____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ Str. General Berthelot, nr. 28-30 Str. Ecaterina Teodoroiu, nr. 8B, Slatina, 230015, jud. Olt sector 1, 010168, București E/mail ISJ: [email protected].edu.ro Tel: +40 (21) 405 62 00 Tel: +40 (249) 41 09 27 +40 (21) 405 63 00 Fax: +40 (249) 41 28 01 www.edu.ro www.isjolt.ro OLIMPIADA DE MATEMATICĂ FAZA LOCALA- 26 FEBRUARIE 2017 SOLUŢII ŞI BAREME ORIENTATIVE DE CORECTARE Clasa a V-a 1. Determinaţi două numere naturale a căror sumă să fie egală cu 320, ştiind că, dacă îl împărţim pe primul la al doilea, obţinem restul 20, iar, dacă îl împărţim pe al doilea la primul, obţinem restul 150. G. M. Barem de corectare (1p) Dacă a şi b sunt cele două numere, atunci 320 a b (1) (1p) 20 a bc , 20 b (2) (2p) 150 b ad , 150 a (3), unde c şi d sunt numere naturale. (2p) Din (3) avem 150 b ad , iar (1) se poate scrie 150 170 a b (1p) Adică 170 a și 150 b . 2. a) Determinați numerele naturale m, n și p astfel încât 8 4 2 5921 m p mnm ; b) Afla ți suma cifrelor numărului 2016 1008 10 10 5. a Prof. Delia Ileana NAIDIN BASCH, Caracal, Olt Barem de corectare (1p) a) 8 4 m mnm par, 5921 impar 2 p impar 0 p (1p) 4 m mnm =740 (1p) 4 m (1p) m=4 și n=8 (1p) b) 2016 1008 2016 1008 10 10 5 100...0 100...0 5 a a (1p) 1008 1007 100...0 99...9 5 a (1p) Suma cifrelor numărului a este: 1 9 1007 5 9069 3. Fie șirul 3, 11,27,59, 123,... a) Să se scrie următorii doi termeni ai șirului; b) Dacă S este suma primilor 100 de termeni ai șirului, să se arate că 500 :8 1 :2 S este cub perfect. Prof. Iuliana TRAȘCĂ, Scornicești, Olt
22
Embed
OLIMPIADA DE MATEMATICĂ FAZA LOCALA- 26 … _2017_ Enunturi... · Str. General Berthelot, nr. 28-30 Str. Ecaterina Teodoroiu, nr. 8B, Slatina, 230015, jud. Olt sector 1, 010168,
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
_____________________________________________________________________________________Str. General Berthelot, nr. 28-30 Str. Ecaterina Teodoroiu, nr. 8B, Slatina, 230015, jud. Oltsector 1, 010168, București E/mail ISJ: [email protected]: +40 (21) 405 62 00 Tel: +40 (249) 41 09 27+40 (21) 405 63 00 Fax: +40 (249) 41 28 01www.edu.ro www.isjolt.ro
OLIMPIADA DE MATEMATICĂFAZA LOCALA- 26 FEBRUARIE 2017
SOLUŢII ŞI BAREME ORIENTATIVE DE CORECTARE
Clasa a V-a
1. Determinaţi două numere naturale a căror sumă să fie egală cu 320, ştiind că, dacă îl împărţimpe primul la al doilea, obţinem restul 20, iar, dacă îl împărţim pe al doilea la primul, obţinemrestul 150.
G. M.Barem de corectare
(1p) Dacă a şi b sunt cele două numere, atunci 320a b (1)(1p) 20a b c , 20b (2)(2p) 150b a d , 150a (3), unde c şi d sunt numere naturale.(2p) Din (3) avem 150b a d , iar (1) se poate scrie 150 170a b (1p) Adică 170a și 150b .
2. a) Determinați numerele naturale m, n și p astfel încât 8 4 2 5921m pmnm ;
b) Aflați suma cifrelor numărului 2016 100810 10 5.a Prof. Delia Ileana NAIDIN BASCH, Caracal, Olt
3. Fie șirul 3, 11,27,59, 123,...a) Să se scrie următorii doi termeni ai șirului;b) Dacă S este suma primilor 100 de termeni ai șirului, să se arate că 500 :8 1 : 2S estecub perfect.
_____________________________________________________________________________________Str. General Berthelot, nr. 28-30 Str. Ecaterina Teodoroiu, nr. 8B, Slatina, 230015, jud. Oltsector 1, 010168, București E/mail ISJ: [email protected]: +40 (21) 405 62 00 Tel: +40 (249) 41 09 27+40 (21) 405 63 00 Fax: +40 (249) 41 28 01www.edu.ro www.isjolt.ro
(1p) Avem 2 2961 31 ; 169 13 .zxy yxz
Subiectul 3
Se consideră unghiurile adiacente suplementare AOB și AOC astfel încât 0( ) 90m AOB .În semiplanul determinat de dreapta BC și de punctul A, se consideră semidreptele (OM și (OPastfel încât OM BC șiOP OA .
a) Demonstrați că AOM POC .b) Demonstrați că bisectoarele (OE și (OF ale unghiurilor AOM respectiv POC sunt
perpendiculare.
Prof. Dorin POPA, Slatina, Olt
Barem de corectare
(2p) a) Daca m( AOM )= u atunci 0( ) 90m MOP u
(2p) Din 0( ) 90m MOC și 0( ) 90m MOP u obținem ( )m POC u
(1p) b) ( ) ( )2um AOM u m EOM
(1p) ( ) ( )2um POC u m POF
(1p) 0( ) ( ) ( ) ( ) 90 902 2
ou um EOF m EOM m MOP m FOP u OE OF
Subiectul 4
Determinați numerele prime a, b, c pentru care 15 35 91 2015a b c .
2016 2011 5a d d a , 2016 2012 4b c c b ,2016 2020 4c a c a , 2016 2021 5d b d b ......................................1p
a b , 4c a , 5d a 1156;2267;3378;4489abcd ............................................2p
2267 , 3378 , 1156 34 și 4489 67 , deci 1156;4489abcd .......3p
Subiectul 2
Arătați că numărul 3 12 3 5 3 7 3 14n n na pentru orice n .Prof. Ion BURCĂ, Slatina, Olt
Barem de corectare
(1p) Se știe că a vem p p este pătrat perfect.
(2p) Din 3 1 32 3 5 3 7 3 14 3 2 3 5 3 7 14 76 3 14n n n n n
(2p) Dar 4 19 3 3 2 4 2n k , unde 19 3 3nk (2p) Cum numerele de forma 4 2,k k nu sunt pătrate perfecte, numărul de sub radical nu etepătrat perfect. Deci, a
_____________________________________________________________________________________Str. General Berthelot, nr. 28-30 Str. Ecaterina Teodoroiu, nr. 8B, Slatina, 230015, jud. Oltsector 1, 010168, București E/mail ISJ: [email protected]: +40 (21) 405 62 00 Tel: +40 (249) 41 09 27+40 (21) 405 63 00 Fax: +40 (249) 41 28 01www.edu.ro www.isjolt.ro
Fie triunghiul ABC dreptunghic în A, ( )D BC astfel încât 2BD = DC, ( ) 30om BCA , F
mijlocul laturii AB, (BE bisectoarea ABC , ( ), .E AC BE AD O
Arătați că:
a) ED AB ;b) C, O, F coliniare.
Prof. Gabriela IONICĂ, Slatina, Olt
Barem de corectare
(1p) a) ( ) 30om BCA implică ( ) 60om CBA .În triunghiul BAE, obținem AE = BE/2 sau BE =2 AE
(1p) Din BE bisectoare obținem ( ) 30om CBE .
Dar triunghiul BCE isoscel( ( ) ( ) 30om BCA m CBE ), deci CE = BE = 2 AE
Avem astfel 21
CEEA (i).
(1p) Din ipoteză 21
CDDB (ii)
Din relațiile (i) și (ii) obținem , cu reciproca teoremei lui Thales că ED AB .
(1p) b) În triunghiul ABC avem cevienele AD, BE și CF.
Observăm FA DB ECFB DC EA =1
(2p) Din reciproca Teoremei Ceva AD, BE si CF sunt concurente.
(1p) Însă BE și AD concurente în O deci O CF C, O, F coliniare.
Subiectul 4
În exteriorul pătratului ABCD se construiește trapezul BCEF cu CE BF și BF EF , astfel încât [ [ .AE DF B Fie M mijlocul laturii [ ]CE și N punctul în care paralela prin E la AF
_____________________________________________________________________________________Str. General Berthelot, nr. 28-30 Str. Ecaterina Teodoroiu, nr. 8B, Slatina, 230015, jud. Oltsector 1, 010168, București E/mail ISJ: [email protected]: +40 (21) 405 62 00 Tel: +40 (249) 41 09 27+40 (21) 405 63 00 Fax: +40 (249) 41 28 01www.edu.ro www.isjolt.ro
a) Să se stabilească natura triunghiului ACF.b) Să se demonstreze că punctele A, M și N sunt coliniare.
Supliment G.M. nr. 3/2015
Barem de corectare
a) AC BD O , FO este înălțime și mediană în ACF ACF este isoscel cu baza[ ]AC .....................................................................................................................2p
b) 45m ABD m FBE și BF EF BEF este dreptunghic isoscel...............1pFE FD și AO FD FE AO ...............................................................................1p
,OF EC FE OC EFOC paralelogram FE OC AO ..........................................1p,EF AO EF AO AOEF paralelogram cu EO AF .................................................1p
N este centru de greutate în , ,AEC A N M coliniare................................................1p
_____________________________________________________________________________________Str. General Berthelot, nr. 28-30 Str. Ecaterina Teodoroiu, nr. 8B, Slatina, 230015, jud. Oltsector 1, 010168, București E/mail ISJ: [email protected]: +40 (21) 405 62 00 Tel: +40 (249) 41 09 27+40 (21) 405 63 00 Fax: +40 (249) 41 28 01www.edu.ro www.isjolt.ro
OLIMPIADA DE MATEMATICĂFAZA LOCALA- 26 FEBRUARIE 2017
SOLUŢII ŞI BAREME ORIENTATIVE DE CORECTARE
Clasa a VIII-a
Subiectul 1a) Rezolvați în mulțimea numerelor naturale ecuația: 9 8 72 0.yx y z b) Dacă 0 0 0, ,x y z și 0 0 09 8 7 72 63 56 504xyz xy xz yz x y z x x y y z z ,calculați produsul 0 0 04 .x y z
Prof. Nicolae TOMESCU, Corabia, Olt
Barem de corectare
(1p) a) Ecuația se poate scrie 8 9 0y z și avem soluțiile:(1p) 8,y z și , 9.y z (3p) b) 9 8 7 72 63 56 504 7 9 8 72xyz xy xz yz x y z x yz y z
(1p) 9 8 7 72 63 56 504xyz xy xz yz x y z 7 8 9 .x y z
(1p) 0 0 0 0 0 07, 8, 9 4 2016x y z x y z
Subiectul 2
Fie , , ,n n nx y zE x y z n
y z x z x y
, unde , ,x y z sunt numere întregi și
0x y x z y z .Demonstrați că, pentru orice număr natural n, și orice numere întregi , , ,x y z dacă , , ,E x y z n , atunci și , , , 1E x y z n .
Prof. Daniela Nadia TACLIT, Slatina, Olt
Barem de corectare
(2p) , , ,x y z atunci și , , , ,x y z E x y z n și , , ,x y z E x y z n
(3p) , , ,x y z E x y z n =1 1 1
.n n n
n n nx y zx y zy z x z x y
(1p) Deci , , , , , , 1n n nx y z E x y z n x y z E x y z n
(1p) Deci , , , 1 , , , n n nE x y z n x y z E x y z n x y z
_____________________________________________________________________________________Str. General Berthelot, nr. 28-30 Str. Ecaterina Teodoroiu, nr. 8B, Slatina, 230015, jud. Oltsector 1, 010168, București E/mail ISJ: [email protected]: +40 (21) 405 62 00 Tel: +40 (249) 41 09 27+40 (21) 405 63 00 Fax: +40 (249) 41 28 01www.edu.ro www.isjolt.ro
Subiectul 3Fie ABCD un pătrat cu latura de lungime egală cu .a cm O dreaptă dusă prin punctul Cintersectează semidreptele ( , (AB AD în punctele E respectiv F astfel încât AE a x cm
şi AF a y cm . Construim paralelipipedul dreptunghic AEGFMNPQ cu muchia AM de
lungime egală cu a x y cm .a) Să se arate că: 2 .x y a b) Dacă notăm cu ,p pA V aria totală respectiv volumul paralelipipedului, să se arate că:
2 3) 32 ; ) 12 .p pi A a ii V a Prof. Costel ANGHEL, Negreni, Scorniceşti, Olt
Barem de corectare
(2p) a) Din teorema lui Thales obţinem: 2.y FC a xy aa CE x
(1p) Din inegalitatea mediilor, avem: 22 2 2 .x y xy a a
(1p) 2pA a x a y a y a x y a x a x y
(1p) 22 22 4 4 32 .pA a a x y x y a
(2p) 2 32 2 12 .pV a x a y a x y a a x y a x y a
Subiectul 4
În cubul ' ' ' 'ABCDA B C D se notează cu P proiecţia punctului C pe diagonala .A CDemonstraţi că dreptele AP şi D P sunt perpendiculare.
Gazeta Matematica 10/2015Barem de corectareNotăm AB a
(2p) Cu teorema catetei in ' 'AC C avem: ' 2 ' 3 .3
aC C CP AC CP
(1p) Construim ' 'D Q AC și analog avem ' 33
aAQ
(1p) ' ' 33
aPQ AC AQ CP
(1p) Cu teorema lui Pitagora în .AQP AP a (1p) Analog 'D P a(1p) Cu reciproca teoremei lui Pitagora, avem: 'APD este dreptunghic în 'P AP D P .
_____________________________________________________________________________________ Str. General Berthelot, nr. 28-30 Str. Ecaterina Teodoroiu, nr. 8B, Slatina, 230015, jud. Olt
_____________________________________________________________________________________ Str. General Berthelot, nr. 28-30 Str. Ecaterina Teodoroiu, nr. 8B, Slatina, 230015, jud. Olt
_____________________________________________________________________________________ Str. General Berthelot, nr. 28-30 Str. Ecaterina Teodoroiu, nr. 8B, Slatina, 230015, jud. Olt
_____________________________________________________________________________________ Str. General Berthelot, nr. 28-30 Str. Ecaterina Teodoroiu, nr. 8B, Slatina, 230015, jud. Olt
_____________________________________________________________________________________ Str. General Berthelot, nr. 28-30 Str. Ecaterina Teodoroiu, nr. 8B, Slatina, 230015, jud. Olt
_____________________________________________________________________________________ Str. General Berthelot, nr. 28-30 Str. Ecaterina Teodoroiu, nr. 8B, Slatina, 230015, jud. Olt
_____________________________________________________________________________________ Str. General Berthelot, nr. 28-30 Str. Ecaterina Teodoroiu, nr. 8B, Slatina, 230015, jud. Olt
_____________________________________________________________________________________ Str. General Berthelot, nr. 28-30 Str. Ecaterina Teodoroiu, nr. 8B, Slatina, 230015, jud. Olt
_____________________________________________________________________________________ Str. General Berthelot, nr. 28-30 Str. Ecaterina Teodoroiu, nr. 8B, Slatina, 230015, jud. Olt
_____________________________________________________________________________________ Str. General Berthelot, nr. 28-30 Str. Ecaterina Teodoroiu, nr. 8B, Slatina, 230015, jud. Olt
_____________________________________________________________________________________ Str. General Berthelot, nr. 28-30 Str. Ecaterina Teodoroiu, nr. 8B, Slatina, 230015, jud. Olt