OPERASI_MATRIKS

8/15/2019 OPERASI_MATRIKS

1/29

OPERASI MATRIKS

1. Penjumlahan Matriks

Dua matriks dapat dijumlahkan jika ordonya sama. Yang dijumlahkan yaitu elemen-elemen yang seletak.

Sifat-sifat penjumlahan matriks:

1. A + B = B + A (bersifat komutatif )

2. A + (B + C) = (A + B) + C (bersifat asosiatif )

3. A + O = O + A = A (O matriks identitas dari penjumlahan)

4. A + (-A) = (-A) + A = O (-A matriks invers penjumlahan)


2/29

2. Pengurangan Matriks

Dua matriks dapat dikurangkan jika ordonya sama. Yang dikurangkan elemen-elemen yang seletak.


3/29

Sifat-sifat Pengurangan matriks:

1. A – B # B – A (tidak komutatif )

2. A – (B – C) = (A – B) – C (asosiatif )


4/29


5/29

3. Perkalian Matriks

Perkalian matriks dengan bilangan real (skalar)

Hasil perkalian skalar k dengan sebuah matriks A yang berordo m x n adalah sebuah matriks yang berordo m x n dengan elemen-

elemennya adalah hasil kali skalar k dengan setiap elemen matriks A.

Perkalian Matriks Dengan Matriks

Dua matriks A dan B dapat dikalikan jika jumlah kolom matriks A (matriks kiri) sama dengan jumlah baris matriks B (matrikskanan).

Ordo hasil perkalian matriks Amxn dengan Bnxp , misalnya matriks C yang akan berordo mxp (seperti permainan domino)

Cara mengalikan matriks A dan B yaitu dengan menjumlahkan setiap perkalian elemen pada baris matriks A dengan elemen

kolom matriks B dan hasilnya diletakkan sesuai dengan baris dan kolom pada matriks C (matriks hasil perkalian).


6/29

Sifat-sifat perkalian matriks: /

1. Tidak komutatif (AB # BA)

2. Asosiatif : (AB)C = A(BC)3. Distributif kiri : A(B + C) = AB + AC

Distributif kanan : (B + C)A = BA + CA

4. Identitas : IA = AI = A

5. k(AB) = (kA)B


7/29

Diposkan oleh jeep rizky di 08.37 Tidak ada komentar:Kirimkan Ini leat !mail"logThis#"er$agi ke Titter"er$agi ke %a&e$ook"agikan ke Pinterest

D!T!'MI()( M)T'IK*DETERMINAN MATRIKS

Determinan matriks A didefinisikan sebagai selisih antara perkalian elemen-elemen pada diagonal utama dengan

perkalian elemen-elemen pada diagonal sekunder. Determinan darimatriks A dinotasikan dengan det A atau |A|.

Nilai dari determinan suatu matriks berupa bilangan real.

a. Determinan matriks berordo dua

https://plus.google.com/101083501215324879254https://plus.google.com/101083501215324879254http://riski-unigha.blogspot.com/2013/05/operasi-matriks_3213.htmlhttp://riski-unigha.blogspot.com/2013/05/operasi-matriks_3213.htmlhttp://riski-unigha.blogspot.com/2013/05/operasi-matriks_3213.html#comment-formhttp://www.blogger.com/share-post.g?blogID=421895771155784075&postID=364937145388882964&target=emailhttp://www.blogger.com/share-post.g?blogID=421895771155784075&postID=364937145388882964&target=bloghttp://www.blogger.com/share-post.g?blogID=421895771155784075&postID=364937145388882964&target=twitterhttp://www.blogger.com/share-post.g?blogID=421895771155784075&postID=364937145388882964&target=facebookhttp://www.blogger.com/share-post.g?blogID=421895771155784075&postID=364937145388882964&target=pinteresthttp://riski-unigha.blogspot.com/2013/05/determinan-matriks_519.htmlhttps://plus.google.com/101083501215324879254http://riski-unigha.blogspot.com/2013/05/operasi-matriks_3213.htmlhttp://riski-unigha.blogspot.com/2013/05/operasi-matriks_3213.html#comment-formhttp://www.blogger.com/share-post.g?blogID=421895771155784075&postID=364937145388882964&target=emailhttp://www.blogger.com/share-post.g?blogID=421895771155784075&postID=364937145388882964&target=bloghttp://www.blogger.com/share-post.g?blogID=421895771155784075&postID=364937145388882964&target=twitterhttp://www.blogger.com/share-post.g?blogID=421895771155784075&postID=364937145388882964&target=facebookhttp://www.blogger.com/share-post.g?blogID=421895771155784075&postID=364937145388882964&target=pinteresthttp://riski-unigha.blogspot.com/2013/05/determinan-matriks_519.html


8/29

+ontoh:

b. Determinanmatriks berordo tiga - menggunakan aturan Sarrus


9/29

Det A=[A]=


10/29

a11 . a12 . a33 + a12 . a23 . a31 + a13 . a21 . a32 – a31 . a22 . a13 – a32 . a23 . a11– a33 . a21 . a12


11/29

det A = 2.2.3 + 1.1.5 + 4.4.1 - 5.2.4 - 1.1.2 - 3.4.1

= 12 + 5 + 16 – 40 – 2 – 12

= -21

2. Adjoint Matriks

Adjoint yaitu koofaktor yangh di transposekan dan ditulis dengan Adj (A).

Adjoin d isingkat Adj.


12/29

Adjoint suatu matriks bujur sangkar adalah :

Diposkan oleh jeep rizky di 08.0, Tidak ada komentar:Kirimkan Ini leat !mail"logThis#"er$agi ke Titter"er$agi ke %a&e$ook"agikan ke Pinterest

'a$- 08 Mei /03

I(1!'* M)T'IK*Invers Matriks

https://plus.google.com/101083501215324879254https://plus.google.com/101083501215324879254http://riski-unigha.blogspot.com/2013/05/determinan-matriks_519.htmlhttp://riski-unigha.blogspot.com/2013/05/determinan-matriks_519.html#comment-formhttp://riski-unigha.blogspot.com/2013/05/determinan-matriks_519.html#comment-formhttp://www.blogger.com/share-post.g?blogID=421895771155784075&postID=2684049263846387074&target=emailhttp://www.blogger.com/share-post.g?blogID=421895771155784075&postID=2684049263846387074&target=bloghttp://www.blogger.com/share-post.g?blogID=421895771155784075&postID=2684049263846387074&target=twitterhttp://www.blogger.com/share-post.g?blogID=421895771155784075&postID=2684049263846387074&target=facebookhttp://www.blogger.com/share-post.g?blogID=421895771155784075&postID=2684049263846387074&target=pinteresthttp://riski-unigha.blogspot.com/2013/05/invers-matriks.htmlhttps://plus.google.com/101083501215324879254http://riski-unigha.blogspot.com/2013/05/determinan-matriks_519.htmlhttp://riski-unigha.blogspot.com/2013/05/determinan-matriks_519.html#comment-formhttp://www.blogger.com/share-post.g?blogID=421895771155784075&postID=2684049263846387074&target=emailhttp://www.blogger.com/share-post.g?blogID=421895771155784075&postID=2684049263846387074&target=bloghttp://www.blogger.com/share-post.g?blogID=421895771155784075&postID=2684049263846387074&target=twitterhttp://www.blogger.com/share-post.g?blogID=421895771155784075&postID=2684049263846387074&target=facebookhttp://www.blogger.com/share-post.g?blogID=421895771155784075&postID=2684049263846387074&target=pinteresthttp://riski-unigha.blogspot.com/2013/05/invers-matriks.html


13/29

1. Invers Matriks Ordo 2 x 2

ad-bc disebut Determinan (D) atau [A] atau det(A).

ad – bc disebut Determinan (D) atau atau det(A).Jadi .

Jika D = 0, maka matriks A tidak mempunyai invers dan matriks A

disebut matriks Singular. Jika ad – bc maka matriks A disebut matriks Nn Singular.


14/29

!. "n#ers $atriks %rd & ' &

Determinan $atriks %rd & ' &

ara menentukan determinan matriks rd & ' & dengan menggunakan diagramSA*S, yaitu+

1. Salin klm ke1 dan ke! pada klm ke- dan ke

!. /urangkan umla perkalian elemenelemen pada diagnal ke ba2a dengan umla

perkalian elemenelemen pada diagnal ke atas.


15/29

Minor, Koofaktor Dan Adjoint

Minor yaitu sebuah determinan yang diperoleh dengan cara menghilangkan baris ke-idan kolom ke-j, dan ditulis dengan Aij. Sedangkan koofaktor diperoleh dari perkalian.

Mij dengan (-1)ixj

dan ditulis dengan Aij . Sedangkan adjoint yaitu koofaktor yang

ditransposekan dan ditulis dengan Adj(A).


16/29

Untuk menentukan invers matriks A ordo 3 x 3 dengan menggunakan rumus :

Jadi D = [A] = det(A) = ad -bc.

Jika D = 0, maka matriks A tidak mempunyai invers dan matriks A

disebut matriks Singular. Jika ad – bc # 0 maka matriks A disebut matriks Non Singular.Diposkan oleh jeep rizky di /./ Tidak ada komentar:

Kirimkan Ini leat !mail"logThis#"er$agi ke Titter"er$agi ke %a&e$ook"agikan ke Pinterest

2!(I*2!(I* M)T'IK*JENIS-JENIS MATRIKS

1. Matriks Nol

Yaitu matriks yang setiap elemennya nol.

https://plus.google.com/101083501215324879254https://plus.google.com/101083501215324879254http://riski-unigha.blogspot.com/2013/05/invers-matriks.htmlhttp://riski-unigha.blogspot.com/2013/05/invers-matriks.htmlhttp://riski-unigha.blogspot.com/2013/05/invers-matriks.html#comment-formhttp://www.blogger.com/share-post.g?blogID=421895771155784075&postID=3026367546738436421&target=emailhttp://www.blogger.com/share-post.g?blogID=421895771155784075&postID=3026367546738436421&target=bloghttp://www.blogger.com/share-post.g?blogID=421895771155784075&postID=3026367546738436421&target=twitterhttp://www.blogger.com/share-post.g?blogID=421895771155784075&postID=3026367546738436421&target=facebookhttp://www.blogger.com/share-post.g?blogID=421895771155784075&postID=3026367546738436421&target=pinteresthttp://riski-unigha.blogspot.com/2013/05/jenis-jenis-matriks_8.htmlhttps://plus.google.com/101083501215324879254http://riski-unigha.blogspot.com/2013/05/invers-matriks.htmlhttp://riski-unigha.blogspot.com/2013/05/invers-matriks.html#comment-formhttp://www.blogger.com/share-post.g?blogID=421895771155784075&postID=3026367546738436421&target=emailhttp://www.blogger.com/share-post.g?blogID=421895771155784075&postID=3026367546738436421&target=bloghttp://www.blogger.com/share-post.g?blogID=421895771155784075&postID=3026367546738436421&target=twitterhttp://www.blogger.com/share-post.g?blogID=421895771155784075&postID=3026367546738436421&target=facebookhttp://www.blogger.com/share-post.g?blogID=421895771155784075&postID=3026367546738436421&target=pinteresthttp://riski-unigha.blogspot.com/2013/05/jenis-jenis-matriks_8.html


17/29

2. Matriks Baris

Yaitu matriks yang hanya mempunyai satu baris

3. Matriks Kolom

Yaitu matriks yang hanya mempunyai satu kolom.

4. Matriks Bujur sangkar/Matriks Persegi

Yaitu suatu matriks yang jumlah baris dan kolomnya sama. Ordo matriks n x n sering disingkat dengan n saja.


18/29

5. Matriks Diagonal

Yaitu matriks persegi yang semua elemennya nol, kecuali elemen-elemen diagonal utamanya.


19/29

6. Matriks Satuan /MatriksIdentitas (I)

Yaitu matriks persegi yang semua elemen diagonal utamanya satu, dan elemen lainnya nol.

7. Matriks Skalar Yaitu matriks persegi yang semua elemen pada diagonal utamanya sama, tetapi bukan nol dan semua elemen

lainnya nol.


20/29

8. Matriks Segitiga Atas

Yaitu matriks yang semua elemen di bawah diagonal utamanya nol.


21/29

9. Matriks Segitiga Bawah

Yaitu matriks yang semua elemen di atas diagonal utamanya nol.

10. Matriks Koefisien Yaitu matriks yang semua elemennya merupakan koefisien-keofisien dari suatu sistem persamaan linear.

Contoh1:

Matriks koefisien dari sistem persamaan liniear 2x + 3y =7 adalah :


22/29

Diposkan oleh jeep rizky di /.4 Tidak ada komentar:Kirimkan Ini leat !mail"logThis#"er$agi ke Titter"er$agi ke %a&e$ook"agikan ke Pinterest

5'D5 M)T'IK*ORDO MATRIKS

Ordo matriks yaitu banyaknya baris dan kolom yang menyatakan suatu matriks.

Amxn artinya matriks A berordo m x n yaitu banyaknya baris m buah dan banyaknya kolom n buah.

Tentukanordo matriks P dan Q

Jawab: Ordo matriks P = 2 x 4 atau P 2 x3Ordo matriks Q = 3 x 2 atau Q2 x3

Diposkan oleh jeep rizky di 6.30 Tidak ada komentar:Kirimkan Ini leat !mail"logThis#"er$agi ke Titter"er$agi ke %a&e$ook"agikan ke Pinterest

*elasa 07 Mei /03

M)T'IK*

https://plus.google.com/101083501215324879254https://plus.google.com/101083501215324879254http://riski-unigha.blogspot.com/2013/05/jenis-jenis-matriks_8.htmlhttp://riski-unigha.blogspot.com/2013/05/jenis-jenis-matriks_8.htmlhttp://riski-unigha.blogspot.com/2013/05/jenis-jenis-matriks_8.html#comment-formhttp://www.blogger.com/share-post.g?blogID=421895771155784075&postID=4549875968609754207&target=emailhttp://www.blogger.com/share-post.g?blogID=421895771155784075&postID=4549875968609754207&target=bloghttp://www.blogger.com/share-post.g?blogID=421895771155784075&postID=4549875968609754207&target=twitterhttp://www.blogger.com/share-post.g?blogID=421895771155784075&postID=4549875968609754207&target=facebookhttp://www.blogger.com/share-post.g?blogID=421895771155784075&postID=4549875968609754207&target=pinteresthttp://riski-unigha.blogspot.com/2013/05/blog-post_8662.htmlhttps://plus.google.com/101083501215324879254https://plus.google.com/101083501215324879254http://riski-unigha.blogspot.com/2013/05/blog-post_8662.htmlhttp://riski-unigha.blogspot.com/2013/05/blog-post_8662.htmlhttp://riski-unigha.blogspot.com/2013/05/blog-post_8662.html#comment-formhttp://www.blogger.com/share-post.g?blogID=421895771155784075&postID=7472377753390269916&target=emailhttp://www.blogger.com/share-post.g?blogID=421895771155784075&postID=7472377753390269916&target=bloghttp://www.blogger.com/share-post.g?blogID=421895771155784075&postID=7472377753390269916&target=twitterhttp://www.blogger.com/share-post.g?blogID=421895771155784075&postID=7472377753390269916&target=facebookhttp://www.blogger.com/share-post.g?blogID=421895771155784075&postID=7472377753390269916&target=pinteresthttp://riski-unigha.blogspot.com/2013/05/metrika-adalah-kumpulan-bilangan.htmlhttps://plus.google.com/101083501215324879254http://riski-unigha.blogspot.com/2013/05/jenis-jenis-matriks_8.htmlhttp://riski-unigha.blogspot.com/2013/05/jenis-jenis-matriks_8.html#comment-formhttp://www.blogger.com/share-post.g?blogID=421895771155784075&postID=4549875968609754207&target=emailhttp://www.blogger.com/share-post.g?blogID=421895771155784075&postID=4549875968609754207&target=bloghttp://www.blogger.com/share-post.g?blogID=421895771155784075&postID=4549875968609754207&target=twitterhttp://www.blogger.com/share-post.g?blogID=421895771155784075&postID=4549875968609754207&target=facebookhttp://www.blogger.com/share-post.g?blogID=421895771155784075&postID=4549875968609754207&target=pinteresthttp://riski-unigha.blogspot.com/2013/05/blog-post_8662.htmlhttps://plus.google.com/101083501215324879254http://riski-unigha.blogspot.com/2013/05/blog-post_8662.htmlhttp://riski-unigha.blogspot.com/2013/05/blog-post_8662.html#comment-formhttp://www.blogger.com/share-post.g?blogID=421895771155784075&postID=7472377753390269916&target=emailhttp://www.blogger.com/share-post.g?blogID=421895771155784075&postID=7472377753390269916&target=bloghttp://www.blogger.com/share-post.g?blogID=421895771155784075&postID=7472377753390269916&target=twitterhttp://www.blogger.com/share-post.g?blogID=421895771155784075&postID=7472377753390269916&target=facebookhttp://www.blogger.com/share-post.g?blogID=421895771155784075&postID=7472377753390269916&target=pinteresthttp://riski-unigha.blogspot.com/2013/05/metrika-adalah-kumpulan-bilangan.html


23/29

1. $etrika adala kumpulan bilangan berbentuk persegi panang yang disusun menurut baris dan klm. 3ilanganbilangan yang

terdapat di suatu matriks disebut dengan elemen atau anggta matriks. Dengan representasi matriks, peritungan dapat dilakukan

dengan lebi terstruktur. 4eman5aatannya misalnya dalam menelaskan persamaan linier, trans5rmasi krdinat, dan lainnya. $atriksseperti alnya #ariabel biasa dapat dikalkulasi, seperti dikalikan, diumla, dikurangkan dan didekmpsisikan.

ORDO

Ordo suatu matriks adalah bilangan yang menunjukkan banyaknya baris (m) dan banyaknya kolom (n). Matriks di atas berordo

2x3.2.

MATRIKS TRANSPOS

Matriks transpose adalah matriks yang mengalami pertukaran elemen dari baris menjadi kolom dan sebaliknya.

CONTOH maka matriks transposenya (At ) adalah

3. KESAMAAN MATRIKS


24/29

Dua matriks A dan B dikatakan sama (ditulis A = B), jika a. Ordonya samab. Elemen-elemen yang seletak sama

Contoh:

Tentukan nilai 2x-y+5z!

Jawab:

maka

maka

maka

Penjumlahan dan penguangan matikPenjumlahan dan pengurangan matriks hanya dapat dilakukan apabila kedua matriks memiliki ukuran atau ordo yang sama. Elemen-elemenyang dijumlahkan atau dikurangi adalah elemen yang posisi atau letaknya sama.

atau dalam representasi dekoratfinya


25/29

4. Perkalian Skalar

Matriks dapat dikalikan dengan sebuah skalar.

Contoh perhitungan :

Pekalian matik Matriks dapat dikalikan, dengan cara tiap baris dikalikan dengan tiap kolom, lalu dijumlahkan pada baris yang sama. Namun dengan syarat,dua matriks A dan B terdefinisi untuk dikalikan, jikabanyaknya kolom " # banyaknya bai $, dengan hasil suatu matriks C yangberukuran memiliki ordo! baris A " kolom B.#ika syarat tersebut tidak dipenuhi jumlah kolom matriks A tidak sama dengan jumlah barimatriks B! maka kedua matriks tersebut tidak dapat dikalikan.

" m x n x $ n x p # C m x p


26/29

%jumlah kolom matik " ama dengan jumlah bai kolom $ yaitu n&

Contoh perhitungan :

diatas adalah matriks 2 " ' dikali matriks ' " 2 yang hasilnya adalah matriks 2 " 2(

)et :

perkalian matriks bersifat tidak komutati* A"B tidak sama dengan B"A! tetapi bersifat aoiati* A"B!"C $ A"B"C!.MATRIKS SATUAN

Matriks satuan adalah suatu matriks bujur sangkar, yang semua elemen diagonal utamanya adalah 1, sedangkan elemen lainya adalah 0. Notasi : % %dentitas!

,"T ", # ," # "

5. DETERMINAN MATRIKS

MATRIKS ORDO 2X2

Misalkan

maka !eterminan A (ditulis ) adalah


27/29

MATRIKS ORDO X!ARA SARRUS

Misalkan

"ika

maka tentukan #

Penghitungan matriks dilakukan dengan $ara menambahkan elemen dari kiri atas ke kanan ba%ah (mulai dari a & e & i, b & f & g, dan $ & d& h) lalu dikurangi dengan elemen dari kanan atas ke kiri ba%ah (mulai dari $ & e & g, a & f & h, dan b & d & i) sehingga menjadi

'ontoh

maka tentukan #


28/29

C"." /)P"0, $"., )113 Misalkan

maka tentukan dengan ekspansi baris pertama#

6. MATRIKS SINGULAR

Matriks singular adalah matriks yang nilai determinannya 0.

'ontoh

"ika A matriks singular, tentukan nilai #

"a%ab


29/29

s

MATRIKS IN"#RS Misalkan maka inersnya adalah

*ilangan (ad-b$) disebut determinan dari matriks A

Matriks A mempunyai iners jika Determinan A $ dan disebut matriks non singular .

Si%at&Si%at +. (At )t A. (A *)t At *t

/. (A . *)t *t . At

. (A . *)-+ *-+ . A-+1. " ( "&' # "&' ( " # , Peamaan matik 2entukan 3 matriks dari persamaan

#ika diketahui matriks A.($B

#ika diketahui matriks (.A$B

OPERASI_MATRIKS

Documents