jika tidak demikian maka bisa terjadi gj

terlalu besar sedang terlalu kecil (atau sebaliknya)

sehingga hasil kali gj.selalu terlalu kecil.

xxxvii

Akibatnya absolut kuadratnya juga terlalu kecil

sehingga probabilitas untuk mendapatkan nilai eigen ai

juga sangat kecil.

Contoh: Dilakukan pengukuran terhadap Lz elektron atom

hidrogen yang fungsinya pada saat diadakan

pengukuran adalah fungsi 2px. Tentukan hasil-hasil

pengukuran yang mungkin dan tentukan pula

probabilitas masing-masing hasil pengukuran.

Jawab:

a. 2px adalah kombinasi linear dari 2p(+1) dan 2p(-1).

Jadi harga Lz yang mungkin adalah ℏ dan - ℏ karena

Lz adalah m ℏ .

b. Untuk menentukan probabilitas masing-masing, kita

ekspansi 2px atas fungsi-fungsi penyusunnya: 2px =

2-1/2 2p(+1) + 2-1/2 2p(-1).

Persamaan diatas adalah bentuk ekspansi 2px atas

2p(+1) dan 2p(-1) dengan koefisien c1 = c2 = 2-1/2.

Menurut teorema 8, probabilitasnya adalah: P1 = 2-

1/22 = ½ = P2. P1 adalah probabilitas mendapatkan Lz =ℏ sedang P2 adalah probabilitas mendapatkan Lz = - ℏ

Contoh: Akan dilakukan pengukuran terhadap energi (E)

bagi partikel dalam box yang panjangnya a dan

pada saat pengukuran dilakukan partikel berada

pada keadaan non stasioner = 301/2a-5/2x (a-x)

untuk 0 < x <

xxxviii

a. Tentukan hasil-hasil pengukuran yang mungkin dan

tentukan pula probabilitas masing-masing hasil

pengukuran

Jawab: Untuk partikel dalam box:

E = n2h2 /(8ma2)dengan n = 1, 2, 3,..... dan non

degenerate (karena 1 dimensi) sedang fungsi eigennya

adalah n = (2/a)1/2 sin (n/a) x. Untuk menghitung

probabilitasnya maka kita ekspansi saat itu atas n,

jadi:

= n cn n

Menurut (1-67) : ci = ∫ . g*j d

jadi: cn =

∫ . n d = 301/2a-5/2 (2/a)1/2 {x (a-x)}sin (n∫ /a) x

dx

= 2401 /2

n3π3 [ 1 - (-1)n ]

(Buktikan) (1-

69)

Pn = cn2 = 240n6π6 [ 1 - (-1)n ]2.

Catatan: Jika anda akan membuktikan (1-69) yang perlu

dicatat adalah bahwa cos n = (-1)n

xxxix

2.7 Postulat-Postulat Mekanika Kuantum

Sepanjang perjalanan kita dalam mempelajari

mekanika kuantum, kita telah mengenal postulat-postulat

mekanika kuantum. Sekarang ini, kita akan merangkumnya:

Postulat I. Keadaan (state) sistem dideskripsi oleh fungsi

yang merupakan fungsi koordinat dan waktu.

Fungsi ini disebut fungsi keadaan atau fungsi

gelombang yang memuat semua informasi mengenai

sistem. Selanjutnya juga dipostulatkan bahwa

harus bernilai tunggal, continous, ternormalisasi

dan quadratically integrable.

Postulat II. Setiap besaran fisik teramati, berhubungan

dengan operator Hermite linear. Untuk menurunkan

operator ini, tulislah ekspresinya secara mekanika

klasik dalam koordinat Cartessius, dan

hubungkanlah dengan komponen momentum linearnya,

kemudian gantilah setiap koordinat x dengan x¿

dan

setiap komponen px dengan −iℏ ∂

∂x

Postulat III. Nilai yang mungkin, yang dapat diperoleh

dari besaran fisik A hanyalah nilai eigen ai dalam

persamaan  gi = ai gi dengan  adalah operator

yang berhubungan besaran fisik A dan gi adalah

xl

fungsi eigen yang well behaved.

Postulat IV. Jika  adalah operator Hermite linear yang

mewakili besaran fisik teramati tertentu, maka

fungsi gi dari operator  membentuk himpunan

lengkap.

Catatan:

Postulat IV di atas lebih bersifat sebagai

postulat matematik artinya kurang bersifat postulat

fisik, karena tidak ada pembuktian matematik sama

sekali terhadap postulat ini. Karena tidak ada

pembuktian matematik terhadap kelengkapan himpunan,

maka kita harus berasumsi terhadap kelengkapannya.

Postulat IV mengijinkan kita untuk mengekspansi fungsi

gelombang untuk sembarang keadaan sebagai superposisi

dari fungsi-fungsi eigen ortonormal dari sembarang

operator mekanika kuantum. Ekspansinya adalah dalam

bentuk:

= i ci gi (1-

70)

Postulat V. Jika (q,t) adalah fungsi ternormalisasi yang

mewakili suatu sistem pada saat t, maka nilai

rata-rata besaran fisik A pada saat t, adalah:

xli

< A > = ∫* d

(1-71)

Postulat VI. Keadaan bergantung waktu dalam sistem

mekanika kuantum dinyatakan dengan menggunakan

persamaan Schrodinger bergantung waktu:

−ℏi

∂Ψ∂t = H (1-

72)

dengan H adalah operator Hamilton (Energi) sistem

itu

2.8 Pengukuran dan Interpretasi Mekanika Kuantum

Dalam mekanika kuantum perubahan suatu sistem

terjadi melalui dua macam cara. Yang pertama perubahan

yang terjadi secara berangsur-angsur dari waktu ke

waktu (reversibel). Perubahan jenis ini ditunjukkan

oleh persamaan Schrodinger bergantung waktu (1-72).

Cara kedua adalah perubahan yang terjadi secara spontan

(irreversibel), diskontinyu (tidak terus menerus) dan

probabilitas kejadiannya sangat fluktuatif dan

ditentukan oleh sistem itu sendiri. Jenis perubahan

spontan ini tidak dapat diprediksi secara pasti karena

hasil pengukurannya juga tidak dapat diprediksi secara

pasti; hanya probabilitas kejadiannya saja yang dapat

xlii

diprediksi. Perubahan spontan dalam disebabkan oleh

pengukuran yang disebut reduksi fungsi gelombang.

Pengukuran terhadap besaran A yang menghasilkan ak

berakibat mengubah fungsi menjadi gk yaitu fungsi eigen

operator  yang nilai eigennya ak. Untuk lebih jelasnya

adalah sebagai berikut: Misal kita melakukan dua kali

pengukuran terhadap Lz elektron dalam atom hidrogen.

Pada pengukuran pertama dihasilkan Lz = 2 ℏ . Pada saat

ini fungsi gelombangnya tentu fungsi gelombang dengan m

= 2, sehingga secara umum fungsi gelombangnya adalah

( n, ℓ , 2) dengan ℓ > 2 dan n > ℓ +1. Selanjutnya misal

pada pengukuran kedua diperoleh Lz = - ℏ . Pada

pengukuran kedua ini, hasil pengukuran pasti berasal

dari fungsi gelombang hidrogen yang m = -1, sehingga

fungsi gelombangnya adalah (n, ℓ ,-1) dengan ℓ > 1 dan n >ℓ +1. Jadi tampak adanya perubahan fungsi gelombang

secara mendadak akibat adalah pengulangan pengukuran.

Inilah penjelasan dari reduksi fungsi gelombang.

Hal penting lain yang perlu mendapat perhatian

mengenai pengukuran adalah bahwa dalam mekanika

kuantum, pengukuran merupakan sesuatu yang sangat

kontroversial. Bagaimana dan kegiatan apa yang terjadi

dalam kaitannya dengan reduksi pada saat terjadi

pengukuran sungguh sesuatu yang sangat tidak jelas. Ada

fisikawan yang berpendapat reduksi merupakan postulat

tambahan bagi mekanika kuantum, sementara fisikawan lain

menyatakan bahwa reduksi merupakan teorema yang

xliii

diturunkan dari postulat lain. Para ahli saling berbeda

pendapat mengenai reduksi ini (L.E Balentine, 2004).

Balentine mendukung interpretasi ansemble statistika

pada mekanika kuantum, yang dikemukakan oleh Einstein,

yang menyatakan bahwa fungsi gelombang tidak

mendeskripsi keadaan sistem tunggal (sebagaimana dalam

interpretasi ortodok) tetapi memberikan deskripsi

statistikal terhadap sekelompok sistem (dalam jumlah

besar/ ansemble); dengan interpretasi seperti ini maka

silang pendapat mengenai reduksi fungsi gelombang tidak

terjadi.

"Bagi sebagian besar fisikawan, problema untuk

mendapatkan teori mekanika kuantum yang berhubungan

dengan pengukuran masih merupakan suatu persoalan yang

belum ada penyelesaiannya. Adanya perbedaan

pendapat.... ketidakpastian dalam pengukuran kuantum...

dan lain-lain.... semua itu merefleksikan adanya

ketaksepahaman dalam menginterpretasi mekanika kuantum

secara global" (M. Jammer, 2003)

Sifat probabilistik dalam mekanika kuantum telah

membuat para fisikawan bingung, termasuk di antaranya

Einstein, de Broglie dan Schrodinger. Sampai-sampai

mereka menyatakan bahwa mekanika kuantum belum

memberikan deskripsi yang memuaskan bagi realitas fisik.

Selanjutnya, hukum probabilistik mekanika kuantum,

secara sederhana dapat dipandang sebagai refleksi dari

xliv

hukum deterministik yang beroperasi pada level sub

mekanika kuantum dan yang melibatkan variabel

tersembunyi (hidden variables). Sebuah analogi bagi kasus

ini diberikan oleh fisikawan Bohm, yaitu kasus gerak

Brown partikel debu di udara. Partikel-partikel

bergerak di bawah kondisi fluktuasi random, sehingga

posisi dan geraknya tidak dapat ditentukan secara pasti

oleh posisi dan kecepatannya. Secara analogis pula,

gerak elektron dapat ditentukan oleh variabel

tersembunyi yang ada dalam level sub mekanika kuantum.

Interpretasi ortodok (sering disebut interpretasi

Copenhagen) yang dikembangkan oleh Heissenberg dan

Bohr, menafikan adanya variabel tersembunyi dan

menyatakan bahwa hukum mekanika kuantum memberikan

deskripsi lengkap bagi realitas fisik.

Pada tahun 1964 J.S. Bell membuktikan bahwa dalam

eksperimen tertentu yang melibatkan dua partikel yang

terpisah jauh, yang pada awalnya berada pada daerah

yang sama dalam ruangan, orang harus membuat beberapa

kemungkinan teori variabel tersembunyi untuk

memprediksi adanya perbedaan dengan yang dilakukan oleh

mekanika kuantum. Dalam teori lokal, dua partikel yang

sangat berjauhan akan saling independen. Hasil beberapa

eksperimen sesuai dengan prediksi mekanika kuantum, dan

hal ini memperkuat keyakinan mekanika kuantum untuk

melawan teori variabel tersembunyi lokal.

xlv

Selanjutnya analisis yang dilakukan oleh Bell dan

kawan-kawan menunjukkan bahwa hasil eksperimen ini

beserta prediksinya terhadap mekanika kuantum adalah

tidak kompatibel dengan pandangan dunia mengenai

realisme dan lokalitas. Realisme (juga disebut

obyektivitas) adalah doktrin yang menyatakan bahwa

realitas eksternal itu eksis dan sifat-sifat definitnya

adalah independen terhadap benar tidaknya realitas yang

kita amati. Sedang lokalitas adalah ke-instan-an aksi

pada jarak yang memungkinkan sebuah sistem berpengaruh

terhadap yang lain ketika sistem itu harus melintas

dengan kecepatan yang tidak melebihi kecepatan cahaya.

Teori kuantum memprediksi dan eksperimen

mengkorfirmasi bahwa manakala pengukuran dilakukan pada

dua partikel yang pada mulanya berinteraksi dan

kemudian dipisahkan oleh jarak yang tak terbatas maka

hasil pengukuran terhadap partikel yang satu

dipengaruhi oleh pengukuran partikel yang lain dan juga

dipengaruhi oleh sifat kedua partikel yang diukur. Hal

ini membuat adanya pendapat bahwa mekanika kuantum

adalah magic (D. Greenberger, 2004).

Meskipun prediksi-prediksi eksperimen mekanika

kuantum tidak arguabel, trtapi ternyata interpretasi

konseptualnya masih saja menjadi topik debat yang

hangat dan menarik bagi para ahli, bahkan sampai saat

ini.

xlvi

2.9 Fungsi Eigen Untuk Operator Posisi

Kita telah menurunkan fungsi eigen untuk operator

momentum linear dan momentum angular. Pertanyaan kita

sekarang adalah, bagaimana fungsi eigen untuk operator

posisi ?

Operator posisi ditulis x yang operasinya adalah x

kali atau

x = x.

Jika fungsi eigen posisi kita misalkan g(x) dan nilai

eigennya a, maka:

x g(x) = a g(x) atau:

x g(x) = a g(x) atau (1-

73)

(x - a) g(x) = 0 (1-

74)

Dari (1-87) dapat disimpulkan bahwa :

untuk x = a g(x) ¿ 0 (1-

75)

untuk x ¿ a g(x) = 0 (1-

76)

Kesimpulan di atas membawa kita kepada pemikiran

mengenai sifat g(x), yaitu bahwa seandainya fungsi state

= g(x), dan jika dilakukan pengukuran terhadap x, maka

xlvii

1/21

H(x)

x

kemungkinan hasilnya adalah a, dan itu hanya benar jika

probabilitas nya 2 adalah nol untuk x ¿ a agar

memenuhi (1-89). Sebelum membahas lebih lanjut mengenai

fungsi g(x), akan diperkenalkan fungsi Heaviside step H(x)

yang definisinya (gambar 1-1)

Gambar 1.1: Fungsi Heaviside step

Dari gambar itu tampak bahwa:

H(x) = 1 untuk x > 0

H(x) = ½ untuk x = 0 (1-

77)

H(x) = 0 untuk x < 0

Selanjutnya akan diperkenalkan fungsi Delta Dirac (x)yang merupakan turunan dari fungsi Heaviside step.

(x) = d H(x) / dx (1-

78)

Dari (1-90) dan (1-91) diperoleh:

xlviii

(x) = 0 untuk x ¿ 0 (1-

79)

Karena pada x = 0 terjadi lompatan mendadak pada harga

H(x), maka turunan tak terhingga, jadi:

(x) = ~ untuk x = 0 (1-

80)

Sekarang kita perhatikan (1-90). Jika x diganti x - a,

maka (1-90) akan menjadi lebih umum, yaitu dalam

bentuk:

H(x - a) = 1 untuk (x – a) > 0

H(x - a) = ½ untuk (x - a) = 0 (1-

81)

H(x - a) = 0 untuk (x – a )< 0

atau:

H(x - a) = 1 untuk x > a

H(x - a) = ½ untuk x = a (1-

82)

H(x - a) = 0 untuk x < a

Dengan demikian maka:

(x-a) = 0 untuk x ¿ a ; (x-a) = ~

untuk x = a (1-

83)

xlix

Sekarang perhatikan integral berikut:

∫−~

~

f(x) (x-a) dx

Evaluasi terhadap integral tersebut menggunakan metode

parsial U dV = UV - V dU dengan U =∫ ∫ f(x) sedang dV =

(x-a) dx sehingga dU = f '(x) dx, maka V = H(x-a)

Jadi:

∫−~

~

f(x) (x-a) dx = [f(x) H(x-a) ]

−~~

- ∫

−~

~

H(x-a) f '(x) dx

∫−~

~

f(x) (x-a) dx = f (~) -∫

−~

~

H(x-a) f '(x) dx (1-

84)

Karena H(x-a) hilang kalau x < a maka (1-84) menjadi:

∫−~

~

f(x) (x-a) dx = f (~) -∫a

~

H(x-a) f '(x) dx (1-

85)

Suku ∫a

~

H(x-a) f '(x) dx pada (1-84) adalah V dU jadi (1-∫

84) menjadi:

∫−~

~

f(x) (x-a) dx = f(a) (1-

86)

l

Jika kita bandingkan (1-86) dengan persamaan j Cj ij =

Ci kita dapat melihat bahwa peran fungsi delta Dirac

dalam integral sama dengan peran Kronecker delta dalam

jumlah atau sigma.

Jadi dapat dipastikan:

∫−~

~

(x-a) dx = 1 (1-

87)

Sifat dari fungsi delta Dirac sama dengan sifat (1-75)

dan (1-76), dari fungsi eigen posisi g(x). Dengan

demikian secara tentatif dapat dinyatakan bahwa fungsi

eigen posisi adalah:

g(x) = (x-a) (1-

88)

li

BAB III

PENUTUP

3.1 Kesimpulan

1. Operator adalah suatu instruksi matematis yang

bila dikenakan atau dioperasikan pada suatu

fungsi maka akan mengubah fungsi tersebut

menjadi fungsi lain.

2. Sifat pertama operator Hermit adalah bahwa

nilai-nilai operator itu adalah real.

3. Sifat kedua dari operator Hermit adalah bahwa

fungsi-fungsi eigennya adalah orthogonal.

4. Terdapat 9 teorema yang berhubungan dengan

operator Hermit.

lii

5. Jika operator berbentuk matriks, maka perkalian

dengan fungsi akan mengikuti cara-cara dalam

teori matriks.

6. Dalam mekanika kuantum, terdapat 6 postulat.

7. Postulat IV mekanika kuantum lebih bersifat

sebagai postulat matematik artinya kurang

bersifat postulat fisik, karena tidak ada

pembuktian matematik sama sekali terhadap

postulat ini. Karena tidak ada pembuktian

matematik terhadap kelengkapan himpunan, maka

kita harus berasumsi terhadap kelengkapannya.

3.2 Saran

Kami berharap setelah pembahasan makalah ini akan

ada perbaikan atau saran- saran yang berdampak positif

untuk perkembangan pengetahuan setiap pemabaca untuk

topik bahasan tentang operator-operator dalam mekanika

kuantum dan fungsi eigen.

liii

DAFTAR PUSTAKA

Anonim.2014.http://kimia.unnes.ac.id/v4/wp/Bab-1-Teorema-

Mekanika-Kuantum-FIN.doc

Anonim. 2014.

http://staff.uny.ac.id/sites/default/files/pengabdian/mgmp-fisika-

bantul.pdf

Sumardi,Yos. 2000. Pengantar Fisika Kuantum.Jakarta:

Universitas Terbuka

liv