DEFINIÇÕES Defina as operações de adição, subtração, multiplicação, divisão, composição e inversão de funções de várias variáveis reais à valores reais. Dê exemplos. Defina as operações de adição e multiplicação por escalar de funções de várias variáveis reais à valores vetoriais. Dê exemplos. PROPRIEDADES Considere : ℝ → ℝ, : ℝ → ℝ, funções de várias variáveis reais à valores reais e que = (x 1 ,⋯,x n ) , = (x 1 0 ,⋯,x 0 ), ∈ ℕ. Mostre que se = (x 1 ,⋯,x n ), = (x 1 0 ,⋯,x 0 ), ∈ ℕ ∃ L = lim → () e ∃ M = lim → (): a) lim → ( + ) () = lim → () + lim → () = + b) lim → ( ∙ ) () = k ∙ lim → () = ∙ , ∀ ∈ ℝ c) lim → ( ∙ ) () = lim → () ∙ lim → () = ∙ d) lim → ( ) ()= { lim → () lim → () = , ≠ 0 , = 0 = , ∇( ) = ∇( ) e ∇( )≠ ∄, = 0 = , ∇( ) ≠ ∇( ) e ∇( )≠ (Exclusivo) e) lim → (ℎ ∘ ) () = lim → ℎ (), se ∃ = lim → () e ℎ: ℝ → ℝ. f) Se : ℝ →ℝ é uma função de várias variáveis reais à valores reais e existem curvas 1 e 2 tal que 1 (0) = = 2 (0) e ∃ lim → ( ∘ 1 ) (t) ≠ lim → ( ∘ 2 ) (t), então ∄ lim → (). 28 nov. 17 LIVRARIA MOREIRA S.A. www.livrariamoreira.com.br OPERAÇÕES COM FUNÇÕES Exercício 1 Exercício 2 Exercício 1
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OPERAÇÕES COM FUNÇÕES · DEFINIÇÕES Defina as operações de adição, subtração, multiplicação, divisão, composição e inversão de funções de várias variáveis reais
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DEFINIÇÕES
Defina as operações de adição, subtração, multiplicação, divisão,
composição e inversão de funções de várias variáveis reais à valores reais. Dê
exemplos.
Defina as operações de adição e multiplicação por escalar de funções
de várias variáveis reais à valores vetoriais. Dê exemplos.
PROPRIEDADES
Considere 𝑓: ℝ𝒏 → ℝ, 𝑔:ℝ𝒏 → ℝ, funções de várias variáveis reais à
valores reais e que 𝐱 = (x1, ⋯ , xn) , 𝐱𝟎 = (x10, ⋯ , x𝑛
0), 𝑛 ∈ ℕ. Mostre que se 𝐱 =
(x1, ⋯ , xn), 𝐱𝟎 = (x10, ⋯ , x𝑛
0), 𝑛 ∈ ℕ ∃ L = lim𝒙→𝐱𝟎
𝑓 (𝐱) e ∃ M = lim𝒙→𝐱𝟎
𝑔 (𝐱):
a) lim𝐱→𝐱𝟎
(𝑓 + 𝑔) (𝐱) = lim𝐱→𝐱𝟎
𝑓 (𝐱) + lim𝐱→𝐱𝟎
𝑔 (𝐱) = 𝐿 +𝑀
b) lim𝐱→𝐱𝟎
(𝑘 ∙ 𝑓) (𝐱) = k ∙ lim𝐱→𝐱𝟎
𝑓 (𝐱) = 𝑘 ∙ 𝐿, ∀ 𝑘 ∈ ℝ
c) lim𝐱→𝐱𝟎
(𝑓 ∙ 𝑔) (𝐱) = lim𝐱→𝐱𝟎
𝑓 (𝐱) ∙ lim𝐱→𝐱𝟎
𝑔 (𝐱) = 𝐿 ∙ 𝑀
d) lim𝐱→𝐱𝟎
(𝑓
𝑔) (𝐱) =
{
lim𝐱→𝐱𝟎
𝑓(𝐱)
lim𝐱→𝐱𝟎
𝑔(𝐱)=
𝐿
𝑀, 𝑠𝑒 𝑀 ≠ 0
𝜆, 𝑠𝑒 𝐿 = 0 = 𝑀, ∇𝑓(𝐱𝟎) = 𝜆∇𝑔(𝐱𝟎) e ∇𝑔(𝐱𝟎) ≠ 𝟎
∄, 𝑠𝑒 𝐿 = 0 = 𝑀, ∇𝑓(𝐱𝟎) ≠ 𝜆∇𝑔(𝐱𝟎) e ∇𝑔(𝐱𝟎) ≠ 𝟎
(Exclusivo)
e) lim𝐱→𝐱𝟎
(ℎ ∘ 𝑔 ) (𝐱) = lim𝑦→𝑀
ℎ (𝑦), se ∃ 𝑀 = lim𝐱→𝐱𝟎
𝑔 (𝐱) e ℎ: ℝ → ℝ.
f) Se 𝑝:ℝ𝒏 → ℝ é uma função de várias variáveis reais à valores reais e existem
curvas 𝛾1 e 𝛾2 tal que 𝛾1(0) = 𝐱𝟎 = 𝛾2(0) e ∃ lim𝐭→𝟎(𝑝 ∘ 𝛾1 ) (t) ≠ lim
𝐭→𝟎(𝑝 ∘ 𝛾2 ) (t),
então ∄ lim𝒙→𝐱𝟎
𝑝 (𝐱).
28 nov. 17
LIVRARIA MOREIRA S.A.
www.livrariamoreira.com.br
OPERAÇÕES COM FUNÇÕES
Exercício 1
Exercício 2
Exercício 1
(Teorema do Confronto) Mostre que se
∃ 𝑟 > 0, L = lim𝒙→𝒙𝟎
𝑓 (𝐱) = lim𝒙→𝒙𝟎
𝑔 (𝐱) e 𝑓(𝐱) ≤ ℎ(𝐱) ≤ 𝑔(𝐱), 0 < ‖𝒙 − 𝒙𝟎‖ < 𝑟, então
L = lim𝒙→𝒙𝟎
ℎ (𝐱).
Mostre que se ∃ 𝑟 > 0,
0 = lim𝒙→𝒙𝟎
𝑓 (𝐱) 𝑒 𝑎 ≤ 𝑔(𝐱) ≤ 𝑏,0 < ‖𝒙 − 𝒙𝟎‖ < 𝑟, então
lim𝑥→𝑥0
(𝑓 ∙ 𝑔) (𝐱) = 0.
Considere 𝑓: ℝ𝒏 → ℝ, 𝑔:ℝ𝒏 → ℝ, de várias variáveis reais à
valores reais e que 𝐱 = (x1, ⋯ , xn) , 𝐱𝟎 = (x10, ⋯ , x𝑛
0), 𝑛 ∈ ℕ. Mostre que se
∃ 𝜕𝑗𝑓
𝜕𝑥𝑖𝑗(𝐱) e ∃
𝜕𝑗𝑔
𝜕𝑥𝑖𝑗(𝐱), então:
a) 𝜕𝑗(𝑓+𝑔)
𝜕𝑥𝑖𝑗 (𝐱) =
𝜕𝑗𝑓
𝜕𝑥𝑖𝑗(𝐱) +
𝜕𝑗𝑓
𝜕𝑥𝑖𝑗(𝐱) ∀ 𝑖 = 1,… , 𝑛, ∀ 𝑗 ∈ ℕ.
b) 𝜕𝑗(𝑓−𝑔)
𝜕𝑥𝑖𝑗 (𝐱) =
𝜕𝑗𝑓
𝜕𝑥𝑖𝑗(𝐱) −
𝜕𝑗𝑓
𝜕𝑥𝑖𝑗(𝐱) ∀ 𝑖 = 1,… , 𝑛, ∀ 𝑗 ∈ ℕ.
c) 𝜕𝑗(𝑘∙𝑓)
𝜕𝑥𝑖𝑗 (𝐱) = k ∙
𝜕𝑗𝑓
𝜕𝑥𝑖𝑗(𝐱) , ∀ 𝑖 = 1,… , 𝑛, ∀ 𝑗 ∈ ℕ.
d) 𝜕𝑗(𝑓∙𝑔)
𝜕𝑥𝑖𝑗 (𝐱) =
𝜕(𝜕𝑗−1(𝑓∙𝑔)
𝜕𝑥𝑖𝑗−1 )
𝜕𝑥(𝐱), ∀ 𝑖 = 1, … , 𝑛, ∀ 𝑗 ∈ ℕ, onde
𝜕(𝑓 ∙ 𝑔)
𝜕𝑥𝑖(𝐱) =
𝜕(𝑓)
𝜕𝑥𝑖(𝐱) ∙ 𝑔(𝐱) + 𝑓(𝐱) ∙
𝜕𝑔
𝜕𝑥𝑖(𝐱).
e) 𝜕𝑗(
𝑓
𝑔)
𝜕𝑥𝑖𝑗 (𝐱) =
𝜕(𝜕𝑗−1(
𝑓𝑔)
𝜕𝑥𝑖𝑗−1
)
𝜕𝑥(𝐱), ∀ 𝑖 = 1,… , 𝑛, ∀ 𝑗 ∈ ℕ, onde
𝜕 (𝑓𝑔)
𝜕𝑥𝑖=
𝜕𝑓𝜕𝑥𝑖
(𝐱) ∙ 𝑔(𝐱) − 𝑓(𝐱) ∙𝜕𝑔𝜕𝑥𝑖
(𝐱)
(𝑔(𝐱))2 , se 𝑔(𝐱) ≠ 0 .
Considere 𝑓:ℝ𝒏 → ℝ, 𝑔:ℝ𝒏 → ℝ, de várias variáveis reais à valores
reais e que 𝐱 = (𝑥1, ⋯ , 𝑥𝑛), ∀ 𝑛 ∈ ℕ. Mostre que se ∃ ∇𝑓(𝐱) e ∃ ∇𝑔(𝐱), então: