OPERATIONS RESEARCH - wajahdunia.comwajahdunia.com/wp-content/uploads/2018/12/modul_3_metode_grafis.pdf · Jurusan Teknik Industri FT Unpas Tjutju T. Dimyati Catatan • Untuk persoalan

Fakultas Teknik

Universitas Pasundan

Jurusan Teknik Industri

Tjutju T Dimyati

OPERATIONS RESEARCH – I

MODEL-MODEL DETERMINISTIK

Jurusan Teknik Industri FT Unpas

PEMROGRAMAN LINIER

Tjutju T. Dimyati

PENYELESAIAN PERSOALAN DENGAN METODE GRAFIS

Jurusan Teknik Industri FT Unpas

Tujuan Pembelajaran

Menguasai penyelesaian persoalan Pemrograman Linier dengan metode grafis

Tjutju T. Dimyati

Jurusan Teknik Industri FT Unpas

Capaian Pembelajaran

Di akhir perkuliahan mahasiswa:

Mampu menyelesaikan persoalan Pemrograman Linier dengan dua variabel melalui penerapan konsep Fungsi dan Grafik untuk persamaan linier

Tjutju T. Dimyati

Jurusan Teknik Industri FT Unpas

Tjutju T. Dimyati

METODE GRAFIS

• Hanya dapat digunakan untuk menyelesaikan persoalan LP dengan dua variabel keputusan

• Fungsi tujuan maksimasi atau minimasi

• Fungsi-fungsi pembatas berupa persamaan atau pertaksamaan

Jurusan Teknik Industri FT Unpas

Tjutju T. Dimyati

TERMINOLOGI

• Seluruh titik (nilai variabel keputusan) yang memenuhi seluruh fungsi pembatas dan pembatas tanda disebut daerah fisibel

• Setiap titik pada daerah fisibel yang memberikan nilai fungsi tujuan terbaik (nilai terbesar untuk persoalan maksimasi atau terkecil untuk persoalan minimasi) disebut solusi optimal

Jurusan Teknik Industri FT Unpas

Tjutju T. Dimyati

Langkah Penyelesaian Metode Grafis

1. Buat sumbu horizontal dan sumbu vertikal, nyatakan masing-masing sebagai variabel keputusan

2. Buat skala ukuran panjang pada masing-masing sumbu

3. Gambarkan garis setiap fungsi pembatas

Jurusan Teknik Industri FT Unpas

Tjutju T. Dimyati

Langkah Penyelesaian Metode Grafis

4. Nyatakan arah daerah berlakunya setiap garis dan tentukan daerah fisibel, jika ada

5. Tentukan titik-titik ujung dari daerah fisibel, jika ada

6. Gambarkan garis fungsi tujuan

Jurusan Teknik Industri FT Unpas

Tjutju T. Dimyati

Langkah Penyelesaian Metode Grafis

7. Geser garis fungsi tujuan (tidak boleh berubah arah) pada daerah fisibel hingga menyentuh titik ujung daerah fisibel yang dapat memberikan nilai fungsi tujuan terbaik (nilai terbesar untuk persoalan maksimasi atau terkecil untuk persoalan minimasi)

Jurusan Teknik Industri FT Unpas

Tjutju T. Dimyati

Langkah Penyelesaian Metode Grafis

8. Tetapkan nilai koordinat dari titik ujung pada langkah 7 dan nyatakan titik tersebut sebagai titik optimal

9. Buat kesimpulan mengenai solusi persoalan yang diselesaikan

Jurusan Teknik Industri FT Unpas

Tjutju T. Dimyati

Model LP untuk Persoalan Tabung Panas

MAX: 350X1 + 300X2

S.T.:

1X1 + 1X2 <= 200

9X1 + 6X2 <= 1566

12X1 + 16X2 <= 2880

X1 >= 0 ; X2 >= 0

Jurusan Teknik Industri FT Unpas

Tjutju T. Dimyati

X2

X1

250

200

150

100

50

0

0 50 100 150 200 250

(0, 200)

(200, 0)

Garis pembatas pompa

X1 + X2 = 200

Pembatas Pertama

Jurusan Teknik Industri FT Unpas

Tjutju T. Dimyati

X2

X1

250

200

150

100

50

0

0 50 100 150 200 250

(0, 261)

(174, 0)

Garis pembatas waktu

9X1 + 6X2 = 1566

Pembatas Kedua

Jurusan Teknik Industri FT Unpas

Tjutju T. Dimyati

X2

X1

250

200

150

100

50

0

0 50 100 150 200 250

(0, 180)

(240, 0)

Garis pembatas tabung

12X1 + 16X2 = 2880

Daerah Fisibel

Pembatas Ketiga

Jurusan Teknik Industri FT Unpas

Tjutju T. Dimyati

X2 Menggambar Garis Fungsi Tujuan

X1

250

200

150

100

50

0

0 50 100 150 200 250

(0, 116.67)

(100, 0)

Fungsi tujuan

350X1 + 300X2 = 35000

Jurusan Teknik Industri FT Unpas

Tjutju T. Dimyati

Menggeser Garis Fungsi Tujuan X2

X1

250

200

150

100

50

0

0 50 100 150 200 250

(0, 175)

(150, 0)

Nilai fungsi tujuan

350X1 + 300X2 = 35000

Nilai fungsi tujuan 350X1 + 300X2 = 52500

Jurusan Teknik Industri FT Unpas

Tjutju T. Dimyati

Menentukan Lokasi Solusi Optimal X2

X1

250

200

150

100

50

0

0 50 100 150 200 250

objective function

350X1 + 300X2 = 35000

objective function

350X1 + 300X2 = 52500

Solusi Optimal

Jurusan Teknik Industri FT Unpas

Tjutju T. Dimyati

Menentukan Nilai Fungsi Tujuan

• Solusi optimal terjadi pada perpotongan garis pembatas “pompa” dan “waktu”.

• Kedua garis tersebut adalah:

X1 + X2 = 200 (1)

dan 9X1 + 6X2 = 1566 (2)

• Dari (1) diperoleh,

X2 = 200 -X1 (3)

Jurusan Teknik Industri FT Unpas

Tjutju T. Dimyati

Menentukan Nilai Fungsi Tujuan

• Substitusi (3) tehadap X2 pada (2) diperoleh,

9X1 + 6 (200 -X1) = 1566

sehingga X1 = 122

• Maka solusi optimal adalah:

X1=122, X2=200-X1=78

Total Profit = $350*122 + $300*78 = $66,100

Jurusan Teknik Industri FT Unpas

Tjutju T. Dimyati

Enumerasi Titik-titik Sudut X2

X1

250

200

150

100

50

0

0 50 100 150 200 250

(0, 180)

(174, 0)

(122, 78)

(80, 120)

(0, 0)

Nilai FT = $54,000

Nilai FT = $64,000

Nilai FT = $66,100

Nilai FT = $60,900 Nilai FT = $0

Note: This technique will not work if

the solution is unbounded.

Jurusan Teknik Industri FT Unpas

Tjutju T. Dimyati

Kondisi Khusus pada Models LP

Beberapa kondisi khusus dapat terjadi pada persoalan LP:

Solusi Optimal Alternatif

Pembatas Redundant

Solusi Unbounded

Tidak Fisibel

Jurusan Teknik Industri FT Unpas

Tjutju T. Dimyati

Contoh Solusi Optimal Alternatif X2

X1

250

200

150

100

50

0

0 50 100 150 200 250

450 X1 + 300 X2 = 78300

Fungsi tujuan

Solusi optimal alternatif

Jurusan Teknik Industri FT Unpas

Tjutju T. Dimyati

ALTERNATIVE OPTIMAL SOLUTIONS

The case of alternative optimal solutions can be recognize graphically when the isoprofit line last hits an entire line segment before leaving the feasible region (Winston, 1987)

Jurusan Teknik Industri FT Unpas

Tjutju T. Dimyati

Contoh Pembatas Redundant X2

X1

250

200

150

100

50

0

0 50 100 150 200 250

Batas garis pembatas tabung

Feasible Region

Batas garis pembatas pompa

Batas garis pembatas waktu

Jurusan Teknik Industri FT Unpas

Tjutju T. Dimyati

Contoh Solusi Unbounded X2

X1

1000

800

600

400

200

0

0 200 400 600 800 1000

X1 + X2 = 400

X1 + X2 = 600

Fungsi tujuan

X1 + X2 = 800

Fungsi tujuan

-X1 + 2X2 = 400

Jurusan Teknik Industri FT Unpas

Tjutju T. Dimyati

Contoh Tidak Fisibel X2

X1

250

200

150

100

50

0

0 50 100 150 200 250

X1 + X2 = 200

X1 + X2 = 150

Daerah fisibel untuk

pembatas kedua

Daerah fisibel

untuk pembatas

pertama

Jurusan Teknik Industri FT Unpas

MENYELESAIKAN PERSOALAN MINIMASI

1.

Min Z = 5 X1 + 14 X2

dengan pembatas

X1 + 2 X2 6

X1 + 4 X2 8

X1 , X2 0

2.

Min Z = 2 X1 - 3 X2

dengan pembatas

X1 + X2 4

X1 - X2 6

X1 , X2 0

Tjutju T. Dimyati

Selesaikan dengan metoda grafis dua contoh soal

berikut:

Jurusan Teknik Industri FT Unpas

Tjutju T. Dimyati

Pertanyaan

1. Bagaimanakah solusi dari soal no.1? Apa sebabnya?

2. Mengapa solusi soal no.2 tidak seperti soal no.1?

3. Apa yang terjadi jika salah satu (yang mana saja) dari fungsi pembatas soal no.1 dirubah menjadi bertanda ?

Jurusan Teknik Industri FT Unpas

Tjutju T. Dimyati

Pertanyaan

4.Jika kedua fungsi pembatas pada soal no.1 bertanda bagaimanakah daerah fisibelnya? Bagaimana solusinya?

5.Jika kedua fungsi pembatas pada soal no.1 bertanda dan fungsi tujuannya maksimasi, bagaimanakah daerah fisibelnya? Bagaimana solusinya?

6.Apa yang dapat disimpulkan dari eksperimen ini?

Jurusan Teknik Industri FT Unpas

Tjutju T. Dimyati

Catatan

• Untuk persoalan minimasi, jika seluruh koefisien fungsi tujuan bertanda positif maka sekurang-kurangnya harus ada satu fungsi pembatas yang bertanda agar solusi dari persoalan tersebut bukan nol.

• Daerah fisibel yang bersifat unbounded pada persoalan minimasi, tidak menimbulkan masalah bagi pencarian solusi optimal.

Jurusan Teknik Industri FT Unpas

Tjutju T. Dimyati

Catatan

• Daerah fisibel yang bersifat unbounded pada persoalan maksimasi, menyebabkan solusi optimalnya tidak dapat ditentukan. Karena itu untuk persoalan maksimasi harus ada sekurang-kurangnya satu fungsi pembatas yang bertanda agar tidak terjadi kasus unbounded.