On a Circle Placement Problem

8/8/2019 On a Circle Placement Problem

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C o m p u t in g 3 6, 1 - 1 6 ( 19 8 6) Computing9 by Springer-Verlag1986

O n a C i r c le P l a c e m e n t P r o b l e m *

B. M. Chazelle,P r o v i d e n c e , a n dD . T. Lee, E v a n s t o n

R e c e i v e d A u g u s t 2 4 , 1 9 84 ; r e v i s e d M a y 1 0, 1 98 5

A b s t ra c t - - Z u s a m m e n f a s s u n g

O n a C i r c l e P l a c e m e n t P r o b l e m .W e c o n s i d e r t h e f o l l o w i n g ci r c le p l a c e m e r i t p r o b l e m : g i v e n a s e t o fp o i n t s p i i = 1 , 2 , . . . , n , e a c h o f w e i g h t w i, i n t h e p l a n e , a n d a f i x e d d i s k o f r a d i u s r , f i n d a l o c a t i o n t o p l a c et h e d i s k s u c h t h a t t h e t o t a l w e i g h t o f t h e p o i n t s c o v e r e d b y t h e d i s k is m a x i m i z e d . T h e p r o b l e m i se q u i v a l e n t t o t h e s o - c a l l e d m a x i m u m w e i g h t e d c li q u e p r o b l e m f o r c ir c l e i n t e r s e c t i o n g r a p h s . T h a t i s ,g i v e n a s e t S o f n c i r c le s , D ~, i = 1 , 2 , . . . , n , o f t h e s a m e r a d i u s r , e a c h o f w e i g h t w~, f i n d a s u b s e t o f S w h o s ec o m m o n i n t e r s e c ti o n is n o n e m p t y a n d w h o s e t o ta l w e i g h t i s m a x i m u m . A n O ( n2 ) a l g o r i t h m i s p r e s e n t e df o r t h e m a x i m u m c l iq u e p r o b le m . T h e a l g o r i t h m i s b e t t e r t h a n a p r e v i o u s ly k n o w n a l g o r i t h m w h i c h isb a s e d o n s o r t i n g a n d r u n s i n O ( n2 log n ) t ime .

U b e r e i n P r o b l e m d e r K r e i s s c h e i b e n p l a z i e r u n g .D i e s e A r b e i t u n t e r s u c h t d a s f o l g e n d e O p t i m i e r u n g s -p r o b l e m : g e g e b e n se i e i n e M e n g e y o n P u n k t e n P i, i = 1 , 2 . . . . n , i n d e r E b e n e , j e d e r m i t G e w i c h t w i, u n de i n e K r e i s s c h e ib e m i t v o r g e g e b e n e m R a d i u s ; f i n d e e in e P l a z ]e r u n g d e r K r e i ss c h e i be , d ie d i e S u m m e d e rG e w i c h t e a l l e r f i b e r d e c k t e n P u n k t e m a x i m i e r t . D i e s e s P r o b l e m i s t ~ iq u iv a le n t z u m f o l g e n d e n P r o b l e md e f i n ie r t fi ir d e n S c h n i t t g r a p h e n v o n n k o n g r u e n t e n g e w i c h t e t e n K r e i s s c h e i b e n i n d e r E b e n e : b e s t i m m ee i n e C li q u e ( d i e k o r r e s p o n d i e r e n d e n K r e i s s c h e i b e n h a b e n e i n e n n i c h t l e e re n g e m e i n s a m e n D u r c h -s c h n i t t) , d i e d i e S u m m e d e r G e w i c h t e m a x i m i e r t . W i r p r ~ i s en t ie r e n e i n e n O ( n 2 ) - A l g o r i t h m u s f t ir d i e s e sP r o b l e m , w a s e i n e Ve r b e s s e r u n g d a r st e l lt g e g e n ii b e r d e m b e s t e n b i s h e r b e k a n n t e n A l g o r i t h m u s , d e rs o r t i e r t u n d O( n 2 l o g n ) a n L a u f z e i t b e n 6 t i g t .

I. Introduction

W e c o n s i d e r t h e f o l lo w i n g c i rc l e p l a c e m e n t p r o b l e m : g i v e n a s e t o f p o i n t s P i,i - - 1 ,2 . . . . . n , each o f we igh t wi, i n the p l an e , an d a f ixed d i sk o f r ad ius r, fi nd al o c a t i o n t o p l a c e t h e d i s k s u c h t h a t t h e t o t a l w e i g h t o f t h e p o i n t s c o v e r e d b y t h e d i s kis m a x i m i z e d . T h e p r o b l e m h a s a n a p p l i c a t i o n i n l o c a t i o n t h e o r y. C o n s i d e r n c it ie sw i t h d i f f er e n t p o p u l a t i o n s a n d a r a d i o s t a t i o n o f a fi x e d t r a n s m i s s i o n p o w e r. A n

* S u p p o r t e d i n p a r t b y t h e N a t i o n a l S c ie n c e F o u n d a t i o n u n d e r G r a n t s M C S 8 30 39 25 , M C S 8 34 2 68 2a n d E C S 8 3400 31, a n d O N R & D A R P A u n d e r c o n tr a c t N 0 00 1 4 -8 3 -K - 0 1 46 a n d A R PA O r d e rN o . 4 7 8 6 . A p r e l i m i n a r y v e r s io n w a s p r e s e n t e d a t th e 1 8 t h A n n u a l C o n f e r e n c e o n I n f o r m a t i o nS c i e n c e s a n d S y s t e m s , M a r c h 1 98 4, P r i n c e t o n , N . J .

1 Computing 36 /1- 2


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2 B.M . Chazelle and D. T. Lee:

o p t i m i z a t i o n p r o b l e m is t o f in d t h e s it e t o s et u p t h e s t a t i o n s o t h a t t h e m a x i m u mp o s s i b l e p o p u l a t i o n c a n r e c e iv e i ts s ig n a l. T h e p r o b l e m i s e q u i v a l e n t t o t h e f o l l o w i n gm a x i m u m w e i g h t e d c l iq u e p r o b l e m , T h a t i s , g i v e n a s e t S o f n c ir c le s , D i ,i = 1 , 2 . . . . . n , o f t h e s a m e r a d i u s r , e a c h o f w e i g h t w i , f i n d a s u b s e t o f S w h o s e c o m m o ni n t e r s e c t io n i s n o n e m p t y a n d w h o s e t o t a l w e i g h t is m a x i m i z e d . I n [ 6 , 7 ] t h e c a s e inw h i c h t h e o b j e c t s i n v o l v e d a r e r e c ta n g l e s i s s t u d i e d . A p r e v i o u s l y k n o w n s o l u t i o n[ 1 , 4 ] t o t h e u n w e i g h t e d m a x i m u m c l iq u e p r o b l e m is to s o r t t h e in t e r se c t io n p o i n t so f e a c h c i r c le a n d t h e o t h e r n - 1 c i rc l es a n d s c a n f o r e a c h c i r c le t h e i n t e r s e c t i o np o i n t s i n , sa y c l o c k w i s e o r d e r. D u r i n g t h e s c a n a c o u n t o f t h e n u m b e r o f i n t e r s e c t in gc i rc l es w i t h t h e c i rc l e u n d e r c o n s i d e r a t i o n i s m a i n t a i n e d , i .e . , t h e c o u n t i si n c r e m e n t e d b y 1 w h e n w e e n c o u n t e r a n i n t e rs e c t io n p o i n t a n d a r e a b o u t t o e n t e r th ei n t e r i o r o f t h e n e w c i r c l e c o n t r i b u t i n g t h e i n t e r s e c t io n p o i n t a n d is d e c r e m e n t e d b y 1w h e n w e l e a v e t h e c ir c le o f c o n c e r n . A g l o b a l l y m a x i m u m c o u n t i s r e t a i n e d .

Ev id en t ly, t h i s s chem e wo rks in t ime 0 (n 2 log n ), wh ich i s due to so r t ing thei n t e r s e c t i o n p o i n t s n t i m e s , o n e f o r e a c h c i r c l e , a n d o n l y o b t a i n s t h e m a x i m u mc a r d i n a l it y o f t h e s u b s e t o f S w h o s e c o m m o n i n t er s e c ti o n is n o n e m p t y. W i t h a na p p r o p r i a t e b o o k k e e p i n g t h e s u b s e t o f c ir cl es i n t h e m a x i m u m c l iq u e c a n a l so b eo b t a i n e d . A s fo r t h e w e i g h t e d c a s e , t h e c o u n t is i n c r e m e n t e d o r d e c r e m e n t e d b y t h ew e i g h t o f t h e c i rc l e i n v o l v e d . We s h a ll a d o p t t h e s a m e s t r a t e g y o f c o m p u t i n g t h em a x i m u m c li q u e i n th e u n w e i g h t e d o r w e i g h t e d c as e e x c e p t t h a t w e d o n o t p e r f o r ms o r t i n g a n d i n s t e a d o b t a i n a g r a p h - t h e o r e t i c r e p r e s e n t a t i o n o f t h e in t e r s e c t i o ng r a p h f o r m e d b y t h e s e n c ir c le s , w h i c h i s a p l a n a r g r a p h w i t h i n t e r s e c t io n p o i n t s a sthe ve r t i ces an d a rcs o f the c i r c le s a s the edges .

S i n c e t h e w e i g h t e d a n d u n w e i g h t e d c a s e s a r e s i m i l a r, w e s h a l l d e a l w i t h t h eu n w e i g h t e d c a s e f r o m n o w o n . L e t { D 1 , . .. , D ,} b e a s e t o f n d i s k s o f r a d i u s r. W e s h a llc o n s t r u c t t h e i n t e r s e c t i o n g r a p h G in a n i t e r a t iv e m a n n e r, i .e . , b y i n s e r t i n g a n e wd i sk , o n e a t a t i m e , i n t o a p r e v i o u s l y o b t a i n e d s t r u c t u r e . T h e s t r u c t u r e i s i n i ti a ll y se tt o b e e m p t y a n d w i ll b e r e p r e s e n t e d , i n g e n e r a l, b y a d j a c e n c y l is ts . T h e s t r u c t u r e isu p d a t e d u p o n i n s e r t i o n o f a n e w d i s k D b y t r a v e r s i n g e a c h f a c e o f G t h a t i n t e rs e c t st h e b o u n d a r y o l D , u p d a t i n g t h e a d j a c e n c y lis ts o n t h e fl y. T h e g r e e d y m e t h o d is ana n a l o g o f t h e o n e u s e d i n c o m p u t i n g t h e l i n e a r r a n g e m e n t o f n l in e s in t h e p l a n e[3 , 51 . I t can be eas i ly show n tha t t h i s ope ra t i on t akes O (n 2 ) t ime , bu t i t was an op enq u e s t i o n to d e c i d e w h e t h e r t h is b o u n d w a s o p t i m a l . We s h o w t h a t t h e g r e e d ya l g o r i t h m is i n f a c t l i n e a r, a n d is th e r e f o r e m o r e a t t r a c t i v e t h a n t h e b e s t m e t h o dp r e v i o u s l y k n o w n . I n t h e r e m a i n d e r o f t h is p a p e r w e w i ll s u cc e s si v e ly d e s c r i b e t h eb a s i c d a t a s t r u c t u r e , g i v e a p r e c is e d e f in i t io n o f t h e g r e e d y a l g o r i t h m , a n d f i n a ll ya n a l y z e it s c o m p l e x i t y. W e r e m a r k h e r e t h a t a s t r a ig h t f o r w a r d p l a n e s w e e pa l g o r i t h m [ 2 ] c o u l d b e u s e d t o s o l v e t h e m a x i m u m c l i q u e p r o b l e m i n O ((n + K ) l o g n)t im e , w h e r e K i s t h e n u m b e r o f a c t u a l i n t e r s e c t io n s b e t w e e n c i r cl es .

To a v o i d s i n g u l a r c a s es , w e i n t r o d u c e t w o d u m m y v e r t i c e s o n t h e b o u n d a r y : , D * , o fe a c h d i s k D~. T h e s e v e r t i c e s c o r r e s p o n d r e s p e c t i v e l y t o t h e l o w e s t a n d h i g h e s t p o i n t s

o n D * . W i t h t h is m i n o r a d d i t i o n , e a c h e d g e o f D i n o w b e l o n g s t o t a l l y to e i t h e r t h e l e fto r r i g h t p a r t o f D z. F i g . 1 d e p i c t s t h e b a s i c d a t a s t r u c t u r e a n d i ts r e l a t i o n t o t h ep l a n a r g r a p h G . T h e r e p r e s e n t a t i o n c o n s i s ts o f a l is t o f 9 - fi el d r e c o r d s , e a c h r e c o r db e i n g a s s o c i a t e d w i t h a n e d g e o f G . R e c o r d f o r e d g e e s t o r e s 1 . p o i n t e r s t o t h ecoo rd in a te s o f i t s end po in t s ; 2 . a f lag to ind ica te o n w hich s ide ( le f t o r r igh t ) o r i t s


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On a Ci rc le P lacemen t Problem 3

B OHANDLsFig. 1

E : ~ B F L A G A B C D G H

s u p p o r t i n g d i s k i t l ie s ; 3. p o i n t e r s t o t h e f o u r e d g e s e m a n a t i n g f r o m e cl o c k w i s e a n d

c o u n t e r c l o c k w i s e a r o u n d i t s e n d p o i n t s ; 4 . p o i n t e r s t o t h e t w o e d g e s a d j a c e n t t o e o ni ts s u p p o r t i n g d i sk , D~. T h e d a t a s t r u c t u r e i s s i m i la r t o t h e d o u b l y - c o n n e c t e d - e d g e -l is t r e p r e s e n t a t i o n o f a g r a p h [ 8 , 9 ] . I n g e n e r a l , e a c h n o d e i n G h a s d e g r e e fo u r,e x c e p t fo r t h e t o p a n d b o t t o m p o i n t s o f t h e d i s ks , w h i c h h a v e i n g e n e r a l d e g r e e 2.F i n a l l y, f o r e a c h d i s k D ~, w e k e e p a p o i n t e r t o a n a r b i t r a r y e d g e o f G t h a t l ie s o n D * .T h i s p o i n t e r, c a l le d t h e h a n d l e o f D ~, w i ll a l lo w u s t o w a l k a r o u n d a n y d i s k w i t h o u ta n y p r e l i m i n a r y s e a r ch .

T h i s r e p r e s e n t a t i o n o f G a l lo w s u s t o t r a v e r s e t h e b o u n d a r y o f e a c h f a c e i n c l o c k w i s eo r c o u n t e r c l o c k w i s e o r d e r i n t i m e p r o p o r t i o n a l t o t h e d e s c r i p t i o n - si z e o f t h e f ac e .

T h i s o p e r a t i o n i s t h e b a s i s o f t h e g r e e d y a l g o r i t h m , w h i c h w e p r o c e e d t o d e s c r i b ea f t e r s e t ti n g s o m e n o t a t i o n . E a c h d i s k D~ h a s i ts b o u n d a r y d e n o t e d D * a n d i ts c e n t e r,C~. S i m i l a rl y, D * a n d C d e n o t e r e s p e c t i v e l y t h e b o u n d a r y a n d t h e c e n t e r o f D , t h en e w d i s k t o b e i n s e r te d . L e t G * b e t h e p l a n a r g r a p h f o r m e d b y {D 1 . . . . , D n , D }. G *a l w a y s h a s e x a c t l y o n e u n b o u n d e d f a c e , w h i c h m a y p o s s i b l y c o n t a i n h o l e s . A f ac e o fG* is ca l led af a c e t of D i f i t l ie s ou t s id e o f D and con ta ins an edge ly ing en t i r e ly onD * . A n y i n t e r s e c t i o n p o i n t b e t w e e n D * a n d D * is c a l le d a nanchor, a n d t h e t w o e d g e so n D * a d j a c e n t t o t h e a n c h o r a r e c a l l e d t h ebases o f t h e a n c h o r. N o t e t h a t a g iv e nf a c e t a l w a y s h a s t w i c e a s m a n y a n c h o r s a s b a s e s .

2. The Greedy Algorithm

B e f o r e d e s c r i b i n g t h e a l g o r i t h m , w e m u s t i n v e s t i g a t e t h e p o s s i b le c o n f i g u r a t i o n s o ff a ce t s. To b e g i n w i t h , w e d e f in e t h e n o t i o n o f t r a v e rs a l . C o n s i d e r t h e b o u n d a r y o f af a c e t f , a n d r e m o v e i ts b a s e s. W e o b t a i n a s e t o f d i s j o in t p a t h s i n G * , w h i c h a r e c a l le dtraversals (F ig . 2 ). Tec hn ic a l ly, a t r ave r sa l T is s imply a se que nce o f a rc s , bu t t het e rm i t sel f sugges t s the ac tua l v i s i t o f t he a rc s . We wi l l t he re fo re m ak e u se o f thee x p r e s s i o n : " t o p e r f o r m a t r a v e r s a l T " a s r e f e rr i n g t o t h e a lg o r i t h m i c n o t i o n o fv i s i t i n g t h e e d g e s o f T i n t u r n . T h i s c a n b e a c c o m p l i s h e d e i t h e r c l o c k w i s e o rc o u n t e r c l o c k w i s e w i t h r e s p e c t t o t h e f a c e e n c o m p a s s e d . T is s a i d t o b e aposit ivetraversali f the face l ies to th er ight ( c lockwise ) an d anegative traversali f the face l iest o t h e l e f t ( c o u n t e rc l o c k w i s e ) . N o t e t h a t a d i r e c t e d t r a v e r s a l a l w a y s h a s o n e s t a r t i n gp o i n t . F r o m n o w o n , u n l e s s s p e c if ie d o t h e r w i s e , t ra v e r s a l s ~w i ll b e u n d e r s t o o d a sd i r e c t e d t r a v e rs a l s . W e d i s t i n g u i sh b e t w e e n t w o i m p o r t a n t c l a ss e s o f t r a v e rs a l s .


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Fig. 2

D e f i n i t i o n 1 : L e t p b e t h e s t a r t i n g p o i n t o f a d i r e c t e d t r a v e r s a l T ( e i t h e r p o s i t i v e o rn e g a t iv e ) . I f t h e E u c l i d e a n d i s t a n c e b e t w e e n p a n d e v e r y p o i n t ( n o t ju s t v e r t ic e s ) o f Ti s s t r i c t ly sm a l l e r t h an 2 r, t he t r ave r sa l i s s a id t o bebounded; o the rw i se i t is c a l ledwide.N o t e t h a t t h e s e n o t i o n s a r e d e f in e d o n l y fo r d i r e c t e d t r a v e r s a l s , w h i c h m e a n s ,

i n p a r t ic u l a r , t h a t a t r a v e r s a l m a y b e b o u n d e d i n o n e d ir e c ti o n a n d w i d e in t h e o t h e r.W e w i ll s h o w l a te r o n t h a t a b o u n d e d t r a v e r s a l h a s th e v e r y n ic e p r o p e r t y t h a t i tse n d p o i n t s c o n s t i t u t e a b a s e . F u r t h e r m o r e , a l l b u t a t m o s t a c o n s t a n t n u m b e r o ft r a v e r s a l s a r e b o u n d e d . T h i s w i ll p r o v i d e t h e b a s i s o f t h e g r e e d y a l g o r i t h m . I n t h ef i rs t s t age , le t ' s e s t ab l i sh t he va l id i t y o f t he se tw o c l a ims , t he n l e t ' s u se t h em toc o m p l e t e l y s p e ci fy th e g r e e d y a l g o r i th m . B e f o re p r o c e e d i n g , w e m u s t i n t r o d u c e an o t i o n o f t o p o l o g i c a l o r i e n t a ti o n f u n d a m e n t a l i n th e f o ll o w in g .

L e t p a n d q b e t w o p o i n t s o n a s i m p l e c l o s e d c u r v e , C , a n d c o n s i d e r a s i m p l e d i re c t e dc u r v e ru n n i n g f r o m p t o q a n d l y in g c o m p l e t e l y o u t s id e o f C . F r o m g e n u sc o n s i d e r a t io n s w i t h r e s p e c t to t h e r e g i o n o b t a i n e d b y r e m o v i n g t h e i n t e r io r o f Cf r o m t h e p l a n e , i t e a s i l y f o l l o w s t h a t t h e r e a r e e x a c t l y t w o t o p o l o g i c a l l y d i s t i n c tc l a ss e s o f d i r e c t e d c u r v e s f r o m p t o q . I n o n e c a s e , t h e c u r v e r u n s a r o u n d C c l o c k w i s es o th a t t h e b o u n d e d r e g i o n e n c o m p a s s e d b y t he c u r v e a n d C lie s t o th e r i g h t a n d i ss a i d t o b e positively oriented around C;i n t h e o t h e r c a s e , t h e c u r v e r u n sc o u n t e r c l o c k w i s e , a n d i s t h u snegatively oriented(F ig . 3 ) . When we use t h i s no t ionl a t e r o n , C w i ll b e e i t h e r a c i rc l e o r t h e o u t s i d e b o u n d a r y o f s e v e r a l i n t e r s e c t in g d i s k s.

I n t h e f o l lo w i n g , w e w i ll u s e t h e t e r m p a t h i n th e g e o m e t r i c o r t h e g r a p h - t h e o r e t i cs e n s e i n d i f f e r e n t l y, w h e n t h e r e i s n o a m b i g u i t y f r o m t h e c o n t e x t . F o r e x a m p l e , w e

w i ll r e f e r t o t h e p o s i t i v e o r n e g a t i v e o r i e n t a t i o n o f a d i r e c t e d p a t h i n G * f r o m a p o i n to n D * t o a n o t h e r. F o r c o n v e n i e n c e , w e i n t r o d u c e t h e f o l lo w i n g p ie c e o f n o t a t i o n : l e tK b e a d i sk a n d A a n a r b i t r a r y p o i n t i n t h e p l a n e d i s t i n c t f r o m i ts c e n te r. T h e l i n e Lp a s s i n g t h r o u g h A a n d t h e c e n t e r o f K i n t e r s e c t s t h e d i s k i n t w o p o i n t s a a n d b , w i t hs a y b t h e f u r th e r a w a y f r o m A . We d e fi ne R ( A , K ) t o b e th e u n i q u e r a y s u p p o r t e d b y


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On a Circle Placement Problem 5

Fig. 3

L , e m a n a t i n g f r o m b , a n d n o t i n t e r se c t in g K . I f p a n d q a r e tw o p o i n t s o n D * , w ed e s i g n a t e t h e a r c r u n n i n g c l o c k w i s e f r o m p to q b y A (p , q ). F i n a l l y o b s e r v e t h a t i f at r a v e r s a l s t a r t s a t a p o i n t p w h i c h i s i n s id e ( r e sp . o u t si d e ) a d i s k D i , t h e n t h e p a t ht r a v e r s e d m u s t r e m a i n i n ( r e s p . o u t o f ) D i , i . e . , a n y t r a v e r s a l m u s t b econsis tent .

F u r t h e r m o r e , i f t h e t r a v e r s a l is i n si d e s o m e d i sk , it m u s t b e b o u n d e d . N o t e t h a t t h ec o n v e r s e i s n o t n e c e s s a r i l y t r u e .

L e m m a 1 9Le t T be a (d i rec ted ) bound ed t r ave r sa l f ro m p to q. T hen the endpo in t s o f Tspa n a base , wh ich i s the a rc A (p , q) (resp . A (q , p) ) i f T i s pos i t ive ( resp . n egat ive) .

P r o o f : A s s u m e w i t h o u t l o ss o f g e n e r a l i t y t h a t T is a b o u n d e d p o s i t i v e t r a v e r s a l ; t h en e g a t i v e c a s e i s t r e a t e d s i m i la r l y. L e t R b e t h e b o u n d e d r e g i o n e n c l o s e d b y D * a n d T(F ig . 4 ). W e wi ll f ir s t p ro ve tha t no d i sk D i c an in t e r sec t R s t r i c t ly ( i. e . in t e r sec t t hein t e r io r o f R) . I f such a d i sk i n t e r sec t s R , i t is e a sy to sh ow tha t t he r ay R (p , D~) m us ti n t e r s e c t T a t l e a s t o n c e , w h i c h i s a c o n t r a d i c t i o n , s i n c e T i s a b o u n d e d t r a v e r s a l .

F r o m t h is r e s u lt w e i m m e d i a t e l y d e r iv e t h a t T m u s t b e p o s i ti v e ly o r ie n t e d a r o u n dD * , a n d a s w e j u s t s a w, R i s f re e o f s t ri c t i n t e rs e c t i o n w i t h a n y D i. T h i s i m p l i e s t h a t Ris p r e c i s e l y t h e f a c e t c o r r e s p o n d i n g t o T, a n d t h a t t h e a r c A (p , q ) is th e u n i q u e b a s e o fth is face t .

R(P,D~)

Fig. 4


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6 B . M . C h a z e l le a n d D . T. L e e :

W e a r e n o w r e a d y t o s h o w t h a t m o s t d i r e ct e d t ra v e r s a l s a re b o u n d e d . T o d o s o , w eg i v e, w i t h o u t p r o o f , t w o e l e m e n t a r y r e s u l ts o n t h e r e l a t i v e p o s i t i o n o f s e v e r a l c ir c le s .

L e m m a 2: I t i s imposs ib le to a r range more than 5 d i sks of rad ius r, wi th each

in te rsec t in9 D, bu t no two in te rsec t ing each o ther ou ts ide D.

Fig . 5 a dep ic t s a p l ac em en t o f 6 d isks , wh ich i s t i gh t i n t ha t each d i sk i n t e r sec t s Da n d i t s t w o n e i g h b o r s o n l y o n t h e i r b o u n d a r y.

D e f i n i t i o n 2 : A s s u m e t h a t t h e r e g i o n o u t s i d e t h r e e d i s k s o f r a d i u s r h a s t w oc o n n e c t e d c o m p o n e n t s . O n e o f t h e m h a s t o b e b o u n d e d ; i t is c a ll e d th et r ipod o f t h et h r e e d i s k s . N o t e t h a t t h r e e d i s k s w i l l o f t e n n o t f o r m a n y t r i p o d .

L e m m a 3 : T h et r ipod o f t h r ee d i sks o f r ad iu s r c anno t con t a in two 'po in t s more t han rapa r t f r o m each o the r.

Fig . 5 b i l l u s t r a t e s t he ca se wh e re t he d i s t a nce r is a c tu a l ly a ch i eved .

We a r e n o w i n a p o s i t i o n t o p r o v e t h e s e c o n d c l a i m m a d e e a r l i e r c o n c e r n i n g t h es c a r c i t y o f w i d e t r a v e r s a l s .

( a ) '

T R I P O D

(b )

F ig . 5

L e m m a 4: There a r e a t mos t a cons t an t number o f w ide t r ave r sa l s .

P r o o f : L e t V b e t h e c l o c k w i s e s e q u e n c e o f a n c h o r s t h a t a r e t h e s t a r t in g p o i n t s o fw i d e p o s i t i v e t r a v e r s a l s . T h i s s e q u e n c e i s u n i q u e l y d e f i n e d u p t o a c i r c u l a rp e r m u t a t i o n . L e t P I , P 2, P 3 b e t h r e e c o n s e c u t i v e a n c h o r s i n V, a n d l e t D i b e t h e d i s kc o n t r i b u t i n g t h e e d g e o f t h e w i d e tr a v e r s a l a n c h o r e d a t P 2. S i n c e a n y t r a v e r s a l m u s tb e c o n s i st e n t , i. e. , n o t r a v e r s a l c a n g o t h r o u g h b o t h t h e i n t e r io r a n d t h e o u t s id e o fa n y d i s k i n S , a n d s in c e D i c a n n o t c o n t a i n a w i d e t r a v e r s a l i n i ts i n t e r io r , i t f o ll o w st h a t t h e i n t e r s e c t i o n o f Di a n d D * m u s t b e a s u b - a r c o f A ( P l, P 3)- I d e n t i f y i n g s u c hd i sks fo r eve ry o the r e l e m en t i n V lead s t o a s e t o f [_l V[ /2J d i sks , a l l i n t e r sec t ing D .S u p p o s e n o w t h a t t w o o f t h e s e d i s k s i n t e r s e c t o u t s i d e o f D . S i n c e th e r e i s a t l e a s t o n es t a r ti n g p o i n t p o f V b e t w e e n t h e m , t h e y m u s t f o r m a t r i p o d w i t h D , b u t L e m m a 3


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s h o w s t h a t t h i s w i ll f o r c e a n y t r a v e r s a l e m a n a t i n g f r o m p to b e b o u n d e d , h e n c e ac o n t r a d i c t i o n . T h i s s et s t h e c o n d i t i o n s o f L e m m a 2 , f r o m w h i c h w e d e r iv e t h ei n e q u a l i t y, [[ V [ / 2 i < 5 , w h i c h c o m p l e t e s t h e p r o o f .

We a r e n o w r e a d y t o d e s c r i b e t h e g r e e d y a l g o r i t h m i n i t s e n t i r e t y. C o m p u t e a l li n t e r s e c t io n s b e t w e e n D a n d D i, f o r i = 1 , . .. , p , a n d m a k e t h e s e p o i n t s t h e u n m a r k e de l e m e n t s o f a s e t Q , i n i t i a ll y e m p t y. T h e a l g o r i t h m w i ll i n v o l v e m a r k i n g t h e e l e m e n t so f Q o n e a f t e r t h e o t h e r , a n d w i ll t e r m i n a t e w h e n a l l o f t h e m h a v e b e e n m a r k e d a tl e a st o n c e . I f n o i n t e r s e c t i o n p o i n t s a r e f o u n d t o b e i n s e r t e d i n t o Q i n t h e f ir s t p l a c e , itis tr i v i a l t o c o m p l e t e t h e a l g o r i t h m , s o w e w i ll a s s u m e t h a t Q 4 : 0. L e t p b e a nu n m a r k e d e l e m e n t o f Q . N o t e t h a t p is a n a n c h o r , a n d t h u s t h e s ta r t in g p o i n t o f t w od i r e c t e d t r a v e r s a l s , o n e p o s i t i v e a n d t h e o t h e r n e g a t i v e . W ~ e9w i l l o p e r a t e i n t w os ta g e s , o n e w i t h r e s p e c t t o e a c h t r a v e r s a l . B e c a u s e o f s y m m e t r y, w e m a y d e s c r i b et h e s e q u e n c e o f a c t i o n s o n l y f o r t h epositive t r a v e r s a l , d e n o t e d T, w i t h t h eu n d e r s t a n d i n g t h a t a s y m m e t r i c t a s k w i ll h a v e t o b e e x e c u t e d w i t h r e s p e c t to t h en e g a t i v e t r a v e r s a l r i g h t a f t e r c o m p l e t i o n o f t h e f i r s t s ta g e .

M a r k p a n d l o c a t e it s s u p p o r t i n g e d g e in G , o n D i . W e c a n d o t h i s in O (n ) t i m e b ys i m p l y s t a r t i n g a t t h e h a n d l e o f D~ a n d w a l k i n g t h r o u g h t h e a d j a c e n c y l is ts o f G ( o fc o u r s e , w e w i ll n o t h a v e t o r e p e a t t h i s w o r k a t t h e s e c o n d s t a g e) . N e x t , p e r f o r m t h ep o s i t i v e t r a v e r s a l , T, s t a r t i n g f r o m p . I f T i s b o u n d e d , i t w i ll l e a d t o a n a n c h o r qw h i c h , b y L e m m a 1 , i s k n o w n t o f o r m a b a s e w i t h p , v i a t h e a r c A (p , q ). T h i s a l l o w su s t o i n s e r t t h e b a s e i n t o G a n d u p d a t e a l l t h e a p p r o p r i a t e r e c o r d s , w h i c h i np a r t i c u l a r i n v o l v e s sp l i tt i n g t h e t w o e d g e s o f G c u t o u t b y p a n d q , a n d r e s t o r i n g t h ep r o p e r li n k s b e t w e e n a d j a c e n t e d g e s. A t t h i s st a g e , w e m a r k q a n d s t a r t t h euniquep o s i t iv e t r a v e r s a l e m a n a t i n g f r o m q . W e w i ll it e r a t e o n t h is p r o c e s s , i .e . , p e r f o r m i n gs u c ce s s iv e p o s i t i v e t r a v e r s a ls , u n t i l e it h e r w e r e a c h a n a n c h o r t h a t i s m a r k e d o r w ed e t e c t a w i d e t r a v e r s a l , w h i c h e v e r o c c u r s f ir st . N o t e t h a t t h e l a t t e r c o n d i t i o n c a n b ec h e c k e d i n c o n s t a n t t i m e a t a n y s t e p . W h e n t h is p r o c e s s t e r m i n a t e s , w e p e r f o r m t h ei d e n t i c a l se r ie s o f o p e r a t i o n s , s t a r t i n g n e g a t i v e t r a v e r s a l s f r o m p . W h e n b o t h s ta g e sh a v e b e e n c o m p l e t e d , w e p i c k a n y u n m a r k e d p o i n t i n Q , l o c a t e it in G i n O (n ) t i m e ,a n d i t e r a t e o n t h e s a m e p r o c e s s , u n t i l w e r e a c h t e r m i n a t i o n .

C o n s i d e r n o w t h e s e q u e n c e Vo f b a s e s i n G * g i v en , s a y, in c l o ck w i s e o r d e r a r o u n d D .B e t w e e n t w o s u cc e ss iv e se l ec ti o n s o f a n u n m a r k e d a n c h o r i n q , w e k n o w f r o mL e m m a 1 t h a t w e w i ll fi n d ( a n d i n s e r t i n t o G ) a s u b s e t o f b a s e s, y e t u n d i s c o v e r e d ,w h i c h c o n s t i t u t e a s u b s e q u e n c e o f V. F o r t h i s r e a so n , w e c a n e a s il y p r o v e b yi n d u c t i o n t h a t t h e e n d p o i n t s o f a l l t h e s e s u b s e q u e n c e s a r e a n c h o r s t h a t a r e a l s os t a rt i n g p o i n t s o f a t l e a st o n e w i d e t r a v e rs a l . We c a n t h e n u s e L e m m a 4 t o c o n c l u d et h a t , i n t h e e n d , a ll th e b a s e s o f V w i ll h a v e b e e n f o u n d a n d i n s e r t e d i n G , e x c e p t f o r a tm o s t a c o n s t a n t n u m b e r o f t h e m . T h i s s h o w s t h a t t h e s e q u e n c e V a p p e a r s i n G , a tt h a t p o i n t , a s a c h a i n w i t h a t m o s t a c o n s t a n t n u m b e r o f m i s s i n g li n k s. B ym a i n t a i n i n g t h e e n d p o i n t s o f t h e se c h a in s b y a n g u l a r o r d e r a r o u n d C , w e c a n

i m m e d i a t e l y m e rg e t h e c h a i n s t o g e t h e r a n d r e c o n s t i tu t e t h e c o m p l e t e s eq u e n c e Vi nc o n s t a n t t i m e .

T h i s c o m p l e t e s t h e d e s c r i p t i o n o f t h e g r e e d y a l g o r i t h m . W e m u s t n e x t e s ta b l i s h it sc o m p l e x i t y, a n d t o d o s o , a f ew p r e l i m i n a r y r e m a r k s a r e i n o r d e r. F i r s t o f a ll , t h ea l g o r i t h m c l e a r l y r e q u i r e s O (n ) t i m e i f w e d i s c o u n t a ll t h e t r a v e r s a l s p e r f o r m e d . T h e


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m a i n d i ff ic u l ty n o w r e s id e s i n e v a l u a t i n g t h e n u m b e r o f st e p s in v o l v e d i n th e s et r a v e r s a l s . B e c a u s e o f o u r c h o i c e o f d a t a s t r u c t u r e u s e d i n t h e a l g o r i t h m , t h isq u a n t i t y i s p r o p o r t i o n a l t o t h e t o t a l n u m b e r o f e d g e s v is i te d d u r i n g t h e t r a v e r s a l s .L e t C (n ) b e t h e m a x i m u m n u m b e r o f e d g e s v i s it e d i n a ll th e p o s i t i v e t r a v e r s a ls . B ys y m m e t r y t h i s w il l a l s o g i v e a m e a s u r e o f t h e c o s t i n c u r r e d i n t h e n e g a t i v e t r a v e r s a l s .We c o n c l u d e w i t h t h e f o l l o w i n g r e s u l t , w h i c h s e t s t h e s t a g e f o r t h e c o m p l e x i t ya n a l y si s o f th e g r e e d y a l g o r i t h m .

Lemma 5 : T h e worst-case running time of the greedy algorithm is 0 (n + C (n)).

3. Complexity Analysis

W e i n t r o d u c e s o m e n o t a t i o n w h i c h w i ll h e l p i d e nt if y th e b a s i c c o m p o n e n t s o f t h et i m e c o m p l e x i t y. R e c a l l t h a t a l l t h e t r a v e r s a l s ( p o s i t i v e o r n e g a t i v e ) a c t u a l l yp e r f o r m e d in t h e c o u r s e o f t h e g r e e d y a l g o r i t h m a r e b o u n d e d , e v e n t h o u g h t h e ym i g h t b e s u b - p a r t o f w i d e t r a v e rs a l s. F o r a ll p u r p o s e s , t h e re f o re , w e c a n r e g a r d a n yt r a v e r s a l p e r f o r m e d in t h e a l g o r i t h m a s a b o u n d e d t r a v e rs a l . R e c al l t h a t f r o m n o wo n w e w i ll d e a l e x c l u si v e l y w i t h p o s i t i v e t ra v e r s a l s . F o r t h is r e a s o n , w e r e f e r t o a n yp o s i t i v e t r a v e r s a l p e r f o r m e d i n t h e a l g o r i t h m a s a b o u n d e d p o s i t i v e t r a v e r s a l , o rB P T f o r s h o r t . N o t e t h a t w i t h r e s p e c t t o a g i v e n fa c e t , a n y e d g e c a n b e c la s s if ie d a se i t h e r c o n v e x o r c o n c a v e . A n e d g e o f G w i ll i n g e n e r a l c o n t r i b u t e z e r o o r o n e f a c e t-

e d g e . O c c a s i o n a l l y, i t w i ll c o n t r i b u t e t w o : a c o n v e x o n e a n d a c o n c a v e o n e . I t w i l l b er e la t iv e l y e a s y to f in d a n u p p e r b o u n d o n t h e n u m b e r o f c o n v e x e d g e s, b u tu n f o r t u n a t e l y, d e a l i n g w i t h c o n c a v e e d g e s w i ll r e q u i r e a s l ig h t ly h e a v i e r t r e a t m e n t .F o r t h is r e a s o n , w e n o w t a k e a c l o s er l o o k a t t h e n a t u r e o f c o n c a v e e d g e s .

To c h a r a c t e r i z e t h e r e l a t i v e p o s i t i o n o f a c o n c a v e e d g e e , w e i n t r o d u c e t h e n o t i o n o fL - , R - , a n d F - e d g e s . L e t D i b e t h e d i s k s u p p o r t i n g e a n d l et P b e t h e d i r e c t e d p a t hf rom p to v, wh e re p i s t he s t a r t i ng po in t o f t he po s i t i ve t r ave r sa l v i s i t i ng e , an d v i s t hef ir st e n d p o i n t o f e e n c o u n t e r e d d u r i n g t h e t r a v e r s a l . A s s u m e n o w t h a t D i c~ D =/: 0 ,a n d l et C d e n o t e t h e b o u n d a r y o f D u D i.

D e f i n it io n 3 : T h e c o n c a v e e d g e e i s c a l le d a nL-edge( resp . R-edge )if P is negatively( resp . positively)o r i e n t e d a r o u n d C . I f e i s a c o n c a v e e d g e b u t i ts s u p p o r t i n g d i s k , D i ,does no t i n t e r sec t D , i t i s c a l l ed anF-edge.

F i g . 6 i l lu s t r a te s t h e s e v a r i o u s n o t i o n s . N o t e t h a t a n y c o n c a v e e d g e h a s a u n i q u et y p e : L , F, o r R . F i n a l l y, w e i n t r o d u c e t h e c o n c e p t o fessentiale d g e s . W e s a y t h a t ac o n v e x e d g e o f a B P T isessential i f i t is i m m e d i a t e l y p r e c e d e d a n d f o l lo w e d b yc o n v e x e d g e s in t h e B P T. To e x t e n d t hi s n o t i o n t o c o n c a v e e d g e s, w e c o n s id e r t h es u b l i st V o f c o n c a v e e d g e s in t h e o r d e r i n d u c e d b y t h e B P T. A n e d g e e o f V is c a l le dessentiali f i t is p r e c e d e d a n d f o l l o w e d in V b y a t l e a s t o n e e d g e o f t h e s a m e t y p e( th e s e e d g e s d o n ' t h a v e t o b e i m m e d i a t e p r e d e c e s s o r s a n d s u c c e s s o r s o f e i n V ).N o t i c e t h e b a s i c d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e d e f i n i t i o n " e s s e n t i a l " f o r c o n v e x a n dc o n c a v e e d g e s . I n t h e f i rs t c a s e , w e i n s is t o n a d j a c e n c y i n t h e B P T , w h e r e a s i n th el a tt e r, w e r e q u i re o n l y t h a t a t l e a s t o n e e d g e o f t h e s a m e t y p e a p p e a r s s o m e w h e r ebe fo re an d a f t e r e i n t he l is t V. In a l l c a se s , how eve r, we a r e ab l e t o a s s oc i a t e a pa i r o f


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L-EOGE

R - E D G E F - E D G E

Fig. 6

e d g e s ( n o t n e c e s s a r i ly u n i q u e ) w i t h e a c h e s s e n ti a l e d g e . We w i ll o f t e n u se t h i s n o t i o no f " a s s o c i a t i o n " l a t e r o n .

L e t C v (n), C L (n), C v (n), C R (n)d e n o t e t h e n u m b e r o f e d g e s v is i te d d u r i n g a ll th eB P T ' s a n d f a ll in g r e s p e c t i v e l y i n t h e f o l l o w i n g c a t e g o r y : 1. e s s e n t ia l c o n v e x e d g e s ;2 ., 3 ., 4. e s s e n ti a l c o n c a v e e d g e s o f ty p e L , F, a n d R , r e s p e c t iv e l y. O u r p l a n o f a t t a c kf o r t h e f o l lo w i n g w i ll b e i n s p i r e d b y t h e f o l l o w i n g l e m m a .

L e m m a 6: C (n) = 0 (n + C v (n) + C L (n) + C v (n) + CR (n)).

Proof : A f e w k e y o b s e r v a t i o n s w i ll su f fi ce t o s u b s t a n t i a t e o u r c l a im . W e c a n r e g a r de a c h B P T a s a w o r d f o r m e d o v e r t h e a l p h a b e t{ V, L , F, R } , w i t h e a c h l e t t e ri n d i c at i n g a n e d g e - t y p e ( c on v e x ,L , F, R ) . L e t # X d e si g na te t h e n u m b e r o fo c c u r r e n c e s o f l e t te r s X . W e c l e a r l y h a v e

(r V < C v ( n ) + 2 ( I + # L + # F + # R ) ,

w i t h r e s p e c t t o e a c h w o r d . S i n c e t h e r e a r e a t m o s t 2 n w o r d s , w e g l o b a l l y h a v e

# V < _ C v (n ) + 2( 2n + # L + # F + # R ) .

A n y B P T h a s a t m o s t t w o n o n - e s s e n ti a l c o n c a v e e d g es o f e a c h t y p e , t h e r e f o res u m m i n g o v e r a l l t h e w o r d s , w e d e r i v e t h e i n e q u a l i t y,

# L + # F + # R < C L ( n ) + C v ( n ) + C R ( n )+ 1 2 n ,

w h i c h c o m p l e t e s th e p r o o f .

T h e r e m a i n d e r o f t h i s s e c ti o n w i ll b e a s e q u e n c e o f l e m m a s e s t a b l i s h i n g u p p e rb o u n d s o n e a c h o f t h e q u a n t i ti e s ,C v (n), C L (n), C v(n), an d CR (n).B e f o r e p r o c e e d i n g ,we wi l l e s t ab l i sh a t e chn ica l r e su l t wh ich w e wi ll u se on seve ra l occas ions l a t e r o n .

L e m m a 7 : L et L + and L be the two half-planes delimited by a l ine L, and let the disk

D~ be tan gent to L in L +. L et A be the poin t o f contac t , L c~ D*. I f a traversal startsf rom an anchor p in L - and in tersects the ray R (A, Di), then i t must be wide.

Proof : L e t q b e a p o i n t o f i n t e r s e c t i o n b e t w e e n t h e t r a v e r s a l a n d t h e r a y R ( A , D i ). I tis e l e m e n t a r y t o s h o w t h a t t h e E u c l i d e a n d i st a n c e b e t w e e n q a n d a n y p o i n t i n L - isa t l e a st 2 r , t h e r e f o r e t h e t r a v e r s a l c a n n o t b e b o u n d e d .


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1 0 B . M . C h a z e l le a n d D . T. L e e :

3.1 Deal ing with Essent ia l Convex Edges

To b e g i n w i t h , w e e s t a b l i s h a n u p p e r b o u n d o nC v (n),t he m a x i m u m n u m b e r o fes sen t i a l convex edges encoun te red in a l l t he pos i t ive t r ave r sa l s . Th i s wi l l a l low usl a t e r o n t o r e s t r i c t o u r a t t e n t i o n t o c o n c a v e e d g e s .

L e m m a 8 : C v ( n ) = 0 ( n ) .

Proof : A s i m p l e o b s e r v a t i o n w i ll a l lo w u s t o b r e a k u p t h e p r o b l e m i n t o t w o e a s i e rs u b p r o b l e m s , m i r ro r - i m a g e o f ea c h o t h e r. O u r g o a l is to e v a l u a t e t h e m a x i m u mc o n t r i b u t i o n o f a d i s k D i t o t h e n u m b e r o f e s s e n ti a l c o n v e x e d g e s. O b v i o u s l y, a n yc o n t r i b u t i o n o f D i i m p f ie s t h a t i ts i n t e r s e c tf o n w ~th D i s n o t e m p t y. S u p p o s e w i t h o u tl os s o f g e n e r a l i t y t h a t C~ is v e r t i c a ll y a li g n e d a b o v e C . L e t ' s b r e a k u p e v e r y e d g e o nD * t h a t i n t e rs e c t s t h e li n e L p a s s i n g t h r o u g hC C ii n t o i ts t w o s u b - p a r t s . T h i s a l l o w su s t o c la s si fy e a c h e d g e o n D * u n a m b i g u o u s l y a suphill(resp. downhill)i f i t l ies to th eleft (resp. right) o f L . O f c o u rs e , th i s n o t a t i o n c a n b e e x t e n d e d t o a l l e d g e se n c o u n t e r e d d u r i n g t h e t r a v e r s a ls . A n e s se n t ia l c o n v e x u p h i l l (r es p . d o w n h i l l ) e d g e i sca l l ed a U-edge (resp. D-edge) i f i t is fo l lowe d ( re sp . p reced ed) b y a n uph i l l ( r e sp .d o w n h i l l) e d g e . L e t U (n ) a n d D (n ) d e n o t e , r e s p e c t i v e ly, th e m a x i m u m n u m b e r o fU - a n d D - e d g e s i n a l l t h e B P T ' s . A s i m p l e g e o m e t r i c a l o b s e r v a t i o n s h o w s t h a t n ou p h i l l c o n v e x e d g e c a n b e p r e c e d e d b y a d o w n h i l l c o n v e x e d g e in a n y g i v e n p o s i ti v et r ave r sa l .

To s e e t h is , l e t e a n d f b e t w o c o n v e x e d g e s a p p e a r i n g i n th i s o r d e r i n s o m e p o s i t iv et r a v e r s a l, a n d l e t D~ a n d D j b e t h e d is k s c o n t r i b u t i n g e a n d f , r e s p e c ti v e l y. I f / = j , t h eo r d e r e , f c o r r e s p o n d s t o t h e c l o ck w i s e o r d e r o f t h e a r c(D*\D),t h e r e f o r e f c a n n o t b eu p h i l l i f e i s d o w n h i l l. S u p p o s e n o w t h a ti 4 j , a n d l e t ! d e n o t e t h e i n t e r s e c t i o nD~ c~ D d. S ince e and f a r e con vex f ace t - edges , D* m us t in t e r sec t I , so we c an de f ine Pt o b e th e d i r e c t e d p a t h g o i n g c l o c k w i s e a r o u n d t h e b o u n d a r y o f t h is i n t e rs e c t i o n .N o t e t h a t P i s m a d e o f t w o o r t h r e e a rc s , d e p e n d i n g o n t h e r e l a ti v e p o s i t i o n s o f D a n dI . I t is easy to ve r i fy tha t t h e d i s t an ce d = [C p l i s a l w a y s a u n i m o d a l f u n c t i o n w h e n pdescr ib es P (d i s f i r s t fncreas in g , th en decreas in g) . I t fo l Iows tha t i f e ( resp . f ) i s adownhi l l ( r e sp . uph i l l ) edge fo r t r ave r sa l T, i t mus t l i e on the dec reas ing ( r e sp .

inc reas ing) pa r t o f t he fun c t ion d , t he re fo re the t r ave r sa l T wil l necessa r i lyd i s c o n n e c t i ts c o r r e s p o n d i n g f a c e t f r o m D * , w h i c h is a c o n t r a d i c t i o n ( F ig . 7 ). T h i s

t /

Fig . 7

h ~


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p r o v e s t h a t i f e is d o w n h i l l , s o m u s t b e f , w h i c h e s t a b l is h e s o u r c l a i m . Wi t h t h is r e s u l tw e h a v e

c v ( n ) = o (n + v (n ) + o (n ) ) .

T h e n e x t s t e p is t o d e t e r m i n e a n u p p e r b o u n d f o r b o t h U (n ) a n d D (n ). L e t u s b e g i nw i t h t h e d e t e r m i n a t i o n o f a n u p p e r b o u n d o n U (n ). L e t V b e t h e c lo c k w i s e s e q u e n c eo f e s s e n t i a l c o n v e x e d g e s c o n t r i b u t e d b y D~ a n d e l , e 2, e3 b e t h r e e c o n s e c u t i v ee l e m e n t s o f V su c h t h a t e 1 i s a U - e d g e . W e w i s h t o s h o w t h a t t h e c a r d i n a l i t y o f V i sb o u n d e d b y a c o n s t a n t . W i t h o u t l o ss o f g e n e r a l i t y a s s u m e t h a t D 1 ( re s p . D 3) is t h ed i s k c o n t r i b u t i n g t h e n e x t e d g e a f t e r e 1 ( r es p . b e f o r e e 3) i n t h e a s s o c i a t e d t r a v e r s a l .F o r o b v i o u s r e a s o n s , D 1 a n d D 3 c a n n o t i n t e r s e c t e a c h o t h e r i n [ h e c r e s c e n t(Di\D),o t h e r w i s e e 2 c o u l d n o t b e t h e c o n v e x e d g e o f a n y t r a v e r s a l . We w i ll i n t ro d u c e s o m en o t a t i o n b e f o r e p r o c e e d i n g . W i t h o u t l o s s o f g e n e r a l i t y a s s u m e t h a t C 1 is v e r t i c a l lya l i g n e d a b o v e C . L e t u b e t h e l a s t e n d p o i n t o f e 1 a n d v t h e f ir s t e n d p o i n t o f e 3 ,c lockw ise a rou nd Di (F ig . 8). Le t E ( r e sp . E ' ) de no te t he h ighes t p o in t o fD~ ( r e sp .D1)wi th t he l i ne CC 1 ; l e t H an d I be , r e spec t ive ly, the l e f t an d r i gh t po in t s o f D* c~ D* ,a n d l e t J d e s i g n a t e t h e r i g h t m o s t p o i n t o f D 1.

TI I

~... R -....~I!

It_

Fig. 8

S i n c e e l is a U - e d g e , i t is i m m e d i a t e l y f o l l o w e d b y a n u p h i l l e d g e , t h e r e f o r e E h a sh i g h e r y - c o o r d i n a t e t h a n E ' , w h i c h i m p l i e s i n t u r n t h a t D ~ c o n t a i n s E ' . T h e f a c t t h a te 2 i s a f ace t - e dge imp l i e s t ha t Dz m us t a l so co n ta in I . A s a r e su l t, t he d i sk D~ con ta in st h e e n t i r e a r c A ( E ' , I ) , a n d t h e r e f o r e t h e p o i n t J , t o o . L e t B b e t h e i n t e r s e c t i o n o f D *w i t h t h e v e r t i c a l r a y, d e n o t e d t , t h a t e m a n a t e s u p w a r d s f r o m J . S i n c e e 2 a n d e 3 a r eb o t h f a c e t - e d g e s , D * m u s t i n t e r s e c t D * o n t h e a r c A ( I , H ) , w h i c h i m p l i e s t h a t D ~c a n n o t p o s s i b l y i n t e r s e c t t h e r a y t. T h i s s h o w s t h a t t h e a r c A (u , v ) s t r ic t ly c o n t a i n sA ( E , B ), th e r e f o r e i t s le n g t h is b o u n d e d b e l o w b y r. T h i s a l l o w s u s t o e s t i m a t e ab o u n d o n t h e m i n i m u m " a n g u l a r d i s t a n c e " b e t w e e n e l a n d e3 . I n d e e d , w e c a n e a s il y

u s e th i s re s u lt t o p r o v e t h a t t h e n u m b e r o f U - e d g e s c o n t r i b u t e d b y D z c a n n o t e x c e e d

A s i m i l a r r e a s o n i n g c a n b e a p p l i e d t o D - e d g e s . T h i s c o m p l e t e s t h e p r o o f .


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1 2 B . M . C h a z e l le a n d D . T. L e e :

3.2 Dealing with F-Ed ges

W e c a n n o w e x c l u si v e ly c o n c e n t r a t e o n e s s e n ti a l c o n c a v e e d g e s. W e w i ll s t a r t w i t ht h e i n v e s t i g a t io n o n t h e m a x i m u m n u m b e r o f e s s e n ti a l F - e d g e s . R e c a l l t h a t w i t h a n ysuch edg e e is asso cia te d a se t of pa i rs o f F-e dg es of the for m (e l, e ) , w i th e l ( resp . e )p r e c e d i n g ( r e s p . f o l l o w i n g ) e i n t h e c o r r e s p o n d i n g p o s i t i v e t r a v e r s a l . L e tF(e)des igna te th i s s e t o f pa i r s . F o r the sak e o f s impl i c i ty, we wi l l s l i gh t ly s t r eng then then o t i o n o f e s s e n ti a l F - e d g e s . W e u s e t h e n o t a t i o n D ( X ) to d e s i g n a t e t h e d i s ksu pp or t in g th e fac et-e dg e X. If for al l pa irs (e~, e~) in F (e) , we ha ve D (e) c~ D (ei) = 0 o rD (e) n D (e~) = ~ (or bo th) , we say th a t the edg e e i sloose.

L e m m a 9 : Th e ma xim um num ber o f loose edges visited in all the posit ive traversals o fthe greedy algorithm is 0 (n).

Proof : I t su ff ic es t o s h o w t h a t n o B P T T, c a n c o n t a i n m o r e t h a n a c o n s t a n t n u m b e ro f l o o s e e d g e s. We c o n s i d e r t w o c a s e s. F i r st , l e t' s a s s u m e t h a t T d o e s n o t c o n t a i n a n yc o n v e x e d g e . To b e g i n w i t h , w e w i ll sh o w t h a t i t is im p o s s i b l e fo r T t o c o n t a i n t w oe d g e s o f t h e f o r m ( F, L ) o r (R , F ), a p p e a r i n g i n t h is o r d e r ( n o t e t h a t w e d o n o t r e q u i r ethe edges to be ad jacen t ) . Le t ' s con s ide r the f i rs t ca se . Assu me tha t D j and D~ p ro v id er e s p e c t iv e l y t h e F - a n d t h e L - e d g e s ( Fi g . 9 ). L e t L b e t h e l in e n o r m a l t oCC~ t h a tp a s s es t h r o u g h t h e p o i n t o f D j c l o s es t t o C , a n d l e t L - d e n o t e t h e h a l f - p la n ede l imi t ed by L th a t co n ta in s the d i sk D . S ince T i s a pos i t ive t r ave r sa l , we de r ive tha tT m u s t c r o ss t h e r a y R ( C , D ) . S i n c e t h e s t a r t i n g p o i n t o f T l i es i n L - , w e a r e e x a c t l yi n th e c o n d i t i o n s o f L e m m a 7 , w h i c h l e a d s to a c o n t r a d i c t i o n . T h e s e c o n d c a s e is v e r ys i m i l a r, a n d w e o m i t t h e d e t a i l s . R e t u r n i n g n o w t o o u r o r i g i n a l p r o b l e m , w e c a ne a s il y u s e t h e s e t w o r e su l t s t o p r o v e t h a t a n y l o o s e e d g e in a c o n v e x - e d g e - f r e e B P Tm u s t b e i m m e d i a t e l y p r e c e d e d a n d f o l lo w e d b y F - e d g e s . B u t t h is is i n b l a t a n tc o n t r a d i c t i o n w i t h t h e fa c t t h a t t h e e d g e is l o o se . C o n s e q u e n t l y a n y B P T f re e o fconv ex edges i s a l so f r ee o f loose edges .

R ( C , D .

T J

L F L +

I

L -

Fig . 9


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O n a C i rc l e P l a c e m e n t P r o b l e m 13

A s s u m e n o w t h a t t h e B P T Tc o n t a i n s a t le a s t o n e c o n v e x ed g e. We o b s e r v e th a t t h et r a v e r s a l w i l l t h e n b e e n t i r e l y c o n t a i n e d i n s i d e t h e c o n v e x f i g u r e f o r m e d b y t h ei n t e r s e c t i o n o f a ll t h e d i s k s c o n t r i b u t i n g c o n v e x e d g e s t o T. G i v e n t h e f a c t t h a t t h ee d g e s o f t h is f ig u r e a r e a r c s o f s a m e r a d i u s , w e d e r iv e t h a t n o d i s k c a n c o n t r i b u t em o r e t h a n o n e c o n c a v e e d g e to T. W e c a n t h u s o r d e r t h e d i sk s c o n t r i b u t i n g c o n c a v ee d g e s a c c o r d i n g t o t h e s e q u e n c e V i n w h i c h t h e i r r e s p e c t i v e e d g e s a p p e a r in T.L e t W b e t h e s e q u e n c e o f d i s k s i n d u c e d b y V. N o t e t h a t t h e r e i s a o,n e - t o - o n ec o r r e s p o n d e n c e b e tw e e n V a n d W. C o n s i d e r n o w t h e g r a p h H w h o s e n o d e -s e t is Wa n d w h o s e e d g e s i n d i c a t e w h e t h e r t w o d i s k s o f W in t e r s e c t o r n o t . I t is o b v i o u s t h a te a c h c o n n e c t e d c o m p o n e n t o f H m a p s t o a c o n t i g u o u s s u b s e q u e n c e i n V. L e tS = { e l , . . . , e v }b e s u c h a s u b s e q u e n c e ; t h e d is k s s u p p o r t i n g a n y p a i r o f c o n s e c u t iv ee d g e s i n S m u s t i n t er s e c t e a c h o th e r. F r o m o u r e a r li e r o b s e r v a t i o n t h a t s u b s e q u e n c e so f e d g e s o f t h e f o r m F - L o r R - F a r e im p o s s i b l e , w e i m m e d i a t e l y d e r i v e t h a t i f el

an d e j a r e l oo se , a l l the edges {% e l+ l , . .. , e~_ 1 , e j} m us t b e o f t ype F. C om bi n i ngt h e s e t w o f a c ts , w e c o n c l u d e t h a t i f S c o n t a i n s t h r e e l o o s e e d g e s , t h e m i d d l e o n e w i l lb e i m m e d i a t e l y p r e c e d e d a n d f o ll o w e d i n S b y F - e d g e s , w h i c h c o n t r a d i c t s t h e f a c tt h a t i t is l o os e . U p t o w i t h in a c o n s t a n t f a c to r , i t t h e n a p p e a r s t h a t t h e n u m b e r o fl o o s e e d g e s i n th e f a ce t is d o m i n a t e d b y t h e n u m b e r o f c o n n e c t e d c o m p o n e n t s i n H .S i n c e , b y a s s u m p t i o n , T h a s a t l e a s t o n e c o n v e x e d g e , t h e t r a v e r s a l i s c o n t a i n e den t i r e ly i n s ide i t s con t r ibu t ing d i sk t he re fo re , s i nce T i s a BPT, a l l t he d i sks o f Wm u s t l ie e n t ir e l y i n t h e c i rc l e o f r a d i u s 4 r c e n t e r e d a t t h e s t a r t i n g p o i n t o f T. S i n c eo b v i o u s ly n o m o r e t h a n

zc (4 r) 2- - - 1 6

7~ r 2

d i s k s o f r a d i u s r c a n b e p a c k e d i n t o a d i s k o f r a d i u s 4 r i n a n o n - o v e r l a p p i n g p o s i t i o n ,H c a n n o t h a v e m o r e t h a n 4 c o n n e c te d c o m p o n e n t s . T h i s c o m p l e t e s t h e pr o o f.

W e a r e n o w r e a d y t o e s ta b l is h a n u p p e r b o u n d o n t h e to t a l n u m b e r o f e s s en t ia lF - e d g e s .

L e m m a 1 0 : C F ( n) = 0 ( n) .

P r o o f : B e c a u s e o f L e m m a 9 , w e m a y d e a l w i th n o n - l o o s e e s s e n ti a l F - e d g e se x c l u s i v e l y. O n c e a g a i n , o u r s t r a t e g y w i l l b e t o p r o v e t h a t n o d i s k c a n c o n t r i b u t em o r e t h a n a c o n s t a n t n u m b e r o f t h e se e d g e s . L e t V b e th e l is t o f n o n - l o o s e e s s e n ti a lF - e d g e s c o n t r i b u t e d b y d i s k D i. R e m o v i n g f r o m D * t w o c o n s e c u t i v e e d g e s o f V w i l ll e av e tw o d i s c o n n e c t e d a r cs w h i c h m u s t e a c h c o n t a i n t h e t w o i n t e rs e c ti o n p o i n t sw i t h D * o f a t l e a s t o n e d i s k o f S t h a t d o e s n o t i n t e r s e c t D . F o r t h i s r e a s o n , n o n e o ft h e s e d i s k s c a n c o n t a i n a n y e d g e o f V i n t h e i r in t e r i o r. T h i s s h o w s t h a t e v e r yc o n s e c u t i v e p a i r o f e d g e s i n V i s s e p a r a t e d b y a t l e a s t o n e d i s k . F o r s i m p l i c i t y l e t 'sk e e p o n l y o n e s u c h d is k p e r p a i r. O f t h e r e m a i n i n g d i sk s , n o t w o c a n f o r m a n o n -e m p t y t r i p o d w i t h D i. To s ee t hi s, s u p p o s e t h a t t w o o f t h e m ,D j, D k ,f o r m a t r i p o dw i t h D i . T h e t r i p o d w i ll n e c e s s a r i l y e n c l o s e s o m e e d g e o f V, w h i c h w i ll in t u r n f o r c e Dto in t e r sec t a t l e a s t tw o o f t he t h r ee d i sks D i , D j , Dk , wh ich i s imp oss ib l e . Th i s s e t s t hec o n d i t i o n s f o r a p p l y i n g L e m m a 2 . I t fo l lo w s th a t V c a n n o t c o n t a i n m o r e t h a n5 e l e m e n t s , w h i c h c o m p l e t e s t h e p r o o f .


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3.3 Dealing wi th Edges o f Typ e L or R

T h e n e x t a n d f in a l s t e p is to p r o v e t h a t t h e t o t a l n u m b e r o f e s s e n t ia l e d g e s o f t y p e Lor R i s O (n ). Bec ause o f sy m m et ry , i t su ffi ce s t o sho w tha t C L (n ) = O (n ). To beg inw i t h , l e t' s in v e s t i g a t e t h e n a t u r e o f L - e d g e s m o r e c l o se l y. L e t D i b e a d i s kc o n t r i b u t i n g a n e s s e n t i a l L - e d g e e t o t h e g r e e d y a l g o r i t h m , a n d l e t T b e it sa s s o c i a t e d B P T. T h i s f a c t i m p l i e s in p a r t i c u l a r t h a t D a n d D~ i n t er s e c t, s o w e c a nde f ine t he a r c s L =(D*\D~)a n d M = (D*\D). We w i l l r e g a r d t h e s e a r c s a s d i r e c t e d ;c o u n t e r c l o c k w i s e a r o u n d D f o r L a n d c o u n t e r c l o c k w i s e a r o u n d Dz f o r M . T h i sg r a n t s a t o t a l o r d e r o n t h e p o i n t s o f t h e s e a rc s , w h i c h w e c a n u s e t o d e s c r i b ei n t e r e s t in g p r o p e r t i e s o f e s s e n t ia l L - e d g e s .

L e m m a 1 1 : Le t p d enote the s tar t ing point o f T , and le t q be the f i rs t endpoint o f e (inthe direct ion of 7) . Suppose now that T' , p ' , q ' , e ' are defined in exactly the sameman ner as T, p, q, e , w ith the only difference tha t q ' fol lo w s q on the directed arc M(Fig. 10) . I t is then the case that p ' must precede p on L.

' l ) ; k

Fig. 10

Proof : A d ir e c t c o n s e q u e n c e o f t h e J o r d a n C u r v e T h e o r e m .

W i t h t h i s s i m p l e f a c t i n h a n d , w e sh a l l s h o w t h a t t h e n u m b e r o f e s s e n ti a l L - e d g e sc o n t r i b u t e d b y a n y d i s k D i is a t m o s t o n e . L e t e b e t h e e s s e n t i a l L - e d g e o n a B P T Ttha t i s c lo se s t t o I a lo ng A ( J , I ) (F ig . 11) an d l e t f be an L -ed ge tha t fo l l ows

TI

9 J ev

j

Fig. 11


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e = A (v ', q ) i n T and i s co n t r ibu ted by d i skO k. R e c a l l t h a t e a n d f a r e n o t n e c e s s a r i l ya d j a c e n t . L e t u s a s su m e t h a t D * i n t e rs e c t s D * a t v a n d w. S u p p o s e t h e r e e x i st sa n o t h e r e s s e n t ia l L - e d g e e ' c o n t r i b u t e d b y D i. T h e n e ' m u s t b e o n a r c A ( J , w ). I f p ist h e s t a r ti n g p o i n t o f T a n d p ' th e s t a r ti n g p o i n t o f T ' c o n t a i n i n g e ', f r o m L e m m a 11,p ' m u s t p r e c e d e p o n L . F u r t h e r m o r e , t h e B P T T ' m u s t e n c o m p a s s t h e d i skD ka n di n t e r s e c t R ( I , D k) a t a p o i n t t , s i nc e T ' is n e g a t i v e l y o r i e n t e d a r o u n d t h e b o u n d a r y o fD u D i. S i n c e t h e s t a r t i n g p o i n t p ' o f T ' m u s t p r e c e d e p , w e e a s il y s ee th a t T ' m u s tin t e r sec t R (p', Dk),a c o n t r a d i c t i o n .

L e m m a 12 : No d i sk can con t r ibu te more than one e s sen t i a l L -edge .

P u t t i n g a l l t h e r e s u l t s f o u n d s o f a r t o g e t h e r, w e c a n c o n c l u d e :

Theorem 1: The g reedy a lgo r i thm fo r m a in ta in ing the in t e r sec t ion g raph fo rm ed byinser ting a new disk in to a co l lec tion of n - 1 d isks of the same s ize runs in 0 (n + C (n) )t ime, which is 0 (n) .

Theorem 2 : T h ep lana r g raph G = (V, E ) fo rm ed by n d i sks o f t he same r ad ius wi th Vbeing the se t o f in tersec t ion po in ts o f these d isks and E the se t of a rcs each o f which i sde termined by two in tersec t ion poin ts , can be cons t ruc ted in 0( n 2 )t ime.

P r o o f : A p p l y t h e g r e e d y a l g o r i t h m i t e r a t iv e l y n - 1 t im e s . S i n c e e a c h i t e r a t i o n t a k e sO (n ) time , the c l a im fo l lows .

O n c e w e h a v e s h o w n t h a t t h e i n te r s e c ti o n g r a p h G c an b e c o m p u t e d i n O( n z )t i m e ,b y u s i n g t h e s c a n n i n g a l g o r i t h m o f [-1 , 3 ] w e c a n o b t a i n t h e s i ze o f t h e m a x i m u mc l iq u e o f t h e i n t e r s e c t i o n g r a p h f o r m e d b y a s e t o f n d i sk s o f t h e s a m e r a d i u s r i n O ( n 2)t i m e . T h u s , w e h a v e o u r m a i n r e s u l t .

Theorem 3': The m ax im um c l ique o f a se t o f n d i sks o f r adius r can be fou nd in 0( n 2 )t ime.

4. C oncluding Rem arks

F o r t h e s a k e o f s i m p l ic i ty, w e h a v e d e l i b e r a t e l y m a d e u s e o f v e r y c o n s e r v a t i v ee s t im a t e s i n e v a l u a t i n g t h e r u n n i n g t i m e o f t h e g r e e d y a l g o r i t h m . W e b e l ie v e t h a t t h ea l g o r i t h m i s n o t o n l y l i n e a r, b u t a l so v e r y e f fi ci e nt i n p r a c t i c e . T h i s c a n b ea s c e r ta i n e d b y i m p l e m e n t i n g t h e a l g o r i t h m a n d p e r f o r m i n g a p re c is e a - la - K n u t hc o m p l e x i t y a n a l y s i s .

I t i s i n t e r e s t i n g t o n o t i c e t h a t o u r a l g o r i t h m c a n b e u s e d a s s u c h t o c o m p u t e a n ya r r a n g e m e n t o f li n es i n t h e p l a n e [-3 , 5 ] .

O f in t e r e s t is t h e p r o b l e m i n w h i c h t h e d i sk s i n v o l v e d a r e n o t o f t h e s a m e s iz e .W h e t h e r o r n o t s i m i l a r r e s u l t s c a n b e o b t a i n e d r e m a i n s t o b e s e e n . I n c o n t r a s t t ot h e m a x i m u m c li q u e p r o b l e m f o r r e c ta n g l e s, t h e t i m e c o m p l e x i t y o f O( n 2 )i s no tk n o w n t o b e o p t i m a l . T h e o p t i m a l i t y p r o b l e m w i ll b e a l so o f i n te r e s t a n d w o r t hinves t iga t ing .


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1 6 B . M . C h a z e l le a n d D . T. L e e : O n a C i r cl e P l a c e m e n t P r o b l e m

Acknowledgement

T h e a u t h o r s w i s h t o t h a n k H . E d e l s b r u n n e r f o r t a k i n g th e t im e t o r e a d t h e p a p e r a n d p r e p a r e t h e a b s t r a c ti n G e r m a n .

References

[1 ] Ba ja j , C ., L i , M. : On the dua l i ty o f in te r sec t ion an d c loses t po in t s . Proc . 21s t A nnu a l Al le r to nC o n f e r e n c e o n C o m m . , C o n t r o l a n d C o m p u t i n g , M o n t i c e l l o , I I + 4 5 9 - 4 6 0 ( 1 9 8 3 ) .

[2 ] Bent ley, J . L ., Ot tm ann , T. : Alg or i thm s for repo r t ing and cou nt ing geom et r ic in te r sec t ions . IEEETr a n s . C o m p u t .C-28, 6 4 3 - 6 4 7 ( 1 9 7 9 ) .

[3 ] Chaze l le , B . M, G uibas , L , J . , Lee , D. T. : The p ower of geome t r ic dua l i ty. Proc . IEE E 2 4th Syrup .F o u n d a t i o n s o f C o m p u t . S c i., N o v. 1 98 3, p p . 2 1 7 - 2 2 5 . To a p p e a r i n B I T.

[4 ] D r e z n e r, Z . : O n a m o d i f i e d o n e - c e n te r m o d e l . M a n a g e m e n t S c i.27, 838- 851 (1981) .[5 ] E de lsbru nner, H. , O 'R ou rke , J . , Seide l, R . : Co ns t ruc t ing a r range m ents o f l ines an d hype rp lanes

w i t h a p p l ic a t io n s . P r oc . I E E E 2 4 t h S y m p . F o u n d a t i o n s o f C o m p u t . S c i., N o v. 1 98 3, p p . 8 3 - 9 1 . Toa p p e a r i n S I A M J . C o m p u t .

[6 ] I m a i , H . , A s a n o , T. : F i n d i n g t h e c o n n e c t e d c o m p o n e n t s a n d a m a x i m u m c l iq u e o f a n i n t e rs e c t i o ngraph of rec tangles in the p lane . J . Algo .4,4 3 1 0 - 3 2 3 ( 1 9 8 3 ) .

[7 ] L e e, D . T. : M a x i m u m c l iq u e p r o b l e m o f r e c ta n g l e g r a p h s . I n : A d v a n c e s i n C o m p u t i n g R e s e a r c h ,Vol . 1, pp. 91 - 107 (F. P. P rep ara ta , ed.) . J A I Pre ss Inc. , 1983.

[8] Mu l le r, D . E . , P repara ta , F. P. : F in d ing the in te rsec t ion of two conv ex po lyhe dra . Theo re t . Com put .Sc i . 7 217-236 (1978) .

[9 ] P r e p a r a t a , F. P. , S h a m o s , M . I . : C o m p u t a t i o n a l G e o m e t r y. B e r l i n - H e i d e l b e rg - N e w Y o r k :Spr inger-Ve r lag 1985.

B . M . C h a z e l le D . T. L e eD e p a r t m e n t o f D e p a r t m e n t o f E l ec tr ic a lC o m p u t e r S c ie n c e E n g i n e e r i n g / C o m p u t e rB r o w n U n i v e r s i t y S c ie n c eB o x 1 91 0 N o r t h w e s t e r n U n i v e r s i t yP r o v i d e n c e , R I 0 2 9 1 2 E v a n s t o n , I L 6 0 2 0U . S . A . U . S . A .

On a Circle Placement Problem

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