To cite this document: Haine, Ghislain and Dang, Phung Kim and Ramdani, Karim Observateurs itératifs pour Maxwell. (2011) In: Journée Thématique Problèmes Inverses de la Fédération Charles Hermite, 07 Jun 2011, Nancy, France. (Unpublished) Open Archive Toulouse Archive Ouverte (OATAO) OATAO is an open access repository that collects the work of Toulouse researchers and makes it freely available over the web where possible. This is an author-deposited version published in: http://oatao.univ-toulouse.fr/ Eprints ID: 9112 Any correspondence concerning this service should be sent to the repository administrator: [email protected]
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Open Archive Toulouse Archive Ouverte (OATAO)Ghislain Haine, Kim Dang Phung, Karim Ramdani Institut ´Elie Cartan de Nancy CNRS - INRIA Workshop “Probl`emes Inverses” - 7 Juin
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To cite this document: Haine, Ghislain and Dang, Phung Kim and Ramdani, Karim
Observateurs itératifs pour Maxwell. (2011) In: Journée Thématique Problèmes Inverses
de la Fédération Charles Hermite, 07 Jun 2011, Nancy, France. (Unpublished)
Open Archive Toulouse Archive Ouverte (OATAO) OATAO is an open access repository that collects the work of Toulouse researchers and
makes it freely available over the web where possible.
This is an author-deposited version published in: http://oatao.univ-toulouse.fr/
Eprints ID: 9112
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G. Haine, K.D. Phung, K. Ramdani Observateurs iteratifs pour Maxwell
Introduction Algorithme de reconstruction abstrait Application aux equations de Maxwell Conclusion
Existence des observateurs 27 / 35
1 IntroductionLes equations de MaxwellLe probleme inverse
2 Algorithme de reconstruction abstraitSysteme du premier ordreObservateur directObservateur retrogradeUn aller-retourIterations
3 Application aux equations de MaxwellPremier ordreExistence des observateursConstruction des observateursReconstruction des donnees initiales
4 ConclusionRemarques et Perspectives
G. Haine, K.D. Phung, K. Ramdani Observateurs iteratifs pour Maxwell
Introduction Algorithme de reconstruction abstrait Application aux equations de Maxwell Conclusion
Existence des observateurs 28 / 35
On montre que A : D(A) → X est anti-adjoint et C ∈ L(X ,Y ).
Sous des conditions geometriques de type Bardos, Lebeau et Rauch,et si ∂Ω est connexe, Phung (2000) a montre que le systeme (A,C )est exactement observable sur X .
Alors H+ = H− = −C∗ conviennent pour la stabilisation de A et−A respectivement.
Remarquons que
C∗ =
(
χ
0
)
∈ L(Y ,X ), C∗C =
(
χ 00 0
)
∈ L(X ).
G. Haine, K.D. Phung, K. Ramdani Observateurs iteratifs pour Maxwell
Introduction Algorithme de reconstruction abstrait Application aux equations de Maxwell Conclusion
Existence des observateurs 28 / 35
On montre que A : D(A) → X est anti-adjoint et C ∈ L(X ,Y ).
Sous des conditions geometriques de type Bardos, Lebeau et Rauch,et si ∂Ω est connexe, Phung (2000) a montre que le systeme (A,C )est exactement observable sur X .
Alors H+ = H− = −C∗ conviennent pour la stabilisation de A et−A respectivement.
Remarquons que
C∗ =
(
χ
0
)
∈ L(Y ,X ), C∗C =
(
χ 00 0
)
∈ L(X ).
G. Haine, K.D. Phung, K. Ramdani Observateurs iteratifs pour Maxwell
Introduction Algorithme de reconstruction abstrait Application aux equations de Maxwell Conclusion
Existence des observateurs 28 / 35
On montre que A : D(A) → X est anti-adjoint et C ∈ L(X ,Y ).
Sous des conditions geometriques de type Bardos, Lebeau et Rauch,et si ∂Ω est connexe, Phung (2000) a montre que le systeme (A,C )est exactement observable sur X .
Alors H+ = H− = −C∗ conviennent pour la stabilisation de A et−A respectivement.
Remarquons que
C∗ =
(
χ
0
)
∈ L(Y ,X ), C∗C =
(
χ 00 0
)
∈ L(X ).
G. Haine, K.D. Phung, K. Ramdani Observateurs iteratifs pour Maxwell
Introduction Algorithme de reconstruction abstrait Application aux equations de Maxwell Conclusion
Existence des observateurs 28 / 35
On montre que A : D(A) → X est anti-adjoint et C ∈ L(X ,Y ).
Sous des conditions geometriques de type Bardos, Lebeau et Rauch,et si ∂Ω est connexe, Phung (2000) a montre que le systeme (A,C )est exactement observable sur X .
Alors H+ = H− = −C∗ conviennent pour la stabilisation de A et−A respectivement.
Remarquons que
C∗ =
(
χ
0
)
∈ L(Y ,X ), C∗C =
(
χ 00 0
)
∈ L(X ).
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Introduction Algorithme de reconstruction abstrait Application aux equations de Maxwell Conclusion
Construction des observateurs 29 / 35
1 IntroductionLes equations de MaxwellLe probleme inverse
2 Algorithme de reconstruction abstraitSysteme du premier ordreObservateur directObservateur retrogradeUn aller-retourIterations
3 Application aux equations de MaxwellPremier ordreExistence des observateursConstruction des observateursReconstruction des donnees initiales
4 ConclusionRemarques et Perspectives
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Introduction Algorithme de reconstruction abstrait Application aux equations de Maxwell Conclusion
Construction des observateurs 30 / 35
L’observateur direct s’ecrit
ε∂E+
n
∂t(x , t)− rotH+
n(x , t)+χ(x)E+
n(x , t) = y(x , t), Ω× (0, τ),
µ∂H+
n
∂t(x , t) + rot E+
n(x , t) = 0, Ω× (0, τ),
divH+n(x , t) = 0, Ω× (0, τ),
E+n(x , t) ∧ ν = 0, H+
n(x , t) · ν = 0, ∂Ω× (0, τ),
E+n(x , 0) = E−
n−1(x , 0), E+1 (x , 0) = 0, Ω,
H+n(x , 0) = H−
n−1(x , 0), H+1 (x , 0) = 0, Ω,
et l’observateur retrograde
ε∂E−
n
∂t(x , t)− rotH−
n(x , t)−χ(x)E−
n(x , t) = −y(x , t), Ω× (0, τ),
µ∂H−
n
∂t(x , t) + rot E−
n(x , t) = 0, Ω× (0, τ),
divH−n(x , t) = 0, Ω× (0, τ),
E−n(x , t) ∧ ν = 0, H−
n(x , t) · ν = 0, ∂Ω× (0, τ),
E−n(x , τ) = E+
n(x , τ), Ω,
H−n(x , τ) = H+
n(x , τ), Ω.
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Reconstruction des donnees initiales 31 / 35
1 IntroductionLes equations de MaxwellLe probleme inverse
2 Algorithme de reconstruction abstraitSysteme du premier ordreObservateur directObservateur retrogradeUn aller-retourIterations
3 Application aux equations de MaxwellPremier ordreExistence des observateursConstruction des observateursReconstruction des donnees initiales
4 ConclusionRemarques et Perspectives
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Introduction Algorithme de reconstruction abstrait Application aux equations de Maxwell Conclusion
Reconstruction des donnees initiales 32 / 35
Theoreme
Supposons que le triplet (Ω,O, τobs) satisfait les conditions d’optiquegeometrique et que ∂Ω est connexe. Alors pour toutes donnees initialesE0,H0 ∈ (L2(Ω))3 telles que
divE0(x) = divH0(x) = 0 dans Ω, H0(x) · ν = 0 sur ∂Ω,
et tout τ ≥ τobs , il existe un 0 < α < 1 tel que pour tout n ≥ 1
ε
∫
Ω
∣
∣E0 − E−
n(0)
∣
∣
2+µ
∫
Ω
∣
∣H0 −H−
n(0)
∣
∣
2≤ αn
ε
∫
Ω
|E0|2 + µ
∫
Ω
|H0|2
.
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Introduction Algorithme de reconstruction abstrait Application aux equations de Maxwell Conclusion
Remarques et Perspectives 33 / 35
1 IntroductionLes equations de MaxwellLe probleme inverse
2 Algorithme de reconstruction abstraitSysteme du premier ordreObservateur directObservateur retrogradeUn aller-retourIterations
3 Application aux equations de MaxwellPremier ordreExistence des observateursConstruction des observateursReconstruction des donnees initiales
4 ConclusionRemarques et Perspectives
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Introduction Algorithme de reconstruction abstrait Application aux equations de Maxwell Conclusion
Remarques et Perspectives 34 / 35
Remarques :
Connexite du bord ∂Ω de Ω.
Le cas de l’observation frontiere.
Perspectives :
Analyse numerique.
Simulation numerique.
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Remarques et Perspectives 35 / 35
Merci de votre attention.
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