Onde piane nel vuoto. Equazione delle onde nel vuoto.

Onde piane nel vuoto

∇×E=−μ0

∂H

∂t

∇×H =ε0

∂E

∂t

∇⋅E =0

∇⋅H =0

∇×∇×E=−μ0

∂∇ × H

∂t= −ε 0μ 0

∂2E

∂t 2

∇×∇×E =∇∇⋅E −∇2E = −∇2E

Equazione delle onde nel vuoto

∇2 =∂2

∂x2 +∂2

∂y2 +∂2

∂z2

∇2E −

1

c2

∂2E

∂t 2 = 0

Equazione delle onde nel vuoto

Analogamente, eliminando E si trova

∇2H −

1

c2

∂2H

∂t 2 = 0

c =1ε0μ0

≈3⋅108 [m/s]

Onde piane uniformi nel vuoto

∂Ex

∂x+

∂Ey

∂y+

∂Ez

∂z= 0

∂2Eα

∂x2 +∂2Eα

∂y2 +∂2Eα

∂z2 −1

c2

∂2Eα

∂t 2 = 0 (α = x, y, z)

Studiamo l’evoluzione spazio-temporale di un generico campo dinamico che non dipende né da x né da y. .

∂Ez

∂z= 0

∂2Eα

∂z2 −1

c2

∂2Eα

∂t 2 = 0

equazione di D’Alembert

( = x,y,z)

Soluzione dell’equazione di D’Alembert

E = fα (z − ct) + gα (z + ct)

f , g funzioni arbitrarie ∈ C1( )

Le funzioni f e g rappresentano un moto ondulatorio, che si propaga nei due versi di z alla velocità della luce

f (z−ct)t=0 t>0

c t0 z

0 z

c t

t>0 t=0g (z+ ct)

Effetto della condizione

∂Ez

∂z= 0

Ez = fz(z−ct) +gz(z+ ct)

Poiche siamo interessati solo a soluzioni dinamiche poniamo

Ez =0

0 =

∂fz∂z

+∂gz

∂z=&fz + &gz Ez = fz +gz =cost.

Ex = fx(z−ct) +gx(z+ ct)

Ey = fy(z−ct) +gy(z+ ct) E =E +(z − ct) + E − (z + ct)

La soluzione dell’equazione delle onde relativa al campo magnetico ha forma analoga.

H =H +(z − ct) + H − (z + ct)

z

x

y

fx

fy

E +

Le onde rappresentate da ed si propagano alla velocità della luce, senza deformarsi, nella direzione dell’asse z, nel verso positivo e negativo, rispettivamente.

E+,H +

E−,H −

Tali onde sono piane e uniformi, perche il campo assume simultaneamente gli stessi valori sui piani perpendicolari alla direzione di propagazione.

L’evoluzione spazio-temporale del campo elettromagnetico è di tipo ondulatorio.

Le onde qui trovate sono Trasversali Elettriche e Magnetiche (TEM), perché e sono trasversali rispetto alla direzione di propagazione.

E H

∇=z∂

∂z(il campo considerato non dipende da x e y)

∂∂(z mct)

z × E ± mμ 0cE ±( ) = 0

Relazione fra e E± H±

∇×E±=−μ0

∂H ±

∂t

∂H±

∂t=

∂H ±

∂(z mct)

∂(z mct)

∂t= mc

∂H ±

∂(z mct)

∂E±

∂z=

∂E ±

∂(z mct)

∂(z mct)

∂z=

∂H ±

∂(z mct)

∂∂zz × E ±

( ) = −μ 0

∂H ±

∂t

z×E± mμ0cH±=cost.=0

Relazione fra e E± H±

H±=

±z × E ±

η 0 η0 @μ 0c =

μ 0

ε 0

≈ 377 Ω

I due campi sono sempre perpendicolari l’uno all’altro.

Nelle onde piane uniformi nel vuoto il campo elettrico e il campo magnetico hanno esattamente lo stesso andamento spazio-temporale.

La direzione di propagazione, il campo elettrico e il campo magnetico costituiscono una terna destra.

z

x

y

Onda non polarizzata

E +

η0H+

z

Vettore di Poynting

E±× ±z × E ±

( ) = ± z E ± ⋅E ±( ) mE ± E ± ⋅ z( ) = ± z E± 2

A × B×C( ) =B A⋅C( )−C A⋅B( )

S ±=E±×H±=

E±× ±z × E ±( )

η 0

S ±=±z

E ± 2

η 0

o anche S±=±z η 0 H ± 2

Questo risultato non

è ovvio !In un mezzo lineare, come il vuoto, i campi si sommano mentre non è generalmente lecito sommare le grandezze energetiche, che dipendono dal prodotto di campi.

S =S + −S −

Se sono presenti entrambe le onde si può mostrare facilmente che

W±=

E± 2

η 0

= η 0 H ± 2 densità di potenza di un’onda piana uniforme nel vuoto [W/m2]

w = W + −W−( ) A potenza netta transitante attraverso

l’area A, perpendicolare alla direzione di propagazione.

Densità di potenza A

z

x

y