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OPERADORES EN MECNICA CUNTICA. SEGUNDO POSTULADOOPERADORES. Un
operador es una regla u operacin matemtica que aplicada a una
funcin perteneciente a un espacio vectorial la transforma en otra
del mismo espacio. Por ejemplo, un operador como transforma una
funcin en su primera derivada as: . Otro ejemplo es el operador
gradiente (), ya que al multiplicarlo por una funcin vectorial
indica la direccin en la cual al campo de dicha funcin varia ms
rpidamente as: = () ) .No hay que confundir esta operacin con el
gradiente de divergencia, ya que esta se denota con un producto
punto escalar entre el operador nabla ( ) y el campo. Si el
operador transforma a la funcin en una funcin se denota de la
siguiente manera: . En los operadores se identifican algunas
operaciones como: Suma de operadores. Est definida por:(De este
modo, la suma de operadores hereda las propiedades de la suma de
funciones: conmutativa y asociativa.Ejemplo: ( .Para la resta
sucede lo mismo: Producto de operadores. Se define por:()=)La
notacin significa que primero aplicamos el operador a la funcin y
as generar la nueva funcin, luego a esa nueva funcin se le aplica
el operador y entonces se genera otra funcin. En general, el
producto de operadores no es conmutativo ya que al cambiar el orden
de los operadores y aplicarlos en el orden antes mencionado las
funciones generadas en cada paso sern diferentes. Ejemplo:()=) Pero
este producto siempre es asociativo:
El conmutador de dos operadores lineales es un nuevo operador
definido por la diferencia de producto de esos dos operadores
:[
Los operadores y conmutan.Ejemplo. Compruebe si conmutan los
operadores y. Calcule el conmutador [, /x]. Solucin:( ) f(x) = x
[a]( ) f(x)= [b] [a] [b] = (-1) 0 [ ]= -1 ( no conmutan ) Dos
operadores son idnticos si cuando actan sobre cualquier vector dan
el mismo resultado: si y solo si Valores propios. Para explicar
esta operacin, se debe suponer que el efecto que hace un operador
cualquiera a una funcin produce una multiplicacin de dicha funcin
por una constante k. Se dice, que es una funcin propia de con un
valor propio k, dicha funcin no debe ser 0, ya que aunque pueda
anularse en algunos puntos, no lo har en todos ellos. Entonces:
El cuadrado de un operador est definido por . Ejemplo:
SEGUNDO POSTULADO.A toda magnitud fsica A medible sobre un
sistema fsico se le puede asociar un operador , ha de ser un
observable. Un observable es una propiedad que puede ser
determinada (observada) por algunas operaciones matemticas.Cada
observable en Mecnica Clsica tiene asociado un operador en Mecnica
Cuntica que es lineal y hermtico. OPERADORES LINEALES.Un operador
es lineal si conmuta con escalares y obedece a la ley
distributiva:|OPERADOR HERMITICO.Un operador lineal se dice que es
hermtico si es igual a su adjunto o conjugado . En los operadores
hermticos, sus valores propios son reales. El operador conjugado se
define por la condicin: [1]Las funciones establecidas ( ) que deben
cumplir las condiciones de divergencia de las integrales, tambin
deben cumplir ciertas condiciones de contorno que hace que las
funciones se anulen en el infinito.
Ejemplo: determinar el operador conjugado del operador derivacin
.Solucin: Suponiendo que las funciones se anulan en el infinito, e
integrando la ecuacin [a], se obtiene: Se encuentra que , entonces
concluimos que , es decir el operador de derivacin no es
autoconjugado. Pero si se toma como operador el operador , es fcil
ver que este operador es hermtico. En efecto, al integrar se
tiene:
Y este operador ( cumple la condicin y es hermtico.Las funciones
propias de los operadores hermticos son ortogonales, es decir,
forman ngulos rectos. En un espacio vectorial con producto interior
V, dos vectores ( son ortogonales si el producto escalar de [m, n]
es cero, es decir, m es perpendicular a n.
(Condicin de normalizacin) (Condicin de ortogonalidad)Las
funciones propias de los operadores hermticos forman un conjunto
completo. Es decir, una funcin de estado no propio de ese operador,
puede expresarse como combinacin lineal de sus funciones propias.
(Principio de superposicin de estados)
OPERDORES EN MECNICA CUNTICA. En mecnica cuntica a cada
propiedad fsica de un sistema le corresponde un operador. Dentro de
esos operadores podemos encontrar el operador de posicin, el
operador de momento, el operador hamiltoniano y el operador
laplaciano.El operador de posicin est representado por y el
operador que corresponde a que hace referencia a la componente x
del momento de un partcula se describe como y sus correspondientes
para
es el operador mecano-cuntico para la propiedad e . El operador
que corresponde a la coordenada en x de una partcula es la
multiplicacin por x, y el operador que corresponde a siendo una
funcin cualquiera..Para encontrar el operador de cualquier
propiedad fsica, se escribe la expresin cotidiana para dicha
propiedad en funcin de sus coordenadas cartesianas y sus momentos
correspondientes y se remplazan las coordenadas y los momentos por
operadores; por ejemplo: la energa de una partcula ya que esta se
expresa como la suma de su energa cintica y su energa
potencial.
Para expresar E como funcin de los momentos y las coordenadas
tenemos en cuenta que , entonces:
La expresin anterior en funcin de las coordenadas y los momentos
se denomina hamiltoniano, H. Al sustituir por un operador las
componentes y V se obtiene el operador de energa u operador
Hamiltoniano, as:
Con el fin de minimizar la escritura encontramos el operador
laplaciano (delta cuadrado), ya que , y as el operador hamiltoniano
escrito de forma corta ser:
Recordando q el signo V va multiplicado por x (posicin) visto en
ecuaciones anteriores.Ejemplo: una partcula de masa se mueve en 1D
con velocidad . Su energa cintica clsica ser . El operador cuntico
ser:
Generalizando al movimiento de una partcula en 3D.
REGLAS PARA LA CONSTRUCCION DE OPERADORES (SIMPLES): Se escribe
la magnitud clsica empleando coordenadas de posicin cartesiana( x,
y, z), y componentes cartesianas de momento lineal (Px, Py, Pz). La
posicin y momento se convierten en sus operadores cunticos Si
aparece el tiempo , este es un parmetro y no una variable dinmica.
Los operadores se convierten al sistema de coordenadas ms
apropiado, ya sean cilndricas, esfricas, entre otras segn las
necesidades especficas.A continuacin se muestran ejemplos de otros
operadores:Operador impulso = Operador de energa cintica:
En conclusin, un operador es un operacin matemtica que aplicada
a una funcin la convierte en otra. Hay operadores lineales y
Hermticos, entre ellos se encuentran el operador gradiente, el
operador de posicin, el operador de energa cintica, etc. Cada
operador ha de ser un observable, es decir, que puede ser
determinado (observado) por algunas operaciones matemticas.
BIBLIOGRAFIA. Ball W. David. Fisicoqumica. International Thomson
editores. Mxico D.F. 2004. Pg. 273 306. Daniel T. Gillespie.
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