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Ondas geradas pelo vento Prof. Cludio Rodrigues Olinto
1. Introduo
A grande maioria das ondas presentes em corpor dgua (lagos,
rios, mares e
oceanos) so ondas geradas pelo vento e denominadas ondas de
gravidade.
Ondas de gravidade so geradas pela tenso do vento na superfcie
da gua sendo
que a gravidade exerce funo restauradora das oscilaes,
propiciando a sua
propagao muito alm de sua rea de gerao.
A energia das ondas cresce com o aumento da velocidade do vento,
de sua durao e
do fetch (rea de gerao).
Quando em suas reas de gerao as ondas recebem a denominao
genrica de
sea ou vagas.
Depois de dispersarem-se e se encontrarem distantes de seu
centro de gerao so
denominados swell ou ondulaes.
2. Caractersticas do movimento ondulatrio.
As ondas progressivas, aquelas que se deslocam ao longo da
superfcie do oceano,
so peridicas. Considerando grupos de ondas que se repetem em
intervalos
regulares, pode-se representa-las conforme a figura:
onde:
h a profundidade da gua;
H a altura da onda, dada pela distncia vertical de uma cava a
uma crista;
a a amplitude da onda, que para ondas regulares H/2;
o comprimento de onda distncia entre dois pontos equivalentes de
duas ondas;
cava
crista
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T o perodo tempo para que um comprimento de onda passe por um
ponto de
referncia;
f = 1/T a frequncia da onda.
A velocidade de propagao (celeridade) dada por:
A altura da onda independente dos outros parmetros.
A relao definida como esbeltez da onda.
3. O problema de valor de contorno
A anlise matemtica do problema de propagao de ondas no oceano
pode ser feita
como um problema de contorno, onde a equao diferencial de
governo a equao
de Laplace, que considera o fluido incompressvel e
irrotacional:
Para a soluo matemtica existem cinco teorias. A teoria de Airy
ou teoria linear a
mais simples e usa consideraes simplificativas que permitem
aplicao somente a
ondas simtricas e com rbitas circulares fechadas.
Para o uso dessa teoria necessrio tambm que:
- a onda tenha uma esbeltez muito pequena ( )
- a profundidade h seja muito maior do que a altura da onda (
).
A equao que descreve a elevao da superfcie dada por:
onde:
conhecido como nmero de onda;
a frequncia angular.
Resolvendo o problema com as condies de contorno adequadas se
encontra como
soluo:
1
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Dessa equao, podem-se obter as componentes da velocidade da
partcula:
As equaes de u e w descrevem circunferncias de raio a para z = 0
e raio
decrescente quando z < 0.
Para determinada onda, as mximas velocidades horizontais (para
frente e para trs)
sero alcanadas para os valores extremos de H = 2a. Ou seja, na
crista da onda (+a)
a velocidade ser mxima e para frente, enquanto que, na cava da
onda (-a) a
velocidade orbital mxima para trs.
Segundo a teoria linear de ondas, as partculas dgua quando da
passagem de uma
onda no apresentam movimento lquido de posio, ou seja, no h
transporte de
massa associado ao movimento ondulatrio. Desta forma, a propagao
de uma onda
na superfcie do oceano gera um movimento orbital circular das
partculas de gua.
1,
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As rbitas descritas pelas partculas de gua durante a passagem da
onda so de
dimetro varivel e dadas pela equao:
onde
D o dimetro da rbita
H a altura da onda
e a base natural dos logaritmos
z0 a profundidade da gua abaixo do centro da rbita
o comprimento de onda
Essa expresso prediz que o dimetro orbital da partcula na
superfcie igual a altura
da onda e diminui a medida que a profundidade aumenta. Essa
expresso s vlida
para guas profundas onde a profundidade suficiente para permitir
o total
desenvolvimento vertical das rbitas, at sua extino. Caso
contrrio, as ondas
passam a sentir o fundo, pois a profundidade torna-se inferior
quela necessria para
extino vertical do movimento orbital das partculas.
Por exemplo:
Onda de gua profunda com H = 2 m, = 100 m
-160
-140
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
0 1 2 3
Dimetro
profundidade
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Em profundidades menores, ocorre ento a distoro das rbitas que
passam a
assumir formas cada vez mais elpticas e assimtricas causando
grande efeito junto
ao fundo.
Dessa soluo tambm se pode obter uma importante relao entre as
variveis da
onda:
chamada de relao de disperso
substituindo as relaes de k e
A celeridade fica:
Analisando a equao fica clara a dificuldade de aplic-la
diretamente pois no se
pode explicitar o .
Analisando o grfico da funo tanh, pode-se obter algumas
simplificaes.
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1- se (kh) assume valores altos (>3) a funo tanh(x) tende
para 1. Esta simplificao
corresponde a condio de definida como guas profundas onde a
profundidade h
muito grande em relao ao comprimento de onda .
Essa aproximao conduz a equao:
- que substituindo o valor de g = 9,81, vem:
logo, para guas profundas, possvel calcular o comprimento da
onda apenas pelo
seu perodo. Isto muito prtico, pois medir o perodo da onda muito
mais fcil (e
possvel) do que medir o comprimento.
A expresso do comprimento de onda indica que pequenos aumentos
de T implicam
em grandes aumentos de .
A celeridade para guas profundas resulta:
A expresso da celeridade indica que ondas mais longas
propagam-se mais rpido.
Observao: uma tempestade produz ondas com os mais variados
perodos, que se
encontram inicialmente desordenadas na superfcie do oceano. As
de maior perodo
afastam-se mais rapidamente da zona de gerao. Esse fenmeno
produz uma
seleo a partir do centro de gerao, onde as ondas separam-se em
grupos
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uniformes e cada vez mais regulares. Essas ondas bem
selecionadas e de espectro
de frequncia uniforme so conhecidas por ondulaes ou swell.
J as ondas que se encontram em grupos irregulares e de espectro
de frequncia
muito amplo so chamadas de vagas ou sea. Essas ondas,
normalmente no se
afastaram do centro de gerao suficientemente para permitir a
seleo.
O conceito de guas profundas foi usado, para quando kh > 3.
Substituindo esse valor,
usando kh = , o argumento da tanh fica:
isso significa dizer, que as equaes para gua profunda seriam
vlidas a partir de:
Esse normalmente a relao usada para definir guas profundas.
2- Analisando o outro extremo da aproximao, quando kh torna-se
pequeno.
Para valores pequenos de kh, a tanh(kh) se aproxima do prprio
valor de kh (ver
grfico de tanh).
Substituindo na equao da disperso para comprimento de onda:
simplificando
A celeridade fica:
Essa aproximao chamada de condio de gua rasa e aceita para
relao
(isso equivale a kh< /10 = 0,314)
Por essa aproximao, pode-se concluir que a velocidade de
propagao da onda em
guas rasas depende apenas da profundidade.
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Assim, resumindo:
parmetro guas profundas guas intermedirias guas rasas
Aplicao
h > /2
/2 > h > /20
h < /20
(x,z,t)
C
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3. Energia das ondas de gravidade
Embora no haja movimento lquido d
e gua quando uma onda passa no oceano, ocorre transferncias de
energia atravs
da superfcie do mesmo. O deslocamento provocado pela onda na
superfcie da gua
em relao ao nvel mdio fornece oscilao energia potencial, ao
mesmo tempo
que o movimento orbital das partculas da gua fornece-lhe energia
cintica. Assim, a
energia total de uma onda dada pelo somatrio da energia cintica
com a potencial:
Integrando a Equao de Bernoulli sobre o comprimento de uma onda
e sua
profundidade, resulta :
O fluxo de energia, ou potncia da onda, ou seja, a taxa na qual
a energia da onda
transferida na direo de propagao de um trem de ondas dado
por:
onde Cg a velocidade de grupo
sendo C, a celeridade da onda
A velocidade de grupo Cg (velocidade de grupo) a velocidade com
que o trem de
ondas se propaga no oceano, ou, em outras palavras, a velocidade
com que a
energia transferida.
Em guas profundas, kh grande, logo senh(2kh) tende a infinito, e
a equao da Cg,
resulta que:
Isso significa dizer que as ondas individualmente propagam-se
com velocidade duas
vezes maior do que a taxa de transmisso de energia.
Isso pode realmente ocorre, pois medida que um trem de ondas
avana, algumas
ondas progridem mais rpido que outras e logo se extinguem. Para
compensar, outras
ondas se desenvolvem no trem conservando a energia total do
sistema.
Em guas rasas, kh pequeno e o senh(2kh) tende a 1, resultando
que:
-
Como o fluxo de energia se conserva, e em guas rasas, a
velocidade das ondas
decresce com a diminuio da profundidade, o termo de energia deve
aumentar. Isso
ocorre com o aumento da altura H da onda, prximo a praia antes
da onda quebrar.
Para analisar o fenmeno de embancamento (ou shoaling) que a onda
sofre ao
percorrer zonas com menor profundidade usada a teoria de Stokes
(que permite
analisar assimetrias em ralao ao nvel mdio da gua e rbitas
abertas)
O critrio de Stokes baseia-se no fato de que em uma onda estvel
a velocidade das
partculas da gua na crista igual a celeridade. Caso a velocidade
da crista exceda a
velocidade de propagao da onda, ento est tombara para frente e a
onda quebrar.
Para guas profundas, segundo Michell (1983) a esbeltez mxima
para que no
ocorra a quebra :
Em guas rasas e intermedirias, a esbeltez limitante :
Especificamente para guas rasas tanh(kh) = (kh), assim:
Usando a teoria da Onda Solitria, que considera uma onda
progressiva como um
nica crista, McCowan (1894) demonstrou teoricamente que existe
um valor mximo
para a ralao entre altura da onda e profundidade, atravs da qual
a onda quebra:
Outros estudos experimentais demonstraram relao entre fundos
ngremes e o valor
de b:
declividade de 1,3 - b = 1,2
declividade de 3,7 - b = 2,8
A propagao das ondas desde sua zona de gerao ocorre com alguma
atenuao
no transporte de energia. Os fenmenos responsveis por essa
atenuao so:
- viscosidade interna;
- espalhamento angular a medida que deixam a rea de gerao;
- ventos em direo contrria direo de propagao das ondas;
-
- interao onda-onda.
O decaimento da altura da onda devido frico interna pode ser
calculado como:
4. Medio e anlise de ondas
As ondas produzidas no oceano por ao de ventos so geradas com um
amplo
espectro de ondas e no como um trem de ondas com perodos e
alturas fixas. A
adio de trens de ondas simples resulta em um padro irregular, de
alturas varivel e
aparentemente nenhuma periodicidade.
A anlise do clima de ondas de uma determinada regio feita pela
aquisio de
dados medidos em campo de altura e perodo de ondas.
O resultado um registro muito complexo. Usando ferramentas de
anlise espectral
pode-se obter as ondas que o produziram.
muito comum se trabalhar com a altura de onda significativa.
Esse termo,
normalmente representado por H1/3, definido com a mdia de um
tero (1/3) das
ondas mais altas medidas durante um intervalo de tempo, em geram
20 minutos.
Da mesma forma, existe o perodo de onda significativo, definido
como a mdia
dos perodos de 1/3 das ondas mais altas encontradas.
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Usando esses conceitos, pode-se calcular o fluxo de energia (P)
a partir de dados
experimentais, usando o espectro da onda.
onde
S(f) o espectro de frequncia do estado de mar medido.
Para um espectro de energia tpico, pode ser obtidos a altura de
onda significativa Hs
e perodo de pico de energia do espectro Tp.
Para esse caso o fluxo de energia pode ser calculado, conforme
Eloi (2010) a partir da
equao:
(kW/m)