Olasılık ve İstatistik Ders Notu Doç. Dr. Yasin KABALCI 1 4. Tek Rastlantı Değişkenleri Bu bölümde, rastgele değişkenin ayrık, sürekli ya da karma olduğu genel durum elde değerlendirilecektir. Her üç rastgele değişkeni tanımlamada kullanılan birikimli dağılım fonksiyonu (cumulative distribution function, CDF) tanıtılacaktır. Aynı zamanda sürekli rastgele değişkenler için olasılık yoğunluk fonksiyonu (probability density function, PDF) da tanıtılacaktır. Bir rastgele değişken içeren olayların olasılıkları, PDF’lerin integralleri alınarak ifade edilecektir. 4.1. Birikimli Dağılım Fonksiyonu Bir ayrık rastgele değişkenin olasılık yığın fonksiyonu (PMF), X b formunda tanımlanmıştı. X b formundaki olaylar için birikimli dağılım fonksiyonu (CDF) alternatif olarak kullanılmaktadır. CDF, sadece ayrık rastgele değişkenler ile sınırlı değildir, aynı zamanda tüm rastgele değişkenler için kullanılabilmektedir. S örnek uzayına sahip rastgele bir deneyi ele alalım. X rastgele değişkeni örnek uzay S’ten R’ye bir fonksiyondur. : , b A s X s b b Bir X rastgele değişkeninin CDF’i, X x olayının olasılığı olarak aşağıdaki gibi tanımlanmaktadır: , X F x PX x x X’in , x aralığında değer alma olasılığıdır. Esas örnek uzay cinsinden CDF, : s X s x olayının olasılığıdır. X x olayı ve olasılığı x değiştikçe değişir, diğer bir ifade ile X F x x değişkeninin bir fonksiyonudur. Örnek: Bir madeni paranın 3 kez atılması deneyi ele alınsın. Tura sayısı X olsun. X0, 1, 2, 3 olabilir. 1 3 3 1 0 , 1 , 2 , 3 8 8 8 8 PX PX PX PX
32
Embed
Olasılık ve İstatistik Ders Notu Doç. Dr. Yasin KABALCIOlasılık ve İstatistik Ders Notu Doç. Dr. Yasin KABALCI 1 4. Tek Rastlantı Değişkenleri Bu bölümde, rastgele değikenin
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Olasılık ve İstatistik Ders Notu Doç. Dr. Yasin KABALCI
1
4. Tek Rastlantı Değişkenleri
Bu bölümde, rastgele değişkenin ayrık, sürekli ya da karma olduğu genel durum elde
değerlendirilecektir. Her üç rastgele değişkeni tanımlamada kullanılan birikimli dağılım
fonksiyonu (cumulative distribution function, CDF) tanıtılacaktır. Aynı zamanda sürekli rastgele
değişkenler için olasılık yoğunluk fonksiyonu (probability density function, PDF) da
tanıtılacaktır. Bir rastgele değişken içeren olayların olasılıkları, PDF’lerin integralleri alınarak
ifade edilecektir.
4.1. Birikimli Dağılım Fonksiyonu
Bir ayrık rastgele değişkenin olasılık yığın fonksiyonu (PMF), X b formunda tanımlanmıştı.
X b formundaki olaylar için birikimli dağılım fonksiyonu (CDF) alternatif olarak
kullanılmaktadır. CDF, sadece ayrık rastgele değişkenler ile sınırlı değildir, aynı zamanda tüm
rastgele değişkenler için kullanılabilmektedir.
S örnek uzayına sahip rastgele bir deneyi ele alalım. X rastgele değişkeni örnek uzay S’ten R’ye
bir fonksiyondur.
: , bA s X s b b
Bir X rastgele değişkeninin CDF’i, X x olayının olasılığı olarak aşağıdaki gibi
tanımlanmaktadır:
, XF x P X x x
X’in , x aralığında değer alma olasılığıdır. Esas örnek uzay cinsinden CDF, :s X s x
olayının olasılığıdır. X x olayı ve olasılığı x değiştikçe değişir, diğer bir ifade ile XF x x
değişkeninin bir fonksiyonudur.
Örnek: Bir madeni paranın 3 kez atılması deneyi ele alınsın. Tura sayısı X olsun. X0, 1, 2, 3
olabilir.
1 3 3 1
0 , 1 , 2 , 38 8 8 8
P X P X P X P X
Olasılık ve İstatistik Ders Notu Doç. Dr. Yasin KABALCI
2
Örnek: İki zar atma deneyi. X, iki zar üzerindeki sayıların toplamı olsun. Bu durumda, x= 2, 3,
4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 olabilir.
1 1 0
12 2 1,1 236
33 3 1,1 , 1,2 , 2,1 2 336
4 4 1,1 , 1,2 , 2,1 , 2,2 , 1,3 , 3,1
6 2 3 4 3 436
105 5 2 3 4 5 4 536
12 12 2 3
X
X X
X X X
X
X X X X X
X X X X X X X
X X X
F P X P
F P X P p
F P X P p p
F P X P
p p p F p
F P X p p p p F p
F P X p p p
12 11 12 1X X XF p
[ ] ( ) ( )
[ ] ( ) ( )
[ ] ( ) ( )
X X
X X X
X X X X
P a X b F b F a
P a X b F b F a p b
P a X b F b F a p a p b
[ ] ( ) ( )
[ ] ( )
[ ] 1 ( )
X X X
X X
X
P a X b F b F a p a
P X b F b F b
P X x F x
35 15 5 25[6 11] (11) (6) 6
36 36 36 36
35 15 20[6 11] (11) (6)
36 36 36
21 6 3 6 12[4 7] (7) (4) 4 7
36 36 36 36 36
21 6 6 9[4 7] (7) (4) 7
36 36 36 36
X X X
X X
X X X X
X X X
P X F F p
P X F F
P X F F p p
P X F F p
Olasılık ve İstatistik Ders Notu Doç. Dr. Yasin KABALCI
3
Örnek: Zar atma deneyinde iX s i olarak tanımlanırsa, 1 1X s , 2 2X s ,…, 6 6X s
6x ise,
1 2 3 4 5 6
(5) 6
( ) , , , , , 1
X X
X
F p
F x P X x P s s s s s s
5 6x ise,
1 2 3 4 5( ) , , , , 5 6XF x P X x P s s s s s
4 5x ise,
1 2 3 4( ) , , , 4 6XF x P X x P s s s s
3 4x ise,
1 2 3( ) , , 3 6XF x P X x P s s s
2 3x ise,
1 2( ) , 2 6XF x P X x P s s
1 2x ise,
1( ) 1 6XF x P X x P s
1x ise,
( ) 0XF x P X x P
█
CDF’in Bazı Özellikleri
0 ( ) 1XF x
lim ( ) 1Xx
F x
lim ( ) 0Xx
F x
( )XF x , x ’in azalmayan bir fonksiyonudur, yani, eğer a b ise o zaman ( ) ( )X XF a F b ’dir.
( )XF x sağdan sürekli ise, yani, 0
0 ( ) lim ( ) ( )X X Xh
h F b F b h F b
Bu 5 özellik, genel olarak, x ’dan ’a arttığında, XF x ’in 0’dan 1’e büyüyen ve
azalmayan bir fonksiyon olduğunu gösterir.
[ ] ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] 1 ( )X X X X XP a X b F b F a P X b F b F b P X x F x
Olasılık ve İstatistik Ders Notu Doç. Dr. Yasin KABALCI
4
a X b X a a X b olduğundan,
[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )X X X X X XP a X b F a F a F b F a F b F a
Eğer bir CDF, aralığın bitiş noktalarında sürekli ise bitiş noktaları sıfır olasılığa sahiptir.
█
Örnek: Hilesiz bir madeni paranın 3 kez atılması deneyinde tura sayısı X olsun. CDF’yi
kullanarak aşağıdaki olayların olasılığını bulunuz.
a) 1 2A X
b) 0.5 2.5B X
c) 1 2C X
Çözüm:
a) [1 2] (2) (1) 7 / 8 1/ 2 3/ 8X XP X F F
b) CDF, x = 0.5 ve x = 2.5 noktalarında süreklidir.
[0.5 2.5] (2.5) (0.5) 7 / 8 1/ 8 6 / 8X XP X F F
c) {1 2} { 2} {1 2}' dir.X X X
{1 2} { 2} {1 2}' dir.
{1 2] [ 2] (2) 1
{1 2] (2) 1 P[ 2]
(2) 1 (2) 2 2 1 4 / 8 1/ 8 3 / 8
X X
X X
X X X X X X
X X X
P X P X F F
P X F F X
F F F F F F
█
4.1.1. Rastgele Değişkenlerin 3 Farklı Türü
Ayrık rastgele değişkenler, sağdan sürekli ve x’in merdiven fonksiyonu şeklinde CDF’ye sahiptir.
x0, x1, x2, … gibi noktalarda atlamalar oluşur.
Birim basamak
k
X X k X k k
x x k
F x p x p x u x x
Sürekli rastgele değişkenler, CDF’si her yerde sürekli olan rastgele değişkenlerdir. Bunun
yanında, negatif olmayan f x fonksiyonunun integrali olarak yazılabilir.
Olasılık ve İstatistik Ders Notu Doç. Dr. Yasin KABALCI
5
x
XF x f t dt
Sürekli rastgele değişkenlerde; bütün x değerleri için 0P X x .
Karma türden rastgele değişkenler; x0, x1, x2, … gibi noktalarda atlamalara sahiptir fakat aynı
zamanda x değerlerinin en az bir aralığında sürekli olarak artan CDF’e sahiptir.
1 21 , 0 1XF x p F x p F x p
burada 1F x , ayrık bir rastgele değişkenin CDF’si, 2F x ise sürekli bir rastgele değişkenin
CDF’sidir.
4.1.2. CDF’in Limit Özellikleri
lim ( ) 1 özelliğinden lim ( ) lim [ ] lim{ } [ ] 1x Xx n n n
F x F n P X n P X n P S
lim ( ) 0 özelliğinden lim ( ) lim [ ] lim{ } [ ] 0x Xx n n n
Gaussian rastgele değişkeni haberleşme sistemlerinde önemli bir role sahiptir. İletilen sinyaller,
elektronların termal hareketinden kaynaklanan gürültü gerilimleri tarafından bozulurlar. Bu
gerilimler Gaussian PDF’sine sahiptir.
█
Örnek: Bir haberleşme sistemi giriş olarak pozitif bir V gerilimini kabul eder ve çıkış gerilimi
Y V N ’dir. Burada 210 ve N ise 0 ve 2m olan bir Gaussian rastgele
değişkendir. 60 10P Y olasılığını veren V değerini bulunuz.
Çözüm: 0P Y olasılığı N cinsinden yazılırsa.
60 0 10V V
P Y P V N P N V Q
Olasılık ve İstatistik Ders Notu Doç. Dr. Yasin KABALCI
19
Tablodan 4.7535V
olduğu görülmektedir. Buna göre,
2104.7535 950,6
2
VV
olarak bulunur.
Örnek: Bir Gaussian rastgele değişkeninin ortalaması 21 ve varyansı 4m ’tür.
3 ?P X ve 3 ?P X
Çözüm: 3 1
3 1 0.158662
x mP X Q Q Q
3 13 2 0.15866
2
Tabloda 2 olmadığından, 2 1 2 1 0.02275 0.97725
x mP X Q Q Q
Q Q Q
█
Olasılık ve İstatistik Ders Notu Doç. Dr. Yasin KABALCI
20
█
Örnek: Bir radar alıcısı, sinyal+gürültüye eşit olan V s N gerilimini gözlemektedir. s
sinyalinin sabit ve gürültünün (N) rastgele Gaussian değişkeni olduğu varsayılsın. Gürültünün
ortalaması 2 20 ve varyansı 4 mvm ’dir. Eğer V gerilimi 2 volttan büyük ise radarın hedefi
sezdiği varsayılsın. Hedef radardan belirli bir miktarda uzaklıkta iken, s sinyali 3 volttur. Buna
göre, radarın hedefi sezme olasılığı nedir?
Çözüm: V gerilimin ortalaması: , 3 0
3
sabit m
E V E s N E s E N
V’nin varyansı:
4
Sabitin varyansı 0 olduğundan 'in varyansına bağlıdır.
VAR V VAR s N
N
2 3
2 0.5 1 0.5 1 0.31 0.692
v mP V Q Q Q Q
Örnek: Hedef radara yaklaştıkça, sinyal daha güçlü olacaktır. Gürültünün varyansı sabit kalırsa,
hedefi 0.98 olasılıkla sezebilmek için gerekli olan s gerilimi kaç volttur?
Çözüm: Bu olasılık 2
olur. Burada ortalama değere eşitleniyor.2
sQ s
Bu ifadenin içi negatif olacağından,
2 21 0.98 0.02
2 2
s sQ Q
Tablodan 2
2.05 6.1 2
ss V
bulunur.
4.4.4. Gamma Rastgele Değişkeni
Sırada bekleyen müşterilere hizmet etmek için gerekli olan zamanı modellemede, cihazların ve
sistemlerin kullanım ömrünü modellemede kullanılmaktadır. Gamma rastgele değişkeni 0 ve
0 gibi iki parametreye sahiptir ve PDF’si:
1
0
x
X
x ef x x
burada z Gamma fonksiyonudur ve 1
0
0z xz x e dx z
olarak tanımlanır.
0.5 1 , 0 1 !, negatif olmayan tam sayız z z z m m m
Olasılık ve İstatistik Ders Notu Doç. Dr. Yasin KABALCI
21
1 olduğunda eksponansiyel rastgele değişkenin PDF’i elde edilir.
Örnek: Bir Gamma rastgele değişkenin PDF’sinin integralinin 1 olduğunu gösteriniz.
Çözüm: 1
1
0 0 0
( )( )
( ) ( )
xx
X
x ef x dx dx x e dx
y x dy dx dönüşümü kullanılırsa,
1
0
( )
1( )
yy e dy
4.4.5. Beta Rastgele Değişkeni
Bera rastgele değişkeninin PDF’si:
11 1 , 0 1
ba
Xf x c x x x
1
11
0
1, 1
baB a b x x dxc
,
a bB a b
a b
2,
1
a abE X VAR X
a b a b a b
1a b olduğunda düzgün rastgele değişkenin PDF’i elde edilir.
4.5. Bir Rastgele Değişkenin Fonksiyonları
X rastgele bir değişken olsun ve g(x) gerçek sayı doğrusunda tanımlı gerçek değerli bir fonksiyon
olsun. Y g X tanımlansın, yani X rastgele değişken varsayılan değerinde g(x) fonksiyonunun
hesaplanması ile Y belirlenir. O zaman, Y’de rastgele bir değişkendir. Y’yi kapsayan C olayının
olasılığı, denk B olayının olasılığına eşittir,
P Y C P g X C P X B
Örnek: N bağımsız konuşmacı grubundaki aktif konuşmacıların sayısı X olsun. Konuşmacının
aktif olma olasılığı p olsun. X, N ve p parametrelerine sahip Binom dağılımlıdır. Ses iletim
sisteminin bir zamanda M ses sinyaline kadar iletim yapabildiğini varsayalım. X, M’i aşarsa X-M
adet rastgele seçilen sinyaller çıkartılıyor. Y çıkarılan sinyallerin sayısı olsun: Y=(X-M)
0,1, ,YY S N M kümesinden değerler alır. X M olduğunda 0Y olacak ve
0
0 0,1, , ' 'M
j
j
P Y P X M p X in PMF si
, 0M kP Y k P X M k p k N M
Olasılık ve İstatistik Ders Notu Doç. Dr. Yasin KABALCI
22
Örnek: Rastgele Y değişkeni aşağıdaki gibi tanımlanıyor:
Y aX b
a sıfır olmayan bir sabittir. X’in CDF’si XF x ise YF y ’yi bulunuz.
Çözüm: Y y olayı: A aX b y oluştuğunda meydana gelir.
Eğer 0a ise A X y b a olur ve
, 0Y X
y b y bF y P X F a
a a
Eğer 0a ise A X y b a olur ve
1 , 0Y X
y b y bF y P X F a
a a
YF y ifadelerinin y’ye göre türevi alınarak Yf y bulunur.
1
, 0Y X
y bf y f a
a a
1
, 0Y X
y bf y f a
a a
Bu iki sonuç kompakt bir şekilde aşağıdaki gibi yazılabilir.
1
Y X
y bf y f
a a
Örnek: X, Gaussian PDF’sine sahip, ortalaması m ve standart sapması olan rastgele bir
değişken olsun.
2
2
1exp ,
22X
x mf x x
ve Y aX b olduğuna göre ?Yf y
Çözüm: X’in Gaussian PDF’sini bir önceki örneğin sonucunda yerine yazarsak,
2
2
1exp ,
2 2X
y b a mf x x
a a
Y değişkeni de Gaussian dağılımlıdır. Ortalaması b a m ve standart sapması a ’dır. Bu
yüzden, bir Gaussian rastgele değişkeninin lineer bir fonksiyonu yine bir Gaussian rastgele
değişkenidir.
Olasılık ve İstatistik Ders Notu Doç. Dr. Yasin KABALCI
23
Örnek: Rastgele Y değişkeni 2Y X şeklinde tanımlanıyor. X sürekli bir rastgele değişkendir.
YF y ve Yf y ’yi bulunuz.
Çözüm:
Y y olayı 2X y olduğunda ya da
, 0y X y y için oluşur.
0 0
0Y
X X
yF y
F y F y y
y’ ye göre türev alınırsa,
2 2
, 02 2
X X
Y
X X
f y f yf y
y y
f y f yy
y y
Örnek: 0m ve 1 olan X rastgele değişkeni Gaussian rastgele değişkenidir. 2Y X ise
Yf y ’yi bulunuz.
Çözüm:
2
2
1exp ,
22X
x mf x x
0m ve 1 21
exp22
X
xf x
olur. Bir önceki örnekte bulunan sonuç kullanılarak,
2
2 21 1 1 1, 0
2 2 2 2 2 2 2
yX X y y
Y
f y f y ef y e e y
y y y y y
█
Y g X şeklinde yukarıda gösterilen nonlineer bir fonksiyon ele alınsın.
olayı Y YC C y Y y dy ve YB onun denk olayı olsun. Şekilde belirtilen y için, x1, x2,
x3 şeklinde 3 çözüm vardır ve YB olayı her bir çözüme karşılık gelen bir bölüme sahiptir.
1 1 1 2 2 2 3 3 3yB x X x dx x dx X x x X x dx
YC olayının olasılığı yaklaşık olarak Y YP C f y dy ’dir. Burada dy , y Y y dy
aralığının uzunluğudur. YB olayının olasılığı yaklaşık olarak:
1 1 2 2 3 3y X X XP B f x dx f x dx f x dx
Olasılık ve İstatistik Ders Notu Doç. Dr. Yasin KABALCI
24
YC ve YB denk olaylar olduğundan, olasılıkları eşit olmak zorundadır. Y YP C P B ’den:
( )( ) ( )
| / |k k
XY X
k kx x x x
f x dxf y f x
dy dx dy
Örnek: Bir önceki örnekte 2Y X olarak tanımlanmıştı. 0y için 2Y X eşitliği iki adet
çözüme sahiptir 0 1 ve x y x y . Bu yüzden Y’nin PDF’si iki terime sahiptir. 2dy dx x
ise,
1
0 1
0
2 2
1 1 1 1
2 2 2 2
X X
Y
X k X X X X
f y f yf y
y y
dxf x f x f x f y f y
dy x x y y
4.6. Markov ve Chebyshev Eşitsizlikleri
Sadece negatif olmayan değerler alan bir X rastgele değişkeni için Markov eşistsizliği,
0 0[ ] ( ) ( )
,
( )
0
a
X X Xa
P
E X x f x
E XX a a
a
dx xf x dx x f x dx
İntegralin 0 değerinden başlamasının nedeni, X’in sadece negatif olmayan değerler aldığının
varsayılmasıdır.
0’dan a’ya olan integral çıkarılırsa,
[ ] ( )Xa
E X x f x dx
x yerine a gibi daha küçük sabit bir değer yazılırsa,
[ ] ( ) ( )X Xa a
E X a f x dx a f x dx a P X a
Örnek: Bir direnç üzerinde ölçülen gerilim düzgün bir rastgele değişkendir ve aralığı 0,5 V’tur.
Direnç üzerinde ölçülen gerilimin 4V’tan büyük olma olasılığı 0.2’dir.
Olasılık ve İstatistik Ders Notu Doç. Dr. Yasin KABALCI
25
Markov eşitsizliğini kullanarak bu olasılık için bir üst sınır bulalım.
0 52.5
2 2
2.54 0.625
4 4
a bE X
E XP X
Bulunan sonuç gerçek değerden çok uzaktır! Fakat bulunan değer üst sınırdır. Yani gerçek değer
olan 0.2 bulunan üst sınırın altındadır. Not: Bir sınır en kötü durum senaryosunu değerlendirir.
█
Ortalaması E X m ve varyansı 2VAR X olan bir X rastgele değişkeni için Chebyshev
eşistsizliği,
2
2, 0P X m a a
a
2
X m sadece negatif olmayan değerler alan bir rastgele değişkendir. Markov eşitsizliğini
uygularsak,
22
2 2
2 2
XE X m
P X m aa a
burada 2 2X m a ile X m a denk olaylardır.
Örnek: Çok kullanıcılı bir bilgisayar sisteminde ortalama cevap zamanı ve standart sapma
sırasıyla 15 s ve 3 s olarak bilinmektedir. Cevap zamanının ortalamadan 5 s daha fazla olma
olasılığını bulunuz. 2
2
915 5 0.36
25
XP Xa
Chebyshev eşistsizliği, (kesin, belirli rastgele değişkenler için) gerçek değere yakın sonuçlar
vermeyebilir. Fakat verilen rastgele değişkenin dağılımı hakkında ortalaması ve varyansı dışında
bilgi yoksa her şeye rağmen bu eşitsizlik faydalıdır.
4.7. Dönüşüm Metotları
4.7.1. Karakteristik Fonksiyon
Bir X rastgele değişkeninin karakteristik fonksiyonu,
( ) ( ) , 1 İmajiner kısımj X j x
X XE e f x e dx j
Olasılık ve İstatistik Ders Notu Doç. Dr. Yasin KABALCI
26
Yukarıdaki eşitliğin sağ tarafına bakıldığında karakteristik fonksiyon X’in bir fonksiyonunun j Xe ’in beklenen değeri olarak görülmektedir. Aynı zamanda, karakteristik fonksiyon Xf x
PDF’sinin Fourier dönüşümüne eşittir.
Eğer ( )X ’i Fourier dönüşümü olarak göz önüne alırsak, o zaman X’in PDF’si,
( ) Ters Fourier dönüş1
2ümüj X
X Xf ex d
Buna göre, her PDF ve karakteristik fonksiyon bir özgün Fourier dönüşüm çifti oluşturmaktadır.