OHMŮV ZÁKON TROCHU JINAK

OHMŮV ZÁKON TROCHU JINAK

Jiří J. Mareš

Fyzikální ústav AV ČR v.v.i.

Přenos elektřiny materiálním prostředím

S. Gray, 1729

Vodiče a izolanty „Scestná Grayeova hypotéza“: Přenos elektrického fluida

(A /L)

2 třídy materiálů, vodiče a izolanty

Základní poznatky o transportu elektřiny

Ermanův experiment

(1802)

„Podél vodiče, kterým protéká elektřina, ubývá elektroskopická síla.“

Hledání kvantitativních vztahů

Ohmovy a Fechnerovy experimenty s kovovými vodiči, eliminace vlastností zdroje (Thermokette vs. Hydrokette)

Ohmova konstitutivní relace

G. S. Ohm (1827), G. T. Fechner (1829)

Lokální (diferenciální) formulace „zákona“

i = F (1)

i (A/m2) je hustota proudu a (S/m) vodivost

Vzorec nevyjadřuje přírodní zákon, ale je konstitutivní relací mezi tokem i a zobecněnou silou F a definující konstantu .

Foronomické podmínky

Rovnici (1) je třeba doplnit obecně platnými požadavky na transport „nezničitelné“ substance

div i 0 (rovnice kontinuity) (2a)

i 0 (rovnice diskontinuity) (2b)

Jaká je fyzikální povaha veličiny F ?

Protagonisté

G. S. Ohm G. Kirchhoff

Dvě interpretace zobecněné síly F 1. Ohm (1827)

F - grad (3)

“Elektroskopische Kraft“ experiment & Fourierův zákon

1-fluidový model( makroskopická hustota elektrického náboje C/m3 )

(3) popisuje dobře experiment, ale obecně vyžaduje 0

Při vypnutí proudu musí totiž podle (3) být:

i = F = grad = 0, = const.

Integrace: grad = 0 = const. 0,

Elektrické fluidum tedy v analogii s Fourierovým zákonem

šíření tepla relaxuje do stavu

s rovnoměrným rozložením fluida uvnitř vodiče.

Rozpor s Cavendishovým teorémem

Cavendishův teorém (1773) o sídle elektřiny na povrchu vodičů,

je matematicky ekvivalentní Coulombovu zákonu (1785)

o vzájemném působení elektrických nábojů.

Řešení = použití veličiny konjugované s Q2. Kirchhoff, (1849)

F grad (4)

( elektrostatický potenciál (V))

Podmínka (2a) spolu s (1) a (4) (i když i 0)

0 („transport náboje bez náboje“

2-fluidový model)

Kirchhoffův teorém

F grad , i = F vypočteme div i = 0 (podle 2a)

div F = div grad = 0 (5)

(Laplaceova rovnice elektrostatiky pro prostor bez náboje)

Uvnitř vodiče, kterým protéká proud neexistuje makroskopický elektrický náboj (neutralita)

V případě existence prostorového náboje ve vodiči kterým

protéká proud, je Ohmova relace (1) neplatná.

Porušení neutrality - příklady

Veškeré odchylky od Ohmova zákona svědčí o přítomnosti

prostorového náboje ve vzorku, tj. o porušení neutrality.

Nelineární I-V charakteristiky vykazují plošné diskontinuity

jako např. Schottkyho bariéra, p-n přechod,

injekční proudy omezené prostorovým nábojem

= základ polovodičové elektroniky

Prostorový náboj v nelineární struktuře

Měření zachyceného náboje pomocí Faradayova válce ,

> 105 s. (Nucl. Meth. Instr. A 434 (1999) 57)

Plošné rozhraní dvou vodičů

Okrajová podmínka na diskontinuitě

protékané proudem:

= 0(2F2 1F1) (6)

i = 1F1 = 2F2

= i 0(2 /2 1 /1)

Elektrické pole vně vodiče, kterým protéká proud

V různých bodech povrchu vodiče s proudem je obecně různý

potenciál v okolí vodiče existuje elektrické pole,

které má na povrchu vodiče nenulovou normálovou složku

Existence povrchového náboje

F2 0

Uspokojení foronomické podmínky (2b)

na vnitřní hranici vodiče

i F1 0

vede k vytvoření laminární proudové trubice

(sphondyloid) uvnitř vodiče

Nevyhnutelnost vzniku povrchového náboje

Funkce povrchových nábojů

Povrchový náboj formuje proudovou trubici uvnitř

vodiče a odstiňuje ji od vnějších elektrických polí

To umožňuje, mimo jiné, transport elektřiny

libovolně „zamotaným“ vodičem, bez ohledu na původní

elektrické pole aplikované k jeho koncům.

Distribuce hustoty povrchového náboje ()

Na vnější hranici vodiče je obecně F2 0, je tedy podle rovnice

/0 = F2 F1 = F2 (6)

distribuce hustoty povrchového náboje () určena výhradně

veličinou F2, která závisí na souhře:

externích elektrických polí a

vlastního (intrinsického) pole vodiče

Původ intrinsických polí - přechodový jev

Po „zapnutí proudu“ začnou nosiče proudu sledovat původní siločáry (ABCD), čímž nabijí body (B a C) na povrchu vodiče a

vytvoří proudovou trubici splňující podmínku (2b).

Povrchový náboj potřebný k „odklonu“ proudu

Model: krychle v rohu o hraně A

Fn = I/A , 0 Fn = Q/ A

Q (0 /) I (7)

kde 0 je permitivita okolí vodiče.

Energetická bilance v Ohmickém režimu

Disipace energie v objemu V (Jouleův výkon)

W = i F dV = (i2/) dV

Hledejme minimum tohoto integrálu za podmínky (2a)

div i = 0

(i2/) 2 div i dV = 0

je neurčitý Lagrangeův koeficient

i = grad

V případě, že koeficient ztotožníme s potenciálem

Distribuce proudu ve vodiči

V ohmickém režimu je distribuce proudočar a ekvipotenciál taková, že celková disipace energie při transportu náboje je

minimální

Vlastní elektrické pole uvnitř „sphondyloidu“ tak definuje okrajovou podmínku i pro vnější intrinsické pole vodiče

Rozpor mezi K-teorémem a existencí stínicích nábojů

U povrchu každého vodiče, kterým teče proud,

nutně existuje prostorový náboj zasahující do jeho vnitřku

POVRCHOVÝ NÁBOJ JE ABSTRAKCE!

rozpor s Kirchhoffovým teorémem (porušení neutrality)

Je možné rovnicí (1) popsat experimentálně pozorovaný

transport i za přítomnosti prostorových nábojů ?

ANO! Nutnost zobecnění Ohmovy relace Spojení Ohmova a Kirchhoffova přiblížení

(PhysicaE 12 (2002) 340)

Lineární kombinace obou konjugovaných proměnných

užívaných v elektrostatice:

i grad ( 2/0), (8)

je volný délkový parametr zaručující homogenitu rovnice,

druhý člen v závorce se nazývá difúzní.

Důsledky vztahu (8), význam veličiny

i 0 0 exp(/) (9)

kde je délka měřená podél normály k povrchu vodiče.

i 0 2/0 0 (10)

Gouyova-Schottkyho podmínka lokální rovnováhy, 0 const. je povrchový potenciál.

má význam stínicí délky

Kvantitativní odhady

Odhady podle vzorce (7) (krychle v rohu)

měď ve vakuu, 6.4 107 S/m, I = 1 A,

Q = 1.4 1019 C 1 elektron

SI-GaAs, 5.0 107 S/m, I = 1 A, 12

Q = 2.1 104 C 1.3 1015 elektronů

Prostorové náboje se uplatňují hlavně ve špatných vodičích

Přímý důkaz povrchového náboje

(2/ 6) S („proof sphere limit“)

Metoda zkusné kuličky a Faradayova válce

Příklad měření

Elektrostatické stínění a „difúzní člen“ 3D, Debye-Hückelovo přiblížení pro stínicí délku:

(kT0/ne2)

Cu: n 8.51028 m3 při T = 300 K 4 1012 m

Pro kovy tak nemá „difúzní člen“ v (8) praktický význam

2/0 (41012)2 / 8.85 1012 1.81012 V

V polovodičích a izolátorech je to významná korekce k

SI-GaAs: n 51014 m3 při T = 300 K 5 105 m

2/0 (5105 )2 / 8.85 1012 2.8102 V

Integrální tvar Ohmova zákona pro dobré vodiče (kovy)

V případě jednoduché geometrie homogenního vodiče a při zanedbání prostorových nábojů lze integraci diferenciálního tvaru provést snadno:délka vodiče Lprůřez vodiče Apotenciálový spád na vodiči V = 1 2

i = I /A = F = V/L

V/I = (L/A) = R

což je integrální tvar Ohmova zákona,veličina R se nazývá elektrický odpor vodiče

Co nastane, když a 2 ?

Klasická definice dvojrozměrného elektronového plynu a heterodimensionálního přechodu.

Zmizí neutrální oblast, transport probíhá za přítomnosti

prostorového náboje. Vzniká stínící deficit vzhledem k vnějším polím, t.j. elektrické pole proniká vodičem.

Dvojrozměrný elektronový plyn (2DEG)

Definice: T a (tloušťka 2D systému)

Thoulessova difúzní délka T = (2DC)

C kvantový koherenční čas

D 2 /0 ( difúzní člen)

C /kT a (/0 kT)

Pro širokou třídu polovodičů je 1 (/0 kT)

Klasická a kvantová definice 2D jsou ekvivalentní

Elektrostatické stínění 2DEG Pronikání elektrického pole vodivou vrstvou odlišuje „tenký“ kov od 2D systému

= základ experimentálního studia 2DEG kapacitními metodami

2DEG v GaAs/GaAlAs QW

0 2 4 6 80.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

0

5

10

15

20

25

30

CM

(pF

)

B (T)

Rxy

(k

)

T=1.3 K

Kvantový Hallův jev

Phys. Rev. Lett. 82 (1999) 4699

Rychlost šíření elektřiny

C.F.C. du Fay (1733)šíření elektřiny na velké vzdálenosti > ½ km

L. G. Le Monnier (1746)Měření rychlosti s jakou se šíří elektřina vodičem.

„Elektřina je více než 30 rychlejší než zvuk“

Telegrafní drát – nerelativistické přiblížení

Průměr drátu (d), křivost (1/D) = I (0/) (4L/d2)(2/d + 1/D)

Náboj deponovaný na rovném úseku ( = 1) :

Q = I (0/) (8L/d2) L

Čas t potřebný k nabití drátu od 0 po L proudem I:

Q/I = (0/) (8L/d2) L

t = (0/) (4L2/d2)

Difúze signálu vedením

Rovnice difúze

(d2 t /40) = L

s koeficientem difúze: (d2/80)

„Rychlost“ přenosu závisí na délce vedení!

vS ( /0) (d2/4L)

(pro krátká vedení vS > c, zanedbané relativistické efekty,

tj. magnetické pole, indukčnost vedení)

„Rychlost“ signálu vs. driftová rychlost elektronů

= 6.4 107 S/m

d = 103 m, L = 9 104 m (Praha – Plzeň)

vS 200 087 885 m/s (2/3)c

I/A = e n vD

I = 1 C/s, A = 106 m2, n (Cu) = 8,51028 m3

vD = 7,3 105 m/s

Tok elektromagnetické energie v okolí vodiče

Poyntingův vektor (1884) = hustota toku energie, W/m2

S = [F, H] = (F H) sin

H = I/ (d)

( = /2)

Bez povrchového S povrchovým náboje nábojem

Příklad - energetický tok ve spotřebiči

Malý potenciálový spád na přívodu, velké elektrické pole F

v koaxiální mezeře

Závěry

1) Nedílnou součástí elektrického transportu vodičem je

přítomnost elektrického náboje u jeho povrchu

2) Povrchový náboj odstiňuje vnitřek vodiče od vnějších polí,

zajišťuje podmínku neutrality uvnitř vodiče a modifikuje

přenos elektromagnetické energie v jeho okolí

KONEC

Děkuji za pozornost