This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
THPT Cẩm Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP -SSỐỐ PPHHỨỨCC
CCHHUUYYÊÊNN ĐĐỀỀ:: SSỐỐ PPHHỨỨCC 11.. ĐĐỊỊNNHH NNGGHHĨĨAA PPHHÉÉPP TTOOÁÁNN SSỐỐ PPHHỨỨCC I> Khái niệm số phức: Là biểu thức có dạng a + b i , trong đó a, b là những số thực và số i thoả 2i = –1.
Kí hiệu là z = a + b i với a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo. Tập hợp các số phức kí hiệu là = {a + b i / a, b và 2i = –1}. Ta có . Số phức có phần ảo bằng 0 là một số thực: z = a + 0. i = a Số phức có phần thực bằng 0 là một số ảo: z = 0.a + b i = b i . Đặc biệt i = 0 + 1. i Số 0 = 0 + 0. i vừa là số thực vừa là số ảo.
II> Số phức bằng nhau:
Cho hai số phức z = a + b i và z’ = a’ + b’ i . Ta có z = z '
'
a a
b b
VD: Tìm các số thực x, y biết: (2x – 3) – (3y+1) i = (2y + 1) + (3x – 7) i (1)
(1) 2 3 2 1 2 2
3 1 3 7 2 0
x y x y x
y x x y y
III> Biểu diễn hình học của số phức: Mỗi số phức z = a + b i được xác định bởi cặp số thực (a; b). Trên mặt phẳng Oxy, mỗi điểm M(a; b) được biểu diễn bởi một số phức và ngược lại. Mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức được gọi là mặt phẳng phức. Gốc tọa độ O biểu diễn số 0, trục
hoành Ox biểu diễn số thực, trục tung Oy biểu diễn số ảo. VD: Các điểm A, B, C, D biểu diễn các số phức là:
Az = 1 + 4 i , Bz = –3 + 0. i , Cz = 0 –2 i , Dz = 4 – i
IV> Môđun của số phức: Số phức z = a + b i được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt
phẳng Oxy. Độ dài của véctơ OM
được gọi là môđun của số
phức z. Kí hiệu 2 2z = a + bi = a + b
VD: z = 3 – 4 i có 2 23 4 3 ( 4)z i = 5
Chú ý: 22 2 2 2 2 2 2 2 2 22 ( ) 4z a b abi a b a b a b z
V> Số phức liên hợp: Cho số phức z = a + b i , số phức liên hợp của z là z a bi .
z = a + bi z = a - bi ; z z , z = z * Chú ý
iiiiZZ nn ;;)()(
Z là số thực ZZ
Z là số ảo ZZ
* Môđun số phức Z=a + b.i (a; b R) zzbaOMZ .22 Chú ý: ZZ z C
Hai điểm biểu diễn z và z đối xứng nhau qua trục Ox trên mặt phẳng Oxy. VI> Cộng, trừ số phức: Số đối của số phức z = a + b i là –z = –a – b i Cho z a bi và ' ' 'z a b i . Ta có z ± z' = (a ± a')+ (b ± b')i Phép cộng số phức có các tính chất như phép cộng số thực.
VII> Phép nhân số phức: Cho hai số phức z a bi và ' ' 'z a b i . Nhân hai số phức như nhân hai đa thức rồi thay 2i = –1
và rút gọn, ta được: z.z' = a.a' - b.b' + (a.b' + a'.b)i
k.z = k(a + b i ) = ka + kb i . Đặc biệt 0.z = 0 z
z. z = (a + b i )(a – b i ) hay 22 2z.z = a + b = z
THPT Cẩm Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP -SSỐỐ PPHHỨỨCC
2) Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn bởi số phức z thỏa: a) Phần thực của z bằng –2; b) Phần ảo của z bằng 3; c) Phần thực của z thuộc khoảng (–1; 2); d) Phần ảo của z thuộc đoạn [1; 3]; e) Phần thực và phần ảo của z đều thuộc đoạn [–2; 2]. Hướng dẫn: a) Là đường thẳng x = –2; b) Là đường thẳng y = 3; c) Là miền trong giới hạn bởi hai đường thẳng song song x = –1 và x = 2 không tính biên; d) Là miền trong giới hạn bởi hai đường thẳng song song y = 1 và y = 3 tính cả biên; e) Là miền trong giới hạn bởi bốn đường thẳng đôi một song song x = –2, x = 2 và y = –2, y = 2
tính cả biên. 3) Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn bởi số phức z thỏa:
a) |z| = 1; b) |z| 1 c) 1 < |z| 2 d) |z| = 1 và phần ảo của z bằng 1. Hướng dẫn: a) Tập hợp các điểm M(a; b) thỏa 2 2 1a b , là đường tròn tâm O, bán kính R = 1; b) Tập hợp các điểm M(a; b) thỏa 2 2 1a b , là hình tròn tâm O, bán kính R = 1 tính cả biên; c) Tập hợp các điểm M(a; b) thỏa 2 21 2a b , là hình vành khăn tâm O, bán kính r = 1 không
tính biên, bán kính lớn R = 2 tính biên; 4)Thực hiện các phép tính sau:
6)Xác định các số phức biểu diễn bởi các đỉnh của một lục giác đều có tâm là gốc tọa độ O trong mặt phẳng phức, biết rằng một đỉnh biểu diễn số i.
Hướng dẫn:Gọi A là điểm biểu diễn số phức i thì D biểu diễn số –i. cos ;sin6 6
F
nên F
biểu diễn số 3 1
2 2i . C đối xứng F qua O nên C biểu diễn số
3 1
2 2i . E đối xứng F qua Ox
nên E biểu diễn số 3 1
2 2i . B đối xứng E qua O nên B biểu diễn số
3 1
2 2i
7)Cho 1 3
2 2z i . Hãy tính: 2 3 21
; ; ; ( ) ;1z z z z zz
.
Hướng dẫn: Ta có 1z nên
1 1 3
2 2i z
z ; 2 1 3
2 2z i ; 3 2. 1z z z ; 21 0z z
8)Chứng minh rằng:
a) Phần thực của số phức z bằng 1
2z z , phần ảo của số phức z bằng 1
2z z
i
b) Số phức z là số ảo khi và chỉ khi z z . c) Số phức z là số thực khi và chỉ khi z z .
d) Với mọi số phức z, z, ta có ' ' , ' . 'z z z z zz z z và nếu z 0 thì ' 'z z
z z
Hướng dẫn: ,z a bi z a bi (1)
a) Lấy vế cộng vế Phần thực của số phức z bằng 1
2z z . Lấy vế trừ vế phần ảo của số phức
z bằng 1
2z z
i .
b) Số phức z là số ảo khi và chỉ khi phần thực bằng 0 0z z z z . c) Số phức z là số thực khi và chỉ khi phần ảo bằng 0 0z z z z . d) 2 2; ' ' ' ;z a bi z a b i z z a b là số thực
' ( ') ( ') ( ') ( ') ( ) ( ' ' ) 'z z a a b b i a a b b i a bi a b i z z
' ( ' ') ( ' ' ) ( ' ') ( ' ' ) ( )( ' ' ) . 'zz aa bb ab a b i aa bb ab a b i a bi a b i z z
' '. '. '. '
. . .
z z z z z z z z
z z z z z z z z
9)Chứng minh rằng với mọi số nguyên m > 0, ta có 4 4 1 4 2 4 31; ; 1;m m m mi i i i i i
Hướng dẫn: Ta có 4 2 2. 1i i i
4 4 4 4 1 4 1 4 2 4 2 4 31 1 . 1. . . 1 . 1.m m m m m m m m mi i i i i i i i i i i i i i i i i
10)Chứng minh rằng:
e) Nếu u
của mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thì | | | |u z
và từ đó nếu hai điểm 1 2,A A theo
thứ tự biểu diễn số phức 1 2,z z thì 1 2 2 1A A z z
;
f) Với mọi số phức z, z, ta có |z.z| = |z|.|z| và khi z 0 thì '' zz
z z
g) Với mọi số phức z, z, ta có ' 'z z z z
Hướng dẫn:
THPT Cẩm Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP -SSỐỐ PPHHỨỨCC
1 2,A A theo thứ tự biểu diễn số phức 1 2,z z thì 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1A A OA OA z z A A z z
b) z a bi , ' ' 'z a b i , . ' ' ' ' 'z z aa bb ab a b i , 2 2 2 2, ' ' 'z a b z a b
Ta có 2 2 2 2 2 2. ' ' 'z z a b a b
Ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2. ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' 'z z aa bb ab a b aa bb ab a b a b a b
Vậy |z.z| = |z|.|z|
Khi z 0 ta có 2 2
' . ' . '' '.
.
z z z z zz z z
z z z zz z
c) u
biểu diễn z, 'u
biểu diễn z thì 'u u
biểu diễn z + z và ' 'z z u u
Khi , ' 0u u
, ta có 22 2 22 2' ' 2 ' cos , ' ' 2 ' 'u u u u u u u u u u u u u u
' 'u u u u
do đó ' 'z z z z
11)Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa điều kiện sau:
h) 1z i b) 1z i
z i
c) 3 4z z i
Hướng dẫn: Gọi M(x; y) là điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng phức.
a) Với z x yi 22 2 21 ( 1) 1 ( 1) 1 1 1z i x y i x y x y
Tập hợp các điểm M là đường tròn tâm I(0; 1) bán kính R = 1.
b) Với z x yi 2 22 21 ( 1) ( 1) 1 1 0z i
x y i x y i x y x y yz i
Tập hợp các điểm M là trục thực Ox. c) Với z x yi 2 2 2 23 4 ( 3) (4 ) ( 3) (4 )z z i x yi x y i x y x y
6 8 25 0x y . Tập hợp các điểm M là đường thẳng 6 8 25 0x y
12)Chứng minh rằng với mọi số phức z 1, ta có 10
2 9 11 ...
1
zz z z
z
Hướng dẫn: Với z 1, 2 9 2 9 10 2 9 101 ... 1 ... 1 ... 1z z z z z z z z z z z z
Chia hai vế cho z – 1 hằng đẳng thức được chứng minh.(Cấp số nhân) 13)Hỏi mỗi số sau đây là số thực hay số ảo (z là số phức tùy ý sao cho biểu thức xác định)?
2 2( )z z 3 3( )
z z
z z
2 2( )
1
z z
zz
Hướng dẫn: Ta có ,z a bi z a bi , 2 2 2 2 2 2( ) 2 , ( ) 2 ,z a b abi z a b abi
Và 3 3 2 2 3 3 3 2 2 3( 3 ) (3 ) , ( 3 ) (3 )z a ab a b b i z a ab a b b i
Vậy 2 2 2 2( ) 2( )z z a b là số thực; 3 3 3 2( ) 3
z z bi
z z a ab
là số ảo;
2 2
2 2
( ) 4
1 . 1
z z abi
z z a b
là số
ảo. 13)Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa điều kiện sau:
i) 2z là số thực âm; b) 2z là số ảo ; c) 2 2( )z z d) 1
z i là số ảo.
Hướng dẫn: M(x; y) biểu diễn z thì 2 2 2 2 2 22 ; 2z x yi z x y xyi z x y xyi
a) 2z là số thực âm khi xy = 0 và 2 2 0x y x = 0 và y 0. Tập hợp các điểm M là trục Oy trừ O
THPT Cẩm Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP -SSỐỐ PPHHỨỨCC
Hướng dẫn: Phương trình ẩn x nhận z, z làm nghiệm nên có (x – z)(x – z ) = 0 2 ( ) 0x z z x zz .
Với z + z = 2a, z z = 2 2a b . Vậy phương trình đó là 2 2 22 0x ax a b
5) Chứng minh rằng nếu z là một căn bậc hai của w thì z w
Hướng dẫn: z a bi là một căn bậc hai của w 22 2z w z w z w z w
VD: 23 4 2i i tức 2z i là một căn bậc hai của 3 4w i thì z w
6) Tìm nghiệm phức của các phương trình sau: a) 2 1z z b) 2 2 5 0z z c) 2 (1 3 ) 2(1 ) 0z i z i Hướng dẫn:
a) 2
2 1 1 5 1 5 1 52. .
2 4 4 2 4 2 2z z z z
b) 2 2 22 2 5 0 1 4 1 2 1 2 1 2z z z z i z i z i
c) 2 21 3 8 1 2 1i i i i Phương trình có hai nghiệm phức là 1 22 ; 1z i z i .
7) a) Hỏi công thức Viét về phương trình bậc hai với hệ số thực có đúng cho phương trình bậc hai với hệ số phức không? Vì sao? b) Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng 4 – i và tích của chúng bằng 5(1 – i). c) Có phải mọi phương trình bậc hai 2 0z Bz C (B, C là hai số phức) nhận hai nghiệm là hai số phức liên hợp không thực phải có các hệ số B, C là hai số thực? Vì sao? Điều ngược lại có đúng không? Hướng dẫn:
a) Hai nghiệm của phương trình bậc hai hệ số phức là 2 21,2 4
2
Bz B AC
A
nên
1 2 1 2;B C
z z z zA A
.
b) Hai số cần tìm là nghiệm phương trình 2 4 5 1 0z i z i
Có 25 12 2 3i i nên hai số cần tìm là 1 23 ; 1 2z i z i .
c) Phương trình 2 0z Bz C có hai nghiệm là ;z a bi z a bi thì 2B z z a là số
thực và 2 2.C z z a b là số thực. Điều ngược lại không đúng.
8) a) Giải phương trình sau: 2 2 2 1 0z i z iz
b) Tìm số phức B để phương trình 2 3 0z Bz i có tổng bình phương hai nghiệm bằng 8. Hướng dẫn:
a) 22 0z i z i có 3 nghiệm là 2 2 2 2
; ;2 2 2 2
i i i .
b) Ta có 1 2 1 2; . 3z z B z z i nên
2 22 2 2 21 2 1 2 1 28 2 8 6 8 3 3z z z z z z B i B i B i
9) Tìm nghiệm của phương trình 1
z kz
trong các trường hợp sau:
a) k = 1; b) k = 2 ; c) k = 2i.
Hướng dẫn: 211 0z k z kz
z có 2 nghiệm 2 2
1,2 42
kz k
a) k = 1 thì 1,2
1 3
2 2z i b) k = 2 thì 1,2
2 2
2 2z i c) 1,22 1 2k i z i
10) Giải phương trình và biểu diễn tập nghiệm trên mặt phẳng phức mỗi phương trình sau: a) 3 1 0z ; b) 4 1 0z ; c) 4 4 0z ; d) 4 38 8 1z z z Hướng dẫn:
THPT Cẩm Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP -SSỐỐ PPHHỨỨCC
11) a) Tìm các số thực b, c để phương trình 2 0z bz c nhận 1z i làm nghiệm. b) Tìm các số thực a, b, c để phương trình 3 2 0z az bz c nhận 1z i và z = 2 làm nghiệm. Hướng dẫn:
a) 21 1 0 2 0 0 2 0 2, 2 vaøi b i c b c b i b c b b c
bb)) Lần lượt thay 1z i và z = 2 vào phương trình, ta được
2 (2 2 ) 0
8 4 2 0
b c a b i
a b c
2 4
2 2 6
4 2 8 4
b c a
a b b
a b c c
55.. DDẠẠNNGG LLƯƯỢỢNNGG GGIIÁÁCC CCỦỦAA SSỐỐ PPHHỨỨCC((tthhaamm kkhhảảoo)) I> Số phức dưới dạng lượng giác: 1) Acgumen của số phức z 0: Cho số phức z = a + b i 0 được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt phẳng Oxy. Số đo (rađian)
của góc ( , )Ox OM
được gọi là một acgumen của z.
Mọi acgumen của z sai khác nhau là k2 tức là có dạng + k2 (k )
(z và nz sai khác nhau k2 với n là một số thực khác 0).
VD: Biết z 0 có một acgumen là . Hãy tìm một acgumen của mỗi số phức sau: –z; z ; – z ; 1
z.
z biểu diễn bởi OM
thì –z biểu diễn bởi –OM
nên có acgumen là + (2k + 1)
z biểu diễn bởi M đối xứng M qua Ox nên có acgumen là – + k2
– z biểu diễn bởi – 'OM
nên có acgumen là – + (2k + 1)
1
z = 1
2| |
zz
z , vì
2
1
| |z là một số thực nên 1z có cùng acgumen với z là – + k2.
2) Dạng lượng giác của số phức z = a + b i : Dạng lượng giác của số phức z 0 là z = r (cos + i sin ) với là một acgumen của z.
Vôùi 2 2 a bz = a + bi z = r cosφ+ isinφ r = a + b ; cosφ = ; sinφ =
r r
VD: Số –1 có môđun là 1 và một acgumen bằng nên có dạng lượng giác là z = cos + i sin
Số 1 + 3 i có môđun bằng 2 và một acgumen bằng thoả cos = 1
2 và sin =
3
2. Lấy =
3
thì 1 + 3 i = 2(cos
3
+ i sin
3
)
Số 0 có môđun là 0 và một acgumen tuỳ ý nên có dạng lượng giác 0 = 0(cos + i sin ) Chú ý: Số – cos – i sin có dạng lượng giác là cos( + ) + i sin( + ) Số cos – i sin có dạng lượng giác là cos(– ) + i sin(– )
Số – cos + i sin có dạng lượng giác là cos( – ) + i sin( – ) II> Nhân, chia số phức dưới dạng lượng giác:
Cho z = r (cos + i sin ) và z = r (cos ’ + i sin ’) với r , r 0
THPT Cẩm Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP -SSỐỐ PPHHỨỨCC
2w i . Tìm các số nguyên dương n để nw là số thực. Hỏi có số nguyên
dương m để mw là số ảo?
Hướng dẫn: 1 4 4 4 41 3 cos sin cos sin
2 3 3 3 3n n n
w i i w i
W là số thực khi 4
sin 03
n , điều này xảy ra khi n là bội nguyên dương của 3.
Không có m nào để mw là số ảo.
6.CÁC DẠNG BAI TẬP CƠ BẢN 1. Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau:
i
iiii
i 132321
1
1 102
2. Tìm nghiệm phức của mỗi phương trình sau:
a. ;2
31
1
2
i
iz
i
i
b. ;02
1.32
iizizi
c. ;0||2 zz d. 022 zz ;
3.Tính : a.1+(1+i)+(1+i)2+(1+i)3+…….+(1+i)20 b. 1+i+i2+i3++……+i2011 4. Xác đỉnh tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn điều kiện sau: a. ;4|3| zz b. ;2|1| izz
c. ziz 2 là số ảo tùy ý; d. |;2|||2 izziz
5. Các vectơ
',uu trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức z, z’.
a. Chứng minh rằng tích vô hướng '.'.2
1'. zzzzuu
;
b. Chứng minh rằng
',uu vuông góc khi và chỉ khi .|'||'| zzzz 6. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn
,kiz
z
(k là số thực dương cho trước). 7. Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời
11
iz
z và .1
3
iz
iz
8. Tìm số phức z thỏa mãn
14
iz
iz
9. Tìm phần thực ;phần ảo ;mô đun số phức:1 tan
1 tan
i
i
10. Giải các phương trình sau trên C :
THPT Cẩm Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP -SSỐỐ PPHHỨỨCC
c. (z2+1)2+(z+3)2=0a. 01 32 izziz d. .0124 222 zzzz 11. Giải hệ phương trình hai ẩn phức 21, zz sau :
a/
izz
izz
25
422
21
21 b/
izz
izz
25
5522
21
21
12. Tìm một acgumen của mỗi số phức sau :
a.-1-i 3 ; b. 4
sin4
cos
i ; c. ;8
cos8
sin
i d. cossin1 i
;2
0
13. Cho PT : z2+ kz+1=0 (-2<k<2) .Chứng minh rằng các điểm biểu diễn nghiệm PT đã cho thuộc đường tròn đơn vị 14. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn
điều kiện sau : 2 1 3z z i z
15. Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau:
a. ;313
sin3
cos75 iii
b.
9
10
3
1
i
i
; c.
20002000 1
zz biết rằng .1
1
zz
18. CMR:3(1+i)2011= 4i(1+i)2009- 4(1+i)2007
19. Hỏi với số nguyên dương n nào, số phức n
i
i
33
33 là số thực, là số ảo?
20.Viết dạng lượng giác số z=1 3
2 2i .Suy ra căn bậc hai số phức z
BBÀÀII TTẬẬPP TTỰỰ RRÈÈNN
1) Tìm các số thực x, y sao cho: a) 3x + yi = 2y + 1 + (2 – x)i; b) 2x + y –1 = (x + 2y – 5)i. Hướng dẫn: a) x = 1, y = 1 b) x = –1, y = 3
2) Chứng tỏ rằng với mọi số phức z, ta luôn có phần thực và phần ảo không vượt quá môđun của nó.
Hướng dẫn: z = a + bi |z| = 2 2a b . Ta có |z| 2a = a và |z| 2b = b 3) Giải phương trình sau trên tập phức:
Hướng dẫn: 1 2 1 23, 4z z z z 1 2,z z là nghiệm phương trình 2 3 4 0z z với = 2( 7 )i
1,2
3 7
2
iz
6) Cho hai số phức 1 2,z z . Biết rằng 1 2 1 2,z z z z là hai số thực. Chứng tỏ 1 2,z z là hai nghiệm một
phương trình bậc hai với hệ số thực. Hướng dẫn: Đặt 1 2 1 2,z z a z z b với a, b R. Khi 1 2,z z là hai nghiệm phương trình 1 2( )( ) 0z z z z hay
21 2 1 2( ) 0z z z z z z 2 0z az b
7) Chứng minh rằng nếu 1z w thì số 1 01
z wzw
zw
là số thực.
Hướng dẫn: Ta có 2
. 1z z z
1 1
11 11 1 1
z w z w z w z wz wzw zwzw zw
zw
nên 1 0
1
z wzw
zw
là số thực.
8) Giải phương trình:
a) 23 6 3 13 0z i z i b)
23 3
3 4 02 2
iz iz
z i z i
c)
2 22 1 3 0z z
Hướng dẫn:
a) 2 3 3 23 6 3 13 0
3 3 2 3
z i i z iz i z i
z i i z i
b) 2
3 1 51
(1 ) 3 23 3 2 2 23 4 04 353 (4 ) 3 82 2
417 172
izz i
i z iiz iz z iiz i z iz i z i
z iz i
c) 2 22 2 21 3 0 1 ( 3) 1 ( 3) 0z z i z z i z z i
Phương trình 2 1 3 0z iz i có nghiệm 1 21 2 ; 1z i z i
Phương trình 2 1 3 0z iz i có nghiệm 3 41 2 ; 1z i z i
BBààii 11.. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z = 2( ) 2( ) 5x yi x yi . Với giá trị nào của x, y thì số phức trên là số thực. Hướng dẫn: Phần thực là 2 2 2 5x y x , phần ảo là 2( )xy y . Số phức trên là số thực khi y =
0 hoặc x = 1. BBààii 22.. Thực hiện các phép tính:
a) d) 3 3(1 2 ) (1 2 )i i ; g) 2010 2009(1 ) (1 )i i e) 2 2 1 2
1 2 2 2
i i
i i
BBààii 33.. Tìm z, biết:
a) (1 5 ) 10 2 1 5i z i i ; b) (3 2 ) 1 4i z i z c) 1 31
z ii i
i
d) 2 3
1 3 2 11
iz i z
i
; e) ( 2 3) 2 3 2 2i z i i ; f)
2 1 3
1 2
i iz
i i
g) 21 1 2 2
1
z iz i i
i
h)
1 22 3
1 1
i z iz i
i i
i) 2 2
1 5 51
iz ii z i
i
Hướng dẫn:
a) 1 2z i ; b) 1 3
5 5z i ; c) 2 3z i ; d)
1
5z i ;
THPT Cẩm Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP -SSỐỐ PPHHỨỨCC
BBààii 44.. Biết 1z và 2z là hai nghiệm của phương trình 2 3 3 0z z . Hãy tính:
a) 2 21 2z z ; b) 3 3
1 2z z ; c) 1 2
2 1
z z
z z ; d)
2 2
1 2z z
Hướng dẫn:
a) 2 21 2z z = –3; b) 3 3
1 2z z = 6 3 ; c) 1 2
2 1
z z
z z = –1; d)
2 2
1 2z z = 6.
BBààii 55.. Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng 3 và tích của chúng bằng 4.
Hướng dẫn: Hai số phức cần tìm là 1
3 7
2 2z i và 2
3 7
2 2z i
BBààii 66.. Giải các phương trình sau trên tập số phức: a) 2 8(1 ) 12 16 0z i z i ; b) 2 2 2 0z i z i ;
c) 2 2 1 4 0iz i z ; d) 2 5 8 0z i z i
Hướng dẫn: a) 2 , 8 6z i z i ; b) 1 22;z z i ; c) 1 22; 2z z i ; d)
1 22 ; 3 2z i z i
BBààii 77.. Giải các phương trình sau trên tập số phức: a) 4 26 25 0x x ; b) 4 216 100 0x x ; c) 4 23 3 3 0x x i d) 4 23(1 2 ) 8 6 0x i x i ; e) 4 7 24 0x i ; f) 4 28 96 0x i Hướng dẫn: a) 1 2 , 1 2x i x i ; b) 3 , 3x i x i ; c) 2 , 1x i x i
d) 2 , 1x i x i ; e) 2 , 1 2x i x i ; f) 3 , 1 3x i x i
BBààii 88.. Tìm z biết:
a) 2z z ; b) 2 2 4z z i c) 2 1 2z i z i và 1 10
10z
Hướng dẫn: Gọi z = x + y i z = x – y i và 2 2 2 2z x y xyi .
a) 2z z 2 2 (1)
2 (2)
x y x
xy y
(2) có nghiệm y = 0 thay vào (1) x = 0 hoặc x = 1
Nếu y 0 (2) có nhiệm x = –1
2 thay vào (1) y =
3
2
Vậy nghiệm của hệ là các cặp số 1 3 1 3
(0;0), (1;0), ; , ;2 2 2 2
Vậy phương trình có các nghiệm: z = 0; z = 1; z = 1 3
2 2i ; z =
1 3
2 2i
b) 2
43
z i c) 1 3 ; 1 3z i z i
BBààii 99.. Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa:
a) 2z i ; b) 3
13
z i
z i
; c) 1z z i ; d) (2 3 ) 2 0i z i m (m là tham số)
Hướng dẫn:
a) 2 2 2 22 ( 1) 2 ( 1) 2 ( 1) 4z i x y i x y x y
Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(0; 1), bán kính R = 2.
THPT Cẩm Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP -SSỐỐ PPHHỨỨCC
Bài 21. Tìm đa thức bậc hai hệ số thực nhận làm nghiệm biết:
a. = 25i b. = 2i 3 c. = 3 - 2i Bài 22. Giải phương trình sau biết chúng có một nghiệm thuần ảo:
a. z3iz22iz2 = 0. b. z3+(i3)z2+(44i)z7+4i = 0.
Bài 23. Xác định tập hợp các điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức: 2 2z i z z i . ĐS: 2
4
xy .
Bài 24. Trong các số phức thỏa mãn 3
2 32
z i . Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất.
HD: *Gọi z=x+yi. 3
2 32
z i … 2 2 92 3
4x y .
Vẽ hình |z|min z.
ĐS: 26 3 13 78 9 13
13 26z i
.
2. Tìm phần thực và phần ảo của số phức sau: 1+(1+i)+(1+i)2+(1+i)3+ … + (1+i)20. HD: Áp dụng công thức tính tổng của CSN. ĐS: phần thực 210, phần ảo: 210+1.
BBààii 11.. (Đề thi Cao đẳng năm 2009 – Khối A, B, D) a) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Cho số phức z thoả mãn 2(1 ) (2 ) 8 (1 2 )i i z i i z . Tìm phần
thực và phần ảo của z.
b) Chương trình Nâng cao (1 điểm) Giải phương trình 4 3 7
2z i
z iz i
trên tập .
Hướng dẫn: a) 2(1 ) (2 ) 8 (1 2 )i i z i i z 2(1 ) (2 ) (1 2 ) 8i i i z i 2 (2 ) 1 2 8i i i z i
8
1 2
iz
i
(8 )(1 2 )
1 4
i iz
10 152 3
5
iz i
. Phần thực là 2, phần ảo –3
b) 4 3 7
2z i
z iz i
2 (4 3 ) 1 7 0z i z i
Ta có = 2 2(4 3 ) 4(1 7 ) 3 4 (2 )i i i i . Phương trình có 2 nghiệm:
1
4 3 23
2
i iz i
và 2
4 3 21 2
2
i iz i
BBààii 22.. (Đề thi Đại học năm 2009 – Khối D) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả điều kiện | (3 4 ) | 2z i . Hướng dẫn: Đặt z = x + y i (x, y ) (3 4 ) 3 4 ( 3) ( 4)z i x yi i x y i
Ta có | (3 4 ) | 2z i 2 2( 3) ( 4)x y = 2 2 2( 3) ( 4)x y = 4
Tập hợp điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I(3; –4), bán kính R = 2 BBààii 33.. (Đề thi Đại học năm 2009 – Khối B) Chương trình Chuẩn (1 điểm)
Tìm số phức z thoả: | (2 ) | 10z i và .z z = 25. Hướng dẫn: Đặt z = x + y i (x, y ) (2 ) 2 ( 2) ( 1)z i x yi i x y i
Ta có | (2 ) | 10z i 2 2( 2) ( 1) 10x y 2 2 4 2 5 0x y x y (1)
Ta có .z z = 25 (x + y i )( x – y i ) = 25 2 2 25x y (2)
THPT Cẩm Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP -SSỐỐ PPHHỨỨCC
BBààii 44.. (Đề thi Đại học năm 2009 – Khối A) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Gọi 1z và 2z là hai nghiệm
phức của phương trình 2 2 10 0z z . Tính giá trị của biểu thức 2 2
1 2A z z .
Hướng dẫn: 2 2 10 0z z có = 1 – 10 = –9 = 2(3 )i . Nghiệm là 1 1 3z i , 2 1 3z i
Ta có: 1 1 9 10z và 2 1 9 10z nên 2 2
1 2 20A z z
BBààii 55.. (Đề thi Cao đẳng năm 2010 – Khối A, B, D) a) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Tìm phần thực, ảo của số phức z thỏa:
22 3 4 1 3i z i z i
b) Chương trình Nâng Cao (1 điểm) Giải phương trình 2 1 6 3 0z i z i
Hướng dẫn:
a) Gọi z = a + bi, ta có: 22 3 4 1 3i z i z i
2 6 4 8 22 3 ( ) 4 ( ) 1 3 6 4 (2 2 ) 8 6
2 2 6 5
a b ai a bi i a bi i a b a b i i
a b b
Vậy phần thực a = –2, phần ảo b = 5. b) 2 1 6 3 0z i z i có = 2 2(1 ) 4(6 3 ) 24 10 (1 5 )i i i i
Do đó phương trình có 2 nghiệm: 1
1 1 51 2
2
i iz i
; 2
1 1 53
2
i iz i
BBààii 66.. (Đề thi Đại học năm 2010 – Khối D) Chương trình Chuẩn (1 điểm)
Tìm số phức z thỏa: 2z và 2z là số thuần ảo
Hướng dẫn:
Gọi z = a + bi 2 2
2 2 2 2
z a b
z a b abi
. Theo đề ta có:
2 2 22 2
2 22 2 2 22 2
1 12 12
1 10 00
1 1 1 1
1 1 1 1
hoaëc
hoaëc hoaëc hoaëc
a aa b aa b
b ba b a ba b
a a a a
b b b b
Vậy z = 1 + i hoặc z = 1 – i hoặc z = –1 + i hoặc z = –1 – i. BBààii 77.. (Đề thi Đại học năm 2010 – Khối B) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, tìm
tập hợp điểm biểu diễn bởi số phức z thỏa 1 (1 )z i z
Hướng dẫn:
Gọi z = x + yi, ta có 2 2 2 2( 1) (1 )( ) ( 1) ( ) ( )x y i i x yi x y x y x y 2 2 2 22 1 0 ( 1) 2x y y x y . Tập hợp là đường tròn tâm I(0; –1), bán kính R = 2 .
BBààii 88.. (Đề thi Đại học năm 2010 – Khối A) a) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Tìm phần ảo của số phức z thỏa: 2( 2 ) (1 2 )z i i
b) Chương trình Nâng Cao (1 điểm) Cho số phức z thỏa: 3(1 3 )
1
iz
i
. Tìm môđun của số phức
z iz Hướng dẫn:
THPT Cẩm Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP -SSỐỐ PPHHỨỨCC
Tìm số hạng không chứa x rtrong khai triển nhị thức Newton của 18
5
12
xx , (x>0). ĐS: 6528
2. (ĐH_Khối D 2004)
Tìm số hạng không chứa x rtrong khai triển nhị thức Newton của 7
4
3 1
xx với x>0. ĐS: 35
3. (ĐH_Khối A 2003)
Tìm số hạng chứa x8 trong khai triển nhị thức Newton của n
xx
5
3
1, biết rằng
37314 nCC n
nnn , (n nguyên dương, x>0, ( k
nC là số tổ hợp chập k của n phần tử). ĐS: 495
4. (ĐH_Khối D 2005)
Tính giá trị biểu thức !1
3 341
n
AAM nn , biết rằng 14922 2
42
32
22
1 nnnn CCCC (n là số nguyên
dương, knA là số chỉnh hợp chập k của n phần tử và k
nC là số tổ hợp chập k của n phần tử)
ĐS: 4
3M
5. (ĐH_Khối A 2006)
Tìm số hạng chứa x26 trong khai triển nhị thức Newton của n
xx
7
4
1, biết rằng
122012
212
112
nnnn CCC , (n nguyên dương và k
nC là số tổ hợp chập k của n phần tử).
ĐS: 210 6. (ĐH_Khối D 2008) Tìm số nguyên dương n thỏa mãn hệ thức 204812
232
12 n
nnn CCC . ( knC là số tổ hợp chập k của n
phần tử). ĐS: n=6
7. (ĐH_Khối D 2007) Tìm hệ số của x5 trong khai triển thành đa thức của x(12x)5+x2(1+3x)10. ĐS: 3320 8. (ĐH_Khối D 2003) Với n là số nguyên dương, gọi a3n3 là hệ số của x3n3 trong khai triển thành đa thức của (x2+1)n(x+2)n. Tìm n để a3n3=26n. ĐS: n=5 9. (ĐH_Khối D 2002)
Tìm số nguyên dương n sao cho 0 1 22 4 2 243n nn n n nC C C C . ĐS: n=5
10. (ĐH_Khối B 2008)
Chứng minh rằng kn
kn
kn CCCn
n 111
2
1111
(n, k là các số nguyên dương, k≤n, knC là số tổ hợp chập k
của n phần tử).
11. (ĐH_Khối B 2007) Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển nhị thức Newton của (2+x)n, biết: 3nCn
03n1Cn1+3n2Cn
23n3Cn3+ … +(1)nCn
n=2048 (n là số nguyên dương, knC là số tổ hợp chập k của
n phần tử). ĐS: 22 12. (ĐH_Khối B 2003)
Cho n là số nguyên dương. Tính tổng nn
n
nnn Cn
CCC1
12
3
12
2
12 12
31
20
, ( knC là số tổ hợp
chập k của n phần tử). ĐS: 1
23 11
n
nn
THPT Cẩm Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP -SSỐỐ PPHHỨỨCC