Operačná analýza časť II.

OPERAČNÁ ANALÝZA Časť II

Henrieta HRABLIK CHOVANOVÁ

Peter SAKÁL Katarína DRIENIKOVÁ

Tomáš NAŇO

2012

© Ing. Henrieta Hrablik Chovanová, PhD., prof. Ing. Peter Sakál, CSc., Ing. Katarína

Drieniková, Ing. Tomáš Naňo

Recenzenti: Dr. h. c. mult. prof. Ing. Jozef Mihok, PhD. doc. Ing. Vladimír Jerz, CSc.

Jazyková korektúra: Mgr. Valéria Krahulcová

Schválilo Vedenie Materiálovotechnologickej fakulty STU ako vysokoškolské skriptá dňa 24. januára 2012 pre všetky študijné programy Materiálovotechno-logickej fakulty STU v Trnave

ISBN 978-80-8096-165-7 EAN 9788080961657

3

Predslov

Študijný materiál z predmetu OPERAČNÁ ANALÝZA má ambíciu uviesť študentov do

problematiky ekonomického modelovania a tvorby ekonomických analýz na základe využitia

ekonomicko-matematických metód.

Cieľom predmetu je poskytnúť študentom prvého inžinierskeho ročníka na STU Bratislava

Materiálovotechnologickej fakulty so sídlom v Trnave základné informácie o matematickom

modelovaní ekonomických problémov, umožniť im orientáciu v zložitých problémoch

ekonomického života, ktoré je možné riešiť použitím metód a modelov operačnej analýzy, a tým

prispieť k formovaniu ich moderného ekonomického myslenia a správneho rozhodovania sa.

Predpokladom pre predmet OPERAČNÁ ANALÝZA je základná znalosť matematiky a

informatiky a študenti by mali tiež ovládať základy štatistiky, ekonomiky a manažmentu

podniku.

Študenti by mali po ukončení predmetu získať zručnosti:

• v ovládaní pojmového aparátu ekonomicko-matematického modelovania,

• v analýze základných súvislosti medzi ekonomickými javmi a procesmi,

• v tvorbe ekonomických modelov a ich interpretácií,

• v ovládaní ekonomicko-matematických metód využívaných pri ekonomických analýzach,

• v oblasti rozhodovania manažmentu pri riešení zložitých ekonomických problémov.

Študijný materiál je spracovaný pre potreby samoštúdia teoretických poznatkov a vedomostí

študentov na získanie základných informácií a pojmového aparátu z predmetu operačná analýza.

Taktiež sú v každej kapitole vypočítané vzorové príklady a v závere každej kapitoly sú úlohy

a príklady na samotné samoštúdium. Celý študijný materiál pozostáva z piatich obsiahlych

kapitol.

Prvá kapitola sa zaoberá problémom riešenia sekvenčných modelov. Vysvetlené sú postupy

riešenia Johnsonovho modelu a jeho modifikácie (Prücknerov model), Jacksonov model,

sekvenčná úloha, pri ktorej je daná požiadavka/podmienka (sekvenčný model bez prestojov

výrobných stupňov/medzi výrobnými stupňami) a sekvenčný model Akers-Friedmana.

4

Náplňou druhej kapitoly sú modely teórie obnovy charakterizujúce reprodukčný proces

základných prostriedkov podniku. Súčasťou riešenia problémov reprodukcie sú modely obnovy

súvisiace s procesom fyzického opotrebenia, individuálna a skupinová výmena prvkov v systéme,

preventívna kontrola prevádzkyschopnosti výrobných zariadení a modely spoľahlivosti

základných prostriedkov.

Tretia kapitola sa zaoberá teóriou hromadnej obsluhy a modelom hromadnej obsluhy vo

výrobných aj nevýrobných organizáciách. Zaoberá sa obslužnými činnosťami v podniku a ich

optimalizáciou , hlavne optimalizáciou vstupných a výstupných parametrov procesu obsluhy.

Štvrtá kapitola je venovaná modelom riadenia zásob v podniku. Táto oblasť sa zaoberá

optimalizáciou základných parametrov zásobovacích a skladovacích činností podniku.

Predmetom je definovanie účelovej funkcie nákladového charakteru a výpočet optimálnych

parametrov. Zhodnotenie a záver riešenia problémov zásobovania spočíva v ekonomickej

interpretácii dosiahnutých výsledkov.

Piata kapitola je venovaná problematike exaktných metód v manažérskom rozhodovaní

a viackriteriálnej optimalizácii. Bližšie je opísaný a vysvetlený analytický hierarchický proces

(AHP) a využitie softvérového nástroja Expert Choice s príkladmi.

Skriptum Operačná analýza časť II. je druhou časťou komplexného spracovania témy

operačnej analýzy, ktorá je na MTF súčasťou predmetu Operačná analýza. Obsahom skrípt sú aj

prevzaté kapitoly z monografií (Sakál, 2003) a (Sakál, 2006), za čo autorom ďakujeme.

V skriptách Operačná analýza časť II., sú obsiahnuté oblasti operačnej analýzy, a to:

sekvenčné modely, modely obnovy a modely hromadnej obsluhy, modely zásob, viackriteriálna

optimalizácia s využitím softvérového nástroja Expert Choice. Vydanie týchto skrípt bolo

podporované Agentúrou na podporu výskumu a vývoja na základe zmluvy č. LPP-0384-09:

„Koncept HCS modelu 3E vs. koncept Corporate Social Responsibility (CSR).“ Skriptá boli

vydané zároveň ako súčasť schváleného projektu KEGA č. 037STU-4/2012: "Zavedenie

predmetu „udržateľné spoločensky zodpovedné podnikanie“ do študijného programu

Priemyselný manažment v druhom stupni na MTF STU Trnava".

Trnava 2012 AUTORI

5

1 SEKVENČNÉ MODELY

Ciele:

• Johnsonov model a jeho modifikácie (Prücknerov model),

• Jacksonov model,

• Sekvenčná úloha, pri ktorej je daná požiadavka (podmienka),

• Sekvenčný model Akers- Friedmana.

Vo výrobnej praxi sa často vyskytuje problém, ako nájsť také poradie opracovania výrobkov,

ktoré sa opracovávajú podobným spôsobom na tom istom výrobnom zariadení, aby čas prechodu

výrobkov príslušnými pracoviskami bol minimálny (minimalizovali sa prestoje strojového

zariadenia).

Inými slovami povedané, ako optimalizovať poradie opracovávania výrobkov vzhľadom na

minimalizáciu celkového priebežného času výrobkov. Takéto a podobné optimalizačné problémy

nazývame sekvenčnými úlohami a na ich riešenie môžeme použiť sekvenčné modely.

Výsledkom ich riešenia je chronologické poradie daných výrobkov.

Konkrétne môže ísť o poradie:

• spracovania určitých výrobkov,

• výstavby objektov,

• overovacích skúšok,

• ako máme postupovať pri vyhľadávaní poruchy v zložitom systéme.

Nás najviac zaujíma také poradie, ktoré extremizuje danú účelovú funkciu (ÚF). Riešenie

týchto problémov je veľmi obťažné, pretože spravidla ide o hľadanie permutácií určitých prvkov,

pričom počet permutácií (z kombinatoriky) rastie veľmi rýchlo so zväčšovaním sa počtu prvkov

v permutácii.

Terminológia, ktorú budeme používať pri preberaní jednotlivých modelov, je približne

totožná s terminológiou kusovej výroby v strojárstve. Tak napríklad termín „výrobok“ môže

znamenať buď skutočne iba jeden výrobok, alebo jednu sériu výrobkov. Termín „výrobný

stupeň“ môže znamenať stroj, dielňu, pracovisko alebo pracovnú čatu a pod. Pod termínom

„operačný čas“ budeme rozumieť čas, ktorý je nevyhnutne potrebný na vykonanie pracovných

6

úkonov na výrobku na jednom výrobnom stupni. Pri formulácii jednotlivých modelov nebudeme

zohľadňovať časy potrebné na zriaďovanie, dopravu a kontrolu.

Symbolika používaná pri sekvenčných modeloch je nasledovná:

• i- výrobky (výrobná dávka), i = 1,..., n ,

• j- výrobný stupeň (pracovné miesta, cez ktoré prechádza výrobok: pracovné čaty, dielne,

výrobné stroje, prevádzky...), j = 1,..., m ,

• tij- operačný čas i- teho výrobku na j- tom výrobnom stupni,

• T- celkový priebežný čas, ktorý je potrebný na výrobu n- výrobkov na m- výrobných

stupňoch,

• ÚF = optimálne poradie bude vtedy, ak T bude minimálne.

Ďalej pri konštrukcii sekvenčných modelov budeme používať nasledovné označenia:

rkj – časový interval – prestoj j-teho výrobného stupňa medzi k-tym a (k+1) výrobkom v poradí,

výr.°

j 0 k k+1 t (čas)

skj – čas čakania k-teho výrobku v poradí na j-tom výrobnom stupni, t.j. čas, ktorý uplynie od

skončenia opracovania k-teho výrobku v poradí na j-tom výrobnom stupni do začatia práce

na k-tom výrobku v poradí na (j+1) výrobnom stupni,

rkj

7

výr.°

j+1 k-1 k

j k t (čas)

skj

wkj – čas, keď sa k-ty výrobok v poradí začne opracúvať na j-tom výrobnom stupni,

výr.°

j° k t (čas)

wkj

xik – binárna premenná, pričom xik = 1, ak výrobok „i“ bude zaradený na všetkých výrobných

stupňoch ako k-ty v poradí a xik = 0 , ak to tak nebude (i, k = 1, 2, ... n),

T – celkový priebežný čas všetkých výrobkov na všetkých výrobných stupňoch.

Sekvenčné úlohy sú kombinatorickej povahy, lebo do úvahy môžeme brať len diskrétne

hodnoty. Ďalej sú stručne charakterizované najznámejšie sekvenčné modely.

1.1 JOHNSONOV MODEL

Johnsonov model možno použiť:

• pri určovaní optimálneho poradia výrobkov pre dva, za určitých podmienok aj pre tri

výrobné stupne (VS) ako presnú metódu,

• po určitých úpravách východiskových údajov aj pre ľubovoľný počet výrobných stupňov, ale

v takom prípade iba ako približnú metódu.

8

Začneme veľmi jednoduchým prípadom: treba určiť optimálne poradie spracovania „n“

výrobkov na dvoch výrobných stupňoch za týchto predpokladov:

1. Ak určitý výrobok, ktorý sa spracuje ako prvý na 1. výrobnom stupni, musí sa spracovať ako

prvý aj na 2. výrobnom stupni (a ostatných výrobných stupňoch); výrobok, ktorý sa spracuje

ako druhý na 1. výrobnom stupni, musí sa tak isto spracovať druhý na 2. výrobnom stupni (a

ostatných výrobných stupňoch), atď.

2. Výrobok môže prejsť na ďalší výrobný stupeň až vtedy, keď je dokončené jeho spracovanie

na predchádzajúcom výrobnom stupni.

3. V ľubovoľnom časovom okamžiku môže sa na ľubovoľnom výrobnom stupni spracovávať

iba jeden výrobok.

4. Pre každý výrobok je zadané poradie výrobných stupňov, v akom musí cez ne prechádzať

a pre všetky výrobky je toto poradie rovnaké.

5. Pracovný proces pri spracovaní výrobku nemožno prerušiť zavedením iného výrobku.

6. Každý výrobok sa môže v ľubovoľnom časovom okamžiku spracovávať iba na jedinom

výrobnom stupni.

7. Poznáme operačné časy jednotlivých výrobkov na jednotlivých výrobných stupňoch.

8. Existuje iba jeden výrobok (výrobný stupeň) každého druhu.

Uvažujeme teda: j = 2 výrobné stupne,

i = n výrobkov.

Úlohou je nájsť také poradie (i1, i2, ..., in), kde (i1, i2, ..., in) je výberový priestor 1 až n, pre

ktorý bude mať funkcia T minimálnu hodnotu. Existuje n! poradí. Nezisťujú sa všetky možné

riešenia, ale iba optimálne, t.j. také, pri ktorých celkový priebežný čas všetkých výrobkov na

dvoch výrobných stupňoch bude minimálny.

ÚF: min!

=T

Hodnotu T môžeme všeobecne pre dva výrobné stupne a n výrobkov vyjadriť takto:

∑∑−

==

+=1

02

12

n

kk

n

ii rtT [1.1]

9

Je zrejmé, že prvá zložka na pravej strane je pevne určená – nezávisí od poradia výrobkov.

Zmenou poradia však môžeme minimalizovať druhú zložku, ktorá predstavuje prestojové časy na

2. výrobnom stupni.

výr.° - jedno z možných poradí,

- všetkých možných poradí

je n! = 4! = 24.

2 r02 r12

A B C D

1

A B C D t (čas)

min!

=T

Minimálnu hodnotu funkcie T [1.1] dosiahneme minimalizáciou druhej zložky, ak výrobky

zoradíme podľa týchto Johnsonových pravidiel:

1. Vyberieme najmenší operačný čas tij bez ohľadu na výrobky a výrobné stupne.

2. Ak je tento čas operačným časom na 1. výrobnom stupni niektorého výrobku, zaradíme tento

výrobok na prvé miesto v poradí.

3. Ak je tento čas operačným časom na 2. výrobnom stupni niektorého výrobku, zaradíme tento

výrobok na posledné miesto v poradí.

4. Vyberieme ďalší najmenší operačný čas, pričom operačné časy výrobkov, ktoré už boli

zaradené, si nevšímame.

5. Opakujeme postup podľa bodov 1 - 4, až kým nezaradíme všetky výrobky, pričom ďalšie

výrobky zaraďujeme vždy ďalej smerom do stredu poradia (t.j. ako druhý, predposledný,

atď.).

6. Ak majú 2 alebo viac výrobkov rovnaké operačné časy na tom istom výrobnom stupni,

pričom tieto časy sú rozhodujúce z hľadiska ich zaradenia do poradia, existuje viac

optimálnych poradí, pretože poradie týchto výrobkov si môžeme zvoliť ľubovoľne.

10

7. Ak má niektorý výrobok rovnaké operačné časy na oboch výrobných stupňoch, potom

z hľadiska zaradenia je dôležitý operačný čas na 1. výrobnom stupni a zaraďujeme ho, keď

naň príde rad, na prvšie miesto poradia.

Príklad 1.1:

Treba zostaviť optimálne poradie opracovania 6 výrobkov pre dva výrobné stupne. Operačné

časy výrobkov na výrobných stupňoch sú uvedené v tabuľke:

Operačné časy

v hodinách

Výrobok

A B C D E F

1. výr. stupeň 7 8 6 4 3 8

2. výr. stupeň 5 3 2 4 6 5

Riešenie:

Na určenie optimálneho poradia použijeme Johnsonove pravidlá. Najmenší operačný čas je 2

na 2. výrobnom stupni a prislúcha výrobku C. Výrobok C dáme na posledné miesto v poradí.

Ďalší najmenší čas je 3. Pri výrobku B je na 2. výrobnom stupni a pri výrobku E na 1. výrobnom

stupni.

Výrobok B dáme pred výrobok C, t.j. na predposledné miesto a výrobok E zaradíme na prvé

miesto.

Ďalší najmenší čas je 4 pri výrobku D (pri 1. aj 2. výrobnom stupni). Výrobok D dáme na

druhé miesto za E.

Ďalší najmenší čas je 5 na 2. výrobnom stupni pri výrobkoch A a F. Môžeme dať výrobok F

pred výrobok B a výrobok A pred výrobok F; alebo môžeme dať A pred B a F pred A.

Všetky výrobky máme už zaradené, budú teda dve optimálne poradia:

E → D → A → F → B → C a

E → D → F → A → B → C , pre ktoré je zhodné trvanie Tmin = 38 hod.

Príklad 1.2:

Treba zostaviť optimálne poradie výrobkov pre 1. a 2. výrobný stupeň tak, aby sme vylúčili

prestoje výrobných stupňov počas výrobného procesu. Operačné časy sú v tabuľke.

11

Operačné časy

v hodinách

Výrobok

A B C D E F G

1. výr. stupeň 10 8 5 3 6 5 8

2. výr. stupeň 6 4 7 4 6 4 10

Použijúc Johnsonove pravidlá dostaneme dve optimálne poradia:

D → C → E → G → A → B → F a

D → C → E → G → A → F → B

∑∑−

==

+=1

02

12min

n

kk

n

ii rtT

498418)44610674(min =+=+++++++=T hod.

výr.°

3 4 1 7 6 1 10 6 2 4 1 4

2 D C E G A B F

1 D C E G A B F t

3 5 6 8 10 8 5

Tmin = 49

Príklad 1.3:

Treba nájsť optimálne poradie spracovania 6-tich výrobkov A, B, C, D, E, F na dvoch

výrobných stupňoch za predpokladu, že operačné časy výrobkov na jednotlivých výrobných

stupňoch sú uvedené v nasledujúcej tabuľke.

Operačné časy A B C D E F

1. výr. stupeň 7 12 8 3 7 4

2. výr. stupeň 10 2 3 6 2 6

12

Použijúc Johnsonove pravidlá dostávame dve optimálne poradia:

D → F → A → C → B → E a

D → F → A → C → E → B

Príklad 1.4:

Treba určiť optimálne poradie spracovania 8 výrobkov na dvoch výrobných stupňoch.

Operačné časy na jednotlivých stupňoch sú v tabuľke:

Operačné časy

v hodinách

Výrobok

A B C D E F G H

1. výr. stupeň 6 8 4 10 15 2 6 13

2. výr. stupeň 2 7 5 11 4 8 10 6

Použijúc Johnsonove pravidlá dostaneme nasledujúce optimálne poradie:

F → C → G → D → B → H → E → A

1.2 JOHNSONOV MODEL PRE TRI VÝROBNÉ STUPNE

Johnsonove pravidlá možno zovšeobecniť a použiť aj v prípade troch výrobných stupňov a n

výrobkov. Musí sa však splniť, okrem už uvedených ôsmich predpokladov, ešte aspoň jedna

z nasledujúcich nerovností:

a) max ti2 ≤ min ti1 , to znamená, že najväčší operačný čas druhého výrobného stupňa nesmie

byť väčší ako minimálny čas prvého výrobného stupňa,

b) max ti2 ≤ min ti3 , to znamená, že najväčší operačný čas druhého výrobného stupňa nesmie

byť väčší ako minimálny operačný čas tretieho výrobného stupňa alebo môžu platiť obidve

nerovnosti súčasne.

Ak je splnená aspoň jedna z uvedených nerovností, môžeme nájsť aplikáciou pravidiel

Johnsona i pri troch výrobných stupňoch optimálne poradie. Aby sme však mohli tieto pravidlá

použiť, musíme najprv zredukovať počet výrobných stupňov. Urobíme to tak, že sčítame

13

operačné časy (ti1 + ti2) a (ti2 + ti3) pre všetky i = 1, 2, ..., n. Tak dostaneme z pôvodných troch

hodnôt operačných časov pre každý výrobok len dve súčtové hodnoty. Takto upravenú úlohu

riešime Johnsonovým modelom ako úlohu dvojstupňovú.

Poradie získané týmto modelom minimalizuje účelovú funkciu T, ale nezaručuje, že 2. a 3.

výrobný stupeň nebudú mať prestoje počas výrobného procesu.

Príklad 1.5:

Na základe operačných časov uvedených v tabuľke treba nájsť optimálne poradie

spracovania výrobkov:

Operačné časy A B C D E F

1. výr. stupeň 5 6 5 7 8 5

2. výr. stupeň 2 4 3 3 5 2

3. výr. stupeň 3 5 3 4 7 6

Z tabuľky je zrejmé, že:

{max ti2 = 5} = {min ti1 = 5} - je splnená aspoň jedna podmienka nerovnosti.

min. ti3 = 3.

To znamená, že na zostavenie optimálneho poradia výrobkov môžeme použiť Johnsonove

pravidlá. Najprv však musíme previesť úlohu na dvojstupňovú:

Súčtové oper. časy A B C D E F

ti1 + ti2 7 10 8 10 13 7

ti2 + ti3 5 9 6 7 12 8

Aplikáciou Johnsonových pravidiel na súčtové operačné časy výrobkov získame takéto

optimálne poradie výrobkov:

F → E → B → D → C → A

14

Príklad 1.6:

Treba nájsť optimálne poradie spracovania 6-tich výrobkov na 3 výrobných stupňoch, ak

operačné časy jednotlivých výrobkov na jednotlivých výrobných stupňoch sú:

Výrobný stupeň A B C D E F

1. 6 8 10 12 7 10

2. 5 4 3 6 2 6

3. 7 2 10 4 5 6

Z tabuľky je zrejmé, že: {max ti2 = 6} = {min ti1 = 6} - je splnená aspoň jedna nezápornosť.

min. ti3 = 2.

Výrobný stupeň A B C D E F

ti1 + ti2 11 12 13 18 9 16

ti2 + ti3 12 6 13 10 7 12

Aplikáciou Johnsonových pravidiel na súčtové operačné časy výrobkov získavame takéto

optimálne poradie výrobkov:

A → C → F → D → E → B

Príklad 1.7:

Treba nájsť optimálne poradie spracovania 6-tich výrobkov na 3 výrobných stupňoch.

Operačné časy sú uvedené v tabuľke:

Operačné časy A B C D E F

1. výr. stupeň 6 8 5 10 15 4

2. výr. stupeň 2 7 6 5 2 6

3. výr. stupeň 7 10 8 7 9 11

{max ti2 = 7} = {min ti3 = 7} - je splnená aspoň jedna podmienka nerovnosti.

min. ti1 = 4.

Súčtové oper. časy A B C D E F

ti1 + ti2 8 15 11 15 17 10

ti2 + ti3 9 17 14 12 11 17

15

Aplikáciou Johnsonových pravidiel na súčtové operačné časy výrobkov dostávame takéto

optimálne poradie výrobkov: A → F → C → B → D → E

1.3 JOHNSONOV MODEL PRE M VÝROBNÝCH STUPŇOV A N VÝROBKOV – PRÜCKNEROVA METÓDA

Johnsonove pravidlá možno použiť na určenie poradia výrobkov aj pri väčšom počte

výrobných stupňov ako tri, ale v takom prípade už tieto pravidlá strácajú charakter presnej

metódy a nezaručujú teda ani najlepšie optimálne poradia.

Postup pri ich použití je nasledovný:

1. Pre každý výrobný stupeň vypočítame úhrnný čas Tj ako súčet časov tij pre tento výrobný

stupeň:

∑=

=n

iijj tT

1

, j =1, 2, ..., m

2. Pre každý výrobok vypočítame úhrnný čas Ti ako súčet časov tij pre tento výrobok:

∑=

=m

jiji tT

1

, i = 1, 2, ..., n

3. Overíme správnosť výpočtu dosadením výsledkov do rovnice:

∑∑==

=n

ii

m

jj TT

11

[1.2]

4. Ucelený sled zložený z m výrobných stupňov rozdelíme ne dve skupiny A, B. Prvá skupina

A bude obsahovať prvých a výrobných stupňov, druhá skupina B zostávajúcich b = (m–a)

výrobných stupňov. Veľkosť a a b určíme tak, aby medzisúčet úhrnných časov Tj za prvých

a výrobných stupňov sa približne rovnal medzisúčtu Tj za zostávajúcich b výrobných

stupňov, t.j.:

∑∑+==

=m

ajj

a

jj TT

11

[1.3]

Ak nie sú veľké rozdiely medzi jednotlivými Tj , potom pri párnom m platí a = b , pri

nepárnom m platí a = b+1 alebo a = b–1.

16

5. Pre každý výrobok i vypočítame hodnoty Ai , Bi podľa nasledovných vzorcov:

+= 1itA

+++ 21 ii tt

++++ 321 iii ttt

M

=+++++ iaiii tttt ...321

iaiii ttataat ++−+−+= ...)2()1( 321 [1.4]

B += +bait ,

+++ −++ 1,, baibai tt

++++ −+−++ 2,1,, baibaibai ttt

M

=+++++ +−+−++ 1,2,1,, ... aibaibaibai tttt

1,2,1,, ...)2()1( +−+−++ ++−+−+= aibaibaibai ttbtbbt [1.5]

Tým zredukujeme pôvodných m výrobných stupňov na dva fiktívne výrobné stupne. Pre

prvý výrobný stupeň platia pre súčtové hodnoty operačných časov hodnoty Ai a pre druhý

výrobný stupeň hodnoty Bi.

17

6. Použijeme Johnsonove pravidlá na dva fiktívne stupne.

„ i “ výrobky →

1 2 i n Tj =∑=

n

iijt

1

← „

j “

výro

bné

stu

pne

a

1 t11 t21 ti1 tn1 T1

2 t12 t22 ti2 tn2 T2

j tij Tj

a t1a t2a tia tna Ta

b

a+1 t1,a+1 t2,a+1 ti,a+1 tn,a+1 Ta+1

m t1m t2m tim tnm Tm

Ti =∑=

m

jijt

1

T1 T2 Ti Tn ∑Ti = ∑Tj

Príklad 1.8:

Treba určiť optimálne poradie spracovania 4 výrobkov na 8 výrobných stupňoch. Operačné

časy aj výpočet sú uvedené v tabuľke.

„ i “ výrobky →

A B C D Tj=∑=

D

Aiijt

← „

j “

výr

obn

é s

tup

ne

a

1. 14 7 4 16 41 2. 8 22 9 19 58 3. 95 15 63 0 173 4. 43 22 38 5 108

b

5. 16 80 21 63 180 6. 0 0 0 24 24 7. 52 3 10 32 97 8. 87 0 10 41 138

Ti=∑=

8

1jijt 315 149 155 200 819

18

Riešenie:

1. Pre každý výrobný stupeň vypočítame čas Tj (j = 1, 2, ..., 8).

2. Pre každý výrobok vypočítame čas Ti (i = A, B, C, D).

3. Preveríme správnosť výpočtu dosadením výsledkov do rovnice: ∑∑==

=D

Aii

jj TT

8

1

819 = 819

4. Operácie rozdelíme na dve skupiny A, B. Prvá skupina bude pozostávať z prvých štyroch

operácií a = 4, druhá skupina z ostávajúcich štyroch b = 4.

5. Pre každý výrobok vypočítame hodnoty Ai, Bi:

AA = 3134329538414 =+⋅+⋅+⋅

AB 1462221532247 =+⋅+⋅+⋅=

AC 207382633944 =+⋅+⋅+⋅=

AD 126520319416 =+⋅+⋅+⋅=

BA = 5201620352487 =+⋅+⋅+⋅

BB 8980203340 =+⋅+⋅+⋅=

BC 912120310410 =+⋅+⋅+⋅=

BD 37163224332441 =+⋅+⋅+⋅=

6. Ďalej postupujeme podľa Johnsonových pravidiel, pretože pre každý výrobok máme už iba

dve hodnoty Ai, Bi – dva fiktívne výrobné stupne:

Výrobný

stupeň

Výrobok

A B C D

Ai 313 146 207 126

Bi 520 89 91 371

89 " → . . . B

91 " → . . C B

126 ' → D . C B

313 ' → D A C B - konečné poradie výrobkov.

19

Podobným výpočtom, t.j. zistením spotreby výrobného času pre každú zo všetkých 24 (4!)

možných permutácií by sme zistili, že nájdené poradie: DACB je aj optimálne poradie.

Príklad 1.9:

Zostavte optimálne poradie výrobkov vzhľadom na operačné časy uvedené v tabuľke:

„ i “ výrobky →

A B C D E F ∑=

=F

Aiijj tT

← „

j“ v

ýrob

né s

tup

ne a

1. 20 5 0 8 15 22 70

2. 14 33 28 16 16 0 107

3. 10 13 9 0 0 17 49

4. 25 0 10 28 31 20 114

b

5. 0 17 23 31 27 6 104

6. 42 10 15 9 4 17 97

7. 22 45 11 13 11 12 114

∑=

=7

1jiji tT 133 123 96 105 104 94 655

Riešenie:

1. Pre každý výrobný stupeň vypočítame čas Tj (j = 1, 2, ..., 7).

2. Pre každý výrobok vypočítame čas Ti (i = A, B, ..., F).

3. Preveríme správnosť výpočtu dosadením výsledkov do rovnice: ∑∑==

=F

Aii

jj TT

7

1

655 = 655

4. Operácie rozdelíme na dve skupiny A, B.

Prvá skupina bude pozostávať z prvých štyroch operácií a = 4, 3404

1

=∑=j

jT a druhá skupina

z ostávajúcich troch b = 3, 3157

5

=∑=j

jT .

20

5. Pre každý výrobok vypočítame hodnoty Ai, Bi:

167)25101420()101420()1420(20 =+++++++++=AA

145)013335()13335()335(5 =+++++++++=BA

112)109280()9280()280(0 =+++++++++=CA

108)280168()0168()168(8 =+++++++++=DA

139)3101615()01615()1615(15 =+++++++++=EA

142)2017022()17022()022(22 =+++++++++=EA

117)04222()4222(22 =+++++=AB

172)171045()1045(45 =+++++=BB

86)231511()1511(11 =+++++=CB

88)31913()913(13 =+++++=DB

68)27411()411(11 =+++++=EB

76)61712()1712(12 =+++++=FB

6. Ďalej pokračujeme podľa Johnsonových pravidiel, pretože pre každý výrobok máme už

iba dve hodnoty Ai, Bi – dva výrobné fiktívne stupne:

Výrobný

stupeň

Výrobok

A B C D E F

Ai 167 145 112 108 139 142

Bi 117 172 86 88 68 76

68 → . . . . . E

76 → . . . . F E

86 → . . . C F E

88 → . . D C F E

117 → . A D C F E

B A D C F E - konečné poradie výrobkov.

21

Príklad 1.10:

Zostavte optimálne poradie výrobkov vzhľadom na operačné časy uvedené v tabuľke:

„ i “ výrobky →

A B C D E F ∑=

=F

Aiijj tT

← „

j “

výr

obn

é s

tupn

e

a

1. 11 21 12 9 23 25 101

2. 0 0 41 32 22 17 112

3. 27 35 19 0 11 0 92

4. 15 0 19 0 29 8 71

b

5. 0 31 11 17 23 0 82

6. 22 27 0 11 0 42 102

7. 12 25 0 21 13 22 93

8. 17 11 23 15 12 9 87

9. 0 8 13 0 5 10 36

∑=

=9

1jiji tT 104 158 138 105 138 133 776

Riešenie:

1. Pre každý výrobný stupeň vypočítame čas Tj (j = 1, 2, ..., 9).

2. Pre každý výrobok vypočítame čas Ti (i = A, B, ..., F).

3. Preveríme správnosť výpočtu dosadením výsledkov do rovnice: ∑∑==

=F

Aii

jj TT

9

1

776 = 776

4. Operácie rozdelíme na dve skupiny A, B.

Prvá skupina bude pozostávať z prvých štyroch operácií a = 4, 3764

1

=∑=j

jT a druhá skupina

z ostávajúcich piatich b = 5, 4009

5

=∑=j

jT .

5. Pre každý výrobok vypočítame hodnoty Ai, Bi :

22

113)1527011()27011()011(11 =+++++++++=AA

154)035021()35021()021(21 =+++++++++=BA

228)19194112()194112()4112(12 =+++++++++=CA

132)00329()0329()329(9 =+++++++++=DA

209)29112223()112223()2223(23 =+++++++++=EA

159)801725()01725()1725(25 =+++++++++=FA

148)02212170()2212170()12170()170(0 =++++++++++++++=AB

244)312725118()2725118()25118()118(8 =++++++++++++++=BB

168)11002313()002313()02313()2313(13 =++++++++++++++=CB

162)171121150()1121150()21150()150(0 =++++++++++++++=DB

135)23013125()013125()13125()125(5 =++++++++++++++=EB

236)04222910()4222910()22910()910(10 =++++++++++++++=FB

6. Ďalej postupujeme podľa Johnsonových pravidiel, pretože pre každý výrobok máme už iba

dve hodnoty Ai, Bi – dva fiktívne výrobné stupne:

Výrobný

stupeň

Výrobok

A B C D E F

Ai 113 154 228 132 209 159

Bi 148 224 168 162 135 236

113 → A . . .

132 → A D . . .

135 → A D . . . E

154 → A D B . . E

159 → A D B F . E

168 → A D B F C E - konečné poradie výrobkov

Poznámka:

Ak a = 5, b = 4 bude konečné poradie výrobkov: F – B – C – D – A – E.

23

A B C D E F

1. fiktívny ° 166 241 330 190 317 209

2. fiktívny ° 97 142 121 98 82 153

Podmienky riešenia a riešenie sekvenčných úloh Johnsonovým modelom, jeho aplikácií, sú

uvedené v nasledujúcej tabuľke.

APLIKÁCIE JOHNSONOVHO MODELU Tabuľka 1-1

Aplikácia

Johnsonovho

modelu

Podmienka riešenia modelu

Výrobné

stupne

Výpočet fiktívnych

výrobných stupňov (VS)

Riešenie modelu

2 výrobné stupne a

n- výrobkov

- Reálne - optimálne

poradie

3 výrobné stupne a

n- výrobkov

Fiktívne

dva fiktívne VS:

1 reálny + 2 reálny

= I. fiktívny VS

2 reálny + 3 reálny

= II. fiktívny VS

optimálne

poradie

(podľa aplikácie pre

2 VS n- výrobkov)

m výrobné stupne a

n- výrobkov

Prücknerova metóda

m = a+b

Tj – súčet operačných časov

na j –tom stupni

Fiktívne

dva fiktívne VS:

približné poradie

(podľa aplikácie pre

2 VS n- výrobkov)

1.4 JACKSONOV MODEL

Jacksonov sekvenčný model sa používa na určenie optimálneho poradia opracovania

výrobkov, ak ide o dva výrobné stupne (VS) s ľubovoľným počtom výrobkov, pričom poradie

VS nie je rovnaké pre všetky výrobky a taktiež výrobky môžu vynechávať niektorý VS, čiže

sa opracuje iba na jednom z dvoch VS. Optimálne poradie v tomto prípade treba určiť zvlášť pre

prvý VS a zvlášť pre druhý VS.

( )( )32

12

minmax

minmax

i

i

i

i

i

i

i

i

tt

tt

≤

≤

min!

11

=∑−∑+==

m

aj

j

a

j

j TT

mjn

i

ijj tT ,...,2,1;1

==∑=

aiiii

iii

ii

ii

tttt

ttt

tt

tI

,3,2,1,

3,2,1,

2,1,

1,

...

...

+++++

+++++++

+=

1,2,1,,

2,1,,

1,,

,

...

...

+−−

−−

−

+++++

+++++++

+=

aimimimi

mimimi

mimi

mii

tttt

ttt

tt

tII

24

Postup pri určovaní optimálneho poradia opracovania výrobkov je taký, že výrobky si

rozdelíme na štyri skupiny (množiny), a to skupinu:

I. do nej zaradíme tie výrobky, ktoré sa opracovávajú iba na 1VS,

II. - zaradíme tie výrobky, ktoré sa opracovávajú iba na 2VS,

III. - zaradíme tie výrobky, ktoré sa opracovávajú najskôr na 1VS a potom na 2VS,

IV. - zaradíme tie výrobky, ktoré sa opracovávajú najskôr na 2VS a potom na 1VS.

Na základe Johnsonovho modelu pre 2 VS nájdeme optimálne poradie pre skupinu III. a aj

pre skupinu IV. Potom určíme optimálne poradie pre:

1VS: III. opt.- I. ľub. – IV. opt.

2VS: IV. opt.- II. ľub. – III. opt.

Tento model je vhodný pre fázovú výrobu.

Príklad 1-11:

Na základe údajov v nasledovnej tabuľke treba určiť optimálne poradie výrobkov na dvoch

výrobných stupňoch. Pričom výrobky, ktoré sú v poslednom riadku tabuľky označené

znamienkom „+“ sa opracúvajú najskôr na prvom výrobnom stupni a až potom na druhom

výrobnom stupni. Výrobky, ktoré sú označené znamienkom „-„ , sa opracúvajú najprv na druhom

výrobnom stupni a až potom na prvom výrobnom stupni.

VS

Výrobky A B C D E F G H I J K L

1. 6 7 - 2 10 - 7 12 6 7 10 12 2. 10 - 8 4 5 10 - 4 13 5 8 15 + + + + - - - -

Riešenie:

Výrobky si rozdelíme na štyri skupiny (množiny), a to skupinu:

I. B, G

II. C, F

III. A, D, E, H

IV. I, J, K, L

25

Pre III. a IV. skupinu musíme nájsť optimálne poradie pomocou Johnsonovho modelu pre dva

výrobné stupne:

III. opt. : D – A – E – H

IV. opt.: J – K – L – I (! Druhý výrobný stupeň je prvý!)

Potom optimálne poradie pre prvý výrobný stupeň je:

D – A – E – H – B – G - J – K – L – I

a poradie pre druhý výrobný stupeň je:

J – K – L – I – C – F - D – A – E – H

1.5 RIEŠENIE SEKVENČNÝCH PROBLÉMOV POMOCOU METÓD LINEÁRNEHO PROGRAMOVANIA – WAGNEROV MODEL

Viacstupňové sekvenčné modely formulovali ako problémy lineárneho programovania

viacerí autori (Manne, Wagner, Bowman). Z hľadiska výpočtu sa zdá najvýhodnejší model

Wagnerov.

Wagnerov model možno použiť na minimalizáciu celkového priebežného času pri troch

výrobných stupňoch, ak nemôžeme použiť Johnsonove pravidlá. Použitie tohto modelu

predpokladá splnenie už uvedených predpokladov. Prvý predpoklad neovplyvní optimalitu

riešenia v prípade dvoch alebo troch výrobných stupňov. Pri viac ako troch výrobných stupňoch

nemáme zaručené, že riešenie, ktoré nájdeme pomocou Wagnerovho modelu, je riešením

optimálnym.

Na základe prvého predpokladu, t.j. že poradie výrobkov je na všetkých stupňoch

spracovania rovnaké, môžeme zaviesť tzv. binárne premenné xik, kde:

xik = 1 , ak i-ty výrobok bude zaradený na všetkých výrobných stupňoch ako k-ty v poradí,

xik = 0 , ak to tak nebude (i, k = 1, 2, ..., n).

Pre takto definované premenné musí platiť:

∑=

n

iikx

1

= 1 pre k = 1, 2, ..., n, [1.6]

t.j. každý výrobok musí byť zaradený na niektorom mieste v poradí:

26

1... 11211 =+++ nxxx

1... 22221 =+++ nxxx

M

1...21 =+++ nnnn xxx

∑=

n

kikx

1

= 1 pre i = 1, 2, ..., n, [1.7]

t.j. na každé miesto poradia sa musí zaradiť niektorý výrobok:

1... 12111 =+++ nxxx

1... 22212 =+++ nxxx

M

1...21 =+++ nnnn xxx

(jednu rovnicu [1.6], [1.7] môžeme vypustiť, lebo ide o lineárne závislé rovnice).

Ďalej použijeme na sformulovanie ostatných predpokladov nasledujúce štyri druhy

premenných:

wkj ≥ 0, časový okamžik, kedy k-ty výrobok v poradí sa začne spracovávať na j-tom výrobnom

stupni;

skj ≥ 0, čas čakania k-teho výrobku medzi j-tym a (j +1). výrobným stupňom;

rkj ≥ 0, prestoj j-teho výrobného stupňa medzi k-tym a (k +1). výrobkom v poradí;

tij ≥ 0, operačný čas i-teho výrobku na j-tom výrobnom stupni.

27

výr.°

r13 r23 r33

3

A B C D

2

A B C D

1

A B C D

s31 s41

t (čas)

T

Účelová funkcia Wagnerovho modelu, ktorá predstavuje celkový čas T potrebný na

vykonanie všetkých operácií na všetkých výrobkoch, sa dá napísať takto:

min!

11

1

1

1

11

=++= ∑∑∑∑=

−

=

−

==i

n

i

m

jij

n

kkm

n

iim xtrtT , [1.8]

kde

∑=

n

iimt

1

- súčet operačných časov všetkých výrobkov na poslednom výrobnom stupni

(konštanta),

∑−

=

1

1

n

kkmr - súčet prestojov posledného stupňa medzi jednotlivými výrobkami,

11

1

1i

n

i

m

jij xt∑∑

=

−

=

- súčet prestojov posledného stupňa pred začiatkom výroby prvého výrobku

v poradí na tomto výrobnom stupni, t.j. vlastne súčet operačných časov prvého výrobku v poradí cez všetky výrobné stupne okrem posledného.

Na základe premenných xik môžeme vyjadriť čas potrebný na vykonanie pracovnej operácie

na k-tom výrobku v poradí na j-tom výrobnom stupni ako súčet súčinov:

kjkj xtxt 2211 + + ... + nknjxt = ik

n

iij xt∑

=1

. [1.9]

Ďalšie obmedzujúce podmienky pre ÚF naformulujeme pre druhý a tretí predpoklad za

pomoci premenných wkj , rkj , skj:

28

Na základe druhého predpokladu, t.j., že výrobok môže prejsť na ďalší výrobný stupeň až

vtedy, keď je dokončené jeho spracovanie na predchádzajúcom výrobnom stupni:

výr.° wkj

j k

j-1 k

t (čas)

wk,j-1 ∑=

−

n

iikji xt

11, sk,j-1

čas začatia čas opracovania čas

čakania platí:

∑=

−−− ++=n

iikjijkjkkj xtsww

11,1,1, [1.10]

Podmienka [1.10] zabezpečuje, že čas (okamih) začatia spracovania k-teho výrobku v poradí

na j-tom výrobnom stupni sa rovná okamihu začatia spracovania toho istého výrobku na

predchádzajúcom výrobnom stupni plus čas čakania tohto výrobku medzi (j-1). a j-tým

výrobným stupňom a plus operačný čas tohto výrobku na (j-1). výrobnom stupni.

Pretože je čas čakania sk,j-1 ≥ 0 a ostatné veličiny sú dané jednoznačne, pôjde na j-ty výrobný

stupeň iba výrobok dokončený na predchádzajúcom výrobnom stupni!

Na základe tretieho predpokladu, t.j. že v ľubovoľnom časovom okamžiku sa môže na

ľubovoľnom výrobnom stupni spracovávať iba jeden výrobok:

29

výr.°

wkj

rk-1,j

prestoj

j k-1 k t (čas)

wk-1,j 1,1

−=∑ ki

n

iij xt

čas začatia operačný čas

platí:

1,1

,,1,1 −=

−− ∑++= ki

n

ijijkjkkj xtrww [1.11]

Podmienka [1.11] zabezpečuje, že čas (okamih) začiatku spracovania k-teho výrobku

v poradí na j-tom výrobnom stupni sa rovná okamihu začiatku spracovania predchádzajúceho

výrobku v poradí na j-tom výrobnom stupni plus čas prestoja j-teho stupňa medzi (k-1). a k-tym

výrobkom v poradí a plus operačný čas predchádzajúceho výrobku v poradí na j-tom výrobnom

stupni.

Pretože prestoj rk-1,j ≥ 0 , zaručuje to, že sa nebudú spracúvať dva výrobky súčasne na tom

istom výrobnom stupni.

Doteraz sformulované vzťahy [1.6], [1.7], [1.10], [1.11] vystupujú ako vlastné obmedzenia

vo Wagnerovom modeli.

Podmienky nezápornosti:

0≥kjw keď: k = 2, 3, ..., n

0≥kjs j = 2, 3, ..., m

0≥kjr i = 1, 2, ..., n

0=ikx alebo 1

30

Aby sme mohli Wagnerov model použiť na výpočet poradia výrobkov, pri ktorom bude

celkový priebežný čas minimálny, treba ho ešte upraviť. Úprava spočíva vo vylúčení premenných

wkj dovolenými matematickými úkonmi zo vzťahov [1.10] a [1.11].

Zo [1.10] dostaneme pre čas začatia spracovávania (k-1). výrobku v poradí na j-tom

výrobnom stupni:

1,11,1,1 −−−−− += jkjkjk sww + 1,1

1, −=

−∑ ki

n

iji xt [1.12]

Zo [1.11] dostaneme pre čas začatia spracovávania k-teho výrobku v poradí na (j-1).

výrobnom stupni:

++= −−−−− 1,11,11, jkjkjk rww 1,1

1, −=

−∑ ki

n

iji xt [1.13]

Dosadením za wk,j-1 zo [1.13] do [1.10] a za wk-1,j zo [1.12] do [1.11] a porovnaním takto

novo vzniknutých vzťahov dostávame:

++ −−−− 1,11,1 jkjk rw ∑=

−−

n

ikiji xt

11,1, + 1, −jks + ik

n

iji xt∑

=−

11, =

= ++ −−−− 1,11,1 jkjk sw 1,1

1, −=

−∑ ki

n

iji xt + jkr ,1− + 1,

1−

=∑ ki

n

iij xt

Po vykrátení a anulovaní dostávame vzťah:

++= −−− 1,1,10 jkjk sr ∑=

−

n

iikji xt

11, −−− −−− jkjk rs ,11,1 1,

1−

=∑ ki

n

iij xt [1.14]

Vzťah [1.14] je potom novou obmedzujúcou podmienkou. Po tejto úprave vyzerá Wagnerov

model takto:

Treba nájsť minimum funkcie:

T = min!

11

1

1

1

11

=++ ∑∑∑∑=

−

−

−

==i

n

i

m

jij

n

kkm

n

iim xtrt

za podmienok:

11

=∑=

n

iikx ( k = 1, 2, ..., n )

31

11

=∑=

n

kikx ( i = 1, 2, ..., n )

1,1

,11,11

1,1,1,10 −=

−−−=

−−−− ∑∑ −−−++= ki

n

iijjkjkik

n

ijijkjk xtrsxtsr ( k = 2, 3, ..., n ; j = 2, 3, ..., m)

0≥kjr , kjs ≥ 0 a ikx = 1 alebo 0.

Ako sme už spomenuli, pokiaľ ide o dosiahnutie optima, zaručuje tento model istý výsledok

len v prípade dvoch alebo troch výrobných stupňov. Použitie tohto modelu môže byť z hľadiska

dosiahnutia optima úspešné i v mnohých prípadoch s väčším počtom výrobných stupňov ako

dobrá aproximácia výsledku.

Nevýhodou Wagnerovho modelu je neúmerný rast modelu vzhľadom na rast výrobných

stupňov a výrobkov (rast počtu obmedzení), čím už i pre jednoduché úlohy je riešenie

ťažkopádne. Ďalšou veľkou nevýhodou modelu je skutočnosť, že premenné xik sú binárne

premenné. To znamená, že vzhľadom na tieto premenné musíme úlohu doriešiť celočíselne.

Wagnerov model môžeme riešiť simplexovou metódou. Ak optimálne riešenie, ktoré

nájdeme SM, nie je celočíselné vzhľadom na premenné xik (0,1), môžeme doriešiť model napr.

Gomoryho algoritmom.

Príklad 1.12:

Výrobky A a B sa opracúvajú na troch výrobných stupňoch.

Operačné časy výrobku A: t11 = 10 h, t12 = 5 h, t13 = 8 h

Operačné časy výrobku B: t21 = 4 h, t22 = 9 h, t23 =1 h

Na základe zadaných operačných časov treba určiť optimálne poradie opracúvania

uvažovaných výrobkov platné pre všetky tri stupne, t.j. také poradie, pri ktorom T – priebežný

čas oboch výrobkov A, B nadobudne minimálnu hodnotu.

Riešenie:

Úlohu nemožno riešiť Johnsonovou metódou, pretože ani jedna podmienka na použitie tohto

modelu nie je splnená. Budeme ju riešiť pomocou Wagnerovho modelu. Formulácia Wagnerovho

modelu vyzerá takto:

32

Treba nájsť minimum funkcie: 2122111221211111132313 xtxtxtxtrttT ++++++=

na množine riešení nasledujúcej sústavy rovníc a nerovností:

12111 =+ xx [1]

12212 =+ xx [2]

11211 =+ xx [3]

12212 =+ xx lineárne závislé, vypustíme

[1.10] 022212122211211 =−+++ wwsxtxt [4]

[1.11] 022121221221112 =−+++ wwrxtxt [5]

[1.10] 023222222221212 =−+++ wwsxtxt [6]

[1.11] 023131321231113 =−+++ wwrxtxt [7]

013121221221112 =−+++ wwsxtxt [8]

011 =w

02112 =− ww lebo nám ide o minimalizáciu T

0≥kjw

0≥kjs pre k = 1, 2 a j = 1, 2, 3

0≥kjr

1=ikx , lebo 0 pre i, k = 1, 2

Prípustnými úpravami vylúčime z modelu premenné wkj. Z rovníc [5] a [8] vyplýva, že r12 =

w22 – w13, lebo s12 = 0. Ak odčítame od rovnice [4] rovnicu [5] a dosadíme za w13 rozdiel w22 –

r12 do rovnice [7] a ďalej odčítame od rovnice [6] rovnicu [7], vylúčime všetky premenné wkj

a model potom nadobudne tvar:

2122111221211111132313 xtxtxtxtrttT ++++++=!

= min

12111 =+ xx

12212 =+ xx

11211 =+ xx

33

022212122121111121221 =+−+−− xtxtxtxtrs , k = 2 , j = 2

02222212312121113131222 =+−+−−+ xtxtxtxtrrs , k = 2 , j = 3

1=ikx alebo 0 pre i, k = 1, 2

0≥kjr

0≥kjs

Ak dosadíme za tij zadané hodnoty, dostaneme konečný tvar Wagnerovho modelu pre náš

prípad:

min13159!

211113 =+++= xxrT

12111 =+ xx

12212 =+ xx

11211 =+ xx

049105 222112111221 =+−+−− xxxxrs

0958 22211211131222 =+−+−−+ xxxxrrs

Zostavený model možno riešiť SM. V prípade, že neznáme xik nenadobudnú celočíselné

hodnoty, musí sa úloha doriešiť napr. Gomoryho algoritmom. Optimálne riešenie je:

111 =x 012 =r 121 =s

021 =x 113 =r 022 =s

122 =x

a hodnota ÚF: T = 25.

Príklad 1.13:

Treba nájsť optimálne riešenie prechodu (opracovania) dvoch výrobkov na troch výrobných

stupňoch. Operačné časy výrobkov na jednotlivých výrobných stupňoch sú v tabuľke:

34

Operačné časy A B 1. výr. stupeň 6 8 2. výr. stupeň 10 4 3. výr. stupeň 9 7

n = 2 m = 3

Riešenie:

Najprv sa pozrieme, či sa príklad nedá riešiť Johnsonovými pravidlami:

max 102 =it

min 61 =it neplatí ani jedna podmienka nerovnosti => Wagnerovým modelom.

min 73 =it

ÚF: min!

2122212111121111132313 =++++++ xtxtxtxtrtt

výr.°

3 A B

2 A B

1 A B t (čas)

T

Priraďovacie obmedzenia:

11211 =+ xx

12221 =+ xx

12111 =+ xx

12212 =+ xx jednu rovnicu môžeme vypustiť (lebo sú lineárne závislé).

35

Obmedzujúca podmienka [1.14]:

01,

2

1,11,1

2

11,1,1,1 =−−−++ −

=−−−

=−−−− ∑∑ ki

iijjkjkik

ijijkjk xtrsxtsr

Pre k = 2, j = 2:

= 0 = 0

11r −+++ 2221121121 xtxts 11s 02122111212 =−−− xtxtr

Pre k = 2, j = 3:

= 0

−+++ 222212122212 xtxtsr12s 02123111313 =−−− xtxtr

Dosadením za operačné časy tij dostávame:

min121679!

211113 =++++= xxrT

041086 211122121221 =−−++− xxxxrs

079410 21112212131222 =−−++−+ xxxxrrs

11112 =+ xx

12122 =+ xx

12111 =+ xx

1=ikx alebo 0 i, k = 1,2

0, 2221 ≥ss , 0, 1312 ≥rr

Príklad 1.14:

Určte optimálne poradie dvoch výrobkov na troch výrobných stupňoch. Operačné časy

výrobkov na výrobných stupňoch sú v tabuľkách:

36

a) b)

Operačné časy A B Operačné časy A B 1. výr. stupeň 45 34 1. výr. stupeň 31 56 2. výr. stupeň 57 28 2. výr. stupeň 63 25 3. výr. stupeň 55 64 3. výr. stupeň 48 53

Riešenie:

Obe úlohy (a, b) sa musia riešiť Wagnerovym modelom, podmienky pre Johnsonov model tu

neplatia. Všeobecné riešenie majú obe úlohy (a, b) rovnaké, tak ako predchádzajúce príklady pre

dva výrobky a tri výrobné stupne, t.j.:

ÚF: min!

2122212111121111132313 =++++++= xtxtxtxtrttT

Priraďovacie obmedzenia:

x11 + x12 = 1

x21 + x22 = 1

x11 + x21 = 1

x12 + x22 = 1 (lineárne závislé, vypúšťame)

Obmedzujúca podmienka (1.14):

k = 2, j = 2:

= 0 = 0

r11 + s21 + t11x12 + t21x22

– s11 – r12 – t12x11 – t22x21 = 0

k = 2, j = 3:

= 0

r12 + s22 + t12x12 + t22x22 – s12 – r13 – t13x11 – t23x21 = 0

1.5.1 Sekvenčný model bez čakania výrobkov medzi výrobnými stupňami

Pri formulácii tohto modelu budeme vychádzať z tých istých predpokladov ako pri

Wagnerovom modeli. V tomto modeli sa ale nebudú vyskytovať veličiny skj, t.j. čakanie

výrobkov medzi výrobnými stupňami, pretože uvažujeme situáciu, kedy nemožno skladovať

37

výrobky počas výrobného procesu, skj = 0. Výrobky musia plynule prechádzať z jedného

výrobného stupňa na ďalší.

výr.°

3 A B C D

2 A B C D

1 A B C D t (čas)

T

Ako je zrejmé z obrázku, celkový čas výroby všetkých výrobkov T možno vyjadriť ako súčet

niekoľkých zložiek:

∑=

n

iit

11 - súčet operačných časov všetkých výrobkov na prvom výrobnom stupni,

∑=

m

jnjt

2

- súčet operačných časov na druhom až poslednom výrobnom stupni toho výrobku, ktorý

je na poslednom mieste v poradí,

t - súčet prestojov prvého výrobného stupňa.

Vychádzajúc z predpokladu, že výrobky nemožno skladovať počas výrobného procesu,

bude výrobný proces prebiehať plynule len v prípade, ak bude operačný čas predchádzajúceho

výrobku na druhom stupni menší alebo nanajvýš rovný operačnému času nasledujúceho výrobku

na prvom stupni.

To znamená, že ak: tk,2 ≤ tk+1,1 , pričom symbolom k označujeme poradie výrobkov, táto

nerovnosť neplatí pre dva susedné výrobky v poradí, potom výroba nasledujúceho výrobku na

prvom stupni sa nemôže začať bezprostredne po dokončení predchádzajúceho výrobku na prvom

stupni. Výroba nasledujúceho výrobku sa môže začať na prvom stupni v najlepšom prípade

vtedy, keď sa obidva výrobky na príslušných výrobných stupňoch dokončia súčasne.

38

Rozdiel operačných časov predchádzajúceho výrobku na druhom výrobnom stupni

a nasledujúceho výrobku na prvom výrobnom stupni, teda: tk,2 – tk+1,1 predstavuje prestoj

prvého výrobného stupňa medzi dokončením práce na k-tom výrobku v poradí a začatím práce na

(k+1). výrobku v poradí.

Podobná situácia sa však môže opakovať pri výrobkoch i na ďalších výrobných stupňoch,

t.j. výroba nasledujúceho výrobku sa môže začať na prvom výrobnom stupni vtedy, keď je

zaručené, že tento výrobok bude môcť po dokončení operácie na ňom na ktoromkoľvek stupni

prejsť na ďalší stupeň.

Čas čakania pri troch výrobných stupňoch je daný výrazom: )()( 2,11,13,2, ++ +−+ kkkk tttt , pri

štyroch výrobných stupňoch výrazom: )()( 3,12,11,14,3,2, +++ ++−++ kkkkkk tttttt , atď. až pri

m výrobných stupňoch výrazom: ∑∑−

=+

=

−1

1,1

2

m

jjk

m

jkj tt .

Prestoj prvého výrobného stupňa medzi dvoma susednými výrobkami v poradí bude daný

tým výrazom, ktorý bude mať najväčšiu hodnotu, pretože začiatok výroby nasledujúceho

výrobku musíme odsunúť najmenej o toľko časových jednotiek, aby čas čakania tohto výrobku

bol na všetkých stupňoch nulový.

Zapíšeme to takto:

( ) ( )

−+−+− ∑ ∑

=

−

=++++

m

j

m

jjkkjkkkkkk tttttttt

2

1

1,12,11,13,2,1,12, 0;...;;;max

alebo stručnejšie:

−∑ ∑

=

−

=+=

0;max2

1

1,1

2

p

j

p

jjkkj

m

ptt [1.15]

m

p 2max

= - znamená, že maximum vyberáme zo všetkých čiastkových súčtov výrazov v zátvorke

pre p = 2, 3, ..., m a nuly.

Výraz [1.15] platí iba pre prestoj prvého výrobného stupňa medzi dvoma po sebe

nasledujúcimi výrobkami. Aby sme dostali tretiu zložku celkového výrobného času T, musíme

sčítať výraz [1.15] pre všetky po sebe nasledujúce dvojice celého poradia, t.j.:

39

−∑ ∑∑

=

−

=+

−

= =0;max

2

1

1,1,

1

12

p

j

p

jjkjk

n

k

m

ptt

Súčet prestojov sa počíta iba pre (n-1) sčítancov, pretože poradie výrobkov sa jedným začína

a jedným končí, ale nás zaujímajú prestoje iba medzi výrobkami vnútri poradia.

Celkový čas výroby všetkých výrobkov na všetkých výrobných stupňoch pri určitom poradí

môžeme vyjadriť teda takto:

−++= ∑ ∑∑∑∑

=

−

=+

−

= ===

0;max2

1

1,1,

1

12

211

p

j

p

jjkjk

n

k

m

p

m

jnj

n

ii ttttT . [1.16]

Našou úlohou je nájsť také poradie, pri ktorom bude mať funkcia [1.16] minimálnu hodnotu.

Z tohto hľadiska sú pre nás zaujímavé iba druhá a tretia zložka, ktoré sú závislé od poradia. Prvá

zložka nezávisí od poradia, je konštantná.

Nájsť optimálne poradie výrobkov, pri ktorom bude mať funkcia [1.16] minimálnu hodnotu,

znamená vypočítať hodnotu tejto funkcie pre všetky možné do úvahy pripadajúce poradia

a vybrať to, pre ktoré by mala funkcia T najmenšiu hodnotu. Pri väčšom počte výrobkov je takýto

spôsob výpočtu neúnosný.

Tento problém možno však riešiť Maďarskou metódou – treba vytvoriť maticu sadzieb:

−= ∑ ∑

=

−

=+=

0;max2

1

1,1,

2

p

j

p

jjkjk

m

pis tty , [1.17]

čiže yis-je stratový čas medzi i-tym a s-tým výrobkom, ak i-ty výrobok predchádza v poradí

bezprostredne pred výrobkom s-tým, pričom i, s = 1, 2, ..., n a yis pre = s nie je definované, ale

položíme ho rovné nekonečne veľkému číslu M, čo prakticky znamená, že výrobok nemôže

predchádzať sám seba.

Hodnoty yis vypočítame pre všetky dvojice výrobkov a usporiadame ich do matice n-tého

rádu.

Ak druhú zložku funkcie [1.16] označíme symbolom:

∑=

=m

jiji ty

20 , i = 1, 2, ..., n [1.18]

40

môžeme takto vypočítané hodnoty pridať ako ďalší stĺpec k matici n-tého rádu zostavenej

z hodnôt yis.

Aby sme mohli úlohu riešiť ako priraďovací problém, musíme k matici pridať ešte jeden

riadok, zostavený z hodnôt: y0i = 0 pre i = 1, 2, ..., n a y00 = M.

Všeobecne možno maticu zapísať potom takto:

M

yMyyy

yyyMy

yyyyM

nnsnn

ns

ns

0000021

202221

101112

LL

LL

MMMMM

LL

LL

Rozdiel oproti normálnemu priraďovaciemu problému je v tom, že výsledok, ktorý

dostaneme, musíme skontrolovať, či riešenie skutočne tvorí uzavretý okruh. Ak to tak nie je,

musíme riešenie upraviť tak, aby sme utvorili uzavretý okruh pri minimálnej zmene hodnoty ÚF.

V prípade, že počet výrobkov značne prevyšuje počet výrobných stupňov (m << n) alebo ak

sa výroba danej skupiny výrobkov periodicky opakuje, môžeme použiť aproximatívne riešenie,

ktoré spočíva v zanedbaní druhej zložky ÚF. Matica sadzieb je v tomto prípade n-tého rádu.

Príklad 1.15:

Treba nájsť optimálne poradie spracovania šiestich výrobkov na troch výrobných stupňoch,

ak nemožno skladovať výrobky počas výrobného procesu. Operačné časy výrobkov na

výrobných stupňoch sú uvedené v tabuľke:

Operačné časy A B C D E F ∑ 1. výr. stupeň 10 12 8 12 7 10 59 2. výr. stupeň 8 10 11 10 12 14 3. výr. stupeň 10 12 11 16 10 12

Riešenie:

Úlohu budeme riešiť ako priraďovací problém Maďarskou metódou. Najskôr si na základe

údajov v tabuľke vypočítame prvky matice sadzieb

41

∑=

=m

jiji ty

20 : m = 3; i = 1, 2, ..., 6; j = 1, 2, 3

261214

221012

261610

221111

221210

18108

60

50

40

30

20

10

=+==+==+==+==+=

=+=

y

y

y

y

y

y

a prvky

−= ∑ ∑

=

−

=+=

0;max2

1

1,1,

3

2

p

j

p

jjkjk

pis tty

t.j. prestoj na 1. výrobnom stupni, ak výrobok A ide pred B:

( ) ( ) ( ){ }( ) ( ){ } 00;1210810;128max

0;;max 2,21,23,12,11,22,112

=+−+−==+−+−== ttttttyy AB

M

( ) ( ) ( ){ }( ){ } 00;2418;108max

0;;max 2,61,63,12,11,62,116

=−−==+−+−== ttttttyy AF

Prestoj na 1. výrobnom stupni medzi A a B, ak B predchádza A:

( ) ( ){ }=+−+−== 0;;max 12112322112221 ttttttyy BA

{ } 40;1822;1010max =−−=

M

( ) ( ){ }=+−+−== 0;;max 62612322612226 ttttttyy BF

{ } 00;2422;1010max =−−=

Prestoj na 1. výrobnom stupni medzi A a C, ak A predchádza C:

( ) ( ){ }=+−+−== 0;;max 12113332113231 ttttttyy CA

{ } 40;1822;1011max =−−=

M

( ) ( ){ }=+−+−== 0;;max 62613332613236 ttttttyy CF

42

{ } 10;2422;1011max =−−=

Podobne možno vyčísliť i všetky ostatné prvky matice, ktorá bude mať v tomto prípade

49 prvkov.

Matica sadzieb:

Nasledujúci výrobok

koniec ai A B C D E F

Pre

dch

ádza

júci

výr

obo

k

A

_ 0 0 0 1 1 18 1

1

B

4 _

3 0 1

3 0 22

1

C

4 1

0 _

0 3 1

1 22

1

D

8 4 7 _

7 2 1

26

1

E

4 0 1

4 0 _

2 22

1

F

8 4 7 1

4 7 _

26

1

začiatok 0

1

0 0 0 0 1

0 _ 1

bj 1 1 1 1 1 1 1 7

Posledný stĺpec v tabuľke riešenia predstavuje zakončenie poradia výrobkov, t. zn., v ktorom

riadku tohto stĺpca bude v optimálnom riešení jednotka, bude výrobok nachádzajúci sa v tomto

riadku ako posledný v poradí a súčtom operačných časov tohto výrobku na druhom a treťom

výrobnom stupni bude daná druhá zložka funkcie T.

43

Na základe posledného riadka určujeme, ktorý výrobok má byť umiestnený ako prvý

v poradí. Bude to výrobok toho stĺpca, v ktorom bude v optimálnom riešení v poslednom riadku

jednotka.

Jedno z možných optimálnych riešení, nájdené Maďarskou metódou, je vpísané priamo

v tabuľke. Toto riešenie však nevyhovuje, pretože výrobky BDFCE tvoria uzavretý okruh

a výrobok A je mimo toho okruhu. Malou úpravou optimálneho riešenia - premiestnením

jednotiek, ktoré sú znázornené šípkami, dostaneme vyhovujúce riešenie. Hodnota ÚF sa touto

úpravou zvýši o jednotku.

Optimálne poradie výrobkov pre náš prípad je: E → B → D → F → C → A

a hodnota ÚF: T = 59 + 18 + 13 = 90 hod.

∑=

=+++++=6

11 591071281210

iit

1810810

3

26 =+==∑

=

ytj

j

13702400;max5

1

.3

2

2

1,1,

5

1

3

2=++++==

− ∑∑ ∑∑

== =+

= =k

optis

j jjkjk

kp

ytt

Príklad 1.16:

Vytvorte optimálnu postupnosť spracovania 6-tich výrobkov na 3 výrobných stupňoch, keď

neexistuje možnosť skladovania výrobkov počas výrobného procesu. Operačné časy výrobkov na

výrobných stupňoch sú uvedené v tabuľke:

operačné časy A B C D E F ∑ 1. výr. stupeň 12 8 14 7 10 10 61 2. výr. stupeň 10 7 8 11 9 9 3. výr. stupeň 11 12 11 14 12 13

∑=

3

2jijt 21 19 19 25 21 22

44

Riešenie:

Úlohu budeme riešiť ako priraďovací problém Maďarskou metódou.

Z údajov v tabuľke vypočítame prvky matice sadzieb ∑=

=m

jiji ty

20 : m = 3

22139

21129

251411

19118

19127

211110

636260

535250

434240

333230

232220

1312

3

2110

=+=+==+=+==+=+=

=+=+==+=+=

=+=+==∑=

tty

tty

tty

tty

tty

tttyj

j

a prvky

−= ∑ ∑

=

−

=+=

0;max2

1

1,1,

3

2

p

j

p

jjkjk

pis tty

t.j. prestoj na 1. výrobnom stupni, ak napr. výrobok C ide pred B:

( ) ( ){ }=+−+−= 0;;max 22213332213232 tttttty

( ) ( ){ } { } 40;4;0max0;78118;88max ==+−+−=

analogicky ďalej, napr.:

( ) ( ){ }=+−+−= 0;;max 32312322312223 tttttty

( ) ( ){ } { } 00;2219;7max0;814127;147max =−−=+−+−=

( ) ( ){ }=+−+−= 0;;max 32316362316263 tttttty

( ) ( ){ } 00;814139;149max =+−+−=

( ) ( ){ }=+−+−= 0;;max 42411312411214 tttttty

( ) ( ){ } 30;1171110;710max =+−+−= atď.

45

Zavedieme maticu sadzieb:

Nasledujúci výrobok koniec ai

A B C D E F

Pre

dchá

dzaj

úci v

ýrob

ok

A

M

6

0

3

*

2 1

2

21

1

B 0

M

0

1

0

0 1

19

1

C 0

4

M 1

0

0

*

19 1

1

D 3

10

3 1

M 6

*

6

25

1

E 0

6

*

0

3 1

M 2

21

1

F

0 1

*

7

0

4

3

M 22

1

začiatok 0

0 1

0

*

0 0 0

M 1

bj 1 1 1 1 1 1 1 7

Predpokladajme, že jedno z možných 6! riešení je: C → F → A → D → E → B , v tabuľke

označené *.

Hodnota ÚF: ( ) 950066031961 =+++++++=T .

Pričom postup pri priraďovaní bol nasledovný:

Prvú 1 si ľubovoľne zvolíme na začiatku, kde yi0 = 0, tu, resp. v tomto prípade C. Potom pri

C nájdeme F, pri F → A, pri A → D, pri D → E, pri E → B. Na získanie optimálneho poradia

však použijeme Maďarskú metódu, ktorá je založená na nasledovných pravidlách:

• musíme mať zostavenú maticu sadzieb,

46

• redukcia matice sadzieb po riadkoch a po stĺpcoch, to znamená že v každom riadku a stĺpci

odčítame najmenšiu sadzbu (pri minimalizácii ÚF) od všetkých ostatných sadzieb (pri

maximalizácii ÚF odčítame najväčšiu sadzbu),

• výsledkom tejto redukcie je, že v každom riadku (stĺpci) dostaneme aspoň jednu nulu,

M

M

M

M

M

M

M

000000

2234070

2123060

25663103

1900140

1900100

2122306

Redukcia po riadkoch: Redukcia po stĺpcoch:

5. 1.

-19

-3

M

M

M

M

M

M

M

000000

2234070

2123060

2233070

1900140

1900100

2122306

M

M

M

M

M

M

M

00000

334070

223060

333070

0014

00100

22236

0

000

0

.2

.4

.3

• obsadzujeme políčka s 0 jednotkami (tu je to 0),

• nájdeme riadok (stĺpec), v ktorom je iba jedna 0 a túto 0 zakrúžkujeme (obsadíme) 0,

• zo 6-tich 0 môžeme obsadiť len 2, potom pozri ďalej (lebo vždy nám už iba zostane len po

jednej voľnej v riadku (stĺpci)),

• rozmiestnili sme 5 jednotiek - riešenie nie je optimálne, máme rozmiestniť 7 jednotiek!

→ kontrola, či sme rozmiestnili maximálny počet jednotiek, robíme to pomocou krycích čiar.

47

Veta: Minimálny počet krycích čiar, ktorý je potrebný na pokrytie všetkých núl v matici, je

rovný maximálnemu počtu jednotiek, ktoré možno v matici umiestniť.

Pri prekladaní krycích čiar postupujeme maximálne úsporne, každou krycou čiarou sa

snažíme pokryť čo najväčší počet núl.

Postupujeme tak, že nájdeme stĺpec (riadok), v ktorom je iba jedna 0 (to znamená

obsadená) a kolmo na tento stĺpec (riadok) cez túto 0 preložíme kryciu čiaru:

• spotrebovali sme 5 krycích čiar, rozmiestnili sme 5 jednotiek, potom sme správne

rozmiestňovali a kontrola vyšla,

• ďalej pokračujeme v redukcii matice sadzieb, pričom využijeme sústavu krycích čiar,

nájdeme najmenšiu nepokrytú sadzbu, odčítame ju od všetkých nepokrytých sadzieb,

pripočítame ju k dvakrát pokrytým sadzbám a raz pokryté sadzby ponecháme nezmenené,

• 2

M

M

M

M

M

M

M

00022

11250

01040

11105

00142

000122

00104

00

00

0

0

.1

.2

.4

.3

.5

.6

• rozmiestnili sme 6 núl a použili sme 6 krycích čiar,

• ďalej redukujeme maticu sadzieb, 1:

MZ

MF

ME

MD

MC

MB

MA

KFEDCBA

11033

11104

00030

11140

0032

00022

0003

00

00

000

00

.1

.2

.4

.5

.6

.7

.3

• Našli sme 7 miest, t.j. optimálne riešenie z hľadiska Maďarskej metódy,

48

• čítame poradie: B → F → A , Našli sme B začiatok a A koniec; cyklus sa nám opakuje, no

nie sú tam všetky výrobky,

• nasleduje úprava presunutím jednotiek, obsadzujeme len nulové sadzby (už len logický

postup, nie Maďarská metóda),

- optimálne riešenie možno vyčítať aj z tabuľky: 0 .3 0 a 0 0 .6

,

• čítame: B → F → A → E → D → C -optimálna riešenie,

• ÚF: ( ) 880033021961 =+++++++=T

95 → 88 ⇒ ušetrili sme 7 časových jednotiek.

1.5.2 Sekvenčný model bez prestojov výrobných stupňov

Predpokladajme, že chceme eliminovať prestoj na výrobných stupňoch, t.j., že na výrobných

stupňoch nesmú nastať prestoje. Takýto typ úlohy je výhodný hlavne z toho dôvodu, že čas

prestojov pred spracovaním a po spracovaní celej skupiny výrobkov možno organizačne využiť

oveľa lepšie ako neveľké a nepravidelné prestoje počas výrobného procesu. Preto je tento typ

sekvenčnej úlohy veľmi vyhľadávaný i napriek tomu, že hodnota ÚF T je vždy väčšia alebo

rovná minimu funkcie T úlohy, v ktorej nepredpokladáme neexistenciu prestojov na výrobných

stupňoch.

Pri konštrukcii tohto modelu budeme vychádzať opäť z tých istých predpokladov ako pri

Wagnerovom modeli. Na rozdiel od Wagnerovho modelu nebudú sa v tomto modeli vyskytovať

veličiny rkj, t.j. prestoje na jednotlivých výrobných stupňoch. Táto úloha sa rieši predstihom

výrobných stupňov, aby prvý výrobný stupeň dodával výrobky plynule, napr.:

49

výr.°

3. A B C

2. A B C

1. A B C t (čas)

T

- vytvorenie predstihu,

- na 2. výrobnom stupni výrobok A čaká,

- na 3. výrobnom stupni výrobok A čaká,

- pre dva výrobné stupne situáciu môžeme riešiť Johnsonovým modelom.

Pre tri výrobné stupne môžeme v obmedzenej miere rovnako použiť Johnsonov model. Ak

obmedzujúce podmienky neplatia, používame upravený Wagnerov model, pričom účelovú

funkciu môžeme písať v tvare:

11

1

1

1

11

1i

n

i

m

jij

m

jj

n

iim xtstT ∑∑∑∑

=

−

=

−

==

++= , kde [1.19]

∑=

n

iimt

1

- súčet operačných časov všetkých výrobkov na poslednom výrobnom stupni

(konštanta),

∑−

=

1

11

m

jjs - súčet čakania prvého výrobku v poradí medzi všetkými výrobnými stupňami,

∑∑=

−

=

n

i

m

jiij xt

1

1

11 - súčet operačných časov prvého výrobku v poradí na všetkých výrobných stupňoch

okrem posledného.

50

výr.° s12

3. A B C

s11

2. A B C

1. A B C t (čas)

T

Celkový model by bol potom takýto:

Treba nájsť hodnoty premenných: xik = 0 alebo 1,

skj ≥ 0,

ktoré spĺňajú obmedzenia:

01,11

1,1,11, =−+− −==

−−−− ∑∑ ki

n

iijik

n

ijijkjk xtxtss , [1.20]

čiže: rkj = 0 t.j.: rk-1,j-1 = 0 , rk-1,j = 0,

ďalej:

11

=∑=

n

iikx pre k = 1, 2, ..., n 1

1

=∑=

n

kikx pre i = 1, 2, ..., n, [1.21]

pričom minimalizujú hodnotu funkcie:

11

1

1

1

11

1i

n

i

m

jij

m

jj

n

iim xtstT ∑∑∑∑

=

−

=

−

==

++= [1.22]

Poznámka:

Týmto modelom môžeme dosiahnuť skutočné optimum iba pri trojstupňovej úlohe, ak

výrobky nevynechávajú niektoré výrobné stupne. V prípade, že výrobky niektoré výrobné stupne

vynechávajú (preskakujú), t.j. niektoré tij = 0, potom uvedený model nezaručuje skutočné

optimum v tom zmysle, že nepripúšťa možnosť zmeny poradia výrobkov.

51

Príklad 1.17:

Treba nájsť optimálne poradie opracovania výrobkov pre 1. až 3. výrobný stupeň tak, aby sa

nevyskytli prestoje počas výrobného procesu ani na jednom stupni. Operačné časy výrobkov sú

v tabuľke:

Operačné časy A B 1. výr. stupeň 10 12 2. výr. stupeň 14 10 3. výr. stupeň 5 10

Riešenie:

Úlohu budeme riešiť pomocou lineárneho modelu. Obmedzenia:

01,

2

1

2

11,1,11, =−+− −

==−−−− ∑∑ ki

iijik

ijijkjk xtxtss , napíšeme pre j = 2, 3 a k = 2;

j = 2, k = 2:

021221112222112111121 =−−++− xtxtxtxtss ;

j = 3, k = 2:

021231113222212121222 =−−++− xtxtxtxtss .

Po dosadení za operačné časy z tabuľky dostávame:

012101014 222112112111 =−+−+− xxxxss

01010145 222112112212 =−+−+− xxxxss

Ak k týmto obmedzeniam pridáme prideľovacie obmedzenia, obmedzenia pre premenné

a ÚF, získame celkový model: treba nájsť hodnoty premenných xik = 0 alebo 1 a skj ≥ 0, ktoré

spĺňajú obmedzenia:

01010145

012101014

222112112212

222112112111

=−+−+−=−+−+−

xxxxss

xxxxss

1211 xx + 1=

12221 =+ xx

11x 21x+ 1=

52

a minimalizujúcu funkciu:

21111211 2224 xxssT +++= ,

pričom sme z obmedzení [1.21] jednu rovnicu lineárne závislú s ostatnými vynechali a z ÚF sme

zasa vynechali zložku ∑=

n

iimt

1

, ktorá nie je závislá od premenných.

Zostavený model možno riešiť simplexovou metódou, optimálne poradie je B → A a hodnoty

premenných v optimálnom riešení sú:

x11 = 0 x21 = 1 s11 = 0 s21 = 0

x12 = 1 x22 = 0 s12 = 4 s22 = 0

a hodnota ÚF T = 41 hod.

hodT 41224151220244)105( =++=⋅+⋅+++= .

1.6 SEKVENČNÝ MODEL O DVOCH VÝROBKOCH A „M“ VÝROBNÝCH STUP ŇOCH

Doteraz sme predpokladali, že poradie na všetkých výrobných stupňoch bude rovnaké pre

všetky výrobky.

V tomto modeli predpoklad zmeníme tak, že budeme predpokladať, že obidva výrobky

prechádzajú všetkými výrobnými stupňami, pričom je známe poradie jednotlivých výrobkov,

ktoré však môže byť pre každý výrobok iné.

Ostatné predpoklady, z ktorých budeme vychádzať, sú totožné s predpokladmi Wagnerovho

modelu. V predchádzajúcich úlohách sa počet všetkých možných poradí rovnal vždy n!. V tomto

prípade existuje 2m možných usporiadaní, kde m je počet výrobných stupňov (tzv. variácie

s opakovaním).

Vypočítavať hodnotu T – celkový čas spracovania obidvoch výrobkov na všetkých strojoch,

je pre rastúce m veľmi prácne. Autori Akers a Friedman navrhli taký postup riešenia, že

z celkového počtu všetkých 2m možných usporiadaní vylúčime tie, ktoré sú technologicky

neprípustné TN (neuskutočniteľné) a ostane nám množina technologicky prípustných riešení

(programov) TP.

53

Akers-Friedmanova veta:

Aby bolo poradie technologicky prípustné, potom nutnou a postačujúcou podmienkou je, aby

neobsahovalo inštrukciu yx vtedy, ak pri prvom výrobku stroj X predchádza pred strojom Y

a pri druhom výrobku stroj Y predchádza pred strojom X.

- Všetky programy, ktoré túto podmienku nesplňujú, sú TN (technologicky neprípustné).

Príklad 1.18:

Treba nájsť optimálne usporiadanie pre dva výrobky, ktoré prechádzajú piatimi strojmi

(výrobnými stupňami), pričom poradie spracovania výrobkov na strojoch A, B, C, D a F je:

výrobok 1: A → B → C → D → E

výrobok 2: E → C → B → D → A

Operačné časy obidvoch výrobkov v hodinách na jednotlivých strojoch sú v tabuľke:

Stroj

Operačné časy A B C D E ∑

Výrobok 1 6 3 2 4 5 20

Výrobok 2 3 8 4 2 3 10

Všetkých možných usporiadaní je 2m = 25 = 32.

Aby sme mohli zostaviť všetky tieto poradia do tabuľky, zavedieme označovanie pre jednotlivé

poradia výrobkov na strojoch: Symbol:

a– označuje, že výrobok 1 predchádza pred výrobkom 2 na stroji A, symbol

a – znamená, že výrobok 2 predchádza pred výrobkom 1 na stroji A.

Podobný význam majú symboly eeddccbb ,,,,,,, pre ostatné stroje. Napríklad inštrukcia eb

bude znamenať, že na stroji B bude výrobok 1 opracúvaný pred výrobkom 2 a na stroji E bude

výrobok 2 opracúvaný pred výrobkom 1. Teraz môžeme zostaviť všetky možné usporiadania,

budeme ich nazývať programy.

54

Číslo programu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

eeeeeeeeeeeeeeee

dddddddddddddddd

cccccccccccccccc

bbbbbbbbbbbbbbbb

aaaaaaaaaaaaaaaa

Číslo programu 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32

eeeeeeeeeeeeeeee

dddddddddddddddd

cccccccccccccccc

bbbbbbbbbbbbbbbb

aaaaaaaaaaaaaaaa

Z týchto všetkých teoreticky možných usporiadaní nie sú všetky uskutočniteľné

z technologických dôvodov. Použijúc Akers-Friedmanovu vetu, aby bol program v našom

prípade technologicky prípustný, nesmie obsahovať ani jednu z nasledujúcich inštrukcií:

edecebcbeadacaba ,,,,,,, .

Teraz preskúmame všetky programy hore uvedené v tabuľke z hľadiska technologickej

prípustnosti. Zostrojíme ďalšiu tabuľku, ktorej stĺpce budú opäť tvoriť všetky teoreticky možné

programy. V legende tabuľky budú v každom riadku už uvedené inštrukcie, ktoré nesmie

program obsahovať, aby bol technologicky prípustný, a to v tvare napr.:

„ nie ba “ v prvom riadku, „ nie ca “ v druhom riadku, atď.

Postupujeme tak, že každý stĺpec tabuľky preskúmame a zapíšeme do príslušného riadka

tohto stĺpca jednotku (v tabuľke novej), ak program neobsahuje inštrukciu nachádzajúcu sa

v tomto riadku a nulu, ak obsahuje túto inštrukciu.

55

Číslo programu

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Inšt

rukc

ia

nie ba 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1

nie ca 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1

nie da 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1

nie ea 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0

nie cb 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1

nie eb 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0

nie ec 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0

nie ed 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0

Logický súčin 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Číslo programu

17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32

Inšt

rukc

ia

nie ba 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1

nie ca 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1

nie da 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1

nie ea 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

nie cb 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1

nie eb 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

nie ec 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

nie ed 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Logický súčin 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1

Uskutočniteľné sú tie programy, ktoré spĺňajú všetkých osem podmienok, a tak majú

v každom riadku jednotku. Neberieme do úvahy stĺpec, ktorý má jednu a viac núl. Tento postup

je ekvivalentný tvoreniu logických súčinov zo stĺpcov a napísanie 1 pod stĺpec, ak má všetky

jednotky a 0, ak nemá.

56

Teda z 32 programov je 8 uskutočniteľných vzhľadom na technologické podmienky

príkladu. Na riešenie počtu technologicky prípustných programov odvodili autori Akers

a Friedman vzťah:

∑=

++=m

kkimN

2

1 , kde [1.23]

ik je číslo, ktoré udáva, koľkokrát sa skupina o k (k = 2, 3, ..., m) strojoch vyskytuje s rovnakým

poradím v predpísanom postupe spracovania pri oboch výrobkoch. Pritom neberieme do úvahy,

či ide o poradie bezprostredné, alebo nie.

V našom prípade skontrolujeme počet TP programov:

m = 5 , k = 2, 3, 4, 5,

i2 = 2 [BD, CD], i3 =0 , i4 = 0 , i5 =0,

8251 =++=N , čo je v súlade s riešením.

Z množiny TP programov vylúčime napokon tie, ktoré nemôžu byť za žiadnych podmienok

optimálne, NO. Sú to programy, ktoré obsahujú tzv. voľné stroje. Na určenie zaručene

neoptimálnych programov, t.j. programov, ktoré obsahujú voľné stroje, vytvorili Akers

a Friedman rad pravidiel (kritérií):

Číslo

pravidla

Umiestnenie strojov Inštrukcia, ktorú optimálny

program nemôže obsahovať pri výrobku 1 pri výrobku 2

1. X . . . . X x

2. . . X X . . x

3. / . . / X . . Y / . . / / . . / XY / . . / yx

4. / . . / XY / . . / / . . / X . . Y / . . / yx

5. / . . / XY . . Z / . . / / . . / X . . YZ / . . / zyx

6. / . . / X . . YZ / . . / / . . / XY . . Z / . . / zyx

Poznámka k tabuľke: Bodky v zátvorkách pri jednotlivých pravidlách značia, že na týchto miestach môžu, ale

nemusia byť iné stroje pri výrobe príslušných výrobkov. Bodky mimo zátvoriek znamenajú, že tam musí byť stroj.

57

Schematicky vyzerá celý proces tvorby a vylučovania programov nasledovne:

2m TP KM KM – konečná množina

AFV AFP TN NO

Akers-Friedmanov postup hľadania optimálneho poradia je tým účinnejší, čím viac sa líšia

predpísané postupy spracovania obidvoch výrobkov na strojoch. Tým menej potom ostane

programov KM , pre ktoré musíme hodnotu T vypočítať a vybrať z nich to poradie, pre ktoré

bude T min.

V opačnom krajnom prípade, keby obidva výrobky mali úplne rovnaké poradie spracovania

na všetkých strojoch, obsahovala by posledná skupina všetkých 2m teoreticky možných

programov.

Výhoda Akers - Friedmanovho postupu je, že ho možno naprogramovať aj pre počítač, lebo

priebežné časy počítame na konci, čo je potrebné pri riešení väčších a veľmi rozsiahlych úloh.

Ďalšia výhoda tohto postupu sa ukazuje v situáciách, v ktorých výrobné sledy pre výrobky sú

pevne určené, ale strojové časy podliehajú kolísaniu pre rôzne zmeny, pretože údaje o strojových

časoch nie sú potrebné, kým nezískame množinu tzv. optimálnych programov, KM. Množina

možných optimálnych programov sa môže skúšať na optimálnosť vždy vtedy, keď sa zmenia

strojové časy.

Aplikáciou uvedených pravidiel na 8 TP programov v našom príklade zisťujeme, že

podľa pravidla 1. (stroj A) nemôže byť optimálny program č.32: a ,

podľa pravidla 2. (stroj E) program č.1: e,

podľa pravidla 3. (ktoré v našom prípade má tvar . . B . . D . . . . BD . . db ) nemôže byť

optimálny program č.23,

58

podľa pravidla 4. (v našom prípade . . CD . . . . C . . D . . dc ) nemôže byť optimálny

program č. 25.

Pravidlá 5. a 6. sa pre náš prípad nedajú použiť. Na základe pravidiel 1. až 4. sme vylúčili štyri

NO programy, ktoré nemôžu byť optimálne. Zostali nám štyri optimálne programy KM, č.17,

č.21, č.29 a č.31, pre ktoré vypočítame hodnotu T. Program s minimálnou hodnotou T bude

optimálny. Pri výpočte T môžeme postupovať dvoma spôsobmi:

a) – numerickým výpočtom,

b) – graficky pomocou Ganttovho diagramu.

a) Numerický výpočet:

Program č.17 edcba T17 = 28 hod. výrobok 1 A B C D E 6 9 11 15 20 výrobok 2 E C B D A 3 8 15 23 25 28

Program č.21 edcba T21 = 22 hod. výrobok 1 A B C D E 6 9 11 15 20 výrobok 2 E C B D A 3 7 2 17 19 22

Program č.29 edcba T29 = 28 hod. výrobok 1 A B C D E 6 9 11 8 23 28 výrobok 2 E C B D 3 7 2 17 19 22

Program č.31 edcba T31 = 29 hod. výrobok 1 A B C D E 6 9 18 20 24 29 výrobok 2 E C B D A 3 7 15 17 20

Čísla vo výpočtoch sú kumulované hodnoty narastania času, posledné číslo v každom

výpočte je teda hodnota T pre príslušný program. Čísla v krúžkoch predstavujú časy čakania

príslušných výrobkov na príslušný stroj a zvislé čiary znázorňujú, kedy sa musí čakať, aby bolo

dodržané poradie spracovania na strojoch podľa programu.

59

Z výpočtov je zrejmé, že optimálny program je program č.21 s hodnotou T21 = 22 hod.

b) Grafický spôsob zisťovania hodnôt T pomocou Ganttovho diagramu:

Program č.17 edcba T17 = 28 hod.

výrobok 1 A B C D E

výrobok 2 E C B D A

t (čas)

Program č. 21 edcba T21 = 22 hod. – minimum

výrobok 1 A B C D E

výrobok 2 E C B D A

t (čas)

Program č. 29 edcba T29 = 28 hod.

výrobok 1 A B C D E

výrobok 2 E C B D A t (čas)

60

Program č.31 edcba T31 = 29 hod.

výrobok 1 A B C D E

výrobok 2 E C B D A

t (čas)

Príklad 1.19:

Treba nájsť optimálne usporiadanie pre dva výrobky, ktoré prechádzajú štyrmi strojmi

(výrobnými stupňami), pričom poradie spracovania výrobkov na strojoch A, B, C, D je:

výrobok 1: A → B → C → D

výrobok 2: D → B → A → C

Operačné časy obidvoch výrobkov v hodinách na jednotlivých strojoch sú v tabuľke:

Stroj

Operačné časy A B C D

Výrobok 1 7 5 4 10

Výrobok 2 5 8 3 6

Všetkých možných programov je 2m = 24 = 16.

Číslo programu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

ddddddddddddddd

ccccccccccccccc

bbbbbbbbbbbbbbb

aaaaaaaaaaaaaaa

Z týchto 16 teoreticky možných usporiadaní nie sú všetky uskutočniteľné z technologických

dôvodov. Použijúc Akers-Friedmanovu vetu, aby bol program v našom prípade technologicky

prípustný, nesmie obsahovať ani jednu z nasledujúcich inštrukcií:

yx XY 1. výrobok A → B → C → D

YX 2. výrobok D → B → A → C

61

ba , da , db , dc .

Teraz preskúmame všetkých 16 programov z hľadiska technologickej prípustnosti, výpočet

je v ďalšej tabuľke:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

ba 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1

da 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1

db 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1

dc 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1

1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1

Uskutočniteľné sú tie programy, ktoré spĺňajú všetky štyri podmienky (ak majú v každom

riadku jednotku). Zo 16 programov je 7 TP programov. Kontrola počtu technologicky

prípustných programov podľa Akers-Friedmanovho vzťahu:

724114

2

=++=++= ∑=k

kimN - potvrdený počet TP programov:

i2 = ( AC, BC ) = 2,

i3 - neexistuje,

i4 - neexistuje.

Z množiny 7 TP programov vylúčime napokon tie, ktoré nemôžu byť za žiadnych

podmienok optimálne, NO. Sú to programy, ktoré obsahujú tzv. voľné stroje a zistíme ich podľa

Akers-Friedmanových 6-tich pravidiel (kritérií):

1. pravidlo neplatí, tu: A . . . . . . C.

2. pravidlo platí, tu . . . D D . . . , potom program, ktorý obsahuje inštrukciu d nemôže byť

optimálny a vylúčime ho z TP programov, tu program č.1.

3. pravidlo platí; tu . . A – B – C . . . . AC . . , potom inštrukciu ca vylúčime z programov

ktoré ju obsahujú, tu program č.12.

4. pravidlo platí, tu . . BC . . . . B – A – C . . , potom inštrukciu cb vylúčime z TP

programov, tu program č.13.

5. pravidlo neplatí.

62

6. pravidlo neplatí.

Na základe pravidiel 2, 3, 4 sme vylúčili 3 programy NO, ktoré nemôžu byť optimálne.

Zostali nám štyri optimálne programy KM: č. 9, 11, 15, 16, pre ktoré vypočítame hodnotu

T. Program s minimálnou hodnotou T bude optimálny.

Pri výpočte T postupujeme numerickou metódou:

Program č.9 dcba T9 = 28 výrobok 1 A B C D 7 12 16 24 výrobok 2 D B A C 6 6 20 25 28

Program č.11 dcba T11 = 33 výrobok 1 A B C D 7 7 19 23 33 výrobok 2 D B A C 6 14 19 4 26

Program č.15 dcba T15 = 36 výrobok 1 A B C D 7 7 19 3 26 36 výrobok 2 D B A C 6 14 19 22

Program č.16 dcba T16 = 45 výrobok 1 A B C D 19 26 31 35 45 výrobok 2 D B A C 6 14 19 22 min T = min (28; 33; 36; 45) = 28.

Potom optimálny program je program č. 9 s hodnotou T9 = 28 hod.

ÚLOHY/OTÁZKY NA SAMOSTATNÉ RIEŠENIE

1. Aké úlohy sa riešia sekvenčnými modelmi?

2. Z akých pravidiel pozostáva Johnsonov model?

3. Na riešenie akých sekvenčných úloh sa používa Johnsonov model?

4. Opíšte Prücknerov postup.

5. Ako postupujeme pri riešení Jacksonovho modelu?

63

6. Pomocou akých modelov možno optimalizovať poradie výrobkov bez prestojov na

výrobných stupňoch?

7. Ako vypočítame prestoj na prvom výrobnom stupni medzi výrobkom „i“ a „s“?

8. Akou metódou možno riešiť úlohu optimalizácie poradia výrobkov pri nulových čakacích

časoch výrobkov?

9. V čom spočíva úprava Wagnerovho modelu, aby sa mohol použiť na minimalizáciu

predstihov?

10. Opíšte postup Akersa a Friedmana.

11. Napíšte Akersovu a Friedmanovu vetu o technologickej prípustnosti poradia výrobkov.

12. Napíšte a vysvetlite kritériá na vylúčenie tých technologicky prípustných poradí, ktoré

nemôžu byť optimálne.

Literatúra k 1. kapitole

1. GROS, I. Kvantitativní metody v manažérském rozhodování. Praha: Grada Publishing, 2003.

432 s. ISBN 80-247-0421-8

2. IVANIČOVÁ, Z., BREZINA, I., PEKÁR, J. Operačný výskum. Bratislava: Iura Edition,

2002. 287 s. + 1 CD-ROM. ISBN 80-89047-43-2

3. IVANIČOVÁ, Z., BREZINA, I., PEKÁR, J. Prípadové štúdie z operačného výskumu.

Bratislava: Ekonóm, 1999. ISBN 80-225-1180-3.

4. KUBÁTOVÁ, J. Kvantitativní manažerské metody. Olomouc, 2000. ISBN 80-244-0144-4

5. LANGOVÁ, M., JABLONSKÝ, J. Lineární modely. Praha: VŠE, 2009.

ISBN 978-80-245-1511-3

6. SAKÁL, P., JERZ, V. Operačná analýza v praxi manažéra. Trnava: SP SYNERGIA, 2003.

ISBN 80-968734-3-1

7. SAKÁL, P., ŠTRPKA, A. Operačná a systémová analýza. Bratislava: SVŠT, 1983.

ISBN 85-425-83

8. ZIMOLA, B. Operační výskum. Zlín: 2000. ISBN 80-214-1664-5

64

2 MODELY OBNOVY

Všeobecne pod obnovou rozumieme proces neustálej výmeny objektov (strojov, zariadení,

strojových súčiastok a pod.), ktoré buď v dôsledku ich opotrebenia, alebo v dôsledku ich náhleho

zlyhania (havária) treba nahradiť novými objektmi.

Ak sa pri výmene zachováva stále rovnaký počet objektov, takúto obnovu nazývame

jednoduchou.

Ak sa zväčšuje pri výmene počet objektov, hovoríme o rozšírenej obnove.

Racionálne riadenie procesu obnovy predpokladá predovšetkým vedieť zodpovedať

nasledovné otázky:

1. Koľko objektov bude treba v ktorom období obnoviť (v jednotlivých obdobiach)?

2. Akú stratégiu obnovy zvoliť?

Nástrojom na rozhodovanie o racionálnom riadení procesu obnovy sú modely obnovy, ktoré

zobrazujú procesy opotrebenia a výmeny objektov.

Konštrukciou modelov obnovy sa zaoberá teória obnovy.

V rámci teórie obnovy sa môžeme stretnúť s nasledovnou klasifikáciou modelov obnovy:

1. podľa toho, či sa v nich vyskytujú alebo nevyskytujú náhodné veličiny:

a) deterministické modely obnovy (bez náhodných veličín),

b) stochastické modely obnovy (obsahujú náhodné veličiny).

2. vzhľadom na charakter času obnovy:

a) modely obnovy so spojitým časom obnovy- obnova sa realizuje okamžite po zlyhaní

objektu,

b) modely obnovy s diskrétnym časom obnovy- obnova všetkých objektov, ktoré zlyhajú

v danom období, sa realizuje na konci tohto obdobia.

3. podľa toho, či sa modeluje obnova objektov, ktoré majú alebo nemajú charakter

základných fondov:

a) modely obnovy opravovateľných objektov (strojové zariadenia)- objekty , ktoré sa po

poruche opravujú,

b) modely obnovy neopravovateľných objektov (žiarovky, ozubené kolesá, ložiská,...).

65

4. podľa toho, či pri konštrukcii modelu berieme do úvahy náklady spojené s procesom

obnovy alebo tieto náklady nezohľadňujeme:

a) modely obnovy s nákladmi,

b) modely obnovy bez nákladov.

5. modely obnovy, pri ktorých sa náklady budúcich období uvažujú:

a) modely obnovy s diskontovaním nákladov,

b) modely obnovy bez diskontovania nákladov.

6. podľa vekovej štruktúry objektov:

a) modely obnovy s rovnakou vekovou štruktúrou, t.j. na začiatku procesu obnovy

predpokladáme, že všetky objekty sú nové,

b) modely obnovy s rôznou vekovou štruktúrou.

7. podľa toho, či všetky objekty majú alebo nemajú rovnaké pravdepodobnosti zlyhania

v jednotlivých obdobiach:

a) modely obnovy technicky homogénnych objektov,

b) modely obnovy technicky nehomogénnych objektov.

Budeme sa zaoberať modelmi obnovy z hľadiska odpovede na prvú otázku, t.j. koľko

objektov bude treba vymeniť (vyradiť) na konci určitého obdobia, ďalej budeme uvažovať súbor

objektov teoreticky rovnorodých, zostavíme model jednoduchý i model rozšírenej obnovy,

obmedzíme sa iba na modely s diskrétnym časom, t.j. budeme predpokladať, že objekty, ktoré

zlyhali v určitom období, sa vymieňajú až na konci tohto obdobia.

Na takýto druh modelov sa prevažne obmedzujú praktické aplikácie (lebo modely so

spojitým časom, ktoré predpokladajú obnovu objektu ihneď po zlyhaní, sa zatiaľ len veľmi málo

využívajú).

66

2.1 MODEL JEDNODUCHEJ OBNOVY

Pri tvorbe tohto modelu vychádzame z nasledujúcich predpokladov o súbore objektov a

procese ich obnovy:

1 – súbor pozostáva z technicky rovnorodých objektov (napr. automobily rovnakej značky a

podobného typu);

2 – na začiatku obnovy sa súbor skladá len z nových objektov;

3 – obnova je jednoduchá, za jeden vyradený objekt sa zaraďuje jeden nový;

4 – obnova sa uskutočňuje vždy na konci rovnakých časových intervalov;

5 – neberie sa do úvahy také fyzické opotrebenie, ktoré nezabraňuje pokračovať v činnosti

objektu a neberie sa zreteľ ani na morálne opotrebenie.

Pre matematický model procesu obnovy si zavedieme nasledovnú symboliku:

n – časový interval (obdobie), n = 0, 1, 2, ...,

T – maximálna životnosť objektu,

ka – pravdepodobnosť, že objekt pretrváva v prevádzke „k“ období, resp. pravdepodobnosť, že

objekt bude vyradený na konci k-teho obdobia (k = 1, 2, ..., T), 01 =+Ta ,

kr – pravdepodobnosť, že objekt pretrvá viacej ako k období, k = 1, 2, ..., T-1 a havaruje v

(k+1)., (k+2)., ... období, možno vyjadriť pomocou ka takto:

...21 Tkkk aaar +++= ++ k = 0, 1, …, T-1, [2.1]

TT

T

T

T

kkkk

a

aaa

aaa

Tkpreaar

r

... r

...r

:t.j.

,1-..., 2, ,1 ,0 ,1

1-

321

210

1

01

=

+++=+++=

=−==∑−

=+

M

0u – počet objektov v súbore na začiatku 1. obdobia procesu obnovy,

nu – očakávaný počet obnov, t.j. počet objektov, ktoré na začiatku n-tého obdobia

67

zaraďujeme namiesto objektov vyradených na konci (n-1). obdobia,

V – očakávaný čas prevádzky objektu do okamihu jeho vyradenia, možno ho vyjadriť pomocou

ka :

...321 321 TTaaaaV ++++= [2.2]

alebo pomocou :kr

... 110 −+++= TrrrV [2.3]

1210

1-TT

23

132

0321

321

...

...

... ...a

... ...

... ...

....32.1

−++++=

=+

++++++++++++++=

=++++=

T

T

T

T

T

rrrr

ra

ra

raaa

raaaa

aTaaaV

M

Ak na začiatku procesu obnovy boli všetky objekty 0u nové, možno očakávať, že na konci

prvého obdobia bude treba vyradiť; 011 uau = objektov, pričom 1a predstavuje pravdepodobnosť,

že objekt bude vyradený na konci prvého obdobia.

Na konci druhého obdobia bude očakávaný počet obnov 2u pozostávať jednak z obnov

objektov, ktoré pretrvali prvé obdobie a boli vyradené až na konci druhého obdobia 02ua a

jednak z obnov 1u objektov, ktoré sa zaradili do súboru na začiatku druhého obdobia a na konci

druhého obdobia sa museli vymeniť 11ua . Po druhom období očakávaný počet obnov bude:

.02112 uauau +=

Podobnou úvahou môžeme vyjadriť nu pre n = 1, 2, ..., T-1 a dostaneme tak sústavu rovníc,

ktorá predstavuje model jednoduchej obnovy súboru rovnorodých objektov:

68

...

...

0132211

2211

0312213

02112

011

uauauau

uauauau

uauauau

uauau

uau

TTTT

TnTnnn

−−−−

−−−

+++=

+++=

++=+=

=

M

M [2.4]

⇒ rovnica jednoduchej obnovy :)( Tn ≥

1∑

=−=

T

iinin uau [2.5]

Výraz [2.5] pre výpočet obnovovaných jednotiek nu je typom diferenčnej rovnice, ktorá sa

rieši pomocou tzv. charakteristickej rovnice. My budeme postupovať pri riešení tzv. tabuľkovým

spôsobom, ktorý má však tú nevýhodu, že keď chceme vypočítať napr. pre n období počet

vyraďovaných objektov, musíme vypočítať tieto počty pre všetkých (n-1) predchádzajúcich

období.

Ak však ide o rovnovážnu situáciu, možno dokázať, že existuje limita nu a platí:

/lim 0 Vuunn

=∞→

[2.6]

Po určitom období sa proces obnovy

dostane do stacionárneho stavu, t.j. počet

objektov, ktoré treba obnoviť, osciluje

okolo nejakej konštanty.

Pokúsme sa teraz vyjadriť štruktúru

objektov v súbore podľa veku. Do konca prvého obdobia sú tu iba objekty 0u . Do konca druhého

obdobia je v súbore 1u objektov po obnove a zostatok tvoria pôvodné objekty, ktorých je

.)1( 101001010 ruauuauuu =−=−=−

Na začiatku tretieho obdobia je 2u objektov po obnove, 11ru objektov druhej generácie a

20ru objektov tretej generácie.

un

u0 / V

n

69

Veková štruktúra obnovovaného súboru, je v tabuľke vekovej štruktúry (tab. 2.1):

Tabuľka 2.1

čas.int.

Vek

0 1 2 3 ... T-1 T ... n

0 0u 1u 2u 3u ...

1−Tu Tu ... nu

1 - 10ru 11ru 12ru ...

12ruT− 11ruT− ... 11run−

2 - - 20ru 21ru ...

23ruT− 22ruT− ... 22run−

3 - - - 30ru ...

34ruT− 33ruT− ... 33run−

... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

T-1 - - - - - 10 −Tru 11 −Tru ...

11 −+− TTn ru

Celkom 0u 0u 0u 0u ... 0u 0u ... 0u

kde: 00 uu =

1010 ruuu +=

201120 ruruuu ++=

1122110

1122110

10231210

30211230

−+−−−

−−−

−−−−

++++=

++++=++++=

+++=

TTnnnn

TTTT

TTTT

rururuuu

rururuuu

rururuuu

rururuuu

K

M

K

K

M

Poznámka:

Tieto výpočtové vzťahy (rovnice) budú zaujímavé aj pre model rozšírenej obnovy.

70

Príklad 2.1:

Treba určiť počty obnov a vekovú štruktúru objektov na 10 ročné obdobie, ak na začiatku

máme súbor 10000 =u technicky homogénnych objektov. Maximálna životnosť objektu je T = 4

roky. Pravdepodobnosti zlyhania sú:

3,0

4,0

2,0

1,0

4

3

2

1

====

a

a

a

a

Riešenie:

Pravdepodobnosť, že objekty pretrvajú v prevádzke viac ako k-období:

3,0)(a-1 3,0

7,0)(a-1 7,03,04,0

9,01 9,03,04,02,0

11 13,04,02,01,0

3214

4

43

21

4

32

1

4

21

0

4

10

=++====

=+==+==

=−==++==

=−==+++==

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

=

=

=

=

aaaar

aar

aar

aar

T

kk

T

kk

T

kk

T

kk

K

K

K

K

Očakávané počty obnov:

, 1001000.1,0

1000

011

0

====

uau

u

t.j. na začiatku druhého obdobia (na konci prvého) treba vyradiť 100 objektov a zaradiť nových

100.

71

358349.3,0386.4,0335.2,0323.1,0

323245.3,0349.4,0386.2,0335.1,0

335426.3,0245.4,0349.2,0386.1,0

386441.3,0426.4,0245.2,0349.1,0

349210.3,0441.4,0426.2,0245.1,0

245100.3,0210.4,0441.2,0426.1,0

426100.3,0100.4,0210.2,0441.1,0

4411000.4,0100.2,0210.1,0

2101000.2,0100.1,0

6473829110

546372819

445362718

344352617

243342516

142332415

041322314

0312213

02112

=+++=+++=

=+++=+++=

=+++=+++=

=+++=+++=

=+++=+++=

=+++=+++=

=+++=+++=

=++=++=

=+=+=

uauauauau

uauauauau

uauauauau

uauauauau

uauauauau

uauauauau

uauauauau

uauauau

uauau

Usporiadanie do tabuľky vekovej štruktúry

u

r 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 1000 100 210 441 426 245 349 386 335 323 358

1 900 90 189 397 383 221 314 347 302 291

2 700 70 147 309 298 172 244 270 235

3 300 30 63 132 128 74 105 116

1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000

Približne:

3459,2

1000

3,0.44,0.32,0.21,0.1

1000 lim 0

n ==+++

==∞→ V

uu

n.

2.2 MODEL ROZŠÍRENEJ OBNOVY

Uvažujme, na rozdiel od predchádzajúceho, že za vyradené objekty zaradíme viacej nových

objektov. Všetky ostatné predpoklady ponecháme.

Označme symbolmi:

- , , , , n210 NNNN K - počty objektov v jednotlivých obdobiach,

- n21 ..., , , ccc - počty jednotiek, ktorými zabezpečujeme rozšírenú obnovu.

72

Platí: nNNNNN <<<<< ... 3210 .

Vzťah medzi týmito veličinami a veličinami ia , r i a ui najlepšie možno vyjadriť tabuľkou

vekového zloženia súboru objektov po určitej dobe – tabuľkou vekovej štruktúry (tab. 2.2).

Tabuľka 2.2

u r

0 1 2 3 ... n

0 0u 11 cu + 22 cu + 33 cu +

nn cu +

1 10ru 111 )( rcu + 122 )( rcu +

111 )( rcu nn −− +

2 20ru 211 )( rcu +

222 )( rcu nn −− +

3 30ru

333 )( rcu nn −− +

... T-1

111 )( −+−+− + TTnTn rcu

∑ 0N 1N 2N 3N ...

nN

Na základe tabuľky 2.2 môžeme zostaviť nasledovnú sústavu rovníc:

111333222111

30211122333

20111222

10111

00

)(...)()()(

)()(

)(

−+−+−−−−−−− ++++++++++=

++++++=++++=

++==

TTnTnnnnnnnnnn rcurcurcurcucuN

rurcurcucuN

rurcucuN

rucuN

uN

M

[2.7]

Pre očakávaný počet obnov, t.j. počet objektov, ktoré na začiatku n-tého obdobia zaraďujeme

namiesto objektov vyradených na konci (n-1). obdobia platí obdobne [2.5]:

...2211 TnTnnn uauauau −−− +++= [2.8]

Pokiaľ ide o vzťahy pre nc , platí:

73

[ ]

[ ][ ]

)2)(())(()(N

))(())(()(N

)()(-

))(()(

))(()(

)(

)(

3121301

2120210304

3213

121012

120210304

301210102

12

12011020304

312213044

2120110203

2011110203

2112033

1010211022

011

rrrrNNrrNNrNNN

rrrrrrNNrrNNrNNN

rNNrrNNNN

rrrNNrNNNNNN

rcrcrcNNc

rrNNrNNNN

rNNrrcNNNN

rcrcNNc

rNNNNrcNNc

NNc

+−−−−−−−−−=

=+−+−−−−−−−−−=

=−−−−−−−−−−−−−−=

=−−−−=

−−−−−−=

=−−−−−−==−−−=

−−−=−−=

−=

[2.9]

Ak počítame počty jednotiek, ktorými zabezpečujeme rozšírenú obnovu

0112211 ... NNrcrcrcc nTTnnnn −=++++ −+−−− s počiatočnými podmienkami:

0121121

02112

01

...

NNrcrcc

NNrcc

NNc

TTTT

n

−=+++

−=+−=

−−−−

KKKKKKK.

Ak uvažujeme jednoduchú obnovu:

01111 ... Nruruu TTnnn =++++ −+−− Tn ≥

s počiatočnými podmienkami:

010121

0101

00

...

Nruruu

Nruu

Nu

TTT =+++

=+=

−−−

KKKKKK.

Odčítaním týchto dvoch rovníc dostávame vzťah [2.8]:

1. 0112211 ... Nrururuu TTnnnn =++++ −+−−−

2. 012123121 ... Nrurururuu TTnTTnnnn =+++++ −−−+−−−−

t.j.

0...

0)(...)1(

11

121111

=−−−=−−++−+

−−

−−−−+−−

TnTnn

TTnTTTnnn

uauau

rurruruu

74

Podľa uvedených vzorcov počítame 21,cc ,... vtedy, ak hodnoty nNNNN ,...,,, 210 rastú

nelineárne.

Ak je vzrast lineárny, čiže platí, že: 0. NmnNn += , potom

n = 0, 1, ...; m > 0

2123121

21123

112

1

... −−−− ++++=

++=+=

=

TTTT acacacmc

acacmc

acmc

mc

M

pre Tn ≥ :

∑=

−+=T

iinin camc

1

resp.:

[ ]

2,3,...n , :

)(

)(

1

222

13144

2133

22

1

=−=

−+−=

−===

−nn rntkde

trrtrtmc

trtmc

mtc

mc

M

Príklad 2.2:

Treba určiť počty obnov a vekovú štruktúru objektov na 4-ročné obdobie, ak na začiatku

máme súbor 10000 =N technicky homogénnych objektov. Na nasledujúce roky sa plánuje:

1. rok – 1050 objektov = 1N ,

2. rok – 1150 objektov = 2N ,

3. rok – 1300 objektov = 3N ,

4. rok – 1500 objektov = 4N .

Maximálna životnosť objektu 3 roky = T.

Pravdepodobnosť zlyhania objektu:

75

. 5,0

, 3,0

, 2,0

3

2

1

===

a

a

a

Riešenie:

Pravdepodobnosti, že objekty pretrvávajú v prevádzke viac ako k období:

5,01 5,0

8,02,0118,05,03,0

2132

1321

=−−===

=−=−==+=+=

aaar

aaar

K

K

00 objektov 1000 Nu ==

Očakávané počty obnov:

328200.5,0340.3,0628.2,0

6281000.5,0200.3,0340.2,0

3401000.3,0200.2,0

2001000.2,0

1322314

0312213

02112

011

=++=++=

=++=++=

=+=+=

===

uauauau

uauauau

uauau

uau

Počty jednotiek, ktorými zabezpečíme rozšírenú obnovu:

29550).512,08,00(150.14,0)300.(8,010001500

))(2())(()(

18750).8,0.5,0(150.8,010001300))(()(

11050.8,010001150)(

5010001050

013

1213022

12031044

201

212021033

011022

011

=+−−+−−==−+−−−−−−−−=

=−−−=−−−−−−=

=−−=−−−=

=−=−=

NNrrrrNNrrNNrNNc

NNrrNNrNNc

NNrNNc

NNc

Tabuľka vekových štruktúr

n r

0 1 2 3 4

0 1000 200+50 340+110 628+187 328+295 1 1000.0,8 (200+50).0,8 (340+110).0,8 (628+187).0,8 2 1000.0,5 (200+50).0,5 (340+110).0,5 ∑ 1000 1050 1150 1300 1500

0N 1N 2N 3N 4N

76

2.3 OPTIMALIZÁCIA PROCESU OBNOVY

Optimalizácia procesu obnovy spočíva v určení optimálnej stratégie obnovy, t.j. v nájdení

obdobia, v ktorom treba obnovu uskutočniť, prípadne akým spôsobom, aby sa dosiahla

maximálna efektívnosť procesu obnovy.

Modely obnovy, ktoré umožňujú určiť optimálnu stratégiu obnovy, sú založené na

porovnávaní nákladov na údržbu a prevádzku starého zariadenia s nákladmi na obstaranie, údržbu

a prevádzku nového zariadenia, resp. na porovnávaní nákladov pri rôznych spôsoboch obnovy a

pod.

Uvažujeme dva typy modelov obnovy:

- modely obnovy objektov, ktoré majú charakter základných fondov – postupne sa opotrebúvajú,

- modely obnovy objektov, ktoré nemajú charakter základných fondov, zjavne sa neopotrebúvajú,

ale náhle zlyhávajú – zničia sa a treba ich vymeniť (žiarovky, elektrónky a pod.).

2.3.1 Modely obnovy objektov, ktoré majú charakter základných fondov

V dôsledku opotrebúvania zariadenia počas činnosti sa zvyšujú náklady na jeho údržbu.

Existuje doba, pri ktorej obnova starého zariadenia je oveľa hospodárnejšia ako ponechanie

starého zariadenia v prevádzke pri vyšších prevádzkových nákladoch. Náklady na opotrebenie a

údržbu určitého zariadenia môžeme všeobecne skúmať tak, že opotrebenie a náklady na údržbu

vyjadríme všeobecnými funkciami. Z takého vyjadrenia môžeme prejsť k určitej aproximácii

uvedených funkcií alebo k ich empirickému vystihnutiu v určitých okamihoch.

Všeobecné funkcie opotrebenia a údržby:

A – nadobúdacia hodnota zariadenia,

φ(t) – funkcia opotrebenia,

Aφ(t) – zostatková hodnota po čase t,

U(t) – náklady na údržbu za čas t.

77

Celkové náklady na opotrebenie a údržbu:

[ ] )()(.)( tUtAAtN +−= ϕ [2.10]

Priemerné náklady na časovú jednotku:

[ ] )(

)(.1)(

)(t

tUtAA

tt

tNtn +−== ϕ [2.11]

Ak predpokladáme spojitý priebeh t, môžeme hodnotu t, pri ktorej bude n(t) minimálne,

vypočítať anulovaním prvej derivácie n(t):

0)()())((1)()(

22=−′

+−−′−=t

tUtUt

t

tAAttA

dt

tdn ϕϕ [2.12]

a po úprave:

[ ] 0)(-)()()(-1 =′+′+ tUttUtttA ϕϕ [2.13]

Z rovnice [2.13] by sme mohli pre konkrétne funkcie φ(t) a U(t) vyjadriť optimálnu hodnotu

t, pri ktorej funkcia [2.11] nadobudne minimum.

Pritom môžeme predpokladať, že:

a) funkcie φ(t) a U(t) sú lineárne a to:

kttUc

tt == )( , -1)(ϕ ,

kde c a k sú konštantné veličiny.

Dosadením za φ(t) a U(t) do [2.11] dostaneme:

kc

Akt

c

tA

ttn +=

+

+−= 111

)(

Priemerné náklady na časovú jednotku sú teda pri lineárnych funkciách φ(t) a U(t)

konštantné. O obnove zariadenia nemožno rozhodnúť podľa spomínaného kritéria. Doba

obnovy je podľa tohto modelu ľubovoľná.

b) funkcia φ(t) je exponenciálna a funkcia U(t) je lineárna, pričom:

kt U(t), )( == −ctetϕ .

78

Rovnica [2.11] pre tento prípad bude:

[ ]kteAt

tn ct +−= − )1(1

)(

a jej prvá derivácia:

[ ] [ ]

[ ].1)(

...)!4!3!2

(

0 pri 01A

01).1(.

)1(1)(

2

2432

22

−+=

−−−−=

>≠−+=+−−

=′

+−=

−−

−

−−−−

−

ctct

ct

ctctctct

ct

ectet

A

dt

tdn

tc

tcc

Ae

tectett

eAtAcekeA

tdt

tdn

Je zrejmé, že uvedená funkcia je monotónne klesajúca a nemôže byť anulovaná pre žiadne

kladné t. Z toho vyplýva záver, že zariadenie máme ponechať v prevádzke čo najdlhšie.

c) funkcia φ(t) aj U(t) sú exponenciálne:

),1() U(, )( at −== − ektet ctϕ

kde a je podobne ako c a k konštantná veličina. U(t) sa volila tak, aby U(0) = 0.

Po dosadení do rovnice [2.11]:

[ ])1()1(1

)( −+−= − atct ekeAt

tn

a jej prvá derivácia:

[ ] [ ][ ]

[ ]

[ ])1()1()(1)(

teda, )1()1()t

1

1. )(Ace

1)1()1(

1)(

2

2

2

ct-

−−−−+=

−−−−+=

=−+−−+=

=′

−+−=

′

−+−=

−−

−−

−

−−

atctatct

atctatct

atctat

atctatct

ekeAtakeAcetdt

tdn

ekeAtakeAce

t

kkeAeAtake

kkeAeAt

ekeAtdt

tdn

a ak má byť uvedený výraz rovný nule, musí platiť:

79

)1()1( −+−=−+ −− atatctct eatekecteA alebo )1(1

)1(1

ate

cte

A

kat

ct

−−+−=

−

.

Z uvedeného výrazu môžeme vypočítať t, zodpovedajúce určitým zadaným hodnotám k, A,

c, a.

Nedostatkom uvedených modelov je, že náklady budúcich období sa uvažujú bez

diskontného faktora, t.j. nezohľadňujú tú skutočnosť, že sa prostriedky na obstaranie, údržbu a

opravy určitého zariadenia nevynakladajú často jednorazovo, ale v niekoľkých obdobiach, a teda

je potrebné oceniť náklady, ktoré sa vynaložia v rôznych obdobiach k určitému dátumu.

Najjednoduchší spôsob ocenenia nákladov plánovaných pre n rovnakých období je sčítať ich

diskontované hodnoty.

Bez toho, že by sme na tomto mieste riešili ekonomické opodstatnenie diskontného faktora,

nemôžeme totiž považovať pre dlhší časový interval za účelný taký model, ktorý len obyčajným

jednoduchým spôsobom sumarizuje náklady budúcich období.

2.3.2 Model založený na diskontnej hodnote nákladov

Model založený na diskontnej hodnote nákladov sa týka tých objektov, ktoré sú opraviteľné

(základné fondy- stroje, strojové zariadenia). Ide o viacročnú životnosť, a tak tu prichádza do

úvahy diskontácia nákladov na obstaranie a údržbu, čiže diskontácia nákladov budúcich období

na obstaranie a údržbu k okamihu začiatku procesu obnovy. Diskontácia spočíva v tom, že akú

sumu peňazí treba vložiť do banky, aby nám to na začiatku obdobia n narástlo na tú hodnotu,

ktorú budeme potrebovať => akú hodnotu majú budúce náklady teraz.

Diskontované náklady vyjadrujú terajšiu hodnotu budúcich nákladov a vypočítajú sa podľa

vzorca:

:kde , )1(

11

−− =

+n

nnn XCr

C

nC – náklady na začiatku n-tého roku,

r – úroková miera,

n – počet rokov,

80

1

1

rX

+= – diskontný súčiniteľ.

Nech sú obstarávacie náklady na určité zariadenie A; náklady na prevádzku 1C , 2C , ...

v intervaloch rovnakej dĺžky (bez odpisov), pričom predpokladáme, že tieto náklady rovnomerne

vzrastajú.

Ak sa bude uvažované zariadenie vždy po n obdobiach obnovovať, potom diskontná hodnota

N(n) všetkých budúcich nákladov spojených s obnovou zariadenia po každých n obdobiach je

takáto:

,...)()()(

:..,......)(...C)(

1

12

1

1

1

1

12121

12321

++++++=

=+++++++++++=

∑∑∑=

−

=

−

=

−

−+−

n

i

ii

nn

i

ii

nn

i

ii

nn

nnnn

XCAXXCAXXCA

jtXCXCXCAXCXCXCAnN

kde postupne jednotlivé členy zodpovedajú vždy jednému cyklu obnovy, pričom predpokladáme

rovnakú situáciu vždy vo vnútri cyklu. Ak si uvedomíme, že pravá strana rovnice predstavuje

vlastne súčet členov nekonečnej konvergentnej geometrickej postupnosti, môžeme N(n) vyjadriť

ako nekonečný geometrický rad s kvocientom

:q-1

a potom ,1 x,0 1<<= nxq

1

)( 1

1

n

n

i

ii

X

XCAnN

−

+=

∑=

−

- celkové diskontované náklady. [2.14]

N(n) je terajšie vyžadované množstvo peňazí na krytie všetkých budúcich nákladov na

obstaranie a prevádzku zariadenia, ktoré sa obnovuje každých n rokov. Nejde však o to, že by

takýto odhad nákladov bolo možné použiť na nákladové prepočty, ale o to, že umožňuje

navrhnúť kritérium na optimalizáciu počtu období n cyklu na obnovu zariadenia.

Obnovovací cyklus bude optimálny pre také n, ktoré vyhovuje nasledujúcim podmienkam:

0)()1(

0)()1(

>−−>−+

nNnN

nNnN [2.15]

81

Dosadením za n, (n+1) do [2.14] dostaneme:

11

111

11

11

1

1

1

1

1)(

1

1

1

)()-(1

11)1(

++

+++

+=

+−

+

+

=

−

−+

−−=

−+

=

=−

++=

−

+=+

∑∑

n

nn

n

n

n

nn

n

n

n

i

nn

ii

n

n

i

ii

X

XCnN

X

X

X

XCnNX

X

XCXCA

X

XCA

nN

Po odčítaní N(n) od obidvoch strán dostávame:

[ ]1

11

11

1 1

)(

11

1

1)()()1( +

++

++

+ −+−=

−+

−

−−=−+

n

nn

nn

n

nn

n

n

X

XCXXnN

X

XC

X

XnNnNnN

Ak N(n + 1) – N(n) > 0, potom:

[ ] ,0)( 11 >+− +

+ nn

nn XCXXnN [2.16]

pretože X < 1, a teda menovateľ 11 +− nX je vždy väčší ako 0.

Ak nerovnosť [2.16] delíme nX , dostaneme:

[ ] 01)( 1 >+− +nCXnN ,

z čoho

[ ]XnNCn −>+ 1)(1 . [2.17]

Podobne by sme mohli odvodiť, ak N(n-1) – N(n) > 0, potom musí platiť:

[ ] 0)1( 11 >−−− −− nn

nn XCXXnN , [2.18]

pretože X < 1.

Delením nerovnosti [2.18] s 1−nX dostaneme:

[ ] 01)1( >−−− nCXnN

alebo

[ ] )1(1 −−< nNXCn . [2.19]

82

Ak vyjadríme N(n-1) pomocou (2.14), dostaneme:

1

2121

1

...)1( −

−−

−++++−<

n

nn

n X

XCXCCAXC

alebo

...1

...22

2121−

−−

++++++++

<n

nn

nXXX

XCXCCAC . [2.20]

Výraz na pravej strane nerovnosti [2.20] je vážený priemer všetkých nákladov po interval

(n-1) vrátane. Váhy 1, X, 2X , ..., 2−nX sú súčinitele diskontu pri nákladoch v každom období.

Nerovnosť [2.17] môžeme upraviť na podobný tvar:

...1

...)(12

121

1 −

−

+ ++++++++

>n

nn

nXXX

XCXCCAC . [2.21]

Na základe rozboru nerovností [2.20] a [2.21] môžeme vymedziť nasledovné pravidlá

minimalizácie nákladov:

(1) – neobnovovať, keď náklady budúceho obdobia sú menšie ako vážený priemer

predchádzajúcich nákladov [2.20],

(2) – obnovovať, keď náklady budúceho obdobia sú väčšie ako vážený priemer predchádzajúcich

nákladov [2.21].

Príklad 2.3:

Obstarávacia cena určitého objektu (stroj, výrobné zariadenie) je A = 1 mil. €. Náklady na

prevádzku za jednotlivé obdobia sú:

400 190

€. tisícoch v590 320 140

490 250 100

63

852

741

========

CC

CCC

CCC

Pri úrokovej miere 5% treba nájsť optimálne obdobie obnovy objektu.

83

Riešenie:

Rok iC 1−iX 1−i

i XC ∑ −+ 1ii XCA ∑ −1iX

∑∑

−

−+1

1

i

ii

X

XCA

1 100 1 100 1100 1 1100 2 140 0,952 133,33 1233,33 1,952 631,71 3 190 0,907 172,40 1405,67 2,859 491,59 4 250 0,864 215,96 1621,63 3,723 435,54 5 320 0,823 263,26 1884,89 4,546 414,68 6 400 0,784 313,41 2198,30 5,330 412,48 7 490 0,746 365,65 2263,93 6,076 8 590 0,711 419,30 2683,23 6,787

05,01

1

+=X , A = 1000 (v tisícoch €).

Pretože: 52

5621

7 ...1

...

XXX

XCXCCAC

++++++++

>

490 > 412,48,

- preto na konci 6. obdobia treba zariadenie vymeniť alebo obnoviť.

Príklad 2.4:

Optimalizujte počet období n pre cyklus obnovy zariadenia vzhľadom na minimalizáciu

diskontovanej hodnoty všetkých budúcich nákladov, ak obstarávacie náklady zariadenia sú A =

30 peňažných jednotiek. Ročná úroková miera r = 0,1 a náklady na prevádzku zariadenia

v jednotlivých obdobiach sú:

25 10

20 5

30 15 0

63

52

741

====

===

CC

CC

CCC

1,01

1

+=X

Riešenie je uvedené v tabuľke:

84

obdobie (i) iC 1−iX 1−i

i XC ∑ −+ 1ii XCA

∑ −1iX

∑∑

−

−+1

1

i

ii

X

XCA

1 0 1,000 0 30,000 1,000 30,000 2 5 0,909 4,545 34,545 1,909 18,095 3 10 0,826 8,260 42,805 2,735 15,650 4 15 0,751 11,265 54,070 3,486 15,510 5 20 0,683 13,660 67,730 4,169 6 25 0,621 15,525 83,255 4,790 7 30 0,564 16,920 100,175 5,354

Z tabuľky je zrejmé, že optimálny počet období obnovovacieho cyklu n = 4, t. zn., že sa má

dať prednosť obnove zariadenia každé 4 roky.

510,1520

1 32

34

2321

5

>

+++++++

>XXX

XCXCXCCAC

Príklad 2.5:

Optimalizujte počet n období pre cyklus obnovy zariadenia vzhľadom na minimalizáciu

diskontovanej hodnoty všetkých budúcich nákladov, keď obstarávacie náklady zariadenia sú A =

50 peňažných jednotiek, ročná úroková miera r = 0,05 a náklady na prevádzku zariadenia

v jednotlivých obdobiach sú:

50 30 10

40 20 0

642

531

======

CCC

CCC

Riešenie je uvedené v tabuľke:

Obdobie iC 1−iX 1−i

i XC ∑ −+ 1ii XCA ∑ −1iX

∑∑

−

−+1

1

i

ii

X

XCA

1 0 1 0 50 1 50 2 10 0,952 9,52 59,52 1,952 30,49 3 20 0,907 18,14 77,66 2,859 27,16 4 30 0,864 25,92 103,58 3,723 27,82 5 40 0,823 32,91 136,49 4,546 30,02 6 50 0,784 39,20 175,76 5,329 32,98

50 ,05,01

1 =+

= AX

85

Z tabuľky je zrejmé, že optimálny počet období obnovovacieho cyklu n = 3, t. zn., že sa má

dať prednosť obnove zariadenia každé 3 roky.

16,2730

1 2

2321

4

>

+++++>

XX

XCXCCAC

2.3.2 Modely obnovy objektov, ktoré sa po poruche vymieňajú

Doteraz sme nepredpokladali, že by bolo potrebné celé zariadenie vyradiť ako úplne

nevyhovujúce v dôsledku poruchy, ale zahrnuli sme prípadné opravy do nákladov na údržbu.

Teraz sa budeme zaoberať takými objektmi, ktoré sa zjavne neopotrebúvajú počas prevádzky, ale

zničia sa po určitom období používania (žiarovky, elektrónky a pod.).

Znehodnotenie takýchto objektov nastáva v dôsledku opotrebenia alebo v dôsledku

preťaženia – určitého rázu, čo nastalo náhodne. V prvom prípade je porucha závislá od času,

v ktorom bolo zariadenie v prevádzke, v druhom môžeme predpokladať, že porucha nie je závislá

od času prevádzky zariadenia – týmito sa budeme zaoberať. Zároveň budeme predpokladať, že

ide o súčiastky relatívne kratšej životnosti a že nemá zmysel zaoberať sa problémom

diskontovania nákladov.

Uvažujme určitý systém pozostávajúci z väčšieho počtu takýchto objektov (jednotiek)

rovnakého typu. Počas prevádzky tohto systému sa v každom časovom intervale pokazí určitý

počet jednotiek, ktoré musíme nahradiť novými, aby systém bol schopný ďalšej činnosti. Po

určitom počte období je výhodné vymeniť všetky jednotky bez ohľadu na to, či sa pokazia, alebo

nie. Nám pôjde práve o to: nájsť taký interval t*, pre ktorý sú náklady skupinovej výmeny

jednotiek a náklady na náhradu jednotlivých pokazených jednotiek (individuálna výmena) medzi

dvoma skupinovými výmenami minimálne.

Z predchádzajúceho vyplýva, že obnovu uskutočňujeme dvoma spôsobmi:

1. Individuálna obnova: postupujeme pri nej tak, že na konci príslušného obdobia vyhľadáme

pokazené objekty a vymeníme ich.

86

2. Skupinová obnova: po určitom období (n –té obdobie) sa dostávame do situácie, keď už nie

je výhodné vyhľadávať a obnoviť tie objekty, ktoré sa pokazili, ale jednoducho obnovíme

všetky objekty.

Ak sú:

1C - náklady na výmenu jednej jednotky pri skupinovej výmene,

2C - náklady na výmenu jednej jednotky pri individuálnej výmene,

f(x) - funkcia, ktorej hodnota udáva, koľko v ktorom období treba vymeniť jednotiek,

L - počet jednotiek, ktoré obsahuje systém (počet jednotiek v skupine),

potom celkové náklady na obnovu za t období (intervalov) sú vyjadrené touto nákladovou

rovnicou:

)()(1

121 ∑

−

=

+=t

x

xfCLCtN , [2.22]

kde

1LC sú náklady na výmenu jednotiek, ak vymeníme všetky jednotky systému naraz

(skupinová výmena),

∑−

=

1

12 )(

t

x

xfC - náklady na individuálnu výmenu pokazených objektov v každom z (t-1) intervalov

skôr, ako sa celá skupina znova obnoví.

Priemerné náklady na jeden interval:

)()( 1

1

21 ∑−

=

+=t

x

xft

C

t

LC

t

tN [2.23]

Celkové náklady budú minimálne pre také t*, ktoré vyhovuje nasledovným nerovnostiam:

0*

*)(

1*

)1*( >−++

t

tN

t

tN [2.24]

0*

*)(

1*

)1*( >−−−

t

tN

t

tN [2.25]

87

Úpravou týchto nerovností dostaneme:

0*)1*(

*)(*)(

*)(1**

1

1*

1)()

*

1

1*

1(

*

*)(

1*

)1*(

2

1*

121

21*

121

>+

+−−=

=+

+

−+

+−+

=−++

∑

∑−

=

−

=

tt

tftCxfCLC

tft

C

ttxfC

ttLC

t

tN

t

tN

t

x

t

x

Z tejto úpravy je zrejmé, že nerovnosť [2.24] platí vtedy, ak je:

∑−

=

+>1*

1212 )(*)(*

t

x

xfCLCtftC

alebo

*

)(*)(

1*

121

2 t

xfCLC

tfC

t

x∑

−

=+

> [2.26]

Podobne by sme mohli zistiť, že nerovnosť (2.25) platí vtedy, ak:

1*

)()1*(

2*

121

2 −

+<−

∑−

=

t

xfCLC

tfC

t

x [2.27]

Na pravých stranách nerovností [2.26] a [2.27] sú priemerné náklady na interval, ak

skupinovú výmenu urobíme na konci t-teho intervalu (nerovnosť 2.26), resp. (t-1). intervalu

(nerovnosť 2.27).

Na ľavých stranách sú náklady na individuálnu výmenu za t-ty interval, resp. (t-1). interval.

Obidve nerovnosti [2.26] a [2.27] určujú podmienky pre optimálnu skupinovú obnovu a možno

ich interpretovať takto:

Nerovnosť [2.26] vyjadruje, že sa má uskutočniť skupinová obnova na konci t-teho intervalu,

keď náklady na individuálne obnovy za t-ty interval sú väčšie ako priemerné náklady za interval

koncom t-tych intervalov.

Nerovnosť [2.27] vyjadruje, že sa nemá robiť skupinová výmena na konci (t-1). intervalu,

keď náklady na individuálne obnovy na konci (t-1). intervalu sú menšie ako priemerné náklady

koncom (t-1). intervalov.

88

Pri určovaní optimálneho t, t.j. t* pre skupinovú obnovu stačí, keď je zadaný pomer 21 /CC ,

nemusíme poznať priamo hodnoty 1C a 2C . O tom sa presvedčíme vydelením nerovností [2.26]

a [2.27] veličinou 2C :

*

)(

*)(

1*

12

1

t

xfC

CL

tf

t

x∑

−

=+

> [2.28]

1*

)(

)1*(

2*

12

1

−

+<−

∑−

=

t

xfC

CL

tf

t

x [2.29]

Ak predpokladáme ďalej, že rozsah havárií f(t) za obdobie konverguje k )(tf a že sa

optimálne náklady skupinovej výmeny a náklady na individuálnu výmenu rovnajú, t.j.:

)(*

)(

2

1*

121

tfCt

xfCLCt

x =+ ∑

−

= ,

potom

)()(*

1*

1

2

1

L

xftft

C

C

t

x∑

−

=

−= [2.30]

Výraz na pravej strane rovnice [2.30] predstavuje maximálnu hodnotu pomeru, pre ktorú je

skupinová výmena hospodárna.

Ak je pomer 21 /CC väčší ako táto hodnota, skupinová výmena pri takomto pomere je

nehospodárna.

Príklad 2.6:

Inštalovaná je skupina 10000 nových žiaroviek. Žiarovky postupne havarujú. Havarované

žiarovky sa vymieňajú za nové tak, aby bol počet žiaroviek v skupine konštantný a rovný

pôvodnému počtu. Výmena sa robí vždy na konci časového intervalu (na konci 100 hod.). Treba

nájsť taký interval, v ktorom sa už individuálna výmena nevyplatí a z hľadiska nákladov je

výhodnejšie vymeniť celý súbor. Pri individuálnej výmene sú náklady za jednotku 10 p.j., pri

89

skupinovej výmene sú náklady na výmenu jednej jednotky 0,204 p.j. Charakteristiky životnosti

súboru 10000 žiaroviek sú v tabuľke:

t Svietiace žiarovky na

konci intervalu t s(t)

Havarované žiarovky počas intervalu t

s(t-1) – s(t)

Pravdepodobnosť havarovania

L

tstsp

)()1()1(

−−=

0 10000 - - 1 9960 40 0,004 2 9900 60 0,006 3 9820 80 0,008 4 9700 120 0,012 5 9500 200 0,020

[ ] [ ][ ]

[ ]

202)5(

121)]1()1()1()1()1()1()2(

)1()2()1((2)(1)(1)(3)(2)(2)(3)(1)(4)[(4)

81004,0006,0.004,0006,0.004,0008,0000 1

)1()1()1()1()1()1()2()2()1()3()3(

60004,0.004,00,006000 10(1)(1)(2)(2)

40004,0.000 10)1(.)1(

42

=

=++++++++=

=+++==+++=

=+=+=

===

f

ppppppp

ppppppppppppLf

ppppppppppLf

pppLf

pLf

Zo zadania vyplýva:

000 10

10 , 204,0 21

===

L

CC

Ďalej vypočítané údaje na rozhodovanie sú v tabuľke:

t f(t) ∑=

t

x

xf1

)( )(2 tfC ∑=

t

x

xfC1

2 )( ∑−

=

+1

121 )(

t

x

xfCLC

t

xfCLCt

x

+ ∑−

=

1

121 )(

1 40 40 400 400 2040 2040

2 60 100 600 1000 2440 1220

3 81 181 810 1810 3040 1013

4 121 302 1210 3020 3850 962

5 202 504 2020 5040 5060 1012

9621210 4

)4()4(

4

121

2

>

+>

∑=x

fCLC

fC

90

Z toho vyplýva, že skupinovú výmenu treba uskutočniť na konci 4. obdobia.

Príklad 2.7:

Inštalovaná je skupina L = 100000 nových žiaroviek. Žiarovky postupne havarujú.

Havarované žiarovky vymieňame za nové tak, aby bol počet žiaroviek v skupine konštantný a

rovný pôvodnému počtu. Budeme predpokladať, že havárie nastanú len na konci časového

intervalu (napr. 100 hod.). Teda žiarovky, ktorými nahradíme havarované žiarovky na konci napr.

druhého intervalu, budú mať na začiatku tretieho intervalu vek rovný nule. Počas prvých t

časových intervalov na konci každého intervalu sa havarované žiarovky nahradia žiarovkami

novými (individuálna výmena). Na konci t-teho časového intervalu sa vymenia všetky žiarovky

(skupinová výmena) bez ohľadu na to, či havarovali, alebo nie.

Treba nájsť optimálny interval pre skupinovú výmenu, t.j. takú hodnotu t, pri ktorej budú

celkové náklady na výmenu minimálne, ak sú jednotlivé náklady na výmenu pri skupinovej

výmene p.j. 71 =C a jednotlivé náklady na výmenu pri individuálnej výmene p.j. 102 =C

Charakteristiky životnosti 100000 žiaroviek sú uvedené v tabuľke. Z tabuľky je zrejmé, že

v tomto prípade sa neuvažovalo o náhrade havarovaných žiaroviek novými.

Ak budeme uvažovať náhradu, počty havarovaných žiaroviek počas jednotlivých intervalov

budú prirodzene iné, ako sú uvedené v tabuľke:

91

Uplynulé časové obdobie

t

Svietiace žiarovky na konci intervalu t

s(t)

Havarované žiarovky počas

intervalu t s(t-1) – s(t)

Pravdepodobnosť havárie

L

tststp

)()1()(

−−=

Podmienená pravdepodobnosť

havárie

)1(

)()1(01 −

−−=ts

tstsVt

0 100000 1 100000 0 0 0 2 99000 1000 0,01 0,0100 3 98000 1000 0,01 0,0101 4 97000 1000 0,01 0,0102 5 96000 1000 0,01 0,0103 6 93000 3000 0,03 0,0312 7 87000 6000 0,06 0,0645 8 77000 10000 0,10 0,1149 9 63000 14000 0,14 0,1818 10 48000 15000 0,15 0,2381 11 32000 16000 0,16 0,3333 12 18000 14000 0,14 0,4375 13 10000 8000 0,08 0,4444 14 6000 4000 0,04 0,4000 15 3000 3000 0,03 0,5000 16 2000 1000 0,01 0,3333 17 1000 1000 0,01 0,5000 18 0 1000 0,01 1,0000

Pri nahradzovaní havarovaných žiaroviek ide najskôr o výmenu pôvodne inštalovaných

žiaroviek, potom o výmenu jednak pôvodne inštalovaných a jednak už vymenených, ale postupne

nahradzujeme už len jednotky vymenené (prípadne i viackrát).

Aby sme mohli vypočítať optimálne t, musíme poznať počet havarovaných žiaroviek

v jednotlivých intervaloch. Všeobecný vzorec na výpočet havarovaných žiaroviek v intervale t je:

+−

−+−+= ∑ ∑∑−

=

−

=

−

=

1

2

1

1

1

1

...)()()()()()()(t

b

b

x

t

x

btpxbpxpxtpxptpLtf ,

kde

L – celkový počet inštalovaných jednotiek,

p(x) – pravdepodobnosť vo veku x,

p(t) – pravdepodobnosť prvej havárie,

∑−

=

−1

1

)()(t

x

xtpxp – pravdepodobnosť havárie už raz vymenených žiaroviek v intervale t.

92

Napr. t = 5:

∑=

+++=−4

1

)1()4()2()3()3()2()4()1()5()(x

ppppppppxpxp

- každý z členov vyjadruje takú pravdepodobnosť prípadu, že druhá havária sa vyskytuje

v piatom období.

Pravdepodobnosť tretej havárie po t-tom intervale je pravdepodobnosťou havárie v (t-b).

intervale, násobená pravdepodobnosťou havárie v (b-x). intervale s pravdepodobnosťou v x-tom

intervale, napr. pre :5=t

)1()1()3()1()2()2()1()3()1()2()1()2()2()2()1()3()1()1(

)()()(4

2

1

1

pppppppppppppppppp

btpxbpxpb

b

x

+++++=

=−

−∑ ∑=

−

=

Počty havarovaných žiaroviek na konci každého intervalu sú pre náš prípad vypočítané

v tabuľke:

Časový interval

t

Výmena Časový interval

t

Výmena bežná

f(t) kumulatívna∑ )( tf

bežná f(t)

kumulatívna ∑ )(tf

1 0 0 21 12047 162167 2 1000 1000 22 11706 173873 3 1000 2000 23 10820 184693 4 1010 3010 24 9697 194390 5 1020 4030 25 8700 203090 6 3030 7060 26 8288 211378 7 6040 13100 27 8413 219791 8 10090 23190 28 8862 228653 9 14201 37391 29 9523 238176 10 15392 52783 30 10100 248276 11 16665 69448 31 10413 258689 12 15000 84448 32 10507 269196 13 9480 93928 33 10348 279544 14 6175 100103 34 9999 289543 15 6160 106263 35 9636 299179 16 5521 111784 36 9079 308258 17 7309 119093 37 9220 317478 18 9317 128410 38 9271 326749 19 10181 138591 39 9447 336196 20 11529 150120 40 9669 345865

93

Ak bližšie skúmame túto tabuľku, vidíme, že od určitého obdobia 34 sa rozsah havárií čím

ďalej, tým menej odlišuje. Sú to dôkazy o tom, že limit rozsahu havárií sa rovná podielu

celkového počtu inštalovaných žiaroviek L a priemernej hodnoty životnosti.

V našom prípade je priemerná životnosť 10,3 časových intervalov, potom limitný rozsah

havárií:

97093,10

100000)( ==tf havárií za časový interval.

Ďalší výpočet je uvedený v tabuľke:

t f(t) ∑=

t

x

xf1

)( )(2 tfC ∑=

t

x

xfC1

2 )( ∑−

=

+1

121 )(

t

x

xfCLC

t

xfCLCt

x∑

−

=+

1

121 )(

1 0 0 0 0 700000 700000 2 1000 1000 10000 10000 700000 350000 3 1000 2000 10000 20000 710000 236667 4 1010 3010 10100 30100 720000 180000 5 1020 4030 10200 40300 730000 146002 6 3030 7060 30300 70600 740000 123338 7 6040 13100 60400 131000 770000 110086 8 10090 23190 100900 231000 831000 103875 9 14201 37391 142010 373910 931900 103544 10 15392 52783 153920 527830 1073910 107391

Z tabuľky je zrejmé, že

1038751420109

)()9(

8

121

2

>

+>

∑=x

xfCLC

fC ,

čiže optimálne t* = 9, t.j. skupinovú výmenu treba urobiť na konci deviateho obdobia, keď

náklady na výmenu budú minimálne.

Optimálne t* môžeme určiť aj na základe nerovností [7.28] a [7.29], ak poznáme pomer

21 /CC .

94

2.4 MODELY ÚDRŽBY

O modeloch údržby má zmysel hovoriť pri preventívnej údržbe, ktorá sa vykonáva plánovite.

Základnou otázkou pri organizácii preventívnej údržby je určenie:

- optimálnej periodickosti pút ,

- optimálneho času trvania čút

preventívnej údržby tak, aby výrobné zariadenie bolo maximálne využité pri minimálnych

prestojoch = kritérium.

Pri riešení tohto problému sa stretávame s protichodnými požiadavkami. Na jednej strane

treba v záujme zachovania bezporuchového stavu zabezpečiť, aby sa preventívna údržba

vykonávala pravidelne. To však znamená značné prestojové časy objektov údržby.

Poznámka:

Ak údržbu budeme vykonávať často, poruchy sa budú vyskytovať veľmi zriedka a čas na

opravy bude malý, ale čas na údržbu bude značný. Ak budeme preventívnu údržbu vykonávať vo

veľmi dlhých intervaloch, potom čas venovaný na údržbu bude malý, ale priemerný čas medzi

poruchami bude tiež malý a poruchy budú vznikať často, tým aj čas na opravy bude veľký.

Obe uvedené protichodné požiadavky možno zohľadniť pomocou ukazovateľa efektívnosti

využitia objektu, ktorý predstavuje pravdepodobnosť, že objekt je v bezporuchovom stave a

v priebehu zadaného časového úseku činnosti t sa nepokazí:

)(. tPKU vev = [2.31]

kde:

e

čv T

TK = - koeficient (súčiniteľ) využitia objektu, [2.32]

čT - čas bezporuchovej činnosti objektu počas jeho používania,

eT - čas používania (exploatácie) objektu, t.j. súčet čT , času opráv a údržby,

)(tP - pravdepodobnosť bezporuchovej prevádzky objektu do okamihu t.

95

Skutočnosť, že práve ukazovateľ efektívnosti využitia objektu zabezpečuje obe vyššie

uvedené požiadavky predurčuje použiť ho na optimalizáciu periodickosti a času trvania

preventívnej údržby, pri ktorých nadobúda evU maximálnu hodnotu:

)(..

.tP

ntmtnt

ntU

poprčúpoú

poúev ++

= [2.33]

kde:

oút - priemerný čas medi poruchami, ak sa vykonáva preventívna údržba,

pn - celkový počet porúch počas používania objektu,

m - počet vykonávaných údržieb,

oprt - priemerný čas trvania opravy objektu,

čút - priemerný čas preventívnej údržby.

Ak budeme predpokladať exponenciálne rozdelenie vzniku porúch, môžeme [2.33] upraviť:

..

.oú

pú

t

t

poprčúpoú

poúev e

ntmtnt

ntU

−

++= (2.34)

pút - perióda údržby.

Vzťah [2.34] možno využiť na získanie vzorcov na výpočet hodnôt optimálnej

periodickosti a optimálneho času trvania údržby pri analytickom prístupe k riešeniu.

2.4.1 Analytický prístup na určenie optimálnej periodickosti a času trvania preventívnej údržby

Určenie optimálnej periodickosti:

Predpoklad: čút = konšt., čas trvania údržby je konštantný.

0)(

)(ev =pú

pú

td

tdU

96

5,0.,

čú

oú

oúoptpú

t

t

tt = [2.35]

Určenie optimálneho času trvania:

Predpoklad: pút = konšt., periodickosť údržby je konštantná,

0)(

)(=

čú

čúev

td

tdU

)1( min,0.

))((

.,t

tttA

optú

Kpúopr

úopt Ke

+′

−= κκ [2.36]

kde:

pú

čúoptú t

tK =., ;

čú

pú

t

t=κ

pnpp

č

nn

Tt

+=min,0 - priemerný čas medzi poruchami v prípade, ak sa nevykonáva vôbec

preventívna údržba,

pnpp

pp

nn

ntA

+=)( - koeficient porúch (charakteru porúch),

ppn - počet postupných porúch,

pnn - počet náhlych porúch.

Predpokladáme, že pri preventívnej údržbe sa odstraňujú príčiny postupných porúch.

pP - pravdepodobnosť vzniku postupných porúch v čase pút , čiže medzi dvoma údržbami.

Tieto vzťahy sa dajú použiť [2.35] a [2.36] iba za predpokladu, že náhodné veličiny

vystupujúce v úlohe majú exponenciálny zákon rozdelenia.

97

2.4.2 Simulačný prístup na určenie optimálnej periodickosti a času trvania preventívnej údržby

Pri použití simulačného prístupu na určenie hodnôt .,optpút a .,optčút môžu mať náhodné

veličiny vystupujúce v úlohe ľubovoľný zákon rozdelenia.

Simulácia bude spočívať v tom, že pre zadané hodnoty pút , čút sa odhaduje hodnota

ukazovateľa efektívnosti využitia objektu. Ak zvolíme viacero dvojíc hodnôt pút , čút a určíme

pre ne odhady evU , môžeme vybrať dvojicu, pre ktorú je odhadnutá hodnota evU maximálna.

Priemerný čas medzi poruchami pri výrobku s reálnou údržbou:

[ ] )()(1)(1 čúochpúpp

o

oú tPtPtA

tt

−−=

pppn

pp

nn

ntA

+=)( - koeficient charakteru porúch,

)( púpp tP - pravdepodobnosť vzniku postupných porúch počas pút (periódy),

)( čúoch tP - pravdepodobnosť odhalenia chýb počas čút (času trvania),

max,ot - priemerný čas medzi náhlymi poruchami pri ideálnej údržbe.

Teória obnovy si všeobecne kladie za cieľ pomôcť pri riešení rozhodovacích úloh na

zaistenie požadovaného (hospodárneho, resp. teoreticky i optimálneho) prevádzkového

fungovania skúmaného systému, resp. jeho časti (napr. dielne, skupín strojov pre daný rozsah

výroby či pre požadované časové obdobie pri plánovanej úrovni využitia) za stanovený časový

interval. Praktické riešenie podnikových rozhodovacích úloh vedie takmer vždy k stochastickým

modelom riešeným pomocou štatistických metód.

Zahŕňa problémy prevádzkovej spoľahlivosti, ekonomickej upotrebiteľnosti strojov a

zariadení, pohotovostného zaistenia opráv ľuďmi a prípadne vybavením (náhradnými dielmi,

zariadením na opravy a údržbu, atď.). Ekonomickým kritériom riešenia môže byť napr.

minimalizácia pravdepodobných nákladov, príp. vrátane rizika strát, plánovaného fungovania

výrobného systému pri plnení zadaných úloh. Možno konštatovať, že riešenie konkrétnych úloh

vyžaduje špeciálne znalosti presahujúce obvyklú manažérsku prípravu. Preto riešia úlohy tímy

98

odborníkov - na úrovni manažérskeho myslenia ide skôr len o pochopenie ekonomickej

závažnosti týchto úloh (4).

ÚLOHY/OTÁZKY NA SAMOSTATNÉ RIEŠENIE

1. Čo sú modely obnovy?

2. Ako možno klasifikovať modely obnovy?

3. Na akú otázku nám dáva odpoveď riešenie modelu jednoduchej obnovy?

4. Na akých predpokladoch je založený diskrétny model jednoduchej obnovy?

5. Aké symboly sa používajú na zostavenie diskrétneho modelu jednoduchej obnovy

a vysvetlite ich význam.

6. Ako sa vypočíta očakávaný čas prevádzky objektu – priemerná životnosť objektu?

7. Napíšte model jednoduchej obnovy.

8. Ktoré hodnoty musíme mať zadané, aby sme mohli riešiť model jednoduchej obnovy?

9. Akými spôsobmi možno riešiť model jednoduchej obnovy?

10. Napíšte tabuľku vekovej štruktúry pre T = 3 a n = 6.

11. V čom je rozdiel medzi modelom jednoduchej obnovy a modelom rozšírenej obnovy?

12. Napíšte tabuľku vekovej štruktúry pri rozšírenej obnove pre T = 4 a n = 6.

13. Napíšte model rozšírenej obnovy pre T = 4 a n = 6.

14. Akú úlohu možno riešiť pomocou modelu rozšírenej obnovy a aké hodnoty musíme mať

zadané, aby sme mohli model riešiť?

Literatúra k 2. kapitole

1. BAŠTA, A., ROLLO, J. Metody operační analýzy II. Praha: Vydavatelství ČVUT, 1969.

2. IVANIČOVÁ, Z., BREZINA, I., PEKÁR, J. Operačný výskum. Bratislava: Iura Edition,

2002. 287 s. + 1 CD-ROM. ISBN 80-89047-43-2

3. IVANIČOVÁ, Z., BREZINA, I., PEKÁR, J. Prípadové štúdie z operačného výskumu.

Bratislava: Ekonóm, 1999. ISBN 80-225-1180-3

99

4. Metódy ekonomickej analýzy. Skriptá. [online]. [cit. 2010-07-30] Dostupné na

<:http://ep.tuke.sk/pdata/11195/documents/metody_ekonomickej_analyzy__pomocne_materi

aly_/metody_ekonomickej_analyzy-skripta.doc >.

5. SAKÁL, P., JERZ, V. Operačná analýza v praxi manažéra. Trnava: SP SYNERGIA, 2003.

ISBN 80-968734-3-1

6. SAKÁL, P., ŠTRPKA, A. Operačná a systémová analýza. Bratislava: SVŠT, 1983.

85-425-83

7. UNČOVSKÝ, L. Stochastické modely operačnej analýzy. Bratislava: Alfa, 1980.

8. WALTER, J. Stochastické modely v ekonomii. Praha: SNTL, 1970.

9. WALTER, J. a kol. Operační výzkum. Praha: SNTL, 1973.

100

3 MODELY HROMADNEJ OBSLUHY

Charakteristickým rysom súčasného života je, okrem iného, problém hromadnej obsluhy

(HO). Ide o také situácie, ktoré sa vyskytujú vo výrobnej i nevýrobnej sfére, kedy vznikajú

náhodne, hromadne a trvalo požiadavky na určitý druh obsluhy.

Tento jav je produktom zmien, ktoré nastali vo všetkých oblastiach ľudskej činnosti

v dôsledku neustáleho vývoja výrobných síl a neustále sa prehlbujúcej spoločenskej deľby práce

a kooperácie a ktoré sa prejavujú v zhromažďovaní stále viacerých procesov najrôznejšieho

druhu.

Zhromažďovanie procesov spočíva v tom, že v týchto procesoch sa vyskytujú prúdy

objektov, ktoré požadujú určitý druh obsluhy od iných objektov. Prúdy objektov majú obyčajne

charakter náhodných prúdov, to znamená, že počet objektov, ktoré požadujú súčasne určitý druh

obsluhy je do značnej miery závislý od náhody a taktiež trvanie obsluhy jednotlivých objektov

môže byť rôzne, v dôsledku náhodných vplyvov.

Problém HO tkvie v určení pomeru medzi objektmi obsluhovanými a obsluhujúcimi tak, aby

jednak sa zbytočne nevytváral rad (front) čakajúcich na obsluhu pred obsluhujúcimi zariadeniami

a jednak, aby obsluha bola efektívna a ekonomicky vyvážená.

Proces uspokojovania náhodne a hromadne vznikajúcich požiadaviek na obsluhu nazývame

procesom hromadnej obsluhy.

Kvantitatívnu stránku študuje tzv. teória hromadnej obsluhy, za účelom vytvoriť

matematické modely, vzťahy, ktoré by umožnili charakterizovať kvalitu procesu HO.

Teória hromadnej obsluhy (THO) sa ako súčasť počtu pravdepodobnosti vyvíjala dávno

pred vznikom operačnej analýzy: jej zakladateľ, dánsky inžinier Erlang, aplikoval THO pred 1.

svetovou vojnou na problémy telefónnej prevádzky. Neskôr, okolo roku 1930, bol prácou

matematikov Kolmogorova a Chinčina spresnený a rozvinutý matematický aparát THO ako

súčasti teórie stochastických procesov.

Matematické modely THO sú vždy dynamické a väčšinou stochastické (s náhodným

vznikom požiadaviek na obsluhu a náhodným trvaním obsluhy).

101

Matematický aparát THO je veľmi rozsiahly, tvoria ho okrem počtu pravdepodobnosti

špeciálne teórie stochastických procesov a ďalšie časti matematiky (diferenciálne rovnice,

integrálne rovnice, Laplaceova transformácia atď.)

3.1 ZÁKLADNÉ POJMY THO

Medzi základné pojmy THO patria:

- Požiadavka – požiadavka na uspokojenie akejkoľvek potreby. Zovšeobecňuje všetky možné

druhy objednávok obsluhy, ktoré uplatňujú najnovšie objekty. Stotožňujeme ju s jej

nositeľom.

- Zdroj požiadaviek – vytvára ho množina objektov, ktoré sú potencionálnymi nositeľmi

požiadaviek. Zdroj požiadaviek je nekonečný (neobmedzený), ak pravdepodobnosť vzniku

požiadavky nezávisí od počtu objektov, ktoré sú práve v obsluhe. V opačnom prípade

považujeme zdroj požiadaviek za konečný (obmedzený).

- Prúd požiadaviek (vstupný prúd) – časová postupnosť požiadaviek na obsluhu. Vytvárajú ho

okamihy vzniku požiadaviek na obsluhu. Jeho skúmanie je prioritnou úlohou z hľadiska

reorganizácie obsluhy z dôvodu jej zefektívnenia.

- Obsluha – uspokojenie požiadaviek objektov, ktoré sa predtým nachádzali v zdroji

požiadaviek, obsluhujúce objekty sa opäť obyčajne vracajú do zdroja požiadaviek bez

ohľadu na kvalitu obsluhy, ktorú v THO neuvažujeme.

- Obsluhujúci kanál (stanice, zariadenia) – objekty, ktoré vykonávajú obsluhu, pričom každý

z kanálov je schopný v ľubovoľnom okamihu obsluhovať iba jednu požiadavku.

- Uzol obsluhy – jeden alebo niekoľko obsluhujúcich kanálov usporiadaných paralelne.

- Rad (front) – množina čakajúcich požiadaviek na obsluhu. Rad sa nemusí vytvárať fyzicky

pred uzlom obsluhy. Rad charakterizujeme maximálne prípustnou dĺžkou, ktorá môže byť

obmedzená, neobmedzená alebo účelová. Môže pozostávať z tzv. trpezlivých alebo

netrpezlivých požiadaviek. Trpezlivé požiadavky čakajú v rade, až pokým nie sú obslúžené,

netrpezlivé iba určitý čas.

102

- Systém obsluhy – tvorí rad čakajúcich požiadaviek spolu s uzlom obsluhy.

- Čas obsluhy – predstavuje čas, ktorý vynaloží jeden kanál (stanica) obsluhy na obslúženie

jednej požiadavky, pričom sa predpokladá, že ak sa obsluha požiadavky, ktorá vstúpila do

systému obsluhy skončila, objednávka na obsluhu sa celkom uspokojila.

3.2 KLASIFIKÁCIA SYSTÉMOV HROMADNEJ OBSLUHY

Proces hromadnej obsluhy možno chápať ako systém cieľovo definovaný na reálnych

objektoch.

Štruktúru systému tvoria tri zložky (prvky):

- zdroj požiadaviek,

- rad (front) čakajúcich požiadaviek na obsluhu,

- uzol obsluhy

a väzby medzi nimi (obr. 3-1).

I napriek tomu, že priebeh procesu HO je v základných črtách vo všetkých prípadoch

rovnaký – požiadavky vstupujú do systému obsluhy a sú obsluhované obsluhujúcimi kanálmi –

každý SHO má svoje zvláštnosti, ktoré ho odlišujú od iného SHO.

SHO potom delíme:

1. Z hľadiska správania sa požiadavky, keď sú všetky stanice obsadené:

- systémy so stratami,

- systémy bez strát,

- systémy zmiešané.

103

Obr. 3-1 Štruktúra systému hromadnej obsluhy

Legenda: ZP – zdroj požiadaviek, F – front, KO – kanál obsluhy.

SHO so stratami – systém bez čakania charakteristický tým, že požiadavka nečaká na

začiatok obsluhy, ak sú pri jej vstupe do systému obsluhy všetky kanály obsadené, ale opustí

systém neobslúžená. Táto požiadavka je pre obsluhu v tomto systéme stratená – nevytvára rad.

SHO bez strát – systém s čakaním charakteristický tým, že požiadavka, ktorá vstúpila do

systému obsluhy, môže ho opustiť iba vtedy, keď je úplne obslúžená. Požiadavky, ktoré

prichádzajú v okamihu, keď sú všetky obsluhujúce kanály obsadené, vytvárajú rad (front) –

čakajú, kým sa nedostanú do obsluhy.

Prakticky sú možné tieto spôsoby vstupu do obsluhy:

- požiadavky sú obsluhované v takom poradí, v akom prichádzajú do systému obsluhy

(FIFO),

- požiadavky sa z radu vyberajú náhodne,

- požiadavky postupujú do obsluhy podľa priority,

- požiadavka, ktorá prišla posledná je obslúžená ako prvá (LIFO).

Zmiešané obsluhujúce systémy sú charakteristické existenciou niektorých prechodných

podmienok:

ZP F

KO

KO

KO

uzol obsluhy

104

- ohraničenie času čakania na začiatok obsluhy (ak čas čakania prekročí určitú hodnotu,

požiadavka opustí systém obsluhy neobslúžená, ak sa však v rámci určeného intervalu

obsluhy začala musí sa aj ukončiť nezávisle od trvania obsluhy),

- ohraničenie zdržania sa požiadavky v systéme obsluhy (ak celkový čas zdržania sa

požiadavky v systéme obsluhy prekročí určenú hodnotu, požiadavka opúšťa systém

obsluhy nezávisle od toho, či sa obsluha začala, alebo nie a ak sa začala, bez ohľadu na to

, či sa skončila – bežná prehliadka vlakov na železničnej stanici),

- ohraničenie dĺžky radu, ak je v rade určený počet požiadaviek, systém obsluhy každú

ďalšiu požiadavku odmietne.

2. Z hľadiska počtu obsluhujúcich kanálov (staníc) v systéme obsluhy:

- systém s konečným počtom obsluhujúcich staníc,

- systém s nekonečným počtom obsluhujúcich staníc.

3. Z hľadiska počtu požiadaviek, ktoré sa môžu súčasne nachádzať v systéme obsluhy:

- systém s ohraničeným počtom požiadaviek (rad čakajúcich požiadaviek je konečný) –

uzavreté SHO,

- systém s neohraničeným počtom požiadaviek (nekonečný rad) – otvorené systémy HO.

4. Podľa usporiadania kanálov obsluhy:

- systém s jednofázovou obsluhou – obsluhujúce kanály sú usporiadané paralelne, každý

kanál je schopný obslúžiť kompletne požiadavku,

- systémy s viacfázovou obsluhou – obsluhujúce kanály sú usporiadané sériovo alebo

zmiešane, požiadavka, aby bola úplne obslúžená, musí prejsť postupne cez všetky kanály

v danom poradí.

5. Podľa toho, v akom poradí môžu požiadavky prechádzať kanálom:

- usporiadané systémy (ak sú v ňom obsluhujúce kanály očíslované, požiadavka, ktorá je

na rade, postúpi najprv k prvému kanálu, ak je tento obsadený k druhému kanálu, atď.),

- neusporiadané systémy (ostatné).

105

6. Podľa správania sa:

- deterministické (ak sú vopred presne známe okamihy vstupov požiadaviek do systému

obsluhy a vopred známy aj čas obsluhy každej požiadavky),

- stochastické (ak intervaly medzi vstupmi dvoch za sebou nasledujúcich požiadaviek do

systému obsluhy sú náhodné čísla a čas obsluhy je náhodnou veličinou). Nás zaujímajú!

3.2.1 Parametre a ukazovatele efektívnosti práce systémov hromadnej obsluhy

Proces HO, ako každý systém, možno charakterizovať jednak parametrami procesu, jednak

veličinami, ktoré sú funkciou parametrov procesu a charakterizujú samotný priebeh procesu.

Parametre procesu musíme poznať, ak chceme skúmať priebeh procesu. Veličiny

charakterizujúce priebeh procesu sú výsledkom tohto skúmania.

Parametre sa vzťahujú na jednotlivé prvky procesu obsluhy a charakterizujú ich nasledovne:

- zdroj požiadaviek – intenzitou vstupu požiadaviek do systému obsluhy, ktorá predstavuje

priemerný počet požiadaviek, ktoré vstúpia do systému za časovú jednotku,

- uzol obsluhy – intenzitou obsluhy, ktorá predstavuje priemerný počet požiadaviek,

obslúžených jedným nepretržite pracujúcim kanálom za časovú jednotku,

- rad (front) – dĺžka frontu, maximálne prípustný počet požiadaviek čakajúcich v rade na

obsluhu,

- intenzita prevádzky - podiel intenzity vstupu a intenzity obsluhy (tiež prevádzkový

koeficient).

Veličiny, charakterizujúce priebeh procesu HO nazývame ukazovatele efektívnosti práce

SHO. Sú to číselné charakteristiky typu stredných hodnôt a pravdepodobností. Medzi najčastejšie

používané patria:

- pravdepodobnosť, že všetky obsluhujúce kanály sú voľné,

- pravdepodobnosť, že je obsadených práve k kanálov,

- pravdepodobnosť, že sú obsadené všetky kanály,

- pravdepodobnosť, že čas čakania na začiatok obsluhy je menší alebo väčší ako určitá

hodnota,

106

- priemerný počet obsadených kanálov,

- priemerný počet voľných kanálov,

- priemerný počet požiadaviek čakajúcich na začiatok obsluhy (priemerná dĺžka radu),

- priemerný počet požiadaviek nachádzajúcich sa v obsluhujúcom systéme,

- priemerný čas čakania na začiatok obsluhy,

- priemerný čas zdržania sa požiadavky v obsluhujúcom systéme,

- koeficient prestoja obsluhujúceho kanálu,

- koeficient využitia obsluhujúceho kanálu,

- koeficient prestoja obsluhovanej požiadavky a pod.

Tieto a ďalšie číselné charakteristiky slúžia buď na kontrolu, či navrhnutý obsluhujúci

systém má predpoklady na splnenie požiadaviek, ktoré budú naň kladené, alebo na rozhodovanie

pri výbere najvhodnejšieho systému vzhľadom na určité kritérium z viacerých možných

alternatív organizácie systému.

Ktoré číselné charakteristiky použijeme, závisí od SHO a od účelu analýzy.

3.3 MODELY SHO

Všeobecne modelom SHO nazývame také zjednodušené znázornenie tohto systému, ktoré

odráža jeho podstatné a reálne vlastnosti.

Vytvorenie modelu SHO predpokladá špecifikovať tri základné fázy procesu HO:

1. Vstupný prúd.

2. Proces obsluhy.

3. Čakanie požiadaviek na obsluhu.

1. Vstupný prúd požiadaviek

Zaujímajú nás tieto otázky:

• Akú povahu má prúd požiadaviek, či je:

− deterministický,

107

− stochastický.

• Aký je celkový počet požiadaviek v prúde:

− konečný (ohraničený),

− nekonečný (neohraničený).

• Aký je prúd z hľadiska požadovanej obsluhy jednotlivými požiadavkami:

− rovnorodý (ak všetky požiadavky vyžadujú rovnaký druh obsluhy),

− rôznorodý (opačne).

• Či požiadavky vstupujú do systému jednotlivo alebo po skupinách.

• Či intenzita vstupu je konštantná, alebo sa mení v priebehu procesu obsluhy.

V praxi sa vyskytujú rôzne kombinácie uvedených znakov.

Z hľadiska modelovania procesov vstupu požiadaviek do systému obsluhy sú vhodné prúdy,

ktoré majú tieto tri vlastnosti:

� sú stacionárne,

� sú ordinárne,

� sú bez následných účinkov.

Stacionárny prúd, to znamená, že pravdepodobnosť vstupu určitého počtu požiadaviek za

určitý časový interval )( 12 tt − nezávisí od určenia počiatku časového úseku 1t , ale od rozdielu

)( 12 tt − , čiže od dĺžky intervalu.

Ordinárny prúd, to znamená, že súčasný vstup viac ako jednej požiadavky do systému

obsluhy je prakticky nepravdepodobný; matematicky môžeme vlastnosť ordinárnosť vyjadriť

takto:

0)(

lim0

=∆∆

→∆ t

tt

ϕ ,

kde )(tϕ je pravdepodobnosť vstupu (vzniku) najmenej dvoch požiadaviek za časový interval t∆ .

Bez následných účinkov, to znamená, že počet požiadaviek, ktoré vstúpili do systému

obsluhy po uplynutí časového okamihu t, nezávisí na tom, aký počet požiadaviek vstúpil do

systému do okamihu t.

108

Prúdy s uvedenými vlastnosťami sa v praxi často vyskytujú. Nazývajú sa najjednoduchšie

prúdy alebo tiež Poissonove prúdy, pretože náhodná veličina predstavujúca počet požiadaviek

vzniknutých za časový interval (0, t) má Poissonovo rozdelenie pravdepodobnosti s parametrom

tλ .

Pravdepodobnosť, že za časový interval (0, t) vstúpi práve k požiadaviek:

2,...) 1, 0,( !

)()( == − ke

k

ttP t

k

kλλ

[3.1]

Z matematickej štatistiky je známe, že parameter Poissonovho zákona sa rovná práve

strednej hodnote )(kEt aj disperzii )(kDt Poissonovho rozdelenia pravdepodobnosti:

∑∑ ∑∞

=

−∞

=

∞

=

− =−

====1

1t-

1 1 )!1(

)( e

!

)()()()(

k

k

k k

tk

ktt tk

tte

k

tktkPkDkE λλλλ λλ

tk

ke

k

t λλ =−

−

∞→− )!1(

)(lim

1

)1(

(Súčet ∑∞

=

−

−1

1

)!1(

)(

k

k

k

tλ je rozvojom funkcie teλ podľa exponentu λt do radu).

Ak zvolíme t=1, potom λ== )()( 11 kDkE . Čiže λ predstavuje strednú hodnotu počtu

požiadaviek, ktoré vstúpili do systému obsluhy za časovú jednotku = intenzite vstupného prúdu

(intenzita vstupu). Ak poznáme λ, potom máme najjednoduchší prúd determinovaný.

Všeobecne platí: Ak náhodná veličina predstavujúca počet požiadaviek, ktoré vzniknú za

časový interval (0,t) má Poissonovo rozdelenie, potom časové intervaly medzi vznikom dvoch po

sebe nasledujúcich požiadaviek sú náhodné veličiny s exponenciálnym rozdelením.

Dôkaz: zo (3.1) platí: ak k=0, potom pravdepodobnosť, že za časový interval (0,t) nevznikne ani

jedna požiadavka:

tt eet

tP λλλ −− ==!0

)()(

0

0 .

Potom pravdepodobnosť, že počas intervalu (0,t) vznikne aspoň jedna požiadavka, t.j.:

109

t

kkk etPtP λ−

∞

=≥ −==∑ 1)()(

11 .

Ale rozdiel )1( te λ−− je distribučnou funkciou exponenciálneho rozdelenia:

0)( e-1

0)( pre 0 )()(t- ≥

<=<=t

ttPtFλ

τ .

Slovne interpretované: F(t) je pravdepodobnosť, že časový interval τ medzi vznikom dvoch po

sebe nasledujúcich požiadaviek bude menší alebo rovný ako hodnota t.

Prevažná väčšina matematických modelov, ktoré sa uvádzajú v odbornej literatúre je

konštruovaná na základe predpokladu, že počet požiadaviek, ktoré vstúpia do systému obsluhy za

určitý časový interval, je náhodná veličina riadiaca sa Poissonovým zákonom rozdelenia.

Tento predpoklad musíme v danom konkrétnom prípade preskúmať. Postupujeme dvoma

spôsobmi:

- na základe kvalitatívnych úvah zdôvodníme určité vlastnosti prúdu požiadaviek, takéto

úvahy sú nepresné a používajú sa pri vypracovaní projektových štúdií,

- na základe využitia metód matematickej štatistiky odhadneme povahu vstupného prúdu a

štatistickým spracovaním výsledkov, získaných o vstupnom prúde z evidencie, z noriem

alebo výberovým štatistickým šetrením zostavíme empirické rozdelenie a pomocou testov

dobrej zhody zisťujeme, či možno aproximovať toto empirické rozdelenie nejakým

teoretickým rozdelením.

Ak zistíme na základe štatistických testov, že na opis vstupného prúdu nemožno použiť

žiadne z teoretických rozdelení, ktoré sú predpokladom použitia existujúcich matematických

modelov na riešenie, použijeme metódu simulácie. Táto metóda však predpokladá poznať

empirické rozdelenie početnosti vstupného prúdu.

2. Proces obsluhy

Zaujímajú nás pri jeho riešení hlavne tieto otázky:

• Akú povahu má čas obsluhy jednej požiadavky:

− deterministický,

− stochastický.

110

• Či je intenzita obsluhy konštantná alebo sa mení v priebehu času obsluhy.

• Či ide o jednofázovú alebo viac fázovú obsluhu.

• Koľko je kanálov obsluhy; či je stály alebo sa môže meniť v priebehu procesu obsluhy.

• Či sú kanály z hľadiska poskytovaného druhu obsluhy:

− rovnorodé,

− nerovnorodé.

• Či ide o usporiadaný alebo neusporiadaný systém obsluhy (potom nás zaujíma predpis

obsadzovania kanálov požiadavkami).

• Či je kanál rovnako prístupný všetkým požiadavkám, ktoré vstupujú do obsluhy.

• Aká je prevádzková spoľahlivosť kanálov, či sú absolútne spoľahlivé, alebo sa môžu pokaziť

počas prevádzky.

Najdôležitejšia otázka je čas obsluhy, ktorý charakterizuje prácu každého jednotlivého

kanála z hľadiska toho, koľko času vynaloží daný kanál na obslúženie jednej požiadavky. Čas

obsluhy charakterizuje teda iba priepustnosť jednej obsluhujúcej stanice a nemá nič spoločného

s hodnotením kvality obsluhy.

Vo všeobecnosti považujeme čas obsluhy za náhodnú veličinu. Čím je náhodnosť

ovplyvnená?

- ak obsluhu vykonáva človek, čas obsluhy je aj za absolútne ideálnych požiadaviek rôzny

u každého jednotlivca (závisí od zručnosti, zodpovednosti, momentálnej fyzickej a duševnej

disponovanosti a pod.),

- ak obsluhu vykonáva stroj, môže sa čas obsluhy meniť v závislosti od prevádzkových

charakteristík, typu stroja, atď.

Modely SHO sú v prevažnej väčšine zostavované na základe predpokladu, že čas obsluhy

má:

• exponenciálne rozdelenie,

• Erlangovo rozdelenie ,

• Je deterministická veličina.

Z hľadiska teórie i praxe v oblasti modelovania SHO má veľký význam exponenciálny zákon

rozdelenia času obsluhy. Predpoklad o jeho existencii je opodstatnený najmä pri takých

111

obsluhách, kde pravdepodobnosť, že obsluha sa končí krátko po začatí je veľká a kde rozdelenia

tej časti obsluhy, ktorá ešte zostáva, nezávisí od toho, ako dlho už obsluha trvá.

V prípade exponenciálneho rozdelenia času obsluhy má distribučná funkcia času obsluhy

F(t) (t. j. pravdepodobnosť, že požiadavka bude uspokojená v čase t) tvar:

1)()( 0tetPtF µτ −−=≤= , kde

0τ - čas obsluhy,

µ - parameter rozdelenia, predstavuje priemerný počet požiadaviek obslúžených jedným

kanálom za časovú jednotku - intenzita obsluhy,

µ1

- stredná hodnota času obsluhy jednej požiadavky - priemerný čas obsluhy.

Predpoklad exponenciálneho rozdelenia času obsluhy je motivovaný snahou čo najviac

zjednodušiť konštrukciu modelov SHO. Overenie tohto predpokladu robíme analogicky ako pri

vstupnom prúde:

− kvalitatívnymi úvahami,

− metódami matematickej štatistiky.

Ak máme preskúmaný vstupný prúd a proces obsluhy určitého SHO, môžeme daný systém

označiť v literatúre bežne používaným Kendallovým spôsobom:

typ vstupného prúdu / typ obsluhy / počet kanálov obsluhy.

Jednotlivé typy vstupných prúdov a typy obsluhy sa označujú takto:

M - označuje Poissonov proces vstupu a exponenciálne rozdelenie času obsluhy.

nE - Erlangov proces vstupu a Erlangovo rozdelenie času obsluhy n-tého stupňa.

GI - všeobecné rozdelenie vstupov.

G - všeobecné rozdelenie času obsluhy.

D - deterministický vstup a deterministická obsluha.

Pod pojmom „všeobecné rozdelenie“ sa tu rozumie, že neexistujú žiadne konkrétne

predstavy o funkcii rozdelenia pravdepodobnosti požiadaviek a obsluhy.

112

Napr.: SHO s najjednoduchším vstupným prúdom požiadaviek, s exponenciálnym rozdelením

času obsluhy a dvoma paralelnými kanálmi obsluhy zapíšeme takto: M/M/2.

3. Proces čakania

Treba zistiť:

• ako sa správajú požiadavky vstupujúce do systému obsluhy, keď sú všetky kanály obsadené,

či sú ochotné čakať na obsluhu – trpezlivé požiadavky alebo nevstúpia do systému obsluhy –

netrpezlivé požiadavky,

• či je rad čakajúcich požiadaviek ohraničený, alebo nie,

• či sa požiadavka môže zdržať v systéme obsluhy ľubovoľne dlho, alebo či je čas zdržania

limitovaný,

• akým spôsobom vstupujú požiadavky do obsluhy z radu, atď.

Výsledkom skúmania 3 zložiek procesu HO je určenie základných parametrov modelu SHO.

MSHO sa zostavujú za účelom riešenia dvoch základných typov úloh:

- na základe známych zadaných alebo zistených parametrov systému určujú sa hodnoty

číselných charakteristík systému,

- optimalizuje sa činnosť systému prostredníctvom zmeny parametrov systému.

Na riešenie týchto úloh sa najčastejšie používajú matematické a simulačné modely.

3.3.1 Matematické modely SHO

MM SHO – je matematické vyjadrenie funkčných závislostí medzi zistenými

charakteristikami efektívnosti práce systému HO a medzi veličinami určujúcimi podmienky práce

systému, t.j. parametrami systému.

Na to sa používajú prostriedky matematickej analýzy a teórie pravdepodobnosti a postup

riešenia je nasledovný:

113

- na základe špecifikácie troch základných fáz procesu HO zostaví sa matematický

(analytický) model SHO v tvare diferenciálnych rovníc,

- analytickým riešením tohto modelu sa získavajú vzťahy na výpočet hodnôt číselných

charakteristík systému.

Konštrukciou a riešením MM SHO sa zaoberá teória HO, ktorá vytvorila už veľa modelov

jednoduchších i špeciálnych.

Pri zostavovaní matematických modelov sa vychádza z presne definovaných hypotéz o

modelovom systéme. Model, ktorý takto zostavíme, platí iba za predpokladu, že platia hypotézy,

na základe ktorých bol model zostrojený.

Nevýhody MM SHO:

� Vzťahy na výpočet hodnôt číselných charakteristík získané analytickým riešením modelov

sú značne zložité a ich praktické použitie je bez výpočtovej techniky a bez nomogramov a

tabuliek na tento účel vyhotovených veľmi ťažkopádne.

� Zložitejšie modely sa analyticky nedajú vôbec riešiť alebo ich riešenie je veľmi náročné.

� Vychádzajú z predpokladu, že náhodné veličiny vystupujúce v systéme majú exponenciálne

rozdelenie.

� Ak náhodné veličiny nemožno aproximovať so žiadnym zo štandardných rozdelení, je

analytický postup nerealizovateľný aj pri najjednoduchších prípadoch HO.

� Sú ťažko použiteľné alebo vôbec nepoužiteľné aj vtedy, keď sú zložitejšie pravidlá činnosti

systému.

Tieto nevýhody sú ľahko odstrániteľné simulačnými modelmi.

Postup pri zostavovaní matematických modelov SHO a analytické riešenie týchto modelov si

ukážeme pri modelovaní jednokanálových a viackanálových systémov.

3.3.1.1 Modely jednokanálových systémov typu M/M/1

M- Poissonov proces vstupu a exponenciálne rozdelenie času obsluhy

Predpokladajme, že treba zostaviť MM systému M/M/1 s nasledovnými vlastnosťami:

− vstup (prúd) požiadaviek je najjednoduchší prúd, neohraničený s intenzitou vstupu λ,

114

− čas obsluhy je náhodná veličina, ktorá má exponenciálny zákon rozdelenia s intenzitou

obsluhy µ,

− ak je kanál obsadený, požiadavky vytvárajú rad a čakajú, až pokým nie sú obslúžené,

− dĺžka radu je neohraničená,

− požiadavky vytvárajúce rad sa obsluhujú v poradí, v ktorom sa postavia do radu,

− kanál obsluhy je z hľadiska prevádzky absolútne spoľahlivý.

Riešením tohto modelu máme vytvoriť vzorce na výpočet základných charakteristík systému,

ako sú:

− priemerný počet požiadaviek v systéme n ,

− priemerný počet požiadaviek vo fronte jn ,

− priemerný čas zdržania sa požiadavky v systéme sT ,

− priemerný čas čakania požiadavky vo fronte fT .

Analytickým modelom tohto systému je sústava lineárnych diferenciálnych rovníc, ktorá

vyjadruje vzťah medzi časom čakania a časom obsluhy. Túto sústavu môžeme zostaviť na

základe pravdepodobnostného opisu stavov, v ktorých sa môže obsluhujúci systém v každom

okamihu nachádzať. Používame pri tom tieto označenia:

n - počet požiadaviek, ktoré sa nachádzajú v systéme v čase t,

fn - počet požiadaviek, ktoré sú v čase t vo fronte,

)t(Pn - pravdepodobnosť, že sa nachádza n požiadaviek v systéme v čase t,

∆t - ľubovoľne malý časový interval,

λ∆t - pravdepodobnosť, že jedna požiadavka vstúpi do systému v časovom intervale (t, t+∆t),

µ∆t - pravdepodobnosť, že za časový interval (t, t+∆t) bude obslúžená práve jedna požiadavka

(čiže vystúpi zo systému),

nS - stav systému, ak je v ňom v čase t práve n požiadaviek.

Predpokladajme, že určitý systém je už v činnosti počas intervalu (0, t) a že v okamihu t sa

dostal do určitého stavu. Nás bude zaujímať, aká je pravdepodobnosť, že sa systém dostane

z tohto stavu za určitý časový interval ∆t do stavu nS :

115

)( ttPn ∆+

Na základe poznatkov z teórie pravdepodobnosti vyjadríme pravdepodobnosť )( ttPn ∆+ , t.j.

pravdepodobnosť, že v čase (t+∆t) bude v systéme práve n požiadaviek ako súčet štyroch

zložených pravdepodobností:

)()1()(P

)1()()1)(1)(()(

1-n

1

tttPttt

tttPtttPttP

n

nnn

∆∆+∆−∆++∆+∆+∆−∆−=∆+ +

µλµλλµµλ

[3.2]

)1( t∆− λ - pravdepodobnosť, že počas intervalu ∆t neprišla do systému požiadavka,

)t1( ∆µ− - pravdepodobnosť, že počas intervalu ∆t nebola obslúžená systémom požiadavka, čiže

zo systému nevystúpila požiadavka.

Máme pritom stále na mysli ordinárny prúd, t.j., že za ľubovoľne malý okamžik vstúpi do

systému práve 1 požiadavka. To znamená, že systém sa mohol dostať do stavu nS iba zo stavov

1n1-n ,S,S +nS .

Po jednoduchej matematickej úprave rovnice (3.2) a vynechaním sústav obsahujúcich (∆t)²

dostaneme:

[ ] )()(1)()(P

)()()()()(

111n

1

ttPttPtttPtt

ttPttPtPttPttP

nnn

nnnnn

∆+∆+∆−∆−=∆++∆−∆−+∆=∆+

−++

−

λµµλµµλλ

. [3.3]

Predelíme celú rovnicu [3.3] ∆t a dostaneme:

)()()()()()(

11 tPtPtPt

tPttPnnn

nn+− ++−=

∆−∆+ µµλλ .

Za predpokladu, že 0→∆t , získame pre spojitú funkciu )(tPn diferenciálnu rovnicu:

)()()()()(

1)0(

1 tPtPtPdt

tdPnn

nn

n+

>− µ+µ+λ−λ= . [3.4]

116

Analogicky by sme mohli odvodiť i diferenciálnu rovnicu pre n=0:

(t))()(

100 PtPdt

tdP µλ +−= . [3.5]

Ak pripíšeme k rovnici [3.4] rovnicu [3.5], dostaneme sústavu lineárnych diferenciálnych rovníc:

0n pre (t),P(t)P-(t)P

1,2,...n (t),P(t))P(-(t)P(t)P

100

1nn1-nn

=µ+λ=′=µ+µ+λλ=′ + , [3.6]

ktorá je matematickým modelom uvažovaného systému.

Riešenie takejto sústavy je zložité. Ukážeme si iba spôsob stacionárneho (limitného) riešenia.

Predpokladajme:

konšt.p(t)Plim nnt

==∞→

n = 0, 1, 2, ... , [3.7]

- pričom pn sú konštantné čísla nezávislé na čase (pravdepodobnosti).

Prechod k limitnému riešeniu je opodstatnený vtedy, keď systém pracuje dostatočne dlho a je

už v ustálenom (stacionárnom) stave. V takomto prípade pravdepodobnosť, že v systéme je práve

n požiadaviek nezávisí od času. Pre ustálený stav platí: 0,1,2,...n , )(Pn == npt a

0).()( =′=′ konšttPn .

Potom sústavu [3.6] zmeníme na sústavu homogénnych lineárnych rovníc:

2,... 1, pre )(p0

0 pre 0

11-n

10

=++−==+−=

+ npp

npp

nn µµλλµλ

, [3.8]

kde ,...,...,, 10 nppp sú neznáme hodnoty. Postupným dosadzovaním ich môžeme vyjadriť ako

funkciu 0p . Z prvej rovnice [3.8] dostaneme:

01 ppµλ=

117

Pre n = 1:

2000

210

0

)(0

pppp

ppp

µµλµ

µλλλ

µµλλ

+−−=

++−=

, 0

2

2 pp

=

µλ

atď. až:

M

p 0n pn

=

µλ

. [3.9]

Vzťah na výpočet hodnoty p0 získame na základe skutočnosti, že v nejakom stave sa

systém musí nachádzať a nemôže sa súčasne nachádzať v dvoch alebo viacerých stavoch, čiže

všetky možné stavy, v ktorých sa systém môže nachádzať, vytvárajú úplný súbor javov, a teda

musí platiť:

∑∞

=

=++++=0

20 1)...1(

n

nn pp ρρρ , [3.10]

kde µλρ = - intenzita prevádzky, prevádzkový koeficient procesu HO.

Z [3.10] vyjadríme 0p :

...)...1(1

0

120

−∞

=

−

=+++++= ∑n

nnp ρρρρ , [3.11]

kde ...)...1( 2 +++++ nρρρ je nekonečný geometrický rad s kvocientom ρ.

Aby front v systéme nerástol do nekonečna, musí byť ρ<1, t.j. intenzita vstupu λ musí byť

menšia ako intenzita obsluhy µ: λ<µ.

Táto podmienka však zaručuje, že geometrický rad v [3.11] je konvergentný, a teda musí

preň platiť, že:

1

1

0∑

∞

= −=

n

n

ρρ . [3.12]

118

Potom ρ−= 10p , [3.13]

pričom p0 je pravdepodobnosť, že v systéme nebude ani jedna požiadavka.

A dosadením 0p do [3.9] dostaneme:

)1( nnp ρρ−= n = 1, 2, .... [3.14]

Tým sme získali riešenie sústavy [3.8], ktoré sa nazýva aj stacionárnym riešením. Na základe

tohto riešenia môžeme odvodiť vzorce pre výpočet základných charakteristík systému:

a) priemerný počet požiadaviek v systéme:

( )

11)1(

1)1(

1)1(

)1(1)1(.

2

0 0 1 1

1

nd

d

d

dnnpnn

n n n n

nnnn

=−

=−

=−

=−

−=−

⋅−=

=−=−=−==∑ ∑ ∑ ∑∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

−

λµλ

µλ

µλ

ρρ

ρρρ

ρρ

ρρρ

ρρ

ρρρρρρρ

[3.15]

b) priemerný počet jednotiek vo fronte:

1

11

)1(.)1(

22

1 10

1

λµλ

µρρρ

ρρρ

−⋅=

−=−

−=−=

=−−=−=−=∑ ∑∑∞

=

∞

=

∞

=

n

pnppnpnnn n

nn

nnf

[3.16]

c) priemerný čas zdržania sa požiadavky v systéme:

11

λµλµλ

λλ −=

−⋅== n

T s [3.17]

d) priemerný čas čakania požiadavky vo fronte:

1

λµµλ

λ −⋅== f

fn

T [3.18]

119

Príklad 3.1:

Na chladiacich aparatúrach, ktoré sa montujú do absorpčných chladničiek, sa po ich úplnom

zvarení vykonáva tlaková skúška na overenie tesnosti zvarovaných spojov. Malé netesnosti

zvarov sa kontrolujú v skúšobnej vani naplnenej čistou vodou tak, že natlakovaná aparatúra na

predpísaný tlak sa po uzatvorení ponorí do vody. Vo vode sa sleduje unikanie vzduchu po dobu

3 až 4 minúty, aby sa mohli odhaliť aj najmenšie netesnosti. Do skúšobne prichádzajú chladiace

aparatúry v nepravidelných intervaloch a priemerne za jednu zmenu príde 76 ks. Výroba prebieha

nepretržite, t.j. každý nasledujúci deň, resp. zmenu prichádzajú ďalšie aparatúry. Kontrolu

vykonáva jeden pracovník, ktorý je schopný skontrolovať za jednu zmenu 80 ks aparatúr.

Situáciu možno považovať za proces HO, kde požiadavkou je kontrola aparatúry, zdrojom

požiadaviek je zvarovňa aparatúr, obsluha má charakter kontroly a kanálom obsluhy je

pracovník vykonávajúci kontrolu. Za predpokladu, že intervaly medzi príchodom dvoch za sebou

nasledujúcich aparatúr a intervaly obsluhy majú exponenciálne rozdelenie, možno chápať tento

proces ako systém typu M/M/1:

− s neohraničeným, rovnorodým prúdom požiadaviek s intenzitou vstupu λ=76 ks/zmena a bez

priorít,

− s intenzitou obsluhy µ=80 ks/zmena,

− s neohraničenou dĺžkou frontu,

− aparatúry sa kontrolujú v takom poradí, v akom prišli do skúšobne.

Potom základne charakteristiky M/M/1:

a) priemerný počet aparatúr v skúšobni:

197680

76 =−

=−

=λµ

λn ,

b) priemerný počet aparatúr čakajúcich na kontrolu v skúšobni:

05,18)7680(80

761 22

=−

=λ−µ

λ⋅µ

=fn ,

c) priemerný čas zdržania sa aparatúry v skúšobni:

120

zmeny 25,076

19 ==λ

= nT s ,

d) priemerný čas čakania aparatúry v skúšobni na kontrolu je:

zmeny 24,076

05,18 ==λ

= ff

nT .

3.3.1.2 Modely viackanálových systémov typu M/M/S

A – Model systému so stratami – M/M/S

Predpokladajme, že pre systém HO s ďalej uvedenými vlastnosťami treba zostaviť

matematický model systému a riešením tohto modelu získať vzťahy na výpočet základných

charakteristík modelového systému, ako sú:

− pravdepodobnosť odmietnutia obsluhy (pravdepodobnosť straty požiadavky), t.j.

pravdepodobnosť, že všetky kanály sú obsadené,

− priemerný počet obsadených kanálov.

SHO má tieto vlastnosti:

− prúd požiadaviek je nekonečný, rovnorodý, najjednoduchší prúd s intenzitou vstupu λ,

− počet paralelne obsluhujúcich kanálov je s, pričom s je konečné číslo, a kanály sú

z hľadiska poskytovanej obsluhy ekvivalentné a rovnako dostupné,

− čas obsluhy jednej požiadavky je náhodná veličina s exponenciálnym zákonom rozdelenia a

s intenzitou obsluhy µ,

− každý kanál môže súčasne obslúžiť iba jednu požiadavku,

− ak v okamihu vstupu požiadavky do systému sú niektoré kanály voľné, požiadavka môže

vstúpiť na ľubovoľný z nich,

− požiadavka, ktorá vstupuje do systému v okamihu, keď sú všetky kanály obsadené nečaká,

ale odíde neobslúžená,

− kanály obsluhy sú z hľadiska prevádzky absolútne spoľahlivé.

121

Na zostavenie matematického modelu použijeme znovu pravdepodobnostný opis stavov,

v ktorých sa systém môže v každom okamihu nachádzať. Uvažovaný systém sa môže nachádzať

v jednom z týchto stavov:

− všetky kanály sú voľné,

− jeden kanál je obsadený,

− dva kanály sú obsadené, atď.,

− všetkých s kanálov je obsadených.

Počet všetkých stavov, v ktorých sa môže systém nachádzať je, s+1.

Použijúc známu symboliku, môžeme pravdepodobnosti opisu stavov formulovať takto:

− pravdepodobnosť, že v čase (t+∆t) nie je obsadený ani jeden kanál:

ttPttPttP ∆µ+∆λ−=∆+ )()1)(()( 100 ,

− pravdepodobnosť, že v čase (t+∆t) je obsadených práve k kanálov:

1-sk1 pre )1()(

)1)(()()(

1

1

≤≤∆+++∆−∆−+∆=∆+

+

−

tktP

tkttPttPttP

k

kkk

µµλλ

,

− pravdepodobnosť, že všetkých s kanálov je obsadených v čase (t+∆t):

)1)(()()( 1 tstPttPttP sss ∆µ−+∆λ=∆+ − .

V rovniciach chýbajú tie členy, ktoré obsahujú výrazy s (∆t)², ďalej platí:

µk∆t – pravdepodobnosť, že za čas (t+∆t) bude obslúžená jedna požiadavka, ak je v systéme

k požiadaviek,

µ(k+1)∆t – pravdepodobnosť, že za čas (t+∆t) bude obslúžená jedna požiadavka, ak je v systéme

(k+1) požiadaviek,

µs∆t – pravdepodobnosť, že za čas (t+∆t) bude obslúžená jedna požiadavka, ak je v systéme

s požiadaviek.

122

Ak predelíme tieto rovnice s ∆t a urobíme jednoduchú matematickú úpravu, dostaneme:

)()()()(P

1-sk1 pre ),(1)P(k

)()()()()(

)()()()(

1s

1k

1

1000

tsPtPt

tPtt

t

tPktPt

tPttP

tPtPt

tPttP

sss

kkkk

µλ

µ

µλλ

µλ

−=∆

−∆+≤≤++

++−=∆

−∆+

+−=∆

−∆+

−

+

−

[3.19]

Za predpokladu, že ∆t sa limitne blíži k nule, dostaneme z [3.19], pre spojité funkcie

)( ),...,( ),( s10 tPtPtP sústavu (s+1) lineárnych diferenciálnych rovníc:

)()1()()()()(

)()()(

11

100

tPktPktPtP

tPtPtP

kkkk +− +++−=′+−=′

µµλλµλ

pre 1sk1 −≤≤

)()()( 1 tsPtPtP sss µ−λ=′ − . [3.20]

Táto sústava [3.20] predstavuje model SHO s paralelne usporiadanými kanálmi. Z nej možno

vypočítať )(tPk pre k=0, 1, 2, ..., s ako funkcie parametrov λ a µ. Obmedzíme sa i tu iba na

limitné riešenie, ak predpokladáme:

) 2,..., 1, 0,( )(lim skptP kkt

==∞→

, [3.21]

dostaneme sústavu lineárnych homogénnych algebrických rovníc:

0

1)-(1

)1()(0

0

1-s

11

0110

s

kkk

spp

sk

pkpkp

pppp

µλ

µµλλµλµλ

−=≤≤

+++−=

=→+−=

+− [3.22]

Sústavu [3.22] riešime zavedením substitúcie:

123

1-1 )1( 11

1

skpkpx

kppx

kkk

kkk

≤≤+−=−=

+−

−

µλµλ

.

Tým zmeníme sústavu [3.22] na sústavu premenných kx , ktorá bude mať tvar:

0

1-1 pre 0

0

s

1

1

=≤≤=−

=

+

x

skxx

x

kk .

Riešením tejto sústavy zistíme, že 0...21 ==== sxxx .

To však znamená, že kk kpp µλ =−1

a skpk

p kk 2,..., 1, , 1 == −µλ

alebo

02

02

12

01

!

12.1

1

2

ps

p

ppp

pp

s ρ

ρρρ

=

==

=

.

Pre ľubovoľné k platí:

!

10p

kp k

k ρ= , k = 1, 2, ..., s [3.23]

a) kde sp - pravdepodobnosť odmietnutia požiadavky, t.j. pravdepodobnosť, že všetky kanály

budú obsadené:

0!

1p

sp s

s ρ=

b) priemerný počet obsadených kanálov:

01

011 )!1(!

. pk

pk

kpkks

k

kks

k

s

kk ∑∑∑

=== −=== ρρ

.

124

Platí:

00 0

0

1

1

pp

p

p

s

k

k

s

kk

=

=

∑

∑

=

=

∑ ∑=

−

=

==s

k

s

k

kk

kpk0

1

00

0 !

1p tohoz ,

1

!

1 ρρ .

Aj napriek tomu, že vzťah [3.23] bol získaný za predpokladu, že čas obsluhy má

exponenciálne rozdelenie, B.A. Sevastjanov dokázal, že vyhovuje aj ľubovoľnému zákonu

rozdelenia času obsluhy.

Príklad 3.2:

Prúd požiadaviek vstupujúcich do telefónnej ústredne je najjednoduchším prúdom

s priemerným počtom volaní za minútu 2.

Dĺžka telefónneho rozhovoru je náhodnou veličinou. Nech pravdepodobnosť dĺžky

rozhovoru t minút je tetF 21)( −−= , teda predpokladáme, že dĺžka rozhovoru má exponenciálne

rozdelenie s parametrom µ = 2.

Predpokladajme, že keď v okamihu vstupu volania sú všetky spojovacie linky obsadené,

účastník bude odmietnutý. Aký počet spojovacích liniek by mala mať ústredňa, aby

pravdepodobnosť odmietnutia nebola väčšia ako 0,01? ( )01,0≤sp ,

Počet spojovacích liniek

0/ ppk kp kpk.

0 1,000 0,368 0,000 1 1,000 0,368 0,368 2 0,500 0,184 0,368 3 0,167 0,061 0,183 4 0,042 0,015 0,060 5 0,008 0,003 0,015 ∑ 2,717 0,999 0,994

→ Optimálny počet spojovacích liniek: 5

125

368,0717,2

1 potom , 717,2

10

0

5

0 0

====∑=

ppp

p

k

k .

Priemerný počet obsadených liniek:

∑== k., 994,0 pkkk .

Každá linka bude priemerne obsadená menej ako 0,2 pracovného času 2,05

994,0 = .

368,00 =p - pracovného času budú všetky linky voľné,

368,01 =p - pracovného času bude obsadená 1 linka,

)2( ≥kp - pravdepodobnosť, že budú obsadené najmenej 2 linky =

= 263,05432 =+++ pppp pracovného času budú obsadené najmenej dve linky.

Príklad 3.3:

Hotové panely do rádioprijímačov sa prepravujú na nepretržite sa pohybujúcom dopravníku

z výrobného strediska na montážne stredisko, kde sa na ne montujú súčiastky. Medzi týmito

dvoma strediskami je kontrolné stanovište, na ktorom sú dvaja kontrolóri, ktorí berú z dopravníka

prichádzajúce panely, skontrolujú ich, dobré položia naspäť na dopravník a nepodarky vyradia.

Panely prichádzajú na stanovište v nepravidelných intervaloch a priemerne za 1 hodinu príde 21

ks. Každý z kontrolórov je schopný skontrolovať za 1 hodinu priemerne 12 ks. Panel, ktorý príde

na stanovište v okamihu, keď sú obaja pracovníci obsadení, prejde na montáž neskontrolovaný.

Priebeh výroby je nepretržitý, t.j. každý nasledujúci deň, resp. každú zmenu prichádzajú

ďalšie panely.

Uvedená situácia je vlastne procesom hromadnej obsluhy, pričom požiadavkou je kontrola

panelu, obsluha spočíva v kontrole, zdrojom požiadaviek je výrobný proces a uzol obsluhy tvoria

kontrolóri.

Ak časové intervaly medzi príchodom dvoch za sebou nasledujúcich panelov a čas kontroly

sú náhodné veličiny s exponenciálnym rozdelením, možno definovať na tomto procese SHO so

stratami typu M/M/2, pričom parametrami sú:

− intenzita vstupného prúdu λ = 21 ks/h, vstupný prúd je neohraničený, rovnorodý a bez priorít,

126

− intenzita obsluhy µ = 12ks/h.

Riešenie:

Pravdepodobnosť, že obaja kontrolóri budú voľní:

23,0!

1

12

211

2

00 =

=−

=∑k

k

kp .

Pravdepodobnosť, že obaja kontrolóri budú obsadení, t.j. pravdepodobnosť odmietnutia kontroly

panelu, ktorý prišiel na kontrolné stanovište, je:

36,023,02

1

12

212

2 =⋅⋅

=p ,

t.j. zo 100 panelov 36 prejde do montáže bez kontroly,

Priemerný počet obsadených kontrolórov je:

∑=

=

−=

2

1

11,123,0.12

21

)!1(

1

k

k

kk ,

t. zn., že priemerne bude každý kontrolór obsadený 55,02

=k pracovnej zmeny.

Príklad 3.4:

V dielni pracujú 3 majstri (opravy na počkanie). Keď zákazník príde do dielne a všetci

majstri sú obsadení obsluhou zákazníkov, ktorí prišli skôr, odíde a nečaká na obsluhu.

Predpokladajme, že priemerný počet zákazníkov za hodinu je 12; 24 a priemerný čas obsluhy 5;

10 min.

Aká je pravdepodobnosť, že zákazník nebude obslúžený a do akej miery sú zaťažení majstri?

Prúd požiadaviek je jednoduchý. V našom prípade teda λ = 12 a λ = 24 a priemerný čas

obsluhy je 10 min, t.j. 1/6 hod, teda ν = 6 a 5 min, t.j. 1/12 hod, teda ν = 12. Ďalej

predpokladajme exponenciálny zákon rozdelenia času obsluhy.

127

Riešenie:

− pravdepodobnosť, že všetci majstri budú zamestnaní, čiže pravdepodobnosť odmietnutia

požiadavky:

21,0!3

2

!2

2

!1

2

!0

2

!3

1

6

12

!1

!1

!1

132103

3

1

00

=

+++⋅

=

⋅=⋅=

−

−

=∑

p

kkp

kp

s

k

kkkk ρρρ

.

To znamená, že zo 100 zákazníkov bude približne 21 neobslúžených a 79 obslúžených.

Analogicky pre II.: 21,03 =p

− priemernú zamestnanosť majstra získame ako strednú hodnotu počtu obsadených majstrov:

∑=

=s

kkpkk

1

.

∑=

=3

1

.k

kpkk z tabuľky:

Počet pracujúcich majstrov k

0/ ppk kp kkp

0 1 0,158 0 1 2 0,316 0,316 2 2 0,316 0,632 3 4/3 0,210 0,630 ∑ 1,000 1,578

578,1=k , čo znamená, že v priemere bude zamestnaných 1,578 majstra.

Každý majster bude zamestnaný 526,03

=k pracovného dňa.

Ak by sme uvažovali, že majstri nie sú dostatočne využití, znížili by sme ich počet na dvoch

a urobili analogické výpočty. Zistili by sme, že zaťaženosť každého majstra by síce stúpla na 0,6,

ale pravdepodobnosť odmietnutia by tiež stúpla na 0,4, čiže zo 100 zákazníkov by iba 60 bolo

obslúžených.

128

B - model systému bez strát - M/M/S

Treba zostaviť model a riešením modelu vzorce na výpočet základných charakteristík SHO,

ktorý ma tieto vlastnosti:

B1 - prúd požiadaviek je ohraničený a rovnorodý, požiadavky na obsluhu prichádzajú od m

obsluhovaných objektov, t.j. súčasne v systéme sa môže vyskytnúť max. „m“ požiadaviek -

zatvorený systém,

− prúd požiadaviek od jedného obsluhovaného objektu je najjednoduchší prúd s intenzitou

vstupu λ,

− intenzita vstupného prúdu sa mení v závislosti od počtu požiadaviek v systéme obsluhy,

lineárne klesá s počtom jednotiek v systéme, ak je v systéme práve k požiadaviek, je

intenzita vstupného prúdu

λλ )( kmk −=

− počet paralelne obsluhujúcich kanálov je s, pričom s je konečné číslo a kanály sú z hľadiska

druhu poskytovanej obsluhy ekvivalentné,

− čas obsluhy jednej požiadavky je náhodná veličina s exponenciálnym zákonom rozdelenia a

intenzitou obsluhy µ,

− každý kanál môže súčasne obslúžiť iba jednu požiadavku,

− ak v okamžiku vstupu požiadavky do systému sú všetky kanály obsadené, požiadavka čaká,

kým sa jeden z kanálov neuvoľní,

− ak počet požiadaviek, ktoré potrebujú obsluhu, prevýši počet obsluhujúcich kanálov, vytvorí

sa rad,

− požiadavky, ktoré čakajú v rade, sa obsluhujú v takom poradí, v akom prišli do radu,

− kanály sú z hľadiska prevádzky absolútne spoľahlivé.

Analytický model systému pozostávajúci zo sústavy diferenciálnych rovníc pre )(tPk

dostaneme na základe pravdepodobnostného opisu stavov, v ktorých sa môže systém

v ľubovoľnom okamihu t nachádzať. Keďže v systéme nemôže byť súčasne viac ako m

požiadaviek, systém sa môže v okamihu času t nachádzať iba v m + 1 stavoch:

− v systéme nie je ani jedna požiadavka, všetky kanály sú voľné,

129

− v systéme je k požiadaviek, pričom 0 < k < s, t.j. k kanálov je obsadených,

− v systéme je k požiadaviek, pričom mks <≤ , t.j. všetky kanály sú obsadené a (k - s)

požiadaviek čaká vo fronte,

− v systéme je m požiadaviek, t.j. všetky kanály sú obsadené a (m - s) požiadaviek čaká vo

fronte.

Pravdepodobnosti opisu stavov:

− pravdepodobnosť, že v čase (t + ∆t ) nie je v systéme ani jedna požiadavka:

ttPtmtPttP ∆+∆−=∆+ µλ )()1)(()( 100 ,

− pravdepodobnosť, že v systéme je k požiadaviek v čase (t + ∆t), pričom 0 < k < s:

[ ] tktPtktkmtPtkmtPttP kkkk ∆µ++∆µ−∆λ−−+∆λ+−=∆+ +− )1)(().(1)()1)(()( 11 ,

− pravdepodobnosť, že v systéme je k požiadaviek v čase (t + ∆t), pričom mks <≤ :

[ ] tstPtstkmtPtkmtPttP kkkk ∆µ+∆µ−∆λ−−+∆λ+−=∆+ +− )()(1)()1)(()( 11 ,

− pravdepodobnosť, že v systéme je m požiadaviek:

[ ]tstPttPttP mmm ∆µ−+∆λ=∆+ − 1)()()( 1 .

Podobne ako v predchádzajúcich pravdepodobnostných opisoch i v tomto prípade

v rovniciach chýbajú tie členy, ktoré obsahujú výrazy (∆t)².

Ak podelíme rovnice s ∆t a upravíme, dostávame:

[ ]

[ ]

mktPstPt

tPtt

mkstsPtPskmtPkmt

tPtt

sktPktPkkmtPkmt

tPttP

tPtmPt

tPttP

mmm

kkkk

kkkkk

≤≤−=∆

−∆+

<≤++−−+−=∆

−∆+

<<+++−−+−=∆

−∆+

+−=∆

−∆+

−

+−

+−

0 , )()()()(P

, )()()()()1()()(P

0 , )()1()(.)()()1()()(

)()()(

1m

11k

11

1000

µλ

µµλλ

µµλλ

µλ

[3.24]

Ak prejdeme k limite 0→∆t , získame nasledujúcu sústavu diferenciálnych rovníc pre

:)(tPk

130

[ ][ ]

mktPstPt

mkstPstPskmtPkmt

sktPktPkkmtPkmtP

tPtmPtP

mm

kkk

kkkk

≤≤−=′<≤++−−+−=′

<<+++−−+−=′+−=′

−

+−

+−

0 , )()()(P

, )()()()()1()(P

0 , )()1()()()()1()(

)()()(

1m

11k

11

100

µλµµλ

µµλλµλ

[3.25]

Obmedzme sa na stacionárne riešenie sústavy, ktoré je založené na predpoklade, že

m...., 1, 0,k pre ,0)(P lim ,)(lim kt

==′=∞→∞→

tptP kkt

Potom dostávame zo sústavy [3.25] lineárnu homogénnu sústavu algebrických rovníc:

[ ][ ]

mm

kkk

kkk

psp

mkspspskmp)k(m

s)kpkpkkmpkm

pmp

µλµµλλ

µµλλµλ

−=≤≤++−−+−=

<<+++−−+−=+−=

−

+−

+−

1

11

11

10

0

)( ,)(10

(0 ,)1()()1(0

0

[3.26]

− neznáme sú tu mpp ,...,0 ,

− sústavu riešime substitúciou.

Riešením dostaneme vzorec pre kp :

)!(!

!0p

kmk

mp k

k ρ−

= , 1 ≤ k ≤ s [3.27]

)!(!

!0p

kmss

mp k

skk ρ−

= − , s ≤ k ≤ m [3.28]

)!(!

!

)!(!

!1

0 10

−

= +=−

−+

−= ∑ ∑

s

k

m

sk

k

sk

k

kmss

m

kmk

mp ρρ . [3.29]

Na základe vzťahov [3.27], [3.28], [3.29] môžeme získať vzorce na ďalšie charakteristiky

systému:

− priemerný počet požiadaviek vo fronte:

.)!(!

!)()(

1 10∑ ∑

+= +=− −

−=−=m

sk

m

sk

k

skkf pkmss

mskpskn ρ , [3.30]

131

− koeficient prestoja požiadavky vo fronte:

∑+=

−=m

skk

fpsk

mm

n

1

)(1

, [3.31]

− priemerný počet voľných kanálov obsluhy:

)!(!

!)()(

1

0

1

00∑ ∑

−

=

−

=

ρ−

−=⋅−=s

k

s

k

kk p

kmk

mkspkss , [3.32]

− koeficient prestoja kanála obsluhy:

∑−

=

−=1

0

)(1 s

kkpks

ss

s, [3.33]

− priemerný počet požiadaviek nachádzajúcich sa v systéme:

.)!(!

!.

)!()!1(

!0

1 1

pkmss

mk

kmk

mn

m

k

m

sk

ksk

k

ρ

−+ρ

−−= ∑ ∑

= +=− , [3.34]

− koeficient prestoja požiadavky v systéme:

m

n. [3.35]

Príklad 3.5:

Predpokladajme, že trojčlenná brigáda obsluhuje 20 automatov. Priemerne sa automat

zastavuje raz za hodinu. Obsluha 1 automatu trvá robotníkovi priemerne 6 min. Za predpokladu,

že čas medzi dvoma zastaveniami automatu sa riadi exponenciálnym zákonom a podobne čas

obsluhy je náhodná veličina s exponenciálnym rozdelením, treba vypočítať nasledovné

charakteristiky:

1. priemerný počet čakajúcich automatov na obsluhu (priemernú dĺžku frontu),

2. koeficient prestoja automatu vo fronte,

3. priemerný počet voľných robotníkov,

4. koeficient prestoja robotníka,

5. priemerný počet čakajúcich na obsluhu.

132

Riešenie:

Ide o uzatvorený systém - súčasne nemôže stáť viac automatov ako 20, m = 20. Priemerne za

hodinu sa zastavuje 1 automat, exponenciálne rozdelenie. Potom prúd požiadaviek má

Poissonovo rozdelenie s intenzitou prúdu λ = 1.

Čas obsluhy má exponenciálne rozdelenie, priemerne trvá obsluha 1 automatu 6 minút, potom za

hodinu sa obslúži 10 automatov - intenzita obsluhy µ = 10.

Pre k >12: 510.5,0 −<kp , potom od 12 zanedbávame, sčitujeme len po 12 automatov.

Využijúc známe vzťahy a tabuľkový výpočet, dostávame:

1. priemerný počet čakajúcich automatov na obsluhu:

33683,0)3(20

4

=−=∑=

kk

f pkn .

k kp kpk )3( − kpk.

0 0,13626 - - 1 0,27250 - 0,27250 2 0,25878 - 0,51776 3 0,25533 - 0,4659 4 0,88020 0,08802 0,35208 5 0,04694 0,09388 0,23470 6 0,02347 0,07041 0,14082 7 0,01095 0,04380 0,07665 8 0,00475 0,02375 0,03800 9 0,00190 0,01140 0,01710 10 0,00070 0,00490 0,00700 11 0,00023 0,00184 0,00253 12 0,00007 0,00063 0,00084 ∑ 0,33863 2,12597

2. koeficient prestoja automatu vo fronte:

0169315,020

33863,0 ==m

n f .

3. priemerný počet voľných robotníkov:

133

21266,123)3( 210

2

0

=++=−=∑=

ppppks kk

.

4. koeficient prestoja robotníka:

40422,03

21266,1 ==s

s.

Každý robotník je voľný priemerne 0,40422 pracovného času.

5. priemerný počet čakajúcich automatov na obsluhu (priemerný počet požiadaviek

nachádzajúcich sa v systéme):

∑=

==20

1

12597,2.k

kpkn .

Z 20 automatov stojí priemerne 2,12597 automatov.

B2 - otvorený model systému bez strát - M/M/S

− od uzatvoreného systému sa líši v tom, že má neohraničený prúd požiadaviek s intenzitou

vstupu λ,

− na to, aby front v systéme nerástol neohraničene, musí byť splnený predpoklad: s≤µλ

.

Otvorený systém sa môže nachádzať v čase t v jednom z nekonečne veľa stavov. To

znamená, že aj model tohto systému bude pozostávať zo sústavy diferenciálnych rovníc, ktorých

počet je neohraničený.

Na základe podobných úvah ako v predchádzajúcom, dostaneme pravdepodobnosti opisu

stavov:

− pravdepodobnosť, že v čase (t + ∆t) nie je v systéme ani jedna požiadavka:

[ ] ttPttPttP ∆+∆−=∆+= µλ )(1)()( 100

− pravdepodobnosť, že v systéme je k požiadaviek v čase (t + ∆t):

[ ] sktktPtkttPttPttP kkkk ≤≤∆++∆−∆−+∆=∆+ +− 1ak , )1()(1)()()( 11 µµλλ

[ ] sktstPtsttPttPttP kkkk ≥∆+∆−∆−+∆=∆+ +− ak , )(1)()()( 11 µµλλ

134

Podobnými úpravami - vynechaním (∆t)², podelením ∆t, prechodom k 0→∆t , získame

sústavu diferenciálnych rovníc pre )(tPk :

)()()( 100 tPtPtP µλ +−=′

sktPktPktPtP kkkk ≤≤+++−=′ +− 1 pre , )()1()()()()( 11 µµλλ

pre , )()()()()( 11 sktPstPstPtP kkkk ≥++−=′ +− µµλλ [3.36]

Stacionárne riešenie sústavy [3.36] dostaneme podobným spôsobom ako pri uzatvorenom

systéme, t.j. prejdeme k limite, pri ∞→t , dostaneme lineárnu homogénnu sústavu algebrických

rovníc:

)(0

)1()(0

0

11

11

10

+−

+−

++−=+++−=

+−=

kkk

kkk

sppsp

pkpkp

pp

µµλλµµλλ

µλ,

[3.37]

Z riešenia sústavy dostávame pre kp :

!

10p

kp k

k ρ= pre 1 ≤ k ≤ s , [3.38]

!

10p

ssp k

skk ρ−= pre k ≥ s , [3.39]

)()!1(!

11

1

00

−−

=

−−+= ∑

s

k

sk

sskp

λµµρρ . [3.40]

Všetky vzťahy [3.38], [3.39] a [3.40] platia za podmienky 1<µλs

. Ak by platilo 1s

>µλ

,

potom by nastal rast požiadaviek do nekonečna.

Vzťahy [3.38], [3.39] a [3.40] umožňujú výpočet ďalších charakteristík:

− pravdepodobnosť, že všetky kanály sú obsadené (t.j., že v systéme je súčasne s, s + 1,...

požiadaviek):

)()!1( 0p

sssρ

λµµπ

−−= , ak ρ < s , [3.41]

135

− pravdepodobnosť, že čas čakania na začiatok obsluhy fτ , t.j. čas čakania požiadavky vo

fronte je väčší ako t:

)( )( tsf etP λµπτ −−=> , pre t ≥ 0 , [3.42]

− priemerný čas čakania na začiatok obsluhy, ak počet kanálov je s:

λµ

π−

=Τs

f , ak µλ < s , [3.43]

− priemerná dĺžka frontu:

12

−

=

µλµ

λ

ss

pn sf , [3.44]

− priemerný počet požiadaviek, ktoré sú v systéme:

)!1(

1

1

1

10

ks

k

sf

kp

s

spnn ρ

µλ ∑

−

= −+

−+= , [3.45]

− priemerný počet voľných kanálov:

!

1

00∑

−

=

−=s

k

k pk

kss ρ . [3.46]

Príklad 3.6:

V opravovni televízorov sú traja opravári. Nech priemerný počet televízorov, ktoré

v priebehu dňa prídu do opravovne, je 8. Priemerný čas opravy jedného televízora je ½ dňa (za

deň 2 televízory).

Za predpokladu, že prúd televízorov prichádzajúcich do opravovne je najjednoduchším

prúdom s konštantnou intenzitou a čas obsluhy náhodná veličina s exponenciálnym rozdelením,

treba preskúmať prácu opravovne:

− ako dlho bude užívateľ čakať na opravu,

136

− priemerné množstvo televízorov, ktoré čaká na opravu,

− priemerný počet voľných opravárov,

− koeficient využitia opravárov.

Riešenie:

Musíme preskúmať požiadavku 1<µλs

,

tu: λ = 8........za deň 8 televízorov príde,

µ = 2........2 televízory za deň sa opravia,

s = 3........3 opravári.

342

8 =>== sµλ

, podmienka nie je splnená, front požiadaviek neohraničene rastie, 3 opravári

nestačia!

→ treba s = 5 (volíme najmenej 5 opravárov),

− pravdepodobnosť, že pri vstupe televízorov do opravy budú všetci opravári obsadení:

013,02!4

4.24

!

1

!4

4

2

8

)85.2(!4

2

14

0

5

0

0

5

0

5

=

+=

=⋅

⋅−

=

−

=∑k

k

kp

ppπ

dňa, pracovného 0,55 asi iba obsadenísú opravári všetciže t.zn., 55,0013,0!4

45

=⋅=π

− priemerný čas čakania na začiatok opravy:

275,085.2

55,0 =−

=−

=λµ

πs

T f , t. zn., že televízory budú priemerne čakať na začiatok

opravy 0,275 pracovného dňa,

− priemerný počet televízorov vo fronte:

5525 2004,0

8,0

108

110

8pppn f ==

−=

137

11,0!5

40

5

5 == pp

2,211,0.20 ==fn , t. zn., že priemerne bude čakať 2,2 televízora na začiatok opravy,

− priemerný počet voľných opravárov:

14!

54

00 =−=∑

=k

k pk

ks , t. zn., že v priemere bude 1 opravár stále voľný,

− koeficient prestoja opravárov:

2,05

1 ==s

s , t. zn., že v priemere každý opravár bude voľný 0,2 pracovného času,

− pravdepodobnosť, že čas čakania televízora na začiatok opravy bude väčší ako 1 deň:

075,0e55,0e)1(P 2t)s(f ==π=>τ −λ−µ− , t. zn., že priemerne najviac 8 televízorov zo 100

bude čakať na začiatok opravy viac ako 1 pracovný deň,

− pravdepodobnosť, že čas čakania na začiatok opravy bude väčší ako priemerný čas čakania

fΤ :

32,055,0)( 55,0 ==> −eTP ffτ , t. zn., že najviac 32 zo 100 televízorov bude čakať na

začiatok opravy viacej ako je priemerný čas čakania.

3.4 SIMULÁCIA PROCESU HROMADNEJ OBSLUHY

Ťažkosti pri analytickom riešení matematických modelov HO rastú nielen pri porušení

najjednoduchších predpokladov o SHO (trpezlivé požiadavky, neobmedzená dĺžka frontu,

jednofázová obsluha požiadaviek paralelnými kanálmi obsluhy v poradí príchodu požiadaviek do

frontu) ale aj pri inom než exponenciálnom zákone rozdelenia vstupu požiadaviek do SHO a

obsluhe požiadaviek.

Tieto ťažkosti pomerne ľahko umožňuje preklenúť metóda simulačný prístup. Tento prístup

spočíva v tom, že priebeh skutočného PHO modelujeme pomocou náhodných čísel s takým

rozdelením pravdepodobností, ktoré zodpovedá náhodným veličinám vystupujúcim v reálnom

procese. Problém s rôznymi typmi náhodných veličín, ktorý je pri analytickom riešení veľmi

138

nepríjemný, nie je pri simulácii PHO v podstate problémom, ak disponujeme vhodnými

algoritmami na získanie ich hodnôt.

Modelovanie sa robí pomocou počítača tak, že sa na počítači realizuje simulačný model,

ktorým sa imitujú príchody požiadaviek a ich obsluha v súlade s pravidlami, ktoré platia pre

správanie sa a prechod požiadaviek uvažovaným systémom v realite.

Výsledkom realizácie simulačného modelu na počítači sú hodnoty charakteristík SHO, ktoré

majú charakter štatistických odhadov, pretože zo štatistického hľadiska ide vlastne o umele

konštruované výberové šetrenie. Výsledky možno získať aj v tvare histogramov, ktoré poskytujú

bohatšie informácie ako odhady charakteristík. Presnosť výsledku pri simulácii je úmerná druhej

mocnine dĺžky simulácie.

3.5 OPTIMALIZÁCIA SYSTÉMOV HROMADNEJ OBSLUHY

Modely SHO slúžia na riešenie dvoch základných typov úloh:

− na základe známych parametrov systému určiť hodnoty číselných charakteristík,

− zmenou parametrov systému optimalizovať systém.

Optimalizácia SHO prichádza do úvahy vtedy, keď existuje určitá voľnosť vo voľbe

organizácie systému, t.j. možno meniť štruktúru systému (napr. počet kanálov obsluhy) alebo

regulovať vstupný prúd, alebo meniť čas obsluhy a pod.

Pod optimalizáciou SHO sa rozumie také zosúladenie možností systému obsluhy s

požiadavkami na obsluhu, aby celkové náklady na proces hromadnej obsluhy, skladajúce sa z:

− nákladov na systém obsluhy,

− nákladov (strát), ktoré vzniknú v dôsledku čakania objektov na obsluhu vo fronte,

− nákladov, ktoré vzniknú v dôsledku odmietnutia obsluhy určitému počtu objektov, boli

minimálne.

Výsledkom optimalizácie SHO je obyčajne:

− určenie optimálneho počtu obsluhujúcich kanálov rovnakého typu pre uzol obsluhy,

139

− určenie optimálneho počtu obsluhujúcich kanálov rôznych typov (s rôznymi kapacitami),

− určenie optimálneho počtu uzlov obsluhy.

Optimalizácia sa robí tak, že sa navzájom porovnávajú rôzne alternatívy organizácie SHO a

na základe určitého kritéria sa z viacerých možných alternatív vyberie tá, ktorá je vzhľadom na

postavené kritérium najvýhodnejšia. Porovnávať môžeme rôzne alternatívy buď:

- na základe hodnôt niektorých číselných charakteristík systému vyberieme systém

najvýhodnejší (príklad s telefónnou ústredňou - určovanie počtu spojovacích liniek) alebo

na základe určitej zvolenej účelovej funkcie zostavíme nákladovú funkciu, do ktorej

zabudujeme pripadajúce druhy nákladov, túto nákladovú funkciu potom minimalizujeme a

dostávame optimálnu štruktúru systému.

Pri výbere najvýhodnejšej alternatívy organizácie systému na základe porovnávania hodnôt

číselných charakteristík systémov je požiadavka hospodárnosti systému implicitne obsiahnutá v

požiadavke vybrať takú organizáciu systému, aby niektoré číselné charakteristiky systému

nadobudli hodnoty väčšie alebo menšie, prípadne rovné, ako sú určité zadané hodnoty číselných

charakteristík.

Pri výbere najvýhodnejšej alternatívy organizácie systému podľa zvolenej účelovej funkcie

posudzujú sa jednotlivé alternatívy podľa toho, akú hodnotu pri nich nadobudne účelová funkcia.

Alternatíva, pri ktorej nadobudne účelová funkcia požadovaný extrém, je optimálnou

alternatívou.

Hodnota účelovej funkcie predstavuje obyčajne súčet dvoch skupín nákladov, vzťahujúcich

sa na časovú jednotku činností procesu hromadnej obsluhy:

I - náklady na systém obsluhy:

− stále náklady na systém obsluhy,

− náklady na činnosť systému obsluhy,

− náklady na prestoj kanálov obsluhy.

II - náklady spojené s obsluhovanými objektmi:

− straty vzniknuté v dôsledku odmietnutia objektu, ktorý chce vstúpiť do systému,

− náklady na pohyb obsluhovaných objektov v systéme obsluhy.

140

Účelová funkcia sa najčastejšie zostavuje na základe predpokladu priamej závislosti

uvažovaných druhov nákladov od času.

Pri posudzovaní výsledkov dosiahnutých pri optimalizácii SHO si treba uvedomiť, že:

− ide o optimalizáciu stredných hodnôt, ak sa v systéme vyskytujú náhodné veličiny, napr.

vypočítaná hodnota účelovej funkcie nepredstavuje skutočné náklady, ale iba očakávanú

hodnotu nákladov;

− v praxi obyčajne nemožno jednotlivé druhy nákladov určiť presne, ide iba o dosť hrubé

odhady, z toho dôvodu vzhľadom na možné chyby alebo zmeny v určení jednotlivých

nákladov je potrebné po nájdení alternatívy urobiť určité optimalizačné úpravy.

Príklad 3.7:

Hotové diely sa pohybujú na nepretržite sa pohybujúcom dopravníku z výrobného strediska

na montážne stredisko.

Medzi týmito dvoma strediskami je kontrolné stanovisko, na ktorom sú kontrolóri, ktorí berú

z dopravníka prichádzajúce diely, skontrolujú ich, dobré položia nazad, nepodarky vyradia. Diely

prichádzajú na stanovisko v nepravidelných intervaloch a priemerne za 1 hodinu príde 19 ks.

Jeden kontrolór je schopný skontrolovať za 1 hodinu priemerne 10 ks. Diel, ktorý príde na

stanovisko v okamihu, keď sú všetci kontrolóri obsadení, prejde na montáž neskontrolovaný.

Priebeh výroby je nepretržitý, každý deň prichádzajú ďalšie diely na kontrolu.

Treba určiť optimálny počet kontrolórov za predpokladu, že:

a) náklady na 1 hodinu práce kontrolóra (vrátane kontrolných pomôcok) sú 20,-€,

b) ak sa do montáže dostane nepodarok vznikne strata 300,-€,

c) nepodarkovosť pri výrobe dielov je 5%, preto je potrebný taký počet kontrolórov, pri ktorom

bude súčet nákladov na kontrolu a straty v dôsledku prepustených nepodarkov na montáž

minimálny.

Riešenie:

− uvedená situácia je procesom HO,

− môžeme definovať systém do stratami.

141

Predpoklady:

− vstupný prúd je Poissonovský - najjednoduchší s intenzitou vstupu λ = 19ks/hod.,

− čas obsluhy je náhodná veličina (čas kontroly), ktorá má exponenciálne rozdelenie s

intenzitou obsluhy µ = 10ks/hod.,

9,110

19 ===−µλρ .

Optimalizácia spočíva v optimalizácii počtu kontrolórov, t.j. zvoliť taký počet kontrolórov,

aby celkové náklady na proces obsluhy boli minimálne:

− zvolíme si ÚF, ktorú budeme minimalizovať,

− celkové náklady na PHO pri určitom počte kontrolórov - N(s):

...)( 21 NppdsNsN s+= , kde:

N(s) - celkové náklady na jednotku času,

s - počet kontrolórov,

D - počet dielov, ktoré prídu v priebehu zvolenej časovej jednotky na kontrolu,

sp - pravdepodobnosť, že všetci kontrolóri sú obsadení (pravdepodobnosť odmietnutia),

p - pravdepodobnosť, že vyrobený diel bude nepodarok,

1N - náklady na kontrolu za zvolenú časovú jednotku, ak zabezpečuje kontrolu iba 1 kontrolór,

2N - straty vzniknuté tým, že sa 1 chybný diel dostane do montáže,

tu: p = 0,05, 2N = 300, 1N = 20, d = 19

s = ?, sp = ? pre s = 1, 2, 3, 4, 5, 6

∑=

⋅

=s

k

k

s

s

k

sp

0 !1

!1

µλ

µλ

142

s sp 1.Ns 2... Nppd s N(s)

1 0,65 20 185,25 205,25 2 0,38 40 108,30 148,30 3 0,19 60 54,15 114,15

min 4 0,09 80 25,65 105,65 5 0,03 100 8,55 108,55 6 0,01 120 2,85 122,85

N(3) > N(4) < N(5) - optimálny počet sú 4 kontrolóri.

ÚLOHY/OTÁZKY NA SAMOSTATNÉ RIEŠENIE

1. Uveďte oblasť použitia a predpoklady aplikácie teórie hromadnej obsluhy.

2. Uveďte kritéria efektívnosti v systémoch hromadnej obsluhy.

3. Podľa akých hľadísk a ako rozdeľujeme systémy hromadenej obsluhy.

4. Aké vlastností má najjednoduchší prúd požiadaviek.

5. Vysvetlite postup pri matematickom popise systému hromadnej obsluhy s odmietnutím.

6. Uveďte vzťahy na výpočet kritérií efektívnosti charakterizujúce ustálený stav SHO

s odmietnutím.

Literatúra k 3. kapitole

1. GROS, I. Kvantitativní metody v manažérském rozhodování. Praha: Grada Publishing, 2003.

432 s. ISBN 80-247-0421-8

2. IVANIČOVÁ, Z., BREZINA, I., PEKÁR, J. Operačný výskum. Bratislava: Iura Edition,

2002. 287 s. + 1 CD-ROM. ISBN 80-89047-43-2

3. IVANIČOVÁ, Z., BREZINA, I., PEKÁR, J. Prípadové štúdie z operačného výskumu.

Bratislava: Ekonóm, 1999. ISBN 80-225-1180-3

4. KUBÁTOVÁ, J. Kvantitativní manažerské metody. Olomouc, 2000. ISBN 80-244-0144-4

5. LANGOVÁ, M ., JABLONSKÝ, J. Lineární modely. Praha: VŠE, 2009. ISBN 978-80-245-

1511-3

6. MANUELIANC, A.T. Modelování problému řízení. Praha: IŘ, 1977

143

7. SAKÁL, P., JERZ, V. Operačná analýza v praxi manažéra. Trnava: SP SYNERGIA, 2003.

ISBN 80-968734-3-1

8. SAKÁL, P., ŠTRPKA, A. Operačná a systémová analýza. Bratislava: SVŠT, 1983.

85-425-83

9. ROZENBERG, V. J., PROCHOROV, A. I. Čo je teória hromadnej obsluhy. Bratislava:

SVTL 1965.

10. VODÁČEK, L., PICEK, K., ŠANDERA, O. Operační analýza v podnikové racionalizaci.

Praha: SNTL, 1977.

11. WALTER, J. Stochastické modely v ekonomii. Praha: SNTL, 1970.

12. WALTER, J. a kol. Operační výskum. Praha: SNTL, 1973.

13. WALTER, J., LAUBER, J. Simulační modely ekonomických procesu. Praha: SNTL, 1975.

14. ZIMOLA, B. Operační výskum. Zlín: 2000. ISBN 80-214-1664-5

144

4 MODELY ZÁSOB

Ciele:

• Klasifikácia modelov zásob,

• Statické modely zásob,

• Dynamické modely zásob.

Časová a priestorová odlúčenosť výroby a spotreby vedie k potrebe riešiť otázky spojené

s riadením pohybu zásob. Zásobou budeme rozumieť akýkoľvek neúplne využitý zdroj, určený

na uspokojenie budúceho dopytu, resp. budúcej spotreby. Z toho vyplýva, že zásoby môžu byť

hmotné (výrobné prostriedky aj spotrebné predmety – suroviny, polotovary, hotové výrobky) aj

nehmotné (výrobné kapacity, dopravné kapacity, kapacity výpočtových prostriedkov). Zásoby

výrobných prostriedkov tvoria výrobné zásoby a zásoby spotrebných predmetov nevýrobné

zásoby.

Zásoby sú nevyhnutné v prípadoch, keď ide o sezónne výrobky, náhradné diely, najmä ak

treba počítať s dlhým časom dopravy na miesto určenia, úzkoprofilový tovar a pod. K existencii

väčšej zásoby môže viesť aj ekonomicky odôvodnený zámer vyrábať určité výrobky v čo

najväčších dávkach alebo dopravovať určité predmety v transportných dávkach, ktorých veľkosť

nie je v súlade s momentálnou spotrebou.

Je zrejmé, že čím vyššia bude úroveň zásob, tým väčšie budú nároky na skladovací priestor

a manipuláciu, riziko znehodnotenia zásob, ale aj prostriedky viazané v zásobách. Na druhej

strane, väčšie zásoby znižujú riziko nedostatku zásob (pri nedostatku zásob môže dochádzať

k stratám v dôsledku prerušenia výroby alebo k potrebe zvýšených nákladov na mimoriadne

doobjednávanie) a dopĺňanie zásob vo väčších množstvách znižuje náklady na objednávanie

a dodávky. Úlohou je teda nájsť odpovede na otázky: „Kedy doplniť zásobu?“ a „Koľko

objednať?“ („ Aká veľká má byť objednávka, resp. dodávka?“).

Vedecký prístup k riadeniu zásob je založený na využívaní matematických modelov pohybu

zásob. Otázkami určovania veľkosti zásob, spôsobu ich dopĺňania a zostavovaním modelov na to

určených sa zaoberá teória zásob. Jej účelom je optimalizácia procesu riadenia zásobovania.

145

Kritériom optimality je spravidla veľkosť celkových nákladov na zásoby a cieľom je ich

minimalizácia.

Problematika optimalizácie pohybu zásob sa dlhý čas riešila len pomocou empirických a

subjektívnych metód a tento prístup často pretrváva doposiaľ. Avšak už počiatkom minulého

storočia sa začali objavovať prvé prístupy, založené na použití jednoduchších matematických

vzorcov na určovanie optimálnych veľkostí objednaného množstva. Po 2. svetovej vojne sa

začína používať zložitejší aparát, založený na využití počtu pravdepodobnosti.

V praxi sa stretávame so širokou škálou situácií spojených s riadením zásob, čomu

zodpovedá aj široká paleta základných modelov zásob. Každý konkrétny prípad vyžaduje

individuálny prístup, avšak základnú orientáciu v problematike môže poskytnúť prehľad

základných typov modelov, ktorý tu uvádzame (8).

Náklady, s ktorými sa stretávame v súvislosti s riadením pohybu zásob, možno rozdeliť na

náklady, ktoré sú priamoúmerné veľkosti zásoby (náklady na uskladnenie, manipuláciu, straty

spôsobené znehodnotením, straty spôsobené viazanosťou prostriedkov a pod.) a tie, ktoré sú

nepriamoúmerné veľkosti zásoby (náklady na dodatočné obstaranie pri vyčerpaní zásoby, straty

vznikajúce z dôvodu vyčerpania zásoby a pod.).

Z hľadiska nákladových druhov možno rozdeliť náklady na (8):

a) Náklady na obstaranie zásob nákupom alebo výrobou (tzv. obstarávacie náklady):

• náklady na vystavenie objednávky – internej (v prípade výroby) alebo externej (pri

nákupe), ktoré sa vzťahujú na realizáciu jednej dodávky a ich veľkosť nezávisí od

veľkosti dodávky,

• náklady na výrobu daného výrobku (pri internej dodávke),

• náklady na dovoz tovaru (pri externej dodávke).

b) Náklady na udržiavanie zásob, ku ktorým patria:

• náklady z viazanosti prostriedkov v zásobách,

• náklady na skladovanie (odpisy z budov a zariadení skladov, náklady na manipuláciu so

zásobami a ošetrovanie zásob, náklady na údržbu skladovacích zariadení, mzdy

pracovníkov skladu, strážnikov a správneho aparátu),

146

• straty spôsobené prípadným znehodnotením zásob (fyzickým alebo morálnym a pod.),

• náklady na poistenie zásob.

c) Náklady vznikajúce v dôsledku nedostatku zásob, ktorými sú

• náklady vznikajúce stratou z neuspokojeného dopytu (stratou odbytovej príležitosti,

stratou dobrej povesti, obmedzením alebo zastavením výroby),

• náklady na dodatočnú objednávku.

d) Náklady na spracovanie informácií potrebných na fungovanie zásobovacieho systému,

ktorými sú napr.:

• náklady na výpočtovú techniku,

• náklady na prieskum trhu,

• náklady na zber a spracovanie informácií o pohybe zásob.

4.1 KLASIFIKÁCIA MODELOV ZÁSOB

Modely zásob možno klasifikovať z viacerých hľadísk (8, 11):

1. Podľa typu zohľadnenia náhodných vplyvov v modeli (resp. podľa úplnosti informácií

o jednotlivých veličinách) na:

a) deterministické - v literatúre (8) označované ako modely determinované absolútne, v

ktorých sú jednotlivé modelované veličiny konštantné a vopred známe,

b) stochastické - v literatúre (8) označované ako modely determinované

pravdepodobnostne, pričom môžu byť determinované pravdepodobnostne:

- úplne, ak modelovaná veličina, dopyt, je náhodná veličina so známym zákonom

rozdelenia pravdepodobnosti,

- čiastočne, ak modelovaná veličina, dopyt, je náhodná veličina, pri ktorej nepoznáme

zákon rozdelenia pravdepodobnosti, ale len priemer a rozptyl),

c) nedeterminované, kde nie je známe nič (8).

147

2. Podľa spôsobu zohľadnenia vývoja spotreby v čase na:

a) statické, ktoré berú do úvahy len jeden dodávkový cyklus,

b) dynamické, ktoré berú do úvahy viac po sebe nasledujúcich dodávkových cyklov

a možno ich ešte deliť na:

- stacionárne, pri ktorých sa spotreba v jednotlivých cykloch nemení,

- nestacionárne, pri ktorých je spotreba v jednotlivých cykloch rôzna.

3. Podľa spojitosti spotreby na modely:

a) so spojitou spotrebou,

b) s nespojitou spotrebou.

4. Podľa spôsobu riešenia vyčerpania zásob (deficitu) na modely:

a) s odkladom (s odloženou spotrebou), pri ktorých zásoby po vyčerpaní nie sú

k dispozícii, čo spôsobuje zvýšené náklady na doobjednanie, dodatočnú distribúciu

alebo expedíciu k zákazníkovi (v prípade obchodu) alebo dobehnutie sklzu vo výrobe (v

prípade výrobných zásob),

b) so stratenými predajmi (so stratenou spotrebou), pri ktorých z dôvodu vyčerpania

zásob dochádza k absolútnej strate zisku, ktorá je úmerná dĺžke intervalu, počas ktorého

zásoby nie sú k dispozícii.

5. Podľa počtu skladovaných substrátov na:

a) jednoprvkové, pri ktorých ide o skladovanie len jedného substrátu,

b) viacprvkové, pri ktorých ide o skladovanie viacerých substrátov.

6. Podľa počtu skladov na systémy:

a) s jedným skladom,

b) s viacerými skladmi (osobitným typom sú viacúrovňové systémy).

148

7. Podľa zvolenej stratégie riadenia skladov na modely:

a) stratégia (s, S), kde určujeme optimálnu signálnu úroveň zásob – s (pri poklese zásob

pod túto úroveň treba zásoby doplniť, resp. vystaviť objednávku) a optimálnu

objednávaciu úroveň zásob – S, čo je veľkosť zásoby, na ktorú treba zásoby doplniť

zrealizovaním objednávky,

b) stratégia (t, S), kde určujeme optimálny dodávkový cyklus – t (pravidelný interval

realizácie objednávok, resp. dodávok) a optimálnu objednávaciu úroveň zásob – S,

pričom zásobovanie prebieha tak, že v intervaloch t sa zásoby dopĺňajú o rozdiel medzi

aktuálnym stavom zásob a objednávacou úrovňou S,

c) stratégia (s, x), kde určujeme optimálnu signálnu úroveň zásob – s a optimálnu veľkosť

objednávky – x, pričom riadenie prebieha tak, že pri poklese zásob pod signálnu úroveň

s sa vystaví objednávka na konštantné množstvo x,

d) stratégia (t, x), kde určujeme optimálny dodávkový cyklus – t a optimálnu veľkosť

objednávky – x, pričom riadenie prebieha tak, že v pravidelných intervaloch t sa

objednáva konštantné množstvo x.

149

Obr.4-1

Na obr. 4-1 je vývoj stavu zásob v čase pri jednotlivých uvedených stratégiách znázornený

graficky. Znázornený priebeh pri stratégii (s, S) predpokladá, že medzi okamihom objednania

a dodania uplynie časový interval d. Aby bola zásoba v tomto prípade vždy doplnená na stav S,

treba veľkosť objednávky určovať na základe správneho odhadu spotreby zásoby v tomto

intervale. Rovnako pri stratégii (t, S) treba pri každom objednávaní odhadnúť spotrebu v intervale

medzi objednaním a dodaním. Vo všeobecnosti hodnota d nemusí byť konštantná. Ak je interval

medzi objednaním a dodaním zásob nulový alebo ak ho zanedbáme, sú stratégie (s, S) a (s, x)

v podstate totožné.

Stratégia (t, x) je stabilná len za predpokladu, že priemerné nároky na čerpanie zásoby

v niekoľkých po sebe nasledujúcich intervaloch t, ale aj v dlhšom časovom horizonte, sa rovnajú

hodnote x.

Niektoré zo základných typov, ktoré vyplývajú z uvedenej klasifikácie, uvedieme ďalej

a naznačíme spôsob ich riešenia (8).

150

4.2 STATICKÉ MODELY ZÁSOB

Statické modely zásob sú tiež označované ako modely s jedným cyklom, jednofázové modely

alebo modely s jednorazovým nákupom, čo znamená, že celú zásobu treba objednať naraz.

Z vecného hľadiska ide o prípady, keď doobjednávanie nie je možné alebo je spojené s neúmerne

vysokými nákladmi. Otázkou, na ktorú si treba odpovedať, je „koľko objednať“.

Pri statických deterministických modeloch (modeloch determinovaných absolútne) ide

o triviálnu úlohu. Vyskytuje sa len jedna objednávka, takže náklady na objednávku netreba pri

riešení uvažovať. Treba určiť len jednotkové náklady na skladovanie (udržiavanie zásob)

a jednotkové náklady vyplývajúce z nedostatku zásoby (5).

Podrobnejšie rozoberieme prípad statického modelu s pohybom zásob determinovaným

pravdepodobnostne úplne (8).

Predpokladáme, že veľkosť dopytu v uvažovanom období je náhodná veličina y, ktorej zákon

rozdelenia poznáme. Ak táto veličina nadobúda len diskrétne hodnoty, ide o diskrétny statický

model, v opačnom prípade ide o spojitý statický model. Rozoberieme oba prípady.

4.2.1 Diskrétny statický model

Cieľom je jednorazovo objednať také množstvo x (resp. vytvoriť zásobu veľkosti x), pri

ktorom budú celkové očakávané náklady N(x) minimálne.

Dopyt v uvažovanom období môže byť nižší ako vytvorená zásoba (y < x), vyšší ako

vytvorená zásoba (y > x) alebo zodpovedajúci vytvorenej zásobe (y= x). Predpokladajme, že

poznáme pravdepodobnosti p(y), s ktorými dopyt nadobúda určité hodnoty y.

Predpokladajme, že poznáme náklady z nedostatku jednotky množstva pohotovej zásoby Cu

a náklady z nadbytočnej zásoby pre každú nepoužitú jednotku Cr .

151

Celkové očakávané náklady sú závislé od vzťahu medzi x a y. Ak x < y, vzniknú náklady

Cu(y-x). Ak x > y, vzniknú náklady Cr(x-y). Pri x = y náklady nevzniknú. Potom možno celkové

očakávané náklady vyjadriť vzťahom:

)()()()()(10

ypxyCypyxCxNxy

u

x

yr ⋅−+⋅−= ∑∑

∞

+==

[4.1]

Pri hľadaní minima uvedenej funkcie možno postupovať numericky alebo analyticky.

Numerický postup predpokladá, že pri zadaných hodnotách Cr a Cu vypočítame N(x) pre

všetky hodnoty x, ktoré prichádzajú do úvahy a tá hodnota x, pri ktorej bude N(x) minimálne,

bude hľadanou optimálnou veľkosťou zásoby. Na výpočet je vhodné použiť napríklad tabuľkový

editor.

Analytický postup je vhodný, ak možno predpokladať, že funkcia N(x) nadobúda jediné

lokálne minimum. Možno odvodiť vzťah pre optimálnu veľkosť zásoby x* (8):

Pre x, v ktorom nadobúda funkcia N(x) minimum, musia platiť nerovnosti:

0)()1( ≥−− xNxN [4.2]

0)()1( ≥−+ xNxN [4.3]

Funkcia N(x) pre x+1 má tvar:

)()1()()1()1(2

1

0

ypxyCypyxCxNxy

u

x

yr ⋅−−+⋅−+=+ ∑∑

∞

+=

+

=

[4.4]

Pravdepodobnosť, že dopyt nebude vyšší ako vytvorená zásoba, je:

∑=

=≤x

y

ypxyP0

)()( .

Pravdepodobnosť, že dopyt naopak bude vyšší ako vytvorená zásoba, je:

∑∞

+=

=≤−=>1

)()(1)(xy

ypxyPxyP .

Použitím uvedených zápisov a úpravou rovnice [4.4] dostaneme rovnicu v tvare:

152

uur CCCxyPxNxN −+⋅≤+=+ )()()()1( [4.5]

a po dosadení x-1 za x:

uur CCCxyPxNxN −+⋅−≤+−= )()1()1()( ,

z čoho vyplýva:

uur CCCxyPxNxN −+⋅−≤−=− )()1()()1( . [4.6]

Za predpokladu platnosti rovníc [4.5] a [4.6] a nerovností [4.2] a [4.3] možno pre x = x* písať:

0)(*)( ≥−+⋅≤ uur CCCxyP [4.7]

0)()1*( ≤−+⋅−≤ uur CCCxyP [4.8]

a po úprave:

ru

u

CC

CxyP

+≥≤ *)( a

ru

u

CC

CxyP

+≤−≤ )1*( .

Spojením posledných nerovností dostaneme podmienku:

*)()1*( xyPCC

CxyP

ru

u ≤≤+

≤−≤ , [4.9]

pričom:

∑=

=≤x

y

ypxyP0

)()( .

Pri ur čovaní x* potom možno postupovať nasledovne:

1. Zostavíme tabuľku p(y) a P(y ≤ x) pre všetky hodnoty y, ktoré sa môžu vyskytnúť.

2. Vypočítame podiel ru

u

CC

C

+ .

3. Nájdeme hodnotu x*, ktorá vyhovuje vzťahu [4.9].

153

Príklad 4.1:

Predpokladajme, že jednotkové náklady z nedostatku zásob sú Cu = 160,- €/ks a jednotkové

náklady z nadbytočnej zásoby sú Cr = 50,- €/ks. Rozdelenie pravdepodobností dopytu je

v tabuľke 4-1.

Tabuľka 4-1

y 0 1 2 3 4 5 6

p(y) 0,1 0,15 0,17 0,26 0,19 0,11 0,02

Numerické riešenie:

Pomocou tabuľkového editora zostavíme tabuľku 4.2, kde obsah buniek vpravo hore (nad

hlavnou diagonálou) zodpovedá situáciám, keď je zásoba väčšia ako dopyt a každá bunka

obsahuje vyčíslené náklady vyplývajúce z nadbytočnej zásoby vynásobené pravdepodobnosťou,

že takáto nadbytočná zásoba vznikne. Bunky vľavo dole zodpovedajú situáciám, keď je dopyt

väčší ako zásoba.

Celkové náklady N(x), ktoré dostaneme ako súčty jednotlivých riadkov, nadobúdajú

minimálnu hodnotu (96,5) v prípade, keď x = 4. To je optimálna veľkosť objednávky.

154

Cu.(y-x).p(y), pre x<y

Cr.(x-y).p(y), pre x>y

Tabuľka 4-2

y 0 1 2 3 4 5 6

p(y)

0,1 0,15 0,17 0,26 0,19 0,11 0,02

x N(x)

1 5 27,2 83,2 91,2 70,4 16 293

2 10 7,5 41,6 60,8 52,8 12,8 185,5

3 15 15 8,5 30,4 35,2 9,6 113,7

4 20 22,5 17 13 17,6 6,4 96,5

5 25 30 25,5 26 9,5 3,2 119,2

6 30 37,5 34 39 19 5,5 165

Analytické riešenie:

1. Zostavíme tabuľku 4-3:

Tabuľka 4-3

x, y 0 1 2 3 4 5 6

p(y) 0,1 0,15 0,17 0,26 0,19 0,11 0,02

P(y≤≤≤≤x) 0,1 0,25 0,42 0,68 0,87 0,98 1

2. Vypočítame podiel:

76,050160

160 =+

=+ ru

u

CC

C.

3. Nájdeme hodnotu, ktorá vyhovuje vzťahu:

4*87,076,068,0 =⇒≤≤ x , čo je optimálna veľkosť objednávky.

155

4.2.2 Spojitý statický model

Analogickým postupom ako v prípade diskrétnych náhodných veličín možno odvodiť vzťahy

na výpočet celkových očakávaných nákladov a optimálnej veľkosti objednávky aj v prípade

spojitých náhodných veličín. Celkové očakávané náklady sú:

∫ ∫∞

−+−=x

x

ur dyyfxyCdyyfyxCxN0

)()()()()(

a analytickým riešením možno zistiť, že tieto náklady sú minimálne pri hodnote x*, ktorá

vyhovuje rovnici:

∫ +==

x

ru

u

CC

CdyyfxF

0

)(*)(

4.3 DYNAMICKÉ MODELY ZÁSOB

Dynamické modely skúmajú nielen otázku veľkosti objednávky, ale aj intervalov, v akých

treba objednávanie robiť, teda treba si odpovedať na otázky „koľko a kedy objednať“. Berie sa do

úvahy postupnosť na seba nadväzujúcich dodávkových cyklov. O veľkosti objednávok

a intervaloch možno rozhodnúť vopred naraz pre všetky objednávky v uvažovanom období, alebo

možno objednávať postupne, čím možno korigovať prípadné dôsledky nesprávneho rozhodnutia

z predchádzajúceho cyklu. Podrobnejšie rozoberieme niektoré prípady (8).

4.3.1 Dynamické modely s pohybom zásob determinovaným absolútne

Predpokladajme, že dopyt je vopred známy, rovnomerný a spojitý. Proces treba zásobiť Q

jednotkami za obdobie T. Úlohou bude určiť v akých intervaloch t a v akých dávkach x .

Predpokladajme, že interval obstarania zásob bude nulový (obr. 4-2).

156

Obr. 4-2

Z uvedeného vyplýva, že počet dodávkových cyklov je:

x

Qn =

a dodávkový cyklus (interval medzi dodávkami) je:

Q

xT

x

QT

n

Tt

⋅=== .

Ďalej predpokladajme, že poznáme náklady na skladovanie jednotkového množstva zásob

za časovú jednotku c1 a náklady na objednanie jednej dodávky (nezávislé od veľkosti

dodávky) c2 .

Keďže úlohou je minimalizovať celkové náklady, treba zostaviť nákladovú funkciu, ktorá

reprezentuje závislosť nákladov od všetkých objednávok a nákladov na udržovanie zásob po celé

uvažované obdobie a od veľkosti dodávky x.

Celkové náklady v intervale medzi dodávkami (v rámci jedného dodávkového cyklu)

pozostávajú z nákladov na skladovanie a nákladov na objednanie jednej dodávky:

212

1ctxc + .

Celkové náklady počas obdobia T potom dostaneme vynásobením týchto nákladov počtom

dodávok za obdobie T :

+⋅= 212

1)( ctxcnxN

a po dosadení:

157

x

Qcx

Tcc

Q

xTxc

x

QxN 21

21 22

1)( +⋅=

+⋅⋅⋅= .

Z obrázku 4-3 je zrejmý priebeh nákladovej funkcie a oboch jej zložiek.

Obr. 4-3

Optimálnu veľkosť dodávky možno vypočítať anulovaním prvej derivácie nákladovej

funkcie:

01

2

1)(221 =−= Qc

xTc

dx

xdN.

Vzťah na výpočet optimálnej veľkosti dodávky, ktorý získame riešením tejto rovnice, sa

nazýva Wilsonov vzorec (niekedy aj Andlerov vzorec):

1

22*

Tc

Qcx = . [4.10]

Po dosadení a úprave získame vzťah pre optimálnu dĺžku dodávkového cyklu:

158

1

22**

Qc

Tc

Q

Txt ==

[4.11]

a vzťah pre výpočet optimálnych (minimálnych) celkových nákladov:

21

21 2*

*2

*)( cQTcx

Qcx

TcxN =+⋅=

[4.12]

Ak budeme predpokladať, že interval medzi objednaním a dodaním zásob bude nenulový

(d > 0), treba objednávať v predstihu d pred vyčerpaním zásoby, t. j. v okamihu, keď sa zásoba

zníži na hodnotu s (signálna úroveň zásob):

T

Qd

t

xds ⋅=⋅=

*

*

[4.13]

Vzťah [4.13] vyplýva z podobnosti trojuholníkov na obr. 4-4.

Obr. 4-4

159

Príklad 4.2:

Závod pri výrobe výrobkov využíva komponenty, ktorých spotreba je dlhodobo ustálená –

120 ks denne. Náklady na jednu dodávku sú 1650,- € a dodávateľ zabezpečí dodanie do 2 dní.

Náklady na skladovanie 1 komponentu sú približne 50 halierov za deň skladovania. Treba určiť,

v akých intervaloch a v akých množstvách majú byť komponenty dodávané, aby celkové náklady

boli minimálne. Treba tiež určiť, pri akom stave zásob treba vystaviť objednávku, ak má byť

dodávka zrealizovaná v okamihu vyčerpania zásoby.

Riešenie:

Vzhľadom na ustálenú spotrebu komponentov možno výpočet vzťahovať na ľubovoľný

časový interval. Napríklad ak T=100 dní, Q=12000 ks. Pomocou Wilsonovho vzorca možno

určiť optimálnu veľkosť dodávky:

8905,0100

16501200022*

1

2 ≅⋅

⋅⋅==Tc

Qcx ks

a optimálny interval objednávania:

4,75,012000

165010022*

1

2 ≅⋅

⋅⋅==Qc

Tct dňa.

Objednávku treba vystaviť, keď zásoba dosiahne:

240100

120002 =⋅=⋅=

T

Qds ks.

Možno vypočítať tiež veľkosť celkových nákladov:

−=⋅⋅⋅⋅==+⋅= ,4449716505,01001200022*

*2

*)( 2121 cQTc

x

Qcx

TcxN €

a pomocou tabuľky a grafu demonštrovať, že pri inej veľkosti dodávky sú náklady vyššie:

160

x N(x)

860 44523

870 44509

880 44500

890 44497

900 44500

910 44508

920 44522

44480

44500

44520

44540

860

870

880

890

900

910

920 Veľkosť

dodávky

Náklady

4.3.1.1 Viacpoložkový model

Modifikáciou uvedeného modelu je model situácie, keď zásobu tvorí viac položiek (n), ktoré

však objednávame u jediného dodávateľa. Ide o tzv. viacpoložkový model [4]. Všetky položky

môžu byť objednané a dodané súčasne, čím vzniká potreba len jedinej objednávky v rámci

jedného cyklu a s ňou spojených nákladov. Náklady na objednanie a dodanie jednej dodávky

označíme, rovnako ako v predchádzajúcom prípade, c2 a náklady na skladovanie jednotkového

množstva i-tej položky budú c1i (i=1, 2, ..., n). Je zrejmé, že bude výhodné objednávať

a dodávať z každej položky také množstvo, aby zásoby všetkých položiek boli vyčerpané

súčasne. Vývoj stavu zásob jednotlivých položiek je znázornený na obr. 4-5.

Obr. 4-5

161

Úlohou je opäť minimalizovať celkové náklady na objednanie a dodanie, preto treba zostaviť

nákladovú funkciu. V tomto prípade však bude výhodnejšie, ak bude nákladová funkcia

reprezentovať závislosť nákladov od všetk7ch objednávok a nákladov na udržovanie zásob

všetkých položiek po celé uvažované obdobie od dĺžky cyklu t .

Z obr. 4-5 je zrejmé, že priemerná veľkosť zásoby i-tej položky je:

22

thxx ii

pi

⋅== ,

kde t

x

T

Qh ii

i == je intenzita dopytu po i-tej položke. Potom náklady na skladovanie všetkých

n položiek za čas T budú:

∑=

⋅⋅⋅=n

iii thc

TtN

111 2

)( , [4.14]

náklady na n objednávok budú:

t

TcnctN ⋅=⋅= 222 )(

, [4.15]

a celkové náklady budú:

t

Tcthc

TtNtNtN i

n

ii ⋅+⋅⋅⋅=+= ∑

=2

1121 2

)()()( . [4.16]

Hodnotu t* , v ktorej má uvedená funkcia minimum, získame anulovaním jej prvej derivácie

podľa t :

∑

=⋅

⋅=⇒=

n

iii hc

ct

dt

tdN

11

22*0

)(

. [4.17]

Je to optimálna dĺžka cyklu.

Potom optimálna veľkosť objednávky i-tej položky je:

162

** thx ii ⋅=

[4.18]

a optimálny počet cyklov je:

**

t

Tn =

. [4.19]

Príklad 4.3:

Príklad je modifikáciou príkladu 4.2. Závod pri výrobe výrobkov používa komponenty

(položka 1), ktorých spotreba je dlhodobo ustálená – 120 ks denne. Okrem toho však používa aj

iné komponenty (položka 2 a 3) od rovnakého dodávateľa, preto možno objednanie všetkých

troch položiek zabezpečiť jednou objednávkou a dodanie jednou dodávkou. Náklady na jednu

objednávku a dodávku sú rovnaké ako v príklade 1.2, t.j. 1650,-€. Spotreba komponentov –

položka 2 je dlhodobo ustálená na 60 ks denne a položka 3 na 90 ks denne. Náklady na

skladovanie 1 komponentu za deň skladovania sú 50 centov pri položke 1 a 20 centov pri

položkách 2 a 3. Treba určiť, v akých intervaloch a v akých množstvách majú byť komponenty

dodávané, aby celkové náklady boli minimálne.

Riešenie:

Vzhľadom na ustálenú spotrebu komponentov možno výpočet vzťahovať na ľubovoľný

časový interval. Napríklad T=100 dní. Možno vypočítať optimálny interval objednávania

(optimálnu dĺžku cyklu):

6902,0602,01205,0

165022*

11

2 ≅⋅+⋅+⋅

⋅=⋅

⋅=∑

=

n

iii hc

ct dní.

Je zrejmé, že po pridaní ďalších 2 položiek za inak rovnakých podmienok musí byť

optimálny interval objednávania menší ako v príklade 4.2.

Optimálne objednané množstvá jednotlivých položiek v rámci spoločnej objednávky sú:

** thx ii ⋅= 7206120*1 =⋅=x ks

163

360660*2 =⋅=x ks

540690*3 =⋅=x ks

Podobne ako v príklade 4.2, sa možno presvedčiť, že pri iných intervaloch objednávok sú

celkové náklady na objednanie a dodanie vyššie:

t* N(t*)

5,6 54664

5,8 54548

6 54500 � optimálna výška celkových nákladov

6,2 54513

6,4 54581

Ak by boli objednávky a dodávky jednotlivých položiek realizované jednotlivo a intervaly

a množstvá by boli optimalizované s využitím vzťahov 4.10 a 4.11, boli by celkové náklady na

objednávanie a dodávky všetkých položiek za obdobie T vyššie (pozri nasledujúcu tabuľku).

Položka Q T c1 c2 x* t* N(x*)

1 12000 100 0,5 1650 889,94 7,4 44497

2 6000 100 0,2 1650 994,99 16,6 19900

3 9000 100 0,2 1650 1218,61 13,5 24372

Celkové náklady: 88769

4.3.1.2 Model s deficitom

Aj keď možnosť vyčerpania zásob je v rozpore s logikou modelov determinovaných

absolútne, v literatúre sa stretávame s tzv. modelmi s deficitom (2, 11), ktoré možno použiť ako

náhradu stochastických modelov. Môže pritom ísť (ako bolo spomenuté pri klasifikácii modelov

zásob) o modely s odkladom (obr. 4-6) alebo modely so stratenými predajmi (obr. 4-7). V oboch

prípadoch zásobovací cyklus pozostáva z obdobia dĺžky t1, v ktorom sú zásoby k dispozícii

a obdobia dĺžky t2, v ktorom sú zásoby vyčerpané.

164

Obr. 4-6 Obr. 4-7

V prípade modelov s odkladom treba rátať s deficitom veľkosti x-S a s dodatočnými

nákladmi deficitu c3, ktoré vznikajú v každom cykle v období dĺžky t2 a závisia od dĺžky trvania

deficitu a chýbajúceho množstva – označíme ich c3 (sú to náklady na jednotku chýbajúceho

množstva za jednotku času) alebo len od množstva – tieto označíme c4. Pri optimalizácii modelu

treba vychádzať tiež z nákladovej funkcie, ktorá však v tomto prípade je funkciou nielen

objednávaného množstva, ale aj deficitu.

V prípade, že sú náklady deficitu závislé od dĺžky trvania deficitu aj od množstva, má

vzťah na výpočet optimálnej veľkosti dodávky tvar:

3

31

1

2

31

312 2)(2*

c

cc

Tc

Qc

cTc

ccQcx

+⋅=

+= . [4.20]

Vzťah pre optimálnu veľkosť deficitu:

331

12

)(

2)*(*

cccT

cQcSxq

+=−= [4.21]

a vzťah na výpočet optimálnych (minimálnych) celkových nákladov:

23221 **2*

*)*(*2

*)*,( qx

Tc

x

Qcqx

x

TcqxN ⋅++−⋅= . [4.22]

165

V prípade, že sú náklady deficitu závislé len od množstva, dá sa dokázať, že optimálnym

riešením je model s nulovým deficitom a optimálnu veľkosť dodávky možno vypočítať pomocou

vzťahu [4.10].

Ak sa v modeli vyskytujú náklady c3 aj c4, možno odvodiť pre optimálnu veľkosť dodávky

a pre optimálny deficit vzťahy (11):

3

31

1312

24

1

2

)(

)(2*

c

cc

cccT

Qc

Tc

Qcx

+⋅

+−=

[4.23]

13

2

4

3

1

3

1124 1

2

)*(*cc

T

Qc

c

c

c

c

T

cQc

T

Qc

Sxq+

−

++−

=−= [4.24]

Je zrejmé, že vzťahy [4.20] a [4.21] sú špeciálnym prípadom vzťahov [4.23] a [4.24] pre c4=0.

Pri modeloch so stratenými predajmi vychádza ako optimálny taký stav, pri ktorom nevzniká

deficit a optimálnu veľkosť dodávky možno určiť pomocou vzťahu [4.10] (11).

Príklad 4.4:

Zadanie vychádza zo zadania príkladu 4.2. Rozdiel je v tom, že je prípustný deficit zásoby

uvažovaných komponentov. Zvýšenie nákladov, vyplývajúce z potreby dobehnutia sklzu vo

výrobe dodatočným vykonávaním niektorých operácií možno kvantifikovať prostredníctvom

nákladov deficitu. Tieto sú závislé od času aj množstva a ich veľkosť je 1,-€ na 1 chýbajúci

komponent za deň. Ostatné vstupné údaje ostávajú nezmenené. Treba určiť optimálnu prípustnú

veľkosť deficitu a tiež v akých intervaloch a v akých množstvách majú byť komponenty

dodávané, aby celkové náklady boli minimálne.

Riešenie:

Zo zadania vyplýva, že ide o model s odkladom (s odloženou spotrebou). Optimálna veľkosť

deficitu je:

3631)15,0(100

5,01650120002

)(

2)*(*

331

12 ≅⋅+⋅⋅⋅⋅=

+=−=

cccT

cQcSxq ks

166

a optimálne objednávané množstvo je:

109015,0100

)15,0(1650120002)(2*

31

312 ≅⋅⋅

+⋅⋅⋅=+

=cTc

ccQcx ks.

Optimálny interval objednávania je:

912000

1090100** ≅⋅≅=

Q

Txt dní.

Celkové náklady, vypočítané podľa vzťahu (4.22) sú:

36332363109021001

1090165012000

)3631090(10902

5,0100*)*,( 22 ≅⋅

⋅⋅+⋅+−⋅

⋅⋅=qxN ,-€.

4.3.1.3 Model s postupným doplňovaním zásob

V doterajších úvahách sme predpokladali, že doplnenie zásoby prebieha v jedinom okamihu,

napríklad po uskutočnení dodávky od externého dodávateľa. Iný prípad nastane, ak sa zásoby

dopĺňajú plynulo, napr. v dôsledku vlastnej výroby. Budeme predpokladať, že intenzita výroby je

vyššia ako intenzita spotreby. Preto treba výrobu organizovať vo výrobných dávkach. Tiež

budeme predpokladať, že nemôže dôjsť k deficitu v dôsledku vyčerpania zásoby. Dodávkový

cyklus dĺžky t potom možno rozdeliť na interval dĺžky t1, v ktorom prebieha výroba a dopĺňanie

zásoby (pri jej súčasnom čerpaní) a na interval dĺžky t2, v ktorom prebieha len čerpanie zásoby.

Vývoj stavu zásob v tomto prípade je znázornený na obr. 4-8.

167

Obr. 4-8

Uvedený model sa nazýva „model s postupným doplňovaním zásob“, alebo „produkčný

model“, resp. „produkčno-spotrebný model“ (v anglo-americkej literatúre POQ – Production

Order Quantity) (3), alebo „model s konečnou mierou dodávky“ (6, 7).

Cieľom riešenia býva nájdenie optimálnej veľkosti výrobnej dávky x* a optimálneho

intervalu medzi po sebe nasledujúcimi dávkami t* . Tieto veličiny treba stanoviť tak, aby boli

celkové náklady minimálne. Celkové náklady v jednom zásobovacom cykle pritom pozostávajú

z nákladov na skladovanie počas jedného cyklu (podobne ako v predchádzajúcich prípadoch)

a z fixných nákladov jednej výrobnej dávky. Ak c1 sú náklady na skladovanie jednotkového

množstva zásob za časovú jednotku, potom náklady na skladovanie počas jedného cyklu sú t.c1.

Fixné náklady jednej výrobnej dávky označíme c2.

Celkové náklady počas obdobia T sú:

ncsTcxN p ⋅+⋅⋅= 21)( ,

kde sp je priemerná výška zásoby a n je počet cyklov za obdobie T.

Ak potreba zásob za obdobie T je Q a predpokladaná veľkosť výrobnej dávky je x ,

možno určiť počet cyklov n počas obdobia T zo vzťahu

x

Qn = .

168

Z obr. 4-8 je zrejmé, že priemernú výšku zásoby sp možno určiť ako polovicu maximálnej

zásoby sm (t.j. sp = sm/2). Na určenie sm zavedieme 2 ďalšie veličiny:

p – intenzita produkcie (objem produkcie za časovú jednotku),

h – intenzita spotreby (dopyt po skladovaných predmetoch za časovú jednotku).

Keďže p > h , dochádza k dopĺňaniu skladu s intenzitou (p–h) a za čas t1 sa zväčší objem

zásob na (p–h).t1 . Veľkosť výrobnej dávky x možno určiť z intenzity produkcie: 1tpx ⋅= ,

z čoho pxt /1 = . Takže

.2

).(

2

).(

21

p

xhpthpss m

p

−=−==

Po dosadení bude funkcia celkových nákladov:

x

Qc

p

xhpTcxN ⋅+−⋅⋅= 21 2

).()( . [4.25]

Optimálnu veľkosť výrobnej dávky x* dostaneme tak, že prvú deriváciu funkcie celkových

nákladov položíme rovnú nule, z čoho:

hp

p

Tc

Qcx

−⋅=

1

22* . [4.26]

Optimálna dĺžka cyklu t* je:

Q

Txt

** = . [4.27]

Optimálne náklady N(x*) (po dosadení optimálnej veľkosti výrobnej dávky do funkcie

celkových nákladov a úprave) sú:

.2*)( 21 p

hpcQTcxN

−⋅= [4.28]

169

Ak je na prípravu výroby nevyhnutný určitý čas – označíme ho d , môže nás zaujímať, pri

akom stave zásob treba začať pripravovať výrobu ďalšej výrobnej dávky. Môžu nastať dve

situácie (obr. 4-9 a, b):

Ak sa prípravy majú začať v intervale, keď už neprebieha výroba predchádzajúcej dávky

( d < t2 ), možno stav zásob Sd , pri ktorých treba začať s prípravou, vypočítať:

dhSd ⋅=

. [4.29]

Ak sa prípravy majú začať v intervale, keď ešte prebieha výroba predchádzajúcej dávky ( d > t2 ),

možno stav zásob Sd , pri ktorých treba začať s prípravou, vypočítať:

)()*( hpdtSd −⋅−=

. [4.30]

Dĺžku intervalu spotreby t2 vypočítame:

p

xtttt

*** 12 −=−=

. [4.31]

Obr. 4-9 a Obr. 4-9 b

Príklad 4.5:

Príklad je modifikáciou príkladu 4.2. Rovnako ako v tomto príklade, vychádzame

z predpokladu, že závod pri výrobe výrobkov využíva komponenty, ktorých spotreba je dlhodobo

ustálená – 120 ks denne. Avšak na výrobu týchto komponentov má k dispozícii vlastnú pružnú

170

výrobnú linku, ktorá môže produkovať 300 ks denne. Rovnako ako v príklade 4.2, náklady na

skladovanie 1 komponentu sú približne 50 centov za deň skladovania. Fixné náklady jednej

výrobnej dávky (t.j. náklady na prípravu novej výrobnej dávky nezávislé od jej veľkosti) sú

1500,- €. Treba určiť, v akých intervaloch treba spúšťať výrobu komponentov a v akých

výrobných dávkach ich treba vyrábať, aby celkové náklady boli minimálne. Treba tiež určiť, pri

akom stave zásob treba začať s prípravou výroby dávky, ak táto príprava trvá 2 dni.

Riešenie:

Vzhľadom na ustálenú spotrebu komponentov možno výpočet vzťahovať na ľubovoľný

časový interval. Napríklad, ak T=100 dní, Q=12000 ks. Optimálnu veľkosť výrobnej dávky

možno vypočítať:

1096445,1095120300

300

5,0100

15001200022*

1

2 ≅=−

⋅⋅

⋅⋅=−

⋅=hp

p

Tc

Qcx ks

a optimálnu dĺžku cyklu:

931,912000

1096100** ≅=⋅==

Q

Txt dní.

Dĺžka intervalu spotreby je:

48,5300

445,109513,9

**2 =−=−=

p

xtt dní,

čo je viac ako čas potrebný na prípravu výroby výrobnej dávky, preto treba začať s prípravou

výroby v intervale, keď už neprebieha výroba predchádzajúcej dávky a keď zásoba dosiahne:

2402120 =⋅=⋅= dhSd ks.

Možno vypočítať tiež veľkosť celkových nákladov:

−=−⋅⋅⋅⋅⋅=−⋅= ,32863300

12030015005,01001200022*)( 21 p

hpcQTcxN €

a pomocou tabuľky a grafu demonštrovať, že pri inej veľkosti výrobnej dávky sú náklady vyššie:

171

x N(x)

1000 33000

1050 32893

1096 32863

1150 32902

1200 33000 32750

328003285032900329503300033050

1000 1050 1096 1150 1200x

N(x)

4.3.1.4 Model s diskontom

V praxi je často v záujme dodávateľa zainteresovať odberateľa zľavou pri dodávke väčšieho

množstva (diskont). Len v ojedinelých prípadoch býva táto zľava vyjadrená priamo ako funkcia

množstva. Väčšinou býva jednotková nákupná cena so zľavou vyjadrená formou tabuľky podľa

diskontných kategórií:

Objednané množstvo Jednotková cena

od x0 do x1 cx1

od x1 do x2 cx2

: :

od xk-1 do xk cxk

Nákladová funkcia musí v tomto prípade obsahovať aj nákupnú cenu:

Qcx

Qcx

TcxN x ⋅++⋅= 21

2)( . [4.32]

Ak sú náklady na skladovanie jednotky množstva zásoby úmerné nákupnej cene, budú aj

tieto pre jednotlivé diskontné kategórie rôzne (c11, c12, ..., c1k).

172

Optimálnu veľkosť objednávky určíme nasledujúcim postupom:

1. Pre každú diskontnú kategóriu vypočítame optimálnu veľkosť objednávky:

i

i Tc

Qcx

1

22* = , kde i = 1, 2, ..., k [4.33]

2. Ak sú niektoré vypočítané množstvá menšie ako dolná hranica príslušnej kategórie, zvýšime

ich na hodnotu dolnej hranice príslušnej kategórie.

3. Pre každú hodnotu xi* vypočítame celkové náklady podľa vzťahu:

Qcx

Qcx

TcxN xi

ii

ii ⋅++⋅=

**

2*)( 21 [4.34]

Optimálnou veľkosťou objednávky x* je potom tá z hodnôt xi* , pre ktorú vychádzajú

najnižšie celkové náklady N(xi* ).

Príklad 4.6:

Príklad je modifikáciou príkladu 4.2. Závod pri výrobe výrobkov využíva komponenty,

ktorých spotreba je dlhodobo ustálená – 120 ks denne. Náklady na jednu dodávku sú 1650,- €

a dodávateľ zabezpečí dodanie do 2 dní. Náklady na skladovanie 1 komponentu sú približne 50

centov za deň skladovania nezávisle od nákupnej ceny. Cena 1 ks komponentu je 20,-€, avšak pri

dodávke väčšieho množstva dodávateľ poskytuje zľavy podľa nasledujúcej tabuľky:

Množstvo [ks] Zľava [%] Jednotková cena [€]

1 – 999 0 20

1000 – 1999 4 19,2

2000 a viac 6 18,8

Treba určiť, v akých intervaloch a v akých množstvách majú byť komponenty dodávané, aby

celkové náklady boli minimálne.

173

Riešenie:

Podľa vzťahu 4.33 treba vypočítať optimálne veľkosti objednávky pre jednotlivé diskontné

kategórie. Keďže náklady na skladovanie sú nezávislé od nákupnej ceny, stačí urobiť len jeden

výpočet:

8905,0100

16501200022*

1

2 =⋅

⋅⋅==i

i Tc

Qcx ks.

Avšak podľa bodu 2 postupu treba vypočítané množstvá v niektorých prípadoch zvýšiť na dolnú

hranicu príslušnej kategórie:

x1* = 890 ks, x2* = 1000 ks, x3* = 2000 ks.

Celkové náklady pre jednotlivé kategórie (podľa vzťahu 1.34) potom budú:

−=⋅+⋅+⋅⋅= ,2844971200020890

165012000890

2

5,0100*)( 1xN €

−=⋅+⋅+⋅⋅= ,275200120002,191000

1650120001000

2

5,0100*)( 2xN € � optimum

−=⋅+⋅+⋅⋅= ,285500120008,182000

1650120002000

2

5,0100*)( 3xN €

Z vypočítaného vyplýva, že optimálna veľkosť objednávky je 1000 ks a optimálny interval

objednávania je

3,812000

1000100** =⋅==

Q

Txt dňa.

Nasledujúci obrázok znázorňuje závislosť celkových nákladov od veľkosti objednávky.

174

274000

276000

278000

280000

282000

284000

800

830

860

890

920

950

980

1010

1040

1070 x

N(x)

4.3.2 Dynamické modely s pohybom zásob determinovaným pravdepodobnostne úplne

V dynamických modeloch zásob dochádza k opakovaným objednávkam, ktoré môžu byť

rovnaké alebo nerovnaké. Rozdiel oproti predchádzajúcim úvahám je v tom, že budúci dopyt po

skladovaných produktoch je tu charakterizovaný náhodnou veličinou. Čerpanie zo skladu môže

byť pritom spojité alebo nespojité (diskrétne).

Rovnako ako v predchádzajúcich typoch modelov je cieľom minimalizovať náklady.

V modeloch môžu byť uvažované všetky náklady uvažované v predchádzajúcich častiach –

náklady na obstaranie a udržiavanie zásob, ako aj náklady z nedostatku zásoby a z nadbytočnej

zásoby. Niektoré však majú odlišný charakter. Napríklad náklady z nadbytočnej zásoby, ktoré

boli dôležité pri statických modeloch, tu nemajú taký dopad, pretože nadbytok zásob v jednom

období možno vyrovnať zmenšením objednávaného množstva v nasledujúcom období.

Pri dynamických modeloch s pohybom zásob determinovaným absolútne bola intenzita

spotreby konštantná, a preto bolo možné určiť, v akom predstihu treba dodávku objednať, aby

bola dodaná v okamihu vyčerpania zásoby. V prípade kolísania dopytu to možné nie je. Proti

nedostatku zásoby sa možno zabezpečiť tzv. poistnou zásobou, ktorá zmenšuje riziko nedostatku

zásob, avšak zvyšuje náklady na udržiavanie zásob.

Riadenie stavu zásob možno realizovať dvoma spôsobmi. Voľbou intervalu objednávania

alebo voľbou veľkosti objednávky. Uvedené spôsoby sú znázornené na obrázkoch 4-10 a 4-11.

Na obr. 4-10 je znázornený spôsob, pri ktorom je v okamihu dosiahnutia signálnej úrovne zásob

lokálne minimum

absolútne minimum

175

(s) vygenerovaná objednávka na také množstvo, ktorým by sa doplnil stav zásob na objednávaciu

úroveň S (toto množstvo je v každom cykle rovnaké). S ohľadom na pokračujúce čerpanie zásob

medzi okamihom objednania a dodania (počas intervalu dĺžky d) zásoba spravidla nedosiahne

objednávaciu úroveň. Na obr. 4-11 je znázornený spôsob, pri ktorom je v pravidelných

intervaloch zisťovaný stav zásob a vystavovaná objednávka na také množstvo (v každom cykle

iné), ktorým by sa doplnil stav zásob na objednávaciu úroveň S. Z rovnakého dôvodu ako

v predchádzajúcom prípade zásoba spravidla nedosiahne objednávaciu úroveň.

Obr. 4-10 Obr. 4-11

Podrobnejšie rozoberieme model s pohybom zásob determinovaným pravdepodobnostne

úplne pre prípad nespojitého čerpania. Dopyt po skladovaných produktoch je tu charakterizovaný

náhodnou veličinou so známym zákonom rozdelenia pravdepodobnosti. Predpokladajme, že

zásobovanie prebieha v cykloch dĺžky t a v každom cykle vzniká dopyt veľkosti x

s pravdepodobnosťou p(x). Časový interval medzi vystavením objednávky a realizáciou dodávky

zanedbáme. Úlohou je určiť optimálny počet skladovaných jednotiek na začiatku každého cyklu

(za daných predpokladov je to objednávacia úroveň zásob - S). Za optimálny budeme považovať

taký stav, pri ktorom budú celkové očakávané náklady, pozostávajúce z nákladov na skladovanie

a nákladov deficitu, minimálne.

Je zrejmé, že môžu nastať 2 situácie:

a) pri príchode novej dodávky nebola zásoba vyčerpaná (obr. 4-12),

176

b) zásoba bola vyčerpaná pred príchodom novej dodávky a preto v závere zásobovacieho cyklu

dopyt nebol uspokojovaný (obr. 4-13).

Obr. 4-12 Obr. 4-13

V prvom prípade bude priemerná zásoba počas zásobovacieho cyklu:

( )[ ]22

1 xSxSS −=−+⋅

a náklady na skladovanie, ktoré sú v tomto prípade celkovými nákladmi, budú:

∑=

−⋅⋅S

x

xSxpC

01 2

)( , kde

C1 sú náklady na skladovanie jednotkového množstva zásob za čas t = 1 (t. j. jeden zásobovací

cyklus),

p(x) je pravdepodobnosť, že počas zásobovacieho cyklu bude mať dopyt práve veľkosť x,

pričom x < S.

V druhom prípade pozostáva zásobovací cyklus z intervalu dĺžky t1, v ktorom sa čerpá

zásoba a z intervalu t2, v ktorom vznikajú penalizačné náklady C3.

C3 sú straty, ktoré vznikajú ako dôsledok nedostatku jednotkového množstva zásoby za čas

t = 1, (t. j. za celý zásobovací cyklus).

Priemerný počet skladovaných jednotiek v intervale t1 je S/2 a priemerný počet nedodaných

jednotiek v intervale t2 je (x-S)/2. Z podobnosti trojuholníkov na obr. 4-13 za predpokladu

linearity funkcií čerpania platí:

177

x

S

t

t=1 a

t

t

x

Sx 2=−,

z čoho:

t

x

St ⋅=1

a t

x

Sxt ⋅−=2

a za predpokladu, že C1 aj C3 sú vzťahované na celý interval dĺžky t (jednotkou času je 1

zásobovací cyklus), platí:

x

St =1

a x

Sxt

−=2 .

V druhom prípade sú teda náklady na skladovanie:

∑ ∑∞

+=

∞

+=

⋅⋅⋅=⋅⋅⋅1 1

111 )(2

)(2Sx Sx

xpx

SSCxpt

SC

a straty vznikajúce v dôsledku nedostatku zásob:

)(2

)(2 1

321

3 xpx

SxSxCxpt

SxC

SxSx

⋅−⋅−⋅=⋅⋅−⋅ ∑∑∞

+=

∞

+=

.

Celkové náklady za obdobie t potom sú:

∑∑∑

∞

+=

∞

+==

−⋅⋅+⋅⋅+

−⋅⋅=1

2