Profesor: Dr. Miguel Arias Albornoz
CAP 1. Introduccin
CAP 2. Operacin en rgimen dinmico
CAP 4. Principios de Supervisin y Control
CURSO: Operacin y Control de SEE
Programa del curso
CAP 3. Operacin Econmica de SEP
Profesor : Dr. Miguel Arias Albornoz
DESPACHO ECONMICO CONSIDERANDO LAS PERDIDAS
En un sistema real la generacin debe suministrar la potencia demandada
por las cargas ms las perdidas (RI2).
Cuando se transmite energa, especialmente desde lugares alejados de los
centros de carga, las perdidas de potencia en la red de transmisin
adquieren especial relevancia.
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Ejemplo 1
A) El generador G2 despacha 250 MW, considerando perdidas en la de lnea de 2%
Pg1 - 0.02Pg1 = 250 MW
0.98Pg1=250 ==>Pg1=255.1
Pc=500 MW
Pg1- 0.02Pg1 = Pc1
250 - 0.02250 = 245
Pg2=Pc-Pc =>500-245=255 MW
B) El generador G1 despacha 250 MW, considerando las perdidas en la lnea de 2%
G2
G1255.1 250
2505.1
G2
G1
250245
2555.0
Pc=500 MW, entonces:
Despacho Econmico de Carga
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Formulacin Matemtica
( ) =
= m
i
i T Pg Ci minC 1
Funcin objetivo:
C L m P P Pg Pg Pg + = + + + ... 2 1 max i i min i Pg Pg Pg : _ s.a:
etc..... V (Pg f P i i L ; cos ; ; j); = Donde:
Solucin: aplicando el mtodo de Lagrange, se forma una funcin aumentada F tal que:
Condicin de optimalidad (costo mnimo de combustible):
0 =
i Pg
F Para i=1, 2, ..., m ==> m ecuaciones a resolver
)...(... 2121 CLgmggm PPPPPCCCF ++++++=
Despacho Econmico de Carga
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Ejemplo simplificado:
maxmin
maxmin
CCC
CL
T
PgPgPg
PgPgPg
PPP
PPPgPgas
CCminC
_22_2
_11_1
21
21
21
:..
+=
+=+
+= ( )CL PPPgPgCCF ++= 2121 De acuerdo con lo anterior: Por lo tanto:
01
=
Pg
F0
2
=
Pg
F
Condicin de optimalidad (costo mnimo):
y
G2G1
Pg1 R+jX
Pc2
Pg2
Pc1
Despacho Econmico de Carga
Formulacin Matemtica
0=
F
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11
1
11
1
1
0Pg
P
Pg
C
Pg
P
Pg
C
Pg
F LL
+
==
+
=
1
11
11
1 1Pg
CL
Pg
P
Pg
C L
=
=
1
1
1
1
Pg
PL
L
=Donde:
O bien
=
+
=
22
2
22
2
2
10Pg
P
Pg
C
Pg
P
Pg
C
Pg
F LL
Anlogamente para el generador 2 se tiene:
2
22
Pg
CL
=
2
2
1
1
Pg
PL
L
=Donde:
Despacho Econmico de Carga
Formulacin Matemtica
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En general, aplicando criterio de igual costo incremental, el costo de combustible
ser mnimo cuando:
m
m
mPg
CL
Pg
CL
Pg
CL
==
=
...
2
22
1
11
i
L
i
Pg
PL
=
1
1Donde: Con i =1,2,3,..,m
=
i
i
L
i
i
L
i
i
L
LPg
P
LPg
P
LPg
P
1
100
110
El trmino Li es llamado prdida incremental de la transmisin.
Se puede ver que Li varia con las prdidas:
Unidad generadora i es incrementalmente poco atractiva
Unidad generadora i es incrementalmente atractiva
Despacho Econmico de Carga
Formulacin Matemtica
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Interpretacin Grfica
Consideremos un SEP con tres unidades de generacin.
3
33
2
22
1
11
Pg
CL
Pg
CL
Pg
CL
=
=
=
1
1
1
1
Pg
PL
L
=
2
2
1
1
Pg
PL
L
=
3
3
1
1
Pg
PL
L
=
Donde:
i
i
i Pg
C
L
=
Como , para graficar conviene hacer: ( )ii PgfC =
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Interpretacin Grfica
Pg1 Pg2 Pg3
L3
L2
L1
Pgi
G1 G3
G2
El generador G1
tiene el mayor factor
de penalizacin, lo
cual significa que
frente a un aumento
de carga este
generador contribuye
con menor potencia
que las otras
unidades.
Despacho Econmico de Carga
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Ejemplo 2
04.001.0
16.004.0
32.008.0
04.01.0
jZ
jZ
jZ
jZ
d
c
b
a
+=
+=
+=
+=
12.003.0
04.001.0
16.004.0
jZ
jZ
jZ
g
f
e
+=
+=
+=
KVAV
MVAS
BASE
BASE
220
100
=
=Datos:
G1 G3G2
Pc1 Pc2 Pc3 Pc4
01=V
IaId Ig
If
78.01
1 =
Pg
C84.0
2
2 =
Pg
C86.0
3
3 =
Pg
C
Ib Ic Ie
I1 I2 I3
Despacho Econmico de Carga
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Ejemplo 2
3 2 23 3 1 13 2 1 12
2
3 33
2
2 22
2
1 11
2 2 2 Pg Pg B Pg Pg B Pg Pg B Pg B Pg B Pg B P L
+ + + + + =
Las prdidas en la transmisin estn dadas por:
009437 . 0
085505 . 0
12
11
=
=
B
B
019135 . 0
040993 . 0
23
22
=
=
B
B
027766 . 0
0591 . 0
13
33
=
=
B
B
Los factores Bij, llamados coeficientes de prdidas en la transmisin,
estn dados por:
Se pide: Determinar la generacin de cada unidad y el consumo total demandado
cuando del SEP es igual a 1 (US$/MWh)
Despacho Econmico de Carga
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Solucin
111
1 ==
+
Pg
P
Pg
C L
133
3 ==
+
Pg
P
Pg
C L
122
2 ==
+
Pg
P
Pg
C L
313212111
1
222 PgBPgBPgBPg
PL ++=
323222112
2
222 PgBPgBPgBPg
PL ++=
333223113
3
222 PgBPgBPgBPg
PL ++=
Se cumple que:
Despacho Econmico de Carga
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11.002766.0009437.0085505.0 321 =+ PgPgPg
08.0019135.0040993.0009437.0 321 =+ PgPgPg
07.0059100.0019135.0027766.0 321 =+ PgPgPg
Reemplazan los valores de los coeficientes Bii
( )
( )
( ) MWpuPg
MWpuPg
MWpuPg
9.304049.3
5.292925.2
3.195953.1
3
2
1
=
=
=
Resolviendo:
( ) MWpuPL 2.66662.0 =Adems:
MWPPgPgPgPc LT 5.726321 =++=
Por lo tanto el consumo total es:
TPcPcPcPcPc =+++ 4321
Despacho Econmico de Carga
Solucin
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Para un sistema con tres generadores, suponga conocidos los
coeficientes de prdidas. Los costos incrementales de combustible
de cada unidad estn dados por:
(US$/MWh) 7 . 1 004 . 0 1
1
1 + =
Pg Pg
C
(US$/MWh) 7 . 1 005 . 0 2 2
2 + =
Pg Pg
C
(US$/MWh) 8 . 1 006 . 0 3 3
3 + =
Pg
Pg
C
Determine la generacin de cada unidad y la potencia total demandada
cuando el valor de =2.2(US$/MWh)
Despacho Econmico de Carga
Ejemplo 3
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2.211
1 ==
+
Pg
P
Pg
C L
2.233
3 ==
+
Pg
P
Pg
C L
2.222
2 ==
+
Pg
P
Pg
C L 3132121111
222 PgBPgBPgBPg
PL ++=
323222112
2
222 PgBPgBPgBPg
PL ++=
333223113
3
222 PgBPgBPgBPg
PL ++=
Se cumple que:
322331132112
2333
2222
2111
222 PgPgBPgPgBPgPgB
PgBPgBPgBPL
++
+++=
Las prdidas estn dadas por:
Despacho Econmico de Carga
Solucin
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Reemplazando valores:
5.0122169.0041522.0380224.0 321 =+ PgPgPg
3.0084194.0185369.0041522.0 321 =+ PgPgPg
4.0266041.0084194.0122169.0 321 =+ PgPgPg
( )
( )
( ) MWpuPg
MWpuPg
MWpuPg
0.330300.3
0.265650.2
5.208085.2
3
2
1
=
=
=
Resolviendo:
( ) MWpuPL 0.69690.0 =
MWPPgPgPgPc LT 5.734321 =++=
Despacho Econmico de Carga
Solucin
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Ejemplo 4
Tres centrales generadoras alimentan un SEP cuya carga vara entre
100 y 300 MW. Los datos que se conocen son:
( )
( )
( )MWPKPPC
MWPKPPC
MWPKPC
ggg
ggg
gg
160408.110*4.1
100206.110*6.5
60203.2
333
2
3
3
3
222
2
2
3
2
1111
++=
++=
+=
( ) ( ) ( )
( ) ( )MWBMWBB
MWBMWBMWB
/110*0.1/110*2.1
/110*2.1/110*6.1/110*03.1
4
23
3
3322
4
23
4
12
3
11
===
===
Para operacin a igual costo marginal se pide :
El despacho econmico considerando las prdidas.
Despacho Econmico de Carga
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( )
( )
( )MWPKPPC
MWPKPPC
MWPKPC
ggg
ggg
gg
160408.110*4.1
100206.110*6.5
60203.2
333
2
3
3
3
222
2
2
3
2
1111
++=
++=
+=
( )
322331132112
2
333
2
222
2
111
321
321321
222
00
gggggggggL
DLggg
gi
DLggg
PPBPPBPPBPBPBPBP
PPPPPP
F
PPPPPCCCF
+++++=
=++=
++++=
Para iniciar el proceso de clculo, considerando demanda mnima, y sin
considerar prdidas, se tiene:
Pg1 = 0 ; Pg2 = 34.28 y Pg3 = 65.72 (MW).
Despacho Econmico de Carga
Solucin
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22
2
22
2
2
01g
L
gg
L
gg P
P
P
C
P
P
P
C
P
F
+
==
=
33
3
33
3
3
01g
L
gg
L
gg P
P
P
C
P
P
P
C
P
F
+
==
=
Adems 313112222
2
222 gggg
L PBPBPBP
P++=
323113333
3
222 gggg
L PBPBPBP
P++=
Despacho Econmico de Carga
Solucin
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Por lo tanto:
Considerando como valores iniciales :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 98.171.6528.34 0030
2 === MWPMWP gg
Se obtiene :
( ) ( ) ( ) 1.214.6 11 == MWPL
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k g
k
g
k
g
k k
g
k P P P P 3 1 2 2
1 12 . 0 16 . 0 2 . 1 002 . 0 6 . 1 0112 . 0 + + + =
+
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k g
k
g
k
g
k k
g
k P P P P 2 1 3 3
1 1 . 0 12 . 0 2 . 1 002 . 0 8 . 1 0028 . 0 + + + =
+
Completar el ejercicio!
Despacho Econmico de Carga
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Solucin computacional
Si se desea encontrar el
punto de operacin de
un conjunto de
unidades, de modo de
obtener mnimos costos
para satisfacer la
demanda, bastara
utilizar las curvas de
costo y una regla.
P1 P2 P3
Para la solucin computacional del problema de despacho econmico,
se puede implementar un algoritmo que resuelva las ecuaciones de
coordinacin en forma iterativa .
Despacho Econmico de Carga
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PRIMERA ITERACIN
|e|
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Como se trata de procedimiento computacional iterativo, es necesario
establecer reglas de parada. Se utilizan las siguientes:
1. Es esencialmente una regla basada en el valor calculado en cada iteracin,
dentro de una tolerancia especificada.
2. Otra regla de parada es la cantidad de iteraciones. El algoritmo se detiene
cuando se excede un nmero mximo de iteraciones.
Cuando se trata de un sistema complejo, una manera de reducir el error es
utilizar el mtodo de NR para calcular el costo marginal , y disminuir la
diferencia con el valor deseado.
Despacho Econmico de Carga
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Factores de Participacin
P 0,003 + 2,3 = dP
dC
P 0,0015 + P 2,3 + 100 = C
MW300 = P MW, 60 = P
22
2
2222
mxmin
($/MWh) P 0,0025 + 2 = dP
dC
($/hr) P 0,00125 + 2P + 150 = C
MW 400P MW, 80 = P
11
1
2111
mxmin =
Situacin inicial de operacin: G1 : entrega 400 MW
G2 : entrega 200 MW.
$/hr. 1770 = C $/hr. 620 C
$/hr. 1150 T
2
1
C
De aqu, el costo de operacin para cada central es:
Aspectos Conceptuales
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Los costos incrementales para cada generador, en esta condicin de operacin
son: dC
dP = 3 $ / MWh
dC
dP = 2,90 $ / MWh.
1
1
2
2
Modificando las condiciones para operacin a igual costo incremental,
se obtiene que:
= 2,9545 $ / MWh = dC
dP =
dC
dP
1
1
2
2
En este caso:
G 381,818 MW C = 1095,8672
G 218,182 MW C = 673, 22368 C = 1769,09
C = - 0,909 $ / hr.
1 1
2 2T
T
Esta reduccin en el costo total se hace nula para cambios incrementales
en torno a la generacin de cada unidad (con igual ).
Factores de Participacin
Aspectos Conceptuales
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Los factores de participacin ki determinan el porcentaje de cambio en
cada unidad de generacin, del total de cambio de carga en el sistema.
Si ki = 0, la unidad correspondiente no est disponible para aportar
incrementos de carga del sistema.
Debe cumplirse que ki = 1. As, la participacin de cualquier unidad en el
cambio de carga se determina multiplicando el cambio total de carga del
sistema por el factor de participacin correspondiente a la unidad.
Si ki=1, la unidad correspondiente aporta el total del incremento del
cambio de carga del sistema.
Factores de Participacin
Aspectos Conceptuales
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Si la carga aumenta, una buena estimacin para producir ese incremento
puede determinarse por el producto entre la variacin de carga y el costo
incremental (2,9545 $/hr.) en el punto de operacin anterior. As, si el
consumo aumenta en 1MWh, la nueva condicin de operacin para mnimo
costo incremental es:
$/MWh. ,955912 = con MW 218,6365 G
MW 382,3634 G
2
1
Este nuevo punto de operacin implica CT = 1772,0459 $/hrs., lo que
comparado con el punto de operacin previo implica un aumento de 2,955
$/hr. en el costo total por hora. Si una fuente externa ofrece energa a un
precio inferior a 2,955 $/MWh, sera ms econmico comprar que generar.
Si, en cambio, el precio ofrecido es mayor que 2,955 $/MWh, ser ms
conveniente generar con el propio sistema.
Factores de Participacin
Aspectos Conceptuales
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Para evitar estos clculos se puede tomar como valor referencial el costo marginal
en el punto de operacin anterior, en este caso 2,9545 $/MWh.
Un cambio de 0,01 $/MWh en el costo incremental correspondera a aumentos de
carga de 0,01/0,0025 (equivalente a 4 MW) en el generador G1, y 0,01/0,003
(equivalente a 3,333 MW) en el generador G2, implicando un aumento total de
7,333 MW en el consumo.
Para cambios incrementales en la generacin se observa que G1debe suministrar
4/7,333 veces (54,54%) del incremento en la carga, mientras que G2 entregar
3,333/7,333 veces (45,45%).
Estos porcentajes estn directamente relacionados con la inclinacin de las curvas
de costo incremental en el punto de operacin, para cada unidad de generacin.
Factores de Participacin
Aspectos Conceptuales
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Los factores de participacin son validos slo hasta que se realiza un
nuevo clculo de despacho econmico.
Los factores de participacin son tiles cuando los cambios de carga
son muy pequeos en torno al punto de operacin. En este caso la
reduccin en el costo, al aplicar criterio de igual costo marginal, resulta
insignificante.
Los costos incrementales se utilizan como un indicador para decidir
sobre la conveniencia de generar con una determinada central.
Proporcionan una estimacin de cunto costar generar un incremento de
carga, pudiendo entonces decidir entre generar o comprar la energa.
Factores de Participacin
Aspectos Conceptuales
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Clculo de los Factores de Participacin
1.-Se determinan los cambios de costo incremental para incrementos
pequeos de carga (dPg1,dPg2,...) en la salida de los generadores, y se
coordinan de modo que los costos incrementales sean iguales:
100
==
dPc
d
d
dPgi
dPc
dPgik i
iPgi
Ci
=
2
22
2 1
Pgi
Cid
dPgi
Pgi
Ci
dPgi
d
=
=
Factores de Participacin
Dado un punto de operacin, los factores de participacin
se obtienen de la siguiente manera:
Justificacin:
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2.-Encontrar el incremento requerido de generacin para el sistema:
3.-Determinar el cambio de costo incremental por cada MW de generacin
adicional requerido:
=++= dPgidPgdPgdPgdPc .........321
+
+
= .......
11
2
2
2
2
2
1
1
2
Pg
C
Pg
CddPc
+
+
=
.............11
1
2
2
2
2
2
1
1
2
Pg
C
Pg
C
dPc
d
Factores de Participacin
Clculo de los Factores de Participacin
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4.- Finalmente
100
.............11
11
22
22
21
12
2
2
+
+
=
Pg
C
Pg
CPgi
CiKi
100
==
dPc
d
d
dPgi
dPc
dPgiK i
Factores de Participacin
Clculo de los Factores de Participacin
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Ejemplo 3
G1: C1=150+2Pg1+0.00125Pg12[$/hr] 80Pg1400[MW]
G2: C2=100+2.3Pg2+0.0015Pg22[$/hr] 60Pg2300[MW]
Factores de participacin:
100
0015.02
1
00125.02
1
1
00125.02
11
+
=K
10011
1
1
1
11
2
2
2
2
2
1
1
22
2
+
=
Pg
C
Pg
CPg
CK
Factores de Participacin
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%54.54100
003.0
1
0025.0
1
1
0025.0
11 =
+
=K
%45.45100
003.0
1
0025.0
1
1
003.0
12 =
+
=K
Factores de Participacin
Ejemplo 3