OPERAČNÁ ANALÝZA Časť II Henrieta HRABLIK CHOVANOVÁ Peter SAKÁL Katarína DRIENIKOVÁ Tomáš NAŇO 2012
© Ing. Henrieta Hrablik Chovanová, PhD., prof. Ing. Peter Sakál, CSc., Ing. Katarína
Drieniková, Ing. Tomáš Naňo
Recenzenti: Dr. h. c. mult. prof. Ing. Jozef Mihok, PhD. doc. Ing. Vladimír Jerz, CSc.
Jazyková korektúra: Mgr. Valéria Krahulcová
Schválilo Vedenie Materiálovotechnologickej fakulty STU ako vysokoškolské skriptá dňa 24. januára 2012 pre všetky študijné programy Materiálovotechno-logickej fakulty STU v Trnave
ISBN 978-80-8096-165-7 EAN 9788080961657
3
Predslov
Študijný materiál z predmetu OPERAČNÁ ANALÝZA má ambíciu uviesť študentov do
problematiky ekonomického modelovania a tvorby ekonomických analýz na základe využitia
ekonomicko-matematických metód.
Cieľom predmetu je poskytnúť študentom prvého inžinierskeho ročníka na STU Bratislava
Materiálovotechnologickej fakulty so sídlom v Trnave základné informácie o matematickom
modelovaní ekonomických problémov, umožniť im orientáciu v zložitých problémoch
ekonomického života, ktoré je možné riešiť použitím metód a modelov operačnej analýzy, a tým
prispieť k formovaniu ich moderného ekonomického myslenia a správneho rozhodovania sa.
Predpokladom pre predmet OPERAČNÁ ANALÝZA je základná znalosť matematiky a
informatiky a študenti by mali tiež ovládať základy štatistiky, ekonomiky a manažmentu
podniku.
Študenti by mali po ukončení predmetu získať zručnosti:
• v ovládaní pojmového aparátu ekonomicko-matematického modelovania,
• v analýze základných súvislosti medzi ekonomickými javmi a procesmi,
• v tvorbe ekonomických modelov a ich interpretácií,
• v ovládaní ekonomicko-matematických metód využívaných pri ekonomických analýzach,
• v oblasti rozhodovania manažmentu pri riešení zložitých ekonomických problémov.
Študijný materiál je spracovaný pre potreby samoštúdia teoretických poznatkov a vedomostí
študentov na získanie základných informácií a pojmového aparátu z predmetu operačná analýza.
Taktiež sú v každej kapitole vypočítané vzorové príklady a v závere každej kapitoly sú úlohy
a príklady na samotné samoštúdium. Celý študijný materiál pozostáva z piatich obsiahlych
kapitol.
Prvá kapitola sa zaoberá problémom riešenia sekvenčných modelov. Vysvetlené sú postupy
riešenia Johnsonovho modelu a jeho modifikácie (Prücknerov model), Jacksonov model,
sekvenčná úloha, pri ktorej je daná požiadavka/podmienka (sekvenčný model bez prestojov
výrobných stupňov/medzi výrobnými stupňami) a sekvenčný model Akers-Friedmana.
4
Náplňou druhej kapitoly sú modely teórie obnovy charakterizujúce reprodukčný proces
základných prostriedkov podniku. Súčasťou riešenia problémov reprodukcie sú modely obnovy
súvisiace s procesom fyzického opotrebenia, individuálna a skupinová výmena prvkov v systéme,
preventívna kontrola prevádzkyschopnosti výrobných zariadení a modely spoľahlivosti
základných prostriedkov.
Tretia kapitola sa zaoberá teóriou hromadnej obsluhy a modelom hromadnej obsluhy vo
výrobných aj nevýrobných organizáciách. Zaoberá sa obslužnými činnosťami v podniku a ich
optimalizáciou , hlavne optimalizáciou vstupných a výstupných parametrov procesu obsluhy.
Štvrtá kapitola je venovaná modelom riadenia zásob v podniku. Táto oblasť sa zaoberá
optimalizáciou základných parametrov zásobovacích a skladovacích činností podniku.
Predmetom je definovanie účelovej funkcie nákladového charakteru a výpočet optimálnych
parametrov. Zhodnotenie a záver riešenia problémov zásobovania spočíva v ekonomickej
interpretácii dosiahnutých výsledkov.
Piata kapitola je venovaná problematike exaktných metód v manažérskom rozhodovaní
a viackriteriálnej optimalizácii. Bližšie je opísaný a vysvetlený analytický hierarchický proces
(AHP) a využitie softvérového nástroja Expert Choice s príkladmi.
Skriptum Operačná analýza časť II. je druhou časťou komplexného spracovania témy
operačnej analýzy, ktorá je na MTF súčasťou predmetu Operačná analýza. Obsahom skrípt sú aj
prevzaté kapitoly z monografií (Sakál, 2003) a (Sakál, 2006), za čo autorom ďakujeme.
V skriptách Operačná analýza časť II., sú obsiahnuté oblasti operačnej analýzy, a to:
sekvenčné modely, modely obnovy a modely hromadnej obsluhy, modely zásob, viackriteriálna
optimalizácia s využitím softvérového nástroja Expert Choice. Vydanie týchto skrípt bolo
podporované Agentúrou na podporu výskumu a vývoja na základe zmluvy č. LPP-0384-09:
„Koncept HCS modelu 3E vs. koncept Corporate Social Responsibility (CSR).“ Skriptá boli
vydané zároveň ako súčasť schváleného projektu KEGA č. 037STU-4/2012: "Zavedenie
predmetu „udržateľné spoločensky zodpovedné podnikanie“ do študijného programu
Priemyselný manažment v druhom stupni na MTF STU Trnava".
Trnava 2012 AUTORI
5
1 SEKVENČNÉ MODELY
Ciele:
• Johnsonov model a jeho modifikácie (Prücknerov model),
• Jacksonov model,
• Sekvenčná úloha, pri ktorej je daná požiadavka (podmienka),
• Sekvenčný model Akers- Friedmana.
Vo výrobnej praxi sa často vyskytuje problém, ako nájsť také poradie opracovania výrobkov,
ktoré sa opracovávajú podobným spôsobom na tom istom výrobnom zariadení, aby čas prechodu
výrobkov príslušnými pracoviskami bol minimálny (minimalizovali sa prestoje strojového
zariadenia).
Inými slovami povedané, ako optimalizovať poradie opracovávania výrobkov vzhľadom na
minimalizáciu celkového priebežného času výrobkov. Takéto a podobné optimalizačné problémy
nazývame sekvenčnými úlohami a na ich riešenie môžeme použiť sekvenčné modely.
Výsledkom ich riešenia je chronologické poradie daných výrobkov.
Konkrétne môže ísť o poradie:
• spracovania určitých výrobkov,
• výstavby objektov,
• overovacích skúšok,
• ako máme postupovať pri vyhľadávaní poruchy v zložitom systéme.
Nás najviac zaujíma také poradie, ktoré extremizuje danú účelovú funkciu (ÚF). Riešenie
týchto problémov je veľmi obťažné, pretože spravidla ide o hľadanie permutácií určitých prvkov,
pričom počet permutácií (z kombinatoriky) rastie veľmi rýchlo so zväčšovaním sa počtu prvkov
v permutácii.
Terminológia, ktorú budeme používať pri preberaní jednotlivých modelov, je približne
totožná s terminológiou kusovej výroby v strojárstve. Tak napríklad termín „výrobok“ môže
znamenať buď skutočne iba jeden výrobok, alebo jednu sériu výrobkov. Termín „výrobný
stupeň“ môže znamenať stroj, dielňu, pracovisko alebo pracovnú čatu a pod. Pod termínom
„operačný čas“ budeme rozumieť čas, ktorý je nevyhnutne potrebný na vykonanie pracovných
6
úkonov na výrobku na jednom výrobnom stupni. Pri formulácii jednotlivých modelov nebudeme
zohľadňovať časy potrebné na zriaďovanie, dopravu a kontrolu.
Symbolika používaná pri sekvenčných modeloch je nasledovná:
• i- výrobky (výrobná dávka), i = 1,..., n ,
• j- výrobný stupeň (pracovné miesta, cez ktoré prechádza výrobok: pracovné čaty, dielne,
výrobné stroje, prevádzky...), j = 1,..., m ,
• tij- operačný čas i- teho výrobku na j- tom výrobnom stupni,
• T- celkový priebežný čas, ktorý je potrebný na výrobu n- výrobkov na m- výrobných
stupňoch,
• ÚF = optimálne poradie bude vtedy, ak T bude minimálne.
Ďalej pri konštrukcii sekvenčných modelov budeme používať nasledovné označenia:
rkj – časový interval – prestoj j-teho výrobného stupňa medzi k-tym a (k+1) výrobkom v poradí,
výr.°
j 0 k k+1 t (čas)
skj – čas čakania k-teho výrobku v poradí na j-tom výrobnom stupni, t.j. čas, ktorý uplynie od
skončenia opracovania k-teho výrobku v poradí na j-tom výrobnom stupni do začatia práce
na k-tom výrobku v poradí na (j+1) výrobnom stupni,
rkj
7
výr.°
j+1 k-1 k
j k t (čas)
skj
wkj – čas, keď sa k-ty výrobok v poradí začne opracúvať na j-tom výrobnom stupni,
výr.°
j° k t (čas)
wkj
xik – binárna premenná, pričom xik = 1, ak výrobok „i“ bude zaradený na všetkých výrobných
stupňoch ako k-ty v poradí a xik = 0 , ak to tak nebude (i, k = 1, 2, ... n),
T – celkový priebežný čas všetkých výrobkov na všetkých výrobných stupňoch.
Sekvenčné úlohy sú kombinatorickej povahy, lebo do úvahy môžeme brať len diskrétne
hodnoty. Ďalej sú stručne charakterizované najznámejšie sekvenčné modely.
1.1 JOHNSONOV MODEL
Johnsonov model možno použiť:
• pri určovaní optimálneho poradia výrobkov pre dva, za určitých podmienok aj pre tri
výrobné stupne (VS) ako presnú metódu,
• po určitých úpravách východiskových údajov aj pre ľubovoľný počet výrobných stupňov, ale
v takom prípade iba ako približnú metódu.
8
Začneme veľmi jednoduchým prípadom: treba určiť optimálne poradie spracovania „n“
výrobkov na dvoch výrobných stupňoch za týchto predpokladov:
1. Ak určitý výrobok, ktorý sa spracuje ako prvý na 1. výrobnom stupni, musí sa spracovať ako
prvý aj na 2. výrobnom stupni (a ostatných výrobných stupňoch); výrobok, ktorý sa spracuje
ako druhý na 1. výrobnom stupni, musí sa tak isto spracovať druhý na 2. výrobnom stupni (a
ostatných výrobných stupňoch), atď.
2. Výrobok môže prejsť na ďalší výrobný stupeň až vtedy, keď je dokončené jeho spracovanie
na predchádzajúcom výrobnom stupni.
3. V ľubovoľnom časovom okamžiku môže sa na ľubovoľnom výrobnom stupni spracovávať
iba jeden výrobok.
4. Pre každý výrobok je zadané poradie výrobných stupňov, v akom musí cez ne prechádzať
a pre všetky výrobky je toto poradie rovnaké.
5. Pracovný proces pri spracovaní výrobku nemožno prerušiť zavedením iného výrobku.
6. Každý výrobok sa môže v ľubovoľnom časovom okamžiku spracovávať iba na jedinom
výrobnom stupni.
7. Poznáme operačné časy jednotlivých výrobkov na jednotlivých výrobných stupňoch.
8. Existuje iba jeden výrobok (výrobný stupeň) každého druhu.
Uvažujeme teda: j = 2 výrobné stupne,
i = n výrobkov.
Úlohou je nájsť také poradie (i1, i2, ..., in), kde (i1, i2, ..., in) je výberový priestor 1 až n, pre
ktorý bude mať funkcia T minimálnu hodnotu. Existuje n! poradí. Nezisťujú sa všetky možné
riešenia, ale iba optimálne, t.j. také, pri ktorých celkový priebežný čas všetkých výrobkov na
dvoch výrobných stupňoch bude minimálny.
ÚF: min!
=T
Hodnotu T môžeme všeobecne pre dva výrobné stupne a n výrobkov vyjadriť takto:
∑∑−
==
+=1
02
12
n
kk
n
ii rtT [1.1]
9
Je zrejmé, že prvá zložka na pravej strane je pevne určená – nezávisí od poradia výrobkov.
Zmenou poradia však môžeme minimalizovať druhú zložku, ktorá predstavuje prestojové časy na
2. výrobnom stupni.
výr.° - jedno z možných poradí,
- všetkých možných poradí
je n! = 4! = 24.
2 r02 r12
A B C D
1
A B C D t (čas)
min!
=T
Minimálnu hodnotu funkcie T [1.1] dosiahneme minimalizáciou druhej zložky, ak výrobky
zoradíme podľa týchto Johnsonových pravidiel:
1. Vyberieme najmenší operačný čas tij bez ohľadu na výrobky a výrobné stupne.
2. Ak je tento čas operačným časom na 1. výrobnom stupni niektorého výrobku, zaradíme tento
výrobok na prvé miesto v poradí.
3. Ak je tento čas operačným časom na 2. výrobnom stupni niektorého výrobku, zaradíme tento
výrobok na posledné miesto v poradí.
4. Vyberieme ďalší najmenší operačný čas, pričom operačné časy výrobkov, ktoré už boli
zaradené, si nevšímame.
5. Opakujeme postup podľa bodov 1 - 4, až kým nezaradíme všetky výrobky, pričom ďalšie
výrobky zaraďujeme vždy ďalej smerom do stredu poradia (t.j. ako druhý, predposledný,
atď.).
6. Ak majú 2 alebo viac výrobkov rovnaké operačné časy na tom istom výrobnom stupni,
pričom tieto časy sú rozhodujúce z hľadiska ich zaradenia do poradia, existuje viac
optimálnych poradí, pretože poradie týchto výrobkov si môžeme zvoliť ľubovoľne.
10
7. Ak má niektorý výrobok rovnaké operačné časy na oboch výrobných stupňoch, potom
z hľadiska zaradenia je dôležitý operačný čas na 1. výrobnom stupni a zaraďujeme ho, keď
naň príde rad, na prvšie miesto poradia.
Príklad 1.1:
Treba zostaviť optimálne poradie opracovania 6 výrobkov pre dva výrobné stupne. Operačné
časy výrobkov na výrobných stupňoch sú uvedené v tabuľke:
Operačné časy
v hodinách
Výrobok
A B C D E F
1. výr. stupeň 7 8 6 4 3 8
2. výr. stupeň 5 3 2 4 6 5
Riešenie:
Na určenie optimálneho poradia použijeme Johnsonove pravidlá. Najmenší operačný čas je 2
na 2. výrobnom stupni a prislúcha výrobku C. Výrobok C dáme na posledné miesto v poradí.
Ďalší najmenší čas je 3. Pri výrobku B je na 2. výrobnom stupni a pri výrobku E na 1. výrobnom
stupni.
Výrobok B dáme pred výrobok C, t.j. na predposledné miesto a výrobok E zaradíme na prvé
miesto.
Ďalší najmenší čas je 4 pri výrobku D (pri 1. aj 2. výrobnom stupni). Výrobok D dáme na
druhé miesto za E.
Ďalší najmenší čas je 5 na 2. výrobnom stupni pri výrobkoch A a F. Môžeme dať výrobok F
pred výrobok B a výrobok A pred výrobok F; alebo môžeme dať A pred B a F pred A.
Všetky výrobky máme už zaradené, budú teda dve optimálne poradia:
E → D → A → F → B → C a
E → D → F → A → B → C , pre ktoré je zhodné trvanie Tmin = 38 hod.
Príklad 1.2:
Treba zostaviť optimálne poradie výrobkov pre 1. a 2. výrobný stupeň tak, aby sme vylúčili
prestoje výrobných stupňov počas výrobného procesu. Operačné časy sú v tabuľke.
11
Operačné časy
v hodinách
Výrobok
A B C D E F G
1. výr. stupeň 10 8 5 3 6 5 8
2. výr. stupeň 6 4 7 4 6 4 10
Použijúc Johnsonove pravidlá dostaneme dve optimálne poradia:
D → C → E → G → A → B → F a
D → C → E → G → A → F → B
∑∑−
==
+=1
02
12min
n
kk
n
ii rtT
498418)44610674(min =+=+++++++=T hod.
výr.°
3 4 1 7 6 1 10 6 2 4 1 4
2 D C E G A B F
1 D C E G A B F t
3 5 6 8 10 8 5
Tmin = 49
Príklad 1.3:
Treba nájsť optimálne poradie spracovania 6-tich výrobkov A, B, C, D, E, F na dvoch
výrobných stupňoch za predpokladu, že operačné časy výrobkov na jednotlivých výrobných
stupňoch sú uvedené v nasledujúcej tabuľke.
Operačné časy A B C D E F
1. výr. stupeň 7 12 8 3 7 4
2. výr. stupeň 10 2 3 6 2 6
12
Použijúc Johnsonove pravidlá dostávame dve optimálne poradia:
D → F → A → C → B → E a
D → F → A → C → E → B
Príklad 1.4:
Treba určiť optimálne poradie spracovania 8 výrobkov na dvoch výrobných stupňoch.
Operačné časy na jednotlivých stupňoch sú v tabuľke:
Operačné časy
v hodinách
Výrobok
A B C D E F G H
1. výr. stupeň 6 8 4 10 15 2 6 13
2. výr. stupeň 2 7 5 11 4 8 10 6
Použijúc Johnsonove pravidlá dostaneme nasledujúce optimálne poradie:
F → C → G → D → B → H → E → A
1.2 JOHNSONOV MODEL PRE TRI VÝROBNÉ STUPNE
Johnsonove pravidlá možno zovšeobecniť a použiť aj v prípade troch výrobných stupňov a n
výrobkov. Musí sa však splniť, okrem už uvedených ôsmich predpokladov, ešte aspoň jedna
z nasledujúcich nerovností:
a) max ti2 ≤ min ti1 , to znamená, že najväčší operačný čas druhého výrobného stupňa nesmie
byť väčší ako minimálny čas prvého výrobného stupňa,
b) max ti2 ≤ min ti3 , to znamená, že najväčší operačný čas druhého výrobného stupňa nesmie
byť väčší ako minimálny operačný čas tretieho výrobného stupňa alebo môžu platiť obidve
nerovnosti súčasne.
Ak je splnená aspoň jedna z uvedených nerovností, môžeme nájsť aplikáciou pravidiel
Johnsona i pri troch výrobných stupňoch optimálne poradie. Aby sme však mohli tieto pravidlá
použiť, musíme najprv zredukovať počet výrobných stupňov. Urobíme to tak, že sčítame
13
operačné časy (ti1 + ti2) a (ti2 + ti3) pre všetky i = 1, 2, ..., n. Tak dostaneme z pôvodných troch
hodnôt operačných časov pre každý výrobok len dve súčtové hodnoty. Takto upravenú úlohu
riešime Johnsonovým modelom ako úlohu dvojstupňovú.
Poradie získané týmto modelom minimalizuje účelovú funkciu T, ale nezaručuje, že 2. a 3.
výrobný stupeň nebudú mať prestoje počas výrobného procesu.
Príklad 1.5:
Na základe operačných časov uvedených v tabuľke treba nájsť optimálne poradie
spracovania výrobkov:
Operačné časy A B C D E F
1. výr. stupeň 5 6 5 7 8 5
2. výr. stupeň 2 4 3 3 5 2
3. výr. stupeň 3 5 3 4 7 6
Z tabuľky je zrejmé, že:
{max ti2 = 5} = {min ti1 = 5} - je splnená aspoň jedna podmienka nerovnosti.
min. ti3 = 3.
To znamená, že na zostavenie optimálneho poradia výrobkov môžeme použiť Johnsonove
pravidlá. Najprv však musíme previesť úlohu na dvojstupňovú:
Súčtové oper. časy A B C D E F
ti1 + ti2 7 10 8 10 13 7
ti2 + ti3 5 9 6 7 12 8
Aplikáciou Johnsonových pravidiel na súčtové operačné časy výrobkov získame takéto
optimálne poradie výrobkov:
F → E → B → D → C → A
14
Príklad 1.6:
Treba nájsť optimálne poradie spracovania 6-tich výrobkov na 3 výrobných stupňoch, ak
operačné časy jednotlivých výrobkov na jednotlivých výrobných stupňoch sú:
Výrobný stupeň A B C D E F
1. 6 8 10 12 7 10
2. 5 4 3 6 2 6
3. 7 2 10 4 5 6
Z tabuľky je zrejmé, že: {max ti2 = 6} = {min ti1 = 6} - je splnená aspoň jedna nezápornosť.
min. ti3 = 2.
Výrobný stupeň A B C D E F
ti1 + ti2 11 12 13 18 9 16
ti2 + ti3 12 6 13 10 7 12
Aplikáciou Johnsonových pravidiel na súčtové operačné časy výrobkov získavame takéto
optimálne poradie výrobkov:
A → C → F → D → E → B
Príklad 1.7:
Treba nájsť optimálne poradie spracovania 6-tich výrobkov na 3 výrobných stupňoch.
Operačné časy sú uvedené v tabuľke:
Operačné časy A B C D E F
1. výr. stupeň 6 8 5 10 15 4
2. výr. stupeň 2 7 6 5 2 6
3. výr. stupeň 7 10 8 7 9 11
{max ti2 = 7} = {min ti3 = 7} - je splnená aspoň jedna podmienka nerovnosti.
min. ti1 = 4.
Súčtové oper. časy A B C D E F
ti1 + ti2 8 15 11 15 17 10
ti2 + ti3 9 17 14 12 11 17
15
Aplikáciou Johnsonových pravidiel na súčtové operačné časy výrobkov dostávame takéto
optimálne poradie výrobkov: A → F → C → B → D → E
1.3 JOHNSONOV MODEL PRE M VÝROBNÝCH STUPŇOV A N VÝROBKOV – PRÜCKNEROVA METÓDA
Johnsonove pravidlá možno použiť na určenie poradia výrobkov aj pri väčšom počte
výrobných stupňov ako tri, ale v takom prípade už tieto pravidlá strácajú charakter presnej
metódy a nezaručujú teda ani najlepšie optimálne poradia.
Postup pri ich použití je nasledovný:
1. Pre každý výrobný stupeň vypočítame úhrnný čas Tj ako súčet časov tij pre tento výrobný
stupeň:
∑=
=n
iijj tT
1
, j =1, 2, ..., m
2. Pre každý výrobok vypočítame úhrnný čas Ti ako súčet časov tij pre tento výrobok:
∑=
=m
jiji tT
1
, i = 1, 2, ..., n
3. Overíme správnosť výpočtu dosadením výsledkov do rovnice:
∑∑==
=n
ii
m
jj TT
11
[1.2]
4. Ucelený sled zložený z m výrobných stupňov rozdelíme ne dve skupiny A, B. Prvá skupina
A bude obsahovať prvých a výrobných stupňov, druhá skupina B zostávajúcich b = (m–a)
výrobných stupňov. Veľkosť a a b určíme tak, aby medzisúčet úhrnných časov Tj za prvých
a výrobných stupňov sa približne rovnal medzisúčtu Tj za zostávajúcich b výrobných
stupňov, t.j.:
∑∑+==
=m
ajj
a
jj TT
11
[1.3]
Ak nie sú veľké rozdiely medzi jednotlivými Tj , potom pri párnom m platí a = b , pri
nepárnom m platí a = b+1 alebo a = b–1.
16
5. Pre každý výrobok i vypočítame hodnoty Ai , Bi podľa nasledovných vzorcov:
+= 1itA
+++ 21 ii tt
++++ 321 iii ttt
M
=+++++ iaiii tttt ...321
iaiii ttataat ++−+−+= ...)2()1( 321 [1.4]
B += +bait ,
+++ −++ 1,, baibai tt
++++ −+−++ 2,1,, baibaibai ttt
M
=+++++ +−+−++ 1,2,1,, ... aibaibaibai tttt
1,2,1,, ...)2()1( +−+−++ ++−+−+= aibaibaibai ttbtbbt [1.5]
Tým zredukujeme pôvodných m výrobných stupňov na dva fiktívne výrobné stupne. Pre
prvý výrobný stupeň platia pre súčtové hodnoty operačných časov hodnoty Ai a pre druhý
výrobný stupeň hodnoty Bi.
17
6. Použijeme Johnsonove pravidlá na dva fiktívne stupne.
„ i “ výrobky →
1 2 i n Tj =∑=
n
iijt
1
← „
j “
výro
bné
stu
pne
a
1 t11 t21 ti1 tn1 T1
2 t12 t22 ti2 tn2 T2
j tij Tj
a t1a t2a tia tna Ta
b
a+1 t1,a+1 t2,a+1 ti,a+1 tn,a+1 Ta+1
m t1m t2m tim tnm Tm
Ti =∑=
m
jijt
1
T1 T2 Ti Tn ∑Ti = ∑Tj
Príklad 1.8:
Treba určiť optimálne poradie spracovania 4 výrobkov na 8 výrobných stupňoch. Operačné
časy aj výpočet sú uvedené v tabuľke.
„ i “ výrobky →
A B C D Tj=∑=
D
Aiijt
← „
j “
výr
obn
é s
tup
ne
a
1. 14 7 4 16 41 2. 8 22 9 19 58 3. 95 15 63 0 173 4. 43 22 38 5 108
b
5. 16 80 21 63 180 6. 0 0 0 24 24 7. 52 3 10 32 97 8. 87 0 10 41 138
Ti=∑=
8
1jijt 315 149 155 200 819
18
Riešenie:
1. Pre každý výrobný stupeň vypočítame čas Tj (j = 1, 2, ..., 8).
2. Pre každý výrobok vypočítame čas Ti (i = A, B, C, D).
3. Preveríme správnosť výpočtu dosadením výsledkov do rovnice: ∑∑==
=D
Aii
jj TT
8
1
819 = 819
4. Operácie rozdelíme na dve skupiny A, B. Prvá skupina bude pozostávať z prvých štyroch
operácií a = 4, druhá skupina z ostávajúcich štyroch b = 4.
5. Pre každý výrobok vypočítame hodnoty Ai, Bi:
AA = 3134329538414 =+⋅+⋅+⋅
AB 1462221532247 =+⋅+⋅+⋅=
AC 207382633944 =+⋅+⋅+⋅=
AD 126520319416 =+⋅+⋅+⋅=
BA = 5201620352487 =+⋅+⋅+⋅
BB 8980203340 =+⋅+⋅+⋅=
BC 912120310410 =+⋅+⋅+⋅=
BD 37163224332441 =+⋅+⋅+⋅=
6. Ďalej postupujeme podľa Johnsonových pravidiel, pretože pre každý výrobok máme už iba
dve hodnoty Ai, Bi – dva fiktívne výrobné stupne:
Výrobný
stupeň
Výrobok
A B C D
Ai 313 146 207 126
Bi 520 89 91 371
89 " → . . . B
91 " → . . C B
126 ' → D . C B
313 ' → D A C B - konečné poradie výrobkov.
19
Podobným výpočtom, t.j. zistením spotreby výrobného času pre každú zo všetkých 24 (4!)
možných permutácií by sme zistili, že nájdené poradie: DACB je aj optimálne poradie.
Príklad 1.9:
Zostavte optimálne poradie výrobkov vzhľadom na operačné časy uvedené v tabuľke:
„ i “ výrobky →
A B C D E F ∑=
=F
Aiijj tT
← „
j“ v
ýrob
né s
tup
ne a
1. 20 5 0 8 15 22 70
2. 14 33 28 16 16 0 107
3. 10 13 9 0 0 17 49
4. 25 0 10 28 31 20 114
b
5. 0 17 23 31 27 6 104
6. 42 10 15 9 4 17 97
7. 22 45 11 13 11 12 114
∑=
=7
1jiji tT 133 123 96 105 104 94 655
Riešenie:
1. Pre každý výrobný stupeň vypočítame čas Tj (j = 1, 2, ..., 7).
2. Pre každý výrobok vypočítame čas Ti (i = A, B, ..., F).
3. Preveríme správnosť výpočtu dosadením výsledkov do rovnice: ∑∑==
=F
Aii
jj TT
7
1
655 = 655
4. Operácie rozdelíme na dve skupiny A, B.
Prvá skupina bude pozostávať z prvých štyroch operácií a = 4, 3404
1
=∑=j
jT a druhá skupina
z ostávajúcich troch b = 3, 3157
5
=∑=j
jT .
20
5. Pre každý výrobok vypočítame hodnoty Ai, Bi:
167)25101420()101420()1420(20 =+++++++++=AA
145)013335()13335()335(5 =+++++++++=BA
112)109280()9280()280(0 =+++++++++=CA
108)280168()0168()168(8 =+++++++++=DA
139)3101615()01615()1615(15 =+++++++++=EA
142)2017022()17022()022(22 =+++++++++=EA
117)04222()4222(22 =+++++=AB
172)171045()1045(45 =+++++=BB
86)231511()1511(11 =+++++=CB
88)31913()913(13 =+++++=DB
68)27411()411(11 =+++++=EB
76)61712()1712(12 =+++++=FB
6. Ďalej pokračujeme podľa Johnsonových pravidiel, pretože pre každý výrobok máme už
iba dve hodnoty Ai, Bi – dva výrobné fiktívne stupne:
Výrobný
stupeň
Výrobok
A B C D E F
Ai 167 145 112 108 139 142
Bi 117 172 86 88 68 76
68 → . . . . . E
76 → . . . . F E
86 → . . . C F E
88 → . . D C F E
117 → . A D C F E
B A D C F E - konečné poradie výrobkov.
21
Príklad 1.10:
Zostavte optimálne poradie výrobkov vzhľadom na operačné časy uvedené v tabuľke:
„ i “ výrobky →
A B C D E F ∑=
=F
Aiijj tT
← „
j “
výr
obn
é s
tupn
e
a
1. 11 21 12 9 23 25 101
2. 0 0 41 32 22 17 112
3. 27 35 19 0 11 0 92
4. 15 0 19 0 29 8 71
b
5. 0 31 11 17 23 0 82
6. 22 27 0 11 0 42 102
7. 12 25 0 21 13 22 93
8. 17 11 23 15 12 9 87
9. 0 8 13 0 5 10 36
∑=
=9
1jiji tT 104 158 138 105 138 133 776
Riešenie:
1. Pre každý výrobný stupeň vypočítame čas Tj (j = 1, 2, ..., 9).
2. Pre každý výrobok vypočítame čas Ti (i = A, B, ..., F).
3. Preveríme správnosť výpočtu dosadením výsledkov do rovnice: ∑∑==
=F
Aii
jj TT
9
1
776 = 776
4. Operácie rozdelíme na dve skupiny A, B.
Prvá skupina bude pozostávať z prvých štyroch operácií a = 4, 3764
1
=∑=j
jT a druhá skupina
z ostávajúcich piatich b = 5, 4009
5
=∑=j
jT .
5. Pre každý výrobok vypočítame hodnoty Ai, Bi :
22
113)1527011()27011()011(11 =+++++++++=AA
154)035021()35021()021(21 =+++++++++=BA
228)19194112()194112()4112(12 =+++++++++=CA
132)00329()0329()329(9 =+++++++++=DA
209)29112223()112223()2223(23 =+++++++++=EA
159)801725()01725()1725(25 =+++++++++=FA
148)02212170()2212170()12170()170(0 =++++++++++++++=AB
244)312725118()2725118()25118()118(8 =++++++++++++++=BB
168)11002313()002313()02313()2313(13 =++++++++++++++=CB
162)171121150()1121150()21150()150(0 =++++++++++++++=DB
135)23013125()013125()13125()125(5 =++++++++++++++=EB
236)04222910()4222910()22910()910(10 =++++++++++++++=FB
6. Ďalej postupujeme podľa Johnsonových pravidiel, pretože pre každý výrobok máme už iba
dve hodnoty Ai, Bi – dva fiktívne výrobné stupne:
Výrobný
stupeň
Výrobok
A B C D E F
Ai 113 154 228 132 209 159
Bi 148 224 168 162 135 236
113 → A . . .
132 → A D . . .
135 → A D . . . E
154 → A D B . . E
159 → A D B F . E
168 → A D B F C E - konečné poradie výrobkov
Poznámka:
Ak a = 5, b = 4 bude konečné poradie výrobkov: F – B – C – D – A – E.
23
A B C D E F
1. fiktívny ° 166 241 330 190 317 209
2. fiktívny ° 97 142 121 98 82 153
Podmienky riešenia a riešenie sekvenčných úloh Johnsonovým modelom, jeho aplikácií, sú
uvedené v nasledujúcej tabuľke.
APLIKÁCIE JOHNSONOVHO MODELU Tabuľka 1-1
Aplikácia
Johnsonovho
modelu
Podmienka riešenia modelu
Výrobné
stupne
Výpočet fiktívnych
výrobných stupňov (VS)
Riešenie modelu
2 výrobné stupne a
n- výrobkov
- Reálne - optimálne
poradie
3 výrobné stupne a
n- výrobkov
Fiktívne
dva fiktívne VS:
1 reálny + 2 reálny
= I. fiktívny VS
2 reálny + 3 reálny
= II. fiktívny VS
optimálne
poradie
(podľa aplikácie pre
2 VS n- výrobkov)
m výrobné stupne a
n- výrobkov
Prücknerova metóda
m = a+b
Tj – súčet operačných časov
na j –tom stupni
Fiktívne
dva fiktívne VS:
približné poradie
(podľa aplikácie pre
2 VS n- výrobkov)
1.4 JACKSONOV MODEL
Jacksonov sekvenčný model sa používa na určenie optimálneho poradia opracovania
výrobkov, ak ide o dva výrobné stupne (VS) s ľubovoľným počtom výrobkov, pričom poradie
VS nie je rovnaké pre všetky výrobky a taktiež výrobky môžu vynechávať niektorý VS, čiže
sa opracuje iba na jednom z dvoch VS. Optimálne poradie v tomto prípade treba určiť zvlášť pre
prvý VS a zvlášť pre druhý VS.
( )( )32
12
minmax
minmax
i
i
i
i
i
i
i
i
tt
tt
≤
≤
min!
11
=∑−∑+==
m
aj
j
a
j
j TT
mjn
i
ijj tT ,...,2,1;1
==∑=
aiiii
iii
ii
ii
tttt
ttt
tt
tI
,3,2,1,
3,2,1,
2,1,
1,
...
...
+++++
+++++++
+=
1,2,1,,
2,1,,
1,,
,
...
...
+−−
−−
−
+++++
+++++++
+=
aimimimi
mimimi
mimi
mii
tttt
ttt
tt
tII
24
Postup pri určovaní optimálneho poradia opracovania výrobkov je taký, že výrobky si
rozdelíme na štyri skupiny (množiny), a to skupinu:
I. do nej zaradíme tie výrobky, ktoré sa opracovávajú iba na 1VS,
II. - zaradíme tie výrobky, ktoré sa opracovávajú iba na 2VS,
III. - zaradíme tie výrobky, ktoré sa opracovávajú najskôr na 1VS a potom na 2VS,
IV. - zaradíme tie výrobky, ktoré sa opracovávajú najskôr na 2VS a potom na 1VS.
Na základe Johnsonovho modelu pre 2 VS nájdeme optimálne poradie pre skupinu III. a aj
pre skupinu IV. Potom určíme optimálne poradie pre:
1VS: III. opt.- I. ľub. – IV. opt.
2VS: IV. opt.- II. ľub. – III. opt.
Tento model je vhodný pre fázovú výrobu.
Príklad 1-11:
Na základe údajov v nasledovnej tabuľke treba určiť optimálne poradie výrobkov na dvoch
výrobných stupňoch. Pričom výrobky, ktoré sú v poslednom riadku tabuľky označené
znamienkom „+“ sa opracúvajú najskôr na prvom výrobnom stupni a až potom na druhom
výrobnom stupni. Výrobky, ktoré sú označené znamienkom „-„ , sa opracúvajú najprv na druhom
výrobnom stupni a až potom na prvom výrobnom stupni.
VS
Výrobky A B C D E F G H I J K L
1. 6 7 - 2 10 - 7 12 6 7 10 12 2. 10 - 8 4 5 10 - 4 13 5 8 15 + + + + - - - -
Riešenie:
Výrobky si rozdelíme na štyri skupiny (množiny), a to skupinu:
I. B, G
II. C, F
III. A, D, E, H
IV. I, J, K, L
25
Pre III. a IV. skupinu musíme nájsť optimálne poradie pomocou Johnsonovho modelu pre dva
výrobné stupne:
III. opt. : D – A – E – H
IV. opt.: J – K – L – I (! Druhý výrobný stupeň je prvý!)
Potom optimálne poradie pre prvý výrobný stupeň je:
D – A – E – H – B – G - J – K – L – I
a poradie pre druhý výrobný stupeň je:
J – K – L – I – C – F - D – A – E – H
1.5 RIEŠENIE SEKVENČNÝCH PROBLÉMOV POMOCOU METÓD LINEÁRNEHO PROGRAMOVANIA – WAGNEROV MODEL
Viacstupňové sekvenčné modely formulovali ako problémy lineárneho programovania
viacerí autori (Manne, Wagner, Bowman). Z hľadiska výpočtu sa zdá najvýhodnejší model
Wagnerov.
Wagnerov model možno použiť na minimalizáciu celkového priebežného času pri troch
výrobných stupňoch, ak nemôžeme použiť Johnsonove pravidlá. Použitie tohto modelu
predpokladá splnenie už uvedených predpokladov. Prvý predpoklad neovplyvní optimalitu
riešenia v prípade dvoch alebo troch výrobných stupňov. Pri viac ako troch výrobných stupňoch
nemáme zaručené, že riešenie, ktoré nájdeme pomocou Wagnerovho modelu, je riešením
optimálnym.
Na základe prvého predpokladu, t.j. že poradie výrobkov je na všetkých stupňoch
spracovania rovnaké, môžeme zaviesť tzv. binárne premenné xik, kde:
xik = 1 , ak i-ty výrobok bude zaradený na všetkých výrobných stupňoch ako k-ty v poradí,
xik = 0 , ak to tak nebude (i, k = 1, 2, ..., n).
Pre takto definované premenné musí platiť:
∑=
n
iikx
1
= 1 pre k = 1, 2, ..., n, [1.6]
t.j. každý výrobok musí byť zaradený na niektorom mieste v poradí:
26
1... 11211 =+++ nxxx
1... 22221 =+++ nxxx
M
1...21 =+++ nnnn xxx
∑=
n
kikx
1
= 1 pre i = 1, 2, ..., n, [1.7]
t.j. na každé miesto poradia sa musí zaradiť niektorý výrobok:
1... 12111 =+++ nxxx
1... 22212 =+++ nxxx
M
1...21 =+++ nnnn xxx
(jednu rovnicu [1.6], [1.7] môžeme vypustiť, lebo ide o lineárne závislé rovnice).
Ďalej použijeme na sformulovanie ostatných predpokladov nasledujúce štyri druhy
premenných:
wkj ≥ 0, časový okamžik, kedy k-ty výrobok v poradí sa začne spracovávať na j-tom výrobnom
stupni;
skj ≥ 0, čas čakania k-teho výrobku medzi j-tym a (j +1). výrobným stupňom;
rkj ≥ 0, prestoj j-teho výrobného stupňa medzi k-tym a (k +1). výrobkom v poradí;
tij ≥ 0, operačný čas i-teho výrobku na j-tom výrobnom stupni.
27
výr.°
r13 r23 r33
3
A B C D
2
A B C D
1
A B C D
s31 s41
t (čas)
T
Účelová funkcia Wagnerovho modelu, ktorá predstavuje celkový čas T potrebný na
vykonanie všetkých operácií na všetkých výrobkoch, sa dá napísať takto:
min!
11
1
1
1
11
=++= ∑∑∑∑=
−
=
−
==i
n
i
m
jij
n
kkm
n
iim xtrtT , [1.8]
kde
∑=
n
iimt
1
- súčet operačných časov všetkých výrobkov na poslednom výrobnom stupni
(konštanta),
∑−
=
1
1
n
kkmr - súčet prestojov posledného stupňa medzi jednotlivými výrobkami,
11
1
1i
n
i
m
jij xt∑∑
=
−
=
- súčet prestojov posledného stupňa pred začiatkom výroby prvého výrobku
v poradí na tomto výrobnom stupni, t.j. vlastne súčet operačných časov prvého výrobku v poradí cez všetky výrobné stupne okrem posledného.
Na základe premenných xik môžeme vyjadriť čas potrebný na vykonanie pracovnej operácie
na k-tom výrobku v poradí na j-tom výrobnom stupni ako súčet súčinov:
kjkj xtxt 2211 + + ... + nknjxt = ik
n
iij xt∑
=1
. [1.9]
Ďalšie obmedzujúce podmienky pre ÚF naformulujeme pre druhý a tretí predpoklad za
pomoci premenných wkj , rkj , skj:
28
Na základe druhého predpokladu, t.j., že výrobok môže prejsť na ďalší výrobný stupeň až
vtedy, keď je dokončené jeho spracovanie na predchádzajúcom výrobnom stupni:
výr.° wkj
j k
j-1 k
t (čas)
wk,j-1 ∑=
−
n
iikji xt
11, sk,j-1
čas začatia čas opracovania čas
čakania platí:
∑=
−−− ++=n
iikjijkjkkj xtsww
11,1,1, [1.10]
Podmienka [1.10] zabezpečuje, že čas (okamih) začatia spracovania k-teho výrobku v poradí
na j-tom výrobnom stupni sa rovná okamihu začatia spracovania toho istého výrobku na
predchádzajúcom výrobnom stupni plus čas čakania tohto výrobku medzi (j-1). a j-tým
výrobným stupňom a plus operačný čas tohto výrobku na (j-1). výrobnom stupni.
Pretože je čas čakania sk,j-1 ≥ 0 a ostatné veličiny sú dané jednoznačne, pôjde na j-ty výrobný
stupeň iba výrobok dokončený na predchádzajúcom výrobnom stupni!
Na základe tretieho predpokladu, t.j. že v ľubovoľnom časovom okamžiku sa môže na
ľubovoľnom výrobnom stupni spracovávať iba jeden výrobok:
29
výr.°
wkj
rk-1,j
prestoj
j k-1 k t (čas)
wk-1,j 1,1
−=∑ ki
n
iij xt
čas začatia operačný čas
platí:
1,1
,,1,1 −=
−− ∑++= ki
n
ijijkjkkj xtrww [1.11]
Podmienka [1.11] zabezpečuje, že čas (okamih) začiatku spracovania k-teho výrobku
v poradí na j-tom výrobnom stupni sa rovná okamihu začiatku spracovania predchádzajúceho
výrobku v poradí na j-tom výrobnom stupni plus čas prestoja j-teho stupňa medzi (k-1). a k-tym
výrobkom v poradí a plus operačný čas predchádzajúceho výrobku v poradí na j-tom výrobnom
stupni.
Pretože prestoj rk-1,j ≥ 0 , zaručuje to, že sa nebudú spracúvať dva výrobky súčasne na tom
istom výrobnom stupni.
Doteraz sformulované vzťahy [1.6], [1.7], [1.10], [1.11] vystupujú ako vlastné obmedzenia
vo Wagnerovom modeli.
Podmienky nezápornosti:
0≥kjw keď: k = 2, 3, ..., n
0≥kjs j = 2, 3, ..., m
0≥kjr i = 1, 2, ..., n
0=ikx alebo 1
30
Aby sme mohli Wagnerov model použiť na výpočet poradia výrobkov, pri ktorom bude
celkový priebežný čas minimálny, treba ho ešte upraviť. Úprava spočíva vo vylúčení premenných
wkj dovolenými matematickými úkonmi zo vzťahov [1.10] a [1.11].
Zo [1.10] dostaneme pre čas začatia spracovávania (k-1). výrobku v poradí na j-tom
výrobnom stupni:
1,11,1,1 −−−−− += jkjkjk sww + 1,1
1, −=
−∑ ki
n
iji xt [1.12]
Zo [1.11] dostaneme pre čas začatia spracovávania k-teho výrobku v poradí na (j-1).
výrobnom stupni:
++= −−−−− 1,11,11, jkjkjk rww 1,1
1, −=
−∑ ki
n
iji xt [1.13]
Dosadením za wk,j-1 zo [1.13] do [1.10] a za wk-1,j zo [1.12] do [1.11] a porovnaním takto
novo vzniknutých vzťahov dostávame:
++ −−−− 1,11,1 jkjk rw ∑=
−−
n
ikiji xt
11,1, + 1, −jks + ik
n
iji xt∑
=−
11, =
= ++ −−−− 1,11,1 jkjk sw 1,1
1, −=
−∑ ki
n
iji xt + jkr ,1− + 1,
1−
=∑ ki
n
iij xt
Po vykrátení a anulovaní dostávame vzťah:
++= −−− 1,1,10 jkjk sr ∑=
−
n
iikji xt
11, −−− −−− jkjk rs ,11,1 1,
1−
=∑ ki
n
iij xt [1.14]
Vzťah [1.14] je potom novou obmedzujúcou podmienkou. Po tejto úprave vyzerá Wagnerov
model takto:
Treba nájsť minimum funkcie:
T = min!
11
1
1
1
11
=++ ∑∑∑∑=
−
−
−
==i
n
i
m
jij
n
kkm
n
iim xtrt
za podmienok:
11
=∑=
n
iikx ( k = 1, 2, ..., n )
31
11
=∑=
n
kikx ( i = 1, 2, ..., n )
1,1
,11,11
1,1,1,10 −=
−−−=
−−−− ∑∑ −−−++= ki
n
iijjkjkik
n
ijijkjk xtrsxtsr ( k = 2, 3, ..., n ; j = 2, 3, ..., m)
0≥kjr , kjs ≥ 0 a ikx = 1 alebo 0.
Ako sme už spomenuli, pokiaľ ide o dosiahnutie optima, zaručuje tento model istý výsledok
len v prípade dvoch alebo troch výrobných stupňov. Použitie tohto modelu môže byť z hľadiska
dosiahnutia optima úspešné i v mnohých prípadoch s väčším počtom výrobných stupňov ako
dobrá aproximácia výsledku.
Nevýhodou Wagnerovho modelu je neúmerný rast modelu vzhľadom na rast výrobných
stupňov a výrobkov (rast počtu obmedzení), čím už i pre jednoduché úlohy je riešenie
ťažkopádne. Ďalšou veľkou nevýhodou modelu je skutočnosť, že premenné xik sú binárne
premenné. To znamená, že vzhľadom na tieto premenné musíme úlohu doriešiť celočíselne.
Wagnerov model môžeme riešiť simplexovou metódou. Ak optimálne riešenie, ktoré
nájdeme SM, nie je celočíselné vzhľadom na premenné xik (0,1), môžeme doriešiť model napr.
Gomoryho algoritmom.
Príklad 1.12:
Výrobky A a B sa opracúvajú na troch výrobných stupňoch.
Operačné časy výrobku A: t11 = 10 h, t12 = 5 h, t13 = 8 h
Operačné časy výrobku B: t21 = 4 h, t22 = 9 h, t23 =1 h
Na základe zadaných operačných časov treba určiť optimálne poradie opracúvania
uvažovaných výrobkov platné pre všetky tri stupne, t.j. také poradie, pri ktorom T – priebežný
čas oboch výrobkov A, B nadobudne minimálnu hodnotu.
Riešenie:
Úlohu nemožno riešiť Johnsonovou metódou, pretože ani jedna podmienka na použitie tohto
modelu nie je splnená. Budeme ju riešiť pomocou Wagnerovho modelu. Formulácia Wagnerovho
modelu vyzerá takto:
32
Treba nájsť minimum funkcie: 2122111221211111132313 xtxtxtxtrttT ++++++=
na množine riešení nasledujúcej sústavy rovníc a nerovností:
12111 =+ xx [1]
12212 =+ xx [2]
11211 =+ xx [3]
12212 =+ xx lineárne závislé, vypustíme
[1.10] 022212122211211 =−+++ wwsxtxt [4]
[1.11] 022121221221112 =−+++ wwrxtxt [5]
[1.10] 023222222221212 =−+++ wwsxtxt [6]
[1.11] 023131321231113 =−+++ wwrxtxt [7]
013121221221112 =−+++ wwsxtxt [8]
011 =w
02112 =− ww lebo nám ide o minimalizáciu T
0≥kjw
0≥kjs pre k = 1, 2 a j = 1, 2, 3
0≥kjr
1=ikx , lebo 0 pre i, k = 1, 2
Prípustnými úpravami vylúčime z modelu premenné wkj. Z rovníc [5] a [8] vyplýva, že r12 =
w22 – w13, lebo s12 = 0. Ak odčítame od rovnice [4] rovnicu [5] a dosadíme za w13 rozdiel w22 –
r12 do rovnice [7] a ďalej odčítame od rovnice [6] rovnicu [7], vylúčime všetky premenné wkj
a model potom nadobudne tvar:
2122111221211111132313 xtxtxtxtrttT ++++++=!
= min
12111 =+ xx
12212 =+ xx
11211 =+ xx
33
022212122121111121221 =+−+−− xtxtxtxtrs , k = 2 , j = 2
02222212312121113131222 =+−+−−+ xtxtxtxtrrs , k = 2 , j = 3
1=ikx alebo 0 pre i, k = 1, 2
0≥kjr
0≥kjs
Ak dosadíme za tij zadané hodnoty, dostaneme konečný tvar Wagnerovho modelu pre náš
prípad:
min13159!
211113 =+++= xxrT
12111 =+ xx
12212 =+ xx
11211 =+ xx
049105 222112111221 =+−+−− xxxxrs
0958 22211211131222 =+−+−−+ xxxxrrs
Zostavený model možno riešiť SM. V prípade, že neznáme xik nenadobudnú celočíselné
hodnoty, musí sa úloha doriešiť napr. Gomoryho algoritmom. Optimálne riešenie je:
111 =x 012 =r 121 =s
021 =x 113 =r 022 =s
122 =x
a hodnota ÚF: T = 25.
Príklad 1.13:
Treba nájsť optimálne riešenie prechodu (opracovania) dvoch výrobkov na troch výrobných
stupňoch. Operačné časy výrobkov na jednotlivých výrobných stupňoch sú v tabuľke:
34
Operačné časy A B 1. výr. stupeň 6 8 2. výr. stupeň 10 4 3. výr. stupeň 9 7
n = 2 m = 3
Riešenie:
Najprv sa pozrieme, či sa príklad nedá riešiť Johnsonovými pravidlami:
max 102 =it
min 61 =it neplatí ani jedna podmienka nerovnosti => Wagnerovým modelom.
min 73 =it
ÚF: min!
2122212111121111132313 =++++++ xtxtxtxtrtt
výr.°
3 A B
2 A B
1 A B t (čas)
T
Priraďovacie obmedzenia:
11211 =+ xx
12221 =+ xx
12111 =+ xx
12212 =+ xx jednu rovnicu môžeme vypustiť (lebo sú lineárne závislé).
35
Obmedzujúca podmienka [1.14]:
01,
2
1,11,1
2
11,1,1,1 =−−−++ −
=−−−
=−−−− ∑∑ ki
iijjkjkik
ijijkjk xtrsxtsr
Pre k = 2, j = 2:
= 0 = 0
11r −+++ 2221121121 xtxts 11s 02122111212 =−−− xtxtr
Pre k = 2, j = 3:
= 0
−+++ 222212122212 xtxtsr12s 02123111313 =−−− xtxtr
Dosadením za operačné časy tij dostávame:
min121679!
211113 =++++= xxrT
041086 211122121221 =−−++− xxxxrs
079410 21112212131222 =−−++−+ xxxxrrs
11112 =+ xx
12122 =+ xx
12111 =+ xx
1=ikx alebo 0 i, k = 1,2
0, 2221 ≥ss , 0, 1312 ≥rr
Príklad 1.14:
Určte optimálne poradie dvoch výrobkov na troch výrobných stupňoch. Operačné časy
výrobkov na výrobných stupňoch sú v tabuľkách:
36
a) b)
Operačné časy A B Operačné časy A B 1. výr. stupeň 45 34 1. výr. stupeň 31 56 2. výr. stupeň 57 28 2. výr. stupeň 63 25 3. výr. stupeň 55 64 3. výr. stupeň 48 53
Riešenie:
Obe úlohy (a, b) sa musia riešiť Wagnerovym modelom, podmienky pre Johnsonov model tu
neplatia. Všeobecné riešenie majú obe úlohy (a, b) rovnaké, tak ako predchádzajúce príklady pre
dva výrobky a tri výrobné stupne, t.j.:
ÚF: min!
2122212111121111132313 =++++++= xtxtxtxtrttT
Priraďovacie obmedzenia:
x11 + x12 = 1
x21 + x22 = 1
x11 + x21 = 1
x12 + x22 = 1 (lineárne závislé, vypúšťame)
Obmedzujúca podmienka (1.14):
k = 2, j = 2:
= 0 = 0
r11 + s21 + t11x12 + t21x22
– s11 – r12 – t12x11 – t22x21 = 0
k = 2, j = 3:
= 0
r12 + s22 + t12x12 + t22x22 – s12 – r13 – t13x11 – t23x21 = 0
1.5.1 Sekvenčný model bez čakania výrobkov medzi výrobnými stupňami
Pri formulácii tohto modelu budeme vychádzať z tých istých predpokladov ako pri
Wagnerovom modeli. V tomto modeli sa ale nebudú vyskytovať veličiny skj, t.j. čakanie
výrobkov medzi výrobnými stupňami, pretože uvažujeme situáciu, kedy nemožno skladovať
37
výrobky počas výrobného procesu, skj = 0. Výrobky musia plynule prechádzať z jedného
výrobného stupňa na ďalší.
výr.°
3 A B C D
2 A B C D
1 A B C D t (čas)
T
Ako je zrejmé z obrázku, celkový čas výroby všetkých výrobkov T možno vyjadriť ako súčet
niekoľkých zložiek:
∑=
n
iit
11 - súčet operačných časov všetkých výrobkov na prvom výrobnom stupni,
∑=
m
jnjt
2
- súčet operačných časov na druhom až poslednom výrobnom stupni toho výrobku, ktorý
je na poslednom mieste v poradí,
t - súčet prestojov prvého výrobného stupňa.
Vychádzajúc z predpokladu, že výrobky nemožno skladovať počas výrobného procesu,
bude výrobný proces prebiehať plynule len v prípade, ak bude operačný čas predchádzajúceho
výrobku na druhom stupni menší alebo nanajvýš rovný operačnému času nasledujúceho výrobku
na prvom stupni.
To znamená, že ak: tk,2 ≤ tk+1,1 , pričom symbolom k označujeme poradie výrobkov, táto
nerovnosť neplatí pre dva susedné výrobky v poradí, potom výroba nasledujúceho výrobku na
prvom stupni sa nemôže začať bezprostredne po dokončení predchádzajúceho výrobku na prvom
stupni. Výroba nasledujúceho výrobku sa môže začať na prvom stupni v najlepšom prípade
vtedy, keď sa obidva výrobky na príslušných výrobných stupňoch dokončia súčasne.
38
Rozdiel operačných časov predchádzajúceho výrobku na druhom výrobnom stupni
a nasledujúceho výrobku na prvom výrobnom stupni, teda: tk,2 – tk+1,1 predstavuje prestoj
prvého výrobného stupňa medzi dokončením práce na k-tom výrobku v poradí a začatím práce na
(k+1). výrobku v poradí.
Podobná situácia sa však môže opakovať pri výrobkoch i na ďalších výrobných stupňoch,
t.j. výroba nasledujúceho výrobku sa môže začať na prvom výrobnom stupni vtedy, keď je
zaručené, že tento výrobok bude môcť po dokončení operácie na ňom na ktoromkoľvek stupni
prejsť na ďalší stupeň.
Čas čakania pri troch výrobných stupňoch je daný výrazom: )()( 2,11,13,2, ++ +−+ kkkk tttt , pri
štyroch výrobných stupňoch výrazom: )()( 3,12,11,14,3,2, +++ ++−++ kkkkkk tttttt , atď. až pri
m výrobných stupňoch výrazom: ∑∑−
=+
=
−1
1,1
2
m
jjk
m
jkj tt .
Prestoj prvého výrobného stupňa medzi dvoma susednými výrobkami v poradí bude daný
tým výrazom, ktorý bude mať najväčšiu hodnotu, pretože začiatok výroby nasledujúceho
výrobku musíme odsunúť najmenej o toľko časových jednotiek, aby čas čakania tohto výrobku
bol na všetkých stupňoch nulový.
Zapíšeme to takto:
( ) ( )
−+−+− ∑ ∑
=
−
=++++
m
j
m
jjkkjkkkkkk tttttttt
2
1
1,12,11,13,2,1,12, 0;...;;;max
alebo stručnejšie:
−∑ ∑
=
−
=+=
0;max2
1
1,1
2
p
j
p
jjkkj
m
ptt [1.15]
m
p 2max
= - znamená, že maximum vyberáme zo všetkých čiastkových súčtov výrazov v zátvorke
pre p = 2, 3, ..., m a nuly.
Výraz [1.15] platí iba pre prestoj prvého výrobného stupňa medzi dvoma po sebe
nasledujúcimi výrobkami. Aby sme dostali tretiu zložku celkového výrobného času T, musíme
sčítať výraz [1.15] pre všetky po sebe nasledujúce dvojice celého poradia, t.j.:
39
−∑ ∑∑
=
−
=+
−
= =0;max
2
1
1,1,
1
12
p
j
p
jjkjk
n
k
m
ptt
Súčet prestojov sa počíta iba pre (n-1) sčítancov, pretože poradie výrobkov sa jedným začína
a jedným končí, ale nás zaujímajú prestoje iba medzi výrobkami vnútri poradia.
Celkový čas výroby všetkých výrobkov na všetkých výrobných stupňoch pri určitom poradí
môžeme vyjadriť teda takto:
−++= ∑ ∑∑∑∑
=
−
=+
−
= ===
0;max2
1
1,1,
1
12
211
p
j
p
jjkjk
n
k
m
p
m
jnj
n
ii ttttT . [1.16]
Našou úlohou je nájsť také poradie, pri ktorom bude mať funkcia [1.16] minimálnu hodnotu.
Z tohto hľadiska sú pre nás zaujímavé iba druhá a tretia zložka, ktoré sú závislé od poradia. Prvá
zložka nezávisí od poradia, je konštantná.
Nájsť optimálne poradie výrobkov, pri ktorom bude mať funkcia [1.16] minimálnu hodnotu,
znamená vypočítať hodnotu tejto funkcie pre všetky možné do úvahy pripadajúce poradia
a vybrať to, pre ktoré by mala funkcia T najmenšiu hodnotu. Pri väčšom počte výrobkov je takýto
spôsob výpočtu neúnosný.
Tento problém možno však riešiť Maďarskou metódou – treba vytvoriť maticu sadzieb:
−= ∑ ∑
=
−
=+=
0;max2
1
1,1,
2
p
j
p
jjkjk
m
pis tty , [1.17]
čiže yis-je stratový čas medzi i-tym a s-tým výrobkom, ak i-ty výrobok predchádza v poradí
bezprostredne pred výrobkom s-tým, pričom i, s = 1, 2, ..., n a yis pre = s nie je definované, ale
položíme ho rovné nekonečne veľkému číslu M, čo prakticky znamená, že výrobok nemôže
predchádzať sám seba.
Hodnoty yis vypočítame pre všetky dvojice výrobkov a usporiadame ich do matice n-tého
rádu.
Ak druhú zložku funkcie [1.16] označíme symbolom:
∑=
=m
jiji ty
20 , i = 1, 2, ..., n [1.18]
40
môžeme takto vypočítané hodnoty pridať ako ďalší stĺpec k matici n-tého rádu zostavenej
z hodnôt yis.
Aby sme mohli úlohu riešiť ako priraďovací problém, musíme k matici pridať ešte jeden
riadok, zostavený z hodnôt: y0i = 0 pre i = 1, 2, ..., n a y00 = M.
Všeobecne možno maticu zapísať potom takto:
M
yMyyy
yyyMy
yyyyM
nnsnn
ns
ns
0000021
202221
101112
LL
LL
MMMMM
LL
LL
Rozdiel oproti normálnemu priraďovaciemu problému je v tom, že výsledok, ktorý
dostaneme, musíme skontrolovať, či riešenie skutočne tvorí uzavretý okruh. Ak to tak nie je,
musíme riešenie upraviť tak, aby sme utvorili uzavretý okruh pri minimálnej zmene hodnoty ÚF.
V prípade, že počet výrobkov značne prevyšuje počet výrobných stupňov (m << n) alebo ak
sa výroba danej skupiny výrobkov periodicky opakuje, môžeme použiť aproximatívne riešenie,
ktoré spočíva v zanedbaní druhej zložky ÚF. Matica sadzieb je v tomto prípade n-tého rádu.
Príklad 1.15:
Treba nájsť optimálne poradie spracovania šiestich výrobkov na troch výrobných stupňoch,
ak nemožno skladovať výrobky počas výrobného procesu. Operačné časy výrobkov na
výrobných stupňoch sú uvedené v tabuľke:
Operačné časy A B C D E F ∑ 1. výr. stupeň 10 12 8 12 7 10 59 2. výr. stupeň 8 10 11 10 12 14 3. výr. stupeň 10 12 11 16 10 12
Riešenie:
Úlohu budeme riešiť ako priraďovací problém Maďarskou metódou. Najskôr si na základe
údajov v tabuľke vypočítame prvky matice sadzieb
41
∑=
=m
jiji ty
20 : m = 3; i = 1, 2, ..., 6; j = 1, 2, 3
261214
221012
261610
221111
221210
18108
60
50
40
30
20
10
=+==+==+==+==+=
=+=
y
y
y
y
y
y
a prvky
−= ∑ ∑
=
−
=+=
0;max2
1
1,1,
3
2
p
j
p
jjkjk
pis tty
t.j. prestoj na 1. výrobnom stupni, ak výrobok A ide pred B:
( ) ( ) ( ){ }( ) ( ){ } 00;1210810;128max
0;;max 2,21,23,12,11,22,112
=+−+−==+−+−== ttttttyy AB
M
( ) ( ) ( ){ }( ){ } 00;2418;108max
0;;max 2,61,63,12,11,62,116
=−−==+−+−== ttttttyy AF
Prestoj na 1. výrobnom stupni medzi A a B, ak B predchádza A:
( ) ( ){ }=+−+−== 0;;max 12112322112221 ttttttyy BA
{ } 40;1822;1010max =−−=
M
( ) ( ){ }=+−+−== 0;;max 62612322612226 ttttttyy BF
{ } 00;2422;1010max =−−=
Prestoj na 1. výrobnom stupni medzi A a C, ak A predchádza C:
( ) ( ){ }=+−+−== 0;;max 12113332113231 ttttttyy CA
{ } 40;1822;1011max =−−=
M
( ) ( ){ }=+−+−== 0;;max 62613332613236 ttttttyy CF
42
{ } 10;2422;1011max =−−=
Podobne možno vyčísliť i všetky ostatné prvky matice, ktorá bude mať v tomto prípade
49 prvkov.
Matica sadzieb:
Nasledujúci výrobok
koniec ai A B C D E F
Pre
dch
ádza
júci
výr
obo
k
A
_ 0 0 0 1 1 18 1
1
B
4 _
3 0 1
3 0 22
1
C
4 1
0 _
0 3 1
1 22
1
D
8 4 7 _
7 2 1
26
1
E
4 0 1
4 0 _
2 22
1
F
8 4 7 1
4 7 _
26
1
začiatok 0
1
0 0 0 0 1
0 _ 1
bj 1 1 1 1 1 1 1 7
Posledný stĺpec v tabuľke riešenia predstavuje zakončenie poradia výrobkov, t. zn., v ktorom
riadku tohto stĺpca bude v optimálnom riešení jednotka, bude výrobok nachádzajúci sa v tomto
riadku ako posledný v poradí a súčtom operačných časov tohto výrobku na druhom a treťom
výrobnom stupni bude daná druhá zložka funkcie T.
43
Na základe posledného riadka určujeme, ktorý výrobok má byť umiestnený ako prvý
v poradí. Bude to výrobok toho stĺpca, v ktorom bude v optimálnom riešení v poslednom riadku
jednotka.
Jedno z možných optimálnych riešení, nájdené Maďarskou metódou, je vpísané priamo
v tabuľke. Toto riešenie však nevyhovuje, pretože výrobky BDFCE tvoria uzavretý okruh
a výrobok A je mimo toho okruhu. Malou úpravou optimálneho riešenia - premiestnením
jednotiek, ktoré sú znázornené šípkami, dostaneme vyhovujúce riešenie. Hodnota ÚF sa touto
úpravou zvýši o jednotku.
Optimálne poradie výrobkov pre náš prípad je: E → B → D → F → C → A
a hodnota ÚF: T = 59 + 18 + 13 = 90 hod.
∑=
=+++++=6
11 591071281210
iit
1810810
3
26 =+==∑
=
ytj
j
13702400;max5
1
.3
2
2
1,1,
5
1
3
2=++++==
− ∑∑ ∑∑
== =+
= =k
optis
j jjkjk
kp
ytt
Príklad 1.16:
Vytvorte optimálnu postupnosť spracovania 6-tich výrobkov na 3 výrobných stupňoch, keď
neexistuje možnosť skladovania výrobkov počas výrobného procesu. Operačné časy výrobkov na
výrobných stupňoch sú uvedené v tabuľke:
operačné časy A B C D E F ∑ 1. výr. stupeň 12 8 14 7 10 10 61 2. výr. stupeň 10 7 8 11 9 9 3. výr. stupeň 11 12 11 14 12 13
∑=
3
2jijt 21 19 19 25 21 22
44
Riešenie:
Úlohu budeme riešiť ako priraďovací problém Maďarskou metódou.
Z údajov v tabuľke vypočítame prvky matice sadzieb ∑=
=m
jiji ty
20 : m = 3
22139
21129
251411
19118
19127
211110
636260
535250
434240
333230
232220
1312
3
2110
=+=+==+=+==+=+=
=+=+==+=+=
=+=+==∑=
tty
tty
tty
tty
tty
tttyj
j
a prvky
−= ∑ ∑
=
−
=+=
0;max2
1
1,1,
3
2
p
j
p
jjkjk
pis tty
t.j. prestoj na 1. výrobnom stupni, ak napr. výrobok C ide pred B:
( ) ( ){ }=+−+−= 0;;max 22213332213232 tttttty
( ) ( ){ } { } 40;4;0max0;78118;88max ==+−+−=
analogicky ďalej, napr.:
( ) ( ){ }=+−+−= 0;;max 32312322312223 tttttty
( ) ( ){ } { } 00;2219;7max0;814127;147max =−−=+−+−=
( ) ( ){ }=+−+−= 0;;max 32316362316263 tttttty
( ) ( ){ } 00;814139;149max =+−+−=
( ) ( ){ }=+−+−= 0;;max 42411312411214 tttttty
( ) ( ){ } 30;1171110;710max =+−+−= atď.
45
Zavedieme maticu sadzieb:
Nasledujúci výrobok koniec ai
A B C D E F
Pre
dchá
dzaj
úci v
ýrob
ok
A
M
6
0
3
*
2 1
2
21
1
B 0
M
0
1
0
0 1
19
1
C 0
4
M 1
0
0
*
19 1
1
D 3
10
3 1
M 6
*
6
25
1
E 0
6
*
0
3 1
M 2
21
1
F
0 1
*
7
0
4
3
M 22
1
začiatok 0
0 1
0
*
0 0 0
M 1
bj 1 1 1 1 1 1 1 7
Predpokladajme, že jedno z možných 6! riešení je: C → F → A → D → E → B , v tabuľke
označené *.
Hodnota ÚF: ( ) 950066031961 =+++++++=T .
Pričom postup pri priraďovaní bol nasledovný:
Prvú 1 si ľubovoľne zvolíme na začiatku, kde yi0 = 0, tu, resp. v tomto prípade C. Potom pri
C nájdeme F, pri F → A, pri A → D, pri D → E, pri E → B. Na získanie optimálneho poradia
však použijeme Maďarskú metódu, ktorá je založená na nasledovných pravidlách:
• musíme mať zostavenú maticu sadzieb,
46
• redukcia matice sadzieb po riadkoch a po stĺpcoch, to znamená že v každom riadku a stĺpci
odčítame najmenšiu sadzbu (pri minimalizácii ÚF) od všetkých ostatných sadzieb (pri
maximalizácii ÚF odčítame najväčšiu sadzbu),
• výsledkom tejto redukcie je, že v každom riadku (stĺpci) dostaneme aspoň jednu nulu,
M
M
M
M
M
M
M
000000
2234070
2123060
25663103
1900140
1900100
2122306
Redukcia po riadkoch: Redukcia po stĺpcoch:
5. 1.
-19
-3
M
M
M
M
M
M
M
000000
2234070
2123060
2233070
1900140
1900100
2122306
M
M
M
M
M
M
M
00000
334070
223060
333070
0014
00100
22236
0
000
0
.2
.4
.3
• obsadzujeme políčka s 0 jednotkami (tu je to 0),
• nájdeme riadok (stĺpec), v ktorom je iba jedna 0 a túto 0 zakrúžkujeme (obsadíme) 0,
• zo 6-tich 0 môžeme obsadiť len 2, potom pozri ďalej (lebo vždy nám už iba zostane len po
jednej voľnej v riadku (stĺpci)),
• rozmiestnili sme 5 jednotiek - riešenie nie je optimálne, máme rozmiestniť 7 jednotiek!
→ kontrola, či sme rozmiestnili maximálny počet jednotiek, robíme to pomocou krycích čiar.
47
Veta: Minimálny počet krycích čiar, ktorý je potrebný na pokrytie všetkých núl v matici, je
rovný maximálnemu počtu jednotiek, ktoré možno v matici umiestniť.
Pri prekladaní krycích čiar postupujeme maximálne úsporne, každou krycou čiarou sa
snažíme pokryť čo najväčší počet núl.
Postupujeme tak, že nájdeme stĺpec (riadok), v ktorom je iba jedna 0 (to znamená
obsadená) a kolmo na tento stĺpec (riadok) cez túto 0 preložíme kryciu čiaru:
• spotrebovali sme 5 krycích čiar, rozmiestnili sme 5 jednotiek, potom sme správne
rozmiestňovali a kontrola vyšla,
• ďalej pokračujeme v redukcii matice sadzieb, pričom využijeme sústavu krycích čiar,
nájdeme najmenšiu nepokrytú sadzbu, odčítame ju od všetkých nepokrytých sadzieb,
pripočítame ju k dvakrát pokrytým sadzbám a raz pokryté sadzby ponecháme nezmenené,
• 2
M
M
M
M
M
M
M
00022
11250
01040
11105
00142
000122
00104
00
00
0
0
.1
.2
.4
.3
.5
.6
• rozmiestnili sme 6 núl a použili sme 6 krycích čiar,
• ďalej redukujeme maticu sadzieb, 1:
MZ
MF
ME
MD
MC
MB
MA
KFEDCBA
11033
11104
00030
11140
0032
00022
0003
00
00
000
00
.1
.2
.4
.5
.6
.7
.3
• Našli sme 7 miest, t.j. optimálne riešenie z hľadiska Maďarskej metódy,
48
• čítame poradie: B → F → A , Našli sme B začiatok a A koniec; cyklus sa nám opakuje, no
nie sú tam všetky výrobky,
• nasleduje úprava presunutím jednotiek, obsadzujeme len nulové sadzby (už len logický
postup, nie Maďarská metóda),
- optimálne riešenie možno vyčítať aj z tabuľky: 0 .3 0 a 0 0 .6
,
• čítame: B → F → A → E → D → C -optimálna riešenie,
• ÚF: ( ) 880033021961 =+++++++=T
95 → 88 ⇒ ušetrili sme 7 časových jednotiek.
1.5.2 Sekvenčný model bez prestojov výrobných stupňov
Predpokladajme, že chceme eliminovať prestoj na výrobných stupňoch, t.j., že na výrobných
stupňoch nesmú nastať prestoje. Takýto typ úlohy je výhodný hlavne z toho dôvodu, že čas
prestojov pred spracovaním a po spracovaní celej skupiny výrobkov možno organizačne využiť
oveľa lepšie ako neveľké a nepravidelné prestoje počas výrobného procesu. Preto je tento typ
sekvenčnej úlohy veľmi vyhľadávaný i napriek tomu, že hodnota ÚF T je vždy väčšia alebo
rovná minimu funkcie T úlohy, v ktorej nepredpokladáme neexistenciu prestojov na výrobných
stupňoch.
Pri konštrukcii tohto modelu budeme vychádzať opäť z tých istých predpokladov ako pri
Wagnerovom modeli. Na rozdiel od Wagnerovho modelu nebudú sa v tomto modeli vyskytovať
veličiny rkj, t.j. prestoje na jednotlivých výrobných stupňoch. Táto úloha sa rieši predstihom
výrobných stupňov, aby prvý výrobný stupeň dodával výrobky plynule, napr.:
49
výr.°
3. A B C
2. A B C
1. A B C t (čas)
T
- vytvorenie predstihu,
- na 2. výrobnom stupni výrobok A čaká,
- na 3. výrobnom stupni výrobok A čaká,
- pre dva výrobné stupne situáciu môžeme riešiť Johnsonovým modelom.
Pre tri výrobné stupne môžeme v obmedzenej miere rovnako použiť Johnsonov model. Ak
obmedzujúce podmienky neplatia, používame upravený Wagnerov model, pričom účelovú
funkciu môžeme písať v tvare:
11
1
1
1
11
1i
n
i
m
jij
m
jj
n
iim xtstT ∑∑∑∑
=
−
=
−
==
++= , kde [1.19]
∑=
n
iimt
1
- súčet operačných časov všetkých výrobkov na poslednom výrobnom stupni
(konštanta),
∑−
=
1
11
m
jjs - súčet čakania prvého výrobku v poradí medzi všetkými výrobnými stupňami,
∑∑=
−
=
n
i
m
jiij xt
1
1
11 - súčet operačných časov prvého výrobku v poradí na všetkých výrobných stupňoch
okrem posledného.
50
výr.° s12
3. A B C
s11
2. A B C
1. A B C t (čas)
T
Celkový model by bol potom takýto:
Treba nájsť hodnoty premenných: xik = 0 alebo 1,
skj ≥ 0,
ktoré spĺňajú obmedzenia:
01,11
1,1,11, =−+− −==
−−−− ∑∑ ki
n
iijik
n
ijijkjk xtxtss , [1.20]
čiže: rkj = 0 t.j.: rk-1,j-1 = 0 , rk-1,j = 0,
ďalej:
11
=∑=
n
iikx pre k = 1, 2, ..., n 1
1
=∑=
n
kikx pre i = 1, 2, ..., n, [1.21]
pričom minimalizujú hodnotu funkcie:
11
1
1
1
11
1i
n
i
m
jij
m
jj
n
iim xtstT ∑∑∑∑
=
−
=
−
==
++= [1.22]
Poznámka:
Týmto modelom môžeme dosiahnuť skutočné optimum iba pri trojstupňovej úlohe, ak
výrobky nevynechávajú niektoré výrobné stupne. V prípade, že výrobky niektoré výrobné stupne
vynechávajú (preskakujú), t.j. niektoré tij = 0, potom uvedený model nezaručuje skutočné
optimum v tom zmysle, že nepripúšťa možnosť zmeny poradia výrobkov.
51
Príklad 1.17:
Treba nájsť optimálne poradie opracovania výrobkov pre 1. až 3. výrobný stupeň tak, aby sa
nevyskytli prestoje počas výrobného procesu ani na jednom stupni. Operačné časy výrobkov sú
v tabuľke:
Operačné časy A B 1. výr. stupeň 10 12 2. výr. stupeň 14 10 3. výr. stupeň 5 10
Riešenie:
Úlohu budeme riešiť pomocou lineárneho modelu. Obmedzenia:
01,
2
1
2
11,1,11, =−+− −
==−−−− ∑∑ ki
iijik
ijijkjk xtxtss , napíšeme pre j = 2, 3 a k = 2;
j = 2, k = 2:
021221112222112111121 =−−++− xtxtxtxtss ;
j = 3, k = 2:
021231113222212121222 =−−++− xtxtxtxtss .
Po dosadení za operačné časy z tabuľky dostávame:
012101014 222112112111 =−+−+− xxxxss
01010145 222112112212 =−+−+− xxxxss
Ak k týmto obmedzeniam pridáme prideľovacie obmedzenia, obmedzenia pre premenné
a ÚF, získame celkový model: treba nájsť hodnoty premenných xik = 0 alebo 1 a skj ≥ 0, ktoré
spĺňajú obmedzenia:
01010145
012101014
222112112212
222112112111
=−+−+−=−+−+−
xxxxss
xxxxss
1211 xx + 1=
12221 =+ xx
11x 21x+ 1=
52
a minimalizujúcu funkciu:
21111211 2224 xxssT +++= ,
pričom sme z obmedzení [1.21] jednu rovnicu lineárne závislú s ostatnými vynechali a z ÚF sme
zasa vynechali zložku ∑=
n
iimt
1
, ktorá nie je závislá od premenných.
Zostavený model možno riešiť simplexovou metódou, optimálne poradie je B → A a hodnoty
premenných v optimálnom riešení sú:
x11 = 0 x21 = 1 s11 = 0 s21 = 0
x12 = 1 x22 = 0 s12 = 4 s22 = 0
a hodnota ÚF T = 41 hod.
hodT 41224151220244)105( =++=⋅+⋅+++= .
1.6 SEKVENČNÝ MODEL O DVOCH VÝROBKOCH A „M“ VÝROBNÝCH STUP ŇOCH
Doteraz sme predpokladali, že poradie na všetkých výrobných stupňoch bude rovnaké pre
všetky výrobky.
V tomto modeli predpoklad zmeníme tak, že budeme predpokladať, že obidva výrobky
prechádzajú všetkými výrobnými stupňami, pričom je známe poradie jednotlivých výrobkov,
ktoré však môže byť pre každý výrobok iné.
Ostatné predpoklady, z ktorých budeme vychádzať, sú totožné s predpokladmi Wagnerovho
modelu. V predchádzajúcich úlohách sa počet všetkých možných poradí rovnal vždy n!. V tomto
prípade existuje 2m možných usporiadaní, kde m je počet výrobných stupňov (tzv. variácie
s opakovaním).
Vypočítavať hodnotu T – celkový čas spracovania obidvoch výrobkov na všetkých strojoch,
je pre rastúce m veľmi prácne. Autori Akers a Friedman navrhli taký postup riešenia, že
z celkového počtu všetkých 2m možných usporiadaní vylúčime tie, ktoré sú technologicky
neprípustné TN (neuskutočniteľné) a ostane nám množina technologicky prípustných riešení
(programov) TP.
53
Akers-Friedmanova veta:
Aby bolo poradie technologicky prípustné, potom nutnou a postačujúcou podmienkou je, aby
neobsahovalo inštrukciu yx vtedy, ak pri prvom výrobku stroj X predchádza pred strojom Y
a pri druhom výrobku stroj Y predchádza pred strojom X.
- Všetky programy, ktoré túto podmienku nesplňujú, sú TN (technologicky neprípustné).
Príklad 1.18:
Treba nájsť optimálne usporiadanie pre dva výrobky, ktoré prechádzajú piatimi strojmi
(výrobnými stupňami), pričom poradie spracovania výrobkov na strojoch A, B, C, D a F je:
výrobok 1: A → B → C → D → E
výrobok 2: E → C → B → D → A
Operačné časy obidvoch výrobkov v hodinách na jednotlivých strojoch sú v tabuľke:
Stroj
Operačné časy A B C D E ∑
Výrobok 1 6 3 2 4 5 20
Výrobok 2 3 8 4 2 3 10
Všetkých možných usporiadaní je 2m = 25 = 32.
Aby sme mohli zostaviť všetky tieto poradia do tabuľky, zavedieme označovanie pre jednotlivé
poradia výrobkov na strojoch: Symbol:
a– označuje, že výrobok 1 predchádza pred výrobkom 2 na stroji A, symbol
a – znamená, že výrobok 2 predchádza pred výrobkom 1 na stroji A.
Podobný význam majú symboly eeddccbb ,,,,,,, pre ostatné stroje. Napríklad inštrukcia eb
bude znamenať, že na stroji B bude výrobok 1 opracúvaný pred výrobkom 2 a na stroji E bude
výrobok 2 opracúvaný pred výrobkom 1. Teraz môžeme zostaviť všetky možné usporiadania,
budeme ich nazývať programy.
54
Číslo programu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
eeeeeeeeeeeeeeee
dddddddddddddddd
cccccccccccccccc
bbbbbbbbbbbbbbbb
aaaaaaaaaaaaaaaa
Číslo programu 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32
eeeeeeeeeeeeeeee
dddddddddddddddd
cccccccccccccccc
bbbbbbbbbbbbbbbb
aaaaaaaaaaaaaaaa
Z týchto všetkých teoreticky možných usporiadaní nie sú všetky uskutočniteľné
z technologických dôvodov. Použijúc Akers-Friedmanovu vetu, aby bol program v našom
prípade technologicky prípustný, nesmie obsahovať ani jednu z nasledujúcich inštrukcií:
edecebcbeadacaba ,,,,,,, .
Teraz preskúmame všetky programy hore uvedené v tabuľke z hľadiska technologickej
prípustnosti. Zostrojíme ďalšiu tabuľku, ktorej stĺpce budú opäť tvoriť všetky teoreticky možné
programy. V legende tabuľky budú v každom riadku už uvedené inštrukcie, ktoré nesmie
program obsahovať, aby bol technologicky prípustný, a to v tvare napr.:
„ nie ba “ v prvom riadku, „ nie ca “ v druhom riadku, atď.
Postupujeme tak, že každý stĺpec tabuľky preskúmame a zapíšeme do príslušného riadka
tohto stĺpca jednotku (v tabuľke novej), ak program neobsahuje inštrukciu nachádzajúcu sa
v tomto riadku a nulu, ak obsahuje túto inštrukciu.
55
Číslo programu
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Inšt
rukc
ia
nie ba 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1
nie ca 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1
nie da 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1
nie ea 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
nie cb 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1
nie eb 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0
nie ec 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0
nie ed 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0
Logický súčin 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Číslo programu
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32
Inšt
rukc
ia
nie ba 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1
nie ca 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1
nie da 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1
nie ea 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
nie cb 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1
nie eb 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
nie ec 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
nie ed 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Logický súčin 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1
Uskutočniteľné sú tie programy, ktoré spĺňajú všetkých osem podmienok, a tak majú
v každom riadku jednotku. Neberieme do úvahy stĺpec, ktorý má jednu a viac núl. Tento postup
je ekvivalentný tvoreniu logických súčinov zo stĺpcov a napísanie 1 pod stĺpec, ak má všetky
jednotky a 0, ak nemá.
56
Teda z 32 programov je 8 uskutočniteľných vzhľadom na technologické podmienky
príkladu. Na riešenie počtu technologicky prípustných programov odvodili autori Akers
a Friedman vzťah:
∑=
++=m
kkimN
2
1 , kde [1.23]
ik je číslo, ktoré udáva, koľkokrát sa skupina o k (k = 2, 3, ..., m) strojoch vyskytuje s rovnakým
poradím v predpísanom postupe spracovania pri oboch výrobkoch. Pritom neberieme do úvahy,
či ide o poradie bezprostredné, alebo nie.
V našom prípade skontrolujeme počet TP programov:
m = 5 , k = 2, 3, 4, 5,
i2 = 2 [BD, CD], i3 =0 , i4 = 0 , i5 =0,
8251 =++=N , čo je v súlade s riešením.
Z množiny TP programov vylúčime napokon tie, ktoré nemôžu byť za žiadnych podmienok
optimálne, NO. Sú to programy, ktoré obsahujú tzv. voľné stroje. Na určenie zaručene
neoptimálnych programov, t.j. programov, ktoré obsahujú voľné stroje, vytvorili Akers
a Friedman rad pravidiel (kritérií):
Číslo
pravidla
Umiestnenie strojov Inštrukcia, ktorú optimálny
program nemôže obsahovať pri výrobku 1 pri výrobku 2
1. X . . . . X x
2. . . X X . . x
3. / . . / X . . Y / . . / / . . / XY / . . / yx
4. / . . / XY / . . / / . . / X . . Y / . . / yx
5. / . . / XY . . Z / . . / / . . / X . . YZ / . . / zyx
6. / . . / X . . YZ / . . / / . . / XY . . Z / . . / zyx
Poznámka k tabuľke: Bodky v zátvorkách pri jednotlivých pravidlách značia, že na týchto miestach môžu, ale
nemusia byť iné stroje pri výrobe príslušných výrobkov. Bodky mimo zátvoriek znamenajú, že tam musí byť stroj.
57
Schematicky vyzerá celý proces tvorby a vylučovania programov nasledovne:
2m TP KM KM – konečná množina
AFV AFP TN NO
Akers-Friedmanov postup hľadania optimálneho poradia je tým účinnejší, čím viac sa líšia
predpísané postupy spracovania obidvoch výrobkov na strojoch. Tým menej potom ostane
programov KM , pre ktoré musíme hodnotu T vypočítať a vybrať z nich to poradie, pre ktoré
bude T min.
V opačnom krajnom prípade, keby obidva výrobky mali úplne rovnaké poradie spracovania
na všetkých strojoch, obsahovala by posledná skupina všetkých 2m teoreticky možných
programov.
Výhoda Akers - Friedmanovho postupu je, že ho možno naprogramovať aj pre počítač, lebo
priebežné časy počítame na konci, čo je potrebné pri riešení väčších a veľmi rozsiahlych úloh.
Ďalšia výhoda tohto postupu sa ukazuje v situáciách, v ktorých výrobné sledy pre výrobky sú
pevne určené, ale strojové časy podliehajú kolísaniu pre rôzne zmeny, pretože údaje o strojových
časoch nie sú potrebné, kým nezískame množinu tzv. optimálnych programov, KM. Množina
možných optimálnych programov sa môže skúšať na optimálnosť vždy vtedy, keď sa zmenia
strojové časy.
Aplikáciou uvedených pravidiel na 8 TP programov v našom príklade zisťujeme, že
podľa pravidla 1. (stroj A) nemôže byť optimálny program č.32: a ,
podľa pravidla 2. (stroj E) program č.1: e,
podľa pravidla 3. (ktoré v našom prípade má tvar . . B . . D . . . . BD . . db ) nemôže byť
optimálny program č.23,
58
podľa pravidla 4. (v našom prípade . . CD . . . . C . . D . . dc ) nemôže byť optimálny
program č. 25.
Pravidlá 5. a 6. sa pre náš prípad nedajú použiť. Na základe pravidiel 1. až 4. sme vylúčili štyri
NO programy, ktoré nemôžu byť optimálne. Zostali nám štyri optimálne programy KM, č.17,
č.21, č.29 a č.31, pre ktoré vypočítame hodnotu T. Program s minimálnou hodnotou T bude
optimálny. Pri výpočte T môžeme postupovať dvoma spôsobmi:
a) – numerickým výpočtom,
b) – graficky pomocou Ganttovho diagramu.
a) Numerický výpočet:
Program č.17 edcba T17 = 28 hod. výrobok 1 A B C D E 6 9 11 15 20 výrobok 2 E C B D A 3 8 15 23 25 28
Program č.21 edcba T21 = 22 hod. výrobok 1 A B C D E 6 9 11 15 20 výrobok 2 E C B D A 3 7 2 17 19 22
Program č.29 edcba T29 = 28 hod. výrobok 1 A B C D E 6 9 11 8 23 28 výrobok 2 E C B D 3 7 2 17 19 22
Program č.31 edcba T31 = 29 hod. výrobok 1 A B C D E 6 9 18 20 24 29 výrobok 2 E C B D A 3 7 15 17 20
Čísla vo výpočtoch sú kumulované hodnoty narastania času, posledné číslo v každom
výpočte je teda hodnota T pre príslušný program. Čísla v krúžkoch predstavujú časy čakania
príslušných výrobkov na príslušný stroj a zvislé čiary znázorňujú, kedy sa musí čakať, aby bolo
dodržané poradie spracovania na strojoch podľa programu.
59
Z výpočtov je zrejmé, že optimálny program je program č.21 s hodnotou T21 = 22 hod.
b) Grafický spôsob zisťovania hodnôt T pomocou Ganttovho diagramu:
Program č.17 edcba T17 = 28 hod.
výrobok 1 A B C D E
výrobok 2 E C B D A
t (čas)
Program č. 21 edcba T21 = 22 hod. – minimum
výrobok 1 A B C D E
výrobok 2 E C B D A
t (čas)
Program č. 29 edcba T29 = 28 hod.
výrobok 1 A B C D E
výrobok 2 E C B D A t (čas)
60
Program č.31 edcba T31 = 29 hod.
výrobok 1 A B C D E
výrobok 2 E C B D A
t (čas)
Príklad 1.19:
Treba nájsť optimálne usporiadanie pre dva výrobky, ktoré prechádzajú štyrmi strojmi
(výrobnými stupňami), pričom poradie spracovania výrobkov na strojoch A, B, C, D je:
výrobok 1: A → B → C → D
výrobok 2: D → B → A → C
Operačné časy obidvoch výrobkov v hodinách na jednotlivých strojoch sú v tabuľke:
Stroj
Operačné časy A B C D
Výrobok 1 7 5 4 10
Výrobok 2 5 8 3 6
Všetkých možných programov je 2m = 24 = 16.
Číslo programu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
ddddddddddddddd
ccccccccccccccc
bbbbbbbbbbbbbbb
aaaaaaaaaaaaaaa
Z týchto 16 teoreticky možných usporiadaní nie sú všetky uskutočniteľné z technologických
dôvodov. Použijúc Akers-Friedmanovu vetu, aby bol program v našom prípade technologicky
prípustný, nesmie obsahovať ani jednu z nasledujúcich inštrukcií:
yx XY 1. výrobok A → B → C → D
YX 2. výrobok D → B → A → C
61
ba , da , db , dc .
Teraz preskúmame všetkých 16 programov z hľadiska technologickej prípustnosti, výpočet
je v ďalšej tabuľke:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
ba 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1
da 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1
db 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1
dc 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1
1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1
Uskutočniteľné sú tie programy, ktoré spĺňajú všetky štyri podmienky (ak majú v každom
riadku jednotku). Zo 16 programov je 7 TP programov. Kontrola počtu technologicky
prípustných programov podľa Akers-Friedmanovho vzťahu:
724114
2
=++=++= ∑=k
kimN - potvrdený počet TP programov:
i2 = ( AC, BC ) = 2,
i3 - neexistuje,
i4 - neexistuje.
Z množiny 7 TP programov vylúčime napokon tie, ktoré nemôžu byť za žiadnych
podmienok optimálne, NO. Sú to programy, ktoré obsahujú tzv. voľné stroje a zistíme ich podľa
Akers-Friedmanových 6-tich pravidiel (kritérií):
1. pravidlo neplatí, tu: A . . . . . . C.
2. pravidlo platí, tu . . . D D . . . , potom program, ktorý obsahuje inštrukciu d nemôže byť
optimálny a vylúčime ho z TP programov, tu program č.1.
3. pravidlo platí; tu . . A – B – C . . . . AC . . , potom inštrukciu ca vylúčime z programov
ktoré ju obsahujú, tu program č.12.
4. pravidlo platí, tu . . BC . . . . B – A – C . . , potom inštrukciu cb vylúčime z TP
programov, tu program č.13.
5. pravidlo neplatí.
62
6. pravidlo neplatí.
Na základe pravidiel 2, 3, 4 sme vylúčili 3 programy NO, ktoré nemôžu byť optimálne.
Zostali nám štyri optimálne programy KM: č. 9, 11, 15, 16, pre ktoré vypočítame hodnotu
T. Program s minimálnou hodnotou T bude optimálny.
Pri výpočte T postupujeme numerickou metódou:
Program č.9 dcba T9 = 28 výrobok 1 A B C D 7 12 16 24 výrobok 2 D B A C 6 6 20 25 28
Program č.11 dcba T11 = 33 výrobok 1 A B C D 7 7 19 23 33 výrobok 2 D B A C 6 14 19 4 26
Program č.15 dcba T15 = 36 výrobok 1 A B C D 7 7 19 3 26 36 výrobok 2 D B A C 6 14 19 22
Program č.16 dcba T16 = 45 výrobok 1 A B C D 19 26 31 35 45 výrobok 2 D B A C 6 14 19 22 min T = min (28; 33; 36; 45) = 28.
Potom optimálny program je program č. 9 s hodnotou T9 = 28 hod.
ÚLOHY/OTÁZKY NA SAMOSTATNÉ RIEŠENIE
1. Aké úlohy sa riešia sekvenčnými modelmi?
2. Z akých pravidiel pozostáva Johnsonov model?
3. Na riešenie akých sekvenčných úloh sa používa Johnsonov model?
4. Opíšte Prücknerov postup.
5. Ako postupujeme pri riešení Jacksonovho modelu?
63
6. Pomocou akých modelov možno optimalizovať poradie výrobkov bez prestojov na
výrobných stupňoch?
7. Ako vypočítame prestoj na prvom výrobnom stupni medzi výrobkom „i“ a „s“?
8. Akou metódou možno riešiť úlohu optimalizácie poradia výrobkov pri nulových čakacích
časoch výrobkov?
9. V čom spočíva úprava Wagnerovho modelu, aby sa mohol použiť na minimalizáciu
predstihov?
10. Opíšte postup Akersa a Friedmana.
11. Napíšte Akersovu a Friedmanovu vetu o technologickej prípustnosti poradia výrobkov.
12. Napíšte a vysvetlite kritériá na vylúčenie tých technologicky prípustných poradí, ktoré
nemôžu byť optimálne.
Literatúra k 1. kapitole
1. GROS, I. Kvantitativní metody v manažérském rozhodování. Praha: Grada Publishing, 2003.
432 s. ISBN 80-247-0421-8
2. IVANIČOVÁ, Z., BREZINA, I., PEKÁR, J. Operačný výskum. Bratislava: Iura Edition,
2002. 287 s. + 1 CD-ROM. ISBN 80-89047-43-2
3. IVANIČOVÁ, Z., BREZINA, I., PEKÁR, J. Prípadové štúdie z operačného výskumu.
Bratislava: Ekonóm, 1999. ISBN 80-225-1180-3.
4. KUBÁTOVÁ, J. Kvantitativní manažerské metody. Olomouc, 2000. ISBN 80-244-0144-4
5. LANGOVÁ, M., JABLONSKÝ, J. Lineární modely. Praha: VŠE, 2009.
ISBN 978-80-245-1511-3
6. SAKÁL, P., JERZ, V. Operačná analýza v praxi manažéra. Trnava: SP SYNERGIA, 2003.
ISBN 80-968734-3-1
7. SAKÁL, P., ŠTRPKA, A. Operačná a systémová analýza. Bratislava: SVŠT, 1983.
ISBN 85-425-83
8. ZIMOLA, B. Operační výskum. Zlín: 2000. ISBN 80-214-1664-5
64
2 MODELY OBNOVY
Všeobecne pod obnovou rozumieme proces neustálej výmeny objektov (strojov, zariadení,
strojových súčiastok a pod.), ktoré buď v dôsledku ich opotrebenia, alebo v dôsledku ich náhleho
zlyhania (havária) treba nahradiť novými objektmi.
Ak sa pri výmene zachováva stále rovnaký počet objektov, takúto obnovu nazývame
jednoduchou.
Ak sa zväčšuje pri výmene počet objektov, hovoríme o rozšírenej obnove.
Racionálne riadenie procesu obnovy predpokladá predovšetkým vedieť zodpovedať
nasledovné otázky:
1. Koľko objektov bude treba v ktorom období obnoviť (v jednotlivých obdobiach)?
2. Akú stratégiu obnovy zvoliť?
Nástrojom na rozhodovanie o racionálnom riadení procesu obnovy sú modely obnovy, ktoré
zobrazujú procesy opotrebenia a výmeny objektov.
Konštrukciou modelov obnovy sa zaoberá teória obnovy.
V rámci teórie obnovy sa môžeme stretnúť s nasledovnou klasifikáciou modelov obnovy:
1. podľa toho, či sa v nich vyskytujú alebo nevyskytujú náhodné veličiny:
a) deterministické modely obnovy (bez náhodných veličín),
b) stochastické modely obnovy (obsahujú náhodné veličiny).
2. vzhľadom na charakter času obnovy:
a) modely obnovy so spojitým časom obnovy- obnova sa realizuje okamžite po zlyhaní
objektu,
b) modely obnovy s diskrétnym časom obnovy- obnova všetkých objektov, ktoré zlyhajú
v danom období, sa realizuje na konci tohto obdobia.
3. podľa toho, či sa modeluje obnova objektov, ktoré majú alebo nemajú charakter
základných fondov:
a) modely obnovy opravovateľných objektov (strojové zariadenia)- objekty , ktoré sa po
poruche opravujú,
b) modely obnovy neopravovateľných objektov (žiarovky, ozubené kolesá, ložiská,...).
65
4. podľa toho, či pri konštrukcii modelu berieme do úvahy náklady spojené s procesom
obnovy alebo tieto náklady nezohľadňujeme:
a) modely obnovy s nákladmi,
b) modely obnovy bez nákladov.
5. modely obnovy, pri ktorých sa náklady budúcich období uvažujú:
a) modely obnovy s diskontovaním nákladov,
b) modely obnovy bez diskontovania nákladov.
6. podľa vekovej štruktúry objektov:
a) modely obnovy s rovnakou vekovou štruktúrou, t.j. na začiatku procesu obnovy
predpokladáme, že všetky objekty sú nové,
b) modely obnovy s rôznou vekovou štruktúrou.
7. podľa toho, či všetky objekty majú alebo nemajú rovnaké pravdepodobnosti zlyhania
v jednotlivých obdobiach:
a) modely obnovy technicky homogénnych objektov,
b) modely obnovy technicky nehomogénnych objektov.
Budeme sa zaoberať modelmi obnovy z hľadiska odpovede na prvú otázku, t.j. koľko
objektov bude treba vymeniť (vyradiť) na konci určitého obdobia, ďalej budeme uvažovať súbor
objektov teoreticky rovnorodých, zostavíme model jednoduchý i model rozšírenej obnovy,
obmedzíme sa iba na modely s diskrétnym časom, t.j. budeme predpokladať, že objekty, ktoré
zlyhali v určitom období, sa vymieňajú až na konci tohto obdobia.
Na takýto druh modelov sa prevažne obmedzujú praktické aplikácie (lebo modely so
spojitým časom, ktoré predpokladajú obnovu objektu ihneď po zlyhaní, sa zatiaľ len veľmi málo
využívajú).
66
2.1 MODEL JEDNODUCHEJ OBNOVY
Pri tvorbe tohto modelu vychádzame z nasledujúcich predpokladov o súbore objektov a
procese ich obnovy:
1 – súbor pozostáva z technicky rovnorodých objektov (napr. automobily rovnakej značky a
podobného typu);
2 – na začiatku obnovy sa súbor skladá len z nových objektov;
3 – obnova je jednoduchá, za jeden vyradený objekt sa zaraďuje jeden nový;
4 – obnova sa uskutočňuje vždy na konci rovnakých časových intervalov;
5 – neberie sa do úvahy také fyzické opotrebenie, ktoré nezabraňuje pokračovať v činnosti
objektu a neberie sa zreteľ ani na morálne opotrebenie.
Pre matematický model procesu obnovy si zavedieme nasledovnú symboliku:
n – časový interval (obdobie), n = 0, 1, 2, ...,
T – maximálna životnosť objektu,
ka – pravdepodobnosť, že objekt pretrváva v prevádzke „k“ období, resp. pravdepodobnosť, že
objekt bude vyradený na konci k-teho obdobia (k = 1, 2, ..., T), 01 =+Ta ,
kr – pravdepodobnosť, že objekt pretrvá viacej ako k období, k = 1, 2, ..., T-1 a havaruje v
(k+1)., (k+2)., ... období, možno vyjadriť pomocou ka takto:
...21 Tkkk aaar +++= ++ k = 0, 1, …, T-1, [2.1]
TT
T
T
T
kkkk
a
aaa
aaa
Tkpreaar
r
... r
...r
:t.j.
,1-..., 2, ,1 ,0 ,1
1-
321
210
1
01
=
+++=+++=
=−==∑−
=+
M
0u – počet objektov v súbore na začiatku 1. obdobia procesu obnovy,
nu – očakávaný počet obnov, t.j. počet objektov, ktoré na začiatku n-tého obdobia
67
zaraďujeme namiesto objektov vyradených na konci (n-1). obdobia,
V – očakávaný čas prevádzky objektu do okamihu jeho vyradenia, možno ho vyjadriť pomocou
ka :
...321 321 TTaaaaV ++++= [2.2]
alebo pomocou :kr
... 110 −+++= TrrrV [2.3]
1210
1-TT
23
132
0321
321
...
...
... ...a
... ...
... ...
....32.1
−++++=
=+
++++++++++++++=
=++++=
T
T
T
T
T
rrrr
ra
ra
raaa
raaaa
aTaaaV
M
Ak na začiatku procesu obnovy boli všetky objekty 0u nové, možno očakávať, že na konci
prvého obdobia bude treba vyradiť; 011 uau = objektov, pričom 1a predstavuje pravdepodobnosť,
že objekt bude vyradený na konci prvého obdobia.
Na konci druhého obdobia bude očakávaný počet obnov 2u pozostávať jednak z obnov
objektov, ktoré pretrvali prvé obdobie a boli vyradené až na konci druhého obdobia 02ua a
jednak z obnov 1u objektov, ktoré sa zaradili do súboru na začiatku druhého obdobia a na konci
druhého obdobia sa museli vymeniť 11ua . Po druhom období očakávaný počet obnov bude:
.02112 uauau +=
Podobnou úvahou môžeme vyjadriť nu pre n = 1, 2, ..., T-1 a dostaneme tak sústavu rovníc,
ktorá predstavuje model jednoduchej obnovy súboru rovnorodých objektov:
68
...
...
0132211
2211
0312213
02112
011
uauauau
uauauau
uauauau
uauau
uau
TTTT
TnTnnn
−−−−
−−−
+++=
+++=
++=+=
=
M
M [2.4]
⇒ rovnica jednoduchej obnovy :)( Tn ≥
1∑
=−=
T
iinin uau [2.5]
Výraz [2.5] pre výpočet obnovovaných jednotiek nu je typom diferenčnej rovnice, ktorá sa
rieši pomocou tzv. charakteristickej rovnice. My budeme postupovať pri riešení tzv. tabuľkovým
spôsobom, ktorý má však tú nevýhodu, že keď chceme vypočítať napr. pre n období počet
vyraďovaných objektov, musíme vypočítať tieto počty pre všetkých (n-1) predchádzajúcich
období.
Ak však ide o rovnovážnu situáciu, možno dokázať, že existuje limita nu a platí:
/lim 0 Vuunn
=∞→
[2.6]
Po určitom období sa proces obnovy
dostane do stacionárneho stavu, t.j. počet
objektov, ktoré treba obnoviť, osciluje
okolo nejakej konštanty.
Pokúsme sa teraz vyjadriť štruktúru
objektov v súbore podľa veku. Do konca prvého obdobia sú tu iba objekty 0u . Do konca druhého
obdobia je v súbore 1u objektov po obnove a zostatok tvoria pôvodné objekty, ktorých je
.)1( 101001010 ruauuauuu =−=−=−
Na začiatku tretieho obdobia je 2u objektov po obnove, 11ru objektov druhej generácie a
20ru objektov tretej generácie.
un
u0 / V
n
69
Veková štruktúra obnovovaného súboru, je v tabuľke vekovej štruktúry (tab. 2.1):
Tabuľka 2.1
čas.int.
Vek
0 1 2 3 ... T-1 T ... n
0 0u 1u 2u 3u ...
1−Tu Tu ... nu
1 - 10ru 11ru 12ru ...
12ruT− 11ruT− ... 11run−
2 - - 20ru 21ru ...
23ruT− 22ruT− ... 22run−
3 - - - 30ru ...
34ruT− 33ruT− ... 33run−
... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
T-1 - - - - - 10 −Tru 11 −Tru ...
11 −+− TTn ru
Celkom 0u 0u 0u 0u ... 0u 0u ... 0u
kde: 00 uu =
1010 ruuu +=
201120 ruruuu ++=
1122110
1122110
10231210
30211230
−+−−−
−−−
−−−−
++++=
++++=++++=
+++=
TTnnnn
TTTT
TTTT
rururuuu
rururuuu
rururuuu
rururuuu
K
M
K
K
M
Poznámka:
Tieto výpočtové vzťahy (rovnice) budú zaujímavé aj pre model rozšírenej obnovy.
70
Príklad 2.1:
Treba určiť počty obnov a vekovú štruktúru objektov na 10 ročné obdobie, ak na začiatku
máme súbor 10000 =u technicky homogénnych objektov. Maximálna životnosť objektu je T = 4
roky. Pravdepodobnosti zlyhania sú:
3,0
4,0
2,0
1,0
4
3
2
1
====
a
a
a
a
Riešenie:
Pravdepodobnosť, že objekty pretrvajú v prevádzke viac ako k-období:
3,0)(a-1 3,0
7,0)(a-1 7,03,04,0
9,01 9,03,04,02,0
11 13,04,02,01,0
3214
4
43
21
4
32
1
4
21
0
4
10
=++====
=+==+==
=−==++==
=−==+++==
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
=
=
=
=
aaaar
aar
aar
aar
T
kk
T
kk
T
kk
T
kk
K
K
K
K
Očakávané počty obnov:
, 1001000.1,0
1000
011
0
====
uau
u
t.j. na začiatku druhého obdobia (na konci prvého) treba vyradiť 100 objektov a zaradiť nových
100.
71
358349.3,0386.4,0335.2,0323.1,0
323245.3,0349.4,0386.2,0335.1,0
335426.3,0245.4,0349.2,0386.1,0
386441.3,0426.4,0245.2,0349.1,0
349210.3,0441.4,0426.2,0245.1,0
245100.3,0210.4,0441.2,0426.1,0
426100.3,0100.4,0210.2,0441.1,0
4411000.4,0100.2,0210.1,0
2101000.2,0100.1,0
6473829110
546372819
445362718
344352617
243342516
142332415
041322314
0312213
02112
=+++=+++=
=+++=+++=
=+++=+++=
=+++=+++=
=+++=+++=
=+++=+++=
=+++=+++=
=++=++=
=+=+=
uauauauau
uauauauau
uauauauau
uauauauau
uauauauau
uauauauau
uauauauau
uauauau
uauau
Usporiadanie do tabuľky vekovej štruktúry
u
r 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1000 100 210 441 426 245 349 386 335 323 358
1 900 90 189 397 383 221 314 347 302 291
2 700 70 147 309 298 172 244 270 235
3 300 30 63 132 128 74 105 116
1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000
Približne:
3459,2
1000
3,0.44,0.32,0.21,0.1
1000 lim 0
n ==+++
==∞→ V
uu
n.
2.2 MODEL ROZŠÍRENEJ OBNOVY
Uvažujme, na rozdiel od predchádzajúceho, že za vyradené objekty zaradíme viacej nových
objektov. Všetky ostatné predpoklady ponecháme.
Označme symbolmi:
- , , , , n210 NNNN K - počty objektov v jednotlivých obdobiach,
- n21 ..., , , ccc - počty jednotiek, ktorými zabezpečujeme rozšírenú obnovu.
72
Platí: nNNNNN <<<<< ... 3210 .
Vzťah medzi týmito veličinami a veličinami ia , r i a ui najlepšie možno vyjadriť tabuľkou
vekového zloženia súboru objektov po určitej dobe – tabuľkou vekovej štruktúry (tab. 2.2).
Tabuľka 2.2
u r
0 1 2 3 ... n
0 0u 11 cu + 22 cu + 33 cu +
nn cu +
1 10ru 111 )( rcu + 122 )( rcu +
111 )( rcu nn −− +
2 20ru 211 )( rcu +
222 )( rcu nn −− +
3 30ru
333 )( rcu nn −− +
... T-1
111 )( −+−+− + TTnTn rcu
∑ 0N 1N 2N 3N ...
nN
Na základe tabuľky 2.2 môžeme zostaviť nasledovnú sústavu rovníc:
111333222111
30211122333
20111222
10111
00
)(...)()()(
)()(
)(
−+−+−−−−−−− ++++++++++=
++++++=++++=
++==
TTnTnnnnnnnnnn rcurcurcurcucuN
rurcurcucuN
rurcucuN
rucuN
uN
M
[2.7]
Pre očakávaný počet obnov, t.j. počet objektov, ktoré na začiatku n-tého obdobia zaraďujeme
namiesto objektov vyradených na konci (n-1). obdobia platí obdobne [2.5]:
...2211 TnTnnn uauauau −−− +++= [2.8]
Pokiaľ ide o vzťahy pre nc , platí:
73
[ ]
[ ][ ]
)2)(())(()(N
))(())(()(N
)()(-
))(()(
))(()(
)(
)(
3121301
2120210304
3213
121012
120210304
301210102
12
12011020304
312213044
2120110203
2011110203
2112033
1010211022
011
rrrrNNrrNNrNNN
rrrrrrNNrrNNrNNN
rNNrrNNNN
rrrNNrNNNNNN
rcrcrcNNc
rrNNrNNNN
rNNrrcNNNN
rcrcNNc
rNNNNrcNNc
NNc
+−−−−−−−−−=
=+−+−−−−−−−−−=
=−−−−−−−−−−−−−−=
=−−−−=
−−−−−−=
=−−−−−−==−−−=
−−−=−−=
−=
[2.9]
Ak počítame počty jednotiek, ktorými zabezpečujeme rozšírenú obnovu
0112211 ... NNrcrcrcc nTTnnnn −=++++ −+−−− s počiatočnými podmienkami:
0121121
02112
01
...
NNrcrcc
NNrcc
NNc
TTTT
n
−=+++
−=+−=
−−−−
KKKKKKK.
Ak uvažujeme jednoduchú obnovu:
01111 ... Nruruu TTnnn =++++ −+−− Tn ≥
s počiatočnými podmienkami:
010121
0101
00
...
Nruruu
Nruu
Nu
TTT =+++
=+=
−−−
KKKKKK.
Odčítaním týchto dvoch rovníc dostávame vzťah [2.8]:
1. 0112211 ... Nrururuu TTnnnn =++++ −+−−−
2. 012123121 ... Nrurururuu TTnTTnnnn =+++++ −−−+−−−−
t.j.
0...
0)(...)1(
11
121111
=−−−=−−++−+
−−
−−−−+−−
TnTnn
TTnTTTnnn
uauau
rurruruu
74
Podľa uvedených vzorcov počítame 21,cc ,... vtedy, ak hodnoty nNNNN ,...,,, 210 rastú
nelineárne.
Ak je vzrast lineárny, čiže platí, že: 0. NmnNn += , potom
n = 0, 1, ...; m > 0
2123121
21123
112
1
... −−−− ++++=
++=+=
=
TTTT acacacmc
acacmc
acmc
mc
M
pre Tn ≥ :
∑=
−+=T
iinin camc
1
resp.:
[ ]
2,3,...n , :
)(
)(
1
222
13144
2133
22
1
=−=
−+−=
−===
−nn rntkde
trrtrtmc
trtmc
mtc
mc
M
Príklad 2.2:
Treba určiť počty obnov a vekovú štruktúru objektov na 4-ročné obdobie, ak na začiatku
máme súbor 10000 =N technicky homogénnych objektov. Na nasledujúce roky sa plánuje:
1. rok – 1050 objektov = 1N ,
2. rok – 1150 objektov = 2N ,
3. rok – 1300 objektov = 3N ,
4. rok – 1500 objektov = 4N .
Maximálna životnosť objektu 3 roky = T.
Pravdepodobnosť zlyhania objektu:
75
. 5,0
, 3,0
, 2,0
3
2
1
===
a
a
a
Riešenie:
Pravdepodobnosti, že objekty pretrvávajú v prevádzke viac ako k období:
5,01 5,0
8,02,0118,05,03,0
2132
1321
=−−===
=−=−==+=+=
aaar
aaar
K
K
00 objektov 1000 Nu ==
Očakávané počty obnov:
328200.5,0340.3,0628.2,0
6281000.5,0200.3,0340.2,0
3401000.3,0200.2,0
2001000.2,0
1322314
0312213
02112
011
=++=++=
=++=++=
=+=+=
===
uauauau
uauauau
uauau
uau
Počty jednotiek, ktorými zabezpečíme rozšírenú obnovu:
29550).512,08,00(150.14,0)300.(8,010001500
))(2())(()(
18750).8,0.5,0(150.8,010001300))(()(
11050.8,010001150)(
5010001050
013
1213022
12031044
201
212021033
011022
011
=+−−+−−==−+−−−−−−−−=
=−−−=−−−−−−=
=−−=−−−=
=−=−=
NNrrrrNNrrNNrNNc
NNrrNNrNNc
NNrNNc
NNc
Tabuľka vekových štruktúr
n r
0 1 2 3 4
0 1000 200+50 340+110 628+187 328+295 1 1000.0,8 (200+50).0,8 (340+110).0,8 (628+187).0,8 2 1000.0,5 (200+50).0,5 (340+110).0,5 ∑ 1000 1050 1150 1300 1500
0N 1N 2N 3N 4N
76
2.3 OPTIMALIZÁCIA PROCESU OBNOVY
Optimalizácia procesu obnovy spočíva v určení optimálnej stratégie obnovy, t.j. v nájdení
obdobia, v ktorom treba obnovu uskutočniť, prípadne akým spôsobom, aby sa dosiahla
maximálna efektívnosť procesu obnovy.
Modely obnovy, ktoré umožňujú určiť optimálnu stratégiu obnovy, sú založené na
porovnávaní nákladov na údržbu a prevádzku starého zariadenia s nákladmi na obstaranie, údržbu
a prevádzku nového zariadenia, resp. na porovnávaní nákladov pri rôznych spôsoboch obnovy a
pod.
Uvažujeme dva typy modelov obnovy:
- modely obnovy objektov, ktoré majú charakter základných fondov – postupne sa opotrebúvajú,
- modely obnovy objektov, ktoré nemajú charakter základných fondov, zjavne sa neopotrebúvajú,
ale náhle zlyhávajú – zničia sa a treba ich vymeniť (žiarovky, elektrónky a pod.).
2.3.1 Modely obnovy objektov, ktoré majú charakter základných fondov
V dôsledku opotrebúvania zariadenia počas činnosti sa zvyšujú náklady na jeho údržbu.
Existuje doba, pri ktorej obnova starého zariadenia je oveľa hospodárnejšia ako ponechanie
starého zariadenia v prevádzke pri vyšších prevádzkových nákladoch. Náklady na opotrebenie a
údržbu určitého zariadenia môžeme všeobecne skúmať tak, že opotrebenie a náklady na údržbu
vyjadríme všeobecnými funkciami. Z takého vyjadrenia môžeme prejsť k určitej aproximácii
uvedených funkcií alebo k ich empirickému vystihnutiu v určitých okamihoch.
Všeobecné funkcie opotrebenia a údržby:
A – nadobúdacia hodnota zariadenia,
φ(t) – funkcia opotrebenia,
Aφ(t) – zostatková hodnota po čase t,
U(t) – náklady na údržbu za čas t.
77
Celkové náklady na opotrebenie a údržbu:
[ ] )()(.)( tUtAAtN +−= ϕ [2.10]
Priemerné náklady na časovú jednotku:
[ ] )(
)(.1)(
)(t
tUtAA
tt
tNtn +−== ϕ [2.11]
Ak predpokladáme spojitý priebeh t, môžeme hodnotu t, pri ktorej bude n(t) minimálne,
vypočítať anulovaním prvej derivácie n(t):
0)()())((1)()(
22=−′
+−−′−=t
tUtUt
t
tAAttA
dt
tdn ϕϕ [2.12]
a po úprave:
[ ] 0)(-)()()(-1 =′+′+ tUttUtttA ϕϕ [2.13]
Z rovnice [2.13] by sme mohli pre konkrétne funkcie φ(t) a U(t) vyjadriť optimálnu hodnotu
t, pri ktorej funkcia [2.11] nadobudne minimum.
Pritom môžeme predpokladať, že:
a) funkcie φ(t) a U(t) sú lineárne a to:
kttUc
tt == )( , -1)(ϕ ,
kde c a k sú konštantné veličiny.
Dosadením za φ(t) a U(t) do [2.11] dostaneme:
kc
Akt
c
tA
ttn +=
+
+−= 111
)(
Priemerné náklady na časovú jednotku sú teda pri lineárnych funkciách φ(t) a U(t)
konštantné. O obnove zariadenia nemožno rozhodnúť podľa spomínaného kritéria. Doba
obnovy je podľa tohto modelu ľubovoľná.
b) funkcia φ(t) je exponenciálna a funkcia U(t) je lineárna, pričom:
kt U(t), )( == −ctetϕ .
78
Rovnica [2.11] pre tento prípad bude:
[ ]kteAt
tn ct +−= − )1(1
)(
a jej prvá derivácia:
[ ] [ ]
[ ].1)(
...)!4!3!2
(
0 pri 01A
01).1(.
)1(1)(
2
2432
22
−+=
−−−−=
>≠−+=+−−
=′
+−=
−−
−
−−−−
−
ctct
ct
ctctctct
ct
ectet
A
dt
tdn
tc
tcc
Ae
tectett
eAtAcekeA
tdt
tdn
Je zrejmé, že uvedená funkcia je monotónne klesajúca a nemôže byť anulovaná pre žiadne
kladné t. Z toho vyplýva záver, že zariadenie máme ponechať v prevádzke čo najdlhšie.
c) funkcia φ(t) aj U(t) sú exponenciálne:
),1() U(, )( at −== − ektet ctϕ
kde a je podobne ako c a k konštantná veličina. U(t) sa volila tak, aby U(0) = 0.
Po dosadení do rovnice [2.11]:
[ ])1()1(1
)( −+−= − atct ekeAt
tn
a jej prvá derivácia:
[ ] [ ][ ]
[ ]
[ ])1()1()(1)(
teda, )1()1()t
1
1. )(Ace
1)1()1(
1)(
2
2
2
ct-
−−−−+=
−−−−+=
=−+−−+=
=′
−+−=
′
−+−=
−−
−−
−
−−
atctatct
atctatct
atctat
atctatct
ekeAtakeAcetdt
tdn
ekeAtakeAce
t
kkeAeAtake
kkeAeAt
ekeAtdt
tdn
a ak má byť uvedený výraz rovný nule, musí platiť:
79
)1()1( −+−=−+ −− atatctct eatekecteA alebo )1(1
)1(1
ate
cte
A
kat
ct
−−+−=
−
.
Z uvedeného výrazu môžeme vypočítať t, zodpovedajúce určitým zadaným hodnotám k, A,
c, a.
Nedostatkom uvedených modelov je, že náklady budúcich období sa uvažujú bez
diskontného faktora, t.j. nezohľadňujú tú skutočnosť, že sa prostriedky na obstaranie, údržbu a
opravy určitého zariadenia nevynakladajú často jednorazovo, ale v niekoľkých obdobiach, a teda
je potrebné oceniť náklady, ktoré sa vynaložia v rôznych obdobiach k určitému dátumu.
Najjednoduchší spôsob ocenenia nákladov plánovaných pre n rovnakých období je sčítať ich
diskontované hodnoty.
Bez toho, že by sme na tomto mieste riešili ekonomické opodstatnenie diskontného faktora,
nemôžeme totiž považovať pre dlhší časový interval za účelný taký model, ktorý len obyčajným
jednoduchým spôsobom sumarizuje náklady budúcich období.
2.3.2 Model založený na diskontnej hodnote nákladov
Model založený na diskontnej hodnote nákladov sa týka tých objektov, ktoré sú opraviteľné
(základné fondy- stroje, strojové zariadenia). Ide o viacročnú životnosť, a tak tu prichádza do
úvahy diskontácia nákladov na obstaranie a údržbu, čiže diskontácia nákladov budúcich období
na obstaranie a údržbu k okamihu začiatku procesu obnovy. Diskontácia spočíva v tom, že akú
sumu peňazí treba vložiť do banky, aby nám to na začiatku obdobia n narástlo na tú hodnotu,
ktorú budeme potrebovať => akú hodnotu majú budúce náklady teraz.
Diskontované náklady vyjadrujú terajšiu hodnotu budúcich nákladov a vypočítajú sa podľa
vzorca:
:kde , )1(
11
−− =
+n
nnn XCr
C
nC – náklady na začiatku n-tého roku,
r – úroková miera,
n – počet rokov,
80
1
1
rX
+= – diskontný súčiniteľ.
Nech sú obstarávacie náklady na určité zariadenie A; náklady na prevádzku 1C , 2C , ...
v intervaloch rovnakej dĺžky (bez odpisov), pričom predpokladáme, že tieto náklady rovnomerne
vzrastajú.
Ak sa bude uvažované zariadenie vždy po n obdobiach obnovovať, potom diskontná hodnota
N(n) všetkých budúcich nákladov spojených s obnovou zariadenia po každých n obdobiach je
takáto:
,...)()()(
:..,......)(...C)(
1
12
1
1
1
1
12121
12321
++++++=
=+++++++++++=
∑∑∑=
−
=
−
=
−
−+−
n
i
ii
nn
i
ii
nn
i
ii
nn
nnnn
XCAXXCAXXCA
jtXCXCXCAXCXCXCAnN
kde postupne jednotlivé členy zodpovedajú vždy jednému cyklu obnovy, pričom predpokladáme
rovnakú situáciu vždy vo vnútri cyklu. Ak si uvedomíme, že pravá strana rovnice predstavuje
vlastne súčet členov nekonečnej konvergentnej geometrickej postupnosti, môžeme N(n) vyjadriť
ako nekonečný geometrický rad s kvocientom
:q-1
a potom ,1 x,0 1<<= nxq
1
)( 1
1
n
n
i
ii
X
XCAnN
−
+=
∑=
−
- celkové diskontované náklady. [2.14]
N(n) je terajšie vyžadované množstvo peňazí na krytie všetkých budúcich nákladov na
obstaranie a prevádzku zariadenia, ktoré sa obnovuje každých n rokov. Nejde však o to, že by
takýto odhad nákladov bolo možné použiť na nákladové prepočty, ale o to, že umožňuje
navrhnúť kritérium na optimalizáciu počtu období n cyklu na obnovu zariadenia.
Obnovovací cyklus bude optimálny pre také n, ktoré vyhovuje nasledujúcim podmienkam:
0)()1(
0)()1(
>−−>−+
nNnN
nNnN [2.15]
81
Dosadením za n, (n+1) do [2.14] dostaneme:
11
111
11
11
1
1
1
1
1)(
1
1
1
)()-(1
11)1(
++
+++
+=
+−
+
+
=
−
−+
−−=
−+
=
=−
++=
−
+=+
∑∑
n
nn
n
n
n
nn
n
n
n
i
nn
ii
n
n
i
ii
X
XCnN
X
X
X
XCnNX
X
XCXCA
X
XCA
nN
Po odčítaní N(n) od obidvoch strán dostávame:
[ ]1
11
11
1 1
)(
11
1
1)()()1( +
++
++
+ −+−=
−+
−
−−=−+
n
nn
nn
n
nn
n
n
X
XCXXnN
X
XC
X
XnNnNnN
Ak N(n + 1) – N(n) > 0, potom:
[ ] ,0)( 11 >+− +
+ nn
nn XCXXnN [2.16]
pretože X < 1, a teda menovateľ 11 +− nX je vždy väčší ako 0.
Ak nerovnosť [2.16] delíme nX , dostaneme:
[ ] 01)( 1 >+− +nCXnN ,
z čoho
[ ]XnNCn −>+ 1)(1 . [2.17]
Podobne by sme mohli odvodiť, ak N(n-1) – N(n) > 0, potom musí platiť:
[ ] 0)1( 11 >−−− −− nn
nn XCXXnN , [2.18]
pretože X < 1.
Delením nerovnosti [2.18] s 1−nX dostaneme:
[ ] 01)1( >−−− nCXnN
alebo
[ ] )1(1 −−< nNXCn . [2.19]
82
Ak vyjadríme N(n-1) pomocou (2.14), dostaneme:
1
2121
1
...)1( −
−−
−++++−<
n
nn
n X
XCXCCAXC
alebo
...1
...22
2121−
−−
++++++++
<n
nn
nXXX
XCXCCAC . [2.20]
Výraz na pravej strane nerovnosti [2.20] je vážený priemer všetkých nákladov po interval
(n-1) vrátane. Váhy 1, X, 2X , ..., 2−nX sú súčinitele diskontu pri nákladoch v každom období.
Nerovnosť [2.17] môžeme upraviť na podobný tvar:
...1
...)(12
121
1 −
−
+ ++++++++
>n
nn
nXXX
XCXCCAC . [2.21]
Na základe rozboru nerovností [2.20] a [2.21] môžeme vymedziť nasledovné pravidlá
minimalizácie nákladov:
(1) – neobnovovať, keď náklady budúceho obdobia sú menšie ako vážený priemer
predchádzajúcich nákladov [2.20],
(2) – obnovovať, keď náklady budúceho obdobia sú väčšie ako vážený priemer predchádzajúcich
nákladov [2.21].
Príklad 2.3:
Obstarávacia cena určitého objektu (stroj, výrobné zariadenie) je A = 1 mil. €. Náklady na
prevádzku za jednotlivé obdobia sú:
400 190
€. tisícoch v590 320 140
490 250 100
63
852
741
========
CC
CCC
CCC
Pri úrokovej miere 5% treba nájsť optimálne obdobie obnovy objektu.
83
Riešenie:
Rok iC 1−iX 1−i
i XC ∑ −+ 1ii XCA ∑ −1iX
∑∑
−
−+1
1
i
ii
X
XCA
1 100 1 100 1100 1 1100 2 140 0,952 133,33 1233,33 1,952 631,71 3 190 0,907 172,40 1405,67 2,859 491,59 4 250 0,864 215,96 1621,63 3,723 435,54 5 320 0,823 263,26 1884,89 4,546 414,68 6 400 0,784 313,41 2198,30 5,330 412,48 7 490 0,746 365,65 2263,93 6,076 8 590 0,711 419,30 2683,23 6,787
05,01
1
+=X , A = 1000 (v tisícoch €).
Pretože: 52
5621
7 ...1
...
XXX
XCXCCAC
++++++++
>
490 > 412,48,
- preto na konci 6. obdobia treba zariadenie vymeniť alebo obnoviť.
Príklad 2.4:
Optimalizujte počet období n pre cyklus obnovy zariadenia vzhľadom na minimalizáciu
diskontovanej hodnoty všetkých budúcich nákladov, ak obstarávacie náklady zariadenia sú A =
30 peňažných jednotiek. Ročná úroková miera r = 0,1 a náklady na prevádzku zariadenia
v jednotlivých obdobiach sú:
25 10
20 5
30 15 0
63
52
741
====
===
CC
CC
CCC
1,01
1
+=X
Riešenie je uvedené v tabuľke:
84
obdobie (i) iC 1−iX 1−i
i XC ∑ −+ 1ii XCA
∑ −1iX
∑∑
−
−+1
1
i
ii
X
XCA
1 0 1,000 0 30,000 1,000 30,000 2 5 0,909 4,545 34,545 1,909 18,095 3 10 0,826 8,260 42,805 2,735 15,650 4 15 0,751 11,265 54,070 3,486 15,510 5 20 0,683 13,660 67,730 4,169 6 25 0,621 15,525 83,255 4,790 7 30 0,564 16,920 100,175 5,354
Z tabuľky je zrejmé, že optimálny počet období obnovovacieho cyklu n = 4, t. zn., že sa má
dať prednosť obnove zariadenia každé 4 roky.
510,1520
1 32
34
2321
5
>
+++++++
>XXX
XCXCXCCAC
Príklad 2.5:
Optimalizujte počet n období pre cyklus obnovy zariadenia vzhľadom na minimalizáciu
diskontovanej hodnoty všetkých budúcich nákladov, keď obstarávacie náklady zariadenia sú A =
50 peňažných jednotiek, ročná úroková miera r = 0,05 a náklady na prevádzku zariadenia
v jednotlivých obdobiach sú:
50 30 10
40 20 0
642
531
======
CCC
CCC
Riešenie je uvedené v tabuľke:
Obdobie iC 1−iX 1−i
i XC ∑ −+ 1ii XCA ∑ −1iX
∑∑
−
−+1
1
i
ii
X
XCA
1 0 1 0 50 1 50 2 10 0,952 9,52 59,52 1,952 30,49 3 20 0,907 18,14 77,66 2,859 27,16 4 30 0,864 25,92 103,58 3,723 27,82 5 40 0,823 32,91 136,49 4,546 30,02 6 50 0,784 39,20 175,76 5,329 32,98
50 ,05,01
1 =+
= AX
85
Z tabuľky je zrejmé, že optimálny počet období obnovovacieho cyklu n = 3, t. zn., že sa má
dať prednosť obnove zariadenia každé 3 roky.
16,2730
1 2
2321
4
>
+++++>
XX
XCXCCAC
2.3.2 Modely obnovy objektov, ktoré sa po poruche vymieňajú
Doteraz sme nepredpokladali, že by bolo potrebné celé zariadenie vyradiť ako úplne
nevyhovujúce v dôsledku poruchy, ale zahrnuli sme prípadné opravy do nákladov na údržbu.
Teraz sa budeme zaoberať takými objektmi, ktoré sa zjavne neopotrebúvajú počas prevádzky, ale
zničia sa po určitom období používania (žiarovky, elektrónky a pod.).
Znehodnotenie takýchto objektov nastáva v dôsledku opotrebenia alebo v dôsledku
preťaženia – určitého rázu, čo nastalo náhodne. V prvom prípade je porucha závislá od času,
v ktorom bolo zariadenie v prevádzke, v druhom môžeme predpokladať, že porucha nie je závislá
od času prevádzky zariadenia – týmito sa budeme zaoberať. Zároveň budeme predpokladať, že
ide o súčiastky relatívne kratšej životnosti a že nemá zmysel zaoberať sa problémom
diskontovania nákladov.
Uvažujme určitý systém pozostávajúci z väčšieho počtu takýchto objektov (jednotiek)
rovnakého typu. Počas prevádzky tohto systému sa v každom časovom intervale pokazí určitý
počet jednotiek, ktoré musíme nahradiť novými, aby systém bol schopný ďalšej činnosti. Po
určitom počte období je výhodné vymeniť všetky jednotky bez ohľadu na to, či sa pokazia, alebo
nie. Nám pôjde práve o to: nájsť taký interval t*, pre ktorý sú náklady skupinovej výmeny
jednotiek a náklady na náhradu jednotlivých pokazených jednotiek (individuálna výmena) medzi
dvoma skupinovými výmenami minimálne.
Z predchádzajúceho vyplýva, že obnovu uskutočňujeme dvoma spôsobmi:
1. Individuálna obnova: postupujeme pri nej tak, že na konci príslušného obdobia vyhľadáme
pokazené objekty a vymeníme ich.
86
2. Skupinová obnova: po určitom období (n –té obdobie) sa dostávame do situácie, keď už nie
je výhodné vyhľadávať a obnoviť tie objekty, ktoré sa pokazili, ale jednoducho obnovíme
všetky objekty.
Ak sú:
1C - náklady na výmenu jednej jednotky pri skupinovej výmene,
2C - náklady na výmenu jednej jednotky pri individuálnej výmene,
f(x) - funkcia, ktorej hodnota udáva, koľko v ktorom období treba vymeniť jednotiek,
L - počet jednotiek, ktoré obsahuje systém (počet jednotiek v skupine),
potom celkové náklady na obnovu za t období (intervalov) sú vyjadrené touto nákladovou
rovnicou:
)()(1
121 ∑
−
=
+=t
x
xfCLCtN , [2.22]
kde
1LC sú náklady na výmenu jednotiek, ak vymeníme všetky jednotky systému naraz
(skupinová výmena),
∑−
=
1
12 )(
t
x
xfC - náklady na individuálnu výmenu pokazených objektov v každom z (t-1) intervalov
skôr, ako sa celá skupina znova obnoví.
Priemerné náklady na jeden interval:
)()( 1
1
21 ∑−
=
+=t
x
xft
C
t
LC
t
tN [2.23]
Celkové náklady budú minimálne pre také t*, ktoré vyhovuje nasledovným nerovnostiam:
0*
*)(
1*
)1*( >−++
t
tN
t
tN [2.24]
0*
*)(
1*
)1*( >−−−
t
tN
t
tN [2.25]
87
Úpravou týchto nerovností dostaneme:
0*)1*(
*)(*)(
*)(1**
1
1*
1)()
*
1
1*
1(
*
*)(
1*
)1*(
2
1*
121
21*
121
>+
+−−=
=+
+
−+
+−+
=−++
∑
∑−
=
−
=
tt
tftCxfCLC
tft
C
ttxfC
ttLC
t
tN
t
tN
t
x
t
x
Z tejto úpravy je zrejmé, že nerovnosť [2.24] platí vtedy, ak je:
∑−
=
+>1*
1212 )(*)(*
t
x
xfCLCtftC
alebo
*
)(*)(
1*
121
2 t
xfCLC
tfC
t
x∑
−
=+
> [2.26]
Podobne by sme mohli zistiť, že nerovnosť (2.25) platí vtedy, ak:
1*
)()1*(
2*
121
2 −
+<−
∑−
=
t
xfCLC
tfC
t
x [2.27]
Na pravých stranách nerovností [2.26] a [2.27] sú priemerné náklady na interval, ak
skupinovú výmenu urobíme na konci t-teho intervalu (nerovnosť 2.26), resp. (t-1). intervalu
(nerovnosť 2.27).
Na ľavých stranách sú náklady na individuálnu výmenu za t-ty interval, resp. (t-1). interval.
Obidve nerovnosti [2.26] a [2.27] určujú podmienky pre optimálnu skupinovú obnovu a možno
ich interpretovať takto:
Nerovnosť [2.26] vyjadruje, že sa má uskutočniť skupinová obnova na konci t-teho intervalu,
keď náklady na individuálne obnovy za t-ty interval sú väčšie ako priemerné náklady za interval
koncom t-tych intervalov.
Nerovnosť [2.27] vyjadruje, že sa nemá robiť skupinová výmena na konci (t-1). intervalu,
keď náklady na individuálne obnovy na konci (t-1). intervalu sú menšie ako priemerné náklady
koncom (t-1). intervalov.
88
Pri určovaní optimálneho t, t.j. t* pre skupinovú obnovu stačí, keď je zadaný pomer 21 /CC ,
nemusíme poznať priamo hodnoty 1C a 2C . O tom sa presvedčíme vydelením nerovností [2.26]
a [2.27] veličinou 2C :
*
)(
*)(
1*
12
1
t
xfC
CL
tf
t
x∑
−
=+
> [2.28]
1*
)(
)1*(
2*
12
1
−
+<−
∑−
=
t
xfC
CL
tf
t
x [2.29]
Ak predpokladáme ďalej, že rozsah havárií f(t) za obdobie konverguje k )(tf a že sa
optimálne náklady skupinovej výmeny a náklady na individuálnu výmenu rovnajú, t.j.:
)(*
)(
2
1*
121
tfCt
xfCLCt
x =+ ∑
−
= ,
potom
)()(*
1*
1
2
1
L
xftft
C
C
t
x∑
−
=
−= [2.30]
Výraz na pravej strane rovnice [2.30] predstavuje maximálnu hodnotu pomeru, pre ktorú je
skupinová výmena hospodárna.
Ak je pomer 21 /CC väčší ako táto hodnota, skupinová výmena pri takomto pomere je
nehospodárna.
Príklad 2.6:
Inštalovaná je skupina 10000 nových žiaroviek. Žiarovky postupne havarujú. Havarované
žiarovky sa vymieňajú za nové tak, aby bol počet žiaroviek v skupine konštantný a rovný
pôvodnému počtu. Výmena sa robí vždy na konci časového intervalu (na konci 100 hod.). Treba
nájsť taký interval, v ktorom sa už individuálna výmena nevyplatí a z hľadiska nákladov je
výhodnejšie vymeniť celý súbor. Pri individuálnej výmene sú náklady za jednotku 10 p.j., pri
89
skupinovej výmene sú náklady na výmenu jednej jednotky 0,204 p.j. Charakteristiky životnosti
súboru 10000 žiaroviek sú v tabuľke:
t Svietiace žiarovky na
konci intervalu t s(t)
Havarované žiarovky počas intervalu t
s(t-1) – s(t)
Pravdepodobnosť havarovania
L
tstsp
)()1()1(
−−=
0 10000 - - 1 9960 40 0,004 2 9900 60 0,006 3 9820 80 0,008 4 9700 120 0,012 5 9500 200 0,020
[ ] [ ][ ]
[ ]
202)5(
121)]1()1()1()1()1()1()2(
)1()2()1((2)(1)(1)(3)(2)(2)(3)(1)(4)[(4)
81004,0006,0.004,0006,0.004,0008,0000 1
)1()1()1()1()1()1()2()2()1()3()3(
60004,0.004,00,006000 10(1)(1)(2)(2)
40004,0.000 10)1(.)1(
42
=
=++++++++=
=+++==+++=
=+=+=
===
f
ppppppp
ppppppppppppLf
ppppppppppLf
pppLf
pLf
Zo zadania vyplýva:
000 10
10 , 204,0 21
===
L
CC
Ďalej vypočítané údaje na rozhodovanie sú v tabuľke:
t f(t) ∑=
t
x
xf1
)( )(2 tfC ∑=
t
x
xfC1
2 )( ∑−
=
+1
121 )(
t
x
xfCLC
t
xfCLCt
x
+ ∑−
=
1
121 )(
1 40 40 400 400 2040 2040
2 60 100 600 1000 2440 1220
3 81 181 810 1810 3040 1013
4 121 302 1210 3020 3850 962
5 202 504 2020 5040 5060 1012
9621210 4
)4()4(
4
121
2
>
+>
∑=x
fCLC
fC
90
Z toho vyplýva, že skupinovú výmenu treba uskutočniť na konci 4. obdobia.
Príklad 2.7:
Inštalovaná je skupina L = 100000 nových žiaroviek. Žiarovky postupne havarujú.
Havarované žiarovky vymieňame za nové tak, aby bol počet žiaroviek v skupine konštantný a
rovný pôvodnému počtu. Budeme predpokladať, že havárie nastanú len na konci časového
intervalu (napr. 100 hod.). Teda žiarovky, ktorými nahradíme havarované žiarovky na konci napr.
druhého intervalu, budú mať na začiatku tretieho intervalu vek rovný nule. Počas prvých t
časových intervalov na konci každého intervalu sa havarované žiarovky nahradia žiarovkami
novými (individuálna výmena). Na konci t-teho časového intervalu sa vymenia všetky žiarovky
(skupinová výmena) bez ohľadu na to, či havarovali, alebo nie.
Treba nájsť optimálny interval pre skupinovú výmenu, t.j. takú hodnotu t, pri ktorej budú
celkové náklady na výmenu minimálne, ak sú jednotlivé náklady na výmenu pri skupinovej
výmene p.j. 71 =C a jednotlivé náklady na výmenu pri individuálnej výmene p.j. 102 =C
Charakteristiky životnosti 100000 žiaroviek sú uvedené v tabuľke. Z tabuľky je zrejmé, že
v tomto prípade sa neuvažovalo o náhrade havarovaných žiaroviek novými.
Ak budeme uvažovať náhradu, počty havarovaných žiaroviek počas jednotlivých intervalov
budú prirodzene iné, ako sú uvedené v tabuľke:
91
Uplynulé časové obdobie
t
Svietiace žiarovky na konci intervalu t
s(t)
Havarované žiarovky počas
intervalu t s(t-1) – s(t)
Pravdepodobnosť havárie
L
tststp
)()1()(
−−=
Podmienená pravdepodobnosť
havárie
)1(
)()1(01 −
−−=ts
tstsVt
0 100000 1 100000 0 0 0 2 99000 1000 0,01 0,0100 3 98000 1000 0,01 0,0101 4 97000 1000 0,01 0,0102 5 96000 1000 0,01 0,0103 6 93000 3000 0,03 0,0312 7 87000 6000 0,06 0,0645 8 77000 10000 0,10 0,1149 9 63000 14000 0,14 0,1818 10 48000 15000 0,15 0,2381 11 32000 16000 0,16 0,3333 12 18000 14000 0,14 0,4375 13 10000 8000 0,08 0,4444 14 6000 4000 0,04 0,4000 15 3000 3000 0,03 0,5000 16 2000 1000 0,01 0,3333 17 1000 1000 0,01 0,5000 18 0 1000 0,01 1,0000
Pri nahradzovaní havarovaných žiaroviek ide najskôr o výmenu pôvodne inštalovaných
žiaroviek, potom o výmenu jednak pôvodne inštalovaných a jednak už vymenených, ale postupne
nahradzujeme už len jednotky vymenené (prípadne i viackrát).
Aby sme mohli vypočítať optimálne t, musíme poznať počet havarovaných žiaroviek
v jednotlivých intervaloch. Všeobecný vzorec na výpočet havarovaných žiaroviek v intervale t je:
+−
−+−+= ∑ ∑∑−
=
−
=
−
=
1
2
1
1
1
1
...)()()()()()()(t
b
b
x
t
x
btpxbpxpxtpxptpLtf ,
kde
L – celkový počet inštalovaných jednotiek,
p(x) – pravdepodobnosť vo veku x,
p(t) – pravdepodobnosť prvej havárie,
∑−
=
−1
1
)()(t
x
xtpxp – pravdepodobnosť havárie už raz vymenených žiaroviek v intervale t.
92
Napr. t = 5:
∑=
+++=−4
1
)1()4()2()3()3()2()4()1()5()(x
ppppppppxpxp
- každý z členov vyjadruje takú pravdepodobnosť prípadu, že druhá havária sa vyskytuje
v piatom období.
Pravdepodobnosť tretej havárie po t-tom intervale je pravdepodobnosťou havárie v (t-b).
intervale, násobená pravdepodobnosťou havárie v (b-x). intervale s pravdepodobnosťou v x-tom
intervale, napr. pre :5=t
)1()1()3()1()2()2()1()3()1()2()1()2()2()2()1()3()1()1(
)()()(4
2
1
1
pppppppppppppppppp
btpxbpxpb
b
x
+++++=
=−
−∑ ∑=
−
=
Počty havarovaných žiaroviek na konci každého intervalu sú pre náš prípad vypočítané
v tabuľke:
Časový interval
t
Výmena Časový interval
t
Výmena bežná
f(t) kumulatívna∑ )( tf
bežná f(t)
kumulatívna ∑ )(tf
1 0 0 21 12047 162167 2 1000 1000 22 11706 173873 3 1000 2000 23 10820 184693 4 1010 3010 24 9697 194390 5 1020 4030 25 8700 203090 6 3030 7060 26 8288 211378 7 6040 13100 27 8413 219791 8 10090 23190 28 8862 228653 9 14201 37391 29 9523 238176 10 15392 52783 30 10100 248276 11 16665 69448 31 10413 258689 12 15000 84448 32 10507 269196 13 9480 93928 33 10348 279544 14 6175 100103 34 9999 289543 15 6160 106263 35 9636 299179 16 5521 111784 36 9079 308258 17 7309 119093 37 9220 317478 18 9317 128410 38 9271 326749 19 10181 138591 39 9447 336196 20 11529 150120 40 9669 345865
93
Ak bližšie skúmame túto tabuľku, vidíme, že od určitého obdobia 34 sa rozsah havárií čím
ďalej, tým menej odlišuje. Sú to dôkazy o tom, že limit rozsahu havárií sa rovná podielu
celkového počtu inštalovaných žiaroviek L a priemernej hodnoty životnosti.
V našom prípade je priemerná životnosť 10,3 časových intervalov, potom limitný rozsah
havárií:
97093,10
100000)( ==tf havárií za časový interval.
Ďalší výpočet je uvedený v tabuľke:
t f(t) ∑=
t
x
xf1
)( )(2 tfC ∑=
t
x
xfC1
2 )( ∑−
=
+1
121 )(
t
x
xfCLC
t
xfCLCt
x∑
−
=+
1
121 )(
1 0 0 0 0 700000 700000 2 1000 1000 10000 10000 700000 350000 3 1000 2000 10000 20000 710000 236667 4 1010 3010 10100 30100 720000 180000 5 1020 4030 10200 40300 730000 146002 6 3030 7060 30300 70600 740000 123338 7 6040 13100 60400 131000 770000 110086 8 10090 23190 100900 231000 831000 103875 9 14201 37391 142010 373910 931900 103544 10 15392 52783 153920 527830 1073910 107391
Z tabuľky je zrejmé, že
1038751420109
)()9(
8
121
2
>
+>
∑=x
xfCLC
fC ,
čiže optimálne t* = 9, t.j. skupinovú výmenu treba urobiť na konci deviateho obdobia, keď
náklady na výmenu budú minimálne.
Optimálne t* môžeme určiť aj na základe nerovností [7.28] a [7.29], ak poznáme pomer
21 /CC .
94
2.4 MODELY ÚDRŽBY
O modeloch údržby má zmysel hovoriť pri preventívnej údržbe, ktorá sa vykonáva plánovite.
Základnou otázkou pri organizácii preventívnej údržby je určenie:
- optimálnej periodickosti pút ,
- optimálneho času trvania čút
preventívnej údržby tak, aby výrobné zariadenie bolo maximálne využité pri minimálnych
prestojoch = kritérium.
Pri riešení tohto problému sa stretávame s protichodnými požiadavkami. Na jednej strane
treba v záujme zachovania bezporuchového stavu zabezpečiť, aby sa preventívna údržba
vykonávala pravidelne. To však znamená značné prestojové časy objektov údržby.
Poznámka:
Ak údržbu budeme vykonávať často, poruchy sa budú vyskytovať veľmi zriedka a čas na
opravy bude malý, ale čas na údržbu bude značný. Ak budeme preventívnu údržbu vykonávať vo
veľmi dlhých intervaloch, potom čas venovaný na údržbu bude malý, ale priemerný čas medzi
poruchami bude tiež malý a poruchy budú vznikať často, tým aj čas na opravy bude veľký.
Obe uvedené protichodné požiadavky možno zohľadniť pomocou ukazovateľa efektívnosti
využitia objektu, ktorý predstavuje pravdepodobnosť, že objekt je v bezporuchovom stave a
v priebehu zadaného časového úseku činnosti t sa nepokazí:
)(. tPKU vev = [2.31]
kde:
e
čv T
TK = - koeficient (súčiniteľ) využitia objektu, [2.32]
čT - čas bezporuchovej činnosti objektu počas jeho používania,
eT - čas používania (exploatácie) objektu, t.j. súčet čT , času opráv a údržby,
)(tP - pravdepodobnosť bezporuchovej prevádzky objektu do okamihu t.
95
Skutočnosť, že práve ukazovateľ efektívnosti využitia objektu zabezpečuje obe vyššie
uvedené požiadavky predurčuje použiť ho na optimalizáciu periodickosti a času trvania
preventívnej údržby, pri ktorých nadobúda evU maximálnu hodnotu:
)(..
.tP
ntmtnt
ntU
poprčúpoú
poúev ++
= [2.33]
kde:
oút - priemerný čas medi poruchami, ak sa vykonáva preventívna údržba,
pn - celkový počet porúch počas používania objektu,
m - počet vykonávaných údržieb,
oprt - priemerný čas trvania opravy objektu,
čút - priemerný čas preventívnej údržby.
Ak budeme predpokladať exponenciálne rozdelenie vzniku porúch, môžeme [2.33] upraviť:
..
.oú
pú
t
t
poprčúpoú
poúev e
ntmtnt
ntU
−
++= (2.34)
pút - perióda údržby.
Vzťah [2.34] možno využiť na získanie vzorcov na výpočet hodnôt optimálnej
periodickosti a optimálneho času trvania údržby pri analytickom prístupe k riešeniu.
2.4.1 Analytický prístup na určenie optimálnej periodickosti a času trvania preventívnej údržby
Určenie optimálnej periodickosti:
Predpoklad: čút = konšt., čas trvania údržby je konštantný.
0)(
)(ev =pú
pú
td
tdU
96
5,0.,
čú
oú
oúoptpú
t
t
tt = [2.35]
Určenie optimálneho času trvania:
Predpoklad: pút = konšt., periodickosť údržby je konštantná,
0)(
)(=
čú
čúev
td
tdU
)1( min,0.
))((
.,t
tttA
optú
Kpúopr
úopt Ke
+′
−= κκ [2.36]
kde:
pú
čúoptú t
tK =., ;
čú
pú
t
t=κ
pnpp
č
nn
Tt
+=min,0 - priemerný čas medzi poruchami v prípade, ak sa nevykonáva vôbec
preventívna údržba,
pnpp
pp
nn
ntA
+=)( - koeficient porúch (charakteru porúch),
ppn - počet postupných porúch,
pnn - počet náhlych porúch.
Predpokladáme, že pri preventívnej údržbe sa odstraňujú príčiny postupných porúch.
pP - pravdepodobnosť vzniku postupných porúch v čase pút , čiže medzi dvoma údržbami.
Tieto vzťahy sa dajú použiť [2.35] a [2.36] iba za predpokladu, že náhodné veličiny
vystupujúce v úlohe majú exponenciálny zákon rozdelenia.
97
2.4.2 Simulačný prístup na určenie optimálnej periodickosti a času trvania preventívnej údržby
Pri použití simulačného prístupu na určenie hodnôt .,optpút a .,optčút môžu mať náhodné
veličiny vystupujúce v úlohe ľubovoľný zákon rozdelenia.
Simulácia bude spočívať v tom, že pre zadané hodnoty pút , čút sa odhaduje hodnota
ukazovateľa efektívnosti využitia objektu. Ak zvolíme viacero dvojíc hodnôt pút , čút a určíme
pre ne odhady evU , môžeme vybrať dvojicu, pre ktorú je odhadnutá hodnota evU maximálna.
Priemerný čas medzi poruchami pri výrobku s reálnou údržbou:
[ ] )()(1)(1 čúochpúpp
o
oú tPtPtA
tt
−−=
pppn
pp
nn
ntA
+=)( - koeficient charakteru porúch,
)( púpp tP - pravdepodobnosť vzniku postupných porúch počas pút (periódy),
)( čúoch tP - pravdepodobnosť odhalenia chýb počas čút (času trvania),
max,ot - priemerný čas medzi náhlymi poruchami pri ideálnej údržbe.
Teória obnovy si všeobecne kladie za cieľ pomôcť pri riešení rozhodovacích úloh na
zaistenie požadovaného (hospodárneho, resp. teoreticky i optimálneho) prevádzkového
fungovania skúmaného systému, resp. jeho časti (napr. dielne, skupín strojov pre daný rozsah
výroby či pre požadované časové obdobie pri plánovanej úrovni využitia) za stanovený časový
interval. Praktické riešenie podnikových rozhodovacích úloh vedie takmer vždy k stochastickým
modelom riešeným pomocou štatistických metód.
Zahŕňa problémy prevádzkovej spoľahlivosti, ekonomickej upotrebiteľnosti strojov a
zariadení, pohotovostného zaistenia opráv ľuďmi a prípadne vybavením (náhradnými dielmi,
zariadením na opravy a údržbu, atď.). Ekonomickým kritériom riešenia môže byť napr.
minimalizácia pravdepodobných nákladov, príp. vrátane rizika strát, plánovaného fungovania
výrobného systému pri plnení zadaných úloh. Možno konštatovať, že riešenie konkrétnych úloh
vyžaduje špeciálne znalosti presahujúce obvyklú manažérsku prípravu. Preto riešia úlohy tímy
98
odborníkov - na úrovni manažérskeho myslenia ide skôr len o pochopenie ekonomickej
závažnosti týchto úloh (4).
ÚLOHY/OTÁZKY NA SAMOSTATNÉ RIEŠENIE
1. Čo sú modely obnovy?
2. Ako možno klasifikovať modely obnovy?
3. Na akú otázku nám dáva odpoveď riešenie modelu jednoduchej obnovy?
4. Na akých predpokladoch je založený diskrétny model jednoduchej obnovy?
5. Aké symboly sa používajú na zostavenie diskrétneho modelu jednoduchej obnovy
a vysvetlite ich význam.
6. Ako sa vypočíta očakávaný čas prevádzky objektu – priemerná životnosť objektu?
7. Napíšte model jednoduchej obnovy.
8. Ktoré hodnoty musíme mať zadané, aby sme mohli riešiť model jednoduchej obnovy?
9. Akými spôsobmi možno riešiť model jednoduchej obnovy?
10. Napíšte tabuľku vekovej štruktúry pre T = 3 a n = 6.
11. V čom je rozdiel medzi modelom jednoduchej obnovy a modelom rozšírenej obnovy?
12. Napíšte tabuľku vekovej štruktúry pri rozšírenej obnove pre T = 4 a n = 6.
13. Napíšte model rozšírenej obnovy pre T = 4 a n = 6.
14. Akú úlohu možno riešiť pomocou modelu rozšírenej obnovy a aké hodnoty musíme mať
zadané, aby sme mohli model riešiť?
Literatúra k 2. kapitole
1. BAŠTA, A., ROLLO, J. Metody operační analýzy II. Praha: Vydavatelství ČVUT, 1969.
2. IVANIČOVÁ, Z., BREZINA, I., PEKÁR, J. Operačný výskum. Bratislava: Iura Edition,
2002. 287 s. + 1 CD-ROM. ISBN 80-89047-43-2
3. IVANIČOVÁ, Z., BREZINA, I., PEKÁR, J. Prípadové štúdie z operačného výskumu.
Bratislava: Ekonóm, 1999. ISBN 80-225-1180-3
99
4. Metódy ekonomickej analýzy. Skriptá. [online]. [cit. 2010-07-30] Dostupné na
<:http://ep.tuke.sk/pdata/11195/documents/metody_ekonomickej_analyzy__pomocne_materi
aly_/metody_ekonomickej_analyzy-skripta.doc >.
5. SAKÁL, P., JERZ, V. Operačná analýza v praxi manažéra. Trnava: SP SYNERGIA, 2003.
ISBN 80-968734-3-1
6. SAKÁL, P., ŠTRPKA, A. Operačná a systémová analýza. Bratislava: SVŠT, 1983.
85-425-83
7. UNČOVSKÝ, L. Stochastické modely operačnej analýzy. Bratislava: Alfa, 1980.
8. WALTER, J. Stochastické modely v ekonomii. Praha: SNTL, 1970.
9. WALTER, J. a kol. Operační výzkum. Praha: SNTL, 1973.
100
3 MODELY HROMADNEJ OBSLUHY
Charakteristickým rysom súčasného života je, okrem iného, problém hromadnej obsluhy
(HO). Ide o také situácie, ktoré sa vyskytujú vo výrobnej i nevýrobnej sfére, kedy vznikajú
náhodne, hromadne a trvalo požiadavky na určitý druh obsluhy.
Tento jav je produktom zmien, ktoré nastali vo všetkých oblastiach ľudskej činnosti
v dôsledku neustáleho vývoja výrobných síl a neustále sa prehlbujúcej spoločenskej deľby práce
a kooperácie a ktoré sa prejavujú v zhromažďovaní stále viacerých procesov najrôznejšieho
druhu.
Zhromažďovanie procesov spočíva v tom, že v týchto procesoch sa vyskytujú prúdy
objektov, ktoré požadujú určitý druh obsluhy od iných objektov. Prúdy objektov majú obyčajne
charakter náhodných prúdov, to znamená, že počet objektov, ktoré požadujú súčasne určitý druh
obsluhy je do značnej miery závislý od náhody a taktiež trvanie obsluhy jednotlivých objektov
môže byť rôzne, v dôsledku náhodných vplyvov.
Problém HO tkvie v určení pomeru medzi objektmi obsluhovanými a obsluhujúcimi tak, aby
jednak sa zbytočne nevytváral rad (front) čakajúcich na obsluhu pred obsluhujúcimi zariadeniami
a jednak, aby obsluha bola efektívna a ekonomicky vyvážená.
Proces uspokojovania náhodne a hromadne vznikajúcich požiadaviek na obsluhu nazývame
procesom hromadnej obsluhy.
Kvantitatívnu stránku študuje tzv. teória hromadnej obsluhy, za účelom vytvoriť
matematické modely, vzťahy, ktoré by umožnili charakterizovať kvalitu procesu HO.
Teória hromadnej obsluhy (THO) sa ako súčasť počtu pravdepodobnosti vyvíjala dávno
pred vznikom operačnej analýzy: jej zakladateľ, dánsky inžinier Erlang, aplikoval THO pred 1.
svetovou vojnou na problémy telefónnej prevádzky. Neskôr, okolo roku 1930, bol prácou
matematikov Kolmogorova a Chinčina spresnený a rozvinutý matematický aparát THO ako
súčasti teórie stochastických procesov.
Matematické modely THO sú vždy dynamické a väčšinou stochastické (s náhodným
vznikom požiadaviek na obsluhu a náhodným trvaním obsluhy).
101
Matematický aparát THO je veľmi rozsiahly, tvoria ho okrem počtu pravdepodobnosti
špeciálne teórie stochastických procesov a ďalšie časti matematiky (diferenciálne rovnice,
integrálne rovnice, Laplaceova transformácia atď.)
3.1 ZÁKLADNÉ POJMY THO
Medzi základné pojmy THO patria:
- Požiadavka – požiadavka na uspokojenie akejkoľvek potreby. Zovšeobecňuje všetky možné
druhy objednávok obsluhy, ktoré uplatňujú najnovšie objekty. Stotožňujeme ju s jej
nositeľom.
- Zdroj požiadaviek – vytvára ho množina objektov, ktoré sú potencionálnymi nositeľmi
požiadaviek. Zdroj požiadaviek je nekonečný (neobmedzený), ak pravdepodobnosť vzniku
požiadavky nezávisí od počtu objektov, ktoré sú práve v obsluhe. V opačnom prípade
považujeme zdroj požiadaviek za konečný (obmedzený).
- Prúd požiadaviek (vstupný prúd) – časová postupnosť požiadaviek na obsluhu. Vytvárajú ho
okamihy vzniku požiadaviek na obsluhu. Jeho skúmanie je prioritnou úlohou z hľadiska
reorganizácie obsluhy z dôvodu jej zefektívnenia.
- Obsluha – uspokojenie požiadaviek objektov, ktoré sa predtým nachádzali v zdroji
požiadaviek, obsluhujúce objekty sa opäť obyčajne vracajú do zdroja požiadaviek bez
ohľadu na kvalitu obsluhy, ktorú v THO neuvažujeme.
- Obsluhujúci kanál (stanice, zariadenia) – objekty, ktoré vykonávajú obsluhu, pričom každý
z kanálov je schopný v ľubovoľnom okamihu obsluhovať iba jednu požiadavku.
- Uzol obsluhy – jeden alebo niekoľko obsluhujúcich kanálov usporiadaných paralelne.
- Rad (front) – množina čakajúcich požiadaviek na obsluhu. Rad sa nemusí vytvárať fyzicky
pred uzlom obsluhy. Rad charakterizujeme maximálne prípustnou dĺžkou, ktorá môže byť
obmedzená, neobmedzená alebo účelová. Môže pozostávať z tzv. trpezlivých alebo
netrpezlivých požiadaviek. Trpezlivé požiadavky čakajú v rade, až pokým nie sú obslúžené,
netrpezlivé iba určitý čas.
102
- Systém obsluhy – tvorí rad čakajúcich požiadaviek spolu s uzlom obsluhy.
- Čas obsluhy – predstavuje čas, ktorý vynaloží jeden kanál (stanica) obsluhy na obslúženie
jednej požiadavky, pričom sa predpokladá, že ak sa obsluha požiadavky, ktorá vstúpila do
systému obsluhy skončila, objednávka na obsluhu sa celkom uspokojila.
3.2 KLASIFIKÁCIA SYSTÉMOV HROMADNEJ OBSLUHY
Proces hromadnej obsluhy možno chápať ako systém cieľovo definovaný na reálnych
objektoch.
Štruktúru systému tvoria tri zložky (prvky):
- zdroj požiadaviek,
- rad (front) čakajúcich požiadaviek na obsluhu,
- uzol obsluhy
a väzby medzi nimi (obr. 3-1).
I napriek tomu, že priebeh procesu HO je v základných črtách vo všetkých prípadoch
rovnaký – požiadavky vstupujú do systému obsluhy a sú obsluhované obsluhujúcimi kanálmi –
každý SHO má svoje zvláštnosti, ktoré ho odlišujú od iného SHO.
SHO potom delíme:
1. Z hľadiska správania sa požiadavky, keď sú všetky stanice obsadené:
- systémy so stratami,
- systémy bez strát,
- systémy zmiešané.
103
Obr. 3-1 Štruktúra systému hromadnej obsluhy
Legenda: ZP – zdroj požiadaviek, F – front, KO – kanál obsluhy.
SHO so stratami – systém bez čakania charakteristický tým, že požiadavka nečaká na
začiatok obsluhy, ak sú pri jej vstupe do systému obsluhy všetky kanály obsadené, ale opustí
systém neobslúžená. Táto požiadavka je pre obsluhu v tomto systéme stratená – nevytvára rad.
SHO bez strát – systém s čakaním charakteristický tým, že požiadavka, ktorá vstúpila do
systému obsluhy, môže ho opustiť iba vtedy, keď je úplne obslúžená. Požiadavky, ktoré
prichádzajú v okamihu, keď sú všetky obsluhujúce kanály obsadené, vytvárajú rad (front) –
čakajú, kým sa nedostanú do obsluhy.
Prakticky sú možné tieto spôsoby vstupu do obsluhy:
- požiadavky sú obsluhované v takom poradí, v akom prichádzajú do systému obsluhy
(FIFO),
- požiadavky sa z radu vyberajú náhodne,
- požiadavky postupujú do obsluhy podľa priority,
- požiadavka, ktorá prišla posledná je obslúžená ako prvá (LIFO).
Zmiešané obsluhujúce systémy sú charakteristické existenciou niektorých prechodných
podmienok:
ZP F
KO
KO
KO
uzol obsluhy
104
- ohraničenie času čakania na začiatok obsluhy (ak čas čakania prekročí určitú hodnotu,
požiadavka opustí systém obsluhy neobslúžená, ak sa však v rámci určeného intervalu
obsluhy začala musí sa aj ukončiť nezávisle od trvania obsluhy),
- ohraničenie zdržania sa požiadavky v systéme obsluhy (ak celkový čas zdržania sa
požiadavky v systéme obsluhy prekročí určenú hodnotu, požiadavka opúšťa systém
obsluhy nezávisle od toho, či sa obsluha začala, alebo nie a ak sa začala, bez ohľadu na to
, či sa skončila – bežná prehliadka vlakov na železničnej stanici),
- ohraničenie dĺžky radu, ak je v rade určený počet požiadaviek, systém obsluhy každú
ďalšiu požiadavku odmietne.
2. Z hľadiska počtu obsluhujúcich kanálov (staníc) v systéme obsluhy:
- systém s konečným počtom obsluhujúcich staníc,
- systém s nekonečným počtom obsluhujúcich staníc.
3. Z hľadiska počtu požiadaviek, ktoré sa môžu súčasne nachádzať v systéme obsluhy:
- systém s ohraničeným počtom požiadaviek (rad čakajúcich požiadaviek je konečný) –
uzavreté SHO,
- systém s neohraničeným počtom požiadaviek (nekonečný rad) – otvorené systémy HO.
4. Podľa usporiadania kanálov obsluhy:
- systém s jednofázovou obsluhou – obsluhujúce kanály sú usporiadané paralelne, každý
kanál je schopný obslúžiť kompletne požiadavku,
- systémy s viacfázovou obsluhou – obsluhujúce kanály sú usporiadané sériovo alebo
zmiešane, požiadavka, aby bola úplne obslúžená, musí prejsť postupne cez všetky kanály
v danom poradí.
5. Podľa toho, v akom poradí môžu požiadavky prechádzať kanálom:
- usporiadané systémy (ak sú v ňom obsluhujúce kanály očíslované, požiadavka, ktorá je
na rade, postúpi najprv k prvému kanálu, ak je tento obsadený k druhému kanálu, atď.),
- neusporiadané systémy (ostatné).
105
6. Podľa správania sa:
- deterministické (ak sú vopred presne známe okamihy vstupov požiadaviek do systému
obsluhy a vopred známy aj čas obsluhy každej požiadavky),
- stochastické (ak intervaly medzi vstupmi dvoch za sebou nasledujúcich požiadaviek do
systému obsluhy sú náhodné čísla a čas obsluhy je náhodnou veličinou). Nás zaujímajú!
3.2.1 Parametre a ukazovatele efektívnosti práce systémov hromadnej obsluhy
Proces HO, ako každý systém, možno charakterizovať jednak parametrami procesu, jednak
veličinami, ktoré sú funkciou parametrov procesu a charakterizujú samotný priebeh procesu.
Parametre procesu musíme poznať, ak chceme skúmať priebeh procesu. Veličiny
charakterizujúce priebeh procesu sú výsledkom tohto skúmania.
Parametre sa vzťahujú na jednotlivé prvky procesu obsluhy a charakterizujú ich nasledovne:
- zdroj požiadaviek – intenzitou vstupu požiadaviek do systému obsluhy, ktorá predstavuje
priemerný počet požiadaviek, ktoré vstúpia do systému za časovú jednotku,
- uzol obsluhy – intenzitou obsluhy, ktorá predstavuje priemerný počet požiadaviek,
obslúžených jedným nepretržite pracujúcim kanálom za časovú jednotku,
- rad (front) – dĺžka frontu, maximálne prípustný počet požiadaviek čakajúcich v rade na
obsluhu,
- intenzita prevádzky - podiel intenzity vstupu a intenzity obsluhy (tiež prevádzkový
koeficient).
Veličiny, charakterizujúce priebeh procesu HO nazývame ukazovatele efektívnosti práce
SHO. Sú to číselné charakteristiky typu stredných hodnôt a pravdepodobností. Medzi najčastejšie
používané patria:
- pravdepodobnosť, že všetky obsluhujúce kanály sú voľné,
- pravdepodobnosť, že je obsadených práve k kanálov,
- pravdepodobnosť, že sú obsadené všetky kanály,
- pravdepodobnosť, že čas čakania na začiatok obsluhy je menší alebo väčší ako určitá
hodnota,
106
- priemerný počet obsadených kanálov,
- priemerný počet voľných kanálov,
- priemerný počet požiadaviek čakajúcich na začiatok obsluhy (priemerná dĺžka radu),
- priemerný počet požiadaviek nachádzajúcich sa v obsluhujúcom systéme,
- priemerný čas čakania na začiatok obsluhy,
- priemerný čas zdržania sa požiadavky v obsluhujúcom systéme,
- koeficient prestoja obsluhujúceho kanálu,
- koeficient využitia obsluhujúceho kanálu,
- koeficient prestoja obsluhovanej požiadavky a pod.
Tieto a ďalšie číselné charakteristiky slúžia buď na kontrolu, či navrhnutý obsluhujúci
systém má predpoklady na splnenie požiadaviek, ktoré budú naň kladené, alebo na rozhodovanie
pri výbere najvhodnejšieho systému vzhľadom na určité kritérium z viacerých možných
alternatív organizácie systému.
Ktoré číselné charakteristiky použijeme, závisí od SHO a od účelu analýzy.
3.3 MODELY SHO
Všeobecne modelom SHO nazývame také zjednodušené znázornenie tohto systému, ktoré
odráža jeho podstatné a reálne vlastnosti.
Vytvorenie modelu SHO predpokladá špecifikovať tri základné fázy procesu HO:
1. Vstupný prúd.
2. Proces obsluhy.
3. Čakanie požiadaviek na obsluhu.
1. Vstupný prúd požiadaviek
Zaujímajú nás tieto otázky:
• Akú povahu má prúd požiadaviek, či je:
− deterministický,
107
− stochastický.
• Aký je celkový počet požiadaviek v prúde:
− konečný (ohraničený),
− nekonečný (neohraničený).
• Aký je prúd z hľadiska požadovanej obsluhy jednotlivými požiadavkami:
− rovnorodý (ak všetky požiadavky vyžadujú rovnaký druh obsluhy),
− rôznorodý (opačne).
• Či požiadavky vstupujú do systému jednotlivo alebo po skupinách.
• Či intenzita vstupu je konštantná, alebo sa mení v priebehu procesu obsluhy.
V praxi sa vyskytujú rôzne kombinácie uvedených znakov.
Z hľadiska modelovania procesov vstupu požiadaviek do systému obsluhy sú vhodné prúdy,
ktoré majú tieto tri vlastnosti:
� sú stacionárne,
� sú ordinárne,
� sú bez následných účinkov.
Stacionárny prúd, to znamená, že pravdepodobnosť vstupu určitého počtu požiadaviek za
určitý časový interval )( 12 tt − nezávisí od určenia počiatku časového úseku 1t , ale od rozdielu
)( 12 tt − , čiže od dĺžky intervalu.
Ordinárny prúd, to znamená, že súčasný vstup viac ako jednej požiadavky do systému
obsluhy je prakticky nepravdepodobný; matematicky môžeme vlastnosť ordinárnosť vyjadriť
takto:
0)(
lim0
=∆∆
→∆ t
tt
ϕ ,
kde )(tϕ je pravdepodobnosť vstupu (vzniku) najmenej dvoch požiadaviek za časový interval t∆ .
Bez následných účinkov, to znamená, že počet požiadaviek, ktoré vstúpili do systému
obsluhy po uplynutí časového okamihu t, nezávisí na tom, aký počet požiadaviek vstúpil do
systému do okamihu t.
108
Prúdy s uvedenými vlastnosťami sa v praxi často vyskytujú. Nazývajú sa najjednoduchšie
prúdy alebo tiež Poissonove prúdy, pretože náhodná veličina predstavujúca počet požiadaviek
vzniknutých za časový interval (0, t) má Poissonovo rozdelenie pravdepodobnosti s parametrom
tλ .
Pravdepodobnosť, že za časový interval (0, t) vstúpi práve k požiadaviek:
2,...) 1, 0,( !
)()( == − ke
k
ttP t
k
kλλ
[3.1]
Z matematickej štatistiky je známe, že parameter Poissonovho zákona sa rovná práve
strednej hodnote )(kEt aj disperzii )(kDt Poissonovho rozdelenia pravdepodobnosti:
∑∑ ∑∞
=
−∞
=
∞
=
− =−
====1
1t-
1 1 )!1(
)( e
!
)()()()(
k
k
k k
tk
ktt tk
tte
k
tktkPkDkE λλλλ λλ
tk
ke
k
t λλ =−
−
∞→− )!1(
)(lim
1
)1(
(Súčet ∑∞
=
−
−1
1
)!1(
)(
k
k
k
tλ je rozvojom funkcie teλ podľa exponentu λt do radu).
Ak zvolíme t=1, potom λ== )()( 11 kDkE . Čiže λ predstavuje strednú hodnotu počtu
požiadaviek, ktoré vstúpili do systému obsluhy za časovú jednotku = intenzite vstupného prúdu
(intenzita vstupu). Ak poznáme λ, potom máme najjednoduchší prúd determinovaný.
Všeobecne platí: Ak náhodná veličina predstavujúca počet požiadaviek, ktoré vzniknú za
časový interval (0,t) má Poissonovo rozdelenie, potom časové intervaly medzi vznikom dvoch po
sebe nasledujúcich požiadaviek sú náhodné veličiny s exponenciálnym rozdelením.
Dôkaz: zo (3.1) platí: ak k=0, potom pravdepodobnosť, že za časový interval (0,t) nevznikne ani
jedna požiadavka:
tt eet
tP λλλ −− ==!0
)()(
0
0 .
Potom pravdepodobnosť, že počas intervalu (0,t) vznikne aspoň jedna požiadavka, t.j.:
109
t
kkk etPtP λ−
∞
=≥ −==∑ 1)()(
11 .
Ale rozdiel )1( te λ−− je distribučnou funkciou exponenciálneho rozdelenia:
0)( e-1
0)( pre 0 )()(t- ≥
<=<=t
ttPtFλ
τ .
Slovne interpretované: F(t) je pravdepodobnosť, že časový interval τ medzi vznikom dvoch po
sebe nasledujúcich požiadaviek bude menší alebo rovný ako hodnota t.
Prevažná väčšina matematických modelov, ktoré sa uvádzajú v odbornej literatúre je
konštruovaná na základe predpokladu, že počet požiadaviek, ktoré vstúpia do systému obsluhy za
určitý časový interval, je náhodná veličina riadiaca sa Poissonovým zákonom rozdelenia.
Tento predpoklad musíme v danom konkrétnom prípade preskúmať. Postupujeme dvoma
spôsobmi:
- na základe kvalitatívnych úvah zdôvodníme určité vlastnosti prúdu požiadaviek, takéto
úvahy sú nepresné a používajú sa pri vypracovaní projektových štúdií,
- na základe využitia metód matematickej štatistiky odhadneme povahu vstupného prúdu a
štatistickým spracovaním výsledkov, získaných o vstupnom prúde z evidencie, z noriem
alebo výberovým štatistickým šetrením zostavíme empirické rozdelenie a pomocou testov
dobrej zhody zisťujeme, či možno aproximovať toto empirické rozdelenie nejakým
teoretickým rozdelením.
Ak zistíme na základe štatistických testov, že na opis vstupného prúdu nemožno použiť
žiadne z teoretických rozdelení, ktoré sú predpokladom použitia existujúcich matematických
modelov na riešenie, použijeme metódu simulácie. Táto metóda však predpokladá poznať
empirické rozdelenie početnosti vstupného prúdu.
2. Proces obsluhy
Zaujímajú nás pri jeho riešení hlavne tieto otázky:
• Akú povahu má čas obsluhy jednej požiadavky:
− deterministický,
− stochastický.
110
• Či je intenzita obsluhy konštantná alebo sa mení v priebehu času obsluhy.
• Či ide o jednofázovú alebo viac fázovú obsluhu.
• Koľko je kanálov obsluhy; či je stály alebo sa môže meniť v priebehu procesu obsluhy.
• Či sú kanály z hľadiska poskytovaného druhu obsluhy:
− rovnorodé,
− nerovnorodé.
• Či ide o usporiadaný alebo neusporiadaný systém obsluhy (potom nás zaujíma predpis
obsadzovania kanálov požiadavkami).
• Či je kanál rovnako prístupný všetkým požiadavkám, ktoré vstupujú do obsluhy.
• Aká je prevádzková spoľahlivosť kanálov, či sú absolútne spoľahlivé, alebo sa môžu pokaziť
počas prevádzky.
Najdôležitejšia otázka je čas obsluhy, ktorý charakterizuje prácu každého jednotlivého
kanála z hľadiska toho, koľko času vynaloží daný kanál na obslúženie jednej požiadavky. Čas
obsluhy charakterizuje teda iba priepustnosť jednej obsluhujúcej stanice a nemá nič spoločného
s hodnotením kvality obsluhy.
Vo všeobecnosti považujeme čas obsluhy za náhodnú veličinu. Čím je náhodnosť
ovplyvnená?
- ak obsluhu vykonáva človek, čas obsluhy je aj za absolútne ideálnych požiadaviek rôzny
u každého jednotlivca (závisí od zručnosti, zodpovednosti, momentálnej fyzickej a duševnej
disponovanosti a pod.),
- ak obsluhu vykonáva stroj, môže sa čas obsluhy meniť v závislosti od prevádzkových
charakteristík, typu stroja, atď.
Modely SHO sú v prevažnej väčšine zostavované na základe predpokladu, že čas obsluhy
má:
• exponenciálne rozdelenie,
• Erlangovo rozdelenie ,
• Je deterministická veličina.
Z hľadiska teórie i praxe v oblasti modelovania SHO má veľký význam exponenciálny zákon
rozdelenia času obsluhy. Predpoklad o jeho existencii je opodstatnený najmä pri takých
111
obsluhách, kde pravdepodobnosť, že obsluha sa končí krátko po začatí je veľká a kde rozdelenia
tej časti obsluhy, ktorá ešte zostáva, nezávisí od toho, ako dlho už obsluha trvá.
V prípade exponenciálneho rozdelenia času obsluhy má distribučná funkcia času obsluhy
F(t) (t. j. pravdepodobnosť, že požiadavka bude uspokojená v čase t) tvar:
1)()( 0tetPtF µτ −−=≤= , kde
0τ - čas obsluhy,
µ - parameter rozdelenia, predstavuje priemerný počet požiadaviek obslúžených jedným
kanálom za časovú jednotku - intenzita obsluhy,
µ1
- stredná hodnota času obsluhy jednej požiadavky - priemerný čas obsluhy.
Predpoklad exponenciálneho rozdelenia času obsluhy je motivovaný snahou čo najviac
zjednodušiť konštrukciu modelov SHO. Overenie tohto predpokladu robíme analogicky ako pri
vstupnom prúde:
− kvalitatívnymi úvahami,
− metódami matematickej štatistiky.
Ak máme preskúmaný vstupný prúd a proces obsluhy určitého SHO, môžeme daný systém
označiť v literatúre bežne používaným Kendallovým spôsobom:
typ vstupného prúdu / typ obsluhy / počet kanálov obsluhy.
Jednotlivé typy vstupných prúdov a typy obsluhy sa označujú takto:
M - označuje Poissonov proces vstupu a exponenciálne rozdelenie času obsluhy.
nE - Erlangov proces vstupu a Erlangovo rozdelenie času obsluhy n-tého stupňa.
GI - všeobecné rozdelenie vstupov.
G - všeobecné rozdelenie času obsluhy.
D - deterministický vstup a deterministická obsluha.
Pod pojmom „všeobecné rozdelenie“ sa tu rozumie, že neexistujú žiadne konkrétne
predstavy o funkcii rozdelenia pravdepodobnosti požiadaviek a obsluhy.
112
Napr.: SHO s najjednoduchším vstupným prúdom požiadaviek, s exponenciálnym rozdelením
času obsluhy a dvoma paralelnými kanálmi obsluhy zapíšeme takto: M/M/2.
3. Proces čakania
Treba zistiť:
• ako sa správajú požiadavky vstupujúce do systému obsluhy, keď sú všetky kanály obsadené,
či sú ochotné čakať na obsluhu – trpezlivé požiadavky alebo nevstúpia do systému obsluhy –
netrpezlivé požiadavky,
• či je rad čakajúcich požiadaviek ohraničený, alebo nie,
• či sa požiadavka môže zdržať v systéme obsluhy ľubovoľne dlho, alebo či je čas zdržania
limitovaný,
• akým spôsobom vstupujú požiadavky do obsluhy z radu, atď.
Výsledkom skúmania 3 zložiek procesu HO je určenie základných parametrov modelu SHO.
MSHO sa zostavujú za účelom riešenia dvoch základných typov úloh:
- na základe známych zadaných alebo zistených parametrov systému určujú sa hodnoty
číselných charakteristík systému,
- optimalizuje sa činnosť systému prostredníctvom zmeny parametrov systému.
Na riešenie týchto úloh sa najčastejšie používajú matematické a simulačné modely.
3.3.1 Matematické modely SHO
MM SHO – je matematické vyjadrenie funkčných závislostí medzi zistenými
charakteristikami efektívnosti práce systému HO a medzi veličinami určujúcimi podmienky práce
systému, t.j. parametrami systému.
Na to sa používajú prostriedky matematickej analýzy a teórie pravdepodobnosti a postup
riešenia je nasledovný:
113
- na základe špecifikácie troch základných fáz procesu HO zostaví sa matematický
(analytický) model SHO v tvare diferenciálnych rovníc,
- analytickým riešením tohto modelu sa získavajú vzťahy na výpočet hodnôt číselných
charakteristík systému.
Konštrukciou a riešením MM SHO sa zaoberá teória HO, ktorá vytvorila už veľa modelov
jednoduchších i špeciálnych.
Pri zostavovaní matematických modelov sa vychádza z presne definovaných hypotéz o
modelovom systéme. Model, ktorý takto zostavíme, platí iba za predpokladu, že platia hypotézy,
na základe ktorých bol model zostrojený.
Nevýhody MM SHO:
� Vzťahy na výpočet hodnôt číselných charakteristík získané analytickým riešením modelov
sú značne zložité a ich praktické použitie je bez výpočtovej techniky a bez nomogramov a
tabuliek na tento účel vyhotovených veľmi ťažkopádne.
� Zložitejšie modely sa analyticky nedajú vôbec riešiť alebo ich riešenie je veľmi náročné.
� Vychádzajú z predpokladu, že náhodné veličiny vystupujúce v systéme majú exponenciálne
rozdelenie.
� Ak náhodné veličiny nemožno aproximovať so žiadnym zo štandardných rozdelení, je
analytický postup nerealizovateľný aj pri najjednoduchších prípadoch HO.
� Sú ťažko použiteľné alebo vôbec nepoužiteľné aj vtedy, keď sú zložitejšie pravidlá činnosti
systému.
Tieto nevýhody sú ľahko odstrániteľné simulačnými modelmi.
Postup pri zostavovaní matematických modelov SHO a analytické riešenie týchto modelov si
ukážeme pri modelovaní jednokanálových a viackanálových systémov.
3.3.1.1 Modely jednokanálových systémov typu M/M/1
M- Poissonov proces vstupu a exponenciálne rozdelenie času obsluhy
Predpokladajme, že treba zostaviť MM systému M/M/1 s nasledovnými vlastnosťami:
− vstup (prúd) požiadaviek je najjednoduchší prúd, neohraničený s intenzitou vstupu λ,
114
− čas obsluhy je náhodná veličina, ktorá má exponenciálny zákon rozdelenia s intenzitou
obsluhy µ,
− ak je kanál obsadený, požiadavky vytvárajú rad a čakajú, až pokým nie sú obslúžené,
− dĺžka radu je neohraničená,
− požiadavky vytvárajúce rad sa obsluhujú v poradí, v ktorom sa postavia do radu,
− kanál obsluhy je z hľadiska prevádzky absolútne spoľahlivý.
Riešením tohto modelu máme vytvoriť vzorce na výpočet základných charakteristík systému,
ako sú:
− priemerný počet požiadaviek v systéme n ,
− priemerný počet požiadaviek vo fronte jn ,
− priemerný čas zdržania sa požiadavky v systéme sT ,
− priemerný čas čakania požiadavky vo fronte fT .
Analytickým modelom tohto systému je sústava lineárnych diferenciálnych rovníc, ktorá
vyjadruje vzťah medzi časom čakania a časom obsluhy. Túto sústavu môžeme zostaviť na
základe pravdepodobnostného opisu stavov, v ktorých sa môže obsluhujúci systém v každom
okamihu nachádzať. Používame pri tom tieto označenia:
n - počet požiadaviek, ktoré sa nachádzajú v systéme v čase t,
fn - počet požiadaviek, ktoré sú v čase t vo fronte,
)t(Pn - pravdepodobnosť, že sa nachádza n požiadaviek v systéme v čase t,
∆t - ľubovoľne malý časový interval,
λ∆t - pravdepodobnosť, že jedna požiadavka vstúpi do systému v časovom intervale (t, t+∆t),
µ∆t - pravdepodobnosť, že za časový interval (t, t+∆t) bude obslúžená práve jedna požiadavka
(čiže vystúpi zo systému),
nS - stav systému, ak je v ňom v čase t práve n požiadaviek.
Predpokladajme, že určitý systém je už v činnosti počas intervalu (0, t) a že v okamihu t sa
dostal do určitého stavu. Nás bude zaujímať, aká je pravdepodobnosť, že sa systém dostane
z tohto stavu za určitý časový interval ∆t do stavu nS :
115
)( ttPn ∆+
Na základe poznatkov z teórie pravdepodobnosti vyjadríme pravdepodobnosť )( ttPn ∆+ , t.j.
pravdepodobnosť, že v čase (t+∆t) bude v systéme práve n požiadaviek ako súčet štyroch
zložených pravdepodobností:
)()1()(P
)1()()1)(1)(()(
1-n
1
tttPttt
tttPtttPttP
n
nnn
∆∆+∆−∆++∆+∆+∆−∆−=∆+ +
µλµλλµµλ
[3.2]
)1( t∆− λ - pravdepodobnosť, že počas intervalu ∆t neprišla do systému požiadavka,
)t1( ∆µ− - pravdepodobnosť, že počas intervalu ∆t nebola obslúžená systémom požiadavka, čiže
zo systému nevystúpila požiadavka.
Máme pritom stále na mysli ordinárny prúd, t.j., že za ľubovoľne malý okamžik vstúpi do
systému práve 1 požiadavka. To znamená, že systém sa mohol dostať do stavu nS iba zo stavov
1n1-n ,S,S +nS .
Po jednoduchej matematickej úprave rovnice (3.2) a vynechaním sústav obsahujúcich (∆t)²
dostaneme:
[ ] )()(1)()(P
)()()()()(
111n
1
ttPttPtttPtt
ttPttPtPttPttP
nnn
nnnnn
∆+∆+∆−∆−=∆++∆−∆−+∆=∆+
−++
−
λµµλµµλλ
. [3.3]
Predelíme celú rovnicu [3.3] ∆t a dostaneme:
)()()()()()(
11 tPtPtPt
tPttPnnn
nn+− ++−=
∆−∆+ µµλλ .
Za predpokladu, že 0→∆t , získame pre spojitú funkciu )(tPn diferenciálnu rovnicu:
)()()()()(
1)0(
1 tPtPtPdt
tdPnn
nn
n+
>− µ+µ+λ−λ= . [3.4]
116
Analogicky by sme mohli odvodiť i diferenciálnu rovnicu pre n=0:
(t))()(
100 PtPdt
tdP µλ +−= . [3.5]
Ak pripíšeme k rovnici [3.4] rovnicu [3.5], dostaneme sústavu lineárnych diferenciálnych rovníc:
0n pre (t),P(t)P-(t)P
1,2,...n (t),P(t))P(-(t)P(t)P
100
1nn1-nn
=µ+λ=′=µ+µ+λλ=′ + , [3.6]
ktorá je matematickým modelom uvažovaného systému.
Riešenie takejto sústavy je zložité. Ukážeme si iba spôsob stacionárneho (limitného) riešenia.
Predpokladajme:
konšt.p(t)Plim nnt
==∞→
n = 0, 1, 2, ... , [3.7]
- pričom pn sú konštantné čísla nezávislé na čase (pravdepodobnosti).
Prechod k limitnému riešeniu je opodstatnený vtedy, keď systém pracuje dostatočne dlho a je
už v ustálenom (stacionárnom) stave. V takomto prípade pravdepodobnosť, že v systéme je práve
n požiadaviek nezávisí od času. Pre ustálený stav platí: 0,1,2,...n , )(Pn == npt a
0).()( =′=′ konšttPn .
Potom sústavu [3.6] zmeníme na sústavu homogénnych lineárnych rovníc:
2,... 1, pre )(p0
0 pre 0
11-n
10
=++−==+−=
+ npp
npp
nn µµλλµλ
, [3.8]
kde ,...,...,, 10 nppp sú neznáme hodnoty. Postupným dosadzovaním ich môžeme vyjadriť ako
funkciu 0p . Z prvej rovnice [3.8] dostaneme:
01 ppµλ=
117
Pre n = 1:
2000
210
0
)(0
pppp
ppp
µµλµ
µλλλ
µµλλ
+−−=
++−=
, 0
2
2 pp
=
µλ
atď. až:
M
p 0n pn
=
µλ
. [3.9]
Vzťah na výpočet hodnoty p0 získame na základe skutočnosti, že v nejakom stave sa
systém musí nachádzať a nemôže sa súčasne nachádzať v dvoch alebo viacerých stavoch, čiže
všetky možné stavy, v ktorých sa systém môže nachádzať, vytvárajú úplný súbor javov, a teda
musí platiť:
∑∞
=
=++++=0
20 1)...1(
n
nn pp ρρρ , [3.10]
kde µλρ = - intenzita prevádzky, prevádzkový koeficient procesu HO.
Z [3.10] vyjadríme 0p :
...)...1(1
0
120
−∞
=
−
=+++++= ∑n
nnp ρρρρ , [3.11]
kde ...)...1( 2 +++++ nρρρ je nekonečný geometrický rad s kvocientom ρ.
Aby front v systéme nerástol do nekonečna, musí byť ρ<1, t.j. intenzita vstupu λ musí byť
menšia ako intenzita obsluhy µ: λ<µ.
Táto podmienka však zaručuje, že geometrický rad v [3.11] je konvergentný, a teda musí
preň platiť, že:
1
1
0∑
∞
= −=
n
n
ρρ . [3.12]
118
Potom ρ−= 10p , [3.13]
pričom p0 je pravdepodobnosť, že v systéme nebude ani jedna požiadavka.
A dosadením 0p do [3.9] dostaneme:
)1( nnp ρρ−= n = 1, 2, .... [3.14]
Tým sme získali riešenie sústavy [3.8], ktoré sa nazýva aj stacionárnym riešením. Na základe
tohto riešenia môžeme odvodiť vzorce pre výpočet základných charakteristík systému:
a) priemerný počet požiadaviek v systéme:
( )
11)1(
1)1(
1)1(
)1(1)1(.
2
0 0 1 1
1
nd
d
d
dnnpnn
n n n n
nnnn
=−
=−
=−
=−
−=−
⋅−=
=−=−=−==∑ ∑ ∑ ∑∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
−
λµλ
µλ
µλ
ρρ
ρρρ
ρρ
ρρρ
ρρ
ρρρρρρρ
[3.15]
b) priemerný počet jednotiek vo fronte:
1
11
)1(.)1(
22
1 10
1
λµλ
µρρρ
ρρρ
−⋅=
−=−
−=−=
=−−=−=−=∑ ∑∑∞
=
∞
=
∞
=
n
pnppnpnnn n
nn
nnf
[3.16]
c) priemerný čas zdržania sa požiadavky v systéme:
11
λµλµλ
λλ −=
−⋅== n
T s [3.17]
d) priemerný čas čakania požiadavky vo fronte:
1
λµµλ
λ −⋅== f
fn
T [3.18]
119
Príklad 3.1:
Na chladiacich aparatúrach, ktoré sa montujú do absorpčných chladničiek, sa po ich úplnom
zvarení vykonáva tlaková skúška na overenie tesnosti zvarovaných spojov. Malé netesnosti
zvarov sa kontrolujú v skúšobnej vani naplnenej čistou vodou tak, že natlakovaná aparatúra na
predpísaný tlak sa po uzatvorení ponorí do vody. Vo vode sa sleduje unikanie vzduchu po dobu
3 až 4 minúty, aby sa mohli odhaliť aj najmenšie netesnosti. Do skúšobne prichádzajú chladiace
aparatúry v nepravidelných intervaloch a priemerne za jednu zmenu príde 76 ks. Výroba prebieha
nepretržite, t.j. každý nasledujúci deň, resp. zmenu prichádzajú ďalšie aparatúry. Kontrolu
vykonáva jeden pracovník, ktorý je schopný skontrolovať za jednu zmenu 80 ks aparatúr.
Situáciu možno považovať za proces HO, kde požiadavkou je kontrola aparatúry, zdrojom
požiadaviek je zvarovňa aparatúr, obsluha má charakter kontroly a kanálom obsluhy je
pracovník vykonávajúci kontrolu. Za predpokladu, že intervaly medzi príchodom dvoch za sebou
nasledujúcich aparatúr a intervaly obsluhy majú exponenciálne rozdelenie, možno chápať tento
proces ako systém typu M/M/1:
− s neohraničeným, rovnorodým prúdom požiadaviek s intenzitou vstupu λ=76 ks/zmena a bez
priorít,
− s intenzitou obsluhy µ=80 ks/zmena,
− s neohraničenou dĺžkou frontu,
− aparatúry sa kontrolujú v takom poradí, v akom prišli do skúšobne.
Potom základne charakteristiky M/M/1:
a) priemerný počet aparatúr v skúšobni:
197680
76 =−
=−
=λµ
λn ,
b) priemerný počet aparatúr čakajúcich na kontrolu v skúšobni:
05,18)7680(80
761 22
=−
=λ−µ
λ⋅µ
=fn ,
c) priemerný čas zdržania sa aparatúry v skúšobni:
120
zmeny 25,076
19 ==λ
= nT s ,
d) priemerný čas čakania aparatúry v skúšobni na kontrolu je:
zmeny 24,076
05,18 ==λ
= ff
nT .
3.3.1.2 Modely viackanálových systémov typu M/M/S
A – Model systému so stratami – M/M/S
Predpokladajme, že pre systém HO s ďalej uvedenými vlastnosťami treba zostaviť
matematický model systému a riešením tohto modelu získať vzťahy na výpočet základných
charakteristík modelového systému, ako sú:
− pravdepodobnosť odmietnutia obsluhy (pravdepodobnosť straty požiadavky), t.j.
pravdepodobnosť, že všetky kanály sú obsadené,
− priemerný počet obsadených kanálov.
SHO má tieto vlastnosti:
− prúd požiadaviek je nekonečný, rovnorodý, najjednoduchší prúd s intenzitou vstupu λ,
− počet paralelne obsluhujúcich kanálov je s, pričom s je konečné číslo, a kanály sú
z hľadiska poskytovanej obsluhy ekvivalentné a rovnako dostupné,
− čas obsluhy jednej požiadavky je náhodná veličina s exponenciálnym zákonom rozdelenia a
s intenzitou obsluhy µ,
− každý kanál môže súčasne obslúžiť iba jednu požiadavku,
− ak v okamihu vstupu požiadavky do systému sú niektoré kanály voľné, požiadavka môže
vstúpiť na ľubovoľný z nich,
− požiadavka, ktorá vstupuje do systému v okamihu, keď sú všetky kanály obsadené nečaká,
ale odíde neobslúžená,
− kanály obsluhy sú z hľadiska prevádzky absolútne spoľahlivé.
121
Na zostavenie matematického modelu použijeme znovu pravdepodobnostný opis stavov,
v ktorých sa systém môže v každom okamihu nachádzať. Uvažovaný systém sa môže nachádzať
v jednom z týchto stavov:
− všetky kanály sú voľné,
− jeden kanál je obsadený,
− dva kanály sú obsadené, atď.,
− všetkých s kanálov je obsadených.
Počet všetkých stavov, v ktorých sa môže systém nachádzať je, s+1.
Použijúc známu symboliku, môžeme pravdepodobnosti opisu stavov formulovať takto:
− pravdepodobnosť, že v čase (t+∆t) nie je obsadený ani jeden kanál:
ttPttPttP ∆µ+∆λ−=∆+ )()1)(()( 100 ,
− pravdepodobnosť, že v čase (t+∆t) je obsadených práve k kanálov:
1-sk1 pre )1()(
)1)(()()(
1
1
≤≤∆+++∆−∆−+∆=∆+
+
−
tktP
tkttPttPttP
k
kkk
µµλλ
,
− pravdepodobnosť, že všetkých s kanálov je obsadených v čase (t+∆t):
)1)(()()( 1 tstPttPttP sss ∆µ−+∆λ=∆+ − .
V rovniciach chýbajú tie členy, ktoré obsahujú výrazy s (∆t)², ďalej platí:
µk∆t – pravdepodobnosť, že za čas (t+∆t) bude obslúžená jedna požiadavka, ak je v systéme
k požiadaviek,
µ(k+1)∆t – pravdepodobnosť, že za čas (t+∆t) bude obslúžená jedna požiadavka, ak je v systéme
(k+1) požiadaviek,
µs∆t – pravdepodobnosť, že za čas (t+∆t) bude obslúžená jedna požiadavka, ak je v systéme
s požiadaviek.
122
Ak predelíme tieto rovnice s ∆t a urobíme jednoduchú matematickú úpravu, dostaneme:
)()()()(P
1-sk1 pre ),(1)P(k
)()()()()(
)()()()(
1s
1k
1
1000
tsPtPt
tPtt
t
tPktPt
tPttP
tPtPt
tPttP
sss
kkkk
µλ
µ
µλλ
µλ
−=∆
−∆+≤≤++
++−=∆
−∆+
+−=∆
−∆+
−
+
−
[3.19]
Za predpokladu, že ∆t sa limitne blíži k nule, dostaneme z [3.19], pre spojité funkcie
)( ),...,( ),( s10 tPtPtP sústavu (s+1) lineárnych diferenciálnych rovníc:
)()1()()()()(
)()()(
11
100
tPktPktPtP
tPtPtP
kkkk +− +++−=′+−=′
µµλλµλ
pre 1sk1 −≤≤
)()()( 1 tsPtPtP sss µ−λ=′ − . [3.20]
Táto sústava [3.20] predstavuje model SHO s paralelne usporiadanými kanálmi. Z nej možno
vypočítať )(tPk pre k=0, 1, 2, ..., s ako funkcie parametrov λ a µ. Obmedzíme sa i tu iba na
limitné riešenie, ak predpokladáme:
) 2,..., 1, 0,( )(lim skptP kkt
==∞→
, [3.21]
dostaneme sústavu lineárnych homogénnych algebrických rovníc:
0
1)-(1
)1()(0
0
1-s
11
0110
s
kkk
spp
sk
pkpkp
pppp
µλ
µµλλµλµλ
−=≤≤
+++−=
=→+−=
+− [3.22]
Sústavu [3.22] riešime zavedením substitúcie:
123
1-1 )1( 11
1
skpkpx
kppx
kkk
kkk
≤≤+−=−=
+−
−
µλµλ
.
Tým zmeníme sústavu [3.22] na sústavu premenných kx , ktorá bude mať tvar:
0
1-1 pre 0
0
s
1
1
=≤≤=−
=
+
x
skxx
x
kk .
Riešením tejto sústavy zistíme, že 0...21 ==== sxxx .
To však znamená, že kk kpp µλ =−1
a skpk
p kk 2,..., 1, , 1 == −µλ
alebo
02
02
12
01
!
12.1
1
2
ps
p
ppp
pp
s ρ
ρρρ
=
==
=
.
Pre ľubovoľné k platí:
!
10p
kp k
k ρ= , k = 1, 2, ..., s [3.23]
a) kde sp - pravdepodobnosť odmietnutia požiadavky, t.j. pravdepodobnosť, že všetky kanály
budú obsadené:
0!
1p
sp s
s ρ=
b) priemerný počet obsadených kanálov:
01
011 )!1(!
. pk
pk
kpkks
k
kks
k
s
kk ∑∑∑
=== −=== ρρ
.
124
Platí:
00 0
0
1
1
pp
p
p
s
k
k
s
kk
=
=
∑
∑
=
=
∑ ∑=
−
=
==s
k
s
k
kk
kpk0
1
00
0 !
1p tohoz ,
1
!
1 ρρ .
Aj napriek tomu, že vzťah [3.23] bol získaný za predpokladu, že čas obsluhy má
exponenciálne rozdelenie, B.A. Sevastjanov dokázal, že vyhovuje aj ľubovoľnému zákonu
rozdelenia času obsluhy.
Príklad 3.2:
Prúd požiadaviek vstupujúcich do telefónnej ústredne je najjednoduchším prúdom
s priemerným počtom volaní za minútu 2.
Dĺžka telefónneho rozhovoru je náhodnou veličinou. Nech pravdepodobnosť dĺžky
rozhovoru t minút je tetF 21)( −−= , teda predpokladáme, že dĺžka rozhovoru má exponenciálne
rozdelenie s parametrom µ = 2.
Predpokladajme, že keď v okamihu vstupu volania sú všetky spojovacie linky obsadené,
účastník bude odmietnutý. Aký počet spojovacích liniek by mala mať ústredňa, aby
pravdepodobnosť odmietnutia nebola väčšia ako 0,01? ( )01,0≤sp ,
Počet spojovacích liniek
0/ ppk kp kpk.
0 1,000 0,368 0,000 1 1,000 0,368 0,368 2 0,500 0,184 0,368 3 0,167 0,061 0,183 4 0,042 0,015 0,060 5 0,008 0,003 0,015 ∑ 2,717 0,999 0,994
→ Optimálny počet spojovacích liniek: 5
125
368,0717,2
1 potom , 717,2
10
0
5
0 0
====∑=
ppp
p
k
k .
Priemerný počet obsadených liniek:
∑== k., 994,0 pkkk .
Každá linka bude priemerne obsadená menej ako 0,2 pracovného času 2,05
994,0 = .
368,00 =p - pracovného času budú všetky linky voľné,
368,01 =p - pracovného času bude obsadená 1 linka,
)2( ≥kp - pravdepodobnosť, že budú obsadené najmenej 2 linky =
= 263,05432 =+++ pppp pracovného času budú obsadené najmenej dve linky.
Príklad 3.3:
Hotové panely do rádioprijímačov sa prepravujú na nepretržite sa pohybujúcom dopravníku
z výrobného strediska na montážne stredisko, kde sa na ne montujú súčiastky. Medzi týmito
dvoma strediskami je kontrolné stanovište, na ktorom sú dvaja kontrolóri, ktorí berú z dopravníka
prichádzajúce panely, skontrolujú ich, dobré položia naspäť na dopravník a nepodarky vyradia.
Panely prichádzajú na stanovište v nepravidelných intervaloch a priemerne za 1 hodinu príde 21
ks. Každý z kontrolórov je schopný skontrolovať za 1 hodinu priemerne 12 ks. Panel, ktorý príde
na stanovište v okamihu, keď sú obaja pracovníci obsadení, prejde na montáž neskontrolovaný.
Priebeh výroby je nepretržitý, t.j. každý nasledujúci deň, resp. každú zmenu prichádzajú
ďalšie panely.
Uvedená situácia je vlastne procesom hromadnej obsluhy, pričom požiadavkou je kontrola
panelu, obsluha spočíva v kontrole, zdrojom požiadaviek je výrobný proces a uzol obsluhy tvoria
kontrolóri.
Ak časové intervaly medzi príchodom dvoch za sebou nasledujúcich panelov a čas kontroly
sú náhodné veličiny s exponenciálnym rozdelením, možno definovať na tomto procese SHO so
stratami typu M/M/2, pričom parametrami sú:
− intenzita vstupného prúdu λ = 21 ks/h, vstupný prúd je neohraničený, rovnorodý a bez priorít,
126
− intenzita obsluhy µ = 12ks/h.
Riešenie:
Pravdepodobnosť, že obaja kontrolóri budú voľní:
23,0!
1
12
211
2
00 =
=−
=∑k
k
kp .
Pravdepodobnosť, že obaja kontrolóri budú obsadení, t.j. pravdepodobnosť odmietnutia kontroly
panelu, ktorý prišiel na kontrolné stanovište, je:
36,023,02
1
12
212
2 =⋅⋅
=p ,
t.j. zo 100 panelov 36 prejde do montáže bez kontroly,
Priemerný počet obsadených kontrolórov je:
∑=
=
−=
2
1
11,123,0.12
21
)!1(
1
k
k
kk ,
t. zn., že priemerne bude každý kontrolór obsadený 55,02
=k pracovnej zmeny.
Príklad 3.4:
V dielni pracujú 3 majstri (opravy na počkanie). Keď zákazník príde do dielne a všetci
majstri sú obsadení obsluhou zákazníkov, ktorí prišli skôr, odíde a nečaká na obsluhu.
Predpokladajme, že priemerný počet zákazníkov za hodinu je 12; 24 a priemerný čas obsluhy 5;
10 min.
Aká je pravdepodobnosť, že zákazník nebude obslúžený a do akej miery sú zaťažení majstri?
Prúd požiadaviek je jednoduchý. V našom prípade teda λ = 12 a λ = 24 a priemerný čas
obsluhy je 10 min, t.j. 1/6 hod, teda ν = 6 a 5 min, t.j. 1/12 hod, teda ν = 12. Ďalej
predpokladajme exponenciálny zákon rozdelenia času obsluhy.
127
Riešenie:
− pravdepodobnosť, že všetci majstri budú zamestnaní, čiže pravdepodobnosť odmietnutia
požiadavky:
21,0!3
2
!2
2
!1
2
!0
2
!3
1
6
12
!1
!1
!1
132103
3
1
00
=
+++⋅
=
⋅=⋅=
−
−
=∑
p
kkp
kp
s
k
kkkk ρρρ
.
To znamená, že zo 100 zákazníkov bude približne 21 neobslúžených a 79 obslúžených.
Analogicky pre II.: 21,03 =p
− priemernú zamestnanosť majstra získame ako strednú hodnotu počtu obsadených majstrov:
∑=
=s
kkpkk
1
.
∑=
=3
1
.k
kpkk z tabuľky:
Počet pracujúcich majstrov k
0/ ppk kp kkp
0 1 0,158 0 1 2 0,316 0,316 2 2 0,316 0,632 3 4/3 0,210 0,630 ∑ 1,000 1,578
578,1=k , čo znamená, že v priemere bude zamestnaných 1,578 majstra.
Každý majster bude zamestnaný 526,03
=k pracovného dňa.
Ak by sme uvažovali, že majstri nie sú dostatočne využití, znížili by sme ich počet na dvoch
a urobili analogické výpočty. Zistili by sme, že zaťaženosť každého majstra by síce stúpla na 0,6,
ale pravdepodobnosť odmietnutia by tiež stúpla na 0,4, čiže zo 100 zákazníkov by iba 60 bolo
obslúžených.
128
B - model systému bez strát - M/M/S
Treba zostaviť model a riešením modelu vzorce na výpočet základných charakteristík SHO,
ktorý ma tieto vlastnosti:
B1 - prúd požiadaviek je ohraničený a rovnorodý, požiadavky na obsluhu prichádzajú od m
obsluhovaných objektov, t.j. súčasne v systéme sa môže vyskytnúť max. „m“ požiadaviek -
zatvorený systém,
− prúd požiadaviek od jedného obsluhovaného objektu je najjednoduchší prúd s intenzitou
vstupu λ,
− intenzita vstupného prúdu sa mení v závislosti od počtu požiadaviek v systéme obsluhy,
lineárne klesá s počtom jednotiek v systéme, ak je v systéme práve k požiadaviek, je
intenzita vstupného prúdu
λλ )( kmk −=
− počet paralelne obsluhujúcich kanálov je s, pričom s je konečné číslo a kanály sú z hľadiska
druhu poskytovanej obsluhy ekvivalentné,
− čas obsluhy jednej požiadavky je náhodná veličina s exponenciálnym zákonom rozdelenia a
intenzitou obsluhy µ,
− každý kanál môže súčasne obslúžiť iba jednu požiadavku,
− ak v okamžiku vstupu požiadavky do systému sú všetky kanály obsadené, požiadavka čaká,
kým sa jeden z kanálov neuvoľní,
− ak počet požiadaviek, ktoré potrebujú obsluhu, prevýši počet obsluhujúcich kanálov, vytvorí
sa rad,
− požiadavky, ktoré čakajú v rade, sa obsluhujú v takom poradí, v akom prišli do radu,
− kanály sú z hľadiska prevádzky absolútne spoľahlivé.
Analytický model systému pozostávajúci zo sústavy diferenciálnych rovníc pre )(tPk
dostaneme na základe pravdepodobnostného opisu stavov, v ktorých sa môže systém
v ľubovoľnom okamihu t nachádzať. Keďže v systéme nemôže byť súčasne viac ako m
požiadaviek, systém sa môže v okamihu času t nachádzať iba v m + 1 stavoch:
− v systéme nie je ani jedna požiadavka, všetky kanály sú voľné,
129
− v systéme je k požiadaviek, pričom 0 < k < s, t.j. k kanálov je obsadených,
− v systéme je k požiadaviek, pričom mks <≤ , t.j. všetky kanály sú obsadené a (k - s)
požiadaviek čaká vo fronte,
− v systéme je m požiadaviek, t.j. všetky kanály sú obsadené a (m - s) požiadaviek čaká vo
fronte.
Pravdepodobnosti opisu stavov:
− pravdepodobnosť, že v čase (t + ∆t ) nie je v systéme ani jedna požiadavka:
ttPtmtPttP ∆+∆−=∆+ µλ )()1)(()( 100 ,
− pravdepodobnosť, že v systéme je k požiadaviek v čase (t + ∆t), pričom 0 < k < s:
[ ] tktPtktkmtPtkmtPttP kkkk ∆µ++∆µ−∆λ−−+∆λ+−=∆+ +− )1)(().(1)()1)(()( 11 ,
− pravdepodobnosť, že v systéme je k požiadaviek v čase (t + ∆t), pričom mks <≤ :
[ ] tstPtstkmtPtkmtPttP kkkk ∆µ+∆µ−∆λ−−+∆λ+−=∆+ +− )()(1)()1)(()( 11 ,
− pravdepodobnosť, že v systéme je m požiadaviek:
[ ]tstPttPttP mmm ∆µ−+∆λ=∆+ − 1)()()( 1 .
Podobne ako v predchádzajúcich pravdepodobnostných opisoch i v tomto prípade
v rovniciach chýbajú tie členy, ktoré obsahujú výrazy (∆t)².
Ak podelíme rovnice s ∆t a upravíme, dostávame:
[ ]
[ ]
mktPstPt
tPtt
mkstsPtPskmtPkmt
tPtt
sktPktPkkmtPkmt
tPttP
tPtmPt
tPttP
mmm
kkkk
kkkkk
≤≤−=∆
−∆+
<≤++−−+−=∆
−∆+
<<+++−−+−=∆
−∆+
+−=∆
−∆+
−
+−
+−
0 , )()()()(P
, )()()()()1()()(P
0 , )()1()(.)()()1()()(
)()()(
1m
11k
11
1000
µλ
µµλλ
µµλλ
µλ
[3.24]
Ak prejdeme k limite 0→∆t , získame nasledujúcu sústavu diferenciálnych rovníc pre
:)(tPk
130
[ ][ ]
mktPstPt
mkstPstPskmtPkmt
sktPktPkkmtPkmtP
tPtmPtP
mm
kkk
kkkk
≤≤−=′<≤++−−+−=′
<<+++−−+−=′+−=′
−
+−
+−
0 , )()()(P
, )()()()()1()(P
0 , )()1()()()()1()(
)()()(
1m
11k
11
100
µλµµλ
µµλλµλ
[3.25]
Obmedzme sa na stacionárne riešenie sústavy, ktoré je založené na predpoklade, že
m...., 1, 0,k pre ,0)(P lim ,)(lim kt
==′=∞→∞→
tptP kkt
Potom dostávame zo sústavy [3.25] lineárnu homogénnu sústavu algebrických rovníc:
[ ][ ]
mm
kkk
kkk
psp
mkspspskmp)k(m
s)kpkpkkmpkm
pmp
µλµµλλ
µµλλµλ
−=≤≤++−−+−=
<<+++−−+−=+−=
−
+−
+−
1
11
11
10
0
)( ,)(10
(0 ,)1()()1(0
0
[3.26]
− neznáme sú tu mpp ,...,0 ,
− sústavu riešime substitúciou.
Riešením dostaneme vzorec pre kp :
)!(!
!0p
kmk
mp k
k ρ−
= , 1 ≤ k ≤ s [3.27]
)!(!
!0p
kmss
mp k
skk ρ−
= − , s ≤ k ≤ m [3.28]
)!(!
!
)!(!
!1
0 10
−
= +=−
−+
−= ∑ ∑
s
k
m
sk
k
sk
k
kmss
m
kmk
mp ρρ . [3.29]
Na základe vzťahov [3.27], [3.28], [3.29] môžeme získať vzorce na ďalšie charakteristiky
systému:
− priemerný počet požiadaviek vo fronte:
.)!(!
!)()(
1 10∑ ∑
+= +=− −
−=−=m
sk
m
sk
k
skkf pkmss
mskpskn ρ , [3.30]
131
− koeficient prestoja požiadavky vo fronte:
∑+=
−=m
skk
fpsk
mm
n
1
)(1
, [3.31]
− priemerný počet voľných kanálov obsluhy:
)!(!
!)()(
1
0
1
00∑ ∑
−
=
−
=
ρ−
−=⋅−=s
k
s
k
kk p
kmk
mkspkss , [3.32]
− koeficient prestoja kanála obsluhy:
∑−
=
−=1
0
)(1 s
kkpks
ss
s, [3.33]
− priemerný počet požiadaviek nachádzajúcich sa v systéme:
.)!(!
!.
)!()!1(
!0
1 1
pkmss
mk
kmk
mn
m
k
m
sk
ksk
k
ρ
−+ρ
−−= ∑ ∑
= +=− , [3.34]
− koeficient prestoja požiadavky v systéme:
m
n. [3.35]
Príklad 3.5:
Predpokladajme, že trojčlenná brigáda obsluhuje 20 automatov. Priemerne sa automat
zastavuje raz za hodinu. Obsluha 1 automatu trvá robotníkovi priemerne 6 min. Za predpokladu,
že čas medzi dvoma zastaveniami automatu sa riadi exponenciálnym zákonom a podobne čas
obsluhy je náhodná veličina s exponenciálnym rozdelením, treba vypočítať nasledovné
charakteristiky:
1. priemerný počet čakajúcich automatov na obsluhu (priemernú dĺžku frontu),
2. koeficient prestoja automatu vo fronte,
3. priemerný počet voľných robotníkov,
4. koeficient prestoja robotníka,
5. priemerný počet čakajúcich na obsluhu.
132
Riešenie:
Ide o uzatvorený systém - súčasne nemôže stáť viac automatov ako 20, m = 20. Priemerne za
hodinu sa zastavuje 1 automat, exponenciálne rozdelenie. Potom prúd požiadaviek má
Poissonovo rozdelenie s intenzitou prúdu λ = 1.
Čas obsluhy má exponenciálne rozdelenie, priemerne trvá obsluha 1 automatu 6 minút, potom za
hodinu sa obslúži 10 automatov - intenzita obsluhy µ = 10.
Pre k >12: 510.5,0 −<kp , potom od 12 zanedbávame, sčitujeme len po 12 automatov.
Využijúc známe vzťahy a tabuľkový výpočet, dostávame:
1. priemerný počet čakajúcich automatov na obsluhu:
33683,0)3(20
4
=−=∑=
kk
f pkn .
k kp kpk )3( − kpk.
0 0,13626 - - 1 0,27250 - 0,27250 2 0,25878 - 0,51776 3 0,25533 - 0,4659 4 0,88020 0,08802 0,35208 5 0,04694 0,09388 0,23470 6 0,02347 0,07041 0,14082 7 0,01095 0,04380 0,07665 8 0,00475 0,02375 0,03800 9 0,00190 0,01140 0,01710 10 0,00070 0,00490 0,00700 11 0,00023 0,00184 0,00253 12 0,00007 0,00063 0,00084 ∑ 0,33863 2,12597
2. koeficient prestoja automatu vo fronte:
0169315,020
33863,0 ==m
n f .
3. priemerný počet voľných robotníkov:
133
21266,123)3( 210
2
0
=++=−=∑=
ppppks kk
.
4. koeficient prestoja robotníka:
40422,03
21266,1 ==s
s.
Každý robotník je voľný priemerne 0,40422 pracovného času.
5. priemerný počet čakajúcich automatov na obsluhu (priemerný počet požiadaviek
nachádzajúcich sa v systéme):
∑=
==20
1
12597,2.k
kpkn .
Z 20 automatov stojí priemerne 2,12597 automatov.
B2 - otvorený model systému bez strát - M/M/S
− od uzatvoreného systému sa líši v tom, že má neohraničený prúd požiadaviek s intenzitou
vstupu λ,
− na to, aby front v systéme nerástol neohraničene, musí byť splnený predpoklad: s≤µλ
.
Otvorený systém sa môže nachádzať v čase t v jednom z nekonečne veľa stavov. To
znamená, že aj model tohto systému bude pozostávať zo sústavy diferenciálnych rovníc, ktorých
počet je neohraničený.
Na základe podobných úvah ako v predchádzajúcom, dostaneme pravdepodobnosti opisu
stavov:
− pravdepodobnosť, že v čase (t + ∆t) nie je v systéme ani jedna požiadavka:
[ ] ttPttPttP ∆+∆−=∆+= µλ )(1)()( 100
− pravdepodobnosť, že v systéme je k požiadaviek v čase (t + ∆t):
[ ] sktktPtkttPttPttP kkkk ≤≤∆++∆−∆−+∆=∆+ +− 1ak , )1()(1)()()( 11 µµλλ
[ ] sktstPtsttPttPttP kkkk ≥∆+∆−∆−+∆=∆+ +− ak , )(1)()()( 11 µµλλ
134
Podobnými úpravami - vynechaním (∆t)², podelením ∆t, prechodom k 0→∆t , získame
sústavu diferenciálnych rovníc pre )(tPk :
)()()( 100 tPtPtP µλ +−=′
sktPktPktPtP kkkk ≤≤+++−=′ +− 1 pre , )()1()()()()( 11 µµλλ
pre , )()()()()( 11 sktPstPstPtP kkkk ≥++−=′ +− µµλλ [3.36]
Stacionárne riešenie sústavy [3.36] dostaneme podobným spôsobom ako pri uzatvorenom
systéme, t.j. prejdeme k limite, pri ∞→t , dostaneme lineárnu homogénnu sústavu algebrických
rovníc:
)(0
)1()(0
0
11
11
10
+−
+−
++−=+++−=
+−=
kkk
kkk
sppsp
pkpkp
pp
µµλλµµλλ
µλ,
[3.37]
Z riešenia sústavy dostávame pre kp :
!
10p
kp k
k ρ= pre 1 ≤ k ≤ s , [3.38]
!
10p
ssp k
skk ρ−= pre k ≥ s , [3.39]
)()!1(!
11
1
00
−−
=
−−+= ∑
s
k
sk
sskp
λµµρρ . [3.40]
Všetky vzťahy [3.38], [3.39] a [3.40] platia za podmienky 1<µλs
. Ak by platilo 1s
>µλ
,
potom by nastal rast požiadaviek do nekonečna.
Vzťahy [3.38], [3.39] a [3.40] umožňujú výpočet ďalších charakteristík:
− pravdepodobnosť, že všetky kanály sú obsadené (t.j., že v systéme je súčasne s, s + 1,...
požiadaviek):
)()!1( 0p
sssρ
λµµπ
−−= , ak ρ < s , [3.41]
135
− pravdepodobnosť, že čas čakania na začiatok obsluhy fτ , t.j. čas čakania požiadavky vo
fronte je väčší ako t:
)( )( tsf etP λµπτ −−=> , pre t ≥ 0 , [3.42]
− priemerný čas čakania na začiatok obsluhy, ak počet kanálov je s:
λµ
π−
=Τs
f , ak µλ < s , [3.43]
− priemerná dĺžka frontu:
12
−
=
µλµ
λ
ss
pn sf , [3.44]
− priemerný počet požiadaviek, ktoré sú v systéme:
)!1(
1
1
1
10
ks
k
sf
kp
s
spnn ρ
µλ ∑
−
= −+
−+= , [3.45]
− priemerný počet voľných kanálov:
!
1
00∑
−
=
−=s
k
k pk
kss ρ . [3.46]
Príklad 3.6:
V opravovni televízorov sú traja opravári. Nech priemerný počet televízorov, ktoré
v priebehu dňa prídu do opravovne, je 8. Priemerný čas opravy jedného televízora je ½ dňa (za
deň 2 televízory).
Za predpokladu, že prúd televízorov prichádzajúcich do opravovne je najjednoduchším
prúdom s konštantnou intenzitou a čas obsluhy náhodná veličina s exponenciálnym rozdelením,
treba preskúmať prácu opravovne:
− ako dlho bude užívateľ čakať na opravu,
136
− priemerné množstvo televízorov, ktoré čaká na opravu,
− priemerný počet voľných opravárov,
− koeficient využitia opravárov.
Riešenie:
Musíme preskúmať požiadavku 1<µλs
,
tu: λ = 8........za deň 8 televízorov príde,
µ = 2........2 televízory za deň sa opravia,
s = 3........3 opravári.
342
8 =>== sµλ
, podmienka nie je splnená, front požiadaviek neohraničene rastie, 3 opravári
nestačia!
→ treba s = 5 (volíme najmenej 5 opravárov),
− pravdepodobnosť, že pri vstupe televízorov do opravy budú všetci opravári obsadení:
013,02!4
4.24
!
1
!4
4
2
8
)85.2(!4
2
14
0
5
0
0
5
0
5
=
+=
=⋅
⋅−
=
−
=∑k
k
kp
ppπ
dňa, pracovného 0,55 asi iba obsadenísú opravári všetciže t.zn., 55,0013,0!4
45
=⋅=π
− priemerný čas čakania na začiatok opravy:
275,085.2
55,0 =−
=−
=λµ
πs
T f , t. zn., že televízory budú priemerne čakať na začiatok
opravy 0,275 pracovného dňa,
− priemerný počet televízorov vo fronte:
5525 2004,0
8,0
108
110
8pppn f ==
−=
137
11,0!5
40
5
5 == pp
2,211,0.20 ==fn , t. zn., že priemerne bude čakať 2,2 televízora na začiatok opravy,
− priemerný počet voľných opravárov:
14!
54
00 =−=∑
=k
k pk
ks , t. zn., že v priemere bude 1 opravár stále voľný,
− koeficient prestoja opravárov:
2,05
1 ==s
s , t. zn., že v priemere každý opravár bude voľný 0,2 pracovného času,
− pravdepodobnosť, že čas čakania televízora na začiatok opravy bude väčší ako 1 deň:
075,0e55,0e)1(P 2t)s(f ==π=>τ −λ−µ− , t. zn., že priemerne najviac 8 televízorov zo 100
bude čakať na začiatok opravy viac ako 1 pracovný deň,
− pravdepodobnosť, že čas čakania na začiatok opravy bude väčší ako priemerný čas čakania
fΤ :
32,055,0)( 55,0 ==> −eTP ffτ , t. zn., že najviac 32 zo 100 televízorov bude čakať na
začiatok opravy viacej ako je priemerný čas čakania.
3.4 SIMULÁCIA PROCESU HROMADNEJ OBSLUHY
Ťažkosti pri analytickom riešení matematických modelov HO rastú nielen pri porušení
najjednoduchších predpokladov o SHO (trpezlivé požiadavky, neobmedzená dĺžka frontu,
jednofázová obsluha požiadaviek paralelnými kanálmi obsluhy v poradí príchodu požiadaviek do
frontu) ale aj pri inom než exponenciálnom zákone rozdelenia vstupu požiadaviek do SHO a
obsluhe požiadaviek.
Tieto ťažkosti pomerne ľahko umožňuje preklenúť metóda simulačný prístup. Tento prístup
spočíva v tom, že priebeh skutočného PHO modelujeme pomocou náhodných čísel s takým
rozdelením pravdepodobností, ktoré zodpovedá náhodným veličinám vystupujúcim v reálnom
procese. Problém s rôznymi typmi náhodných veličín, ktorý je pri analytickom riešení veľmi
138
nepríjemný, nie je pri simulácii PHO v podstate problémom, ak disponujeme vhodnými
algoritmami na získanie ich hodnôt.
Modelovanie sa robí pomocou počítača tak, že sa na počítači realizuje simulačný model,
ktorým sa imitujú príchody požiadaviek a ich obsluha v súlade s pravidlami, ktoré platia pre
správanie sa a prechod požiadaviek uvažovaným systémom v realite.
Výsledkom realizácie simulačného modelu na počítači sú hodnoty charakteristík SHO, ktoré
majú charakter štatistických odhadov, pretože zo štatistického hľadiska ide vlastne o umele
konštruované výberové šetrenie. Výsledky možno získať aj v tvare histogramov, ktoré poskytujú
bohatšie informácie ako odhady charakteristík. Presnosť výsledku pri simulácii je úmerná druhej
mocnine dĺžky simulácie.
3.5 OPTIMALIZÁCIA SYSTÉMOV HROMADNEJ OBSLUHY
Modely SHO slúžia na riešenie dvoch základných typov úloh:
− na základe známych parametrov systému určiť hodnoty číselných charakteristík,
− zmenou parametrov systému optimalizovať systém.
Optimalizácia SHO prichádza do úvahy vtedy, keď existuje určitá voľnosť vo voľbe
organizácie systému, t.j. možno meniť štruktúru systému (napr. počet kanálov obsluhy) alebo
regulovať vstupný prúd, alebo meniť čas obsluhy a pod.
Pod optimalizáciou SHO sa rozumie také zosúladenie možností systému obsluhy s
požiadavkami na obsluhu, aby celkové náklady na proces hromadnej obsluhy, skladajúce sa z:
− nákladov na systém obsluhy,
− nákladov (strát), ktoré vzniknú v dôsledku čakania objektov na obsluhu vo fronte,
− nákladov, ktoré vzniknú v dôsledku odmietnutia obsluhy určitému počtu objektov, boli
minimálne.
Výsledkom optimalizácie SHO je obyčajne:
− určenie optimálneho počtu obsluhujúcich kanálov rovnakého typu pre uzol obsluhy,
139
− určenie optimálneho počtu obsluhujúcich kanálov rôznych typov (s rôznymi kapacitami),
− určenie optimálneho počtu uzlov obsluhy.
Optimalizácia sa robí tak, že sa navzájom porovnávajú rôzne alternatívy organizácie SHO a
na základe určitého kritéria sa z viacerých možných alternatív vyberie tá, ktorá je vzhľadom na
postavené kritérium najvýhodnejšia. Porovnávať môžeme rôzne alternatívy buď:
- na základe hodnôt niektorých číselných charakteristík systému vyberieme systém
najvýhodnejší (príklad s telefónnou ústredňou - určovanie počtu spojovacích liniek) alebo
na základe určitej zvolenej účelovej funkcie zostavíme nákladovú funkciu, do ktorej
zabudujeme pripadajúce druhy nákladov, túto nákladovú funkciu potom minimalizujeme a
dostávame optimálnu štruktúru systému.
Pri výbere najvýhodnejšej alternatívy organizácie systému na základe porovnávania hodnôt
číselných charakteristík systémov je požiadavka hospodárnosti systému implicitne obsiahnutá v
požiadavke vybrať takú organizáciu systému, aby niektoré číselné charakteristiky systému
nadobudli hodnoty väčšie alebo menšie, prípadne rovné, ako sú určité zadané hodnoty číselných
charakteristík.
Pri výbere najvýhodnejšej alternatívy organizácie systému podľa zvolenej účelovej funkcie
posudzujú sa jednotlivé alternatívy podľa toho, akú hodnotu pri nich nadobudne účelová funkcia.
Alternatíva, pri ktorej nadobudne účelová funkcia požadovaný extrém, je optimálnou
alternatívou.
Hodnota účelovej funkcie predstavuje obyčajne súčet dvoch skupín nákladov, vzťahujúcich
sa na časovú jednotku činností procesu hromadnej obsluhy:
I - náklady na systém obsluhy:
− stále náklady na systém obsluhy,
− náklady na činnosť systému obsluhy,
− náklady na prestoj kanálov obsluhy.
II - náklady spojené s obsluhovanými objektmi:
− straty vzniknuté v dôsledku odmietnutia objektu, ktorý chce vstúpiť do systému,
− náklady na pohyb obsluhovaných objektov v systéme obsluhy.
140
Účelová funkcia sa najčastejšie zostavuje na základe predpokladu priamej závislosti
uvažovaných druhov nákladov od času.
Pri posudzovaní výsledkov dosiahnutých pri optimalizácii SHO si treba uvedomiť, že:
− ide o optimalizáciu stredných hodnôt, ak sa v systéme vyskytujú náhodné veličiny, napr.
vypočítaná hodnota účelovej funkcie nepredstavuje skutočné náklady, ale iba očakávanú
hodnotu nákladov;
− v praxi obyčajne nemožno jednotlivé druhy nákladov určiť presne, ide iba o dosť hrubé
odhady, z toho dôvodu vzhľadom na možné chyby alebo zmeny v určení jednotlivých
nákladov je potrebné po nájdení alternatívy urobiť určité optimalizačné úpravy.
Príklad 3.7:
Hotové diely sa pohybujú na nepretržite sa pohybujúcom dopravníku z výrobného strediska
na montážne stredisko.
Medzi týmito dvoma strediskami je kontrolné stanovisko, na ktorom sú kontrolóri, ktorí berú
z dopravníka prichádzajúce diely, skontrolujú ich, dobré položia nazad, nepodarky vyradia. Diely
prichádzajú na stanovisko v nepravidelných intervaloch a priemerne za 1 hodinu príde 19 ks.
Jeden kontrolór je schopný skontrolovať za 1 hodinu priemerne 10 ks. Diel, ktorý príde na
stanovisko v okamihu, keď sú všetci kontrolóri obsadení, prejde na montáž neskontrolovaný.
Priebeh výroby je nepretržitý, každý deň prichádzajú ďalšie diely na kontrolu.
Treba určiť optimálny počet kontrolórov za predpokladu, že:
a) náklady na 1 hodinu práce kontrolóra (vrátane kontrolných pomôcok) sú 20,-€,
b) ak sa do montáže dostane nepodarok vznikne strata 300,-€,
c) nepodarkovosť pri výrobe dielov je 5%, preto je potrebný taký počet kontrolórov, pri ktorom
bude súčet nákladov na kontrolu a straty v dôsledku prepustených nepodarkov na montáž
minimálny.
Riešenie:
− uvedená situácia je procesom HO,
− môžeme definovať systém do stratami.
141
Predpoklady:
− vstupný prúd je Poissonovský - najjednoduchší s intenzitou vstupu λ = 19ks/hod.,
− čas obsluhy je náhodná veličina (čas kontroly), ktorá má exponenciálne rozdelenie s
intenzitou obsluhy µ = 10ks/hod.,
9,110
19 ===−µλρ .
Optimalizácia spočíva v optimalizácii počtu kontrolórov, t.j. zvoliť taký počet kontrolórov,
aby celkové náklady na proces obsluhy boli minimálne:
− zvolíme si ÚF, ktorú budeme minimalizovať,
− celkové náklady na PHO pri určitom počte kontrolórov - N(s):
...)( 21 NppdsNsN s+= , kde:
N(s) - celkové náklady na jednotku času,
s - počet kontrolórov,
D - počet dielov, ktoré prídu v priebehu zvolenej časovej jednotky na kontrolu,
sp - pravdepodobnosť, že všetci kontrolóri sú obsadení (pravdepodobnosť odmietnutia),
p - pravdepodobnosť, že vyrobený diel bude nepodarok,
1N - náklady na kontrolu za zvolenú časovú jednotku, ak zabezpečuje kontrolu iba 1 kontrolór,
2N - straty vzniknuté tým, že sa 1 chybný diel dostane do montáže,
tu: p = 0,05, 2N = 300, 1N = 20, d = 19
s = ?, sp = ? pre s = 1, 2, 3, 4, 5, 6
∑=
⋅
=s
k
k
s
s
k
sp
0 !1
!1
µλ
µλ
142
s sp 1.Ns 2... Nppd s N(s)
1 0,65 20 185,25 205,25 2 0,38 40 108,30 148,30 3 0,19 60 54,15 114,15
min 4 0,09 80 25,65 105,65 5 0,03 100 8,55 108,55 6 0,01 120 2,85 122,85
N(3) > N(4) < N(5) - optimálny počet sú 4 kontrolóri.
ÚLOHY/OTÁZKY NA SAMOSTATNÉ RIEŠENIE
1. Uveďte oblasť použitia a predpoklady aplikácie teórie hromadnej obsluhy.
2. Uveďte kritéria efektívnosti v systémoch hromadnej obsluhy.
3. Podľa akých hľadísk a ako rozdeľujeme systémy hromadenej obsluhy.
4. Aké vlastností má najjednoduchší prúd požiadaviek.
5. Vysvetlite postup pri matematickom popise systému hromadnej obsluhy s odmietnutím.
6. Uveďte vzťahy na výpočet kritérií efektívnosti charakterizujúce ustálený stav SHO
s odmietnutím.
Literatúra k 3. kapitole
1. GROS, I. Kvantitativní metody v manažérském rozhodování. Praha: Grada Publishing, 2003.
432 s. ISBN 80-247-0421-8
2. IVANIČOVÁ, Z., BREZINA, I., PEKÁR, J. Operačný výskum. Bratislava: Iura Edition,
2002. 287 s. + 1 CD-ROM. ISBN 80-89047-43-2
3. IVANIČOVÁ, Z., BREZINA, I., PEKÁR, J. Prípadové štúdie z operačného výskumu.
Bratislava: Ekonóm, 1999. ISBN 80-225-1180-3
4. KUBÁTOVÁ, J. Kvantitativní manažerské metody. Olomouc, 2000. ISBN 80-244-0144-4
5. LANGOVÁ, M ., JABLONSKÝ, J. Lineární modely. Praha: VŠE, 2009. ISBN 978-80-245-
1511-3
6. MANUELIANC, A.T. Modelování problému řízení. Praha: IŘ, 1977
143
7. SAKÁL, P., JERZ, V. Operačná analýza v praxi manažéra. Trnava: SP SYNERGIA, 2003.
ISBN 80-968734-3-1
8. SAKÁL, P., ŠTRPKA, A. Operačná a systémová analýza. Bratislava: SVŠT, 1983.
85-425-83
9. ROZENBERG, V. J., PROCHOROV, A. I. Čo je teória hromadnej obsluhy. Bratislava:
SVTL 1965.
10. VODÁČEK, L., PICEK, K., ŠANDERA, O. Operační analýza v podnikové racionalizaci.
Praha: SNTL, 1977.
11. WALTER, J. Stochastické modely v ekonomii. Praha: SNTL, 1970.
12. WALTER, J. a kol. Operační výskum. Praha: SNTL, 1973.
13. WALTER, J., LAUBER, J. Simulační modely ekonomických procesu. Praha: SNTL, 1975.
14. ZIMOLA, B. Operační výskum. Zlín: 2000. ISBN 80-214-1664-5
144
4 MODELY ZÁSOB
Ciele:
• Klasifikácia modelov zásob,
• Statické modely zásob,
• Dynamické modely zásob.
Časová a priestorová odlúčenosť výroby a spotreby vedie k potrebe riešiť otázky spojené
s riadením pohybu zásob. Zásobou budeme rozumieť akýkoľvek neúplne využitý zdroj, určený
na uspokojenie budúceho dopytu, resp. budúcej spotreby. Z toho vyplýva, že zásoby môžu byť
hmotné (výrobné prostriedky aj spotrebné predmety – suroviny, polotovary, hotové výrobky) aj
nehmotné (výrobné kapacity, dopravné kapacity, kapacity výpočtových prostriedkov). Zásoby
výrobných prostriedkov tvoria výrobné zásoby a zásoby spotrebných predmetov nevýrobné
zásoby.
Zásoby sú nevyhnutné v prípadoch, keď ide o sezónne výrobky, náhradné diely, najmä ak
treba počítať s dlhým časom dopravy na miesto určenia, úzkoprofilový tovar a pod. K existencii
väčšej zásoby môže viesť aj ekonomicky odôvodnený zámer vyrábať určité výrobky v čo
najväčších dávkach alebo dopravovať určité predmety v transportných dávkach, ktorých veľkosť
nie je v súlade s momentálnou spotrebou.
Je zrejmé, že čím vyššia bude úroveň zásob, tým väčšie budú nároky na skladovací priestor
a manipuláciu, riziko znehodnotenia zásob, ale aj prostriedky viazané v zásobách. Na druhej
strane, väčšie zásoby znižujú riziko nedostatku zásob (pri nedostatku zásob môže dochádzať
k stratám v dôsledku prerušenia výroby alebo k potrebe zvýšených nákladov na mimoriadne
doobjednávanie) a dopĺňanie zásob vo väčších množstvách znižuje náklady na objednávanie
a dodávky. Úlohou je teda nájsť odpovede na otázky: „Kedy doplniť zásobu?“ a „Koľko
objednať?“ („ Aká veľká má byť objednávka, resp. dodávka?“).
Vedecký prístup k riadeniu zásob je založený na využívaní matematických modelov pohybu
zásob. Otázkami určovania veľkosti zásob, spôsobu ich dopĺňania a zostavovaním modelov na to
určených sa zaoberá teória zásob. Jej účelom je optimalizácia procesu riadenia zásobovania.
145
Kritériom optimality je spravidla veľkosť celkových nákladov na zásoby a cieľom je ich
minimalizácia.
Problematika optimalizácie pohybu zásob sa dlhý čas riešila len pomocou empirických a
subjektívnych metód a tento prístup často pretrváva doposiaľ. Avšak už počiatkom minulého
storočia sa začali objavovať prvé prístupy, založené na použití jednoduchších matematických
vzorcov na určovanie optimálnych veľkostí objednaného množstva. Po 2. svetovej vojne sa
začína používať zložitejší aparát, založený na využití počtu pravdepodobnosti.
V praxi sa stretávame so širokou škálou situácií spojených s riadením zásob, čomu
zodpovedá aj široká paleta základných modelov zásob. Každý konkrétny prípad vyžaduje
individuálny prístup, avšak základnú orientáciu v problematike môže poskytnúť prehľad
základných typov modelov, ktorý tu uvádzame (8).
Náklady, s ktorými sa stretávame v súvislosti s riadením pohybu zásob, možno rozdeliť na
náklady, ktoré sú priamoúmerné veľkosti zásoby (náklady na uskladnenie, manipuláciu, straty
spôsobené znehodnotením, straty spôsobené viazanosťou prostriedkov a pod.) a tie, ktoré sú
nepriamoúmerné veľkosti zásoby (náklady na dodatočné obstaranie pri vyčerpaní zásoby, straty
vznikajúce z dôvodu vyčerpania zásoby a pod.).
Z hľadiska nákladových druhov možno rozdeliť náklady na (8):
a) Náklady na obstaranie zásob nákupom alebo výrobou (tzv. obstarávacie náklady):
• náklady na vystavenie objednávky – internej (v prípade výroby) alebo externej (pri
nákupe), ktoré sa vzťahujú na realizáciu jednej dodávky a ich veľkosť nezávisí od
veľkosti dodávky,
• náklady na výrobu daného výrobku (pri internej dodávke),
• náklady na dovoz tovaru (pri externej dodávke).
b) Náklady na udržiavanie zásob, ku ktorým patria:
• náklady z viazanosti prostriedkov v zásobách,
• náklady na skladovanie (odpisy z budov a zariadení skladov, náklady na manipuláciu so
zásobami a ošetrovanie zásob, náklady na údržbu skladovacích zariadení, mzdy
pracovníkov skladu, strážnikov a správneho aparátu),
146
• straty spôsobené prípadným znehodnotením zásob (fyzickým alebo morálnym a pod.),
• náklady na poistenie zásob.
c) Náklady vznikajúce v dôsledku nedostatku zásob, ktorými sú
• náklady vznikajúce stratou z neuspokojeného dopytu (stratou odbytovej príležitosti,
stratou dobrej povesti, obmedzením alebo zastavením výroby),
• náklady na dodatočnú objednávku.
d) Náklady na spracovanie informácií potrebných na fungovanie zásobovacieho systému,
ktorými sú napr.:
• náklady na výpočtovú techniku,
• náklady na prieskum trhu,
• náklady na zber a spracovanie informácií o pohybe zásob.
4.1 KLASIFIKÁCIA MODELOV ZÁSOB
Modely zásob možno klasifikovať z viacerých hľadísk (8, 11):
1. Podľa typu zohľadnenia náhodných vplyvov v modeli (resp. podľa úplnosti informácií
o jednotlivých veličinách) na:
a) deterministické - v literatúre (8) označované ako modely determinované absolútne, v
ktorých sú jednotlivé modelované veličiny konštantné a vopred známe,
b) stochastické - v literatúre (8) označované ako modely determinované
pravdepodobnostne, pričom môžu byť determinované pravdepodobnostne:
- úplne, ak modelovaná veličina, dopyt, je náhodná veličina so známym zákonom
rozdelenia pravdepodobnosti,
- čiastočne, ak modelovaná veličina, dopyt, je náhodná veličina, pri ktorej nepoznáme
zákon rozdelenia pravdepodobnosti, ale len priemer a rozptyl),
c) nedeterminované, kde nie je známe nič (8).
147
2. Podľa spôsobu zohľadnenia vývoja spotreby v čase na:
a) statické, ktoré berú do úvahy len jeden dodávkový cyklus,
b) dynamické, ktoré berú do úvahy viac po sebe nasledujúcich dodávkových cyklov
a možno ich ešte deliť na:
- stacionárne, pri ktorých sa spotreba v jednotlivých cykloch nemení,
- nestacionárne, pri ktorých je spotreba v jednotlivých cykloch rôzna.
3. Podľa spojitosti spotreby na modely:
a) so spojitou spotrebou,
b) s nespojitou spotrebou.
4. Podľa spôsobu riešenia vyčerpania zásob (deficitu) na modely:
a) s odkladom (s odloženou spotrebou), pri ktorých zásoby po vyčerpaní nie sú
k dispozícii, čo spôsobuje zvýšené náklady na doobjednanie, dodatočnú distribúciu
alebo expedíciu k zákazníkovi (v prípade obchodu) alebo dobehnutie sklzu vo výrobe (v
prípade výrobných zásob),
b) so stratenými predajmi (so stratenou spotrebou), pri ktorých z dôvodu vyčerpania
zásob dochádza k absolútnej strate zisku, ktorá je úmerná dĺžke intervalu, počas ktorého
zásoby nie sú k dispozícii.
5. Podľa počtu skladovaných substrátov na:
a) jednoprvkové, pri ktorých ide o skladovanie len jedného substrátu,
b) viacprvkové, pri ktorých ide o skladovanie viacerých substrátov.
6. Podľa počtu skladov na systémy:
a) s jedným skladom,
b) s viacerými skladmi (osobitným typom sú viacúrovňové systémy).
148
7. Podľa zvolenej stratégie riadenia skladov na modely:
a) stratégia (s, S), kde určujeme optimálnu signálnu úroveň zásob – s (pri poklese zásob
pod túto úroveň treba zásoby doplniť, resp. vystaviť objednávku) a optimálnu
objednávaciu úroveň zásob – S, čo je veľkosť zásoby, na ktorú treba zásoby doplniť
zrealizovaním objednávky,
b) stratégia (t, S), kde určujeme optimálny dodávkový cyklus – t (pravidelný interval
realizácie objednávok, resp. dodávok) a optimálnu objednávaciu úroveň zásob – S,
pričom zásobovanie prebieha tak, že v intervaloch t sa zásoby dopĺňajú o rozdiel medzi
aktuálnym stavom zásob a objednávacou úrovňou S,
c) stratégia (s, x), kde určujeme optimálnu signálnu úroveň zásob – s a optimálnu veľkosť
objednávky – x, pričom riadenie prebieha tak, že pri poklese zásob pod signálnu úroveň
s sa vystaví objednávka na konštantné množstvo x,
d) stratégia (t, x), kde určujeme optimálny dodávkový cyklus – t a optimálnu veľkosť
objednávky – x, pričom riadenie prebieha tak, že v pravidelných intervaloch t sa
objednáva konštantné množstvo x.
149
Obr.4-1
Na obr. 4-1 je vývoj stavu zásob v čase pri jednotlivých uvedených stratégiách znázornený
graficky. Znázornený priebeh pri stratégii (s, S) predpokladá, že medzi okamihom objednania
a dodania uplynie časový interval d. Aby bola zásoba v tomto prípade vždy doplnená na stav S,
treba veľkosť objednávky určovať na základe správneho odhadu spotreby zásoby v tomto
intervale. Rovnako pri stratégii (t, S) treba pri každom objednávaní odhadnúť spotrebu v intervale
medzi objednaním a dodaním. Vo všeobecnosti hodnota d nemusí byť konštantná. Ak je interval
medzi objednaním a dodaním zásob nulový alebo ak ho zanedbáme, sú stratégie (s, S) a (s, x)
v podstate totožné.
Stratégia (t, x) je stabilná len za predpokladu, že priemerné nároky na čerpanie zásoby
v niekoľkých po sebe nasledujúcich intervaloch t, ale aj v dlhšom časovom horizonte, sa rovnajú
hodnote x.
Niektoré zo základných typov, ktoré vyplývajú z uvedenej klasifikácie, uvedieme ďalej
a naznačíme spôsob ich riešenia (8).
150
4.2 STATICKÉ MODELY ZÁSOB
Statické modely zásob sú tiež označované ako modely s jedným cyklom, jednofázové modely
alebo modely s jednorazovým nákupom, čo znamená, že celú zásobu treba objednať naraz.
Z vecného hľadiska ide o prípady, keď doobjednávanie nie je možné alebo je spojené s neúmerne
vysokými nákladmi. Otázkou, na ktorú si treba odpovedať, je „koľko objednať“.
Pri statických deterministických modeloch (modeloch determinovaných absolútne) ide
o triviálnu úlohu. Vyskytuje sa len jedna objednávka, takže náklady na objednávku netreba pri
riešení uvažovať. Treba určiť len jednotkové náklady na skladovanie (udržiavanie zásob)
a jednotkové náklady vyplývajúce z nedostatku zásoby (5).
Podrobnejšie rozoberieme prípad statického modelu s pohybom zásob determinovaným
pravdepodobnostne úplne (8).
Predpokladáme, že veľkosť dopytu v uvažovanom období je náhodná veličina y, ktorej zákon
rozdelenia poznáme. Ak táto veličina nadobúda len diskrétne hodnoty, ide o diskrétny statický
model, v opačnom prípade ide o spojitý statický model. Rozoberieme oba prípady.
4.2.1 Diskrétny statický model
Cieľom je jednorazovo objednať také množstvo x (resp. vytvoriť zásobu veľkosti x), pri
ktorom budú celkové očakávané náklady N(x) minimálne.
Dopyt v uvažovanom období môže byť nižší ako vytvorená zásoba (y < x), vyšší ako
vytvorená zásoba (y > x) alebo zodpovedajúci vytvorenej zásobe (y= x). Predpokladajme, že
poznáme pravdepodobnosti p(y), s ktorými dopyt nadobúda určité hodnoty y.
Predpokladajme, že poznáme náklady z nedostatku jednotky množstva pohotovej zásoby Cu
a náklady z nadbytočnej zásoby pre každú nepoužitú jednotku Cr .
151
Celkové očakávané náklady sú závislé od vzťahu medzi x a y. Ak x < y, vzniknú náklady
Cu(y-x). Ak x > y, vzniknú náklady Cr(x-y). Pri x = y náklady nevzniknú. Potom možno celkové
očakávané náklady vyjadriť vzťahom:
)()()()()(10
ypxyCypyxCxNxy
u
x
yr ⋅−+⋅−= ∑∑
∞
+==
[4.1]
Pri hľadaní minima uvedenej funkcie možno postupovať numericky alebo analyticky.
Numerický postup predpokladá, že pri zadaných hodnotách Cr a Cu vypočítame N(x) pre
všetky hodnoty x, ktoré prichádzajú do úvahy a tá hodnota x, pri ktorej bude N(x) minimálne,
bude hľadanou optimálnou veľkosťou zásoby. Na výpočet je vhodné použiť napríklad tabuľkový
editor.
Analytický postup je vhodný, ak možno predpokladať, že funkcia N(x) nadobúda jediné
lokálne minimum. Možno odvodiť vzťah pre optimálnu veľkosť zásoby x* (8):
Pre x, v ktorom nadobúda funkcia N(x) minimum, musia platiť nerovnosti:
0)()1( ≥−− xNxN [4.2]
0)()1( ≥−+ xNxN [4.3]
Funkcia N(x) pre x+1 má tvar:
)()1()()1()1(2
1
0
ypxyCypyxCxNxy
u
x
yr ⋅−−+⋅−+=+ ∑∑
∞
+=
+
=
[4.4]
Pravdepodobnosť, že dopyt nebude vyšší ako vytvorená zásoba, je:
∑=
=≤x
y
ypxyP0
)()( .
Pravdepodobnosť, že dopyt naopak bude vyšší ako vytvorená zásoba, je:
∑∞
+=
=≤−=>1
)()(1)(xy
ypxyPxyP .
Použitím uvedených zápisov a úpravou rovnice [4.4] dostaneme rovnicu v tvare:
152
uur CCCxyPxNxN −+⋅≤+=+ )()()()1( [4.5]
a po dosadení x-1 za x:
uur CCCxyPxNxN −+⋅−≤+−= )()1()1()( ,
z čoho vyplýva:
uur CCCxyPxNxN −+⋅−≤−=− )()1()()1( . [4.6]
Za predpokladu platnosti rovníc [4.5] a [4.6] a nerovností [4.2] a [4.3] možno pre x = x* písať:
0)(*)( ≥−+⋅≤ uur CCCxyP [4.7]
0)()1*( ≤−+⋅−≤ uur CCCxyP [4.8]
a po úprave:
ru
u
CC
CxyP
+≥≤ *)( a
ru
u
CC
CxyP
+≤−≤ )1*( .
Spojením posledných nerovností dostaneme podmienku:
*)()1*( xyPCC
CxyP
ru
u ≤≤+
≤−≤ , [4.9]
pričom:
∑=
=≤x
y
ypxyP0
)()( .
Pri ur čovaní x* potom možno postupovať nasledovne:
1. Zostavíme tabuľku p(y) a P(y ≤ x) pre všetky hodnoty y, ktoré sa môžu vyskytnúť.
2. Vypočítame podiel ru
u
CC
C
+ .
3. Nájdeme hodnotu x*, ktorá vyhovuje vzťahu [4.9].
153
Príklad 4.1:
Predpokladajme, že jednotkové náklady z nedostatku zásob sú Cu = 160,- €/ks a jednotkové
náklady z nadbytočnej zásoby sú Cr = 50,- €/ks. Rozdelenie pravdepodobností dopytu je
v tabuľke 4-1.
Tabuľka 4-1
y 0 1 2 3 4 5 6
p(y) 0,1 0,15 0,17 0,26 0,19 0,11 0,02
Numerické riešenie:
Pomocou tabuľkového editora zostavíme tabuľku 4.2, kde obsah buniek vpravo hore (nad
hlavnou diagonálou) zodpovedá situáciám, keď je zásoba väčšia ako dopyt a každá bunka
obsahuje vyčíslené náklady vyplývajúce z nadbytočnej zásoby vynásobené pravdepodobnosťou,
že takáto nadbytočná zásoba vznikne. Bunky vľavo dole zodpovedajú situáciám, keď je dopyt
väčší ako zásoba.
Celkové náklady N(x), ktoré dostaneme ako súčty jednotlivých riadkov, nadobúdajú
minimálnu hodnotu (96,5) v prípade, keď x = 4. To je optimálna veľkosť objednávky.
154
Cu.(y-x).p(y), pre x<y
Cr.(x-y).p(y), pre x>y
Tabuľka 4-2
y 0 1 2 3 4 5 6
p(y)
0,1 0,15 0,17 0,26 0,19 0,11 0,02
x N(x)
1 5 27,2 83,2 91,2 70,4 16 293
2 10 7,5 41,6 60,8 52,8 12,8 185,5
3 15 15 8,5 30,4 35,2 9,6 113,7
4 20 22,5 17 13 17,6 6,4 96,5
5 25 30 25,5 26 9,5 3,2 119,2
6 30 37,5 34 39 19 5,5 165
Analytické riešenie:
1. Zostavíme tabuľku 4-3:
Tabuľka 4-3
x, y 0 1 2 3 4 5 6
p(y) 0,1 0,15 0,17 0,26 0,19 0,11 0,02
P(y≤≤≤≤x) 0,1 0,25 0,42 0,68 0,87 0,98 1
2. Vypočítame podiel:
76,050160
160 =+
=+ ru
u
CC
C.
3. Nájdeme hodnotu, ktorá vyhovuje vzťahu:
4*87,076,068,0 =⇒≤≤ x , čo je optimálna veľkosť objednávky.
155
4.2.2 Spojitý statický model
Analogickým postupom ako v prípade diskrétnych náhodných veličín možno odvodiť vzťahy
na výpočet celkových očakávaných nákladov a optimálnej veľkosti objednávky aj v prípade
spojitých náhodných veličín. Celkové očakávané náklady sú:
∫ ∫∞
−+−=x
x
ur dyyfxyCdyyfyxCxN0
)()()()()(
a analytickým riešením možno zistiť, že tieto náklady sú minimálne pri hodnote x*, ktorá
vyhovuje rovnici:
∫ +==
x
ru
u
CC
CdyyfxF
0
)(*)(
4.3 DYNAMICKÉ MODELY ZÁSOB
Dynamické modely skúmajú nielen otázku veľkosti objednávky, ale aj intervalov, v akých
treba objednávanie robiť, teda treba si odpovedať na otázky „koľko a kedy objednať“. Berie sa do
úvahy postupnosť na seba nadväzujúcich dodávkových cyklov. O veľkosti objednávok
a intervaloch možno rozhodnúť vopred naraz pre všetky objednávky v uvažovanom období, alebo
možno objednávať postupne, čím možno korigovať prípadné dôsledky nesprávneho rozhodnutia
z predchádzajúceho cyklu. Podrobnejšie rozoberieme niektoré prípady (8).
4.3.1 Dynamické modely s pohybom zásob determinovaným absolútne
Predpokladajme, že dopyt je vopred známy, rovnomerný a spojitý. Proces treba zásobiť Q
jednotkami za obdobie T. Úlohou bude určiť v akých intervaloch t a v akých dávkach x .
Predpokladajme, že interval obstarania zásob bude nulový (obr. 4-2).
156
Obr. 4-2
Z uvedeného vyplýva, že počet dodávkových cyklov je:
x
Qn =
a dodávkový cyklus (interval medzi dodávkami) je:
Q
xT
x
QT
n
Tt
⋅=== .
Ďalej predpokladajme, že poznáme náklady na skladovanie jednotkového množstva zásob
za časovú jednotku c1 a náklady na objednanie jednej dodávky (nezávislé od veľkosti
dodávky) c2 .
Keďže úlohou je minimalizovať celkové náklady, treba zostaviť nákladovú funkciu, ktorá
reprezentuje závislosť nákladov od všetkých objednávok a nákladov na udržovanie zásob po celé
uvažované obdobie a od veľkosti dodávky x.
Celkové náklady v intervale medzi dodávkami (v rámci jedného dodávkového cyklu)
pozostávajú z nákladov na skladovanie a nákladov na objednanie jednej dodávky:
212
1ctxc + .
Celkové náklady počas obdobia T potom dostaneme vynásobením týchto nákladov počtom
dodávok za obdobie T :
+⋅= 212
1)( ctxcnxN
a po dosadení:
157
x
Qcx
Tcc
Q
xTxc
x
QxN 21
21 22
1)( +⋅=
+⋅⋅⋅= .
Z obrázku 4-3 je zrejmý priebeh nákladovej funkcie a oboch jej zložiek.
Obr. 4-3
Optimálnu veľkosť dodávky možno vypočítať anulovaním prvej derivácie nákladovej
funkcie:
01
2
1)(221 =−= Qc
xTc
dx
xdN.
Vzťah na výpočet optimálnej veľkosti dodávky, ktorý získame riešením tejto rovnice, sa
nazýva Wilsonov vzorec (niekedy aj Andlerov vzorec):
1
22*
Tc
Qcx = . [4.10]
Po dosadení a úprave získame vzťah pre optimálnu dĺžku dodávkového cyklu:
158
1
22**
Qc
Tc
Q
Txt ==
[4.11]
a vzťah pre výpočet optimálnych (minimálnych) celkových nákladov:
21
21 2*
*2
*)( cQTcx
Qcx
TcxN =+⋅=
[4.12]
Ak budeme predpokladať, že interval medzi objednaním a dodaním zásob bude nenulový
(d > 0), treba objednávať v predstihu d pred vyčerpaním zásoby, t. j. v okamihu, keď sa zásoba
zníži na hodnotu s (signálna úroveň zásob):
T
Qd
t
xds ⋅=⋅=
*
*
[4.13]
Vzťah [4.13] vyplýva z podobnosti trojuholníkov na obr. 4-4.
Obr. 4-4
159
Príklad 4.2:
Závod pri výrobe výrobkov využíva komponenty, ktorých spotreba je dlhodobo ustálená –
120 ks denne. Náklady na jednu dodávku sú 1650,- € a dodávateľ zabezpečí dodanie do 2 dní.
Náklady na skladovanie 1 komponentu sú približne 50 halierov za deň skladovania. Treba určiť,
v akých intervaloch a v akých množstvách majú byť komponenty dodávané, aby celkové náklady
boli minimálne. Treba tiež určiť, pri akom stave zásob treba vystaviť objednávku, ak má byť
dodávka zrealizovaná v okamihu vyčerpania zásoby.
Riešenie:
Vzhľadom na ustálenú spotrebu komponentov možno výpočet vzťahovať na ľubovoľný
časový interval. Napríklad ak T=100 dní, Q=12000 ks. Pomocou Wilsonovho vzorca možno
určiť optimálnu veľkosť dodávky:
8905,0100
16501200022*
1
2 ≅⋅
⋅⋅==Tc
Qcx ks
a optimálny interval objednávania:
4,75,012000
165010022*
1
2 ≅⋅
⋅⋅==Qc
Tct dňa.
Objednávku treba vystaviť, keď zásoba dosiahne:
240100
120002 =⋅=⋅=
T
Qds ks.
Možno vypočítať tiež veľkosť celkových nákladov:
−=⋅⋅⋅⋅==+⋅= ,4449716505,01001200022*
*2
*)( 2121 cQTc
x
Qcx
TcxN €
a pomocou tabuľky a grafu demonštrovať, že pri inej veľkosti dodávky sú náklady vyššie:
160
x N(x)
860 44523
870 44509
880 44500
890 44497
900 44500
910 44508
920 44522
44480
44500
44520
44540
860
870
880
890
900
910
920 Veľkosť
dodávky
Náklady
4.3.1.1 Viacpoložkový model
Modifikáciou uvedeného modelu je model situácie, keď zásobu tvorí viac položiek (n), ktoré
však objednávame u jediného dodávateľa. Ide o tzv. viacpoložkový model [4]. Všetky položky
môžu byť objednané a dodané súčasne, čím vzniká potreba len jedinej objednávky v rámci
jedného cyklu a s ňou spojených nákladov. Náklady na objednanie a dodanie jednej dodávky
označíme, rovnako ako v predchádzajúcom prípade, c2 a náklady na skladovanie jednotkového
množstva i-tej položky budú c1i (i=1, 2, ..., n). Je zrejmé, že bude výhodné objednávať
a dodávať z každej položky také množstvo, aby zásoby všetkých položiek boli vyčerpané
súčasne. Vývoj stavu zásob jednotlivých položiek je znázornený na obr. 4-5.
Obr. 4-5
161
Úlohou je opäť minimalizovať celkové náklady na objednanie a dodanie, preto treba zostaviť
nákladovú funkciu. V tomto prípade však bude výhodnejšie, ak bude nákladová funkcia
reprezentovať závislosť nákladov od všetk7ch objednávok a nákladov na udržovanie zásob
všetkých položiek po celé uvažované obdobie od dĺžky cyklu t .
Z obr. 4-5 je zrejmé, že priemerná veľkosť zásoby i-tej položky je:
22
thxx ii
pi
⋅== ,
kde t
x
T
Qh ii
i == je intenzita dopytu po i-tej položke. Potom náklady na skladovanie všetkých
n položiek za čas T budú:
∑=
⋅⋅⋅=n
iii thc
TtN
111 2
)( , [4.14]
náklady na n objednávok budú:
t
TcnctN ⋅=⋅= 222 )(
, [4.15]
a celkové náklady budú:
t
Tcthc
TtNtNtN i
n
ii ⋅+⋅⋅⋅=+= ∑
=2
1121 2
)()()( . [4.16]
Hodnotu t* , v ktorej má uvedená funkcia minimum, získame anulovaním jej prvej derivácie
podľa t :
∑
=⋅
⋅=⇒=
n
iii hc
ct
dt
tdN
11
22*0
)(
. [4.17]
Je to optimálna dĺžka cyklu.
Potom optimálna veľkosť objednávky i-tej položky je:
162
** thx ii ⋅=
[4.18]
a optimálny počet cyklov je:
**
t
Tn =
. [4.19]
Príklad 4.3:
Príklad je modifikáciou príkladu 4.2. Závod pri výrobe výrobkov používa komponenty
(položka 1), ktorých spotreba je dlhodobo ustálená – 120 ks denne. Okrem toho však používa aj
iné komponenty (položka 2 a 3) od rovnakého dodávateľa, preto možno objednanie všetkých
troch položiek zabezpečiť jednou objednávkou a dodanie jednou dodávkou. Náklady na jednu
objednávku a dodávku sú rovnaké ako v príklade 1.2, t.j. 1650,-€. Spotreba komponentov –
položka 2 je dlhodobo ustálená na 60 ks denne a položka 3 na 90 ks denne. Náklady na
skladovanie 1 komponentu za deň skladovania sú 50 centov pri položke 1 a 20 centov pri
položkách 2 a 3. Treba určiť, v akých intervaloch a v akých množstvách majú byť komponenty
dodávané, aby celkové náklady boli minimálne.
Riešenie:
Vzhľadom na ustálenú spotrebu komponentov možno výpočet vzťahovať na ľubovoľný
časový interval. Napríklad T=100 dní. Možno vypočítať optimálny interval objednávania
(optimálnu dĺžku cyklu):
6902,0602,01205,0
165022*
11
2 ≅⋅+⋅+⋅
⋅=⋅
⋅=∑
=
n
iii hc
ct dní.
Je zrejmé, že po pridaní ďalších 2 položiek za inak rovnakých podmienok musí byť
optimálny interval objednávania menší ako v príklade 4.2.
Optimálne objednané množstvá jednotlivých položiek v rámci spoločnej objednávky sú:
** thx ii ⋅= 7206120*1 =⋅=x ks
163
360660*2 =⋅=x ks
540690*3 =⋅=x ks
Podobne ako v príklade 4.2, sa možno presvedčiť, že pri iných intervaloch objednávok sú
celkové náklady na objednanie a dodanie vyššie:
t* N(t*)
5,6 54664
5,8 54548
6 54500 � optimálna výška celkových nákladov
6,2 54513
6,4 54581
Ak by boli objednávky a dodávky jednotlivých položiek realizované jednotlivo a intervaly
a množstvá by boli optimalizované s využitím vzťahov 4.10 a 4.11, boli by celkové náklady na
objednávanie a dodávky všetkých položiek za obdobie T vyššie (pozri nasledujúcu tabuľku).
Položka Q T c1 c2 x* t* N(x*)
1 12000 100 0,5 1650 889,94 7,4 44497
2 6000 100 0,2 1650 994,99 16,6 19900
3 9000 100 0,2 1650 1218,61 13,5 24372
Celkové náklady: 88769
4.3.1.2 Model s deficitom
Aj keď možnosť vyčerpania zásob je v rozpore s logikou modelov determinovaných
absolútne, v literatúre sa stretávame s tzv. modelmi s deficitom (2, 11), ktoré možno použiť ako
náhradu stochastických modelov. Môže pritom ísť (ako bolo spomenuté pri klasifikácii modelov
zásob) o modely s odkladom (obr. 4-6) alebo modely so stratenými predajmi (obr. 4-7). V oboch
prípadoch zásobovací cyklus pozostáva z obdobia dĺžky t1, v ktorom sú zásoby k dispozícii
a obdobia dĺžky t2, v ktorom sú zásoby vyčerpané.
164
Obr. 4-6 Obr. 4-7
V prípade modelov s odkladom treba rátať s deficitom veľkosti x-S a s dodatočnými
nákladmi deficitu c3, ktoré vznikajú v každom cykle v období dĺžky t2 a závisia od dĺžky trvania
deficitu a chýbajúceho množstva – označíme ich c3 (sú to náklady na jednotku chýbajúceho
množstva za jednotku času) alebo len od množstva – tieto označíme c4. Pri optimalizácii modelu
treba vychádzať tiež z nákladovej funkcie, ktorá však v tomto prípade je funkciou nielen
objednávaného množstva, ale aj deficitu.
V prípade, že sú náklady deficitu závislé od dĺžky trvania deficitu aj od množstva, má
vzťah na výpočet optimálnej veľkosti dodávky tvar:
3
31
1
2
31
312 2)(2*
c
cc
Tc
Qc
cTc
ccQcx
+⋅=
+= . [4.20]
Vzťah pre optimálnu veľkosť deficitu:
331
12
)(
2)*(*
cccT
cQcSxq
+=−= [4.21]
a vzťah na výpočet optimálnych (minimálnych) celkových nákladov:
23221 **2*
*)*(*2
*)*,( qx
Tc
x
Qcqx
x
TcqxN ⋅++−⋅= . [4.22]
165
V prípade, že sú náklady deficitu závislé len od množstva, dá sa dokázať, že optimálnym
riešením je model s nulovým deficitom a optimálnu veľkosť dodávky možno vypočítať pomocou
vzťahu [4.10].
Ak sa v modeli vyskytujú náklady c3 aj c4, možno odvodiť pre optimálnu veľkosť dodávky
a pre optimálny deficit vzťahy (11):
3
31
1312
24
1
2
)(
)(2*
c
cc
cccT
Qc
Tc
Qcx
+⋅
+−=
[4.23]
13
2
4
3
1
3
1124 1
2
)*(*cc
T
Qc
c
c
c
c
T
cQc
T
Qc
Sxq+
−
++−
=−= [4.24]
Je zrejmé, že vzťahy [4.20] a [4.21] sú špeciálnym prípadom vzťahov [4.23] a [4.24] pre c4=0.
Pri modeloch so stratenými predajmi vychádza ako optimálny taký stav, pri ktorom nevzniká
deficit a optimálnu veľkosť dodávky možno určiť pomocou vzťahu [4.10] (11).
Príklad 4.4:
Zadanie vychádza zo zadania príkladu 4.2. Rozdiel je v tom, že je prípustný deficit zásoby
uvažovaných komponentov. Zvýšenie nákladov, vyplývajúce z potreby dobehnutia sklzu vo
výrobe dodatočným vykonávaním niektorých operácií možno kvantifikovať prostredníctvom
nákladov deficitu. Tieto sú závislé od času aj množstva a ich veľkosť je 1,-€ na 1 chýbajúci
komponent za deň. Ostatné vstupné údaje ostávajú nezmenené. Treba určiť optimálnu prípustnú
veľkosť deficitu a tiež v akých intervaloch a v akých množstvách majú byť komponenty
dodávané, aby celkové náklady boli minimálne.
Riešenie:
Zo zadania vyplýva, že ide o model s odkladom (s odloženou spotrebou). Optimálna veľkosť
deficitu je:
3631)15,0(100
5,01650120002
)(
2)*(*
331
12 ≅⋅+⋅⋅⋅⋅=
+=−=
cccT
cQcSxq ks
166
a optimálne objednávané množstvo je:
109015,0100
)15,0(1650120002)(2*
31
312 ≅⋅⋅
+⋅⋅⋅=+
=cTc
ccQcx ks.
Optimálny interval objednávania je:
912000
1090100** ≅⋅≅=
Q
Txt dní.
Celkové náklady, vypočítané podľa vzťahu (4.22) sú:
36332363109021001
1090165012000
)3631090(10902
5,0100*)*,( 22 ≅⋅
⋅⋅+⋅+−⋅
⋅⋅=qxN ,-€.
4.3.1.3 Model s postupným doplňovaním zásob
V doterajších úvahách sme predpokladali, že doplnenie zásoby prebieha v jedinom okamihu,
napríklad po uskutočnení dodávky od externého dodávateľa. Iný prípad nastane, ak sa zásoby
dopĺňajú plynulo, napr. v dôsledku vlastnej výroby. Budeme predpokladať, že intenzita výroby je
vyššia ako intenzita spotreby. Preto treba výrobu organizovať vo výrobných dávkach. Tiež
budeme predpokladať, že nemôže dôjsť k deficitu v dôsledku vyčerpania zásoby. Dodávkový
cyklus dĺžky t potom možno rozdeliť na interval dĺžky t1, v ktorom prebieha výroba a dopĺňanie
zásoby (pri jej súčasnom čerpaní) a na interval dĺžky t2, v ktorom prebieha len čerpanie zásoby.
Vývoj stavu zásob v tomto prípade je znázornený na obr. 4-8.
167
Obr. 4-8
Uvedený model sa nazýva „model s postupným doplňovaním zásob“, alebo „produkčný
model“, resp. „produkčno-spotrebný model“ (v anglo-americkej literatúre POQ – Production
Order Quantity) (3), alebo „model s konečnou mierou dodávky“ (6, 7).
Cieľom riešenia býva nájdenie optimálnej veľkosti výrobnej dávky x* a optimálneho
intervalu medzi po sebe nasledujúcimi dávkami t* . Tieto veličiny treba stanoviť tak, aby boli
celkové náklady minimálne. Celkové náklady v jednom zásobovacom cykle pritom pozostávajú
z nákladov na skladovanie počas jedného cyklu (podobne ako v predchádzajúcich prípadoch)
a z fixných nákladov jednej výrobnej dávky. Ak c1 sú náklady na skladovanie jednotkového
množstva zásob za časovú jednotku, potom náklady na skladovanie počas jedného cyklu sú t.c1.
Fixné náklady jednej výrobnej dávky označíme c2.
Celkové náklady počas obdobia T sú:
ncsTcxN p ⋅+⋅⋅= 21)( ,
kde sp je priemerná výška zásoby a n je počet cyklov za obdobie T.
Ak potreba zásob za obdobie T je Q a predpokladaná veľkosť výrobnej dávky je x ,
možno určiť počet cyklov n počas obdobia T zo vzťahu
x
Qn = .
168
Z obr. 4-8 je zrejmé, že priemernú výšku zásoby sp možno určiť ako polovicu maximálnej
zásoby sm (t.j. sp = sm/2). Na určenie sm zavedieme 2 ďalšie veličiny:
p – intenzita produkcie (objem produkcie za časovú jednotku),
h – intenzita spotreby (dopyt po skladovaných predmetoch za časovú jednotku).
Keďže p > h , dochádza k dopĺňaniu skladu s intenzitou (p–h) a za čas t1 sa zväčší objem
zásob na (p–h).t1 . Veľkosť výrobnej dávky x možno určiť z intenzity produkcie: 1tpx ⋅= ,
z čoho pxt /1 = . Takže
.2
).(
2
).(
21
p
xhpthpss m
p
−=−==
Po dosadení bude funkcia celkových nákladov:
x
Qc
p
xhpTcxN ⋅+−⋅⋅= 21 2
).()( . [4.25]
Optimálnu veľkosť výrobnej dávky x* dostaneme tak, že prvú deriváciu funkcie celkových
nákladov položíme rovnú nule, z čoho:
hp
p
Tc
Qcx
−⋅=
1
22* . [4.26]
Optimálna dĺžka cyklu t* je:
Q
Txt
** = . [4.27]
Optimálne náklady N(x*) (po dosadení optimálnej veľkosti výrobnej dávky do funkcie
celkových nákladov a úprave) sú:
.2*)( 21 p
hpcQTcxN
−⋅= [4.28]
169
Ak je na prípravu výroby nevyhnutný určitý čas – označíme ho d , môže nás zaujímať, pri
akom stave zásob treba začať pripravovať výrobu ďalšej výrobnej dávky. Môžu nastať dve
situácie (obr. 4-9 a, b):
Ak sa prípravy majú začať v intervale, keď už neprebieha výroba predchádzajúcej dávky
( d < t2 ), možno stav zásob Sd , pri ktorých treba začať s prípravou, vypočítať:
dhSd ⋅=
. [4.29]
Ak sa prípravy majú začať v intervale, keď ešte prebieha výroba predchádzajúcej dávky ( d > t2 ),
možno stav zásob Sd , pri ktorých treba začať s prípravou, vypočítať:
)()*( hpdtSd −⋅−=
. [4.30]
Dĺžku intervalu spotreby t2 vypočítame:
p
xtttt
*** 12 −=−=
. [4.31]
Obr. 4-9 a Obr. 4-9 b
Príklad 4.5:
Príklad je modifikáciou príkladu 4.2. Rovnako ako v tomto príklade, vychádzame
z predpokladu, že závod pri výrobe výrobkov využíva komponenty, ktorých spotreba je dlhodobo
ustálená – 120 ks denne. Avšak na výrobu týchto komponentov má k dispozícii vlastnú pružnú
170
výrobnú linku, ktorá môže produkovať 300 ks denne. Rovnako ako v príklade 4.2, náklady na
skladovanie 1 komponentu sú približne 50 centov za deň skladovania. Fixné náklady jednej
výrobnej dávky (t.j. náklady na prípravu novej výrobnej dávky nezávislé od jej veľkosti) sú
1500,- €. Treba určiť, v akých intervaloch treba spúšťať výrobu komponentov a v akých
výrobných dávkach ich treba vyrábať, aby celkové náklady boli minimálne. Treba tiež určiť, pri
akom stave zásob treba začať s prípravou výroby dávky, ak táto príprava trvá 2 dni.
Riešenie:
Vzhľadom na ustálenú spotrebu komponentov možno výpočet vzťahovať na ľubovoľný
časový interval. Napríklad, ak T=100 dní, Q=12000 ks. Optimálnu veľkosť výrobnej dávky
možno vypočítať:
1096445,1095120300
300
5,0100
15001200022*
1
2 ≅=−
⋅⋅
⋅⋅=−
⋅=hp
p
Tc
Qcx ks
a optimálnu dĺžku cyklu:
931,912000
1096100** ≅=⋅==
Q
Txt dní.
Dĺžka intervalu spotreby je:
48,5300
445,109513,9
**2 =−=−=
p
xtt dní,
čo je viac ako čas potrebný na prípravu výroby výrobnej dávky, preto treba začať s prípravou
výroby v intervale, keď už neprebieha výroba predchádzajúcej dávky a keď zásoba dosiahne:
2402120 =⋅=⋅= dhSd ks.
Možno vypočítať tiež veľkosť celkových nákladov:
−=−⋅⋅⋅⋅⋅=−⋅= ,32863300
12030015005,01001200022*)( 21 p
hpcQTcxN €
a pomocou tabuľky a grafu demonštrovať, že pri inej veľkosti výrobnej dávky sú náklady vyššie:
171
x N(x)
1000 33000
1050 32893
1096 32863
1150 32902
1200 33000 32750
328003285032900329503300033050
1000 1050 1096 1150 1200x
N(x)
4.3.1.4 Model s diskontom
V praxi je často v záujme dodávateľa zainteresovať odberateľa zľavou pri dodávke väčšieho
množstva (diskont). Len v ojedinelých prípadoch býva táto zľava vyjadrená priamo ako funkcia
množstva. Väčšinou býva jednotková nákupná cena so zľavou vyjadrená formou tabuľky podľa
diskontných kategórií:
Objednané množstvo Jednotková cena
od x0 do x1 cx1
od x1 do x2 cx2
: :
od xk-1 do xk cxk
Nákladová funkcia musí v tomto prípade obsahovať aj nákupnú cenu:
Qcx
Qcx
TcxN x ⋅++⋅= 21
2)( . [4.32]
Ak sú náklady na skladovanie jednotky množstva zásoby úmerné nákupnej cene, budú aj
tieto pre jednotlivé diskontné kategórie rôzne (c11, c12, ..., c1k).
172
Optimálnu veľkosť objednávky určíme nasledujúcim postupom:
1. Pre každú diskontnú kategóriu vypočítame optimálnu veľkosť objednávky:
i
i Tc
Qcx
1
22* = , kde i = 1, 2, ..., k [4.33]
2. Ak sú niektoré vypočítané množstvá menšie ako dolná hranica príslušnej kategórie, zvýšime
ich na hodnotu dolnej hranice príslušnej kategórie.
3. Pre každú hodnotu xi* vypočítame celkové náklady podľa vzťahu:
Qcx
Qcx
TcxN xi
ii
ii ⋅++⋅=
**
2*)( 21 [4.34]
Optimálnou veľkosťou objednávky x* je potom tá z hodnôt xi* , pre ktorú vychádzajú
najnižšie celkové náklady N(xi* ).
Príklad 4.6:
Príklad je modifikáciou príkladu 4.2. Závod pri výrobe výrobkov využíva komponenty,
ktorých spotreba je dlhodobo ustálená – 120 ks denne. Náklady na jednu dodávku sú 1650,- €
a dodávateľ zabezpečí dodanie do 2 dní. Náklady na skladovanie 1 komponentu sú približne 50
centov za deň skladovania nezávisle od nákupnej ceny. Cena 1 ks komponentu je 20,-€, avšak pri
dodávke väčšieho množstva dodávateľ poskytuje zľavy podľa nasledujúcej tabuľky:
Množstvo [ks] Zľava [%] Jednotková cena [€]
1 – 999 0 20
1000 – 1999 4 19,2
2000 a viac 6 18,8
Treba určiť, v akých intervaloch a v akých množstvách majú byť komponenty dodávané, aby
celkové náklady boli minimálne.
173
Riešenie:
Podľa vzťahu 4.33 treba vypočítať optimálne veľkosti objednávky pre jednotlivé diskontné
kategórie. Keďže náklady na skladovanie sú nezávislé od nákupnej ceny, stačí urobiť len jeden
výpočet:
8905,0100
16501200022*
1
2 =⋅
⋅⋅==i
i Tc
Qcx ks.
Avšak podľa bodu 2 postupu treba vypočítané množstvá v niektorých prípadoch zvýšiť na dolnú
hranicu príslušnej kategórie:
x1* = 890 ks, x2* = 1000 ks, x3* = 2000 ks.
Celkové náklady pre jednotlivé kategórie (podľa vzťahu 1.34) potom budú:
−=⋅+⋅+⋅⋅= ,2844971200020890
165012000890
2
5,0100*)( 1xN €
−=⋅+⋅+⋅⋅= ,275200120002,191000
1650120001000
2
5,0100*)( 2xN € � optimum
−=⋅+⋅+⋅⋅= ,285500120008,182000
1650120002000
2
5,0100*)( 3xN €
Z vypočítaného vyplýva, že optimálna veľkosť objednávky je 1000 ks a optimálny interval
objednávania je
3,812000
1000100** =⋅==
Q
Txt dňa.
Nasledujúci obrázok znázorňuje závislosť celkových nákladov od veľkosti objednávky.
174
274000
276000
278000
280000
282000
284000
800
830
860
890
920
950
980
1010
1040
1070 x
N(x)
4.3.2 Dynamické modely s pohybom zásob determinovaným pravdepodobnostne úplne
V dynamických modeloch zásob dochádza k opakovaným objednávkam, ktoré môžu byť
rovnaké alebo nerovnaké. Rozdiel oproti predchádzajúcim úvahám je v tom, že budúci dopyt po
skladovaných produktoch je tu charakterizovaný náhodnou veličinou. Čerpanie zo skladu môže
byť pritom spojité alebo nespojité (diskrétne).
Rovnako ako v predchádzajúcich typoch modelov je cieľom minimalizovať náklady.
V modeloch môžu byť uvažované všetky náklady uvažované v predchádzajúcich častiach –
náklady na obstaranie a udržiavanie zásob, ako aj náklady z nedostatku zásoby a z nadbytočnej
zásoby. Niektoré však majú odlišný charakter. Napríklad náklady z nadbytočnej zásoby, ktoré
boli dôležité pri statických modeloch, tu nemajú taký dopad, pretože nadbytok zásob v jednom
období možno vyrovnať zmenšením objednávaného množstva v nasledujúcom období.
Pri dynamických modeloch s pohybom zásob determinovaným absolútne bola intenzita
spotreby konštantná, a preto bolo možné určiť, v akom predstihu treba dodávku objednať, aby
bola dodaná v okamihu vyčerpania zásoby. V prípade kolísania dopytu to možné nie je. Proti
nedostatku zásoby sa možno zabezpečiť tzv. poistnou zásobou, ktorá zmenšuje riziko nedostatku
zásob, avšak zvyšuje náklady na udržiavanie zásob.
Riadenie stavu zásob možno realizovať dvoma spôsobmi. Voľbou intervalu objednávania
alebo voľbou veľkosti objednávky. Uvedené spôsoby sú znázornené na obrázkoch 4-10 a 4-11.
Na obr. 4-10 je znázornený spôsob, pri ktorom je v okamihu dosiahnutia signálnej úrovne zásob
lokálne minimum
absolútne minimum
175
(s) vygenerovaná objednávka na také množstvo, ktorým by sa doplnil stav zásob na objednávaciu
úroveň S (toto množstvo je v každom cykle rovnaké). S ohľadom na pokračujúce čerpanie zásob
medzi okamihom objednania a dodania (počas intervalu dĺžky d) zásoba spravidla nedosiahne
objednávaciu úroveň. Na obr. 4-11 je znázornený spôsob, pri ktorom je v pravidelných
intervaloch zisťovaný stav zásob a vystavovaná objednávka na také množstvo (v každom cykle
iné), ktorým by sa doplnil stav zásob na objednávaciu úroveň S. Z rovnakého dôvodu ako
v predchádzajúcom prípade zásoba spravidla nedosiahne objednávaciu úroveň.
Obr. 4-10 Obr. 4-11
Podrobnejšie rozoberieme model s pohybom zásob determinovaným pravdepodobnostne
úplne pre prípad nespojitého čerpania. Dopyt po skladovaných produktoch je tu charakterizovaný
náhodnou veličinou so známym zákonom rozdelenia pravdepodobnosti. Predpokladajme, že
zásobovanie prebieha v cykloch dĺžky t a v každom cykle vzniká dopyt veľkosti x
s pravdepodobnosťou p(x). Časový interval medzi vystavením objednávky a realizáciou dodávky
zanedbáme. Úlohou je určiť optimálny počet skladovaných jednotiek na začiatku každého cyklu
(za daných predpokladov je to objednávacia úroveň zásob - S). Za optimálny budeme považovať
taký stav, pri ktorom budú celkové očakávané náklady, pozostávajúce z nákladov na skladovanie
a nákladov deficitu, minimálne.
Je zrejmé, že môžu nastať 2 situácie:
a) pri príchode novej dodávky nebola zásoba vyčerpaná (obr. 4-12),
176
b) zásoba bola vyčerpaná pred príchodom novej dodávky a preto v závere zásobovacieho cyklu
dopyt nebol uspokojovaný (obr. 4-13).
Obr. 4-12 Obr. 4-13
V prvom prípade bude priemerná zásoba počas zásobovacieho cyklu:
( )[ ]22
1 xSxSS −=−+⋅
a náklady na skladovanie, ktoré sú v tomto prípade celkovými nákladmi, budú:
∑=
−⋅⋅S
x
xSxpC
01 2
)( , kde
C1 sú náklady na skladovanie jednotkového množstva zásob za čas t = 1 (t. j. jeden zásobovací
cyklus),
p(x) je pravdepodobnosť, že počas zásobovacieho cyklu bude mať dopyt práve veľkosť x,
pričom x < S.
V druhom prípade pozostáva zásobovací cyklus z intervalu dĺžky t1, v ktorom sa čerpá
zásoba a z intervalu t2, v ktorom vznikajú penalizačné náklady C3.
C3 sú straty, ktoré vznikajú ako dôsledok nedostatku jednotkového množstva zásoby za čas
t = 1, (t. j. za celý zásobovací cyklus).
Priemerný počet skladovaných jednotiek v intervale t1 je S/2 a priemerný počet nedodaných
jednotiek v intervale t2 je (x-S)/2. Z podobnosti trojuholníkov na obr. 4-13 za predpokladu
linearity funkcií čerpania platí:
177
x
S
t
t=1 a
t
t
x
Sx 2=−,
z čoho:
t
x
St ⋅=1
a t
x
Sxt ⋅−=2
a za predpokladu, že C1 aj C3 sú vzťahované na celý interval dĺžky t (jednotkou času je 1
zásobovací cyklus), platí:
x
St =1
a x
Sxt
−=2 .
V druhom prípade sú teda náklady na skladovanie:
∑ ∑∞
+=
∞
+=
⋅⋅⋅=⋅⋅⋅1 1
111 )(2
)(2Sx Sx
xpx
SSCxpt
SC
a straty vznikajúce v dôsledku nedostatku zásob:
)(2
)(2 1
321
3 xpx
SxSxCxpt
SxC
SxSx
⋅−⋅−⋅=⋅⋅−⋅ ∑∑∞
+=
∞
+=
.
Celkové náklady za obdobie t potom sú:
∑∑∑
∞
+=
∞
+==
−⋅⋅+⋅⋅+
−⋅⋅=1
2
31
2
10
1 2
)()(
2)(
2)()(
SxSx
S
x x
SxxpC
x
SxpC
xSxpCSN
. [4.35]
Optimálnu veľkosť zásoby na začiatku každého zásobovacieho cyklu možno určiť dvoma
spôsobmi:
Riešenie výpočtom:
Pomocou vzťahu (4.35) sa vypočíta N(S) pre všetky S, ktoré prichádzajú do úvahy a S* =
S, pri ktorom je N(S) minimálne, bude optimálnou veľkosťou zásoby.
178
Analytické riešenie:
Nasledujúcimi úvahami možno odvodiť jednoduchý vzťah, pomocou ktorého možno určiť
optimálnu veľkosť zásoby (8):
Do funkcie (4.35) za S dosadíme S+1 a postupnými úpravami dostaneme:
3
131
)(
2
1)()()()1( C
x
xpSSxPCCSNSN
Sx
−
⋅
++<⋅++=+ ∑∞
+= [4.36]
alebo
)()()1( SNSNSN ∆+=+ ,
kde ∆N(S) je prírastok nákladovej funkcie.
Ak označíme výraz, ktorý je v rovnici [4.36] v hranatej zátvorke ako funkciu L(S), môžeme
prírastok nákladovej funkcie zapísať v tvare:
331 )()()()1( CSLCCSNSN −⋅+=−+ , [4.37]
331 )1()()1()( CSLCCSNSN −−⋅+=−− , atď. [4.38]
Možno dokázať, že funkcia L(S) je neklesajúca, preto:
=⋅
++++≤=+ ∑∞
+= 2
)(
2
11)1()1(
Sx x
xpSSxPSL
=+
+⋅+
+−⋅++++≤= ∑∑
∞
+=
∞
+= 11
)()1(
12
1)(
2
1)1()(
SxSx x
xpSP
S
S
x
xpSSPSxP
1
)1(
2
1)()(
2 ++⋅++= ∑
∞
+= S
SP
x
xpSL
Sx
,
čiže L(S+1) > L(S).
Ak do rovníc [4.37] a [4.38] dosadíme za S optimálnu veľkosť zásoby S*, musí byť:
179
0*)()1*( ≥−+ SNSN , a teda aj 0*)()( 331 ≥−⋅+ CSLCC
a tiež 0)1*(*)( ≤−− SNSN , a teda aj 0)1*()( 331 ≤−−⋅+ CSLCC .
To znamená, že pre optimálnu veľkosť zásoby S* musí platiť:
*)()1*(31
3 SLCC
CSL ≤
+≤− [4.39]
Vlastný výpočet optimálnej veľkosti zásoby S* prebieha podľa tohto postupu:
1. Vypočíta sa hodnota funkcie
∑
∞
+=
⋅
++≤=1
)(
2
1)()(
Sx x
xpSSxPSL
[4.40]
pre všetky hodnoty S , ktoré prichádzajú do úvahy.
2. Vypočíta sa podiel 31
3
CC
C
+.
3. Nájdu sa hodnoty L(S) , medzi ktoré tento podiel patrí. Hodnota S zodpovedajúca vyššej
z dvoch nájdených hodnôt L(S) je hľadanou optimálnou hodnotou S*.
Príklad 4.7:
Počas prevádzky výrobného systému dochádza na výrobnom zariadení systému
k poruchám, na odstránenie ktorých je potrebná náhradná súčiastka. Uvedená súčiastka môže byť
dodávaná v ľubovoľnom počte ako súčasť väčšej dodávky iného materiálu v mesačných
intervaloch (30 dní). Ak vznikne potreba mimoriadnej dodávky uvedenej súčiastky v období
medzi pravidelnými dodávkami, možno ju okamžite zrealizovať, avšak s nákladmi vyššími
o 1500,-€ na 1 kus. Náklady na skladovanie 1 náhradnej súčiastky sú 1,20 € na deň skladovania.
Na základe dlhodobého sledovania boli zistené pravdepodobnosti potreby práve x náhradných
súčiastok za obdobie jedného cyklu (30 dní). Sú uvedené v nasledujúcej tabuľke (aj graficky):
180
x p(x)
1 0,27
2 0,31
3 0,23
4 0,1
5 0,06
6 0,03
0
0,1
0,2
0,3
0,4
1 2 3 4 5 6 x
p(x)
Treba určiť, v akých intervaloch a v akých množstvách majú byť komponenty dodávané,
aby celkové náklady boli minimálne (na tomto príklade budú demonštrované oba spôsoby
riešenia).
Riešenie výpočtom:
Pomocou vzťahu (4.35) boli vypočítané hodnoty N(S) pre všetky S, ktoré prichádzajú do
úvahy. Na riešenie bol použitý tabuľkový editor. V jednotlivých stĺpcoch nasledujúcej tabuľky sú
uvedené niektoré vybrané čiastkové výsledky:
(1): ∑=
−⋅⋅S
x
xSxpC
01 2
)(
(2): ∑∞
+=
⋅⋅1
2
1 .2)(
Sx x
SxpC (1) + (2) + (3): N(S)
(3): ∑∞
+=
−⋅⋅1
2
3 .2
)()(
Sx x
SxxpC
x p(x) (1) (2) (3) N(S)
1 0,27 4,86 4,93 752,75 762,54
2 0,31 25,74 8,54 273,50 307,78
3 0,23 59,04 6,80 88,50 154,34
4 0,10 95,40 4,90 24,00 124,30
5 0,06 133,56 2,25 3,75 139,56
6 0,03 171,72 0,00 0,00 171,72
181
Z tabuľky aj nasledujúceho grafu je zrejmé, že optimálna veľkosť zásoby na začiatku
zásobovacieho cyklu pre danú náhradnú súčiastku je S* = 4 ks, pretože očakávané náklady sú
v tomto prípade minimálne (124,30 €).
0,00
200,00
400,00
600,00
800,00
1000,00
1 2 3 4 5 6 S
N(S)
Analytické riešenie:
Pre všetky možné veľkosti zásoby vypočítame hodnotu L(S) podľa vzťahu [4.40]. Možno na
to využiť tabuľkový editor:
S, x p(x) )( SxP ≤ x
xp )( ∑
∞
+= 1
)(
Sx x
xp L(S)
1 0,27 0,27 0,2700 0,2737 0,6805
2 0,31 0,58 0,1550 0,1187 0,8767
3 0,23 0,81 0,0767 0,0420 0,9570
4 0,10 0,91 0,0250 0,0170 0,9865
5 0,06 0,97 0,0120 0,0050 0,9975
6 0,03 1,00 0,0050 0,0000 1,0000
Vypočítame hodnotu podielu: 9766,0150036
1500
31
3 =+
=+ CC
C.
Pre vypočítanú hodnotu platí:
)4(9865,09766,09570,0)3( LL =<<= ,
182
z čoho vyplýva, že S* = 4, a preto optimálna veľkosť zásoby na začiatku zásobovacieho cyklu je
4 súčiastky.
ÚLOHY/OTÁZKY NA SAMOSTATNÉ RIEŠENIE
1. V čom spočíva problematika riadenia zásob?
2. Čo predstavuje teória zásob? Vysvetlite pojem zásoba.
3. Aké modely zásob používa teória zásob?
4. Opíšte verbálne statický model s pohybom zásob determinovaným pravdepodobnostne úplne
a odvoďte nerovnosť na určenie optimálnej veľkosti objednávky (zásob).
5. Opíšte dynamické deterministické modely zásob a určte základné optimálne ukazovatele.
6. Opíšte dynamické stochastické modely zásob a odvoďte kritérium optimality pre S*.
Literatúra k 4. kapitole
1. HANUŠ, F. a kol. Operační a systémová analýza. Praha: ES ČVUT, 1981.
2. IVANIČOVÁ, Z., BREZINA, I., PEKÁR, J. Prípadové štúdie z operačného výskumu.
Bratislava: Ekonóm, 1999.
3. JABLONSKÝ, J. Operační výzkum. Kvantitativní metody pro ekonomické rozhodování.
Praha: PROFESSIONAL PUBLISHING, 2002.
4. KLVAŇA, J. Modelování 20. Operační výzkum 2. Praha: Vydavatelství ČVUT, 1999.
5. KOŽÍŠEK, J., HANUŠ, F. Operační a systémová analýza II (Příklady). Praha: ES ČVUT,
1989.
6. LINDA, B., FRONC, M. Operačná analýza II. Žilina: VŠDS, 1991.
7. PEŠKO, Š., SMIEŠKO, J. Stochastické modely operačnej analýzy. Žilina: Žilinská univerzita,
1999.
8. SAKÁL, P., JERZ, V. Operačná analýza v praxi manažéra II. Trnava: SP SYNERGIA,
2005. ISBN 80-968734-3-1
183
9. SAKÁL, P., ŠTRPKA, A. Operačná a systémová analýza. Bratislava: ES SVŠT, 1983.
10. ŠTRPKA, A., SAKÁL, P. Operačná a systémová analýza. Zbierka príkladov II. Bratislava:
ES SVŠT, 1986.
11. TER-MANUELIANC, A. Matematické modely řízení zásob. Praha: Institut řízení, 1980.
12. UNČOVSKÝ, L. Stochastické modely operačnej analýzy. Bratislava: Alfa, 1980.
184
5 EXAKTNÉ METÓDY V MANAŽÉRSKOM ROZHODOVANÍ – VIACKRITERIÁLNA OPTIMALIZÁCIA
Ciele:
• Základná rozdelenie metód rozhodovania a ich charakteristika,
• Základná charakteristika exaktných metód v manažérskom rozhodovaní,
• Charakteristika viackriteriálnej optimalizácie ako súčasti exaktných metód,
• Charakteristika metódy analytický hierarchický proces ako metódy viackriteriálnej
optimalizácie,
• Využitie metódy AHP.
5.1 EXAKTNÉ METÓDY V MANAŽÉRSKOM ROZHODOVANÍ
Jednou z úloh súčasného manažéra ako riadiaceho pracovníka je riešenie súčasných
i potenciálnych problémov. Jednou z jeho povinností je hľadanie efektívnych spôsobov, ako tieto
problémy vyriešiť na základe viacerých variantov (4).
Rozhodovanie (rozhodovací proces) možno chápať ako nenáhodnú voľbu (nenáhodný výber)
jedného z množiny možných riešení (variantov) na základe nejakého, premysleného dôvodu z
hľadiska splnenia stanoveného cieľa. Základné predpoklady pre tvorbu úspešného rozhodnutia sú
nasledovné (6):
- presná formulácia (definovanie) cieľa, ktorý sa má rozhodnutím dosiahnuť,
- dostatočné množstvo kvalitných, včasných, overených informácií na tvorbu rozhodnutia,
- dostatočná kvalifikácia rozhodovacích subjektov a ich prislúchajúce vybavenie vhodnými
metódami, prostriedkami a vedomosťami.
Metódy rozhodovania vo všeobecnosti predstavujú súhrn pravidiel a postupov,
rešpektovaním ktorých môže rozhodovací subjekt dospieť k výberu najlepšieho variantu riešenia
daného rozhodovacieho problému, a teda k prijatiu najlepšieho rozhodnutia (7).
185
Manažéri si v súčasnosti môžu vybrať z veľkého množstva metód rozhodovania, od tých
najjednoduchších až po tie zložité, ktoré možno efektívne aplikovať iba v spojení
s prostriedkami výpočtovej techniky.
Z hľadiska formalizácie, resp. stupňa využitia vedeckých postupov pri formulácii
rozhodnutia možno metódy rozhodovania rozdeliť do troch skupín (7):
1. Empirické rozhodovanie - založené na poznaní skutočnosti a vlastnej skúsenosti toho, kto
rozhoduje (empíria = skúsenosť). Pritom je zrejmé, že kvalita rozhodnutia bude závisieť
najmä od kvalifikácie, skúseností, ale aj od okamžitej dispozície rozhodovacieho subjektu.
2. Exaktné rozhodovanie - predstavuje súhrn činností spojených s prípravou výberu
riadiaceho rozhodnutia pri využití vedeckých poznatkov a metód z oblasti rozhodovania. Od
exaktného rozhodovania sa právom očakáva vyšší efekt ako
od rozhodovania, ktoré je založené iba na logickom úsudku a praktických skúsenostiach
(empirické rozhodovanie). Podstatou exaktného rozhodovania je algoritmizácia
rozhodovacieho procesu, možnosť jeho modelového zobrazenia a matematického riešenia.
Exaktné metódy poskytujú široký priestor na uplatnenie výpočtovej techniky pri ich
aplikácii.
3. Heuristické (zmiešané rozhodovanie) - tvoria istý prienik medzi empirickým
a exaktným prístupom k rozhodovaniu. Predstavujú metódy založené sčasti na subjektívnom
hodnotení (úsudku), ktorého výsledky sú ďalej spracované podľa exaktných postupov
(algoritmov) tak, aby mohlo byť vyslovené konečné rozhodnutie.
Exaktné metódy operačnej analýzy možno zaradiť medzi najrozvinutejšie kvantitatívne
metódy rozhodovania uplatňované predovšetkým pri riešení dobre štruktúrovaných
rozhodovacích problémov. Úlohou takýchto metód je nájsť spomedzi možných variantov riešenia
ten variant, ktorý vzhľadom na zadaný problém, resp. stanovený cieľ najviac vyhovuje.
Medzi exaktné metódy, čiže metódy určené na riešenie takých rozhodovacích problémov,
ktoré sa opakujú a kde vzťahy medzi prvkami sú vyjadrené kvantitatívne, možno zaradiť (11):
- metódy matematickej štatistiky – teória pravdepodobnosti, korelačná analýza, analýza
časových radov,
- metódy matematickej analýzy a lineárnej algebry – diferenciálny počet, extrapolácia,
maticový počet,
186
- metódy operačnej analýzy – ekonomicko-matematické metódy, štruktúrna analýza, sieťová
analýza, modely hromadnej obsluhy a pod.,
- metódy viackriteriálneho rozhodovania.
Niektorí autori uvádzajú, že metódy viackriteriálneho rozhodovania možno zakomponovať
priamo medzi exaktné metódy (10), iní však uvádzajú, že viackriteriálne rozhodovanie možno
chápať ako vednú disciplínu patriacu pod pojem operačný výskum (5).
V každom prípade, či už sa na viackriteriálne metódy budeme pozerať ako na samostatnú
vednú disciplínu, alebo ako na súčasť operačného výskumu, faktom je že patria do skupiny
exaktných metód rozhodovania.
Pod pojmom operačná analýza, resp. operačný výskum, rozumieme súhrn prístupov a
metód, ktoré sú určené na riešenie rozhodovacích problémov a opierajú sa o systémové skúmanie
javov a procesov prostredníctvom využívania modelovej techniky.
Z iného uhla pohľadu pod pojmom operačný výskum rozumieme celý rad relatívne
samostatných disciplín, ktoré sa zaoberajú rôznymi oblasťami ekonomického života a od seba sa
navzájom odlišujú typmi používaných modelov a tým aj rôznymi prístupmi k ich riešeniu. Na
získanie základného prehľadu možno tieto odvetvia stručne charakterizovať nasledovne (5):
- Matematické programovanie – zaoberá sa riešením optimalizačných úloh,
v ktorých cieľom je nájdenie extrému daného kritéria (napr. zisk, náklady objem výroby a
pod.) na množine všetkých možných prípustných variantov danej úlohy. V praxi to znamená,
že hľadáme extrém daného kritéria pri platnosti určitých obmedzujúcich podmienok. Úlohy
matematického programovania možno členiť na lineárne, nelineárne a dynamické
programovanie.
- Viackriteriálne rozhodovanie – je relatívne mladá disciplína operačnej analýzy, ktorá sa
zaoberá analýzou rozhodovacích úloh, v ktorých existuje viacero variantov riešenia. V
reálnych rozhodovacích situáciách je potrebné brať do úvahy niekoľko optimalizačných
(rozhodovacích) kritérií. Tieto kritériá by spravidla nemali byť vo vzájomnom súlade, t.j.
variant, ktorý je hodnotený najlepšie podľa jedného kritéria, nebýva najlepšie hodnotený
podľa iného kritéria. Cieľom týchto úloh je riešiť konflikt medzi navzájom protichodnými
kritériami a výber jedného variantu, ktorý bude podkladom pre konečné rozhodnutie.
187
- Teória grafov ako základ riadenia projektov – radí sa medzi najčastejšie používané
metódy v rámci operačnej analýzy. Grafy sa tvoria prostredníctvom uzlov a pomocou nich je
možné znázorňovať rozličné reálne problémy. Teória grafov sa najčastejšie využíva v oblasti
analýzy a riadenia projektov. Hrany grafu predstavujú reálne činnosti tvoriace projekt, sú
usporiadané podľa nadväzností jednotlivých činností. Každá hrana je ohodnotená (dobou
trvania činnosti, nákladmi, kapacitou a pod.) a cieľom analýzy je potom časový alebo
nákladový rozbor realizácie celého projektu. Ako príklad možno uviesť výstavbu nových
objektov, ale taktiež organizáciu a riadenie konferencií a iných jednorazových akcií, riadenie
opráv zložitých zariadení, riadenie výskumu a podobne.
- Teória zásob – sa zaoberá stratégiou riadenia zásobovacieho procesu
a optimalizáciou skladových zásob s ohľadom predovšetkým na minimalizáciu nákladov,
prípadne strát, ktoré súvisia s udržovaním, objednávaním a vydávaním zásob zo skladu.
- Teória hromadnej obsluhy - skúma systémy, v ktorých existujú dva základné typy
jednotiek – požiadavky, ktoré do systému prichádzajú a vyžadujú obsluhu
a obslužné linky, ktoré túto obsluhu realizujú. S realizáciou obsluhy súvisí vytváranie
frontov a z toho plynie aj alternatívne označenie pre túto disciplínu – teória frontov. S týmto
sa bežne stretávame v oblasti obchodu, bánk, križovatiek, výrobných liniek a pod. Cieľom
optimalizácie je efektívne fungovanie celého systému. Riešia problém medzi stupňom
využitia obslužných liniek a dobou čakania požiadaviek vo fronte.
- Markovove rozhodovacie procesy – popisujú správanie sa dynamických systémov. Ide
systémy, ktoré sa môžu v sledovaných časových úsekoch nachádzať vždy v niektorom
z konečného počtu stavov. Zmena stavov systému v po sebe nasledujúcich obdobiach
podlieha náhodnému správaniu. Základným cieľom Markovovej analýzy je predikcia
budúceho správania sa takéhoto systému.
- Simulácie – spočívajú v experimentovaní s vytvoreným modelom daného systému na
počítačoch. Pri simulácii ekonomických procesov prebieha počítačové spracovanie v
porovnaní s reálnym systémom spravidla v zrýchlenom čase. To umožňuje sledovať stav
skúmaného systému pri zmenách parametrov ovplyvňujúcich jeho správanie a pokúsiť sa
tento systém optimalizovať. Simulácia nie je možná bez výkonných počítačov a bez
potrebného špecializovaného softvéru.
188
5.2 VIACKRITERIÁLNA OPTIMALIZÁCIA
Riešenie problémov prostredníctvom viackriteriálneho hodnotenia variantov nielenže
umožňuje posudzovať varianty vzhľadom na rozsiahly súbor kritérií, ale takisto núti subjekty
rozhodovania, aby explicitne (nie iba intuitívne) vyjadrili svoje názory na dôležitosť jednotlivých
kritérií hodnotenia. Viackriteriálnosť taktiež zabezpečuje, aby celý proces hodnotenia variantov
bol transparentný, reprodukovateľný a jasný i pre ostatné subjekty, ktorých sa voľba variantov
viac či menej dotýka (3).
Viackriteriálnosť predstavuje významný aspekt rozhodovacieho procesu, pretože stanovený
problém sa hodnotí nielen z jedného uhla pohľadu, ale analyzuje sa podľa viacerých kritérií, resp.
subkritérií. Pod riešením viackriterálnej rozhodovacej úlohy rozumieme nájdenie takého
optimálneho stavu systému („optimálneho“ variantu), ktorý bude vyhovovať (resp. bude
optimálny k) viac ako jednému uvažovanému kritériu. Tento postup možno nazvať aj
viackriteriálna optimalizácia (9).
Viacriteriálna optimalizácia je pôvodný názov pre vedný odbor, ktorý sa zaoberá hľadaním
„optimálneho“ stavu prvku v množine prvkov – možných riešení alebo tiež
v množine prípustných riešení. Táto množina môže byť daná explicitne prostredníctvom svojich
prvkov alebo implicitne prostredníctvom sústavy obmedzujúcich podmienok.
Pojem viackriteriálne rozhodovanie, známy z osemdesiatych rokov minulého storočia,
predstavuje aplikačnú rovinu viackriteriálnej optimalizácie. Množina prípustných riešení,
v tomto prípade rozhodnutie, môže mať konečný, ale aj nekonečný počet prvkov. Ak má množina
konečný počet explicitne vyjadrených prvkov, nazývame problém viackriteriálneho rozhodovania
viackriteriálne hodnotenie.
Samotný rozhodovací proces pozostáva z viacerých etáp, ktoré možno bližšie špecifikovať
nasledovne (9):
1. formulácia a stanovenie cieľov rozhodovacieho problému,
2. voľba kritérií rozhodovania,
3. tvorba súboru variantov, ktoré predstavujú riešenie daného problému,
4. zhodnotenie dôsledkov jednotlivých variantov vzhľadom na rozhodovacie kritériá,
5. určenie dôsledkov variantov pri zmene vonkajších podmienok,
6. konečné rozhodnutie, t.j. výber variantu (variantov) riešenia daného problému.
189
Prvky viackriteriálnej rozhodovacej úlohy (9):
- cieľ rozhodovania – t.j. určitý budúci stav systému, ktorý plynie z nutnosti uspokojiť určité
potreby alebo plniť určité funkcie,
- subjekt a objekt rozhodovania – subjektom rozhodovania môže byť jednotlivec alebo
skupina jednotlivcov, ktorá rozhoduje; objekt rozhodovania predstavuje systém, v ktorom je
formulovaný rozhodovací problém, cieľ, kritériá i varianty rozhodovania,
- kritériá – tieto môžu mať rôznu povahu od fyzikálnych, technických alebo technologicky
merateľných vlastností cez ekonomické kritériá vyjadrované peňažnými jednotkami až po
nemerateľné subjektívne kritériá,
- varianty – t.j. najrôznejšie prvky, ktoré vzájomne porovnávame, pretože tieto prichádzajú do
úvahy ako riešenia v konkrétnom rozhodovacom probléme,
- stavy sveta (scenáre rozhodovania) – možno ich charakterizovať ako vzájomne sa
vylučujúce stavy tej časti okolia rozhodovacieho systému, ktorý je mimo kontroly
rozhodujúceho sa subjektu.
Matematický popis viackriteriálneho rozhodovania
Nech S = {s1, s2 ,....,st} – množina stratégií (množina možných riešení),
V = {v1, v2 ,....,vt} – množina výsledkov týchto stratégií,
H = {h1, h2 ,....,ht} – množina náhodných a neurčitých faktorov.
Predpokladáme, že každej stratégií s є S, za pôsobenia náhodného faktora h є H, zodpovedá
určitý výsledok v = k(s,h) є V, kde k je kritérium na ohodnotenie výsledku. Kritérium k sa nazýva
hodnotiace kritérium (8).
Rozhodovací problém pri jednom hodnotiacom kritériu k spočíva v nájdení optimálnej
stratégie, resp. optimálneho riešenia, t.j. takého riešenia s є S, že ľubovoľné s´ є S platí: k(s´,h) ≤
k(s,h).
Vo väčšine dôležitých úloh je výsledok ohodnotený nie jedným, ale viacerými hodnotiacimi
kritériami k1,k2, ...km. Efektívnosť zvolenej riadiacej stratégie (riešenia) sa tak oceňuje nie
jedným, ale množinou kritérií. Pre správnu voľbu stratégie je potrebné brať do úvahy všetky
hodnotiace kritériá ki (8).
Ak máme m hodnotiacich kritérií k1, k2 ,....,km, potom každý výsledok bude charakterizovaný
vektorom K(s,h) = (k1(s,h), k2(s,h),..., km(s,h)), kde ki(s,h) = xi, i = 1,2,...,m.
190
Kritériá ki, ktoré sa nazývajú aj čiastkové kritériá, tvoria vektorové kritérium K. Výsledok
vyjadrený vektorom K(s,h) = (k1(s,h), k2(s,h),..., km(s,h)), kde ki(s,h) = xi,
i= 1,2,...,m. sa potom môže zapísať v tvare x = (x1,x2, ..xm), x є X, kde X je karteziánsky súčin X1
x X2 x ... x Xm, čo je množina všetkých výsledkov jednotlivých stratégií, kvantitatívne
ohodnotených podľa kritérií k1,k2, ...,km.
Voľba súboru čiastkových kritérií na hodnotenie výsledkov závisí od charakteru konkrétneho
systému, ktorého optimalizácia riadenia sa práve rieši. Charakter kritérií môže byť podobne ako
charakter systému ekonomický, technický, sociálny, geografický, medicínsky a pod.
Výber hodnotiacich kritérií je výhradne oblasťou ľudskej činnosti a od vhodnosti tohto
výberu závisí úspešnosť riadenia viackriteriálnej úlohy. Výber čiastkových hodnotiacich kritérií
by však vždy mal byť (8):
- úplný – mal by obsahovať všetky závažné aspekty problému,
- účinný – aby mohol byť s výhodou použitý pri analýze problému, čo predpokladá
skutočnosť, že rozhodujúci sa subjekt pozná vplyv jednotlivých hodnotiacich kritérií na
sledovaný cieľ,
- rozložiteľný – aby skúmané úlohy mohli byť rozdelené na podúlohy s menšou
rozmernosťou,
- nenadbytočný – nemal by zdvojovať niektoré aspekty,
- minimálny – rozmer má zostať podľa možnosti minimálny.
Ak existuje konečná množina výsledkov, z ktorých každý je ohodnotený podľa množiny
hodnotiacich kritérií k1,k2, ...,km, potom úlohu viackriteriálnej klasifikácie je možné chápať troma
spôsobmi (8):
- nájsť najprioritnejší výsledok, resp. výsledky považované za najlepšie
s ohľadom na všetky uvažované hodnotiace kritériá k1,k2, ...,km,
- vyčleniť podmnožinu prioritných výsledkov,
- usporiadať všetky výsledky danej množiny výsledkov podľa priority .
Klasifikácia výsledkov jednotlivých stratégií, ako už bolo uvedené, sa vykonáva na základe
informácií o určitých preferenciách, uprednostneniach získaných od rozhodujúceho sa subjektu.
Viackriteriálne rozhodovanie možno rozdeliť nasledovne (8):
191
- viackriteriálne rozhodovanie v podmienkach určitosti – v tých prípadoch, ak pri každej
stratégii je známy jej výsledok,
- viackriteriálne rozhodovanie v podmienkach rizika – tu sa predpokladá, že každá
stratégia vedie k jednému výsledku z množiny výsledkov, pričom rozhodujúci sa subjekt
pozná pravdepodobnosti následkov realizácie týchto výsledkov,
- viackriteriálne rozhodovanie v podmienkach neurčitosti – v tomto prípade
pravdepodobnosti vzniku jednotlivých výsledkov nepoznáme.
V literatúre sa možno stretnúť s nasledovnou klasifikáciou metód viackriteriálneho
rozhodovania podľa typu informácií o kritériách (9):
- Metódy s nominálnou informáciou o kritériách – v tomto prípade je už
z názvu zrejmé, že nominálna informácia nám nič bližšie o kritériách nehovorí, iba jej názov.
Rozhodovací subjekt nemá k dispozícii informácie o dôležitosti jednotlivých kritérií, a preto
nie je možné ich usporiadať podľa významnosti, a teda ich nemožno ani váhovo ohodnotiť.
- Metódy s ordinálnou informáciou o kritériách – v tomto prípade nám ordinálne
informácie o kritériách umožňujú zoradiť kritériá od najdôležitejšieho po to najmenej
dôležité, pričom niektoré kritériá môžu byť ohodnotené rovnako. Tu je nutné spomenúť aj
metódu skalarizácie ordinálnych informácií, pretože patrí k najčastejšie využívaným
metódam. Táto metóda predstavuje metódu, prostredníctvom ktorej sa z ordinálnych
informácií stávajú informácie kardinálne, ktoré umožňujú nielen zoradenie kritérií podľa
významnosti, ale umožňujú aj stanovenie relatívnych významností jednotlivých kritérií v
podobe váhového ohodnotenia. Medzi takéto metódy skalarizácie patrí Saatyho metóda
(metóda vlastného vektora), ktorá je základom metódy analytického hierarchického procesu
(AHP) a metódy analytického sieťového procesu (ANP).
- Metódy s kardinálnou informáciou o kritériách – ohodnotenie každého kritéria
predstavuje reálne číslo, takže kritériá možno zoradiť nielen podľa veľkosti ich ohodnotenia
(významnosti), ale v tomto prípade je známy aj pomer významnosti jednotlivých kritérií.
Z pohľadu dvoch faktorov, a to spôsobu využitia informácií od rozhodujúceho sa subjektu v
určitej skupine metód a podľa charakteru tejto informácie možno metódy viackriteriálneho
rozhodovania rozdeliť nasledovne (8):
192
1. axiomatické metódy,
2. priame metódy,
3. metódy kompromisu,
4. metódy prahov porovnateľnosti (citlivosti),
5. dialógové metódy typu človek - počítač.
Medzi metódy viackriteriálneho rozhodovania možno zaradiť aj metódy rozhodovacej
analýzy, pričom autori klasifikujú tieto metódy do skupiny heuristických metód. Daný typ metód
vychádza z podmienok určitosti, pokiaľ ide o výsledný účinok rozhodovania
a z podmienky neurčitosti (neistoty), pokiaľ ide o odhad rizika rozhodovania. Pracujú
s informáciami získanými v etape rozboru problému a merajú účinok i riziko rozhodnutia podľa
pokiaľ možno väčšieho počtu kritérií.
Vo všeobecnosti to znamená, že metódy rozhodovacej analýzy sa dotýkajú problému tzv.
viackriteriálneho rozhodovania, resp. viackriteriálnej optimalizácie, a preto je najdôležitejším
krokom v rozhodovacej analýze nesporne výber kritérií.
Existuje viacero rozličných metód, ktoré v zásade fungujú na rovnakom princípe - posúdi sa
niekoľko variantov riešenia zadaného problému podľa zvolených kritérií a stanoví sa poradie
týchto variantov. Jednotlivé metódy sa líšia podľa toho, ako sa určuje tzv. váha jednotlivých
kritérií a ako sa číselne hodnotí stupeň, ktorým jednotlivé varianty riešenia napĺňajú zvolené
kritériá (6).
Základnou metódou sa javí metóda rozhodovacej matice (DMM - Decision Matrix Method),
ktorá môže mať taktiež viacero alternatív. Jedna z alternatív spočíva v hodnotení váhy
jednotlivých kritérií bodovou stupnicou od 1 po 10 tak, že stupeň 1 je priradený najmenšej váhe a
stupeň 10 tej najväčšej. Tou istou stupnicou sa taktiež hodnotí, ako jednotlivé varianty riešenia
vyhovujú zvoleným kritériám, tzn. od „1“ - nevyhovuje až po 10“ - vyhovuje ideálne. Za
výsledné kritérium pre rozhodnutie sa potom volí najväčší vážený súčet (súčet súčinov
hodnotenia miery splnenia kritérií a ich váhy). Avšak pri takto zvolenom prístupe sú sporné dva
aspekty - vysoký podiel subjektivity v hodnotení, ako jednotlivé varianty riešenia vyhovujú
zvoleným kritériám a subjektívne určenie váhy jednotlivých kritérií).
Vyššie spomenuté nevýhody metódy DMM čiastočne odstraňuje tzv. modifikovaná metóda
rozhodovacej matice (FDMM - Forced Decision Matrix Method), pri ktorej sa váhy jednotlivých
193
kritérií, ako aj hodnotenie variantov, ako spĺňajú jednotlivé kritériá, určujú tzv. párovým
porovnaním. To znamená, že pri porovnaní dvoch kritérií je významnejšie kritérium hodnotené
„1“, menej významné kritérium „0“. Uvedená metóda má oproti predchádzajúcej výhodu v tom,
že váhu kritérií stanovuje už exaktnejšie, ale na druhej strane nevýhodu, že vznikajú veľké
rozdiely v hodnotení jednotlivých variantov alebo kritérií i vtedy, keď sa líšia iba málo (6).
Tieto nevýhody odstraňuje ďalšia z metód rozhodovacej analýzy, ktorá v podstate spája
výhody oboch metód predchádzajúcich a súčasne aj eliminuje do istej miery ich nedostatky, a tou
je metóda analytického hierarchického procesu (AHP - Analytic Hierarchy Process), ktorej sa
venujeme v nasledujúcom texte.
5.3 ANALYTICKÝ HIERARCHICKÝ PROCES (AHP)
Analytický hierarchický proces je systematický prístup vytvorený v roku 1970 na
štruktúrovanie skúsenosti, intuície a heuristicky založeného rozhodovania do vhodne definovanej
metodiky založenej na matematických princípoch. AHP metóda bola vytvorená pre potrebu
návratu ku kvantitatívnemu hodnoteniu pri rozhodovaní v strategickom prístupe. Poskytuje
formalizovaný prístup pre vytváranie kreatívnych riešení rozhodovacieho problému, kde
ekonomické vyjadrenie investovaného času rozhodovacieho procesu zodpovedá lepšej kvalite
riešenia komplexných rozhodovacích problémov (8), (12), (13), (14).
5.3.1 Pozadie AHP metódy
AHP je založená na skúsenosti nadobudnutej jej tvorcom T.L. Saatym počas riadenia
výskumných projektov v US armáde a agentúre. Bola vyvinutá ako reakcia na zistenie, že
existuje požiadavka na ľahko zrozumiteľnú a ľahko implementovateľnú metodiku, ktorá by
pokrývala komplexné rozhodovanie. Odvtedy jednoduchosť a sila AHP metódy viedla k jej
rozšírenému použitiu v mnohých oblastiach v každej časti sveta. AHP našla využitie v obchode,
vládnutí, sociálnych štúdiách, obrane a iných oblastiach obsahujúcich rozhodovanie, v ktorých je
potrebný výber, priorizovanie a predpoveď (1).
194
5.3.2 AHP metóda krok za krokom
AHP metóda poskytuje dekompozíciu problému do hierarchie subproblémov, ktorá môže
byť oveľa jednoduchšie rozčlenená a subjektívne ohodnotená. Subjektívne hodnotenia sú
pretransformované do číselných hodnôt a vedú k obodovaniu každého variantu v číselnej škále.
Metodika AHP môže byť popísaná v nasledujúcich krokoch (1):
1. Problém je rozčlenený do hierarchie na cieľ, kritériá, subkritériá a varianty. Toto je
najtvorivejšia a najdôležitejšia časť rozhodovania. Štruktúrovanie rozhodovacieho problému
do hierarchie je základom fungovania AHP metódy. Hierarchia zobrazuje vzťahy medzi
prvkami jednej úrovne s ostatnými prislúchajúcimi úrovňami. Tento vzťah postupuje dolu až
po najnižšiu úroveň hierarchie, a týmto spôsobom je každá časť spojená s každou inou
prinajmenšom nepriamym spôsobom. Hierarchia je viac usporiadaná do sieťovej formy.
Invertovaná stromová štruktúra je podobná hierarchii. Saaty odporúča ako užitočný spôsob
vytvárania hierarchie od cieľa smerom dole tak ďaleko, ako sa len dá a následne opačným
smerom nahor od variantov, až kým sa obe cesty nespoja v jednu a vytvorí sa možné
porovnanie. Obr. 5-1 znázorňuje generickú štruktúru. Na vrchole hierarchie je cieľ alebo
objekt problému, ktorý je študovaný a analyzovaný. Koncové uzly sú porovnávané varianty.
Medzi týmito dvoma úrovňami sú rôzne kritériá a subkritériá. Je dôležité poznamenať, že
keď sa porovnávajú jednotlivé elementy na každej úrovni, rozhodovací subjekt ich musí
porovnávať v súvislosti s príspevkom elementov z nižších úrovní k vyšším úrovniam. Takéto
presné zameranie rozhodovacieho subjektu vždy na konkrétnu časť celého problému je
vysokou prednosťou metódy AHP.
Obr. 5-1 Generická hierarchická štruktúra
195
1. Údaje sú zozbierané subjektmi rozhodovania alebo expertmi vzhľadom na
hierarchickú štruktúru v párovom porovnaní varianto v na kvalitatívnej škále, ako je
nižšie popísané. Experti môžu zadávať nasledovné hodnoty: rovnaká dôležitosť, slabý
význam, silný význam, preferovaný význam a absolútna dôležitosť. Toto sa dá zakresliť do
špeciálne zostaveného formulára, ako je zobrazené v tab. 5-1. „X“ podľa tejto tabuľky,
zakreslené v bunke veľmi významný, znázorňuje, že prvok B je oveľa významnejší ako
porovnávaný prvok A vzhľadom na kritérium, podľa ktorého sú oba porovnávané.
Porovnávanie je vytvárané pre každé kritérium a prepísané do kvantitatívneho vyjadrenia,
ako možno vidieť v tab. 5-2.
FORMULÁR NA POSUDZOVANIE DVOCH FAKTOROV Tabuľka 5-1
Faktor
A
9 7 5 3 1 3 5 7 9
Faktor B
X X
veľmi silný
silný stredný slabý rovnaký slabý stredný silný veľmi silný
2. Párové porovnanie rozličných kritérií vykonané podľa kroku 2 je zoskupené vo
štvorcovej matici. Prvky nachádzajúce sa v diagonále majú hodnotu 1. Kritérium v
i-tom riadku je lepšie ako kritérium v j-tom stĺpci, ak hodnota prvku (i,j) je väčšia ako 1; inak
kritérium v j-tom stĺpci je lepšie ako to v i-tom riadku. Prvok matice (j,i) je recipročný k
prvku (i,j).
ŠKÁLA KVANTITATÍVNEHO POROVNANIA VARIANTOV Tabuľka 5-2 Intenzita dôležitosti Definícia Vysvetlenie
1 Rovnaká dôležitosť. Dva prvky sa rovnako podieľajú na
intervencii cieľa.
3 Menšia dôležitosť jedného prvku vzhľadom k druhému.
Skúsenosti a názory jemne preferujú jeden atribút pred druhým.
5 Podstatná alebo silná dôležitosť. Skúsenosti a názory silne preferujú jeden
atribút pred druhým.
7 Demonštrovateľná dôležitosť. Jeden atribút je veľmi preferovaný a jeho
dominancia je demonštrovaná v praxi.
9 Absolútna dôležitosť. Evidentné favorizovanie jedného atribútu
pred druhým je na najvyššom možnom stupni vyjadrenia.
2, 4, 6, 8 Stredné hodnoty medzi dvoma susednými posúdeniami
Ak je potrebný kompromis vzhľadom na nejednoznačnosť priradenia k uvedeným definíciám dôležitosti.
196
Matica párového porovnávania jednotlivých prvkov
A =
nnnnn
n
n
n
wwwwwwww
wwwwwwww
wwwwwwww
wwwwwwww
/.....///
/.....///
/.....///
/......///
321
3332313
2322212
1312111
4. Hlavné vlastné číslo a jemu zodpovedajúci normalizovaný vlastný vektor porovnávanej
matice udáva relatívnu dôležitosť jednotlivých porovnávaných kritérií. Prvky
normalizovaného vlastného vektora sa nazývajú váhy s ohľadom na kritériá alebo subkritériá
a hodnotenia s ohľadom na varianty.
5. Hodnotenie konzistencie matice pre postupnosť n. Porovnávania vytvárané touto
metódou sú subjektívne a AHP toleruje inkonzistenciu prostredníctvom množstva
redundancie v tomto prístupe. Ak tento index konzistencie nedosiahne požadovanú úroveň
potom odpovede z porovnávania musia byť preskúmané. Index konzistencie CI sa počíta ako
CI = (λmax - n)/(n - 1), kde λmax je maximálne vlastné číslo rozhodovacej matice. Tento index
CI môže byť porovnávaný s indexom z predpísanej matice RI (tab.5-3). Pomer, ktorý týmto
získame CI/RI, sa nazýva pomer konzistencie CR. Saaty odporúča, aby hodnoty tohto CR
boli menšie ako 0,1.
6. Hodnotenie každého variantu je násobené váhou subkritérií a agregované pre získanie
lokálnych hodnotení vzhľadom na každé kritérium. Lokálne hodnotenia sú následne
násobené váhami kritérií a agregované do globálnych hodnotení.
HODNOTY RI (Random Index) Tabuľka 5-3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
RI 0 0 0,58 0,9 1,12 1,24 1,32 1,41 1,45 1,49 1,51 1,48 1,56 1,57 1,59
Oblasti využitia metódy AHP podľa dostupných publikovaných článkov:
- využitie metódy AHP v logistike,
- výber dodávateľov,
- hodnotenie výrobnej stratégie firmy,
- hodnotenie kvality VŠ,
- rozhodovanie v krízovom riadení,
- hodnotenie dopravného procesu,
197
- výber nástrojov komunikačného mixu,
- stanovenie kompetenčného modelu manažéra,
- hodnotenie a výber informačného systému,
- analýza environmentálnych rizík
5.3.3 Expert Choice
Efektívne rozhodovanie pri výbere z viacerých variantov prebieha v praxi spravidla
v spojitosti s hodnotením rôznych hierarchicky štruktúrovaných kritérií. Súčasná teória
optimalizácie má k dispozícii vyskúšané a teoreticky prepracované metódy, ktoré umožňujú
hľadať optimálny výber z viacerých variantov s využitím vhodného softvérového nástroja. Pri
hodnotení variantov je potrebné zohľadňovať váhu jednotlivých kritérií vo vzťahu
k požiadavkám užívateľov. Postup, keď sú jednotlivé kritériá len bodované bez ohľadu na
intenzitu preferencií, vytvára podmienky na diskusiu o čistote verejných zákaziek v štátnej
správe.
Metóda AHP existuje taktiež vo forme počítačového softvéru a to pod názvom Expert
Choice (EC), ktorý zohľadňuje ako kvalitatívne, tak aj kvantitatívne informácie vrátane intuície a
skúseností.
Expert Choice je softvérový nástroj, ktorý podporuje rozhodovanie pri výbere variantov,
ktoré sú charakteristické hierarchickým rozložením kritérií a priorít pre výber. Aplikácia EC
využíva unikátnu metódu na párovanie porovnávaných kritérií v rámci stanovených priorít. EC
umožňuje do modelu zaznamenať hierarchicky členené kritériá a ich priority k jednotlivým
hodnoteným variantom. EC zlučuje hierarchické priority do celkových priorít všetkých
hodnotených variantov hodnoteného problému. Zmenou hodnôt priorít môžeme vykonať
citlivostnú analýzu a zistiť, aký bude mať zmena vplyv na celkový výber variantov.
EC možno použiť napr. pri vyhodnotení ponúk v rámci výberových riadení, ale aj
všeobecne pri hodnotení akéhokoľvek výberu z viacerých variantov. Výsledky analýz sú jasným
a preukázateľným podkladom pre riešenie sporov pri odvolaní uchádzačov o dodávky. Výrobcom
pomáha EC vyhodnotiť potenciálnu úspešnosť na trhu v porovnaní s ostatnými výrobcami a zistiť
ukazovatele, ktorým sa musia priblížiť alebo ich musia prekročiť, aby boli úspešní (2).
198
Okrem vyššie uvedených možností je EC možné využiť aj v týchto oblastiach (2):
- optimalizácia zdrojov;
- manažment portfólia informačných technológií;
- strategické plánovanie;
- hodnotenie rizík;
- manažment ľudských zdrojov;
- rozhodovanie o strategických lokalitách.
Pracovný postup narábania so softvérom EC
Ak sme si vopred zadefinovali problém riešenia, varianty, spomedzi ktorých hľadáme
optimálny variant a takisto aj kritériá, na základe ktorých budú jednotlivé varianty porovnávané a
rozhodli sme sa pre využitie softvérového nástroja metódy AHP – ExpertChoice 11.5, tak postup
je nasledovný (v celom príklade sú všetky veličiny, hodnoty, značky a pod. použité len
ilustratívne):
1. Po zobrazení úvodného okna pri spustení programu máme viacero možností, ako postupovať:
Obr. 5-2 Úvodné okno programu EC
a) „Quick Overview“ – ktoré spustí krátke video, ako s programom EC postupovať;
b) „Full Overview“ – ktoré spustí dlhšie video, ako s programom EC postupovať;
c) „Quick Start Guide“ – ktoré otvorí príručku s jednotlivými krokmi a návodmi pri
využívaní EC;
d) „Preview Sample Decisions“ – ktoré ponúka niekoľko prípadových štúdií využitia EC;
e) „Start Using Expert Choice“ – ktoré spustí samotný program.
199
2. Po spustení samotného programu máme na výber:
Obr. 5-3 Uvítacie okno programu EC
a) vytvoriť nový model:
− priamo – odporúčame pre skúsenejších užívateľov (po spustení sa vyberie oblasť, kde
bude model uložený),
− štruktúrovane – odporúčame pre začínajúcich užívateľov (po spustení sa vyberie
oblasť, kde bude model uložený),
b) otvoriť už existujúci model.
3. V tomto bode program už pokračuje podľa krokov metódy AHP, čiže najskôr sa
zadáva cieľ riešenej problematiky (hľadanie optimálneho variantu) ako napr.: „kúpa
auta“.
200
Obr. 5-4 Zadanie cieľa hodnotenia 4. V ďalšom kroku je potrebné zadať jednotlivé kritériá, na základe ktorých bude
viackriteriálna optimalizácia vykonaná. V tomto prípade napr.: výkon, cena, kvalita,
zrýchlenie, veľkosť batožinového priestoru, spotreba, komfort.
Obr. 5-5 Zadanie kritérií porovnávania 5. Po zadaní všetkých kritérií možno zadať varianty na porovnávanie. V tomto prípade
napr.: Škoda Octavia, Renault Fluence, VW Jetta, Toyota Corolla, Chevrolet Lacetti.
201
Obr. 5-6 Zadanie variantov porovnávania
6. Po prepnutí do stromového zobrazenia možno vidieť hierarchiu s cieľom na vrchole,
pod ktorým sa nachádza množina kritérií. Varianty riešenia možno vidieť v pravej
časti okna.
Obr. 5-7 Stromové zobrazenie
202
7. Ak už máme vytvorenú množinu variantov, množinu kritérií a predovšetkým
definovaný cieľ hodnotenia, môžeme prejsť k najdôležitejšiemu kroku, ktorým je
zadávanie priorít a párové porovnávanie ako kritérií, tak aj variantov podľa týchto
kritérií. Softvér EC poskytuje tri možnosti, ako toto párové porovnávanie vykonať.
a) Prvým spôsobom je číselné vyjadrenie, teda napr., že jeden prvok je 1,3,5,7 alebo 9
(možno využiť aj prostredné hodnoty) krát väčší/resp. menší ako ten druhý, s ktorým je
porovnávaný. V tomto prípade napr. cena je 5-krát dôležitejšia vzhľadom na stanovenéný
cieľ (kúpa auta) ako výkon. Pri pravidle reciprocity to znamená, že výkon je 5-krát menej
dôležitý ako cena.
Obr. 5-8 Číselné porovnávanie kritérií
b) Druhým spôsobom je slovné vyjadrenie. V tomto prípade napr. cena je rovnako dôležitá
ako kvalita. Ak majú dva porovnávané prvky rovnakú dôležitosť, tak ich bodové
ohodnotenie je 1.
203
Obr. 5-9 Slovné porovnávanie kritérií
c) Tretím spôsobom zadávania priorít je citlivostné zadávanie, resp. zadávanie presnej
preferencie. Je to v podstate párové porovnávanie na základe grafického vyjadrenia. Toto
porovnávanie nám poskytuje najširšiu škálu zadávaných priorít v stupnici od 1 do 99,
resp. čísla môžu byť zadávané aj na dve desatinné miesta.
Obr. 5-10 Citlivostné porovnávanie kritérií
204
8. V tomto kroku, keď máme vytvorenú maticu so všetkými hodnotami párového porovnávania kritérií,
Obr. 5-11 Matica párového porovnávania kritérií
môžeme v „zobrazení modelu“ vidieť kritériá a ich preferencie vzhľadom na stanovený
cieľ. V zátvorkách sa nachádzajú okrem tzv. L - lokálnych váh aj G - globálne váhy. V
prípade, ak jednotlivé kritériá nemajú žiadne subkritériá, sú obe hodnoty rovnaké. Ak ale v
našom prípade pridáme (pravým kliknutím myši na požadované kritérium a odkliknutím
„Insert Child of Current Node“) napr. pre kritérium „cena“ dve subkritériá: „nadobúdacia
cena“ a „cena servisných opráv“ a navzájom ich medzi sebou porovnáme podobne ako v
predchádzajúcom kroku (vzhľadom na nadradené kritérium, v tomto prípade „cena“),
vidíme, že hodnoty L a G pri subkritériách už nie sú rovnaké, teda sú prepočítané vzhľadom
na ich nadradené kritérium.
Obr. 5-12 Zobrazenie modelu s lokálnymi a globálnymi váhami
205
Takisto je možné zobraziť hierarchické zobrazenie významnosti jednotlivých kritérií v
záložke „Priorities derived from Pairwise Comparisons“. V našom prípade vidíme, že
najvýznamnejším kritériom vzhľadom na definovaný cieľ – „kúpa auta“ , je kritérium
„cena“ a najmenej významným „zrýchlenie“ .
Obr. 5-13 Významnosť kritérií
9. Následne po úspešnom zadaní priorít (stupňa dôležitosti) všetkým kritériám môžeme
pristúpiť k porovnávaniu variantov vždy podľa týchto kritérií jednotlivo. Postupujeme
pri tom rovnakým spôsobom ako pri zadávaní priorít kritériám.
Obr. 5-14 Porovnávanie variantov
10. Keď sme ohodnotili, teda zadali priority všetkým kritériám na základe párového
porovnania a následne sme ohodnotili podľa jednotlivých kritérií aj porovnávané
varianty, čiže sme ich medzi sebou párovo porovnali, znamená to, že sme na konci
postupu AHP metódy a poznáme optimálny variant riešenia zadefinovaného cieľa.
206
V pravej časti pracovného okna programu EC možno vidieť jednotlivé varianty
a veľkosť ich priorít – teda veľkosť významnosti. Variant s najvyššou významnosťou je
optimálny variant .
Obr. 5-15 Nájdenie optimálneho variantu 11. Prostredníctvom ikony „Synthesis Results“ sa možno prepnúť do hierarchického
zobrazenia variantov zoradených podľa významnosti. Tu možno vidieť, že v našom
prípade je optimálnym variantom podľa zadefinovaných kritérií, variant „Škoda Octavia“.
Obr. 5-16 Syntéza výsledkov vzhľadom na cieľ
12. Softvér EC ponúka (v záložke Sensitivity-Graphs) na využitie taktiež niekoľko grafov
zobrazujúcich vzťahy medzi jednotlivými kritériami, resp. variantmi. Niektoré z nich
sú dokonca interaktívne, resp. citlivostné, t.j. možno sledovať ako sa zmení jeden prvok
vzhľadom na druhý v prípade, že jednotlivo meníme ich hodnoty.
207
Obr. 5-17 Citlivostné grafy využiteľné v programe EC
Na záver možno konštatovať, že pre definovaný cieľ „kúpa auta“ pri zadanej množine
kritérií porovnávania a množine variantov bol nájdený hľadaný optimálny variant riešenia tohto
cieľa, ktorým je Škoda Octavia.
Problém, ktorý bol zdefinovaný ako množina kritérií ako aj množina porovnávaných
variantov, bol použitý len ilustračne pre potreby tejto práce. V reálnom prípade treba postupovať
najskôr podľa technických, resp. zadefinovaných špecifikácií, ktoré sú pre jednotlivé kritériá
zadané – teda objektívne. Ak ale tieto nie sú merateľné, resp. nie je možné ich objektívne
špecifikovať, je možné využiť subjektívne hodnotenie skupinou expertov.
5.3.4 Matematický výpočet
I keď v súčasnosti na základe AHP metódy existujú už rôzne softvérové nástroje (pozri
kapitolu 5.3.3), kde nie je nutné realizovať komplikované matematické výpočty, je potrebné si
ukázať, na akom princípe je založená spomínaná metóda.
Základom AHP metódy je výpočet vlastného vektora matice, ako aj vlastného čísla matice.
Toto možno vypočítať pomocou rôznych matematických modelov, my využijeme mocninovú
metódu.
208
Vlastné číslo matice možno vypočítať pomocou spektrálneho polomeru matice, kde práve
spektrálny polomer predstavuje najväčšie vlastné číslo matice A – λmax. Najväčšie vlastné číslo (v
absolútnej hodnote) matice: max λ(A) sa na počítači počíta mocninovou metódou a vychádza z
predpokladu, že matica A má n lineárne nezávislých vlastných vektorov xi a tieto vektory tvoria
n-rozmerný lineárny priestor. Vlastnému vektoru xi zodpovedá vlastné číslo λi, ktoré vypočítame
pomocou zvoleného iterovaného vektora v0 a jeho najväčšej zložky v smere vlastného vektora xi.
Vyberieme vektor v0, ktorý vyplníme jednotkami {1,1,1}. Je síce možné zvoliť i iné koeficienty,
ale tento výber je najvhodnejší, pretože minimalizuje objem výpočtov vo vzorci.
Každý vektor vm sa počíta podľa vzorca: vm = Am * v0.
Porovnanie hodnotených variantov pri kúpe automobilu na základe kritéria výkon
Nižšie uvedená matica A je spracovaná na základe obr. 5-14, kde sa podľa kritéria
„výkon“ porovnávali automobily: Škoda Octavia, Renault Fluence, VW Jetta, Toyota Corolla a
Chevrolet Lacetti.
13 212 2
1 3
1 1 21 2
1 3
1
2 2 1 2 1
21 2 2
1 1 61
2 3 1 6 1
=A
v5 = A5 * v0
4876
2269
6940
2833
9535
1
1
1
1
1
13 212 2
1 3
1 1 21 2
1 3
1
2 2 1 2 1
21 2 2
1 1 61
2 3 1 6 15
=×=A
Na základe ďalších výpočtov sme zistili, že maximálne vlastné číslo matice je λ5= 5,25564.
Vlastný vektor matice sa počíta nasledovne:
209
∑
→
→
26453
0,18433
0,08578
0,26235
0,10709
0,36045
26453/4876
26453/2269
26453/6940
26453/2833
26453/9535
4876
2269
6940
2833
9535
Vlastný vektor predstavuje aj celkové hodnotenie variantov (automobilov) podľa kritéria
„výkon“, pričom výsledok je nasledovný:
- Škoda Octavia – 36,1%,
- Renault Fluence - 10,7%,
- VW Jetta – 26,2%,
- Toyota Corolla – 8,6%,
- Chevrolet Lacetti – 18,4%.
Výsledné vlastné číslo predstavuje λ5 = λmax= 5,25564.
Výpočet konzistentnosti:
06391,015
5 - 5,25564
1
max=
−=
−−
=n
nCI
λ
%61,0,057,012,1
06391,0jencieinkonzistemieraa
RI
CIžeplatíčiže
RI
CI ≤== .
Miera inkonzistencie, ktorú sme vypočítali, vyšla rovnako ako prostredníctvom softvéru
ExpertChoice.
5.3.5 Praktický príklad využitia metódy AHP a softvéru ExpertChoice
Nasledujúca prípadová štúdia je príkladom štúdie realizovanej v slovenskom priemyselnom
podniku s cieľom nájsť priechodný (optimálny) strategický cieľ stakeholderov v kontexte so
spoločensky zodpovedným podnikaním. Ide o viackriteriálne hodnotenie troch variantov, s
cieľom stanoviť ten, ktorý by vyhovoval jednotlivým záujmovým skupinám v čo najvyššej
možnej miere.
210
Odkazy na ďalšie dve prípadové štúdie využitia AHP metódy realizované v podmienkach
slovenských podnikov možno nájsť v doktorandskej dizertačnej práci (15)
a diplomovej práci (16).
Hierarchia
V podniku sa stanovili nasledovné varianty:
- realizácia ergonomického auditu vo výrobnom procese,
- implementácia ekoefektívneho projektu,
- nič nerobiť - nerealizovať žiaden projekt.
V štúdii sa uvažovali nasledovné kritériá, ktoré si zadefinovali tri skupiny podnikových
stakeholderov, a to nasledovne (obr. 5-18):
- Akcionári:
o rentabilita vlastného kapitálu,
o investície,
o zavedenie nového ekologického výrobku.
- Manažment:
o rast produktivity práce,
o minimálna zadlženosť,
o náklady na reklamácie.
- Zamestnanci:
o investície na zlepšenie pracovného prostredia,
o stabilizácia kľúčových pracovníkov,
o zvyšovanie miezd.
211
Obr. 5-18 Hierarchická štruktúra
Párové porovnávanie kritérií, subkritérií a variantov
Na vypracovaní štúdie sa podieľalo niekoľko zamestnancov podniku, ktorí hodnotili
jednotlivé kritériá a varianty prostredníctvom dotazníkového prieskumu, ktorý bol založený na
párovom porovnávaní jednotlivých úrovní hierarchie na základe spomínanej 9-bodovej stupnice.
Jednotlivé výsledky dotazníka sa spriemerovali tak, aby boli použiteľné na výpočet váh metódou
párového porovnávania. Práve nižšie uvedené tabuľky (tab. 5-4 až tab. 5-7) ilustrujú
spriemerované hodnoty v rámci párového porovnávania kritérií a subkritérií, ktoré sa stali
základom ďalšej práce s programom Expert Choice.
PÁROVÉ POROVNÁVANIE STAKEHOLDEROV Tabuľka 5-4 Akcionári Manažment Zamestnanci
akcionári 1 4 4 manažment 1/4 1 2 zamestnanci 1/4 1/2 1
PÁROVÉ POROVNÁVANIE KRITÉRIÍ AKCIONÁROV Tabuľka 5-5 Akcionári RVK Investície Nový produkt
RVK 1 1 5 investície 1 1 1
nový produkt 1/5 1 1
212
PÁROVÉ POROVNÁVANIE KRITÉRIÍ MANAŽMENTU Tabuľka 5-6 Manažment Rast PP Zadlženosť N reklamácie
rast PP 1 3 2 zadlženosť 1/3 1 1
N reklamácie 1/2 1 1
PÁROVÉ POROVNÁVANIE KRITÉRIÍ ZAMESTNANCOV Tabuľka 5-7 Zamestnanci Rast miezd Inv. prac. prostredia Stabilizácia KP rast miezd 1 3 4
inv. prac. pr. 1/3 1 3 stabilizácia KP 1/4 1/3 1
Varianty boli párovo porovnávané podľa všetkých 9 subkritérií v bodovej škále 1-9, pričom
1 predstavuje rovnakú dôležitosť a 9 znamená absolútnu dôležitosť jedného variantu voči
druhému. Z hľadiska veľkého počtu subkritérií uvádzame príklad aspoň jedného párového
hodnotenia variantov z pohľadu kritéria akcionárov rentabilita vlastného kapitálu (RVK).
PÁROVÉ POROVNÁVANIE VARIANTOV PODĽA RVK Tabuľka 5-8
Akcionári /RVK Ergonomický audit Ekoefektívny projekt Nič nerealizovať ergonomický audit 1 4 2
ekoefektívny projekt 1/4 1 1/5 nič nerealizovať 1/2 5 1
Syntéza výsledkov
V oblasti procesu porovnávania druhej a tretej úrovne hierarchie (porovnávanie
stakeholderov a ich kritérií) softvér Expert Choice 11.5 vygeneroval nasledovné výsledky:
- Akcionári (66,1%) – pre akcionárov je najdôležitejším kritériom rentabilita vlastného
kapitálu (RVK) s prioritou takmer 66% pred investíciami s prioritou viac ako 18%
a zavedením nového produktu s takmer 16% dôležitosťou.
- Manažment (20,8%) – pre podnikový manažment je najdôležitejšie zabezpečiť rast
produktivity práce s prioritou 55%, po ňom nasledujú náklady na reklamácie
s 24% a zvyšných 21% vyjadruje prioritu zadĺženosti spoločnosti.
- Zamestnanci (13,1%) – preferujú zvyšovanie miezd s prioritou 61%, následne žiadajú
investície do pracovného prostredia s váhou necelých 27% a najmenšiu prioritu 12% pre nich
predstavuje stabilizácia kľúčových pracovníkov.
213
Obr. 5-19 Váhové hodnotenie stakeholderov
Obr. 5-20 Váhové hodnotenie kritérií akcionárov
Obr. 5-21 Váhové hodnotenie kritérií manažmentu
Obr. 5-22 Váhové hodnotenie kritérií zamestnancov
Výsledkom celého rozhodovacieho procesu bolo stanovenie optimálneho variantu, ktorý by
sa mal realizovať, čiže takého, ktorý má najväčšiu váhu. Softvér ExpertChoice 11.5 na základe
výpočtov určil poradie nasledovne (obr. 5-23):
1. realizácia ergonomického auditu výrobného procesu s prioritou 45,1 %,
2. nič nerobiť - nerealizovať žiaden projekt s prioritou 29,4%,
3. implementácia ekoefektívneho projektu s prioritou 25,5 %.
214
Obr. 5-23 Syntéza výsledkov rozhodovacieho procesu
Výstupom celého procesu rozhodovania bolo, že sa našiel optimálny strategický cieľ
záujmových skupín, čiže realizácia ergonomického auditu výrobného procesu v danom podniku.
Výsledky, ktoré stanovil softvér ExpertChoice, boli podložené i výsledkami matematických
výpočtov. Ďalšie podrobnosti možno nájsť v (17).
Problematikou využitia metódy AHP pri návrhu stratégií v rámci stratégií pobrežného
manažmentu sa zaoberá aj pán Saji Baby z Kuvajtu, ktorý náš tím požiadal o možnosť
spracovania svojej práce v programe ExpertChoice.
Takisto, naša práca (18) bola citovaná v článku (19) s názvom „Hodnotenie podnikového
udržateľného rozvoja založeného na spoločensky zodpovednom podnikaní“ na „Svetovej
akadémii vied, inžinierstva a technológie“.
ÚLOHY/OTÁZKY NA SAMOSTATNÉ RIEŠENIE
1. Uveďte oblasti použitia a predpoklady aplikácie viackriteriálnej optimalizácie.
2. Uveďte oblasti použitia a predpoklady aplikácie metódy AHP.
3. Z akých základných častí, resp. na akých pilieroch je metóda AHP založená a stručne ich
opíšte.
4. Preštudujte si príklady využitia AHP metódy a softvéru ExpertChoice v diplomových a
doktorandských dizertačných prácach na základe odkazov uvedených v kapitole 5.3.5.
5. Na základe nasledovných odkazov: [20], [21], [22], [23], [24], [25], [26], [27], preštudovania
vyššie spomínaných prác a príslušnej literatúry vypočítajte pomocou matematických
výpočtov dané príklady, súčasne pomocou programu ExpertChoice riešte tento príklad.
6. Na základe vlastnej iniciatívy, resp. v oblasti samovzdelávania sa prihláste na „Študentskú
vedeckú konferenciu“, kde v spolupráci s vyučujúcimi navrhnite príklad pre použitie metódy
AHP využiteľnej v podmienkach priemyselného podniku, ktorý bude základom práce ŠVK,
215
poprípade budúcej diplomovej práce. Navrhnite cieľ, kritériá (príp. subkritériá) a varianty
riešenia, nakreslite pre každý príklad hierarchickú štruktúru, zadefinujte priority s použitím
Saatyho matice a vypočítajte pre ňu stupeň konzistencie.
7. Príklady z vyššie uvedenej úlohy č.6 pretransformujte do programu EC a nájdite optimálny
variant vami zadaného príkladu pre použitie metódy AHP.
8. Po splnení úlohy č.7 vykonajte s použitím citlivostných grafov programu EC syntézu vami
navrhnutých príkladov a navrhnite odporúčania a opatrenia pre podnikový manažment.
9. Navrhnite ciele/problémy na riešenie pre použitie metódy AHP v nasledujúcich oblastiach
podnikového manažmentu: personálny manažment (kompetenčný profil manažéra
priemyselného podniku/pracovníka UPMK MTF STU Trnava), logistika, manažment
výroby, manažment investičného rozvoja, strategický manažment.
Literatúra k 5. kapitole
1. BHUSHAN, N., KANWAL, R. Strategic Decision Making (Applying the Analytic Hierarchy
Process). London: Springer – Verlag, 2004.
2. Expert Choice – Vícekriteriální výběr z alternativ. Stručný prúvodce programem
s příkladem. [online].[cit. 2011-05-30] Dostupné na: <http://expertchoice.com/ >
3. FOTR, J. a kol. Manažerské rozhodování: postupy, metody a nástroje. Praha: Ekopress,
2006.
4. HORÁK, R. Management. Brno: 2008.
5. KOLČAVOVÁ, A. Kvantitativní metody v rozhodování. Studijní pomůcka pro distanční
studium. Zlín: Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně, 2004.
6. MÁCA, M., LEITNER B. Operačná analýza I. Deterministické metódy operačnej analýzy.
2002.
7. MAJTÁN, M. Manažment. Bratislava: SPRINT, 2005.
8. OCELÍKOVÁ, E. Multikriteriálne rozhodovanie. Košice: ALFA, 2004.
9. RAMÍK, J. Analytický hierarchický proces (AHP) a jeho využití v malém a středním
podnikání. Frýdek - Místek: Tiskárna Kleinwächter, 2000.
10. SEKERA, B. Využitie exaktných metód v EMS priemyselných podnikov. Doktorandská
dizertačná práca. Trnava: 2009.
216
11. SZABO, Ľ. Rozhodovanie v podnikovom manažmente. Bratislava: Vydavateľstvo
EKONÓM. 2001.
12. [online].[cit. 2011-03-30] Dostupné na
<http://www.scss.sk/index.php?categoryid=14&p16_sectionid=90>
13. [online].[cit. 2011-03-27] Dostupné na
http://www.scss.sk/dvd_lpp_0384_09_2010/?dir=METODICK%C1%20PODPORA%20Z%
20INTERNETU.
14. [online].[cit. 2011-05-30] Dostupné na
<http://www.scss.sk/cd_apvv_lpp_0384_09_2011/?dir=METODICK%C3%81%20PODPOR
A%20Z%20INTERNETU>
15. SEKERA, B. Využitie exaktných metód v EMS priemyselných podnikov. [online].[cit. 2012-
03-10] Dostupné na
<http://www.scss.sk/dvd_lpp_0384_09_2010/V%DDSTUPY%20Z%20VLASTNEJ%20VE
DECKO-
V%DDSKUMNEJ%20A%20PEDAGOGICKEJ%20%C8INNOSTI/DDP/DDP/SEKERA%2
0BRANISLAV/Dizerta%E8n%E1%20pr%E1ca%20Sekera.pdf >
16. PASTORKOVÁ, J. Návrh využitia metódy AHP a softvéru Expert Choice na optimalizáciu
strategických cieľov záujmových skupín v kontexte so stratégiou spoločensky zodpovedného
podnikania. [online].[cit. 2012-03-10] Dostupné na
<http://www.scss.sk/cd_apvv_lpp_0384_09_2011/V%C3%9DSTUPY%20Z%20VLASTNE
J%20VEDECKO-
V%C3%9DSKUMNEJ%20A%20PEDAGOGICKEJ%20%C4%8CINNOSTI/DPr%C3%A1
ce/PASTORKOV%C3%81%20JANA/DP_Jana_Pastorkov%C3%A1_PMA.pdf>
17. DRIENIKOVÁ, K. Návrh strategických cieľov záujmových skupín v rámci navrhnutej
stratégie. [online].[cit. 2012-03-10] Dostupné na
<http://www.scss.sk/dvd_lpp_0384_09_2010/V%DDSTUPY%20Z%20VLASTNEJ%20VE
DECKO-
V%DDSKUMNEJ%20A%20PEDAGOGICKEJ%20%C8INNOSTI/DPr%E1ce/DRIENIKO
V%C1%20KATAR%CDNA/DP%20Drienikova%20MTF-5298-26272.pdf>
18. DRIENIKOVÁ, K., HRDINOVÁ, G., NAŇO, T., SAKÁL, P. Case studies of using the
analytic hierarchy process method in corporate social responsibility and environmental risk
217
management. In: Materials Science and Technology [online]. - ISSN 1335-9053. - Roč. 11,
č. 1 (2011), s. 1-10. [online].[cit. 2012-03-10] Dostupné na
<http://www.mtf.stuba.sk/docs//internetovy_casopis/2011/1/PDF/drienikova_hrdinova_nano
_sakal.pdf>
19. SUN, M., NAGATA, K., ONODA, H. Corporate sustainable Development Assessment
Base on the Corporate Social Responsibility. In: World Academy of Science, Engineering
and Technology. - ISSN 2010-376X. - Iss. 59 (2011), s. 747-750. [online].[cit. 2012-03-10]
Dostupné na <http://www.waset.org/journals/waset/v59/v59-146.pdf>
20. CHAKRABORTY, T. a kol. Application of Analytic Hierarchy Process and Heuristic
Algorithm in Solving Vendor Selection Problem. [online] [citované 13.01. 2012] Dostupné
na <http://www.saycocorporativo.com/saycoUK/BIJ/journal/Vol4No1/Article_11.pdf>
21. CHUDADA, M., TARABOVÁ, Z. Aplikácia AHP metódy pri hodnotení dopravného
procesu. [online] [citované 12.01. 2012] Dostupné na internete:
http://www.logistickymonitor.sk/en/images/prispevky/aplikacia-ahp-metody.pdf
22. HUDYMÁČOVÁ, M. a kol. Supplier selection based on multi-criterial AHP method.
[online].[cit. 2012-03-10] Dostupné na
<http://actamont.tuke.sk/pdf/2010/n3/12_Hudymacova.pdf>
23. AHP. Viackriteriálne (multikriteriálne) rozhodovanie (rozhodovacia analýza). [online].[cit.
2012-03-10]. Dostupné na http://www.scss.sk/cd_apvv_lpp_0384_09_2011/
METODICK%C3%81%20PODPORA%20Z%20INTERNETU/VIACKRITERI%C3%81LN
E%20ROZHODOVANIE/AHP/01_VR_1.pdf>
24. ROHÁČOVÁ, I., MARKOVÁ, Z. Analýza metódy AHP a jej potenciálne využiti v logistike.
In Acta Montanistica Slovaca, 2009, roč.14, číslo 1, s. 103-112. [online].[cit. 2012-03-10]
Dostupné na <http://www.scss.sk/cd_apvv_lpp_0384_09_2011/METODICK%C3%81
%20PODPORA%20Z%20INTERNETU/VIACKRITERI%C3%81LNE%20ROZHODOVA
NIE/AHP/15rohacova.pdf>
25. ŠTĚRBA, D. Využití multikriteriálních rozhodovacích metod v procesu výběru dodavatele.
In Priemyselné inžinierstvo 2007, Nový Smokovec, Vysoké Tatry, s. 195. [online].[cit. 2012-
03-10] Dostupné na <http://www.scss.sk/cd_apvv_lpp_0384_09_2011/METODICK
%C3%81%20PODPORA%20Z%20INTERNETU/VIACKRITERI%C3%81LNE%20ROZH
ODOVANIE/AHP/21_Sterba.pdf>
218
26. ROHÁČOVÁ, I., MALINDŽÁK, D. Návrh systému hodnotenia výrobnej stratégie firiem. In
Acta Montanistica Slovaca. Ročník 15, 2010, mimoriadne číslo 1, s. 44-52. [online].[cit.
2012-03-10] Dostupné na <http://www.scss.sk/cd_apvv_lpp_0384_09_2011/
METODICK%C3%81%20PODPORA%20Z%20INTERNETU/VIACKRITERI%C3%81LN
E%20ROZHODOVANIE/AHP/8rohacova.pdf>.
27. MÁCA, J., LEITNER, B. Aplikácia metód viackriteriálneho rozhodovania v krízovom
riadení. In Krízový manažment –X/200Y. ŽU v Žiline, Fakulta špeciálneho inžinierstva.
[online].[cit. 2012-03-10] Dostupné na <http://www.scss.sk/cd_apvv_lpp_0384_09_2011/
METODICK%C3%81%20PODPORA%20Z%20INTERNETU/VIACKRITERI%C3%81LN
E%20ROZHODOVANIE/AHP/Clanok%2520KM2_2007.pdf>.
219
ZOZNAM BIBLIOGRAFICKÝCH ODKAZOV
1. BAŠTA, A., ROLLO, J. Metody operační analýzy II. Praha: Vydavatelství ČVUT, 1969.
2. BHUSHAN, N., KANWAL, R. Strategic Decision Making (Applying the Analytic Hierarchy
Process). London: Springer – Verlag, 2004.
3. Expert Choice – Vícekriteriální výběr z alternativ. Stručný prúvodce programem
s příkladem. [online].[cit. 2011-05-30] Dostupné na http://expertchoice.com>.
4. FAJMON, B., KOLÁČEK, J. Pravděpodobnost, statistika a operační výskum. Elektronické
skriptum FEKT VUT. Brno, 2005.
5. FOTR, J. a kol. Manažerské rozhodování : postupy, metody a nástroje. Praha: Ekopress,
2006.
6. GROS, I. Kvantitativní metody v manažérském rozhodování. Praha: Grada Publishing, 2003.
432 s. ISBN 80-247-0421-8
7. HANUŠ, F., MOLNÁR, Z., ŠTRPKA, A. Operační a systémová analýza. Praha: ČVUT,
1981.
8. HORÁK, R. Management. Brno: 2008.
9. IVANIČOVÁ, Z., BREZINA, I., PEKÁR, J. Operačný výskum. Bratislava: Iura Edition,
2002. 287 s. + 1 CD-ROM. ISBN 80-89047-43-2
10. IVANIČOVÁ, Z., BREZINA, I., PEKÁR, J. Prípadové štúdie z operačného výskumu.
Bratislava: Ekonóm, 1999. ISBN 80-225-1180-3
11. KOLČAVOVÁ, A. Kvantitativní metody v rozhodování. Studijní pomůcka pro distanční
studium. Zlín: Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně, 2004.
12. KUBÁTOVÁ, J. Kvantitativní manažerské metody. Olomouc, 2000. ISBN 80-244-0144-4
13. LANGOVÁ, M., JABLONSKÝ, J. Lineární modely. Praha: VŠE, 2009. ISBN 978-80-245-
1511-3
14. MÁCA, M., LEITNER B. Operačná analýza I. Deterministické metódy operačnej analýzy.
2002.
15. MAJTÁN, M. Manažment. Bratislava: SPRINT, 2005.
16. MANUELIANC, A.T. Modelování problému řízení. Praha: IŘ, 1977.
220
17. Metódy ekonomickej analýzy. Skriptá. [online].[cit. 2010-07-30] Dostupné na
<:http://ep.tuke.sk/pdata/11195/documents/metody_ekonomickej_analyzy__pomocne_materi
aly_/metody_ekonomickej_analyzy-skripta.doc. >.
18. OCELÍKOVÁ, E. Multikriteriálne rozhodovanie. Košice: ALFA, 2004.
19. PLESNÍK, J., DUPAČOVÁ, J., VLACH, M. Lineárne programovanie. Bratislava: Alfa,
1990. 320 strán. ISBN 80-05-00679-9
20. RAMÍK, J. Analytický hierarchický proces (AHP) a jeho využití v malém a středním
podnikání. Frýdek-Místek: Tiskárna Kleinwächter, 2000.
21. ROZENBERG, V. J., PROCHOROV, A. I. Čo je teória hromadnej obsluhy. Bratislava:
SVTL, 1965.
22. SAKÁL, P., JERZ, V. Operačná analýza v praxi manažéra. Trnava: SP SYNERGIA, 2003.
ISBN 80-968734-3-1
23. SAKÁL, P., JERZ, V. Operačná analýza v praxi manažéra II. Trnava: SP SYNERGIA,
2005. ISBN 80-968734-3-1
24. SAKÁL, P., ŠTRPKA, A. Operačná a systémová analýza. Bratislava: SVŠT, 1983.
85-425-83
25. SEKERA, B. Využitie exaktných metód v EMS priemyselných podnikov. Doktorandská
dizertačná práca. Trnava, 2009.
26. SZABO, Ľ. Rozhodovanie v podnikovom manažmente. Bratislava: Vydavateľstvo
EKONÓM, 2001.
27. UNČOVSKÝ, L. Stochastické modely operačnej analýzy. Bratislava: Alfa, 1980.
28. VODÁČEK, L., PICEK, K., ŠANDERA, O. Operační analýza v podnikové racionalizaci.
Praha: SNTL, 1977.
29. WALTER, J. Stochastické modely v ekonomii. Praha: SNTL, 1970.
30. WALTER, J. a kol. Operační výzkum. Praha: SNTL, 1973.
31. WALTER, J., LAUBER, J. Simulační modely ekonomických procesu. Praha: SNTL, 1975.
32. ZIMOLA, B. Operační výskum. Zlín: 2000. ISBN 80-214-1664-5
221
Táto práca bola podporovaná Agentúrou na podporu výskumu a vývoja na základe zmluvy č.
LPP -0384-09 „ Koncept HCS modelu 3E vs. koncept Corporate Social Responsibility (CSR)“,
práca je tiež súčasťou predloženého projektu KEGA projekt č.037STU-4/2012 „Implementácia
predmetu „Udržateľné spoločensky zodpovedné podnikanie“ do študijného programu
Priemyselný manažment v druhom stupni na MTF STU Trnava".
This paper was supported by the Slovak Research and Development Agency under the contract
No. LPP-0384-09: “Concept HCS model 3E vs. Concept Corporate Social Responsibility (CSR).”
The paper is also a part of submitted KEGA project No. 037STU-4/2012 “Implementation of the
subject “Corporate Social Responsibility Entrepreneurship” into the study programme Industrial
management in the second degree at MTF STU Trnava”.
222
OBSAH
PREDSLOV .......................................................................................................................................................................... 3
1 SEKVENČNÉ MODELY ................................................................................................................................................ 5
1.1 JOHNSONOV MODEL .............................................................................................................................................. 7 1.2 JOHNSONOV MODEL PRE TRI VÝROBNÉ STUPNE .....................................................................................12 1.3 JOHNSONOV MODEL PRE M VÝROBNÝCH STUPŇOV A N VÝROBKOV – PRÜCKNEROVA METÓDA .........................................................................................................................................................................15 1.4 JACKSONOV MODEL ............................................................................................................................................23 1.5 RIEŠENIE SEKVENČNÝCH PROBLÉMOV POMOCOU METÓD LINEÁRNEHO PROGRAMOVANIA – WAGNEROV MODEL ...................................................................................................................................................25
1.5.1 Sekvenčný model bez čakania výrobkov medzi výrobnými stupňami ...........................................................36 1.5.2 Sekvenčný model bez prestojov výrobných stupňov ......................................................................................48
1.6 SEKVENČNÝ MODEL O DVOCH VÝROBKOCH A „M“ VÝROBNÝCH STUPŇOCH .............................52 ÚLOHY/OTÁZKY NA SAMOSTATNÉ RIEŠENIE ..................................................................................................62
LITERATÚRA K 1. KAPITOLE .......................................................................................................................................63
2 MODELY OBNOVY .....................................................................................................................................................64
2.1 MODEL JEDNODUCHEJ OBNOVY .....................................................................................................................66 2.2 MODEL ROZŠÍRENEJ OBNOVY .........................................................................................................................71 2.3 OPTIMALIZÁCIA PROCESU OBNOVY .............................................................................................................76
2.3.1 Modely obnovy objektov, ktoré majú charakter základných fondov ............................................................76 2.3.2 Model založený na diskontnej hodnote nákladov ...........................................................................................79 2.3.2 Modely obnovy objektov, ktoré sa po poruche vymieňajú ............................................................................85
2.4 MODELY ÚDRŽBY................................................................................................................................................94 2.4.1 Analytický prístup k určeniu optimálnej periodickosti a času trvania preventívnej údržby ......................95 2.4.2 Simulačný prístup k určeniu optimálnej periodickosti a času trvania preventívnej údržby ......................97
ÚLOHY/OTÁZKY NA SAMOSTATNÉ RIEŠENIE ..................................................................................................98
LITERATÚRA K 2. KAPITOLE .......................................................................................................................................98
3. MODELY HROMADNEJ OBSLUHY ....................................................................................................................100
3.1 ZÁKLADNÉ POJMY THO ....................................................................................................................................101 3.2 KLASIFIKÁCIA SYSTÉMOV HROMADNEJ OBSLUHY...............................................................................102
3.2.1 Parametre a ukazovatele efektívnosti práce systémov hromadnej obsluhy ...............................................105 3.3 MODELY SHO .......................................................................................................................................................106
3.3.1 Matematické modely SHO ..............................................................................................................................112 3.3.1.1 Modely jednokanálových systémov typu M/M/1 ..........................................................................................................113 3.3.1.2 Modely viackanálových systémov typu M/M/S ............................................................................................................120
3.4 SIMULÁCIA PROCESU HROMADNEJ OBSLUHY .......................................................................................137 3.5 OPTIMALIZÁCIA SYSTÉMOV HROMADNEJ OBSLUHY ..........................................................................138 ÚLOHY/OTÁZKY NA SAMOSTATNÉ RIEŠENIE ................................................................................................142
LITERATÚRA K 3. KAPITOLE .....................................................................................................................................142
4 MODELY ZÁSOB ........................................................................................................................................................144
4.1 KLASIFIKÁCIA MODELOV ZÁSOB .................................................................................................................146 4.2 STATICKÉ MODELY ZÁSOB ............................................................................................................................150
4.2.1 Diskrétny statický model .................................................................................................................................150 4.2.2 Spojitý statický model .....................................................................................................................................155
4.3 DYNAMICKÉ MODELY ZÁSOB........................................................................................................................155 4.3.1 Dynamické modely s pohybom zásob determinovaným absolútne ............................................................155
4.3.1.1 Viacpoložkový model ..................................................................................................................................................160 4.3.1.2 Model s deficitom .........................................................................................................................................................163
223
4.3.1.3 Model s postupným doplňovaním zásob ....................................................................................................................166 4.3.1.4 Model s diskontom ......................................................................................................................................................171
4.3.2 Dynamické modely s pohybom zásob determinovaným pravdepodobnostne úplne ................................174 ÚLOHY/OTÁZKY NA SAMOSTATNÉ RIEŠENIE ................................................................................................182
LITERATÚRA K 4. KAPITOLE .....................................................................................................................................182
5 EXAKTNÉ METÓDY V MANAŽÉRSKOM ROZHODOVANÍ – VIACKR ITERIÁLNA OPTIMALIZÁCIA ..........................................................................................................................................................184
5.1 EXAKTNÉ METÓDY V MANAŽÉRSKOM ROZHODOVANÍ.......................................................................184 5.2 VIACKRITERIÁLNA OPTIMALIZÁCIA ...........................................................................................................188 5.3 ANALYTICKÝ HIERARCHICKÝ PROCES (AHP) ..........................................................................................193
5.3.1 Pozadie AHP metódy .......................................................................................................................................193 5.3.2 AHP metóda krok za krokom .........................................................................................................................193 5.3.3 Expert Choice ...................................................................................................................................................197 5.3.4 Matematický výpočet .......................................................................................................................................207 5.3.5 Praktický príklad využitia metódy AHP a softvéru ExpertChoice ..............................................................209
ÚLOHY/OTÁZKY NA SAMOSTATNÉ RIEŠENIE ................................................................................................214
LITERATÚRA K 5. KAPITOLE .....................................................................................................................................215
ZOZNAM BIBLIOGRAFICKÝCH ODKAZOV ................... ....................................................................................219
EDÍCIA VYSOKOŠKOLSKÝCH SKRÍPT
Autori: Ing. Henrieta Hrablik Chovanová, PhD., prof. Ing. Peter
Sakál, CSc., Ing. Katarína Drieniková, Ing. Tomáš Naňo Názov: Operačná analýza. Časť II.
Operational research II. Miesto vydania: Trnava Vydavateľ: AlumniPress Rok vydania: 2012 Vydanie: prvé Rozsah : 223 strán Edičné číslo: 9/AP/2012 ISBN 978-80-8096-165-7 EAN 9788080961657
zverejnené na https://is.stuba.sk