Olasılıksal Şev Stabilitesi Analizlerinde Yerel Değişkenliğin Etkisi

Taşkın ve Heyelan Sempozyumu 24-26 Ekim 2013, KTÜ, Trabzon

Olasılıksal Şev Stabilitesi Analizlerinde Yerel Değişkenliğin Etkisi H. Gören, E. Tekin, S. O. Akbaş,

Gazi Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi, İnşaat Mühendisliği Bölümü, Ankara Özet Bu çalışmada granüler malzemeden oluşan bir şevin yenilme olasılığı basit yöntemler ve göreceli olarak daha ileri olasılıksal analizler ile incelenmiştir. Özellikle zemin parametrelerinde yerel ortalama kullanımının sonuçlar üzerindeki etkisi değerlendirilmiştir. Basit yaklaşımda klasik şev stabilitesi analiz yöntemleri uygulanmış ve sadece içsel sürtünme açısı rastsal değişken olarak ele alınmıştır. İleri olasılıksal analiz ile kastedilen, rastsal saha teorisini elastoplastik davranış ile birleştiren rastsal sonlu elemanlar yöntemidir. Bu yöntem, geleneksel olasılıksal şev stabilitesi analizlerine kıyasla birçok avantaja sahiptir. En önemlisi, şev yenilme mekanizmasını, doğal biçimde en kritik mekanizmayı seçerek belirleme imkanını sunmaktadır. Gerçekleştirilen analizler, mükemmel korelasyon kabulü ile yerel değişkenliği ihmal eden geleneksel şev stabilitesi yöntemlerinin güvenli tarafta kalmayan sonuçları ortaya çıkartabileceğini ortaya koymuştur. Giri ş Belirsizliklerin ve olasılıksal analizlerin geoteknik mühendisliğinde halen en önemli yer tuttuğu çalışma alanlarından birinin şev stabilitesi problemleri olduğu söylenebilir. 1970’li yıllardan itibaren literatürde şev stabilitesinin olasılık teorisi dahilinde değerlendirildiği çalışmalara rastlamak mümkün olmuş, bu gelişmeye yazılım firmaları da programlarına genellikle şev yenilme olasılığını hesaplama imkanı sunan modüller koyarak ayak uydurmaya çalışmışlardır. Her ne kadar bu gelişmeler umut verici olsa da, olasılıksal analizlerde öneminin tartışmasız olduğu açık olan ve mekansal korelasyon ya da otokorelasyon ile temsil edilen yerel değişkenliğin uygulamada önemli yer tutan ve olasılıksal analiz gerçekleştirme kapasitesine sahip şev stabilitesi yazılımlarının hemen hiçbirinde göz önüne alınamıyor olması dikkat çekici bir unsurdur. Bu bağlamda, Griffiths ve Fenton (2004) ve Griffiths vd. (2009) tarafından yapılan çalışmalarda, söz konusu yazarlar tarafından geliştirilen rastsal sonlu eleman yöntemi (RFEM) sonuçları ve yerel değişkenliğin etkisini göz önünde bulundurmayan geleneksel analitik olasılıksal analizler (FORM – birinci derece güvenilirlik yöntemi) karşılaştırılmış, mukavemet parametrelerinin varyasyon katsayısı (COV) bazı sınır değerleri aştığında, geleneksel yöntem ile güvenli tarafta kalmayan sonuçlara ulaşıldığı gözlenmiştir. Yerel değişkenlik nadir de olsan bazı araştırmacılar tarafından limit denge yöntemi ile birleştirilmi ş (örn. Low vd. 2007), gerçekleştirilen tüm çalışmalar, dalgalanma ölçeği olarak da adlandırılan ve hangi mesafeye dek iki noktanın özelliklerinin anlamlı şekilde korele olduğunu betimleyen mekansal korelasyon mesafesindeki artışın yenilme olasılığını da artırdığını ortaya çıkartmıştır. Bu sonuca Griffiths vd. (2009), yapılan çalışmaların sadece bir boyuttaki rastsal saha etkisini göz önüne aldığını belirterek ve yenilme olasılığının bazı


durumlarda yerel değişkenliğin yanı sıra değişkenlerin varyans değerine de bağlı olduğunu belirterek karşı çıkmışlardır. Yukarıdaki açıklamalardan da görüldüğü üzere, yerel değişkenliğin olasılıksal şev stabilitesi değerlendirmeleri üzerinde önemli etkisi olduğu bilinmekle birlikte, bu etkinin yön ve değeri halen tartışmaya açık bir konudur. Bu noktalardan hareketle, bu çalışmada kohezyonsuz malzemeden oluşan bir şev için öncelikle RFEM sonuçları ile uygulamada kendine geniş yer tutan şev stabilitesi analiz programlarından Rocscience Slide ile gerçekleştirilmi ş olasılıksal analizlerden elde edilenler karşılaştırılmıştır. Sonuçlar, yerel değişkenliğin ihmalinin yenilme olasılığı üzerindeki etkisi çerçevesinde değerlendirilmiştir. Aynı zamanda, geoteknik parametrelerin farklı varyans katsayıları için, yenilme olasılığının korelasyon mesafesi ile değişimi incelenmiştir. Teori Rastsal alanda değişebilirliğin kullanışlı ölçüsü korelasyon mesafesidir (θ). Bazen dalgalanma ölçeği olarak da adlandırılmaktadır (Vanmarcke, 1983; Tekin ve Akbaş, 2010). θ belirli bir mesafedeki noktaların anlamlı şekilde korele olduğunu (örneğin %20’den fazla) gösterir. Tersi olarak iki nokta θ mesafesinden uzak ise aralarında bir korelasyonun olmadığı söylenebilir. Matematiksel olarak korelasyon mesafesi korelasyon fonksiyonunun altında kalan alana eşittir (Vanmarcke, 1984):

(1) Burada ρ(τ) korelasyon fonksiyonudur. Markov korelasyon fonksiyonu basitliğinden dolayı yaygın olarak kullanılmaktadır (Fenton ve Griffiths, 2008). Çünkü tahmin edilecek koşullu olasılıklar sadece var olan diziye bağlıdır:

(2) Burada X(t) rastsal alanı oluşturan dizilerdir. Sadece X(tn-3), X(tn-4),... biliniyorsa ve X(tn+1) ile ilgili olan koşullu olasılığın değeri bilinmek isteniyorsa Markov korelasyon fonksiyonu aşağıdaki biçimi alır:

(3) Burada τ = rastsal alanda bulunan iki nokta arasındaki mesafedir. Aşağıdaki birinci derece türevsel ifadenin çözümünü gerektir:

(4)

Burada c ve α katsayılar, W(t) sıfır ortalamalı, G0 yoğunluklu beyaz gürültü girdisidir. Beyaz gürültü girdisinin çözümü için birçok rastsal değişkenin X1 = X(t1), X2 = X(t2) gibi sonsuz t dizisinin bir araya gelerek X(t) rastsal alanını oluşturmaktadır. Herbirinin marjinal dağılımı fx(x) ise, herbir dizi bağımsız olduğundan birleşik dağılımları, marjinal dağılımların çarpımına eşittir:

(5)


X(t1) veX(t2) noktaları arasındaki kovaryans fonksiyonu aşadaki gibidir:

(6)

Yukarıdaki ifade için benzetim yardımıyla beyaz gürültü elde edilir. Problemin çözümü ise Ornstein-Uhlenbeck işlemi olarak isimlendirilir (Uhlenbeck ve Ornstein, 1930). Küçük korelasyon mesafeleri rastsal alanın düzensiz ve ani değişmesini, büyük korelasyon mesafeleri ise daha yavaş ve daha az farklılık göstermesini sağlar. Örneğin arazide τ = θ ile farklılık gösteren iki noktanın korelasyonları e-2 = 0.13’e düşer. Diğer taraftan Markov işleminin varyans fonksiyonu:

(7)

ve tek taraflı spektrum yoğunluk fonksiyonu (G(ω)) aşağıdaki gibi tanımlanır:

(8)

Markov korelasyon fonksiyonun türevi süreksizdir ve sonsuz değişkendir. Rastsal Sonlu Elemanlar Yöntemi Yukarıdaki geometrik özellikleri betimlemeye yardımcı olan eşitlikler problemin olasılıksal olarak tanımlanmasını sağlar. Olasılıksal geometriden yola çıkarak Fenton ve Griffiths rastgele alan benzetimini sonlu elemanlar yöntemi ile birleştirmiş Rastsal Sonlu Elemanlar Yöntemini (RFEM: Random Finite Element Method) oluşturmuşlardır (Fenton ve Griffiths, 2008). Problemin geometrik özellikleri yukarıda anlatılan yöntemlerle rastsal parametrelere dönüştürülür (Şekil 1). Şekil 1’de, örneğin, daha koyu olan elemanlar içsel sürtünme açısının daha yüksek değerlerini sembolize etmektedir. RFEM ile zeminin rastsal davranışı sızma (Griffiths ve Fenton, 1993; Griffiths ve Fenton, 1997), sığ temellerin oturması (Paice, Griffiths ve Fenton, 1996; Fenton ve Griffiths, 2002), sığ temellerin taşıma gücü (Griffiths, Fenton ve Manoharan, 2002; Fenton ve Griffiths, 2003), şev stabilitesi (Chok ve ark., 2007; Griffiths, Huang ve Fenton, 2010) gibi geoteknik problemlere uygulanmıştır.

Şekil 1 RFEM kullanılarak modellenmiş şev


Rastsal Sonlu Elemanlar Yöntemi ile Şev Stabilitesi Analizi Bu çalışmada ele alınan kohezyonsuz zeminden müteşekkil şev için, Tablo 1 Olasılıksal şev stabilitesi analizlerinde kullanılan zemin parametrelerinin ortalama değerleri ve varyans katsayıları Tablo 1’de verilmiştir (Phoon ve Kulhawy, 1999). Ortalama içsel sürtünme açısı 30°, içsel sürtünme açısı varyans katsayısı için (COVφ) %5 - %15 aralığı, ortalama elastisite modülü 4150 kN/m2, elastisite modülü varyans katsayısı için (COVE) %15 - %65 aralığı kullanılarak oluşturulan şev analiz parametreleri Tablo 2’de tanımlanmıştır. RFEM 2 boyutlu şev stabilitesi için yatay/düşey: 2/1 şev geometrisi tanımlanmıştır. Yazılımda Markov fonksiyonu ile korelasyon mesafesi 0.2, 1 ve 5 için hesaplamalar yapılmıştır. Tablo 2’de belirtilen analizler için yenilme olasılıkları (Pf) ve bunlara karşılık gelen standart sapmalar (σ) Tablo 3’de verilmiştir. Yenilme olasılığının korelasyon mesafesi ile değişim gösterdiği açık biçimde görülebilmektedir. Tablo 1 Olasılıksal şev stabilitesi analizlerinde kullanılan zemin parametreleri

Parametre Dağılım Ortalama, µ Değişim Katsayısı,

COV (%) Kohezyon, c [kN/m2] Deterministik 0.001 -

İçsel Sürtünme Açıcı, φ [°] Lognormal 30 5 10 15

Dilatasyon Açısı, ψ [°] Deterministik 0 - Birim Ağırlık, [kN/m3] Deterministik 19 -

Elastisite Modülü, E [kN/m2] Lognormal 4150

15 25 35 45 55 65

Poisson Oranı, ν Deterministik 0.3 -

Tablo 2 Olasılıksal şev stabilitesi analizleri

Analiz No Şev

Yatay / Düşey

İçsel sürtünme Açısı [°]

Elastisite Modülü, [kN/m 2]

µ COVφ (%) µ

COVE (%)

1 2 30 5 4150 15 2 2 30 5 4150 25 3 2 30 5 4150 35 4 2 30 5 4150 45 5 2 30 5 4150 55 6 2 30 5 4150 65 7 2 30 10 4150 15 8 2 30 10 4150 25 9 2 30 10 4150 35 10 2 30 10 4150 45 11 2 30 10 4150 55 12 2 30 10 4150 65 13 2 30 15 4150 15 14 2 30 15 4150 25 15 2 30 15 4150 35 16 2 30 15 4150 45 17 2 30 15 4150 55 18 2 30 15 4150 65


Tablo 3 Korelasyon mesafesine bağlı olarak yenilme olasılıkları

Analiz No

Korelasyon Mesafesi

θ = 0.2 θ = 1 θ = 5 Pf σ Pf σ Pf σ

1 0.000 0.000 0.0000 0.0000 0.003 0.002

2 0.000 0.000 0.0000 0.0000 0.000 0.000

3 0.000 0.000 0.0000 0.0000 0.002 0.0014

4 0.000 0.000 0.0000 0.0000 0.005 0.0022

5 0.000 0.000 0.0000 0.0000 0.000 0.0000

6 0.000 0.000 0.0000 0.0000 0.003 0.0017

7 0.021 0.005 0.0900 0.0090 0.090 0.009

8 0.016 0.004 0.0870 0.0089 0.089 0.0090

9 0.010 0.003 0.0830 0.0087 0.097 0.0094

10 0.010 0.003 0.0690 0.0080 0.094 0.0092

11 0.007 0.002 0.0540 0.0071 0.071 0.0081

12 0.005 0.001 0.0530 0.0071 0.061 0.0091

13 0.192 0.012 0.2510 0.0137 0.207 0.0128

14 0.166 0.012 0.2510 0.0137 0.218 0.0131

15 0.139 0.011 0.2480 0.0137 0.252 0.0137

16 0.105 0.010 0.2290 0.0133 0.212 0.0129

17 0.092 0.009 0.2140 0.0130 0.223 0.0132

18 0.089 0.009 0.1840 0.0123 0.197 0.0126

Şekil 2’de şev yenilme olasılığı değerleri, θ = 1 için içsel sürtünme açısı ve elastisite modülünün varyans katsayısı ile değişimi gösterilmektedir. Sabit korelasyon mesafesi için, geoteknik parametrelerdeki değişkenlik arttıkça yenilme olasılığının da yükseldiği gözlenmektedir.

Şekil 2 Elastisite modülü ve içsel sürtünme açısı varyans katsayısı ile yenilme olasılığı değişimi


Olasılıksal Limit Denge Analizi Rocscience Slide yazılımı Monte Carlo / Latin Hypercube benzetim yöntemlerini kullanarak olasılıksal analiz yapmaya imkan vermektedir. Zemin dayanım parametreleri, yükler, yeraltı su seviyesi, çekme çatlağı rastgele değişken olarak tanımlanabilmektedir. Yazılım olasılıksal analizleri iki yöntemle gerçekleştirmektedir. Birinci yöntemde kayma yüzeyi deterministik olarak minimum güvenlik katsayısını verecek şekilde hesaplanmaktadır. Kayma yüzeyi belirlendikten sonra örnekleme yapılarak göçme olasılığı ve güvenilirlik indeksi hesaplanmaktadır. Diğer yöntemde ise herbir rastsal değişken takımı için minimum güvenlik katsayısını veren kayma yüzeyi hesaplanır. Rastsal değişken takımları için hesaplanan kritik yüzeyler bir bant oluşturur. Yenilme olasılığı, minimum güvenlik katsayısı 1'den küçük hesaplanan benzetim sayısının toplam benzetim sayısına bölünmesi ile elde edilir. Çalışmanın ikinci aşamasında Tablo 1’de verilen zemin parametreleri Slide yazılımında Monte Carlo örnekleme yöntemi kullanılarak 1000 adet benzetim yapılarak gerçekleştrilmiştir. Olasılıksal analiz için global minimum yaklaşımı seçilmiştir. Problem 200 dilime bölünerek basitleştirilmi ş Bishop yöntemi uygulanmıştır. Bu analizden “mükemmel korelasyon” kabulü yapıldığı unutulmamalıdır. Basitleştirilmi ş Bishop yönteminde elastisite modülü kullanılmadığından, analiz sonuçları içsel sürtünme açısı değişim katsayısının %5, %10 ve %15 olan değerleri için Tablo 4’de verilmiştir. Tablo 4 COVphi %5, %10, %15 için yenilme olasılıkları

Analiz No φ Basitleştirilmi ş Bishop

µ COV (%)

Deterministik µFS

µFS σFS Pf

1-6 30 5 1.155 1.157 0.067 0.008 7-12 30 10 1.155 1.161 0.134 0.104 13-18 30 15 1.155 1.166 0.202 0.218

Tablo 4’de verilen yenilme olasılığı örneğin 1-6 nolu analizlerde 1000 adet hesap yapılan kayma yüzeyi için 8 tanesinin yenildiğini ifade etmektedir. Slide yazılımı içsel sürtünme açısını deterministik değerlendirdiğinde güvenlik katsayısını bütün analizler için 1.155 olarak hesaplamıştır. Oysa olasılıksal parametrelerle hesap yapıldığında örneğin 1-6 nolu analizler için güvenlik katsayısı ortalaması 1.157, standart sapması 0.067, minimum güvenlik katsayısı 0.962, maksimum güvenlik katsayısı 1.374’tür (Şekil 3). Değerlendirme altında tutulan 2:1 geometriye sahip kohezyonsuz şevin θ = 0.2, 1, 5 değerlerindeki RFEM ve Slide analizlerine gore yenilme olasılıkları, içsel sürtünme açısı varyans katsayısı %10 için Şekil 4Hata! Başvuru kaynağı bulunamadı.’de; COVφ = %15 için ise Şekil 5’de gösterilmiştir.


a. Analiz 1 - 6 için FS

b. Analiz 1 - 6 için FS frekansları

c. Analiz 7 - 12 için FS

d. Analiz 7 - 12 için FS frekansları

e. Analiz 13 - 18 için FS

f. Analiz 13 - 18 için FS frekansları

Şekil 3 Güvenlik katsayıları değişimleri ve frekansları


Şekil 4 COVφ = %10 ve θ = 0.2, 1, 5 için yenilme olasıkları değişimi

Şekil 5 COVφ = %15 ve θ = 0.2, 1, 5 için yenilme olasıkları değişimi

Sonuç ve Öneriler Bu çalışmada ortalama içsel sürtünme açısı 30o ve eğimi yatay/düşey: 2/1 olarak tanımlanan kohezyonsuz malzemeden oluşan bir şev için rastsal sonlu eleman analizleri ve Rocscience Slide ile gerçekleştirilmi ş olasılıksal analizlerden elde edilen sonuçlar karşılaştırılmıştır. Sonuçlar aşağıdaki biçimde özetlenebilir:


1. Sabit korelasyon mesafesi için, geoteknik parametrelerdeki değişkenlik arttıkça yenilme olasılığının da yükseldiği gözlenmektedir.

2. Korelasyon mesafesi, yenilme olasılığı üzerinde önemli etkiye sahiptir. Daha önce gerçekleştirilen çalışmaların birçoğunda öne sürülenin aksine, korelasyon mesafesinin artması ile yenilme olasılığında kesin bir yükselme gözlenmemiş, bir çok durumda en yüksek yenilme ihtimali ara korelasyon mesafesi değerlerinde ortaya çıkmıştır.

3. COVφ = %10 seçildiğinde, olasılıksal limit denge analizinden elde edilen yenilme olasılıklarının incelenen tüm korelasyon mesafeleri ve modül değişkenliği değerleri için, rastsal sonlu eleman analizine oranla daha yüksek yenilme olasılığı ortaya koyduğu görülmüştür.

4. İçsel sürtünme açısının varyans katsayısı %15’e yükseltildiğinde ise, korelasyon mesafesinin göreceli olarak daha yüksek değerleri olan 1 ve 5 için, zemin modülünün varyans katsayısına bağlı olarak limit denge analizinin güvensiz tarafta kalan değerler verebildiği gözelnmiştir. Bu sonuç, yenilme olasılığının yerel değişkenliğin yanı sıra geoteknik değişkenlerin varyans değerine de bağlı olduğu savını desteklemektedir.

Kaynaklar Chok, Y.H., Jaksa, M.B., Griffiths, D.V., Fenton, G.A. ve Kaggwa, W.S., A parametric study on reliability of spatially random cohesive slopes, Australian Geomechanics, 42(2), 79--85, (2007). Fenton, G.A. ve Griffiths, D.V., Bearing capacity prediction of spatially random c - φ soils, Canadian Geotechnical Journal, 40(1), 54--65, (2003). Fenton, G.A. ve Griffiths, D.V., Probabilistic foundation settlement on spatially random soil, ASCE Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering, 128(5), 381--390, (2002). Fenton, G.A. ve Griffiths, D.V., "Risk assessment in geotechnical engineering", John Wiley and Sons, Canada, (2008). Griffiths, D.V. ve Fenton, G.A., Seepage beneath water retaining structures founded on spatially random soil, Géotechnique, 43(6), 577-587, (1993). Griffiths, D.V.ve Fenton, G.A., Three-dimensional seepage through spatially random soil, ASCE Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering, 123(2), 153--160, (1997). Griffiths, D.V.ve Fenton, G.A., Probabilistic slope stability analysis by finite elements, ASCE Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering, 130(5), 507--518, (1997). Griffiths, D.V., Fenton, G.A. ve Manoharan, N., Bearing capacity of a rough rigid strip footing on cohesive soil -- a probabilistic study, ASCE Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering, 128(9), (2002). Griffiths, D.V., Huang, J. ve Fenton, G.A., Influence of spatial variability on slope reliability using 2-D random fields, , ASCE Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering, 135(10), (2009).


Griffiths, D.V., Huang, J., ve Fenton, G.A., Probabilistic infinite slope analysis, Computers and Geotechnics, 38(4), 577--584, (2010). Low, B.K, Lacasse, S. ve Nadim, F., Slope reliability analysis accounting for spatial variation, Georisk, 1, 177--189, (2007). Paice, G.M., Griffiths, D.V., ve Fenton, G.A., Finite element modeling of settlements on spatially random soil, ASCE Journal of Geotechnical Engineering, 122(9), 777--779, (1996). Phoon, K.K. ve Kulhawy, F.H., "Characterization of geotechnical variability", Canadian Geotechnical Journal, 36(4): 612-624 (1999). Tekin, E. ve Akbaş, S. O., “Killi Zeminlerde Dalgalanma Ölçeğinin CPT Sonuçlarına Dayalı Belirlenmesi”, Zemin Mekaniği ve Temel Mühendisliği Onüçüncü Ulusal Kongresi, İstanbul, (2010). Uhlenbeck, G. E. ve Ornstein, L. S., "On the theory of Brownian Motion", Phys.Rev., 36:823–841, (1930). Vanmarcke, E., "Random fields: analysis and synthesis", Cambridge, MA, MIT Press, 394 p., (1983).

Olasılıksal Şev Stabilitesi Analizlerinde Yerel Değişkenliğin Etkisi

Documents