OM2 Praktikum V4V5 Vezbe 2011

OM2 V4 V5 Ime i prezime: Index br: 1

9.5.2011., 21.05.2011.

STATIČKI NEODREĐENI PROBLEMI PRI AKSIJALNOM NAPREZANJU

1. Čelični cilindar površine 2cm 6cA se nalazi u aluminijumskoj cevi površine 2cm 10aA ,

prema skici. Ovako konstruisan stub nosi silu P preko idealno krute ploče. Odrediti sile u čeličnom i

aluminijumskom delu stuba. Modul elastičnosti čelika je GPa 210cE , a modul elastičnosti

aluminijuma je GPa 70cE .

2n broj nepoznatih

1r broj uslova ravnoteže 0X

112 rnsn stepen statičke neodreĎenosti

geometrijski uslov ca lll

aa

aa

AE

lSl

,

cc

cc

AE

lSl

→

cc

c

aa

a

AE

lS

AE

lS

→ c

cc

aaa S

AE

AES

cca S.SS

5560

610210

101070

9

9

(1) 0X PSS ca

→ P.Sc 6430 i P.Sa 3570

(2) ca S.S 5560

2. Prizmatičan štap kvadratnog poprečnog preseka postavljen je izmeĎu dve nepomerljive granične

ploče na rastojanju l . Štap je izložen spoljašnjim uticajima: jednako podeljenom opterećenju u

pravcu ose štapa qx i zagrevanju za t ºC. Odrediti najveći napon smicanja u štapu i pomeranje

poprečnog preseka na sredini raspona u pravcu ose štapa.

cm 4a , GPa 210E , 10512 6 . 1/ºC, kN/m 100xq , 30t ºC.


9.5.2011., 21.05.2011.

11 CxqCdxqxN xx

A

Cxqx x

x1

tAE

Cxqx x

x

1

xdx

dux → 2Cxxu x 21

2 1

2

1CxtC

AE

xq

AExu x

granični uslovi

00 u → 02 C

0lu → tAElq

C x

2

1

xlxAE

qxu x

2

AE

lqlu x

82

2

tAExl

qxN x

2

tAEl

qN x 2

0 tAEl

qlN x 2

kN 24N 1024N 1012615030105121016102102

3101000 33649

23

.AN

kN 276 BlN

0X → 0310027624


9.5.2011., 21.05.2011.

MPa 5172Pa 1051721016

10276 6

4

3

..max,x

MPa 2586

2

1.xmax

mm 3350m 10033501016102108

310100

2

2

49

23

..l

u


9.5.2011., 21.05.2011.

STATIČKI NEODREĐENI PROBLEMI PRI TORZIJI GREDE

Za gredu obostrano uklještenu, koja je opterećena jednako podeljenim momentima torzije prema

skici a) nacrtati dijagram momenata torzije b) odrediti max i max .

Geometrijske karakteristike:

Presek 1-1

43331 cm 15364182436

3

1

3

1 iit tbI

32221 cm 3844182436

3

1

3

1 tbW it

Presek 2-2

2b

c → 2290. 2460.

433

2 cm 7328040202290 .cbIt 3222 cm 393640202460 .cbWt

0tM → 050 l.mMM ttBtA (1)

0 ttA mA

MAA (2) geometrijski uslov

21

22

t

tA

t

tAMA GI

lM

GI

lM

tA

dxl

xmGI

l

l.

tt

mC

mA

tt

502 2

1

8482222

2

2

2222

250

2

2

l

GI

mllll

GI

mxlx

GI

m

t

t

t

t

l

l.t

t


9.5.2011., 21.05.2011.

8

222

221

l

GI

m

GI

lM

GI

lM

t

t

t

tA

t

tA

A

1

2

21

214

11

1

4

t

t

t

tt

t

ttA

I

I

lm

II

I

lmM

kNm 851

1536

7312014

660.M tA

kNm 151788516506050 ...Ml.mM tAttB

Naponi :

Presek 1-1

MPa 824Pa 1082410384

10851 6

6

3

1

11 ...

W

M

t

tAmax

Presek 2-2

MPa 1745Pa 101745103936

1015178 6

6

3

2

22 ...

W

M

t

tBmax

MPa 174522 .Bmaxmaxmaxmax


9.5.2011., 21.05.2011.

ODREĐIVANJE POMERANJA PRIMENOM DRUGOG CASTIGLIANO-VOG STAVA

(MOHR-OV POSTUPAK)

dsIE

MM

IE

MM

IG

MM

AG

TT

AG

TT

AE

NN

s z

zz

y

yy

t

tt

z

zz

y

yyi

___obično se___

zanemaruje _

dsIE

MMds

IE

MMds

IG

MMds

AG

TTds

AG

TTds

AE

NN

s z

zz

s y

yy

s t

tt

s z

zz

s y

yy

s

i

za izračunavanje integrala u gornjim izrazima koristi se najčešće Vereščaginov postupak.

za rešetkaste nosače

i

n

i ii

ii

s

i lAE

NNds

AE

NN

1

z,y,t,z,y MMMTT,N - sile u presecima usled zadatog opterećenja

z,y,t,z,y MMMTT,N - sile u presecima usled delovanja generalisane sile 1P

Generalisane sile koje odgovaraju pojedinim traženim pomeranjima:

komponenta pomeranja u odreĎenom pravcu

obrtanje preseka

promena odstojanja preseka

promena ugla izmeĎu preseka

okretanje štapa


9.5.2011., 21.05.2011.

ZADACI

1. Naći ugao obrtanja , horizontalno i vertikalno pomeranje tačke (preseka) C. 2MNm 10EI , kN 100P , m 3a

dsIE

MMds

IE

MM

ss z

zzi

dsMMIE

s

ii

Dijagrami momenata od spoljašnjeg opterećenja i od generalisanih sila koje odgovaraju pojedinim

traženim pomeranjima

M 1M 2M 3M

211

2

311

2aPaPaaP

adsMMIEIE

s

c

rad 135010

31010

2

3

2

3

7

2322

.IE

aPc

322

2

1

2aPaaP

adsMMuIEIE

s

c

cm 13.5m 135010

31010

2

1

2

1

7

3323

.

IE

aPuc

333

2

4

3aPaaPaaaP

adsMMvIEIE

s

c

cm 63m 36010

31010

3

4

3

4

7

3323

.

IE

aPuc

cm 438036513 2222 ...vus


9.5.2011., 21.05.2011.

2. Odrediti obrtanje i vertikalno pomeranje preseka C.

1281

831

831

882

1 2

1lPlPllPllPl

dsMMIE

s

c

IE

lPc

128

2

15368838838883

1 3

2lPllPlllPlllPl

dsMMvIE

s

c

IE

lPvc

1536

3

3. Odrediti obrtanje preseka C oko ose i vertikalno pomeranje (u pravcu ose ) preseka D.

52.IG

IE

t

dsIE

MMds

IG

MM

ss t

tti

dsMMdsMMIG

IEIE

ss

ttt

i


9.5.2011., 21.05.2011.

255125212

aP.aPa.aPa

dsMMIG

IEdsMMIE

s

ttts

c

IE

aP.c

255

3675225233

aP.aaP.aaPa

aaPa

dsMMIG

IEdsMMwIE

s

twtts

wD

IE

aP.wD

3675


9.5.2011., 21.05.2011.

STATIČKI NEODREĐENI PROBLEMI PRI SAVIJANJU GREDE SILAMA

Izbor osnovnog sistema:


9.5.2011., 21.05.2011.

ZADACI:

Za dati nosač nacrtati dijagram momenata savijanja.Dato je 2m 51.A

I y

1n

Za statičku nepoznatu usvajamo silu S u prostom štapu BD

Geometrijski uslov u ovom slučaju glasi da je razmicanje tačaka K-K' presečenog štapa BD jednako nuli

0)S()P(

KK (a)

PP,)PP(,dsMMEI

s

)P()P(y 44642

2

326242

6

4

20,94SS151,542423

34242

3

4

S,,S,,

dsNNA

IdsMMEI

s s

)S(y)S()S(y

P,SS,P 120942044

Vrednosti momenata u karakterističnim tačkama nosača odreĎujemo superpozicijom:

)S(

i)P(

ii MMM

PMM,P,),(,PM,PM,M EDCBA 69601242620


9.5.2011., 21.05.2011.

ZADACI

1.

- Nacrtati dijagram momenata savijanja usled zadatog opterećenja

- Odrediti graničnu vrednost parametra opterećenja P* direktnom

metodom (metodom inkrementalne plastifikacije odnosno metodom

korak po korak (u funkciji od M*).

- Proveriti dobijenu vrednost kinematičkim postupkom.

PB

XBB vvv

PM

XM

M

X.XXvEI xB 3310144544

3

4

33997033254642

542222426

6

222

2

2.PP.PPPPPPvEI P

B

98033101

33991 .

.

.X

M *max MP.M 1922 → *M.P 342401

PM


9.5.2011., 21.05.2011.

** MPM.. 534240082

*M.P 05760

**** M.M.M.P 400576034240

Kinematička metoda :

Plan pomeranja:

B** uPM 2

5 Bu !

*** M.MP 40

5

2


9.5.2011., 21.05.2011.

2.

- Nacrtati dijagram momenata savijanja usled zadatog

opterećenja

- Odrediti graničnu vrednost parametra opterećenja P*

direktnom metodom (metodom inkrementalne plastifikacije

odnosno metodom korak po korak (u funkciji od M*).

- Proveriti dobijenu vrednost kinematičkim postupkom.


9.5.2011., 21.05.2011.

3. Odrediti granićnu vrednost sile P* . Zadato *M , a .

PB

XBB vvv

PM

SM

M

Xaaa

vEI xB 32

3

82

3

2

3

6

522

6aPaaPa

avEI P

B

P

a

aP

X

16

5

3

86

5

3

3

M

Formiranje prvog plastičnog zgloba

*

max MM

*MaP 116

6

a

M

a

MP

**

3

8

6

161 1PM

Formiranje drugog plastičnog zgloba


9.5.2011., 21.05.2011.

PM *max MPMPMM 1

** MaP

M

26

5 →

a

MP

*

3

1

a

M

a

MPPP

***

3

3

1

3

81

Dijagram momenata u pri lomu

*PM

Kinematička metoda

Plan pomeranja :

vPM ** 3

av

aPM **3

a

MP

** 3


9.5.2011., 21.05.2011.

4. Odrediti granično opterećenje P* zadatog nosača.

0)S()P(

KK

PM

SM ,

SN

M , N

291210333

3S.S,SdsNN

A

IdsMMEI

s s

)S(yyy

)S(y

)S(

PPPdsMMEIs

y

)P(

y

)P(

y 182523

6

3

P..

PS

9571

29

18

M

Prva plastifikacija (formiranje prvog plastičnog zgloba)

ili *max NN 609571 1 'P. → kN 66301 .P'

ili *max MM 1502 1 ''P → kN 751 ''P

kN 6630111 .)P,Pmin(P


9.5.2011., 21.05.2011.

PM

Druga plastifikacija (formiranje drugog plastičnog zgloba)

*max MPMPMM 1

15022 1 'PP → 150266302 'P. → kN 3444.P'

15087105 1 P.P" → 150663087105 ..P" → kN 3435.P"

kN 6630 .)P,Pmin(P "'

kN 66343566301 ..PPP*

Kinematička metoda

Plan pomeranja:

*** MNP 35

kN661503605

1*P


9.5.2011., 21.05.2011.

5. Za zadati nosač konstantnog poprečnog preseka odrediti:

a) Intenzitet opterećenja 1qq pri kome dolazi do formiranja prvog plastičnog zgloba u nosaču.

b) Intenzitet graničnog opterećenja *qq pri kome dolazi do loma nosača.

c) Nacrtati dijagram momenata savijanja koji odgovara graničnom stanju.

Zadata je vrednost momenta loma kNm 100*M .

a)

Nosač je jedanput statički neodreĎen.

Uslovna jednaćina :

q.M 23221

q.q.q

A

05425

2322

2

5

0 oxqAT → m 05420542

.q

q.xo

→ q.

q.xqxAM o

oqmax

1092

2

0542

2

22

*max Mq.MM 23221 → kN/m 8044

2322

1001 .

.q

b) kinematička metoda

Nije poznat tačan položaj drugog plastičnog zgloba (u polju) z

Plan pomeranja

zzv 51

z

z

51


9.5.2011., 21.05.2011.

zz

qzz

qM*

52

5

22 11

zz

zzq

zq

z

zM *

5

52

5

252

2

22 52

1

5

25zzzq

z

zzM *

zqz

zM *

2

5

5

5

Za stvaranje mehanizma loma potrebno je minimalno q

25

5

5

2

5

5

5

2

zz

zMM

zz

zzq **

0dz

dq

2v

uvvu

v

u

05255 2 zzzz

025102 zz

2552

1001001021

,z

0712.z

*** M.M

..

.q

46630

071250712

07125

5

2

kN/m 634610046630 ..q*

*qM

mehanizam loma


9.5.2011., 21.05.2011.

6. a) Nacrtati sve moguće mehanizme loma.

b) Kinematičkom metodom odrediti graničnu vrednost parametra opterećenja P* (u funkciji od

M*).

c) Nacrtati dijagram momenata (u funkciji od M*) za *P.P 50 i *P.P 950 .

d) Za zadati poprečni presek odrediti M* .

a) b)

c) Rešavanje dva puta statički neodeĎenog nosača


9.5.2011., 21.05.2011.

Rešavanjem dva puta statički neodreĎenog nosača dobija se da je najveći moment (dijagram A)

ispod sile 2P (mesto prvog plastičnog zgloba) i da je P1=0.2275 M* (ili 0.91 P*).

Rešavanjem, u sledećem koraku, jedanput neodreĎenog nosača dobija se (dijagram B) da će se

drugi plastični zglob formirati iznad srednjeg oslonca pri ΔP=0.0225 M*.

P=P1+ ΔP= 0.25 M*, kako je dobijeno i kinematičkom metodom.


9.5.2011., 21.05.2011.

d)

A

B

OM2 Praktikum V4V5 Vezbe 2011

Documents