Operador Nabla

divergencia ejemplos campos solenoidales

Divergencia de un campo

Jana Rodriguez HertzClculo 3

IMERL

23 de mayo de 2012


el operador nabla

el operador nabla

el operador nabladefinimos formalmente

el operador nablacomo

=(

x,

y,

z

)


el operador nabla

el operador nabla

el operador nabladefinimos formalmenteel operador nabla

como

=(

x,

y,

z

)


el operador nabla

el operador nabla

el operador nabladefinimos formalmenteel operador nablacomo

=(

x,

y,

z

)


el operador nabla

el operador nabla

el operador nabla - gradiente

f : R3 R funcin C1

f =(fx

,fy

,fz

)


el operador nabla

el operador nabla

el operador nabla - rotor

X : R3 R3 campo vectorial C1

X

= rotX =

i j kx

y

z

P Q R


el operador nabla

el operador nabla



X = rotX

=

i j kx

y

z

P Q R


el operador nabla

el operador nabla



X = rotX =

i j kx

y

z

P Q R


el operador nabla

el operador nabla

el operador nabla - divergencia


divergencia de X

divX =

.X = = Px

+Qy

+Rz


el operador nabla

el operador nabla


X : R3 R3 campo vectorial C1divergencia de X

divX =

.X = = Px

+Qy

+Rz


el operador nabla

el operador nabla



divX = .X =

=Px

+Qy

+Rz


el operador nabla

el operador nabla



divX = .X = = Px

+Qy

+Rz


el operador nabla

ejemplo 1

ejemplo 1

calcular la divergencia de X = (x2y , z, xyz)

divX =

2xy + 0 + xy

= 3xy


el operador nabla

ejemplo 1

ejemplo 1


divX = 2xy + 0 + xy

= 3xy


el operador nabla

ejemplo 1

ejemplo 1


divX = 2xy + 0 + xy = 3xy


el operador nabla

interpretacin fsica

interptreacin fsicaX campo de velocidades de un gas

divX tasa de expansin del gas por unidad de volumen

1 divX < 0 el gas se est comprimiendo2 divX > 0 el gas se est expandiendo3 divX = 0 el volumen del gas es constante


el operador nabla

interpretacin fsica

interptreacin fsicaX campo de velocidades de un gas divX tasa de expansin del gas por unidad de volumen



el operador nabla

interpretacin fsica


1 divX < 0 el gas se est comprimiendo

2 divX > 0 el gas se est expandiendo3 divX = 0 el volumen del gas es constante


el operador nabla

interpretacin fsica


1 divX < 0 el gas se est comprimiendo2 divX > 0 el gas se est expandiendo

3 divX = 0 el volumen del gas es constante


el operador nabla

interpretacin fsica




el operador nabla

interpretacin fsica

interpretacin fsicaW pequea regin alrededor de x0

W (t) la regin de los puntos de W despus de fluir tentonces:

1volW (t)

ddt

volW (t)t=0

divX (x0)


el operador nabla

interpretacin fsica

interpretacin fsicaW pequea regin alrededor de x0W (t) la regin de los puntos de W despus de fluir t

entonces:

1volW (t)

ddt

volW (t)t=0

divX (x0)


el operador nabla

interpretacin fsica

interpretacin fsicaW pequea regin alrededor de x0W (t) la regin de los puntos de W despus de fluir tentonces:

1volW (t)

ddt

volW (t)t=0

divX (x0)


el operador nabla

interpretacin fsica

interpretacin fsicaW pequea regin alrededor de x0W (t) la regin de los puntos de W despus de fluir tentonces:

1volW (t)

ddt

volW (t)t=0 divX (x0)


ejemplo 2

ejemplo 2

ejemplo 2

X = (x ,0)

rea de los rectngulos aumentabajo la accin de XdivX = 1 > 0


ejemplo 2

ejemplo 2

ejemplo 2

X = (x ,0)rea de los rectngulos aumentabajo la accin de X

divX = 1 > 0


ejemplo 2

ejemplo 2

ejemplo 2

X = (x ,0)rea de los rectngulos aumentabajo la accin de XdivX = 1 > 0


ejemplo 3

ejemplo 3

ejemplo 3

X = (x , y)

rea de los rectngulosaumenta bajo la accin deXdivX = 1 + 1 > 0


ejemplo 3

ejemplo 3

ejemplo 3

X = (x , y)rea de los rectngulosaumenta bajo la accin deX

divX = 1 + 1 > 0


ejemplo 3

ejemplo 3

ejemplo 3

X = (x , y)rea de los rectngulosaumenta bajo la accin deXdivX = 1 + 1 > 0


ejemplo 4

ejemplo 4

ejemplo 4

X = (x ,y)

rea de los rectngulos secomprime bajo la accin de XdivX = 1 1 < 0


ejemplo 4

ejemplo 4

ejemplo 4

X = (x ,y)rea de los rectngulos secomprime bajo la accin de X

divX = 1 1 < 0


ejemplo 4

ejemplo 4

ejemplo 4

X = (x ,y)rea de los rectngulos secomprime bajo la accin de XdivX = 1 1 < 0


ejemplo 5

ejemplo 5

ejemplo 5

X = (y , x)

lneas de flujo soncircunferencias concntricasdivX = 0


ejemplo 5

ejemplo 5

ejemplo 5

X = (y , x)lneas de flujo soncircunferencias concntricas

divX = 0


ejemplo 5

ejemplo 5

ejemplo 5

X = (y , x)lneas de flujo soncircunferencias concntricasdivX = 0


ejemplo 6

ejemplo 6

ejemplo 6

X = (x ,y)

no es tan claro a priori cmoevoluciona el readivX = 1 1 = 0


ejemplo 6

ejemplo 6

ejemplo 6

X = (x ,y)no es tan claro a priori cmoevoluciona el rea

divX = 1 1 = 0


ejemplo 6

ejemplo 6

ejemplo 6

X = (x ,y)no es tan claro a priori cmoevoluciona el readivX = 1 1 = 0


los rotores tienen divergencia 0

divergencia de un rotor


X : R3 R3 campo C2

entoncesdiv(rotX ) = 0





X : R3 R3 campo C2entonces

div(rotX ) = 0




demostracin

rotX =

i j kx y zP Q R

= (Ry Qz ,Pz Rx ,Qx Py )

div(rotX ) = Ryx Qzx + Pzy Rxy + Qxz Pyz

= 0




demostracin

rotX =

i j kx y zP Q R

= (Ry Qz ,Pz Rx ,Qx Py )

div(rotX ) = Ryx Qzx + Pzy Rxy + Qxz Pyz = 0



campo solenoidal

campo solenoidal

X campo C1

campo solenoidalsi

divX 0



campo solenoidal

campo solenoidal

X campo C1

campo solenoidal

sidivX 0



campo solenoidal

campo solenoidal

X campo C1

campo solenoidalsi

divX 0



ejemplo 7

ejemplo 7Mostrar que X = (x , y , z) no puede ser el rotor de ningn otrocampo

supongamos que X = rotYentonces tendramos

divX

= div(rotY )

= 0

perodivX = 1 + 1 + 1 = 3

no puede ser rotor de otro campo



ejemplo 7


supongamos que X = rotY

entonces tendramos

divX

= div(rotY )

= 0

perodivX = 1 + 1 + 1 = 3




ejemplo 7



divX

= div(rotY )

= 0

perodivX = 1 + 1 + 1 = 3




ejemplo 7



divX = div(rotY )

= 0

perodivX = 1 + 1 + 1 = 3




ejemplo 7



divX = div(rotY ) = 0

perodivX = 1 + 1 + 1 = 3



potencial vector

potencial vector

potencial vector

X : R3 R3

Y potencial vector de Xsi

rotY = X


potencial vector

potencial vector

potencial vector

X : R3 R3Y potencial vector de X

sirotY = X


potencial vector

potencial vector

potencial vector

X : R3 R3Y potencial vector de Xsi

rotY = X


potencial vector

observacin

observacinX tiene potencial vector X solenoidal


teorema

teorema

teoremaX : R3 R3 campo C1

X solenoidal X tiene un potencial vector


teorema

teorema

teoremaX : R3 R3 campo C1X solenoidal

X tiene un potencial vector


teorema

teorema

teoremaX : R3 R3 campo C1X solenoidal X tiene un potencial vector


teorema

demostracin

demostracin

~X = (A,B,C) dato~Y = (P,Q,R) desconocido

queremos que rot ~Y = ~X

rot ~Y =

i j kx y zP Q R

rot ~Y = (Ry Qz ,Pz Rx ,Qx Py ) = (A,B,C)


teorema

demostracin

demostracin~X = (A,B,C) dato

~Y = (P,Q,R) desconocido


rot ~Y =

i j kx y zP Q R



teorema

demostracin

demostracin~X = (A,B,C) dato~Y = (P,Q,R) desconocido


rot ~Y =

i j kx y zP Q R



teorema

demostracin

demostracin

queremos que

Ry Qz = APz Rx = BQx Py = C

tenemos muchos grados de libertad, as que pedimosR = 0Qz = A (1)Pz = B (2)Qx Py = C (3)


teorema

demostracin

demostracin

queremos que


tenemos muchos grados de libertad, as que pedimosR = 0

Qz = A (1)Pz = B (2)Qx Py = C (3)


teorema

demostracin

demostracin

queremos que


tenemos muchos grados de libertad, as que pedimosR = 0Qz = A (1)Pz = B (2)Qx Py = C (3)


teorema

demostracin

demostracin

de (1) Q = z0 A(x , y , t)dt + g(x , y)de (2) P =

z0 B(x , y , t)dt + h(x , y)

verifiquemos (3) Qx Py = z

0 (Ax + By )dt + gx hyQx Py =

z0 Cz + gx hy

Qx Py = C(x , y , z) C(x , y ,0) + gx hy = Clo cumple, por ejemplo h(x , y) = y0 C(x , t ,0)dt ,g(x , y) = 0


teorema

demostracin

demostracinde (1) Q = z0 A(x , y , t)dt + g(x , y)

de (2) P = z

0 B(x , y , t)dt + h(x , y)



z0 Cz + gx hy



teorema

demostracin

demostracinde (1) Q = z0 A(x , y , t)dt + g(x , y)de (2) P =

z0 B(x , y , t)dt + h(x , y)



z0 Cz + gx hy



teorema

demostracin


z0 B(x , y , t)dt + h(x , y)


0 (Ax + By )dt + gx hy

Qx Py = z

0 Cz + gx hyQx Py = C(x , y , z) C(x , y ,0) + gx hy = Clo cumple, por ejemplo h(x , y) = y0 C(x , t ,0)dt ,g(x , y) = 0


teorema

demostracin


z0 B(x , y , t)dt + h(x , y)



z0 Cz + gx hy



teorema

demostracin


z0 B(x , y , t)dt + h(x , y)



z0 Cz + gx hy

Qx Py = C(x , y , z) C(x , y ,0) + gx hy = C

lo cumple, por ejemplo h(x , y) = y0 C(x , t ,0)dt ,g(x , y) = 0


teorema

demostracin


z0 B(x , y , t)dt + h(x , y)



z0 Cz + gx hy



teorema

demostracin

demostracin

chequeemos

P =

z0 B(x , y , t)dt

y0 C(x , y ,0)

Q = z0 A(x , y , t)dtR = 0

cumple: Ry Qz =

A

Pz Rx =

B

Qx Py =

C

rot ~Y = ~X


teorema

demostracin

demostracin

chequeemos

P =

z0 B(x , y , t)dt

y0 C(x , y ,0)

Q = z0 A(x , y , t)dtR = 0

cumple: Ry Qz = A

Pz Rx =

B

Qx Py =

C

rot ~Y = ~X


teorema

demostracin

demostracin

chequeemos

P =

z0 B(x , y , t)dt

y0 C(x , y ,0)

Q = z0 A(x , y , t)dtR = 0

cumple: Ry Qz = APz Rx =

BQx Py =

C

rot ~Y = ~X


teorema

demostracin

demostracin

chequeemos

P =

z0 B(x , y , t)dt

y0 C(x , y ,0)

Q = z0 A(x , y , t)dtR = 0

cumple: Ry Qz = APz Rx = B

Qx Py =

C

rot ~Y = ~X


teorema

demostracin

demostracin

chequeemos

P =

z0 B(x , y , t)dt

y0 C(x , y ,0)

Q = z0 A(x , y , t)dtR = 0

cumple: Ry Qz = APz Rx = BQx Py =

C

rot ~Y = ~X


teorema

demostracin

demostracin

chequeemos

P =

z0 B(x , y , t)dt

y0 C(x , y ,0)

Q = z0 A(x , y , t)dtR = 0

cumple: Ry Qz = APz Rx = BQx Py = C

rot ~Y = ~X


teorema

demostracin

demostracin

chequeemos

P =

z0 B(x , y , t)dt

y0 C(x , y ,0)

Q = z0 A(x , y , t)dtR = 0

cumple: Ry Qz = APz Rx = BQx Py = C rot ~Y = ~X


ejemplo 7

ejemplo 7

ejemplo 7

Averiguar si existe potencial vector ~Y de~X = (x 1,y ,2x)

con ~Y = (P,Q,R) tales queP 0Q(1, y , z) = 1 + y2 + zR(1,0, z) = ez


ejemplo 7

ejemplo 7

ejemplo 7

Averiguar si existe potencial vector ~Y de~X = (x 1,y ,2x)con ~Y = (P,Q,R) tales que

P 0Q(1, y , z) = 1 + y2 + zR(1,0, z) = ez


ejemplo 7

ejemplo 7

ejemplo 7

Averiguar si existe potencial vector ~Y de~X = (x 1,y ,2x)con ~Y = (P,Q,R) tales queP 0

Q(1, y , z) = 1 + y2 + zR(1,0, z) = ez


ejemplo 7

ejemplo 7

ejemplo 7

Averiguar si existe potencial vector ~Y de~X = (x 1,y ,2x)con ~Y = (P,Q,R) tales queP 0Q(1, y , z) = 1 + y2 + z

R(1,0, z) = ez


ejemplo 7

ejemplo 7

ejemplo 7

Averiguar si existe potencial vector ~Y de~X = (x 1,y ,2x)con ~Y = (P,Q,R) tales queP 0Q(1, y , z) = 1 + y2 + zR(1,0, z) = ez


ejemplo 7

ejemplo 7

ejemplo 7

div ~Y = (x 1)x + (y)y + (2x)z = 0 existe un potencial vector, pero no sabemos si hay unoque verifique todas las restriccionesveamos: rot ~Y = ~X , P 0

Ry Qz = x 1Rx = yQx = 2x


ejemplo 7

ejemplo 7

ejemplo 7

div ~Y = (x 1)x + (y)y + (2x)z = 0

existe un potencial vector, pero no sabemos si hay unoque verifique todas las restriccionesveamos: rot ~Y = ~X , P 0



ejemplo 7

ejemplo 7

ejemplo 7

div ~Y = (x 1)x + (y)y + (2x)z = 0 existe un potencial vector, pero no sabemos si hay unoque verifique todas las restricciones

veamos: rot ~Y = ~X , P 0



ejemplo 7

ejemplo 7

ejemplo 7

div ~Y = (x 1)x + (y)y + (2x)z = 0 existe un potencial vector, pero no sabemos si hay unoque verifique todas las restriccionesveamos: rot ~Y = ~X , P 0



ejemplo 7

ejemplo 7

ejemplo 7

Q(x , y , z)Q(1, y , z) = x1 Qx(t , y , z)dt

Q(x , y , z)Q(1, y , z) = x1 2tdtQ(x , y , z) = 1 + y2 + z + x2 1

= x2 + y2 + z

R(x , y , z) R(1, y , z) = x1 Rx(t , y , z)dtR(x , y , z) R(1, y , z) = x1 ydtR(x , y , z) = R(1, y , z) + yx y


ejemplo 7

ejemplo 7

ejemplo 7

Q(x , y , z)Q(1, y , z) = x1 Qx(t , y , z)dtQ(x , y , z)Q(1, y , z) = x1 2tdt

Q(x , y , z) = 1 + y2 + z + x2 1

= x2 + y2 + z



ejemplo 7

ejemplo 7

ejemplo 7

Q(x , y , z)Q(1, y , z) = x1 Qx(t , y , z)dtQ(x , y , z)Q(1, y , z) = x1 2tdtQ(x , y , z) = 1 + y2 + z + x2 1

= x2 + y2 + zR(x , y , z) R(1, y , z) = x1 Rx(t , y , z)dtR(x , y , z) R(1, y , z) = x1 ydtR(x , y , z) = R(1, y , z) + yx y


ejemplo 7

ejemplo 7

ejemplo 7

Q(x , y , z)Q(1, y , z) = x1 Qx(t , y , z)dtQ(x , y , z)Q(1, y , z) = x1 2tdtQ(x , y , z) = 1 + y2 + z + x2 1 = x2 + y2 + z



ejemplo 7

ejemplo 7

ejemplo 7

Q(x , y , z)Q(1, y , z) = x1 Qx(t , y , z)dtQ(x , y , z)Q(1, y , z) = x1 2tdtQ(x , y , z) = 1 + y2 + z + x2 1 = x2 + y2 + zR(x , y , z) R(1, y , z) = x1 Rx(t , y , z)dt

R(x , y , z) R(1, y , z) = x1 ydtR(x , y , z) = R(1, y , z) + yx y


ejemplo 7

ejemplo 7

ejemplo 7

Q(x , y , z)Q(1, y , z) = x1 Qx(t , y , z)dtQ(x , y , z)Q(1, y , z) = x1 2tdtQ(x , y , z) = 1 + y2 + z + x2 1 = x2 + y2 + zR(x , y , z) R(1, y , z) = x1 Rx(t , y , z)dtR(x , y , z) R(1, y , z) = x1 ydt

R(x , y , z) = R(1, y , z) + yx y


ejemplo 7

ejemplo 7

ejemplo 7

Q(x , y , z)Q(1, y , z) = x1 Qx(t , y , z)dtQ(x , y , z)Q(1, y , z) = x1 2tdtQ(x , y , z) = 1 + y2 + z + x2 1 = x2 + y2 + zR(x , y , z) R(1, y , z) = x1 Rx(t , y , z)dtR(x , y , z) R(1, y , z) = x1 ydtR(x , y , z) = R(1, y , z) + yx y


ejemplo 7

ejemplo 7

ejemplo 7Ry Qz = x 1

Ry (1, y , z) + x 2 = x 1Ry (1, y , z) = 1R(1, y , z) R(1,0, z) = y0 Ry (1, t , z)dtR(1, y , z) = R(1,0, z) + y = ez + y R(x , y , z) = ez + y + yx y

= ez + yx


ejemplo 7

ejemplo 7

ejemplo 7Ry Qz = x 1Ry (1, y , z) + x 2 = x 1

Ry (1, y , z) = 1R(1, y , z) R(1,0, z) = y0 Ry (1, t , z)dtR(1, y , z) = R(1,0, z) + y = ez + y R(x , y , z) = ez + y + yx y

= ez + yx


ejemplo 7

ejemplo 7

ejemplo 7Ry Qz = x 1Ry (1, y , z) + x 2 = x 1Ry (1, y , z) = 1

R(1, y , z) R(1,0, z) = y0 Ry (1, t , z)dtR(1, y , z) = R(1,0, z) + y = ez + y R(x , y , z) = ez + y + yx y

= ez + yx


ejemplo 7

ejemplo 7

ejemplo 7Ry Qz = x 1Ry (1, y , z) + x 2 = x 1Ry (1, y , z) = 1R(1, y , z) R(1,0, z) = y0 Ry (1, t , z)dt

R(1, y , z) = R(1,0, z) + y = ez + y R(x , y , z) = ez + y + yx y

= ez + yx


ejemplo 7

ejemplo 7

ejemplo 7Ry Qz = x 1Ry (1, y , z) + x 2 = x 1Ry (1, y , z) = 1R(1, y , z) R(1,0, z) = y0 Ry (1, t , z)dtR(1, y , z) = R(1,0, z) + y = ez + y

R(x , y , z) = ez + y + yx y

= ez + yx


ejemplo 7

ejemplo 7

ejemplo 7Ry Qz = x 1Ry (1, y , z) + x 2 = x 1Ry (1, y , z) = 1R(1, y , z) R(1,0, z) = y0 Ry (1, t , z)dtR(1, y , z) = R(1,0, z) + y = ez + y R(x , y , z) = ez + y + yx y

= ez + yx


ejemplo 7

ejemplo 7

ejemplo 7Ry Qz = x 1Ry (1, y , z) + x 2 = x 1Ry (1, y , z) = 1R(1, y , z) R(1,0, z) = y0 Ry (1, t , z)dtR(1, y , z) = R(1,0, z) + y = ez + y R(x , y , z) = ez + y + yx y = ez + yx


ejemplo 7

ejemplo 7

ejemplo 7conclusin:

~Y = (0, x2 + y2 + z,ez + yz)

es el nico potencial vector de ~Xcumpliendo las restricciones dadas.chequear que es el nico.


ejemplo 7

ejemplo 7

ejemplo 7conclusin:~Y = (0, x2 + y2 + z,ez + yz)



ejemplo 7

ejemplo 7


es el nico potencial vector de ~X

cumpliendo las restricciones dadas.chequear que es el nico.


ejemplo 7

ejemplo 7


es el nico potencial vector de ~Xcumpliendo las restricciones dadas.

chequear que es el nico.


ejemplo 7

ejemplo 7




ojo

OJO

si 6= R3 no valeel campo gravitatorio

X = GmM~rr3

cumple

1 divX 02 NO tiene un potencial vector

porque 6= R3


ojo

OJO


X = GmM~rr3

cumple1 divX 0

2 NO tiene un potencial vector

porque 6= R3


ojo

OJO


X = GmM~rr3

cumple1 divX 02 NO tiene un potencial vector

porque 6= R3


ojo

demostracin

demostracinen el prctico

divergenciael operador nabla

ejemplosejemplo 2ejemplo 3ejemplo 4ejemplo 5ejemplo 6

campos solenoidaleslos rotores tienen divergencia 0potencial vectorteoremaejemplo 7ojo

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